MECCANICA QUANTISTICA E MECCANICA STATISTICA A.A. 2017/2018 – Prof. C. Presilla Prova A2 – 14 febbraio 2018 Cognome Nome Matricola penalit` a esercizio voto 1 2 3 4 5 6 1 Siano ξ ed η due operatori autoaggiunti e |Ai un vettore normalizzato. Dimostrare che Δξ Δη ≥ 1 2 |hA|[ξ,η]|Ai| , dove (Δξ ) 2 = hA|ξ 2 |Ai-hA|ξ |Ai 2 e (Δη) 2 = hA|η 2 |Ai-hA|η|Ai 2 . [punteggio 4] 2 Dimostrare che le autofunzioni dell’operatore hamiltoniano unidimensionale H = - ~ 2 2m d 2 dx 2 + V (x) possono sempre essere scelte reali. [punteggio 4] 3 L’operatoredensit`a ρ di un sistema quantistico evolve nel tempo secondo l’equazione di von Neumann i~ dρ dt =[H, ρ]. Dimostrare che l’entropia del sistema rimane costante nel tempo. [punteggio 4] I I I I I I I I I I I
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MECCANICA QUANTISTICA E MECCANICA …2018/02/14 · MECCANICA QUANTISTICA E MECCANICA STATISTICA A.A. 2017/2018 { Prof. C. Presilla Prova A2 { 14 febbraio 2018 Cognome Nome Matricola
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MECCANICA QUANTISTICA E MECCANICA STATISTICAA.A. 2017/2018 – Prof. C. Presilla
Prova A2 – 14 febbraio 2018
Cognome
Nome
Matricola
penalita
esercizio voto
1
2
3
4
5
6
1 Siano ξ ed η due operatori autoaggiunti e |A〉 un vettore normalizzato. Dimostrare che
∆ξ∆η ≥ 1
2|〈A|[ξ, η]|A〉| ,
dove (∆ξ)2 = 〈A|ξ2|A〉 − 〈A|ξ|A〉2 e (∆η)2 = 〈A|η2|A〉 − 〈A|η|A〉2.[punteggio 4]
2 Dimostrare che le autofunzioni dell’operatore hamiltoniano unidimensionale
H = − ~2
2m
d2
dx2+ V (x)
possono sempre essere scelte reali.[punteggio 4]
3 L’operatore densita ρ di un sistema quantistico evolve nel tempo secondo l’equazione divon Neumann
i~dρ
dt= [H, ρ].
Dimostrare che l’entropia del sistema rimane costante nel tempo.[punteggio 4]
I I I I I I I I I I I
4 Una particella di massa m e vincolata a muoversi lungo l’asse x soggetta al potenziale
V (x) =
{0 |x| ≤ L/2∞ |x| > L/2
.
All’istante t = 0 la funzione d’onda della particella e
ψ(x, 0) =
√2
L
(cos(πxL
)− cos
(3πx
L
))θ(x+ L/2)θ(−x).
Determinare:1) i possibili risultati di una misura di energia a t = 0;2) le probabilita che vengano misurati, sempre a t = 0, valori di energia corrispondenti ai primitre autovalori dell’operatore hamiltoniano;3) la densita di probabilita di posizione della particella al tempo t > 0.
[punteggio 7]
5 Una particella di spin 1/2 e momento magnetico µ = gS, in presenza di un campomagnetico B, e descritta dall’operatore hamiltoniano
H = −µ ·B.
Al tempo t = 0 la particella si trova nell’autostato corrispondente a Sx = ~/2. Nell’intervallodi tempo 0 ≤ t ≤ T il campo B e diretto luno l’asse z. Successivamente il campo e allineatolungo l’asse y. Determinare:1) la probabilita di misurare Sz = ~/2 al tempo t = T ;2) la probabilita di misurare Sx = ~/2 al tempo t = 2T .
[punteggio 7]
6 Si consideri un gas ideale di N particelle di massa m, vincolate all’interno di una sferadi raggio R. L’hamiltoniana di singola particella e
H =|p|2
2m+mgr,
essendo r la distanza dal centro della sfera e g l’accelerazione di gravita, assunta costante.Nell’ipotesi di equilibrio termico a temperatura T e considerando le particelle come classiche,calcolare, al primo ordine nell’approssimazione R� kBT/(mg):1) la pressione P (r) del gas alla distanza r dal centro della sfera;2) l’energia media E del gas.Considerando invece le N particelle come fermioni di spin 1/2 a temperatura T = 0, calcolare3) l’energia di Fermi εF del gas.
[punteggio 7]
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