MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE CINEMATICA Posizione Descrizione della posizione di un corpo ad ogni istante rispetto ad un sistema di riferimento fissato. Come riferimento si possono prendere diversi sistemi: Piano cartesiano: ! = #(%) = #'((%), *(%)+ = (, + *. Piano di Gauss: ! = #(%) = ( + /* = |#|1 23 ´ Nel piano di Gauss la posizione e la velocità sono rappresentate come vettori Velocità Derivata della posizione in funzione del tempo 4 ! = 5 5% #(%) = 5 5% |#|1 23 = 6# ̇ 61 23 + /8 ̇ |#|1 23 → 4 ! = |; < |1 2= ´ Si dimostra che la velocità è tangente alla traiettoria in ogni punto (infatti moltiplicare per i significa ruotare un vettore di 90° in senso antiorario) Accelerazione Derivata della velocità in funzione del tempo > ! = 5 5% ; < = |; < ̇ |1 2= + /?̇ |; < |1 2= ´ L’accelerazione è somma di una componente normale alla traiettoria e una tangenziale (moltiplicata infatti per i) ´ Il primo termine varia al variare del modulo della velocità mentre il secondo risente delle variazioni angolari P, v, a nel piano di Gauss Tipi di moto Moto rettilineo: Moto circolare: 8 = @AB% dunque tutte le sue derivate sono nulle ! = |#|1 23 4 ! = 6# ̇ 61 23 > ! = 6# ̈ 61 23 8 = 8(%), D = @AB% ! = D1 23 4 ! = /8 ̇ D1 23 > ! = /8 ̈ D1 23 −8 ̇ F D1 23 * moto traslatorio ¹ moto rettilineo: il moto traslatorio impone che il corpo non ruoti rispetto a se stesso, ma può essere anche lungo una circonferenza
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MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE...MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE CINEMATICA Posizione Descrizione della posizione di un corpo ad ogni istante rispetto ad un sistema di riferimento
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MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE
CINEMATICA
Posizione Descrizione della posizione di un corpo ad ogni istante rispetto ad un sistema di
riferimento fissato. Come riferimento si possono prendere diversi sistemi:
Un meccanismo è una serie di corpi rigidi vincolati tra loro. I meccanismi sono di due tipi:
- Catene cinematiche aperte: serie di corpi rigidi con vincoli che uniscono il
precedente al successivo (2 GdL totali)
- Catene cinematiche chiuse: serie di corpi rigidi vincolati tra loro e vincolati alle
estremità ad un telaio (1 GdL totale); sono essenzialmente di tre tipi:
Cinematica di un meccanismo
Lo studio di velocità e accelerazione di ogni punto del meccanismo si può operare in due
modi:
1. Chiusura vettoriale: ogni elemento del meccanismo si può rappresentare con un
vettore nel piano di Gauss (numeri complessi), l’insieme di tutti i vettori forma una
spezzata chiusa; derivando una o due volte l’eq. di chiusura si ottengono velocità e
accelerazioni di tutti i punti
d12= + e12f = @
2. Terne mobili: si sceglie una terna mobile traslante o rotante e si esprimono le velocità
dei punti come somma di velocità di trascinamento e velocità relativa
4< = 4gh + 4hij
´ Nella chiusura vettoriale gli angoli vanno sempre calcolati in verso antiorario!
´ Nel secondo metodo non si sceglie mai una terna roto-traslante per comodità
´ La terna traslante si usa quando gli elementi del meccanismo hanno lunghezza fissa, mentre se un elemento ha lunghezza variabile si usa una terna rotante
´ Quando possibile è più conveniente usare una terna traslante perché annulla
l’accelerazione di Coriolis
Statica di un meccanismo
Un meccanismo è stabile quando sono stabili tutti i corpi rigidi che lo compongono. Un
corpo rigido è stabile quando la risultante delle forze è nulla e la risultante dei momenti
rispetto ad ogni punto è nulla
Nel piano: k∑ Dm = 0∑Dn = 0∑ oK = 0
´ Per un corpo puntiforme è sufficiente la risultante delle forze nulla affinché il corpo
sia in equilibrio, mentre per i corpi rigidi serve anche la risultante dei momenti perché
il corpo può ruotare
´ Nella risultante delle forze vanno considerate anche le reazioni vincolari
Serve a trasformare il moto rotatorio della manovella in un moto lineare alternato del
carrello o viceversa
´ Gli angoli vanno calcolati sempre in verso antiorario!
´ Dopo aver derivato, le quantità moltiplicate per l’unità immaginaria i si possono
anche vedere come gli stessi vettori ruotati in senso antiorario di p/2
´ Dopo aver scritto l’eq. di chiusura per risolvere si scompongono i vettori lungo x e y
con rispettivamente coseni e seni ´ Fare attenzione a quali angoli e quali moduli sono variabili nel tempo e quali no
quando si deriva! In questo caso ad esempio varia solo il modulo di c, mentre a e b
rimangono di lunghezza costante
´ Il CIR del meccanismo si sposta nel tempo, dunque esso roto-trasla
´ Se si vuole studiare il cinematismo con una terna mobile si può usare una terna traslante in A o in B poiché gli elementi hanno tutti lunghezza costante
´ Quando la biella e la manovella sono allineate e B si trova il più lontano possibile da
O si dice che B è nel punto morto esterno, mentre quando sono allineate e B è il più
vicino possibile ad O è nel punto morto interno. In entrambi questi punti la velocità
di B è nulla e l’accelerazione massima
Manovellismo ordinario deviato
´ Lo studio di accelerazioni e velocità è analogo al manovellismo centrato
* Studio cinematico fatto attraverso il metodo della chiusura vettoriale, ma si può fare anche con le terne mobili
Glifo Il glifo è costituto da due cerniere esterne e un vincolo prismatico. Il moto rotatorio
completo della manovella viene trasformato in moto rotatorio alternato del glifo.
´ Il vettore d ha modulo e angolo costanti poiché è il telaio
´ Se si vuole studiare il cinematismo con una terna mobile bisogna usare una terna rotante perché gli elementi non hanno lunghezza fissa (ci sarà allora anche
Dato un sistema con n corpi, immaginando che su ciascuno di essi agiscano delle forze
Ni, se i vincoli a terra e quelli intermedi sono non dissipativi, allora in ogni istante la
somma delle potenze delle forze attive (esterne) e reattive (inerziali) deve essere nulla.
Ciò equivale a dire che la somma dei lavori virtuali è nulla.
t çt é2è
ê2
èëÖ
í + téìê,2
êî
2ëÖ
= 0
êî
2ëÖ
→ t'ïI2 + ïIìê,2+ = 0ê
2ëÖ
5A;1é = ñ;1ïI = ñïB
´ Nc numero di corpi, Ni numero di forze, dv velocità virtuale infinitesima, ds
spostamento virtuale infinitesimo
´ Il bilancio di potenza è molto comodo nei meccanismi ad 1 GdL poiché invece di 3
eq. della statica possiamo scriverne solo 1 (oppure si può sostituire ad una delle eq.
di equilibrio dinamico quella del bilancio di potenza)
´ L’eq. di bilancio di potenza può essere scritta al posto di una eq. di equilibrio
dinamico, ma mai in aggiunta ad esse, poiché è una loro combinazione lineare,
dunque non aggiunge altre informazioni
´ In condizioni statiche si considera solo il lavoro delle forze esterne mentre in
condizioni dinamiche si considera anche quello delle forze e coppie inerziali ! ´ Sia nel bilancio di potenza sia nel PLV non si considerano mai le reazioni vincolari
poiché i vincoli impongono spostamento nullo
´ Il PLV consente di scrivere un numero di equazioni pari al numero di GdL del sistema
mentre il bilancio di potenza una sola equazione scalare
Teorema di König
Detti vG velocità del baricentro e JG momento d’inerzia del corpo rispetto al baricentro,
l’energia cinetica di un corpo rigido è data da:
óî =12
x;~F +
12
}~ZF
´ Il teorema di Konig vale solo rispetto al baricentro e non rispetto ad altri punti (se si
conoscono le quantità riferite ad altri punti bisogna applicare il teorema di Rivals per
le velocità e il trasporto del momento per l’inerzia)
Teorema dell’energia cinetica
Il teorema dell’energia cinetica afferma che la somma delle potenze di tutte le forze attive agenti sul sistema è istantaneamente uguale alla derivata dell’energia cinetica del
sistema
t çt é2è
ê2
èëÖ
í = − téìê,2
êî
2ëÖ
=55%
t óî,2
êî
2ëÖ
êî
2ëÖ
´ Teorema molto utile perché per un corpo rigido è facile scrivere e derivare l’energia
cinetica
´ Anche in questo caso i vincoli devono essere per ipotesi non dissipativi
Le vibrazioni sono moti oscillatori a cui sono soggetti i sistemi di corpi rigidi. Si possono
approssimare ad una combinazione lineare di armoniche e sono associate all’energia
potenziale elastica e cinetica dei corpi.
Smorzatore Poiché i corpi non sono completamente elastici si ha una dissipazione di energia che
genera uno smorzamento delle vibrazioni nel tempo, che può essere schematizzato da
uno smorzatore
uOMLNJ2îL = −ø¿
uNPKcwLJKcO = −á¿
Z = ¡øx
´ ¿ spostamento, ¿ velocità, r costante di smorzamento
´ w pulsazione del sistema
´ Sia la forza elastica sia lo smorzamento si oppongono in verso a spostamento e
velocità rispettivamente
´ Lo smorzatore può essere un elemento immaginario, che rappresenta la dissipazione interna della molla o reale, che si aggiunge al sistema per diminuire le vibrazioni
Equazione di moto
(Sistemi ad 1 GdL con smorzatori)
Scrivendo l’equilibrio delle forze per sistemi ad 1 GdL con smorzatori si ottiene
un’equazione differenziale di secondo ordine lineare:
Equazione di moto: x( + á( + ø( = ñ
´ m massa del sistema (forza inerziale), f costante dello smorzatore (forza smorzante),
k costante della molla (forza elastica)
´ Tale equazione è anche detta equazione di equilibrio dinamico
´ Se non agiscono forze esterne l’equazione è omogenea, se invece ci sono è non
omogenea (ad esempio se il sistema è in verticale agisce la forza peso F=mg)
´ Si risolve come una normale eq. differenziale sommando la soluzione dell’omogenea
associata e della particolare
´ 1 GdL: spostamento lungo x
Moto libero L’omogenea associata dell’ equazione di moto descrive il moto libero del sistema, ovvero
il moto del sistema senza forzanti per solo effetto delle condizioni iniziali
x( + á( + ø( = 0
Moto libero non smorzato:
x( + ø( = 0
Soluzioni del tipo: ( = (\1¬J@A°√Ö,F = ±/≈∆
P= ±/Z
Z frequenza propria del sistema
Moto libero smorzato:
x( + á( + ø( = 0
Sol. del tipo: ( = (\1¬J@A°√Ö,F = − c
FP± ≈µ c
FP∏
F− ∆
P
Esiste un valore critico in corrispondenza del quale le due soluzioni
sono coincidenti; chiamiamo tale valore smorzamento critico rc:
áî = 2xZ
Si introduce inoltre il fattore di smorzamento h, ovvero il rapporto