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Mecânica de materiais 2010/2011 P. AreiasAvaliação:

Duas frequências durante o semestreExame no final do semestreAssiduidade, trabalhos de casa e interesse demonstradoMini-teste surpresaDúvidas (P. Areias):Quintas e Sextas, fora do horário de aulasSábados de manhãUrgências: contacto telefónico (URL: http://home.uevora.pt/~pmaa/)Bibliografia:“Vector Mechanics for Engineers, Statics”, F.P. Beer, E.R. Johnston Jr., E.R. Einsberg, Seventh Edition, McGraw-Hill“Engineering Mechanics, Statics”, J.L. Meriam, L.G. Kraige, Fifth Edition, John Wiley and Sons“Mechanics of Materials”, F.P. Beer, E.R. Johnston Jr., J. DeWolf, Fourh Edition McGraw-Hill

http://home.uevora.pt/~pmaa/

http://home.uevora.pt/~pmaa/

ProgramaIntrodução à estática

• Vectores, forças e momentos

• Estática e relações de equivalência

• Diagramas de corpo livre, equilíbrio na forma vectorial e escalar

• Diagramas de esforços

• Centros de massa e momentos de segunda ordem

Introdução à mecânica dos materiais elementar

Introdução aos corpos deformáveis, lei de Hooke elementar, efeito de Poisson

Esforço axial

Torção de barras circulares, torção de barras com perfil aberto e fechado

Introdução a depósitos e tubagens

Ligações rebitadas e aparafusadas

Flexão pura, flexão combinada

Teoria da elasticidade: deformações, compatibilidade, tensões e equilíbrio

Motivação

YZ

X

YX

Z

YX

Z

YX

Z

YX

Z

YX

Z

YX

Z

YX

Z

YX

Z

E = 200 ! 109

! = 0.3H = 0.03"y = 300 + 600#p

#u = 0.1 #u = 121396 Elements

2

v = 0.125 m

v = 0.374 m

v = 0.995 m

v = 0.666 m

v = 0.374 m

v = 0.339 m

v = 0.948 m

v = 0.251 m

b

a

b

a

a: u = w = 0

b: v = w = 0

Uniform, deformation-dependent pressure

Figure 18: Fracture process of a simply-supported plate with elasto-plastic behavior. Two cases are shown:!u = 0.1 and !u = 1. Extrusion along the directors was performed.

23

Y

XZ

Y

XZ

Y

XZ

Y

XZ

v = 0 mm v = 6.3 mm

v = 7.5 mm

Crack path detail

Elasticidade, inelasticidade,

fractura

Ocorrências:

Recordações de trigonometria elementarVariações do teorema de Pitágoras:

sin2�A

2

�=

1− cos(A)

2

cos2�A

2

�=

1 + cos(A)

2

Fórmulas de meios ângulos:sin2(A) + cos2(B) = 1

tan2(A) + 1 = sec2(A)

1 + cot2(A) = csc2(A)

sin(2A) = 2 sin(A) cos(A)

cos(2A) = cos2(A)− sin2(A)

Fórmulas de ângulos duplos: Fórmulas de soma/subtracção de ângulos:sin(A±B) = sin(A) cos(B)± cos(A) sin(B)

cos(A±B) = cos(A) cos(B)∓ sin(A) sin(B)

Lei dos senos:a

sin(A)=

b

sin(B)=

c

sin(C)

Lei dos cossenos:c2 = a2 + b2 − 2ab cos(C)

Fórmula de EulereiA = cis(A)

Lei das tangentes:a− b

a+ b=

tan�12 (A−B)

�

tan�12 (A+B)

�

Trigonometria, cont’d

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(cos(x),sin(x))

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5C7

Relações de simetria

Trigonometria, cont’dRelações de translação

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5C7

Prova da lei dos cossenosc = a cos(B) + b cos(A)

c2 = ac cos(B) + bc cos(A) (eq.1)

a2 = ac cos(B) + ab cos(C) (eq.2)

b2 = bc cos(A) + ab cos(C) (eq.3)

a2 + b2 = ...(eq.2 + eq.3)

a2 + b2 − c2 = 2ab cos(C)

Alguns valores úteis:

Distribuição dos alunos pelas 2 turmas práticas

Datas de frequências e exames

Primeira Frequência:17 de Outubro de

2011Segunda Frequência:13 de Dezembro de

2011Exame:

28 de Janeiro de 2011

Número Turma Número Turma

13751 B 25964 A

24405 A 25829 A

24517 A 25839 A

24647 A 25893 A

24694 B 25963 A

24747 A 26016 A

24906 A 26024 A

24967 B 26027 A

24676 A 26181 B

25017 A 26290 B

25219 A 26341 A

25249 B 26397 B

25308 A 26431 A

25325 A 26511 A

25407 B 26645 B

25424 A 26695 A

25706 B 26741 B

25824 A 26804 A

25828 A 26943 A

Recurso:4 de Fevereiro de

2011

Princípios fundamentais• Lei do paralelogramo para adição de forças

• Princípio de transmissibilidade

• Primeira lei: Se a força resultante, actuando numa partícula for zero, esta permanecerá em repouso ou mover-se-á em linha recta com velocidade constante, se estava em movimento originalmente

• Segunda lei:

• Terceira lei: forças de acção e reacção possuem a mesma magnitude, mesma linha de acção e sentido oposto

• Lei de gravitação de Newton:

F = mu

F = GmM

R2

G = 6.674× 10−11Nm2Kg−2

RTerra ≈ 6371kmMTerra ≈ 5.9742× 1024 Kg

Sistemas de unidades

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Utilizam-se [g] e [mm]ou [Kg] e [m]

As unidades de força do S.I. [N] são derivadas: [F]=[MLT-2]

Atenção:


Conversão de unidades

8 lnlroduction the submultiples of the unit of area areI d m 2 : ( 1 d m ) 2 : ( 1 0 - 1 m ) 2 : 1 0 - 2 m 2I c m 2 : ( 1 c m ) 2 : ( 1 0 - 2 m ) 2 : 1 0 - a m 2

I mm2 : (1 mm)2 : ( I0 -3 m)2 : 10-6 m2and the submultiples of the unit of volume are

I d m 3 : ( 1 d m ) 3 : ( 1 0 - 1 m ) 3 : l 0 - 3 m 3I c m 3 : ( 1 c m ) 3 : ( 1 0 - 2 m ) 3 : l 0 - o m 3

I mm3 : (1 mm)3 : (10-3 m)3 : 10-e m3It should be noted that when the volume of a liquid is being measured,the cubic decimeter (dm3) is usually referred to as a tlter (f).

Other derived SI units used to measure the moment of a force,the work of a force, etc., are shown in Table 1.2. While these units willbe introduced in later chapters as they are needed, we should note animportant rule at this time: When a derived unit is obtained by divid-inf a base unit by another base unit, a prefix may be used in thenumerator of the derived unit but not in its denominator. For example,the constant k of a spring which stretches 20 mm under a load of100 N will be expressed as

* : #H :# :5oooN /mb u t n e v e r a s k : 5 N / m m .

TABLE 1.2 Principol 5l Units Used in lYlechqnicsQuontity Symbol Formulo

o r k : l k N / m

UnitAccelerationAngleAngular accelerationAngular velocityAreaDensityEnergluForceFrequencyImpulseLenghMassMoment of a forcePowerPressureStressTimeVelocityVolume

SolidsLiquids

Work

Meter per second squaredRadianRadian per second squaredRadian per secondSquare meterKilogram per cubic meter]ouleNewtonHertzNewton-secondMeterKilogramNervton-meterWattPascalPascalSecondMeter per second

Cubic meterLiterjoule

;I

rtt/s2trad/s2rad./s*'kgm"N . mkg' m/s2s - rkg' m/s++*+N ' mI/tN/m2N/m2+m/s

3m-10-3m3N ' m

lSupplementary unit (1 revolution : 2zr rad : 360').tBase unit.

Vectores e operações• Definição

V =3�

i=1

Viei com ei vectores da base

Base canónica (i,j,k)e1 = i = {1, 0, 0}e2 = j = {0, 1, 0}e3 = k = {0, 0, 1}

Na base canónica

V =

V1

V2

V3

V ·W =3�

i=1

ViWi

V ×W =

V2W3 − V3W2

W1V3 −W3V1

V1W2 − V2W1

Produto interno e norma

Produto vectorial

U · (V ×W ) Produto triplo

V = �V � =√V · V

Isaac Newton fa lava de forças. Para o corpo rígido também são necessários momentos



No caso de um binário (duas forças paralelas não colineares e com a mesma norma mas sentidos opostos), ao escrever a condição de equilíbrio estático no sentido de Newton, surge a necessidade de mais uma quantidade, o momento.



Equivalência

Forças no plano Forças não coplanares

Momentos de uma força Resultantes

Q

P1

P2 P3

P4F 1

F 2

F 3

F 4

M1M2

MRQ =

Nf�

i=1

−−→QPi × F i +

Nm�

i=1

M i

R =

Nf�

i=1

F i

Invariante escalar ≡ R ·MRQ

Invariante vectorial ≡ R

F

Q

P

r

MQ(F P ) = r × F

r =−−→QP = P −Q =

−−→OP −−−→

OQ

Z

�d

MZd(F P ) = MZ(F P ) · �dMZd(F P ) = MZd(F P )�d

1125 N

Determine o momento da t e n s ã o n o t r o ç o B H relativamente aos eixos AD e AG


Ponto para o qual a força resultante é paralela ao momento resultante (wrench)

R

MRQ

Q

P

MRP

−−→OP =

−−→OQ+

R×MRQ

R2

Chave de fendas

R

MRP =

�MR

Q ·RR2

�R

MRQ = MR

P +−−→QP ×R

*

* demonstre geometricamente

Alternativa para a determinação do ponto P

MRP =

�MR

Q ·RR2

�R

aX + bY + cZ = dCasos em que MR

P = 0

•Forças coplanares•Forças concorrentes•Forças paralelasCasos em que R = 0

MRQ = MR

P


Determine o wrench usando a análise anterior e o wrench usando os planos x-y e y-z



Interpretação

R = 0, MR �= 0

R �= 0, MR = 0

R �= 0, MR �= 0

Casos possíveis

Equivalência e equipolênciaDois sistemas de forças actuando no mesmo corpo rígido são equivalentessse a soma das forças e a soma dos momentos das forças dos dois sistemas num ponto dado A forem respectivamente iguais. Dois sistemas de forças actuando num conjunto de pontos são equipolentes sse a soma das forças e a soma dos momentos das forças dos dois sistemas num ponto dado A forem respectivamente iguais.

Num corpo rígido sistemas equipolentes são equivalentes

Equilíbrio, parte I



Ligações 2D Ligações 2D, cont’d

Equilíbrio, parte I, cont’d

Sistemas com 2 e 3 forças

F 1

F 2

F 1

F 2

F 3

•2 Forças: colineares, norma igual e sentidos opostos•3 Forças: concorrentes OU paralelas (neste caso, pense-se numa balança)

Fx = 0, Fy = 0, MA = 0

Fx = 0, MA = 0, MB = 0

MA = 0, MB = 0, MC = 0

Alternativas (no plano)

Universal

Condicional (neste caso, linha AB não vertical)

Condicional (A, B e C não colineares)

Frequentemente, pode simplificar-se a análise

Equilíbrio, parte II Ligações 3D



Análise das restrições



As equações de equilíbrio são necessárias e suficientes para estabelecer o equilíbrio de um corpo. Porém,podem não providenciar toda a informação para calcular as forças incógnitas actuantes num corpo em equilíbrio.

Um corpo ou combinação de elementos que possua mais ligações ao exterior do que as n e c e s s á r i a s p a r a o e q u i l í b r i o é d i t o estaticamente indeterminado.Apoios que possam ser removidos sem destruir o equilíbrio são ditos redundantes.Grau de indeterminação estática: número de forças exteriores incógnitas menos o número de equações independentes de equilíbrio.

2D 3D

Restrições impróprias:Em 2D: quando as linhas de acção das reacções são concorrentes ou paralelas

Em 3D: quando as linhas de acção das reacções intersectam um eixo comum

Exemplos de problemas impropriamente restringidos



Trace os diagramas de corpo livre

Metodologia:•Isolar o corpo do exterior•Incluir o peso e outras forças volúmicas•Incluir reacções sempre q u e o m o v i m e n t o é impedido ou limitado (e.g. por uma mola)•Incluir todas as forças e momentos actuantes sobre o corpo

19

Convenção de sinais

Como no caso 2D os vectores do binário são ortogonais ao plano, a sua direcção é sempre conhecida, apenas a magnitude pode variar.

Os cálculos envolvendo momentos de forças e binários podem ser executados apenas utilizando as suas magnitudes, desde que seja admitida uma convenção de sinais.

•  No diagrama de corpo livre, as forças e binários de reacção não têm de ser marcados com o sentido correcto, embora a direcção tenha de ser a correcta.

•  É admitido um sentido, no final dos cálculos, o aparecimento de um valor negativo indica que o sentido admitido é o contrário do real.

•  O cálculo do momento resultante deve ser efectuado em relação a um ponto que permita simplificar os cálculos.

•  Em geral o ponto escolhido deve ser aquele em relação ao qual existe o maior número de forças produzindo um momento nulo.

Exercícios


1) Determine as resultantes no ponto O


2) Determine as resultantes no ponto A


3) Determine a intersecção de R com x e y


4) Determine as componentes da força no cabo CD



5) 6)


7)


8) Determine as resultantes nos pontos A e B

9)

10)




11) Determine T

1 2 ) D e t e r m i n e a f o r ç a necessária a aplicar pelo homem representado de forma a que a balança leia 500lb (227 Kg)


13)



14)


15)


16)

17)



18) A barra uniforme AB tem u m a m a s s a d e 2 0 0 K g . Determine as reacções das paredes e do soalho


19) Determine a massa m que pode ser suportada e as reacções nas chumaceiras


20) Determine as reacções


21) Determine as reacções

22)



23)


24)

Introdução às estruturas • Treliças (1)

• Estruturas reticuladas (2)

• Mecanismos (3)


Marwan and Waseem Al-Iraqi www.gigapedia.com(1)

(2)


Biforça

Multiforça

(3) *

* pode exigir a separação de membros

Treliças: método dos nós


m+ 3 = 2j

Condição necessária d e d e t e r m i n a ç ã o estática interna 2D

Estrutura simples: obtida por ligação de triângulos satisfaz automaticamente

Casos especiais:

j : juntas

m : membros

Peso: normalmente distribuído pelas juntasjuntas podem denominar-se nós


Determine as forças em todos os membros




1)

2)3)

1

4)



5)

6)


7)

F1F2F3

• Traçar o diagrama de corpo livre da estrutura e determinar as reacções

• Usar um dos nós de ligação ao exterior para o método dos nós

• Localizar um nó que una apenas dois membros desconhecidos e usar o método dos nós• Uso dos comprimentos:

F4

ab c

d

efF2

F3

F1 + F2a

c+ F3

d

f= 0

F2−b

c+ F3

e

f= 0

• Marcar as forças sobre os membros

• Em 3D

1) 2) 3)

Forças em todos os membros

Alternativa: método das secções (usado quando não se pretende conhecer as forças em todos os membros).


3 membros cortados e 3 equações


Determine a força no membro DJ

Exercícios para o método das secções


1)


2)


3)


4)

Membros multi-força e mecanismos

Marwan and Waseem Al-Iraqi www.gigapedia.comDiagramas de corpo livre do conjunto e dos membros separados


Problemas

1)


2)


3)

Diagramas de esforços• Vigas



i) Reacções




Forças e momentos internos


Convenção de sinais

w = −dV

dx

V =dM

dx

Exercícios elementares



1)

2)

Exercícios elementares, cont’d


3)


4)

5)

6)

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trigonometric

ab cos

hacovercosinecohavercosineexterior

csc andsec

trigonometric

iraqi www

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