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Mecânica
Esmerindo Bernardes 1
L.I.A. – Laboratório de Instrumentação AlgébricaDepartamento
de F́ısica e Ciência dos Materiais
Instituto de F́ısica de São CarlosUniversidade de São
Paulo
www.lia.if.sc.usp.br
18 de Junho de 2010
1email: [email protected]
http:www.lia.if.sc.usp.brmailto:[email protected]
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Conteúdo
1 Introdução 1
2 Cinemática 32.1 O espaço Euclidiano . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Vetor posição . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 5
2.2.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Produto escalar . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 6
2.3.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Produto vetorial . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 8
2.4.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Trajetórias . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 12
2.5.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Velocidade e aceleração
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 14
2.6.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7 Espaço percorrido . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 20
2.7.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Translações 253.1 Os prinćıpios . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 As forças da natureza .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 30
3.2.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Aplicações da segunda
lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 34
3.3.1 Forças constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.2 Forças dependentes da
velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363.3.3 Forças dependentes da posição . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.4 Exerćıcios . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4 Leis de conservação I 454.1 Trabalho . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
4.1.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Energia cinética . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 47
4.2.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3 Energia potencial . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 48
4.3.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4 Energia mecânica . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 52
4.4.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
iii
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CONTEÚDO CONTEÚDO
4.5 Peŕıodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5.1 Exerćıcios . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 58
4.6 Comentários gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Rotações 615.1 Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Energia
rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 635.3 Dinâmica rotacional e leis de
conservação II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 665.4 As equações de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.5 Exerćıcios . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 80
6 Gravitação 836.1 Um sistema de dois corpos . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2 A
energia potencial de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 866.3 Trajetórias . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
886.4 O campo gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.5 Correções . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 916.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7 Relatividade restrista 937.1 Transformações de Galileu . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
937.2 Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.3 Mecânica relativ́ıstica
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 957.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A Análise dimensional 99
B Séries de Taylor 101B.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
C Coordenadas polares 103
iv
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Caṕıtulo 1
Introdução
Estas notas de aulas não pretendem substituirqualquer livro
texto sobre mecânica Newtoniana.Elas existem apenas como uma forma
de orga-nização de vários tópicos importantes que são
co-mumente abordados em um primeiro curso sobre asleis de Newton
para o movimento e suas aplicações.Como tal, elas pretendem ser
concisas e enfati-zar apenas conceitos fundamentais,
indispensáveisà aquisição e manipulação de muitos outros
concei-tos f́ısicos utilizados em Ciências.
Cabe a você estudante ser extremamente cŕıticoe procurar pela
coerência de cada informação con-tida nestas notas. Além disto,
estas notas de au-las devem ser usadas como uma extensa lista
deexerćıcios. O caminho para chegar nos resultadosexibidos é
sempre comentado, cabendo a você atarefa de executar os passos
intermediários. As-sim, você saberá exatamente de onde veio
qual-quer resultado, fórmula ou teorema, bem como suascondições
de validade. Em geral, cada resultado éválido em um determinado
contexto, o qual é reve-lado durante a execussão dos passos
intermediários.Outro benef́ıcio decorrente da execussão dos
passosintermediários é o aumento da nossa capacidade in-telectual
para lidar com conhecimentos novos.
Adotaremos uma abordagem construtivista ondeas leis da mecânica
serão derivadas de observaçõesmeticulosas da natureza através
de experimentossimples, porém extremamente ilustrativos. Numaetapa
seguinte, iremos analisar os resultados dasobservações realizadas
e propor modelos que os des-crevam de forma acurada. Para que estes
modelospossam ser descritos de forma elegante, prática ecom
capacidade de fazer previsões, construiremosdiversas “ferramentas
matemáticas”, as quais farãoparte do conjunto de ferramentas de
trabalho de
qualquer profissional em Ciências Exatas. Todasestas
ferramentas serão estudadas em detalhes noscursos de Geometria,
Cálculo Diferencial e Integral,Equações Diferenciais,
Eletromagnetismo e Termo-dinâmica. Desta forma, estas notas de
aula pre-tendem criar um laboratório para promover a inte-gração
de todos os demais cursos do Ciclo Básicoem Ciências. Estes
cursos estão todos entrelaçados,interligados por condúıtes que
permitem entrada esáıda de conhecimentos.
Em geral, desejamos usar conhecimentos adqui-ridos para tornar
nossa sociedade mais agradável,justa e auto-suficiente. Hoje,
vivemos em um mo-mento da história do conhecimento humano ondea
taxa de transferência de conhecimentos básicospara o setor
produtivo está crescendo rapidamente.Apesar deste crescimento,
ainda encontramos umadistância muito longa entre a aquisição de
co-nhecimentos e o uso destes. Treinamento é umaforma bastante
eficaz de encurtar esta distância.Vários exerćıcios são
propostos no final de cadacaṕıtulo para ressaltar aspectos
importantes dosresultados obtidos, além de evidenciar como es-tes
resultados devem ser utilizados. Na medida doposśıvel,
procuraremos realizar exerćıcios de empre-endimento e
transferência de conhecimento cons-truindo máquinas simples e/ou
fazendo simulaçõescomputacionais. Procuraremos construir
máquinassimples cujos prinćıpios de funcionamento depen-dam
exclusivamente das leis de Newton para omovimento, como foguetes de
água e giroscópios.Também simularemos via computação
algébrica(ou simbólica) o movimento de objetos sujeitosàs
forças elástica, gravitacional e eletromagnética,sempre
agregando alguns efeitos realistas como dis-sipações e
ressonâncias.
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Caṕıtulo 1. Introdução
Várias rotinas em computação algébrica serãocriadas, passo
a passo, para implementarem os co-nhecimentos adquiridos através
dos textos de re-ferência e notas de aula bem como aqueles
adquiri-dos em sala de aula. Computação algébrica é semdúvida
uma ferramenta indispensável ao ensino epesquisa. Além disto,
assim como os atuais estu-dantes, este curso pretende ser
pós-computadores.Os computadores serão usados para executar
ta-refas que nos tomariam muito tempo, nos libe-rando para
construir modelos e analisar seus re-sultados, exercitando assim
ainda mais a nossa ca-pacidade intelectual. Mais especificamente,
usare-mos o computador para resolver as equações dife-renciais
decorrentes das leis de Newton, desenharas trajetórias decorrentes
e realizar as animaçõescorrespondentes. Derivadas, integrais e
soluçõesnuméricas de equações diferenciais serão efetua-das
computacionalmente por um processo similarao uso de calculadoras de
bolso na realização deoperações aritméticas.
Não basta sabermos resolver determinadosexerćıcios, em geral
com o intuito de sermos aprova-dos em um determinado curso. Devemos
aprender aaplicar nossos conhecimentos adquiridos num con-texto
mais amplo. Também não podemos esperarpor um momento mágico para
começarmos a desen-volver nossa capacidade empreendedora. O
melhormomento para isto é agora. Ao estudar as leis deNewton para
o movimento e suas aplicações, desen-volva concomitantemente a
sua capacidade empre-endedora. Imagine o computador a sua fábrica
euma determinada linguagem de programação comomatéria prima.
Você é capaz de produzir com seusconhecimentos adquiridos?
Simular o movimentode uma simples bolinha de gude sob ação da
gravi-dade (com alguma dissipação) é um excelente pro-duto.
O objetivo deste curso é oferecer oportunida-des, através de
exemplos e exerćıcios, para quevocê aprenda a aprender. Assim,
você estará ca-minhando na direção de se tornar uma pessoa eum
profissional cŕıtico, anaĺıtico, com capacidadede absorver, gerar
e transmitir conhecimentos, con-forme requer o projeto pedagógico
desta universi-dade.
Nestas notas, abordaremos os tópicos seguintes:
1. Cinemática. Iniciaremos estudando as pro-priedades básicas
do espaço Euclidiano, palco
de quase todos os movimentos que iremos es-tudar. Precisaremos
saber como representarpontos (objetos) e curvas (trajetórias)
nesteespaço. Para tal, teremos que construir sis-temas de
coordenadas, vetores e algumas fer-ramentas espećıficas, como os
produtos esca-lar e vetorial, para lidar com vetores. Maisdetalhes
serão vistos no curso de GeometriaAnaĺıtica. Em seguida,
construiremos maisferramentas espećıficas (derivadas e
integrais)para lidarmos com velocidades, acelerações,forças e
trajetórias. Mais detalhes sobre deri-vadas e integrais serão
vistos nos diversos cur-sos de Cálculo. Finalmente, faremos uso
decomputao (algébrica ou simbólica) para simu-lar objetos reais
em movimento. Estes tópicosestão discutidos no Cap. 2
(Cinemática) dasnotas de aulas.
2. Dinâmica. Estabeleceremos aqui as leis quegovernam um
movimento geral (translação +rotação). Iniciaremos pelas leis
que gover-nam as translações. Utilizaremos de algunsexperimentos
para estabelecermos tais leis.Em seguida, construiremos uma
estrutura ma-temática para expressarmos e manipularmostais leis.
Esta estrutura matemática, comoveremos, será auto-consistente,
elegante e ca-paz de fazer previsões. Em seguida, estudare-mos as
leis que governam as rotações. Veja osCaps. 3 (Translações), 4
(Rotações) e 5 (Leisde Conservação) das notas de aulas.
3. Gravitação. Veremos como Newton usouo conceito de força,
recém inventado porele mesmo, para explicar como objetos
sãoatráıdos pela Terra, bem como nossos plane-tas orbitão o Sol.
Também deduziremos as leisde Kepler da força da gravidade
proposta porNewton. Finalizaremos nossas discussões es-tudando os
fundamentos da Relatividade Res-trita. Veja o Cap. 6
(Gravitação).
Além das notas de aulas, as seguintes referênciaspodem ser
úteis:
1. Herch Moysés Nussenzveig – Curso de F́ısicaBásica:
Mecânica.
2. Alaor Silvério Chaves – Curso Básico para Es-tudantes de
Ciências F́ısicas e Engenharias.Vol. 1: Mecânica.
2
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Caṕıtulo 2
Cinemática
Estudaremos aqui os conceitos de posição, ve-locidade e
aceleração, sem nos preocupar com assuas causas, ao invés,
procuraremos construir fer-ramentas matemáticas adequadas a uma
descriçãoelegante e prática destas grandezas f́ısicas.
Em geral, um objeto qualquer move-se em umdeterminado espaço.
Portanto, precisaremos cons-truir uma forma efetiva de representar
posição, ve-locidade e aceleração deste objeto em cada
ins-tante de tempo neste espaço. Para efetuarmos estaconstrução,
denominada de sistemas de coordena-das, iremos precisar de
ferramentas matemáticas.Precisaremos de pontos para localizar
nossos obje-tos f́ısicos e de curvas para representar suas
tra-jetórias. Precisaremos também de vetores (porexemplo, os
vetores posição, velocidade, aceleraçãoe forças) bem com de
matrizes (por exemplo, mo-mento de inércia) para representar
diversas quanti-dades f́ısicas. Também iremos construir
ferramen-tas espećıficas, como derivadas e integrais, além
deprodutos escalares e vetorias, para modificarmosquantidades
f́ısicas.
2.1 O espaço Euclidiano
O que é o espaço? Pode parecer inacreditável,mas ainda não
dispomos de uma resposta concretaa esta pergunta e, talvez, nunca
venhamos tê-la.No entanto, veremos que, mesmo desprovidos deuma
definição, seremos capazes de usar o espaço deforma operacional.
Encontraremos outras duas si-tuações análogas envolvendo os
conceitos de tempoe massa. Esta capacidade de operar com
conceitosdesprovidos de uma definição única é, sem dúvidas,uma
das grandes conquistas humanas.
Por enquanto vamos admitir a “existência” de
um espaço caracterizado pelas seguintes qualida-des: (i) a soma
dos espaços das partes é igual aoespaço do todo contendo estas
partes; (ii) o espaçoé desprovido de matéria e, portanto,
desprovido dequalquer propriedade que possa influenciar no
mo-vimento dos corpos; (iii) o espaço é homogêneo, istoé,
qualquer posição ao longo de uma determinadadireção é sempre
igual às demais; (iv) o espaço éisotrópico, isto é, estando em
uma posição fixa, to-das as direções são idênticas; (v) o
espaço apre-senta três dimensões independentes (por
exemplo,largura, profundidade e altura) e é infinito. Comoveremos
a seguir, estas propriedades tornam ope-racional o conceito de
espaço.
Tendo estabelecido estas propriedades, podemosafirmar que
objetos podem ser localizados nesteespaço através de coordenadas,
medidas em relaçãoa alguma posição fixa, previamente escolhida,
aqual chamaremos de referencial. Note, portanto,que coordenadas
são medidas relativas de distância.Também é importante
mencionar que espaço etempo são conceitos distintos: relógios
sincroni-zados podem ser colocados simultaneamente emqualquer
posição neste espaço que estamos consi-derando. Desta forma,
trabalharemos com a noçãode tempo absoluto, ou seja, relógios
sincronizadossempre marcarão os mesmos intervalos de tempoem
qualquer posição do espaço. Discutiremos aspropriedades
operacionais da noção de tempo nasegunda parte contendo as leis
de Newton.
É importante ter em mente que o conceito deespaço que estamos
usando aqui, comumente de-nominado de espaço Euclidiano, uma
homenagemao matemático grego Euclides que viveu no Séc. IIIa.c.,
considerado o fundador da geometria plana, foiestabelecido somente
a partir do Séc. XIV. As prin-cipais propriedades dos objetos
geométricos da geo-
3
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2.1. O espaço Euclidiano Caṕıtulo 2. Cinemática
metria Euclidiana serão estudadas detalhadamenteno curso de
Geometria Anaĺıtica. No entanto, usa-remos aqui as noções de
ponto como sendo um ob-jeto adimensional, de curva como sendo um
objetounidimensional (tendo apenas comprimento, comoretas,
parábolas, circunferências, elipses, espirais,etc.) e de
superf́ıcie como sendo um objeto bidi-mensional (tendo apenas
área, como planos, cas-cas esféricas e ciĺındricas, etc.).
Também utiliza-remos a noção de vetor como sendo uma
flecha(segmento de reta) tendo comprimento, direção esentido.
Também assumiremos que o teorema dePitágoras 1 para triângulos
retângulos seja conhe-cido.
Muito bem, tendo estabelecido as principais pro-priedades do
espaço Euclidiano, o qual está pron-tinho para receber objetos,
devemos fixar umanotação para as coordenadas que irão localizar
umdeterminado objeto. A Figura 2.1 ilustra umasituação t́ıpica:
um ponto m, com coordenadasm(x, y, z), representado em um sistema
de coor-denadas com eixos X, Y e Z mutuamente perpen-diculares
(ortogonais), conhecido como sistema decoordenadas cartesiano,
introduzido por René Des-cartes no Século XVII. Os números reais
(x, y, z)são determinados graficamente da seguinte forma:primeiro
traçamos uma reta paralela ao eixo Z pas-sando por m até
interceptarmos o plano XY . Pas-sando por este ponto de
intersecção, traçamos retasparalelas aos eixos Y e X, as quais
interceptam oseixos X e Y em x e y, respectivamente. A coor-denada
z é obtida traçando uma reta paralela aoplano XY até
interceptarmos o eixo Z em z.
É posśıvel calcular a distância entre dois pontos,digamos
A(xa, ya, za) e B(xb, yb, zb), neste espaçoEuclidiano usando
somente suas coordenadas, sema necessidade de uma régua? Sim, é
perfeitamenteposśıvel. Uma posśıvel maneira é definir a
distânciaentre dois pontos como sendo o comprimento dosegmento de
reta que os une. Por exemplo, osegmento de reta que une a origem
O(0, 0, 0) eo ponto m(x, y, z) na Figura 2.1 tem um compri-
mento igual a√x2 + y2 + z2, como podemos obter
aplicando o teorema de Pitágoras duas vezes (façao Exerćıcio
2). Assim, a distância entre a origem
O e o ponto m é√x2 + y2 + z2. Este exemplo nos
ensina que em geral a distância d(A,B) entre dois
1A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadradoda
hipotenusa.
Z
YX
z
yx
k̂
̂ı̂
~r
~ρ
O
m
Figura 2.1: Um objeto m localizado no espaço Eu-clidiano XY Z
pelo vetor posição r⃗ com coordena-das (x, y, z). Os versores ı̂,
ȷ̂ e k̂ são ortogonais eestão normalizados a unidade.
pontos quaisquer A(xa, ya, za) e B(xb, yb, zb) podeser calculada
através de suas coordenadas por
d(A,B) =
=√
(xb − xa)2 + (yb − ya)2 + (zb − za)2. (2.1)
Como um vetor é formado por dois pontos noespaço (origem e
ponta), então podemos usar a ex-pressão da Eq. (2.1) para
calcularmos o compri-mento de vetores (faça os Exerćıcios
1–3).
2.1.1 ExerćıciosExerćıcio 1Use o teorema de Pitágoras para
determinar o com-primento do vetor ρ⃗ no plano XY na Figura 2.1
emtermos das coordenadas x e y.
Exerćıcio 2Use o resultado do exerćıcio anterior e novamenteo
teorema de Pitágoras para determinar o compri-mento do vetor r⃗ na
Figura 2.1.
Exerćıcio 3Mostre que o comprimento do vetor r⃗ calculado
noexerćıcio anterior também pode ser obtido pela ex-pressão dada
na Eq. (2.1) com o ponto A sendo a
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Caṕıtulo 2. Cinemática 2.2. Vetor posição
origem O e o ponto B sendo o ponto m (veja aFigura 2.1).
2.2 Vetor posição
Na Figura 2.1 estamos usando o vetor r⃗ para indi-car a
posição do objeto m. Um vetor com a ori-gem fixa na origem de um
sistema de coordenadase com a ponta na posição de um objeto (em
movi-mento ou não) é denominado de vetor posição. Emprinćıpio
não precisamos usar um vetor para loca-lizar um ponto no espaço.
No entanto, a noção develocidade requer a presença de um vetor
posição,isto é, requer a especificação de uma direção e deum
sentido, além do seu valor. Quando há movi-mento, é importante
especificar também a direçãoe o sentido deste movimento. Em
outras palavras,precisamos saber para onde estamos indo,
literal-mente. Como veremos, vetores constituem umalinguagem
matemática extremamente concisa, ele-gante e prática para
descrevermos posições, velo-cidades, acelerações e outras
quantidades f́ısicas,como forças, que necessitam de direção e
sentido,além de intensidade, para serem especificadas
com-pletamente.
Em geral, quando a origem de um vetor estiverna origem de um
sistema de coordenadas, escrevere-mos um vetor como uma matriz
linha, r⃗ = (x, y, z),formada pelas componentes x, y e z da ponta
dovetor. Note que as coordenadas (x, y, z) do vetorr⃗ são as
mesmas coordenadas do ponto m. Istoocorre toda vez que colocamos a
origem de qualquervetor na origem do sistema de coordenadas. As
co-ordenadas (x, y, z) do vetor r⃗ representam as suasprojeções
(ortogonais) sobre os três eixos ortogo-nais X, Y e Z,
respectivamente (veja a Figura 2.1).Também devemos lembrar que as
propriedades dehomogeneidade (o epaço é o mesmo ao longo deuma
dada direção) e isotropia (o espaço é o mesmoem todas as
direções) nos permitem fixar a origemdo sistema de coordenadas em
qualquer posição doespaço, ou, equivalentemente, nos podemos
sempretransladar nossos vetores sem girá-los. Observe queesta
translação deve ser feita de tal forma a mantero vetor na nova
posição, sempre paralelo ao vetororiginal. Esta translação sem
rotação é conhecidapor transporte paralelo.Essencialmente, o que
estamos fazendo é usando
vetores para representar posições. vejamos então
algumas propriedades importantes sobre vetores.Primeiro, vamos
denotar por r̂ um vetor de com-primento unitário, o qual
chamaremos de versor.Sendo r o comprimento do vetor r⃗, então r̂ =
r⃗/r.Observe na Figura 2.1 que o teorema de Pitágoraspara
triângulos retângulos nos permite escrever ρ⃗ =x̂ı+yȷ̂, bem como
r⃗ = ρ⃗+zk̂, ou seja r⃗ = x̂ı+yȷ̂+zk̂.Este resultado está nos
informando que podemosfazer combinações lineares de vetores, isto
é, multi-plicação de vetores por números2 e soma entre
veto-res. Seja α e β dois números reais e r⃗1 = (x1, y1, z1)e r⃗2
= (x2, y2, z2) dois vetores (posição). Então,somando componentes
multiplicadas por números,podemos formar um terceiro vetor,
r⃗3 = αr⃗1 + βr⃗2
= (αx1 + βx2, αy1 + βy2, αz1 + βz2). (2.2)
Note que combinação linear é uma operação entredois vetores
(operação binária), fornecendo um ter-ceiro vetor. Esta
propriedade, compartilhada portodos os vetores, é fundamental para
atribuirmosao conjunto dos vetores a condição de “espaço
ve-torial”, um dos tópicos centrais do curso de
ÁlgebraLinear.
Outra caracteŕıstica de um vetor, muito impor-tante para a
F́ısica, é o seu comportamento emrelação a rotações em torno
de um eixo fixo e àinversões espaciais. Quando um vetor é rodado
emtorno de um eixo fixo, o comprimento do vetor nãoé alterado.
Apenas a sua direção (e sentido) é al-terada. Inversão espacial
significa trocar simulta-neamente o sinal de todas as coordendas
(“virar aoavesso”). Portanto, uma inversão espacial mantéma
direção e muda apenas o sentido do vetor. Umcandidato a vetor
(que tem comprimento, direção esentido) que permanece invariante
a uma inversãoespacial é denominado de pseudo-vetor (exemplosde
pseudo-vetores serão apresentados na Sec. 2.4,após estudarmos o
produto vetorial). Por falar emvetor e pseudo-vetor, o vetor
resultante r⃗3 em (2.2)tem o mesmo comportamento que os vetores r⃗1
er⃗2 mediante rotações e inversões espaciais?
2Números também são conhecidos por escalares, ou
seja,quantidades que precisam apenas de sua magnitude paraserem
especificados completamentes.
5
-
2.3. Produto escalar Caṕıtulo 2. Cinemática
2.2.1 ExerćıciosExerćıcio 4Desenhe os vetores posição R⃗1 =
(1, 2, 1) e R⃗2 =(1, 1, 2) em um mesmo sistema cartesiano de
coor-denadas (ortonormal). Determine as coordenadas
da soma R⃗1+R⃗2 e da diferença R⃗1−R⃗2 e represente-os no mesmo
sistema de coordenadas anterior. Useo teorema de Pitágoras para
determinar o compri-mento de cada vetor. Repita este
procedimentopara outras combinações lineares.
2.3 Produto escalar
Há outras operações binárias que podemos realizarcom
vetores, além da combinação linear (2.2)? Éposśıvel inventar
uma operação entre dois vetoresque nos dê informações sobre
seus comprimentose o ângulo entre eles? Sim, é posśıvel.
Vejamoscomo.Também podemos realizar uma operação binária
envolvendo dois vetores cujo resultado é um númeroreal. Esta
operação binária entre os vetores r⃗1 e r⃗2,denotada por r⃗1 ·
r⃗2, será denominada de produtoescalar. O produto escalar é
definido requerendoque ele satisfaça quatro propriedades: que ele
sejasimétrico e linear,
r⃗1 · r⃗2 = r⃗2 · r⃗1 ∈ R, (2.3)r⃗3 · (αr⃗1 + βr⃗2) = α r⃗3 ·
r⃗1 + β r⃗3 · r⃗2, (2.4)
respectivamente, onde α e β são são números reais;que ele
seja positivo definido,
r⃗ · r⃗
{= 0 se r⃗ = 0⃗
> 0 se r⃗ ̸= 0⃗; (2.5)
e que o comprimento r de um vetor r⃗ qualquerpossa ser calculado
por
r = ||r⃗|| =√r⃗ · r⃗. (2.6)
A propriedade (2.3) nos diz que o produto escalaré uma
operação binária simétrica (ou comutativa).A propriedade (2.4)
significa que o produto escalaré linear, pois obedece a
propriedade distributiva.Note que os número α e β no lado direito
de (2.4)podem ser retirados de dentro dos produtos escala-res. A
propriedade (2.5) nos garante que o produtoescalar é bem
comportado (não-degenerado), poisela evita que o produto escalar
de um vetor com ele
mesmo seja nulo sem que o vetor seja nulo. A pro-priedade (2.6)
nos diz que o comprimento, tambémconhecido por módulo ou norma,
pode ser calcu-lado pelo produto escalar. Podemos notar entãoque a
propriedade (2.5) está em sintonia com adefinição (2.6) de
comprimento como sendo umaquantidade real positiva ou nula. Nula
quando, esomente quando, o vetor for nulo.
Uma questão importante é: como realizar estaoperação
binária, denominada de produto escalar,em termos de coordenadas?
ou seja, como tornar oproduto escalar operacional? Graças à
propriedadedistributiva (2.4), basta conhecermos todos os pro-
dutos escalares posśıveis entres os versores ı̂, ȷ̂ e
k̂,colocados ao longo dos três eixos independentes doespaço
Euclidiano (veja a Figura 2.1). Desta forma,teremos, em prinćıpio,
nove produtos escalares a se-rem determinados, pois cada vetor pode
ser escritocomo uma combinação linear dos versores ı̂, ȷ̂ e k̂do
sistema de coordenadas escolhido. No entanto,a propriedade de
simetria, presente na definição doproduto escalar em (2.3), reduz
para seis o númerode produtos escalares que devemos conhecer.
Umaforma eficiente de guardarmos estes produtos esca-lares é
utilizando um arranjo matricial, isto é, numamatriz 3× 3,
g =
ı̂ · ı̂ ı̂ · ȷ̂ ı̂ · k̂ȷ̂ · ı̂ ȷ̂ · ȷ̂ ȷ̂ · k̂k̂ · ı̂ k̂ · ȷ̂ k̂
· k̂
. (2.7)Utilizando a matriz (2.7), contendo todos os pro-
dutos escalares entre os versores de base, deno-minada de
métrica, podemos mostrar que o pro-duto escalar entre dois vetores
quaisquer é calcu-lado em termos de suas componentes da
seguinteforma (faça o Exerćıcio 5),
r⃗1 · r⃗2 = r⃗1 g r⃗T2 , (2.8)
na qual r⃗T2 é uma matriz coluna, obtida da matrizlinha
representando o vetor r⃗2 pela transposição desuas linhas por
colunas. As operações matriciaisem (2.8) são totalmente
equivalentes ao uso da pro-priedade de linearidade (2.4) com os
vetores escri-tos explicitamente em termos de seus versores (te-nho
certeza que você irá verificar isto). Esta pareceuma estória sem
fim. Afinal de contas, como po-deremos calcular os produtos
escalares que apare-cem na métrica (2.7)? Não podemos! Estes
produ-tos escalares devem ser fornecidos. Decepcionado?
6
-
Caṕıtulo 2. Cinemática 2.3. Produto escalar
Para entendermos melhor esta situação, devemosnos perguntar:
qual é o significado geométrico doproduto escalar?
ı̂
̂ ı̂ + ̂
B̂
Ĉ
~B
~C
~A
θ
(a) (b)
Figura 2.2: O produto escalar está associado coma projeção
geométrica de um vetor sobre o outro.Veja os teoremas 1 e 2.
Para entendermos melhor o significadogeométrico do produto
escalar, devemos cal-cular primeiro o produto escalar entre dois
vetoresperpendiculares (ortogonais). Vamos usar os verso-res ı̂ e
ȷ̂ como dois representantes t́ıpicos de vetoresortogonais. Como
indicado na Figura 2.2 (a), ocomprimento da soma vetorial ı̂ + ȷ̂
é a hipotenusado triângulo retângulo formado pelos versoresı̂ e
ȷ̂. Como os versores possuem comprimentounitário, por definição,
então a hipotenusa podeser calculada usando o teorema de
Pitágoras,
||̂ı + ȷ̂||2 = ||̂ı||2 + ||̂ȷ||2. (2.9)
Sim, você tem razão. Naturalmente, o valor dahipotenusa
também pode ser calculado usando so-mente a ferramenta (2.6) para
calcular o compri-mento de um vetor,
||̂ı+ ȷ̂||2 = (̂ı+ȷ̂) · (̂ı+ ȷ̂) = ||̂ı||2+ ||̂ȷ||2+2̂ı · ȷ̂,
(2.10)
onde usamos também a propriedade distributiva doproduto
escalar. Comparando estes dois resulta-dos, (2.9) e (2.10), podemos
concluir que ı̂ · ȷ̂ = 0.Isto significa que o produto escalar entre
dois ve-tores ortogonais é nulo. Caso os vetores não se-jam
unitários, seguindo o mesmo racioćınio ante-rior, este resultado
continua valendo. Portanto eleé um teorema:
Teorema 1Sejam A⃗ e B⃗ dois vetores perpendiculares. Então,
A⃗ · B⃗ = 0 ⇔ A⃗ ⊥ B⃗. (2.11)
Portanto, já sabemos o significado e o valor decada elemento na
diagonal da métrica (2.7) asso-ciada ao sistema de coordenadas
cartesiano da Fi-gura 2.1, pois nossos versores ı̂, ȷ̂ e k̂ possuem
com-primentos iguais a um (são unitários). E quandoos vetores
não são perpendiculares? qual é o signi-ficado do produto
escalar? Considere dois vetoresarbitrários A⃗ e B⃗, formando um
ângulo θ entre eles.Dois vetores sempre estão em um plano, como
mos-trado na Figura 2.2 (b). Escolha neste plano um ve-
tor C⃗ perpendicular a B⃗. Naturalmente, os versoresB̂ e Ĉ
formam uma base ortonormal para o vetor A⃗,isto é, podemos
escrever A⃗ = A cos θ B̂ +A sin θ Ĉ.Efetue agora o produto escalar
A⃗ · B̂ e use o Teo-rema 1. Resulta que A cos θ = A⃗ · B̂. Isto é
exata-mente a projeção do vetor A⃗ sobre o vetor B⃗ (ou
na direção do vetor B⃗). Note na Figura 2.1 que
r⃗ · ı̂ = x, r⃗ · ȷ̂ = y e r⃗ · k̂ = z. Naturalmente, os pa-peis
de A⃗ e B⃗ podem ser perfeitamente invertidos.Assim, temos um
segundo teorema:
Teorema 2Sejam A⃗ e B⃗ dois vetores formando um ângulo θ
entreeles. Então,
A⃗ · B⃗ = AB cos θ. (2.12)
Note que este teorema nos permite calcular o pro-duto escalar
entre dois vetores sem a necessidadede escrevê-los em um
determinado sistema de coor-denadas, basta conhecermos seus
comprimentos eo ângulo entre eles. Em geral, escreveremos
nossosvetores em algum sistema de coordenadas (ortonor-mal, de
preferência) e usaremos (2.12) para calcularo ângulo entre
eles.Resumindo: além do comprimento, o produto es-
calar nos dá também uma informação sobre a ori-entação
relativa entre vetores. Também é impor-tante notar que a
expressão (2.12) nos fornece umaforma operacional para calcularmos
o produto es-calar entre vetores quando seus comprimentos e
oângulo entre eles são conhecidos previamente.Voltemos ao nosso
problema original: o sistema
cartesiano da Figura 2.1. Nele, escolhemos os trêsversores ı̂,
ȷ̂ e k̂ mutuamente ortogonais (perpen-diculares), isto é, os
ângulos entre estes versores éde 90 graus. Portanto, usando o
Teorema 2, nossamétrica (2.7) pode ser escrita explicitamente,
g =
ı̂ · ı̂ ı̂ · ȷ̂ ı̂ · k̂ȷ̂ · ı̂ ȷ̂ · ȷ̂ ȷ̂ · k̂k̂ · ı̂ k̂ · ȷ̂ k̂
· k̂
=1 0 00 1 00 0 1
, (2.13)7
-
2.4. Produto vetorial Caṕıtulo 2. Cinemática
ou seja, ela é a matriz identidade. Isto simplificamuito nossa
vida e explica a importância prática deusarmos sistemas
ortonormais (versores ortogonaise unitários) de coordenadas.
Assim, podemos escre-ver o produto escalar entre dois vetores
arbitráriosA⃗ = (Ax, Ay, Az) e B⃗ = (Bx, By, Bz), usando
aprescrição (2.8), em um sistema de coordenadas or-tonormal
cartesiano como (verifique)
A⃗ · B⃗ = A⃗gB⃗T = AxBx +AyBy +AzBz. (2.14)
Use (2.14) para calcular o comprimento do vetorposição r⃗ da
Figura 2.1 e veja que é o mesmo va-lor obtido diretamente das
projeções indicadas namesma figura.Também é importante ter em
mente que a ex-
pressão (2.14) é válida somente em um sistema or-tonormal de
coordenadas. Caso a base não sejaortonormal, devemos usar a
métrica (2.7) em todasas operações envolvendo o produto escalar,
comoem (2.8). Também devemos ter em mente que amétrica vem junto
com a base, ela é um conjunto de“especificações técnicas” sobre
a base, uma espéciede “manual de instruções”. Se alguém lhe
venderuma base sem a métrica, entre em contato com oProcon mais
próximo.
2.3.1 ExerćıciosExerćıcio 5Usando a propriedade distributiva
(2.4) escrevaexplicitamente o produto escalar entre os vetoresr⃗1 =
(x1, y1, z1) e r⃗2 = (x2, y2, z2). Verifique queeste resultado é
idêntico às operações matriciais dolado direito da Eq.
(2.8).
Exerćıcio 6Efetue o produto escalar entre os vetores
posição
R⃗1 = (1, 2, 1) e R⃗2 = (1, 1, 2). Calcule também ocomprimento
de cada um deles bem como o ânguloentre eles. Repita este
procedimento para os veto-res resultantes da soma e da diferença
entre R⃗1 eR⃗2. Considere um sistema ortonormal de
coorde-nadas.
Exerćıcio 7Escreva uma rotina em computação algébrica
paracalcular o comprimento de um vetor a partir de suascomponentes
em uma base ortonormal. Use umaestrutura do tipo lista (list) para
estocar as coor-denadas de um vetor. Escreva também uma rotina
para calcular o ângulo em radianos e em graus entredois vetores
a partir de suas coordenadas. Verifi-que o funcionamento de suas
rotinas comparandoos resultados delas com os resultados do
exerćıcioanterior.
Exerćıcio 8Refaça as duas rotinas do exerćıcio anterior
as-sumindo que a base seja arbitrária, definida pelamétrica
(2.7). Use uma estrutura do tipo matriz(Matrix ) para estocar a
métrica.
Exerćıcio 9Suponha que uma determinada base tenha a se-guinte
métrica:
g =
1 0.5 00.5 1 00 0 1
. (2.15)Determine os ângulos entre os versores desta basee
desenhe-a. Suponha que R⃗1 = (1, 2, 1) e R⃗2 =(1, 1, 2) sejam dois
vetores escritos nesta base. De-termine seus comprimentos e o
produto escalar en-tre eles. Desenhe-os nesta base.
2.4 Produto vetorial
Há uma outra operação binária com vetores queé muito
importante. Trata-se do produto vetorial.Neste tipo de operação,
defini-se um novo produtoentre os vetores A⃗ e B⃗, denotado por A⃗
× B⃗ (ouA⃗ ∧ B⃗), denominado de produto vetorial de A⃗ porB⃗, do
qual resulta um novo vetor. Lembre-se que oproduto escalar produz
um número (escalar) real.O produto vetorial é definido pelas
seguintes pro-priedades:
A⃗× B⃗ = −B⃗ × A⃗, (2.16)
C⃗ × (αA⃗+ βB⃗) = α(C⃗ × A⃗) + β(C⃗ × B⃗), (2.17)
A⃗× B⃗ = C⃗ ⇔ C⃗ · A⃗ = C⃗ · B⃗ = 0, (2.18)
(A⃗, B⃗, A⃗× B⃗) : destrogiro. (2.19)
A propriedade (2.16) significa que o produto ve-torial, ao
contrário do produto escalar, é anti-simétrico (troca de sinal).
A propriedade (2.17)significa que o produto vetorial, assim como o
pro-duto escalar, é linear. Note que os escalares α eβ no lado
direito de (2.17) podem ser retirados de
8
-
Caṕıtulo 2. Cinemática 2.4. Produto vetorial
dentro do produto vetorial. A propriedade (2.18)
significa que o vetor resultante A⃗ × B⃗ é, simulta-neamente,
perpendicular aos vetores A⃗ por B⃗. Apropriedade (2.19) significa
que o sentido do vetor
resultante C⃗ = A⃗×B⃗ é indicado pelo nosso polegardireito
quando movimentamos os demais dedos damão direita no sentido de A⃗
para B⃗ (regra da mãodireita; veja a Figura 2.3).
~A
~B
~C
θ
Figura 2.3: O produto vetorial está associado coma área do
paralelogramo formado pelos vetores A⃗ eB⃗. O sentido do vetor
resultante C⃗ = A⃗×B⃗ é dadopela regra da mão direita.
Como podemos calcular as componentes do vetorresultante C⃗ =
A⃗×B⃗ a partir das componentes dosvetores A⃗ = (Ax, Ay, Az) e B⃗ =
(Bx, By, Bz)? Istopode ser feito em duas etapas. Primeiro
observeque a propriedade (2.18) nos fornece as seguintesrelações
(verifique):
CxAx + CyAy + CzAz = 0, (2.20)
CxBx + CyBy + CzBz = 0. (2.21)
Note que estamos pressupondo que estes vetores es-tejam
decompostos numa base ortonormal. Casoa base não seja ortonormal,
devemos efetuar osprodutos escalares usando a métrica
apropriada.Das relações (2.20) e (2.21) podemos escrever,
porexemplo, as componentes Cx e Cy em função de
Cz(verifique),
Cx =AyBz −AzByAxBy −AyBx
Cz, (2.22)
Cy =AzBx −AxBzAxBy −AyBx
Cz. (2.23)
Naturalmente, podemos re-escrevê-las na forma(verifique)
CxAyBz −AzBy
=Cy
AzBx −AxBz
=Cz
AxBy −AyBx= β. (2.24)
Estas razões devem ser válidas para quaisquer ve-tores A⃗ e
B⃗. Desta forma, temos as componentesdo vetor C⃗, resultante do
produto vetorial A⃗ × B⃗,em termos das componentes dos vetores A⃗ e
B⃗ e daconstante arbitrária β. Mas como esta constante βé
arbitrária, então podemos escolher um valor paraela: β = 1. Não
se assuste, como veremos adiante,há várias razões práticas para
tal escolha. Comβ = 1 em (2.24), temos:
Teorema 3As componentes do vetor C⃗ = A⃗× B⃗ são
Cx = AyBz −AzBy,Cy = AzBx −AxBz,Cz = AxBy −AyBx.
(2.25)
Como veremos através de vários exemplos, esco-lher β como
sendo um número positivo está con-dizente com a propriedade
(2.19) (regra da mãodireita). Caso tivéssemos escolhido um
númeronegativo para β, teŕıamos que usar uma regrada mão
esquerda. Note que a disposição dosı́ndices x, y e z nas
expressões dadas no Teo-rema 3 segue uma ordem ćıclica, com
valores positi-vos no sentido horário, {(x, y, z), (z, x, y), (y,
z, x)},e com valores negativos no sentido anti-horário,{(x, z, y),
(y, x, z), (z, y, x)}. Veja a Figura (2.4)com (i, j, k) trocados
por (x, y, z).Tendo as componentes (2.25), podemos calcu-
lar o módulo do vetor C⃗ usando o produto esca-lar (2.6). Após
um pouco de paciência (Faça oExerćıcio 10; use computação
algébrica para che-car os resultados), encontraremos
C2 = A2B2 − (A⃗ · B⃗)2, (2.26)
a qual pode ser perfeitamente re-escrita, usando apropriedade
(2.12), em termos do ângulo θ entre A⃗
e B⃗,
C2 = A2B2 −A2B2 cos2 θ = (AB)2 sin2 θ. (2.27)
Portanto, temos:
9
-
2.4. Produto vetorial Caṕıtulo 2. Cinemática
Teorema 4O módulo do vetor C⃗ = A⃗ × B⃗ pode ser
convenien-temente calculado por
C = AB |sin θ|. (2.28)
Assim, este Teorema 4 nos permite calcular o com-primento do
vetor resultante de um produto veto-rial a partir dos comprimentos
dos vetores iniciais edo ângulo entre eles, sem a necessidade de
escrevê-los em um sistema de coordenadas. Esta situaçãoé
análoga àquela relacionada com o Teorema 2.
Vimos anteriormente que um produto escalarestá associado com a
projeção de um vetor sobreo outro. E o produto vetorial? ele tem
algumainterpretação geométrica relevante? Sim, ele tem.Note que
a expressão (2.28) é numericamente igual
à área do paralelogramo formado pelos vetores A⃗e B⃗ (veja a
Figura 2.3 para se convencer disto efaça o Exerćıcio 13). Esta
propriedade será usadapara derivarmos uma das leis de Kepler para
o mo-vimento planetário.
Vejamos outras conseqüências do Teorema 4. Apropriedade (2.28)
significa que o produto vetorialentre dois vetores paralelos (ou
anti-paralelos) re-sulta em um vetor nulo, pois neste caso o
ânguloentre eles é 0 graus (ou 180 graus). Esta proprie-dade,
juntamente com a regra da mão direita nospermite calcular todos os
produtos vetoriais entreos versores ı̂, ȷ̂ e k̂ de uma base
ortonormal:
î = ȷ̂× k̂, ȷ̂ = k̂ × ı̂, k̂ = ı̂× ȷ̂. (2.29)
Notas: (1) observando os produtos vetoriais (2.29),percebemos
que a regra da mão direita é equiva-lente a efetuarmos
permutações circulares nos ver-sores ı̂, ȷ̂ e k̂, tomando o
sentido horário como po-sitivo, como indicado na Figura (2.4); (2)
podemosver em (2.29) que a escolha β = 1 em (2.24) garante
que o versor resultante î = ȷ̂ × k̂ seja unitário; (3)usando
(2.29) e a propriedade de linearidade (2.17),podemos calcular o
produto vetorial entre dois ve-tores arbitrários escritos
explicitamente em termosde uma base ortonormal (faça o Exerćıcio
14).
ı̂
̂k̂
++
Figura 2.4: O sentido do produto vetorial é dadopela regra da
mão direita. Esta regra é equivalenteà execução de
permutações circulares dos versoresı̂, ȷ̂ e k̂: ı̂× ȷ̂ = k̂, ȷ̂×
k̂ = ı̂ e k̂ × ı̂ = ȷ̂.
Há muitas outras propriedades importantes en-volvendo
simultaneamente produtos escalares eprodutos vetoriais (numa base
ortonormal) as quaisserão estudadas no curso de Geometria
Anaĺıtica.Entretanto, iremos precisar em breve de umaoperação
envolvendo três vetores. Nesta novaoperação iremos usar um
produto vetorial e umproduto escalar. Por isto ela será denominada
deproduto misto. A sua definição é: dado três vetoresA⃗, B⃗ e
C⃗ quaisquer, o produto misto é um númerodefinido por C⃗ · (A⃗×
B⃗) (veja a Figura 2.5). Noteque temos de executar primeiro o
produto vetorialA⃗ × B⃗, o qual resultará em um vetor, para
depoiscalcularmos o produto escalar com C⃗. Que acon-tece se as
posições dos três vetores no produto mistoC⃗ ·(A⃗×B⃗) forem
modificadas simultaneamente, porexemplo para B⃗ · (C⃗× A⃗)? Nada! O
produto mistoé invariante por permutações circulares das
letrasA, B e C,
A⃗ · (B⃗ × C⃗) = C⃗ · (A⃗× B⃗) = B⃗ · (C⃗ × A⃗). (2.30)
Portanto, do ponto de vista operacional, o produtomisto está
muito bem compreendido. E o signifi-cado geométrico do produto
misto? Muito bem,você está aprendendo rápido as regras do
nossojogo. O produto misto é numericamente igual aovolume do
paraleleṕıpedo formado pelos três veto-res A⃗, B⃗ e C⃗ conforme
ilustrado pela Figura 2.5(estude a Figura 2.5 e faça o Exerćıcio
16).
Algumas observações importantes sobre produ-tos escalares e
vetoriais a serem lembradas sempre:(1) o produto escalar é um
número real e, geometri-camente, está associado à projeção de
um vetor so-bre o outro; (2) o produto vetorial fornece um novo
10
-
Caṕıtulo 2. Cinemática 2.4. Produto vetorial
vetor (na verdade, um pseudo-vetor) cuja norma(módulo) é
numericamente igual à área do parale-logramo subentendido pelos
dois vetores que foramusados no produto vetorial.Mencionamos na
Seção 2.2 que um pseudo-vetor
não inverte o seu sentido perante uma inversão es-pacial.
Desta forma, pseudo-vetores podem ser pro-duzidos através de
produtos vetoriais, pois inver-tendo os sentidos de A⃗ e B⃗,
simultaneamente, oproduto vetorial A⃗ × B⃗ não altera o seu
sentido,isto é, C⃗ = A⃗ × B⃗ é um pseudo-vetor. Em F́ısica,temos
vários pseudo-vetores importantes. Iremostrabalhar com dois deles
em Mecânica: momentumangular L⃗ = r⃗ × p⃗ e torque τ⃗ = r⃗ × F⃗ ,
onde r⃗ é ovetor posição, p⃗ é o momentum linear (p⃗ = mv⃗)
e
F⃗ é a força resultante atuando no centro de massade um objeto
de massa m. Nas nossas aplicaçõesiremos usar a força de Lorentz,
F⃗L = (q/c)v⃗ × B⃗,produzida por um campo magnético B⃗ sobre
umacarga q em movimento com uma velocidade v⃗, comoexemplo de outro
pseudo-vetor importante.
2.4.1 ExerćıciosExerćıcio 10Use as componentes dadas em (2.25)
para verificar(ou provar, demonstrar) que a expressão em
(2.26)está correta.
Exerćıcio 11Efetue o produto vetorial entre os vetores
posição
R⃗1 = (1, 2, 1) e R⃗2 = (1, 1, 2). Calcule tambémo comprimento
do vetor resultante deste produtovetorial usando (2.6) e (2.28).
Calcule explicita-mente o produto escalar deste vetor resultante
comos vetores posição R⃗1 e R⃗2. Considere um sistemaortonormal
de coordenadas.
Exerćıcio 12Escreva uma rotina em computação algébrica
paracalcular as componentes do vetor resultante de umproduto
vetorial em termos das componentes dosvetores originais. Considere
uma base ortonor-mal. Verifique o funcionamento de suas
rotinascomparando-as com os resultados do exerćıcio an-terior.
Exerćıcio 13Calcule a área do paralelogramo formado pelos
ve-
tores A⃗ e B⃗ mostrados na Figura 2.3 em termos doscomprimentos
A e B e do ângulo θ entre A⃗ e B⃗.
Exerćıcio 14Efetue o produto vetorial entre A⃗ = Ax ı̂+Ay ȷ̂+Az
k̂
e B⃗ = Bx ı̂+By ȷ̂+Bz k̂ explicitamente, usando ape-nas a
propriedade distributiva (2.17) e os produtosvetoriais (2.29).
Mostre que este procedimento nospossibilita re-obter as expressões
(2.25).
Exerćıcio 15Verifique que as componentes (2.25) também po-dem
ser calculadas através do determinante
A⃗× B⃗ =
∣∣∣∣∣ ı̂ ȷ̂ k̂Ax Ay AzBx By Bz
∣∣∣∣∣. (2.31)Refaça o Exerćıcio 11 usando este método para
cal-cular o produto vetorial.
Exerćıcio 16Calcule o volume do paraleleṕıpedo formado
pelosvetores A, B e C da Figura 2.5 e mostre que estevolume é
numericamente igual ao produto mistoC⃗ · (A⃗ × B⃗). Portanto, o
produto misto está re-lacionado com volume. Calcule o produto
mistoentre os vetores posição A⃗ = (1, 2, 1), B⃗ = (1, 1, 2)
e C⃗ = (1, 1,−1) mostrados na Figura 2.5.
~A
~B
~C
~A× ~B
α
β
Figura 2.5: O produto misto C⃗ ·(A⃗×B⃗) é numerica-mente igual
ao volume do paraleleṕıpedo tracejadoformado pelos vetores A, B e
C.
11
-
2.5. Trajetórias Caṕıtulo 2. Cinemática
2.5 Trajetórias
Tendo estabelecido propriedades importantes sobreo espaço
Euclidiano, temos que precisar a noçãode trajetória de um objeto
em movimento nesteespaço. Qual é a noção cotidiana de
trajetóriaque temos? Eu a vejo como um seqüência defotografias
de um objeto em movimento, tiradasem intervalos de tempo muito
pequenos, com asposições do objeto ligadas por retas. Se os
interva-los de tempo são muito pequenos, a trajetória teráa
aparência de uma curva suave em três dimensões.Isto é tudo que
precisamos para estabelecer uma es-trutura matemática geral para
qualquer trajetória.Portanto, nosso problema agora é como
represen-tar uma curva no espaço Euclidiano de forma efici-ente,
i.e., tendo um sistema de coordenadas Carte-siano (de preferência
ortonormal), temos de encon-trar uma forma adequada (para a
Mecânica) pararepresentarmos analiticamente uma curva em ter-mos
de coordenadas.Vamos iniciar pelo começo: com uma reta. E
bem no começo: com uma reta no plano XY . Es-tamos bem
familiarizados com uma reta no plano?Sim, uma reta no planoXY é
descrita pela equação
y = a+ bx, (2.32)
na qual b é conhecido como o coeficiente angularda reta. Ele é
calculado conhecendo-se dois pontosquaisquer (x0, y0) e (x1, y1) da
reta,
b =y1 − y0x1 − x0
. (2.33)
Naturalmente, temos nenhuma dificuldade em re-presentar
graficamente uma reta no plano desdeque as constantes a e b da
equação (2.32) sejamdadas. Para cada valor de x, há um único
valor dey. Desta forma, vários pontos (x, y) pertencentesà reta
(2.32) podem ser encontrados rapidamente.Por ser uma relação
direta entre as coordenadas xe y, a Eq. (2.32) é conhecida por
forma direta daequação da reta em duas dimensões (mais
detalhesserão vistos no curso de Geometria Anaĺıtica).Apesar de
não haver dificuldades em calcular os
pontos da reta (2.32), podemos interpretar esteprocesso
computacional de forma ligeiramente di-ferente, a qual será muito
útil quando tivermos delidar com curvas tridimensionais. Esta nova
ma-neira de ver uma reta consiste simplesmente em
introduzir um parâmetro real, o qual denotaremospor t, da
seguinte forma. Primeiro, faça x = t.Então, de (2.32) devemos ter
y = a + bt. Destaforma, para cada valor do parâmetro t no
intervaloreal [t0, t1], teremos um ponto (x(t), y(t)) entre
ospontos (x0, y0) e (x1, y1) do plano XY . Assim, areta (2.32) pode
ser re-escrita como
x(t) = t, y(t) = a+ bt, t ∈ [t0, t1]. (2.34)
Esta é a forma paramétrica de uma reta no planoXY . Por
exemplo, a reta y = 2x entre os pontos(0, 0) e (2, 4) pode ser
representada na forma pa-ramétrica por x = t e y = 2t, na qual t ∈
[0, 2].Sim, de fato esta representação paramétrica pa-rece ser
desnecessária, pelo menos para uma reta.Entretanto, esta forma
paramétrica é natural emMecânica, pois em geral a posição de
um objetoem movimento será uma função do tempo. Vejauma outra
situação, ainda no plano, na qual a re-presentação paramétrica
é inerentemente de grandevalia.
x0
y0
x
yR
θ
Figura 2.6: Uma circunferência de raio R centradaem (x0,
y0).
Vamos considerar agora uma curva fechada noplanoXY . Algum
palpite para uma curva fechada?Isto mesmo, uma circunferência como
aquela mos-trada na Figura 2.6. Conta-se que Giotto, conside-rado o
mais importante pintor da pré-renascença,ao ser indagado sobre o
que é simetria, desenhouuma circunferência perfeita (a
mão-livre, natural-mente). A equação de uma circunferência de
raioR, centrada no ponto (x0, y0), é bem conhecida,
(x− x0)2 + (y − y0)2 = R2, (2.35)
onde (x, y) são as coordenadas de um ponto sobrea
circunferência. Como proceder agora para repre-
12
-
Caṕıtulo 2. Cinemática 2.5. Trajetórias
sentar esta circunferência graficamente? Uma difi-culdade em
fazer este desenho surge por não dis-pormos no momento de uma
prescrição única decomo escrever os valores de x e y que irão
satisfa-zer (2.35). Tentar isolar y em função de x,
y = y0 ±√R2 − (x− x0)2, (2.36)
não ajuda muito, pois não é qualquer valor de x quetorna a
raiz quadrada real em (2.36). A solução érepresentar a
circunferência (2.35) numa forma pa-ramétrica. Isto é feito como
indicado na Figura 2.6com θ = ωt e t ∈ [0, 2π/ω],
x− x0 = R cos(ωt), y − y0 = R sin(ωt). (2.37)
Assim, para cada valor do parâmetro t no in-tervalo [0, 2π/ω]
teremos uma circunferência com-pleta. Esta é a forma mais
eficiente de desenharuma circunferência. Faça um exemplo.
Sumariando: uma trajetória é representada ma-tematicamente por
uma curva γ no espaço Eucli-diano (mais tópicos de Geometria
Anaĺıtica). Emgeral, a representação paramétrica
γ : t→(x(t), y(t), z(t)
), t ∈ [t0, t1], (2.38)
é a forma mais eficiente de lidarmos com tais curvas(veja a
Figura 2.7). Além disto, a representação pa-ramétrica é
natural em Mecânica com o parâmetrot desempenhando o papel do
tempo e com as co-ordenadas
(x(t), y(t), z(t)
)de um ponto na curva
identificadas com as coordenadas do vetor posiçãor⃗(t) =
(x(t), y(t), z(t)
)do objeto no instante t.
Note que cada coordenada é também uma funçãodo tempo quando
a posição é escrita em termos decoordenadas. Assim, o tempo
(mecânico) desem-penha naturalmente o papel de um parâmetro
naforma paramétrica de uma curva.
t1
t0
~r0
~r1
Figura 2.7: Uma trajetória entre os instantes t0 et1
representada como uma curva suave no espaçoEuclidiano.
Uma questão importante: como determinara equação de uma reta
tangente em um dado pontoda curva γ? Outra questão importante:
comodeterminar o comprimento da trajetória entre osinstantes t0 e
t1 na Figura 2.7?
Veja como estes problemas são resolvidos naseção seguinte. As
soluções destes dois problemasnos fornece uma forma eficiente
para calcularmos avelocidade (bem como sua aceleração)
instantâneae o espaço percorrido por um objeto conhecendo-se a
forma paramétrica de sua trajetória. Assoluções destes
problemas marcou o ińıcio (New-ton, novamente) do Cálculo
Diferencial e Integralno Século XVII.
2.5.1 Exerćıcios
Exerćıcio 17Use computação algébrica para desenhar as
seguin-tes trajetórias: (1) circular (part́ıcula carregadaem um
campo magnético uniforme perpendicularao vetor velocidade), x =
cos(2πt), y = sin(2πt),z = 0; (2) eĺıptica (um planeta e um
satélite),x = 2 cos(2πt), y = 3 sin(2πt), z = 0; (3)
helicoidal(part́ıcula carregada em um campo magnético uni-forme),
x = cos(2πt), y = sin(2πt), z = t; (4) pa-rabólico (massa na
presença da gravidade), x = t,y = t, z = 20t − 5t2. Em cada caso,
indique nomesmo gráfico o vetor posição em três
instantesdistintos: no ińıcio, no final e em algum
instanteintermediário.
13
-
2.6. Velocidade e aceleração Caṕıtulo 2. Cinemática
2.6 Velocidade e aceleração
O que são velocidade e aceleração? É a velocidadea taxa de
variação do espaço percorrido no devidointervalo de tempo? ou é
ela a taxa de variaçãotemporal do vetor posição? No primeiro
caso elaé um escalar enquanto que no segundo caso ela éum vetor.
Em ambos os casos a velocidade temdimensão de comprimento por
tempo. Veremosque estas duas definições estão corretas e
intima-mente relacionadas entre si. No entanto, por sermais
completa, vamos iniciar nossa discussão coma definição vetorial
para a velocidade v⃗ de um ob-jeto entre os instantes t0 e t1, como
mostrado naFigura 2.7,
v⃗ =r⃗1 − r⃗0t1 − t0
=
(x1 − x0t1 − t0
,y1 − y0t1 − t0
,z1 − z0t1 − t0
).
(2.39)
Agora observe a Figura 2.7 e compare o compri-mento do vetor
diferença ∆r⃗ = r⃗1 − r⃗0 com o com-primento real da trajetória
percorrida entre os ins-tantes t0 e t1, o qual podemos chamar de
∆S. Estescomprimento são iguais em geral? Qual é a
únicasituação em que eles são exatamente os mesmos?Sim, numa
trajetória retiĺınea. Estas observaçõesnos revela que ∆S >
||∆r⃗||, tornando assim a de-finição escalar incompat́ıvel com a
definição vetorialpara a velocidade.Como podemos proceder para
compatibilizar as
duas definições de velocidade? A resposta está nasmesmas
observações anteriores. A única maneira decompatibilização é
fazermos com que a definição ve-torial forneça como seu módulo
a definição escalar.Isto ocorrerá somente quando fixarmos o
instantet0 e permitirmos que o instante t1 se aproxime
inde-finidamente de t0. Quando ∆r⃗ = r⃗1 − r⃗0 for muitopequeno,
devido ao vetor posição r⃗1 estar muitopróximo do vetor
posição inicial r⃗0, certamente ocomprimento de ∆r⃗ será
confundido com o com-primento da trajetória. Portanto, a
velocidade noinstante t0 deve ser definida através de um
processolimite (um tópico do curso de Cálculo),
v⃗(t0) = limt1→t0
r⃗1 − r⃗0t1 − t0
= lim∆t→0
∆r⃗
∆t
∣∣∣∣t=t0
= lim∆t→0
r⃗(t+∆t)− r⃗(t)∆t
∣∣∣∣t=t0
,
(2.40)
na qual estamos escrevendo também t0 = t et1 = t0 + ∆t. Qual é
o significado geométrico daexpressão (2.40)? Como podemos
torná-la operaci-onal?, isto é, dada a dependência temporal das
co-ordenadas do vetor posição descrevendo a trajetóriade um
determinado movimento, como podemos de-terminar as respectivas
componentes do vetor velo-cidade em qualquer instante de tempo?
Ainda rela-cionada com a questão operacional: o limite
(2.40)realmente existe? Esta pergunta é pertinente pois,se ∆t
tende a zero a trajetória também tende a zero(repouso). Assim,
quem vai a zero primeiro, o nu-merador ∆r⃗ ou o denominador ∆t?
Numerador edenominador ambos indo a zero resultará em umarazão
mensurável?
Não devemos esquecer que há três limites a seremcalculados em
(2.40), pois a velocidade é um vetor.Entretanto, basta usarmos uma
componente, diga-mos a componente X, para exemplificarmos
comoaqueles limites devem ser calculados. Também nãoprecisamos
substituir t = t0 imediatamente após olimite ter sido calculado.
Assim, temos que enten-der o limite
d
dtx(t) = ẋ(t) = lim
∆t→0
x(t+∆t)− x(t)∆t
(2.41)
do ponto de vista geométrico e torná-lo operaci-onal. Note que
estamos usando uma notação es-pecial para representar este
limite, denominada dederivada de x(t) em relação a t. Importante:
ośımbolo d/dt deve ser entendido como um śımboloúnico, contendo
o argumento da função sendo deri-vada no denominador. Caso
tivéssemos que derivara função f(x), escreveŕıamos d/dx. Vamos
tornara derivada operacional através de alguns exemplos.
Suponha que a equação horária no eixo X sejauma constante,
x(t) = a, isto é, repouso. Então,levando a função constante
x(t) = a em (2.41), te-remos
d
dtx(t) = lim
∆t→0
x(t+∆t)− x(t)∆t
= lim∆t→0
a− a∆t
= lim∆t→0
0
∆t= 0,
(2.42)
pois o numerador já era nulo antes de executar-mos o limite.
Acabamos de aprender que a deri-vada de uma função constante é
nula. Do pontode vista geométrico, devemos perceber que
umafunção constante é uma reta paralela ao eixo X.
14
-
Caṕıtulo 2. Cinemática 2.6. Velocidade e aceleração
Assim, qualquer função constante tem uma in-clinação
(ângulo formado com o eixo X) nula, cujatangente (coeficiente
angular) também é nula. Por-tanto, o coeficiente angular de uma
reta paralela aoeixo X, x(t) = a, é numericamente igual à sua
de-rivada em qualquer ponto, ou seja, nulo. Vejamosse esta
relação entre derivada e tangente é mantidaem um outro
exemplo.Considere agora uma equação horária linear no
tempo, x(t) = a + bt, correspondendo a um movi-mento uniforme.
Então, levando a função x(t) =a+ bt em (2.41), teremos
d
dtx(t) = lim
∆t→0
x(t+∆t)− x(t)∆t
= lim∆t→0
{a+ b(t+∆t)} − {a+ bt}∆t
= lim∆t→0
b = b,
(2.43)
pois o numerador já era igual a b antes de exe-cutarmos o
limite. Portanto, aprendemos que aderivada de uma função linear
é igual ao seu co-eficiente angular, confirmando assim nossa
conjec-tura que a derivada calculada em um ponto t é
nu-mericamente igual ao coeficiente angular da retatangente à
função x(t) (no mesmo ponto t). Noteque a reta tangente de uma
reta coincide com aprópria reta. Para confirmar esta conjectura
sobrea interpretação geométrica da derivada, vejamos opróximo
exemplo.Considere agora uma função quadrática para a
equação horária, x(t) = a+bt+ct2, correspondendoa um
movimento com aceleração constante. Então,levando esta função
em (2.41), teremos
d
dtx(t) = lim
∆t→0
x(t+∆t)− x(t)∆t
= lim∆t→0
(b+ 2ct+ c∆t
)= b+ 2ct+ lim
∆t→0c∆t = b+ 2ct,
(2.44)
pois o limite do termo c∆t é obtido substituindo∆t = 0. Uma
regra para calcular limites: simpli-fique antes suas expressões.
Até aqui aprendemosque a derivada de um polinômio tn parece
obede-cer à regra ntn−1. Também nos parece que a deri-vada do
produto de uma função f(t) por uma cons-tante c obedece à regra
c df(t)/dt, isto é, a cons-tante pode sair para fora da derivada.
Ao com-pararmos o resultado em (2.43) com o resultado
(2.44) podemos conjecturar que a derivada obedecea propriedade
de linearidade, d(f(t) + cg(t))/dt =df(t)/dt+c dg(t)/dt. De fato,
estas conjecturas po-dem ser provadas (no curso de Cálculo). Em
geral,as propriedades seguintes nos permitem calcular aderivada de
qualquer função suave.
Derivada de uma constante:
d
dta = 0, (2.45)
Linearidade:
d
dt
(f(t) + bg(t)
)=
d
dtf(t) + b
d
dtg(t), (2.46)
Regra do produto:
d
dt
(f(t)g(t)
)= g(t)
d
dtf(t)
+ f(t)d
dtg(t), (2.47)
Regra da função composta:
d
dtf(g(t)
)=
[d
dgf(g)
]d
dtg(t). (2.48)
Em particular, usaremos com freqüência deriva-das de funções
elementares:
d
dttn = ntn−1,
d
dtet = et,
d
dtln t = 1/t,
d
dtsin t = cos t,
d
dtcos t = − sin t.
(2.49)
Estas propriedades e resultados serão demonstra-dos no curso de
Cálculo. Até lá, use-as e memorize-as. Por exemplo, suponha y =
sin(2t2). Esta é umafunção composta na forma y = f(g(t)), na
qualf(g) = sin(g) e g(t) = 2t2. Assim, devemos usar aregra da
função composta, (2.48), para efetuar suaderivada,
ẏ =dg
dt
df
dg= (4t) cos(g) = 4t cos(2t2). (2.50)
Vejamos este outro exemplo: y = cos(2t)et2
.Desta vez temos um produto de duas funções (um
15
-
2.6. Velocidade e aceleração Caṕıtulo 2. Cinemática
cosseno vezes uma exponencial), na qual cada par-cela é uma
função composta. Assim, devemos usarprimeiro a regra do produto,
(2.47), e depois a regrada função composta, (2.48),
ẏ =
{d
dtcos(2t)
}et
2
+ cos(2t)
{d
dtet
2
}= −2 sin(2t) et
2
+ cos(2t)2t et2
= 2[t cos(2t)− sin(2t)
]et
2
.
(2.51)
Invente outros exemplos. Use computaçãoalgébrica para checar
seus resultados. Pratique avontade. Faça a primeira parte do
Exerćıcio 18.E sobre a interpretação geométrica de
derivada?
Para fazermos esta interpretação corretamente, de-vemos
resolver um outro problema (geométrico).Como determinar a
equação da reta tangente emum dado ponto t0 de uma dada curva
x(t)? Vejaa Figura 2.8. A única informação que temos éque esta
reta tangente deve passar pelo ponto(t0, x(t0)), e somente por este
ponto numa vizi-nhança muito pequena em torno de t0. No
entanto,sabemos que precisaremos conhecer também o coe-ficiente
angular desta reta tangente e que para istoprecisaremos de um
segundo ponto. Isto mesmo,o problema é que não temos este segundo
ponto.Que fazer? A única atitude sensata é usar um ou-tro ponto,
digamos t1, da curva x(t), como indicadona Figura 2.8.
x1
x0
t0 t1
x
t
x(t)
θ0
θ1
Figura 2.8: A secante de uma trajetória entre osinstantes t0 e
t1 e a sua reta tangente em t0.
O coeficiente angular da reta secante passandopelos pontos x0 =
x(t0) e x1 = x(t1) é
tan θ1 =x1 − x0t1 − t0
. (2.52)
De fato, esta reta secante não é a mesma reta tan-gente que
estamos procurando, mas se mantivermost0 fixo e aproximarmos t1 de
t0, obteremos o coefi-ciente angular da reta tangente que
procuramos,
tan θ0 = limt1→t0
x1 − x0t1 − t0
. (2.53)
Assim, como este processo limite é o mesmo pro-cesso limite
usado para definir a velocidade ins-tantânea (2.40), podemos
concluir que a derivadanos dá informação sobre retas tangentes
de curvas:a derivada de uma função qualquer f(t) é
numerica-mente igual ao coeficiente angular da reta
tangentepassando por (t, f(t)). De fato, isto é uma
gene-ralização do problema matemático de encontrar areta
tangente a uma curva plana (veja a Figura 2.8).
Uma aplicação imediata desta interpretaçãogeométrica: ela
é muito útil para determinarmos ospontos extremos (máximos e
mı́nimos) de funções,pois, nestes pontos de máximos e mı́nimos,
a retatangente é sempre horizontal (logo o seu coeficienteangular
é nulo). Portanto, a derivada deve ser nulanestes pontos extremos
(faça o Exerćıcio 19).
Esta interpretação geométrica de derivada émuito importante
também para a Mecânica, poisela afirma que qualquer vetor
velocidade
v⃗(t) =d
dtr⃗(t)
=d
dtx(t) ı̂ +
d
dty(t) ȷ̂ +
d
dtz(t) k̂
(2.54)
será sempre tangente à trajetória definida pelo ve-tor
posição r⃗(t). Então devemos repetir os passosanteriores e
mostrar que o vetor velocidade (2.54)está sobre a reta tangente à
trajetória definida pelovetor posição r⃗(t).
16
-
Caṕıtulo 2. Cinemática 2.6. Velocidade e aceleração
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 00.2
0.40.6
0.81
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z
xy
z
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z
xy
z
Figura 2.9: As secantes da trajetória r⃗(t) =(t2, t3, t)
coincidirão com o vetor velocidade emt = 0.25 s.
A Figura 2.9 mostra a trajetória definida pelovetor posição
r⃗(t) = (t2, t3, t) entre os instantest = 0 s e t = 1 s. Esta
figura também mostrao vetor velocidade em t0 = 0.25 s (calcule
este ve-tor). Esta mesma figura também mostra duas retassecantes
passando por t0 = 0.25 s (mantido fixo),t1 = 0.5 s e t1 = 0.75 s.
Como no caso bidimensi-onal, à medida que t1 se aproxima de t0, a
secantese aproxima do vetor velocidade. Note que a tra-jetória da
Figura 2.9 não é uma reta e nem é plana.Como podemos mostrar
matematicamente o que
estamos vendo na Figura 2.9? Estamos vendo naFigura 2.9 que o
vetor velocidade se aproxima dareta tangente em t0 à medida que t1
se aproximade t0. Comecemos com a equação da reta em
trêsdimensões na forma paramétrica (mais
GeometriaAnaĺıtica):
x̄(t) = b1t+ c1,
ȳ(t) = b2t+ c2,
z̄(t) = b3t+ c3,
(2.55)
na qual x̄, ȳ e z̄ representam as coordenadas de umareta
arbitrária. Os três números bi são os coefici-entes angulares
desta reta. Note que as funções do
parâmetro t em (2.55) são lineares. Cada ponto natrajetória
tem coordenadas r⃗(t) = (x(t), y(t), z(t)).O nosso problema agora
é: dado um ponto na tra-jetória, digamos em t = t0, qual é a
reta tan-gente (em três dimensões) passando por este
ponto?Qualquer reta, mesmo em três dimensões, é deter-minada por
dois pontos. Um ponto foi dado em t0,(x0, y0, z0). Como no caso
bidimensional, vamosescolher (note bem, estamos fazendo uma
escolha)um segundo ponto também sobre a trajetória emt = t1, com
t1 > t0, (x1, y1, z1). Levando estes doispontos nas equações
(2.55), podemos determinar oscoeficientes angulares (faça os
detalhes):
b1 =x1 − x0t1 − t0
,
b2 =y1 − y0t1 − t0
,
b3 =z1 − z0t1 − t0
.
(2.56)
Estes são os coeficientes angulares de uma reta se-cante
passando pelos pontos da trajetória determi-nados por t = t0 e t =
t1. Matendo t0 fixo e per-mitindo que t1 se aproxime
indefinidamente de t0,encontraremos a reta tangente que estamos
procu-rando. Note que este processo envolve três limitesidênticos
ao limite (2.41) que usamos para definiro operador derivada.
Portanto, os coeficientes an-gulares da reta tangente que estamos
procurandopodem ser calculados por derivadas,
b1 =d
dtx(t)
∣∣∣∣t=t0
,
b2 =d
dty(t)
∣∣∣∣t=t0
,
b3 =d
dtz(t)
∣∣∣∣t=t0
.
(2.57)
Os coeficientes angulares (2.57) são da reta tan-gente à
trajetória r⃗(t) = (x(t), y(t), z(t)) no pontot = t0. Em qualquer
instante de tempo, o ve-tor velocidade desta trajetória
arbitrária é v⃗(t) =(ẋ(t), ẏ(t), ż(t)), isto é, a derivada do
vetor posição.Podemos observar agora que os coeficientes
angu-lares (2.57) são exatamente iguais às componentesdo vetor
velocidade avaliado em t = t0, mostrandoassim que o vetor
velocidade está de fato sobre areta tangente em t = t0, mesmo em
três dimensões.
17
-
2.6. Velocidade e aceleração Caṕıtulo 2. Cinemática
De forma análoga à definição de velocidade, aaceleração
(instantânea) é a taxa de variação tem-poral do vetor
velocidade,
a⃗(t) =d
dtv⃗(t) =
d2
dt2r⃗(t), (2.58)
ou, equivalentemente, a derivada segunda do ve-tor posição.
Note como a derivada segunda é in-dicada em (2.58). A taxa de
variação temporal dovetor aceleração não tem um nome
espećıfico, poisé apenas a aceleração que aparece
explicitamentena segunda lei de Newton, a qual estabelece
umarelação entre cinemática e dinâmica (forças), for-mando
assim a mecânica. Faça a segunda parte doExerćıcio 18.Questões
são sempre bem vindas. Qual é a in-
terpretação geométrica da aceleração? Vamos ten-tar
entender esta pergunta estudando alguns exem-plos. Primeiro,
consideremos uma trajetória re-tiĺınea: r⃗ = (t, 1+t, 0). Os
vetores velocidade e ace-leração são v⃗ = (1, 1, 0) e a⃗ = (0,
0, 0), respectiva-mente. Obviamente, o produto vetorial v⃗×a⃗ é
nulo.Vejamos se este mesmo produto vetorial é nulo parauma
trajetória que não é retiĺınea. Consideremosa parábola r⃗ =
(t, 1 + t2, 0) com v⃗ = (1, 2t, 0) ea⃗ = (0, 2, 0). Desta vez, o
produto vetorial v⃗ × a⃗não é nulo, v⃗ × a⃗ = (0, 0, 2) (faça a
terceira partedo Exerćıcio 18). A quantidade escalar
κ =||v⃗ × a⃗||v3
, v = ||v⃗||, (2.59)
denominada de curvatura, com dimensão de in-verso de
comprimento, é nula para uma reta (qual-quer) e vale κ = 2/
√1 + 4t2 para a parábola r⃗ =
(t, 1+t2, 0). Note que uma parábola se aproxima deretas
(asśımptotas) para valores muito grandes de t(t≫ 1) e que a
curvatura κ = 2/
√1 + 4t2 é nula no
limite t → ∞. Note também que κ(0) = 2. Faça oExerćıcio 21
para perceber o significado geométricoda curvatura: a parábola r⃗
= (t, 1 + t2, 0) se apro-xima muito de uma circunferência de raio
1/κ(0),centrada em (0, 3/2), na região em torno de t = 0.Assim, a
curvatura em t = 0 está nos informandoo quanto a parábola se
desvia de uma reta.A curvatura tem uma interpretação bastante
simples e direta em uma trajetória circular. Emgeral,
r⃗ = (R cosωt,R sinωt, 0) (2.60)
representa uma circunferência de raio R, cen-trada na origem.
Conseqüentemente (faça o
Exerćıcio 22),
v⃗ = (−ωR sinωt, ωR cosωt, 0), (2.61)a⃗ = (−ω2R cosωt,−ω2R
sinωt, 0). (2.62)
Assim, recuperamos três informações importantessobre um
movimento circular qualquer: (i) a ace-leração em um movimento
circular é voltada para ocentro (centŕıpeta), pois a⃗ = −ω2r⃗;
(ii) o vetor ve-locidade é sempre perpendicular ao vetor
posiçãor⃗ · v⃗ = 0; e (iii) os módulos dos vetores posição(R),
velocidade (Rω) e aceleração (v2/R) perma-necem constantes
durante o movimento (apenassuas direções e sentidos é que variam
no tempo).A informação (ii) é equivalente à
interpretaçãogeométrica do vetor velocidade como sendo tan-gente
à trajetória. A curvatura (2.59) neste casoé (faça o Exerćıcio
22)
κ =1
R. (2.63)
Note que a curvatura é constante e seu inverso éigual ao raio
da trajetória circular. Desta forma,podemos afirmar que a
curvatura é um escalar quemede o quanto uma curva desvia-se de uma
reta, aqual possui uma curvatura nula (raio infinito). Háuma outra
maneira de ver a relação entre curvaturae aceleração ainda mais
frut́ıfera (veja as discussõessubsequentes).
Seja v o módulo do vetor velocidade e v̂ o seuversor, v⃗ = vv̂.
Note que o versor v̂ é sempre tan-gente à trajetória r⃗, pois v⃗
= ˙⃗r (derivada do vetorposição). Por isso, v̂ também é
conhecido por ver-sor tangente da curva r⃗. Então, o vetor
aceleraçãocorrespondente, calculado pela derivada do
vetorvelocidade, é
a⃗ = ˙⃗v =d
dt(vv̂) = v̇v̂ + v ˙̂v. (2.64)
Embora não esteja indicado, mas todas as quan-tidades aqui
dependem explicitamente do tempo.Podemos ver em (2.64) que a
aceleração possuiuma componente tangencial (na direção do
versortangente) igual a v̇. Em que direção está a de-rivada ˙̂v
do versor tangente? Podemos encontraresta direção facilmente se
usarmos o fato de que v̂é um versor, v̂ · v̂ = 1, pois derivando
os dois ladosdesta igualdade, temos
d
dt(v̂ · v̂) = 2v̂ · ˙̂v = 0. (2.65)
18
-
Caṕıtulo 2. Cinemática 2.6. Velocidade e aceleração
Este resultado nos mostra que ˙̂v é perpendicular av̂. Note que
este resultado vale para qualquer ver-sor (dependente do tempo), ou
para qualquer vetorcujo módulo não varia com o tempo. É comum
de-nominarmos de normal a direção perpendicular aoversor
tangente. O versor n̂ na direção normal é co-nhecido por versor
normal. Como o versor normaln̂ e a derivada ˙̂v são paralelos,
podemos esolher
˙̂v = vκn̂, (2.66)
onde κ é um escalar, em geral dependente dotempo, denominado de
curvatura, o mesmo esca-lar dado em (2.59). Portanto, a
aceleração (2.64)pode ser re-escrita como
a⃗ = ˙⃗v = v̇ v̂ + v2κ n̂. (2.67)
Fizemos acima a escolha (2.66). Vejamos como estaescolha é
compatibilizada com a expressão (2.59)para a curvatura.
Multiplique vetorialmente os doislados da aceleração (2.67) por
v⃗. Como o produtovetorial entre vetores paralelos é nulo,
então
v⃗ × a⃗ = v̇ v⃗ × v̂ + v2κ v⃗ × n̂ = v3κ b̂, (2.68)
onde fizemos b̂ = v̂ × n̂, (versor binormal). Assim,calculando o
módulo dos dois lados, podemos isolara curvatura para re-obter a
expressão (2.59).Como vimos anteriormente, a curvatura de uma
circunferência é o inverso de seu raio (κ = 1/R).Lembrando que
o módulo do vetor velocidade nãomuda em um movimento circular,
então v̇ = 0.Desta forma, para um movimento circular, a
ace-leração (2.67) reduz-se à aceleração centŕıpeta a⃗
=−(v2/R)r̂, com n̂ = −r̂.Curvas também podem ser classificadas
como
pertencentes a um plano, como uma circunferênciaou uma
parábola, para citar dois exemplos conhe-cidos, ou não
pertencentes a um plano, como umahélice, outro exemplo bem
conhecido. Considerenovamente uma trajetória circular. Nela, o
vetorvelocidade (tangencial) é sempre perpendicular aovetor
aceleração (centŕıpeta), ambos contidos noplano da trajetória
circular. Desta forma, o pro-duto vetorial entre os versores
tangencial (veloci-dade) e normal (aceleração centŕıpeta) do
movi-mento circular é sempre perpendicular ao plano datrajetória,
portanto nunca muda de direção. Sendoum pouco mais preciso, é a
taxa de variação doversor binormal b̂ = v̂ × n̂ que mede o quanto
uma
determinada curva afasta-se de um plano. Elabo-rando um pouco
mais este exemplo, podemos cons-truir uma ferramenta para medir o
quanto umacurva se afasta de um plano, ou seja, para mediro grau de
torcimento de uma curva espacial.Antes de mais nada, é importante
notar que os
três versores v̂, n̂ e b̂, com b̂ = v̂ × n̂, são orto-normais
e obedecem a regra da mão-direita, assimcomo os versores î, ĵ e
k̂ de um sistema ortonor-mal de coordenadas. Os três versores {v̂,
n̂, b̂} sãoconhecidos por tŕıade de Frenet. Note que estes
ver-sores são funções (vetoriais) do tempo, ou seja, ao
contrário dos versores {̂i, ĵ, k̂} que estão fixos, atŕıade
de Frenet é móvel. Note também que osversores da tŕıade de
Frenet são linearmente inde-pendentes. Sendo linearmente
independentes, po-demos escrever a primeira derivada de qualquer
umdeles como uma combinação linear deles mesmos,como fizemos em
(2.66). Como eles são versores,então podemos usar o que
aprendemos em (2.65),isto é, ˙̂n · n̂ = 0 (perpendiculares).
Assim, ˙̂n deveser uma combinação linear da forma ˙̂n = αv̂ +
βb̂,com α e β sendo dois números reais. Multiplicandoescalarmente
esta combinação linear por v̂, obte-remos α = ˙̂n · v̂ = −n̂ ·
˙̂v = −vκ, onde usamostambém a derivada (2.66). De forma análoga,
mul-
tiplicando ˙̂n = αv̂ + βb̂ escalarmente por b̂, obte-
remos β = ˙̂n · b̂ = −n̂ · ˙̂b. Infelizmente ainda
nãodecompusemos a derivada
˙̂b em termos da tŕıade de
Frenet.Procedendo de forma similar ao parágrafo an-
terior, sabemos que˙̂b · b̂ = 0. Assim, devemos ter
˙̂b = ᾱv̂+ β̄n̂. Multiplicando escalarmente esta com-
binação linear por v̂ obteremos ᾱ =˙̂b · v̂ = −b̂ · ˙̂v =
−vκb̂ · n̂ = 0, onde usamos também a derivada(2.66).
Portanto,
˙̂b = β̄n̂. Levando esta informação
em β = −n̂· ˙̂b, obtida no final do parágrafo anterior,teremos
que β = −β̄. Desta forma, temos que fazeruma escolha para β̄. A
mais utilizada é β̄ = −vτ ,
˙̂b = −vτ n̂, (2.69)
onde o número τ , geralmente uma função do tempo,é conhecido
por torção da curva r⃗. Tendo escolhidoo valor de β̄, a primeira
derivada ˙̂n torna-se em
˙̂n = −vκ v̂ + vτ b̂. (2.70)
As equações (diferenciais) (2.66), (2.69) e (2.70) são
19
-
2.7. Espaço percorrido Caṕıtulo 2. Cinemática
conhecidas por equações de Frenet. Elas determi-nam
univocamente uma curva a partir do conheci-mento de apenas duas
funções escalares: a curva-tura κ = κ(t) e da torção τ =
τ(t).Podemos deduzir uma expressão bastante con-
veniente para calcular a torção de forma análogaà expressão
(2.59), usada para calcular a curva-tura. Para isto, precisamos da
derivada do vetoraceleração,
˙⃗a = (v̈ − κ2v3)v̂ +[κvv̇ +
d
dt(κv2)
]n̂
+ κτv3b̂. (2.71)
Multiplicando escalarmente esta expressão por v⃗×a⃗ = v3κ b̂,
obtida em (2.68), teremos
τ =v⃗ × a⃗ · ˙⃗av6κ2
, (2.72)
ou, numa forma mais simétrica,
τ =v⃗ × a⃗ · ˙⃗a||v⃗ × a⃗||2
=˙⃗r × ¨⃗r ·
...r⃗
|| ˙⃗r × ¨⃗r||2. (2.73)
Faça o Exerćıcio 23 para ver que a torção de cur-vas planas
(retas, parábolas, circunferências, etc.)é nula, como
deveŕıamos esperar. No entanto, noteque a torção de uma curva
como uma hélice é dife-rente de zero.Estes conceitos bastante
intuitivos de curvatura e
torção são fundamentais na concepção moderna deespaço e
tempo. Como você está percebendo, existeuma relação muito
ı́ntima entre F́ısica e Geometria.Esta relação é confirmada em
muitas outras áreasda F́ısica e atinge seu cĺımax na Teoria da
Relati-vidade Geral elaborada por Albert Einstein.
2.6.1 ExerćıciosExerćıcio 18(1) Calcule os vetores
velocidades, e seus respec-tivos módulos, usando todos os vetores
posição doExerćıcio 17. (2) Calcule os vetores acelerações,
eseus respectivos módulos, usando todos os vetoresposição do
Exerćıcio 17, ou, equivalentemente, osvetores velocidades do item
anterior. (3) Calculetambém os produtos vetoriais entre os vetores
ve-locidade e aceleração. As trajetórias planas
estãorelacionadas de que forma com estes produtos veto-riais?
Reveja a discussão apresentada no parágrafoanterior.
Exerćıcio 19Determine os pontos extremos da função f(t) =1 −
t + 2t2 + t3. Desenhe esta função e localizeestes pontos extremos
e classifique-os (máximos oumı́nimos). Observe o valor da segunda
derivada def(t) nestes pontos.
Exerćıcio 20Determine, usando derivadas e condições
f́ısicas,o tempo gasto para um objeto atingir a alturamáxima na
trajetória parabólica do Exerćıcio 17.
Exerćıcio 21Desenhe a curva r⃗ = (t, 1 + t2, 0) (parábola)no
intervalo t ∈ [−0.5, 0.5] e guarde este dese-nho na variável g1.
Desenhe a circunferência deraio 1/κ(0), com κ(t) = 2/
√1 + 4t2, centrada em
(0, 3/2), e guarde este desenho numa variável g2(coloque este
desenho no plano z = 0.1). Mos-tre estes dois desenhos
simultaneamente e tire suasconclusões a respeito da curvatura em t
= 0.
Exerćıcio 22Deduza as expressões (2.61)–(2.62) diretamente
de(2.60). Determine o ângulo entre os vetores r⃗ e v⃗dados em
(2.60) e (2.61), respectivamente. Calculea curvatura (2.59) para
estes dois vetores. Combase no exerćıcio anterior e neste,
interprete a cur-vatura geometricamente.
Exerćıcio 23Use a expressão (2.73) para calcular a torção
dacircunferência r⃗(t) = (R cos(ωt), R sin(ωt), 0) e dahélice
circular r⃗(t) = (R cos(ωt), R sin(ωt), αt).
2.7 Espaço percorrido
Pronto para o nosso último problema? Estabe-lecer uma
ferramenta eficiente para determinar oespaço percorrido. Observe a
trajetória da Fi-gura 2.7. A não ser no caso de uma trajetória
re-tiĺınea, em geral o comprimento de uma trajetória(espaço
percorrido) não é obtido calculando-se omódulo da diferença
entre vetores posição. Noentanto, podemos subdividir a
trajetória em mui-tos pedaços pequenos de forma que cada
pedaçopossa ser considerado um trajetória retiĺınea
muitopequena. Sendo retiĺıneos, podemos calcular seuscomprimentos
através do módulo do vetor diferençaassociado a cada um deles. O
comprimento total
20
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Caṕıtulo 2. Cinemática 2.7. Espaço percorrido
da trajetória será a soma desses inúmeros compri-mentos
retiĺıneos pequenos (veja a Figura 2.10).Pode não parecer, talvez
por envolver uma soma
com muitos termos, mas este mecanismo é extre-mamente
eficiente. Vamos torná-lo operacional.Para isto precisaremos de um
intervalo pequeno datrajetória, digamos, entre os instantes t e t
+ ∆t,com ∆t muito pequeno, ∆r⃗(t) = r⃗(t + ∆t) − r⃗(t).Para ∆t
infinitesimalmente pequeno (isto significaque a trajetória foi
dividida em infinitas partes) érazoável imaginarmos que este
trecho da trajetóriaserá praticamente retiĺıneo (veja a Figura
2.10).Assim, seu comprimento será praticamente igualao módulo de
∆r⃗,
||∆r⃗(t)|| =√∆r⃗ ·∆r⃗ =
√v⃗ · v⃗∆t
= ||v⃗||∆t,(2.74)
na qual aproveitamos para introduzir o vetor velo-cidade no
instante t, v⃗ = ∆r⃗/∆t. É na verdadeuma velocidade média, mas
será a velocidade ins-tantânea no limite ∆t→ 0.Agora estamos numa
posição muito confortável,
pois o comprimento total da trajetória entre os ins-tantes t0 e
t1 pode ser obtido somando-se todos osintervalos (2.74). Esta soma
pode ser efetuada nolimite ∆t → 0, ou seja, sub-dividindo a
trajetóriaem infinitos intervalos. A nossa capacidade em exe-cutar
estas somas infinitas é simplesmente incŕıvel.Como estamos
lidando com uma soma muito espe-cial, precisaremos de uma notação
especial. Estasoma será denominada de integral e denotada por
S01 =
∫ t1t0
v(t) dt = S(t)
∣∣∣∣10
= S(1)− S(0), (2.75)
onde fizemos ||v⃗|| = v(t). Note que o limite ∆t→ 0foi indicado
simplesmente por dt. O śımbolo dt (di-ferencial) em (2.75) indica
que a integral (soma)está sendo feita na variável t (variável de
inte-gração). A integral (2.75) é denominada de defi-nida, t0
indicando o limite inferior e t1 indicando olimite superior. Sem os
limites de integração, umaintegral é denominada de indefinida e,
em geral,fornece uma nova função da variável de
integração.Vejamos um exemplo. Suponha que o movimento
seja em uma dimensão, r⃗ = x(t) î com x(t) = t(movimento
uniforme). Portanto, usando (2.54),o vetor velocidade é v⃗ = ẋ ı̂
com ẋ = 1. Assim,v(t) = ||v⃗|| = 1 e o espaço percorrido (em
metros)
entre os instantes t0 = 0 e t1 = 1 (em segundos) é
S01 =
∫ 10
v(t) dt =
∫ 10
dt = t
∣∣∣∣10
= 1− 0 = 1.(2.76)
Note que este resultado coincide com o módulo dadiferença
entre os vetores posição nos instantes ini-cial e final, S01 =
x(1) − x(0) = 1 − 0 = 1, pois atrajetória aqui é
retiĺınea.Suponha agora que a trajetória seja uma
parábola no plano XY , r⃗ = t î+ (1 + t2) ĵ. Assim,o vetor
velocidade é v⃗ = î + 2t ĵ, cujo módulo év(t) =
√1 + 4t2. Quem é o espaço percorrido entre
os instantes t0 = 0 s e t1 = 1 s? Devemos efetuar aintegral
(2.75) (via computação algébrica),
S01 =
∫ 10
v(t) dt =
∫ 10
√1 + 4t2 dt
= 1.479m.
(2.77)
Note agora que este espaço percorrido é diferentede ||r⃗(1)−
r⃗(0)|| = 1.414 m, pois a trajetória não e�