Mec´ anica II Tema 5 Introducci´ on a la din´ amica anal´ ıtica Manuel Ruiz Delgado 9 de marzo de 2011 Sistemas materiales ......................................................... 2 Ligaduras: Clasificaci´ on....................................................... 3 Ligaduras finitas: f (r 1 , r 2 ,..., r N ,t)=0 .......................................... 4 Ligaduras independientes: Jacobiano .............................................. 5 Ligaduras unilaterales/bilaterales ................................................ 8 Ligaduras finitas → cinem´ aticas ................................................ 9 Ligaduras cinem´ aticas no integrables ............................................ 11 Ligadura cinem´ atica integrable................................................. 13 Ligadura cinem´ atica no integrable .............................................. 14 Coordenadas generalizadas ................................................... 17 Coordenadas generalizadas: sist. hol´ onomos ........................................ 18 Coordenadas generalizadas: No hol´ onomos ........................................ 22 Espacio de configuraci´ on ..................................................... 23 Desplazamientos virtuales .................................................... 24 Desplazamientos posibles (sist. hol´ onomo) ......................................... 25 Desplazamientos virtuales/posibles .............................................. 26 DVCL ................................................................. 28 DVCL para un s´ olido ....................................................... 29 Fuerzas de ligadura ........................................................ 30 Trabajo virtual ........................................................... 31 Ligaduras ideales .......................................................... 32 Comentarios sobre ligaduras ideales ............................................. 40 1
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Mec´anica II Tema 5 Introduccion a la din´amica anal´ıtica · Introduccion a la din´amica anal´ıtica ManuelRuizDelgado 9demarzode2011 ... Mecanica Newtoniana: introducir incognitas/ecuaciones
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Pero pueden hacerse redundantes en algunos puntos:
Si colocamos la varilla vertical, x1 = x2 = 0, y1 = 2R, el jacobiano se reduce a:
JJJ =
0 4R 0 −4R0 0 0 10 2R 0 0
Obviamente, en este caso Rango(JJJ) = 2 ⇒ redundantes.
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Ligaduras unilaterales/bilaterales
z ≥ 0 z = 0
Ligadas (=)
|r1 − r2| = L
Libres (<)
|r1 − r2| < L
Integrar las ecuaciones con ligadura
Controlar el signo de N para comprobar cuando se separa
Integrar las ecuaciones sin ligadura con las condiciones iniciales de la separacion
Controlar cuando vuelve a cumplirse . . . percusiones . . . y ası sucesivamente
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Ligaduras finitas → cinematicas
Toda limitacion de las ri limita tambien las vi
f(ri, t) = 0 ⇒d
dtf(ri, t) = 0
∂f
∂x1x1 +
∂f
∂y1y1 + · · ·+
∂f
∂yNyN +
∂f
∂zNzN +
∂f
∂t=
= ∇1f · r1 + · · ·+∇Nf · rN +∂f
∂t=
N∑
i=1
Ai · vi +B = 0
f ≡ z − h = 0 ⇒ ∇f · v +���∂f
∂t= 0 ⇒ z = 0
Ascensor: sistema reonomo z − h(t) = 0
f ≡ z − h = 0 ⇒ ∇f · v+ ft = 0 ⇒ vn = z = −ft/ |∇f |
v
∇f
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Ligaduras finitas → cinematicas
Partıcula sobre superficie esferica: f ≡ x2 + y2 + z2 −R2 = 0.
∇f · v = 0 ⇒ 2xx+ 2yy + 2zz = 0
∇f = (2x, 2y, 2z) ‖ ur, la velocidad es tangente a la superficie.
Si la ligadura fuera no estacionaria —por ejemplo, un globo que sehincha— la velocidad no es tangente:
f(r, t) ≡ x2 + y2 + z2 −R(t)2 = 0
∇f · v + ft = 0 ⇒ vn = −ft
|∇f |= R
v
∇f
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Ligaduras cinematicas no integrables
Hay ligaduras cinematicas que no son la derivada de una finita:
g (ri,vi, t) ≡
N∑
i=1
Ai(ri, t) · vi +B(ri, t) = 0
∄ f(ri, t) / g (ri,vi, t) =d
dtf(ri, t)
Todas finitas o cinematicas integrables → Sistema holonomo
Al menos 1 cinematica no integrable → Sistema no holonomo
Las ligaduras finitas se puede usar para despejar coordenadas y dejar solo las independientes(3N − g = n)
Las cinematicas no sirven, pues aparecen las velocidades
Si son integrables, se integran → reducir coordenadas
En los sistemas no holonomos no es posible reducir el numero de ecuaciones al mınimo
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Ligaduras cinematicas no integrables
No integrable: Patın / Esquı / Rueda /Patın de hielo. Solo puede moverse en la direccion de lacuchilla. No impone condiciones a las coordenadas: puede ponerse en cualquier punto y orientarse encualquier direccion.
A · v = (− sin θ, cos θ) · (x, y) =
= − sin θ x+ cos θ y = 0
• No integrable: 1 ec., 3 v.d.(x, y, θ), 1 v.i. (t). Aunque se tomarala θ como v. i., dividiendo por θ, seguirıa sin poderse integrar. θ
A(x, y)
• Solido libre en el plano: 3 GDL, x, y, θ. Con ligadura cinematica: n = 3− 1 = 2 GDL.
• Analogo al de un automovil o una bicicleta: 2 GDL direccion (manillar/volante) y el avance(pedales/motor).
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Ligadura cinematica integrable
Integrable: Rodadura sin deslizamiento en el plano:
vI = vC + ω ∧ CI =(
x−Rθ)
i+ y j = 0
• Ligadura integrable segun y:
g1 ≡ A1 · vI21 +B1 =
= j · vI21 + 0 = y = 0 ⇒ y = R
• Ligadura integrable segun x:
g2 ≡ A2 ·vI21+B2 = i ·vI
21+0 = x−Rθ = 0 ⇒ x = Rθ+���Cte.
θ
xO I
C Rθ
• De las tres coordenadas, solo queda una independiente: x o θ, pues solo hay un grado de libertad:n = 3− 2.
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Ligadura cinematica no integrable
No integrable: Disco que rueda sin deslizar sobreun plano ⊥.(⊥→ θ = π
2Lig. finita)
vI21 = vC
21 + ω21 ∧CI = 0 =
=
xyz
1
+
∣∣∣∣∣∣
i0 j0 k0
0 ϕ ψ0 0 −R
∣∣∣∣∣∣
= ψ
ϕ
I
C
x1
y1
z1
x0
y0
z0
=
x−Rϕ cosψy −Rϕ sinψ
z
1
=
x cosψ + y sinψ −Rϕ−x sinψ + y cosψ
z
0
=
000
g1 ≡ i0 · vI21
g2 ≡ j0 · vI21
g3 ≡ k0 · vI21
g1 ≡ i1 · vI21
g2 ≡ j1 · vI21
g3 ≡ k1 · vI21
g1g2g3
= QQQ10 ·
g1g2g3
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Ligadura cinematica no integrable
• La ligadura de z es integrable: el disco no se le-vanta del suelo:
g3 ≡ k0 · vI21 = g3 ≡ k1 · v
I21 =
= z = 0 ⇒ z = R
• Las de x e y no son integrables:ψ
ϕ
I
C
x1
y1
z1
x0
y0
z0
g1 ≡ i0 · vI21 = x cosψ + y sinψ −Rϕ = 0;
g2 ≡ j0 · vI21 = −x sinψ + y cosψ = 0
• Proyectadas en ejes 1 2 Ecs, 4 Var. Dep, 1 Var. Indep.
g1 ≡ i1 · vI21 = x−Rϕ cosψ = 0;
g2 ≡ j1 · vI21 = y −Rϕ sinψ = 0
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Ligadura cinematica no integrable
s
ϕ
ψ
(x, y)
x1
y1
√
g21+ g2
2≡ s = Rϕ → s = Rϕ+ C : Rueda sin deslizar
g2/g1 ≡ dydx
= tanψ : direccion de la rueda: ¡libre!
No puede integrarse: ψ no esta determinado por la ligadura(si no, el recorrido del coche estarıa fijado antes de arrancar)
Esta determinado si se da una ley ψ(s) → fijar la trayectoria
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Coordenadas generalizadas
N partıculas, g ligaduras → solo n = 3N − g coordenadas independientes
Sistema holonomo: las ligaduras se usan para eliminar las dependientes
Sistema no holonomo: no se pueden usar las ligaduras no integrables para eliminar lasdependientes
Si hay ligaduras finitas, un δri arbitrario no las respetara. Introduciendo coordenadasgeneralizadas, sı se cumplen
x1, y1z1 . . . , xN , yN , zN , xi no arbitrarias
ri = ri (q1, . . . , qn, t) qj arbitrarias
desplazamientos posibles: arbitrarios, cumplen las ligaduras
dri =
n∑
j=1
∂ri∂qj
dqj +∂ri∂tdt, donde: dqj = qjdt arbitrarias
velocidades posibles: si el desplazamiento se da en δt
ri =n∑
j=1
∂ri∂qj
qj +∂ri∂t
Los reales ∈ posibles, dependiendo de las fuerzas y C.I.
No holonomo: condiciones adicionales a los qj y dqj
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Desplazamientos virtuales/posibles
Ejemplo: Partıcula sobre esfera lisa: f ≡ x2 + y2 + z2 −R2 = 0
Cualquier desplazamiento tiene que cumplir la ligadura:
δf ≡ 2xδx + 2yδy + 2zδz = 0
Desplazamientos virtuales (≡ arbitrarios):
(δx, δy, δz) No cumplen la ligadura
Para que la ligadura se cumpla automaticamente, introducimos coordenadas generalizadas(esfericas):
r = R (cosϕ cos θ, cosϕ sin θ, sinϕ)
Ahora, cualquier valor de dθ, dϕ cumple la ligadura.
Desplazamientos posibles:
dr =∂r
∂θdθ +
∂r
∂ϕdϕ =
= Ruθ dθ +Ruϕ dϕ = R
− cosϕ sin θcosϕ cos θ
0
dθ +R
− sinϕ cos θ− sinϕ sin θ
cosϕ
dϕ
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Desplazamientos posibles
Ejemplo: dos partıculas unidas por una barra telescopica
r1 = (x1, 0, z1)
r2 = (x1 + L(t) cos θ, 0, z1 + L(t) sin θ)
dr1 =
100
dx1 +
001
dz1
dr2 =
100
dx1 +
001
dz1 +
−L sin θ0
L cos θ
dθ +
L cos θ0
L sin θ
dt
dx1
dz1
Ldθ Ldt
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DVCL
Desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras (DVCL): los desplazamientosposibles con las ligaduras congeladas o bloqueadas:
δrV CLi =
n∑
j=1
∂ri∂qj
δqj +���∂ri
∂tδt
ligadura congelada:∂ri∂t
= 0, t = Cte. (cinematicas: B=ft=0)
v dt
drpos
δrV CL
drpos = (dx, dy, v dt)
δrV CL
r = (x, y, vt)
δrV CL = (δx, δy, 0)
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DVCL para un solido
Un solido se puede considerar como un sistema de N puntos sujetos a 3N − 6 ligaduras finitas, demodo que le quedan 6 GDL: 3 coordenadas de un punto O y 3 parametros de actitud, por ejemplo losangulos de Euler:
ri = rO +QQQ(ψ, θ, ϕ) ·OMi
Al introducir estas coordenadas, cualquier δri es DVCL. Es mas facil hacerlo a partir de lasvelocidades que diferenciar la matriz de giro:
δri =(
vO + ω ∧OMi
)
dt = δrO +ω dt ∧OMi
Comoω =
001
ψ +
cosψsinψ0
θ +
sin θ sinψ− sin θ cosψ
cos θ
ϕ = k1 ψ + uN θ + k0 ϕ
quedaδri = i δx + j δy + k δz + k1 ∧OMi δψ + uN ∧OMi δθ + k0 ∧OMi δϕ
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Fuerzas de ligadura
Fuerzas dadas o directamente aplicadas: Fi(rj ,vj , t)
Fuerzas de inercia: dependen del movimiento de S0
Fuerzas de ligadura:
• Desconocidas a priori: incognita del problema
• La necesaria para hacer cumplir la ligadura
• Parcialmente conocida (direccion, por ejemplo)
Ej: Plano f ≡ z = h → FL = λk = λ∇f
Ej: Esfera f ≡ r2 = R2 → FL = λ r = λ∇f/2
Ej: Dos partıculas unidas por una barra o hilo:
f ≡ (r1 − r2)2 = L2
FL1 = λ (r1 − r2) = λ∇1f/2
FL2 = −λ (r1 − r2) = λ∇2f/2
M1
M2
FL1
FL2
λ es la misma para las dos partıculas (accion-reaccion)
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Trabajo virtual
Trabajo virtual δW es el que realiza una fuerza en un desplazamiento virtual del punto en queesta aplicada. El trabajo virtual de todas las fuerzas que actuan sobre un sistema sera:
δW =
N∑
i=1
(FDi + FL
i
)· δri
Las fuerzas se consideran constantes en el desplazamiento virtual (por eso a veces se considerainfinitesimo)
Cuando δr se realiza en un tiempo dado δt, se puede hablar tambien de potencia virtual.
P =
N∑
i=1
(FDi +FL
i
)· ri
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Ligaduras ideales
Ligaduras ideales o ligaduras sin rozamiento son aquellas en que el trabajo virtual de las
fuerzas de ligadura es nulo en cualquier desplazamiento virtual compatible con las ligaduras.
Condicion para los DVCL (con esta ligadura):
f1 (r1, . . . , rN , t) = 0 →
→∂f1∂x1
δx1 +∂f1∂y1
δy1 + · · · +∂f1∂zN
δzN = 0 →
→ ∇1f1 · δr1 + · · ·+∇Nf1 · δrN = 0
Trabajo virtual de las fuerzas de esta ligadura:
δWL1 = FL1
1· δr1 + · · · +FL1
N · δrN
Para relacionarlos: N vectores de R3 ⇔ 1 vector de R3N
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Ligaduras ideales
δR = (δx1, δy1, δz1, . . . , δxN , δyN , δzN )
FL =(FLx1, F
Ly1, FL
z1, . . . , FL
xN, FL
yN, FL
zN
)
G =
(∂f
∂x1,∂f
∂y1,∂f
∂z1, . . . ,
∂f
∂xN,∂f
∂yN,∂f
∂zN
)
G
δR
FL
δR
Ec. Ligadura: δR ·G = 0 ⇒ δR ⊥ G
Trabajo nulo: δW = FL · δR = 0 ⇒ δR ⊥ FL
δR ⊥ FL ∀ δR / δR ⊥ G ⇒ FL = λG (Dim. finita)
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Ligaduras ideales
Demostracion por reduccion al absurdo:
• Tomese G como base del subespacio unidimensional G de R3N .
• Sea G⊥ el suplementario ortogonal de G: G⊕G⊥ = R3N .
• Cualquier desplazamiento virtual compatible con la ligadura sera normal a G, por lo que δR ∈ G⊥.
• Supongamos que la ligadura es ideal, pero FL 6= λG; entonces se podra descomponer en dosvectores ortogonales FL = λG+ F⊥, de modo que F⊥ ∈ G⊥.
• Basta con tomar δR = ǫF⊥, que es un desplazamiento virtual compatible con la ligadura por serortogonal a G. El trabajo virtual de la fuerza de ligadura serıa δW = δR · FL = ǫF⊥ · F⊥ 6= 0 encontra de la hipotesis.
• Por tanto, F⊥ = 0 y FL = λG, Q.E.D.
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Ligaduras idealesFuerza sobre la partıcula i debida a una ligadura finita:
FLi = λ
(∂f
∂xi,∂f
∂yi,∂f
∂zi
)
= λ∇if
Fuerza sobre la partıcula i debida a g ligaduras finitas:
FLi =
g∑
j=1
λj∇ifj
h Ligaduras cinematicas: f(ri, t) ⇔∑n
i=1∇if · vi + ft = 0
N∑
i=1
Aki · vi +Bk = 0 ⇒
N∑
i=1
Aki · δri = 0; k = 1, . . . , h
Usando el mismo razonamiento que con las finitas:
FLi =
g∑
j=1
λj∇ifj +
h∑
k=1
µk Aik
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Ligaduras ideales
Ejemplo: Patın. Hemos visto que el patın (o la rueda delantera de un triciclo) esta sometido a unaligadura cinematica no integrable: el centro se tiene que mover en la direccion del patın.La ecuacion de la ligadura es:
A · v = (− sin θ, cos θ) · (x, y) = − sin θ x+ cos θ y = 0
La fuerza de ligadura tendra la forma
FL = µA = µ (− sin θ, cos θ)
θ
A
FLv
µ es una incognita que dependera de las fuerzas que actuen sobre el patın y de su aceleracion.
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Ligaduras ideales
Rodadura sin deslizamiento. Tres ligaduras cinematicas vI21 = 0 . Habra tres componentes de
fuerzas de ligadura:
g1 ≡ i0 · vI21 = 0 → FL
1 = µ1 i0g2 ≡ j0 · v
I21 = 0 → FL
2 = µ2 j0g3 ≡ k0 · v
I21 = 0 → FL
3 = µ3 k0
que podemos tambien proyectar en ejes S1:
g1 ≡ i1 · vI21 = 0 → FL
1 = µ1 i1g2 ≡ j1 · v
I21 = 0 → FL
2 = µ2 j1g3 ≡ k1 · v
I21 = 0 → FL
3 = µ3 k1
ψ
ϕ
I
C
x1
y1
z1
x0
y0
z0
FL1
FL2
FL3
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Ligaduras ideales
Se trata de la misma fuerza proyectada en ejes distintos:
Por lo que los dos conjuntos de fuerzas de ligadura estanrelacionados por las ecuaciones del cambio de ejes:
µ1 = µ1 cosψ − µ2 sinψ
µ2 = µ1 sinψ + µ2 cosψ
µ3 = µ3
igual que lo estaban las ecuaciones de las ligaduras:
g1g2g3
= QQQ10 ·
g1g2g3
ψx1
y1
µ1
µ2
µ1
µ2 FLxy
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Ligaduras ideales
Ligaduras cinematicas no estacionarias:∑
Ai · vi + B = 0.Disco vertical sobre placa S3 que se mueve con velocidad v j1: vI
23 = 0 o vI21 = v j1.
g1 ≡ i1 · vI21 = 0 → FL
1 = µ1 i1g2 ≡ j1 · v
I21 = v → FL
2 = µ2 j1g3 ≡ k1 · v
I21 = 0 → FL
3 = µ3 k1
Usando las coordenadas generalizadas de C,
g1 ≡ ξ −Rϕ cosψ = 0
g2 ≡ η −Rϕ sinψ −v = 0
g3 ≡ ζ = 0
ψ
ϕ
I
C
x1
y1
z1
x0
y0
z0
v
En ejes S0, tenemos dos ligaduras cinematicas no estacionarias.
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Comentarios sobre ligaduras ideales
Ligaduras ideales ≡ ligaduras sin rozamiento. Aunque hay ligaduras ideales con rozamiento:el rozamiento no trabaja.
La rodadura sin deslizamiento no es ideal cuando δ y ǫ del modelo de Coulomb-Morin son 6= 0.
¿Por que congelar las ligaduras en los DVCL? Se buscan direcciones en que las ligaduras notrabajen. Pero las no estacionarias trabajan al moverse: desplazamiento ∂f/∂t. Por eso se haceque no se muevan. Ası no aparecen las FL
i .
En las estacionarias (S. escleronomos), δrpos ≡ δrV CL
Si las ligaduras no son ideales sus fuerzas trabajan el los DVCL, y no se pueden eliminar por eseprocedimiento. No se puede emplear la Mecanica Analıtica en esos sistemas.
En algunos casos, hay rodeos que permiten aplicar la Mecanica Analıtica, pero en general nocompensa.