Mec´ anica II Tema 1 Movimiento rectil´ ıneo Manuel Ruiz Delgado 18 de febrero de 2011 Mec´ anica I y II ............................................................ 2 Referencias ............................................................... 3 Movimiento rectil´ ıneo ........................................................ 4 Modelos ................................................................. 5 Problema b´ asico ........................................................... 6 Casos de integraci´ on ........................................................ 7 Caso F (t)................................................................ 8 Fuerzas dependientes de la velocidad ............................................. 9 Caso F (˙ x): Reducci´ on a cuadraturas ............................................ 10 Caso F (˙ x): An´ alisis cualitativo ................................................ 11 Caso F (˙ x): Ca´ ıda libre ...................................................... 14 Caso F (˙ x): Comparaci´ on aire/vac´ ıo ............................................. 15 Caso F (x): fuerzas conservativas ............................................... 16 Caso F (x): Reducci´ on a cuadraturas ............................................ 17 Caso F (x): an´ alisis cualitativo ................................................. 18 Oscilador arm´ onico amortiguado forzado .......................................... 25 Transitoria: oscilador libre .................................................... 26 Transitoria: oscilador libre amortiguado ........................................... 28 Transitoria: Decremento logar´ ıtmico ............................................. 29 Respuesta estacionaria: oscilador forzado .......................................... 30 Factor de amplificaci´ on de la estacionaria ......................................... 34 Fase de la estacionaria ...................................................... 35 Fase en el movimiento arm´ onico ............................................... 36 Resonancia .............................................................. 41 1
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Mec´anica II Tema 1 Movimiento rectil´ıneo - UPM · Oscilador armonico amortiguado forzado Part´ıcula de masa munida al origen por un muelle de constante ky longitud natural
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En general, salvo los casos mas simples, la integra-cion de la Ecuacion Diferencial Ordinaria (EDO) setiene que hacer numericamente.
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Casos de integracion
En algunos casos particulares, el problema se puede reducir a cuadraturas (∫f(u) du):
• F (t)
• F (x): fuerzas giroscopicas o disipativas
• F (x): fuerzas conservativas
Si las fuerzas son proporcionales a x o x, queda una ecuacion lineal de coeficientes constantes,que se integra completamente: oscilador armonico
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Caso F (t)
Cuando la fuerza es una funcion conocida del tiempo —un motor, por ejemplo— la ecuacion se puedeintegrar en dos fases:
F (t) = mx = mdx
dt→
→
x(t) = x0 +
t∫
t0
F (τ)
mdτ
x(t) = x0 + x0 (t− t0) +
∫ t
t0
(∫ τ
t0
F (t)
mdt
)
dτ
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Fuerzas dependientes de la velocidad
Giroscopicas: su trabajo es siempre nuloa.
• ⊥ a la velocidad: Coriolis, Lorenz, [sustentacion]b.
• No influyen directamente en el movimiento rectilıneo; sı en el rozamiento, o en ligadurasunilaterales (despegue)
Disipativas: su trabajo es siempre negativo: disipan o consumen la energıa mecanica delsistema.
• Sentido opuesto a la velocidad:
F(v) = −(a0 + a1 |v|+ a2 v2 + . . . )
v
|v| = −f(|v|) v
|v|
• En casos simples, se puede integrar completamente: rozamiento de Coulomb y viscoso,resistencia aerodinamica.
aSentido usual en Mecanica Clasica. En Ingenierıa Aeronautica, en cambio, fuerzas giroscopicas son las de inercia
debidas a piezas rotatorias.bEsta es ⊥ a la velocidad relativa al aire, que puede no coincidir con la del cuerpo.
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Caso F (x): Reduccion a cuadraturas
f(v) polinomica, se integra completamente (hasta 3 terminos).
En general, se puede reducir a cuadraturas en v:
mx = mdv
dt= ±f(v) → t− t0 = ±
∫ v
v0
mdv
f(v)→ t = t(v)
dx = v dt = ±v mdv
f(v)→ x− x0 = ±
∫ v
v0
mv dv
f(v)→ x = x(v)
Ecuaciones horarias en forma implıcita
El signo ± sera el contrario del de v0
Singularidad en v = 0: analizar convergencia y movimiento posterior.
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Caso F (x): Analisis cualitativo
Se puede analizar el movimiento vertical de unapartıcula pesada directamente sobre la ecuacion di-ferencia. Basta que f(v) cumpla:
mg
f(v)
v−f(v)
vL0
f(0) < mg, para que la partıcula caiga al soltarla;
∃ vL / f(vL) = mg, velocidad lımite a la que se equilibran peso y resistencia;
que f(v) sea monotona creciente, al menos en la zona en que trabajamos.
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Caso F (x): Analisis cualitativo
Se lanza la partıcula verticalmente hacia abajo
Ox positivo hacia abajo
Ecuaciones del movimiento:
mv = mg − f(v) = f(vL)− f(v)
t− t0 =
∫ v
v0
mdv
f(vL)− f(v)
O
mg
f(v)
v
x
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Caso F (x): Analisis cualitativo
Hay cuatro casos:
v1 < vL
v0 = vL
v2 > vL
v3 < 0
t
v3
v1
vL
v2
0
mv = f(vL)− f(v)
v vvmg
f(v)
v−f(v)
v3v1 vL v20
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Caso F (x): Caıda libre
En el vacıo todos los cuerpos caen con la mismaaceleracion, g
En el aire, los mas pesados caen con mas aceleraciony mayor vL:
m1g
m2gf(v)
v
vL1vL2
• Masas distintas m2 > m1
• Igual forma y acabado: f(v) igual
• vL2> vL1
, pues m2 g = f(vL2) > m1 g = f(vL1
).
Otro modo de verlo: adimensionalizar f(v) con mg
mayor aceleracion (a igual v)
mayor vL1
vL1vL2
f(v)m2g
f(v)m1g
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Caso F (x): Comparacion aire/vacıo
Comparamos las cuadraturas:
aire: f(v) vacıo: 0
Hr =
∫ 0
−v0
mv dv
mg + f(v)< Hv =
∫ 0
−v0
mv dv
mg + 0
Tr =
∫ 0
−v0
mdv
mg + f(v)< Tv =
∫ 0
−v0
mdv
mg + 0
En las cuadraturas para el vacıo, el denominador es menor, el integrando mayor, y por tanto lasintegrales son mayores. En vacıo se llega mas alto y se tarda mas tiempoa:
|Hr| < |Hv| Tr < Tv
aCon el sentido positivo hacia abajo, las alturas serıan negativas
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Caso F (x): fuerzas conservativas
F = F (x) i deriva de un potencial V (x) = −∫F (x) dx
F = −∇V (x) = −dV (x)
dxi
La ecuacion del movimiento se puede integrar una vez, para dar la integral de la energıa:
mx = F (x) ; mx x = F (x) x ⇒
⇒ mx2
2︸ ︷︷ ︸
T
=
∫
F (x) dx
︸ ︷︷ ︸
−V
+ E ⇒ T + V = E
Se conserva la energıa mecanica: Sistema conservativo
Error fatal: “calcular” el potencial de una fuerza disipativa → � ��Manuel Ruiz - Mecanica II 16 / 41
Caso F (x): Reduccion a cuadraturas
Integral primera: conservacion de la energıa
mx2
2= E − V (x) ⇒ x = ±
√
2
m(E − V (x))
Cuadratura:
dx
dt= ±
√
2
m[E − V (x)] ⇒ t− t0 =
∫ x
x0
±dx√
2m[E − V (x)]
Se obtienen x = x(x, x0, x0) y t− t0 = t(x, x0, x0) , ecuaciones horarias en forma implıcita.
El signo ± se determina con las condiciones iniciales
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Caso F (x): analisis cualitativo
La integral de la energıa T (x) + V (x) = E permite realizar un
analisis cualitativo del movimiento, sin necesidad de integrarlocompletamente.
Dos metodos equivalentes:
• Diagrama de energıa potencial: representar V (x); cada valorde E es una recta horizontal
• Mapa de fases: Cada valor de E es una curva del plano [x, x].
V (x)
O x
x
x
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Caso F (x): analisis cualitativo
x
V
T
V (x)
O x
Diagrama de Energıa Potencial
x
x
x
x
Mapa de fases
12mx
2 + V (x) = E x = ±√
2m[E − V (x)]
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Caso F (x): analisis cualitativo
Diagrama de energıa potencial
a
b
c
d
E1
E2
E3
E4
V (x)
xx1 x2 x3 x4
∞
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Caso F (x): analisis cualitativo
a) Punto de parada y retroceso
Singularidad en el corte:
t− t0 =
∫ x
x0
±dx√
2m[E − V (x)]
Convergencia de la integral:
lımx→x4
√
E − V (x)
(x4 − x)α= K / α < 1
Corte: α = 1/2 ⇒ llega en t finito
EV (x)
mx2
2
x x4
x
x
x
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Caso F (x): analisis cualitativo
b) Mınimo en x3
E < V (x3) ⇒ ∄ movimiento (x ∈ ℑ)E = V (x3) ⇒ Solo equilibrio en x3
E > V (x3) ⇒ Oscilaciones entre dos puntos de para-da/retroceso
V (x) mınimo en x3 ⇒ punto de equilibrio estable. Al pertur-barlo (E ↑) → oscilaciones acotadas, tan pequenas como sequiera: pozo de potencial.
Diagrama de fases: curvas cerradas alrededor de (x3, 0): cen-tro, o punto elıptico.
Eosc
Eequ
V (x)
Fx = −V ′(x)
x2 x3 x4
x
x
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Caso F (x): analisis cualitativo
c: Maximo en x1
E > V (x1), T > 0, pasa sin pararse
E = V (x1) segun condiciones iniciales:
• Equilibrio inestable en x1: perturbacion → movimientono acotado
• Movimiento asintotico: si V (x) es analıtica, α = 1, t =∞
E < V (x1) No llega
Mapa de fases: punto de silla o hiperbolico. Separatrices:movimiento asintotico con E = V (x1).
V (x)
x1
x
x
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Caso F (x): analisis cualitativo
d: Rama infinita - Similar al maximo, con x→ ∞
x
V (x)
x
x
0
x
V (x)
x
x0
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Oscilador armonico amortiguado forzado
Partıcula de masa m unida al origen por un muelle de constante k y longitud natural nula, y unamortiguador viscoso de constante c. Sobre la partıcula actua una fuerza F = F sinω t i.
mx = −k x− c x+ F sinω t
x+ 2ζωn x+ ω2n x = F
msinω t
Frecuencia de forzamiento: ω
Frecuencia natural: ωn =√
k/m
Factor de amortiguacion: ζ = c2mωn
m
x
Fc
k
x = xh + xp
Solucion homogenea xh Respuesta Transitoria
Solucion particular xp Respuesta Estacionaria
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Transitoria: oscilador libre
r2 + 2ζωnr + ω2n = 0 ⇒ ri = ωn
(
−ζ ±√
ζ2 − 1
)
Amortiguamiento supercrıtico, ζ > 1
Dos raıces reales negativas:
xh = Aer1 t +B er2 t; con r1, r2 < 0
Am. Crıtico, ζ = 1 (ccr = 2√km)
Una raız doble real negativa
xh = (A+B t) e−ωn t
• La que muere mas rapido.
• Frontera movimiento oscilatorio / no oscilatorio.
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Transitoria: oscilador libre
Amortiguamiento subcrıtico, ζ < 1
• 2 raıces complejas conjugadas
• Movimiento oscilatorio no periodico, exponencialmente amor-tiguado
• ωn
√
1− ζ2 : pseudofrecuencia
x
t
xh = e−ζωn t(
Aeiωn
√1−ζ2 t +B e−iωn
√1−ζ2 t
)
=
= e−ζωn t[
C cos(
ωn
√
1− ζ2 t)
+D sin(
ωn
√
1− ζ2 t)]
=
= e−ζωn t[
E cos(
ωn
√
1− ζ2 t+ ψ)]
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Transitoria: oscilador libre amortiguado
x
V (x)
ζ = 0
0,2
12
ζ = 0 punto de equilibrio estable
ζ > 0 eq. asintoticamente estable
x
xζ
21
0,20
2
ζ = 0 centro
ζ > 1 nodo estable
ζ = 1 nodo de una tangente est.
ζ < 1 foco estable
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Transitoria: Decremento logarıtmico
En el caso subcrıtico, se puede determinar experimentalmente el factor de amortiguamiento midiendodos amplitudes separadas un pseudoperiodo. Pueden medirse en cualquier punto, aunque es mas facilmedir dos maximos sucesivos.
Sea ∆t = 2π
ωn
√1−ζ2
el pseudoperiodo:
x1 = e−ζωn tE cos (. . . )
x2 = e−ζωn (t+∆t) E cos (· · · + 2π)
}
e δ =x1x2
= e2πζ√1−ζ2 ⇒ ζ =
δ√4π2 + δ2
x1x2
x
t
El logaritmo del cociente de amplitudes, δ , se llama decremento logarıtmico.
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Respuesta estacionaria: oscilador forzado
EDO: x+ 2ζωn x+ ω2n x = F
msinω t
Ensayamos soluciones de la forma,
xp = C1 sinω t+ C2 cosω t = A sin (ω t− φ)
C1 = A cosφ; C2 = −A sinφ
Se sustituye en la EDO:
(−C1 ω
2 − 2 ζ ωnC2 ω + ωn2C1
)sinω t +
+(−C2 ω
2 + 2 ζ ωnC1 ω + ω2nC2
)cosω t = F/m sinω t
Igualando terminos:
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Respuesta estacionaria: oscilador forzado
(0
︷ ︸︸ ︷
−C1 ω2 − 2 ζ ωnC2 ω + ωn
2C1 − F/m)
sinω t +
+(
−C2 ω2 + 2 ζ ωnC1 ω + ω2
nC2︸ ︷︷ ︸
0
)
cosω t = 0
−C2 ω2 + 2 ζ ωnC1 ω + ω2
nC2 = 0 → C2 =2 ζ ω ωn
ω2 − ω2n
C1
︸ ︷︷ ︸
↓
−C1 ω2 − 2 ζ ωnC2 ω + ωn
2C1 =F
m→
C1 =F(ω2n − ω2
)/m
[
4ζ2ω2ω2n + (ω2
n − ω2)2]
C2 =−F 2ζωωn/m
[
4ζ2ω2ω2n + (ω2
n − ω2)2]
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Respuesta estacionaria: oscilador forzado
Es mas util expresar la solucion mediante la fase φ y la amplitud A: