Mecanica Dos Sólidos Deformáveis

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DEFINIÇÃO DO TENSOR DAS TRANSFORMAÇÕES

Config. Indeformável Config. Deformável

F

F ⇒ Tensor Gradiente das Transformações

J ⇒ Jacobiano (J = det F ≥ 0)

TRANSFORMAÇÕES(APLICAÇÃO LINEAR)

Seja xri as coordenadas de xr em ℜ e xi as de x em ℜ. O tensor

gradiente da transformação é definido por:

x1

x2

x3

Jacobiano (condição local de impenetrabilidade)

Notação indicial

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EXERCÍCIO: TRANSFORMAÇÕES(APLICAÇÃO LINEAR)

Exemplo: Considere a transformação através das equações:

x1

x2

x3

Tensor das Transformações Jacobiano

Notação indicial

DESLOCAMENTOS

Deslocamento do ponto xr

x1

x2

x3

Gradiente dos deslocamentos em xr

Notação indicial

3

EXERCÍCIO: DESLOCAMENTOS

Exemplo: Considere a transformação através das equações:

x1

x2

x3

Tensor das Transformações

EXERCÍCIO: TENSOR DADEFORMAÇÃO DE GREEN

Tensor de Green (simétrico)

Continuando o exemplo anterior

OBS: Representado na configuração inicial

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EXERCÍCIO: TENSOR DASDEFORMAÇÕES DE CAUCHY

Tensor de Cauchy (simétrico)


OBS: Chamado também de tensor dos alongamentos quadráticos

de Cauchy.

EXERCÍCIO: TENSOR DASDEFORMAÇÕES DE ALMANSI

Tensor de Almansi (simétrico)


onde

OBS: Representado na configuração deformada

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TENSORES DAS DEFORMAÇÕES


ϕϕϕϕ

E ⇒ Tensor das deformações de Green-Lagrange

e ⇒ Tensor de Almansi

EXERCÍCIO: AUTO-VALORES E AUTO-VETORES

Tensor de Cauchy (simétrico)

Tensor de Cauchy escrito na base (e1, e2, e3)

e1=(1;0;0)

e2 =(0;1;0)

e3 =(0;0;1)

6



e1=(1;0;0)

e2 =(0;1;0)

e3 =(0;0;1)

Para escrever o tensor C nas direções principais, deve-se

determinar o polinômio característico


Determinação do polinômio característico

O polinômio característico é definido por:

onde

7


O polinômio característico é definido por:

Os auto-valores de C são as soluções do polinômio característico:

h1

h2

h3

Escrito na base das direções principais (auto-vetores):



Tensor de Cauchy escrito na base das direções principais

(h1, h2, h3)

8


h1

h2

h3

Os auto-vetores são calculados a partir da expressão abaixo:

Os versores h1, h2, h3 são calculados substituindo respectivamente

os valores de λ1, λ2, λ3 em λ da expressão acima.

Consequentemente:

EXERCÍCIO: TENSOR DOS ESTIRAMENTOS

Tensor dos Estiramentos

Tensor dos Estiramentos escrito na base das direções principais

(h1, h2, h3)

9


Invariantes de ΛΛΛΛ que podem ser calculados na base (h1, h2, h3)

Tensor dos Estiramentos escrito na base global (e1, e2, e3)


Exemplo: Tensor dos Estiramentos escrito na base das direções

principais (h1, h2, h3)

Invariantes de ΛΛΛΛ que podem ser calculados na base (h1, h2, h3)

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Tensor dos Estiramentos escrito na base global (e1, e2, e3)

DECOMPOSIÇÃO POLAR


ϕϕϕϕ

R ⇒ Tensor das Rotações

U ⇒ Tensor Direito dos Estiramentos

V ⇒ Tensor Esquerdo dos Estiramentos

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DECOMPOSIÇÃO POLAR

Conseqüentemente:

Logo:

e

Propriedades do Tensor R:

Então:

EXERCÍCIO: TENSOR DAS ROTAÇÕES

Tensor das rotações


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MATERIAIS HIPERELÁSTICOS ISÓTROPOS

PROPRIEDADES – MATERIAIS HIPERELÁSTICOS ISÓTROPOS

Um material hiperelástico isótropo tem a sua energia de deformação

específica dada por ψ(I1,I2,I3 ) , onde

Logo, as tensões são dadas por

Colocando-se em forma indicial e realizando-se as derivadas, conclui-

se que


Portanto,

Note-se que S(E) é uma função tensorial isótropa. Logo, em materiais

isótropos o tensor das tensões é uma função tensorial isótropa do

tensor das deformações.

Um material isótropo apresenta as mesmas propriedades elásticas em

qualquer direção.

Não existem direções preferenciais em um material isótropo. Materiais

resultantes da mistura aleatória de pequenos grãos são

macroscopicamente isótropos, como é o caso de metais e do concreto

simples.

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TENSORES COLINEARES OU COAXIAIS

Dois tensores simétricos de segunda ordem são ditos colineares ou

coaxiais se possuírem os mesmos autovetores, isto é, as mesmas

direções principais.

Em materiais isótropos os tensores das tensões e das deformações, Se E, são colineares. Isto é fácil de verificar, uma vez que I, E e E2 têm

os mesmos autovetores. Pode-se verificar que:


O tensor dos módulos hiperelásticos de rigidez tangente de um

material isótropo é dado por

Utilizando a regra da cadeia,

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Simplificando


Simplificando

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Resultando em


Um material hiperelástico isótropo linear para o par {S,E} tem

onde

As constantes

são chamadas de constantes de Lamé. A energia de deformação

específica de um material elástico isótropo linear é dada então por

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PARÂMETROS DOS MATERIAIS

Módulo de Elasticidade (Resiliência = Mód. de Elastic. Dinâmico)

Coeficiente de Poisson

Coeficientes de Lamé (Módulo de Rigidez Transversal)

Coeficientes de Lamé (Bulk e Quantity)

ANÁLISE TENSORIAL

ESTUDO DAS TENSÕESELASTICIDADE DE SAN VENNAT

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ELASTICIDADELEI DE SAN VENNAT

Segundo Tensor de Piola-Kirchhoff

Matriz de rigidez

EXERCÍCIO: ELASTICIDADELEI DE SAN VENNAT

Exemplo: Considere o módulo de elasticidade 210.000 MPa e

coeficiente de Poisson 0,3. Então:

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Portanto:


Uma vez conhecido o Segundo Tensor de Piola-Kirchhoff, tem-se:

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