Mecánica de Fluidos 02. Estática de Fluidos.

2. Estática de fluidos

n

Esfuerzo en un fluido

El fluido dentro del volumen V se encuentra encerrado por una superficie S. Enun punto sobre la superficie, donde la normal unitaria que apunta hacia fuera es n, el esfuerzo es σ.

σ

Para un fluido en reposo:

( )nσ p−=

Presión en un fluido estático.

Ley de Pascal: La presión en un punto dentro de un fluido es isotrópica.

n

dV

( ) ( )∫∫∫∫∫ ∇−=−=VS

dVpdS pnpresión de fuerza

Presión en un fluido en un campo gravitatorio

Ecuación fundamental de la hidrostática

Forma diferencial:

0g =ρ+∇− p

( ) 0g =ρ+∇− ∫∫∫∫∫∫VV

dVdVp

( ) 0gn =ρ+− ∫∫∫∫∫VS

dVdSp

Forma integral:

Integral de línea entre dos puntos dentro de un fluido

C

Fluido dC

1

2

( )

( ) ( )( )

( ) ( ) constanteconstante,si,0PP

0d·d·p-

0d·p-

:fluidodeldentropuntosdosentrecahidrostátiecuación ladelíneadeintegralladeCálculo

12

2

1

2

1

2

1

gR·gR·g

cR·gc

cg

12 ρ=−ρ+−−

=∇ρ+∇

=ρ+∇

∫∫

∫

R·gR·gR·g 21 P P P 21 ρ−=ρ−=ρ−

Medición de la presión

Determinación de la presión atmosférica (El barómetro)

z

gpA + rmgzA = pB + rmgzB

pA = pvapor = 0pB = patm

patm = ρmg(zA – zB) = ρmgh

Diagrama de un barómetro de mercurio. Las alturas del fluido se miden en ladirección positiva de z, la aceleración gravitatoria es hacia abajo y los puntos 1 y 2 Identifican las superficies libres de la columna de mercurio y el depósito, respectivamente

El manómetro

ρm

ρc

3

2

1

g

•

z

Abierto

Pa + ρmgz1 = P2 + ρmgz2

P2 + ρcgz2 = P3 + ρcgz3

P3 = Pa + ρmg(z1-z2) + ρcg(z2-z3)Sumando:h

Si ρc << ρm:

P3 = Pa + ρmg(z1-z2) = Pa + ρmgh

Manómetro de tubo en forma de U que se utiliza para medir la presión de un fluidoen un recipiente.

Fuerza de presión sobre una superficie sólida

Sólido

Fluido R

dS

n

O

∫∫=S

dSpnfp

Fuerza de presión del fluido sobre la superficie sólida

( )∫∫ ×=S

dSpnRTMomento de la fuerza de presión sobre la superficie sólida

S

( ) ( )

0

TTfRT

nRnRnRR

pcp

cp

=

−=×−=

×−×=× ∫∫∫∫∫∫ dSpdSpdSp-

:presióndecentrodelalrededor fuerzademomentodelCálculo

SSScp

TfR pcp =×

n

S

x

y

Sólido

Rs

dS

O

x’

z’

y’

x ix + y iy

pa (Presión sobre la superficie del fluido)

Rc(centroide de S)

c

Rs = Rc + x ix + y iy

Rs es el vector posición de un punto sobre la superficie plana.

∫∫=S

dSS1

sc RR

La fuerza de presión por unidad de área que actúa sobre un elemento dS dela superficie S de un sólido es pn, donde n es la normal unitaria que apunta hacia afuera del fluido. Rs es el vector de posición del elemento de superficie dS medidodesde el origen O del sistema de coordenadas.

Fuerza de presión sobre una superficie plana

∫∫∫∫∫∫ ===

ρ+ρ=

ρ+ρ=

Sxy

S

2yy

S

2xx

c

yyyxyxcp

c

xyyxxxcp

xydSI ,dSyI ,dSxI :donde

SpIgIg

y

SpIgIg

x

)Sp( c nfp =

Donde:pc es la presión en el centroide de la superficie plana.S es el área de la superficie plana

Cálculo del centro de presión: Rcp × fp = T

Centroides y momentos de inercia

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Fuerzas de presión sobre cuerpos sumergidos en fluidos

Principio de Arquímides

Sólido

Fluido

n

O

Rg

Rb

∫∫∫∫∫ ρ==V

wS

dVdSp gnfb

Fuerza de boyamiento

Fuerza gravitacional

∫∫∫ρV

s dVg

∫∫∫=V

dVV1 RR g

Centro de gravedad del sólido con densidad ρs ctte.

∫∫∫=V

b dVV1 RR

Centro de carena del sólido si la densidad ρw del fluido es ctte.

dV

R

g

( )

( )

( )

.desplazadofluidoden volumedelpesoaligualessumergidosólidoobjetoun sobre

boyamientodefuerzaLa:ArquímidesdePrincipiodV-

:Entonces

ca)hidrostáti(CondicióndV-

Gauss)deteoremael(AplicandodVp

dSp

Vw

Vw

V

S

∫∫∫

∫∫∫

∫∫∫

∫∫

ρ=

ρ=

∇−=

=

gf

g

nf

b

b

Si la densidad del fluido y g son constantes, obtenemos: Vwgfb ρ−=

El momento de la fuerza de boyamiento sobre el sólido es :

¡EUREKA!

( )( ) ( ) ( )

bbb

b

fRT

fRgRgRT

×=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×=ρ−×=ρ−×= ∫∫∫∫ V

VdSdS bbw

SSw

Equilibrio estático

⎪⎩

⎪⎨⎧

=×+×+×

=++

0FRFRFR

0F FF

extextggbb

extgb

Equilibrio estable

BG

M

ao

x

y

b

c

d

e

f

B’

o’f’

b’

dx

dS = x tan(δθ) dxδθ

δθ

a’

c’

L

0si,0y

ydSydSVLy

ydSydSydSVLy

aofocb

aofocbacde

SSsub

SSSsub

→δθ+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

B

B

B'

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

=

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫

aofocbacde

sub

SSSsub

Vsub

dSdSdSVL

dVV

1

RRR

RRB'

( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )o

sub

S

2

subac

2

sub

ocaosub

SSsub

SSSsub

IV

tan

dSxV

tanLdxtanxV

1

dxtanxxdxtanxxVL

xdSxdS0VL

xdSxdSxdSVLx

'a'acc

aofocb

aofocbacde

δθ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δθ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δθ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛δθ−−δθ=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∫∫∫

∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫B'

( ) sub

0MB

'B

VIL

tanx ==δθ

Si LMB > 0 entonces el sistema es dinámicamente estable.

Fluidos estratificados

Equilibrio estático en fluidos estratificados

( )

quedirección mismalatener debereposoen adoestratificfluidoun dedensidadladegradienteEl,0

:equilibriodecondición siguientelaobtenemosconstante,doConsideran0P

0P-ca,hidrostátiecuación laderotacionalelTomemos

gg

ggg

g

=×ρ∇

=×ρ∇+×∇ρ+∇×∇−=ρ+∇×∇

Cálculo de la presión en un fluido estratificado

( ) ( )

{} {}∫ρ−=

ρ−=

=ρ−+∇

−=

z

0z0 dzzgpzp

gdzdp

0·g·p-:esadoestratificfluidoun paracohidrostátiequilibriodeecuación laentonces,geaS

zzz

z

iiiig

{} {} ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−=

ρ=

∫z

zoo dz

zT1

Rgexppzp

gRTp

dzdp

RT,pperfecto,gasun comooatmosféricaireeldoConsideran

Atmósfera isotérmica, T=T0 {} ( )⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= 0

0o zz

RTgexppzp

La atmósfera normal

{}( ) 1i,idT

dzRg

i

i1i,i

i

i1i,i T

zzdzdTT

pzp

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

++

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

Estabilidad atmosférica

Para un gas ideal

{ }

{ } { }

( )

{ }p

s

s

cg

dzzdT

gp

dzzdp

pdzzd

0dz

zd

−>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ρ−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ρ∂

<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂ρ∂

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ρ

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ρ

Tensión superficial y capilaridad

El líquido se eleva en un tubo capilar a una posición de equilibrio que estádeterminada por el equilibrio de la fuerza de tensión superficial y la de gravedad,las cuales actúan sobre una columna de fluido que presenta la elevación en susuperficie.