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MECANICA CUANTICA AVANZADA FIM 8440 (1)
MECANICA CUANTICA AVANZADAFIM 8440 (1)
Ricardo RamırezFacultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile
1er. Semestre 2012
Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile
MECANICA CUANTICA AVANZADA FIM 8440 (1)
Indice
Indice de materias del curso (tentativo)
Segunda cuantizacionFermionesBosonesScatteringBCSOperadores de rotacionEcuacion de Dirac
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Bibliografıa
Bibliografıa
F. Schwabl. Advanced Quantum Mechanics.
P. L. Taylor. Quantum Approach to the Solid State.
D. Pines. The Many-Body Problem.
P.A. Martin, F. Rothen. Many-Body Problems andQuantum Field Theory.
G. Baym. Lectures on Quantum Mechanics
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Controles
Fecha de los Controles
Control No. 1 Viernes 24 de Abril
Control No. 2 Viernes 25 de Mayo
Control No. 3 Viernes 21 de Junio
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Segunda cuantizacion
SEGUNDA CUANTIZACIONEs un formalismo en que los operadores se expresan en terminos de losllamados operadores de campo, que introduciremos mas adelante. Muchasde estas expresiones tienen una similitud formal con la expresioncorrespondiente del valor de expectacion del operador, cuando este seescribe en termino de las funciones de onda. Ası, por ejemplo, usualmente elnumero de partıculas se puede escribir como:
N =
∫d3rφ∗(~r)φ(~r)
mientras que en segunda cuantizacion el operador numero de partıculas, enterminos de los operadores de campo, es:
N =
∫d3rψ†(~r)ψ(~r)
Este es el motivo del nombre segunda cuantizacion. Como veremos, losoperadores de campo crean o destruyen partıculas, ası en este formalismoel numero de partıculas no esta fijo.
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Segunda cuantizacion
ESTADOS SIMETRICOS Y ANTISIMETRICOS
Estados de una partıcula:
|i〉 : |1〉, |2〉, . . .
A partir de ellos construımos estados bases de N partıculas (CCO):
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Bosones
Ası construımos un espacio que es la la suma directa del espaciocon 0 partıcula, el espacio con 1 partıcula, el espacio con 2partıculas, etc. Es llamado el espacio de Fock.
Ahora introduciremos unos operadores que nos permiten pasar deun espacio de N partıculas a uno de N ± 1 partıculas. Definimos:
a†i | . . . ,ni , . . .〉 =√
ni + 1| . . . ,ni + 1, . . .〉 (3)
Cambiamos el ındice ni → n′i , tomamos el adjunto y multiplicamos ala derecha por | . . . ,ni , . . .〉:
〈. . . ,n′i , . . . |ai | . . . ,ni , . . .〉 =√
niδn′i +1,ni
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es decir de reemplazar j por i en la posicion i` en que i` = j .
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Bosones
Como el estado j esta ocupado nj veces, el efecto de esta operacion es dereemplazar j por i , nj veces, es decir aumentar en 1 la ocupacion del estado iy a la vez disminuir en 1 la del estado j . De esta manera se obtienen nj
terminos proporcionales al estado | . . . , ni + 1, . . . , nj − 1, . . .〉. Sin embargo,para obtener el estado correcto hay que modificar la normalizacion:
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Bosones
Ahora definamos:
{A,B} = [A,B]+ = AB + BA para fermiones
[A,B] = [A,B]− = AB − BA para bosones
Entonces escribimos [a†i , aj ]ζ = δij , con ζ = ± para fermiones y bosonesrespectivamente.
Ahora busquemos una generalizacion del resultado anterior, valido tantopara el caso de bosones como el de fermiones:∑α 6=β
|i〉α|j〉β〈k |α〈m|β =∑α 6=β
|i〉α|〈k |α|j〉β〈m|β
=∑α
|i〉α|〈k |α∑β
|j〉β〈m|β −∑α
|i〉α〈k |α|j〉α〈m|α
=∑α
|i〉α|〈k |α∑β
|j〉β〈m|β − δkj
∑α
|i〉α〈m|α
= a†i ak a†j am − δkja†i am
= a†i ak a†j am − a†i [ak , a†j ]ζam
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Bosones
∑α 6=β
|i〉α|j〉β〈k |α〈m|β = a†i ak a†j am − a†i [ak , a†j ]ζam
= a†i ak a†j am − a†i ak a†j am − ζa†i a†j ak am
= a†i am − ζa†i a†j ak am − a†i am + ζa†i a†j ak am − ζa†i a†j ak am
= −ζa†i a†j ak am
= a†i a†j amak
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Fermiones
FERMIONES
Para estas partıculas consideramos estados que pueden serrepresentados como determinantes:
S−|i1, i2, . . . , in〉 =1√N!
∣∣∣∣∣∣∣|i1〉1 |i1〉2 . . . |i1〉N
......
. . ....
|iN〉1 |iN〉2 . . . |iN〉N
∣∣∣∣∣∣∣Estos determinantes se llaman determinantes de Slater. Si cualquierpar de estados de una partıcula, en el determinante anterior, soniguales, el resultado es cero. Tambien se cumple que:
S−|i2, i1, . . . , in〉 = −S−|i1, i2, . . . , in〉
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Fermiones
Al igual que en el caso de los bosones, caracterizaremos los estadospor los numeros de ocupacion, que pueden ser 0 o 1:
|n1,n2, . . .〉
El estado para el cual no hay partıculas es el estado vacıo:
|0〉 = |0,0, . . .〉
Estos estados forman un COC similar al de los bosones y expandenun espacio que tambien es conocido como el espacio de Fock.
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Fermiones
Si queremos introducir el operador de creacion es importante tomaren cuenta el orden en que se aplican estos operadores. Ası definimosel operador de creacion a†i a traves de relaciones como:
S−|i1, i2, . . . , iN〉 = a†i1a†i2 . . . a
†iN|0〉
S−|i2, i1, . . . , iN〉 = a†i2a†i1 . . . a
†iN|0〉
Ya que estos estados son iguales excepto por el signo, tenemos, engeneral, que:
{a†i ,a†j } = [a†i ,a
†j ]+ = 0
De aquı obtenemos:
(a†i )2 = 0
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Fermiones
Entonces si uno quiere caracterizar los estados por sus numeros deocupacion, se debe elegir un orden particular de estos estados:
|n1,n2, . . .〉 = (a†1)n1 (a†2)n2 . . . |0〉 con ni = 0,1
Si queremos operar con a†i sobre este estado, debemos considerarque el resultado es nulo si el estado i ya esta ocupado (factor 1− ni )y tambien debemos tomar en cuenta el numero deanticonmutaciones para llevar a†i a la posicion i :
a†i (a†)n = −a†a†i (a†)n−1
= (−1)2(a†)2a†i (a†)n−2
...= (−1)n(a†)na†i
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Fermiones
Por lo tanto:
a†i | . . . , ni , . . .〉 = a†i (a†1)
n1(a†2)n2 . . . (a†i )
ni . . . |0〉 (8)
= (1− ni)(−1)∑
j<i nj | . . . , ni + 1, . . .〉 (9)
Ahora averiguemos cual es el efecto de ai . Para eso tomamos el adjunto dela ultima relacion y el resultado lo multiplicamos a la derecha por | . . . , n′i , . . .〉:
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Fermiones
Para i 6= j , se puede demostrar que:
{a†i ,aj} = 0, {a†i ,a†j } = 0, {ai ,aj} = 0
La demostracion se deja como ejercicio.
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Fermiones
Operadores de una y de muchas partıculas para fermiones
Ya vimos que en terminos de operadores de creacion y aniquilacion,los operadores de una partıcula ya sea para bosones como parafermiones, tienen la forma: ∑
ij
tija†i aj
y los operadores de dos partıculas:
12
∑ijkm
〈ij |f (2)|km〉a†i a†j amak
Ası por ejemplo, un Hamiltoniano con terminos de energıa cinetica T ,potencial externo U e interacciones de dos cuerpos V tiene la forma:
H =∑
i
Tia†i ai +
∑ij
Uija†i aj +
12
∑ijkm
Vijkma†i a†j amak
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Fermiones
donde
Ti = 〈i |T |i〉
Uij = 〈i |U|j〉
Vijkm = 〈ij |V |km〉
En el caso de los fermiones se debe tener precaucion en el ordenque operan dos operadores de aniquilacion en los operadores de dospartıculas.
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Operadores de campo
OPERADORES DE CAMPO
Transformaciones entre bases distintas
Considere dos bases |i〉 y |λ〉. El estado |λ〉 puede ser expandido enla base |i〉:
|λ〉 =∑
i
|i〉〈i |λ〉
Como a†i crea una partıcula en el estado |i〉, la superposicion
a†λ =∑
i
〈i |λ〉a†i
crea una partıcula en el estado |λ〉 y
aλ =∑
i
〈i |λ〉ai
destruye una partıcula en el estado |λ〉.Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile
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Operadores de campo
Los estados propios de posicion |~x〉 representan un caso particularespecialmente importante:
〈~x |i〉 = ϕ(~x)
donde ϕ(~x) es la funcion de onda de una partıcula en larepresentacion de coordenadas.
Operadores de campo
Los operadores de campo estan definidos por:
ψ(~x) =∑
i
ϕi (~x)ai
ψ†(~x) =∑
i
ϕ∗i (~x)a†i
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Operadores de campo
Estos operadores de campo aniquilan o crean partıculas en el estadopropio de posicion |~x〉, es decir en la posicion ~x . Estos operadorescumplen con la siguientes relaciones de conmutatividad:
[ψ(~x), ψ(~x ′)]± = 0[ψ†(~x), ψ†(~x ′)
]± = 0[
ψ(~x), ψ†(~x ′)]± =
∑ij
ϕi (~x)ϕ∗j (~x ′)[ai ,a†j ]±
=∑
ij
ϕi (~x)ϕ∗j (~x ′)δij
= δ(~x − ~x ′)
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Operadores de campo
Ahora expresemos algunos operadores importantes en terminos delos operadores de campo:
Energıa cinetica
∑ij
Tija†i aj =∑
ij
∫d3xa†i ϕ
∗i (~x)
[− ~2
2m∇2]ϕj(~x)ai
=~2
2m
∫d3x∇ψ†(~x)∇ψ(~x)
Energıa potencial de un cuerpo∑ij
Uija†i aj =∑
ij
∫d3xa†i ϕ
∗i (~x)U(~x)ϕj(~x)ai
=
∫d3xψ†(~x)U(~x)ψ(~x)
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Operadores de campo
Energıa de interaccion de dos cuerpos
12
∑ijkm
Vijkma†i a†j ak am =
=12
∑ijkm
∫d3xd3x ′ϕ∗i (~x)ϕ
∗j (~x′)V (~x , ~x ′)ϕk (~x)ϕm(~x ′)a†i a†j amak
=12
∫d3xd3x ′V (~x , ~x ′)ψ†(~x)ψ†(~x ′)ψ(~x ′)ψ(~x)
Hamiltoniano
H =
∫d3x
[~2
2m
∫d3x∇ψ†(~x)∇ψ(~x) +
∫d3xψ†(~x)U(~x)ψ(~x)
]+
12
∫d3xd3x ′V (~x , ~x ′)ψ†(~x)ψ†(~x ′)ψ(~x ′)ψ(~x)
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Operadores de campo
Densidad de partıculas
El operador densidad de partıculas es:
n(~x) =∑α
δ(~x − ~xα)
=∑α
∑ij
|i〉α〈i |αδ(~x − ~xα)|j〉α〈j |α
=∑α
∑ij
|i〉α[∫
d3yϕ∗i (~y)δ(~x − ~y)ϕj(~y)]〈j |α
=∑
ij
[∫d3yϕ∗i (~y)δ(~x − ~y)ϕj(~y)
]∑α
|i〉α〈j |α
=∑
ij
ϕ∗i (~x)ϕj(~x)a†i aj
donde hemos usado (7)
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Operadores de campo
En terminos de los operadores de campo:
n(~x) = ψ†(~x)ψ(~x)
y el numero total de partıculas:
N =
∫d3xn(~x) =
∫d3xψ†(~x)ψ(~x)
Densidad de corriente
~j(~x) =~
2mi[ψ†(~x)∇ψ(~x)−∇ψ†(~x)ψ(~x)
]
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Operadores de campo
De las ultimas expresiones se nota que existe una similitud formalcon la expresiones usuales en las que ψ(~x) representa un estado deuna partıcula. Esta analogıa es solo formal, pero ha sido la razon deltermino segunda cuantizacion.
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Operadores de campo
Ecuaciones de campo
Los operadores de campo en la representacion de Heisenberg tienen laforma:
donde se uso V (~x , ~x ′) = V (~x ′, ~x) Entonces si multiplicamos (11) por ψ†(~x , t)y (12) por ψ(~x , t) obtenemos:
n(~x , t) = ψ†ψ + ψ†ψ =1i~
(− ~2
2m
)[ψ†∇2ψ − (∇2ψ†)ψ
]Se puede demostrar que esto equivale a:
n(~x) = ∇ ·~j(~x)
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Representacion de Momentum
Representacion de Momentum
Consideremos una caja rectangular de lados Lx , Ly y Lz con V = Lx Ly Lz .Las funciones propias normalizadas son:
ϕ(~x) =1√v
ei~k·~x (13)
Si hay simetrıa translacional con perıodos Lx , Ly y Lz entonces:
ei~kx (x+Lx ) = ei~kx x
entonces ~k esta restringido a:
~k = 2π(
nx
Lx,
ny
Ly,
nz
Lz
)donde los nx , etc. son numeros enteros o cero, i.e. (n = 0,±1,±2, . . .)
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Representacion de Momentum
La funciones (13) son ortonormales:∫d3xϕ∗~k (~x)ϕ~k ′(~x) = δ~k,~k ′
Para representar el Hamiltoniano H en segunda cuantizacionnecesitamos los elementos de matriz de los operadores contenidosen el. Usando las funciones (13) tenemos:∫
d3xϕ∗~k ′(~x)(−∇2)ϕ~k (~x) = δ~k,~k ′
~k2
∫d3xϕ∗~k ′(~x)U(~x)ϕ~k (~x) =
1V
U−~k ′,~k
1V 2
∫d3x
∫d3x ′ϕ∗~p′(~x)ϕ∗~k ′(~x
′)V (~x − ~x ′)ϕ~p(~x ′)ϕ~k (~x)
=1V
∑~q
V~qδ−~p′+~q+~p,0δ−~k ′−~q+~k,0
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Representacion de Momentum
donde
V~q =
∫d3xe−i~q·~xV (~x) (14)
Entonces la forma general de Hamiltoniano en la representacion demomentum es:
H =∑~k
(~~k)2
2ma†~k a~k +
1V
∑~k,~k′
U~k′−~k a†~k′a~k +1
2V
∑~q,~p,~k
V~qa†~p+~qa†~k−~qa~k a~p
Para el caso particular de V (~x) = e2/|~x | = e2/r , la transformada de Fourier(14) se calcula introduciendo un pequeno parametro α, que al final delcalculo se hace cero:
V~q =
∫d3xe−i~q·~x e−αr e2
r
= 2πe2∫ ∞
0r 2dr
∫ π
0e−iqr cos θe−αr 1
rsin θdθ
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Representacion de Momentum
V~q = 2πe2∫ ∞
0r 2dr
∫ 1
−1e−iqrµe−αr 1
rdµ
= 2πe2∫ ∞
0r 2e−αr 1
rdr
eiqr − e−iqr
iqr
=4πe2
q
∫ ∞0
dre−αr sin qr
=4πe2
qq
α2 + q2 =4πe2
α2 + q2
por lo tanto con α = 0:
V~q =4πe2
q2 (15)
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Representacion de Momentum
Transformada de Fourier de la densidad de partıculas
n~q =
∫d3xn(~x)e−i~q·~x =
∫d3xψ†(~x)ψ(~x)e−i~q·~x
pero,
ψ†(~x) =1√V
∑~p
e−i~p·~xa†~p ψ(~x) =1√V
∑~p
ei~p·~xa~p
Reemplazando obtenemos:
n~q =
∫d3x
1V
∑~p
∑~k
e−i~p·~xa†~pei~k·~xa~k e−i~q·~x
Pero1V
∫d3xei(−~p+~k−~q)·~x = δ(~k − ~p − ~q) → n~q =
∑~p
a†~pa~p+~q
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Representacion de Momentum
Inclusion del spin
Para incluir el spin en la notacion en forma explıcita, simplemente debemoshacer reemplazos como:
ψ(~x)→ ψσ(~x) y a†~k →†~kσ
en las ecuaciones donde aparecen estos operadores.
Para fermiones de spin 1/2, en que las componentes del spin son ±~2
, eloperador densidad de spin,
~S(~x) =N∑α=1
δ(~x − ~xα)~Sα
se escribe en este caso como:
~S(~x) =~2
∑σ,σ′
ψ†σ(~x)σσ,σ′ψσ′(~x)
donde los σσ,σ′ son elementos de las matrices de Pauli.Ricardo Ramırez Facultad de Fısica, Pontificia Universidad Catolica, Chile