MECA1321 : tout ce dont vous avez rêvé à propos des fluides newtoniens... Equations de conservation et de comportement (VL) Ecoulements et transferts laminaires (VL) Théorie de la lubrification (VL) Couches limites - convection forcée et naturelle (VL) Ecoulements et transferts turbulents (GW) Examen d’exercices à livre fermé sans aucun document ou formulaire !
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MECA1321 : tout ce dont vous avez rêvé à propos des ...
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MECA1321 : tout ce dont vous avez rêvé à propos des fluides newtoniens...
Equations de conservation et de comportement (VL)
Ecoulements et transferts laminaires (VL)
Théorie de la lubrification (VL)
Couches limites - convection forcée et naturelle (VL)
Ecoulements et transferts turbulents (GW)
Examen d’exercices à livre fermé sans aucun document ou formulaire !
Equipe enseignante :-)
La mécanique des milieux continus…
Construction d’un modèle pour prédire l’évolution
d’un milieu continu
Equations aux dérivées partiellesEquations de conservationEquations de comportement
Conditions aux limitesConditions frontièresConditions initiales
MASSE
§W eftp.apfju?EDi-mvT-MafIEntftne-DeMVTE--ET
Dynamique moléculaire de l’air
Hypothèse du modèle continu
Construction d’un modèle pour prédire l’évolution
d’un milieu continu
3.5 litres d’air1023 molécules
Ordinateur
1010 opérations par seconde1013 secondes ou 100.000 années
juste pour référencer une fois chaque molécule
La prédiction avec la dynamique moléculaire est tout-à-fait
impossible pour des écoulements complexes
La densité obtenue comme une moyenne…
Essentiellementconstant
Non uniformité macroscopique
Fluctuationsmoléculaires
Point matériel
÷ . •
Hypothèse des milieux
continus
Essentiellementconstant
Non uniformité macroscopique
Fluctuationsmoléculaires Echelle
Le comportement de nombreux systèmes est essentiellement le même que si on supposait qu’ils étaient parfaitement continus.
Expérimentalement, on observe bien une séparation des échelles, typiquement 1015
ANDÉtonnait
ËË
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" ÷
1171 LOISD E CONSERVATION
O U D E B I L A N
A l t )
↳ A i t )Ê«t) = A l t ) + Ai t )
(contenu (Cf)ËËïË(CONTENANTVtt)
Massé/ ] " ¥ + E . (px) = 0
Q u a n t i n | ] " ¥45) + E . (LEI) = p q t P E
f
#
virent T t : E . I
ENERGIE
Lois de conservation
Observateur
Apports extérieurs
Contenu : masse, quantité de mvt, énergie…
Contenant : volume matériel ou volume de controle
Lois de conservation, lois de comportement,conditions aux limites.
Lois de comportement
Lois de conservation
Conditions aux limites
Consevation de la masse, de la quantité de mouvement, du moment de la quantité de mouvement et de l�énergie.
Formes globales de la conservation de la masse
Volume matérielEnsemble de points matériels en mouvement se déplaçant à une vitesse macroscopique v(x,t)
Volume de controleEnsemble de points eulériens
Forme globale
satisfaite pour une certaine classe de systèmes, à tout instant
Conservation de la masse
Forme locale
satisfaite en tout point et à tout instant
sous certaines conditionsde continuité..
¥ + I .Rp + f P I - o- -
E . (ex )
Toutes les lois de conservation, en un clin d�oeil…
Forme globale pour des volumes matériels
S?.no-THEOREMED E L'ENERGIEE tMECANIQUE qq.sk?
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!
DISSIPATIONV I S QU EU S E
PUISSANCE D E S EFFORTS INTERNEC
Conservation de l’énergie…
… sous 3 angles de vue !
Puissance des efforts internes
Energiepotentielle
Energiecinétique
Energieinterne
Puissance des forces à distance
Puissance des efforts internes
Puissance des efforts internes
Energiecinétique
Energieinterne
Formes globales
Forme locale non-conservative de la conservation de l’énergie interne
Forme locale non-conservative de la conservation de l’énergie cinétique
Comment retrouver
les équationslocales ?
…dont on peut déduire des formes locales
Forme localedite conservative
Forme localedite non-conservative
Trois nouveaux acteurs dans notre modèle !
Pression
Tenseur des extra-contraintes
Enthalpie
Un peu d’algèbre
Lois de conservation, lois de comportement,conditions aux limites.
Lois de comportement
Lois de conservation
Conditions aux limites
Second principe de la thermodynamique,Modèle du fluide visqueux newtonien
Les équations de comportement ne peuvent pas être écrites n’importe comment !Il faut respecter certaines règles !En particulier, il faut les écrire afin que le second principe de la
thermodynamique soit toujours satisfait.
Quelques jolis tenseurs pour construire notre modèle…
Tenseur des taux de déformation
Partie sphérique du tenseur des taux de
déformation
Partie déviatoire du tenseur des taux de
déformation
Modèle du fluide visqueux newtonien
Contraintes à respecter
pour satisfaire Clausius-Duhem
Viscosité de cisaillement
Viscosité de volume
Conductibilité thermique
L’équation de comportement pour l’entropie n’est utile que pour vérifier que le second principe est bien satisfait !
Quelques ordres de grandeur
Le compte est bon !
Remarque : si une équation de comportement pour l’enthalpie est donnée… on en déduit automatique l’énergie interne et vice-versa.
Un exempled’équation d’état pour la masse volumique
Modèle de gaz idéal
Ecoulements compressibles
Propagation des sons au sein de l’air : c’est un effet de la compressibilité de l’écoulement. Caractérisation par le nombre de Mach
Constante du gaz
Presque comme en thermo…
Constante du gaz
Masse volumique [kg/m3]
Concentration molaire [mole/m3]
Masse molaire[kg/mole]
Constante des gaz
Et la relation d’état pour l’enthalpie (1) ?
(1) ou l’énergie interne
Coefficient de dilatation thermique
Coefficient de compressibilité
Chaleur massique à pression constante
Chaleur massique à volume constant
Il s’agit donc de définirune équation d’état pour la chaleur massique à pression constante et …
Chaleur massique à pression constante
On ne peut pas écrire n�importe comment ces relations d�état !
Second principe de la thermodynamique
Il faut respecter certaines règles !En particulier, il faut les écrire afin que le second principe de la
thermodynamique soit toujours satisfait.
De tels gonflement de jets sont imprévisibles avec ce modèle newtonien
(Giesekus, Rheologica Acta, 68)
(Piau, JNNFM, 90)
La plupart de fluides réels NE SONT PAS des fluides newtoniens…
L’air et l’eau sont toutefois newtoniens et constituent les fluides les plus largement répandus…
!
I t t
Rhéologie : la science du monde magique des équations de comportement…
Contraintes du fluide visqueux
newtonien
Contraintes du solide élastique
PressionVitesse de dilatation-
compression
Vitesse de cisaillement
DéformationModèles viscoélastiques
petites déformationsgrandes déformations
coefficients de Lamé
viscosité de volume
viscosité de cisaillement
Evaluer la force de trainée à partir d’une mesure du profil de vitesses en aval…
Volume de controleEnsemble de points eulériens
Taneda 1956(from An Album of Fluid Motion, Van Dyke)
Ecoulement incompressible et irrotationnelTransformations
adiabatiques
Hypothèses réalistes
Hypothèses irréalistes
Fluideparfait
Fluideincompressible
Fluide newtonien à paramètres matériels constants
Donc, simplifions…
Ecoulement incompressible
Les équations de continuité et de quantité de mouvement ne font pas intervenir la température : on peut résoudre la dynamique de l’écoulement sans tenir compte des aspects thermiques !
Ecoulement incompressible d’un fluide visqueux newtonien à paramètres constants.
Dans un écoulement incompressible, il n’y a pas de raison de distinguer chaleur spécifique à volume ou à pression constante. On écrit simplement le symbole c !
Ecoulements incompressibles stationnairesplans
Ecoulement incompressible stationnaire d’un fluide visqueux newtonien à paramètres constants, sans forces de volume.
Ecoulements 3D – 2D –1D
Ecoulements établis :
• Une seule vitesse u• Pas de variations de u le long de l’axe de
la conduite (c’est-à-dire x)
Un écoulement établi est un écoulement dont le profil transversal de vitesse est le même quelle que ce soit la section transversale à l’écoulement.