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Mecanique des Structures. Etude des Poutres
Patrice Cartraud
To cite this version:
Patrice Cartraud. Mecanique des Structures. Etude des Poutres.
Ecole dingenieur. EcoleCentrale de Nantes, FRANCE, 2011, pp.67.
HAL Id: cel-00451733
https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00451733v2
Submitted on 7 Jan 2011
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M
Patrice Cartraud
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lidentique; .
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T
A- v
. Cadre de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
.. quations de champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .. Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .. Rcapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. lments thoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .. Formulation variationnelle en dplacement . . . . . . . .
. . . .. Formulation variationnelle en contrainte . . . . . . . . .
. . .
. Rsolution des problmes dlasticit . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .. Approche en dplacements . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .. Approche en contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .. Choix dune mthode de rsolution . . . . . . . . . . . . .
. .
. Principe de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
A . Problme de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
.. Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .. Dcomposition de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. Solutions lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .. Traction-compression . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .. Flexion pure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . .. Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .. Flexion simple . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
U . Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . Hypothses cinmatiques . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . Dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . Contraintes intgres et eorts internes . .
. . . . . . . . . . . . . . . . quations locales . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Loi de comportement
gnralise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditions aux
limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bilan
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . lments thoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .
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iv T
. Rsolution du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .. Approche en dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .. Approche en forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . .. Dcomposition du problme . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. Dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
S . Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . quations du problme . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . Rsolution du problme . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
.. Approche en dplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. Approche en forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . Mise en quations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.. Eort normal dans une barre . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .. Proprits de leort normal dans une barre . . . . . . . . . . ..
Contraintes et dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
quilibre dun nud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. nergie lastique de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . .
.
. Rsolution dun problme de treillis . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
.. Rsolution en utilisant la compatibilit gomtrique . . . . . .
.. Rsolution par la mthode des forces . . . . . . . . . . . . .
.
R
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A-
La Mcanique des Structures est une discipline trs ancienne, qui
sest dveloppe pourrpondre des besoins de construction, initialement
dans le domaine du gnie civil. Ellerepose sur lutilisation de
modles simplis, qui vont permettre lanalyse des structuresde faon
rapide.
Ces modles exploitent une caractristique essentielle des
structures qui sont dessolides dformables tridimensionnels : leurs
trois dimensions ne sont pas dummeordrede grandeur. Il y a ainsi
deux catgories de structures.
les structuresminces dont une dimension (lpaisseur) est trs
petite devant les deuxautres, et qui sont appeles plaques ou coques
selon que leur surface moyenne estplane ou non ;
les structures lances dont une dimension (la longueur) est trs
grande devant lesdeux autres, et qui sont appeles poutre ou arc
selon que leur ligne moyenne estdroite ou non.
Ces structures constituent aujourdhui limmensemajorit des
structures industrielles, etce dans tous les domaines :
aronautique, automobile, construction ferroviaire et navale,gnie
civil, etc. Ces deux types de structures sont aussi souvent combins
entre elles, parexemple en renforant des plaques par des poutres.
La popularit de ces structures vientdu fait quelles prsentent des
proprits optimales en termes de raideur et de rsistance,vis--vis de
la quantit de matire utilise. A contrario, les solides dformables
massifs,cest--dire avec des longueurs comparables dans les trois
dimensions de lespace, sonttrs peu utiliss.
La thorie de la Mcanique des Structures a t initie au sicle,
donc bienavant la Mcanique des Milieux Continus dont le formalisme
actuel a t mis au pointau dbut de la seconde moiti du sicle. Les
modles simplis dvelopps sont assissur des hypothses a priori
valides lpoque par lexprience. Ce nest seulement quedans la
secondemoiti du sicle que cesmodles ont t justis a posteriori. En
eet,les mathmaticiens appliqus ont dmontr leur bien fond, au sens
asymptotique duterme. Ainsi, lorsque la minceur dune structure tend
vers zro ou son lancement verslinni, la dirence entre la solution
du problme de llasticit tridimensionnelle et dumodle simpli tend
vers zro. Ces modles simplis sont respectivement le modlede
Love-Kirchho pour les plaques, et celui de Navier-Bernoulli pour
les poutres.
Cest ce dernier modle quest consacr ce document qui traite donc
de la mca-nique des structures lances. Lexpos dbute par un rappel
de la thorie de llasticit
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vi A-
linaire, dans le cadre de laMcanique desMilieux Continus
tridimensionnelle. Dans cecontexte est ensuite aborde la rsolution
analytique de problmes poss sur une struc-ture tridimensionnelle
lance problmes dits de Saint-Venant. Lobjectif est ici dedisposer
de rsultats de rfrence pour guider la construction du modle simpli.
Lathorie de poutre de Navier-Bernoulli est alors prsente, avec la
volont dlibre demonter le parallle avec la Mcanique des Milieux
Continus tridimensionnelle. Enn,deux chapitres courts concernent
lillustration de la thorie sur des structures treillis etsur des
problmes de exion plane.
Ce document est naturellement amen voluer, au gr des remarques
et commen-taires des lecteurs qui sont les bienvenus. Il senrichira
galement dans une prochaineversion de la prsentation du ambement et
des vibrations des poutres.
Je tiens remercier tout spcialement Mathias Legrand (Universit
McGill, ECN)pour les nombreuses gures quil a ralises et sa
contribution essentielle la mise enforme de ce document. Sa clart
et son esthtique lui doivent beaucoup.
Nantes, janvier Patrice Cartraud
[email protected]
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Chapitre
. Cadre de travail
Ce chapitre est consacr ltude de lvolution dun systme mcanique
qui, partirdun tat initial non charg les contraintes sont nulles en
tout point , va atteindreun nouvel tat dquilibre sous laction de
sollicitations extrieures. Lobjectif ici est dedterminer ce nouvel
tat. En eet, la connaissance des contraintes dans le systme per-met
lanalyse de sa tenue aux sollicitations, laide de critres de
dimensionnement, telque le critre de rsistance de Von-Mises, utilis
pour les matriaux mtalliques.
Ltude sera limite un systme constitu dun matriau homogne et
isotrope, comportement lastique linaire dans le cadre des petits
dplacements et des petites d-formations. Le systme est en outre
suppos subir des dformations isothermes, souslaction de
sollicitations extrieures appliques trs progressivement, dites
statiques ouquasi-statiques, partir dun tat initial non
contraint.
Aprs avoir prsent le systme dquations rsoudre et quelques
rsultats tho-riques concernant lunicit de la solution, desmthodes
pour la recherche dune solutionanalytique seront exposes. Ceci
constitue la thorie de llastostatique linaire.
Il convient de prciser quune solution analytique nest accessible
que dans des si-tuations relativement simples : louvrage []
constitue dans ce domaine une rfrencemajeure et recense un grand
nombre de problmes avec solution analytique. Par cons-quent, pour
traiter un problme pratique, lingnieur doit en gnral avoir recours
des mthodes numriques, pour obtenir une approximation de la
solution du problme.Cependant, il est souvent possible dapprocher
un problme complexe par un problmesimpli, dont la solution
analytique existe, ce qui permet une analyse critique des r-sultats
obtenus par des mthodes numriques. Les solutions analytiques de
llasticitlinaire sont donc extrmement prcieuses et permettent
daborder de nombreux pro-blmes des sciences de lingnieur. Dautre
part, elles sont la base de thories simplies,telles que la thorie
des poutres qui sera expose au chapitre .
-
. Position du problmeLes quations du problme dlasticit sont
rappeles rapidement, le lecteur tant sup-pos familier avec les
notions classiques de la Mcanique desMilieux Continus. Tous
leslments utiles sont disponibles dans [], [], [] ou [].
.. quations de champsLes contraintes sont un tenseur symtrique
dordre , donc caractrises par six compo-santes. Elles sont rgies
par trois quations locales dquilibre :
quations dquilibre!div +~f = ~ (.)
ce qui donne en coordonnes cartsiennes ij;j+fi = . Il est donc
clair que ces quationssont insusantes pour dterminer compltement
les contraintes.
Comme le suggre lexprience, le matriau constitutif joue un rle
dans la rponsedu systme, il faut donc faire intervenir sa loi de
comportement, qui relie le tenseur descontraintes celui des
dformations. Celui-ci est not en petites transformations, et
estsymtrique, du fait de sa dnition (.). La loi de comportement
scrit dans le cas dunmatriau isotrope :
Loi de comportement lastique isotrope : dformations!
contraintes
= c : = trace Id+ avec =E
(+ )( ) ; =E
(+ ) (.)
o c est le tenseur de raideur, et sont les coecients de Lam.Ceci
scrit en coordonnes cartsiennes (la convention de sommation sur les
indices
rpts est utilise) :
ij = "kkij + "ij (.)
La relation inverse est donne par :
Loi de comportement lastique isotrope : contraintes!
dformations
= s : = E trace Id ++ E avec s; tenseur de souplesse (.)
Par des arguments de stabilit, il est possible de justier que la
forme quadratiqueassocie la loi de comportement est positive, ce
qui se traduit par :
8 ; : c : dni positif 8 ; : s : dni positif (.)
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. Position du problme
Autrement dit, la nullit de ces expressions nest possible que si
= et = . La priseen compte de ces relations entrane :
+ > ; > ; E > ; < < (.)En adjoignant la relation
dformations-dplacements :
Relation dformations-dplacements
(~u) = grad~u+ gradT~u
(.)
qui scrit en coordonnes cartsiennes :
ij =ui;j + uj;i
(.)
il y a alors + + = quations de champs aux drives partielles,
pour incon-nues correspondant aux composantes des contraintes (),
des dformations () et dudplacement (). Ces quations poses sur le
domaine sont compltes par des condi-tions aux limites portant sur
la frontire @. Dans la pratique, ces conditions aux
limitespermettent de xer les constantes dintgration qui
apparaissent lors de lintgration desquations aux drives
partielles.
.. Conditions aux limitesLes conditions aux limites font partie
intgrante des donnes du problme, et prcisentlaction du milieu
extrieur sur le contour @ du systme. Elles portent sur les
dpla-cements ou les contraintes, et en tout point de @, est connue,
dans trois directionsorthogonales entre elles, la composante du
dplacement ou du vecteur contrainte.
Conditions aux limites Gnralement, @ est partitionn en @ = @u [
@ avec@u \ @ = ? et :
sur @u : ~u = ~ud sur @ : ~n = ~T(M;~n) = ~Td
Sur @u, les conditions aux limites sont dites essentielles ou
cinmatiques ou en dpla-cements, alors que sur @, elles sont dites
naturelles ou statiques ou sur les contraintes.Le vecteur ~n est la
normale extrieure @.
Essai de traction Ltude porte sur une prouvette cylindrique dont
la base a pour aireS, identique celle illustre sur la gure .(a). Le
contour @ se dcompose en les basesdu cylindre en x = et x = `, et
la surface latrale du cylindre S`. En tout point de@, le vecteur
contrainte est connu (@u = ?), et les conditions aux limites sont,
souslhypothse dune distribution uniforme des eorts de traction sur
les sections extrmes :
sur S` : ~T(M;~n) = ~ (condition de bord libre) ; en x = :
~T(M;~n) = FS~e avec ~n = ~e ; en x = ` : ~T(M;~n) = FS~e avec ~n =
~e.
-
FS
FS
x = `x =
~e
(a) traction
~e
~e
(b) contact glissant
F . Exemples de conditions aux limites
Solide en contact sans frottement avec un solide indformable Ce
cas est reprsentsur la gure .(b). En considrant seulement la
surface de contact, les conditions auxlimites scrivent en labsence
de frottement~e ~T(M;~n) = ~e ~T(M;~n) = avec~n = ~e.Le contact
persistant avec le solide indformable fournit~e ~u = .
Sur ce dernier exemple, il apparat quen un point de @, les
conditions aux limitespeuvent porter la fois sur les dplacements et
les contraintes, mais que dans chaquedirection, soit la composante
du vecteur contrainte, soit la composante du dplacementest connue.
Cette proprit est essentielle pour la dmonstration de lunicit de la
solu-tion dun problme dlasticit. Le problme est dit rgulier, ce qui
revient dire quil estbien pos, au sens mathmatique du terme.
Notons enn que lorsque dans une direction donne, la composante
du vecteurcontrainte est impose, la composante du dplacement
correspondante est une incon-nue du problme. Cest donc seulement la
rsolution du problme qui permettra de lacalculer. Autrement dit, il
nest pas possible, dans une direction donne, de prescrire la fois
une force et un dplacement.
.. RcapitulatifLensemble des quations prcdentes constitue la
formulation du problme dlasticit.Les donnes de ce problme sont
:
la gomtrie du systme ; la loi de comportement du matriau,
cest--dire les valeurs de et ou E et ; les forces volumiques ; les
conditions aux limites sur le contour @ = @u [ @ avec @u \ @ =
?.
Le problme rsoudre scrit alors :
Problme dlasticit Trouver ~u; ; solutions des quations de champ
dans :!div +~f = ~ (.a) = c : = trace Id + (.b)
(~u) = grad~u+ gradT~u
(.c)
-
. lments thoriques
et des conditions aux limites sur @ :
~u = ~ud sur @u (.d) ~n = ~T(M;~n) = ~Td sur @ (.e)
. lments thoriquesAvant daborder la rsolution des problmes
dlasticit, il importe de sintresser auxproblmes dexistence et
dunicit de la solution.
La question de lexistence de la solution dpasse largement le
cadre de ce cours. Le lec-teur dsireux dapprofondir cette question
pourra se rfrer la section de louvrage [].Dans la suite, il sera
seulement fait tat, dans certaines circonstances, dune
conditionncessaire satisfaire par les donnes en eorts du problme
pour quune solution existe.Ce point sera explicit dans la section
suivante.
Lunicit de la solution joue un rle fondamental dans la rsolution
dun problmedlasticit. En eet, il nexiste pas de mthode gnrale pour
rsoudre un problme.Ainsi, la dmarche consiste proposer une
solution, et vrier que toutes les qua-tions du problme sont
satisfaites. Le rsultat dunicit permet alors de conclure que
lecandidat propos est bien la solution du problme. Ce type
dapproche est qualie desemi-inverse.
Lunicit de la solution est une consquence de la linarit du
problme (.). Cettelinarit exprime que pour un systme de gomtrie et
dematriaux donns, (CL signieconditions aux limites) si :
(~u; ; ) est solution du problme (.) de donnes (f;CL) ; (~u; ; )
est solution du problme (.) de donnes (f;CL) ; alors, le problme
(.) de donnes (f + f; CL + CL) admet pour so-lution (~u + ~u; + ; +
).
Ce rsultat est encore appel principe de superposition.Lunicit se
dmontre facilement partir de la formulation variationnelle du
pro-
blme, qui peut tre exprime sur les dplacements ou les
contraintes. Cette approchevariationnelle permet galement de
caractriser la solution du problme en tant que mi-nimum dune
fonctionnelle, qui correspond une nergie. Cette dernire proprit est
la base de mthodes de rsolution qui seront prsentes au chapitre ,
section ...
.. Formulation variationnelle en dplacement
Dnition .Le champ~v est dit cinmatiquement admissible (not par
la suite C.A.) avec les don-nes cinmatiques du problme (.), sil est
susamment rgulier et satisfait lesconditions aux limites
cinmatiques (.d).
-
Dans cette dnition, susamment rgulier signie continu, et tel que
les expressionsutilises par la suite (intgrales, oprations de
drivation) aient un sens.
partir de cette dnition, il vient la formulation variationnelle
en dplacement.
orme . Formulation variationnelle en dplacementSi ~u est
solution du problme (.), alors :
~u est C.A. et 8~v C.A.; a(~u;~v ~u) = (~v ~u) (.)
avec :
a(~u;~v ~u) =Z(~u) : c : (~v ~u) d
(~v ~u) =Z~f (~v ~u) d +
Z@
~Td (~v ~u) dS(.)
La dmonstration est rapide. Il vient en eet partir de lquation
dquilibre (.a) :Z(!div +~f ) (~v ~u) d = (.)
Or, daprs la relation :!div(~u ) = !div ~u+ : gradT~u (.)
dont le dernier terme est gal : (~u) en tenant compte de la
symtrie de , et de laformule de Green-Ostrogradsky, la relation (.)
devient :Z
: (~v ~u) d =
Z~f (~v ~u) d +
Z@
(~v ~u) ~n dS (.)
Le second membre reprsente le travail des eorts extrieurs dans
le dplacement~v ~u.Il est rappel que @ = @u [ @. Or, pour ~u et~v
C.A.,~v ~u = ~ sur @u, et dautrepart, daprs (.e), ~n = ~T(M;~n) =
~Td sur @. Le second membre se rduit doncnalement (~v ~u), ce qui
achve la dmonstration.
Lunicit de la solution en dplacements sobtient partir de la
formulation variation-nelle. En eet, supposons que le problme (.)
admette deux dplacements solution ~uet ~u. Ces champs sont C.A., si
bien que (.) fournit :
a(~u;~u ~u) = (~u ~u)a(~u;~u ~u) = (~u ~u)
(.)
En sommant ces deux galits, la forme a tant bilinaire, linaire,
et en posant ~u =~u ~u, il vient a(~u;~u) = . Or :
a(~u;~u) =Z(~u) : c : (~u) d (.)
-
. lments thoriques
et sous lhypothse classique (.) que le tenseur c est dni
positif, il sensuit que :
(~u) = (.)
qui montre que ~u 2 R oR est lespace des dplacements de solide
rigide :Dplacements de solide rigide
R = f~uR=~uR =~t+ ~ ^~x; avec~t et ~ constantsg (.)
Dautre part, ~u est obtenu par dirence de ~u et ~u, tous les
deux C.A. Par cons-quent, ~u est un champ compatible avec des
donnes cinmatiques nulles pour le pro-blme (.), cest--dire ~u = ~
sur @u. Ce champ est dit C.A. homogne, not C.A.H..Deux cas de gure
se prsentent alors :
. les conditions aux limites cinmatiques ~u = ~ sur @u empchent
tout mouve-ment de solide rigide, auquel cas ~u = ~ et la solution
en dplacement du pro-blme (.) est unique ;
. lespaceR (ou une partie non vide de celui-ci) est contenudans
lespace des champsC.A.H. et, par consquent, la solution du problme
(.) est dnie un dplace-ment de solide rigide prs. Dautre part,
daprs (.), il vient :
8~uC:A:H 2 R;Z~f ~u d +
Z@
~Td ~u dS = (.)
Cette condition est appele condition de compatibilit sur les
donnes statiques.Cest une condition ncessaire pour quil existe une
solution au problme (.).Physiquement, elle exprime des conditions
dquilibre global du domaine tudi.Ainsi, pour le cas de lessai de
traction, voir la section .., o @u = ?, (.)implique la nullit du
torseur de lensemble des eorts extrieurs, condition quiest bien
vrie pour un eort de traction uniformment rparti.
Dans ce deuxime cas, lespace des champs C.A. avec la condition~u
= ~ sur @u, autre-ment dit, lespace des champs C.A. homognes,
contient tout si @u = ?ou partiede lespace des dplacements de
solide rigide. Quand bien mme la solution en dplace-ment est dnie
un dplacement de solide rigide prs, la solution en dformation et
encontrainte est unique, puisque (~u) = .
Outre lunicit de la solution, au sens dni prcdemment pour le
dplacement, ildcoule de la formulation variationnelle en dplacement
le thorme suivant :
orme . orme de lnergie potentielle en dplacementParmi tous les
champs C.A., le champ de dplacement solution minimise
lnergiepotentielle en dplacement dnie par W . W reprsente lnergie
lastique de d-formation et a pour expression :
W(~u) = a(~u;~u) (.)
-
Pour dmontrer ce thorme, considrons le dplacement~v C.A. et le
champ ~u solutiondu problme (.). La forme a tant symtrique, la
dirence dnergie potentielle deschamps~v et ~u est :
W(~v)(~v)W(~u)(~u) = a(~v;~v)a(~u;~u)(~v)+(~u)=
a(~v~u;~v~u)+a(~u;~v~u)(~v~u)
(.)
Or, daprs la formulation variationnelle (.), le second membre se
rduit au premierterme. Enn celui-ci est positif ou nul daprs
(.).
.. Formulation variationnelle en contrainte
Dnition .Le champ de contrainte est dit statiquement admissible
(not par la suite S.A.) avecles donnes statiques du problme (.),
sil est symtrique, satisfait les quationsdquilibre (.a) et les
conditions aux limites statiques (.e).
partir de cette dnition, il vient la formulation variationnelle
en contrainte.
orme . Formulation variationnelle en contrainteSi est solution
du problme (.), alors :
est S.A. et 8 S.A.; A(; ) = ( ) (.)
avec :
A(; ) =Z : s : ( )d
( ) =Z@u
~ud ( ) ~n dS(.)
La dmonstration est donne trs rapidement car reprenant des
arguments utiliss danslapproche en dplacement. Daprs la symtrie de
la loi de comportement, il vient :
A(; ) =Z( ) : s : d =
Z( ) : (~u) d (.)
Or lapplication de la formule (.) fournit :!div(~u ( )) = !div(
) ~u+ ( ) : gradT~u (.)
Or, () tant symtrique, le dernier terme est gal () : (~u). Aprs
applicationdu thorme de Green-Ostrogradsky, il vient :
A(; ) = Z
!div( ) ~u d +Z@
~u ( ) ~n dS (.)
-
. Rsolution des problmes dlasticit
Comme et sont S.A., il en rsulte que est S.A.H., cest--dire S.A.
avec desdonnes statiques nulles, do !div( ) = ~, et ( ) ~n = ~ sur
@. Ceci nit ladmonstration.
En envisageant deux champs de contraintes solution et , lunicit
de la solution encontrainte est obtenue daprs la nullit de A(; ) et
la proprit (.).
De mme il vient le thorme de lnergie complmentaire :
orme . orme de lnergie complmentaireParmi tous les champs S.A.,
le champ de contrainte solution minimise lnergie com-plmentaire W.
W reprsente lnergie lastique de contrainte et a pour expres-sion
:
W() = A(; ) (.)
. Rsolution des problmes dlasticitDeux approches existent pour
la rsolution du problme dlasticit (.), selon que larecherche de la
solution est faite en choisissant le champ de dplacement ou le
champ decontrainte comme inconnue principale.
.. Approche en dplacements
Cette mthode consiste choisir le champ de dplacement ~u comme
inconnue princi-pale. Dans la pratique, une certaine forme pour ce
champ est propose. Il sagit alors devrier toutes les quations du
problme.
Ce champ doit satisfaire les conditions aux limites en
dplacement, et il est ais decalculer par drivation les dformations,
puis les contraintes en utilisant la loi de com-portement. Il est
alors possible dtudier si les quations dquilibre et les conditions
auxlimites portant sur les contraintes sont vries. Dans le cas dun
domaine homogne(lematriau est lemme en tout point de), il est plus
commode dexprimer directementles quations dquilibre en termes de
dplacement. Celles-ci sont obtenues en repor-tant la relation
dformations/dplacements (.c) dans la loi de comportement (.b),puis
en injectant cette expression dans les quations dquilibre (.a). Il
vient alors lesquations dquilibre en termes de dplacement, quations
dites de Lam-Navier, dontlexpression est :
quations de Lam-Navier, forme
( + )!grad(div~u) + ~u+~f = ~ (.)
ou encore :
-
quations de Lam-Navier, forme
( + )!grad(div~u) !rot(!rot~u) +~f = ~ (.)
Le processus de rsolution avec la mthode en dplacement est donc
postuler un champ de dplacement ; vrier les conditions aux limites
sur les dplacements ; vrier les quations de Lam-Navier ; vrier les
conditions aux limites sur les contraintes ; conclure grce
lunicit.
Remarque Si le champ de dplacement est irrotationnel, les
quations se r-duisent :
( + )!grad(div~u) +~f = ~ (.)
ce qui implique!rot~f = ~ et~f = !grad~F. Il sensuit aprs
intgration :
( + ) div~u+ ~F = cste (.)
.. Approche en contraintesLa seconde mthode de rsolution
consiste rechercher directement les contraintes. Lechamp de
contrainte doit vrier les conditions aux limites portant sur les
contraintes etles quations dquilibre.
Si tel est le cas, il sera toujours possible de lui associer un
champ en utilisant la loide comportement sous sa forme inverse (.),
soit :
ij =+ E ij
Ekkij (.)
En revanche, il nest pas sr que ce champ corresponde un champ de
dformations.Il faut pour cela sassurer quil existe un champ de
dplacement ~u tel que drive de cechamp de dplacement, soit :
= (grad~u+ gradT~u) (.)
ce qui revient dire que doit vrier des conditions dintgrabilit,
encore appelesconditions de compatibilit des dformations. Ces
quations sont complexes exprimer encriture tensorielle. En
cartsiennes, les six quations peuvent tre mises sous la forme :
quations de compatibilit des dformations en coordonnes
cartsiennes
ij + kk;ij (jk;ik + ik;jk) = (.)
-
. Rsolution des problmes dlasticit
En pratique, lors dune approche en contraintes, ces quations
sont exprimes enfonction des contraintes. Pour ce faire, il faut
utiliser la loi de comportement (.). Maisles quations obtenues sont
diciles exploiter, cest pourquoi elles sont combines avecles
quations dquilibre, pour donner nalement les quations de
Beltrami-Michell :
quations de compatibilit des dformations exprimes sur les
contraintes pour unmatriau isotrope
div(grad )+ + grad(grad(trace ))+
Id div~f+grad~f+gradT~f = (.)
Dans le cas particulier o les forces de volume sont constantes
grad~f = , lquationse rduit ses deux premiers termes. En coordonnes
cartsiennes, cela donne :
(+ )ij + kk;ij = (.)
Si le champ de contrainte propos vrie ces quations, il sera
alors possible dintgrer lechamp de dformations et dobtenir le
dplacement ~u dni un dplacement de soliderigide prs. Il restera enn
satisfaire les conditions aux limites sur les dplacements.
Le processus de rsolution avec la mthode en contrainte est donc
: postuler un champ de contrainte ; vrier les conditions aux
limites sur les contraintes ; vrier les quations dquilibre ; vrier
les quations de Beltrami-Michell ; intgrer les dformations et
obtenir le champ de dplacement ; vrier les conditions aux limites
sur les dplacements ; conclure grce lunicit.
Remarques Lorsque les forces volumiques sont constantes, tout
champde con-traintes constant ou ane par rapport aux variables
despace satisfait les quationsde Beltrami-Michell ;
Si les forces volumiques sont nulles, tout champ de contraintes
constant v-rie la fois les quations dquilibre et les quations de
Beltrami-Michell ;
Si le problme tudi est sans condition aux limites sur les
dplacements@u = ?, quand le champ de contrainte propos satisfait
les conditions auxlimites sur les contraintes, les quations
dquilibre et les quations de Beltrami-Michell, celui-ci est la
solution en contraintes du problme. Pour lexemple de latraction
simple, examin en section .., il sen dduit que = FS ~x ~x est
lasolution du problme.
.. Choix dune mthode de rsolutionPour un problme dlasticit
linaire admettant une solution analytique, le choix dunemthode de
rsolution doit tre guid par lintuition qui incite faire des
hypothses surla forme des dplacements ou des contraintes.
Cependant, comme toute solution doitsatisfaire les conditions aux
limites du problme, linconnue sur laquelle les conditionsaux
limites sont les plus nombreuses est en gnral privilgie.
-
La proposition dun candidat la solution dun problme est alors
une tape dli-cate, et il faut exploiter toutes les informations
disponibles. En particulier, les propritsgomtriques des donnes du
problme (gomtrie du systme, chargement volumique,loi de
comportement et conditions aux limites) doivent tre utilises. Elles
peuvent eneet conduire la recherche dune solution indpendante dune
ou plusieurs variablesdespace, ou vriant des proprits de symtrie.
Enn, signalons que lorsque les deuxmthodes de rsolution sont
utilisables, la mthode des dplacements sera prfre,car moins lourde
au niveau des calculs que la mthode des contraintes pour
laquellelintgration des dformations est assez fastidieuse.
. Principe de Saint-VenantDans la pratique, la formulation des
conditions aux limites est dicile, car le plus souventles
informations sur @sont approximatives et connues de faon globale.
Ainsi, sur @,le torseur rsultant des eorts appliqus sera connu,
mais pas sa rpartition surfaciqueexacte, do limpossibilit de dnir
un problme rgulier. Autrement dit, avec de tellesdonnes, le problme
dlasticit admet une innit de solutions, chacune dentre ellestant la
solution dun problme rgulier avec une rpartition surfacique deorts
donne.Pour rsoudre cette dicult, une proprit importante est alors
exploite :
Principe de Saint-VenantSi la distribution surfacique ~Td sur
une partie @SV de @ est remplace par une dis-tribution qui lui est
statiquement quivalente (cest--dire que les torseurs de ces
deuxdistributions sont identiques), les champs de contrainte et de
dplacement de la solu-tion du problme dquilibre lastique sont
pratiquement inchangs dans toute partiedu solide susamment loigne
de @SV.
Ainsi, si un problme dont les conditions aux limites sur @SV
sont exprimes entermes de torseur rsultant possde une solution
analytique, cette solution peut treconsidre comme valable dans ,
sauf au voisinage de @SV. Ce principe autorise unecertaine
souplesse dans la formulation des conditions aux limites et permet
galementdtendre le champ dapplications de solutions de problmes
rguliers. Par exemple, lasolution de lessai de traction simple vue
auparavant est valable loin des bases dun cy-lindre sur lesquelles
on applique deux eorts opposs.
Ce principe empirique est bien vri par lexprience et par les
rsultats issus desmthodes numriques.
-
Chapitre
A S-V
Nous nous intressons dans ce chapitre des poutres, cest--dire
des solides lancsdont une dimension est grande devant les deux
autres. Cette particularit gomtriqueincite rechercher des hypothses
simplicatrices pour dcrire leur comportement, laide dune
modlisation monodimensionnelle, an dviter la complexit de
lapprochetridimensionnelle. Pour justier ces hypothses, il convient
cependant de pouvoir dis-poser dune solution rigoureuse de rfrence.
Cest lobjectif de ltude du problme ditde Saint-Venant, qui sera
traite dans le cadre de llasticit tridimensionnelle. An de nepas
alourdir la prsentation, seuls les rsultats essentiels seront
fournis, sans rentrer dansle dtail de la rsolution des problmes
dlasticit. Le lecteur dsireux dapprofondir cesquestions pourra se
reporter [] ou [].
. Problme de Saint-Venant.. Position du problme
Ltude concerne la rponse lastique dun solide cylindrique de
section constante(base) S, daxe ~e et de longueur `. Ainsi = [ ; `]
S, voir la gure .. Ce solide
`
~e
SS
GM
G
GS
S`~e
~e
F . Dnition du domaine tudi et une section droite S
-
A
est uniquement sollicit sur ses sections extrmes : les eorts
volumiques sont donc nulset la surface latrale S` = ] ; `[ @S est
libre. Dautre part, les sollicitations sur les sec-tions extrmes S
et S ne sont connues que par leurs torseurs rsultants, aux centres
desurface G et G de ces sections. Ainsi, (~R; ~MG), (~R; ~MG) sont
donns, et le problme rsoudre scrit en cartsiennes, en notant :
~R =ZS~T(M;~e) dS et ~MG =
ZS
~GM ^ ~T(M;~e) dS (.)
Problme rsoudre
ij;j =
"ij =+ E ij
Ekkij
"ij =ui;j + uj;i
~T(M;~n) = ~ sur S`~R(x = ) = ~R; ~MG(x = ) = ~MG~R(x = `) = ~R;
~MG(x = `) = ~MG
(.)
Il en rsulte que les conditions aux limites ne peuvent tre mises
sous la forme classique :
8M 2 @; 8~ei; ~ei ~u ou ~ei ~T(M;~n) donn (.)
et que le problme prcdent nest pas rgulier. Il admet donc une
innit de solutionsparce quil est possible de dnir une innit de
conditions aux limites statiques sur Set S respectant la donne du
torseur rsultant.
Cependant, daprs le principe de Saint-Venant, nonc en section .,
loin de S etS, lcart entre toutes ces solutions est ngligeable, ce
qui signie que toute solution duproblme peut tre considre comme
valable dans cette zone, et ce, quelle que soit lafaon dont sont
appliques les sollicitations sur les sections extrmes ( torseur
gal).Il apparat ainsi que la solution obtenue est exploitable si la
longueur du cylindre estimportante devant les dimensions de la
section. Cest pourquoi les solides tudis icisont dits lancs.
Enn, le problme prcdent ne possdant pas de conditions aux
limites de typedplacement impos, il admettra des solutions
condition que lquilibre global soitrespect, comme voqu en section
.., ce qui impose :
~R + ~R = ~~MG + ~MG + ~`e ^ ~R = ~
(.)
.. Dcomposition de la solutionGrce la linarit du problme, le
principe de superposition permet de dcomposer leproblme prcdent en
six problmes lmentaires, correspondant des sollicitations denature
dirente. Cette dcomposition est la suivante :
-
. Problme de Saint-Venant
pour les eorts :
~R =
8>:R
9>=>;+8>:
9>=>;+8>:
9>=>;+8>:
9>=>;+8>:
R
9>=>;+8>:
R
9>=>; (.) pour les moments :
~MG =
8>:
9>=>;+8>:
M
9>=>;+8>:
M
9>=>;+8>:M
9>=>;+8>:
9>=>;+8>:
9>=>; (.)~R et ~MG se dduisant de ~R et ~MG en utilisant
lquilibre global (.).
Nous pouvons envisager successivement les six cas dont quatre
sont schmatiss surla gure . avec les axes de la gure .. Les deux
autres cas sont les exions pure etsimple dans le plan (~e~e). tant
donn que toutes les conditions aux limites portent
(a) traction (b) torsion
(c) exion pure (d) exion simple
F . Dcomposition en problmes lmentaires
sur les contraintes, lapproche en contraintes sera utilise pour
rsoudre ce problme.Le champ de contrainte sera donc cherch en
vriant les quations dquilibre et deBeltrami-Michell :
ij;j =
ij;mm +
+ ll;jj = (.)
-
A
ainsi que les conditions aux limites :
~T(M;~n) = ~ sur S`~R(x = ) = ~R; ~MG(x = ) = ~MG~R(x = `) = ~R;
~MG(x = `) = ~MG
(.)
. Solutions lmentaires.. Traction-compression
Pour ce problme, il est trs ais de constater que :
f~eig =
RjSj
264
375 (.)o jSj reprsente laire de la section droite, est solution
du problme pour le cas de chargen, ce qui entrane, en utilisant la
loi de comportement :
f~eig =
REjSj
264
375 (.)et aprs intgration, un dplacement de solide rigide prs
:
f~ugf~eig =REjSj
8>:xxx
9>=>; (.)Ceci conduit un dplacement axial selon~e linaire
en x, et des dplacements trans-versaux, selon~e et~e, indpendants
de x. Pour une section rectangulaire de dimensionsa b, la dforme
prsente gure . est obtenue selon laxe de la poutre dune part,et
dans la section dautre part (pour R > ). Ces deux gures sont
caractristiquesde leet Poisson, qui se traduit par des dformations
transversales gales fois lesdformations axiales, lorsque la
sollicitation est purement axiale.
Sur la gure ., les changements de dimension sont les suivants
:
` = REjSj` ; b = REjSj b ; a =
REjSj a (.)
Enn, pour une poutre lance (ou longue), cest--dire si ` est trs
suprieure aux di-mensions de la section, notons que le changement
de forme de la section est ngligeabledevant le dplacement
axial.
-
. Solutions lmentaires
``+ `
~e
~e ~e
a+ aa
bb+
b
F . Dforme de la poutre en traction, selon deux plans de
projection
.. Flexion pureConsidronsmaintenant les cas de charge n et n, le
chargement tant d uniquement des moments aux extrmits, ports par
laxe~e ou~e.
Pour le cas du moment autour de laxe ~e, si les directions ~e et
~e sont principalesdinertie, cest--dire si
RS xx dS = , alors la solution est de la forme :
[]f~eig = MI
x
264
375 (.)o I =
RS x
dS reprsente le moment quadratique principal.
~e
~e
~e
M
M
F . Rpartition de la contrainte dans une section
Ainsi, la matire travaille en traction ou en compression selon
le signe de x, ce quiexplique la rpartition des contraintes
normales illustre gure . pour M > .La loi de comportement donne
:
[]f~eig = MI
x
264
375 (.)Aprs intgration, le dplacement solution est donn, un
dplacement de solide rigideprs, par :
f~ugf~eig =MEI
8>:xx
(x
+ (x x))
xx
9>=>; (.)
-
A
Ainsi, le centre de surface (x = x = ) subit un dplacement de
valeur v = MEI x
selon~eet dcrit donc une parabole. Le calcul de la courbure de
la courbe v (x) sobtienten appliquant la formule :
= v;(+ (v;))/
(.)
Or, v; est un terme de grad~u et donc, dans lhypothse des
petites transformations, esttrs petit devant lunit, si bien que v;.
En outre, dans le cas prsent, est constantet vaut :
= MEI(.)
La dforme de la ligne des centres de surface est donc trs bien
approche par un cerclede rayon =. Par la suite, la ligne des
centres de surface sera appele ligne moyenneou bre moyenne. La
dforme dune section droite rectangulaire est prsente sur la -gure
., avec un changement de forme gonement ou contraction directement
liau signe de x, compte tenu de lexpression de , et qui traduit
leet Poisson. Pour une
~e ~e
~e ~e
F . Dforme de la poutre en exion selon deux plans de
projection
poutre lance, il est licite de considrer que le dplacement
selon~e est quasi constantsur la section et que les dplacements
correspondant au changement de forme de la sec-tion sont
ngligeables par rapport ce dernier. Le vecteur rotation ~ = ~rot
~u, qui estassoci la partie anti-symtrique du gradient des
dplacements, a pour expression :
~ = MEI(x~e + x~e) (.)
Ainsi, dans une section x = cste, la rotation est constante
autour de~e. La dformede cette section est donc plane, avec, dans
le plan, le changement de forme reprsent au-paravant.
Dautre part, = MEI x, et est donc gal la pente v; du dplacement
de la lignemoyenne, ce qui signie que la section droite dforme est
perpendiculaire la dforme dela ligne moyenne. Ce rsultat peut aussi
tre justi en remarquant que = , do lefait que les transforms de~e
et~e restent perpendiculaires. Cette proprit est illustresur la
gure ..
-
. Solutions lmentaires
Le cas de la exion autour de laxe~e cas de charge n se traite de
faon ana-logue et il sut de transposer les rsultats prcdents pour
obtenir :
=MI
x ; w = MEI
x (.)
avec I =RS x
dS, moment quadratique principal etw, dplacement selon~e de la
ligne
moyenne.
.. TorsionLe cas de charge n avec un moment axial aux extrmits
est maintenant tudi. Larsolution du problme conduit de la forme
:
[]f~eig =
264
375 (.)avec :
=MJ ^; ; =
MJ ^; ; J =
ZS^ dS (.)
o ^(x; x) est solution dun problme de Laplacien pos sur la
section :
^ + = dans S^ = sur @S
(.)
Il sensuit :
[]f~eig =MJ
264 ^; ^;^; ^;
375 (.)et aprs intgration, un champ de solide rigide prs :
f~ugf~eig =MJ
8>: (x; x)xxxx
9>=>; avec ; = ^;+ x et ; = ^;+ x (.)Ainsi, les
contraintes et dformations sont indpendantes de x.
Le champ de dplacement se dcompose en un dplacement axial
indpendant dex, et en dplacements transversaux dus la rotation MJ
x~e qui sapplique sur toute lasection, autour de laxe ~e. Il vient
ainsi la relation :
MJ = ; (.)
Dans le cas de la section circulaire et du tube section
circulaire, = . Ceci conduit la dforme prsente gure .. Cependant,
dans le cas gnral, 6= et la section nereste pas plane. Ce phnomne
est appel gauchissement.
-
A
~e
~e
gnratrice dforme
M
M
~e
F . Dforme dune poutre section circulaire en torsion
.. Flexion simpleConsidrons maintenant le problme n. Le champ de
contrainte est trouv de laforme :
[]f~eig =
264
375 (.)avec :
=R (` x) x
I; =
RI
x
+ x
+ ; ; = ; (.)
tant solution dun problme de Laplacien pos sur la section :
= dans S
;n ;n =RI
x
+ x
n sur @S
(.)
Les expressions des dformations et des dplacements ne sont pas
reportes ici mais lecalcul de la courbure donne :
v; (x) =R (` x)
EI(.)
soit une formule analogue au cas de la exion pure en remarquant
que le moment (mo-ment de exion qui sera dni dans le chapitre
suivant) sexerant sur la section situe labscisse x vaut R (`
x)~e.
Pour approfondir lanalyse, il est ncessaire de rsoudre le
problme en . Or, ceproblme nadmet pas en gnral de solution
analytique, sauf dans le cas de sections deforme trs simple, comme
une section circulaire par exemple.
Ainsi, pour une section circulaire de rayon a, la dformation "
due au cisaillement est ngligeable par rapport la rotation de la
lignemoyenne v;, ds lors que la poutre
-
. Solutions lmentaires
est susamment lance, soit ` a. Il y a donc une analogie avec la
rponse exionpure, o les sections dformes restent planes et
orthogonales la dforme de la lignemoyenne. Leet d au cisaillement
est donc ngligeable dans ce cas. Une autre faon demettre en vidence
ce rsultat consiste comparer les nergies de dformation dues
auxcontraintes de exion celles des contraintes de cisaillement et .
Il apparatalors que leur rapport devient trs grand si ` a.
Ainsi, pour une poutre lance, laction de la rsultante des eorts
selon~e et~e estngligeable par rapport aux eets de la exion. Ceci
se traduit sur la dforme par ungauchissement ngligeable par rapport
aux dplacements de exion, et sur lnergie parla prpondrance de
lnergie de exion.
Le cas de charge n se traite de la mme faon et on obtient :
=R (` x) x
I(.)
-
Chapitre
U
Le problme de Saint-Venant, bien que simple par sa gomtrie et
ses conditions auxlimites, ces dernires tant dnies par un torseur
deorts sur les sections extrmes,donne lieu des calculs fastidieux
avec une approche tridimensionnelle. Il serait donctrs utile de
proposer une modlisation simplie des poutres, classiquement
appeleRsistance des Matriaux, pour obtenir rapidement les
informations juges essentielles dforme, rpartition des contraintes
sous laction deorts extrieurs connus glo-balement. Il sagit donc de
raliser le passage dunemodlisation tridimensionnelle
uneschmatisation monodimensionnelle. De ce fait, le formalisme de
llasticit linariseet ses quations aux drives partielles va se
transformer en un systme dquations dif-frentielles. Il en rsulte un
gain norme sur le temps de rsolution du problme, au prixde quelques
approximations qui seront soulignes ci-aprs.
Pour eectuer cette simplication D ! D, les rsultats obtenus sur
le problmede Saint-Venant vont largement tre exploits, et extrapols
des situations plus g-nrales, cest--dire pour dautres types de
chargement et de conditions aux limites. Lecadre de travail est
donc lemme que dans les chapitres prcdents, savoir celui des
pe-tites perturbations. Dautre part, la structure tudie est suppose
constitue dun mmematriau, comportement lastique isotrope.
Ce chapitre suit un plan classique dans le cadre de la Mcanique
des Milieux Conti-nus, lobjectif tant de mettre en place les
dirents lments de la thorie des poutres,conduisant la formulation
dun problme aux limites. Lexpos portera donc succes-sivement sur la
description de la cinmatique, des dformations, des eorts internes
etdes quations locales qui les rgissent, la loi de comportement et
enn les conditions auxlimites. La rsolution du problme sera ensuite
aborde.
La prsentation sappuie principalement sur les rfrences suivantes
: [] et [] (ou-vrages magistraux), ainsi que [], [] et [].
. DnitionsLtude concerne des structures lances, encore appeles
poutres, qui ont la caractristiquegomtrique davoir une dimension
trs suprieure aux deux autres. Selon la grande di-
-
U
mension, la poutre est assimile une courbe correspondant sa
ligne moyenne. Trans-versalement celle-ci est dnie la section S de
la poutre, dont le centre de surface appar-tient la ligne moyenne.
Dans ce chapitre, lexpos est limit aux poutres dont la lignemoyenne
est une droite similaire celle de la gure ..
. Hypothses cinmatiquesPour dnir le dplacement de la poutre dans
le cadre dune modlisation monodimen-sionnelle, il est prvisible que
des hypothses sur la dformation des sections seront n-cessaires, an
de gagner deux dimensions. Or, pour le problme de Saint-Venant, il
avaitt remarqu quexcept pour la torsion, une bonne approximation de
la dformationde la section de la poutre pouvait tre obtenue en
considrant que celle-ci subissait unmouvement densemble, i.e. de
solide rigide, qui aprs dformation la maintient perpen-diculaire la
ligne moyenne. Ceci conduit la formulation de lhypothse de
Navier-Bernoulli :
Dnition . Hypothse de Navier-BernoulliToute section droite dune
poutre subit un dplacement de solide rigide qui la main-tient
perpendiculaire la ligne moyenne dforme.
Linterprtation graphique de la dcomposition de la poutre en sa
section et sa lignemoyenne est indique sur la gure .. La cinmatique
de la section est donc rgie par
F . Schmatisation de la poutre par sa ligne moyenne et sa
section
six degrs de libert. Les trois degrs de libert de translation
sont dnis par les com-posantes u, v et w du dplacement ~uG du
centre de surface G de la section. Ainsi, pourun point M quelconque
appartenant la section de centre de surface G, avec ~GM =x~e + x~e,
le dplacement de solide rigide de la section se traduit par :
~uM = ~uG + ~ ^ ~GM ) f~uMgf~eig =
8>:u(x) x(x) + x(x)v(x) x(x)w(x) + x(x)
(.)
en notant ~, la rotation de la section.Pour le centre de surface
de la section, les composantes du dplacement corres-
pondent au dplacement axial u et aux dplacements transverses v
etw de la lignemoyenne.Ces derniers sont encore appels ches.
-
. Hypothses cinmatiques
La conservation de langle droit entre la section et la ligne
moyenne conduit auxrelations :
= v; et = w; (.)
Cette relation est illustre dans le plan (~e;~e) sur la gure ..
La rotation ne peut
~e
~e
v;
u v
F . Conservation de langle droit entre la section et la ligne
moyenne
tre relie au dplacement de la ligne moyenne. Finalement :
Champ de dplacement de Navier-Bernoulli
f~uMgf~eig =
8>:u(x) xv;(x) xw;(x)v(x) x(x)w(x) + x(x)
(.)
La comparaison de ce champ avec la solution lastique
tridimensionnelle du pro-blme de Saint-Venant fait apparatre une
approximation, consquence de lhypothsede mouvement de solide rigide
de la section : ses changements de forme sont ngligs.Ceux-ci
peuvent tre dcomposs en deux parties : ceux dans le plan de la
section etceux, en dehors de celui-ci et correspondant au
gauchissement. Comme indiqu dans lechapitre , les premiers peuvent
eectivement tre ngligs si la poutre est susammentlance. Quant au
gauchissement, qui peut tre d la torsion ou la exion simple, ilpeut
se calculer en rsolvant un problme local sur la section de la
poutre, sans quilsoit utile de le prendre en compte dans la
modlisation globale de la poutre. Pour nir,il convient de remarquer
que pour ces deux sollicitations, la cinmatique (.) permetdobtenir
les dplacements et rotations densemble de la section.
En comparant le champ de dplacement prcdent la solution du
problme de tor-sion de Saint-Venant, on constate que la rotation de
la section S est bien restitue. Enrevanche, et cest une consquence
directe de lhypothse de Navier -Bernoulli, le gau-chissement
napparat pas. Ceci rsulte simplement du fait quune modlisation
mono-dimensionnelle ne saurait reprsenter des phnomnes variables
sur la section, tels quele gauchissement. On conclura que pour la
torsion, le champ de dplacement adoptpermet dobtenir la rotation de
torsion. Quant au gauchissement, on pourra si nces-saire le
calculer en procdant comme pour le problme de Saint-Venant. On
retrouve ici
-
U
les deux chelles (globale et locale) de description de la poutre
voques au paragrapheprcdent.
. DformationsLe champde dplacement tant connu, le champde
dformation sen dduit simplement,grce la partie symtrique de son
gradient, puisque le cadre adopt est celui des
petitesperturbations. Le gradient est donn par :
grad~u = ~u;i ~ei (.)do, en considrant lexpression (.) de ~u,
avec, ce stade, ~(x) indpendant cest--dire sans avoir encore pris
en compte la conservation de langle droit entre la lignemoyenne et
la section et dautre part, la relation ~GM = x~e + x~e, il vient
:
grad~u =~uG(x) + ~(x) ^ ~GM
; i~ei
=~uG; + ~; ^ ~GM
~e + ~(x) ^ ( ~GM);i ~ei=~uG; + ~; ^ ~GM
~e + (~ ^~e)~e + (~ ^~e)~e=~uG; + ~; ^ ~GM
~e ~e ~e + ~e ~e + (~e ~e ~e ~e)(.)
Ce qui conduit aux dformations, en prenant la partie symtrique
:
= (~uG; +~; ^ ~GM+~e ^~)~e +~e (~uG; +~; ^ ~GM+~e ^~)
(.)
Il est ais de vrier que toutes les composantes de dformation
associes au changementde forme de la section sont nulles, ce qui
est une consquence directe de lhypothse demouvement de solide
rigide de la section. En eet, "ij = si i ou j 6= .
Sous forme matricielle, lexpression des dformations est :
[]f~eig =
264u; +x;x; (v; x; ) (w; + + x; ) sym.
375 (.)Lexpression des dformations (.) amne naturellement
introduire les deux vecteurssuivants, associs respectivement la
partie constante et linaire sur la section, soit :
~ := ~uG; +~e ^ ~ ; ~ := ~; (.)de sorte que lexpression des
dformations devient :
= (~ + ~ ^ ~GM)~e +~e (~ + ~ ^ ~GM)
(.)
Ces deux vecteurs forment les dformations gnralises de la
poutre. Leurs composantessont :
f~gf~eig =
8>:u;
v;w; +
9>=>; ; f~gf~eig =8>:;;;
9>=>; (.)
-
. Contraintes intgres et eorts internes
Elles sont faciles interprter. Ainsi, la composante de ~
caractrise la variation re-lative de longueur de la ligne moyenne,
alors que les composantes et sont gales la diminution de langle
droit entre la ligne moyenne et les directions et respective-ment.
Quant ~, sa composante correspond au taux de rotation de torsion
associ la rotation de la section sur elle-mme, alors que les deux
autres composantes sont lescourbures de la ligne moyenne,
respectivement dans les plans (~e;~e) et (~e;~e).
La prise en compte de la deuxime partie de lhypothse
deNavier-Bernoulli, savoirla relation (.), qui traduit la
conservation de langle droit entre la ligne moyenne et lasection,
implique :
Dformations gnralises de Navier-Bernoulli
f~gf~eig =
8>:u;
9>=>; ; f~gf~eig =8>:
;w;v;
9>=>; (.)Lexpression des dformations devient :
Champ de dformations de Navier-Bernoulli
[]f~eig =
264u;xw;xv; x; x; sym.
375 (.)Dans ce cas, les composantes de dformations " et " sont
dues uniquement la
torsion et rsultent du changement dorientation des parallles la
gnratrice du cy-lindre, initialement portes par~e, comme expliqu en
section ...
. Contraintes intgres et eorts internesComme il a t dj mentionn
plusieurs reprises, la thorie simplie de poutre estune thorie
globale, dans laquelle les eets locaux sont ngligs ou restitus une
chellesuprieure. Ainsi, pour la cinmatique, les dformations dune
section dans son plan nesont pas reprsentes dans la thorie, qui ne
retient que les mouvements de solide rigidede celle-ci, qui peuvent
sinterprter comme ses mouvements globaux. De faon ana-logue, la
modlisation adopte pour les eorts internes consiste en une
reprsentationglobale. Cest ainsi que les eorts internes, dnis sur
la section, sont dcrits par un tor-seur pris en son centre de
surface. Notons que cette dnition est tout fait cohrenteavec le
principe de Saint-Venant, qui est largement utilis dans les modles
base depoutres, dans lesquels les sollicitations extrieures sont
dnies globalement.
Une faon classique de faire apparatre ce torseur des eorts
internes consiste d-composer articiellement une poutre en deux
parties, notes et , grce une coupureselon une section S. Les eorts
intrieurs sur la section S de normale extrieure~e sont
-
U
les eorts exercs par la partie sur la partie , et leur torseur
est not [T!]. De mme,lorsque cest la normale extrieure~e qui est
considre, le torseur des eorts intrieursest not [T!], et en vertu
du principe daction-raction, [T!] = [T!] si aucunesollicitation
nest exerce sur la section S.
Le torseur [T!] sera dornavant not [Tint(x;~e)], la notation
(x;~e) indiquant defaon explicite la dpendance de ce torseur
labscisse de la section et lorientation desa normale extrieure.
Ainsi, [T!] aura pour expression [Tint(x;~e)].
Le torseur des eorts intrieurs se dcompose en une rsultante
~Rint(x;~e) et unmoment rsultant au centre de surface ~Mint(x;~e).
La projection de la rsultante et dumoment rsultant sur la normale
la section et dans le plan de la section conduit auxdnitions
suivantes ( := indique une dnition) :
Torseur des eorts internes dune poutre
~Rint(x;~e) := N~e + ~V := N~e + V~e + V~e~Mint(x;~e) := T~e +
~M := T~e +M~e +M~e
(.)
avec N, leort normal, V, leort tranchant, T, lemoment de torsion
et M, lemoment deexion aussi dit moment chissant.
Lillustration est donne sur la gure ., o les moments sont
reprsents par desches doubles.
~eV
~eN
~e V
(a) rsultante
~eM
~eT
~e M
(b) moment
F . Composantes du torseur des eorts internes
Il est facile de relier ces quantits aux contraintes. En eet, ds
lors que la poutreest dcompose en deux tronons, apparat sur sa
section une distribution surfaciquedeorts qui par dnition
correspond au vecteur contrainte ~n = ~T(M;~n) o ~n estla normale
extrieure. Celle-ci vaut~e pour la partie et, respectivement, ~e
pour lapartie . Le torseur des eorts internes est donc simplement
le torseur rsultant du vecteurcontrainte, soit :
. Le vecteur~T(M;~n)ne doit pas tre confondu avec la quantit T
qui reprsente lemoment de torsion.
-
. quations locales
Rsultante des eorts internes dune poutre
~Rint(x;~e) =ZS~T (~x;~e) dS)
8>:NVV
9>=>; =ZS
8>:
9>=>; dS (.)
et :
Moment des eorts internes dune poutre
~Mint(x;~e) =ZS
~GM^~T (~x;~e) dS)
8>:TMM
9>=>; =ZS
8>:x x
xx
9>=>; dS (.)
Les composantes du torseur des eorts internes sont donc aussi
logiquement appe-les contraintes intgres, ou encore contraintes
gnralises.
Il en rsulte que les eorts intrieurs associs la section S en
considrant la normaleextrieure~e seront simplement donns par :
~Rint(x;~e) =ZS~T (M;~e) dS =
ZS~T (M;~e) dS = ~Rint(x;~e)
~Mint(x;~e) = ~Mint(x;~e)(.)
ce qui restitue le principe daction-raction, soit :
[Tint(x;~e)] = [Tint(x;~e)] (.)
Ces relations jouent le rle de la relation de Cauchy ~T = ~n
pour un milieu continutridimensionnel. Elles peuvent tre crites de
faon synthtique sous la forme :
n~Rint(x; n~e)
of~eig
= n
8>:NVV
9>=>; etn~Mint(x; n~e)
of~eig
= n
8>:TMM
9>=>; (.)avec n = , ce qui est interprt graphiquement sur
la gure ..
. quations localesLapproche choisie ici pour tablir ces quations
consiste considrer un tronon depoutre et crire lquilibre global de
celui-ci.
Soit donc un tronon dlimit par deux sections dont les centres de
surface sontnots A et B. Ce tronon est soumis des eorts extrieurs
volumiques~f et surfaciques~Td sur son contour latral S`, qui aprs
intgration sur la section donnent une rpartition
-
U
~e~e
N
~eV
V
V~e N
V
F . Consquences du principe daction raction sur la rsultante des
eortsinternes, pour deux sections en vis--vis
linque deorts, de torseur [(x)]. La rsultante est note~q(x) et
le moment rsultantau centre de surface de la section ~m(x).
Ce tronon de poutre ayant t isol de son milieu dorigine, il
sexerce sur ses sec-tions extrmes des eorts de cohsion, qui
correspondent aux eorts internes. Ceci estschmatis sur la gure ., o
sont reprsents sparment les eorts et les momentsagissant sur le
tronon.
~Rint(xA;~e) ~Rint(xB;~e)~q(x)
A B(a) Rsultante
~Mint(xA;~e) ~Mint(xB;~e)~m(x)
A B(b) Moment
F . Analyse de lquilibre dun tronon de poutre
Lquilibre global du tronon sexprime par :
[Tint(xA ;~e)] + [Tint(xB ;~e)] +Z xBxA
[(x)] dx = [] (.)
Do sur la rsultante et le moment (pris en A) :
~Rint(xA ;~e) + ~Rint(xB ;~e) +Z xBxA
~q(x) dx = ~
~Mint(xA ;~e) + ~Mint(xB ;~e) + (xB xA)~e ^ ~Rint(xB ;~e)+
Z xBxA
(x xA)~e ^~q(x) + ~m(x)
dx = ~
(.)
Soit, en tenant compte de la proprit [Tint(xA ;~e)] = [Tint(xA
;~e)], et en omettant
-
. quations locales
pour allger lcriture la notation (x;~e) :Z xBxA
d~Rintdx
+~q!dx = ~Z xB
xA
ddx
(~Mint+(xxA)~e ^ ~Rint)+(xxA)~e ^~q(x)+~m(x)dx = ~
(.)
Ces quations doivent tre vries quelles que soient les valeurs de
xA et xB . La pre-mire quation fournit donc :
quations locales dquilibre sur la rsultante
d~Rintdx
+~q = ~ (.)
Dautre part, dans la deuxime quation, sachant que :
ddx(x xA)~e ^ ~Rint
= ~e ^ ~Rint + (x xA)~e ^
d~Rintdx
(.)
alors daprs (.), il vient :
quations locales dquilibre sur le moment
d~Mintdx
+~e ^ ~Rint + ~m = ~ (.)
Les quations prcdentes sont valables condition quaucun torseur
deorts concen-trs ne soit appliqu entre les sections extrmes du
tronon. Cela peut cependant tre lecas, quil sagisse de charges
concentres ou dactions de liaison correspondant des liai-sons
cinmatiques, voir la gure ..
~Rint(xA;~e) ~FC~MC
D
~Rint(xB;~e)
A BC
F . Exemple de tronon avec sollicitations concentres
Il faut alors reprendre les quations (.). Ainsi, en faisant
tendre A vers C gauche,not C, et B vers C droite, not C+, elles
conduisent :
~Rint(xC ;~e) + ~Rint(xC+ ;~e) + ~FC = ~~Mint(xC ;~e) +
~Mint(xC+ ;~e) + ~MC = ~
(.)
do en notant Jg(C)K := g(C+) g(C), il vient :
-
U
Prise en compte des sollicitations concentres
J~Rint(xC)K + ~FC = ~J~Mint(xC)K + ~MC = ~ (.)En D, les quations
sont :
~uD = ~J~Mint(xD)K = ~ (.)Il sensuit une discontinuit du torseur
des eorts internes en C et D. En eet, en D,
il existe des actions de liaison associes ~uD = ~, qui de ce
fait engendrent une disconti-nuit de la rsultante des eorts
internes. Par la suite, de tels points seront donc appelspoints de
discontinuit. Signalons ds prsent que la discontinuit ne concerne
que letorseur des eorts internes. Les champs ~uG et ~ sont en eet
continus, pour respecter lacontinuit du milieu.
. Loi de comportement gnraliseSi ce stade un premier bilan
quations/inconnues est eectu, il vient pour les incon-nues : quatre
variables cinmatiques pour le mouvement de solide rigide de la
section :u, v, w et , quatre composantes de dformations gnralises :
~ ~e et ~, et les sixcomposantes du torseur des eorts internes
[Tint(x;~e)].
Les quations tablies jusqu prsent sont les quatre quations (.)
indiquant lex-pression des dformations gnralises en fonction du
dplacement, et les six quationsdquilibre locales (.) et (.) portant
sur le torseur des eorts internes. Il manquecependant des quations
pour rsoudre le problme pos et obtenir les dformations
etdplacements de la poutre. Comme en Mcanique des Milieux Continus,
les quationsqui font dfaut ici sont celles qui expriment le
comportement lastique de la poutre enreliant le torseur des eorts
internes aux dformations gnralises. Notons dores et djla notion de
comportement de poutre, qui est plus large que celui de matriau,
puisquilest naturel que le comportement de la structure tudie mette
en jeu des caractristiquesmatriau et des proprits gomtriques de la
section.
Une faon naturelle dobtenir cette loi de comportement est de
recourir lexprience,avec linconvnient davoir ritrer cette dmarche
ds que lematriau ou la forme de lasection changent. Lobjectif ici
est donc dobtenir une expression analytique de cette loi
decomportement, autant que faire se peut en utilisant les quations
issues de la Mcaniquedes Milieux Continus tridimensionnelle, an
davoir la meilleure prcision possible.
Une premire approche pour aboutir la loi de comportement,
consiste choisircomme point de dpart lexpression (.) des
dformations de la poutre pour appliquerla loi de comportement
tridimensionnelle. Les contraintes peuvent alors tre calculesen
utilisant la loi de Hooke dumatriau, puis par intgration les
composantes du torseur
-
. Loi de comportement gnralise
des eorts internes. Or, la loi de Hooke (.) conduit :
= ( + )(u;xw;xv; ) (.)
et par suite, tant donn que lorigine des coordonnes xi est au
centre de surface N = (+)jSju; o jSj correspond laire de la
section. Cette expression est en contra-diction avec le rsultat N =
EjSju; provenant de la rsolution du problme de Saint-Venant pour le
cas de la traction pure (.). Ceci vient du fait que les contraintes
ontt calcules partir de lexpression des dformations issues de
lhypothse de Navier-Bernoulli, qui nglige les dformations de la
section dans son plan. Or ces dformationsexistent dans le cas de la
traction pure. Elles expriment leet Poisson, comme cela peuttre
constat dans lexpression (.) et comme illustr sur la gure ..
Cette approche nest donc pas satisfaisante car elle ne redonne
pas pour la poutre laloi de comportement obtenue par rsolution dun
problme tridimensionnel. Le mmeconstat pourrait tre fait pour la
exion pure, pour laquelle leet Poisson est galementobserv, comme dj
voqu dans lquation (.) et la gure .(b).
En fait, lanalyse des rsultats du problme de Saint-Venant tablie
au chapitre ,montre que quelle que soit la sollicitation considre
(traction, exion pure ou simple,torsion), ltat de contrainte est
anti-plan, cest--dire de la forme :
[]f~eig =
264
375 (.)expression qui permet de calculer les dformations via la
loi de Hooke :
= E trace Id ++ E (.)
il vient alors :
" =E ; " =
+ E ; " =
+ E (.)
do, en inversant ces relations et en tenant compte des
expressions (.) et (.) desdformations :8>:
9>=>; =264E Ex Ex x x
375(~ ~ef~g)
(.)
Il sensuit, en intgrant sur la section et compte tenu des
dnitions (.) et (.) du
-
U
torseur des eorts intrieurs :
(~Rint(x;~e)~Mint(x;~e)
)=
ZS
8>>>>>>>>>>>>>:
x xxx
9>>>>>>>=>>>>>>>;dS
=
ZS
266666664
E Ex Ex x x (x + x) Ex Ex ExxEx Exx Ex
377777775dS!(
~ ~ef~g
)(.)
Or, daprs la dnition de la ligne moyenne,RS x dS =
RS x dS = . De plus, en intro-
duisant les :
Moments quadratiques ou moments dinertie gomtriques
I =ZSx dS ; I =
ZSx dS ; I =
ZSxx dS (.)
il vient :
~Rint(x;~e) ~e = N = EjSj~ ~e = EjSju; (.a)~Mint(x;~e) ~e = T =
(I + I)~ ~e = (I + I); (.b)(~Mint(x;~e) ~e~Mint(x;~e) ~e
)= E
"I II I
#(~ ~e~ ~e
)(.c)
et lcriture de lgalit (.c) se simplie en :(MM
)= E
"I II I
#(w;v;
)(.)
Si les axes~e et~e sont axes principaux dinertie, alors I = :
ceci sera suppos vrai parla suite.
Ces relations sont identiques celles obtenues partir de la
rsolution du problmede Saint-Venant tridimensionnel, en
traction-compression (.) et exion (.). Enrevanche, il y a une
dirence pour la torsion (.). En eet, cette dernire relation
faitintervenir via le terme J le gauchissement, qui est ignor dans
la thorie de poutre danslaquelle la section est suppose rester
plane. La relation (.b) doit donc tre corrigeet remplace par T =
J;, o J a t dni en (.), et nalement il vient :
-
. Conditions aux limites
Loi de comportement dune poutre de Navier-Bernoulli dans les
axes principauxdinertie gomtriques. Expression matricielle
(~Rint(x;~e) ~e~Mint(x;~e)
)=
26664EjSj J EI EI
37775(~ ~ef~g
):= [cp]
(~ ~ef~g
)(.)
o a t introduite la matrice raideur [cp] de la poutre. Ces
relations sont rcrites sousforme scalaire, cf. (.).
Sous cette forme, et compte tenu des relations E > et > de
(.) sur les caract-ristiquesmatriau, et de la positivit de I, I (.)
et de J, il en dcoule immdiatementles proprits suivantes :
8f~Rint ~e; f~MintgTg; f~Rint ~e; f~MintgTg[cp](~Rint
~ef~Mintg
)>
8f~ ~e; f~gTg; f~ ~e; f~gTg[cp](~ ~ef~g
)>
(.)
Remarques La relation (.) ne permet pas de relier les eorts
tranchants~Rint ~e et ~Rint ~e aux dformations gnralises. Ce
rsultat tait prvisible car lesvariables duales des eorts tranchants
sont~~e et~~e, qui sont nulles en thoriede Navier-Bernoulli. En
fait, les eorts tranchants peuvent tre calculs partirdes quations
statiques : quations dquilibre, conditions aux limites statiques
etconditions statiques de discontinuit.
Le caractre anti-plan de ltat de contrainte, obtenu lors de la
rsolution duproblme de Saint-Venant, est rigoureusement exact si le
chargement est appli-qu sur les sections extrmes de la poutre. Il
est suppos ici que ce rsultat de-meure pour un chargement
quelconque. Cela constitue une approximation, facile mettre en
vidence ds lors que des eorts sont imposs sur le contour latralS`
de la section, dont la normale extrieure appartient au plan
(~e;~e).
Outre la limitation note prcdemment sur la relation obtenue pour
la tor-sion, lapplication de la loi deHooke partir de ltat de
contrainte anti-plan (.)donne " = " = E . Ceci restitue bien leet
Poisson, conformment lasolution tri-dimensionnelle du problme de
Saint-Venant. Cest en revanche encontradiction avec lhypothse de
Navier-Bernoulli, dont les approximations sontici nouveau
visibles.
. Conditions aux limitesLa combinaison des quations dquilibre et
de la loi de comportement intgre conduit un systme direntiel dordre
. Sa rsolution fait donc apparatre des constantesdintgration, qui
seront dtermines par douze conditions aux limites : six
chaqueextrmit de la poutre.
-
U
Ces conditions aux limites scrivent dune manire gnrale :
Conditions aux limites dune poutre de Navier-Bernoulli
u = ud ou nN = Fdv = vd ou nV = Fdw = wd ou nV = Fd = d ou nT =
Md
w; = d ou nM = Mdv; = d ou nM = Md
(.)
le ou tant exclusif, puisquil nest pas possible dappliquer la
fois un eort (respec-tivement un moment) et un dplacement (resp.
une rotation).
Dans ces quations, ~Fd et ~Md reprsentent la rsultante et le
moment rsultant deseorts extrieurs imposs sur les sections extrmes,
et n = ~n ~e o ~n est la normaleextrieure la section extrme. Ainsi,
n = .
Ci-aprs sont donns quelques exemples de conditions aux limites :
Poutre scelle dans un bti suppos indformable : cette liaison est
appele encastre-
ment et illustre gure .. Toutes les conditions aux limites sont
de type cinma-tique avec un second membre nul.
`(a) cas rel
`(b) modlisation
F . Liaison encastrement
Poutre soumise des eorts extrieurs une extrmit. Toutes les
conditions auxlimites sont de type eort et moment impos, avec n =
en et n = en `, cf.gure ..
~n = ~e
~Fd
~Md(a) en
~n = ~e
~Fd
~Md(b) en `
F . Torseur extrieur impos sur les sections extrmes
Poutre sur appuis dans le cas dun problme dans le plan (~e;~e),
il y a seulementtrois conditions aux limites chaque extrmit (gure
.), en supposant que le
-
. Bilan
milieu extrieur (hachur) est indformable et que la liaison avec
celui-ci est par-faite (pas de discontinuit de dplacement avec la
poutre). P reprsente le poidsdu solide pos sur la poutre. Sur ce
dernier exemple, il y a une approximation dansla mesure o il est
crit que le dplacement est nul au niveau de la ligne moyenne,alors
quen ralit cest la base de la poutre que ce dplacement est nul.
`
(a) cas rel
`
P
(b) modlisation
F . Poutre reposant sur un milieu rigide
. BilanPour xer les ides, considrons le problme illustr sur la
gure ., o seules les solli-citations concentres sont reprsentes.
Lextrmit gauche en A de la poutre est suppo-se avoir une cinmatique
impose, alors que sur son extrmit droite en B des eortset moments
extrieurs sont appliqus dans les trois directions de lespace,
nots~Fd et ~Mdrespectivement. Les autres eorts extrieurs,
volumiques, et surfaciques sur le contourlatral de la section,
conduisent aprs intgration un torseur de rsultante~q et de mo-ment
~m, lire la section .. Dautre part, deux discontinuits existent aux
points C et D.Il sagit dun appui en C, avec un moment extrieur
concentr not ~MC. En D, un eortconcentr de rsultante ~FD est
impos.
AC
~MC
D
~FD
B
~Fd~Md
F . Exemple de poutre, reprsente pour simplier avec une
cinmatiqueimpose nulle en A (encastrement), et sans faire gurer les
eorts et moments rpartis
Les quations du problme rsoudre se listent, en omettant la
notation (x;~e) andallger lcriture, comme suit :
-
U
quations dun problme de poutre de Navier-Bernoulli plo sur ];
xC[[]xC; xD[[]xD; `[ :
~Rint; +~q = ~ (.a)~Mint; +~e ^ ~Rint + ~m = ~ (.b)(~Rint
~ef~Mintg
)=
26664EjSj J EI EI
37775(~ ~ef~g
)(.c)
~ ~e = u; (.d)
f~gf~eig =
8>:;w;v;
9>=>; (.e) conditions aux limites en et ` :
~u() = ~ud ; ~() = ~d (.f)~Rint(`;~e) = ~Fd ; ~Mint(`;~e) = ~Md
(.g)
quations pour les discontinuits en xC et xD :
~uG(xC) = ~ (.h)J~Mint(xC)K + ~MC = ~ (.i)J~Rint(xD)K + ~FD = ~
(.j)J~Mint(xD)K = ~ (.k)Avant daborder la rsolution de ce problme,
il importe de sassurer quil est bien
pos, ce qui fait lobjet de la section suivante.
. lments thoriquesComme cela sera illustr par la suite, la
rsolution du problme (.) par la mthodedes eorts internes est en
gnral privilgie. Par consquent, les lments thoriquesqui suivent se
restreignent une approche en contrainte dans un cadre
tridimensionnel,cest--dire dans le cas dune poutre, au torseur des
eorts internes.
Dnition .Le torseur [Tint(x;~e)] est dit statiquement admissible
S.A. avec les donnes statiquesdu problme (.) sil satisfait les
quations dquilibre (.a) et (.b), les condi-tions aux limites
statiques (.g) et les conditions statiques de discontinuit (.i)
(.k).
-
. lments thoriques
Il vient alors la formulation variationnelle en contrainte :
orme . Formulation variationnelle en contrainteSi [Tint(x;~e)]
est solution du problme (.), alors :
[Tint(x;~e)] est S.A.8[Tint(x;~e)] S.A.; A([Tint]; [Tint]
[Tint]) = ([Tint] [Tint])
(.)
o la notation (x;~e) a t omise pour allger lcriture, et avec les
dnitions suivantes,en posant [T int] = [Tint] [Tint] :
A([Tint]; [T int]) =Z `
NNEjSj +
TTJ +
MMEI
+MMEI
dx
([T int]) = ~Rint() ~ud ~Mint() ~d(.)
La dmonstration est donne ci-aprs. Daprs la loi de comportement
(.c) et les rela-tions (.d) et (.e) entre les dformations gnralises
et les variables cinmatiquesde la poutre, il vient :
NNEjSj +
TTJ +
MMEI
+MMEI
= Nu; +T; Mw; +Mv;=(Nu+ T Mw; +Mv; );(N; u+ T; M;w; +M;v; )
(.)
Or, [T int], gal la dirence de deux torseurs S.A., est donc un
champ S.A. avec desdonnes statiques nulles du problme, ou encore
S.A. homogne, S.A.H. Il vrie ainsi :
~Rint; = ~~Mint; +~e ^ ~Rint = ~
(.)
Ce qui donne par projection les six quations suivantes :
N; = ; V; = ; V; = T; = ; M; V = ; M; + V =
(.)
Par consquent, la deuxime partie du second membre de (.) se
rduit :
M;w;M;v; = Vw; +Vv; = (Vv+ Vw);V;v V;w (.)et en utilisant
nouveau (.), il vient :
NNEjSj +
TTJ +
MMEI
+MMEI
=
=(Nu+ Vv+ Vw+ T Mw; +Mv; ); = (~Rint ~uG + ~Mint ~);(.)
Cette dernire quation est alors intgre entre et `, de faon
classique pour le premiermembre. Pour le secondmembre, compte tenu
des discontinuits, lintgrale est dcom-pose en la somme de trois
intgrales, entre et xC , xC+ et xD , et enn entre xD+
-
U
et `. Ceci donne, ~uG et tant continus :Z xC
+
Z xDxC+
+
Z `xD+
(~Rint ~uG + ~Mint ~); dx =
= ~Rint() ~uG() ~Mint() ~()+ J~Rint(xC)K ~uG(xC) + J~Mint(xC)K
~(xC)+ J~Rint(xD)K ~uG(xD) + J~Mint(xD)K ~(xD)+ ~Rint(`) ~uG(`) +
~Mint(`) ~(`)
(.)
Pour les deux premiers termes, il faut tenir compte des
conditions aux limites cinma-tiques (.f). Dautre part, [T int] tant
S.A.H, il vrie dans (.), les conditions auxlimites statiques et les
quations de discontinuit statique avec un second membre nul.De
plus, daprs (.), ~uG(xC) = ~, ce qui nit la dmonstration du rsultat
(.).
Remarque La forme bilinaire A([Tint]; [T int]) dnie par (.) a
une formetout fait comparable (.) utilise en lasticit
tridimensionnelle. En eet :
NNEjSj +
TTJ +
MMEI
+MMEI
= f~Rint ~e; f~MintgTg[cp]~Rint ~ef~Mintg
(.)
do lanalogie avec (.), puisque [cp] reprsente le comportement en
sou-plesse de la poutre.
Lunicit de la solution en torseur des eorts internes est alors
trs facile dmontrer.En eet, en envisageant deux torseurs solution
[Tint(x;~e)] et [Tint(x;~e)], leur di-rence est daprs (.) solution
de A([Tint] [Tint]; [Tint] [Tint]) = . Ceci entraneimmdiatement
[Tint] [Tint] = , du fait que la forme bilinaire A est dnie
positive,daprs (.).
Le torseur des eorts internes tant unique, il en est de mme pour
les dformationsgnralises~ ~e et~. Une intgration simple fournit
alors u = ~uG ~e et~. Ceci donnedonc directement , mais il faut
intgrer une fois de plus les relations = w; et = v; pour obtenir v
et w, cest--dire les composantes v = ~uG ~e et w = ~uG ~e.
La solution en dplacement est en gnral unique, sauf si les
donnes cinmatiqueshomognes du problme sur les conditions aux
limites et les quations de disconti-nuit permettent un dplacement
densemble de la structure. Dans cette circonstance,comme en
lasticit tridimensionnelle, dtaille en section .., le problme
nadmetde solution qu condition que le torseur des eorts extrieurs
vrie des quationsdquilibre global. Pour le problme tudi en (.), le
dplacement et la rotation sontprescrits en x = . Aucun mouvement
densemble nest donc possible.
La formulation variationnelle en contrainte permet dtablir le
thorme de lnergiecomplmentaire :
-
. Rsolution du problme
orme . orme de lnergie complmentaireParmi tous les torseurs
S.A., le torseur solution minimise lnergie complmentairednie par W
. W reprsente lnergie lastique de contrainte et a pour expres-sion
:
W([Tint]) = A([Tint]; [Tint]) =
Z `
NEjSj +
TJ +
MEI
+MEI
dx (.)
Pour dmontrer ce thorme, considrons le torseur S.A. [Tint]. La
forme A tantbilinaire symtrique et linaire, il vient :
W([Tint]) ([Tint])W([Tint]) ([Tint])
=
A([Tint]; [Tint]) A([Tint]; [Tint])
([Tint] [Tint])=
A([Tint] [Tint]; [Tint] [Tint])
+ A([Tint]; [Tint] [Tint])
([Tint] [Tint])
(.)
Daprs (.), la somme des deux derniers termes est nulle. De plus,
tant donn lesproprits de la loi de comportement de la poutre (.),
la forme A est dnie positive,ce qui tablit le thorme.
Dans le cas particulier (trs frquent en pratique) o les donnes
cinmatiques duproblme sont nulles (conditions aux limites et
quations de discontinuit), le torseursolution minimise simplement
lnergie lastique de contrainte.
. Rsolution du problmeComme dans le cas de llasticit
tridimensionnelle, deux approches sont disponiblespour la rsolution
du problme (.). Une mthode en dplacements et une mthodeen forces,
dont les grandes lignes sont donnes ci-aprs. Ces mthodes seront
illustresplus en dtails au cours des chapitres suivants.
.. Approche en dplacementLes variables cinmatiques sont ici
privilgies et choisies comme inconnues princi-pales. Comme en
lasticit tridimensionnelle, les quations dquilibre sont
directementexprimes sur ces variables. Pour ce faire, tout dabord,
les expressions des dforma-tions (.d), (.e) et (.f) sont reportes
dans la loi de comportement (.c), cequi conduit :
Loi de comportement dune poutre de Navier-Bernoulli dans les
axes principauxdinertie gomtriques. Expression scalaire
N = EjSju; ; T = J; ; M = EIw; ; M = EIv; (.)
-
U
Cette dernire expression est introduite dans (.a) et (.b). Il en
dcoule desquations direntielles suivantes sur u, v, w et , aprs
combinaison des quations dersultante et de moment dans le plan
(~e;~e) :
quations dquilibre exprimes en fonction des dplacements
EjSju; +q = J; +m = EIv;q +m; = EIw; +q +m; =
(.)
Ces quations sont en gnral faciles intgrer analytiquement. Les
constantes din-tgration sont alors xes par les conditions aux
limites et les quations de discontinuit.Pour faciliter la prise en
compte des quations statiques dans ces deux dernires
famillesdquations, les expressions (.) sont utilises.
Cette mthode est tout fait systmatique. Notons qu la dirence de
llasticittridimensionnelle o il faut proposer un candidat la
solution, cette fois-ci, il sutdintgrer les quations direntielles
(.). Les calculs peuvent cependant savrer fas-tidieux, et ce
dautant plus que le nombre de discontinuits est important. En eet,
dsquil y a des discontinuits, il faut intgrer ces quations sur des
intervalles sans discon-tinuits, puis raccorder les solutions
obtenues en crivant les quations de discontinuitdu problme ainsi
que la continuit de toutes les variables cinmatiques aux points
dediscontinuit. Ainsi, pour lexemple du problme (.), il faut
intgrer sparment sur] ; xC[, sur ]xC ; xD[ et sur ]xD ; `[.
Cest pourquoi la mthode des forces peut tre plus ecace.
.. Approche en forcesLapproche consiste ici choisir comme
inconnues principales le torseur des eorts in-ternes. En se
restreignant, parmi les quations du problme (.), celles qui
mettenten jeu uniquement le torseur, il vient :
sur ]; xC[[]xC; xD[[]xD; `[ :~Rint; +~q = ~~Mint; +~e ^ ~Rint +
~m = ~
(.)
conditions aux limites statiques en ` :~Rint(`;~e) =
~Fd~Mint(`;~e) = ~Md
(.)
quations statiques pour la discontinuit en xC et xD :J~Mint(xC)K
+ ~MC = ~J~Rint(xD)K + ~FD = ~J~Mint(xD)K = ~ (.)
-
. Rsolution du problme
Deux cas de gure se prsentent alors :
. ces quations sont susantes pour dterminer le torseur des eorts
internes [Tint].Le systme est dit isostatique et lespace des champs
S.A. est rduit un seul l-ment. Il est remarquable qualors le
torseur des eorts internes soit obtenu sansfaire intervenir la loi
de comportement de la poutre ;
. ces quations sont insusantes, ce qui est le cas du problme
(.). En eet, enintgrant les quations dquilibre, ~Rint et ~Mint sont
dnis un vecteur constantprs, sur chacun des intervalles ] ; xC[,
]xC ; xD[ et ]xD ; `[. Celui-ci peut trex sur ]xD ; `[ grce aux
conditions aux limites statiques en `. Cest aussi vraipour ]xC ;
xD[, en exploitant les rsultats sur ]xD ; `[ et les quations
statiquesde discontinuit en D, qui fournissent la valeur de ~Rint
et ~Mint en D. De mmesur ] ; xC[, les quations statiques de
discontinuit en C permettent de dtermi-ner ~Mint. En revanche,
~Rint reste indtermin, car il y a des conditions aux
limitescinmatiques en et des quations cinmatiques de discontinuit
sur ~uG en C.Aucune information nest donc disponible sur la valeur
de ~Rint en ces points.
Une autre faon de mettre en vidence cette dicult est de
constater que lesactions de liaison, dues ces quations cinmatiques
(en et C), sont au nombrede neuf, alors quil y a seulement, pour un
problme tridimensionnel, six qua-tions dquilibre global pour la
structure. Ces dernires sont obtenues en int-grant (.a) et (.b)
entre et `, en tenant compte des quations de disconti-nuit
statiques, et en considrant que pour chaque condition cinmatique
(condi-tions aux limites ou discontinuit), la composante
correspondante de laction deliaison est une inconnue. Le systme est
alors dit hyperstatique de degr h (icih = ).
La mthode de rsolution consiste alors choisir h inconnues
hyperstatiques,notes ~X = f~XgT = fX;X; : : : ;Xhg (par exemple ici
les trois composantes delaction de liaison en C) et exprimer [Tint]
en fonction du chargement et de ~X.Ceci est en eet possible car
dans cette tape ~X est considr comme donn (mmesil nest pas encore
connu), ce qui rend le systme isostatique.
Pour trouver enn la solution du problme, le thorme de lnergie
compl-mentaire est utilis, sous la forme :
@
@~X(W ) = ~ , @
@Xi(W ) = i = : : : h (.)
Dans le cas frquent dj voqu o les donnes cinmatiques du problme
sontnulles, ce rsultat prend la forme du thorme de Mnabra.
orme . orme de MnabraPour un systme hyperstatique, les inconnues
hyperstatiques minimisent lnergielastique de contrainte W.
-
U
Une fois le torseur des eorts internes connus, toutes les
quations (.) qui repr-sentent les quations statiques du problme (.)
sont satisfaites. Les quations com-plmentaires sont alors utilises
pour obtenir les dformations gnralises, puis parintgration les
variables cinmatiques de la poutre. La solution est ainsi connue en
toutpoint de la poutre.
Il arrive aussi quau lieu de rechercher la solution en
dplacement sur toute la poutre,lobjectif soit dobtenir celle-ci en
des points particuliers.
Sur lexemple tudi ici, considrons pour simplier le cas o les
conditions aux li-mites cinmatiques sont nulles en , et
intressons-nous plus particulirement au calculdu dplacement~u(`) ~e
= u(`). Supposons ce stade que ce dplacement est en fait im-pos, et
que par consquent leort associ~Fd ~e soit inconnu. Cela revient
dire quunecondition aux limites de type cinmatique est impose en `,
avec une raction ~Fd ~einconnue. Le calcul de u(`) peut alors tre
eectu grce lapplication du thorme delnergie complmentaire. En eet,
avec des conditions cinmatiques nulles en et en `,il vient = ~Fd
~eu(`), et le thorme prcdent fournit :
@
@(~Fd ~e)(W ) = (.)
soit encore daprs lexpression de :
u(`) = @W
@(~Fd ~e)(.)
Ce rsultat snonce de faon plus gnrale sous la forme suivante
:
orme . orme de CastiglianoSoit une structure sur laquelle toutes
les donnes cinmatiques (conditions aux limiteset quations de
discontinuit) sont nulles. Si la structure est soumise une force
(res-pectivement un moment) concentr(e), alors la drive partielle
de lnergie lastiquede contrainte W par rapport cette force (resp.
ce moment) fournit la valeur du d-placement (resp. de la rotation)
dans sa direction.
Pour un problme hyperstatique, lorsque les inconnues
hyperstatiques Xi sont choi-sies comme tant les composantes des
actions de liaison associes des conditions ci-nmatiques nulles,
lapplication du thorme de Mnabra fournit @W
@Xi = . Il y a donccoincidence avec le thorme de Castigliano
puisque daprs ce thorme, ce rsultatexprime simplement la nullit de
la variable cinmatique associe laction de liaison.
.. Dcomposition du problmeIl est ais de constater que le problme
constitu par le systme dquations (.) peutse dcomposer par linarit
en quatre sous-systmes indpendants mettant en jeu res-pectivement
les inconnues :
N;~ ~e; u qui correspond la rponse en traction-compression de la
poutre ; M;V;~ ~e;w pour la exion dans le plan (~e;~e) ;
-
. Dimensionnement
M;V;~ ~e; v pour la exion dans le plan (~e;~e) ; T;~ ~e; pour la
torsion.
Ces problmes tant indpendants, cela signie quon peut les rsoudre
sparment. Ilen rsulte galement que si par exemple la poutre est
sollicite uniquement en traction-compression alors on aura V = V =
T = M = M = v = w = = .
Par la suite, les problmes relatifs la traction compression et
la exion dans unplan seront donc abords successivement.
. DimensionnementUne fois le problme (.) rsolu, la solution
obtenue est par dnition monodimen-sionnelle. Il est donc ncessaire
de relocaliser la solution dans tout le domaine . Celane prsente
aucune dicult puisquil sut de refaire en sens inverse les oprations
quinous ont permis de passer de la description tridimensionnelle au
modle monodimen-sionnel.
Les quantits dintrt principales pour lingnieur sont les
contraintes. En eet, laconception de toute structure obit
ncessairement des critres de rsistance, qui ga-rantissent que la
structure, compte tenu des proprits de sesmatriaux constitutifs,
peutconserver son intgrit sous laction des chargements appliqus. Ce
dimensionnementest le plus souvent lastique.
Lobtention des contraintes partir de la solution du problme (.)
est simple. Par-tons de la loi de comportement de la poutre (.)
sous sa forme inverse :
(~ ~ef~g
)=
26664
EjSj J EI EI
37775(~Rint(x;~e) ~e~Mint(x;~e)
)(.)
Par ailleurs, il a t tabli la relation . rappele ci-dessous
:8>:
9>=>; =264E Ex Ex x x
375(~ ~ef~g)
(.)
Ainsi, en combinant ces deux relations, il vient :
=NjSj + x
MI
xMI ; =xTJ ; =
xTJ (.)
Il est rappel ici que compte tenu de lhypothse de ltat de
contrainte anti-plan, lescomposantes des contraintes donnes dans
(.) sont les seules non nulles.
Lexpression de la contrainte normale est identique celle obtenue
lors de la rso-lution du problme de Saint-Venant du chapitre . Pour
les contraintes de cisaillement,celles donnes ici sont dues
uniquement la torsion, et par rapport la solution duproblme de
Saint-Venant, elles correspondent au cas