MEC532E12_COURS #9&10

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COURS#9(Chapitres 9 & 11)

La convection naturelle,Les échangeurs de chaleur

La convection naturelleChap. 9

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Transfert convectif

• Classification de la convection naturelle

Transfert convectif

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Corrélations empiriques:Convection naturelle externe

Considérations de similarité

• Nombre de Grashof:– Le nombre de Grashof, est un nombre adimensionnel

défini par:

GrL = gβ(Ts - T∞ )L3

ν2

–Gr est à la convection naturelle ce que Re est à la

convection forcée.

–Gr est le rapport entre la poussée d'Archimède et la

force visqueuse.

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GrL = gβ(Ts - T∞ )L3

ν2

Considérations de similarité

Écoulements turbulents

Les instabilités thermiques peuvent entrainer desinstabilités hydrodynamiques qui elles-mêmes peuvent résulter en une transition au régime turbulent.

La transition est caractérisée par l'importance relative desforces d'Archimède et des forces visqueuses

Transition sur une plaque verticale

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Écoulements turbulents

• Nombre de Rayleigh:

– Le nombre de Rayleigh détermine la transition

laminaire-turbulent.

– Un ordre de grandeur pour le nombre de Rayleigh

critique pour le cas d'une plaque verticale donné par:

– Les corrélations de transfert convectif naturel dans le

régime turbulent sont surtout empiriques.

Rax,c ≈ 10 9

Convection naturelle externe

• Généralement corrélations empiriques sont de forme:

où le nombre de Rayleigh est le produit de Gr et Pr:

• Note: Les propriétés du fluide sont à évaluer à la

température du film:

Tf ≡ (Ts + T∞) / 2

n

LCRak

LhNu ==

να

β 3)(

PrLTTg

GrRa sLL

∞−==

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Convection naturelle externe

• Nombre de Nusselt moyen pour une plaque plane verticale, deux corrélations en régime laminaire:

– Churchill et Chu proposent pour tout la gamme de RaL:

– Ces auteurs proposent une corrélation plus précise

dans le cas d’écoulements laminaires:

( )[ ]

2

27/816/9

6/1

Pr/492.01

387.0825.0

++= L

L

RaNu

( )[ ]9

9/416/9

4/1

10;Pr/492.01

670.068.0 ≤

++= L

LL Ra

RaNu

• Plaque inclinée

Convection naturelle externe

La poussée d'Archimède possède deux composantes: normale et parallèle à la surface de la plaque. Réduction de la composante parallèle, réduction de la convection naturelle

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• Plaque plane horizontale

Convection naturelle externe

• Plaque plane horizontale

Pour la surface supérieure d'une plaque chauffée (Ts > T∞ )

ou la surface inférieure d'une plaque refroidie (Ts < T∞ )

Pour la surface inférieure d'une plaque chauffée (Ts > T∞ ) ou

la surface supérieure d'une plaque refroidie (Ts < T∞ ∞ ∞ ∞ )

Convection naturelle externe

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• Long cylindre horizontal

– Nombre de Nusselt moyen basé sur le diamètre du

cylindre:n

DCRak

DhNu ==

Convection naturelle externe

• Le cylindre horizontal

– Le nombre de Nusselt moyen pour une vaste gamme

de nombres de Rayleigh a été corrélé par Churchill et

Chu tel que:

– Ces deux corrélations fournissent un nombre

circonférenciel de Nusselt moyen. Le nombre de

Nusselt local est influencé par le développement de la

couche limite hydrodynamique.

( )[ ]12

2

27/816/9

6/1

10;Pr/559.01

387.060.0 ≤

++= D

DL Ra

RaNu

Convection naturelle externe

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• Sphères

– En extrapolant les résultats de Churchill et Chu pour les

cylindres, l'expression du nombre de Nusselt moyen

pour Pr ≥ 0.7 et RaD < 1011 est donné par:~

( )[ ] 9/416/9

4/1

Pr/469.01

589.02

++= D

L

RaNu

Convection naturelle externe

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EXEMPLE

• Une section de 6-m de long d'un tuyau d'eau chaude horizontale de 8 cm de diamètre, illustré à la figure traverse une grande salle, dont la

température est de 20 °C. Si la température de la surface extérieure du tuyau est 70 °C, déterminer le taux de perte de chaleur du tuyau par convection naturelle

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(Chapitre 11)

Les échangeurs de chaleur

Types d'échangeurs, Méthodologie de calcul,

Coefficient de transfert thermique global,

Analyse: Différence de température logarithmique

moyenne (LMTD); Méthode NUT (NTU),

Types d'échangeurs

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Types d'échangeurs

Coefficient de transfert global

• La résistance thermique globale à l'échange est donc:

• Globalement,

– où ηo est le rendement total de la surface tel que défini

par l'équation 3.98 et R’’f,i et R’’f,e représentent les

résistances d’encrassement.

éq 11.1b

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Méthodologie de calcul

• Techniquement, vous pourrez être confrontés à deux types de problèmes différents

(Cas 1 - Calcul de performances)

– Cas où l'échangeur existe

• Sa taille et son type sont spécifiés

• Le débit et la température aux entrées sont connus

• L'objectif consiste alors à déterminer

– les températures de sortie,

– et le transfert de chaleur.

(Cas 2 - Calcul de dimensionnement, Design)

– Cas où l'échangeur est à dimensionner

• Les débits des fluides chauds et froids et leurs

températures sont connus à l'entrée et à la sortie,

• L'objectif consiste alors à déterminer:

– la surface d'échange requise

– la géométrie appropriée

• en fonction d'un type d'échangeur;

• en fonction du coût, de la masse et de

l'encombrement.

Méthodologie de calcul

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Hypothèses générales

• On considère que:

– Les fluides chaud et froid ne subissent pas de

changement de phase pendant le processus

d'échange;

– Les débits des fluides sont constants (régime

permanent);

– Il n'y a pas de déperdition de chaleur vers le milieu

ambiant (l’enveloppe externe est isolée);

– Il n'y a pas de conduction longitudinale dans les tubes;

– Dans toute section, chaque fluide est caractérisé par

une seule température;

– Le coefficient global de transfert de chaleur est

uniforme de même que les chaleurs spécifiques.

Approches de résolution

• Dans ce cours, deux approches de résolution de problèmes sont présentées– La méthode L.M.T.D. ( Log Mean Temperature

Difference), *Différence de Température Logarithmique Moyenne)

– Plus facile pour les cas de type 2, design

– Difficile lorsque l'échangeur existe.

– La méthode N.T.U. (Number of Transfer Unit)

*Nombre d'Unités de Transfert

– Facile à employer pour les cas de type1, calcul de performance.

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• La détermination du coefficient global de transfert de chaleur U est essentielle dans le calcul des échangeurs de chaleur

• U est la résistance thermique totale au transfert de chaleur entre deux fluides:

où q : quantité de chaleur échangée

U: coefficient global de transfert

A : surface d'échange

∆T : différence de températures entre les

deux fluides

q = U A ∆T

Coefficient de transfert global

• Il importe de spécifier pour quelles conditions d'opération le coefficient U est calculé.– La surface était-elle propre?

• Des impuretés se déposent, de la rouille se forme.

• Cette situation est prévue en tenant compte d'un facteur d'encrassement corrélé sous forme de résistance thermique.

Coefficient de transfert global

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Méthode LMTD

• Bilan d'énergie à travers une paroi

q = mc cp,c (Tm,c,e - Tm,c,s ).

q = mf cp,f (Tm,f,s - Tm,f,e ).

q = U A ∆∆∆∆Tlm

éq 11.6b

éq 11.7b

éq 11.14

• Qu'est ce que la LMTD?

– C’est la différence de température adéquate (∆Tlm) qui

est utilisée dans l'expression du calcul de la quantité de

chaleur échangée entre les deux fluides.

– On définit le taux de capacité thermique :

Cf = m cp,f.

Cc= m cp,c.

Méthode LMTD

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• Physiquement

– C'est la différence de température des deux fluides à

un bout de l'échangeur moins cette différence à l'autre

bout, divisée par le logarithme naturel du quotient de

ces deux différences de températures

( ) ( )2 1 1 2

2 1 1 2

lm

T - T T - TT

ln T / T ln T / T

∆ ∆ ∆ ∆∆ = =

∆ ∆ ∆ ∆

Méthode LMTD

éq 11.15

Échangeur parallèle

Méthode LMTD

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Méthode LMTD

• Hypothèses de calculs supplémentaires

– Pas de changements d'énergie cinétique et potentielle

dans l'échangeur;

– Les propriétés sont constantes.

– Note: Il est raisonnable de supposer que la chaleur

spécifique et que le coefficient de transfert U ne varient

pas entre les stations 1 et 2 dans l'échangeur.

• Que cherche-t-on?

– Une expression pour calculer q à l'aide du coefficient U

et de la surface d'échange A.

Méthode LMTD

Échangeur contre-courant

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Méthode LMTD

• Résumé des différences de température à l'entrée et à la sortie

parallèle: ∆T2 = Tm,c,s - Tm,f,s∆T1 = Tm,c,e - Tm,f,e

Contre-courant: ∆T2 = Tm,c,s - Tm,f,e∆T1 = Tm,c,e - Tm,f,s

∆T2 ⇒ Différence de température à la station 2∆T1 ⇒ Différence de température à la station 1

Méthode LMTD

• Echangeurs à courant parallèle

– Pour ces échangeurs, la différence de température

moyenne logarithmique (LMTD) est utilisée directement

dans l’équation de calcul de la quantité de chaleur

échangée:

q = U A ∆Tlm

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Méthode LMTD

• Des cas limites se produisent

– Le taux de capacité thermique de l'un des fluides est de

loin supérieur à l'autre.

Méthode LMTD

• Condition requises

– Les quatre températures de l'échangeur

• Elles sont prescrites

• Elles sont connues

• Elles peuvent être déterminées à l'aide des deux

équations de bilan énergétique

• Limitations

– Si seulement les températures d'entrée des deux

fluides sont connues, la méthode LMTD requiert une

procédure itérative

q = mc cp,c (Tm,c,e - Tm,c,s ).

q = mf cp,f (Tm,f,s - Tm,f,e ).

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EXERCICE

• L'échangeur contre-courant

Un échangeur à tubes concentriques (contre-courant)

est conçu pour élever la température d`un écoulement

d`eau (1.2 kg/s) de 20oC à 80oC par un écoulement

d`eau provenant d'une source géothermale à 160oC à un

débit massique de 2 kg/s. Le tube intérieur est une

paroi très mince de 1.5 cm de diamètre. Si le coefficient

U est de 640W/m2K, déterminer la longueur de

l`échangeur de chaleur.

• Echangeurs coque et tubes ou à faisceau tubulaires

– Quelle doit être l'analyse lorsque le cylindre extérieur devient coque et que le nombre de cylindres intérieurs devient plus grand que 1???

– Pour ces échangeurs, la différence de températures moyenne logarithmique doit être corrigée par un coefficient de correction F

q = U A F ∆Tlm,CF

Méthode LMTD

22

• Comment déterminer F

Méthode LMTD

Méthode LMTD

Comment déterminer F

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EXERCICE

• Un échangeur de chaleur (type, 2 coques et 4 passes) est utilisé pour chauffer de la glycérine de 20oC à 50oC

par de l`eau qui rentre dans les tubes (très minces) de 2 cm de diamètre à 80oC et en sort à 40oC. La longueur totale des tubes est de 60 m. Le coefficient de convection est de 25 W/m2.oC du côte glycérine et 160 W/m2.oC du côté eau. Déterminer le taux de transfert de chaleur:

• (a) avant que tout encrassement ait lieu;

• (b) après encrassement, la résistance due à l’encrassement est de 0.0006 m2.oC/W

Méthode NTU

Méthode Nombre d'Unités de Transfert (NTU);

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Méthode NTU

• Caractéristiques

– Cette méthode est basée sur le calcul de l'efficacité, ε, de

l'échangeur;

– L'efficacité maximale de 100% peut, en théorie, être atteinte

dans un échangeur à contre courant infini;

– Dans ce cas le fluide dont le taux de capacité thermique est

le plus faible, expérimente le maximum de différence de

température;

ε = q / qmax

qmax = Cmin (Tm,c,e - Tm,f,e )

• Procédure de calcul

– Calcul des taux de capacité thermique

– De la définition de l'efficacité

– Le taux de transfert thermique est alors

Cf = m cp,f.

Cc= m cp,c.

ε = Cc (Tm,c,e - Tm,c,s ) / Cmin (Tm,c,e - Tm,f,e )ε = Cf (Tm,f,s - Tm,f,e ) / Cmin (Tm,c,e - Tm,f,e )

q = ε qmax = ε Cmin (Tm,c,e - Tm,f,e )

Méthode NTU

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• Concept

– Pour n'importe quel échangeur, il est possible de déterminer

l'efficacité en fonction d'un nombre d'unités de transfert et du

rapport des taux de capacités minimum et maximum

– où NTU = UA / Cmin et Cr = Cmin / Cmax

• En résumé

– Consultez les tableaux 11.3 et 11.4 pour obtenir l'efficacité

en fonction de NTU et Cr et NTU en fonction de ε et Cr,

respectivement.

ε = f (NTU, Cr )

Méthode NTU

Méthode NTU

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Méthode NTU

• La méthode NTU consiste donc à résoudre le système suivant:

• En pratique, on utilise des graphiques qui donnent ε en fonction de Cr et NTU ou encore il est possible de programmer les expressions– Figures 11.10-11.15 et Tableaux 11.3 et 11.4

q = mc cp,c (Tm,c,e - Tm,c,s ).

q = mf cp,f (Tm,f,s - Tm,f,e ).

q = ε Cmin (Tm,c,e - Tm,f,e )

Méthode NTU

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Méthode NTU

Méthode NTU

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Méthode NTU

• Conditions requises et résultats

– l'efficacité ε peut être obtenue explicitement en fonction de Cr et NTU;

– en connaissant l'arrangement géométrique U, A, Tm,f,e, Tm,c,e et les débits, les températures de sortie peuvent être obtenues sans itérations successives;

– inversement il est possible d'obtenir A connaissant les températures de sortie;

– un autre avantage de la méthode NTU réside

dans la forme des courbes ε = f(Cr,NTU) qui sont moins sujettes à des erreurs de lecture que les courbes F=f(P,R) dans la méthode LMTD.

Méthode NTU

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EXERCICE

• L'échangeur contre-courant (Méthode NTU)

Un échangeur à tubes concentriques et

écoulement contre-courant est conçu pour

élever la température d`un écoulement

d`eau à 1.2 kg/s de 20oC à 80oC par un

écoulement d`eau provenant d'une source

géothermale à 160oC à un débit massique

de 2 kg/s. Le tube intérieur est une paroi

très mince de 1.5 cm de diamètre. Si le

coefficient U est de 640W/m2K, déterminer

la longueur de l`échangeur de chaleur.