UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE (AIX-MARSEILLE II) MEMOIRE DHABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES
Discipline : MCANIQUEprsent par
A DNANE B OUKAMELle 5 Octobre 2006
tel-00517997, version 1 - 16 Sep 2010
MODLISATIONS MCANIQUES ET NUMRIQUES DES MATRIAUX ET STRUCTURES EN LASTOMRES
J URYMr A. Mr A. Mr M. Mr F. Mr J.L. Mr O. Mr P. Mr P. DRAGON CHRYSOCHOOS POTIER-FERRY SIDOROFF BATOZ DBORDES SUQUET GODIOT ENSMA, Poitiers Universit de Montpellier Universit de Metz ECL, Lyon INSIC, Saint-Di-des-Vosges ECM, Marseille LMA, Marseille EUROCOPTER, Marignane Prsident Rapporteur Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Examinateur Invit
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UNIVERSITE DE LA MEDITERRANEE (AIX-MARSEILLE II) MEMOIRE DHABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES
Discipline : MCANIQUEprsent par
A DNANE B OUKAMELle 5 Octobre 2006
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MODLISATIONS MCANIQUES ET NUMRIQUES DES MATRIAUX ET STRUCTURES EN LASTOMRES
J URYMr A. Mr A. Mr M. Mr F. Mr J.L. Mr O. Mr P. Mr P. DRAGON CHRYSOCHOOS POTIER-FERRY SIDOROFF BATOZ DBORDES SUQUET GODIOT ENSMA, Poitiers Universit de Montpellier Universit de Metz ECL, Lyon INSIC, Saint-Di-des-Vosges ECM, Marseille LMA, Marseille EUROCOPTER, Marignane Prsident Rapporteur Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Examinateur Invit
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S OMMAIRE
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Introduction Chapitre 1 Les matriaux lastomres 1.1 1.2 Gnralits sur les lastomres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques mcanismes locaux de comportements des lastomres . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.3 Llasticit caoutchoutique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inuence du taux de rticulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La cristallisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les mcanismes dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les mcanismes dendommagement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 9 10 10 11 13 16
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 2 Le comportement hyperlastique 2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 2.1.2 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.3.1 Formalisme thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dnition dun milieu hyperlastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lhyperlasticit incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lhyperlasticit compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caractrisations exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 19 19 20 21 21 24 26 26
Lois de comportement pour les milieux hyperlastiques isotropes . . . . . . . . . . . . .
Identication des paramtres caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi 2.3.2 2.3.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.5
S OMMAIRE Mthodologie didentication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identication sous contrainte de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lments nis classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lments nis rduits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques exemples dapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 28 29 29 30 32 38 40
Dveloppements dlments nis hyperlastiques quasi-incompressibles . . . . . . . . .
Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 3 Les comportements lasto-dissipatifs en grandes transformations 3.1 3.2 3.3 Prsentation gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Observations exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cadre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.4.5 3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.6 Notions de congurations intermdiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formalisme lagrangien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formalisme eulrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Application aux modles rhologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modle de Poynting-Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modle de Zener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Choix des potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples didentications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pertinence des deux modles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prsentation du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quations constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identication des paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 45 47 48 50 50 51 52 52 54 55 55 58 59 59 59 60 61
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Exemples de modles rhologiques hyper-visco-lastiques . . . . . . . . . . . . . . . .
Un modle hyper-lasto-visco-plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 4 Approche statistique 4.1 Motivations microphysiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 4.1.2 4.2 4.2.1 4.2.2 4.3 Observations au Microscope Electronique Balayage . . . . . . . . . . . . . . . Hypothses de modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le concept gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . criture des quations constitutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 65 66 67 67 69 70
Lapproche statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un premier modle statistique hyper-lasto-visco-plastique . . . . . . . . . . . . . . . .
VII
4.3.1 4.3.2 4.4 4.4.1 4.4.2 4.5
Choix des potentiels et des fonctions statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . Identication des paramtres du modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le modle SHVP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le modle de M IEHE gnralis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70 71 75 75 76 80
Quelques variantes du modle statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 5 Le couplage thermomcanique pour des lastomres 5.1 5.2 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aspects thoriques du couplage thermomcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 5.2.2 5.3 criture de lquation de la chaleur pour un problme thermomcanique . . . . . Position du problme thermomcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mise en oeuvre de la mthode des lments nis . . . . . . . . . . . . . . . . . Algorithme de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Application la simulation dun essai cyclique en double-cisaillement . . . . . . 83 83 83 86 88 89 90 91 91 95
Mise en oeuvre dune plate-forme de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 5.3.2 5.3.3 5.3.4
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5.4
Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bilan gnral et perspectives
Annexes Annexe A Les lastomres : mise en oeuvre et applications Annexe B Quelques modles hyperlastiques isotropes incompressibles Annexe C tat de lart des comportements dissipatifs Annexe D Algorithme didentication des paramtres des modles lasto-dissipatifs Annexe E Exprimentation sur un silicone charg en silice
B IBLIOGRAPHIE
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Introduction
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Lutilisation des matriaux lastomres est de plus en plus frquente dans les secteurs industriels, tels que lindustrie aronautique, lindustrie automobile, le btiment et le gnie civil ou mme lindustrie des loisirs. . . Dans le domaine aronautique et en particulier la fabrication dhlicoptres, les choix technologiques et les nouveaux concepts des moyeux rotors font appel depuis environ une vingtaine dannes des pices constitues dlastomres telles que : les butes lamies lastomre-mtal (Fig. 1), pices de liaison lastique entre les pales et le rotor, jouant le rle de ltre mcanique qui permet de reprendre les efforts de compression (force centrifuge) en dcouplant les mouvements de cisaillement et de torsion (mouvements de trane et le pas) ; les adaptateurs de frquence ou amortisseurs de trane (Fig. 1) qui permettent de dcaler les frquences propres de la pale de son rgime nominal doscillation et, par leur fonction dissipative, damortir les mouvements de trane ; le bras lastomrique : EFB, composite ternaire constitu de baguettes en verre/poxy et en carbone/poxy noyes dans une matrice lastomrique. Il sagit dun nouveau concept de pice, reliant la pale au mt et assurant la fois les rles de la bute et de ladaptateur de frquence. La conception de ce type de pices, qui restent troitement lies la scurit, ncessite une grande matrise et des garanties de abilit de plus en plus exigeantes. Ces objectifs sont dautant plus critiques que les conditions dutilisation de ces pices en lastomres se rvlent souvent trs svres compte tenu des sollicitations statiques (1) , dynamiques (2) et thermiques (3) auxquelles elles sont soumises. De telles conditions imposent donc une certaine matrise du comportement de ces pices et, en particulier, lestimation de la dure de vie et la prvision de leur rponse sous des sollicitations extrmes et couplant plusieurs phnomnes physiques. La modlisation du comportement des lastomres utiliss dans la fabrication de ces pices ncessite la prise en compte des grandes dformations, des processus dissipatifs et de linuence de la temprature(1). de lordre de 100% de dformation moyenne (2). de 1Hz 30Hz de frquence, avec une amplitude dynamique pouvant atteindre 50% dune dformation statique de 55% (3). Temprature de service allant de 55o C +70o C
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I NTRODUCTION
Schma dun rotor
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Adaptateur de frquence
Bute lamie
Figure 1 Pices lastomriques dun rotor dhlicoptre, E UROCOPTER & H UTCHINSON.
sur le comportement thermomcanique. Ainsi, parmi les aspects de comportement considrer, on peut citer : lhyperlasticit applique dans le cas des sollicitations statiques, lhyper-visco-lasticit pour les sollicitations dynamiques, lhyper-visco-lasto-plasticit pour le comportement dynamique froid, le couplage thermomcanique pour modliser les phnomnes dissipatifs dpendant de la temprature, la modlisation de lendommagement coupl ces comportement lasto-dissipatifs, an de prvoir la dure de vie des pices en lastomre.
Les premiers travaux sur ces thmes ont fait lobjet dun programme de recherche de 1991 1994, initi lpoque par A ROSPATIALE /DH et men travers une collaboration entre : lquipe Modles Numriques du Laboratoire de Mcanique et dAcoustique de Marseille (LMA), pour la partie numrique et llaboration de modles de comportement (4) , lInstitut de Mcanique des Fluides de Lille (IMFL), pour la partie exprimentation mcanique, lInstitut Universitaire des Systmes Thermiques Industriels (IUSTI), pour la partie thermique. Le cadre gnral de ces travaux a port dune part sur la modlisation, la caractrisation et lidentication du comportement des lastomres et dautre part sur la formulation numrique et la mise en uvre des modles travers des algorithmes numriques bass sur la mthode des lments nis.(4). Le pilotage de ce projet a t assur par Olivier D BORDES et moi-mme
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Par la suite en 2001, nous avons relanc un second programme de recherche, dans le cadre dun projet Europen plus global (projet DART), et dont lobjectif est de caractriser le comportement froid et/ou sous sollicitations dynamiques multi-frquencielles des lastomres en silicone chargs en silice. Ces travaux mens via une collaboration entre : la socit E UROCOPTER -F RANCE, lEcole Suprieure dIngnieurs de Marseille (ESIM) et le LMA, le Centre des Matriaux de lEcole des Mines de Paris, pour la partie analyses microscopiques, la socit PAULSTRA, fabriquant de ces pices en lastomre, ont t bass sur une dmarche la fois phnomnologique, par le biais de caractrisations exprimentales et didentications de modles, mais aussi micro-physiquement motive, travers llaboration de modles macroscopiques sur la base dobservations microscopiques. Lobjectif de ces travaux est donc de cerner nement le comportement de ces matriaux travers : le dveloppement de modles de comportement, lidentication des paramtres gouvernant ces modles travers la ralisation dessais de caractrisation diffrentes tempratures, la validation de ces modles via la confrontation des essais sous sollicitations complexes, limplmentation et la mise au point de codes lments nis pour la simulation thermomcanique du comportement de pices relles. Laboutissement logique de cette dmarche devra se concrtiser par une procdure daide la conception de ces pices dissipatives en lastomre. Ces projets, issus directement des besoins industriels, ont donc, depuis 1991, continuellement guid nos proccupations scientiques. Ces travaux sont mens avec le souci permanent de rpondre efcacement aux attentes de nos partenaires, mais aussi, avec la ncessit dapprofondir les thmatiques scientiques abordes an de mieux apprhender les phnomnes physiques et de matriser les techniques numriques que lon peut rencontrer dans un projet aussi ambitieux. Ainsi, en partant des rsultats de mes travaux de thse en 1988 [15] et au l des annes, ces programmes de recherche ont permis (ou ont ncessit) la mise en place de plusieurs projets de thses et de stages de DEA, avec des objectifs graduels et qui ont apport, et continuent apporter, leur pierre ldice, savoir : la thse de F. JAZZAR [78] sur la Modlisation du comportement hyperlastique quasi-incompressible de structures acier-lastomres et validation exprimentale, soutenue en octobre 1993 ; la thse de C. C ARPENTIER -G ABRIELI [53] sur ltude numrique du comportement thermomcanique des lastomres sous sollicitations harmoniques, soutenue en dcembre 1995 ; la thse de D. D ELORME [38] sur la Modlisation numrique du comportement mcanique de matriaux composites matrices lastomriques, soutenue en septembre 1997 ; la thse de S. M O [119] sur la Modlisation numrique du comportement mcanique de structures en lastomre : de llasticit la thermo-visco-hyperlasticit, soutenue en dcembre 2000 ; la thse de J.M. M ARTINEZ [107] sur la Modlisation hyper-visco-plastique dun lastomre sous sollicitations dynamiques multi-frquences et diffrentes tempratures, soutenue en avril 2005 ; la thse S. L EJEUNES [94] sur la Modlisation de structures lamies lastomre-mtal laide dune mthode de rduction de modles, soutenue en mars 2006 ; et plus rcemment les travaux de thse de J. G RANDCOIN portant sur lEndommagement en fatigue des lastomres chargs et dont la soutenance est prvue en 2007 ; ainsi quune dizaine de stages de DEA...
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I NTRODUCTION
Cest grce ces contributions successives et la collaboration permanente avec nos partenaires que lactivit de recherche sur la modlisation du comportement des lastomres au LMA jouit aujourdhui dune reconnaissance lchelle nationale. Nous allons donc, au l de ce document, tenter de synthtiser ces diffrents travaux de recherche. Ainsi, aprs un premier chapitre consacr une brve prsentation des matriaux lastomres et de leurs mcanismes de dformation, la suite du mmoire se dcline, limage du droulement de ce programme de recherche et des thmatiques scientiques abordes, en quatre chapitre. Le second chapitre traite de la modlisation du comportement hyperlastique incompressible et quasiincompressible. Il situe le cadre thermodynamique de ces modles de comportement et prsente quelques modles avec des exemples didentications des paramtres associs. Une seconde partie de ce chapitre rsume les dveloppements des lments nis hyperlastiques incompressibles que nous avons raliss. Nous insistons en particulier sur les lments nis spciques permettant de ramener, dans le cadre de lhyperlasticit incompressible, des problmes tridimensionnels en problmes 2D avec : les lments pseudo-axisymtriques, pour la modlisation de pices complexes, symtrie de rvolution mais soumises des chargements non-symtriques, telles que la BUTE LAMIFIE, les lments rduits 3D/2D destins la modlisation des structures lances dans une direction et possdant des proprits dinvariance dans leur direction dlancement, telles que le BRAS EFB. Le troisime et le quatrime chapitres sont consacrs aux comportements lasto-dissipatifs, en grandes dformations, des lastomres chargs, matriaux constitutifs des ADAPTATEURS DE FRQUENCES. Aprs quelques constatations exprimentales et une prsentation du cadre thermodynamique, nous exposons dans le troisime quelques modles rhologiques, bass sur une dcomposition multiplicative des dformations en une partie lastique et partie anlastique. Ces modles permettent de traduire le comportement sous chargements dynamiques simples (mono-harmoniques) temprature ambiante (modles hyper-visco-lastiques) ou froid (modles hyper-lasto-visco-plastiques). A chaque fois une confrontation avec des rsultats dessais exprimentaux, raliss dans le cadre de ces travaux, est prsente. Dans le quatrime chapitre, nous proposons une approche statistique, micro-physiquement motive, permettant de modliser le comportement hyper-lasto-visco-plastique des lastomres chargs, sous sollicitations dynamiques complexes (statiques et dynamiques ou multi-harmoniques). Elle permet de gnraliser les assemblages parallles dun nombre ni de branches un assemblage statistique une innit de branches. Lintrt de cette dmarche rside en une couverture plus large du spectre de chargement, sans pour autant augmenter le nombre de paramtres du modle. Quelques exemples de modles sont ensuite prsents avec une stratgie didentication de leurs paramtres caractristiques et une campagne didentication en discutant la pertinence de ces modles vis--vis des phnomnes observs exprimentalement. Le dernier chapitre est consacr la modlisation du couplage thermomcanique des lastomres dissipatifs (5) . Ainsi, un algorithme de couplage faible est propos ; il relie la modlisation mcanique une modlisation thermique, via la prise en compte dun terme source de chaleur dorigine mcanique et de lvolution des caractristiques mcaniques en fonction de la temprature. Une confrontation des rsultats numriques et exprimentaux est prsente dans ce chapitre. Elle permet de quantier la proportion de la puissance dissipe en chaleur et de valider le modle coupl. Enn, nous terminerons ce manuscrit par une discussion sur les rsultats obtenus ce jour, ainsi que sur les orientations que nous envisageons de donner ce projet de recherche.
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(5). L encore, la motivation industrielle est lie au comportement, sous chargements dynamiques et thermiques, des adaptateurs de frquences
C HAPITRE
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Les matriaux lastomres
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a nature dun matriau lastomre est le rsultat dune forte interaction entre sa composition chimique, sa morphologie diffrentes chelles, le procd de son laboration, ses proprits physicochimiques et des performances vises en service. La matrise des mcanismes de comportement de tels matriaux ncessite donc, entre autres, une bonne connaissance de sa micro-structure et des procds de sa mise en oeuvre. Lobjet de ce chapitre est de donner un bref aperu sur ces deux aspects, an de comprendre les mcanismes locaux qui induisent le comportement macroscopique du matriau. Aprs quelques gnralits sur les principales familles dlastomres et de leurs proprits caractristiques, nous proposons une description de leur morphologie lchelle macro-molculaire, nous permettra de comprendre les mcanismes induisant les diffrents modes de comportement. Ainsi, en partant de llasticit caoutchoutique, nous abordons les comportements dissipatifs et linuence des charges, pour nir par la description de quelques mcanismes dendommagement et notamment de leffet Mullins.
L
5
P LAN
DU
C HAPITRE 1Gnralits sur les lastomres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quelques mcanismes locaux de comportements des lastomres 1.2.1 Llasticit caoutchoutique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Inuence du taux de rticulation . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 La cristallisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Les mcanismes dissipatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.a Les frottements internes . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4.b Renforcement par les charges . . . . . . . . . . . 1.2.5 Les mcanismes dendommagement . . . . . . . . . . . . . 1.2.5.a Processus dendommagement . . . . . . . . . . . 1.2.5.b Leffet Mullins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9 9 10 10 11 11 12 13 13 15 16
1.1 1.2
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1.3
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1.1 Gnralits sur les lastomresLes lastomres appartiennent la famille des hauts polymres. Microscopiquement, ils se prsentent sous forme de macro-molcules constitues de longues chanes de polymres, linaires ou ramies, enchevtres les unes dans les autres. Compte-tenu de leur structure amorphe et pour des tempratures suprieures leur temprature de transition vitreuse, les lastomres se caractrisent par une grande dformabilit et une haute lasticit caoutchoutique. En effet, ltude des proprits physiques des polymres, en fonction de la temprature, montre lexistence de plusieurs tats de la matire : tat vitreux : cet tat caractrise gnralement les verres organiques qui prsentent une trs faible dformabilit. tat de transition : ce stade, on est en prsence de polymres linaires thermoplastiques de type cellulosiques, polyamides, polyesters, polyvinyles. . . Il sagit comme son nom lindique dune phase de transition signicative de ltat quasi-fragile un tat de grande dformabilit. tat caoutchoutique : les lastomres sont caractristiques de cet tat. Ils possdent une grande dformabilit et un comportement visqueux. tat dcoulement : le polymre, bien que encore solide, se comporte comme un uide nonnewtonien quasi-incompressible fortement visqueux. On peut ainsi raliser une observation qualitative du module dYOUNG et de langle de perte, suivant la temprature, ce qui permet de mettre en vidence les diffrents tats de dformabilit que peut engendrer une variation de temprature sur ces matriaux (Fig. 1.1). E Evit quelques GPa
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Ecaou
Evit 1000
Tg tat vitreux tat de transition
Temprature ( C) tat caoutchoutique coulement
Figure 1.1 volution du module dYOUNG et de langle de perte en fonction de la temprature. La temprature de transition vitreuse Tg des lastomres, varie de 10 C 120 C selon leur composition chimique et leur micro-structure. Ces caractristiques mcaniques allies des proprits dimpermabilit, dinertie chimique et dune certaine stabilit aux changements de temprature en font des matriaux devenus de plus en plus incontournables pour diverses utilisations industrielles. Aujourdhui, sous la dnomination "lastomres", on regroupe aussi bien le caoutchouc naturel que les lastomres synthtiques. Le caoutchouc naturel ou Natural Rubber, de symbole normalis NR, est obtenu partir du latex fourni par incision dans lcorce dune famille darbres quatoriaux : les Hvas. Il sagit dun polyisoprne de
8
C HAPITRE 1. L ES
MATRIAUX LASTOMRES
formule chimique (C5 H8 )n (cf Fig. 1.2). Ils se caractrisent par de trs bonnes proprits mcaniques, aprs vulcanisation, mais de faibles tenues chimiques et une mdiocre rsistance la chaleur.
CH2 C
C
CH2 n
CH3 H
Figure 1.2 Isoprne, C5 H8
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Les lastomres de synthse sont, quant eux, obtenus par polymrisation de monomres issus dhydrocarbures insaturs. Parmi les grandes familles de caoutchoucs de synthse, on peut citer, les caoutchoucs Buna (SBR et BR) , les copolymres dthylne propylne (EPM et EPDM), le caoutchouc butyle (IIR), le polyisoprne de synthse (IR), le noprne, les silicones (MQ,VMQ...), les polyurthanes (PU), et copolymres uors (FM). . . Le tableau (Tab. 1.1), rsume la classication et les proprits caractristiques de ces familles dlastomres.
Famille Caoutchoucs naturels ou synthtiques
Nomenclature Caoutchouc naturel
Symbole Tg NR 72o C 72o C 50o C 112o C 55o C 66o C 45o C
Proprits caractristiques Bonnes proprits mcaniques, faibles rsistance la chaleur et lozone, faible tenue chimique
Caoutchoucs BUNA
Polyisoprne Copolymre butadine
styrne-
IR SBR
Grande rsistance labrasion
Caoutchouc thylne propylne dine Caoutchouc butyle Caoutchoucs nitriles
Polymre de butadine Terpolymre tylnepropylne-dine Copolymres isobutylneisoprne Copolymres butadineacrylonitrile (basse teneur en ACN) Copolymres butadineacrylonitrile (haute teneur en ACN) Polychloroprne
BR EPDM
IIR NBR
Excellentes proprits lastiques, bonne tenue au vieillissement et en temprature, mauvaise tenue aux huiles et carburants Trs bonne rsistance au vieillissement et tanchit aux gaz. Bonnes proprits mcaniques, bonne tenue aux huiles et aux carburants, tenue en temprature limite
NBR
20o C 45o C 120o C 120o C 70o C Bonnes proprits mcaniques, bonne tenue au vieillissement, tenue aux huiles modres, tenue en temprature limite Haute rsistance la chaleur et au froid, faible tenue mcanique
Noprne
CR
Silicones
Polydimthylsiloxane
MQ
Polydimthylvinylmthylsiloxane Silicones uors
VMQ
FVMQ
Tableau 1.1 Familles dlastomres
Pour plus de prcisions, une prsentation plus dtaille sur les matriaux lastomres est propose en Annexe A
9
1.2 Quelques mcanismes locaux de comportements des lastomres1.2.1 Llasticit caoutchoutiqueA titre illustratif, nous prsentons Fig. 1.3, la rponse un chargement en traction uniaxiale dun lastomre base de silicone. Cette courbe montre dune part, la non-linarit de comportement et dautre part la grande capacit se dformer ; llongation maximale pouvant parfois atteindre les 700%.7
6
Contrainte (MPa)
5
4
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3
2
1
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Dformation Figure 1.3 Caractre hyperlastique dun lastomre en traction uniaxiale A lchelle de la structure microscopique, un lastomre vulcanis est constitu de longues chanes molculaires comportant des points de jonctions. Ces macro-molcules forment ainsi un rseau tridimensionnel dont les segments de chanes sont orients de faon alatoire. Outre ces points de jonctions de type liaisons covalentes, il existe des liaisons trs faible nergie appeles liaisons secondaires ou enchevtrements. Llasticit caoutchoutique est le rsultat de cette faible interaction entre les macromolcules. Ainsi, sous laction dune sollicitation mcanique, ces chanes molculaires peuvent glisser les unes sur les autres et changer ainsi la conguration micro-structurale du rseau molculaire qui passe dun arrangement alatoire un arrangement orient suivant la direction de sollicitation. Llasticit caoutchoutique est donc de nature entropique. Cette lasticit caoutchoutique rsulte plus des variations dentropie congurationnelle dans le rseau macro-molculaire que des variations de son nergie interne. En labsence de forces extrieures, le rseau de chanes molculaires adopte une conguration correspondant lentropie maximale. Sous sollicitation mcanique ces chanes se dplient et sarrangent suivant une direction privilgie, la direction de chargement rduisant ainsi lentropie du rseau et produisant un tat de dformation macroscopique. En effet, en partant dobservations exprimentales, M EYER et F ERRI en 1935, puis A NTHONY & AL . en 1942, ont montr, dans le cas dune traction uniaxiale, que leffort de traction tait proportionnel la temprature pour une mme longation et donc que lnergie interne changeait peu avec la dformation (cf. Fig. 1.4 extrait de [158]). Ce rsultat a t rcemment discut par C HADWICH et C REASY, montrant qu un tat de dformation donn, la partie dviatorique du tenseur de contraintes nest pas intgralement dorigine entropique, et dcoule en partie de la variation dnergie interne [27].
10
C HAPITRE 1. L ES
MATRIAUX LASTOMRES
20 16 Effort (Kg.cm2 ) 12 8 4Contribution de la variation de lnergie interne
Effort total Contribution entropique
0 2
0
100 200 300 longation (%)
400
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Figure 1.4 Contribution de lentropie et de lnergie interne la force de traction en fonction de llongation.
1.2.2 Inuence du taux de rticulationLa dformation maximale que peut atteindre un lastomre vulcanis dpend de la distance moyenne entre deux points de jonction dans le rseau macro-molculaire, gnralement quantie par la densit de rticulation. On comprend ainsi facilement quune faible densit de rticulation induit une grande exibilit des chanes et donc une grande dformabilit macroscopique du matriau. Cependant dautres proprits dpendent aussi du taux de rticulation (Fig. 1.5) telles que la rsistance au dchirement et la fatigue, la dissipation, la duret. . . Mais, ces dpendances voluent souvent de faon antagoniste, il est difcile de trouver un taux de rticulation optimal vis--vis des diffrents critres de comportement. Cest l une difcult majeure que rencontrent les manufacturiers des pices en lastomre.
1.2.3 La cristallisationDans sa conguration non dforme, la micro-structure de llastomre se prsente sous la forme de Pelote statistique, o les chanes macro-molculaires sont replies sur elles-mmes et senchevtrent avec les chanes voisines. Sous contraintes, ces chanes se dploient et entranent lalignement progressif, dans la direction de chargement, puis lextension des segments situs entre deux points de rticulation, formant ainsi des zones cristallites qui agissent comme des liens supplmentaires dans le rseau macro-molculaire. Cette cristallisation induite par la dformation se traduit par une rigidication de llastomre partir dun niveau de dformation relativement important (au del de 100% 300% selon la nature du matriau). An de vrier si un lastomre est cristallisant ou non sous contraintes, une mthode [68] consiste soumettre le matriau un essai de traction cyclique amplitude croissante. Ainsi, si les cycles rponses ne rejoignent pas la courbe non-cycle alors llastomre est cristallisant. Si ces derniers rejoignent la courbe de comportement du matriau non-cycl alors le matriau est non cristallisant (Fig. 1.6). Plus rcemment R AO et R AJAGOPAL [128] ont propos un cadre thermodynamique pour la prvision de la cristallisation sous contraintes mcaniques des matriaux polymres.
11
Dissipation
Rsistance au dchirement et la fatigue
Module statique Module dynamique
Proprits
Duret Rsistance dynamique
Densit de rticulation
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Figure 1.5 Reprsentation schmatique des proprits physiques et mcaniques fonction de la densit de rticulation de B OUCHEREAU issue de [24] 250 200 Effort (Kg.cm2 ) 150 100 50 200 150 100
Effort (Kg.cm2 ) 1 2 3 Dformation 4
50
0
0
1
2 3 4 5 Dformation
6
7
(a) lastomre SBR non cristallisant
(b) Caoutchouc naturel (NR) cristallisant
Figure 1.6 Effet de cristallisation sous contrainte [68].
1.2.4 Les mcanismes dissipatifs1.2.4.a Les frottements internes
Sous contrainte, le dploiement des chanes macro-molculaires est frein par le frottement visqueux au niveau des points de liaison faible nergie et par lenchevtrement entre les diffrentes chanes. Ce mcanisme coupl llasticit caoutchoutique de llastomre induit donc un caractre viscolastique dans le comportement macroscopique de la plupart des lastomres. Ce comportement est notamment caractris par la dpendance de la rponse en fonction de la vitesse de la dformation ainsi que par les
12
C HAPITRE 1. L ES
MATRIAUX LASTOMRES
effets de uage et de relaxation (Fig. 1.7).1100% 50% 25%
0.8
Contrainte normalise
0.6
0.4
0.2
0 0 200 400
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600 800 Temps(s)
1000
1200
1400
Figure 1.7 Essais de relaxation en traction uniaxiale temprature ambiante. Un autre mcanisme dissipatif est li aux frottements secs gnrs par linteraction entre lments libres de chanes molculaires. Macroscopiquement, ces frottements secs induisent un comportement plastique dont la dissipation par hystrse crot avec la diminution de la temprature (Fig. 1.8) et avec le taux de cristallisation du matriau.1.5 -55C -40C -25C 25C 40C 70C
1
Contrainte (M P a)
0.5
0
-0.5
-1
-1.5 -60
-40
-20
0
20
40
60
Dformation Figure 1.8 Inuence de la temprature sur le comportement hystrtique dun lastomre silicone.
1.2.4.b
Renforcement par les charges
Le comportement dun lastomre rsulte non seulement de sa nature chimique, mais aussi des additifs que lon y incorpore lors de son laboration. Parmi ces additifs, les charges renforantes conditionnent fortement le comportement du matriau ni. Il sagit alors dun systme multiphas compos : de la matrice qui constitue un rseau dlastomre rticul (la gomme),
13
de particules nes regroupes en agrgats ou agglomrats (Fig. 1.9) forms lors de la phase de malaxage (les charges de renfort).Particule lmentaire Agrgat Malaxage Agglomrat
Agglomration 10-15 nm 10-100 nm 1-10 m
Figure 1.9 Les diffrentes chelles de taille des charges. On entend alors par renforcement, lamlioration des proprits dusage de la gomme. Il peut sagir de laugmentation du module tangent lorigine, des modules scants, de lnergie rupture, de la contrainte ou de llongation rupture, de la rsistance la fatigue, de la rsistance labrasion . . . De manire gnrale, le caractre renforant varie avec la nature de la charge, sa taille (Fig. 1.11), sa fraction volumique dans le mlange, mais aussi ses interactions avec la matrice (Fig. 1.10).1.5 40% 8. 7. 60% 40% 20% Gomme
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Contrainte nominale (MPa)
1.
10%
Dissipation (J.m3 ) 105
20%
6.
5.
4.
0.5 Non-charg
3.
2.
1. 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1. 1.2 1.4 Dformation 0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.
1.2
1.4
1.6
1.8
Amplitude de dformation (crte crte)
(a) Inuence du taux de charge sur le comportement instantan dun silicone renforc par la silice prcipite in situ [39]
(b) Inuence du taux de charge sur lvolution de la dissipation en fonction de lamplitude pour un lastomre SBR charg de noir de carbone [83].
Figure 1.10 Inuence des charges renforantes.
1.2.5 Les mcanismes dendommagement1.2.5.a Processus dendommagement
Il apparat que le matriau peut tre vu trois chelles dcroissantes Fig. 1.12. 1. le matriau lchelle macroscopique, apparemment homogne, que lon cherche modliser,
14
C HAPITRE 1. L ES
MATRIAUX LASTOMRES
Figure 1.11 Inuence de la taille des particules de noir de carbone sur le comportement dun SBR.
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2. lchelle msoscopique, la matrice et les agglomrats, 3. lchelle microscopique, les chanes et les charges.111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000 111111111111111111111111111111111 000000000000000000000000000000000
lastomre Zoom Matrice Inclusion Charge Zoom Chane dinterface Point de rticulation Chane de liaison
Figure 1.12 Observation "macro-mso-micro" pour un lastomre rticul. Lendommagement des lastomres est donc li plusieurs phnomnes : la rupture des liaisons charges-chanes, et des chanes elles-mmes (Fig. 1.13) [151; 62; 61; 111] ; la dcohsion des charges, cest--dire la diminution des caractristiques mcaniques de leurs interfaces [1; 40; 3] ; la rupture des agglomrats [140; 87] ; et bien sr la propagation des ssures engendres par ces trois phnomnes.
15
liaison matrice / inclusion
nud de ramication
rupture de chane dcohsion matrice / inclusion Figure 1.13 Deux types de mcanismes dendommagement au sein dun VER
1.2.5.b
Leffet Mullins contrainte ()
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(2) (1) (a) (b) Dformation () (c)
(0)
Figure 1.14 Chargement cyclique dun lastomre.
Lorsquun lastomre vierge est sollicit de faon cyclique, on observe que leffort appliquer initialement pour dformer llastomre jusqu un niveau donn est toujours suprieur celui ncessaire pour atteindre le mme niveau de dformation au cours des cycles suivants. Ce phnomne est connu sous le nom deffet Mullins ou assouplissement sous contrainte des lastomres. Cet effet (Fig. 1.14) peut aussi tre mis en vidence par un essai de traction cyclique au cours duquel on augmente progressivement lamplitude de dformation [62], o lon observe que le chemin suivi par la rponse du matriau dpend du niveau maximum de dformation subi par le matriau au cours des prcdents chargements.
(a) Rupture de chanes : Modle de Bueche
(b) Glissement de chanes : Modle de Dannenberg et Boonstrat
Figure 1.15 Mcanismes micro-molculaires dassouplissement
16
C HAPITRE 1. L ES
MATRIAUX LASTOMRES
Ce phnomne a fait lobjet de plusieurs investigations [118] et la plupart des auteurs saccordent pour attribuer ce caractre spcique des lastomres un phnomne dendommagement. Ainsi parmi les mcanismes micro-molculaires qui ont t proposs pour expliquer ce phnomne [143; 25], on peut citer pour les lastomres chargs (Fig. 1.15) : le modle de B UECHE qui attribue leffet Mullins une rupture de chanes entre deux charges voisines ; le modle de DANNENBERG et B OONSTRAT qui propose un mcanisme de glissement de chanes au niveau de la surface de charge.
1.3 ConclusionDe par leur composition et leur laboration (relevant bien souvent du secret industriel) les matriaux lastomres sont constitus dune micro-structure complexe et reprsentent un panel complet de comportements mcaniques : de llasticit, de la viscosit, de la plasticit, de lendommagement... Ceux-ci peuvent tre plus ou moins accentus en fonction du chargement mcanique et de lenvironnement (temprature, atmosphre, UV...). Nous aborderons dans la suite de ce document, les diffrentes voies explores an de mieux prvoir la rponse des lastomres sous des sollicitations mcaniques (statiques ou dynamiques) et/ou thermiques (induite ou extrieures).
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C HAPITRE
2
Le comportement hyperlastique
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our dcrire le comportement statique ou quasi-statique des lastomres, les modles les plus couramment utiliss sont les modles hyperlastiques. Les premiers modles, pour dcrire le comportement hyperlastique des caoutchoucs vulcaniss, ont t proposs ds les annes 40. Les uns taient bass sur des observations exprimentales et des proprits mathmatiques disotropie et dincompressibilit ; dautres taient issus de considrations micro-structurales et traduisaient lorigine essentiellement entropique de llasticit caoutchoutique. Lobjet de ce chapitre est de donner, dans un premier temps, une vision panoramique des modles de comportements hyperlastiques. En partant de la dnition dun milieu hyperlastique, nous rappelons les diffrentes critures des lois de comportement associes pour les milieux incompressibles ou compressibles. Nous donnons ensuite quelques formes dnergie de dformation hyperlastique en distinguant les modles phnomnologiques et les modles micro-physiquement motivs. Ensuite, nous proposons quelques exemples de dterminations des paramtres caractristiques, an de dgager une stratgie didentication pour les modles usuellement utiliss. La seconde partie de ce chapitre est consacre la modlisation numrique, par lments nis, des structures constitues dlastomres hyperlastiques incompressibles ou quasi-incompressibles. Ainsi, aprs une prsentation gnrale des formulations variationnelles et des espaces de discrtisation adaptes ces problmes, nous nous intressons particulirement aux mthodes de rduction de modles (lments nis pseudo-axisymtriques et lments rduits 3D/2D) appliques lhyperlasticit incompressible. Ces approches permettent de mettre prot les symtries initiales des structures an de rduire la taille des modles traiter, tout en dterminant avec une bonne prcision leur rponse mcanique, aussi bien au niveau global que local.
P
17
P LAN
DU
C HAPITRE 2Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Formalisme thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1.a Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1.b Loi de comportement - Principes gnraux . . . . . . . . 2.1.2 Dnition dun milieu hyperlastique . . . . . . . . . . . . . . . . Lois de comportement pour les milieux hyperlastiques isotropes . . . . 2.2.1 Lhyperlasticit incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.a Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1.b Quelques formes de densit dnergie de dformation . . 2.2.2 Lhyperlasticit compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.a Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2.b Quelques modles compressibles . . . . . . . . . . . . . Identication des paramtres caractristiques . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Caractrisations exprimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Mthodologie didentication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Identication sous contrainte de stabilit . . . . . . . . . . . . . . . Dveloppements dlments nis hyperlastiques quasi-incompressibles 2.4.1 Formulation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 lments nis classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2.a Formulation discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2.b Choix des espaces dinterpolation . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 lments nis rduits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3.a Les lments pseudo-axisymtriques . . . . . . . . . . . 2.4.3.b Les lments rduits 3D/2D . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Quelques exemples dapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4.a Calcul dune bute sphrique . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4.b Calcul dun bras lastomrique . . . . . . . . . . . . . . Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 19 20 21 21 21 24 24 24 26 26 26 27 28 29 29 30 30 31 32 33 35 38 38 40 40
2.1
2.2
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2.3
2.4
2.5
19
2.1 Gnralits2.1.1 Formalisme thermodynamique2.1.1.a Notations
Avant de donner la dnition dun milieu hyperlastique et den crire la loi de comportement, nous prsentons dans ce paragraphe, les notations que nous utilisons Tab. 2.1, ainsi que quelques critres que doit gnralement vrier une loi de comportement.Symbole dX dx F C E B A S L D 0 , T s q Q Dsignation Vecteur lmentaire dans la conguration initiale Transform de dX dans la conguration actuelle Tenseur gradient de la transformation Tenseur de C AUCHY-G REEN droit Tenseur des dformations de G REEN -L AGRANGE Tenseur de C AUCHY-G REEN gauche Tenseur des dformations dE ULER -A LMANSI Tenseur des contraintes de C AUCHY (description eulrienne) Premier tenseur de P IOLA -K IRCHHOFF (description mixte) Second tenseur de P IOLA -K IRCHHOFF (description lagrangienne) Gradient eulrien des vitesses Tenseur taux des dformations Densit volumique de masse dans la conguration initiale, actuelle Temprature Entropie spcique Flux de chaleur dans la conguration actuelle Transport du ux de chaleur dans la conguration initiale Commentaires
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dx = F dX et J = det(F ) > 0 = FT F C 1) E = 1 (C 2 = F FT B 1 A = 1 ( B ) 1 2
=
= J F T S = F 1 1 L=F F = F F 1 D0 J
sym
Q = J F 1 q
Tableau 2.1 Prsentation des principales notations utilises.
2.1.1.b
Loi de comportement - Principes gnraux
Pour dterminer lvolution dun systme dformable, il est ncessaire dtablir une relation entre contrainte et dformation : la loi de comportement. Elle doit en outre obir aux critres suivants : le principe dobjectivit ou dindiffrence matrielle : la loi de comportement doit tre invariante par tout changement de rfrentiel, la compatibilit avec les symtries matrielles : dans le cas dun matriau isotrope, la loi de comportement doit tre invariante dans toute rotation de la conguration de rfrence. Sous lhypothse de ltat local, la loi de comportement est construite de manire phnomnologique en partant de lingalit de Clausius-Duhem que lon obtient partir du premier et second principes de la thermodynamique. En introduisant lnergie libre spcique de H ELMHOLTZ , lingalit de Clausius-
20
C HAPITRE 2. L E
COMPORTEMENT HYPERLASTIQUE
Duhem traduit la positivit de la dissipation (0 ou ) et scrit selon le mode de description : Description eulrienne : 1 = : D + sT q gradx T 0 T (2.1)
1 Description lagrangienne : 0 = S : E 0 + sT Q gradX T 0 T Description mixte : 1 0 = : F 0 + sT Q gradX T 0 T
2.1.2 Dnition dun milieu hyperlastiqueUn milieu est dit hyperlastique sil vrie les critres suivants : lexistence dune conguration de rfrence libre de contrainte, le matriau ne dissipe pas dnergie, le comportement du matriau est dcrit par une densit dnergie libre spcique , fonction des dformations et de la temprature. Ainsi, en labsence deffets thermiques et compte-tenu de la nullit de la dissipation, les quations Eq. 2.1 permettent dobtenir la relation contrainte-dformation, dans chaque mode de description (1) : En eulrien 2B : D = 0 B : E = S : E = 0 En lagrangien 0 = S 0 0 E En mixte 0 = : F 0 = 0 : F = 0 F = : D = = 2B B = S 0 E = 0 F
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(2.2)
Ainsi, un matriau est dit hyperlastique si la relation contraintes-dformations drive dune densit dnergie de dformation qui est gale lnergie libre spcique dH ELMHOLTZ du milieu. En considrant cette densit dnergie de dformation par unit de volume dans la conguration initiale : W = 0 , et en introduisant le tenseur de K IRCHHOFF, les formes gnrales de la loi de comportement hyperlastique scrivent respectivement en eulrien, lagrangien et mixte : = J = 2B W B W = 2 W (2.3) S= E C = W F (1). En description eulrienne, lobtention de lexpression de ncessite la symtrie de tropie de . B
Lorsque le matriau possde des proprits disotropie, la densit dnergie de dformation scrit, compte-tenu du Thorme de reprsentation (voir [150]), en fonction des invariants des tenseurs dequi dcoule de lhypothse diso-
21
Cauchy-Green C et B nots Ii ,(i = 1,2,3), soit : I1 = T r(X), 2 2 W = W(I1 ,I2 ,I3 ) avec : I = 1 (T r(X)) T r(X ) = T r(Cof X), 2 2 I = Det(X) 3 = 2 (W2 I2 + W3 I3 ) + W1 B W2 I3 B 1 1 J S = 2 (W1 + W2 I1 ) W2 C + W3 I3 C 1 1 = 2 (W1 + W2 I1 ) F W2 F F T F + W3 I3 F T
(X = C, B)
(2.4) La loi de comportement dun matriau isotrope hyperlastique scrit, en posant Wi = W/Ii et en tenant compte de lquation de C AYLEY-H AMILTON :
(2.5)
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2.2 Lois de comportement pour les milieux hyperlastiques isotropes2.2.1 Lhyperlasticit incompressible2.2.1.a Formulation
En considrant la nullit de la dissipation dans les quations Eq. 2.2 pour toute transformation incom pressible (soit, respectivement pour tout D, E ou F vriant J = 0 dans Eq. 2.6) et en utilisant les relations de transport des tenseurs de contraintes [150], nous pouvons dnir les dviateurs de contraintes, respectivement en description eulrienne, lagrangienne et mixte : Dev [X] = X 1 (X : 1)1 E 3 1 X = , S ou (2.7) DevL [X] = X (X : J 1 C)J C 1 3 DevM [X] = X 1 (X : J 1 F )J F T 3
Plusieurs types de matriaux peuvent subir des dformations en obissant des liaisons internes telles lincompressibilit. Pour traduire la condition locale dincompressibilit crivons, dans un premier temps, le taux de variation de volume : J = J : B = J : D 1 B J (2.6) J= : E = J C 1 : E E J = J : F = J F T : F F
22
C HAPITRE 2. L E
COMPORTEMENT HYPERLASTIQUE
Alors que les parties sphriques : Sph [X] = 1 (X : 1)1 E 3 1 SphL [X] = (X : J 1 C) J C 1 3 SphM [X] = 1 (X : J 1 F ) J F T 3 SphL [S] : E
(2.8)
vrient les conditions dorthogonalit qui sont quivalentes aux conditions locales dincompressibilit : SphE [ ] : D = = SphM [] : F = 0 (2.9)
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Ainsi, pour un milieu incompressible, la nullit de la dissipation dans les quations Eq. 2.2 respec tivement pour tout D, E ou F incompressibles, permet de dterminer seulement les dviateurs de contraintes, soient : DevE [ ] = DevE 2 B W J B W DevL [S] = DevL 2 (2.10) C DevM [] = DevM W F
Les contraintes sphriques sont, quant elles, colinaires respectivement aux tenseurs J C 1 et J F T ; 1, de sorte que la loi de comportement devienne en utilisant la variable scalaire p, appele usuellement pression hydrostatique et qui est gnralement dtermine partir des quations dquilibre et des conditions sthniques aux frontires : = DevE S = DevL = DevM 2 W B J B 2 W C p 1 p J C 1 p J F T (2.11)
W F
Ainsi, pour les milieux hyperlastiques incompressibles, les tenseurs de contraintes sont dtermins en fonction des dformations une contrainte sphrique prs, dont la puissance est toujours nulle dans une cinmatique incompressible. Si, en plus le milieu est isotrope, la densit dnergie de dformation est fonction des deux premiers
23
invariants W(I1 ,I2 ) et la loi de comportement devient : = 2 DevE (W1 + W2 I1 ) B W2 B 2 p 1 J 1 S = 2DevL (W1 + W2 I1 ) W2 C p J C 1 = 2DevM (W1 + W2 I1 ) F W2 F F T F p Cof F
(2.12)
Remarque 2.1 Loprateur : DevE X , prsent dans lexpression eulrienne de Eq. 2.7, correspond la dnition usuellement utilise du dviateur : XD
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1 1) 1, = X (X : 3
ainsi, dans la suite de ce document, nous adopterons, lorsque cel ninduit aucune ambigut, la notation D pour dsigner cet oprateur. X tRemarque 2.2 La formulation prsente ci-dessus diffre de celle classiquement utilise pour les problmes hyperlastiques incompressibles et qui consiste postuler une fonction densit dnergie de dformation de la forme : W = W q(J 1)
o q est un multiplicateur de Lagrange, associ la condition dincompressibilit J = 1 et qui est souvent assimil une pression hydrostatique (2) [15]. Les lois de comportement scrivent dans ce cas sous la forme : = 2B W p 1 B W (2.13) S = 2 p J C 1 C = W p Cof F F
Lcriture prsente ici, prsente lavantage dune part, de dcouler dun traitement thermodynamique de la condition dincompressibilit et dautre part, de distinguer les parties sphriques et dviatoriques des contraintes, et donc de donner une vraie signication physique de la pression hydrostatique. En fait, analytiquement les deux critures aboutissent rigoureusement aux mmes solutions en contraintes et en dplacements. Par contre numriquement, et en particulier pour des formulations variationnelles multi-champs, les oprateurs tangents et les rsidus dquilibre au cours des itrations diffrent entre ces deux critures. t(2). Par abus de langage.
24
C HAPITRE 2. L E
COMPORTEMENT HYPERLASTIQUE
2.2.1.b
Quelques formes de densit dnergie de dformation
Parmi les formes proposes dans la littrature, depuis les annes quarante (3) , nous citons ici les modles que nous avons utilis travers nos diffrentes applications, soient : Modle de M OONEY-R IVLIN,(1940) [116] W(I1 ,I2 ) = c1 (I1 3) + c2 (I2 3). (2.14)
Ce modle reste de loin le plus utilis pour sa simplicit et sa capacit reter convenablement le comportement des lastomres pour des niveaux de dformation allant jusqu 100%. Modle de R IVLIN,(1948) [137; 138; 139] W(I1 ,I2 ) =0m 0n
Cnm (I1 3)n (I2 3)m ,
(2.15)
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Cette formulation gnrale est base uniquement sur des hypothses disotropie et dincompressibilit. Elle englobe plusieurs modles, proposs par diffrents auteurs et dont les degrs dapproximation polynomiale en (I1 ,I2 ) varient selon la nature de llastomre modliser et le domaine des dformations couvrir. Modle de G ENT-T HOMAS, (1958) [57] W(I1 ,I2 ) = A1 (I1 3) + A2 ln( I2 ) 3
Ce modle dcoule dune tude exprimentale, propose en 1951 par R IVLIN & S AUNDERS ([136]), qui dmontre que la variation de lnergie de dformation est linaire en I1 et drive dcroissante en I2 . Il traduit convenablement le comportement des lastomres pour des dformations de moins de 200%. Modle de H ART-S MITH, (1966) [65]I1
W(I1 ,I2 ) = A1
3
exp(A3 (I1 3)2 )dI1 + A2 ln(
I2 ) 3
Cette forme dnergie dcrit correctement le comportement des lastomres pour des dformations allant jusqu 500%. Il traduit en particulier le phnomne de cristallisation sous dformation.
2.2.2 Lhyperlasticit compressible2.2.2.a Formulation
Lhypothse dincompressibilit des lastomres reste une approximation souvent justie par les valeurs leves du module de compressibilit de ces matriaux par rapport leur rigidit en cisaillement. En ralit, ces matriaux sont qualiables de faiblement compressibles ou quasi-incompressibles. Par ailleurs, cette proprit est souvent mise prot sur le plan numrique, pour relcher la contrainte svre que constitue la condition dincompressibilit dans la rsolution des problmes dquilibre en hyperlasticit.(3). et qui sont dveloppes en Annexe B
25
Une prise en compte de cette faible compressibilit ncessite rigoureusement une reformulation de la loi de comportement en dcomposant dans un premier temps, le mouvement local du milieu en une transformation purement sphrique J et une transformation isochore F : 1 F = J 1/3 F , C = J 2/3 C et B = J 2/3 B
les invariants de dformations correspondant la transformation purement incompressible, scrivent donc : I1 = J 2/3 I1 et I2 = J 4/3 I2
La densit dnergie de dformation est ensuite dcouple en une partie sphrique et une partie dviatorique : W(I1 ,I2 ,J) = WD (I1 ,I2 ) + WS (J)
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On obtient alors la loi de comportement hyperlastique compressible qui scrit respectivement en eulrien, lagrangien et mixte : = 2 B WD : B J B B WD C S =2 : C C = WD : F F F 2 WS B J B WS C 2 WD B J B WD C WD F d WS 1 dJ d WS 1 C dJ
+
= DevE
+
+
2
= 2 J 2/3 DevL
+
J
d WS Cof F dJ (2.16) On retrouve ainsi les oprateurs dviatoriques dnis respectivement en description eulrienne, lagrangienne et mixte : + WS F = J 1/3 DevM + Dev [X] = X : B = X 1 (X : 1)1 E 3 B 1 C DevL [X] = X : = X (X : J 1 C)J C 1 3 C DevM [X] = X : F = X 1 (X : J 1 F )J F T 3 F
X = ,
S
ou
(2.17)
Ces critures de loi de comportement ont t mises en oeuvre pour modliser des comportements quasiincompressibles, dans le cadre des travaux de thse de S. LEJEUNES [94]. En effet, dans le cas dune faible compressibilit, les lois compressibles sadaptent relativement bien aux formulations variationnelles en Lagrangien perturb (4) et prsentent un meilleur comportement numrique comparativement aux lois hyperlastiques incompressibles.(4). que nous aborderons plus loin dans ce mmoire.
26
C HAPITRE 2. L E
COMPORTEMENT HYPERLASTIQUE
2.2.2.b
Quelques modles compressibles
Pour expliciter les lois hyperlastiques compressibles, lexpression de lnergie de dformation dviatorique, fonction des invariants rduits (I1 ,I2 ), est gnralement choisie sous la mme forme que pour les matriaux incompressibles. On retrouve donc les modles prsents au paragraphe prcdent ou en Annexe B. Pour la densit dnergie sphrique, les formes les plus frquentes sont rsumes dans le tableau Tab. 2.2, o dsigne le module de compressibilit lorigine :WS (J) (J 1)2 2 (ln J)2 2 (J 1 ln J) Rfrence [15] [152] [110] [125] [67]
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2
1 1 + ln J J
( ln J 1) + 1
Tableau 2.2 Quelques formes dnergie de compressibilit.
2.3 Identication des paramtres caractristiques2.3.1 Caractrisations exprimentalesDans le but de dterminer les paramtres caractristiques dun modle hyperlastique, on utilise des essais de caractrisation, sous sollicitations simples, qui engendrent des tats de dformations homognes et/ou accessibles analytiquement. Ainsi depuis 1988, nous avons utiliss les rsultats exprimentaux issus dessais quasi-statiques et qui ont t mis en oeuvre par nos soins [15; 107] ou raliss par nos partenaires de recherche institutionnels (I NSTITUT DE M CANIQUE DES F LUIDES DE L ILLE. . . ) ou industriels (E UROCOPTER, PAULSTRA. . . ). Ces essais de caractrisation peuvent tre classs en plusieures catgories : Essais de traction uniaxiale raliss sur des prouvettes en forme de haltre. Essais de traction biaxiale raliss sur prouvette en membrane cruciformes. Essais de traction equi-biaxiale raliss sur prouvette en membrane circulaire sous pression. Essais de cisaillement pur qui correspondent une forme particulire des essais dextension biaxiale. Essais de glissement simple raliss sur des prouvettes dites de double-cisaillement ou de quadruple-cisaillement. Essais de traction multiaxiale raliss sur prouvette cylindrique de section annulaire soumise une extension selon son axe et une pression interne. Essais de compressibilit de type essai de pression hydrostatique dans un liquide (suppos plus incompressible que llastomre : tel que leau ou le mercure) pour les lastomres quasi-incompressibles.
27
2.3.2 Mthodologie didenticationLidentication des paramtres des modles est base sur la minimisation de la distance au sens des moindres carrs entre les rponses exprimentale et analytique de lprouvette soumise ses sollicitations simples. Elle a ncessit en outre, la mise en place dune stratgie de dtermination des paramtres du modle en fonction de leur inuence sur la rponse aux sollicitations des diffrents essais. Le choix dune stratgie didentication dpend en gnral, de plusieurs facteurs : la nature de comportement de llastomre caractriser (non-linarits, effet de rigidication aux grands allongements...) ; le modle hyperlastique caractriser et donc le nombre de paramtres dterminer ; le domaine de dformations vis ; et de faon pragmatique, les rsultats dessais disponibles pour la caractrisation. Ainsi, titre dexemple, nous prsentons deux identications effectues sur deux lastomres distincts et pour deux applications diffrentes. La premire concerne un caoutchouc naturel (NR) constituant des appuis stratis lastomre-mtal, utiliss en tant quisolateurs parasismiques [15]. Il sagissait didentier les paramtres du modle de Mooney-Rivlin (cf. Eq. 2.14) pour un domaine de dformations infrieures 100% et en utilisant les essais de traction uniaxiale et de cisaillement simple. Ainsi, la mthodologie didentication se rduisait : une identication par ajustement sur la rponse en traction uniaxiale (cf. Fig. 2.1), une validation des paramtres travers une confrontation en cisaillement simple.
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(a) Identication en traction uniaxiale.
(b) Validation en cisaillement simple.
Figure 2.1 Identication des paramtres de Mooney-Rivlin (courbes contraintes-dformations), (issude [15]).
Le second exemple didentication concerne un lastomre SBR constituant le dispositif DIAS de la fuse ARIANE V (5) [53]. Les dformations atteignent pour cette application le niveau de 300% en cisaillement. Pour modliser le comportement de cet lastomre, nous avons utilis le modle de Hart-Smith quasiincompressible :e I1
W(I1 ,I2 ,J) = A1
3
exp(A3 (U 3)2 )dU + A2 ln(
I2 ) + (J 1)2 3 2
(5). Ce dispositif assouplisseur intervient la jonction de la jupe avant des boosters et du corps central de la fuse, il joue le rle de ltre de transmission de la pousse.
28
C HAPITRE 2. L E
COMPORTEMENT HYPERLASTIQUE
avec une identication des paramtres selon la stratgie suivante (cf. Fig. 2.2) : Prdtermination des paramtres A1 , A2 et A3 sur les rsultats dessais en traction uniaxiale. Correction du paramtre A3 sur lessai de cisaillement pur. Correction du paramtre A2 sur lessai de traction equi-biaxiale. Identication du module de compressibilit sur lessai de compressibilit.
Cette stratgie rsulte dune tude de sensibilit mene dans le cadre de la thse de F. JAZZAR [78] et qui avait montr que les variations du paramtre A1 modient sensiblement le comportement en traction uniaxiale, que A2 inue sur la rponse en traction bi-axiale et que A3 conditionne la rigidit, en grandes dformations, sous sollicitation de cisaillement.
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(a) En traction uniaxiale.
(b) En cisaillement pur.
(c) En traction equi-biaxiale.
Figure 2.2 Identication des paramtres de Hart-Smith (Issu de [53]).
2.3.3 Identication sous contrainte de stabilitComme nous avons pu le noter prcdemment, il existe une multitude de modles hyperlastiques. Cependant, on spcie rarement leur domaine de validit vis--vis de la stabilit matrielle. Pour quune loi
29
de comportement hyperlastique soit matriellement stable, la densit dnergie de dformation W doit vrier certains critres, savoir : le critre de positivit, quel que soit ltat de dformation ; les conditions de coercivit ; la condition de poly-convexit de BALL [4]. Dans le cas des modles polynomiaux, une condition sufsante pour assurer la convexit de la densit dnergie de dformation (6) est la condition de positivit des paramtres propose par HARTMANN dans [66]. Une condition la fois moins svre et plus gnrale, car applicable toutes les formes de densit, a t dveloppe avec S. L EJEUNES [93]. Elle consiste xer a priori, le domaine de dformations vis par la modlisation et identier les paramtres du modle en imposant la condition de convexit en tout point du domaine. Cette condition de convexit peut scrire localement, laide de loprateur Hessien, dans le cas incompressible, sous la forme : det(2 (1 ,2 )) 0 (2.18)
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En pratique, la condition prcdente est impose en tout point de lensemble discret des dilatations principales (i ,i ), telles que : 1 2 (i ,i ) V = (j ,j ) R R ; 1 2 + + 1 2 min j max , min j max 1 1 2 2 1 2
Par la suite, S. L EJEUNES a afn, dans le cadre de sa thse [94], cette condition en introduisant la notion de stabilit de M IELKE [115].1
Contrainte (MPa)
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0
Contrainte (MPa)
Contrainte de positivit Contrainte de convexit Sans contrainte Essais
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
Contrainte de positivit Contrainte de convexit Sans contrainte Essais
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
longation (%)(a) En traction.
Glissement (%)(b) En cisaillement.
Figure 2.3 Identication des paramtres du modle de Haupt & Sedlan (issu de [93]).
2.4 Dveloppements dlments nis hyperlastiques quasi-incompressibles2.4.1 Formulation variationnelleLa rsolution du problme dquilibre hyperlastique incompressible se ramne au problme de minimisation de la fonctionnelle : W F (v) dV Wext (v) E(v) = (2.19)0
(6). et donc la poly-convexit
30
C HAPITRE 2. L E
COMPORTEMENT HYPERLASTIQUE
sous la contrainte dincompressibilit locale : J (v) = det(F (v)) = 1. La difcult principale de la rsolution de ces problmes, laide de la mthode des lments nis, rside en la formulation numrique dlments stables vitant les phnomnes de blocage ou des modes de dformation, nergie nulle, de type sablier. Pour saffranchir dune telle contrainte, plusieurs formulations ont t proposes, depuis les annes soixante (cf. [54; 55; 56]), dont les approches variationnelles multi-champs, en dplacement et en pression, telles que : la formulation en lagrangien [123], qui prsente linconvnient de la non-coercivit par rapport la variable pression do la non-dnie positivit du systme tangent ; la formulation en lagrangien perturb [105; 70], qui permet de rgulariser le systme tangent, via lintroduction dun terme de perturbation fonction coercive de la pression hydrostatique ; la formulation en lagrangien augment [58; 59; 60], associe un algorithme dU ZAWA, qui consiste chercher une solution incompressible dans un espace "plus grand" que celui du problme initial an dviter les phnomnes de blocages. Par ailleurs, on peut citer les approches variationnelles en dplacement bases sur les mthodes de pnalit qui prsentent lavantage dliminer la variable pression et qui se ramnent physiquement adopter une hypothse de quasi-incompressibilit avec une fonction de pnalit qui correspond une densit dnergie de compressibilit. La minimisation de cette fonctionnelle obtenue via cette approche est quivalente (moyennant une mthode dintgration rduite slective) la recherche dun point selle de la fonctionnelle en lagrangien perturb [106; 126]. L (v,q) =0
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W F (v) + q (J(v) 1) q 2 dV Wext (v) 2
(2.20)
Une autre approche en lagrangien perturb consiste considrer le problme dun matriau hyperlastique compressible, en utilisant un dcouplage de la densit dnergie de dformation en une partie isochorique, dpendant de la partie incompressible F = J 1/3 F de la transformation, et une partie volumique fonction de J. On obtient alors la solution quasi-incompressible pour des modules de compressibilit 1/ inniment grands. Cette approche a t mise en oeuvre par S. L EJEUNES [94] et prsente deux avantages majeurs : le multiplicateur de Lagrange p est directement identiable la pression hydrostatique ; une convergence rapide vers la solution incompressible lorsque tend vers zro.
Les quations dEuler associes cette fonctionnelle sont : W(F (u)) + p Cof F (u) : F dV f .u dV F 0 0 (J(u) 1 p) p dV = 0 0
T . u dS = 0F
(2.21)
2.4.2 lments nis classiques2.4.2.a Formulation discrte
La rsolution numrique du problme variationnel Eq. 2.21 a t mise en oeuvre via le dveloppement dlments nis quasi-incompressibles associs un algorithme de rsolution de type N EWTON R APHSON (cf. [15; 78; 94]). Ces dveloppements restent bass sur une dmarche classique commune de nombreux problmes en mcanique non-linaire (voir par exemple [164; 6; 36]).
31
Ainsi en utilisant des fonctions dinterpolation, par lments nis, respectivement pour le champ de dplacements ue et le champ de pression pe , on aboutit la forme discrte suivante :N el
e=1 N el
A < U e ,P e >
e Kuu e )T (Kup
e Kup e Kpp
U e P e
+
e Ru e Rp
=0
(2.22)
avec A loprateur classique dassemblage.e=1
En outre, le champ de pression tant choisi discontinu linterface entre lments, on peut alors condenser statiquement les degrs de libert P e , internes llment e, soit :e e e {P e } = [Kpp ]1 {Rp } + [Kup ]{U e }
(2.23)
on obtient alors une matrice tangente et un vecteur rsidu lmentaires tels que :e e e e e [Kt ] = [Kuu ] [Kup ][Kpp ]1 [Kup ]T e e e {Re } = {Ru } [Kup ][Kpp ]1 {Rp }
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(2.24)
2.4.2.b
Choix des espaces dinterpolation
Pour une formulation mixte dplacement/pression, le choix des fonctions dinterpolation et de lordre dinterpolation est crucial. La construction des espaces discrets des dplacements et des pressions ncessite une attention particulire quant leurs dimensions respectives. Ainsi un espace de pression trop grand entrane un systme dquations sur-contraint. A linverse, un espace sous-dimensionn induit des oscillations de la solution en pression et des modes de sabliers pour la rponse en dplacement. On trouve dans la littrature, un certain nombre de critres thoriques ou numriques permettant de faire un tri parmi lensemble des possibilits, ainsi on peut citer : la condition L.B.B. (7) ou condition inf-sup [124; 26; 5], qui est une condition ncessaire pour assurer la stabilit de la solution avec le rafnement du maillage. Elle reste cependant, difcile mettre en oeuvre dans la plupart des cas et en particulier en grandes dformations [162]. des patch-tests ou tests numriques simples permettant de vrier la consistance et la stabilit des lments nis mixtes, [141; 163]. Plus simples mettre en oeuvre que la condition LBB, ils sont souvent bass sur ltude du rapport entre le nombre de noeuds de pression (ou nombre dquations associes la contrainte dincompressibilit) et le nombre dinconnues de dplacement, ainsi que son volution asymptotique avec la nesse du maillage. Plus rcemment, pour assurer la stabilit et la abilit des lments nis incompressibles, des mthodes de stabilisation et/ou denrichissement ont t proposes (par exemple dans [134; 131]), permettant dutiliser des lments interpolation linaire en dplacement. En ce qui concerne nos propres dveloppements, plusieurs choix de discrtisations ont t tests, avec plus ou moins de russite. Les lments nalement retenus sont prsents dans le tableau Tab. 2.3, leur gomtrie sur la gure Fig. 2.4. Limplmentation numrique de ces lments a dabord t ralise en Fortran, pendant les annes 80 et 90, dans les architectures MEF et SIC dvelopps via une collaboration entre lUTC et le LMA, puis plus rcemment, intgrs en C++ dans le code ZBuLoN, dvelopp par lENSMP, lONERA et lINSA Rouen.(7). pour L ADYZHENSKAYA -BABUSKA -B REZZI
32 Type dlment Dimension Type Gomtrique Interpolation des dplacements Interpolation de la pression
C HAPITRE 2. L E T6P1 2D/Axi Triangle Quadratique Q9P3 2D/Axi Quadrangle Quadratique < 1,, >
COMPORTEMENT HYPERLASTIQUE
Pr15P4 3D Prisme Quadratique < 1,,, >
H27P4 3D Hexadre Quadratique < 1,,, >
Tableau 2.3 lments interpolation discontinue de la pression.1 0 1 06 5 7 6
1 0 1 0
1 0 1 0
1 0 1 0 1 0 1 0
4 8
1 0 1 0 1 0 1 09
1 0 1 0 1 04 1 0 1 0 1 03
5
1 0 1 06 1 0 1 0
5
1 0 1 0
9
14 1 0 1 0 15 1 1 0 013 1 1 0 0
1 0 1 0
19
1 0 1 01
1 0 1 0 2(a) T6P1
1 0 1 0 3
1 0 1 0 1
1 0 1 0
2
1 0 1 1 0
1 0 10 1 0 1 4 0 1 0 11 12 11 1 00 0 1 1 07 0 1 8 0 1 0 1 0 1 1 03 0 1 0 2 1 0
10 1 0 1 0
1 0 1 1 0
25 24 23 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 26 27 22 1 0 1 0 21 0 1 0 1 1 1 1 20 0 0 0 1 0 1 1 0 0 16 1 1 1 0 0 0 15 14 17 1 1 1 0 0 0 1 0 1 130 18 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 012 11 7 0 1 1 1 0 0 1 1 0 6 1 5 1 1 08 0 9 0 0 0 1 0 11 0 4 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 3 1 0 2 1 0
(b) Q9P3
(c) Pr15P4
(d) H27P4
Figure 2.4 Gomtrie des lments nis hyperlastiques incompressibles.
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2.4.3 lments nis rduitsLa modlisation du comportement de pices en lastomre et gomtrie complexe, telles que les structures de rvolution multi-couches ou les structures lances en composite matrice lastomrique, ncessite une modlisation numrique afne du comportement de ces structures. Lutilisation dlments nis classiques pour de telles modlisations et en particulier les lments tridimensionnels, conduit souvent une taille prohibitive. Le dveloppement de modles rduits permettant de retranscrire le comportement de ce type de structures a fait lobjet de nombreux travaux, que lon peut classer en deux catgories : les mthodes numriques de sous-structuration, par sous-domaines [104], ou multi-niveaux [121] et les techniques dhomognisation appliques aux composites matrice lastomriques [48]. La validit de ces mthodes savre cependant limite en prsence de non-linarits gomtriques et/ou matrielles et de contrainte dincompressibilit que prsente llastomre. Nos travaux dans ce domaine visent mettre prot les symtries gomtriques et matrielles telles la symtrie de rvolution ou linvariance par translation suivant une direction. Elles sinscrivent dans une logique de rduction de modles inspire des mthodes lments nis semi-analytiques : dveloppes par C HEUNG au milieu des annes 70, pour la modlisation des plaques lastiques, et proposes par H YER et C OOPER [77] pour lanalyse des tubes composites sous contraintes thermiques. Les premires consistent discrtiser seulement la section transverse dun solide prismatique et choisir des fonctions de forme continues pour la direction longitudinale, ces mthodes ont depuis trouv de nombreux domaines dapplications [29]. Alors que la seconde approche est base sur des dveloppements en srie de Fourier pour modliser le comportement des structures gomtrie de rvolution mais avec des dissymtries matrielles et/ou de chargement. Ces travaux que nous avons initis en 1986 [15], pour les lments nis pseudo-axisymtriques (8) , puis repris en 2002 dans le cadre de la thse de Stphane Lejeunes [95; 96], pour les lments 3D/2D ou 3D/1D, ont permis dtendre ces mthodes de rduction de modles des comportement gomtriquement et matriellement non-linaires tels que lhyperlasticit incompressible.(8). Signalons que cette approche a, entre temps, t mise en oeuvre en 1992 par M ARUSAK et B ECKER [109]
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2.4.3.a
Les lments pseudo-axisymtriques
f
z
r
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Figure 2.5 Rduction pseudo-axisymtrique La mise en oeuvre des lments pseudo-axisymtriques est adapte la rsolution des problmes dquilibre de structures symtrie de rvolution, soumises des sollicitations non-axisymtriques. Elle est base sur une dcomposition en srie de Fourier des champs inconnus (composantes du champ de dplacement) dans un systme de coordonnes cylindriques : nu usi (r,z) cos(i) + uai (r,z) sin(i) ur (r,,z) r r i=0 nu usi (r,z) sin(i) + uai (r,z) cos(i) u (r,,z) (2.25) i=0 nu u (r,,z) z usi (r,z) cos(i) + uai (r,z) sin(i) z z i=0
Elle permet de ramener la rsolution du problme tridimensionnel la rsolution de problmes bidimensionnels indpendants de la coordonne circonfrentielle . Dans le cas linaire et compte tenu de lorthogonalit de la base de projection, la mise en oeuvre de cette approche est facilite par le dcouplage du problme global en nu problmes indpendants. Dans le cas de non-linarits gomtriques ou matrielles, le dcouplage entre harmoniques savre irralisable, il devient alors ncessaire de formuler une hypothse sur lapproximation du champ de dplacement de manire raliser un compromis entre la prcision recherche et la taille du problme rsoudre. Cette approximation consiste tronquer la srie de Fourier un ordre raisonnablement limit, mais qui devra reter, avec une prcision convenable, le comportement global et local de la structure soumise des sollicitations simples (traction/compression, cisaillement et exion) induisant des champs de dformations relativement rguliers.
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C HAPITRE 2. L E
COMPORTEMENT HYPERLASTIQUE
En outre, si lon considre uniquement le mode axisymtrique combin aux modes symtriques par rapport au plan = 0 : nu ur (r,,z) uri (r,z) cos(i) i=0 nu ui (r,z) sin(i) u (r,,z) (2.26) i=0 nu u (r,,z) z uzi (r,z) cos(i) i=0
Pour les formulations hybrides, le champ de pression hydrostatique peut aussi tre dvelopp de faon symtrique :np
p(r,,z)
pi (r,z) cos(i)i=0
(2.27)
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avec : j j Nu et Np , les polynmes dinterpolations respectifs du dplacement et de la pression ; j j j (Uri ,Ui , Uzi ), les degrs de liberts nodaux de dplacement ;
La formulation lmentaire de ces lments pseudo-axisymtriques scrit de faon analogue au cas tridimensionnel, en partant des approximations par lments nis : nu lu j j ur (r,,z) = Nu (r,z)Uri cos(i) i=0 j=1 nu lu j j u (r,,z) = Nu (r,z)Ui sin(i) i=0 j=1 (2.28) nu lu j j uz (r,,z) = Nu (r,z)Uzi cos(i) i=0 j=1 np lp j p(r,,z) = Np (r,z)Pij cos(i) i=0 j=1
Pij , les degrs de liberts de pression. Lintgration numrique par rapport la coordonne circonfrentielle est base sur la formule de quadrature de Gauss-Chebyshev :2 J
rf (r,,z)drddz =r =0 z j=1
2 J
rf (r,j ,z)drdzr Z
avec
j =
2j 1 J
(2.29)
Des essais numriques, pratiqus sur diffrentes formes de loi de comportement hyperlastique, ont indiqu que la valeur optimale de J est donne par : J = 2nu + 1. Lvaluation de la abilit de cette formulation en srie de Fourier a t effectue au niveau global, via la confrontation de la rponse du modle pseudo-axisymtrique, 3 harmoniques, avec celle du modle 3D, simulant le comportement dune prouvette multi-couches acier-lastomre [16]. Le modle de comportement adopt pour llastomre correspond la loi de H ART-S MITH 3 paramtres.
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Les rsultats prsents Fig. 2.6 correspondent un cisaillement coupl une compression suivant laxe de rvolution et montrent que la modlisation pseudo-axisymtrique offre un cart relatif, au niveau de la rponse globale, infrieur 1.25% par rapport la solution 3D de rfrence, avec un gain de 7.5 sur le temps de calcul et de 52 sur lespace mmoire ncessaire la rsolution du problme.
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(a) Comparaison Dforme 3D/dforme Pseudo-axi.
(b) Confrontation des rponses globales.
Figure 2.6 Test de compression et cisaillement dun lami lastomre-mtal.
2.4.3.b
Les lments rduits 3D/2D
Les lments rduits 3D/2D sont adapts aux structures lances et invariantes suivant une direction. Lide de dpart consiste construire des lments nis rduits, bass sur des fonctions de formes sufsamment riches pour approximer les champs de dplacement u et de pression p sur une unit reprsentative de la structure dans une direction donne. Lunit reprsentative (voir Fig. 2.7) est constitue dune range dlments dans la direction condenser. Ainsi, dans le cas dune rduction 3D-2D, on obtient avec le paramtrage = 2Z/L : nu u(X,Y,Z) = ui (X,Y )Ti () i=0 (2.30) np pi (X,Y )Ti () p(X,Y,Z) = i=0
36 +L/2 0 -L/211 00 11 00 11 00 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 11 00 11 00 11 00 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 11 00 11 00 11 00 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
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COMPORTEMENT HYPERLASTIQUE
+1 0 -111 00 11 00 1 0 1 0 11 00 11 00 11 00 11 00 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 11 00 11 00
1 0 1 0
1 0 1 0
y z 00 11 11 00 11 00 x
y z
11 00 11 00
x
(a) modle complet (3D).
(b) modle rduit (2D).
Figure 2.7 Rduction de modle 3D-2D.
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j j Nu et Np sont les polynmes dinterpolations respectifs du dplacement et de la pression. Ainsi, les j degrs liberts pour les noeuds de dplacement sont les composantes Uki du dplacement dans la base T , alors que les composantes Pij de la pression constituent les ddls des noeuds de pression. Partant dune formulation lmentaire identique aux lments nis classiques prsents au paragraphe prcdent, et en utilisant un schma dintgration de Gauss selon la direction ,une bibliothque dlments nis, gomtriquement bidimensionnels, a t implmente dans le code ZBuLoN. Par ailleurs, des essais numriques ont permis de dmontrer quune approximation relativement optimale du champ de pression, vis--vis du critre de stabilit, consiste prendre :
A partir de la dcomposition des champs inconnus prsents Eq. 2.30, on peut raliser une approximation lments nis classique du dplacement et de la pression en utilisant des fonctions de forme bases sur des polynmes de Lagrange : nu lu j j uk (X,Y,Z) = Nu (X,Y )Uki Ti () i=0 j=1 (2.32) np lp j j p(X,Y,Z) = Np (X,Y )Pi Ti () i=0 j=1
nu et np tant les ordres dapproximations des champs dans la base polynomiale T . Le choix de cette base de projection doit tre guid par le type de sollicitations traiter et doit permettre de dcrire lvolution des grandeurs mcaniques suivant la direction condense (pour des sollicitations rgulires de type traction, cisaillement ou exion), en traduisant les effets de bords au voisinage des sections extrmes. Ainsi, nous utilisons les polynmes de Lagrange dordre 1 (permettant dimposer directement les conditions cinmatiques de type translations et/ou rotations), enrichis par des fonctions bulles, constituant une correction de lvolution des grandeurs mcaniques dans la direction condense. Soit de faon formelle, en utilisant les polynmes de Legendre Ln () : T () = 1 0 2 1+ T1 () = (2.31) 2 T () = Ln () Ln2 () n 2(2i 1)
np = nu 2.
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Cette approche de rduction de modles 3D/2D a t valide, aussi bien au niveau de la rponse globale que locale, via des comparaisons avec un modle de rfrence utilisant des lments nis 3D classiques. Le modle de rfrence est bas sur la modlisation du comportement dun barreau lastomrique comportement hyperlastique quasi-incompressible de type M OONEY-R IVLIN, soumis des essais de traction, cisaillement ou de exion en imposant des dplacements sur une section extrme et en encastrant lautre extrmit (voir gure Fig. 2.8).
1 0
y z x Traction Cisaillement Flexion
Figure 2.8 Type de sollicitations traites.
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Pour la rponse globale, la confrontation seffectue partir des composantes du torseur rsultant des ractions aux dplacements imposs. On utilise un modle rduit 3D-2D 25 lments de type Q9P3 avec nu = 12 et np = 9, ce qui reprsente un systme 9 972 ddls, au lieu des 39 231 ddls du modle 3D de rfrence. La gure Fig. 2.9 prsente les rsultats dun test de traction o lon impose un dplacement vertical tout en bloquant les dplacements transverses et les rotations sur une extrmit de la poutre, lautre extrmit est encastre. Les gures Fig. 2.10 et Fig. 2.11 correspondent aux rsultats dun test de cisaillement et dun test de exion. Le bilan de ces tests traduit le bon accord entre le modle rduit et complet, concernant le comportement global dune structure type.2.5 3D reduit 2
N(N)
1.5
1
0.5
0 0 2 4
u(mm)
6
8
10
Figure 2.9 Test de traction.
3D reduit 0.5
0.45 0.4
3D reduit
M(N/mm)
0.6
0.5
0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1 -0.12 -0.14 -0.16 -0.18 3D reduit
N(N)0 1 2 3 4 5
T(N)
0.4 0.3 0.2 0.1 0
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5
(a) rsultante tangente.
u(mm)
(b) rsultante normale.
u(mm)
0
1
2
(c) moment rsultant.
u(mm)
3
4
5
Figure 2.10 Test de cisaillement, poutre lastomrique (3D). Pour la validation des rsultats locaux, on peut construire, partir des approximations de la cinmatique et de la pression dun modle rduit, les champs de contraintes et de dformations correspondants. Nous prsentons (gure Fig. 2.12), les cartes des dformations principales et de la pression hydrostatique,
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COMPORTEMENT HYPERLASTIQUE
M(N/mm)10 15 20 25 30 35 40 45 50
0.045 0.04 0.035 3D reduit
0.07 0.06 3D reduit
0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 3D reduit
0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
N(N)
T(N)
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 -0.01 0 5
0.06 0.04 0.02 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
(a) rsultante tangente.
( )
(b) rsultante normale.
( )
(c) moment rsultant.
( )
Figure 2.11 Test de exion, poutre lastomrique (3D).
issues du modle rduit 3D-2D sous chargement en cisaillement, en comparaison avec le modle 3D. On constate une bonne concordance, entre les deux modles, aussi bien au niveau de lindication des zones critiques quau niveau des valeurs extrmes.
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(a) e1 (Modle rduit)
(b) e2 (Modle rduit)
(c) e3 (Modle rduit)
(d) p Mpa (Modle rduit)
(e) e1
(f) e2
(g) e3
(h) p MPa
Figure 2.12 Confrontation locale sur un essai de cisaillement.
2.4.4 Quelques exemples dapplications2.4.4.a Calcul dune bute sphrique
A titre dapplication des lments pseudo-axisymtriques, nous prsentons ici, lexemple dune bute sphrique Fig. 2.13, constitue dun strati lastomre-mtal, qui joue le rle de ltre mcanique entre les pales et le rotor dhlicoptre et qui doit rpondre simultanment aux critres suivants : une rigidit leve en compression pour reprendre les forces centrifuges dues la rotation des pales ; de faibles rigidits en cisaillement, exion et torsion pour dcoupler les mouvements relatifs de trane, de battement et de pas, an de minimiser les efforts transmis au mt rotor. La structure de cette bute, destine au rotor arrire du S UPER P UMA MKII, est constitue de : deux armatures mtalliques interne et externe,
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dune dizaine de couches dlastomre de 1mm dpaisseur, intercales de coupelles mtalliques de forme sphrique.
Armature externe
Lami lastomre-mtal
Armature interne
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Figure 2.13 Coupe de la bute sphrique. Les armatures et les coupelles mtalliques sont supposes linairement lastiques, alors que llastomre obit au comportement quasi-incompressible de H ART-S MITH. Le chargement considr correspond une dformation en battement (rotation de larmature externe), couple une pr-dformation en compression correspondant une force centrifuge de 50 000N , applique sur larmature interne. Les gures Fig. 2.14(a) et Fig. 2.14(b) prsentent les rsultats du modle pseudo-axisymtrique 3 harmoniques, soit 8 ddls par noeud et donc un systme global de 17 600 ddls, au lieu de quelques centaines de milliers pour un modle 3D.
(a) Dforme
(b) Champ de cisaillement maximal
Figure 2.14 Rsultats, sur la section = 0, de la bute sous compression et battement.
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COMPORTEMENT HYPERLASTIQUE
2.4.4.b
Calcul dun bras lastomrique
La seconde application concerne le bras lastomrique EFB (9) . Il sagit dun composite ternaire, constitu de baguettes en verre/epoxy et en carbone/epoxy noyes dans une matrice lastomrique. Cette pice est charge de relier la pale au mt rotor dun hlicoptre en assurant la fois le rle darticulation mcanique et damortisseur de trane an de raliser un gain en encombrement, en maintenan
