MPSI lycée Bellevue Toulouse Page 1 Mécanique du solide indéformable –Modéliser les actions et liaisons mécaniques Modélisation des actions et liaisons mécaniques 1. Introduction Jusqu’à présent nous nous sommes intéressés à la modélisation des performances cinématiques des systèmes de solides indéformables. C’est-à-dire que nous avons étudié les mouvements de ces systèmes de solides, considérés comme non déformables, sans nous intéresser aux phénomènes les ayant causés. On associe en général le terme de « force » à ces phénomènes ayant comme conséquence physique une modification de la vitesse d’un corps (variation de norme ou de direction). Dans le cadre plus général de la mécanique, un effort peut aussi être responsable de la déformation du corps auquel il est appliqué, mais l’étude de ce phénomène sort du cadre de l’enseignement de la mécanique en CPGE (seule la mécanique des solides indéformables est au programme de SII). Dans la suite de ce cours, nous allons nous attacher à la mise en équation du lien entre les forces appliquées à un solide et le déplacement qui en résulte. Il va donc être nécessaire de chercher à associer un modèle mathématique à ce concept de force. Dans le cadre du cours de mécanique, nous préférerons d’ailleurs l’utilisation du terme « action mécanique » à celui de « force ». Par expérience, nous montrons qu’une action mécanique est caractérisée par : - Une direction et un sens - Un point d’application - Et une intensité
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Mécanique du solide indéformable –Modéliser les
actions et liaisons mécaniques
Modélisation des actions et liaisons mécaniques
1. Introduction
Jusqu’à présent nous nous sommes intéressés à la modélisation des performances cinématiques des
systèmes de solides indéformables. C’est-à-dire que nous avons étudié les mouvements de ces systèmes
de solides, considérés comme non déformables, sans nous intéresser aux phénomènes les ayant
causés.
On associe en général le terme de « force » à ces phénomènes ayant comme conséquence physique une
modification de la vitesse d’un corps (variation de norme ou de direction). Dans le cadre plus général de
la mécanique, un effort peut aussi être responsable de la déformation du corps auquel il est appliqué,
mais l’étude de ce phénomène sort du cadre de l’enseignement de la mécanique en CPGE (seule la
mécanique des solides indéformables est au programme de SII).
Dans la suite de ce cours, nous allons nous attacher à la mise en équation du lien entre les forces
appliquées à un solide et le déplacement qui en résulte. Il va donc être nécessaire de chercher à associer
un modèle mathématique à ce concept de force. Dans le cadre du cours de mécanique, nous préférerons
d’ailleurs l’utilisation du terme « action mécanique » à celui de « force ».
Par expérience, nous montrons qu’une action mécanique est caractérisée par :
- Une direction et un sens
- Un point d’application
- Et une intensité
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Les actions mécaniques appliquées à un ensemble matériel (E) peuvent être de deux types :
• Actions mécaniques de contact (actions de pression, contact entre deux solides). Ces
dernières peuvent être considérées comme ponctuelles, linéiques ou surfaciques, en fonction de
la géométrie de la zone de contact.
• Actions mécaniques à distance (actions magnétiques, de pesanteur). On parle alors d’actions
mécaniques volumiques, c’est-à-dire qu’elles s’exercent sur chaque élément de volume du
système matériel, sous forme d’une action mécanique élémentaire.
2. Action mécanique ponctuelle agissant sur un système matériel, modèle global
Le contact entre deux corps n’est jamais ”ponctuel” : il existe toujours une surface de contact entre les
deux. Cependant, cette surface peut être petite devant les dimensions des deux corps, si bien qu’il est
commode de considérer l’action mécanique globalement transmise, en un point moyen au contact, ce
qui revient à considérer l’action comme ”ponctuelle”.
2.1 Notion de force ponctuelle
Représentation mathématique d’une force :
Soient 1 et 2 deux solides en contact ponctuel en I. On note () le plan tangent au contact et �� la normale
à ce plan orientée de 1 vers 2 (cf. figure 1.a).
Le solide 1 exerce sur 2 une force ponctuelle : 𝐹 (1 → 2) = 𝐹𝑁(1 → 2). �� + 𝐹𝑇 (1 → 2), où 𝐹𝑁(1 → 2)est la
composante normale et 𝐹𝑇 (1 → 2) la composante tangentielle, avec 𝐹𝑇 (1 → 2) ∈ (𝜋) (cf. figure1.b).
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a. Contact ponctuel entre deux solides b. Effort ponctuel exercé par le solide 1
sur le solide 2
Figure 1. : notion de force ponctuelle entre deux solides
Contact avec frottement :
Contact sans frottement :
2.2 Notion de moment
L’expérience montre que la notion de force, si elle est suffisante d’un point de vue local sur un petit
élément de volume, ne permet pas toujours d’expliciter le comportement d’un solide ou d’un ensemble
de solides soumis globalement à une ou plusieurs forces.
D’où l’introduction de la notion de couple ou de moment. On cherche quel est le modèle mathématique
permettant de représenter cette notion.
On appelle moment en O d’une force le vecteur : �� (𝑶, �� ) = 𝑶𝑨 ⋏ �� ou bien �� 𝑶(�� ) = 𝑶𝑨 ⋏ ��
2.3 Torseur associé à une action mécanique ponctuelle
Considérons un autre effort 𝐹 , à partir de l’écriture du moment de la force 𝐹 au point G, on cherche à
exprimer le moment de la même force au point A.
Selon la définition vue précédemment : ℳ𝐺 (𝐹 ) =
D’où, ℳ𝐴 (𝐹 ) =
On obtient donc la relation suivante :
ℳ𝐴 (𝐹 ) =
M O F→ →
( , )
F→
O
A
(D)
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Le moment d’une force est donc un champ antisymétrique et vérifie la formule de changement de point
du moment d’un torseur. Une action mécanique peut donc être représentée par un torseur, que l’on
appellera « torseur statique associé à une action mécanique» et que l’on note :
{𝒯(𝐹 )} = {𝐹
ℳ𝐴 (𝐹 ) = ℳ𝐺
(𝐹 ) + 𝐴𝐺 ∧ 𝐹 }𝐴
Dans le cadre de l’étude d’un système de solides, la notation suivante, plus explicite car permettant
spécifier précisément quelle est l’action mécanique modélisée, sera utilisée.
{𝒯(1 → 2)} = {𝐹 (1 → 2)
ℳ𝐴 (1 → 2)
}𝐴
Ce torseur sera appelé « torseur statique de l’action mécanique du solide 1 sur le solide 2 ».
Remarques :
• Comme tout torseur, il est absolument indispensable de spécifier le point auquel il est exprimé
lorsque l’on donne ses éléments de réduction.
• 𝐹 (1 → 2) sera appelée « la résultante du torseur de l’action mécanique de 1 sur 2 ». Cet élément
du torseur est invariant quel que soit le point d’expression du torseur.
• ℳ𝐴 (1 → 2) sera appelé « le moment résultant au point A du torseur de l’action mécanique de 1 sur
2 ». Cet élément du torseur dépend du point auquel ce dernier est exprimé.
Cas particulier : action mécanique représentée par une force en un point M
Lorsque le torseur statique d’une action mécanique est exprimé au point d’application M de la
résultante, il prend la forme suivante :
{𝒯(1 → 2)} = {𝐹 (1 → 2)
0 }𝑀
Cette écriture est de plus valable en tout point de la droite d’action de la force 𝐹 .
Justification :
Cas particulier : action mécanique représentée par un couple
On utilisera la désignation de couple pour une action mécanique dont le torseur statique est de la forme
{𝒯(1 → 2)} = {0
ℳ𝐴 (1 → 2)
}𝐴
, ∀𝐴
3. Généralisation à un nombre infini d’actions mécaniques, modèle local
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Nous venons de mettre en place un modèle mathématique, le torseur statique, permettant de modéliser
l’action mécanique d’un ensemble matériel (1) sur un autre ensemble matériel (2), en considérant une
force ponctuelle appliquée en un point M. Cependant, cette action mécanique est en fait le résultat des
effets produits par une infinité d’actions élémentaires volumiques ou surfaciques, appelé modèle local.
3.1 Cas d’une répartition surfacique de force
3.1.1 Densité surfacique de forces
L’action mécanique de contact exercée par le corps (1) sur un corps (2) peut être modélisée par une
action élémentaire 𝑑𝑓 (𝑀𝑖) appliquée en tout point Mi de la surface du solide (2). Son intensité est
proportionnelle à l’élément de surface 𝑑𝑆 associé au point Mi.
On peut alors définir une densité surfacique d’effort 𝑝(𝑀𝑖), définie en tout point Mi :
𝑑𝑓 (𝑀𝑖) = −𝑝(𝑀𝑖). �� (𝑀𝑖). 𝑑𝑆 + 𝑑𝑓𝑇 (𝑀𝑖)
Cette densité surfacique d’effort est homogène à une pression [N/m2].
Contact avec frottement :(par exemple action d’un fluide visqueux sur une paroi)
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Contact sans frottement :(par exemple action d’un fluide non visqueux sur une paroi)
3.1.2 Torseur associé à une densité surfacique de forces
Dans le cadre de l’étude du comportement des solides déformables, cette modélisation locale de
l’action mécanique d’un corps (1) sur un corps (2) serait indispensable. Cependant, l’objet de ce cours
étant l’étude des systèmes de solides indéformables, il est suffisant de modéliser globalement l’action
mécanique exercée par le corps (1) sur le corps (2). Nous allons donc associer à cette action mécanique
un torseur statique défini en un point A choisi.
{𝒯(1 → 2)} =
{
�� (1 → 2) = ∫ 𝑑𝑓
𝑀∈(𝑆)
(𝑀)
𝑀𝐴 (1 → 2) = ∫ 𝐴𝑀 ∧ 𝑑𝑓 𝑀∈(𝑆)
(𝑀)}
𝐴
3.1.3 Exemple : Action de l'eau sur un barrage
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3.2 Cas d’une répartition linéique de force
3.2.1 Densité linéique de forces
Dans certains cas plus particuliers, l’action mécanique exercée par le corps (1) sur un corps (2) peut
être modélisée par une action élémentaire 𝑑𝑓 (𝑀𝑖) appliquée en tout point Mi d’une ligne du solide (2).
L’intensité de cette action élémentaire est alors proportionnelle à l’élément de surface 𝑑𝑙 associé au
point Mi.
On peut alors définir une densité linéique d’effort 𝜆(𝑀𝑖), définie en tout point Mi :
𝑑𝑓 (𝑀𝑖) = −𝜆(𝑀𝑖). �� (𝑀𝑖). 𝑑𝑙 + 𝑑𝑓𝑇 (𝑀𝑖)
Cette densité linéique d’effort est homogène à une force par unité de longueur [N/m].
Contact avec frottement :
Contact sans frottement :
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3.2.2 Torseur associé à une densité linéique de forces
Dans le cas d’une répartition linéique de force, comme dans le cas d’une répartition surfacique, nous
pouvons associer à l’action mécanique de (1) sur (2) un torseur statique défini en un point A choisi.
{𝒯(1 → 2)} =
{
�� (1 → 2) = ∫ 𝑑𝑓
M∈(𝐿)
(M)
𝑀𝐴 (1 → 2) = ∫ 𝐴M ∧ 𝑑𝑓 M∈(𝐿)
(M)}
𝐴
3.2.3 Exemple : Chargement sur une poutre
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3.3 Cas d’une répartition volumique de force
3.3.1 Densité volumique de forces
Dans le cas d’une action mécanique à distance (par exemple l’action de la pesanteur ou d’un champ
électromagnétique sur un corps), chaque élément de volume de ce corps est soumis à une action
mécanique élémentaire 𝑑𝑓 (𝑀𝑖) appliquée au point Mi.
Cette action mécanique élémentaire est liée à la densité volumique de force 𝜇(𝑀𝑖) en tout point Mi par
la relation :
𝑑𝑓 (𝑀𝑖) = 𝜇 (𝑀𝑖). 𝑑𝑉
Cette densité volumique d’effort est homogène à une force par unité de volume [N/m3].
3.3.2 Torseur associé à une densité volumique de forces
Comme précédemment, nous pouvons associer à l’action mécanique de (1) sur (2) un torseur statique
défini en un point A choisi.
{𝒯(1 → 2)} =
{
�� (1 → 2) = ∫ 𝑑𝑓
M∈(𝑉)
(M)
𝑀𝐴 (1 → 2) = ∫ 𝐴M ∧ 𝑑𝑓 M∈(𝑉)
(M)}
𝐴
3.3.3 Exemple : Action de la pesanteur
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4. Généralisation à un nombre fini d’actions mécaniques
4.1 Nombre fini d’actions mécaniques
Nous venons de voir comment une action mécanique à distance ou de contact, décrite localement par
une répartition volumique ou surfacique d’effort, peut être modélisée globalement par un torseur
exprimé en un point. Dans de nombreux mécanismes, un solide ou un ensemble de solide, noté (𝐸),
n’est pas soumis à une seule action mécanique : plusieurs éléments du milieu extérieur, noté (��),
peuvent exercer une action mécanique de contact à ou à distance sur (𝐸). Pour préparer l’écriture des
théorèmes généraux de la dynamique, nous allons chercher à modéliser par un unique torseur toutes
les actions mécaniques exercées par le milieu extérieur sur l’ensemble matériel (𝐸).
4.2 Torseur résultant associé à un nombre fini d’actions mécaniques
{𝒯(�� → E)} =
{
�� (E → E) =∑𝐹𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑀𝐴 (�� → E) =∑𝐴𝑀𝑖 ∧ 𝐹𝑖
𝑛
𝑖=1 }
𝐴
4.3 Exemple : pince de manutention
Pince pneumatique pour la préhension d’objet :
1. On isole l’ensemble de la pince et on cherche à modéliser les actions mécaniques appliquées par
l’extérieur sur la pince
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2. On isole le piston de la pince et on cherche à modéliser les actions mécaniques exercées par
l’extérieur sur le piston.
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5. Modélisation du contact entre deux solides
5.1 Contact ponctuel entre solides indéformables
Le contact entre deux solides n’est jamais « ponctuel » : il y a toujours une surface de contact entre les
deux solides. Cependant, cette surface peut être petite devant les dimensions des solides, si bien qu’il
est commode de considérer l’action mécanique globalement transmise, en un point moyen au contact,
ce qui revient à considérer l’action comme « ponctuelle ». Il faut néanmoins garder à l’esprit qu’il existe
toujours une petite répartition de pression au voisinage du point moyen. La pression maximale dans
cette zone permet de conclure sur la dégradation des surfaces. Les forces surfaciques autour du point
moyen peuvent être responsables de résistances au roulement ou au pivotement que nous chercherons
à modéliser globalement par la suite.
Figure 2. : paramétrage du contact entre deux solides
Soient 1 et 2 deux solides en contact ponctuel en I. On définit ce contact par les entités géométriques