MỤC ĐÍCH DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG …hungtoan.yolasite.com/resources/Muc dich day hoc mon toan... · Web viewĐể minh hoạ cho tính trừu tượng của môn

Mục đích dạy học môn toán ở trường trung học cơ sở

MỤC ĐÍCH DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞTrong chương này ta sẽ đề cập việc xác định mục đích dạy học môn toán ở trường THCS, một

trong những nhiệm vụ của PPDH môn toán đã được chỉ rõ ở mục 1.6 chương I1. Những căn cứ giúp cho việc xác định mục đích dạy học môn toán ở trường PT

a) Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam (PTVN)Mục tiêu đào tạo của nhà trường PTVN là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con

người mới phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu, điều kiện và hoàn cảnh của đất nước Việt Nam. Mục tiêu này xuất phát từ chính sách chung về giáo dục và đào tạo, được thể hiện trong các văn kiện Đại hội Đảng:

“Mục tiêu giáo dục và đào tạo nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức và có tay nghề, có năng lực thực hành, tự chủ, năng động và sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội” (Văn kiện Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VII, Đảng CSVN, trang 81). “Nâng cao mặt bằng dân trí, bảo đảm những tri thức cần thiết để mọi người gia nhập cuộc sống xã hội và kinh tế theo kịp tiến trình đổi mới và phát triển đất nước. Đào tạo bồi dưỡng và nâng cao chất lượng nguồn nhân lực để đáp ứng yêu cầu sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá” (Văn kiện Đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII, Đảng CSVN, trang 199).

b) Đặc điểm của môn toán- Tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng.Để minh hoạ cho tính trừu tượng của môn toán, ta lấy khái niệm số nguyên mà chúng ta dạy cho

học sinh ở môn Đại số lớp 7: Để có tập hợp các số nguyên, ta đã bổ sung vào những số mới kí hiệu là -1, -2, -3,... đọc là trừ một, trừ hai, trừ hai,... Tập hợp:

gồm các số tự nhiên và các số mới -1, -2, -3,... gọi là tập hợp các số nguyên. Làm như trên, chúng ta đã giới thiệu cho học sinh một đối tượng của toán học: tập hợp số nguyên. Tập hợp số nguyên ở đây (và các đối tượng khác của toán học nói chung) được sinh ra từ hiện thực khách quan: Số nguyên ra đời do nhu cầu con người muốn phản ánh bản chất các sự kiện sau đây của thế giới hiện thực:

- độ sâu và chiều cao với mặt bằng trong đo đạc- lỗ, lãi trong buôn bán- quá khứ, tương lai trong việc tính thời gian...

và nó đã ra đời nhờ sự trừu tượng hoá. Người ta đã ước bỏ những sự khác nhau không bản chất của mỗi sự kiện: sự kiện này liên quan đến không gian (độ sâu, chiều cao), sự kiện kia liên quan đến thời gian (quá khứ, tương lai), sự kiện nọ liên quan đến tình trạng (lỗ, lãi) và chỉ giữ lại một cái chung của chúng, đó là: sự kiện nào cũng liên quan đến một đại lượng được xét theo hai chiều ngược nhau.

Các đối tượng toán học ra đời do trừu tượng hoá nên chúng có tính trừu tượng, chúng là những kí hiệu hình thức và chỉ có nghĩa trong các tình huống cụ thể. Lịch sử Toán học cho thấy những tiến bộ lớn của Toán học đều gắn liền với khả năng leo thêm một bậc thang trừu tượng hoá. Số nguyên, như chúng ta nói ở trên, là một khái niệm trừu tượng so với những cái cụ thể: độ sâu, chiều cao; lỗ, lãi,...Nhưng rồi chính nó lại trở thành cụ thể so với một khái niệm nào đó trừu tượng hơn. Thật vậy, ta hãy so sánh tập hợp số nguyên cùng với phép toán cộng và nhân với tập hợp các đa thức (được dạy ở Đại số lớp 8) cùng với các phép cộng và nhân những đa thức. Nếu ta loại bỏ đi cái khác nhau giữa các phần tử của hai tập hợp này (một đằng là các số, còn một đằng là các đa thức), chỉ giữ lại những tính chất chung của các phép toán tương ứng xác định trên hai tập hợp đó, ta sẽ đi đến một khái niệm trừu tượng hơn: khái niệm vành, và ở đây ta đã đạt tới một bậc thang mới của sự trừu tượng hoá.

Có những khái niệm của toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá những đối tượng vật chất cụ thể, nhưng cũng có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá những khái niệm trừu tượng đã đạt được trước đó. Bậc thang trừu tượng hoá diễn ra không ngừng và tính trừu tượng cao độ là một đặc điểm của toán học.

Tính trừu tượng cao độ của toán học, tất nhiên dẫn đến tính thực tiễn phổ dụng của nó. Vành là một khái niệm có được nhờ sự trừu tượng hoá từ những khái niệm cụ thể (tập hợp số nguyên, tập hợp các đa thức,...). Những kết quả nghiên cứu về vành được áp dụng trở lại vào tập hợp số nguyên, vào tập hợp các đa thức và vào một lớp mở rộng lớn những mô hình của nó. Nói rộng ra, toán học là khoa học

Page 1 of 13

Mục đích dạy học môn toán ở trường trung học cơ sởvề các cấu trúc tổng quát, các quan hệ tổng quát, chúng là kết quả của sự trừu tượng hoá các đối tượng, quan hệ của thế giới hiện thực, vì vậy ta có thể áp dụng những kết quả nghiên cứu các cấu trúc, các quan hệ toán học vào thế giới hiện thực. Toán học càng trừu tượng thì càng có khả năng phản ánh thực tiễn một cách sâu sắc, góp phần cải tạo thực tiễn.

- Tính lôgíc và tính thực nghiệm.Chúng ta, trong khi dạy học, nhiều lần cho học sinh xây dựng bài học bằng cách để các em thảo

luận tìm cách giải một bài toán. Chẳng hạn ta nói đến việc các em thảo luận để giải một bài toán quỹ tích. Ta quan sát được gì qua hoạt động tìm tòi này của các em ? Thoạt đầu các em vẽ thử một vài điểm thoả mãn đầu bài (ít nhất là ba điểm) và thử xem (bằng mắt, chứ chưa bằng lập luận) chúng có thẳng hàng không ? Ngay từ đây các em đã tranh cãi: người nói các điểm vẽ được thẳng hàng, người nói không. Điều này tất nhiên xảy ra vì ý kiến các em phụ thuộc vào việc vẽ có chính xác không. Tuy vậy mỗi người cũng đưa ra dự đoán của mình: quỹ tích thuộc loại thẳng (đường thẳng, đoạn thẳng) hay thuộc loại tròn (đường tròn, cung tròn). Các em tìm một số cách kiểm tra dự đoán. Một số em bác bỏ dự đoán cũ: Nếu quỹ tích là loại thẳng thì mâu thuẫn với điều kiện của đầu bài. Một số em bổ sung thêm ý kiến mới về dự đoán của mình: Quỹ tích chỉ là một cung tròn mà không phải là cả một đường tròn...Một số em bắt đầu cảm thấy mình đã tìm ra quỹ tích, và muốn được trình bày, các em thuyết phục các bạn không bằng các phép thử mang nhiều trực giác cảm tính, cũng không kể lại mình đã nghĩ như thế nào để dự đoán, các em trình bày chứng minh thuận, chứng minh đảo và kết luận...Ta chia quá trình tìm quỹ tích của học sinh làm hai giai đoạn: Giai đoạn suy nghĩ để hình thành quỹ tích và giai đoạn chứng minh bài toán quỹ tích. Ở giai đoạn đầu ta thấy các phép thử và sai, dự đoán và bác bỏ, ta thấy nhiều yếu tố trực giác và những suy luận có lí. Ở giái đoạn sau ta thấy chỉ còn lập luận lôgíc, chỉ còn chứng minh chặt chẽ.

Những gì diễn ra trong lớp học được mô tả sơ lược ở trên đối với học sinh trong việc xây dựng kiến thức không thể mang ra so sánh với những gì diễn ra trong cộng đồng các nhà toán học trong việc phát minh, song quả thực giữa hai sự kiện nói trên cũng có cái gì đó giống nhau. G. Pôlya, nhà toán học, đồng thời là nhà giáo dục toán học Mỹ đã vạch rõ: Toán học có hai hình thái, hình thái khi nó hình thành và hình thái khi nó được trình bày [25] (tr. 8). Khi ta xem xét toán học ở hình thái nó đang hình thành phát triển, xét trong quá trình tìm tòi, phát minh của các nhà toán học thì ta thấy nổi lên tính thực nghiệm quy nạp. Khi ta xem xét toán học ở hình thái nó được mang ra trình bày thì nổi lên tính lôgíc chặt chẽ của phương pháp tiên đề.

c) Vị trí môn toán trong nhà trường PT- Môn toán là môn học công cụ.Đặc điểm của toán học quyết định vị trí của môn toán trong nhà trường phổ thông. Ta đã phân tích

và thấy toán học có tính trừu tượng cao độ, do đó có tính thực tiễn phổ dụng. Với tính thực tiễn phổ dụng, tri thức và phương pháp của toán học xâm nhập được vào nhiều khoa học khác và vào thực tiễn. Người ta dùng ngôn ngữ của toán học để diễn tả nhiều sự kiện ở các lĩnh vực rất khác nhau, và việc toán học hoá tình huống (xây dựng mô hình toán học) là một phương pháp nghiên cứu khoa học hiệu quả. Trong nhà trường, các tri thức và phương pháp toán học giúp học sinh học tốt các bộ môn khác và càng lên các lớp trên, tính công cụ của môn toán trong việc học các môn học khác càng trở nên rõ ràng. Trong đời sống hàng ngày, các kĩ năng: tính toán, vẽ hình, đọc và vẽ biểu đồ, đo đạc, ước lượng, kĩ năng sử dụng các công cụ toán học, máy tính điện tử là điều kiện cần có để tiến hành hoạt động của người lao động trong thời kì công nghiệp hoá, hiện đại hoá.

- Môn toán có tiềm năng phát triển năng lực trí tuệ và hình thành các phẩm chất trí tuệ.Là môn học mang sẵn trong nó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm mà cả phương

pháp suy diễn lôgíc, môn toán tạo cơ hội cho người học rèn luyện khả năng suy đoán và tưởng tượng. Học toán gắn liền với việc thực hiện các phép suy luận lôgíc và các phép suy luận có lí, các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, tương tự hoá. Và vì tư duy không tách rời ngôn ngữ nên toán học có điều kiện rèn luyện ngôn ngữ chính xác và trong sáng.

Đó là những thành phần cốt yếu của năng lực trí tuệ và là cơ sở để hình thành các phẩm chất trí tuệ: linh hoạt, độc lập, sáng tạo.

- Môn toán còn có tiềm năng phát triển phẩm chất đạo đức cho HS. Trên kia ta đã nói đến tiềm lực của môn toán trong việc đào tạo con người về mặt tri thức và năng lực trí tuệ. Nhưng con người ngoài những yếu tố nêu trên còn có một đời sống tư tưởng tình cảm, nguyện vọng, sở thích hứng thú, tính tình riêng...đó là những thành phần của nhân cách. Việc đào tạo một con người phát triển toàn diện và

Page 2 of 13

Mục đích dạy học môn toán ở trường trung học cơ sởviệc nhận thức được tác động ngược lại của phẩm chất đạo đức vào tri thức và trí tuệ khiến ta rất quan tâm đến vấn đề giáo dục tư tưởng, đạo đức cho học sinh. Về mặt này, môn toán cũng dồi dào tiềm lực. Một toán có điều kiện hình thành cho học sinh thế giới quan khoa học: Toán học ra đời từ nhu cầu thực tiễn và quay về phục vụ thực tiễn. Tri thức và phương pháp toán học là những minh hoạ sống động quan điểm biện chứng và các quy luật của nó. Lao động học toán tạo điều kiện hình thành và hoàn thiện dần những nét nhân cách: say mê và có hoài bão trong học tập, mong muốn được đóng góp phần mình cho sự nghiệp chung của đất nước, ý chí vượt khó, bảo vệ chân lí, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn,...biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới một nhân cách hoàn thiện hơn.

Từ việc xác định mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông, phân tích đặc điểm và vai trò của môn toán, chúng ta đi tới việc xác định các mục đích của việc dạy học môn toán trong nhà trường: Môn toán thông qua đặc điểm của bộ môn mình phối hợp với các bộ môn khác và các hoạt động nhằm góp phần đào tạo nên những con người có tri thức và có kĩ năng vận dụng tri thức, có phẩm chất trí tuệ và phẩm chất đạo đức. Vì vậy các mục đích dạy học môn toán được đặt ra là:

(1) Làm cho học sinh nắm vững tri thức và có kĩ năng thực hành toán học.(2) Làm cho học sinh phát triển năng lực trí tuệ.(3) Hình thành ở HS các phẩm chất đạo đức. Việc đi sâu phân tích từng mục đích và thể hiện nó

đối với việc dạy học môn toán ở trường THCS sẽ được trình bày dưới đây.2. Làm cho học sinh nắm vững tri thức và có kĩ năng thực hành toán học

a) Các dạng khác nhau của tri thức dạy học- Tri thức sự vật trong môn toán là tri thức về một khái niệm (khái niệm về một đối tượng hoặc về

một quan hệ toán học) hoặc về một sự kiện toán học, được trình bày trực diện trong nội dung mỗi định nghĩa, định lí.

- Tri thức phương pháp luôn gắn liền với tri thức sự vật, bám vào tri thức sự vật, nói lên những phương pháp nhằm đạt được những tri thức sự vật hoặc những phương pháp do tri thức sự vật mang lại. Có hai loại tri thức phương pháp: Tri thức phương pháp thuộc loại tìm đoán và tri thức phương pháp thuộc loại thuật toán.

Ví dụ: Khi dạy học định lí “Tổng số đo ba góc của tam giác bằng 1800” ta đã dạy cho học sinh một tri thức sự vật, đó chính là nội dung của định lí này. Có một tri thức phương pháp thuộc loại tìm đoán, đó là việc vẽ tia Ax sao cho hai góc xAB, CBA so le trong và do đó bằng nhau, vẽ tia Ay sao cho hai góc yAC và BCA cũng ở vị trí so le trong và do đó chúng bằng nhau. Việc kẻ thêm hai tia phụ nói trên đã gợi ý cho việc chứng minh định lí. Đưa thêm yếu tố phụ (vẽ thêm đường phụ, đặt biến số phụ, đặt ẩn phụ) là một tri thức phương pháp trong giải toán nói chung. Học sinh học được phương pháp này khi học định lí tương ứng.

- Tri thức giá trị liên quan đến những mệnh đề đánh giá, bình luận nhân học một tri thức sự vật. Ví dụ, lời đánh giá sau đây về định lí ba đường vuông góc có thể xem là một tri thức giá trị: “Trước đây (khi chưa có định lí này), mỗi khi phải chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau trong không gian ta phải chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. Bây giờ nhờ định lí ba đường vuông góc, trong nhiều trường hợp ta có một phương pháp mới chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau trong không gian ngắn gọn, thuận tiện hơn”.

- Tri thức chuẩn liên quan đến những quy định, giúp cho việc học tập và giao lưu tri thức. Ví dụ, chuẩn mực về trình bày giả thiết, kết luận, chứng minh cho một bài toán; nghĩa của kí hiệu ?, V mà giáo viên dùng khi chấm bài của học sinh; các cách nói khác nhau để diễn tả mệnh đề ““nếu A thì B” là mệnh đề đúng”, bảng chỉ dẫn các kí hiệu dùng cho một cuốn sách...là những điều cần phải biết trong học tập môn toán, những tri thức này thuộc loại tri thức chuẩn.

b) Chất lượng của tri thức dạy họcNhư đã trình bày ở 1.b chương I, tri thức giáo khoa là kết quả của phép biến đổi sư phạm từ tri thức

khoa học, phép biến đổi này được hội đồng bộ môn, các nhà nghiên cứu lí luận dạy học, các tác giả sách giáo khoa thực hiện. Phép biến đổi này bảo đảm tính cơ bản, hiện đại, sát với thực tiễn Việt Nam của tri thức giáo khoa. Khi dạy học trên lớp, để biến tri thức giáo khoa thành tri thức dạy học, người giáo viên cần phải khai thác sách giáo khoa và các sách tham khảo để đảm bảo các tính chất nói trên của tri thức dạy học. Ngoài ra, người giáo viên còn phải đảm bảo tính hệ thống, tính bền vững của tri thức dạy học;

- Tính hệ thống của tri thức dạy học:

Page 3 of 13

Mục đích dạy học môn toán ở trường trung học cơ sởNhận thức con người luôn vận động và phát triển vì vậy một tri thức khoa học bao giờ cũng là kết

quả của những tri thức nào đó đã có trước và đồng thời cũng là nguyên nhân ra đời của những tri thức khác tiếp sau. Khi dạy học một hệ thống các tri thức nào đó, cần được thiết lập được từng vị trí của từng tri thức cụ thể trong toàn bộ hệ thống của nó. Để làm việc này, tuỳ theo nội dung cần hệ thống hoá, ta sử dụng hợp lí những sơ đồ hệ thống hoá trí thức bằng bảng, bằng sơ đồ mạng, bằng biểu đồ Ven,...Một tri thức, đứng trong một hệ thống tri thức liên quan với nó sẽ dễ dàng được huy động khi cần thiết.

- Tính vững chắc của tri thức dạy học:Nắm tri thức một cách vững chắc bao gồm việc hiểu nội dung tri thức thông qua hình thức biểu đạt

của nó.

Ví dụ: Các đẳng thức là hình thức biểu đạt các

tỉ số lượng giác của góc nhọn (SGK Hình học 8). Cần thông qua các đẳng thức này làm cho học sinh thấy sự tương ứng giữa các góc nhọn với các tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng. Nhờ những hàm này người ta có thể chuyển việc so sánh các góc nhọn về việc so sánh các tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng tương ứng. Những hàm này thiết lập quan hệ về lượng giữa các yếu tố về cạnh và về góc trong tam giác.

Nắm tri thức một cách vững chắc bao gồm cả việc ghi nhớ tri thức. Trong mỗi giai đoạn học tập của mình, học sinh phải ghi nhớ những tri thức xác định để sẵn sàng huy động chúng vào việc xây dựng tri thức mới. Vấn đề là phải biết ghi nhớ những gì ? (cái cơ bản, cái phục vụ cho từng giai đoạn nhất định) và biết ghi nhớ như thế nào ? (phối hợp ghi nhớ máy móc và ghi nhớ ý nghĩa).

Nắm vững tri thức một cách vững chắc bao gồm cả việc không ngừng tự sắp xếp lại, bổ sung các tri thức mới: Tri thức cũ góp phần xây dựng tri thức mới, song tri thức cũ so với tri thức mới bao giờ cũng mang tính địa phương, bộ phận. Những tri thức cũ nếu không được sắp xếp lại sẽ gây ra những sai lầm trong những tình huống nhất định. Ví dụ tri thức về số tự nhiên có thể gây nên sai lầm khi học sinh vận dụng nó để làm việc với số thập phân. Khi hỏi: Có bao nhiêu số thập phân đứng giữa hai số thập phân 6,12 và 6,17, thực nghiệm cho thấy có nhiều học sinh cho là có tất cả 4 số thập phân, đó là 6,13; 6,14; 6,15 và 6,16 đứng giữa hai số thập phân cho trước. Những tri thức về hình học phẳng được vận dụng vào không gian khi không tính đến điều kiện vận dụng cũng gây nên những sai lầm tương tự. Sự sắp xếp lại tri thức làm cho tri thức cũ hoà nhập vào tri thức mới như một bộ phận gắn bó và thống nhất.

c) Từ tri thức đến kĩ năngTheo tâm lí học, kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục

đích trong những điều kiện nhất định. Nếu ta tạm thời tách tri thức và kĩ năng để xem xét riêng từng cái thì: Tri thức thuộc phạm vi nhận thức thuộc về khả năng “biết” còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”.

Không phải cứ có tri thức là tự khắc có kĩ năng tương ứng. Một ví dụ đơn giản về việc này: Học sinh có thể hiểu và nhớ công thức giải phương trình bậc hai tổng quát những chưa phải là lập tức giải đúng những phương trình bậc hai cho trước. Nói đến tri thức là nói đến mô hình dự trữ để hành động (khi nhận dạng phương trình cho trước là một phương trình bậc 2, tức là tính ,...) còn nói đến kĩ năng là nói đến sản phẩm của hành động (nghiệm của phương trình bậc 2 mà HS phải tìm).

Trên kia ta tạm thời tách tri thức và kĩ năng để xem xét từng cái, song thực ra tri thức và kĩ năng thống nhất trong hành động. Tri thức là cần thiết để tiến hành các thao tác, độ thành thạo của các thao tác là kĩ năng, các thao tác này được thực hiện dưới sự kiểm tra của tri thức.

Con đường đi từ chỗ có tri thức (biết) đến chỗ có kĩ năng tương ứng (biết làm) là con đường luyện tập, nội dung của luyện tập này rất phong phú, song một nội dung có tính cốt yếu, đó là việc luyện tập các thao tác nhận dạng và thể hiện [11] (tr. 63) sau khi học một định nghĩa khái niệm, một định lí hay một phương pháp. Nhận dạng một khái niệm là phát hiện xem một đối tượng cho trước có các đặc trưng của khái niệm đó không. Thể hiện một khái niệm là tạo ra một đối tượng có các đặc trưng của khái niệm đó. Nhận dạng một định lí là phát hiện xem một tình huống cho trước có ăn khớp với định lí đó không. Thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống ắn khớp với định lí đó. Nhận dạng một phương pháp là phát hiện xem một dãy tình huống có phù hợp với phương pháp đó không. Thể hiện một phương pháp là tạo một dãy tình huống hợp các các bước của phương pháp đó. Ví dụ: Trong giờ luyện tập về giải phương trình bậc hai, giáo viên cho mỗi HS giải một phương trình bậc hai cụ thể, sau

Page 4 of 13

Hình 1

Mục đích dạy học môn toán ở trường trung học cơ sởđó cho từng cặp HS đổi bài giải cho nhau để kiểm tra lẫn nhau. Làm như vậy, mỗi HS đã lần lượt thực hiện các thao tác sau đây: nhận dạng phương trình bậc hai, thể hiện phương pháp giải phương trình bậc hai, nhận dạng phương pháp giải phương trình bậc hai.

Kĩ năng vận dụng tri thức toán học được thể hiện trên những bình diện khác nhau.- Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn toán, giải các bài tập toán học.- Kĩ năng vận dụng tri thức toán học để học tập các bộ môn khác.- Kĩ năng vận dụng tri thức toán học vào đời sống: kĩ năng tính toán (tính đúng, tính nhanh, tính

hợp lí, tính nhẩm, tính gần đúng); kĩ năng sử dụng biểu đồ, đồ thị, kĩ năng sử dụng máy tính; kĩ năng đo đạc.3. Làm cho học sinh phát triển năng lực trí tuệ

Trong việc trình bày mục đích thứ nhất của việc dạy học môn toán, chúng ta đã đề cập đến vấn đề tri thức và kĩ năng. Điều quan trọng đối với người học là phải biết xây dựng tri thức mới xuất phát từ những tri thức ban đầu. Để làm điều này cần đến các thao tác tư duy, khả năng suy đoán và tưởng tượng, tư duy lôgíc và ngôn ngữ chính xác, những yếu tố cấu thành năng lực trí tuệ, những yếu tố cần phải có để học tập môn toán và cũng là những yếu tố mà việc học tập môn toán có thể mang đến cho người học.

a) Rèn luyện các thao tác tư duy- Phân tích và tổng hợp: Phân tích là sự suy nghĩ tạm thời tách một hệ

thống những đối tượng (hoặc những tính chất, quan hệ) thành những bộ phận để việc xem xét những bộ phận này được đơn giản hơn. Tổng hợp là sự suy nghĩ nhằm liên kết những kết quả đã xem xét được ở từng bộ phận của một hệ thống để việc xem xét cả hệ thống được toàn diện hơn. Việc học toán, làm toán luôn gắn liền với thao tác tư duy phân tích và tổng hợp. Ví dụ, khi phải chứng minh rằng: Trong hình lăng trụ có các mặt bên là hình chữ nhật thì cạnh bên vuông góc với đáy. Người ta đã phải thực hiện cả phân tích và tổng hợp, quá trình này được mô tả như sau:

* Tách mặt bên A’D’DA của hình lăng trụ ra khỏi các mặt khác, khi nó là hình chữ nhật ta có: (1) (phân tích).

* Tách mặt bên A’B’BA của hình lăng trụ ra khỏi các mặt khác, thấy nó là hình chữ nhật ta có: (2) (phân tích).

* Liên kết hai kết quả (1) và (2) ta có: . Ở bước này ta nhìn A’A với tư cách là cạnh bên của hình lăng trụ khác với hai bước trước, nhìn A’A với tư cách là cạnh của hình chữ nhật, ta có đpcm. (tổng hợp)

Trong việc dạy giải bài tập toán này, GV cần có ý thức mô tả cho HS rõ sự suy nghĩ để đi đến lời giải bài toán như đã nêu ở trên. Trong quá trình dạy giải bài tập về sau, GV cần tạo cho HS những cơ hội thực hiện cách suy nghĩ này một cách hiệu quả. Làm như vậy chính là ta đã rèn cho HS tập phân tích và tổng hợp.

Phân tích và tổng hợp còn bao hàm một nghĩa khác nữa: Tổng hợp là sự suy nghĩ nhằm liên kết giữa cái đã biết với cái cần tìm (hoặc điều phải chứng minh) theo chiều đi từ cái đã biết đến cái cần tìm.

Ví dụ: Để chứng minh ta làm như sau:

Ta có

Sơ đồ của phép tổng hợp là:

trong đó A là cái đã biết, X là cái cần tìm (hoặc điều phải chứng minh), hiểu là: nếu A thì A1.

Page 5 of 13

Mục đích dạy học môn toán ở trường trung học cơ sởPhân tích là sự suy nghĩ nhằm liên kết giữa cái đã biết và cái cần tìm (hoặc điều phải chứng minh)

theo chiều đi từ cái cần tìm đến cái đã biết.Ví dụ:

Để chứng minh bất đẳng thức ta làm như sau:

Có khi có . Có khi có

Có khi có

đúng

Vậy được chứng minh.

Sơ đồ của phép phân tích là:

trong đó, hiểu là: có X khi có Xn. Các thao tác phân tích và tổng hợp thường được sử dụng đồng thời để tìm cách giải một bài toán. Thông thường người ta tiến hành việc phân tích (lấy điểm xuất phát là điều phải chứng minh, hoặc cái cần tìm). Đồng thời người ta cũng tiến hành phép tổng hợp (lấy điểm xuất phát từ điều đã biết, từ cái đã cho). Tiếp đó người ta liên kết những điều đã có nhờ việc phân tích, tổng hợp đã thực hiện ở trên để tiến dần đến cách giải. Sau đây là sơ đồ mô tả sự liên kết này.

tổng hợp - sự liên kết các kết quả - phân tích.- Trừu tượng hoá: Trừu tượng hoá là sự suy nghĩ nhằm tách một số tính chất chung của các đối

tượng (quan hệ) ra khỏi những tính chất khác của chúng để đồng nhất chúng trong một mục đích nghiên cứu nhất định. Trừu tượng hoá là một thao tác tư duy không thể thiếu trong việc hình thành những khái niệm trừu tượng: Để hình thành khái niệm số biểu diễn bởi phân số, người ta đã đi từ

những phân số cụ thể, chẳng hạn: . Đây là những phân số nhìn bề ngoài thấy chúng khác

nhau, người ta đã bỏ qua những sự khác nhau bề ngoài này, và tách ra tính chất chung của chúng: chúng cùng biểu thị một đại lượng nào đó (chẳng hạn cùng biểu diễn một nửa đường tròn – SGK Toán 6). Từ đó người ta đồng nhất chúng (coi chúng là bằng nhau). Chúng có cùng một giá trị, giá trị đó là số biểu diễn bởi phân số. Khi biểu diễn những phân số này dưới dạng số thập phân ta được dạng biểu diễn duy nhất là 0,5.

0 0,5 1 2

Hình 2Trong quá trình dạy học môn toán ở trường phổ thông, chúng ta lại có những cơ hội để cho HS tập

trừu tượng hoá. Ví dụ: Tập trừu tượng hoá nhân học định nghĩa hình thang: GV đặt vấn đề: chúng ta

Page 6 of 13

Hình 3

Mục đích dạy học môn toán ở trường trung học cơ sởphải nghiên cứu cùng một lúc những hình đã cho, chẳng hạn phải tìm các tính chất chung của chúng, phải tìm công thức tính diện tích của chúng...Muốn thế chúng ta phải tìm ra hình “đại diện” cho chúng để rồi nghiên cứu hình “đại diện” ấy. Hình đại diện ấy phải là hình có tính chất mà mọi hình đã cho đều có. Điều này dẫn ta đến việc tìm tính chất chung của những hình đã cho. HS quan sát, so sánh, tước bỏ những đặc điểm riêng lẻ, chỉ giữ lại hai tính chất chung: “là tứ giác”, “có hai cạnh song song”. GV: Một tứ giác có hai cạnh song song “đại diện” được cho tất cả các hình đã cho, ta gọi hình tứ giác có hai cạnh song song là hình thang. Tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu hình thang, những tính chất mà hình thang có sẽ là những tính chất chung của các hình đã cho ban đầu.

Việc trừu tượng hoá mang lại cho ta một khái niệm trừu tượng. Khi ta phải minh hoạ giải thích một khái niệm trừu tượng bằng những ví dụ ta nói rằng ta đã cụ thể hoá.

- Khái quát hoá: Khái quát hoá là sự suy nghĩ để dự đoán một sự kiện chung trên cơ sở những sự kiện đã biết của các trường hợp riêng. Theo quy luật nhận thức (đi từ những cái riêng đến một cái chung), việc tích luỹ tri thức (ở đây là việc tích luỹ các sự kiện toán học) đến một lúc nào đó sẽ kích thích và tạo điều kiện cho việc sự đoán, phát hiện những tri thức mới (sự kiện mới). Một trong những phương tiện để thực hiện điều nói trên là khái quát hoá.

Trong việc dạy học môn toán ở trường phổ thông, GV có nhiều cơ hội để tổ chức cho HS tập khái quát hoá. Chẳng hạn bước đầu GV cho HS tập khái hoá hoá đối với những sự kiện đơn giản nhất: Sự kiện về tổng số đo góc trong đa giác:

Đầu tiên hãy để các em liệt kê các sự kiện ở các trường hợp riêng (xem bảng dưới đây), và hé mở vấn đề bằng những dấu hỏi ở dòng cuối cùng của bảng.

Số cạnh của đa giác Số tam giác hợp thành Tổng số đo các góc

345..n

123..?

1800

3600

5400

.

.?

Tiếp theo đó hãy cho các em phân tích các trường hợp riêng, phát hiện được sự phụ thuộc của các đại lượng ở cột 2, cột 3 của bảng vào các đại lượng tương ứng với nó ở cột 1, và mong đợi tiến tới bảng mới dưới đây

Số cạnh của đa giác Số tam giác hợp thành Tổng số đo các góc

3456..n

3 – 2 = 14 – 2 = 25 – 2 = 36 – 2 = 4

.

.n - 2

1800 = 1.1800 = (3 – 2).1800

3600 = 2.1800 = (4 – 2).1800

5400 = 3.1800 = (5 – 2).1800

7200 = 4.1800 = (6 – 2).1800

.

.(n – 2).1800

Cái ta chờ đợi là cái mà HS sẽ viết như thế nào ở dòng thứ 4 và dòng cuối cùng của bảng. Từ việc cho HS tập khái quát hoá những sự kiện đơn giản, trong việc giải bài tập ta tìm kiếm để tận dụng những cơ hội cho HS tập khái hoá hoá trên những sự kiện phức tạp hơn.

Có điều cần lưu ý là khái hoá quát chỉ cho ta dự đoán, sự kiện mà bằng khái quát hoá sự đoán được có thể đúng hoặc sai, nó sẽ phải được chứng minh hoặc bác bỏ. Việc bác bỏ một dự đoán khái quát có liên quan đến việc thử xem dự đoán khái quát đó có đúng không trong các trường hợp riêng đơn giản. Việc làm này gọi là đặc biệt hoá. Chẳng hạn ta phải chứng minh hoặc bác bỏ dự đoán sau đây:

Page 7 of 13

Mục đích dạy học môn toán ở trường trung học cơ sở“Diện tích S của một tứ giác lần lượt có các cạnh a, b, c, d và p là nửa chu vi của nó, được tính bởi

công thức:

”

Ta tiến hành đặc biệt hoá dự đoán này: Đầu tiên ta thử nghiệm dự đoán trong trường hợp tứ giác là hình vuông cạnh a: Ở trường hợp này nhờ công thức tính diện tích hình vuông đã biết, ta có S = a 2. Nếu dùng công thức dự đoán, ta có: . Vậy dự đoán đúng trong trường hợp tứ giác là hình vuông.

Đối với trường hợp tứ giác là hình chữ nhật, có các cạnh kề a, b, dự đoán vẫn đúng: Tính theo cả hai cách ta đều được S = ab. Tiếp tục thử dự đoán vào trường hợp tứ giác là hình thang cân, có hai đáy tương ứng là a, c, hai cạnh bên tương ứng là b, d (trong đó b = d). Nhờ công thức tính diện tích hình

thang ta có: . Nếu dùng công thức dự đoán ta cũng được kết quả ấy. Như vậy

là dự đoán cũng đúng trong trường hợp tứ giác là hình thang cân. Những phép thử trên làm ta có thể tin vào dự đoán song hoàn toàn không được coi là chứng minh. Ta hãy thử thêm trường hợp riêng khác, trường hợp tứ giác là hình bình hành với hai cạnh kề a, b và đường cao h. Lúc này diện tích đúng của hình bình hành là: S = ah, song nếu theo công thức dự đoán thì: S = ab, ở đây ah < ab. Dự đoán trở thành sai trong trường hợp tứ giác là hình bình hành. Vậy dự đoán khái quát ban đầu bị bác bỏ. Ở đây ta nói rằng ta đã bác bỏ một mệnh đề khái quát bằng cách tìm một phản ví dụ. Để cho học sinh tập khái quát hoá, ta phải chú trọng để các em khái quát hoá có cơ sở, đó là sự phân tích tỉ mỉ, nghiêm túc các trường hợp riêng. Đặt yêu cầu là nhất thiết dự đoán phải được chứng minh mới có quyền sử dụng. Ta cũng để các em có cơ hội bác bỏ những dự đoán đáng ngờ bằng phản ví dụ. Làm như vậy mới hình thành cho HS năng lực khái quát hoá và khái quát hoá đúng đắn.

- Tương tự hoá: Tương tự hoá là quá trình suy nghĩ phát hiện sự giống nhau giữa hai đối tượng để từ những sự kiện đã biết đối với đối tượng này dự đoán những sự kiện tương ứng đối với sự kiện kia. Để tiến hành tương tự hoá bao giờ người ta cũng bắt đầu từ sự so sánh, tức là tìm ra chỗ giống nhau, chỗ khác nhau của hai đối tượng mang ra so sánh, song sự so sánh không bao giờ dừng lại ở đó, sự so sánh phải dẫn đến dự đoán những sự kiện mới. Ở đây trong hai đối tượng mang ra so sánh, có một đối tượng mà ta đã biết tường tận, còn đối tượng kia thì ta đang đặt vấn đề tìm hiểu nó. Vì vậy mục đích so sánh là dẫn đến những dự đoán về những sự kiện sẽ xảy ra đối với đối tượng mà ta đang nghiên cứu. Như vậy , so sánh là điểm bắt đầu của tượng tự hoá và tương tự hoá là mục đích của sự so sánh. Tương tự hoá giúp ta dự đoán những sự kiện chưa biết từ những sự kiện đã biết tương ứng với nó trong phép tương tự này. Trong toán học có nhiều sự kiện tương tự và sự tương tự đạt đến mức chính xác toán học là sự đẳng cấu [25] (tr. 114). Trong quá trình dạy học các nội dung toán học, có thể tận dụng những cơ hội thích hợp để cho HS tập dự đoán bằng tương tự. Chẳng hạn sau khi cho HS biết định nghĩa đường trung bình của hình thang, có thể hướng dẫn các em dự đoán tính chất của nó dựa vào những kiến thức đã biết của HS về đường trung bình của tam giác:

JI

H

GF

E

NM

C

B

A

Hình 4

Ta có:MN là đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB, BCĐã biết: MN // AC

Ta có:IJ là đoạn thẳng nối hai trung điểm của EF, GH.Dự đoán: IJ // EH (và do đó IJ cũng song song với FG)

Đã biết: Độ dài của MN chỉ phụ thuộc vào độ dài của AC

Dự đoán: Độ dài của IJ chỉ phụ thuộc vào độ dài của EH và FG

Page 8 of 13

Mục đích dạy học môn toán ở trường trung học cơ sở

Đã biết: Xây dựng công thức tính MN theo AC: Dự đoán: Có thể xây dựng được công thức tính IJ theo EH và FG và ta tự đặt bài toán: “Tính IJ theo EH và FG”

Để tăng tính “đáng tin cậy” của dự đoán 2, HS có thể vẽ những hình thang khác nhau song vẫn giữ nguyên độ dài hai đáy và đo độ dài đường trung bình,...

Cũng như khái quát hoá, tương tự chỉ cho những dự đoán, dự đoán này sẽ được chứng minh hoặc bị bác bỏ.

b) Rèn luyện khả năng dự đoán và tưởng tượng- Theo tâm lí học, kết quả của tư duy thể hiện trong phán đoán. Nhờ phán đoán người ta phát hiện

ra cái mới. Nếu ta nhìn toán học ở hình thái mà nó được trình bày ta thấy một dãy các định lí, các chứng minh chặt chẽ, lôgíc, chúng mô tả các sự kiện toán học hoàn chỉnh, ổn định. Nếu ta nhìn toán học ở hình thái nó hình thành ta thấy một dãy các dự đoán. Nếu không có dự đoán thì không có chứng minh vì dự đoán cho ta điều mà ta sẽ chứng minh. Mục đích việc dạy học của chúng ta là tiến tới giúp cho HS tự xây dựng kiến thức trong học tập và xa hơn là đào tạo những con người biết phát hiện vấn đề trong thực tiễn hoạt động của mình. Việc dạy học như vậy phải tiến tới phản ánh ở mức độ nào đó quá trình hình thành các khái niệm, các sự kiện chứ không đơn thuần trình bày lại chúng khi chúng đã trở nên hoàn chỉnh. “Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ cho dự đoán” [26].

Để dạy cho HS biết dự đoán, cần tập luyện cho HS biết sử dụng các phương tiện để dự đoán, đó là các thao tác tư duy (đã trình bày ở điểm a, mục 3 chương này). GV cần khai thác nội dung SGK, chú trọng việc dạy bước phân tích khi gặp các bài toán quỹ tích, dựng hình. Cần tận dụng cơ hội thích hợp để dạy dự đoán định lí trước khi chứng minh nó và trước khi chứng minh hãy tiến hành dạy HS tìm đường lối chứng minh. Trong việc dạy học giải bài tập, chú trọng sưu tầm các bài toán thuộc loại tìm tòi, trong đó nổi bật lên vai trò của dự đoán, trong những cơ hội nhất định, hãy biến bài toán chứng minh thành bài toán tìm tòi...Đây là công việc khó khăn song không thể tránh khỏi nếu chúng ta muốn HS tiến tới tự xây dựng kiến thức cho mình.

- Khi nhận thức một sự vật ta thường bắt đầu từ sự tri giác, nhưng do tính trừu tượng của đối tượng nhận thức, tri giác không đủ để nhận thức chúng, lúc đó cần đến sự tưởng tượng. Tưởng tượng xảy ra khi ta phải hình dung cái chưa thấy bao giờ. Theo tâm lí học, tưởng tượng là một hình thái hoạt động tâm lí tạo ra cái mới dưới hình thức tư tưởng.

Trong học tập môn toán, đối tượng nhận thức của HS là những đối tượng trừu tượng, điều này yêu cầu sự tưởng tượng để nhận thức chúng. Chẳng hạn, việc nhận thức khái niệm điểm trong hình học đã cần phải tưởng tượng rồi: Khi các em nhận thức điểm qua hình ảnh của một dấu chấm nhỏ trên trang giấy (và chỉ nhận thức như vậy thôi) thì các em sẽ có biểu tượng sai lầm sau đây về khái niệm điểm: có thể đặt hai điểm phân biệt kề sát nhau. Sau này khi học sinh học khái niệm số thực, “mỗi điểm trên trục số biểu diễn một số thực duy nhất và ngược lại”, biểu tượng sai lầm về điểm nêu ở trên sẽ dẫn tới biểu tượng sai lầm về số thực: có hai số thực kề liền nhau và giữa chúng không còn số thực nào khác. Để tránh sai lầm trên, cần cho HS thấy, điểm như một chấm nhỏ trên trang giấy (tru giác được) nhưng chấm nhỏ ấy cứ nhỏ mãi đến khi không còn kích thước nữa (phải tưởng tượng). Khi làm việc với điểm ta vẫn dùng một chấm nhỏ để biểu diễn nó (hình ảnh) nhưng ta không coi nó là chấm nhỏ đơn giản như vậy (tư tưởng). Một ví dụ khác, khi học sinh học “hình thang là một tứ giác có hai cạnh song song”, hình thang theo định nghĩa này là một hình thang trừu tượng, ta không thể vẽ được nó. Thật vậy, nếu ta

vẽ, ta sẽ được một hình thang cụ thể (hình thang vẽ ra ấy có tỉ số hai đáy là chẳng hạn, trong khi

hình thang trừu tượng là hình không có những tính chất nào khác ngoài tính chất: “là tứ giác”, “có hai cạnh song song” và những tính chất suy ra từ hai tính chất trên nhờ suy luận lôgíc). Khi làm việc với hình thang, việc vẽ hình thang cụ thể vẫn là cần thiết (để tri giác) những bên cạnh đó phải tưởng tượng là ta làm việc với hình thang trừu tượng. Có như vậy mới tránh được sai lầm mà HS hay gặp khi ngộ nhận những tính chất của hình cụ thể (hình vẽ ra để làm toán) là tính chất của hình cần nghiên cứu (hình trừu tượng).

c) Rèn luyện tư duy và ngôn ngữ chính xácNgười ta trình bày toán học bằng phương pháp tiên đề. Nội dung của phương pháp này là: Lập ra

bảng những khái niệm cơ bản, gồm một số đối tượng ban đầu, một số quan hệ ban đầu (không định

Page 9 of 13

Mục đích dạy học môn toán ở trường trung học cơ sởnghĩa), và một số mệnh đề đầu tiên nói về tính chất của chúng (không chứng minh) và sau đó hoàn toàn dùng lôgíc để định nghĩa bất cứ khái niệm mới nào và chứng minh bất cứ định lí nào.

Việc trình bày nội dung môn toán ở trường THCS (điển hình là nội dung dạy học hình học), cũng theo tinh thần của phương pháp tiên đề, mặc dù chỉ ở mức độ “nửa hình thức hoá” (trong đó, các đối tương cơ bản, các quan hệ cơ bản được gắn với những hình ảnh mô tả về chúng). Việc rèn luyện tư duy lôgíc cho HS ở đây là việc thực hiện các nhiệm vụ theo ba hướng liên quanchặt chẽ với nhau:

Làm cho HS nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên từ lôgíc: và, hoặc, nếu...thì, phủ định, những lượng từ tồn tại, khái quát.

Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa. Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độc lập tiến hành chứng

minh.- Tư duy và ngôn ngữ liên quan mật thiết với nhau, quyết định lẫn nhau: tư duy chỉ tồn tại dưới cái

vỏ ngôn ngữ (tư duy phải được diễn đạt bằng từ). Nhờ ngôn ngữ mà người ta có thể tư duy gián tiếp (tư duy trên các từ), và có ngôn ngữ người ta mới giao lưu tri thức với nhau được. Để thấy vai trò của ngôn ngữ trong tư duy gián tiếp và trong giao lưu tri thức ta hãy lấy ví dụ sau; đối với HS lớp 7.

GV giới thiệu cho HS hai hình vuông giống hệt nhau làm bằng mica, đều kí hiệu là ABCD, trên một trong hai hình vuông có điền O (xem hình vẽ).

A B

CD

O

D C

BA

Hình 5Sau đó GV chia HS làm hai nhóm, giao cho mỗi nhóm một hình vuông và giao nhiệm vụ. Đối với

nhóm 1, nhóm nhận hình vuông có chứa điểm O, hãy viết thông báo gửi cho nhóm 2 (nhóm nhận hình vuông chưa có điểm O), sao cho theo thông báo này nhóm 2 dựng được điểm O trên hình vuông của mình, để khi ta chồng khít hai hình vuông lên nhau thì hai điểm O trùng nhau.

HS nhóm 1 có thể viết những thông báo khác nhau, ứng với những cách xác định khác nhau về điểm O.

Một trong những thông báo đó, chẳng hạn như sau: “Bạn hãy dựng đường tròn (D; 2,2cm) rồi dựng đường tròn (C; 3,3cm), giao điểm hai đường tròn này chính là điểm O cần tìm”. Bản thông báo này là văn bản ngôn ngữ viết và là ngôn ngữ toán học, nhờ nó nhóm HS 2 xác định được vị trí điểm O trong khi không trực tiếp tri giác vị trí điểm O. Việc xác định điểm O trong hoạt động này của nhóm 2, bắt buộc phải nhờ sự giao lưu với nhóm 1 và phương tiện của sự giao lưu này là ngôn ngữ toán học.

Ngôn ngữ toán học khác với ngôn ngữ tự nhiên ở chỗ [14] (tr. 95). Ngôn ngữ toán học gọn gàng hơn vì mỗi kí hiệu của ngôn ngữ toán học có thể thay cho một kết hợp từ trong ngôn ngữ tự nhiên. Ngôn ngữ toán học chính xác hơn ngôn ngữ tự nhiên vì mỗi từ, mỗi kí hiệu của ngôn ngữ toán học có một nghĩa xác định, duy nhất. Đặc biệt, trong toán học có ngôn ngữ biến, điều này cho phép ngôn ngữ toán học diễn đạt các quy luật chung. Ví dụ: nhờ biểu diễn ẩn số của phương trình (cái chưa biết) bởi chữ x, nhờ biểu diễn các hệ số của phương trình (cái đã biết, nhưng thay đổi tuỳ theo các phương trình cụ thể - tham số) bởi các chữ a, b, c mà người ta viết được dạng tổng quát của phương trình bậc 2:

và viết được công thức tổng quát tính nghiệm của phương trình bậc 2.

Việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác cho HS thông qua việc dạy học môn toán bao gồm các việc làm sau đây:

- Làm cho HS hiểu đúng nghĩa của các từ, các kí hiệu toán học trong các tiên đề, định nghĩa, định lí, công thức.

- Làm cho HS biết diễn đạt các mệnh đề toán học theo những cách khác nhau mà không làm thay đổi nội dung mà mệnh đề đó diễn đạt.

- Làm cho HS biết sử dụng các từ, các kí hiệu toán học trong các tiên đề, định nghĩa, định lí, công thức để biểu đạt tư tưởng của mình trong việc phán đoán, lập luận chứng minh.

Page 10 of 13

Hình 6

Mục đích dạy học môn toán ở trường trung học cơ sở- Tạo ra những cơ hội để buộc phải có sự giao lưu tri thức trong đó ngôn ngữ toán học là phương

tiện không thể thiếu được và tận dụng ngược lại của ngôn ngữ đối với tư duy.- Nêu rõ yêu cầu trình bày lời giải phải ngắn gọn, trong sáng (bên cạnh những yêu cầu tất nhiên:

không có sai lầm, có căn cứ và đầy đủ) để rèn luyện ngôn ngữ viết. Khuyến khích những phát biểu gãy gọn, chính xác để rèn luyện ngôn ngữ nói.

- Tạo cơ hội cho HS tập “phiên dịch” ngôn ngữ mô tả tình huống thực tiễn sang ngôn ngữ toán học và từ ngôn ngữ toán học sang ngôn ngữ của thực tiễn.

d) Dần hình thành các phẩm chất trí tuệTa có thể khai thác tiềm năng của môn toán trong việc hình thành ở HS các phẩm chất trí tuệ như

tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo.- Trước hết cần thấy những biểu hiện tâm lí của phẩm chất này [3] (tr. 34). Tính linh hoạt của trí

tuệ biểu hiện ở khả năng thay đổi phương hướng giải quyết vấn đề phù hợp với sự thay đổi của các điều kiện cụ thể; khả năng nhìn nhận vấn đề, một hiện tượng thưo những quan điểm khác nhau. Tính độc lập của trí tuệ biểu hiện ở khả năng tự mình thấy được vấn đề phải giải quyết và tự mình tìm ra lời giải đáp cho vấn đề đó. Tính độc lập liên hệ mật thiết với tính phê phán của tư duy. Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết của hoạt động sáng tạo mà biểu hiện của nó là khả năng tạo ra cái mới. (Đối với HS, cái mới này là cái mới đối với trình độ nhận thức của các em).

- Trên cơ sở nắm vững những biểu hiện tâm lí của các phẩm chất trí tuệ: linh hoạt, độc lập, sáng tạo, GV có thể giúp HS hình thành những phẩm chất trí tuệ này bằng cách chủ động tạo các tình huống dạy học, ta các bái tập toán học mà việc đáp ứng các tình huống, việc giải các bài tập này buộc HS phải bộc lộ những biểu hiện tâm lí tương ứng.

Ví dụ, bài tập sau đây có thể làm hình thành ở HS tình linh hoạt:Giải phương trình: (a là tham số).Để giải phương trình này nếu theo cách nghĩ thông thường “tính x theo a” thì gặp khó khăn

(phương trình bậc 4 đối với x).Nhưng nếu ta đi tính a theo x thì lại dễ dàng (phương trình là bậc 2 đối với a), ta có a = x2 + x (1)

và có a = x2 – x + 1 (2).Cuối cùng, giải các phương trình (1) và (2) ta được các giá trị của x:

Việc lựa chọn để ra cho HS những bài toán có các cách giải khác nhau, và yêu cầu HS tìm cách giải khác với cách giải đã biết có thể tạo được ở các em ý thức không thoả mãn với cái đã có sẵn, không đi tìm những lời giải sẵn, nghiêm túc đánh giá tư tưởng người khác song giữ tính độc lập trong suy nghĩ của mình. Ví dụ, có thể ra bài toán sau đây: Cho x + 4y = 1, Tìm giá trị nhỏ nhất của

. Cách giải: Vì x + 4y = 1 nên . Parabol này quay bề lõm lên phí

trên và có tung độ đỉnh là , hoành độ đỉnh là . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là , A

Page 11 of 13

Mục đích dạy học môn toán ở trường trung học cơ sở

đạt giá trị này khi . Có các cách giải khác như sau: Đặt x = X, 2y = Y. Ta phải tìm

giá trị nhỏ nhất của với điều kiện X + 2Y = 1, là bình phương khoảng cách từ điểm (X, Y) đến gốc O của hệ toạ độ OXY, (X, Y) lại nằm trên đường thẳng X + 2Y = 1. Vì vậy giá trị nhỏ nhất của A là là bình phương độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ O đến đường thẳng X + 2Y = 1. Từ

tam giác vuông AOB ta có . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là đạt được khi

.

4. Hình thành ở HS các phẩm chất đạo đứca) Phẩm chất đạo đức trong cấu trúc tâm lí của nhân cáchMục đích dạy học xét đến cùng là đào tạo con người theo một mẫu nhân cách nhất định nhằm đáp

ứng yêu cầu của xã hội. Theo tâm lí học, cấu trúc tâm lí của nhân cách bao gồm hai mặt: phẩm chất (đức), năng lực (tài). Ở các mục đích dạy học mà ta đã nêu ở trên, ta đã đề cập tới việc làm cho HS có tri thức, có kĩ năng toán học và phát triển trí tuệ. Đó là mặt năng lực của nhân cách. Ở đây ta bàn đến mặt phẩm chất của nhân cách.

Mặt phẩm chất (đức) trong nhân cách theo tâm lí học [13] (tr. 67) bao gồm: Các phẩm chất “xã hội” hay đạo đức – chính trị: Thế giới quan, niềm tin, lí tưởng, lập trường,

quan điểm, thái độ chính trị, thái độ lao động,… Các phẩm chất “cá nhân” hay đạo đức – tư cách. Các phẩm chất ý chí của cá nhân. Các cung cách ứng xử hay tác phong.b) Giáo dục HS về đạo đức – chính trịMôn toán thực hiện nhiệm vụ này với sắc thái đặc thù của bộ môn.Chẳng hạn, để hình thành cho HS thế giới quan đúng đắn và niềm tin cần làm cho HS thấy nguồn

gốc thực tiễn của toán học. Các khái niệm toán học ra đời từ nhu cầu thực tiễn: Số tự nhiên ra đời do nhu cầu của phép đếm, số biểu diễn bởi phân số ra đời do nhu cầu chia đơn vị thành những phần bằng nhau, số nguyên ra đời do nhu cầu biểu diễn những đại lượng được xét theo hai chiều ngược nhau, số thực ra đời do nhu cầu của việc đo đoạn thẳng,…Về vấn đề chân lí của toán học, cái đúng trong toán học chỉ có nghĩa tương đối, vì những điều coi như được chứng minh trong toán học lại dựa vào những điều ban đầu được thừa nhận là đúng (tiên đề). Cần cho HS thấy chân lí của toán học là thực tiễn, ở chỗ toán học phản ánh đúng thực tiễn, vì vậy toán học áp dụng được để giải quyết những vấn đề của thực tiễn: Giải toán bằng cách lập phương trình, đo đạc các khoảng cách không tới được,…Cần hình thành ở HS cách nhìn sự vật hiện tượng trong trạng thái vận động và trong mối liên quan chặt chẽ với nhau. Lấy làm ví dụ cho cơ hội thực hiện mục đích này có thể nói đến việc dạy khái niệm hàm số, thông qua việc dạy khái niệm hàm số, HS phát hiện và thiết lập những sự tương ứng giữa các đại lượng biến thiên và phụ thuộc lẫn nhau. Khi giải những bài toán bằng cách lập phương trình, chính HS đã thiết lập những sự tương ứng này và lợi dụng những sự tương ứng này để giải quyết vấn đề đặt ra (tìm nghiệm của bài toán). Hoàn toàn tương tự, HS cũng gặp khái niệm hàm, cũng làm việc với những yếu tố chuyển động trong khi học phép biến hình, khi giải toán tìm quỹ tích.

Trên cơ sở có một cách nhìn đúng đắn sự vật và hiện tượng, cách nhìn đúng về mối liên quan giữa toán học và thực tiễn, niềm tin vào sự đóng góp của toán học cho thực tiễn, HS nảy sinh nhu cầu học toán: Học toán để nắm vững các tri thức toán học, nhằm đáp ứng cho các hoạt động của người lao động trong nền sản xuất công nghiệp hoá, hiện đại hoá.

c) Giáo dục cho HS đạo đức – tư cách, ý chí, tình cảmĐạo đức, tư cách và ý chí tình cảm hình thành trong hoạt động, với môi trường được tổ chức, mang

dụng ý giáo dục rõ ràng, cụ thể. Việc học toán đúng với nghĩa của nó (chương I, mục 1, điểm a) là một hoạt động đầy tính sáng tạo, bản thân nó đòi hỏi và làm bộc lộ ra những nét tính cách và ý chí mà chúng ta mong muốn hình thành cho HS: “Không ở đâu mà các sai lầm thiếu sót dù nhỏ về suy luận, về tính toán, do thiếu cẩn thận lại thể hiện một cách rõ ràng và tức khắc bằng ở đây; không ở đâu mà học sinh thấy được sai lầm của mình (hoặc của bạn) và tìm thấy cách sửa chữa sai lầm của mình (hoặc của bạn) bằng ở đây; không ở đâu HS có điều kiện để so sánh con đường tối ưu để đi đến chân lí bằng

Page 12 of 13

Mục đích dạy học môn toán ở trường trung học cơ sởở đây; không ở đâu mà để giải quyết vấn đề lại phải cần cù, nhẫn nại, khắc phục khó khăn, phải lập luận có căn cứ chính xác bằng ở đây”. [14] (tr. 44).

Người ta chỉ có thể hi vọng thành công trong công việc nếu như họ thích thú, say mê công việc họ làm. Học toán cũng yêu cầu sự say mê với bộ môn đó là sự rung động trước cái đẹp của toán học; cái đẹp của những kết quả, những ứng dụng của toán học, cái đẹp của lời giải ngắn gọn của một bài toán, đó là sự cảm xúc trước một vấn đề lí thú được đặt ra, sự hưng phấn sau khi giải quyết được một vấn đề đã từng làm ta trăn trở. Ta cần dạy sao cho HS của chúng ta có được những rung động, những xúc cảm, những giây phút phấn chấn như vậy. Mặt khác, trong việc học toán, tình cảm thầy trò, tình cảm bạn bè được nảy sinh, đó là tình cảm hợp tác, giúp đỡ để nhận thức, để giải quyết những vấn đề, tình cảm hình thành trong giao lưu tri thức.

Việc giáo dục đạo đức, tính cách, ý chí, tình cảm trong dạy học toán có nhiều điều kiện để có thể thực hiện, song công việc này phụ thuộc rất nhiều vào ý thức tự giác và có mục đích của GV trong việc thông qua dạy tri thức để rèn luyện con người theo mục tiêu đào tạo của nhà trường, theo yêu cầu của xã hội.5. Tính toán diện của mục đích dạy học và vai trò cơ sở của tri thức

a) Tính toàn diện của mục đích dạy họcMục đích dạy học là toàn diện vì mẫu nhân cách mà xã hội yêu cầu là toàn diện:

Mặt khác, những yếu tố cấu thành nhân cách lại vốn có mối quan hệ khăng khít. Ví dụ tư duy liên hệ mật thiết với tri thức, tri thức vừa là cái kích thích ban đầu, vừa là phương tiện cơ bản vừa là kết quả của quá trình tư duy. Tư duy cũng chịu ảnh hưởng của tính cách; chẳng hạn hứng thú của con người đối với cái mới làm nảy sinh quá trình tư duy tích cực. Pôlia cho rằng thành phần căn bản của quá trình giải bất cứ bài toán nào là ý muốn, khát vọng, quyết tâm giải bài toán đó.

b) Vai trò cơ sở của tri thứcTính toàn diện của mục đích dạy học buộc người GV phải tính toán đến nhiều mặt trong nhiệm vụ

dạy học của mình trước một bài học cụ thể, song nhiệm vụ hàng đầu là phải làm cho HS nắm vững tri thức. Vả lại, ta làm sao thực hiện được việc rèn luyện tư duy khi mà HS chưa hiểu những tri thức làm nguyên liệu cho tư duy ? Vai trò cơ sở của tri thức ở đây có nghĩa là thực hiện các mục đích khác (kĩ năng, tư duy, hình thành phẩm chất) dựa trên và thông qua việc dạy tri thức. Việc thực hiện các mục đích này phải phục vụ tốt mục đích dạy học tri thức. Mặt khác việc thực hiện các mục đích rèn luyện tư duy và giáo dục tư tưởng đạo đức phải được tiến hành trên cơ sở tính đặc thù của tri thức dạy học, với sự tự giác và có kế hoạch của GV, tránh sự gượng ép, tuỳ tiện. Đối với việc dạy học xét trên phạm vi toàn bộ chương trình hoặc trong một chương, một mạch tri thức ta nhấn mạnh tính toàn diện. Đối với từng bài cụ thể ta không nên hiểu mục đích toàn diện một cách khiên cưỡng, không nên yêu cầu sự toàn diện rải đều ở mỗi bài. Thực hiện những mục đích dạy học nào và bằng cách nào cũng xuất phát từ sự phân tích tri thức dạy học cụ thể.

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP1. Hãy phân tích những sai sót trong nhận thức sau đây về mục đích dạy học môn toán: “Các mục

đích phát triển trí tuệ và giáo dục tư tưởng đạo đức mặc nhiên sẽ đạt được thông qua việc truyền thụ tri thức”.

2. Hãy xác định mục đích dạy học đối với một chương tự chọn trong chương trình toán trường THCS. Hãy xác định mục đích dạy học một bài cụ thể của chương tự chọn này. Chú ý nêu bật căn cứ của việc xác định các mục tiêu cụ thể ấy.

Page 13 of 13

Tri thức

Kĩ năng

Tư duy

Năng lực

Đạo đức – Chính trị

Phẩm chất

Đạo đức – Tính cách