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1.- es un máximo relativo de + 0 ssi alternan signoL Ð0ß +Ñ ! ß L Ð0 ß +Ñ ! ß L Ð0 ß +Ñ !ß ÞÞÞ" # $
2.- es un mínimo relativo de + 0 ssi L Ð0ß +Ñ ! a 5 − Ö"ß #ß ÞÞÞß 8×5
Observación
Si no se cumplen las condiciones del Teorema , el Teorema no da información
Ejemplo
Sea 0 À qqqqqqqqqqqqqqqqqp‘ ‘$
ÐBß Cß DÑ qqqqqp #B 'B #C "&C D $'C #D$ $ # #
Determinar puntos críticos y clasificarlos, si es posible
Solución
se tiene que :
`0 `0 `0`B `C `D
# # œ 'B ' à œ 'C $!C $' à œ #D #
luego
`0`B`0`C
`0`D
#
#
œ ! Í 'B ' œ ! Í B œ " ” B œ "
œ !
œ !
'C $!C $' œ ! #D # œ !
C œ # ” C œ $D œ "
es decir T œ Ð"ß #ß "Ñß T œ Ð"ß $ß "Ñß" #
T œ Ð "ß #ß "Ñß T œ Ð "ß $ß "Ñ$ %
puntos críticos, y se tiene que
L Ð0ß ÞÑ œ
"#B ! !! "#C $! !! ! #
$
â ââ ââ ââ ââ ââ â Caso I si T œ Ð"ß #ß "Ñ"
L Ð0ß T Ñ œ"# ! !! ' !! ! #
$ "
â ââ ââ ââ ââ ââ â con lo cual
, ,L Ð0ß T Ñ œ "# ! L Ð0ß T Ñ œ (# ! L Ð0ß T Ñ œ "%% !1 2" " $ "
luego el Teorema no da información sobre T"
Caso II si T œ Ð"ß $ß "Ñ#
L Ð0ß T Ñ œ"# ! !! ' !! ! #
$ 2
â ââ ââ ââ ââ ââ â con lo cual
, ,L Ð0ß T Ñ œ "# ! L Ð0ß T Ñ œ (# ! L Ð0ß T Ñ œ "%% !1 2# # $ #
luego el Teorema no da información sobre T#
Caso III si T œ Ð "ß #ß "Ñ$
L Ð0ß T Ñ œ "# ! !
! ' !! ! #
$ $
â ââ ââ ââ ââ ââ â con lo cual
, ,L Ð0ß T Ñ œ "# ! L Ð0ß T Ñ œ (# ! L Ð0ß T Ñ œ "%% !1 2$ $ $ $
luego el Teorema no da información sobre T$
Caso IV si T œ Ð "ß $ß "Ñ%
L Ð0ß T Ñ œ "# ! !
! ' !! ! #
$ %
â ââ ââ ââ ââ ââ â con lo cual
, ,L Ð0ß T Ñ œ "# ! L Ð0ß T Ñ œ (# ! L Ð0ß T Ñ œ "%% !1 2% % $ %
luego el punto es máximo relativoT%
Ejemplo
Sea 0 À qqqqqqqqqqqqqqqqqp‘ ‘$
ÐBß Cß DÑ qqqqqp B C D BC $D )# # #
Determinar puntos críticos y clasificarlos, si es posible de la función ß 0 si deben cumplir la condición : #B $C D œ %
Solución
Se tiene que , #B $C D œ % Í D œ #B $C %
luego 0ÐBß Cß DÑ œ B C D BC $D )# # #
œ B C D BC $Ð#B $C %Ñ )# # #
œ B C Ð#B $C %Ñ BC 'B *C % œ 0ÐBß CÑ# # #
observe que los puntos con los que estamos trabajando (los del plano) son puntos de ,los cuales son puntos frontera, no son puntos interiores, por‘$
ello no es aplicable la teoria vista, pero al considerar como una función en0 dos variables, incorporando la condición definida por el plano en la expresión algebraica de , se tiene que el nuevo dominio de la función 0 0 esta constituido por puntos en , los cuales son puntos interiores ,por ello‘#
podemos aplicar en este caso la teoria vista. `0 `0
`B `C œ #B %Ð#B $C %Ñ C ' à œ #C 'Ð#B $C %Ñ B *
luego
`0`B`0`C
œ ! Í "!B ""C ## œ !
œ ! #!C ""B $$ œ !
Í "!B ""C œ ## Í C œ""B #!C œ $$ B œ
))(*(((*
es decir punto crítico se tiene queT œ Ð ß Ñ ß(( ))(* (*
con lo cual
L Ð0ß ÞÑ œ
# "" ## º º
L Ð0ß T Ñ œ œ $ ! ß L Ð0 ß T Ñ œ # !
# "" ## "º º
por lo tanto, como : , , se tiene queL Ð0ß T Ñ ! L Ð0 ß T Ñ !" #
es máximo relativo de con lo cual es el máximo absoluto de T 0ß 0
â ââ ââ ââ ââ ââ â , ,L Ð0ß T Ñ œ "# ! L Ð0ß T Ñ œ (# ! L Ð0ß T Ñ œ "%% !1 2" " $ "
luego el Teorema no da información sobre , consideremosT%
si si
LÐ0ß T ß 7Ñ œ "#7 '7 #7 œ "# ß 7 œ Ð"ß !ß !Ñ
# ß 7 œ Ð!ß !ß "Ñ%# # #" # $ œ
por lo tanto es punto de ensilladuraT%
Ejemplo
Sea 0 À qqqqqqqqqqqp‘ ‘$
ÐBß Cß DÑ qqqqqp BC BD CD
Determinar puntos críticos y clasificarlos, si es posible de la función ß 0 si deben cumplir la condición : BCD œ "#&
Solución Se tiene que , BCD œ "#& Í D œ "#&
BC
luego 0ÐBß Cß DÑ œ BC BD CD œ BC B † C †"#& "#&BC BC
œ BC œ 0ÐBß CÑ"#& "#&C B
observe que los puntos con los que estamos trabajando ( ) sonBCD œ "#& puntos de ,los cuales son puntos frontera, no son puntos interiores, por‘$
ello no es aplicable la teoria vista, pero al considerar como una función en0 dos variables, incorporando la condición definida por ( ) en laBCD œ "#& expresión algebraica de , se tiene que el nuevo dominio de la función 0 0 esta constituido por puntos en , los cuales son puntos interiores ,por ello‘#
podemos aplicar en este caso la teoria vista. luego`0 `0
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es decir punto crítico , se tiene queT œ Ð&ß &Ñ
con lo cualL Ð0ß ÞÑ œ"
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L Ð0ß T Ñ œ œ $ ! ß L Ð0 ß T Ñ œ # !# "" ## "º º
por lo tanto, como : , , se tiene queL Ð0ß T Ñ ! L Ð0 ß T Ñ !" #
es mínimo relativo de con lo cual es el mínimo absoluto de T 0ß 0Observación
1.- No siempre es posible sustituir la condición en la función ,como lo hicimos en dos de los problemas anteriores
2.- Una condición de igualdad que condiciona el dominio der una función, en general convierte al dominio, en un dominio de puntos frontera, por lo cual no podemos aplicar la teoria vista ya que esta formulada para puntos interiores del dominio de una función
3.- Veremos un método que nos permite abordar problemas de optimización con condiciones de borde.