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Maximale Cohen-Macaulay-Moduln über
speziellen Typen isolierter Singularitäten,
Matrixfaktorisierungen und
Auslander-Reiten-Köcher
Diplomarbeit
Humboldt-Universität zu Berlin
Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät IIInstitut für
Mathematik
eingereicht von1:
Alexander Gollin geboren am 27.12.1983 in BerlinAndreas Steenpaß
geboren am 31.05.1985 in Hamm (Westf.)Nadja Worliczek geboren am
17.08.1978 in Wien/Österreich
Betreuer: PD Dr. sc. nat. Marko Roczen
Berlin, den 5. Mai 2009
1Eine Aufschlüsselung der einzelnen Beiträge befindet sich auf
S. iii f. der Arbeit.
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ii
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Aufschlüsselung derEinzelbeiträge
In der folgenden Liste ist aufgeführt, wer von uns für welche
Teile dieserArbeit verantwortlich ist.
A. Gollin:
Grundlagen:
0.3.4 Zerfallende Morphismen und Erweiterungen
0.5.4 MCM-Moduln und Noether-Normalisierung
0.6.1 Die injektive Hülle eines Moduls
Hauptteil:
1.1 Auslander-Reiten-Folgen
2 Auslander-Reiten-Köcher
6 McKay-Korrespondenz
A. Steenpaß:
Grundlagen:
0.1.1 Krull’scher Durchschnittssatz
0.3.3 Syzygien
0.4.2 Tiefe und Dimension
0.5.1 Definition und äquivalente Charakterisierungen (MCM)
0.5.2 Erste Eigenschaften (MCM)
0.5.3 Invarianz der MCM-Eigenschaft unter Lokalisierung
undBildung direkter Summen
0.6.3 Gorenstein-Ringe, kanonischer Modul und lokale
Dualität
0.7 Potenzreihenringe
Hauptteil:
1.2 Isolierte Singularitäten
4 Einfache Singularitäten
iii
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Aufschlüsselung der Einzelbeiträge
N. Worliczek:
Grundlagen:
0.1.2 Moduln von endlicher Länge
0.1.3 Algebren und Ringerweiterungen
0.2 Idempotente, Unzerlegbarkeit und komplette Ringe
0.3.1 Notation und einige grundlegende Aussagen (Homologie)
0.3.2 Minimale freie Auflösungen
0.4.1 Definition und erste Eigenschaften (regulärer Folgen)
0.4.3 Tiefe und projektive Dimension
0.4.4 Der Koszul-Komplex einer Folge
0.6.2 Sockel und injektive Hülle
Hauptteil:
3 Matrixfaktorisierungen
5 Eindimensionale Singularitäten
iv
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Inhaltsverzeichnis
Aufschlüsselung der Einzelbeiträge iii
Einleitung ix
0 Grundlagen 10.1 Grundlagen aus der kommutativen Algebra . . .
. . . . 1
0.1.1 Krull’scher Durchschnittssatz . . . . . . . . . . 10.1.2
Moduln von endlicher Länge . . . . . . . . . . . 20.1.3 Algebren
und Ringerweiterungen . . . . . . . . 4
0.2 Idempotente, Unzerlegbarkeit und komplette Ringe . . 70.3
Grundlagen aus der homologischen Algebra . . . . . . . 10
0.3.1 Notation und einige grundlegende Aussagen . . 100.3.2
Minimale freie Auflösungen . . . . . . . . . . . 130.3.3 Syzygien
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160.3.4 Zerfallende
Morphismen und Erweiterungen . . 17
0.4 Reguläre Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260.4.1 Definition und erste Eigenschaften . . . . . . . . 260.4.2
Tiefe und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . 310.4.3 Tiefe und
projektive Dimension . . . . . . . . . 330.4.4 Der Koszul-Komplex
einer Folge . . . . . . . . . 35
0.5 Maximale Cohen-Macaulay-Moduln . . . . . . . . . . . 370.5.1
Definition und äquivalente Charakterisierungen 370.5.2 Erste
Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 380.5.3 Invarianz der
MCM-Eigenschaft unter Lokalisie-
rung und Bildung direkter Summen . . . . . . . 420.5.4
MCM-Moduln und Noether-Normalisierung . . 43
0.6 Der kanonische Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . .
440.6.1 Die injektive Hülle eines Moduls . . . . . . . . . 440.6.2
Sockel und injektive Hülle . . . . . . . . . . . . 460.6.3
Gorenstein-Ringe, kanonischer Modul und lokale
Dualität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470.7
Potenzreihenringe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
v
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INHALTSVERZEICHNIS
1 Auslander-Reiten-Folgen und isolierte Singularitäten 551.1
Auslander-Reiten-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.1.1 In einem Modul endende AR-Folgen . . . . . . . 551.1.2
Irreduzible Morphismen . . . . . . . . . . . . . 601.1.3 In einem
Modul beginnende AR-Folgen . . . . . 63
1.2 Isolierte Singularitäten . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 671.2.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . .
671.2.2 Das Theorem von Auslander . . . . . . . . . . . 691.2.3 Die
Auslander-Transponierte . . . . . . . . . . . 741.2.4 Hom und End .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 801.2.5 Zwischenresultate aus
dem Beweis des Theorems
von Auslander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2 Auslander-Reiten-Köcher 872.1 Vorbetrachtung und Definition .
. . . . . . . . . . . . . 872.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 932.3 Explizite Berechnung eines
AR-Köchers . . . . . . . . . 100
3 Matrixfaktorisierungen 1153.1 Motivation und Bezeichnungen . .
. . . . . . . . . . . . 1153.2 Definitionen und erste Eigenschaften
. . . . . . . . . . 1163.3 Matrixfaktorisierungen und MCM-Moduln .
. . . . . . 122
4 Einfache Singularitäten 1414.1 Tangentialrichtungen und
Faktorisierung von formalen
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1414.2 Klassifikation der einfachen Singularitäten . . . . . . .
1564.3 Ringe von endlichem Darstellungstyp, die eine einfache
Singularität besitzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
5 Eindimensionale Singularitäten 1735.1 Motivation,
Bezeichnungen und etwas Vorbereitung . . 1735.2 Die AR-Köcher
einfacher Singularitäten der Dimension 1 174
5.2.1 Typ An mit n ungerade . . . . . . . . . . . . . . 1785.2.2
Typ E6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3 Ein Kriterium für die Endlichkeit des
Darstellungstypseindimensionaler Singularitäten . . . . . . . . .
. . . . 197
6 McKay-Korrespondenz 2016.1 Der Gruppenring S[G] . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 2016.2 Der Invariantenring SG . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 2076.3 McKay-Korrespondenz . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 211
6.3.1 Korrespondenz der MCM-Moduln . . . . . . . . 211
vi
-
6.3.2 Korrespondenz der irreduziblen Morphismen . . 225
Literaturverzeichnis 235
Index 238
Selbstständigkeitserklärungen 243
Thesen 245
vii
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viii
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Einleitung
Das Thema der vorliegenden Arbeit ist in der Darstellungstheorie
iso-lierter Singularitäten angesiedelt. Wir behandeln die
Klassifikation vonCohen-Macaulay-Moduln über bestimmten Klassen
von isolierten Sin-gularitäten, die Auslander-Reiten-Köcher
solcher Ringe, verschiedenean die jeweilige Klasse von Ringen
angepasste Herangehensweisen andiese Probleme sowie dafür
notwendige theoretische und technischeHilfsmittel.Die Arbeit hat
sich aus unseren Vorträgen in einer von Marko Roc-zen initiierten
und betreuten studentischen Arbeitsgruppe zu maxima-len
Cohen-Macaulay-Moduln über Cohen-Macaulay-Ringen entwickelt.Dabei
diente uns das Buch [Yos90] von Yuji Yoshino als
Arbeitsgrund-lage.Unser Ziel ist es, Teile dieses Buches in einer
aufgearbeiteten Form dar-zustellen, die es Studierenden im
Hauptstudium mit einer grundlegen-den Ausbildung auf dem Gebiet der
kommutativen Algebra erleichtert,sich deren Inhalte zu
erschließen.Daher haben wir das Grundlagenkapitel dieses Buches
recht ausführ-lich gestaltet. Zum einen führen wir hier Begriffe
und Konzepte ein, diefür die Theorie zu Cohen-Macaulay-Moduln
unerlässlich sind, und diezum Teil über den Inhalt einer
Grundlagenvorlesung zur kommutati-ven Algebra hinausgehen. Hierzu
gehören zum Beispiel die Abschnitteüber reguläre Folgen,
maximale Cohen-Macaulay-Moduln, den Koszul-Komplex einer Folge oder
den kanonischen Modul eines lokalen Cohen-Macaulay-Ringes.Zum
anderen geben wir aber auch häufig verwendete Ergebnisse
undDefinitionen aus der Ringtheorie und der homologischen Algebra
wie-der, die durchaus zum Grundwissen auf diesen Gebieten gehören,
stattsie an den entsprechenden Stellen nur zu zitieren oder
stillschweigendvorauszusetzen. Wir hoffen, dass dies gerade der
oben angesprochenenZielgruppe die Einarbeitung in die Thematik
erleichtert.Der in Kapitel 2 erläuterte Begriff des
Auslander-Reiten-Köchers istfür diese Arbeit von grundlegender
Bedeutung. Er wurde von Idun Rei-ten und Maurice Auslander zur
Darstellung von Artinschen Algebren
ix
-
Einleitung
entwickelt und von Yuji Yoshino in [Yos90] auf den Fall
HenselscherCohen-Macaulay-Ringe angewendet.Der
Auslander-Reiten-Köcher eines solchen Ringes ist dabei ein
ge-richteter Graph, dessen Ecken die Isomorphieklassen der
unzerlegbarenmaximalen Cohen-Macaulay-Moduln über dem Ring sind.
Die Kantendes Auslander-Reiten-Köchers bestehen aus den
irreduziblen Morphis-men zwischen den Isomorphieklassen und den in
Kapitel 1 eingeführtenAuslander-Reiten-Folgen.Die Kernaussage von
Kapitel 2 ist, dass durch die Existenz der Auslan-der-Reiten-Folgen
die genaue und insbesondere endliche Anzahl derKanten zwischen den
Isomorphieklassen festgelegt ist. Leider ist dieseExistenz nicht
immer gewährleistet.
Es gibt jedoch Ringe, über denen für alle unzerlegbaren
nicht-freienmaximalen Cohen-Macaulay-Moduln eine in diesem Modul
endendeAuslander-Reiten-Folge existiert. Das Hauptresultat des
Abschnitts 1.2ist, dass diese Ringe genau die isolierten
Singularitäten sind. Eine wei-tere äquivalente Formulierung
dieser Eigenschaft ist, dass jeder unzer-legbare nicht-freie
maximale Cohen-Macaulay-Modul über dem Grund-ring lokal frei auf
dessen punktierten Spektrum ist. Der Beweis beruhtwesentlich auf
der Einführung der sogenannten Auslander-Transponier-ten.
Ein weiteres Problem ist die Bestimmung der Isomorphieklassen
vonunzerlegbaren maximalen Cohen-Macaulay Moduln. Der Begriff
derMatrixfaktorisierung, der ursprünglich von David Eisenbud
entwickeltwurde, und den er in der Arbeit [Eis80] publiziert hat,
stellt hierfür aufvollständigen Durchschnitten ein mächtiges
Werkzeug zur Verfügung.
In Kapitel 3 entwickeln wir dieses Werkzeug für den Spezialfall
abstrak-ter Hyperflächensingularitäten. Wir orientieren uns dabei
im Wesent-lichen an der Herangehensweise von Yuji Yoshino in
[Yos90].
Wir werden in diesem Kapitel sehen, dass die für uns wichtigen
Eigen-schaften von maximalen Cohen-Macaulay-Moduln mit
Eigenschaftenvon bestimmten Paaren von Matrizen korrespondieren und
sich auchspezielle Beziehungen zwischen solchen Moduln durch
Matrixfaktorisie-rungen beschreiben lassen. So sind zum Beispiel
alle Moduln in einerErweiterung eines unzerlegbaren maximalen
Cohen-Macaulay-Modulsdurch einen anderen Cohen-Macaulay-Modul durch
Matrixfaktorisie-rungen gegeben.
Nachdem wir die grundlegenden Begriffe und Werkzeuge
dargestellthaben, wenden wir uns getrennt einzelnen Klassen von
Singularitätenzu.
Zunächst behandeln wir in Kapitel 4 einfache Singularitäten,
die wirbis auf Koordinatentransformationen vollständig
klassifizieren. Es er-
x
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geben sich die bekannten Fälle (An), (Dn), (E6), (E7) und (E8).
Fürdie im Klassifikationsbeweis verwendete Faktorisierung
spezieller Po-tenzreihen geben wir im ersten Abschnitt ein
konstruktives Verfahrenan.Zwischen Auslander-Reiten-Köchern und
einfachen Singularitäten be-steht folgender Zusammenhang: Falls
ein Ring eine Hyperfläche ist undder zugehörige
Auslander-Reiten-Köcher nur endlich viele Ecken be-sitzt, dann ist
der Ring eine einfache Singularität. Dabei kann die Be-dingung,
dass der Grundring eine Hyperfläche ist, dazu
verallgemeinertwerden, dass er ein Gorenstein-Ring und das
homomorphe Bild einesregulären lokalen Rings ist.Danach betrachten
wir in Kapitel 5 eindimensionale Singularitäten.Hierin stellen wir
zuerst fest, dass eindimensionale einfache Singula-ritäten von
endlichem Darstellungstyp sind und beweisen einen Teildieser
Aussage, indem wir die Auslander-Reiten-Köcher für zwei
dieserRinge konstruieren. Dafür verwenden wir
Matrixfaktorisierungen undgeben damit zugleich ein
Anwendungsbeispiel für dieses Werkzeug.Das Ergebnis dieses ersten
Abschnittes benutzen wir danach, um dieEndlichkeit des
Darstellungstyps einer eindimensionalen Singularitätdurch ihre
Beziehung zu einer einfachen Singularität zu charakterisie-ren.
Diese Charakterisierung stammt aus der Arbeit [GK85] von
Gert-Martin Greuel und Horst Knörrer.Im letzten Kapitel der
vorliegenden Arbeit gehen wir auf die sogenann-te
McKay-Korrespondenz ein. Dabei betrachten wir den Invarianten-ring
des zweidimensionalen Potenzreihenringes unter der Wirkung ei-ner
endlichen Untergruppe der GL(2,k) mit bestimmten
Eigenschaften.Dieser Invariantenring ist insbesondere ein
kompletter, lokaler Ring undsein Auslander-Reiten-Köcher ist
eindeutig durch den McKay-Graphdieser Gruppe bestimmt. Diese
eindeutige Korrespondenz nennt mandie McKay-Korrespondenz.
Weitergehend kann man sogar für einenbeliebigen kompletten,
lokalen, zweidimensionalen Cohen-Macaulay-Ring R von endlichem
Darstellungstyp eine endliche Gruppe G finden,so dass R der
Invariantenring des zweidimensionalen Potenzreihenrin-ges
bezüglich der Wirkung von G ist. Im zweidimensionalen Fall
sinddamit alle endlichen Auslander-Reiten-Köcher von kompletten,
loka-len Cohen-Macaulay-Ringen eindeutig durch die McKay-Graphen
be-stimmt.
Danksagungen
In erster Linie möchten wir uns bei unserem Betreuer Marko
Roc-zen bedanken, der uns dieses interessante Thema gegeben hat und
dieEntstehung dieser Arbeit hilfsbereit und engagiert begleitet
hat. Wir
xi
-
Einleitung
hätten uns keine bessere Betreuung wünschen
können.Desweiteren danken wir denjenigen Dozenten, die uns im
Laufe unseresStudiums besonders geprägt haben, insbesondere Marko
Roczen undWerner Kleinert, die die Algebra für uns zum Leben
erweckt habenund unsere Phantasie in diesem Gebiet beflügelt
haben, sowie DorotheeSchüth.Nicht zu vergessen ist Anne-Kathrin
Dorow, die uns im Laufe unseresStudiums bei so mancher Verwirrung
der bürokratischen Art geduldigund freundlich zur Hilfe kam.Ein
persönlicher Dank gilt unseren Familien und FreundInnen, die
unsemotional, materiell und auf vielerlei andere Art unterstützt
haben.Ohne sie wären unser Studium und diese Arbeit wohl nie zu
einem er-folgreichen Ende gekommen. Hierbei möchten wir ganz
besonders Chri-stoph Köhler danken, der uns technisch unterstützt
hat.
Berlin, 5. Mai 2009
Alexander Gollin, Andreas Steenpaß und Nadja Worliczek
xii
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Kapitel 0
Grundlagen
In diesem Kapitel tragen wir verschiedene Grundlagen zusammen,
diewir im weiteren Verlauf der Arbeit benötigen. Außerdem legen
wir hierdie Notationen und Konventionen fest, die im ganzen Buch
verwendetwerden.Alle in dieser Arbeit betrachteten Ringe und
Algebren sind bis aufexplizit gekennzeichnete Ausnahmen kommutativ
und unitär. Ringho-momorphismen bilden das Einselement stets auf
das Einselement ab.
0.1 Grundlagen aus der kommutativen Algebra
0.1.1 Krull’scher Durchschnittssatz
Wir beginnen mit einem klassischen Resultat von Krull, auf das
dannim Abschnitt 1.2 über isolierte Singularitäten
zurückgegriffen wird.
Satz 0.1 (Krull’scher Durchschnittssatz)Sei R ein noetherscher
lokaler Ring und a $ R ein echtes Ideal. Danngilt ⋂
n∈N
an = 0 .
Beweis: Siehe [Gri07][VII, Theorem 8.3]. �
Falls a das Maximalideal von R ist, gilt zusätzlich
folgendes:
Proposition 0.2 (vgl. [AM69][Proposition 8.6])Sei (R,m) ein
noetherscher lokaler Ring mit Maximalideal m. Dann giltgenau eine
der beiden folgenden Aussagen:
(i) ∀n ∈ N : mn 6= mn+1.(ii) ∃n ∈ N : mn = 0, und in diesem Fall
ist R Artinsch.
1
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Grundlagen
0.1.2 Moduln von endlicher Länge
In diesem Unterabschnitt sammeln wir einige Aussagen über
Modulnvon endlicher Länge, die wir im weiteren Verlauf der Arbeit
benötigen.
Definition 0.3Sei R ein kommutativer, unitärer Ring und M ein
R-Modul.
(i) Eine Kompositionsreihe von M ist eine echt absteigende
Kette
M = M0 ⊃M1 ⊃ . . . ⊃Mn = 0
von Untermoduln Mi von M , sodass jeder der Faktoren
Mi/Mi+1einfach ist, also keine echten Untermoduln besitzt.
(ii) Wir definieren die Länge lengthR(M) := n von M als Länge
einerKompositionsreihe von M .
Bemerkung 0.4(i) Die Definition der Länge eines Moduls M wird
dadurch gerecht-
fertigt, dass nach dem Theorem von Jordan-Hölder (vgl.
z.B.[Eis95][Theorem 2.13]) alle Kompositionsreihen von M gleich
langsind.
(ii) Ist M ein einfacher Modul, so ist der Annulator AnnR(M)
einMaximalideal und es gilt M ∼= R/AnnR(M).
Beweis: Wir beweisen nur die zweite Aussage. Da M einfach ist,
istjedes nichttriviales Element von M ein erzeugendes Element.
Indemwir 1 ∈ R auf ein solches Element abbilden bekommen wir mit
demHomomorphiesatz also einen Isomorphismus M ∼= R/AnnR(M).Das
Ideal AnnR(M) ist ein Maximalideal. Denn sonst wäre es in ei-nem
Maximalideal enthalten, und dessen Bild wäre ein
nichttrivialerUntermodul von M . �
Satz 0.5Sei R ein kommutativer, unitärer Ring und M ein R-Modul
von endli-cher Länge.Dann gilt
M ∼=⊕
m∈SpecmR
Mm .
Beweis: (vgl.[Eis95][Theorem 2.13])
2
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Wir definieren
α :M −→⊕
m∈SpecmR
Mm
x 7→ (κm(x))m∈SpecmR
wobei κm die kanonische Abbildung von M nach Mm bezeichne.Da
nach Voraussetzung n := lengthR(M) < ∞ gilt, besitzt M
eineKompositionsreihe
M = M0 ⊃M1 ⊃ . . . ⊃Mn = 0 .Wir wollen das lokal-global-Prinzip
anwenden. Dafür sehen wir unszuerst an, wie sich die Länge eines
Moduls unter Lokalisierung verhält.
• Sei n = 1. Dann ist M einfach, und damit existiert nach
Bemer-kung 0.4 ein m aus SpecmR, sodass M ∼= R/m gilt.Sei nun m̃
ein beliebiges Maximalideal von R. Dann gibt es zweiFälle,
nämlich:
1. Es gelte m̃ = m. Wegen R/m ∼= (R/m)m gilt Mm ∼= M .2. Sei m̃
6= m. Dann ist m wegen der Maximalität der beiden
Ideale nicht in m̃ enthalten. Somit ist mRm̃ = Rm̃ und
damithaben wir
Mm̃ ∼= (R/m)m̃ ∼= Rm̃/mRm̃ = 0• Sei nun n > 1 und m ⊂ R ein
Maximalideal. Da Mi/Mi+1 für
0 ≤ i ≤ n − 1 einfach ist, also Länge 1 hat, folgt mit der
voran-gegangenen Betrachtung und Bemerkung 0.4, dass
(Mi/Mi+1)m ∼={R/m, falls m = AnnR(Mi/Mi+1)
0, sonst
gilt. Wegen (Mi)m/(Mi+1)m ∼= Mi/Mi+1 erhalten wir damit
durchweglassen der doppelt vorkommenden Moduln eine
Kompositi-onsreihe
Mm = (Mi0)m ⊃ . . . ⊃ (Mik)m = 0 ,und es gilt k > 0 genau
dann, wenn ein i ∈ {0, . . . , n− 1} exis-tiert, sodass m =
AnnR(Mi/Mi+1) ist.
Nun wollen wir diese Erkenntnisse auf unser Problem anwenden.
ZumEinen folgt wegen der endlichen Länge von M , dass es nur
endlich vieleMaximalideale m ⊂ R gibt, sodass Mm 6= 0 gilt. Somit
ist die Summe
⊕
m∈SpecmR
Mm
3
-
Grundlagen
endlich.Zum anderen seien m 6= m̃ zwei Maximalideale. Dann gilt
für die Kom-ponenten der Kompositionsreihe von Mm
((Mij )m/(Mij+1)m
)m̃∼= (R/m)m̃ = 0 ,
also ist wegen der ersten Feststellung ⊕
m̃∈SpecmR
Mm̃
=
⊕
m̃∈SpecmR
(Mm̃)m = Mm .
Damit ist die lokalisierte Abbildung αm : Mm→ Mm die Identität
vonMm, also ein Isomorphismus. Nach dem lokal-global-Prinzip folgt
nun,dass auch α ein Isomorphismus sein muss. �
Bemerkung 0.6Sei R ein noetherscher Ring und M ein endlich
erzeugter R-Modul.Dann sind die folgenden Bedingungen
äquivalent:
(i) M ist von endlicher Länge
(ii) Es existiert eine endliche Familie (m1, . . . ,mn) von
Maximalidea-len von R, sodass für das Produktideal
(n∏
i=1
mi
)M = 0
gilt.
(iii) Alle Primideale p von R mit AnnR(M) ⊆ p sind maximal.(iv)
Der Ring R/AnnR(M) ist artinsch.
Beweis: vgl. [Eis95][Korollar 2.17]. �
0.1.3 Algebren und Ringerweiterungen
In diesem Unterabschnitt führen wir verschiedene Aussagen über
Al-gebren an, die im weiteren Verlauf der Arbeit benötigt
werden.
Definition 0.7Seien R und B zwei (nicht notwendig kommutative)
Ringe mit 1 undϕ : R→ B ein Ringhomomorphismus.
(i) Das Paar (B,ϕ) heißt dann R-Algebra, falls das Bild von ϕ
imZentrum von B enthalten ist.
4
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(ii) Der Homomorphismus ϕ heißt Strukturhomomorphismus
dieserAlgebra.
Interessiert uns der Strukturhomomorphismus nicht, schreibenwir
oft nur B statt (B,ϕ).
(iii) Ist der Strukturmorphismus injektiv, so betrachten wir ihn
alsInklusionsabbildung und nennen R ⊂ B eine Ringerweiterung.
Im Weiteren setzen wir voraus, dass grundsätzliche Begriffe und
Aus-sagen aus der Theorie der ganzen Ringerweiterungen bekannt
sind.
Definition 0.8Sei (B,ϕ) eine (nicht notwendig kommutative)
R-Algebra.
• B heißt ganz über R, falls ϕ(R) ⊆ B eine ganze
Ringerweiterungist. Wir nennen ϕ dann einen ganzen
Homomorphismus.
• B heißt endliche R-Algebra, falls B als R-Modul endlich
erzeugtist.
Lemma 0.9Seien R und B Ringe.
(i) Sei (B,ϕ) eine ganze R-Algebra, P ⊂ B ein Primideal und p
:=ϕ−1(P) das Urbild von P unter ϕ.Dann ist p genau dann ein
Maximalideal von R, wenn P ein Ma-ximalideal von B ist.
(ii) Sei (B,ϕ) eine endliche R-Algebra und m ein Maximalideal
vonR.
Dann liegen nur endlich viele Primideale über m, das heißt
dieMenge
{P ∈ SpecB | ϕ−1(P) = m}ist endlich.
Beweis:
(i) vgl. [Bou89][V.2, Proposition 1].
(ii) vgl. [Bou89][V.2, Proposition 3].
�
Folgende Notation ist allgemein üblich:
Bezeichnung 0.10Wir schreiben P ∩ R statt ϕ−1(P). Im Fall einer
Inklusionsabbildungentspricht das auch der mengentheoretischen
Bedeutung.
5
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Grundlagen
Korollar 0.11Sei (R,m,k) lokal und B eine endliche R-Algebra.
Dann ist B semilokalund es gilt
SpecmB = {P ∈ SpecB | P ∩R = m} .
Proposition 0.12Sei (R,m,k) lokal, B eine endliche R-Algebra und
B̄ := B/mB. Dannist die im Beweis von Satz 0.5 definierte
kanonische Abbildung
α : B̄ −→∏
n∈SpecmB
B̄n
ein Isomorphismus von R-Algebren.
Beweis: Da B eine endliche R-Algebra ist, ist B̄ eine endliche
k-Alge-bra. Da k ein Körper ist, ist B̄ somit artinsch und
noethersch über k.Da nun jeder B-Untermodul von B̄ auch ein
k-Untermodul ist, ist B̄auch über B artinsch und noethersch, also
von endlicher Länge.Damit folgt mit Satz 0.5 die Isomorphie als
B-Moduln. Da die ka-nonischen Abbildungen κn auch
Ringhomomorphismen sind, folgt dieBehauptung. �
Proposition 0.13Sei (R,m,k) lokal, B eine endlich erzeugte
R-Algebra und B̄ := B/mB.Dann sind folgende Bedingungen
äquivalent:
(i) B =∏
i∈I Bi mit Bi lokal
(ii) α : B −→ ∏n∈SpecmB Bn ist ein Isomorphismus
(iii) B̄ =∏
n∈SpecmB B̄n lässt sich zu einer Zerlegung von B liften
Beweis: vgl. [Ray70][I.1, Proposition 3]. �
Bevor wie die nächste Aussage formulieren können, benötigen
wir nocheine Bezeichnung.
Bezeichnung 0.14Wir bezeichnen das Jacobsonradikal eines (nicht
notwendig kommuta-tiven) Ringes A stets mit Jac(A).
Proposition 0.15Sei (R,m,k) ein kommutativer, lokaler Ring, B
eine (nicht notwendig
kommutative) endliche R-Algebra und B̄ := B/mB. Dann gilt
(i) mB ⊆ Jac(B)
6
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(ii) Die kanonische Projektion π : B → B̄ induziert einen
k-Algebra-Isomorphismus
B/Jac(B) ∼= B̄/Jac(B̄)(iii) B/Jac(B) ist artinsch und
halbeinfach, das heißt zu jedem echten
Linksideal I existiert ein Linksideal J , sodass B/Jac(B) = I ⊕J
.(iv) Es existiert ein k ≥ 1, sodass (Jac(B))k ⊆ mBBeweis: vgl.
[CR90][5.22]. �
0.2 Idempotente, Unzerlegbarkeit und kompletteRinge
Da unzerlegbare Moduln in späteren Kapiteln dieser Arbeit eine
we-sentliche Rolle spielen werden, charakterisieren wir sie in
diesem Ab-schnitt über gewisse Eigenschaften ihrer
Endomorphismenringe.Außerdem geben wir in diesem Abschnitt noch das
Krull-Schmidt-Azumaya-Theorem an, welches besagt, dass ein Modul
über bestimm-ten Ringen im Wesentlichen eindeutig in unzerlegbare
Moduln zerleg-bar ist.Um uns den späteren Umgang mit formalen
Potenzreihen zu erleich-tern, führen wir zudem noch zwei Sätze
an, die es uns erlauben, un-ter bestimmten Umständen Nullstellen
und Idempotente aus speziellenFaktorringen in den Ring selbst zu
liften.Da es den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde, setzen wir
die Kennt-nis der I-adischen Topologie bezüglich einem Ideal I
voraus. DieseThematik ist zum Beispiel in [AM69][Kapitel 9] gut
verständlich darge-stellt. Ebenso verzichten wir darauf, näher
auf die Theorie nichtkom-mutativer Ringe einzugehen. Eine kurze
Einführung in selbige findetsich zum Beispiel im Grundlagenkapitel
von [CR90].
Definition 0.16Sei A ein (nicht notwendig kommutativer) Ring und
M ein A-Modul.
(i) Ein Element a ∈ A heißt idempotent, falls a2 = a gilt. Wir
nennenein Element a echtes Idempotent, falls a idempotent ist und a
6∈{0, 1} gilt.
(ii) M heißt unzerlegbar, falls aus M = M1 ⊕M2 entweder M1 =
0oder M2 = 0 folgt.
Bemerkung 0.17Sei A ein beliebiger Ring und M ein A-Linksmodul.
Dann gelten fol-gende Aussagen:
7
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Grundlagen
(i) M ist genau dann unzerlegbar, wenn EndA(M) keine echten
Idem-potente besitzt.
(ii) Ist EndA(M) lokal, so ist M unzerlegbar.
Beweis:
(i) Ist M zerlegbar, so sind die Projektionen auf seine direkten
Sum-manden echte Idempotente. Ist andererseits π ∈ EndA(M)\{0,
id}ein echtes Idempotent und m ∈M . Dann gilt m = (m− π(m)) +π(m) ∈
ker π+im π. Für x ∈ ker π∩ im π erhalten wir x = π(x) =0. Also ist
M = ker π ⊕ im π. Da π| imπ = idim π gilt, folgt ausder
Voraussetzung π 6∈ {0, id}, dass beide Summanden
nichtrivialsind.
(ii) Sei EndA(M) lokal, das heißt die Summe zweier
Nichteinheitenist wieder eine Nichteinheit. Ist nun π ∈ EndA(M)
idempotent,dann gilt 0 = π(id−π). Ist π eine Nichteinheit, dann
folgt aus derLokalität von EndA(M), dass id−π eine Einheit ist.
Durch Ver-knüpfung mit dessen Inversen folgt dann π = 0. Ist π
andererseitseine Einheit, so erhalten wir analog π = id.
�
Satz 0.18 (Liftung von Idempotenten)Sei A ein (nicht notwendig
kommutativer) Ring, I ⊆ Jac(A) ein zwei-seitiges Ideal, sodass A
I-adisch komplett ist.Dann existiert zu jedem Idempotent ε ∈ A/I
ein idempotentes Elemente ∈ A mit e = ε ∈ A/IBeweis: vgl.
[CR90][6.7]. �
Definition 0.19Wir nennen einen lokalen Ring (R,m,k) komplett,
falls er m-adischkomplett ist.
Lemma 0.20Sei (R,m,k) ein kompletter, noetherscher lokaler Ring,
A eine (nichtnotwendig kommutative) als R-Modul endlich erzeugte
Algebra und Iein zweiseitiges Ideal von A, das im Jacobsonradikal
Jac(A) enthaltenist.Dann ist A bezüglich der I-adischen Topologie
komplett.
Beweis: vgl. [CR90][6.5]. �
8
-
Lemma 0.21Sei (R,m,k) ein noetherscher, kompletter, lokaler Ring
und B einenicht notwendig kommutative, endliche R-Algebra.Hat B nur
triviale Idempotente, so ist B lokal.
Beweis: Nach [CR90][5.21] genügt es zu zeigen, dass B/Jac(B)
einSchiefkörper ist.Wir nehmen an, dass dies nicht der Fall ist.
Dann besitzt B/Jac(B)ein echtes Linksideal I.Ebenfalls nach
Proposition 0.15 ist B/Jac(B) halbeinfach und artinsch,das heißt es
existiert ein Linksideal J , sodass B/Jac(B) = I ⊕ J . Alsogibt es
eine Zerlegung der Eins in Summanden aus I und J
impliziert,existiert ein echtes Idempotent ε ∈ I.Nun ist B nach
Lemma 0.20 komplett bezüglich Jac(B), und somitexistiert nach Satz
0.18 ein Idempotent e ∈ B, dessen Klasse e moduloJac(B) die
Gleichung e = ε erfüllt. Also ist e 6∈ {0, 1}. �
Korollar 0.22Sei (R,m,k) ein lokaler, kompletter, noetherscher
Ring und M einendlich erzeugter R-Modul.Dann ist M genau dann
unzerlegbar, wenn EndR(M) lokal ist.
Beweis: Da M endlich erzeugt ist, existiert ein surjektiver
Homomor-phismus Rn → M . Durch Anwendung von HomR(−,M) erhalten
wirdamit eine Einbettung von EndR(M) in HomR(R
n,M) ∼= Mn. Da Mnals endlich erzeugter Modul über einem
noetherschen Ring noetherschist, ist EndR(M) damit endlich erzeugt,
und somit lässt sich Lemma0.21 anwenden. �
Satz 0.23 (Henselsches Lemma)Sei (R,m,k) ein kompletter, lokaler
Ring und sei f ∈ R[x] ein Polynommit Koeffizienten aus R und a ∈ R.
Wir bezeichnen mit f ′ die formaleAbleitung von f .Gilt
f(a) ≡ 0 mod f ′(a)2m ,so existiert ein ein b ∈ R mit
f(b) = 0 und b ≡ a mod f ′(a)m .
Ist f ′(a) ein Nichtnullteiler, so ist b eindeutig bestimmt.
Beweis: vgl. [Eis95][Theorem 7.3] und den Beweis dazu in
[Eis95][S.202]. �
9
-
Grundlagen
Satz 0.24 (Krull-Schmidt-Azumaya)Sei (R,m,k) ein lokaler,
kompletter, noetherscher Ring und M einendlich erzeugter
R-Modul.Dann besitzt M eine endliche Zerlegung
M =r⊕
i=1
Mi
in unzerlegbare Moduln Mi. Diese Zerlegung ist bis auf
Isomorphie undReihenfolge eindeutig bestimmt.
Beweis: vgl. [CR90][6.12] �
0.3 Grundlagen aus der homologischen Algebra
0.3.1 Notation und einige grundlegende Aussagen
Wir führen in diesem Abschnitt im Wesentlichen nur unsere
Notationfür einige wichtige Begriffe der homologischen Algebra ein
und verzich-ten aus Platzgründen weitgehend darauf, die
ausführlichen Definitio-nen anzugeben. Stattdessen führen wir an
den entsprechenden StellenLiteratur an, in denen diese unserer
Meinung nach gut verständlichdargestellt sind. Ansonsten sind sie
auch in jedem beliebigen Lehrbuchzu den Grundlagen der kommutativen
Algebra zu finden.In diesem Abschnitt sei R ein kommutativer,
unitärer Ring und M einR-Modul.
Bezeichnung 0.25Für die Definitionen vgl. z.B. [Jac89][Kapitel
6].
(i) Wir bezeichnen einen Komplex mit R-Moduln Ci, i ∈ N
undDifferential (di)i∈N mit R-Homomorphismen di : Ci → Ci−1
gele-gentlich mit (Ci, di)i∈I .
(ii) Sind alle Moduln eines Komplexes frei (respektive
projektiv),nennen wir diesen Komplex einen freien (respektive
projektiven)Komplex.
(iii) Ist M ein weiterer R-Modul, (Ci, di) ein Komplex und ε :
C0 →Mein R-Homomorphismus mit ε ◦ d1 = 0, so bezeichnen wir
diesenKomplex als Komplex über M .
Die Abbildung ε nennen wir dann Augmentierung.
10
-
(iv) Sei (Ci, di) ein Komplex über M mit Augmentierung ε, so
nennenwir (Ci, di) Auflösung von M , falls er an allen Stellen
(inklusiveC0) exakt ist, und ε surjektiv ist.
Unter einer augmentierten Auflösung verstehen wir die
gesamteexakte Folge, einschließlich M und ε.
(v) Analog gehen wir bei Kokomplexen (Ci, di) mit di → di+1
undAuflösungen mit einem injektiven Homomorphismus η : M → C0mit
im η = ker d0 vor.
Nun kommen wir zu einigen der wichtigsten Funktoren in der
kommu-tativen Algebra. Dafür setzen wir die Kenntnis des Funktors
M ⊗R −und des Bifunktors HomR(−,−) voraus (vgl. zB. [Jac89]).Wird
im Folgenden ein Funktor einer Kategorie von Moduln auf
einenKomplex angewendet, so ist dies komponentenweise zu
verstehen.
Bezeichnung/Bemerkung 0.26(i) Seien C := (Ci, di) und C′ := (C
′i, d′i) Komplexe und
α := (αi) : C → C′
ein Morphismus von Komplexen.
Der Funktor Hi von der Kategorie der Komplexe von R-Modulnin die
Kategorie der R-Moduln mit
Hi(C) := ker di/ im di+1 und Hi(α) := αi ,
wobei α : Hi(C) → Hi(C′) die Klasse von c ∈ Ci auf die Klassevon
αi(c) abbildet, heißt i-ter Homologiefunktor.
Analog ist für einen Kokomplex D := (Di, δi) die i-te
Kohomolo-gie Hi(D) := ker δi/ im δi−1.
(ii) Mit TorRi (M , −) bezeichnen wir den i-ten
linksabgeleiteten Funk-tor von M ⊗R −, das heißt:Sei F = (Pi, di)
eine projektive Auflösung von N ∈ (modR), dannist
TorRi (M , N) := Hi(M ⊗ F) .
(iii) ExtiR(− , M) sei der (kontravariante) i-te
rechtsabgeleitete Funk-tor von HomR(−,M), das heißt zu einem Modul
N wählen wirwieder eine projektive Auflösung F und setzen
ExtiR(N , M) := Hi(HomR(F ,M)) .
11
-
Grundlagen
(iv) Analog definieren wir den (kovarianten) i-ten
linksabgeleitetenFunktor ExtiR(M , −) durch
ExtiR(M , N) := Hi(HomR(M, I)) ,
wobei I eine injektive Auflösung von N ist.Diese Definitionen
sind alle von der gewählten Auflösung unabhängig.
Im folgenden Lemma geben wir noch einige ausgewählte
Eigenschaftendieser Funktoren an. Für Beweise verweisen wir auf
[Jac89][Kapitel 6].
Lemma 0.27Seien N und M beliebige R-Moduln.
(i) Es gilt
Ext0R(M , N)∼= HomR(M,N) und TorR0 (M , N) ∼= M ⊗R N .
(ii) Ist der urspüngliche Funktor exakt, dann verschwinden die
i-tenabgeleiteten Funktoren für i ≥ 1.
(iii) Ist0 // N ′ // N // N ′′ // 0
eine kurze exakte Folge, dann existieren
Verbindungshomomor-phismen δi : Ext
i(M , N ′′)→ Exti(M , N ′), sodass die Folge
0 // Hom(M,N ′) // Hom(M,N) // Hom(M,N ′′)
δ1 // Ext1(M , N ′) // Ext1(M , N) // Ext1(M , N ′′) . . .
exakt ist.
Analog gibt es auch solche langen exakten Folgen für den
kontra-varianten Ext-Funktor und für Tor.
Im Unterabschnitt 0.3.4 werden wir für Ext1R(− , −) eine
äquivalenteDefinition kennenlernen, die einen Bezug zu kurzen
exakten Folgenherstellt.Nun stellen wir noch einige Begriffe und
Aussagen zusammen, die wirim Rest dieser Arbeit häufiger
benötigen.
Definition 0.28Sei M ein R-Modul. Wir nennen
proj-dim(M) := sup {n ∈ N | ∃N ∈ (modR) mit Extn(M , N) 6= 0}die
projektive Dimension von M .
12
-
Satz 0.29Seien M und M ′ zwei R-Moduln und g : M →M ′ ein
R-Modulhomo-morphismus. Weiter sei C := (Ci, di) ein projektiver
Komplex über Mmit Augmentierung ε und C′ := (C ′i, d′i) eine
Auflösung von M mitAugmentierung ε′.Dann existiert ein Morphismus
(αi) : C → C′ von Komplexen, der gliftet, das heißt das folgende
Diagramm kommutiert:
. . . // Cndn //
αn��
Cn−1 //
αn−1��
. . . // C0ε //
α0��
M //
g
��
0
. . . // C ′nd′n // C ′n−1 // . . . // C
′0
ε //M′ // 0
Diese Morphismus ist bis auf Homotopie eindeutig.
Beweis: [Jac89][Satz 6.3]. �
0.3.2 Minimale freie Auflösungen
In diesem Abschnitt setzen wir uns noch einmal gesondert mit
demBegriff der minimalen freien Auflösung auseinander, der vor
allem indem Kapitel über Matrixfaktorisierungen eine wichtige
Rolle spielenwird.Außerdem stellen wir einen Zusammenhang zwischen
Eigenschaften mi-nimaler freier Auflösungen und der minimalen
Länge eines Erzeugen-densystems eines endlich erzeugten Moduls M
her. Für letztere ver-wenden wir im Weiteren die Bezeichnung
µ(M).
Definition 0.30Sei (R,m,k) lokal und M ein endlich erzeugter
R-Modul.Eine exakte Folge
. . . // Lidi // Li−1
di−1 // . . . // L1d1 // L0
ε //M // 0
heißt (augmentierte) minimale freie Auflösung von M , falls
folgendeBedingungen erfüllt sind:
(i) Für alle i ≥ 0 ist Li frei und von endlichem Rang über
R(ii) Für alle i ≥ 1 gilt diLi ⊆ mLi−1(iii) ε ist surjektiv und
ker ε ⊆ mL0Bemerkung 0.31Bedingung (ii) ist äquivalent zu di ⊗ k =
0 und Bedingung (iii) istgleichbedeutend damit, dass ε⊗ k ein
Isomorphismus ist.
13
-
Grundlagen
Die folgende Bemerkung lässt sich mit dem Lemma von
Nakayamaleicht überprüfen.
Bemerkung 0.32Sei (R,m,k) lokal und M ein endlich erzeugter
R-Modul.Dann ist eine Familie (x1, . . . , xn) genau dann ein
minimales Erzeugen-densystem von M , wenn die Familie der Klassen
(x1, . . . , xn) modulomM eine k-Basis ist.Insbesondere ist µ(M) =
dimkM/mM = dimkM ⊗ k.Bemerkung 0.33Sei (R,m,k) ein lokaler Ring, F
= (Fi, ∂i) eine minimale Auflösungvon M und G = (Gi, di) eine
andere freie Auflösung von M , sowieα = (αi) : F → G und β = (βi)
: G → F Morphismen von Komplexen,die beide idM liften.Dann ist β ◦
α ein Automorphismus von F .Beweis: (vgl. Beweis von
[Eis95][20.2])Nach Voraussetzung liftet β ◦ α : F → F die
Identität von M . Dader Morphismus idF die Identität ebenfalls
liftet, ist β ◦ α nach Satz0.29 homotop zur Identität, das heißt
es existieren R-Homomorphismenhi : Fi → Fi+1, sodass
idFi −βi ◦ αi = ∂i+1 ◦ hi + hi−1 ◦ ∂i .Da F minimal ist, und
hi−1 ein Modulhomomorphismus ist, ist damit
im(idFi −βi ◦ αi) ⊂ mFi .Folglich ist det(βi ◦ αi) ≡ 1 mod m und
damit ist β ◦ α ein Automor-phismus von F �
Satz 0.34Sei (R,m,k) ein lokaler Ring und M ein endlich
erzeugter R-Modul,der eine minimale freie Auflösung F besitzt.
Dann gilt:
(i) Jede freie Auflösung von M ist isomorph zu einer direkten
Summevon F mit einem trivialen Komplex.
(ii) F ist bis auf Isomorphie von Komplexen eindeutig
bestimmt.Beweis: vgl. [Eis95][20.2]. �
Satz 0.35Sei (R,m,k) ein lokaler, noetherscher Ring undM ein
endlich erzeugterR-Modul.Dann besitzt M eine minimale freie
Auflösung.
14
-
Beweis: Wir konstruieren für i ≥ 0 induktiv freie Moduln Fi von
end-lichem Rang und die benötigten Abbildungen.
i = 0: Wir setzen β0 := µ(M) und F0 := Rβ0 . Weiter wählen wir
ein
minimales Erzeugendensystem (x1, . . . , xβ0) von M und eine
Basis(e1, . . . , eβ0) von F0.
Dann definieren wir
ε : F0 →M via ei 7→ xi .
i = 1: DaM also endlich erzeugter Modul über einem noetherschen
Ringnoethersch ist, ist der Untermodul ker ε endlich erzeugt. Somit
istdie Zahl β1 := µ(ker ε) endlich.
Wir setzen F0 := Rβ1 und mit einem minimalem Erzeugenden-
system (yi) von ker ε und einer Basis (bi) von F0 definieren
wir
ϕ1 : F1 → F0 via βi 7→ yi .
i > 1: Wir setzen βi := µ(kerϕi−1) und Fi := Rβi. Dann
definieren wir
die Abbildung ϕi : Ri → Fi−1 analog zu oben.
Nun zeigen wir, dass
. . . // Fiϕi // Fi−1
ϕi−1 // . . . // F1ϕ1 // F0
ε //M // 0
eine augmentierte minimale freie Auflösung von M ist.Nach
Konstruktion ist diese Folge exakt und die Fi sind frei und
vonendlichem Rang. Da ε ein minimales Erzeugendensystem von F0
aufein minimales Erzeugendensystem von M abbildet ist ε ⊗ k
wegenBemerkung 0.32 ein Isomorphismus.Da der Tensorfunktor
rechtsexakt ist, erhalten wir damit ϕ1 ⊗ k = 0.Für den Rest des
Beweises setzen wir zur Vereinheitlichung ϕ0 := ε.Für i ≥ 1 sind
wir nach Konstruktion mit der aufgespaltenen Folge
. . . // Fi+1ϕi+1 // Fi // kerϕi−1 // 0
in derselben Situation wie oben und erhalten ϕi⊗ k = 0 für alle
i ≥ 2.�
Definition 0.36Die Zahl βi(M) := βi aus obigem Beweis heißt i-te
Betti-Zahl von M .
15
-
Grundlagen
Lemma 0.37Sei (R,m,k) ein lokaler, noetherscher Ring undM ein
endlich erzeugterR-Modul mit minimaler, freier Auflösung
F : . . . // Fi di // Fi−1di−1 // . . . // F1
d1 // F0ε //M // 0
Dann gilt für alle i ≥ 0
rankFi = dimk Tori(k , M)
Beweis: vgl. [Mat89][§19, Lemma 1.(i)]. �
Bemerkung 0.38Seien R und M wie oben. Dann gilt:
(i) proj-dimM = sup {d | Tord(k , M) 6= 0}
(ii) dimk Tori(k , M) = βi(M)
(iii) M besitzt genau dann eine minimale, freie Auflösung der
Länged, wenn proj-dimM = d gilt.
Beweis: vgl. [BH98][1.3.2]. �
0.3.3 Syzygien
Die Bedeutung von Syzygien für diese Arbeit besteht unter
anderem indem in Korollar 0.89 dargestellten Zusammenhang zur
Cohen-Macau-lay-Eigenschaft. Wir geben hier nur die Definition und
naheliegendeFolgerungen an.
Definition 0.39Sei R ein lokaler noetherscher Ring und sei
0 −→ N −→ Fn−1 −→ Fn−2 −→ . . . −→ F1 −→ F0 −→M −→ 0
eine exakte Folge von R-Moduln von endlichem Typ, wobei die
R-Moduln Fi frei seien. Denn heißt N eine n-te Syzygie von M .
Falls dieTeilfolge
Fn−1 −→ Fn−2 −→ . . . −→ F1 −→ F0 −→ M −→ 0
eine minimale freie Auflösung von M ist, heißt N eine
reduzierte n-teSyzygie.
16
-
Bemerkung 0.40Nach den Sätzen 0.34 und 0.35 besitzt ein ModulM
von endlichem Typüber einem lokalen noetherschen Ring stets eine
bis auf Isomorphie ein-deutige minimale freie Auflösung. Deshalb
ist auch die reduzierte n-teSyzygie von M bis auf Isomorphie
eindeutig bestimmt. Wir bezeichnensie mit syzn(M) und legen als
Konvention syz0(M) := 0 fest.Weil die freie Auflösung in diesem
Fall minimal ist, besitzt syzn(M)keinen freien direkten Summanden.
Wegen Satz 0.34 (i) gilt für einebeliebige n-te Syzygie N von M
stets N = syzn(M) ⊕ G mit einemgeeigneten freien R-Modul G.Für
einen freien R-Modul F ist die minimale freie Auflösung durch
. . . −→ 0 −→ 0 −→ F idF−→ F −→ 0
gegeben, daher gilt in diesem Fall syzn(F ) = 0 für alle n ∈
N.
0.3.4 Zerfallende Morphismen und Erweiterungen
In diesem Abschnitt des Grundlagenkapitels wollen wir den
Begriff deszerfallenden Morphismus einführen, der später in Bezug
auf die AR-Folgen und die AR-Köcher von großer Bedeutung sein
wird. Deswei-teren wollen wir Erweiterungen definieren und ihren
Zusammenhangzum Ext-Funktor klären.
Zerfallende Morphismen
Definition 0.41Ein Modulhomomorphismus f : M → N heißt
zerfallender Monomor-phismus , falls f ein Linksinverses besitzt,
d. h. es existiert ein Morphis-mus h : N →M mit h ◦ f = idM .f
heißt zerfallender Epimorphismus, falls f ein Rechtsinverses
besitzt,das bedeutet, es existiert ein Morphismus h : N →M mit f ◦h
= idN .f zerfällt beziehungsweise ist ein zerfallender Morphismus,
wenn er ent-weder zerfallender Monomorphismus oder zerfallender
Epimorphismusist.
Daraus ergibt sich unmittelbar die
Bemerkung 0.42Der Morphismus f : M → N ist genau dann ein
zerfallender Mono-morphismus (Epimorphismus), wenn M direkter
Summand von N(Ndirekter Summand von M) ist. �
Wir kommen nun zu einigen Eigenschaften von zerfallenden
Morphis-men. Dazu erinnern wir, dass ein Modul N 6= 0 unzerlegbar
heißt, falls
17
-
Grundlagen
für Untermoduln N1 und N2 von N mit der Eigenschaft N = N1
⊕N2folgt, dass N1 = 0 oder N2 = 0 ist.
Lemma 0.43Seien M 6= 0 und N 6= 0 zwei R-Moduln sowie g : M → N
ein R-Homomorphismus, dann gilt:
(i) Falls N unzerlegbar ist, dann ist g genau dann ein
zerfallenderMonomorphismus, wenn g bereits ein Isomorphismus
ist.
(ii) Falls M unzerlegbar ist, dann ist g genau dann ein
zerfallenderEpimorphismus, wenn g bereits ein Isomorphismus
ist.
Beweis:(i) Falls g ein Isomorphismus ist, dann ist er
automatisch auch einzerfallender Monomorphismus, da ein
Linksinverses zu g existiert. Um-gekehrt folgt, dass M direkter
Summand von N ist und mit der Unzer-legbarkeit von N muss g bereits
ein Isomorphismus sein.Die Aussage (ii) wird analog zu (i)
bewiesen. �
Lemma 0.44Es sei (R,m,k) ein kompletter, lokaler Ring und f : M
→ L sowie g :N → LMorphismen von R-Moduln, die keine zerfallenden
Epimorphis-men sind. Ist L unzerlegbar, dann ist der durch die
Universaleigenschaftder direkten Summe gegebene Homomorphismus (f,
g) : M ⊕ N → Lauch kein zerfallender Epimorphismus.
Beweis:Angenommen (f, g) sei ein zerfallender Epimorphismus.
Dann existiertein Rechtsinverses h : L→M ⊕N mit (f, g)◦h = idL. Nun
stellen wirh = (ab ) in seinen Komponentenfunktionen a : L→ M und b
: L→ Ndar, d. h. für l ∈ L ist
h(l) = a(l) + b(l) ,
dann giltidL = (f, g) ◦ (ab ) = f ◦ a+ g ◦ b .
Mit 0.24 wissen wir, dass EndR(L) lokal ist und somit die Summe
vonNichteinheiten wieder eine Nichteinheit ist. Daraus folgt, dass
entwederf ◦ a oder g ◦ b eine Einheit sein muss. Dies ist jedoch
ein Widerspruchzum Nichtzerfallen von f und g. �
Lemma 0.45Es sei (R,m,k) ein kompletter lokaler Ring, f : N → M
ein R- Mo-dulhomomorphismus und N =
⊕iNi die im Wesentlichen eindeutige
18
-
Zerlegung von N in seine unzerlegbaren Untermoduln nach 0.24.
Wirdefinieren weiterhin Mj := M/f(
∑i6=j Ni) und
fj : Nj →Mjnj 7→ πj ◦ f(nj) ,
wobei πj die Projektion von M auf Mj ist. Falls alle fj
zerfallendeMonomorphismen sind, so ist auch f ein zerfallender
Monomorphismus.
Beweis:Die Wohldefiniertheit der fj ’s ist klar durch die
Konstruktion. Da allefj zerfallende Monomorphismen sind, existieren
deren Linksinverse hj :Mj → Nj mit hj ◦ fj = idNj . Der Morphismus
h : M → N sei definiertdurch h =
∑j hj ◦ πj. Wir zeigen nun, dass h das Linksinverse von f
ist; dazu sei n ∈ N gegeben. Dann existiert genau ein j0 mit n ∈
Nj0und es gilt f(n) = f|Nj0 (n). Daraus folgt:
h ◦ f(n) =(∑
i
hi ◦ πi)
(f|Nj0 (n)) =∑
i
hi ◦ ((πi ◦ f|Nj0 )(n))
= hj0 ◦ ((πj0 ◦ f|Nj0 )︸ ︷︷ ︸= fj0
(n)) = idNj0 (n)
Damit ist die Behauptung bewiesen. �
Erweiterungen und der Ext-Funktor
Es sei R ein kommutativer Ring mit 1 und wir bezeichnen mit
(modR)die abelsche Kategorie der R-Moduln.
Definition 0.46• Es seien M und N zwei R-Moduln. Eine
Erweiterung von N nachM ist eine kurze exakte Folge
s : 0→ N → E → M → 0in (modR).
• Ein Morphismus ∆ : s → s′ von zwei Erweiterungen ist ein
Tri-pel ∆ = (α, β, γ) von R-Homomorphismen, so dass das
folgendeDiagramm kommutiert
s : 0 N E M 0
s′ : 0 N ′ E ′ M ′ 0
-
?
α
-
?
β
-
?
γ
-
- - - -
.
19
-
Grundlagen
• Zwei Erweiterungen s und s′ von N nach M heißen kongruent(s ≡
s′), falls es einen Morphismus ∆ = (idN , β, idM) von s nachs′
gibt.
Beispiel 0.47Seien M,N ∈ (modR), dann ist die Folge
0→ N ι→ N ⊕M π→M → 0
mit der natürlichen Inklusion ι und der natürlichen Projektion
π exaktin (modR) und somit eine Erweiterung von N nach M . Diese
Folgewird oft auch die triviale Folge beziehungsweise die triviale
Erweiterunggenannt.
Bemerkung 0.48Für zwei kongruente Erweiterungen s und s′ mit ∆
= (idN , β, idM)gilt offensichtlich, dass β ein Isomorphismus sein
muss. Damit wirdersichtlich, dass durch≡ eine Äquivalenzrelation
auf den Erweiterungenvon N nach M gegeben ist.
Definition 0.49Wir bezeichnen mit ExtR(M , N) die Menge aller
Kongruenzklassenvon Erweiterungen von N nach M .
Bemerkung 0.50 (zerfallende Folge)Eine Erweiterung
s : 0→ N i→ E p→M → 0
heißt zerfallend , wenn sie kongruent zu der trivialen
Erweiterung ausBeispiel 0.47 ist. Dies ist äquivalent dazu, dass i
ein zerfallender Mo-nomorphismus oder p ein zerfallender
Epimorphismus ist.
Beweis:Falls s zerfällt, so gibt es einen Isomorphismus β : E →
N ⊕M , d. h.N und M sind direkte Summanden von E. Somit muss nach
Korollar0.42 der Morphismus i ein zerfallender Mono- und der
Morphismus pein zerfallender Epimorphismus sein.Sei umgekehrt i ein
zerfallender Monomorphismus, dann ist N ein di-rekter Summand von
E, d. h. E ≃ N ⊕ N ′ für ein R-Modul N ′. Dajedoch im(p) ≃ E/
ker(p) ≃ E/ im(i) ≃ N ′ gilt, istM ≃ N ′ ein direkter
20
-
Summand von E und es existiert das folgende kommutative
Diagramm
s : 0 N E M 0
0 N N ⊕M M 0
-
?
idN
-
?
∃β ≃
-
?
idM
-
- - - -
.
Somit ist s kongruent zur trivialen Erweiterung. �
Als nächstes werden wir zeigen, dass Ext(− , −) ein kovarianter
Funk-tor in der zweiten Komponente und kontravariant in der ersten
Kom-ponente ist.
Lemma 0.51Sei s ∈ ExtR(N , M) eine Erweiterung und α : N → N ′
ein R-Homomorphismus, dann existiert eine Erweiterung s′ ∈ ExtR(N ′
, M)und ein Morphismus ∆ = (α, β, idM) von s nach s
′. Die Erweiterung s′
ist dabei bis auf Kongruenz eindeutig und wir bezeichnen sie mit
αs.
Beweis:Um die Existenz zu beweisen, müssen wir einen R-Modul E
′ und Mor-phismen i′, β und p′ finden, so dass das folgende
Diagramm kommutiertund die untere Folge s′ exakt ist:
s : 0 N E M 0
s′ : 0 N ′ E ′ M 0
-
?
α
-ip
p
p
p
p
p
p
p
p
p?
β
-p
?
idM
-
- p p p p p p p p-i′
p p p p p p p p p-p′
-
Betrachten wir die direkte Summe N ′ ⊕E und den Untermodul
Q := {(−α(n), i(n)) ∈ N ′ ⊕ E|n ∈ N} ⊆ N ′ ⊕ E ,
dann setzen wir E ′ := (N ′ ⊕ E)/Q und definieren die gesuchten
Mor-phismen wie folgt:
i′ : N ′ → E ′ , p′ : E ′ → M , β : E → E ′n′ 7→ [(n′, 0)] [(n′,
e)] 7→ p(e) e 7→ [(0, e)]
Dabei ist p′ wohldefiniert, weil für alle n ∈ N gilt:
p′(0) = p′([(−α(n), i(n))]) = p(i(n)) = 0
21
-
Grundlagen
s′ ist exakt
• Der Morphismus i′ ist injektiv.Sei n′ ∈ ker(i′), dann ist
i′(n′) = [(n′, 0)] = [0], d. h. es existiert einn ∈ N mit (n′, 0) =
(−α(n), i(n)). Daraus folgt, dass n′ = −α(n)und i(n) = 0 ist. Da i
injektiv ist, muss n = 0 sein und somitauch n′ = 0.
• Der Morphismus p′ ist surjektiv.Sei m ∈M , dann existiert ein
e ∈ E mit p(e) = m, da p projektivist. Somit ist [(0, e)] ein
Urbild von m unter p′.
• ker(p′) = im(i′).Offensichtlich ist p′ ◦ i′ = 0, d. h. im(i′)
⊆ ker(p′).Sei nun [(n′, e)] ∈ ker(p′), dann ist e ∈ ker(p) = im(i),
d. h. esexistiert ein n ∈ N mit i(n) = e. Weiterhin gilt jedoch in
E ′:
[(0, i(n))] = [(α(n)− α(n), i(n))] = [(α(n), 0) + (−α(n),
i(n))]= [(α(n), 0)] + [(−α(n), i(n))] (0.3.1)= [(α(n), 0)]
Damit ist
i′(n′ + α(n)) = [(n′, 0)] + [(α(n), 0)] = [(n′, i(n))] = [(n′,
e)] .
Das Diagramm kommutiert
Da p′(β(e)) = p′([(0, e)]) = p(e) ist, kommutiert das rechte
Quadrat.Das linke Quadrat kommutiert wegen
(i′ ◦ α)(n) = [α(n), 0] 0.3.1= [(0, i(n))]= (β ◦ i)(n) .
Damit ist die Existenz der Erweiterung s′ bewiesen.Für die
Eindeutigkeit sei
s′′ : 0→ N ′ i′′
→ E ′′ p′′
→M → 0eine andere Erweiterung für die ein Morphismus β ′′
existiert, so dass(α, β ′′, idM) ein Morphismus von s nach s
′′ ist. Der R-Homomorphismus
β ′ : E ′ → E ′′[(n′, e)] 7→ i′′(n′) + β ′′(e)
ist wohldefiniert, da
β ′([0]) = β ′([(−α(n), i(n))]) = i′′(−α(n)) + β ′′(i(n))︸ ︷︷
︸=α(n)
= 0 .
22
-
Das Diagramm
s′ : 0 N ′ E ′ M 0
s′′ : 0 N ′ E ′′ M 0
-
?
idN′
-i′
?
β′
-p′
?
idM
-
- -i′′
-p′′
-
kommutiert, da β ′(i′(n′)) = β ′([(n′, 0)]) = i′′(n′) ist und es
gilt:
(p′′ ◦ β ′)([(n′, e)]) = p′′(i′′(n′) + β ′′(e))= 0 + p′′(β
′′(e)) = p(e)
= p′([(n′, e)])
�
Satz 0.52Wir bezeichnen mit (set) die Kategorie der Mengen, dann
ist die Ab-bildung
ExtR(M , −) : (modR)→ (set)N 7→ ExtR(M , N)α 7→ ExtR(M , α)(s)
:= αs
ein kovarianter Funktor von der Kategorie der R-Moduln in die
Kate-gorie der Mengen.
Beweis:Wegen Lemma 0.51 ist die Abbildung wohldefiniert und es
gilt
ExtR(M , idN )(s) = idN s ≡ s
für alle Erweiterungen s ∈ ExtR(M , N). Durch die Konstruktion
inLemma 0.51 ist
ExtR(M , α ◦ β)(s) ≡ ExtR(M , α)(ExtR(M , β)(s))
für alle Erweiterungen s ∈ ExtR(M , N). �
Lemma 0.53Sei s ∈ ExtR(N , M) eine Erweiterung und γ : M ′ → M
ein R-Homomorphismus, dann existiert eine Erweiterung s′ ∈ ExtR(N ,
M ′)und ein Morphismus ∆ = (idN , β, γ) von s
′ nach s. Die Erweiterung s′
ist dabei bis auf Kongruenz eindeutig und wir bezeichnen sie mit
sγ.
23
-
Grundlagen
Beweis:Der Beweis verläuft analog wie der Beweis zu Lemma 0.51.
Um dieExistenz des kommutativen Diagramm
s′ : 0 N E ′ M ′ 0
s : 0 N E M 0
-
?
idN
p p p p p p p p-i′
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p?
β
p p p p p p p p-p′
?
γ
-
- -i -p -
zu zeigen, wählen wir für E ′ den Untermodul von E ⊕M ′ mitE ′
= {(e,m′) ∈ E ⊕M ′| p(b) = γ(m′)} .
Die dazugehörigen Morphismen sind
i′ : N → E ′ , p′ : E ′ →M ′ , β : E ′ → En 7→ (i(n), 0) (e,m′)
7→ m′ (e,m′) 7→ e .
Für die Eindeutigkeit sei
s′′ : 0→ N i′′
→ E ′′ p′′
→ M ′ → 0eine andere Erweiterung, so dass (idN , β
′′, γ) : s′′ → s existiert, dannerhalten wir mit (idN , β
′, idM ′), wobei
β ′ : E ′′ → E ′e′′ 7→ (β ′′(e′′), p′′(e′′))
ist, eine Kongruenz s′′ ≡ s′. �
Satz 0.54Wir bezeichnen mit (set) die Kategorie der Mengen, dann
ist die Ab-bildung
ExtR(− , N) : (modR)→ (set)M 7→ ExtR(M , N)γ 7→ ExtR(γ , N)(s)
:= sγ
ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der R-Moduln in
dieKategorie der Mengen.
Beweis:Der Beweis verläuft analog zum Beweis von Satz 0.52.
�
Wir wollen nun die Menge ExtR(M , N) mit einer
Gruppenstrukturversehen. Dazu seien die folgenden zwei Morphismen
definiert:
24
-
Definition 0.55Der Diagonalhomomorphismus eines Moduls M ist der
R- Homomor-phismus
△ (M) : M →M ⊕Mm 7→ (m,m)
und der Kodiagonalhomomorphismus eines Moduls N ist der R-
Ho-morphismus
▽(N) : N ⊕N → N(n1, n2) 7→ n1 + n2 .
Weiterhin bezeichnen wir für zwei Erweiterungen
sj : 0→ Njij→ Ej
pj→Mj → 0
mit s1 ⊕ s2 die Erweiterung der direkten Summe, d. h.
s1 ⊕ s2 : 0→ N1 ⊕N2 i1⊕i2−→ E1 ⊕ E2 p1⊕p2−→ M1 ⊕M2 → 0
mit
(i1 ⊕ i2)(n1, n2) = (i1(n1), i2(n2)) und(p1 ⊕ p2)(e1, e2) =
(p1(e1), p2(e2)) .
Satz 0.56Für zwei R-Moduln M und N wird die Menge ExtR(M , N)
mittelsder Operation
+ : ExtR(M , N)× ExtR(M , N)→ ExtR(M , N)(s1, s2) 7→ ▽(N)(s1 ⊕
s2)△(M)
zu einer abelschen Gruppe.
Beweis: siehe [ML75][III Theorem 2.1] �
Bemerkung 0.57Das Nullelement in der Gruppe ExtR(M , N) ist die
zerfallende Folgeund das Inverse zu einer Erweiterung s ist −idN s.
Außerdem gilt fürα1, α2 ∈ HomR(N,N ′) und γ1, γ2 ∈ HomR(M
′,M):
α1+α2s ≡ α1s+ α2s sγ1+γ2 ≡ sγ1 + sγ2
25
-
Grundlagen
Bemerkung 0.58Sei L ein R-Modul, dann können wir mit 0.51 und
0.53 für eine exakteFolge
s : 0→ N i→ E p→M → 0die Abbildungen
s∗ : HomR(L,M)→ ExtR(L , N)α 7→ αs
s∗ : HomR(N,L)→ ExtR(M , L)γ 7→ sγ
definieren, die nach 0.57 sogar Gruppenhomomorphismen sind. Sie
wer-den die Verbindungshomomorphismen von s genannt.Es entstehen
somit zwei exakte Folgen
0→ HomR(L,N) i∗→ HomR(L,E) p∗→ HomR(L,M)s∗→ ExtR(L , N)
ExtR(L , i)−→ ExtR(L , E)ExtR(L , p)−→ ExtR(L , M)→ . . .
0→ HomR(M,L) p∗→ HomR(E,L) i∗→ HomR(N,L)s∗→ ExtR(M , L)
ExtR(p , L)−→ ExtR(E , L)ExtR(i , L)−→ ExtR(N , L)→ . . . ,
die die langen exakten Folgen von s heißen.
Beweis: [ML75][III. 3.1 - 3.4] �
An dieser Stelle verweisen wir den Leser auf [ML75][III.3 ff],
um sichweiter mit dem Bifunktor ExtR(− , −) auseinanderzusetzen.
Dazu ge-hören die Verallgemeinerung des Erweiterungsbegriffes auf
längere ex-akte Folge und der dazugehörigen Definition von
Extn.Weiterhin setzen wir für die folgenden Kapitel das
Verständnis über dieäquivalente Definition des Ext-Funktors als
linksabgeleiteten Funktordes Hom-Funktors (0.3.2 und [ML75][III.6.4
bzw. III.8.2]) beziehungs-weise über die axiomatische Beschreibung
von Ext ([ML75][III.10.2])voraus. Dabei sei darauf hingewiesen,
dass die lange exakte Folge ausder axiomatischen Beschreibung durch
die Verbindungshomomorphis-men s∗ beziehungsweise s
∗ gewonnen wird.
0.4 Reguläre Folgen
0.4.1 Definition und erste Eigenschaften
Im Rest dieses Unterabschnittes sei (R,m,k) ein lokaler,
noetherscherRing und M 6= 0 ein endlich erzeugter R-Modul. ,
26
-
Definition 0.59(i) Ein Element x ∈ m ist ein M-reguläres
Element, falls x ein Nicht-
nullteiler auf M ist, das heißt xm 6= 0 für alle m ∈M \
{0}.
(ii) Eine Folge x = (x1, . . . , xn) mit xi ∈ m für 1 ≤ i ≤ n
heißtM-reguläre Folge oder M-Folge, falls mit x0 = 0 jedes xi mit1
≤ i ≤ n ein M/(x0 . . . , xi−1)M-reguläres Element ist.
(iii) Eine Folge x = (x1, . . . , xn) mit Einträgen aus m heißt
maximaleM-Folge, falls x eine M-reguläre Folge ist und für alle y
∈ m dieFolge (x1, . . . , xn, y) nicht M-regulär ist.
(iv) Wir nennen
depthR(M) := sup {n ∈ N | es gibt eine M-Folge (x1, . . . ,
xn)}
die Tiefe von M über R.
Bemerkung 0.60JedeM-reguläre Folge lässt sich zu einer
maximalenM-Folge erweitern.
Beweis: Sei x = (x1, . . . , xr) eine M-reguläre Folge. Direkt
aus derDefinition einer regulären Folge folgt, dass
(x1) ⊂ (x1, x2) ⊂ . . . ⊂ (x1, . . . , xr)
eine echt aufsteigende Kette von Idealen ist.Gibt es nun einen
Nichtnullteiler auf M/xM , so können wir diesen zuder Folge
hinzufügen, ohne etwas an der M-Regularität zu ändern
underhalten folglich eine längere Kette von Idealen. Da R
noethersch istwird diese Kette irgendwann stationär, das heißt die
Folge kann nichtmehr regulär erweitert werden. �
Lemma 0.61Folgende Bedingungen sind äquivalent:
(i) depthM = 0
(ii) Alle Elemente von m sind Nullteiler auf M
(iii) m ∈ Ass(M)
(iv) HomR(k,M) 6= 0
Beweis: Die Beziehungen (i)⇔(ii) und (iii)⇒(ii) folgen direkt
aus denentsprechenden Definitionen.
27
-
Grundlagen
(ii)⇒(iii): Nach [Eis95][Th. 3.1] ist die Menge der Nullteiler
von Min der Vereinigung der zu M assoziierten Primideale enthalten.
Somithaben wir nach Voraussetzung
m ⊆⋃
p∈Ass(M)
p .
Mithilfe des”Prime Avoidance“-Lemmas (vgl. z.B. [Eis95][Lemma
3.3])
und der Maximaliät von m folgt damit die Behauptung.(iii)⇒(iv):
Da m zu M assoziiert ist, existiert ein m ∈ M \ {0}, so-dass m =
AnnR(m). Somit ist der R-Homomorphismus, der r ∈ Rauf rm ∈ M
abbildet, nicht der Nullhomomorphismus und hat denKern m. Somit
existiert nach dem Homomorphiesatz ein nichttrivialerHomomorphismus
von k = R/m nach M .(iv)⇒(iii): Wir bezeichnen die Klasse eines
Elements r ∈ R in k mitr. Sei ϕ : k → M mit ϕ(1) = m ∈ M und x ∈ m.
Da ϕ ein R-Homomorphismus ist, gilt mx = ϕ(x1) = ϕ(x) = 0. Wegen
der Maxi-malität von m gilt damit m = Ann(m), also ist m ∈ Ass(M).
�
Korollar 0.62Sei x eine M-reguläre Folge. Dann ist x genau dann
maximal, wennHomR(k,M/xM) 6= 0 gilt.
Satz 0.63Sei x eine M-reguläre Folge der Länge n. Dann
gilt
ExtiR(k , M) =
{0 für i < n
HomR(k,M/xM) für i = n
Beweis: Wir beweisen den Satz durch Induktion über n.
n = 0: Es gilt allgemein
Ext0(k , M) ∼= Hom(k,M)
n = 1: Da x = (x) eine M-reguläre Folge der Länge 1 ist, ist
nach Lemma0.61
0 = Hom(k,M) ∼= Ext0(k , M) .Da x ein Nichtnullteiler auf M ist,
ist die Multiplikation mit xein Monomorphismus von M , den wir
ebenfalls mit x bezeichnen.Daher ist die Folge
s : 0 //Mx //M //M/xM // 0
28
-
exakt. Wegen x ∈ m, gilt xExt1(k , M) = 0. Da wir
zusätzlichExt1(k , x) = x haben, bekommen wir durch Aufspaltung
der zus gehörigen langen exakten Folge die kurze exakte Folge
0 // Hom(k,M/xM) // Ext1(k , M) // 0 ,
und damit gilt
Hom(k,M/xM) ∼= Ext1(k , M) .
n > 1: Sei x = (x1, . . . , xn). Analog zu oben betrachten
wir die exakteFolge
0 //Mx1 //M //M/x1M // 0
und erhalten nach Induktionsvoraussetzung durch passende
Auf-spaltungen der langen exakten Folge für 2 ≤ i ≤ n− 1
0 = Exti−1(k , M/x1M) // Exti(k , M) // 0 ,
also Exti(k , M) = 0 für i < n, und
0 // Hom(k,M/xM) // Extn(k , M) // 0 ,
und folglich die Isomorphie der beiden Moduln.
�
Korollar 0.64Es gilt
(i) depthM ist die gemeinsame Länge aller maximalen
M-regulärenFolgen
(ii) depthM = min {n | Extn(k , M) 6= 0}(iii) Sei x ein
m-reguläres Element. Dann gilt
depth(M/xM) = depth(M)− 1 .
Beweis:
(i) Sei x eine maximale M-Folge der Länge n und x′ eine
maximaleM-Folge mit Länge m.
Wäre nun n < m dann gälte wegen Satz 0.63 und Lemma
0.61
0 6= Extm(k , M) = 0 .Dies wäre aber ein Widerspruch, also ist
m = n. Da damit keineM-Folgen existieren, die länger als n sind,
gilt nach DefinitiondepthM = n.
29
-
Grundlagen
(ii) Diese Aussage folgt direkt aus Satz 0.63.
(iii) Wir erweitern x zu einer maximalen M-Folge (x, x2, . . . ,
xn).
Dann ist (x2, . . . , xn) eine maximale M/xM-Folge.
�
Lemma 0.65Sei (R,m,k) lokal, (noethersch) und F , G endlich
erzeugte R-Moduln,F frei und ϕ : F → G ein R-Modulhomomorphismus.
Sei weiter M einendlich erzeugter R-Modul mit m ∈ AssM , sodass ϕ⊗M
injektiv ist.Dann gilt:
(i) ϕ⊗ k ist injektiv.
(ii) Ist G ebenfalls frei, so ϕ injektiv und imϕ ist ein
direkter Sum-mand von G.
Beweis: vgl. [BH98][Lemma 1.3.4] �
Lemma 0.66Sei (R,m) lokal M ein R-Modul, x eine M-reguläre
Folge und
N : . . . Nm //ϕm // Nm−1 // . . . // N0
ϕ0 //M // 0
eine reguläre Folge.Dann ist auch N ⊗ R/(x) exakt.Beweis: vgl.
[BH98][Proposition 1.1.5] �
Bemerkung 0.67Sei (R,m,k) ein lokaler, noetherscher Ring und
0 // U //M // N // 0
eine kurze exakte Folge von endlich erzeugten R-Moduln. Dann
geltenfolgende Abschätzungen:
(i) depth(M) ≥ min {depth(U), depth(N)}
(ii) depth(U) ≥ min {depth(M), depth(N) + 1}
(iii) depth(N) ≥ min {depth(U)− 1, depth(M)}
Beweis: [BH98][Proposition 1.2.9] �
30
-
Lemma 0.68Sei (R,m,k) ein lokaler, noetherscher Ring, M ein
endlich erzeugterR-Modul und x eine M-reguläres Element. Dann
gilt
depthR/(x) M/xM = depthRM − 1 .
Beweis: vgl. [BH98][1.2.10]. �
0.4.2 Tiefe und Dimension
Die Krull-Dimension eines Ringes ist ein grundlegender Begriff
derkommutativen Algebra. Er lässt sich zur Dimension von Moduln
ver-allgemeinern, die sich als obere Schranke für die im
vorhergehendenAbschnitt eingeführte Tiefe herausstellt. Dieser
Zusammenhang moti-viert die Definition von maximalen
Cohen-Macaulay-Moduln in Ab-schnitt 0.5.Im ganzen Unterabschnitt
0.4.2 sei (R,m,k) ein lokaler noetherscherRing mit Maximalideal m
und Restklassenkörper k.
Definition 0.69Die Krull-Dimension von R ist definiert als
dim(R) := sup {n ∈ N | ∃ p0 $ p1 $ . . . $ pn mit pi ∈ Spec(R)}
.
Die Dimension eines R-Moduls M ist definiert als
dim(M) := dim(R/Ann(M)) .
Für den Beweis des nachfolgenden Zusammenhangs zwischen Tiefe
undDimension benötigen wir zunächst noch eine weitere
Definition.
Definition 0.70Die Menge
supp(M) := {p ∈ Spec(R) | Ann(M) ⊆ p}
heißt der Träger des R-Moduls M .
Lemma 0.71Für jeden R-Modul M von endlichem Typ gilt
depth(M) ≤ dim(M) .
31
-
Grundlagen
Beweis: Sei (x1, . . . , xn) eine maximale M-reguläre Folge.
Weil die Di-mension eines Rings stets nicht-negativ ist, genügt
es,
dim(M/(x1, . . . , xn)M) ≤ dim(M)− n
zu zeigen. Wegen
M/(x1, . . . , xn)M ∼= (M/(x1, . . . , xi−1)M)/
(xi)(M/(x1, . . . , xi−1)M)
folgt dies durch Induktion, falls für jedes M-reguläre Element
x dieBeziehung dim(M/(x)M) ≤ dim(M)− 1 gilt.Sei x ∈ R ein
beliebiges M-reguläres Element. Die Dimension einesModuls lässt
sich auch in der Form
dim(M) = dim(R/Ann(M))
= sup {n ∈ N | ∃ p0 $ . . . $ pn, pi ∈ supp(M)}= sup {dim(R/p) |
p ∈ supp(M)}
ausdrücken. Damit erhält der obige Induktionsanfang die
Form
sup {dim(R/p) | p ∈ supp(M/(x)M)}≤ sup {dim(R/p) | p ∈ supp(M)}
− 1 .
Der Beweis dieser Ungleichung erfolgt in drei Schritten:
1. Es gilt supp(M/(x)M) ⊆ supp(M).Sei p ∈ supp(M/(x)M). Dann
gilt p ⊇ Ann(M/(x)M) ⊇ Ann(M) undsomit p ∈ supp(M).2. Die
bezüglich ⊆ minimalen Elemente von supp(M) liegen in Ass(M).Der
Beweis dieses Schritts geht auf [Ser00][I, Theorem 1 und
Proposi-tion 6] zurück.Sei p bezüglich ⊆ minimal in supp(M). Wir
beginnen mit dem Beweisvon supp(Mp) = {pRp}, wobei Mp als Rp-Modul
aufzufassen ist. Je-des Element in supp(Mp) ist von der Form qRp,
wobei q ∈ Spec(R)ein Primideal ist, für das q ⊆ p gilt. Für y ∈
Ann(M) liegt y
1in
Ann(Mp) ⊆ qRp, woraus y ∈ q folgt. Daher gilt Ann(M) ⊆ q und
äqui-valent q ∈ supp(M). Weil p als minimal mit dieser Eigenschaft
gewähltwar, erhalten wir q = p und insgesamt supp(Mp) =
{pRp}.Wegen p ∈ supp(M) ist Mp nicht der Nullmodul. In diesem Fall
giltAss(Mp) 6= ∅, siehe [Ser00][I, Korollar 1 zu Proposition 5].
Direktaus den Definitionen dieser Mengen lässt sich Ass(Mp) ⊆
supp(Mp)ableiten. Weil supp(Mp) wie soeben gezeigt nur ein Element
enthält,liegt dieses Element pRp also auch in Ass(Mp), das heißt
es existiertms∈Mp, sodass pRp = AnnRp
(ms
)gilt.
32
-
Für das Ideal a := AnnR(m) gilt aRp = pRp. Weil der Ring R
noe-thersch ist, ist p ein endlich erzeugtes Ideal. Sei (p1, p2, .
. . , pl) ein Er-zeugendensystem von p. Für i ∈ {1, . . . , l}
existiert wegen pi
1·ms
= 01
einElement ti ∈ R \ p mit tipi ∈ AnnR(m) = a. Mit t := t1 · . .
. · tl ∈ R \ perhalten wir tp ⊆ a.Zum anderen folgt aus aRp = pRp
auch a ⊆ p. Die beiden Aussagenzusammen implizieren AnnR(tm) = p
und damit p ∈ Ass(M).3. Für alle p ∈ Ass(M) gilt p /∈
supp(M/(x)M).Sei p ein zu M assoziiertes Primideal.
Definitionsgemäß existiert dannein Element m ∈ M , für das p =
AnnR(m) gilt. Wegen xm 6= 0 liegtx nicht in p. Offenbar gilt aber x
∈ AnnR(M/(x)M). Insgesamt folgtAnnR(M/(x)M) * p, dies ist
äquivalent zu p /∈ supp(M/(x)M). �
0.4.3 Tiefe und projektive Dimension
In diesem Abschnitt beweisen wir die
Auslander-Buchsbaum-Formel,die einen Zusammenhang zwischen den
Begriffen der Tiefe und der pro-jektiven Dimension eines Moduls
über einem lokalen noetherschen Ringist, und ein unverzichtbares
Werkzeug im Umgang mit MCM-Modulndarstellt. Wir folgen im
Wesentlichen der Darstellung von WinfriedBruns und Jürgen Herzog
in [BH98].
Lemma 0.72Sei (R,m,k) ein lokaler, noetherscher Ring undM ein
endlich erzeugterR-Modul.Ist x ∈ m ein Element, das sowohl
R-regulär als auch M-regulär ist, soist
proj-dimRM = proj-dimR/(x) M/xM .
Beweis:vgl. [BH98][Lemma 1.3.5] �
Satz 0.73 (Auslander-Buchsbaum-Formel)Sei (R,m,k) ein lokaler,
noetherscher Ring und M 6= 0 ein endlicherzeugter R-Modul.Falls
proj-dimRM endlich ist, so gilt
proj-dimRM + depthM = depthR .
Beweis:(vgl. [BH98][1.2.3])Seien n := proj-dimRM , d := depthRR
und
F : 0 // Fnϕn // Fn−1 // . . . // F0
ϕ0 //M // 0
eine augmentierte freie Auflösung von M . Wir zeigen die
Behauptungdurch Induktion über d.
33
-
Grundlagen
d = 0: Wir nehmen an, dass n ≥ 1 gilt. Dann ist F1 6= 0. Da d =
0 ist,ist nach Lemma 0.61 das Maximalideal m zu R assoziiert. Da
nunϕn = ϕn⊗R injektiv ist, folgt mit Lemma 0.65, dass auch
ϕn⊗kinjektiv ist.
Da F minimal gewählt ist, ist dies aber gleichzeitig die
Nullab-bildung. Somit ist
0 = Fn ⊗ k ∼= Fn/mFn ,
und mit dem Lemma von Nakayama folgt, dass auch Fn = 0 ist.Dies
ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung.
Also ist n = 0. Da R lokal ist, ist M damit frei. Daher lässt
sichnun leicht nachrechnen, dass auch depthM = 0 ist, und damitgilt
die Behauptung.
d > 0: Wir machen hier eine Fallunterscheidung:
(i) Sei depthM = 0. Wir setzen M1 := kerϕ0. Dann folgt
durchAufspalten von F , dass proj-dimM1 = proj-dimM − 1 gilt.Da
depthF0 = depthR ≥ 1 gilt, und wir nach der Wahl vonM1 eine kurze
exakte Folge
0 //M1 // F0 //M // 0
haben, folgt mit Lemma 0.67, dass depthM1 = 1 ist. Mit
derInduktionsvoraussetzung erhalten wir nun
proj-dimM + 0 = proj-dimM1 + 1 = depthR .
(ii) Sei nun depthM ≥ 1. Dann ist m weder zu M noch zu
Rassoziiert. Daher existiert ein x ∈ R, das sowohl R- als
auchM-regulär ist.
Mit Lemma 0.68, Lemma 0.72 und der Induktionsvorausset-zung
folgt dann
depthRM + proj-dimRM =
depthR/(x)M/xM + 1 + proj-dimR/(x)M/xM =
depthR/(x)R/(x) + 1 = depthRR .
�
Satz 0.74 (Auslander-Buchsbaum-Serre)Sei (R,m,k) ein
noetherscher lokaler Ring. Dann sind die folgendenBedingungen
äquivalent:
34
-
(i) R ist regulär
(ii) proj-dimM
-
Grundlagen
Definition 0.78Sei L ein freier R-Modul und (e1, . . . , en)
eine Basis von L. Weiter seix = (x1, . . . , xn) eine Folge von
Elementen von R und fx : L → L diedurch ei 7→ xi definierte
Linearform.
(i) Der Komplex K�(x) := K�(fx) heißt Koszul-Komplex von x.
(ii) Der Komplex K�(x,M) := K�(x)⊗M heißt Koszul-Komplex vonx
mit Koeffizienten aus M .
Die Bedeutung des Koszul-Komplexes für unsere Arbeit liegt
unteranderem in folgender Charakterisierung:
Proposition 0.79Sei (R,m,k) ein lokaler Ring, x = (x1, . . . ,
xn) eine Folge in m undM 6= 0 ein endlich erzeugter R-Modul. Dann
sind folgende Bedingun-gen äquivalent:
(i) n ist die maximale Länge einer M-Folge in dem Ideal (x)
(ii) Für i ≥ 1 ist die i-te Homologie Hi(K�(x,M)) = 0
(iii) H1(K�(x,M)) = 0
(iv) x ist eine M-reguläre Folge
Beweis: vgl. [BH98][1.6.9]. �
Außerdem erhalten wir eine ausgezeichnete minimale freie
Auflösungfür bestimmte Faktormoduln von R.
Satz 0.80Sei (R,m,k) ein lokaler Ring und x eine R-reguläre
Folge. Dann ist derKoszul-komplex K�(x) eine minimale freie
Auflösung von R/(x).
Beweis: Wir bezeichnen das Differential von K�(x) mit (d(i)x ).
Da x
R-regulär ist, ist dieser Komplex nach Proposition 0.79 an den
StellenΛiL, i ≥ 1 exakt und äußere Potenzen von freien Moduln von
endlichemRang sind wieder frei und von endlichem Rang.
Wegen im d(1)x = im fx = (x) ist, erhalten wir mit der
kanonischen
Projektion π : R→ R/(x) eine Augmentierung.Da die Komponenten
einer regulären Folge im Maximalideal m lie-
gen, gilt ker π ⊂ mR und nach Definition des Differentials
(d(i)x ) giltim d
(i)x ⊂ mΛi−1L. Somit ist K�(x) nach Definition 0.30 eine
minimale
freie Auflösung.�
36
-
0.5 Maximale Cohen-Macaulay-Moduln
0.5.1 Definition und äquivalente Charakterisierungen
Maximale Cohen-Macaulay-Moduln spielen in der gesamten
vorliegen-den Arbeit eine zentrale Rolle. Wir geben zunächst die
Definition undäquivalente Charakterisierungen an.Im ganzen
Unterabschnitt 0.5.1 sei (R,m,k) ein lokaler noetherscherRing mit
Maximalideal m und Restklassenkörper k. Wir bezeichnendie
Krull-Dimension von R mit d := dim(R). Alle hier betrachtetenModuln
seien von endlichem Typ.
Definition 0.81Ein R-Modul M 6= 0 heißt Cohen-Macaulay-Modul
(kurz CM-Modul),falls depth(M) = dim(M) gilt.Ein R-Modul M 6= 0
heißt maximaler Cohen-Macaulay-Modul (kurzMCM-Modul), falls
depth(M) = d = dim(R) gilt.Der Ring R heißt Cohen-Macaulay-Ring
(kurz CM-Ring), falls R alsR-Modul ein MCM-Modul ist.
Bemerkung 0.82Da dim(M) = dim(R/Ann(M)) ≤ dim(R) gilt, ist jeder
MCM-Modulinsbesondere ein CM-Modul. Die Definition des zweiten
Begriffs ist hiernur der Vollständigkeit halber und zur Vermeidung
von Missverständ-nissen bei der Heranziehung anderer Literatur
angegeben; wir konzen-trieren uns im Folgenden auf maximale
Cohen-Macaulay-Moduln.Weil die Krull-Dimension des Rings R mit
seiner Dimension als R-Modul übereinstimmt, sind die beiden
Begriffe in diesem Fall äquiva-lent.
Einige Aussagen in dieser Arbeit betreffen Funktoren auf der
Kategorieder MCM-Moduln, siehe zum Beispiel Satz 0.119. Hierzu
legen wirfolgendes fest:
Definition 0.83Wir bezeichnen die volle Unterkategorie der
Kategorie der R-Modulnvon endlichem Typ, deren Objekte die
MCM-Moduln über R sind, mitMCM(R).
Zur Formulierung der äquivalenten Charakterisierungen von
MCM-Moduln bedarf es zunächst noch einer weiteren Definition, die
hiernach [Eis95][A3.11.2 und Appendix 4] wiedergegeben ist.
37
-
Grundlagen
Definition 0.84 (lokaler Kohomologie-Funktor)Sei I ein Ideal in
R und M ein R-Modul. Sei
ΓI(M) := {m ∈M | Ipm = 0 für genügend großes p} .
Dann ist ΓI(−) ein linksexakter Funktor. Wir setzen H0I := ΓI
und de-finieren H iI für i ≥ 1 als rechts-abgeleitete Funktoren
von H0I , das heißtwir definieren H iI als den i-ten
Kohomologiemodul des Komplexes, denwir durch Anwendung von H0I (−)
auf eine injektive Auflösung von Merhalten.
Satz 0.85 (Charakterisierung von MCM-Moduln)Sei M ein R-Modul.
Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:
(i) M ist ein MCM-Modul über R.
(ii) ExtiR(k , M) = 0 ∀i < d = dim(R).
(iii) H im = 0 ∀i ∈ N mit i 6= d = dim(R).Außerdem sind die
beiden folgenden Bedingungen äquivalent:
(i) M ist ein CM-Modul über R.
(ii) ExtiR(k , M) = 0 ∀i < dim(M).Beweis: Die Bedingung (iii)
ist nur der Vollständigkeit halber von[Yos90][Proposition 1.2]
übernommen und bleibt hier außer acht.Nach Korollar 0.64 gilt
depth(M) = min{n | ExtnR(k , M) 6= 0} .
Hieraus folgen unmittelbar die beiden Implikationen
(i)⇒(ii).Auch die beiden Folgerungen (ii)⇒(i) lassen sich aus
dieser Formelableiten, weil nach Lemma 0.71 außerdem
depth(M) ≤ dim(M) = dim(R/Ann(M)) ≤ dim(R)
gilt. �
0.5.2 Erste Eigenschaften
Wir behalten die Bezeichnungen und Voraussetzungen des
vorherge-henden Unterabschnitts bei.Es folgt eine Aufzählung von
hinreichenden Kriterien für die MCM-Eigenschaft und ersten
Eigenschaften von MCM-Modul.
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-
Proposition 0.86Sei
F : 0 −→ L −→M −→ N −→ 0eine exakte Folge von R-Moduln. Dann
gilt:
(i) Falls L und N (maximale) Cohen-Macaulay-Moduln sind, dannist
auch M ein (maximaler) Cohen-Macaulay-Modul.
(ii) Falls M und N (maximale) Cohen-Macaulay-Moduln sind,
dannist auch L ein (maximaler) Cohen-Macaulay-Modul.
Beweis: Durch Anwendung von ExtR(k , −) auf F erhalten wir
eineexakte Folge
0 −→ Ext0R(k , L) −→ Ext0R(k , M) −→ Ext0R(k , N)−→ Ext1R(k , L)
−→ Ext1R(k , M) −→ Ext1R(k , N)...
−→ Extn−1R (k , L) −→ Extn−1R (k , M) −→ Extn−1R (k , N)−→
ExtnR(k , L) −→ . . .
Um die Aussagen über allgemeine (das heißt nicht notwendig
maxima-le) Cohen-Macaulay-Moduln zu beweisen, setzen wir n :=
dim(M) undfür die über maximale Cohen-Macaulay-Moduln n := d. Die
Behaup-tungen folgen dann direkt aus Satz 0.85. �
Korollar 0.87Sei R ein CM-Ring und sei F 6= 0 ein freier
R-Modul. Dann ist F einMCM-Modul über R.
Beweis: Weil alle hier betrachteten Moduln von endlichem Typ
sind,gilt F ∼= Rn für ein n ∈ N \ {0}. Der Beweis erfolgt durch
Induktionüber n, wobei der Induktionsanfang, dass R ein CM-Ring
ist, schonnach Voraussetzung gilt.Für n ≥ 2 bilden wir auf
kanonische Weise die exakte Folge
0 −→ R −→ Rn −→ Rn−1 −→ 0 .Die Behaupung folgt nun direkt aus
Proposition 0.86. �
Proposition 0.88Sei der lokale Ring R ein CM-Ring und
0 //M // Fn−1fn−1 // Fn−2 // . . . // F1
f1 // F0
eine exakte Folge von R-Moduln, wobei die Moduln Fi frei seien.
SeiM 6= 0 und n ≥ d. Dann ist M ein MCM-Modul.
39
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Grundlagen
Beweis: O. B. d. A. sei n = d. Wir unterscheiden mehrere
Fälle.
1. Fall: Sei d = 0.Allgemein gilt dann nach Lemma 0.71
0 ≤ depth(M) ≤ dim(M) ≤ dim(R) = d = 0
und damit die Behauptung.
2. Fall: Sei d = 1.In diesem Fall hat die gegebene exakte Folge
die Form 0 −→ M −→ F0.Anwendung von Ext0R(k , −) führt zur exakten
Folge
0 −→ Ext0R(k , M) −→ Ext0R(k , F0) .
Weil der R-Modul F0 frei und damit nach Korollar 0.87
insbesondereein MCM-Modul ist, gilt Ext0R(k , F0) = 0 nach Satz
0.85. Wir erhaltenExt0R(k , M) = 0 und damit nach Satz 0.85 (ii)
die Behauptung.
3. Fall: Sei d ≥ 2.Wir setzen Ci := Fi/ ker(fi) für i = 1, . .
. , d − 1 sowie Cd := M underhalten auf diese Weise ein
Diagramm
0
""FFF
FF 0
Cd−2
-
exakt sind. Auf diese Folgen wenden wir ExtR(k , −) an. Nach
Satz 0.85gilt dabei ExtjR(k , Fi) = 0 für alle i = 1, . . . , d −
1 sowie für allej = 0, . . . , d − 1, denn nach Korollar 0.87 sind
die Moduln Fi MCM-Moduln. Wir erhalten so für i = 1, . . . , d− 1
weitere exakte Folgen
0 −→ Ext0R(k , Ci+1) −→ Ext0R(k , Fi)︸ ︷︷ ︸=0
−→ Ext0R(k , Ci)
−→ Ext1R(k , Ci+1) −→ Ext1R(k , Fi)︸ ︷︷ ︸=0
−→ Ext1R(k , Ci)
...
−→ Extd−1R (k , Ci+1) −→ Extd−1R (k , Fi)︸ ︷︷ ︸=0
−→ Extd−1R (k , Ci) .
Zudem ist auch die Folge
0 −→ Ext0R(k , C1) −→ Ext0R(k , F0)︸ ︷︷ ︸=0
exakt.Also gilt ExtjR(k , Ci+1)
∼= Extj−1R (k , Ci) für alle i, j = 1, . . . , d − 1sowie
Ext0R(k , Ci) = 0 für alle i = 1, . . . , d.Sei l ∈ {0, . . . , d−
1} beliebig. Es ergibt sich nun
ExtlR(k , M) = ExtlR(k , Cd)
∼= Ext0R(k , C d−l︸︷︷︸1≤.≤d
) = 0
und damit wiederum nach Satz 0.85 die Behauptung. �
Diese Proposition lässt sich mit den Bezeichnungen aus dem
Unterab-schnitt 0.3.3 über Syzygien auch so formulieren:
Korollar 0.89Sei der lokale Ring R ein CM-Ring, M ein R-Modul
und n ∈ N mitn ≥ d. Dann ist syzn(M) entweder der Nullmodul oder
ein MCM-Modul über R.
Satz 0.90Wie im ganzen Unterabschnitt 0.5.2 sei R ein lokaler
Ring.
(i) Sei R regulär und sei M ein MCM-Modul über R. Dann ist
Mein freier R-Modul.
(ii) Sei R reduziert, d = 1 und M ein R-Modul. Dann ist M
genaudann ein MCM-Modul, falls M torsionsfrei ist, das heißt falls
dernatürliche Homomorphismus
M −→ HomR(HomR(M,R), R)ein Monomorphismus ist.
41
-
Grundlagen
(iii) Sei R ein normaler Integritätsbereich, d = 2 und M ein
R-Modul.Dann ist M genau dann ein MCM-Modul, falls M reflexiv ist,
dasheißt falls der natürliche Homomorphismus
M −→ HomR(HomR(M,R), R)
ein Isomorphismus ist.
Beweis: Wir beweisen nur (i) und verweisen für die Aussagen
(ii) und(iii) auf [Yos90][Proposition 1.5].Weil R regulär ist, ist
die projektive Dimension von M nach dem Satzvon
Auslander-Buchsbaum-Serre (vgl. Satz 0.74) endlich. Also könnenwir
die Auslander-Buchsbaum-Fomel anwenden (vgl. Satz 0.73). WeilR als
regulärer lokaler Ring nach [BH98][Korollar 2.2.6] zudem ein
CM-Ring ist, erhalten wir insgesamt
proj-dimR(M) + depth(M)︸ ︷︷ ︸=dim(R)
= depth(R) = dim(R) .
Es folgt proj-dimR(M) = 0, also ist der Modul M projektiv. Weil
Mvon endlichem Typ ist, ist dies über dem lokalen Ring R
äquivalentdazu, dass M ein freier R-Modul ist. �
0.5.3 Invarianz der MCM-Eigenschaft unter Lokalisierungund
Bildung direkter Summen
Die MCM-Eigenschaft ist in einem gewissen Sinne invariant unter
Lo-kalisierung und Bildung direkter Summen. Wir präzisieren dies
in denfolgenden drei Aussagen und behalten dabei die Bezeichnungen
undVoraussetzungen des vorhergehenden Unterabschnitts bei.
Proposition 0.91Sei M ein MCM-Modul über R und sei S ⊂ R ein
multiplikativ ab-geschlossenes System in R. Dann ist die
Lokalisierung MS ein MCM-Modul über RS.
Beweis: Siehe [BH98][Theorem 2.1.3 (b)]. �
Proposition 0.92Sei n ∈ N eine natürliche Zahl und seienM1,M2,
. . . ,Mn MCM-Modulnüber R. Dann ist auch die direkte Summe
⊕ni=1Mi ein MCM-Modul
über R.
42
-
Beweis: Wir können o. B. d. A. n = 2 annehmen. Die Behauptung
folgtdann durch Induktion.Für beliebige R-Moduln M1,M2 ist die
kanonische Folge
0 −→M1 −→M1 ⊕M2 −→M2 −→ 0m1 7−→ (m1, 0)
(m1, m2) 7−→ m2exakt, sodass M1 ⊕M2 nach Proposition 0.86 (i)
ebenfalls ein MCM-Modul ist. �
Lemma 0.93Sei M ein MCM-Modul über R und sei
M =⊕
i∈I
Mi
eine beliebige Zerlegung in direkte Summanden. Dann ist jeder
derSummanden Mi mit i ∈ I ein MCM-Modul über R.Beweis: Der Funktor
ExtR(k , −) kommutiert mit der Bildung direkterSummen, daher
gilt
ExtjR(k , M) =⊕
i∈I
ExtjR(k , Mi)
für alle j ∈ N. Die Behauptung folgt nun direkt aus Satz 0.85.
�
0.5.4 MCM-Moduln und Noether-Normalisierung
Satz 0.94Sei A ⊂ B eine endliche Erweiterung von lokalen,
noetherschen Ringen.Falls M ein noetherscher B-Modul ist, dann ist
M genau dann einMCM-Modul über B, wenn M ein MCM-Modul über A
ist.
Beweis: [BD08][Lemma 2.24] und [Gro67][Korollar 5.7]. �
Satz 0.95 (Noether-Normalisierung)Sei k ein unendlicher Körper
und R eine endlich erzeugte kommutativek-Algebra. Dann gibt es ein
r ≥ 0 und algebraisch unabhängige Ele-mente y1, . . . , yr ∈ R, so
dass die Ringerweiterung k[y1, · · · , yr] ⊆ Rganz ist. Man nennt
die y1, . . . , yr ein Parametersystem für R.
Beweis: [Eis95][Theorem 13.3] �
43
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Grundlagen
Satz 0.96Sei T →֒ R eine Noether-Normalisierung von R. Dann ist
ein R-Modulgenau dann maximal Cohen-Macaulay, wenn er frei über T
ist.
Beweis: Eine Noether-Normalisierung T von R ist ein regulärer
Ringund damit ist nach Satz 0.90 jeder MCM-Modul über T frei.
WegenSatz 0.94 ist ein R-Modul M genau dann MCM, wenn er frei über
Tist. �
0.6 Der kanonische Modul
Im Abschnitt 1.2 wird zur Vorbereitung auf das Kapitel 5 über
ein-dimensionale Singularitäten eine Aussage über den Sockel der
injek-tiven Hülle eines speziellen Moduls verwendet, die sich im
Unterab-schnitt 0.6.2 findet. Außerdem wird in den weiteren
Kapiteln der vor-liegenden Arbeit an mehreren Stellen auf Aussagen
über Gorenstein-Ringe und den kanonischen Modul verwiesen, die wir
im Unterab-schnitt 0.6.3 zusammengestellt haben. Weil einige der
Beweise zu die-sen Aussagen ebenfalls auf die injektive Hülle und
ihre Eigenschaftenzurückgreifen, haben wir die drei Themenbereiche
zu diesem Abschnittzusammengefasst.
0.6.1 Die injektive Hülle eines Moduls
Definition 0.97Sei R ein Ring und N,M zwei R-Moduln mit N ⊆ M ,
dann heißt Meine wesentliche Erweiterung von N , falls für jeden
Untermodul U 6= 0von M auch N ∩ U 6= 0 folgt. Falls dazu N 6= M
ist, so heißt M eineechte wesentliche Erweiterung.
Satz 0.98Sei R ein Ring, dann ist ein I genau dann ein
injektiver R-Modul, wennI keine echten wesentlichen Erweiterungen
besitzt.
Beweis: [BH98][I.3.2.2] �
Die folgende Definition ist gerechtfertigt
([BH98][I.3.2.4]).
Definition 0.99Sei R ein Ring und M ein R-Modul. Ein injektiver
R-Modul E, fürden die Erweiterung M ⊆ E wesentlich ist, heißt die
injektive Hüllevon M . Der Modul E ist dabei eindeutig bis auf
Isomorphie und wirdmit E(M) bezeichnet.
44
-
Satz 0.100Sei R ein noetherscher Ring, dann gilt:
(i) Für alle Primideale p ∈ Spec(R) ist E(R/p) unzerlegbar.(ii)
Ist I 6= 0 ein injektiver Modul und p ein assoziiertes
Primideal
von I, d. h. p ∈ Ass(I), so ist E(R/p) ein direkter Summand
vonI.
(iii) Ist M ein endlich erzeugter R-Modul, so gilt
Ass(M) = Ass(E(M)) .
(iv) Für Primideale p, q ∈ Spec(R) gilt:E(R/p) ≃ E(R/q)⇔ p =
q
(v) Für alle Primideale p ∈ Spec(R) istk(p) := Rp/pRp ≃ HomRp
(k(p), E(R/p)p) .
Beweis: [BH98][I.3.2.6 und I.3.2.7] �
Theorem 0.101Sei R ein noetherscher Ring und I ein injektiver
R-Modul, dann ist
I ≃⊕
p∈Spec(R)
E(R/p)λp mit λp = dimk(p) Hom(k(p), Ip) .
Beweis: [BH98][I.3.2.8] �
Satz 0.102Sei (R,m,k) ein lokaler, noetherscher Ring und E :=
E(k) die injektiveHülle von k. Wir setzen M ′ := HomR(M,E) für
einen R-Modul M undes sei N ein R-Modul von endlicher Länge, dann
gilt:
(i) ExtiR(k , E) ≃{
k , falls i = 0
0 , falls i 6= 0 ,
(ii) length(N) = length(N ′) ,
(iii) der kanonische Homomorphismus N → N ′′ ist ein
Isomorphismus,(iv) es gilt
dimk(N/mN) = dimk(Soc(N′)) und
dimk(N′/mN ′) = dimk(Soc(N)) .
Beweis: [BH98][I.3.2.12] �
45
-
Grundlagen
0.6.2 Sockel und injektive Hülle
Im weiteren Verlauf der Arbeit benötigen wir den Begriff des
Sockelseines Moduls. Da wir speziell wissen wollen, wie der Sockel
der injek-tiven Hülle eines speziellen Moduls aussieht, führen
wir ihn an dieserStelle ein.Im nichtkommutativen Fall betrachten
wir hier stets Linksmoduln. DieErgebnisse gelten aber analog auch
für Rechtsmoduln.
Definition 0.103Sei A ein (nicht notwendig kommutativer Ring)
und M ein A-Links-modul. Der Sockel Soc(M) von M ist die Summe
seiner nichttrivialeneinfachen Untermoduln.
Bemerkung 0.104Eine Summe von einfachen Moduln ist immer eine
direkte Summe.
In speziellen Fällen gibt es hierfür eine äquivalente
Formulierung.
Bemerkung 0.105Sei A ein (nicht notwendig kommutativer) lokaler
Ring mit maximalemIdeal J und M ein A-Linksmodul. Dann ist
Soc(M) = {x ∈M | Jx = 0} .Beweis: Es lässt sich leicht
nachrechnen, dass die Menge
X := {x ∈ M | Jx = 0}ein Linksuntermodul von M ist.Nach
Definition ist
Soc(M) =⊕
i∈I
Mi
mit Mi einfach. Da Mi einfach ist, gilt Mi ∼= A/J . Also wird
jederdieser Summanden von J annulliert und damit gilt
Soc(M) ⊆ X .Umgekehrt ist A/J ein Schiefkörper und damit
einfach. Daher folgt mit[Jac89][3.15] , dass X als A/J-Modul
halbeinfach, also eine Summe voneinfachen A/J-Untermoduln ist. Da J
den Modul X annulliert, sindeinfache A/J-Untermoduln auch einfache
A-Untermoduln und damitist X auch über A halbenfach. Nach der
Definition des Sockels habenwir damit auch X ⊂ Soc(M). �Nun
überlegen wir uns noch, wie der Sockel der injektiven Hülle
eineseinfachen Moduls aussieht. Hierbei kann die Definition der
injektivenHülle eines Linksmoduls im nichtkommutativen Fall
wortwörtlich ausdem Unterabschnitt 0.6.1 übernommen werden.
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Bemerkung 0.106Sei A ein (nicht notwendig kommutativer) Ring und
M ein einfacherA-Linksmodul. Dann gilt
Soc(E(M)) ∼= M .
Beweis: Da Soc(E(M)) die direkte Summe all seiner nichttrivialen
ein-fachen Untermoduln ist, ist M ein direkter Summand von
Soc(E(M)).Sei N ein beliebiger nichtrivialer einfacher Summand von
Soc(E(M)).Da M ⊆ Soc(E(M)) eine wesentliche Erweiterung ist, ist
der ModulM ∩ N 6= 0. Da nun beide Moduln einfach sind, also keine
echtenUntermoduln besitzen, sind sie gleich. �
Korollar 0.107Sei A ein nicht notwendig kommutativer, lokaler
Ring mit Jacobsonra-dikal J . Dann ist
Soc(E(A/J)) ∼= A/J .Insbesondere besitzt Soc(E(A/J)) also ein
Erzeugendensystem der Län-ge 1.
0.6.3 Gorenstein-Ringe, kanonischer Modul und lokale
Dua-lität
Wir beschränken uns hier auf die Wiedergabe der Resultate und
gebenkeine Beweise an. Für eine zusammenhängende Darstellung
verweisenwir auf [BH98].Im ganzen Unterabschnitt 0.6.3 sei (R,m,k)
ein noetherscher lokalerRing mit Maximalideal m und
Restklassenkörper k. Außerdem seienalle hier betrachteten Moduln
von endlichem Typ.Für die Definition des kanonischen Moduls
benötigen wir zunächst nocheine