Representa¸c˜ ao de um conjunto de Matrizes Opera¸ c˜oes Soma de Matrizes Subtra¸c˜ ao Produto por escalar Matrizes e Imagens Digitais Matrizes - Soma e Produto por Escalar M´ arcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acara´ u Centro de Ciˆ encias Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matem´ atica Disciplina: ´ Algebra Matricial - 2015.1 23 de julho de 2015 M´ arcio Nascimento Matrizes - Soma e Produto por Escalar
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Representacao de um conjunto de MatrizesOperacoes
Soma de MatrizesSubtracao
Produto por escalarMatrizes e Imagens Digitais
Matrizes - Soma e Produto por Escalar
Marcio Nascimento
Universidade Estadual Vale do Acarau
Centro de Ciencias Exatas e Tecnologia
Curso de Licenciatura em Matematica
Disciplina: Algebra Matricial - 2015.1
23 de julho de 2015
Marcio Nascimento Matrizes - Soma e Produto por Escalar
Representacao de um conjunto de MatrizesOperacoes
Soma de MatrizesSubtracao
Produto por escalarMatrizes e Imagens Digitais
Sumario
1 Representacao de um conjunto de Matrizes
2 Operacoes
3 Soma de Matrizes
4 Subtracao
5 Produto por escalar
6 Matrizes e Imagens Digitais
Marcio Nascimento Matrizes - Soma e Produto por Escalar
Representacao de um conjunto de MatrizesOperacoes
Soma de MatrizesSubtracao
Produto por escalarMatrizes e Imagens Digitais
Sumario
1 Representacao de um conjunto de Matrizes
2 Operacoes
3 Soma de Matrizes
4 Subtracao
5 Produto por escalar
6 Matrizes e Imagens Digitais
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Representacao de um conjunto de MatrizesOperacoes
Soma de MatrizesSubtracao
Produto por escalarMatrizes e Imagens Digitais
Matriz
Uma matriz nada mais e do que um conjunto de numeros reais(ou complexos) dispostos em linhas e colunas
Por exemplo,[
1 2 34 5 6
]
e uma matriz formada por numeros reais com duas linhas etres colunas.
Representaremos o conjunto de TODAS as matrizes (comelementos reais) com duas linhas e tres colunas por R2×3.
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Soma de MatrizesSubtracao
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EXEMPLOS
A =
4 2 12 3 −10 1 7
∈ R3×3
B =
[
(2i) (4− 2i) (7i) (5)
(0) (−3 + 7i) (12i) (5−√2i)
]
∈ C2×4
A =
4 2 12 3 −10 1 7
∈ C3×3
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Soma de MatrizesSubtracao
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GENERALIZANDO
Rn×m - conjunto das matrizes de ordem n ×m com entradas
reais;
Cn×m - conjunto das matrizes de ordem n ×m com entradas
complexas;
E verdade que Rn×m ⊂ C
n×m?
E verdade que Rn×m = R
m×n?
E verdade que R2×2 ⊂ R
3×3?
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Soma de MatrizesSubtracao
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NOTACAO
A =
a11 a12 . . . a1ma21 a22 . . . a2m...
......
an1 an2 . . . anm
∈ Rn×m(ou ∈ C
n×m)
ars - elemento da LINHA r e COLUNA s;
Por exemplo: a14 - elemento da LINHA 1 e COLUNA 4;
a79 - elemento da LINHA 7 e COLUNA 9;
a81,109 - elemento da LINHA 81 e COLUNA 109;
A = [ars ]n×m: r ∈ 1, 2, ..., n e s ∈ 1, 2, ...,m
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EXEMPLO
Esbocar a matriz A = [ars ] ∈ R4×3 tal que ars = r2 − s.
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Propriedades Sejam A,B matrizes de mesma ordem e α, βescalares.
α.(β.A) = (α.β).A
α.(A+ B) = α.A+ α.B
(α+ β).A = α.A+ β.A
Existe um escalar x0 tal que x0.A = A para qualquer matriz A.
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Propriedades Encontremos o escalar x0 tal que x0.A = A paraqualquer matriz A.
Vamos resolver a equacao x .A = A.
x .A = A =⇒ x .[ars ] = [ars ]
=⇒ [(x .ars)] = [ars ]
=⇒ x .ars = ars para todo r ∈ 1, ..., n, s ∈ 1, ..., n=⇒ x = 1
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Produto por escalarMatrizes e Imagens Digitais
Sumario
1 Representacao de um conjunto de Matrizes
2 Operacoes
3 Soma de Matrizes
4 Subtracao
5 Produto por escalar
6 Matrizes e Imagens Digitais
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Imagens em P & B: Matrizes com entradas 0 ou 1.
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Imagens coloridas: tres matrizes (R, G, B) com entradas entre 0 e255.
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Cada uma das matrizes R, G, B guarda a intensidade da cor paracada ’pixel’.
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Alterar o brilho de uma fotografia, significa modificar a intensidadedas cores, isto e, multiplicar uma (ou duas, ou tres) das matrizesR,G,B por escalar(es).
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R = [rij ]1920×1080 =
r11 r12 . . . r1,1080r21 r22 . . . r2,1080...
......
r1920,1 r1920,2 . . . r1920,1080
G = [gij ]1920×1080, B = [bij ]1920×1080
1.R , 1.G , 1.B α.R α.R , βG , γB
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