UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO ESTUDO DAS MATRIZES Definio de matriz Consideremos a tabela abaixo, construda a partir da coleta de informaes sobre opreodoquilodoarroztipo1,dofeijopretoedomacarro,emquatro supermercados de uma capital brasileira: Supermercado A Supermercado B Supermercado C Supermercado D Arroz2,402,572,382,49 Feijo3,023,172,913,20 macarro1,992,051,872,12 Uma matriz uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. Portanto,seabstrairmosossignificadosdaslinhasecolunasdatabelaacima, obteremos a matriz ((((
12 , 2 87 , 1 05 , 2 99 , 120 , 3 91 , 2 17 , 3 02 , 349 , 2 38 , 2 57 , 2 40 , 2 Uma matriz genrica A, com m linhas e n colunas pode ser representada por | |n mijmn m mnnn maa a aa a aa a aA=(((((
.........2 12 22 211 12 11 em que os ndices i e j indicam, respectivamente, a linha e a coluna qual pertence o elemento aij. Escrevendo uma matriz a partir de sua lei de formao Escreva a matriz A =| |2 3xija , tal que aij = 2i j + 1. De acordo com os dados fornecidos, a matriz deve ter 3 linhas e duas colunas, ou seja, ((((
=32 3122 2112 11a aa aa aA . Substituindo-se i e j pelos valores correspondentes, paracada elemento, obtm-se: a11 = 2.1 1 + 1 = 2a22 = 2.2 2 + 1 = 3 a12 = 2.1 2 + 1 = 1a31 = 2.3 1 + 1 = 6 a21 = 2.2 1 + 1 = 4a32 = 2.3 2 + 1 = 5 Logo, ((((
=5 63 41 2A . Exerccios propostos Q1. Determine a matriz A =| |2 2 xijatal quej i aij+ = 2 . Q2.DadaamatrizA=| |7 5xija talqueA= ++ =mpar j i se ijpar j i se iaij, 2,2,determine 42 32a a + . Tipos especiais de matrizes a)Matrizquadradaaquelacujonmerodelinhasigualaonmerode colunas. Numamatrizquadradadeordemn,oselementosa11,a22,a33,...,ann,isto,os elementosaijcomi=j,constituemadiagonalprincipaldamatrizeoselementosaij para os quais verifica-se que i + j = n+1 constituem a diagonal secundria da matriz. b) Matriz nula aquela em que todos os elementos so nulos, isto , aij = 0, para todo i e j. comum indicar-se a matriz nula por| |n mijO= 0 . c) Matriz triangular uma matriz quadrada na qual todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal so nulos. superior triangular Matrizinferior triangular Matriz(((((
((((
8 0 0 05 6 0 02 3 4 01 0 1 25 0 90 3 40 0 1 d) Matriz diagonal uma matriz quadrada em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal principal so nulos. e)Matrizidentidadeumamatrizdiagonalemquetodososelementosda diagonal principal so iguais a 1. Indica-se a matriz identidade de ordem n por In. identidade Matrizdiagonal Matriz(((((
=((((
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 15 0 00 3 00 0 14I f) Matriz linha aquela que possui apenas 1 linha (m = 1). g) Matriz coluna aquela que possui uma nica coluna (n = 1) h) Matriz simtrica uma matriz quadrada na qual se verifica que aij = aji. | |simtrica matriz coluna matrizlinha matriz(((((
((((
o h g dh i f cg f e bd c b a11957 1 0 2 Igualdade de matrizes Duas matrizes A e B so ditas iguais se, e somente se, tm o mesmo tamanho e seus elementos correspondentes so iguais. Determinando incgnitas para que duas matrizes sejam iguais Determine a, b, c e d, sabendo que ((
=((
+ + +8 30 13 2 d c b ad c b a. Da definio de igualdade de matrizes segue que = + = +3 21b ab ae = += 8 30d cd c Solucionando-se os sistemas acima, encontra-se a = 4, b = 5, c = 2 e d = 2. Operaes com matrizes a)Adio e subtrao: A adio e subtrao de duas matrizes Am x n e B m x n , de mesma ordem, uma matriz C m x n cujos elementos so obtidos pela soma ou diferena dos elementos correspondentes de A e B, respectivamente. Propriedades da adio DadasasmatrizesA,BeC,demesmaordem,sovlidasasseguintes propriedades para a adio de matrizes: i) ComutativaA + B = B + A ii)Associativa(A+B) + C = A + (B + C) iii) Elemento neutroA + 0 = 0 + A = A iv) CancelamentoA = B A + C = B + C b)Multiplicaodeumnmerorealporumamatriz:Seja| |n mija A= eo umnmeroreal.AmatrizoA,mxn,amatrizcujoselementossobij =o.aij. Se o = 1, obtm-se a matriz oposta de A, isto , a matriz que somada com A d como resultado a matriz nula. Propriedades DadasasmatrizesAeB,demesmaordem,eosnmerosreaiso,o1eo2, verifica-se que: i) o(A + B) = oA + oB ii)(o1 + o2)A = o1A +o2 A iii)0.A = 0 iv)o1(o2A) = (o1o2)A c)Transposio:Dadaumamatriz| |n mija A= ,denomina-setranspostadeA a matriz| |m nijtb A= , cujas linhas so as colunas de A. Propriedades i) (At)t = A ii)(A + B)t = At + Bt iii) (oA)t = oAt Operando matrizes Dadas as matrizes ((
=5 34 2Ae ((
=4 71 5B , calcule A + B,A B eB A215 + . ((
=((
+ + + += +9 103 74 5 7 3) 1 ( 4 5 2B A((
=((
= 1 45 34 5 7 3) 1 ( 4 5 2B A((((
=((((
+ + +=((
+((
= +272372392252 252715212025104 71 5215 34 25215 B A Dadasasmatrizes ((((
=4 13 10 2A e ((((
=2 30 25 1B ,encontreamatrizX,talque2X A + 3B = 0 Isolando X, obtm-seB A X2321 = . Logo, (((((((
=(((((((
+ +=((((
((((
=5 42327215253 229212332121502312 30 25 1234 13 10 221X CalculeasmatrizesXeYqueverificamascondies = + = +B A Y XB A Y X3 23 2, considerando que ((
=1 02 1Ae ((
=1 12 1B . Resolvendo-se o sistema, obtm-seB A X3235 =eB A Y3731+ = . Portanto, (((
=1322 1Xe (((
=2374 2Y . Sejam ((((
=3 1 25 1 43 1 3Ae ((((
=1 2 34 1 05 4 2B . Calcule (A + B)t ((((
= +4 3 59 2 48 5 5B Ae, portanto,( )((((
= +4 9 83 2 55 4 5tB A d)Multiplicao de matrizes:Sejam| |n mija A= e| |p nijb B= duas matrizes. OprodutodamatrizApelamatrizB,indicadoporAB,amatriz | |p mijc C= talqueoelementocij obtidomultiplicando-seordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos. Cabe ressaltar que o produto AB s possvel se o nmero de colunas de A igual ao nmero de linhas de B. Propriedades i) Geralmente, AB = BA. ii)AI = IA = A iii) A(B + C) = AB + AC iv)(A + B)C = AC + BC v) (AB)C = A(BC) vi)(AB)t = BtAt vii)0.A = A.0 = 0 Multiplicando matrizes Dadas as matrizes ((
=4 32 1Ae ((((
=3 22 01 1B , obtenha a matriz ABt. ((
=((
+ + ++ + +=((
((
=18 8 18 4 13 . 4 2 . 3 2 . 4 0 . 3 ) 1 ( 4 1 . 33 . 2 2 . 1 2 . 2 0 . 1 ) 1 ( 2 1 . 13 2 12 0 14 32 1tAB Sejam ((
=1 02 1Ae ((
=43B . Determinar a matriz X, tal que A.X = B. 1 2 .1 2 2 2= = = n e m B X Ax n x m x. Logo, a matriz X do tipo 2 x 1. Representando X por ((
ba, segue que ((
=((
((
43.1 02 1ba . Desenvolvendo-se o produto matricial, verifica-se que ((
=((
+43 2bb a, ou seja, == +43 2bb a. Logo, ((
=45X . Exerccios propostos Q3.DeterminarosnmerosreaisaebdemodoqueasmatrizesAeBsejamiguais, dadas ((
+=b ab aA16 2 5 e ((
=5 16 4B . Q4. Dadas as matrizes ((
=3 22 1A , ((
=6 75 0Be ((
=2 57 1C , determine a matriz X tal que X + A = B C. Q5.Dadasasmatrizes ((((
=1 0 22 1 00 0 1A e ((((
=132B ,determineamatrizXnaequao matricial AX = B. Matriz inversa Seja A uma matrizquadrada de ordem n. SeX uma matriz tal queAX=In e XA = In, ento X chamada de matriz inversa de A e indicada por A-1. Vale ressaltar que nem toda matriz quadrada admite uma matriz inversa. Encontrando a inversa de uma matriz Determine, se existir, a inversa da matriz ((
=1 22 1A . Sendo ((
=1 22 1Ae fazendo ((
=d cb aA1, tem-se: ((
=((
+ + + +((
=((
((
=1 00 12 22 21 00 1.1 22 1.21d b c ad b c ad cb aI A A Da condio de igualdade de duas matrizes, seguem os seguintes sistemas: 52510 21 2= = = + = +c e ac ac a
51521 20 2= = = + = +d e bd bd b Portanto, ((((
=515252511A . Questes propostas Q6. (UNI-RIO) Dada a matriz ((
=2 33 5A , determine o valor de A1 + At I2. Q7. Verificar se * + inversvel e obter, caso exista, sua inversa. Questes complementares Q8. (UERJ) A temperatura corporal de um paciente foi medida,emgrausCelsius, trs vezes ao dia, durante cinco dias. Cada elemento aij da matriz corresponde temperatura observada no instante i do dia j.((((
2 , 39 0 , 37 1 , 36 7 , 35 5 , 354 , 40 5 , 40 2 , 37 0 , 37 1 , 360 , 36 0 , 38 6 , 38 4 , 36 6 , 35 Determine: a)o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior temperatura; b)a temperatura mdia do paciente no terceiro dia de observao. Q9. (UFG) Seja| |xn nija M =uma matriz quadrada de ordem n, onde aij = i + j. Nessas condies, a soma dos elementos da diagonal principal da dessa matriz : a) n2b) 2n + 2n2c) 2n + n2 d) n2 + n e) n + 2n2 Q10. (UCS-BA) A equao matricial ((((
=((((
((((
1231 0 02 1 10 1 2zyx verdadeira se x, y e z so tais que x + y + z igual a: a) 3 b) 1c) 0 d) 1e) 3 Q11.(UFSC)Sejam| |3 4xija A= e| |4 3xijb B = duasmatrizesdefinidasporaij=i+jebij = 2i + j, respectivamente. Se A.B = C, ento qual o elemento c32 da matriz C? Q12. (UFC-CE) O valor de a para que a igualdade matricial ((
=((
((
1 00 111 11 11 2a seja verdadeira : a) 1b) 2c) 0d) 2e) 1 Q13. (UFRS)A matriz C fornece, em reais, o custo das pores de arroz, carne e salada usadas em um restaurante: saladacarnearrozC((((
=231 A matriz P fornece o nmero de pores de arroz, carne e salada usadas na composio dos pratos tipo P1, P2 e P3 desse restaurante: 3210 2 21 2 11 1 2P pratoP pratoP pratoPsalada carne arroz((((
= A matriz que fornece o custo de produo, em reais, dos pratos P1, P2 e P3 : a) ((((
897b) ((((
444c) ((((
4119d) ((((
862 e) ((((
422 Q14.(UFAM)SejamA,BeCmatrizesquadradasquaisquerdeordemn.Ento correto afirmar que: a)Se AB = AC, ento B = C. b)AB = BA c)Se A2 = 0n (matriz nula), ento A = 0n d)(AB)C = A(BC) e)(A+B)2 = A2 + 2AB+B2 Q15.(UFRRJ)DadaamatrizA=* +,denotamosporA-1amatrizinversadeA. Ento A + A-1 igual a: a)* + b) * +c) [
] d) [
] e) * + Q16. (UFRRJ) Uma fbrica de guarda-roupas utiliza trs tipos de fechaduras(dourada, prateadaebronzeada)paraguarda-roupasemmognoecerejeira,nosmodelobsico, luxoerequinte.Atabela1mostraaproduodemveisduranteomsdeoutubrode 2005,eatabela2,aquantidadedefechadurasutilizadasemcadatipodearmriono mesmo ms. Tabela1: Produo de armrios em outubro de 2005. Modelo Madeira BsicoLuxo Requinte Mogno354 Cerejeira435 Tabela 2: Fechaduras usadas em outubro de 2005 Madeira Tipo MognoCerejeira Dourada1012 Prateada88 Bronzeada46 A quantidade de fechaduras usadas nos armrios do modelo requinte nesse ms foi de: a)170 b) 192 c)120 d) 218 e)188 Q17. (Udesc) Considere as matrizes A=* +,I = * +e O=* +, a soma dos valores numricos de x, para os quais a igualdade A - 2 A 3I=0 verificada : a)x = 0 b) x = 2 c)x = 1 d) x = -2 e)x = -1 Q18.(UEL-PR)umadasformasdeseenviarumamensagemsecretapormeiode cdigos matemticos, seguindo os passos: 1- Tanto o destinatrio quanto o remetente possuem uma matriz chave C. 2- OdestinatriorecebedoremetenteumamatrizP,talqueMC=P,ondeM matriz mensagem a ser decodificada. 3- CadanmerodamatrizMcorrespondeaumaletradoalfabeto:1=a,2=b, 3=c,...,23=z 4- Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras k,w e y. 5- O nmero zero corresponde ao ponto de exclamao. 6- Amensagemlida,encontrandoamatrizM,fazendoacorrespondncia nmero/letraeordenandoasletrasporlinhasdamatrizconformesegue:m11m12 m13 m21 m22 m23 m31 m32 m33. ConsidereasmatrizesC=
eP=
.Combasenos conhecimentos e informaes descritas, assinale a alternativa que apresenta a mensagem que foi enviada por meio da matriz M. a)Boasorte!b) Boaprova!c) Boatarde!d)Ajudeme!e)Socorro! UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO DETERMINANTE O determinante de uma matriz quadrada| |ija A = ,de ordem n, um nmero real (nico) a ela associado, que pode ser indicado por det A ou | A| ou| |ija = det . Determinante de uma matriz quadrada de ordem 1 Seja a matriz| |1 1 11 xa A = . Seu determinante o valor de seu nico elemento, ou seja, det A =11 11a a = Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 O determinante da matriz quadrada de ordem 2 ((
=22 2112 11a aa aA o nmero real obtido fazendo o produto dos elementos de sua diagonal principal menos o produto dos elementos de sua diagonal secundria, isto , det A =21 12 22 1122 2112 11. . a a a aa aa a = Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 Regra de Sarrus O determinante de umamatriz quadrada de ordem 3 pode ser obtido a partir da regra prtica de Sarrus, apresentada na seqncia. Seja a matriz ((((
=33 32 3123 22 2113 12 11a a aa a aa a aA . Inicialmentedeve-serepetirasduasprimeirascolunasdireitadamatriz, conforme o esquema a seguir: Emseguida,deve-seconservarossinaisdosprodutosobtidosnadireoda diagonalprincipaleinverterossinaisdosprodutosobtidosnadireodadiagonal secundria. Odeterminantedamatrizquadradadeordem3asomadosvaloresassim obtidos. Calculando determinantes Calcule os determinantes das matrizes abaixo: a)| | 7 = A b) ((
=8 53 2B c) ((((
=2 1 21 1 23 2 1CDas regras apresentadas acima, segue que a) det A = -7; b) det B =19 15 4 5 ). 3 ( 8 . 2 = + = c) det C = 6 1 + 8 + 2 4 6 = 5 Resolva a equao 5222 22 2=x xx. Desenvolvendo-se o determinante de 2 ordem, obtm-se a equao exponencial ( )522 2 . 4 2 = x x,quepodeserresolvidafazendo-se2x=y,observandoque y >0. ( )522 2 . 4 2 = x x y2 4y 32 = 0 y = 4 (impossvel)ou y = 8 y = 8 2x = 8 2x = 23 x = 3. Resolva a inequao xx12 31 2 11 3 41 2s. Desenvolvendo-se, pela regra de Sarrus, o determinante de 3 ordem contido no primeiro membro da inequao acima, encontra-se donde segue a inequao do 1 grau: )`> e =>> s s + + 23|233 2) 1 ( 3 22 3 8 2 3 8 2 3x IR x Sxxxx x x Questes propostas Q1. Calcule os determinantes: a)| | b)|
| c)|
| Q2. Determine x tal que: a)|
| b)|
| Q3.(UFBA)Odeterminanteassociadomatriz[
]igualmaiordas razes da equao ||. Determine o menor valor de y. DeterminantedematrizesquadradasdeordemnTeoremade Laplace Asregrasapresentadasanteriormentepermitiramoclculodedeterminantesde 1,2e3ordens.Todavia,necessriasefaz,tambm,aapresentaodeummtodo adequado para o clculo de determinantes das demais ordens. Paraestepropsito,hoTeoremadeLaplace,quepossibilitaoclculodo determinante de uma matriz quadrada de ordem n (n > 2). O teorema de Laplace est diretamente relacionado ao conceito de cofator de um elemento da matriz A, apresentado a seguir: O cofator do elemento aij ser indicado por Cij ou por Aij. Calculando cofatores Dada a matriz (((((
=1 3 5 20 3 2 10 0 2 44 3 2 1A , determine C21 e C22. 6 ) 3 24 12 3 )( 1 (1 3 20 3 14 3 1) 1 (96 ) 6 60 24 6 )( 1 (1 3 50 3 24 3 2) 1 (2 2221 221 = + + + = == = =++CC O teorema de Laplace Valeressaltarque,independentedalinhaoucolunaescolhida,oresultado sempreomesmo.Entretanto,convenienteoptar-sepelafilaquepossuimaiszerosa fim de reduzir a quantidade de clculos necessrios. Dadaumamatrizquadrada| |ija A = ,deordemn(n>2),denomina-se cofatordoelementoaijoprodutode(-1)i+jpelodeterminanteDijdamatrizobtida quando se retira de A a linha i e a coluna j. O determinante associado a uma matriz quadrada| |ija A = , de ordem n > 2, o nmero que se obtm pela soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos seus respectivos cofatores. Calculando um determinante pelo Teorema de Laplace. Calcule o determinante da matriz (((((
=1 3 5 20 3 2 10 0 2 44 3 2 1A . Ser escolhida a 2 linha (pois ela possui dois elementos iguais a zero). det A= 4.C21 + 2.C22 + 0.C23 + 0.C24. Como C21 e C22 j foram obtidos no exemplo anterior e no h a necessidade de calcular-se C23 e C24, uma vez que eles esto multiplicados por zero,segue que: det A = 4.96 + 2.(-6) = 372. Questo proposta Q4. Calcule o determinante da matriz A = (((((
1 4 2 25 1 0 03 4 3 20 1 2 1. Propriedades dos determinantes i)Setodososelementosdeumafila(linhaoucoluna)deumamatrizAso nulos, ento det A = 0. ii)OdeterminantedeumamatrizquadradaAigualaodeterminantedesua transposta, ou seja, det A = det At. iii)Ao multiplicar-se uma linha da matriz por uma constanteo, o determinante tambm fica multiplicado pela mesma constante o. iv)Odeterminantetrocadesinalaotrocar-seaposiodeduaslinhasou colunas. v)O determinante de uma matriz que possui duas linhas (ou colunas) iguais ou proporcionais zero. vi)det (A.B) = det A . det B. vii)SetodososelementosdeumamatrizquadradaA,situadosdeummesmo lado da diagonal principal, forem nulos, ento o determinante de A ser igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal. Aplicando as propriedades no clculo de determinantes Calcule o determinante da matriz (((((
=1 3 5 20 3 2 10 0 2 40 0 0 1A . detA=(-1).2.(-3).1=6,umavezque,namatrizA,todososelementosacimada diagonal principal so nulos. Sendo ((((
=2 4 21 2 13 2 0Ae ((((((
=2 2 7 , 03 0 1215331B , calcule det (AB). Na matriz A, a 3 linha proporcional 2; portanto, det A = 0. Comodet(AB)=detA.detB,pode-seafirmarquedet(AB)=0, independentemente do valor de det B. Determinante da matriz inversa possvelprovar-sequeodeterminantedamatrizinversadeAigualao inverso multiplicativo do determinante de A, ou seja, AAdet1det1= Logo, se det A = 0, a matriz A no admite inversa. Calculando o determinante da inversa de uma matriz Dada a matriz ((((
=0 6 54 0 32 1 0M , calcule det Mt + det M-1. A partir da regra de Sarrus, obtm-se det M = 16. det M = det Mt det Mt = 16 161detdet1det1 1= = MMMLogo, 1625716116 det det1= + = +M Mt Sendo((((
=1 1 02 2 32 1 xA , encontre x para que a matriz A admita inversa. Utilizando-se a regra de Sarrus, verifica-se que det A = 3x 6. Para A ser invertvel, necessrio que det A = 0. Portanto, x = 2. Questo proposta Q5. (UFJF) Considere a matriz A = [
]. Calcular o determinante da matriz inversa de A. Questes complementares Q6. (UFC-CE) Determine a soma das razes da equao|
| = 0. Q7. (Cefet-PR) Uma matrizA quadrada, de ordem 3, possui determinante igual a 2.O valor de det (2 . A-1) : a)1b) 2c) 3d) 4e) 5 Q8. (Cefet-PR) Se|
| = -5, ento|
| vale: a)7b) 6c) 5d) 4e) 3 Q9. (PUC-RS) Se a matriz A= * +tem inversa, ento det A-1 : a)bc ad b) (
) - (
) c)Det A d)
e)
Q10. (UEG-GO) Sendo x e y, respectivamente, os determinantes das matrizes * +e * + , verdade que
igual a: a)
b) -
c) 20d) -20e)
Q11.(Ufam)ConsidereamatrizA=* +.Osvaloresdekquetornamnuloo determinante da matriz A kI, sendo I a matriz identidade, so: a)0 e 5 b)-2 e 4 c)0 e 4 d)-4 e 2 e)-4 e 0 Q12. (Unit-SE) Se o determinante|
| igual a 5, ento o valor de x : a)
b)
c)
d)
e)
Q13. (UFU-MG) Considere as matrizes A= *
+e B=*
+ . ParaqueodeterminantedamatrizA.Bt,emqueBtdenotaamatriztranspostada matriz B, seja igual a 138, o valor de x ser igual a: a)6 b)7 c)8 d)9 Q14. (Unirio-RJ) Considere a matriz A=[
]. Sejam f e g funo definidas por f(x) = e g(x) = x 1. Calcule todos os valores de x reais tais que f(x) = g(x). Q15.(UfscarSP)SejaA=(aij)umamatrizquadradadeordem3talque,aij={
,compinteiropositivo.Emtaiscondies,concretoafirmarque, necessariamente, det A mltiplo de: a)2 b)3 c)5 d)7 e)11 Q16.(Uneb-BA)Onmerodeelementosinteirosdoconjuntosoluodainequao ( ) a)0b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO SISTEMAS DE EQUAES LINEARES Equao linear Denomina-se equao linear toda equao da formab x a x a x an n= + + + ...2 2 1 1, em que: a1, a2, ..., an so os coeficientes da equao; x1, x2, ..., xn so as incgnitas e b o termo independente. Uma n-upla ordenada, isto , uma seqncia de n nmeros reais) ,..., , (2 1 no o o uma soluo da equao linearb x a x a x an n= + + + ...2 2 1 1 se, ao substituir-se x1, x2, ..., xnrespectivamentepor no o o ,..., ,2 1,asentenab a a an n= + + + o o o ...2 2 1 1for verdadeira. Verificando uma soluo de uma equao linear Verifique se (1, 2, 2) soluo da equao linear 2x y + 2z = 8. Substituindo-sex, y e z por 1, 2, e 2, respectivamente, obtm-se a sentena2(1) (2) + 2.2 = 8, que verdadeira. Portanto, oterno ordenado (1, 2, 2) uma soluo da referida equao. Sistemas de equaes lineares Chama-se sistema de equaes lineares com m equaes e n incgnitas x1, x2, ..., xn a todo sistema da forma: = + + += + + += + + +m n mn m mn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a........ .......... .......... .......... ................2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 Umasoluodosistemauman-uplaordenadadenmeros) ,..., , (2 1 no o o que satisfaz, simultaneamente, todas as m equaes. Um sistema de equaes lineares pode ser escrito na forma matricial: (((((
=(((((
(((((
m n mn m mnnbbbxxxa a aa a aa a a 21212 12 22 211 12 11. , em que (((((
mn m mnna a aa a aa a a 2 12 22 211 12 11chamadadematrizdoscoeficientes, (((((
nxxx21amatrizdas incgnitas e (((((
mbbb21 a matriz dos termos independentes. Pode-se,tambm,associaraosistemaamatriz (((((
m mn m mnnbbba a aa a aa a a 212 12 22 211 12 11, denominada matriz ampliada do sistema. Seamatrizdostermosindependentesumamatriznula,entoosistema denominado sistema linear homogneo. Sistemas equivalentes Doissistemassoditosequivalentesquantoadmitemomesmoconjunto soluo. Pode-se transformar um dado sistema num sistema equivalente, mais simples de seresolver,apartirdaaplicaodeumaoumaisdasseguintestransformaes elementares: Ossistemas = += +=7 241y xy xS e = += +=47 22y xy xS soequivalentespois,deum para o outro, apenas trocou-se a 1 e 2 equaes de posio. Seu conjunto soluo S = {(3,1)}. 1) Troca de duas equaes de posio entre si. Ossistemas = += +=14 3101y xy xS e = + = =14 3102y xy xS soequivalentespois apenasmultiplicou-sea1equaodosistemaS1pelaconstante1paraobter-sea1 equao do sistema S2. Seu conjunto soluo S = {(8,2)}. Ossistemas = = +=5 85 21y xy xS e = = +=15 5 05 22y xy xS soequivalentespoisa2 equaodosistemaS2foiobtidapelasomada2equaodeS1comoprodutoda1 equao de S1 pela constante 4. Seu conjunto soluo S = {(1,3)}. Valeressaltarqueastransformaeselementaresapresentadaspodem, perfeitamente, ser aplicadas s linhas da matriz ampliada associada a um sistema. Classificao de um sistema linear Quantoaonmerodesolues,umsistemalinearpodeserclassificadoda seguinte forma: 2) Multiplicaodeumadasequaesporuma constante no nula. 3) Multiplicaodequalquerequaoporumaconstante no nula e soma do resultado a outra equao do sistema. Resoluo de um sistema linear atravs da Regra de Cramer AregradeCramerfoidesenvolvidapelomatemticosuoGabrielCramer (1704-1752).Trata-sedeumaregraprticautilizadanaresoluodesistemaslineares em que o nmero de equaes igual ao nmero de incgnitas. Consideremos o sistema de equaes lineares = + + += + + += + + +n n nn n nn nn nb x a x a x ab x a x a x ab x a x a x a........ .......... .......... .......... ................2 2 1 12 2 2 22 1 211 1 2 12 1 11 esejaDodeterminanteassociadomatrizdoscoeficientes,isto, nn n nnna a aa a aa a aD 2 12 22 211 12 11= . Seja,ainda,odeterminanteDxi,1sisn,obtidoquandosesubstitui,no determinante D, a i-sima coluna pela coluna dos termos independentes. SeodeterminanteDdiferentedezero,osistemapossveledeterminadoe seu conjunto soluo )`|.|
\|=DDDDDDDDSn,..., , ,3 2 1. Se D = Dx1=Dx2=...=Dxn = 0, o sistema ser possvel e indeterminado, sendo que, paran>3,talcondiosservlidasenohouverequaescomcoeficientesdas incgnitas respectivamente proporcionais e termos independentes no-proporcionais. Se D = 0 e existe Dxi = 0, 1 s i s n, o sistema ser impossvel. Resolvendo e discutindo um sistema de equaes lineares pela regra de Cramer Utilizando a regra de Cramer, resolva e classifique o sistema = + = = + +1 246z y xz y xz y x. 81 1 24 1 16 1 1121 1 21 4 11 6 141 1 11 1 41 1 641 1 21 1 11 1 1 = = = = = = = =z z y yx xD D D DD D D D Logo,2483412; 144= = = = = = = = = zDDz e yDDy xDDxzyx. Portanto, o sistema possvel e determinado e seu conjunto soluo S={(1, 3, 2)}. Determine p de modo que o sistema = + += +10 7 ) 1 (0 ) 2 ( 4y x py p x seja impossvel. Para que o sistema seja impossvel, deve-se ter D = 0 e Dx = 0 ou Dy = 0. Logo: 4010 10 420 107 102 0307 12 42=+=+ ==+ + =+=pDppDp pppDyx D = 0 p = 5 ou p = 6. ComoparaambososvaloresdepodeterminanteDxdiferentedezero,ambos fazem com que o sistema seja impossvel. Sistemas homogneos Denomina-sesistemalinearhomogneoaqueleemquetodosostermos independentes so nulos. Por exemplo, o sistema linear = + = = + +=0 300z y xz y xz y xS homogneo. Todo sistema homogneo possvel, uma vez que admite, pelo menos, a soluo trivial S = {(0, 0, ..., 0)}. Se, alm da soluo trivial, o sistema linear homogneo admitir alguma soluo no trivial, ele ser indeterminado. Caso contrrio, ser determinado. Paraadiscussodeumsistemalinearhomogneodenequaescomn incgnitas,suficienteaanlisedodeterminanteDassociadomatrizdos coeficientes das incgnitas, a saber: -Se D = 0 Sistema possvel e determinado; -Se D = 0 Sistema possvel e indeterminado Criandocondiesparaqueumsistemalinearhomogneoadmitasoluesno triviais Determine para que osistema = + + += += +0 ) 1 (00z y xz y xz y x admita outras solues alm da soluo trivial (0,0,0). Osistemaadmitiroutrassoluesalmdasoluotrivialseforpossvele indeterminado. Basta, portanto, que D = 0, ou seja; 1 0 1 01 1 11 11 1= = =+ . Questes propostas Q1. Aplicando a regra de Cramer, resolva os sistemas a seguir: a) = = +4 3 25 2y xy xb) = + = += + +18 2 41 3 27 2z y xz y xz y xc) = + = += + 6 2 30 23z y xz y xz y x d) = + = += + ++ ++2 2 2 29 2 2 27 2 2 21 11z y xz y xz y x Q2. Calcular o valor dea para que o sistema = += + = + 000z y xaz y xz y x tenha somente a soluo trivial. Q3. Determine o de modo que o sistema = += +43 2 3y xy xo seja impossvel. Q4.(Uerj-adaptado)Joocontouoscoelhos,ospatoseosboisquehaviaemsua fazenda, obtendo um total de 340 animais. A seguir, verificou que o nmero de coelhos eraotriplododepatosequeonmerodeboisexcediaem20unidadeototalde coelhos e patos. Determine o nmero de patos que h na fazenda. Resoluo de um sistema linear atravs de escalonamento Oescalonamentoumprocessoderesoluodesistemaslinearesqueconsiste naaplicaodetransformaeselementaresnumdadosistemaafimdeobterum sistema equivalente, mais simples de ser solucionado, uma vez que, nesse novo sistema, onmerodecoeficientesdeincgnitasnulos,queantecedeoprimeirocoeficienteno nulo, aumenta, de equao para equao. So exemplos de sistemas escalonados: Aoobservarmosossistemasacima,verificamosque,deumaequaoparaa seguinte, sempre desaparece uma incgnita, da esquerda para a direita, o que faz com queaquantidadedezerosaumente,deumalinhaparaoutra,namatrizampliada associada ao sistema, conforme podemos perceber nas matrizes abaixo, correspondentes aos sistemas S1 e S2, respectivamente: Solucionar um sistema escalonado uma tarefa bastante simples. Na3equaodosistemaS1,anteriormenteapresentado,fcilperceberque z = 5. Substituindo z por 5, na 2 equao, conclumos que y = 0. Substituindo y e z por 0 e 5, respectivamente, na 1 equao, obtemos x = 2. Portanto, S = {(2, 0, 5)}. No sistema S2, notamos que no existe valor para w tal que 0.w = 5. Portanto, o sistema S2 impossvel, ou seja, S = C. Aessaaltura,caroleitor,vocjdeveestarseperguntandocomopossvel escalonar um sistema linear. Conformedissemosanteriormente,implementamostransformaeselementares s equaes do sistema (ou s linhas da matriz ampliada associada a ele). Afimdequevocseacostumecomanotaoempregadanaresoluodos seguintes exemplos, faremos uma breve explicao sobre ela, a saber: -(Li Lj)significaqueai-simalinhaeaj-simalinhaforampermutadas, isto , trocaram de posio entre si. -(LikLi)significaqueai-simalinhafoimultiplicadapelaconstanteno nula k. -(LiLi+kLj)significaqueai-simalinhafoisubstitudapelasomada i-sima linhacom o produto da j-sima linha pela constante no nula k. Escalonando sistemas Escalone e resolva o sistema = + += + = +7 3 21 2 30 2z y xz y xz y x. Seja ((((
=7101 3 22 1 31 2 1Ma matriz ampliada associada ao sistema. ) 7 ( 481016 0 05 7 01 2 1)71(748107160 05 7 01 2 1) 2 () 3 (7103 1 05 7 01 2 17101 3 22 1 31 2 13 32 3 31 3 31 2 2L LL L LL L LL L L ((((
(((((
((((
((((
Logo, == + = +48 161 5 70 2zz yz y xumsistemaescalonadoequivalenteaosistemadado no exerccio. Resolvendo-odebaixoparacima,sualtimaequaoforneceovalorda incgnita z (z = 3). Substituindo-se o valor de z na segunda equao: 2 1 15 7 1 5 7 = = + = + y y z y Substituindo-se os valores de z e y na primeira equao: 1 0 3 4 0 2 = = + = + x x z y x Logo, S = {(-1, 2, 3)}. Escalone e resolva o sistema = + += + + = +2 2 21 20 3z y xz y xz y x. A matriz ampliada associada ao sistema ((((
2101 2 22 1 11 1 3. ) (1620 0 05 4 02 1 1) 2 () (6125 4 00 0 02 1 1) (2121 2 22 1 12 1 12101 2 22 1 11 1 33 21 3 31 2 23 1 1L LL L LL L LL L L((((
+ ((((
((((
((((
O sistema == + = 1 06 5 42 2zz yz y x est escalonado e equivalente ao sistema dado. Como no existe z real tal que 0.z = 1, conclui-se que o sistema impossvel e, portanto, S = C. Escalone e resolva o sistema = + = +1 2 22z y xz y x. A matriz ampliada associada ao sistema ((
1 1 2 22 1 1 1. ) 2 ( 5 1 0 02 1 1 11 1 2 22 1 1 11 2 2L L L ((
((
O sistema = = +52zz y x est escalonado e equivalente ao sistema dado. Substituindozpor5,na1equao,obtem-seaequaox+y=3,quepossui infinitas solues. Logo, o sistema possvel e indeterminado. Atribuindo a x um valor arbitrrio o, determina-se o valor de y em funo de o. Tem-se, assim, que y = 3 o. Portanto, S = {(o, 3 o, 5),em que o e IR} a soluo geral do sistema sendo que,paracadavalorespecficodadoao,obtm-seumasoluoparticulardo referido sistema. Observaes: -Todosistemaescalonadoemqueonmerodeequaesmenorqueonmerode incgnitas possvel e indeterminado. -Se, aps escalonado, um sistema apresentar alguma linha do tipo (0 0 0...0k), com k = 0, o sistema ser impossvel. Discutindo um sistema linear Discuta o sistema = + = = + q z y xz y xpz y x2 221 2 em funo dos parmetros p e q. SejaD= 2 2 11 1 12 1 podeterminanteassociadomatrizdoscoeficientesdo referido sistema. sabido que, se D = 0, o sistema possvel e determinado. 2 02 2 11 1 12 10 = = = ppD .Logo, se p = 2, o sistema ser possvel e determinado. Sep=2,tem-seosistema= + = = + q z y xz y xz y x2 221 2 2queequivalenteaosistema escalonado + == = + 1 01 31 2 2q zz yz y x. Aigualdadepresentena3equaodesseltimosistemaserverdadeirase q+1=0e,portanto,q=1;oquefarcomqueosistemasejapossvele indeterminado. Na hiptese contrria (q = 1), o sistema ser impossvel. Em resumo: -Se p = 2, o sistema ser possvel e determinado. -Se p = 2 e q = 1, o sistema ser possvel e indeterminado. -Se p = 2 e q= 1, o sistema ser impossvel. Questes propostas Q5.(Ufac)Emrelaoaosistemalinear():{
,qualanica proposio errada dentre as dos itens abaixo? a)A matriz dos coeficientes de () inversvel b)O conjunto soluo de () finito c)O sistema () possvel e determinado d)O mtodo de G. Cramer(1704-1752) preciso na obteno do conjunto soluo de (). e)No existem sistemas lineares equivalentes a (). Q6.(UFV-MG)NoparquedediversesDiaFeliz,osingressoscustamR$10,00para adultoseR$6,00paracrianas.Noltimodomingo,comavendade400ingressos,a arrecadaofoideR$3000,00.Arazoentreonmerodeadultosecrianaspagantes foi: a)
b)
c)
d)
e)
Q7. (UFSM-RS) A remoo de um volume de 540m de entulho da construo de uma obra viriafoi feita com dois tipos de caminhes. O primeiro tem capacidade de carga de6m,comcustodeR$30,00porviagem.Osegundotemcapacidadedecargade10 m, com custo de R$40,00 por viagem. Sendo destinados R$2400,00 para a remoo do entulho,asquantidadesdeviagensnecessriasparaoscaminhesdoprimeiroedo segundo tipos renovarem completamente o entulho so, respectivamente: a)30 e 40 b)30 e 50 c)40 e 50 d)40 e 40 e)40 e 30 Questes complementares Q8.(Uniube-MG)Aodescontarumcheque,recebisomentenotasdeR$10,00e R$50,00,emumtotalde14notas.Quandofuiconferir,descobriqueocaixahaviase enganado,poisrecebitantasnotasdeR$50,00quantoasdeR$10,00quedeveriater recebidoevice-versa.Percebidooerro,verifiqueique,segastasseR$240,00da importncia recebida, ainda ficaria com o valor do meu cheque. Qual era o valor do meu cheque? a)R$540,00b) R$300,00c) R$480,00d) R$240,00 Q9. (Unicamp SP) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de cajuecastanha-do-par.Sabe-sequeoquilodeamendoimcustaR$5,00.Oquilode castanhadecaju,R$20,00,eoquilodacastanha-do-par,R$16,00.Cadalatadeve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75.Almdisso,aquantidadedecastanhadecajuemcadalatadeveserigualaum tero da soma das outras duas. a)Escreva o sistema linear que representa situao descrita acima. b)Resolvaoreferidosistema,determinandoasquantidades,emgramas,decada ingrediente por lata. Q10. (UFPB) O sistema {
tem conjunto soluo: a)Vazio b)Unitrio c)Formado por dois elementos d)Formado por trs elementos e)Infinito Q11. (FGV-SP) O sistema linear{
admite soluo no trivial, se: a)= -2 b)-2 c) = 2 d)2 e)o conjunto dos nmeros reais. Q12. (UFG-GO) Um sistema linear tem a seguinte matriz de coeficientes[
] Umacondionecessriaesuficientesobrekparaqueosistematenhaumanica soluo : a)k4 b)k
c)k0 d)k
e)k 4 Q13.(Ufam)Dadoosistema{
nasvariveisx,yez,corretoafirmar que: a)Tem uma soluo com z-1 b)No tem soluo c)Tem exatamente trs solues d)Tem uma soluo nica x=0, y=1 e z=0 e)Tem uma infinidade de solues. Q14.(UFCG-PB)Ogerentedeumrestaurantepropsaseupatroaseguinte promoo: quem comprar os trs pratos sugeridos receber o primeiro gratuitamente. As quantidades x, y e z so os preos das iguarias que constituem o prato. Primeiro prato: uma poro da primeira iguaria, uma poro da segunda iguaria e duas pores da terceira iguaria, por zero unidade monetria. Segundoprato:duasporesdaprimeiraiguaria,umaporodasegundaiguariae (
)pores da terceira iguaria, por uma unidade monetria. Terceiro prato: uma poro da primeira iguaria, duas pores da segunda iguaria e duas pores da terceira iguaria, por log3 (
) unidades monetrias. Antes de anunciar sua promoo para o pblico, o patro pediu ao gerente que analisasse para ele aquela proposta. O gerente montou o sistema {
(
)
(
) , onde a um parmetro de ajuste do preo do prato, e fez a seguinte anlise: I)A promoo possvel e existe um nico preo para as iguarias se a1. II)A promoo possvel para qualquer preo das iguarias se a = -1. III)A promoo no possvel quando a =2. Est(ao) correta(s) a(s) seguinte(s) afirmao(es) do gerente: a)I, II e III b)I e III c)II e III d)I e II e)I Q15.(ITA-SP)Acondioparaqueasconstantesreaisaebtornemincompatvelo sistema linear{
: a)a b2 b)a+b=10 c)4 6b=0 d)
=
e)a . b = 24 Gabarito ESTUDO DAS MATRIZES Q1. ((
=6 54 3AQ10.d Q2. 42 32a a += 4. Q11. 94 Q3. a = 2 e b = 3. Q12. b Q4. ((
=5 04 0XQ13. a Q5. ((((
=392XQ14. d Q6. * + Q15. c Q7.
* + Q16.d Q8. a) Instante 2 do dia 4. b) 37,3 Q17. a Q9.dQ18. a Gabarito DETERMINANTE Q1. a) 10 b) 49 c) -47Q9. d Q2. a)
b) Q10. d Q3. y = 0Q11. d Q4. 171Q12. b Q5.
Q13. a Q6. 5Q14. | Q7. aQ15. c Q8. cQ16. e Gabarito SISTEMAS DE EQUAES LINEARES Q1. a))} 2 , 1 {( = S b))} 5 , 0 , 2 {( = S c))} 1 , 1 , 1 {( = S d) S = {(2,1,0)} Q9. a){
b)Amendoim:250g;castanhade caju: 125g; castanha-do-par: 125g Q2. {a e IR | a = 1}Q10.a Q3. 23= oQ11. a Q4. 40 patosQ12.e Q5.eQ13.e Q6.aQ14.c Q7. eQ15.a Q8.b
