MATRIZ Definição : Matriz é um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas representadas respectivamente por m x n (lê-se m por n), onde m ≥ 1 e representa o número de linha e n ≥ 1 e representa o número de colunas. As matrizes (tabelas) são representadas por letra maiúscula, as filas horizontais são chamadas de linhas e as filas verticais são chamadas de colunas. Os números contidos nesta tabela são chamados de elementos. Representação Algébrica da matriz A =( a ij ) m x n , onde i representa as linhas e j as colunas. Podemos construir uma matriz numérica a partir da matriz algébrica. Observe o exemplo: Achar os elementos da matriz A =( a ij ) 3 x 2 em que ( a ij ) =3 .i−j. Resolução: A representação genérica desta matriz é: A = ( a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 ) 3x2 utilizando a sentença acima dada, teremos: A = ( 2 5 8 1 4 7 ) 3x2 TIPO DE MATRIZES
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MATRIZ
Definição: Matriz é um conjunto ordenado de elementos dispostos em linhas e colunas representadas respectivamente por m x n (lê-se m por n), onde m ≥ 1 e representa o número de linha e n ≥ 1 e representa o número de colunas.
As matrizes (tabelas) são representadas por letra maiúscula, as filas horizontais são chamadas de linhas e as filas verticais são chamadas de colunas. Os números contidos nesta tabela são chamados de elementos.
Representação Algébrica da matriz A=(aij)mx n , onde i representa as linhas e j as colunas.
Podemos construir uma matriz numérica a partir da matriz algébrica.
Observe o exemplo: Achar os elementos da matriz A=(aij)3 x 2 em que (a ij)=3 .i− j .
Resolução: A representação genérica desta matriz é:
A=(a11
a21
a31
a12
a22
a32)
3 x 2
utilizando a sentença acima dada, teremos:A=(258
147)
3x 2
TIPO DE MATRIZES
Matrizes Quadradas: é toda matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e
colunas, agora dizemos que a matriz é de ordem n. Exemplo: A=(214
4 3 ) é uma matriz de ordem
2.
Elementos da matriz quadrada:
Diagonal principal é o conjunto dos elementos, tais que i = j. Diagonal secundária é o conjunto dos elementos, tais que i +j = n + 1.
Ex.: A=(2 1 05 4 38 7 6) a diagonal principal é formado pelos elementos 2, 4 e 6 e a diagonal
secundária pelos elementos 0, 4 e 8.
Matriz Nula: é a matriz que todos os seu elementos são nulos. Ex.:B=(0 0 00 0 0)
2 x3
Matriz Diagonal: é uma matriz quadrada onde todos os elementos que não pertencem a diagonal
principal são nulos. Ex.: C¿(2 00 3)
Matriz de Identidade: é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1 e os demais elementos são nulos. Notação In , onde n indica a ordem da matriz de identidade. Ex.:
I 3=(1 0 00 1 00 0 1) .
Matriz Transpostas: Dada a matriz A de ordem m x n chamamos de matriz transposta de A, indicada por At de ordem n x m que se obtém a partir de A, trocando ordenadamente suas linhas
por colunas e suas colunas por linhas. Ex.: A=( 2 10−30 3 ) então At = ( 2 −30
10 3 )Matriz Simétrica: é uma matriz quadrada onde B = Bt. Ex.: B=(1 5
5 3)Matriz Oposta: a matriz oposta é obtida na troca dos sinais dos elementos correspondentes.
A=(−1 255 −3)⟹ (−A )=( 1 −25
−5 3 )
IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes A e B de mesmo tipo são iguais, se cada elemento de A for igual ao
elemento correspondente de B. Notação A = B. Ex.: Se A = (2 yx 3 ) e B = (2 −3
0 3 ) , se A = B então
y = – 3 e x = 0.
OPERAÇÕES COM MATRIZES
Adição e Subtração
A adição ou subtração de duas matrizes A e B, do mesmo tipo é efetuada somando-se ou
subtraindo-se os seus elementos correspondentes. De uma forma geral, as A=(aij)mx n , B=(b ij)mxn
e C ¿(c ij)mxn , temos na adição C = A + B ⇒ cij=aij+bij e na subtração C = A – B ⇒ cij=aij−bij.
Propriedades
Comutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) +C = A +(B +C) Elemento neutro: A + 0 = A Elemento Oposto: A + (– A) = 0
Multiplicação de um número real por uma matriz
Para multiplicar um número real por uma matriz basta multiplicar este número pelos elementos da matriz.
Ex.: 5 .(2 −16 −2)=(10 −5
30 −10)
Multiplicação de matrizes
Definição: Dada uma matriz A=(aij)mx n e uma matriz B=(b jk)nx p , denomina-se produto de A por B
a matriz C=(c ik)mx p tal que o elemento c ik é a soma dos produtos da i-ésima linha da A pelos
elementos correspondentes de j-ésima coluna de B.
Na multiplicação de duas matrizes, A e B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B; o produto AB terá o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B.
Am xn .Bnx p=(A .B)mx p
Ex.: Vamos multiplicar a matriz para entender como se obtém cada Cij:
1ª linha e 1ª coluna
1ª linha e 2ª coluna
2ª linha e 1ª coluna
2ª linha e 2ª coluna
.
Propriedades
Associativa: A.(BC) = (AB).C Distributiva à direita: A.(B + C) = AB +AC Distribuição à esquerda: (B + C).A = BA +CA
Matriz Inversa
Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, se existir uma matriz B, de mesma ordem, tal que A . B = B . A = I n, então B é matriz inversa de A e representamos a matriz inversa por A-1 .
Ex. Determinar a inversa da matriz A=(2 41 5).
Resolução: Sabemos que A . A-1 = I, onde A=(2 41 5) , A−1=(a b
c d)e I=(1 00 1) , assim teremos:
(2 41 5) .(a b
c d)=(1 00 1)⇒(2a+4 c 2b+4 d
a+5c b+5 d )=(1 00 1)
Para descobrir os valores de a, b, c e d, resolveremos o sistema:
{2a+4 c=1a+5c=0
∴ a=56
e c=−16
{2b+4 d=0b+5d=1
∴b=−23
e d=13 Logo, a matriz inversa A
−1=(56
−23
−16
13
).
DETERMINANTE
Definição: Determinante é um número associado a uma matriz quadrada.
Determinante de 1ª Ordem
O determinante da matriz A=|a11| é o próprio número a11. Notação: det A ou |a11|.
Ex.: A=|2| ⇒ det A=2 ou |2|=2
A=|−14| ⇒ det A=-14 ou |-14|= – 14
Determinante de 2ª Ordem
O determinante da matriz A = |a11 a12
a21 a22| é igual à diferença entre o produto dos elementos
da diagonal principal e o produto da diagonal secundária, ou seja: det A =|a11 a12
a21 a22| =
a11 .a22−a12 .a21
Ex.: A = |1 34 2| ⇒ det A = 1.2 – 3.4 = – 10
Determinante de 3ª Ordem
Para o cálculo desse determinante será utilizado a Regra de Sarrus.
Seja a matriz A=|a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33|
1º passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:
2º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal positivo):
3º passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secundária com os dois produtos obtidos pela multiplicação dos elementos das paralelas a essa diagonal ( a soma deve ser precedida do sinal negativo):
Chamamos de Equação Linear toda equação de forma: a1 x1+a2 x2+…+an xn=b, onde
a1 , a2 ,…,an são números reais chamados de coeficiente das incógnitas x1 , x2 ,…, xn e b é um
número real chamado termo independente.
Classificação dos Sistemas Lineares
Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma:
Solução de um Sistemas Lineares
A solução de um sistema é uma n-upla de valores ordenados (s1 , s2….sn) que é,
simultaneamente, solução de todas as equações do sistema.
Ex.: O sistema {2x+ y=4x+3 y=7
tem com solução x = 1 e y = 2. Como só admite uma única solução
podemos dizer que o sistema é possível e determinado.
Solução de um Sistemas pela Regra de Cramer
A Regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mais só poderá ser utilizada se o número de equações e o número de incógnita forem iguais.
Portanto para resolver um sistema linear, utilizando esta regra, devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituir os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes (Dx, Dy, ... Dz). Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:
x=DxD
y=DyD
.... z=DzD
SISTEMAS LINEARES
POSSÍVEL (quando admite solução)
DETERMINADO
(D≠0) (admite uma única solução)
INDETERMINADO (D=0; Dx=0; Dy=0; ...Dz=0)
(admite infinitas soluções)
IMPOSSÍVEL(D=0;Dx≠0;Dy≠0;....Dz≠0)
(quando não admite solução)
Ex.: Resolver, utilizando a Regra de Cramer, o sistema {2x−3 y=1x+4 y=6
Solução:
D=|2 −31 4 |=2.4−( (−3 ) .1 )=11 como D≠0, o sistema é possível
Dx=|1 −36 4 |=1.4−( (−3 ) .6 )=22
Dy=|2 11 6|=2.6−(1.1 )=11 como Dx≠0 e Dy≠0, o sistema é determinado
Portanto, x=DxD
=2211
=2 y=DyD
=1111
=1
Obs: É utilizado o mesmo procedimento para determinantes de 3ª ordem.
VETORES
Diferença entre Grandeza Escalar e Grandeza Vetorial
Grandeza Escalar: são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real (acompanhado de uma unidade adequada). Exemplo: comprimento, temperatura, área, volume, massa.
Grandeza Vetorial: são aquelas que não ficam completamente definidas apenas pelo número com sua unidade de medida, ou seja, para serem perfeitamente caracterizadas necessitamos conhecer seu módulo (comprimento ou intensidade), sua direção e seu sentido. Exemplo: força, velocidade, aceleração.
VETOR é uma grandeza vetorial. Os vetores do plano ou do espaço são representados por
segmentos orientados. Todos os segmentos orientados que tem a mesma direção, o mesmo
sentido e o mesmo comprimento são representantes de um mesmo vetor.
Um vetor também costuma ser indicado por uma letra minúscula encimada por uma flecha.
Podemos representar o vetor das seguintes formas: v⃗= A⃗B=B−A.
Paralelismo e Ortogonalidade de Dois Vetores
Dado os vetores u⃗ = (x1, y1) e v⃗ = (x2, y2) são paralelos se tiverem a mesma direção
podendo ou não ter o mesmo sentido. Indica-se por u⃗ // { v⃗ ¿ . Se tiver o mesmo sentido recebem o
nome de equiversos e se tiver sentido contrários recebem o nome de contraversor. Se dois
vetores são paralelos então
x1
x2
=y1
y2 .
Dado os vetores u⃗= (x1, y1) e v⃗ =(x2, y2), são ortogonais e indica-se por u⃗⊥ v⃗ se, e somente
se, x1.x2 +y1. y2 = 0. Ou seja, u⃗ e v⃗ são ortogonais se a flecha que representa u⃗faz um ângulo reto
com o que representa v⃗.
A
BvObserve que A é a origem da flecha e B é a ponta da flecha.
u
v
u
v
v
u
Igualdade de Vetores
Dois vetores são iguais se tiverem o mesmo módulo, direção e sentido, então u⃗=v⃗.
Vetor Oposto
O vetor oposto é quando eles têm o mesmo módulo, a mesma direção mais sentidos
contrário. O oposto de A⃗B é B⃗A. Portanto, o oposto de u⃗ é indicado por −u⃗.
Vetor Nulo
Será representado por um ponto, como se fosse uma flecha de origem e ponta coincidente.
Tal vetor será indicado por 0⃗, ou A – A, ou ainda A⃗A, sendo A um ponto qualquer no espaço. O
oposto do vetor nulo é ele mesmo, ou seja, −0⃗=+0⃗.
Módulo de um Vetor
É um número não negativo que indica o comprimento de um vetor. Indicado por |v⃗| ou |⃗AB|, sendo A=(x1, y1) e B=(x2, y2), então teremos:
|v⃗|=√x2+ y2
|⃗AB|=√(x2−x1)2+( y2− y1)
2
Vetor Unitário
O vetor v⃗ é unitário se |v⃗|=1.
Versor
O versor de um vetor u⃗ não nulo é o vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo
sentido.
versu⃗= u⃗|u⃗|
- u
u
OPERAÇÕES COM VETORES
Adição de Vetores
Sejam os vetores u⃗e v⃗ representados pelos segmentos orientados AB e BC,
respectivamente teremos:
Sendo u⃗ // v⃗ , a maneira de se obter o vetor u⃗ + v⃗ é a mesma que está ilustrada abaixo:
Mesmo sentido Sentido oposto
u⃗ v⃗ u⃗
u⃗ + v⃗ v⃗
u⃗ + v⃗
No caso de vetores u⃗e v⃗ não serem paralelos, há outra maneira de se encontra a soma u⃗+ v⃗
. Representam-se u⃗=A⃗B e v⃗= A⃗D por segmento orientado de mesma origem A. Completa-se o
paralelogramo ABCD e o segmento orientado de origem A, que corresponde à diagonal do
paralelogramo, é o vetor u⃗+ v⃗, isto é,
u⃗+ v⃗= A⃗C
Propriedades da Adição
Dados os vetores u⃗ , v⃗ e w⃗ , teremos as seguintes propriedades:
* Associativa: ( u⃗+v⃗ )+w⃗=u⃗+( v⃗+w⃗ )
* Comutativa: u⃗+ v⃗= v⃗+u⃗
* Existe um só vetor nulo 0⃗ , tal que, para todo vetor v⃗ , se tem: v⃗+0⃗= 0⃗+ v⃗= v⃗
* Qualquer que seja o vetor v⃗ , existe um só vetor -v⃗ , tal que: v⃗+(− v⃗ )= v⃗−v⃗=0
u⃗+ v⃗C
B
A
u⃗+ v⃗v⃗ u⃗+ v⃗=(B−A )+(C−B )=C−A=A⃗C
D
B
A
u⃗ + v⃗Cu⃗
v⃗
Subtração de Vetores
Dados os vetores u⃗ e v⃗ , definimos a diferença u⃗ - v⃗ por u⃗ -v⃗ =u⃗ +(-v⃗ ). Denotamos por
diferença de pontos:
Obs. A diferença de vetores não é comutativa, ou seja: u⃗− v⃗≠ v⃗−u⃗ .
Multiplicação de um Número Real por um Vetor
Dado um vetor v⃗ ≠ 0 e um número real k ≠ 0, chama-se produto do número real k pelo vetor
v⃗ o vetor p⃗=k . v⃗ .
Operações
Sejam os vetores os vetores u⃗ = (x1, y1) e v⃗ = (x2, y2) e a є . Define-se:
2. Assinale verdadeiro ou falso, caso seja falso justifique:
a) Vetor é uma grandeza escalar? ( ) b) Um vetor é uma flecha? ( )c) Duas flechas de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são representante de um mesmo vetor? ( )d) O vetor v⃗ é oposto a − v⃗ ? ( )
e) A⃗B=B−A? ( )
f) A⃗B=A−B? ( )g) Dizemos que o vetor é ortogonal a outro vetor, se e somente se, u⃗ . v⃗ ≠0. ( )
Vetor Definido por Dois Pontos
Dado os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), sendo o ponto 0 a origem e AB as extremidades