1 เมตริกซ์ และดีเทอร์มิเนนท์ (Matrix and Determinants) ความหมาย เมตริกซ์ (matrix) คือ กลุ ่มของตัวเลข หรือตัวคงที่ หรือ ฟังก์ชัน (function) ซึ่งจัดเรียงกันในรูป แถว (row) และ คอลัมภ์ (column) กลุ ่มของตัวเลขหรือฟังก์ชันที่อยู ่ในเมตริกซ์ เรียกว่า สมาชิก (element) ซึ่งสมาชิกทั้งหลายจะอยู ่ในวงเล็บ [ ] หรือ ( ) เมตริกซ์ จะเขียนแทนด้วยภาษาอังกฤษตัวพิมพ์ใหญ่ คือ A , B , C , ….. และสมาชิกจะเขียน ด้วยตัวพิมพ์เล็ก a, b, c, … ขนาดของเมตริกซ์จะบอกจานวนแถว และจานวนหลัก เช่น ถ้าเมตริกซ์ มี ขนาด m แถว และ n หลัก เราจะได้ว่าเมตริกซ์นั ้นจะมีขนาด m x n อ่านว่า “m คูณ n” นิยาม 1 ถ้า A เป็นเมตริกซ์ขนาด m x n และมี a i j เป็นสมาชิกแล้ เราสามารถเขียนเมตริกซ์ A อยู ่ในรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากที่ถูกปิดล้อมด้วยเครื่องหมาย “ [ ] “ ได้ดังนี ้ a 11 a 12 a 13 ….. a 1m a 21 a 22 a 23 ….. a 2n A = . . . ….. . . . . ….. . a m1 a m2 a m3 …. a mn เขียนย่อ ได้ดังนี ้ A = [ a ij ] m x n เมื่อ i = 1, 2, 3, …m j = 1, 2, 3, …n โดยที่ a 11 คือ สมาชิกของเมตริกซ์ A ที่อยู ่ในแถวที่ 1 และคอลัมภ์ที่ 1 a 12 คือ สมาชิกของเมตริกซ์ A ที่อยู ่ในแถวที่ 1 และคอลัมภ์ที่ 2 a 21 คือ สมาชิกของเมตริกซ์ A ที่อยู ่ในแถวที่ 2 และคอลัมภ์ที่ 1 a 22 คือ สมาชิกของเมตริกซ์ A ที่อยู ่ในแถวที่ 2 และคอลัมภ์ที่ 2 mn
43
Embed
(Matrix and Determinants) - elsci.ssru.ac.th · 1 เมตริกซ์ และดีเทอร์มิเนนท์ (Matrix and Determinants) ความหมาย...
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
เมตริกซ์ และดีเทอร์มิเนนท์ (Matrix and Determinants)
ความหมาย เมตริกซ์ (matrix) คือ กลุม่ของตวัเลข หรือตวัคงท่ี หรือ ฟังก์ชนั (function) ซึง่จดัเรียงกนัในรูปแถว (row) และ คอลัมภ์ (column) กลุ่มของตัวเลขหรือฟังก์ชันท่ีอยู่ในเมตริกซ์ เรียกว่า สมาชิก (element) ซึง่สมาชิกทัง้หลายจะอยูใ่นวงเล็บ [ ] หรือ ( ) เมตริกซ์ จะเขียนแทนด้วยภาษาองักฤษตวัพิมพ์ใหญ่ คือ A , B , C , ….. และสมาชิกจะเขียนด้วยตวัพิมพ์เล็ก a, b, c, … ขนาดของเมตริกซ์จะบอกจ านวนแถว และจ านวนหลกั เชน่ ถ้าเมตริกซ์ มีขนาด m แถว และ n หลกั เราจะได้วา่เมตริกซ์นัน้จะมีขนาด m x n อา่นวา่ “m คณู n” นิยาม 1 ถ้า A เป็นเมตริกซ์ขนาด m x n และมี ai j เป็นสมาชิกแล้ เราสามารถเขียนเมตริกซ์ A อยูใ่นรูปส่ีเหล่ียมมมุฉากท่ีถกูปิดล้อมด้วยเคร่ืองหมาย “ [ ] “ ได้ดงันี ้ a11 a12 a13 ….. a1m a21 a22 a23 ….. a2n A = . . . ….. . . . . ….. . am1 am2 am3 …. amn เขียนยอ่ ได้ดงันี ้ A = [ a ij] m x n เม่ือ i = 1, 2, 3, …m j = 1, 2, 3, …n โดยท่ี a11 คือ สมาชิกของเมตริกซ์ A ท่ีอยูใ่นแถวท่ี 1 และคอลมัภ์ท่ี 1 a12 คือ สมาชิกของเมตริกซ์ A ท่ีอยูใ่นแถวท่ี 1 และคอลมัภ์ท่ี 2 a21 คือ สมาชิกของเมตริกซ์ A ท่ีอยูใ่นแถวท่ี 2 และคอลมัภ์ท่ี 1 a22 คือ สมาชิกของเมตริกซ์ A ท่ีอยูใ่นแถวท่ี 2 และคอลมัภ์ท่ี 2
mn
2
พีชคณิตเมตริกซ์ เป็นการปฏิบตักิารของเมตริกซ์ อนัได้แก่ การบวก การลบ และการคณูเมตริกซ์ ซึ่งมีลกัษณะดงัจะกลา่วตอ่ไปนี ้ การบวกและการลบเมตริกซ์ (Addition and Subtraction of matrix) นิยาม 2 ถ้าให้ A = [ aij ] mxn , B = [ bij ] mxn เป็นเมตริกซ์ 1. การบวกเมตริกซ์ A กบั B คือ การน าสมาชิกท่ีอยูใ่นต าแหนง่เดียวกนัของ A และ B มาบวกกนั นัน่คือ A + B = [ aij + bij ] mxn เม่ือ i = 1, 2, 3, ….m j = 1, 2, 3, …..n 2. การลบเมตริกซ์ A กบั B คือ การน าสมาชิกท่ีอยูใ่นต าแหนง่เดียวกนัของเมตริกซ์ A กบั B มาลบกนั นัน่คือ A - B = [ aij - bij ] mxn เม่ือ i = 1, 2, 3, ….m j = 1, 2, 3, …..n ตัวอย่าง 1 2 4 3 2 -1 1 1 2 3 ก าหนดให้ A = 0 1 2 , B = 4 3 2 , C = 0 1 4 -1 5 2 1 2 4 2 1 0 จงหา 1. A + B 2. A - B 3. A + B - C วิธีท า 2+2 4+(-1) 3+1 1) A + B = 0+4 1+3 2+2 -1+1 5+2 2+4 4 3 4 = 4 4 4
2) A – ½C = 0 1 2 ½ 0 1 4 -1 5 2 2 1 0 2 4 3 ½ (1) ½ (2) ½ (3)
= 0 1 2 ½ (0) ½ (1) ½ (4) -1 5 2 ½ (2) ½ (1) ½ (0) 2 4 3 ½ 1 3/2 1½ 3 3/2
= 0 1 2 0 ½ 2 = 0 ½ 0 -1 5 2 1 ½ 0 -2 -4½ 2 การคูณเมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์ (Multiplication of Matrix) ในการคณูเมตริกซ์กบัเมตริกซ์นัน้ จ าเป็นต้องตรวจสอบก่อนวา่เมตริกซ์ทัง้สองนัน้คณูกนัได้หรือไม ่ โดยการตรวจสอบวา่ จ านวนหลกัของเมตริกซ์หน้า เทา่กบัจ านวนแถวของเมตริกซ์หลงัหรือไม ่และขนาดของผลคณูจะเกิดจากแถวของเมตริกซ์หน้ากบัหลกัของเมตริกซ์หลงั ตัวอย่าง A เป็นเมตริกซ์ท่ีมีขนาด 2x3 B เป็นเมตริกซท่ีมีขนาด 3x2 ตรวจสอบ A2x3 B3x2 = AB2x2 เทา่กนั คณูกนัได้ จะเห็นวา่ หลกัของเมตริกซ์หน้า คือ เมตริกซ์ A เทา่กบั แถวของเมตริกซ์หลงั คือ เมตริกซ์ B ขนาดของผลคณู AB จะเทา่กบั 2x2
6
ตัวอย่าง A เป็นเมตริกซ์ท่ีมีขนาด 2x2 B เป็นเมตริกซท่ีมีขนาด 3x2 ตรวจสอบ A2x2 B3x2 ไมเ่ทา่กนั คณูกนัไมไ่ด้ นิยาม 4 เมตริกซ์ A เป็นเมตริกซ์ขนาด mxp และ เมตริกซ์ B มีขนาด pxn ผลคณูของ เมตริกซ์ A กบั B คือ AB จะมีขนาด mxn โดยมีสมาชิกเป็น cij จเกิดจากผลบวก ของผลคณูสมาชิกในแถวท่ี i ของสมาชิก A กบัสมาชิกคอลมัภ์ท่ี j ของเมตริก B นัน่คือ ถ้าให้ A = [ aij ] mxp , B = [ bij ] pxn แล้ว AB = C = [ cij ] mxn โดยท่ี
จะได้วา่ a11 =b11 , a12 = b12 , a13 = b13 , ……. , amn = bmn ตัวอย่าง 6 ให้ 2x 8 จงหาคา่ x , y 4 y วิธีท า จะได้วา่ 2x = 8 เพราะฉะนัน้ x = 8/2 = 4 4 = y ตัวอย่าง 7 ก าหนดให้ x 4 1 4 -5 y -5 4 จงหาคา่ x , y วิธีท า x = 1 y = 4 ตัวอย่าง 8
13
ก าหนดให้ -5 8 7 -3 4 0 -12 3 48
3 2x -2 1 2 -1 = -3 2 -12 4 1 -1 -5 1 -y 3z 17 -9 จงหา x , y , z วิธีท า หา x -3 3 2x -2 x 1 = c21 = -3 [เพราะ c21 เกิดจากแถวท่ี 2 -5 ของเมตริกซ์หน้าหลกัท่ี 1 ของเมตริกซ์หลงั] -9 + 2x + 10 = -3 2x = -4 x = -2 หา y 0 4 1 -1 x -1 = -9 = c33 -y 4(0) + (1) (-1) + (-1) (-y) = 9 -1 + y = -9 y = -9+1 = -8 หา z -3 4 1 -1 x 1 = 3z = c31 -5 4(-3) + (1) (1) + (-1) (-5) = 3z
14
-12 + 1 + 5 = 3z -6 = 3z = -2 = z ดงันัน้ x = -2 , y = -8 , z = -2 คุณสมบัตทิี่ส าคัญของเมตริกซ์ 1) A(BC) = (AB)C 2) A(B+C) = AB + AC 3) (A+B)C = AC + BC
4) (AB) = (A) B = A(B)
5) ถ้า เป็นเมตริกซ์ศนูย์แล้ว A = 6) ไมมี่คณุสมบตัเิก่ียวกบัการสลบัท่ี นัน่คือ AB ไมจ่ าเป็นต้องเทา่ BA
7) ถ้า AB = แล้ว A หรือ B ไมจ่ าเป็นต้องเป็นเมตริกซ์ศนูย์ 8) ถ้า A = B แล้ว AC = BC และ CA = CB แต ่ AC และ CA ไมจ่ าเป็นต้องเทา่กนั
ท านองเดียวกนั BC ไมจ่ าเป็นต้องเทา่ CB 9) ถ้า AB = AC แล้วไมจ่ าเป็นท่ี B = C รูปแบบต่าง ๆ ของเมตริกซ์ นิยาม 6 ทรานสโพสของเมตริกซ์ (Transpose of Matrix)
ก าหนดให้ A เป็นเมตริกซ์ใด ๆ ทรานสโพสของ A เขียนแทนด้วย “At” หรือ A อ่านว่า A – transpose ซึ่ง At คือ เมตริกซ์ท่ีเปล่ียนสมาชิกของแถว A เป็นคอลมัภ์ หรือจากคอลมัภ์ไปเป็นแถว นัน่คือ ถ้า A = [ aij ] mxn แล้ว A
t = [ aij ] nxm
15
เม่ือ i = 1, 2, 3, ….m j = 1, 2, 3, …..n ตัวอย่าง 9 ก าหนดให้ A = 1 2 3 จงหา At 4 5 6 วิธีท า 1 4 จะได้ At = 2 5 3 6 คุณสมบัตขิองทรานสโพส ก าหนดให้ A , B , C เป็นเมตริกซ์ ท่ีสามารถบวกลบคณูได้ และ K เป็น สเกลาร์ จะได้วา่ 1. (At)t = A 2. (KA) t = KA t 3. (A + B) t = A t + B t (A + B + C) t = A t + B t + C t 4. (AB) t = B t A t (ABC) t = C t B t A t นิยาม 7 เมตริกซ์สมมาตร (Symmetric matrix) คือ เมตริกซ์จตรัุส ท่ีทราสโพสของเมตริกซ์ จะเทา่กบัเมตริกซ์เดมิ และถ้า B เป็นเมตริกซ์จตรัุสแล้ว B + B t จะเป็นเมตริกซ์ สมมาตร
คณูคา่ดีเทอร์มิแนนท์เดมิ 3) ถ้า 2 แถว หรือ 2 คอลมัภ์ของเมตริกซ์จตัรัุส A มีสมาชิกเหมือนกนัแล้ว det A = 0
25
4) ถ้า A เป็นเมตริกซ์จตัรัุสใด ๆ แล้ว det A = det (At) 5) ถ้า A เป็นเมตริกซ์จตัรัุส nxn แล้ว det (KA) = Kndet A เม่ือ K เป็นตวัสเกลาร์ 6) ถ้า B เป็นเมตริกซ์ท่ีได้จากเมตริกซ์ A โดยน าเอาจ านวนจริง K คณูสมาชิกทกุตวัในแถว (คอลมัภ์) หนึง่ของ A แล้ว |B| = K|A| 7) ถ้าเปล่ียนแถว หรือคอลมัภ์ใด ๆ โดยการน า K คณูกบัแถวใดแถวหนึง่แล้วบอกลงในอีกแถวหนึง่ ซึง่จะเกิดเป็นแถวใหม ่ แล้วดีเทอร์มิแนท์จะมีคา่เทา่เดมิ 8) ถ้า A แล B เป็นเมตริกซ์จตัรัุส ขนาด nxn แล้ว det(A) det(B) = det(AB) เมตริกซ์ผกผัน หรืออินเวอร์สของเมตริกซ์ (Inverse of a matrix)
นิยาม ถ้า A และ B เป็นเมตริกซ์จตัรัุสขนาด nxn และ AB = n = BA แล้ว B จะเป็นเมตริกซ์ผกผนัหรืออินเวอร์สเมตริกซ์ของ A และ A เป็นเมตริกซ์ผกผนัของ B ด้วยเหมือนกนัสญัลกัษณ์อินเวอร์สของ A คือ A-1 นัน่คือ B = A-1 จากนิยามหมายความวา่
A A-1 = n = A-1A ตัวอย่างเช่น 1 2 3 ก าหนดให้ A = 1 3 5 1 5 12 จงแสดงวา่
3
11 -3 3
1
3
7 3 3
2 เป็นอินเวอร์สของเมตริกซ์ A
3
2 -1 3
1
วิธีท า
26
3
11 -3 3
1
ให้ A-1 = 3
7 3 3
2
3
2 -1 3
1
จากนิยาม A A-1 = n = A-1A
3
11 -3 3
1 1 2 3 1 0 0
3
7 3 3
2 1 3 5 = 0 1 0
3
2 -1 3
1 1 5 12 0 0 1
1 2 3 3
11 -3 3
1 1 0 0
หรือ 1 3 5 3
7 3 3
2 = 0 1 0
1 5 12 3
2 -1 3
1 0 0 1
คุณสมบัตขิองอินเวอร์สเมตริกซ์ ให้ A และ B เป็นเมตริกซ์จตัรัุส ขนาด nxn
1) (A-1) -1 = A 2) (AB) -1 = B-1A-1 3) (At) -1 = (A-1) t
X คือ เมตริกซ์ตวัแปรท่ีไมท่ราบคา่ B คือ เมตริกซ์ของตวัคงท่ีท่ีอยูข่วามือ จาก Ax = B น า A-1 คณูตลอด A-1(AX) = A-1B
n X = A-1B (เพราะ A-1A = )
X = A-1B (เพราะ n X = X) นัน่คือ เม่ือต้องการหาคา่ของเมตริกซ์ X ให้น า A ไปหา A-1 แล้วคณูกบัเมตริกซ์ตวัคงท่ีหรือเมตริกซ์ B นัน่เอง ตัวอย่าง จงแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีอินเวอร์ส 2x – y + 3z = 1 x + y + z = 4 2x + 4y +4z = -6 วิธีท า ท าในรูป AX = B 2 -1 3 x 1 1 1 1 y = 4 2 4 4 z -6 จาก X = A-1B
0 2 2
1
หา A-1 = 4
1 4
1 8
1
4
1 4
5 8
3
x 0 2 2
1 1 11
37
ดงันัน้ y = 4
1 4
1 8
1 4 = 0
z 4
1 4
5 8
3 -6 -7
x = 11 y = 0 z = -7 2) การแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้ดีเทอร์มิแนนท์ หรือเรียกวา่ การแก้สมการโดยใช้กฎของเครเมอร์ (Cramer’s rule) จ านวนสมการเชิงเส้นต้องเทา่กบั จ านวนตวัแปร จาก AX = B
ให้ = det A
j = det (Aj) = |Aj|
โดยท่ี j คือ ดีเทอร์มิแนนท์ของเมตริกซ์ A ท่ีเกิดจากการแทนคอลมัภ์ท่ี j ด้วยเมตริกซ์คงท่ี B เม่ือ xj , xn ,………, xn เป็นตวัแปรไมท่ราบคา่
x1 =
1 , x2 =
2 , x3 =
3 , xn =
n
หาคา่ตวัแปร เป็น x, y, z,…
x =
1
y =
2
z =
3
ตัวอย่าง จงแก้สมการเชิงเส้นโดยใช้กฎของ Gramer’s rule 2x – y + 3z = 1 x + y + z = 4 2x + 4y +4z = -6
38
วิธีท า ท าในรูป AX = B 2 -1 3 x 1 1 1 1 y = 4 2 4 4 z -6 2 -1 3 x 1 โดยท่ี A = 1 1 1 , X = y , y = 4 2 4 4 z -6 2 -1 3 2 -1