Page 1
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
MATRIKS & TRANSFORMASI
LINIER
Oleh :
SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI
082334051324
Daftar Referensi :
1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John
wiley,1993
2. Spiegel, Murray R, Advanced Calculus, Shcaumβs Series, mc. Graw Hill,
Singapore, 1981
3. Spiegel, Murray R, Vektor Analysis, Shcaumβs Series, mc. Graw Hill,
Singapore, 1981
4. T. Sutojo, S.Si., dkk, Aljabar Linier & Matriks, Penerbit Andi, 2010
Page 2
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
1. VEKTOR
1. Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah.
Besaran-besaran pada fisika banyak yang termasuk besaran vektor. Contohnya gaya,
kecepatan, percepatan, perpindahan, momen gaya dan momentum..
Vektor jika digambar dilambangkan dengan tanda panah (β). Besar vektor proporsional
dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat
melambangkan perpindahan dari titik A ke B. Vektor sering ditandai sebagai
Contoh:
= notasi pada vektor AB
Titik pangkal di A
Titik ujung di B
Arah vektor dari A menuju
Besar vektor ditunjukkan oleh panjang garis AB
Vektor-vektor yang mempunyai arah dan panjang yang sama dikatakan ekivalen
Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol dan dinyatakan dengan 0.
Penjumlahan dengan vektor nol didefinisikan
0 + v = v + 0 = v
Jika v sebarang vektor tak nol, maka βv (negatif v) adalah vektor yang mempunyai
besaran sama seperti v tetapi arahnya berlawanan dengan v.
A
π΄π΅ B
π΄π΅
Page 3
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
Selain cara di atas, vektor bisa juga diberi lambang huruf alfabet kecil, misalkan
diberikan vektor a. Jika elemen-elemen ditulis berderet membentuk satu baris, disebut
vektor baris.
a =
[ ]
vektor kolom a = [ a1, a2, a3, β¦, an] vektor baris
Latihan soal:
1. Berikut adalah gambar lima buah mobil yang diamati berdasarkan ciri-ciri yang
dimilikinya yaitu massa, kecepatan, tinggi, panjang, dan harganya.
1 2 3 4 5
Misalkan data-data dari mobil tersebut adalah:
Mobil ke : Massa (kg) Kecepatan (km/jam) Tinggi (m) Panjang (m) Harga (Juta Rp)
1 2000 50 2,7 3,5 300
2 900 75 2 3 200
3 700 150 1,5 2,3 400
4 300 400 1,2 2 700
5 1000 100 2,5 2,4 550
Nyatakan data-data di atas sebagai vektor baris.
2. Ada 5 citra yang akan dikenali menggunakan komputer. Beberapa ciri untuk
mengenali citra tersebut adalah dilihat dari standar deviasi intensitas warna dalam tiap-
tiap citra Ο, rata-ratanya ΞΌ, histogramnya h, dan entropinya e.
1 2 3 4 5
Maka vektor ciri 5 buah citra tersebut dapat dinyatakan sebagai β¦
Page 4
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
1. Ruang Vektor
1.1 Vektor di ruang R2 dan R
3
Vektor Satuan dan Vektor Basis di Ruang R2
Tinjau vektor-vektor berikut :
Masing-masing vektor ini mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu
koordinat. Vektor tersebut dinamakan vektor satuan di ruang R2.
Vektor basis di ruang R2 pada sumbu x dinyatakan dengan i, vektor satuan pada
sumbu y dinyatakan dengan j, atau dalam bentuk vektor baris ditulis sebagai berikut
e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)
atau dalam bentuk vektor kolom berikut
* + *
+
Oleh karena i dan j sebagai basis di ruang R2, maka setiap vektor = (V1, V2) di
ruang R2 dapat dinyatakan dengan i dan j sebagai berikut :
= (V1, V2)
= V1(1, 0) + V2 (0, 1)
= V1i, V2j
= V1 * + + V2*
+
Contoh :
Vektor artinya sama dengan
* + [ ] ( ) ( ) *
+ *
+
Misalkan v suatu vektor pada bidang, titik awal v diletakkan pada pusat sistem
koordinat, dan titik ujung v terletak pada koordinat (π£1,π£2), maka (π£1,π£2) dinamakan
komponen dari v. Dalam hal ini ditulis v = (π£1,π£2).
y
x
j=(0, 1)
i=(1, 0)
Page 5
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
Secara geometri π£1 menyatakan komponen pada sumbu x dan π£2 menyatakan
komponen pada sumbu y.
Jika v = (π£1,π£2) dan w = (π€1,π€2) adalah vektor-vektor pada bidang (π
2), maka v
ekivalen dengan w jika dan hanya jika π£1=π€1 dan π£2=π€2 .
Jika v = (π£1,π£2) dan w = (π€1,π€2), maka berlaku
1. v + w = (π£1+π€1, π£2+π€2)
2. k v = (ππ£1,ππ£2) dengan k suatu skalar
Contoh :
Misalkan v = (β2, 1) dan w = (1, 3), maka
v + w = (β2, 1) + (1, 3) = (β2+1, 1+3) = (β1, 4)
2v = 2(β2, 1) = (2.(β2), 2.1) = (β4, 2)
v β w = (β2, 1) β (1, 3) = (β2β1, 1β3) = (β3, β2)
w β v = (1, 3) β (β2, 1) = (1β(β2), 3β1) = (3, 2)
Kadang-kadang vektor diletakkan sedemikian sehingga titik awalnya tidak terletak
pada pusat koordinat. Misalkan titik awalnya adalah π1(π₯1,π¦1) dan titik ujungnya
adalah π2(π₯2,π¦2) maka π π = (π₯2βπ₯1 , π¦2βπ¦1). Komponen π π didapat dengan
mengurangkan koordinat tititk awal dari koordinat titik ujung. Jika dijelaskan dengan
gambar, didapat pula
π π = π β π = (π₯2,π¦2 ) β (π₯1,π¦1 ) = (π₯2βπ₯1 , π¦2βπ¦1).
Page 6
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
Jika v = (π£1,π£2) adalah vektor di R2 maka panjang vektor (disebut norm ) v
didefinisikan sebagai βπ£β = βπ£ π£
Jika π1(π₯1,π¦1) dan π2(π₯2,π¦2) adalah dua titik di R2, maka jarak dua titik tersebut
didefinisikan sebagai norm dari vektor π π , yaitu
d = β((π₯ π₯ ) (π¦ π¦ ) )
Vektor Satuan dan Basis di Ruang R3
Tinjaulah vektor-vektor berikut :
Masing-masing vektor ini mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu
koordinat. Vektor tersebut dinamakan vektor satuan dan menjadi vektor basis di
ruang R3.
Vektor basis (vektor satuan) di ruang R3 pada sumbu x dinyatakan dengan i, vektor
satuan pada sumbu y dinyatakan dengan j, sedang vektor satuan pada sumbu z
dinyatakan dengan k, atau dalam bentuk vektor baris berikut :
e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)
atau dalam bentuk vektor kolom berikut :
z
k=(0,0,1)
y
x i=(1,0,0)
j=(0,1,0)
Page 7
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
e1= [ ] e2= [
] e3= [
]
Oleh karena i, j, dan k basis di ruang R3, maka setiap vektor = (V1, V2, V3) di
ruang R3 dinyatakan dengan i, j, k sebagai berikut :
= (V1, V2, V3)
= V1(1,0,0) + V2 (0,1,0) + V3(0,0,1)
= V1i, V2j, V3k
= V1[ ] + V2[
] + V3[
]
Contoh :
Vektor π artinya sama dengan
[
] [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] [
] [
]
Vektor di ruang R2 dan R
3 diposisikan sedemikian rupa sehingga titik awalnya
berada di titik asal sistem koordinat siku-siku, dan koordinat titik terminal tersebut
dinamakan komponen-komponen vektor.
Misalkan v suatu vektor pada ruang (π
3), maka komponen dari v adalah (π£1,π£2,π£3)
yang secara geometri π£1 menyatakan komponen pada sumbu x dan π£2 menyatakan
komponen pada sumbu y dan π£3 menyatakan komponen pada sumbu z.
Jika v = (π£1,π£2,π£3), dan w = (π€1,π€2,π€3), maka:
1. v ekivalen dengan w jika dan hanya jika π£1=π€1,π£2=π€2,π£3=π€3.
2. v + w = (π£1+π€1,π£2+π€2,π£3+π€3)
3. k v = (ππ£1,ππ£2,ππ£3) dengan k suatu skalar
Jika P1(π₯1,π¦1,π§1) dan P2(π₯2,π¦2,π§2) adalah titik-titik di π
3, maka
π π = (π₯2βπ₯1 , π¦2βπ¦1, π§2βπ§1)
Jika w = (π€1,π€2,π€3) suatu vektor di π
3, maka panjang vektor (norm) w
didefinisikan sebagai
β β = β(π€ π€
π€ )
Page 8
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
Jika (π₯1,π¦1,π§1) dan P2(π₯2,π¦2,π§2) adalah dua titik di π
3, maka jarak antara dua titik
tersebut adalah norm dari vektor π π , yaitu
d = β(π₯ π₯ ) (π¦ π¦ ) (π§ π§ )
Contoh :
Norma vektor v = (3, 4, 0) adalah βπ£β= β( )=5
Jarak di antara titik P1(2, 1, 0) dan P2(4, β3, 1) adalah
d= β(( ) ( ) ( ) )= β( ( ) )=β21.
Latihan soal:
Tentukan komponen vektor dari gambar berikut:
1.
2.
1.2 Vektor di ruang Rn
Pada saat pertama kali ilmu vektor dikembangkan , hanya dikenal vektor β vektor di
R2 dan R
3 saja, tetapi dalam perkembangannya ternyata didapatkan permasalahan
yang lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor β vektor di ruang berdimensi 4 ,
5 atau secara umum merupakan vektor β vektor di Rn . Secara geometris memang
vektor β vektor di R4 dan seterusnya memang belum bisa digambarkan , tetapi dasar
yang digunakan seperti operasi β operasi vektor masih sama seperti operasi pada
vektor β vektor di R2 dan R
3 . Orang yang pertama kali mempelajari vektor β vektor
di Rn adalah Euclidis sehingga vektor β vektor yang berada di R
n dikenal sebagai
vektor Euclidis , sedangkan ruang vektornya disebut ruang βn Euclidis.
Y
v
j
0 i 4 x
2
6
5 i
j
k
w
z
4
y
Page 9
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
Vektor di ruang Rn dinyatakan sebagai
[ ]
Panjang sebuah vektor disebut juga norma dinyatakan dengan :
Vektor satuan dalam arah adalah :
Contoh :
Tentukan panjang vektor = i + 2j β 3k dan vektor satuan dalam arah a adalah :
β β β ( ) β
[ ]
β *
β
β
β +
2. Jarak Euclidean Antara Dua Vektor
Jarak vektor [ ] dan vektor [ ] dinyatakan
sebagai :
Contoh :
Jarak vektor π dan vektor π adalah
β β β( ) ( ) ( ) β β
Aplikasi Jarak Euclidean dalam Pengenalan Pola Wajah
Contoh:
Diketahui tiga buah citra wajah yaitu Citra 1 (Dila), Citra 2 (Agil), dan Citra 3 (Alim)
yang akan digunakan sebagai basis data untuk pengenalan pola wajah menggunakan
komputer.
βπβ π π
π ππ
ππ π π π ππ
βπβ
βππβ β(π π ) (π π ) (π π ) (ππ ππ)
Page 10
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
1 2 3
Citra 1 : Ο = 0,15 ΞΌ = 40 e = 1,25
Citra 2 : Ο = 0,05 ΞΌ = 60 e = 2,35
Citra 3 : Ο = 0,24 ΞΌ = 53 e = 0,85
Kemudian diambil satu citra lagi, yaitu citra ke-4 sebagai citra uji.
Pada citra uji dihitung nilai-nilai ciri citra tersebut, diperoleh data berikut:
Citra 4 : Ο = 0,23 ΞΌ = 55 e = 0,82
Tentukan bagaimana komputer bisa mengenali citra ke-4? Dan siapakah nama dari
citra ke-4 menurut hasil pengenalan komputer?
Penyelesaian:
Komputer bisa mengenali citra ke-4 menggunakan metode jarak dari euclidean.
Pertama masing-masing basis data dari ciri citra dan citra uji dijadikan bentuk vektor
berikut.
C = [ ] C1 = [
] C2 = [
] C3 = [
] C4 = [
]
d14 = β( ) ( ) ( )
d24 = β( ) ( ) ( )
d34 = β( ) ( ) ( )
Dari hasil perhitungan jarak menunjukkan bahwa citra ke-3 dan citra ke-4
mempunyai jarak paling kecil. Artinya citra ke-4 sangat mirip dengan citra ke-3,
dibanding dengan citra ke-1 dan ke-2. Sehingga dari hasil perhitungan ini komputer
memutuskan bahwa nama dari cara uji (citra ke-4) adalah Alim.
3. Aljabar Vektor
Operasi-operasi pada vektor :
1. Kesamaan Dua Vektor
Dua vektor dan adalah sama jika mereka memiliki besar/panjang dan arah yang
sama dimanapun titik awalnya; =
Page 11
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
2. Negatif Sebuah Vektor
Sebuah vektor dengan arah berlawanan terhadap vektor tetapi memiliki besar atau
panjang yang sama dinyatakan sebagai - .
3. Resultan Dua Buah Vektor
Jumlah atau resultan vektor dan adalah sebuah vektor yang terbentuk dengan
meletakkan titik awal pada titik akhir dan menghubungkan titik awal ke titik
akhir . Jumlah ditulis sebagai + . Definisi ini sama dengan hukum jajargenjang
untuk penjumlahan vektor.
Perluasan terhadap jumlah lebih dari dua vektor dapat dilakukan secara langsung,
contohnya :
4. Selisih vektor
Selisih vektor dan , direpresentasikan - adalah vektor yang ditambahkan ke
menghasilkan . Secara ekuivalen - dapat didefinisikan sebagai + ( ).
Jika = , maka - didefinisikan sebagai vektor kosong atau vektor nol. Vektor
ini memiliki besar nol tetapi tidak memiliki arah.
-
+
D
E
+
Page 12
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
5. Perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar
Perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar m menghasilkan sebuah vektor m
yang memiliki besar | | kali besar dan arah sama atau berlawanan dengan
tergantung pada apakah m positif atau negatif. Jika m = 0, maka m = 0, berarti
vektor nol.
Contoh :
Diketahui dua vektor a = i + 2j β3k dan b = 2i + 5j + 4k, maka:
5a = 5 (i + 2j β3k)
= 5i + 10j β 15k
2a + 4b = 2 (i + 2j β3k) + 4 (2i + 5j + 4k)
= (2i + 4j β 6k) + (8i + 20j + 16k)
= 10i + 24j +10k
Latihan soal:
1. Diketahui vektor A = 3i + 4j, gambarlah vektor 2A dan β 1/2A
2. Momentum adalah besaran vektor yang didefinisikan oleh P = mv. Sebuah massa
10 kg bergerak dengan kecepatan v = (5i + 5j β 20k) m/s. Tentukan momentum
yang dimiliki oleh massa tersebut.
Dalil pada Operasi vektor :
1. + = hukum komutatif penjumlahan
2. + ( ) = ( ) hukum asosiatif penjumlahan
3. m(n ) = (mn) = n(m ) hukum asosiatif perkalian
4. (m + n) = m + n hukum distributif
5. m( + ) = hukum distributif
6. + 0 =
7. +(- ) = 0
8. .1 =
- +(- )
Page 13
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
Operasi perkalian titik atau perkalian skalar :
Bila A= [
] dan B = [
] adalah vektor di Rn, Ο΄ adalah sudut antara dan
(0 )
Perkalian titik dari dua vektor dan , dilambangkan dengan . (dibaca dot )
didefinisikan sebagai perkalian dari besar dan dan cosinus sudut antara keduanya. Ini
dituliskan :
. = A1 B1 + A2B2 + ... + An Bn
Sedangkan sudut antara dua vektor tersebut didefinisikan oleh :
β ββ β
Sifat-sifat perkalian titik :
Misalkan dan adalah vektor di ruang Rn ,
1. β β β β ( ) β
2. π π π£ π π
π π¦ π
π π¦ π
β π π¦ π
Bukti :
1. Karena sudut di antara dan adalah 0, maka dapat diperoleh :
β ββ β β β β β
A= [
π΄ π΄ π΄π
]
B = [
π΅ π΅ π΅π
] π
.
Page 14
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
2. Karena β β β β β ββ β
β
4. Cross Product
Operasi perkalian silang atau perkalian vektor :
Jika = (A1, A2, A3) dan = (B1, B2, B3) adalah vektor di ruang R3, maka hasil kali π₯
adalah vektor yang tegak lurus terhadap yang didefinisikan oleh determinan
berikut.
π₯ | π
|
π₯ (|
| |
| |
|)
π₯ ( )
Contoh :
Carilah A x B dimana ( ) ( )
Jawab :
*
+
A x B = (|
| |
| |
|) ( )
π
Page 15
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
Teorema
Jika adalah vektor dalam ruang R3, maka :
1. A.(A x B) = 0
2. | π₯ | | | | | | | (Identitas Lagrange)
Jika adalah sudut di antara , maka A.B = | || | , sehinga identitas
Lagrange dapat dituliskan kembali sebagai :
| π₯ | | | | | | |
| | | | | | || | |
| | | | | | | |
| | | | ( )
| | | |
atau
| π₯ | | || |
Jadi besar dari hasil perkalian silang antara dua vektor sama dengan luas jajaran
genjang yang sisi-sisinya adalah panjang vektor
Sifat-sifat hasil kali silang :
1. x = -( )
2. x ( ) = ( π₯ ) ( π₯ )
3. ( + )π₯ = ( π₯ ) ( π₯ )
4. k ( x ) = ( ) ( )
5. x 0 = π₯
6. x = 0
Soal-soal latihan:
1. Carilah komponen-komponen vektor yang bertitik awal di P dan terminal di Q
a. P(-4,6) dan Q(7,9) b. P(10,15,-8) dan Q(8,-8,-6)
2. Carilah vektor yang bertitik awal P(2,-4,3) yang mempunyai arah seperti v[1,3,1]
3. Carilah vektor yang bertitik terminal Q(4,0,-6) yang mempunyai arah berlawanan
dengan v=[-4,6,8]
4. Misalkan P adalah titik (3,-3,4) dan Q adalah tititk (6,5,-1)
Page 16
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
STIMATA BY : SRI ESTI
a. Carilah titk tengah dari segmen garis yang menghubungkan P dan Q
b. Carilah titik pada segmen garis yang menghubungkan P & Q yang ΒΎ dari P dan Q
5. Hitunglah panjang v bila
a. v = [2,2,6] b. v = [-6,-9,4]
6. Hitunglah jarak antara P dan Q bila
a. P(4,2) dan Q(4,5) b. P(2,1,-4) dan Q(8,-4,4)
7. Diketahui tiga citra buah, yaitu Citra 1(jeruk), Citra 2(Apel), Citra 3(Pisang) yang
akan digunakan sebagai basis data untuk pengenalan pola wajah menggunakan
komputer
Beberapa ciri untuk mengenali citra tersebut adalah dilihat dari standar deviasi
intensitas warna dalam tiap-tiap citra Ο, rata-ratanya ΞΌ, dan entropinya e. Setelah
ketiga ciri tersebut dihitung diperoleh data berikut:
Citra 1 : Ο = 0,05 ΞΌ = 30 e = 1,42
Citra 2 : Ο = 0,25 ΞΌ = 70 e = 1,65
Citra 3 : Ο = 0,45 ΞΌ = 58 e = 2, 65
Kemudian diambil 1 citra lagi, yaitu citra ke-4 sebagai citra uji.
Pada citra uji dihitung nilai-nilai ciri citra tersebut, diperoleh data berikut:
Citra 4 : Ο = 0,04 ΞΌ = 31 e = 1,41
Tentukan bagaimana komputer bisa mengenali citra ke-4? Dan apa nama buah dari
citra ke-4 menurut hasil pengenalan komputer?
8. Sebuah massa 20 kg bergerak dengan kecepatan v = (-2i+8j -4k) m/s. tentuakan
momentum yang dimiliki oleh massa tersebut.
9. Tentukan :
a. a.b bila a = [4,8,-9] dan b = [-8,12,-4]
b. Jarak A(4,6,6), B(-6,-8,1)
c. Jarak vektor a = [2,8] dan b = [-7,-4]
10. a. Tentukan k supaya a = [3,k,-4,1] mempunyai panjang β
b. Berapa sudut antara a = [-1,4,8,-4] dan b = [2,0,4,0]
c. Tentukan k supaya a = [2,k,-5] tegak lurus b =[0,-k,4]