2/20/2018 1 Prof. Dr Mira Petronijević Matrična analiza konstrukcija 1 MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA -Informacije o predmetu- školska godina 2017/2018. MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 2017/2018 Matrična analiza konstrukcija 2 FOND ČASOVA: 4+2 PREDAVANJA SREDA 12:15-14 h SALA 225 ČETVRTAK 10:15-12 h SALA 113 PROFESOR Dr Mira Petronijević KABINET 145 DOCENTI Dr Marija Nefovska-Danilović KABINET 145 Dr Miroslav Marjanović KABINET 144
23
Embed
MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007. M. Sekulovi ć, M. Petronijevi ć: Statika konstrukcija 2: Zbirka rešenih ispitnih zadataka, GF R. Salati
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
2/20/2018
1
Prof. Dr Mira Petronijević
Matrična analiza konstrukcija 1
MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA-Informacije o predmetu-
školska godina 2017/2018.
MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA 2017/2018
Matrična analiza konstrukcija 2
FOND ČASOVA: 4+2
PREDAVANJA SREDA 12:15-14h SALA 225
ČETVRTAK 10:15-12h SALA 113
PROFESOR Dr Mira Petronijević KABINET 145
DOCENTI Dr Marija Nefovska-Danilović KABINET 145
Dr Miroslav Marjanović KABINET 144
2/20/2018
2
MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA
Matrična analiza konstrukcija 3
VEŽBE UTORAK 8:15-10h SALA 316 (I GRUPA)*
10:15-12h SALA 319 (II GRUPA)
12:15-14h SALA 316 (III GRUPA)
* PODELA NA GRUPE ĆE BITI ISTAKNUTA NA TABLI ISPRED KABINETA 145
ASISTENTI Miloš Jočković KABINET 333
Emilija Damnjanović KABINET 333
Marko Marinković KABINET 333
USLOV ZA POHAĐANJE NASTAVE
Matrična analiza konstrukcija 4
Studenti mogu pohađati nastavu ako su
ostvarili potpis iz
STATIKE KONSTRUKCIJA.
2/20/2018
3
Matrična analiza konstrukcija 5
Matrična analiza konstrukcija
Obaveze studenata
- Prisustvovanje predavanjima
- Prisustvovanje vežbama
- Overen elaborat
Uslov za potpis
� Prisustvo na 48/56 časova predavana� Prisustvo na 24/28 časova vežbanja� Ocena veća od 6 na elaboratu i testovima
ElaboratElaboratElaboratElaborat
Matrična analiza konstrukcija 6
Studenti rade ukupno 3 GRAFIČKA RADA i 3 TESTA.Svaki od grafičkih radova se u zakazanom terminupredaje asistentu na pregled i ocenu. Stečeno znanje seproverava na testu. Ocena na jednom grafičkom raduje jednaka prosečnoj oceni iz zadatka i testa. Ocena naelaboratu je jednaka prosečnoj oceni za sva 3 grafičkarada.
Ocena na elaboratu se dodaje broju bodova kojestudent ostvari na pismenom ispitu. Ova olakšica važijednu školsku godinu, tj. od juna 2018. do oktobra2019.
Student se može osloboditi usmenog dela ispita akopoloži 2 kolokvijuma (više od 55% poena). Kolokvijumi sepolažu prema sledećem rasporedu:
I kolokvijum – 8. nedelja nastaveII kolokvijum – Kolokvijumska nedelja
Kolokvijum je u vidu testa, koji se sastoji od 25kombinovanih pitanja (izvođenje, zaokruživanje,dopunjavanje...). Radi se 2 časa. Pogrešni odgovoridonose 2 negativna poena.
Oslobađanje od usmenog dela ispita važi jednu godinu(od juna tekuće godine do oktobra naredne godine).Nakon tog roka polaže se ceo ispit.
Literatura
Matrična analiza konstrukcija 8
� M. Sekulović: Teorija linijskih nosača, GK
� M.Petronijević, M. Nefovska-Danilović:
Statika konstrukcija 2. Zbirka zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007.
� M. Sekulović, M. Petronijević: Statika konstrukcija 2: Zbirka
rešenih ispitnih zadataka, GF
� R. Salatić, S. Živanović: Zbirka zadataka iz stabilnosti i
dinamike konstrukcija, GF
� Web site fakulteta/predmeta www.grf.bg.ac.rs
2/20/2018
5
Matrična analiza konstrukcija 9
1. UVOD
• MAK- istorijat i osnove• Rekapitulacija osnovnih jednačina linearne teorije štapa
Matrična analiza konstrukcija 10
Matrična analiza konstrukcija
Statika ravnih i prostornih linijskih nosača
Stabilnost ravnih linijskih nosača
2/20/2018
6
prema pristupu
Metode analize linijskih nosača
Metode klasične statike
konstrukcija
Matrična analiza
konstrukcija
Matrična analiza konstrukcija 11
Matrična analiza konstrukcija 12
Klasična statika konstrukcija(od Isaac Newton-a 1666.)
� Analizira se nosač u celini, kao sistem povezanih štapova,
� Utvrđuje se statička odnosno deformacijska neodređenost nosača,
� Usvaja se metoda za rešavanje,
� Formiraju se jednačine za određivanje nepoznatih (uslovne jednačine), određuju nepoznate veličine i sile u presecima nosača.
2/20/2018
7
Matrična analiza konstrukcija 13
� Štap je osnovni element nosača,� Nosač se posmatra kao skup međusobno povezanih
štapova,� Za nepoznate veličine biraju se parametri (pomeranja
ili sile) u čvorovima nosača,� Na osnovu teorije štapa uspostavljaju se veze između
vektora sila i vektora pomeranja krajevima štapa u matričnom obliku,
� Formiraju se jednačine za određivanje nepoznatih (uslovne jednačine), određuju nepoznate veličine i sile u presecima nosača.
1.1. Matrična analiza konstrukcija
Istorijski razvoj
Matrična analiza konstrukcija 14
1930 Matrična analiza je prvi put primenjena u rešavanju problema aeroelastičnosti, Collar i Duncan,avio-industrija, GB
1934 Prva knjiga Collar, Duncan i Frazer
1955 Argyris, Metoda sila i metoda deformacije
1959 Tyrner, Direct Stiffness Method
1964 Wilson, Metoda konačnih elemenata (MKE)
2/20/2018
8
Matrična analiza konstrukcija 15
� Od 1964 Gallagher,
Irons,
Martin,
Clough,
Zienkiewicz
• 1977 Sekulović
Matrična analiza - Metoda deformacije
Matrična analiza konstrukcija 16
� Od 1960-te godine sa ekspanzijom računara, MATRIČNA ANALIZA KONSTRUKCIJA (metoda deformacije) se sve više primenjuje u analizi linijskih nosača.
� Metoda je u literaturi poznata i kao DIRECT STIFFNESS METHOD (Direktna metoda krutosti). Ime potiče od matrice krutosti koja daje vezu između sila i pomeranja krajeva štapa.
� Iz ove metode se praktično razvila METODA KONAČNIH ELEMENATA, mnogo opštija metoda, koja se primenjuje u statičkoj i dinamičkoj analizi složenih konstrukcija.
2/20/2018
9
1.2 Osnove matrične analize
Matrična analiza konstrukcija 17
1.2 Osnove matrične analize
Konstrukcija Matematički model
Rešenje diskretnog modela
IDEALIZACIJA DISKRETIZACIJA
Diskretan model
REŠENJE
Idealizacija – krovna rešetka
Matrična analiza konstrukcija 18
element
oslonac
čvor
Konstrukcija
DISKRETIZACIJAIDEALIZACIJA
Matematički model
Slika je preuzeta i prilagođena iz on line book, Carlos Felippa: Introduction to FEM, http://bib.tiera.ru/DVD-
� Nosač sa posmatra kao sistem sastavljen od diskretnih elemenata – štapova koji su povezani u čvorovima nosača
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10
ČVOROVI
ŠTAPOVI
Broj čvorova 10
Broj štapova 9
8 9
3 41 2 5 6 7
Y
X
4 54
11
DISKRETIZACIJA
Matrična analiza konstrukcija 22
Izbor nepoznatih
� Nepoznate veličine su parametri u čvorovima nosača.
� U zavisnosti od izbora parametara u čvorovima, postoje 2 metode analize:
Metoda sila Metoda deformacije
2/20/2018
12
Matrična analiza - Metoda sila:
Matrična analiza konstrukcija 23
� Parametri: sile u čvorovima nosača u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema: H, V, M
� Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktično se ne koristi u matričnoj analizi konstrukcija.
Hi
Mi
Vi
Mk
Vk
Nk
x
y
Matrična analiza - Metoda deformacije
Matrična analiza konstrukcija 24
• Parametri: komponente pomeranja
čvorova nosača u, v i obrtanje ϕ.
ui
ϕi ϕk
vk
uk
x
y
i k
vi
2/20/2018
13
Analize
Matrična analiza konstrukcija 25
� Postoje 2 nivoa analize: analiza štapa i analiza sistema štapova,
� Analiza štapa: uspostavljaju se veze između sila i pomeranja na krajevima štapa- osnovna jednačina štapa.
� Analiza strukture (sistema) štapova: formiraju se jednačine sistema za određivanje nepoznatih pomeranja (uslovne jednačine) nosača. One predstavljaju uslove
ravnoteže čvorova sistema.
Matrična analiza konstrukcija
1
2
3
4
5
6
i
i
i
k
k
k
R N
R T
R M
R N
R T
R M
= =
R
=
=
k
k
k
i
i
i
v
u
v
u
q
q
q
q
q
q
ϕ
ϕ
6
5
4
3
2
1
q
Vektor pomeranja Vektor sila
j j j j= −R K q Q
Matrica krutosti štapa
Osnovna jednačina štapa j
P: Važi linearna teorija štapax,y, z –lokalni koordinatni sistem
Vektor ekvivalentnog opterećenja
Analiza štapa
4
26 x
p(x)
1
35
E, A, I, l
y
k
2/20/2018
14
Matrična analiza konstrukcija 27
Nepoznate veličine u metodi deformacije:
- Komponente pomeranja čvorova: ui , vi
broj nepoznatih komponenata pomeranja: 2K-zo
K – broj čvorova, zo –broj oslonaca u nosaču
- Uglovi obrtanja čvorova: φi
broj nepoznatih uglova obrtanja čvorova: m
m – broj čvorova u kojima postoji bar jedan krut ugao
Ukupan broj deformacijski nepoznatih veličina nosača:
2K-zo+m
Analiza sistema štapova
Matrična analiza konstrukcija 28
Deformacijske nepoznate su pomeranja i obrtanja u slobodnim (neoslonjenim) čvorovima.