-
Capitolo 4
Matrici razionali
Lo studio delle matrici polinomiali svolto nel capitolo
precedente consente di ana-lizzare in modo sistematico le matrici
di funzioni razionali, per affrontare poi ipiù importanti problemi
di sintesi e di controllo dei sistemi dinamici multivaria-bili.
Analogamente al caso scalare, in cui ogni funzione razionale può
essereespressa come rapporto di polinomi, anche le matrici
razionali possono essererappresentate come “rapporti” di matrici
polinomiali, ovvero come il prodotto(nell’ordine opportuno) di una
matrice polinomiale e della matrice inversa di unamatrice
polinomiale.Come sarà chiarito nel corso del capitolo, il concetto
di rappresentazione ir-riducibile, quello di funzione razionale
propria, le nozioni di zero e di polo, etc.trovano un parallelo nel
caso matriciale, riferito alle proprietà delle matrici
“nu-meratore” e “denominatore”.
Ancora una volta, le operazioni elementari sulle righe e sulle
colonne svolgonoun ruolo determinante. Da esse dipende, in
particolare, la costruzione della formacanonica di Smith-McMillan,
che fornisce notevoli informazioni sulla strutturadinamica dei
sistemi associati ad una matrice di trasferimento razionale.
4.1 Rappresentazioni matriciali fratte
Se F denota, come di consueto, un campo arbitrario, con la
scrittura F(z)p×mindicheremo l’insieme delle matrici di dimensioni
p ×m a coefficienti nel campoF(z).Data una coppia di matrici (N(z),
D(z)) ∈ F[z]p×m × F[z]m×m con D(z) nonsingolare possiamo associare
ad essa la frazione matriciale destra N(z)D−1(z).Analogamente, ad
una coppia (Q(z), P (z)) ∈ F[z]p×p × F[z]p×m, Q(z) non sin-golare,
associamo la frazione matriciale sinistra Q−1(z)P (z). Poichè
D−1(z)
103
-
104 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
e Q−1(z) sono matrici di funzioni razionali, le frazioni
matriciali destra e si-nistra cos̀ı ottenute sono elementi di
F(z)p×m. Viceversa, data una genericamatrice G(z) ∈ F(z)p×m,
esistono coppie di matrici polinomiali (N(z), D(z)) e(Q(z), P (z))
tali che G(z) sia rappresentabile nella forma
G(z) = N(z)D−1(z) = Q−1(z)P (z), (4.1)
i.e. come frazione matriciale destra o come frazione matriciale
sinistra: se d(z) èil mcm dei denominatori dei suoi elementi,
basta porre infatti
G(z) = M(z)[d(z)Im]−1 = [d(z)Ip]−1M(z), (4.2)
per un’opportuna matrice polinomiale M(z).Faremo riferimento
alle scritture N(z)D−1(z) e Q−1(z)P (z) come a rap-
presentazioni matriciali fratte (RMF, per brevità)
rispettivamente destra e sini-stra 1 di G(z). Per analogia con il
caso scalare, N(z) e P (z) verranno chiamatematrici numeratore
mentre D(z) e Q(z) matrici denominatore.
Definizione 4.1.1 [Grado determinantale] Chiamiamo grado
determinan-tale di una frazione matriciale destra o sinistra il
grado del determinante dellasua matrice denominatore.
Esempio 4.1.1 Sia G(z) la matrice razionale
G(z) =
1z z2 − 1 zz − 1z
1
z
2z2
z − 1
Una rappresentazione fratta destra è data da
M(z)[d(z)I3]−1 =
[z2 − 1 z(z2 − 1)2 z2(z + 1)
z2(z2 − 1) z2 − 1 2z3(z + 1)
][z(z2 − 1)I3]−1
e una sinistra da
M(z)[d(z)I3]−1 = [z(z2 − 1)I2]−1
[z2 − 1 z(z2 − 1)2 z2(z + 1)
z2(z2 − 1) z2 − 1 2z3(z + 1)
]Di un’assegnata matrice razionale si danno infinite
rappresentazioni come frazionematriciale, sia destra che sinistra:
ciò generalizza la ben nota non univocitàdella rappresentazione
di una funzione razionale (scalare) come rapporto di poli-nomi. Nel
seguito ci riferiremo alle rappresentazioni destre, essendo ovvio
comedefinizioni e risultati si adattano alle rappresentazioni
sinistre.
1In inglese “right” e “left matrix fraction descriptions”.
-
4.1. RAPPRESENTAZIONI MATRICIALI FRATTE 105
Definizione 4.1.2 Sia G(z) ∈ F(z)p×m. Diciamo che NR(z)D−1R (z)
è una rap-presentazione fratta destra irriducibile (o coprima) di
G(z) se
G(z) = NR(z)D−1R (z),
e NR(z) ∈ F[z]p×m e DR(z) ∈ F[z]m×m sono matrici polinomiali
coprime a destra.
Nel caso scalare, sen1(z)d1(z)
en2(z)d2(z)
sono due rappresentazioni irriducibili della funzione razionale
g(z) ∈ F(z), esisteuna costante non nulla u ∈ F per la quale sono
soddisfatte le eguaglianze
n1(z) = n2(z) u, d1(z) = d2(z) u. (4.3)
Inoltre, una generica rappresentazione n(z)/d(z) di g(z) è
legata a ciascuna dellerappresentazioni irriducibili, ad esempio
alla n1(z)/d1(z), dalla relazione
n(z) = n1(z)p(z) d(z) = d1(z)p(z), (4.4)
con p(z) un polinomio non nullo.Risultati simili valgono per le
frazioni matriciali, una volta che alle costanti nonnulle si
sostituiscano le matrici unimodulari.
Proposizione 4.1.3 [Relazioni fra le RMF destre di una
matricerazionale] (i) Per ogni matrice G(z) ∈ F(z)p×m esiste una
rappresentazionefratta destra irriducibile NR(z)D−1R (z).(ii) Per
ogni altra rappresentazione fratta destra irriducibile N(z)D−1(z)
di G(z),si ha [
D(z)N(z)
]=[DR(z)NR(z)
]U(z) (4.5)
dove U(z) è un’opportuna matrice unimodulare.(iii) Se
N(z)D−1(z) è un’arbitraria RMF destra di G(z), si ha[
D(z)N(z)
]=[DR(z)NR(z)
]P (z) (4.6)
per qualche P (z) ∈ F[z]m×m non singolare.Dimostrazione (i) Se
N(z)D−1(z) è un’arbitraria rappresentazione fratta de-stra di
G(z), ad esempio quella data in (4.2), esiste una matrice
unimodulare
V (z) che riduce[D(z)N(z)
]in forma di Hermite[
V11(z) V12(z)V21(z) V22(z)
] [D(z)N(z)
]=[
∆(z)0
].
-
106 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
Indicando con
W (z) =[W11(z) W12(z)W21(z) W22(z)
]la matrice unimodulare inversa di V (z) si ottiene[
D(z)N(z)
]=[W11(z)W21(z)
]∆(z),
dove W21(z) e W11(z) sono coprime a destra, dal momento
che[W11(z)W21(z)
]è
completabile ad una matrice unimodulare, e W11(z) è non
singolare essendoD(z) = W11(z)∆(z). Inoltre,
G(z) = N(z)D−1(z) = [W21(z)∆(z)][W11(z)∆(z)]−1 = W21(z)W−111
(z).
Abbiamo costruito cos̀ı una rappresentazione fratta destra
irriducibileW21(z)W−111 (z)di G(z) a partire da una
rappresentazione destra arbitraria.(ii) e (iii) Se disponiamo di
due rappresentazioni destre, NR(z)D−1R (z) eN(z)D
−1(z),di G(z), la prima delle quali irriducibile, da N(z)D−1(z)
= NR(z)D−1R (z) segue[
D(z)N(z)
]D−1(z) =
[DR(z)NR(z)
]D−1R (z)
e quindi [D(z)N(z)
]=[DR(z)NR(z)
][D−1R (z)D(z)].
Dal momento che[DR(z)NR(z)
]è prima a destra e
[D(z)N(z)
]è una matrice polinomiale,
per il punto vii) della Proposizione 3.19 P (z) := D−1R (z)D(z)
è polinomiale.Infine, se anche N(z)D−1(z) è irriducibile, valgono
simultaneamente[
D(z)N(z)
]=[DR(z)NR(z)
]U(z) e
[DR(z)NR(z)
]=[D(z)N(z)
]Q(z)
per opportune matrici polinomiali quadrate U(z) e Q(z). Dalle
equazioni prece-denti segue [
D(z)N(z)
][Im − U(z)Q(z)] = 0,
e poichè una matrice prima ha rango pieno, si ha Im = U(z)Q(z);
pertanto U(z)e Q(z) sono unimodulari.
-
4.1. RAPPRESENTAZIONI MATRICIALI FRATTE 107
Esempio 4.1.2 La matrice razionale
G(z) =
1z z + 1z0 1
è rappresentata dalla frazione matriciale destra
M(z)[d(z)I2]−1 :=
[1 z + 10 z
][zI2]
−1.
Essa non è irriducibile dal momento che i minori di ordine
massimo della matrice[d(z)I2M(z)
]=
z 00 z1 z + 10 z
hanno z come fattore comune. Se consideriamo la forma di Hermite
di tale matriceotteniamo
H(z) =
1 10 z0 00 0
= 0 −1 1 00 1 0 01 z + 1 −z 0
0 −1 0 1
z 00 z1 z + 1
0 z
=: U(z)[ d(z)I2M(z)],
e quindi
[d(z)I2M(z)
]= U−1(z)H(z) =
z −1 1 00 1 0 01 1 0 00 1 0 1
1 10 z0 0
0 0
= z −10 11 1
0 1
[ 1 10 z]
=:
[DR(z)NR(z)
]∆(z),
dove ∆(z) è un divisore comune destro massimo di M(z) e d(z)Im.
Pertanto la frazionematriciale
NR(z)D−1R (z) =
[1 10 1
][z −10 1
]−1è una rappresentazione fratta destra irriducibile di
G(z).
Una conseguenza immediata della precedente proposizione è che
nelle rappresentazionifratte irriducibili NR(z)D−1R (z) di una
matrice razionale G(z) il determinantedetDR(z) della matrice
denominatore è individuato univocamente a meno di unacostante
moltiplicativa non nulla, e per la (4.6) esso è divisore proprio
di detD(z)per ogni rappresentazione destra non irriducibile
N(z)D−1(z). Di conseguenza,le rappresentazioni irriducibili sono
caratterizzabili come quelle a grado determi-nantale minimo.
Corollario 4.1.4 [Determinante delle matrici denominatore]
SianoNR(z)D−1R (z) e N(z)D
−1(z) due rappresentazioni fratte destre della matrice
-
108 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
G(z) ∈ F(z)p×m, la prima delle quali irriducibile. Allora esiste
p(z) ∈ F[z] taleche
detD(z) = detDR(z)p(z),
e N(z)D−1(z) è irriducibile se e solo se p(z) ha grado
zero.
4.2 Relazioni tra rappresentazioni sinistre e destre eidentità
generalizzata di Bézout
Abbiamo analizzato finora le rappresentazioni fratte destre e
rese esplicite lerelazioni che le legano. In particolare, abbiamo
visto che la rappresentazionefratta destra irriducibile di G(z) è
essenzialmente unica, essendo numeratore edenominatore individuati
a meno di una matrice unimodulare, e che, a partire dauna
rappresentazione irriducibile NR(z)D−1R (z), tutte le
rappresentazioni hannostruttura [NR(z)P (z)][DR(z)P (z)]−1 con P
(z) un’arbitraria matrice non singo-lare. Poiché lo stesso può
dirsi, ovviamente, per le rappresentazioni sinistre, ilproblema di
correlare rappresentazioni destre e sinistre può dirsi risolto
quandolo sia per le irriducibili. La seguente proposizione
costituisce il primo passo versotale obiettivo. Essa mostra come
l’algoritmo della Proposizione 4.1.3 forniscanon solo una
rappresentazione fratta destra irriducibile di G(z) a partire da
unadestra arbitraria, ma anche una rappresentazione sinistra
irriducibile di G(z).
Proposizione 4.2.1 [Costruzione di una RMF sinistra da una
RMFdestra] Sia N(z)D−1(z) una rappresentazione fratta destra di
G(z) ∈ F(z)p×me sia
V (z) =[V11(z) V12(z)V21(z) V22(z)
]una matrice unimodulare che riduce
[D(z)N(z)
]in forma di Hermite per colonne.
Allora si haG(z) = −V −122 (z)V21(z) (4.7)
e la (4.7) è una frazione matriciale sinistra irriducibile.
Dimostrazione Come nella dimostrazione della Proposizione 4.1.3
si costruiscela forma di Hermite [
V11(z) V12(z)V21(z) V22(z)
] [D(z)N(z)
]=[
∆(z)0
], (4.8)
e dettaW (z) =
[W11(z) W12(z)W21(z) W22(z)
].
-
4.2. IDENTITÀ GENERALIZZATA DI BÉZOUT 109
l’inversa di V (z), dall’identità[D(z)N(z)
]=[W11(z) W12(z)W21(z) W22(z)
] [∆(z)
0
]si ottiene
D(z) = W11(z)∆(z) (4.9)
che prova la non singolarità di W11(z). Dall’identità[Im
V12(z)0 V22(z)
]=[V11(z) V12(z)V21(z) V22(z)
] [W11(z) 0W21(z) Ip
],
si ricava poidetV22 = detV detW11, (4.10)
che dimostra la non singolarità di V22(z). Infine, dalla (4.8)
si ricava
−V −122 (z)V21(z) = N(z)D−1(z) = G(z),
e la −V −122 (z)V21(z) è irriducibile dal momento che le righe
di [V21(z) V22(z)]appartengono alla matrice unimodulare V (z).
Corollario 4.2.2 [Denominatori di RMF destre e di RMF
sinistreirriducibili] Siano NR(z)D−1R (z) e Q
−1L (z)PL(z) rappresentazioni fratte ir-
riducibili, rispettivamente destra e sinistra, della medesima
matrice di trasfer-imento razionale G(z) ∈ F(z)p×m. Allora detDR e
detQL coincidono a meno diuna costante moltiplicativa (non
nulla).
Dimostrazione Si assuma nella precedente proposizione N(z) :=
NR(z) eD(z) := DR(z). Nella forma di Hermite (4.8), allora, la
matrice ∆(z) è uni-modulare e da (4.10) e (4.9) si ottiene
detV22 = detV detW11 =detV detDR
det ∆= k detDR,
con k ∈ F \ {0}. Dal momento che V22(z) è matrice denominatore
in una RMFsinistra irriducibile, il risultato è provato.
Come conseguenza del precedente corollario, il grado
determinantale minimodelle rappresentazioni destre e sinistre
coincide, e può essere visto come unparametro caratteristico della
matrice G(z). Esso verrà indicato con la scrit-tura δ(G) e il suo
significato in un contesto sistemistico verrà chiarito nei
capitolisuccessivi. Qui ci limitiamo a preannunciare che δ(G)
risulta strettamente legatoalla forma canonica di Smith-McMillan
della matrice G(z), e fornisce, nel caso
-
110 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
in cui G(z) sia propria, ovvero le sue componenti siano tutte
funzioni razionaliproprie, la dimensione minima di un modello di
stato (lineare e tempo invariante)avente G(z) come matrice di
trasferimento.
La risposta completa al problema di mettere in relazione tra
loro rappresentazioniirriducibili di una assegnata matrice
razionale G(z) è fornita dall’identità genera-lizzata di Bézout
di cui ci avvarremo nel seguito.
• Esercizio 4.2.1 Si supponga che i polinomi caratteristici
delle matrici F ∈ Fm×m eA ∈ Fp×p siano coprimi (ossia,
equivalentemente, le due matrici non hanno autovaloricomuni nella
chiusura algebrica di F).(i) Si verifichi che l’equazione
(zIm − F )X = X(zIp −A)
nell’incognita X ∈ Fm×p ammette soltanto la soluzione
nulla.(Suggerimento. Se N(z)D−1(z) è una RMF destra irriducibile
di X(zIp − A)−1, detDè un divisore del polinomio caratteristico di
A. Da N(z)D−1(z) = (zIm − F )−1X segueche detD è anche divisore
del polinomio caratteristico di F , quindi D(z) è
unimodulare.Allora si ha X = (zIm − F )N(z)D−1(z) = (zIm − F )Ñ(z)
con Ñ(z) polinomiale, e taleidentità può essere soddisfatta da
una matrice costante X se e solo se X = Ñ(z) = 0)
(ii) L’equazione FX −XA = 0 ammette soltanto la soluzione
nulla.(iii) L’equazione FX−XA = C ammette una e una sola soluzione
per ciascun C ∈ Fm×p
(Suggerimento: la mappa lineare ψ : Fm×p → Fm×p : X 7→ FX −XA è
iniettiva, quindisuriettiva)
(iv) Per ogni matrice C ∈ Fm×p, sono simili le matrici[F 0C
A
]e
[F 00 A
]
(Suggerimento: si cerchi una matrice di cambiamento di base del
tipo
[Im 0X Ip
]).
Proposizione 4.2.3 [Identità generalizzata di Bézout]
SianoNR(z)D−1R (z)e Q−1L (z)PL(z) rappresentazioni fratte
irriducibili, rispettivamente destra e sini-stra, della matrice di
trasferimento razionale G(z) ∈ F(z)p×m. Allora esistonomatrici
polinomiali X(z), X̃(z), Y (z) e Ỹ (z), di opportune dimensioni,
per le qualivale [
−X(z) Y (z)PL(z) QL(z)
] [−DR(z) Ỹ (z)NR(z) X̃(z)
]=[Im 00 Ip
]. (4.11)
Dimostrazione Se NR(z)D−1R (z) e Q−1L (z)PL(z) sono
rappresentazioni fratte
di G(z) si haQL(z)NR(z)− PL(z)DR(z) = 0
-
4.3. FORMA CANONICA DI SMITH-MCMILLAN 111
ovvero, in forma matriciale,
[PL(z) QL(z) ][−DR(z)NR(z)
]= 0. (4.12)
Poiché NR(z) e DR(z) sono matrici coprime a destra, per la
Proposizione 3.2.5esistono matrici polinomiali X(z) e Y (z) tali
che
X(z)DR(z) + Y (z)NR(z) = Im. (4.13)
Similmente, esistono matrici polinomiali X̂(z) e Ŷ (z) per le
quali si ha
PL(z)Ŷ (z) +QL(z)X̂(z) = Ip. (4.14)
Mettendo assieme le (4.12), (4.13) e (4.14) si ricava[−X(z) Y
(z)PL(z) QL(z)
] [−DR(z) Ŷ (z)NR(z) X̂(z)
]=[Im V (z)0 Ip
],
con V (z) matrice polinomiale. Postmoltiplicando entrambi i
membri della prece-dente equazione per la matrice unimodulare[
Im −V (z)0 Ip
],
si ottiene la (4.11) con X̃(z) := X̂(z)−NR(z)V (z) e Ỹ (z) :=
Ŷ (z) +DR(z)V (z).
4.3 Forma canonica di Smith-McMillan
Come abbiamo visto nel Capitolo 3, ogni matrice polinomiale M(z)
di dimensionip×m, può essere ridotta attraverso operazioni
elementari su righe e colonne allasua forma canonica di Smith,
ovvero ad una struttura (pseudo)diagonale del tipo
Γ(z) =
γ1(z)γ2(z)
. . .γr(z)
||||
0
− − − − − − − − − −
0|| 0
, (4.15)
-
112 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
dove r è il rango di M(z) e i γi(z) sono i polinomi monici
invarianti di M(z)che soddisfano le condizioni di divisibilità
γi(z) |γi+1(z), i = 1, 2, . . . , r − 1. Percomodità di notazione
una matrice avente la struttura di Γ(z) in (4.15) saràdenotata nel
seguito con
diag{γ1(z), γ2(z), . . . , γr(z)}p×m. (4.16)
Se G(z) è un’arbitraria matrice p × m, ad elementi in F(z), è
possibile trovareuna famiglia finita di operazioni elementari, da
applicare alle sue righe e alle suecolonne, cos̀ı da portarla in
forma diagonale. In questo caso gli elementi sulladiagonale sono
razionali, e le condizioni di divisibilità coinvolgono sia i
nume-ratori che denominatori delle loro rappresentazioni
irriducibili. Se estendiamo aF(z)p×m la relazione di equivalenza ∼
introdotta nel precedente capitolo, ponendoG(z) ∼ F (z) se G(z) ed
F (z) sono matrici razionali ottenute l’una dall’altraattraverso
operazioni elementari sulle righe e sulle colonne, ogni classe di
equiva-lenza in F(z)p×m/ ∼ contiene una ed una sola matrice
diagonale del tipo sopradescritto, che sarà a buon diritto
chiamata “forma canonica” di Smith-McMillandegli elementi della
classe.
Teorema 4.3.1 [Forma canonica di Smith-McMillan] Sia G(z) una
ma-trice in F(z)p×m di rango r. Allora esistono matrici unimodulari
U(z) ∈ F[z]p×pe V (z) ∈ F[z]m×m tali che
S(z) := U(z)G(z)V (z) = diag{ε1(z)ψ1(z)
,ε2(z)ψ2(z)
, . . .εr(z)ψr(z)
}p×m
, (4.17)
dove ε1(z), ε2(z), . . . , εr(z), ψ1(z), ψ2(z), . . . , ψr(z) ∈
F[z] sono polinomi monicisoddisfacenti le condizioni
• εi(z) e ψi(z) sono coprimi, i = 1, 2, ..., r;
• εi(z) | εi+1(z) e ψi+1(z) | ψi(z), i = 1, 2, ..., r − 1.
Dimostrazione Se d(z) è il mcm monico dei denominatori degli
elementi diG(z), M(z) := d(z)G(z) è una matrice polinomiale di
rango r ed esistono quindimatrici unimodulari U(z) e V (z) che,
applicate a M(z), la riducono in forma diSmith
U(z)M(z)V (z) = diag {γ1(z), γ2(z), . . . , γr(z)}p×m ,
(4.18)
dove γi(z) sono i polinomi monici invarianti di M(z). Dividendo
entrambi imembri della (4.18) per d(z) si ottiene
U(z)G(z)V (z) = diag{γ1(z)d(z)
,γ2(z)d(z)
, . . . ,γr(z)d(z)
}p×m
. (4.19)
-
4.3. FORMA CANONICA DI SMITH-MCMILLAN 113
Se εi(z)/ψi(z) è una rappresentazione irriducibile di
γi(z)/d(z), con εi(z) e ψi(z)entrambi monici, dalle condizioni di
divisibilità dei polinomi γi(z) seguono subitoquelle dei polinomi
εi(z) e ψi(z).
Dall’unicità della forma canonica di Smith di una matrice
polinomiale seguequella della forma canonica di Smith-McMillan. I
dettagli della dimostrazionevengono lasciati per esercizio.
• Esercizio 4.3.1 Sia G(z) ∈ F(z)p×m. Si dimostri che la sua
forma canonica di Smith-McMillan è unica.
(Suggerimento: chiaramente r è determinato dal rango di G(z).
Siano poi
S(z) = U(z)G(z)V (z) = diag
{ε1(z)
ψ1(z),ε2(z)
ψ2(z), · · · , εr(z)
ψr(z)
}p×m
e
S̃(z) = Ũ(z)G(z)Ṽ (z) = diag
{ε̃1(z)
ψ̃1(z),ε̃2(z)
ψ̃2(z), · · · ,
˜εr(z)
ψ̃r(z)
}p×m
due forme di Smith-McMillan di G(z). Si noti che S(z)ψ1(z)ψ̃1(z)
e S̃(z)ψ1(z)ψ̃1(z) sonoentrambe polinomiali e in forma di Smith.
Inoltre l’eguaglianza
ψ1(z)ψ̃1(z)S(z) = U(z)[ψ1(z)ψ̃1(z)G(z)
]V (z)
= U(z)[Ũ−1(z)ψ1(z)ψ̃1(z)S̃(z)Ṽ
−1(z)]V (z)
=[U(z)Ũ−1(z)
] [ψ1(z)ψ̃1(z)S̃(z)
] [Ṽ −1(z)V (z)
]implica che le due forme di Smith siano equivalenti, quindi
uguali, ovvero
ψ1(z)ψ̃1(z)εi(z)
ψi(z)= ψ1(z)ψ̃1(z)
ε̃i(z)
ψ̃i(z), i = 1, 2, . . . , r.
Ma allora si haεi(z)
ψi(z)=ε̃i(z)
ψ̃i(z), i = 1, 2, . . . , r. )
• Esercizio 4.3.2 i) Se G(z) ∈ F(z)p×m è propria, allora nella
sua forma di Smith-McMillan è propria la funzione razionale
ε1/ψ1.
(Suggerimento: se d(z) è il mcm dei denominatori di G(z), in
d(z)G(z) = M(z) si hadegd ≥ degmij . Si usi ε1/ψ1 =
MCD{mij(z)}/d(z))ii) Si dimostri che la forma di Smith-McMillan
della matrice razionale propria 1(z + 1)2 1(z + 1)(z + 2)
1
(z + 1)(z + 2)
z + 3
(z + 2)2
è diag{1/(z + 1)2(z + 2)2, z + 2}, quindi non propria.)
Dalla forma canonica di Smith McMillan è immediato ottenere una
particolareRMF destra (o sinistra) irriducibile di G(z) e calcolare
i polinomi invarianti delle
-
114 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
matrici numeratore e denominatore di un’arbitraria RMF destra
irriducibile diG(z). Vale infatti la seguente
Proposizione 4.3.2 [Forma di Smith-McMillan e polinomi
invarianti]Siano
S(z) = U(z)G(z)V (z) = diag{ε1(z)ψ1(z)
,ε2(z)ψ2(z)
, · · · , εr(z)ψr(z)
}p×m
la forma canonica di Smith-McMillan e NR(z)D−1R (z) una
rappresentazione frattadestra irriducibile della matrice G(z) ∈
F(z)p×m. Allora i polinomi ε1(z), ε2(z),. . . , εr(z) sono i
polinomi invarianti di NR(z) e i polinomi non unitari nella
listaψ1(z), ψ2(z), . . . , ψr(z) sono i polinomi invarianti non
unitari di DR(z).
Dimostrazione La matrice S(z) può essere espressa come frazione
matricialedestra nella forma
S(z) = diag{ε1(z), ε2(z), . . . , εr(z)}p×mdiag{ψ1(z), ψ2(z), .
. . , ψr(z), 1, . . . , 1}−1m×m
=: E(z)Ψ−1(z). (4.20)
Tale rappresentazione fratta è irriducibile. Infatti la
coprimalità delle coppiedi polinomi (εi(z), ψi(z)) implica
l’esistenza di polinomi xi(z) e yi(z) ∈ F[z]soddisfacenti le
identità
xi(z)ψi(z) + yi(z)εi(z) = 1,
i = 1, 2, . . . , r, e di conseguenza si ha
x1(z) y1(z). . . . . .
xr(z) yr(z)1 0
. . . . . .1 0
[
Ψ(z)E(z)
]= Im.
Pertanto E(z) e Ψ(z) sono coprime a destra. Ma allora in
G(z) = U−1(z)[E(z)Ψ−1(z)
]V −1(z) = [U−1(z)E(z)][V (z)Ψ(z)]−1, (4.21)
[U−1(z)E(z)][V (z)Ψ(z)]−1 è una RMF irriducibile di G(z),
essendo prima a destrala matrice [
U−1(z)E(z)V (z)Ψ(z)
]=[U−1(z) 0
0 V (z)
] [E(z)Ψ(z)
].
-
4.3. FORMA CANONICA DI SMITH-MCMILLAN 115
Poichè numeratore e denominatore di due rappresentazioni destre
irriducibili dellastessa matrice differiscono per il medesimo
fattore destro unimodulare, esiste unamatrice unimodulare W (z)
tale che
NR(z) = [U−1(z)E(z)]W (z) (4.22)DR(z) = [V (z)Ψ(z)]W (z).
(4.23)
Dalla (4.22) segue che NR(z) è una matrice equivalente a E(z),
che è in formacanonica di Smith, ed εi(z) sono i polinomi
invarianti di NR(z).La matrice Ψ(z) non è in forma canonica di
Smith, perché ciascun polinomiosulla diagonale divide il
precedente, anziché il successivo. Per ottenere la formacanonica
di Smith di DR(z) è sufficiente peraltro ricorrere a una
permutazionerighe-colonne. I polinomi ψi(z) non costanti sono
allora i polinomi invarianti noncostanti di DR(z).
Ovviamente, S(z) può essere rappresentata anche come frazione
matriciale (ir-riducibile) sinistra ponendo
S(z) = diag{ψ1(z), ψ2(z), . . . , ψr(z), 1, . . . ,
1}−1p×pdiag{ε1(z), ε2(z), . . . , εr(z)}p×m.
Quindi gli εi(z) sono anche i polinomi invarianti della matrice
numeratore e iψi(z) (completati eventualmente con elementi unitari)
i polinomi invarianti dellamatrice denominatore di ogni
rappresentazione matriciale fratta irriducibile sin-istra di
G(z).
• Esercizio 4.3.3 Siano NR(z)D−1R (z) e Q−1L (z)PL(z) due RMF
irriducibili di W (z) ∈
F(z)p×m. Si provi che i polinomi invarianti non unitari di DR(z)
e QL(z) coincidono.
• Esercizio 4.3.4 Se G(z) ∈ F(z)p×m ha rango m, allora le
seguenti condizioni sonoequivalenti:
i) G(z) ammette un’inversa sinistra polinomiale;
ii) se u(z) ∈ F(z)m è tale che G(z)u(z) ∈ F[z]p, allora u(z) ∈
F[z]m;iii) se N(z)D−1(z) è una RMF irriducibile di G(z) allora
N(z) è prima a destra;
iv) nella forma canonica di Smith McMillan di G(z) si ha �i(z) =
1, i = 1, 2, . . .m;
(Suggerimento: i) ⇒ ii) immediatoii) ⇒ iii) Sia v(z) ∈ F(z)m. Se
N(z)v(z) è polinomiale, lo è D(z)v(z) per il punto
(ii). Poiché
[N(z)D(z)
]v(z) è polinomiale e
[N(z)D(z)
]è prima a destra, v(z) deve essere
polinomiale. Quindi N(z) soddisfa uno dei criteri di primalità
a destra;
iii) ⇔ iv) in una rappresentazione matriciale irriducibile di
G(z) i polinomi invariantidi N(z) coincidono con i numeratori
εi(z), i = 1, 2, . . . ,m della forma canonica di SmithMcMillan di
G(z). Se N(z) è prima a destra, ha m polinomi invarianti unitari;
viceversa,se N(z) ha m polinomi invarianti unitari, è prima a
destra.
iii) ⇒ i) Da G(z) = N(z)D(z)−1, se P (z)N(z) = Im con P (z)
polinomiale, si ha[D(z)P (z)][N(z)D(z)−1] = Im ).
-
116 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
4.4
-
4.4.
-
118 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
Dalla condizione
M(z)1
d(z)= NR(z)D
−1R (z) = NR(z)adjDR(z)
1
detDR,
denotando con pij(z) gli elementi della matrice polinomiale
NR(z)adjDR(z) segue allora 1 +d(z)y(z) detDR = (
∑ijxij(z)pij(z))d(z) ovvero
d(z)[∑ij
xij(z)pij(z)− y(z) detDR] = detDR.
Ma allora, se α è uno zero di d(z), lo è anche di
detDR.D’altra parte dall’eguaglianza
G(z) = NR(z)D−1R (z) = M(z)[d(z)Im]
−1
segue che M(z)[d(z)Im]−1 è una RMF destra di G(z) e quindi, per
il Corollario 4.5, esiste
p(z) ∈ F[z] tale ched(z)m = p(z) detDR.
Pertanto se α è uno zero di detDR lo è anche di d(z)m, e
quindi di d(z).
Esempio 4.4.2 Consideriamo la matrice razionale
G(z) =
0 1 0z − 1z + 4
1
z + 40
(z − 1)2 0 (z − 1)2
∈R(z)3×3.Le componenti di G(z) che hanno poli sono g21(z) e
g22(z), il cui denominatore si annullain −4. In accordo con ciò,
il mcm dei denominatori è d(z) = z + 4.La forma canonica di
Smith-McMillan di G(z) è 1z + 4 0 0
0 z − 1 00 0 (z − 1)2
= [ 1 0 00 z − 1 00 0 (z − 1)2
][z + 4 0 0
0 1 00 0 1
]−1,
e −4 è l’unico zero di ψ1(z) = z + 4.Infine una RMF destra
irriducibile di G(z) è data da
NR(z)D−1R (z) =
[z + 4 z − 1 0
1 0 00 0 (z − 1)2
][0 −1 0
z + 4 z − 1 00 1 1
]−1,
e detDR = −(z + 4).
Come si è avuto modo di accennare nel corso della precedente
dimostrazione, gli zeri dei polinomid(z) e detDR sono i medesimi ma
in generale hanno molteplicità diverse, come illustrato
dalseguente esempio.
• Esempio 4.4.3 Nella matrice razionale
G(z) =
1z + 1 1z + 10
1
z + 1
= [ 1 10 1
][z + 1 0
0 z + 1
]−1= NR(z)D
−1R (z)
il mcm dei denominatori degli elementi diG(z) è d(z) =
z+1,mentre la frazione matricialeNR(z)D
−1R (z) è irriducibile con detDR = (z + 1)
2.
-
4.4. v(r−1)α .
-
120 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
Dimostrazione i) ⇔ ii) In base alla Proposizione 4.3.5, si ha
NR(z) = U−1(z)E(z)W (z) conU−1(z) e W (z) unimodulari. Pertanto per
ogni α ∈ F̄, NR(α) ed E(α) hanno lo stesso rango.Ma E(α) ha rango
minore di r se e solo se α è zero di εr(z), e quindi zero di
G(z).i) ⇔ iii) Riferendoci alla forma di Smith McMillan di G(z),
con le notazioni del Lemma 4.4.8,abbiamo
ṽ(r)α = vα
(ε1(z)ε2(z) · · · εr(z)ψ1(z)ψ2(z) · · ·ψr(z)
)= vα
(ε1(z)ε2(z) · · · εr−1(z)ψ1(z)ψ2(z) · · ·ψr−1(z)
)+ vα
(εr(z)
ψr(z)
)= ṽ(r−1)α + vα
(εr(z)
ψr(z)
).
Dal momento che α è uno zero di G(z) se e solo se εr(α) = 0, e
quindi se e solo se vα(εr(z)ψr(z)
)è
strettamente positivo, ne consegue che
ṽ(r)α > ṽ(r−1)α
se e solo se α è uno zero di G(z). Il risultato segue subito
dal fatto che, per il Lemma 4.4.9,
ṽ(r)α = v
(r)α e ṽ
(r−1)α = v
(r−1)α . ∗ >>
4.5 Problemi di grado
In molti problemi che affronteremo nei successivi capitoli, le
matrici di trasferi-mento dovranno corrispondere a sistemi
realizzabili con modelli di stato causali,e quindi a matrici
razionali proprie. Come ci si può aspettare dalla loro
stessadefinizione, tali matrici coinvolgono interessanti vincoli
sui gradi di riga e/o dicolonna delle rappresentazioni fratte.
4.5.1 Matrici razionali proprie
Una matrice razionale G(z) = [gij(z)] ∈ F(z)p×m è propria
(strettamente pro-pria) se lo sono tutte le sue componenti gij(z).
Il fatto che G(z) sia una matricepropria impone alcune condizioni
sui gradi di colonna delle matrici numeratore edenominatore di ogni
sua rappresentazione matriciale fratta N(z)D−1(z). Tut-tavia, il
verificarsi di tali condizioni non garantisce, come vedremo, che
G(z) siapropria, a meno di non introdurre opportune ipotesi sulla
matrice denominatoredella rappresentazione. Si ha infatti il
seguente risultato.
Proposizione 4.5.1 [RMF di una matrice razionale propria]
SiaN(z)D−1(z)una rappresentazione matriciale fratta della matrice
G(z) ∈ F(z)p×m.
i) Se G(z) è propria allora, per i = 1, 2 . . .m,
deg coliN(z) ≤ deg coliD(z), (4.26)
-
4.5. PROBLEMI DI GRADO 121
e se è strettamente propria allora
deg coliN(z) < deg coliD(z). (4.27)
ii) Se D(z) è ridotta per colonne, (4.26) e (4.27) implicano,
rispettivamente,che G(z) è propria o strettamente propria.
Dimostrazione Indichiamo con k1, k2, . . . , km e k′1, k′2, . .
. , k
′m rispettivamente
i gradi di colonna2 di D(z) = [dij(z)] e di N(z) = [nij(z)].i)
Da
N(z) = G(z)D(z) (4.28)
segue, per ogni i e j,
nij(z) =m∑h=1
gih(z)dhj(z).
Ricordiamo che per un polinomio p(z) si ha deg(p) = −v∞(p) e che
una funzionerazionale f(z) è propria (strettamente propria) se e
solo se v∞(f) ≥ 0 (v∞(f) >0). Se G(z) è propria (strettamente
propria) valgono allora le diseguaglianze
−deg nij = v∞(nij) ≥ minhv∞(gihdhj) ≥ min
hv∞(dhj) = −kj
(−deg nij = v∞(nij) ≥ minhv∞(gihdhj) > min
hv∞(dhj) = −kj).
Ma allora si ha
k′j = maxi
deg nij ≤ kj
(k′j = maxi
deg nij < kj).
ii) Supponiamo ora che D(z) sia ridotta per colonne, cosicchè
deg detD =∑mj=1 kj , e assumiamo kj ≥ k′j (kj > k′j) per j = 1,
2, . . . ,m. Dalla (4.28), eviden-
ziando la riga i-esima delle matrici G(z) e N(z), segue
[gi1(z) gi2(z) . . . gim(z)]D(z) = [ni1(z) ni2(z) . . . nim(z)].
(4.29)
Questa scrittura può essere interpretata come un sistema di
equazioni lineari nelleincognite gij(z), j = 1, 2, . . . ,m,
risolubile in modo unico in F(z) dal momentoche la matrice dei
coefficienti D(z) è non singolare. L’espressione esplicita
dellasoluzione, secondo la regola di Cramer, è data da
gij(z) =detD(ij)(z)
detD(z), (4.30)
2se una colonna di N(z) è nulla, il suo grado viene
convenzionalmente assunto pari a −∞
-
122 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
dove D(ij)(z) è la matrice ottenuta sostituendo in D(z) la riga
j-esima con la rigai-esima di N(z) (che svolge il ruolo di vettore
riga dei termini noti).Applicando l’espressione per il calcolo del
determinante data in (3.39), si ottiene
detD(ij)(z) =∑σ
sgn(σ)d1,σ(1) . . . dj−1,σ(j−1)ni,σ(j)dj+1,σ(j+1) . . . dm,σ(m).
(4.31)
Poichè deg ni,σ(j) ≤ k′σ(j), dall’ipotesi sui gradi di colonna
di N(z) e D(z) segue
deg detD(ij) ≤m∑i=1
ki = deg detD(deg detD(ij) <
m∑i=1
ki = deg detD),
Quindi in (4.30) gij(z) è una funzione razionale propria
(strettamente propria)per ogni j. Infine, per l’arbitrarietà della
scelta della riga i-esima, si conclude cheG(z) è una matrice
propria (strettamente propria).
L’ipotesi che la matrice denominatore nella rappresentazione sia
ridotta percolonne non va intesa affatto come riduttiva. Se
infattiN(z)D−1(z) è un’arbitrariaRMF destra, è possibile operare
su D(z) nel modo descritto nel Capitolo 3 deter-minando una matrice
unimodulare U(z) tale cheD(z)U(z) sia ridotta per colonne.La
frazione matriciale [N(z)U(z)][D(z)U(z)]−1 fornisce allora una RMF
destracon le proprietà desiderate, irriducibile se e solo se lo
era la rappresentazioneiniziale N(z)D−1(z).
Esempio 4.5.1 Si consideri la frazione matriciale
N(z)D−1(z) = [ 2z2 + 1 −2 ][
z3 + z zz2 + z + 1 1
]−1.
I gradi di colonna di N(z) sono k′1 = 2 e k′2 = 0, mentre i
gradi di colonna di D(z) sono
k1 = 3 e k2 = 1. Pur essendo verificata la condizione k′i <
ki, i = 1, 2, tuttavia la matrice
non è strettamente propria e nemmeno propria, dal momento che
vale
N(z)D−1(z) =[
4z2 + 2z + 3
−z24z2 + 3
z
].
Di fatto D(z) non è ridotta per colonne, visto che k1 + k2 = 4
mentre detD(z) = −z2 hagrado 2.
Data una matrice G(z) ∈ F(z)p×m, si può effettuare la
sostituzione d = 1/z comenel caso scalare, ottenendo una matrice
razionale M(d) ∈ F(d)p×m, per la qualerisulta
G(z) = M(1/z) (4.32)
Per l’esercizio 1.6.3, la condizione che G(z) sia propria
(strettamente propria)si riporta in modo ovvio sugli elementi di
M(d), che devono ammettere una
-
4.5. PROBLEMI DI GRADO 123
rappresentazione in cui il polinomio a denominatore (il
polinomio a denominatorema non quello a numeratore) ha il termine
noto non nullo. Per quanto riguardale rappresentazioni matriciali
fratte di M(d), vale la seguente
Proposizione 4.5.2 [Matrici proprie nelle RMF in d] Sono
equivalentile affermazioni:
i) M(d) = M(1/z) è una matrice propria in z;
ii) In ogni RMF destra irriducibile M(d) = P (d)Q(d)−1 è
invertibile la matriceQ(0).
Dimostrazione (i)⇒ (ii) Se G(z) ∈ F(z)p×m è propria e
N(z)D(z)−1 ne è unaRMF destra con D(z) ridotto per colonne e gradi
di colonna k1, k2, . . . km, allorai gradi di colonna di N(z) non
superano quelli corrispondenti di D(z). Pertanto
G(z) =[N(z)diag{z−k1 , z−k2 , . . . z−km}
][D(z)diag{z−k1 , z−k2 , . . . z−km}
]−1=
[N(z)diag{z−k1 , z−k2 , . . . z−km}
][Dhc +Drem(z)diag{z−k1 , z−k2 , . . . z−km}
]−1:= P̃ (z−1)Q̃(z−1)−1 = P̃ (d)Q̃(d)−1
fornisce una RMF destra in z−1 = d nella quale il denominatore
soddisfa Q̃(0) =Dhc e quindi Q̃(d) è invertibile per d = 0.Se P̃
(d)Q̃(d)−1 non è irriducibile e se ∆(d) è un MCD destro di P̃ (d)
e Q̃(d), dalleP̃ (d) = P̄ (d)∆(d) e Q̃(d) = Q̄(d)∆(d), si ottiene
una rappresentazione irriducibile
M(d) = P̄ (d)Q̄(d)−1
nella quale l’invertibilità di Q̃(0) implica quella di
Q̄(0).Per ogni altra rappresentazione irriducibile M(d) = P
(d)Q(d)−1 si ha Q(d) =Q̄(d)U(d) con U(d) unimodulare, e quindi Q(0)
= Q̄(0)U(0) è invertibile.
(ii)⇒ (i) Se in M(d) = P (d)Q(d)−1 il denominatore ha Q(0)
invertibile e sedenotiamo con ki il più grande fra i gradi delle
colonne i-esime di P (d) e di Q(d),si ottiene
G(z) = P (z−1)Q(z−1)−1
=[P (z−1)diag{zk1 , zk2 , . . . zkm}
][Q(z−1)diag{zk1 , zk2 , . . . zkm}
]−1in cui il denominatore è ridotto per colonne. Basta allora
applicare la Propo-sizione 4.5.1. per concludere che G(z) è
propria.
-
124 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
• Esercizio 4.5.1 Si provi che M(d) è strettamente propria se
vale la (ii) della Prop. 4.5.3e inoltre è nulla la matrice P (0)
nelle RMF irriducibili M(d) = P (d)Q(d)−1 (e quindi inqualsiasi RMF
destra).
• Esercizio 4.5.2 Si verifichi che se M(d) è polinomiale,
ridotta per colonne, con gradidi colonna k1, k2, . . . , km: allora
G(z) := M(z
−1) è propria e la sua rappresentazioneN(z)diag{zk1 , . . . ,
zkm}−1 è irriducibile. (Suggerimento: N(0) = Mhc ha rango m)
4.5.2 Divisione di matrici
È noto dall’algebra elementare che un’arbitraria funzione
razionale
g(z) =n(z)d(z)
∈ F(z)
può essere sempre espressa, in modo unico, come somma di una
funzione razionalestrettamente propria e di un polinomio. Infatti,
dalla divisione euclidea di n(z)per d(z)
n(z) = q(z)d(z) + r(z), deg r < deg d, (4.33)
segue
g(z) = q(z) +r(z)d(z)
, (4.34)
dove q(z) è un polinomio e r(z)/d(z) una funzione razionale
strettamente propria.D’altra parte se q̄(z)+ r̄(z)/d̄(z) è
un’altra rappresentazione di g(z) come sommadi un polinomio e di
una funzione razionale strettamente propria, si ha
q(z)− q̄(z) = r̄(z)d̄(z)
− r(z)d(z)
, (4.35)
che essendo un uguaglianza tra un’espressione polinomiale e una
funzione razionalestrettamente propria può essere verificata se e
solo se i due membri sono en-trambi nulli (in caso contrario, le
valutazioni all’infinito dell’espressione di de-stra e di quella di
sinistra in (4.35) sarebbero diverse). Pertanto q(z) = q̄(z)
er(z)/d(z) = r̄(z)/d̄(z).Risultati analoghi a (4.33) e (4.34)
valgono anche nel caso di matrici polinomialie razionali. Più
precisamente, ogni matrice razionale G(z) può essere espressa
inuno ed un sol modo come somma di una matrice polinomiale e di una
razionalestrettamente propria. In particolare, se G(z) è espressa
come frazione matriciale,la sua parte strettamente propria è
rappresentabile da una frazione matricialecon la medesima matrice
denominatore.Infine, la decomposizione (4.33) si estende al caso di
due arbitrarie matrici ret-tangolari N(z) e D̃(z) con egual numero
m di colonne, la seconda delle quali (il
-
4.5. PROBLEMI DI GRADO 125
“divisore”) a rango m, sostituendo alla condizione deg r <
deg d un vincolo suigradi di colonna.
Proposizione 4.5.3 [Scomposizione delle matrici razionali e
divisionedelle matrici polinomiali] i) Un’arbitraria matrice
razionaleG(z) = N(z)D−1(z) ∈F(z)p×m è esprimibile in modo unico
nella forma
G(z) = Q(z) +Gsp(z), (4.36)
con Gsp(z) strettamente propria e Q(z) in F[z]p×m. Inoltre,
Gsp(z) ammette unarappresentazione matriciale fratta del tipo
R(z)D−1(z).ii) Se N(z) ∈ F[z]p×m e D̃(z) ∈ F[z]`×m, con rango di
D̃(z) pari a m, esistonomatrici polinomiali Q(z) e R(z) per cui
vale
N(z) = Q(z)D̃(z) +R(z), deg coliR < deg coliD̃, i = 1, 2, . .
.m. (4.37)
Dimostrazione Esprimendo il generico elemento gij(z) di G(z)
come sommadi un polinomio e di una matrice razionale strettamente
propria
gij(z) = qij(z) +nij(z)dij(z)
,
si ha
G(z) = [qij(z)] +
[nij(z)dij(z)
]=: Q(z) +Gsp(z),
con Gsp(z) matrice razionale strettamente propria. Sostituendo a
G(z) la suarappresentazione matriciale N(z)D−1(z) si ottiene
Gsp(z) =[N(z)−Q(z)D(z)
]D−1(z) =: R(z)D−1(z),
che prova la i).Inoltre, per la Proposizione 4.5.1, le colonne
di R(z) hanno tutte grado stretta-mente minore delle corrispondenti
colonne di D(z). Questo prova il punto ii) nelcaso in cui D̃(z) sia
una matrice quadrata. Se D̃(z) è rettangolare, scegliamoS ∈ Fm×`
in modo tale che D(z) := SD̃(z) sia una matrice quadrata non
singo-lare. Per il punto precedente, esistono matrici polinomiali
Q̃(z) ed R(z) per cuivale la decomposizione
N(z) = Q̃(z)D(z) +R(z) = [Q̃(z)S]D̃(z) +R(z) =: Q(z)D̃(z)
+R(z),
con deg coliR < deg coliD = deg(ScoliD̃) ≤ deg coliD̃, i = 1,
2, . . . ,m.
-
126 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
4.6 Applicazioni al controllo dead-beat
Si è visto nel capitolo precedente come un sistema Σ a tempo
discreto, descrittodall’equazione
x(t+ 1) = Fx(t) +Gu(t), (4.38)
sia controllabile (a zero) se e solo se la matrice
polinomiale
[I − dF | dG] (4.39)
è prima a sinistra, ovvero, alla luce dei risultati di questo
capitolo, se e solo se(I − dF )−1dG è una frazione matriciale
irriducibile.
Una matrice costante K di retroazione dallo stato viene detta
controlloredead-beat se la legge di controllo in catena chiusa u(t)
= Kx(t) porta a zero lostato del sistema Σ in un numero finito di
passi, qualunque siano le condizioniiniziali, quindi se F+GK è
nilpotente. Come noto da corsi precedenti, per sistemisul campo
reale la condizione di controllabilità a zero è equivalente
all’esistenzadi un controllore dead-beat. In questo paragrafo
estenderemo questo risultatoa sistemi su campi arbitrari, e
forniremo un procedimento, basato sull’identitàgeneralizzata di
Bézout e sull’algoritmo di divisione per matrici, che consente
dicostruire un controllore dead-beat K a partire dalla matrice
(4.39).
• Sia (F,G) una coppia controllabile e sia NR(d)D−1R (d) una RMF
destra ir-riducibile della matrice di trasferimento ingresso/stato
(I−dF )−1dG ∈ F(d)n×m.Non è restrittivo assumere che DR(d) sia
ridotta per righe: a tale situazione,infatti, ci si può sempre
ricondurre mediante operazioni elementari di colonna ef-fettuate
simultaneamente su NR(d) e DR(d). Vale allora l’identità
generalizzatadi Bézout [
Im 00 In
]=[−X(d) Y (d)dG In − dF
] [−DR(d) Ỹ (d)NR(d) X̃(d)
]. (4.40)
• Dal momento che DR(d) è una matrice non singolare, in base
alla (versione perrighe della) proposizione 4.5.3 è possibile
esprimere Ỹ (d) nella forma
Ỹ (d) = DR(d)Q(d) +R(d), (4.41)
con deg rigaiR < deg rigaiDR =: hi per i = 1, 2, . . . ,m.
Ponendo[M(d) L(d)dG In − dF
]:=
[Im −Q(d)0 In
] [−X(d) Y (d)dG In − dF
][−DR(d) R(d)NR(d) S(d)
]:=
[−DR(d) Ỹ (d)NR(d) X̃(d)
] [Im Q(d)0 In
],
-
4.6. APPLICAZIONI AL CONTROLLO DEAD-BEAT 127
(4.40) si trasforma allora in[Im 00 In
]=[M(d) L(d)dG In − dF
] [−DR(d) R(d)NR(d) S(d)
],
dove DR(d) è ridotta per righe con gradi di riga hi, e R(d) ha
gradi di rigastrettamente minori dei corrispondenti gradi di
DR(d).• Vogliamo provare che L(d) e M(d) sono entrambe matrici
costanti. Da[
Im 00 In
]=[−DR(d) R(d)NR(d) S(d)
] [M(d) L(d)dG In − dF
](4.42)
segueR(d)(In − dF ) = DR(d)L(d), (4.43)
I gradi di riga della matrice R(d)(In − dF ) non possono
superare i gradi hi dellerighe corrispondenti in DR(d) . In virtù
del fatto che DR(d) è ridotta per righe, seL(d) non fosse costante
esisterebbe qualche i ∈ {1, 2, . . . ,m} tale che nella
matriceprodotto DR(d)L(d) la riga la i-esima avrebbe di grado
strettamente maggioredi hi (si veda l’esercizio 4.6.1). Ma allora
l’equazione (4.43) non potrebbe esseresoddisfatta. Quindi L(d) := L
è una matrice costante.Analogamente, da (4.42) segue
R(d)dG−DR(d)M(d) = Im. (4.44)
e da (4.44) segue che M(d) è costante. Infatti i gradi hi delle
righe di DR(d)sono maggiori o eguali a quelli delle righe di
R(d)dG, quindi, se M(d) non fossecostante, per qualche i ∈ {1, 2, .
. . ,m} qualche riga di DR(d)M(d) avrebbe gradostrettamente
maggiore della corrispondente riga di R(d)dG. Ma allora il
secondomembro di (4.44) non potrebbe avere grado 0.Si noti che M(d)
:= M è non solo una matrice costante, ma è anche invertibile,come
si vede ponendo d = 0 nella (4.44).• Poichè la matrice [
M LdG In − dF
]è unimodulare, sfruttando la formula per il calcolo del
determinante di una ma-trice a blocchi, si ottiene che
detM det[In − dF − dGM−1L]
è una costante non nulla, e quindi
det[In − d(F +GM−1L)] = 1.
Ma allora (si veda Esercizio 3.16) (F + GM−1L) è nilpotente, e
K := M−1L èun controllore dead-beat.
-
128 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
• Esercizio 4.6.1 Dimostrare il seguente risultato, di cui ci
siamo avvalsi nel penultimopunto della costruzione precedente: se
DR(d) è una matrice polinomiale quadrata ridottaper righe con
gradi di riga h1, h2, . . . , hm, e v(d) è un vettore polinomiale
non costante,allora esiste un indice i tale che la componente
i-esima del vettore DR(d)v(d) ha gradomaggiore di hi.
(Suggerimento: nel vettore [diag{dh1 , dh2 , . . . ,
dhm}Dhr][vhcdν+vrem(z)]si hanno componenti di grado hi+ν nelle
posizioni dove Dhrvhc ha componenti non nulle).
Il risultato si estende a matrici rettangolari ridotte per
righe?
• Esercizio 4.6.2 Se M è invertibile, si dimostri che
det
[M PQ N
]= detM det(N −QM−1P )
(Suggerimento: si verifichi che
[M PQ N
]=
[M 0Q I
][I M−1P0 N −QM−1P
]).
4.7 Rappresentazioni matriciali fratte bilatere
In molti casi, ed in particolar modo nello studio dei modelli di
stato, è convenientericorrere, oltre che a RMF sinistre e destre,
a rappresentazioni matriciali frattebilatere (RMFB).
Definizione 4.7.1 [RMF bilatera] Sia G(z) ∈ F(z)p×m. Una terna
di matricipolinomiali (A(z), B(z), C(z)) individua una
rappresentazione matriciale frattabilatera di G(z) se A(z) è
quadrata non singolare, e B(z), C(z) sono matrici diopportune
dimensioni per le quali si verifica l’eguaglianza
G(z) = C(z)A−1(z)B(z). (4.45)
È ovvio che ogni matrice razionale ammette rappresentazioni
bilatere, dal mo-mento che, ad esempio, una rappresentazione fratta
destraN(z)D−1(z) può esserevista come una particolare RMFB,
ovvero
N(z)D−1(z)Im. (4.46)
Per analogia, ci riferiremo alla matrice A(z) in (4.45) come
alla matrice denomi-natore della RMFB e chiameremo grado
determinantale della (4.45) il grado didetA(z).
Definizione 4.7.2 [RMF bilatere irriducibili] Una RMFB (4.45) è
dettairriducibile (o bicoprima) se A(z) e C(z) sono coprime a
destra, mentre A(z) eB(z) sono coprime a sinistra.
-
4.7. RAPPRESENTAZIONI MATRICIALI FRATTE BILATERE 129
Ogni matrice razionale ammette RMFB irriducibili, dal momento
che per ognisua RMF destra irriducibile N(z)D−1(z), (4.46) è una
RMFB irriducibile.Inoltre, data una generica RMFB C(z)A−1(z)B(z) di
una matriceG(z) è possibilericavarne una di irriducibile
(i) ricercando un MCD destro ∆(z) di C(z) e A(z)
C(z) = C̄(z)∆(z) A(z) = Ā(z)∆(z);
(ii) ricercando un MCD sinistro ∇(z) di Ā(z) e B(z)
B(z) = ∇(z)B̄(z) Ā(z) = ∇(z)Â(z);
(iii) rappresentando G(z) nella forma
G(z) = C̄(z)Â−1(z)B̄(z). (4.47)
La RMFB (4.47) è irriducibile. Infatti, B̄(z) e Â(z) sono
coprime a sinistraper costruzione, e poichè C̄(z) e Ā(z) sono
coprime a destra, esistono matricipolinomiali X(z) e Y (z) tali
che
X(z)Ā(z) + Y (z)C̄(z) = I,
da cui (X(z)∇(z)
)Â(z) + Y (z)C̄(z) = I,
il che dimostra la coprimalità a destra di C̄(z) e Â(z).
Come si è visto nel paragrafo 4.2, le matrici denominatore
delle RMF destree sinistre irriducibili di una matrice razionale
G(z) hanno tutte il medesimo de-terminante, a meno di una costante
moltiplicativa non nulla. Questo risultato siestende anche alle
RMFB irriducibili, nel senso che se
C1(z)A−11 (z)B1(z) = C2(z)A−12 (z)B2(z)
sono irriducibili, allora i determinanti di A1(z) e A2(z) sono
polinomi associati.Per provarlo, ci serviremo del seguente
lemma.
Lemma 4.7.3 Sia C(z)A−1(z)B(z) una RMFB della matrice razionale
G(z),con C(z)A−1(z) irriducibile. Se N(z)D−1(z) è una RMF destra
irriducibile diA−1(z)B(z), allora [C(z)N(z)]D−1(z) è una RMF
destra irriducibile di G(z).
-
130 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
Dimostrazione Per la coprimalità di N(z) e D(z) esistono
matrici polinomialiX(z) e Y (z) tali che
X(z)N(z) + Y (z)D(z) = I, (4.48)
e per quella di C(z) e A(z), esistono matrici polinomiali Z(z) e
W (z), tali che
Z(z)C(z) +W (z)A(z) = I. (4.49)
Inoltre, dalla condizione N(z)D−1(z) = A−1(z)B(z) segue
B(z)D(z) = A(z)N(z) (4.50)
Ma allora, premoltiplicando per X(z) e postmoltiplicando per
N(z) la (4.49), siottiene [
X(z)Z(z)]C(z)N(z) +X(z)W (z)A(z)N(z) = X(z)N(z)[
X(z)Z(z)]C(z)N(z) +X(z)W (z)B(z)D(z) = I − Y (z)D(z)[
(X(z)Z(z)][C(z)N(z)
]+[X(z)W (z)B(z) + Y (z)
]D(z) = I
Pertanto [C(z)N(z)]D−1(z) è una RMF destra irriducibile.
Proposizione 4.7.4 [Determinante del denominatore in una RMF
bi-latera irriducibile] Siano C(z)A−1(z)B(z) e N(z)D(z)−1
rappresentazioniirriducibili, la prima bilatera e la seconda
destra, della matrice razionale G(z).Allora detA(z) e detD(z) sono
polinomi associati.
Dimostrazione Sia R(z)S(z)−1 una rappresentazione irriducibile
destra dellaRMF irriducibile sinistra A−1B(z). Si ha allora
N(z)D(z)−1 = C(z)A−1(z)B(z) = [C(z)R(z)]S(z)−1 (4.51)
e, per il precedente lemma, [C(z)R(z)]S−1(z) è irriducibile. Ne
consegue chedetS(z) è associato sia a detD(z) (perché ND−1 =
(CR)S−1 sono RMF ir-riducibili destre), sia a detA(z) (perché RS−1
= A−1B sono RMF irriducibili,una destra e l’altra sinistra). Ciò
implica che detA(z) e detD(z) siano polinomiassociati.
Come conseguenza immediata di questa proposizione, tutte le RMF
irriducibili,destre, sinistre o bilatere, di una assegnata matrice
razionale G(z) hanno matricidenominatore con il medesimo
determinante, a meno di una costante moltiplica-tiva non nulla.
Inoltre, ogni RMF non irriducibile di G(z) ha una matrice
denomi-natore il cui determinate è un multiplo proprio del
determinante dei denominatorinelle RMF irriducibili.
-
4.8. APPLICAZIONI AI SISTEMI INTERCONNESSI 131
• Esercizio 4.7.1 I polinomi invarianti non unitari delle
matrici denominatore sono glistessi in tutte le rappresentazioni
matriciali fratte irriducibili della matrice razionale G(z),siano
esse destre, sinistre o bilatere.
4.8 Applicazioni ai sistemi interconnessi
SianoΣ1 = (F1, G1, H1) , Σ2 = (F2, G2, H2)
due sistemi dinamici lineari discreti in forma di stato su un
arbitrario campo F,con il medesimo numero m di ingressi e p di
uscite, e siano n1 e n2 le dimensionidei rispettivi spazi di
stato.Vogliamo individuare condizioni necessarie e sufficienti su
Σ1 e Σ2 che garanti-scano la raggiungibilità del sistema
Σp =([
F1 00 F2
],
[G1G2
], [H1 H2 ]
),
ottenuto dalla loro connessione in parallelo.
- Σ1
?
6��� -
- Σ2
u y
+
+
Fig. 4.1
Σp
Come abbiamo visto nel paragrafo 3.4, il sistema Σp è
raggiungibile se e solose la matrice del criterio PBH[
zIn1 − F1 00 zIn2 − F2
G1G2
](4.52)
è prima a sinistra. Ciò richiede, in particolare, che [zIn1−F1
|G1] e [zIn2−F2 |G2]siano prime a sinistra, ovvero che Σ1 e Σ2
siano raggiungibili. Non è quindirestrittivo per lo studio del
problema ipotizzare a priori la raggiungibilità di
talisistemi.
-
132 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
Se Ni(z)D−1i (z), i = 1, 2, sono RMF destre irriducibili delle
matrici di trasferi-mento ingresso stato, i.e.
(zIni − Fi)−1G1 = Ni(z)D−1i (z), (4.53)
è chiaro che det(zIni − Fi) = detDi(z), i = 1, 2 e quindi che
il grado determi-nantale di Di(z) è ni.
Proposizione 4.8.1 [Raggiungibilità del parallelo] Siano Σ1 e
Σ2 si-stemi raggiungibili, con il medesimo numero di ingressi, e
siano N1(z)D−11 (z) eN2(z)D−12 (z) RMF destre irriducibili delle
matrici di trasferimento ingresso-statorispettivamente di Σ1 e Σ2.
Il sistema parallelo Σp è raggiungibile se e solo se
[D1(z) | D2(z)]
è una matrice prima a sinistra.
Dimostrazione Il sistema parallelo Σp è raggiungibile se e solo
se la RMFsinistra [
zIn1 − F1 00 zIn2 − F2
]−1 [G1G2
](4.54)
è irriducibile. Poichè le RMF irriducibili, destre, sinistre,
o bilatere, della mede-sima matrice hanno lo stesso grado
determinantale, mentre ogni altra RMF hagrado determinantale
maggiore, la raggiungibilità di Σp equivale all’esistenzadi una
RMFB irriducibile della (4.54) avente grado determinantale n1 +
n2.Vogliamo provare che una tale RMFB esiste se e solo se D1(z) e
D2(z) sonocoprime a sinistra.Si noti che la matrice di
trasferimento ingresso stato di Σp può essere riscrittanella forma
di una RMFB[
N1(z) 00 N2(z)
] [D1(z) 0
0 D2(z)
]−1 [ ImIm
], (4.55)
che ha grado determinantale n1 +n2; perciò la raggiungibilità
di Σp è equivalentealla irriducibilità di tale RMFB. Ma
l’irriducibilità della RMF destra[
N1(z) 00 N2(z)
] [D1(z) 0
0 D2(z)
]−1è conseguenza immediata di quella delle RMF Ni(z)D−1i (z), i
= 1, 2, mentre èfacile verificare che la irriducibilità della RMF
sinistra[
D1(z) 00 D2(z)
]−1 [ ImIm
]equivale alla primalità a sinistra della matrice [D1(z) |
D2(z)].
-
4.8. APPLICAZIONI AI SISTEMI INTERCONNESSI 133
• Esercizio 4.8.1 Con riferimento alle notazioni della
precedente proposizione, si verifichiche la matrice [
D1(z) 0 Im0 D2(z) Im
]è prima a sinistra se e solo se lo è la matrice [D1(z) |
D2(z)].
• Esercizio 4.8.2 Siano Σ1 e Σ2 sistemi osservabili, con il
medesimo numero di uscite, esiano Q−11 (z)P1(z) e Q
−12 (z)P2(z) RMF sinistre irriducibili delle corrispondenti
matrici
di trasferimento stato-uscita. Il sistema Σp, ottenuta dalla
connessione in parallelo di Σ1e Σ2, è osservabile se e solo se
[
Q1(z)Q2(z)
]è una matrice prima a destra.
Consideriamo ora il caso in cui Σ1 = (F1, G1, H1) e Σ2 = (F2,
G2, H2) sianosistemi dinamici lineari in forma di stato su un
arbitrario campo F, con mi ingressie pi uscite, i = 1, 2, e
supponiamo che m2 coincida con p1. È possibile alloraconnettere il
sistema Σ2 in cascata al sistema Σ1 ottenendo cośı la
connessioneserie di Fig.4.2.
- Σ1 - Σ2 -u y
Fig. 4.2
Σs
Come nel caso precedente, supporremo che Σ1 e Σ2 siano
raggiungibili eNi(z)D−1i (z), i = 1, 2, siano RMF destre
irriducibili delle matrici di trasferimentoingresso-stato (zIni −
Fi)−1Gi. È immediato verificare che Σs è raggiungibile see solo
se la matrice polinomiale[
zIn1 − F1 0−G2H1 zIn2 − F2
G10
](4.56)
è prima a sinistra, ovvero la frazione matriciale[zIn1 − F1
0−G2H1 zIn2 − F2
]−1 [G10
]
-
134 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
è irriducibile.Sulla base dei medesimi ragionamenti svolti per
la connessione in parallelo, ciòequivale all’esistenza di una RMFB
irriducibile della matrice ingresso-stato di Σs,con grado
determinantale n1 +n2. Ma il legame ingresso-stato è esprimibile
nellaforma[
N1(z)D−11 (z)N2(z)D−12 (z)H1N1(z)D
−11 (z)
]=[N1(z) 0
0 N2(z)
] [D1(z) 0
−H1N1(z) D2(z)
]−1 [Im0
],
(4.57)e poichè il grado determinantale di tale RMFB è n1 + n2,
la raggiungibilità di
Σs è equivalente al fatto che la RMFB (4.57) sia
irriducibile.
Proposizione 4.8.2 [Raggiungibilità della serie] Siano Σ1 e Σ2
sistemiraggiungibili, con Σ2 avente un numero di ingressi pari al
numero di uscite diΣ1, e siano N1(z)D−11 (z) e N2(z)D
−12 (z) RMF destre irriducibili delle matrici di
trasferimento ingresso-stato di Σ1 e Σ2. Il sistema serie Σs è
raggiungibile se esolo se [H1N1(z) | D2(z)] è una matrice prima a
sinistra.
Dimostrazione Per i ragionamenti precedenti sarà sufficiente
dimostrare che ilsecondo membro della (4.57) è una RMFB
irriducibile se e solo se [H1N1(z) |D2(z)]è prima a sinistra.
Proviamo anzitutto che la frazione matriciale destra[
N1(z) 00 N2(z)
] [D1(z) 0
−H1N1(z) D2(z)
]−1(4.58)
è irriducibile. Per l’irriducibilità di Ni(z)D−1i (z), i = 1,
2, esistono matrici polino-miali Xi(z) e Yi(z) soddisfacenti le
identità di Bézout Xi(z)Di(z) +Yi(z)Ni(z) =Ini , i = 1, 2 e con
esse l’identità[Y1(z) 0
0 Y2(z)
] [N1(z) 0
0 N2(z)
]+[X1(z) 0
0 X2(z)
] [D1(z) 0
−H1N1(z) D2(z)
]=[In1 0L(z) In2
],
con L(z) := −X2(z)H1N1(z). Premoltiplicando per l’inversa della
matriceunimodulare a secondo membro, si ottiene un’identità di
Bézout, e ciò proval’irriducibilità di (4.58). Per quanto
riguarda la frazione matriciale sinistra[
D1(z) 0−H1N1(z) D2(z)
]−1 [ In10
],
è chiaro che se [D1(z) 0 Im1
−H1N1(z) D2(z) 0
](4.59)
è prima a sinistra allora lo è la sottomatrice [−H1N1(z) D2(z)
]. Se viceversala sottomatrice è prima a sinistra, esistono
matrici polinomiali L1(z) ed L2(z)
-
4.8. APPLICAZIONI AI SISTEMI INTERCONNESSI 135
soddisfacenti (−H1N1(z))L1(z) +D2(z)L2(z) = Im2 , e quindi
[D1(z) 0 Im1
−H1N1(z) D2(z) 0
] 0 L1(z)0 L2(z)Im1 0
= [ Im1 T (z)0 Im2
]
è una matrice unimodulare. Ciò dimostra che (4.59) è prima a
sinistra.
• Esercizio 4.8.3 Nel caso in cui Σ1 = (F1, g1, H1) e Σ2 = (F2,
g2, H2) siano sistemi a uningresso e un’uscita, si provi che
(i) la condizione di raggiungibilità di Σi equivale alla
coprimalità di adj(zI − Fi)gi e didet(zI − Fi) (Suggerimento: (zI
− Fi)−1gi = [adj(zI − Fi)gi][det(zI − Fi)]−1 hanno lostesso grado
determinantale e quindi la irriducibilità della RMF destra
equivale a quelladella RMF sinistra)
(ii) la condizione di raggiungibilità del parallelo equivale
alla coprimalità di det(zI −F1)e di det(zI − F2)(iii) la
condizione di raggiungibilità della serie equivale alla
coprimalità di det(zI −F2) edi H1adj(zI − F1)g1.
• Esercizio 4.8.4 Siano Σ1 e Σ2 sistemi osservabili, con Σ2
avente un numero di in-gressi pari al numero di uscite di Σ1, e
siano Q
−11 (z)P1(z) e Q
−12 (z)P2(z) RMF sinistre
irriducibili delle corrispondenti matrici di trasferimento
stato-uscita. Il sistema Σs, ot-tenuto dalla connessione di Σ2 in
cascata a Σ1, è osservabile se e solo se[
P2(z)G2Q1(z)
]è una matrice prima a destra.
• Esercizio 4.8.5 Siano Σi = (Fi, Gi, Hi), i = 1, 2, sistemi
dinamici lineari a mi in-gressi e pi uscite, raggiungibili ed
osservabili, e supponiamo m1 = p2 e m2 = p1.Siano N1(z)D
−11 (z) e N2(z)D
−12 (z) RMF destre irriducibili delle matrici di
trasferimento
ingresso-stato e Q−11 (z)P1(z) e Q−12 (z)P2(z) RMF sinistre
irriducibili delle matrici di
trasferimento stato-uscita rispettivamente di Σ1 e Σ2. Il
sistema Σr,
-��� - Σ1 -6
Σ2 �
u +
−
y
Fig. 4.3
Σr
-
136 CAPITOLO 4. MATRICI RAZIONALI
ottenuto dalla connessione in retroazione di Σ1 e Σ2 è
1. raggiungibile se e solo se [H1N1(z) | D2(z)] è prima a
sinistra,2. osservabile se e solo se [
P1(z)G1Q2(z)
]è una matrice prima a destra.
• Esercizio 4.8.6 Sia Σ = (F,G,H) un sistema raggiungibile e
osservabile, e sianoNΣ(z)D
−1Σ (z) e Q
−1Σ PΣ(z) due RMF irriducibili della sua matrice di
trasferimento. Si
provi che:
i) DΣ(z) è anche matrice denominatore di una RMF irriducibile
destra della matricedi trasferimento ingresso-stato (zI − F
)−1G
ii) QΣ(z) è anche matrice denominatore di una RMF irriducibile
sinistra della matricedi trasferimento stato-uscita H(zI − F
)−1
SeN(z)D−1(z) eQ−1(z)P (z) sono RMF irriducibili delle matrici di
trasferimento ingresso-stato e stato-uscita del sistema, allora
iii) D(z) è anche matrice denominatore di una RMF destra
irriducibile della matricedi trasferimento di Σ;
iv) Q(z) è anche matrice denominatore di una RMF sinistra
irriducibile della matricedi trasferimento di Σ;
(Suggerimento per i) e iii): Se N(z)D−1(z) è RMF irriducibile
destra di (zI − F )−1G,allora HN(z)D−1(z) e NΣ(z)D
−1Σ (z) sono entrambe RMF irriducibili destre. Per gli altri
punti si procede in modo analogo).
• Esercizio 4.8.7 SianoNΣ1(z)D−1Σ1 (z) = Q−1Σ1
(z)PΣ1(z) eNΣ2(z)D−1Σ2
(z) = Q−1Σ2 (z)PΣ2(z)sono RMF irriducibili delle matrici di
trasferimento dei sistemi Σ1 e Σ2, entrambi rag-giungibili e
osservabili. Se Σ1 e Σ2 hanno lo stesso numero di ingressi e di
uscite, allora
i) Σp è raggiungibile se e solo se [DΣ1(z) DΣ2(z)] è prima a
sinistra;
ii) Σp è osservabile se e solo se
[QΣ1(z)QΣ2(z)
]è prima a destra;
Se il numero di uscite di Σ1 coincide con il numero di ingressi
di Σ2, allora
iii) Σs è raggiungibile se e solo se [NΣ1(z) DΣ2(z)] è prima a
sinistra;
iv) Σs è osservabile se e solo se
[PΣ2(z)QΣ1(z)
]è prima a destra.
-
4.8. APPLICAZIONI AI SISTEMI INTERCONNESSI 137
Riferimenti bibliografici
Per lo studio delle matrici razionali e delle loro
rappresentazioni si rinvia alle monografie citatealla fine del
Capitolo 3.L’approccio polinomiale alla progettazione del
compensatore dead-beat è tratto da
1. V.Kučera “Analysis and Design of Discrete Linear Control
Systems”, Academia, Praga,1991.
Per quanto riguarda l’analisi della connessione in serie e
parallelo di sistemi multivariabili sirinvia a
2. P.A.Fuhrmann “On controllability and observability of systems
connected in parallel”,IEEE Transactions on Circuits and Systems,
vol.CAS-22, pg.57, 1975
3. F.M.Callier, C.D.Nahum “Necessary and sufficient conditions
for the complete controlla-bility and observability of systems in
series using the coprime factorization of a rationalmatrix”, IEEE
Transactions on Circuits, vol.CAS-22, n.2, pp.90-95, 1975
dove, tuttavia, il problema viene affrontato con tecniche
differenti.