Lycée Chrestien de Troyes cbea MP1819 Matrices symétriques réelles positives Le lac de Thoune aux reflets symétriques - Huile sur toile - Ferdinand Hodler - 1909 Proposition 1. (Matrices symétriques réelles positives) Soit M ∈ M n (R) une matrice symétrique. Notons λ 1 ,..., λ r ses valeurs propres (que l’on sait être réelles) deux-à-deux distinctes. Alors : ( ∀X ∈ M n,1 (R), t XMX ≥ 0 ) ⇐⇒ (λ 1 ≥ 0,..., λ r ≥ 0) . Une matrice symétrique réelle vérifiant l’une des deux propriétés de l’équivalence (donc les deux) est appelée matrice symétrique réelle positive. Démonstration. =⇒ Supposons que pour tout X ∈ M n,1 (R), t XMX ≥ 0. Soit k ∈ J1, r K. Soit X k ∈ M n,1 (R) un vecteur propre associé à la valeur propre λ k (en particulier X k est non nul). Alors : 0 ≤ t X k MX k = t X k λ k X k = λ k t X k X k = λ k kX k k 2 (1) où la norme k·k est la norme associée au produit scalaire usuel sur M n,1 (R) défini par : ∀X = x 1 . . . x n ∈ M n,1 (R), ∀Y = y 1 . . . y n ∈ M n,1 (R) 〈 X , Y 〉 := n X i =1 x i y i . Par séparation, || X k || > 0. De (1), on déduit alors λ k ≥ 0. ⇐= Supposons λ 1 ≥ 0,..., λ r ≥ 0. Appliquons le théorème spectral à la matrice M . Il existe P ∈ O n (R) et une matrice diagonale D = Diag ( β 1 ,..., β n ) ∈ M n (R) telles que : Alors : t PMP = D. (2) Version du 1 er avril 2019 [21h13] 1 David Blottière