MATRICES
MATRICES
ÍNDICE.
1. Matrices
1. Definición de matriz
2. Tipos de matrices
2. Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales
3. Operaciones con matrices
1. Adición de matrices
2. Multiplicación de una matriz por un número
3. Multiplicación de matrices
4. Matriz inversa
1. Cálculo de matriz inversa por el método de Gauss-Jordan
5. Solución matricial de un sistema de ecuaciones lineales
6. Rango de una matriz
1. Cálculo del rango de una matriz por el método de Gauss
MATRICES
Las matrices son tablas de números que se utilizan para el cálculo
numérico, resolución de ecuaciones, problemas algebraicos, en
problemas geométricos, en estadística, y en general en casi todas las
ramas de las Matemáticas y de las Ciencias en general (economía,
informática, Física, etc.)
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas
por el Matemático Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al
matemático Hamilton, y la notación matricial a Cayley.
Ver Matrices (Sociedad Thales)
MATRICES
Donde, el elemento aij representa el elemento de la fila i y de la columna j.
Dos matrices A y B de orden m x n son iguales si aij = bij ; i = 1, 2,..., m; j
=1,2,...,n.
Si m = n, decimos que A es una matriz cuadrada.
CONJUNTO DE MATRICES
( )11 1
1,2,..., ; 1,2,...,
1
...
... ... ...
...
n
ij i m j n
mnm
a a
A a
a a= =
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷çè ø
Una matriz A de dimensiones (o de orden) m x n con coeficientes en el
cuerpo de los números reales es un número mxn dimensional (tablero de
m filas y n columnas), de m x n elementos de R, a i j ; i = 1, 2, . . . , m;
j = 1, 2 , . . . , n.
Es evidente, que proponiendo las ecuaciones:
2 = 2.a; 3 = a – b
Se obtienen los valores de a = 1 y b = - 2
CONJUNTO DE MATRICES
2 1 3 2 1;
1 0 2 1 0 2
a a bA B
æ öæ ö × ÷÷ çç ÷÷ çç= = ÷÷ çç ÷÷ çç ÷ ÷ç çè ø è ø
–
– –
Ejemplo.- Determinar los valores de a y b para que las matrices A y B
sean iguales.
Designamos por:
Mmn(R) = { A : A es matriz de orden m x n con coeficientes en R }.
Mn(R) = {A : A es matriz cuadrada de orden n de coeficientes en R}
TIPOS DE MATRICES
( )Ejemplo: 3 1 0 1A = —
Denominamos matriz fila a la matriz A de dimensiones 1xn (también denominado vector fila)
2
5Ejemplo:
1
0
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç= ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ççè ÷ø
—
Denominamos matriz columna a la matriz A de dimensiones mx1 (también denominado
vector columna)
1 4 1 7 9
0 0 5 1 1Ejemplo:
0 0 0 2 2
0 0 0 0 1
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è øç ÷
—
—
Denominamos matriz escalonada a la matriz A de dimensiones mxn tal que cada fila en
número de ceros que precede al primer elemento no nulo es mayor que la precedente
TIPOS DE MATRICES
1 4 1
Ejemplo: 5 0 1
1 0 1
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷
Denominamos matriz cuadrada a la matriz A de dimensiones nxn.
A los elementos aii i =1, ,2, 3, …, n, se les denomina diagonal principal
1 4 1 2 0 0
Ejemplos: 0 2 1 2 1 0
0 0 2 1 1 1
A B
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çè ø è ø÷ ÷
— —
—
Denominamos matriz triangular superior (respectivamente inferior) a la matriz cuadrada A
de dimensiones nxn tal que todos los elementos por debajo (respectivamente por encima) de
la diagonal son nulos .
Diagonal principal
TIPOS DE MATRICES
1 0 0
Ejemplo: 0 4 0
0 0 1
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷
Denominamos matriz diagonal a la matriz cuadrada A de dimensiones nxn, tal que todos los
elementos distintos de la diagonal son nulos.
3
1 0 0
Ejemplos: 0 1 0
0 0 1
A I
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷
Denominamos matriz identidad a la diagonal A de dimensiones nxn, tal los elementos de la
diagonal principal son todos 1 .
Si todos los elementos de la diagonal son iguales pero distintos de 1, se denomina matriz
escalar .
TIPOS DE MATRICES
1 2 3 4 1 2 3 4
Ejemplo: 0 3 2 1 0 3 2 1
2 2 1 0 2 2 1 0
A A
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çè ø è ø÷ ÷
— — — —
— — — —
— — —
Denominamos matriz opuesta de la matriz A de dimensiones mxn, a la matriz -A de
dimensiones mxn tal que todos sus elementos son de la forma – a i j, para cada i=1,2,..,m;
j=1,2,..,n
1 0 0 01 4 1 7 9
4 0 0 00 0 5 1 1
1 5 0 0Ejemplo: 0 0 0 2 2
7 1 2 00 0 0 0 1
9 1 2 1
tA A
æ ö÷ç ÷æ ö ç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ç ÷ç ÷ ÷çç ÷= = ÷çç ÷ ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ çç ÷÷ç ÷è ø ÷çç ÷ ÷ç ÷ç ÷è øç ÷
—
——
—
Denominamos matriz transpuesta de la matriz A de dimensiones mxn, a la matriz A t de
orden nxm, tal que atij = aji , para cada i=1,2,..,m; j=1,2,..,n
TIPOS DE MATRICES
2 3 0 2 3 0
Ejemplo: 3 5 6 3 5 6
0 6 3 0 6 3
tA A
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çè ø è ø÷ ÷— —
Denominamos matriz simétrica a la matriz cuadrada A de dimensiones nxn, tal que A =A t ,
es decir atij = aji , para cada i,j=1,2,...,n
0 3 0 0 3 0
Ejemplo: 3 0 6 3 0 6
0 6 0 0 6 0
tA A
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çè ø è ø÷ ÷
—
—
—
Denominamos matriz antisimétrica a la matriz cuadrada A de dimensiones nxn, tal que
A =-At es decir atij = -aji , para cada i,j=1,2,...,n
NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
11 1 12 1 13 3 1 1
21 1 22 1 23 3 2 2
1 1 2 1 3 3
nn
nn
mn n mm m m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
L
L
L
L
Dado un sistema de m ecuaciones de n incógnitas
11 12 1 111 11 1
21 22 2 21 22 2 2*
1 2 1 2
;
nn
n n
mnm m mn mm m
a a a ba a a
a a a a a a bA A
a a a a a a b
æ öæ ö ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç= = ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷ç÷ç ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ç ÷ ÷èç ø ÷çç ÷è ø
LL
L LL L L L L L L L L
L L
Se puede asociar las matrices
Denominadas matriz de coeficientes y ampliada respectivamente
NOTACIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
A pesar de que dicho sistema se puede resolver efectuando operaciones con matrices (como
se puede ver en este tema), se puede aplicar el método de Gauss directamente sobre la matriz
ampliada, manipulando las filas como si se tratara de ecuaciones
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
*
1 1 1 0 1 1 1 02ª Ecu. 1ª Ecu. * 2
2 1 1 7 0 1 3 73ª Ecu. 1ª Ecu.
1 1 2 7 0 2 1 7
1 1 1 0
3ª Ecu. 2ª Ecu. * 2 0 1 3 7
0 0 7 21
A
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷= Þ Þç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç çè ø è ø÷ ÷æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷Þ Þ ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷
–– – –
–– – – –
– – –
–
Ejemplo.- Para resolver el siguiente sistema por el método de Gauss
Utilizando la matriz ampliada y efectuado las operaciones con las filas convenientemente
0
2 7
2 7
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ =
+ =
–
– –
Que resolviendo se obtiene z = -3, y = 2, x = 1
OPERACIONES CON MATRICES
El conjunto de matrices de orden mxn, se pueden sumar y multiplicar por un número, y las
matrices de dimensión mxn se pueden multiplicar por las de dimensión nxp.
Dado que habitualmente las matrices se utilizan para representar problemas matemáticos
(algebraicos, geométricos, estadísticos, físicos, económicos, etc.), al utilizar estas operaciones
podemos resolver muchos de estos tipos de problemas de forma más cómoda (en ocasiones
utilizando computadoras) .
Conviene recordar la siguiente notación para el conjunto de matrices:
Mmxn(R) = Mmxn = matrices de orden o dimensión mxn con coeficientes reales
Mn(R) = Mn = matrices cuadradas de orden o dimensión n con coeficientes reales
ADICIÓN DE MATRICESSean A = (aij) y B = (bij) dos matrices de igual dimensión, definimos matriz suma S = (sij) (se
representa S = A + B), donde s i j = a i j , para cada i = 1,2,…,m; j = 1,2,..,n
Ejemplo.-
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE MATRICES de dimensión mxn
Conmutativa.- A + B = B + A, para cualquier matriz A y B de dimensiones mxn
Asociativa.- A + ( B + C ) = ( A + B ) + C, para cualquier matriz A, B y C de dimensiones mxn
Elemento neutro.- Existe la matriz nula O (todo ceros) de dimensión mxn tal que O+A = A+O,
para cualquier matriz A de dimensiones mxn
Elemento Simétrico.- Para cada matriz A de orden mxn existe la matriz -A (matriz opuesta) de
dimensión mxn tal que (-A)+A = A+(-A) = O.
1 2 4 3 5 5
5 53 4 2 1
æ ö æ ö æ ö÷ ÷ç ç ÷ç÷ ÷ ÷ç ç+ = ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷çç ç÷ ÷ç ç è øè ø è ø
Restar dos matrices A y B de la misma dimensión es equivalente a sumar A y la opuesta de B,
es decir A – B = A + (-B)
Teniendo en cuenta las propiedades de la suma de matrices, se tiene que el conjunto de matrices de orden mxn sobre el cuerpo de los números reales R (Mmxn(R)) es un grupo conmutativo o abeliano
MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN NÚMEROSean A = (aij) una matriz de dimensión mxn, y k un número real, la matriz que se obtiene al
multiplicar k por A, es k.A = k . ( a i j ) = ( k . a i j ),
Ejemplo.-
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ
Distributiva respecto de suma de matrices.- k . ( A + B ) = k. A + k.A, para cualquier matriz
A y B de dimensiones mxn y cualquier k real.
Distributiva respecto de la suma de números.- ( k + h ) . A = ( k.A + h.A ), para cualquier
matriz A de dimensiones mxn y cualquier k, h números reales.
Asociativa entre números y matrices.- ( k * h ) . A = k . ( h.A ), para cualquier matriz A de
dimensiones mxn y cualquier k, h números reales.
Elemento unidad.- Para cualquier matriz A de dimensiones mxn, se cumple 1.A = A
1 2 3 63
3 4 9 12
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç× =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
MULTIPLICACIÓN DE MATRICESSean A = (aij) una matriz de orden mxn y B = (bjk) una matriz de orden nxp, denominamos
producto C = (cij) (se representa P = A . B), donde
c ij = a i 1 . b 1j + a i 2 . b 2 j + … + a i n . b n j , para i = 1,2,…,m; j = 1,2,..,nEjemplo.-
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Asociativa.- A . ( B . C ) = ( A . B ) . C, para cualquier matriz A, B y C que tengan las
dimensiones adecuadas.
Distributiva respecto de la suma.- A . ( B + C ) = A . B + A. C, para cualquier matriz A, B y C
que tengan las dimensiones adecuadas.
Asociativa.- k . ( A . B ) = ( k . A ) . B, para cualquier matriz A, B que tengan las dimensiones
adecuadas y cualquier número real k.
Existencia de elemento neutro.- En el producto de matrices cuadradas de orden n, existe la
matriz identidad (In) tal que A.In = In.A, para cualquier matriz cuadrad de orden n
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 0 2 0 1 0 1.1 0. 1 2.0 0.2 1.2 0.0 2. 1 0.1 1 0
0 3 0 4 0 1 5 40.1 3. 1 0.0 4.2 0.2 3.0 0. 1 4.1
2 1
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ æ öæ ö + + + + + + æ öç ÷ ÷÷ ç ÷çç ç÷ ÷÷ ÷ççç ç÷+ = =÷÷ ÷çç ÷ç ç÷÷ ÷÷ çç + + + + + +ç ç÷ ÷ç ç÷÷çè ø è ø÷ è øç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷è øç ÷
– – –
– – –
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
A diferencia de lo que ocurre con la multiplicación habitual de números reales, en la
multiplicación de matrices hay propiedades que no se cumplen, por ejemplo:
* La multiplicación de matrices no es conmutativa, por ejemplo:
0 01 0 0 1 0 1 0 1 1 0
0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0AB BA
æ öæ ö æ ö æ öæ öæ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ç ç ç ç çç÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ç ç ç ç çç= = ¹ = =÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷ç ç ç ç çç÷ ÷ ÷ ÷ ÷÷÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ççç ç ç ç çè øè øè ø è ø è øè ø
* Si A.B = 0 (matriz nula), no tiene por que ser necesariamente A = 0 o B = 0, por ejemplo:
1 3 3 6 0 0
0 03 9 1 2AB
æ öæ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ÷ç÷ ÷ çç ç è øè øè ø– – – –
* Si A.C = A. B, no es necesariamente C = B, por ejemplo:
2 3 2 5 5 8 2 3 1 2
4 6 3 6 10 16 4 6 1 4AC AB
æ öæ ö æ ö æ öæ ö÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç= = = =÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç çè øè ø è ø è øè ø
– – – –
– – – – –
MATRIZ INVERSA
Si consideramos la matriz cuadrada de orden n y no nula A = (a ij) , denominamos matriz
inversa (cuando existe) a la matriz A–1 (si existe es única), tal que se cumple
A. A–1 = A–1 .A = In
Cuando una matriz A tiene matriz inversa A–1, decimos que A es invertible o regular
Ejemplo.-
1 12 1 0 1 1 0
; ya que 1 0 1 2 0 1
A A A Aæ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= Þ = × =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø
– –
–
MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDANSi consideramos la matriz cuadrada de orden n y no nula A = (aij), un método para hallar la
matriz inversa (cuando existe) A–1 es utilizando el método de Gauss-Jorrdan para resolver n
sistemas de ecuaciones, Además, existirá A–1 si estos sistemas son compatibles determinados
Ejemplo.-
11 12 131
21 22 23
31 32 33
1
1 2 1
2 4 3 ¿Si existe ? Se tiene que cumplir
3 5 2
1 0 0
A 0 1 0 ; que equivale a resolver tres sit
0 0 1
a a a
A A a a a
a a a
A
æ ö æ ö÷ç ÷ç÷ç ÷ç÷ç ÷ç÷ ÷ç ÷ ç= Þ = ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷÷ç ÷ç ÷ç÷÷çç è øè ø÷
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷× = ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷
–
–
11 12 13
21 22 23
31 32 33
emas de ecuaciones
01 0
A 0 ; A 1 ; A 0
0 0 1
a a a
a a a
a a a
æöæö æöæ ö æ ö æ ö÷ ÷ çç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ çç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ç÷ ç ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷÷ ÷ ÷ çç ç÷ ÷ç ç ç× = × = × =÷ ÷ ÷ çç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ çç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ çç ç÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ çç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷÷ ÷ çç çç ç çè ø è ø è øè ø è ø è ø÷ ÷
;
÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷
MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDANUtilizando Gauss-Jordan, podemos utilizar las matrices ampliadas
1 2 1 1 0 0
2 4 3 0 1 0
3 5 2 0 0 1
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷Restando a la segunda fila la primera multiplicada por 2 y a la tercera la primera
multiplicada por tres, obtenemos
1 2 1 1 0 0
0 0 1 2 1 0
0 1 1 3 0 1
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷
–
– – –
Cambiando el orden de la segunda y tercera fila, obtenemos
1 2 1 1 0 0
0 1 1 3 0 1
0 0 1 2 1 0
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷
– – –
–
MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDANMultiplicando por -1 la segunda fila, obtenemos
1 2 1 1 0 0
0 1 1 3 0 1
0 0 1 2 1 0
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷
–
–
Restando a la primera fila la segunda multiplicada por 2, obtenemos
1 0 1 5 0 2
0 1 1 3 0 1
0 0 1 2 1 0
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷
– –
–
–
Finalmente, sumamos la tercera fila a la primera y restamos la tercera fila a la segunda,
obtenemos
1 0 0 7 1 2
0 1 0 5 1 1
0 0 1 2 1 0
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷
–
– –
–
MATRIZ INVERSA. MÉTODO GAUSS-JORDAN
Lo que equivale a resolver los tres sistemas (que además son compatibles determinados). Y
como cada una de las tres últimas columnas de la matriz ampliada, corresponde a la
solución de cada uno de los sistemas, serán las soluciones
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 27
5 ; 1 ; 1
02 1
a a a
a a a
a a a
æ ö æ ö æ öæ ö æ ö æ ö÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷ çç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç= = =÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷÷ ÷ç ç ççç çè ø è ø è ø è øè ø è ø÷ ÷ ÷
–
– –
–
Luego la matriz A – 1 será
1
7 1 2
5 1 1
2 1 0
A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷
–
–
– –
–
SOLUCIÓN MATRICIAL DE SISTEMAS DE ECUACIONES
11 1 12 1 13 3 1 1
21 1 22 1 23 3 2 2
1 1 2 1 3 3
nn
nn
mn n mm m m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
L
L
L
L
Dado un sistema de m ecuaciones de n incógnitas
111 11 1 1
21 22 2 2 2
1 2
; ;... ...
n
n
mn nm m n
ba a a x
a a a x bA X B
a a a x b
æ öæ ö æ ö ÷ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ç= = = ÷ç ç÷ ÷ ç ÷ç ç÷ ÷ ÷ç÷ ÷ç ç ÷ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷çè ø çè ø ÷çç ÷è ø
L
L
L L L L
L
Se puede escribir matricialmente A.X = B, donde A es la matriz de coeficiente, X la matriz
de incógnitas y B la matriz de términos independientes
Si la matriz de coeficientes A es regular (admite inversa A– 1), multiplicando ambos
miembros de la ecuación A.X = B, por A– 1 obtenemos
X = A-1.B Que es la solución del sistema
SOLUCIÓN MATRICIAL DE SISTEMAS DE ECUACIONES
1
1 3 2 1 3 27 7 7 7 7 7 0 15 1 3 5 1 3
7 27 7 7 7 7 7
7 33 2 1 3 2 17 7 7 7 7 7
x
A y
z
æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷æ ö æç çæö÷ ÷ ÷ç çç ç÷÷ ÷ç ÷ç çç ç÷÷ ÷ç ÷ç ç÷ç ç÷ ÷ç ÷÷ ç çç ç÷ ÷ ÷ç= Þ = × =÷÷ ÷ç çç ç ÷ç ÷÷ ÷ç çç ç ÷ç ÷÷ ÷ç ÷ç çç ÷÷ ÷ ÷çç ç÷ç ÷÷ ÷ç ÷÷ççç çè ø÷ ÷è ø è÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø÷ ÷ç ç
–
– –
– – – –
– –– –
ö÷÷÷÷÷÷÷ç ÷÷ç ÷÷çç ø÷
Ejemplo.- Para resolver matricialmente el siguiente sistema de ecuaciones
Hallando la matriz A-1, podemos aplicar
0 1 1 1 0
2 7 2 1 1 7
2 7 1 1 2 7
x y z x
x y z y
zx y z
æ ö æ öæö+ + = ÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷ç ç÷ç÷ ÷÷ç ç÷ ÷ç+ = Þ × =÷ç ç÷ ÷ç ÷ç ç÷ ÷ç ÷ç ç÷ ÷ç ÷÷ ÷ç ç÷ç ÷ç+ = ÷ ÷÷ ÷ç çç çè øè ø è ø÷ ÷
– –
– – – –
Obteniendo la solución z = -3, y = 2, x = 1
RANGO DE MATRICES
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1 0 1
2 1 1 ; sus filas son linealmente independientes, pues si resolvemos
3 0 1
los tres sitemas:
1 0 1 2 1 1 3 0 1 ;
2 1 1 1 0 1 3 0 1 ;
3 0 1 1 0 1 2 1 1 ;
son INCOMPATIBLES
A
x y
x y
x y
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷
= × + ×
= × + ×
= × + ×
Dada la matriz A = ( a i j ) de orden m x n decimos que sus filas o columnas son linealmente
independientes, cuando no se puede poner ninguna como combinación lineal de resto.
Por ejemplo sea la matriz A
El número de filas linealmente independiente de una matriz A, coincide con el número de
columnas linealmente independientes.
Cuando varias filas o columnas no son linealmente independientes, decimos que son
dependientes
RANGO DE MATRICESDenominamos rango de una matriz A, y denotamos por Rango(A) al número de filas o
columnas linealmente independientes de la matriz A.
Una matriz cuadrada A de orden n tendrá inversa A-1 si Rango(A) = n
CÁLCULO DE RANGO DE MATRICES
1 2 3
1 2 5 ; Escalonando la matriz por Gauss
1 10 9
1 2 3 1 2 3
0 4 2 ; 0 4 2
0 0 00 12 6
A
A A
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷= ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷÷ççè ø÷æ ö æ ö÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷Þ = Þ =ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ÷ ç ÷÷ ÷ç ç÷ ÷÷÷ç ççç è øè ø÷ ÷
–
– –
– –
–
Para calcular el rango de una matriz A, el Rango(A) = número de filas no nulas de la matriz
escalonada de A.
Por ejemplo sea la matriz A
Como el número de filas no nulas es 2, Rango (A ) = 2.
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Matemática de DESCARTES del
Ministerio de Educación y ciencia
(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)
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Videos del profesor
Dr. Juan Medina Molina
(http://www.dmae.upct.es/~juan/m
atematicas.htm)
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