Clase No. 7: Matrices definidas positivas Matrices simétricas MAT–251 Dr. Alonso Ramírez Manzanares Depto. de Matemáticas Univ. de Guanajuato e-mail: alram@ cimat.mx web: http://www.cimat.mx/salram/met_num/ Dr. Joaquín Peña Acevedo CIMAT A.C. e-mail: joaquin@ cimat.mx Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT–251) 29.08.2012 1 / 16
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Matrices definidas positivas y simétricas - cimat.mxjoaquin/mn11/clase07.pdf · Factorización LDL> Sea A una matriz no singular y simétrica. Si A = LU, entonces, LU = A = A>= (LU)>=
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Clase No. 7:
Matrices definidas positivasMatrices simétricas
MAT–251 Dr. Alonso Ramírez ManzanaresDepto. de MatemáticasUniv. de Guanajuatoe-mail: [email protected]: http://www.cimat.mx/salram/met_num/
Para demostrar (2), empezar con H = A(1 : k,1 : k).
Para demostrar (4), para la primera parte, tomar un vector canónico ei ycalcular e>i Aei. Para la segunda parte. Suponer que |aki| = maxij |aij| conk 6= l y construir el vector x = ek − sgn(akl)el.
Sea A una matriz no singular y simétrica.Si A = LU, entonces,
LU = A = A> = (LU)> = U>L>
Como L y U son no singulares, tenemos
U(L>)−1 = L−1U
Como la matriz del miembro izquierdo es triangular superior y la delmiembro derecho es triangular inferior, se debe tener que la matriz esdiagonal. Digamos que U(L>)−1 = D, y
Sea A una matriz no singular y simétrica.Si A = LU, entonces,
LU = A = A> = (LU)> = U>L>
Como L y U son no singulares, tenemos
U(L>)−1 = L−1U
Como la matriz del miembro izquierdo es triangular superior y la delmiembro derecho es triangular inferior, se debe tener que la matriz esdiagonal. Digamos que U(L>)−1 = D, y
Sea A una matriz no singular y simétrica.Si A = LU, entonces,
LU = A = A> = (LU)> = U>L>
Como L y U son no singulares, tenemos
U(L>)−1 = L−1U
Como la matriz del miembro izquierdo es triangular superior y la delmiembro derecho es triangular inferior, se debe tener que la matriz esdiagonal. Digamos que U(L>)−1 = D, y
La factorización de Cholesky es una consecuencia inmediata de lo anterior,cuando la matriz A además de ser simétrica es definida positiva.
Proposición
Si A es una matriz real, simétrica y definida positiva, entonces tiene unaúnica factorización A = LL>, en la cual L es una matriz triangular inferior conentradas positivas en la diagonal principal.
De lo anterior, tenemos que A = LDL>.
Podemos mostrar que D es definida positiva.
Por tanto, las entradas en la diagonal de D son positivas, y podemos definir
La factorización de Cholesky es una consecuencia inmediata de lo anterior,cuando la matriz A además de ser simétrica es definida positiva.
Proposición
Si A es una matriz real, simétrica y definida positiva, entonces tiene unaúnica factorización A = LL>, en la cual L es una matriz triangular inferior conentradas positivas en la diagonal principal.
De lo anterior, tenemos que A = LDL>.
Podemos mostrar que D es definida positiva.Por tanto, las entradas en la diagonal de D son positivas, y podemos definir