Matricë quhet çdo tabelëmaths-2013.weebly.com/uploads/3/0/4/7/30479116/matricat._veprimet_me... · Le të jenë dhënë matricat dhe d.m.th. matrica të tipit të njejtë. Shumë

1

2

3

Matricë quhet çdo tabelë

drejtkëndore me elemente

numra realë (ose kompleks )

Matrica me m rreshta dhe n kolona

quhet matricë e tipit m x n.

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

n

n

n

m m m mn mxn

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

Rreshti 1

Rreshti 2

Rreshti 3

Rreshti m

Kolona 1 Kolona 2 Kolona 3 Kolona n

4

Një matricë paraqitet në këtë mënyrë:

5

• Matrica simbolikisht shënohet:

ij mxnA a

1,2,...,

1,2,...,

i m

j n

• Matrica e tipit nxn quhet matricë katrore, kurse

matrica e tipit 1xn, gjegjësisht nx1, quhet matricë

rreshtore, gjegjësisht matricë shtyllore.

2,3,4A matrica rresht

2

3

4

A

matrica shtyllë

1 2

3 4A

matrica katrore

• Matrica quhet zero matricë, nëse

6

ij mxnA a 0, ,ija i j

• Matrica quhet zero skalare, nëse kurse

ij mxn

A a ,ija a

0,ija i j

• Në veçanti për a=1, matrica skalare , quhet zero njësi e

rendit n dhe shënohet me I=In :

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

I

7

8

a) Barazimi i matricave

Dy matrica dhe janë të barabarta

(A=B ), nëse janë të të njejtit tip (m=p, n=q ), kurse

elementet përkatëse i kanë të barabarta, d.m.th.

vlenë: .

ij mxnA a ij pxq

B b

,i j

ij ija b

Shembulli 1. Matricat e mëposhtme janë të barabarta

2 1

log100 3A

2 sin 90

2 3B

Pra A=B

9

b) Shumëzimi i matricës me skalar

Matrica shumëzohet me skalarin , nëse

çdo element i matricës A shumëzohet me . Pra: ij mxn

A a

ij ijmxn mxna a

Shembulli 2. Matricat të shumëzohet me numrin 3. 2 3

1 4A

Zgjidhje 2 3 6 9

3 31 4 3 12

A

5 0

4 1A

A + B 5 6 0 3

4 2 1 3

1 3

6 4

10

c) Shuma e matricave

Le të jenë dhënë matricat dhe d.m.th.

matrica të tipit të njejtë. Shumë të matricave A dhe B

quajmë matricën A+B, e cila përkufizohet si vijonë :

ij mxnA a ij mxn

B b

A+B= ij ij ij ijmxn mxn mxna b a b

Shembulli 3. Janë dhënë matricat: 6 3

2 3B

Shuma e tyre është :

dhe

11

Ndryshim i matricave A dhe B quhet matricën A+(-B)

dhe shenohet : A-B=A+(-B)

Shembulli 4. Janë dhënë matricat: 1 2

3 4

5 0

A

2 4

6 3

7 2

B

dhe

Ndryshimi i tyre do të jetë

1 2 2 4

3 6 4 3

5 7 0 2

A - B

1 6

3 7

2 2

d) Ndryshimi i matricave

12

e) Transponimi i matricës

Nëse në matricën rreshtat ndrrohen me shtyllat,

atëherë matrica e fituar quhet matricë e transponuar e

matricës A dhe shënohet

ij mxnA a

T

ji nxmA a

Shembulli 5. Nëse , atëherë 1 2

3 4

5 0

A

1 3 5

2 4 0

TA

13

f) Shumëzimi i matricave

Le të jenë dhe dy matrica të tilla që

numri i shtyllave të matricës së parë A të jetë i barabartë

me numrin e rreshtave të matricës së dytë B.

Në këtë rast shumëzimi është i mundur dhe

prodhimi do të jetë i tipit mxp .

ij mxnA a ij nxp

B b

A BA B C

1

( 1,2,..., ; 1,2,..., )n

ij ik kj

k

c a b i m j p

Shembulli 6. Nëse dhe , atëherë 2 3 4A

1

1

2

A B 2 3 4

1

1

2

B

2 1 3 ( 1) 4 2 7

14

Shembulli 7. Janë dhënë matricat:

3 1 2

0 1 1A

1 5

1 2

1 1

B

dhe

Të gjendet A B

Zgjidhje

A B 3 1 2

0 1 1

1 5

1 2

1 1

3 1 1 1 2 1 3 5 1 2 2 1

0 1 1 1 1 1 0 5 1 2 1 1

3 1 2 15 2 2

0 1 1 0 2 1

4 19.

2 1

3 1 1 1

2 1

15