Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ’ λυκείου Αποδείξεις Θεωρίας Εδώ θα βρείτε τις σημαντικότερες αποδείξεις του σχολικού βιβλίου των Μαθηματικών κατεύθυνσης Γ’ λυκείου. Λέω τις «σημαντικότερες» και όχι όλες διότι ότι αναφέρεται στο βιβλίο μπορεί να είναι θέμα θεωρίας. Για παράδειγμα ένα θέμα μπορεί να είναι: «Να γράψετε τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία» Σχολική χρονιά: 2012-2013 Επιμέλεια για εκπαιδευτικούς σκοπούς από: Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο Σχολική χρονιά: 2012-2013
Όλες οι αποδείξεις θεωρημάτων, προτάσεων, κτλ, που αφορούν τους μαθητές που πρόκειται να εξεταστούν στο μάθημα των μαθηματικών κατεύθυνσης Γ' λυκείου στις πανελλήνιες εξετάσεις του 2013.
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ’ λυκείου
Αποδείξεις Θεωρίας Εδώ θα βρείτε τις σημαντικότερες αποδείξεις του σχολικού βιβλίου των Μαθηματικών κατεύθυνσης Γ’ λυκείου. Λέω τις «σημαντικότερες» και όχι όλες διότι ότι αναφέρεται στο βιβλίο μπορεί να είναι θέμα θεωρίας. Για παράδειγμα ένα θέμα μπορεί να είναι: «Να γράψετε τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία»
Σχολική
χρονιά:
2012-2013
Επιμέλεια για εκπαιδευτικούς σκοπούς από:
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο
Σχολική χρονιά: 2012-2013
“Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών βiα και iδγ είναι
το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους”. (σελίδα 89)
Απόδειξη:
Αν ),(1 βαM και ),(2 δγM είναι οι εικόνες των iβα
και iδγ αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το
άθροισμα
iδβγαiδγiβα )()()()(
παριστάνεται με το σημείο ),( δβγαM .
Επομένως, 21 OMOMOM .
“Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς των μιγαδικών βiα και iδγ είναι η
διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους”. (σελίδα 89)
Απόδειξη:
Επίσης, η διαφορά
iδβγαiδγiβα )()()()(
παριστάνεται με το σημείο ),( δβγαN .
Επομένως, 21 OMOMON .
Ο x
y
M(α+γ,β+δ)
M1(α,β)
M2(γ,δ)
2
Ο
Μ3(γ,δ)
Ν(αγ,βδ)
Μ2(γ,δ)
Μ1(α,β)
x
y 3
Δύναμη Μιγαδικού (σελίδα 90)
Απόδειξη:
Άρα, για να υπολογίσουμε συγκεκριμένη δύναμη του i , γράφουμε τον εκθέτη ν στη
μορφή υρν 4 , όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του
ν με το 4, οπότε έχουμε:
3αν,
2αν,1-
1αν,
0αν,1
1)( 444
υi
υ
υi
υ
iiiiiiii υυρυρυρυρν
Να αποδείξετε ότι 1 2 1 2z z z z (σελίδα 91)
Απόδειξη:
Αν iβαz 1 και iδγz 2 είναι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε:
iδβγαiδγiβαzz )()()()(21
21)()()()( zziδγiβαiδβγα
Επίλυση της Εξίσωσης 02 γβzαz με , , R και 0α (σελίδα 92)
Απόδειξη:
Εύκολα, όμως, μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι και κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού με
πραγματικούς συντελεστές έχει πάντα λύση στο σύνολο C. Πράγματι, έστω η εξίσωση
02 γzβzα , με , , R και 0α .
Εργαζόμαστε όπως στην αντίστοιχη περίπτωση στο R και τη μετασχηματίζουμε, με τη
μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνων, στη μορφή:
2
2
42 α
Δ
α
βz
,
όπου αγβΔ 42 η διακρίνουσα της εξίσωσης. Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις:
0Δ . Tότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: α
Δβz
22,1
0Δ . Tότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: α
βz
2
0Δ . Tότε, επειδή
2
2
22
22 2)2(
)(
4
))(1(
4
α
Δι
α
Δi
α
Δ
α
Δ, η εξίσωση γράφεται:
22
22
α
Δi
α
βz .
Άρα οι λύσεις της είναι: α
Δiβz
22,1
Να αποδείξετε ότι 1 2 1 2| | | | | |z z z z (σελίδα 98)
Απόδειξη:
Πράγματι, έχουμε:
2
2
2
1
2
212121 |||||||||||| zzzzzzzz
22112121 ))(( zzzzzzzz
22112121 zzzzzzzz
και, επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική.
Να αποδείξετε ότι 0
0lim ( ) ( )x x
P x P x
(σελίδα 167)
Απόδειξη:
Έστω τώρα το πολυώνυμο
01
1
1)( αxαxαxαxP ν
ν
ν
ν
και 0x R .
Σύμφωνα με τις παραπάνω ιδιότητες έχουμε:
)(lim)(lim 0
1
100
αxαxαxP ν
ν
ν
νxxxx
00
1
100
lim)(lim)(lim αxαxαxx
ν
νxx
ν
νxx
00
1
01
0
limlimlim αxαxαxx
ν
xxν
ν
xxν
)( 00
1
010 xPαxαxα ν
ν
ν
ν
.
Επομένως,
)()(lim 00
xPxPxx
.
Να αποδείξετε ότι 0
0
0
( )( )lim
( ) ( )x x
P xP x
Q x Q x , με
0( ) 0Q x (σελίδα 167)
Απόδειξη:
Έστω η ρητή συνάρτηση )(
)()(
xQ
xPxf , όπου )(xP , )(xQ πολυώνυμα του x και
0x R με
0)( 0 xQ . Τότε,
)(
)(
)(lim
)(lim
)(
)(lim)(lim
0
0
0
0
00 xQ
xP
xQ
xP
xQ
xPxf
xx
xx
xxxx
.
Επομένως,
)(
)(
)(
)(lim
0
0
0 xQ
xP
xQ
xP
xx
, εφόσον 0)( 0 xQ
ΘΕΩΡΗΜΑ - ενδιάμεσων τιμών (σελίδα 194)
Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα ],[ βα .
Αν:
η f είναι συνεχής στο ],[ βα και
)()( βfαf
τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των )(αf και )(βf υπάρχει ένας, τουλάχιστον
),(0 βαx τέτοιος, ώστε
ηxf )( 0
Απόδειξη:
Ας υποθέσουμε ότι )()( βfαf . Τότε θα ισχύει )()( βfηαf (Σχ. 67). Αν θεωρήσουμε
τη συνάρτηση ηxfxg )()( , ],[ βαx , παρατηρούμε ότι:
η g είναι συνεχής στο ],[ βα και
0)()( βgαg ,
αφού
0)()( ηαfαg και
0)()( ηβfβg .
Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του
Bolzano, υπάρχει ),(0 βαx τέτοιο, ώστε
0)()( 00 ηxfxg , οπότε ηxf )( 0 . ■
x0
x0 x0
y
B(β, f (β))
f (a)
f (β)
O β
y=η
η
a x
67
Α(α , f (α))
ΘΕΩΡΗΜΑ (σελίδα 217)
Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο 0x , τότε είναι και συνεχής στο
σημείο αυτό.
Απόδειξη:
Για 0xx έχουμε
)()()(
)()( 0
0
0
0 xxxx
xfxfxfxf
,
οπότε
)(
)()(lim)]()([lim 0
0
0
00
0
xxxx
xfxfxfxf
xxxx
)(lim)()(
lim 00
0
0
0
xxxx
xfxf
xxxx
00)( 0 xf ,
αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x . Επομένως, )()(lim 00