1. Retour sur la construction des ensembles de nombres ◗ Construction de l’ensemble L’équation 1 0 x + = n’admet pas de solution dans , on a donc construit un ensemble appelé qui contient et dans lequel cette équation admet 1 – comme solution. ◗ Construction de l’ensemble L’équation x 2 1 0 + = n’admet pas de solution dans , on a donc construit un ensemble appelé qui contient dans lequel cette équation admet , 05 – comme solution. ◗ Construction de l’ensemble L’équation x 1 0 3 + = n’admet pas de solution dans , on a donc construit un ensemble appelé qui contient dans lequel cette équation admet 3 1 – comme solution. ◗ Construction de l’ensemble L’équation x 2 2 = n’admet pas de solution dans , on a donc construit un ensemble appelé qui contient dans lequel cette équation admet 2 – et 2 comme solutions. ◗ Nécessité d’inventer un nouvel ensemble qui contient … L’équation x 1 – 2 = n’admet pas de solution dans . Histoire des sciences En Italie : Il n’existe pas de réel dont le carré est négatif et pourtant dès le XVIII e siècle, les algébristes italiens dont Cardan, n’hésitent pas à utiliser la notation a – lorsque a est un nombre réel strictement positif. Ils se rendent compte que l’extraction de la racine carrée dans le cas d’un nombre négatif est impossible. Pour manipuler ces nouveaux nombres qu’ils appellent « nombres impossibles » ; ils définissent des règles de calcul prolongeant les règles de calcul définies sur . En France : Au début du XVII e siècle, on doit à Descartes (1637) l’appellation « nombres imaginaires ». En Allemagne : Au XIX e siècle, Gauss, les nomme les « nombres complexes ». En Suisse : Au début du XVIII e siècle, Euler déclare que la notation 1 – est absurde car elle conduit à une contraction : ( ) 1 1 – – 2 = par définition ; ) ( 1) 1 ( 1 1 1 – – – – 2 2 # = = = en appliquant les propriétés sur les racines carrées. Euler introduit donc la notation i en 1777 qui désigne le nombre vérifiant i 2 1 – = . Sachant que i 1 – 2 = et en utilisant les règles de calcul définie sur , résoudre les équations données. 1. a. z 1 – 2 = . b. z 4 – 2 = . 2. a. Montrer que 2 2 ( 1) 1 z z z – – 2 2 + + = . b. En déduire les solutions de l’équation z z 2 2 0 – 2 + = . 3. En utilisant une méthode analogue, résoudre l’équation z z 4 13 0 – 2 + = . découverte 54
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1. Retour sur la construction des ensembles de nombres◗ Construction de l’ensemble � L’équation 1 0x + = n’admet pas de solution dans �, on a donc construit un ensemble appelé �
qui contient � et dans lequel cette équation admet 1– comme solution.
◗ Construction de l’ensemble � L’équation x2 1 0+ = n’admet pas de solution dans �, on a donc construit un ensemble appelé �
qui contient � dans lequel cette équation admet ,0 5– comme solution.
◗ Construction de l’ensemble � L’équation x 1 03 + = n’admet pas de solution dans �, on a donc construit un ensemble appelé �
qui contient � dans lequel cette équation admet 31– comme solution.
◗ Construction de l’ensemble � L’équation x 22 = n’admet pas de solution dans �, on a donc construit un ensemble appelé � qui
contient � dans lequel cette équation admet 2– et 2 comme solutions.
◗ Nécessité d’inventer un nouvel ensemble qui contient � …L’équation x 1–2 = n’admet pas de solution dans �.
Histoire des sciences
En Italie : Il n’existe pas de réel dont le carré est négatif et pourtant dès le XVIIIe siècle, les algébristes italiens dont Cardan, n’hésitent pas à utiliser la notation a– lorsque a est un nombre réel strictement positif. Ils se rendent compte que l’extraction de la racine carrée dans le cas d’un nombre négatif est impossible. Pour manipuler ces nouveaux nombres qu’ils appellent « nombres impossibles » ; ils défi nissent des règles de calcul prolongeant les règles de calcul défi nies sur �.En France : Au début du XVIIe siècle, on doit à Descartes (1637) l’appellation « nombres imaginaires ».En Allemagne : Au XIXe siècle, Gauss, les nomme les « nombres complexes ».En Suisse : Au début du XVIIIe siècle, Euler déclare que la notation 1– est absurde car elle conduit à une contraction :