Προσομοίωση στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Γ΄ Λυκείου ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο , να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει : . Μονάδες 10 Α2 . Πότε η ευθεία λέγεται ασύμπτωτη της στο ; Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ) : i. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα τότε μπορεί να υπάρχει τέτοιο ώστε . ii. . iii. Η συνάρτηση είναι στο πεδίο ορισμού της αν και μόνο αν για κάθε με είναι . iv. Αν συνεχής στο τότε ισχύει : . v. Η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μια συνεχούς συνάρτηση είναι διάστημα . Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις και Β1. Να δείξετε ότι η εξίσωση , έχει μια τουλάχιστον ρίζα . Μονάδες 5 Β2. Να δείξετε ότι η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Μονάδες 5 Β3. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο , ώστε η εφαπτόμενη ευθεία της στο σημείο αυτό , να είναι παράλληλη στην ευθεία . Μονάδες 8 Β4. Να δείξετε ότι η συνάρτηση , έχει μια τουλάχιστον εφαπτόμενη ευθεία παράλληλη στον άξονα στο διάστημα Μονάδες 7
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Προσομοίωση στα Μαθηματικά Προσανατολισμού
Θετικών Σπουδών
Γ΄ Λυκείου
ΘΕΜΑ Α
Α1. Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο , να αποδείξετε ότι και η
συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει : .
Μονάδες 10
Α2 . Πότε η ευθεία λέγεται ασύμπτωτη της στο ;
Μονάδες 5
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ) :
i. Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα
τότε μπορεί να υπάρχει τέτοιο ώστε .
ii.
.
iii. Η συνάρτηση είναι στο πεδίο ορισμού της αν και μόνο αν για κάθε
με είναι .
iv. Αν συνεχής στο τότε ισχύει :
.
v. Η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μια συνεχούς συνάρτηση είναι διάστημα .
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι συναρτήσεις και
Β1. Να δείξετε ότι η εξίσωση , έχει μια τουλάχιστον ρίζα .
Μονάδες 5
Β2. Να δείξετε ότι η ρίζα αυτή είναι μοναδική.
Μονάδες 5
Β3. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο , ώστε η εφαπτόμενη ευθεία της
στο σημείο αυτό , να είναι παράλληλη στην ευθεία
.
Μονάδες 8
Β4. Να δείξετε ότι η συνάρτηση , έχει μια τουλάχιστον εφαπτόμενη
ευθεία παράλληλη στον άξονα στο διάστημα
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται για την οποία ισχύει ότι :
Γ1 . Να δείξετε ότι η ασύμπτωτη της στο .
Μονάδες 5
Έστω
Γ2. Να δείξετε ότι και
Μονάδες 5
Γ3. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα .
Μονάδες 5
Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απ ’την τους άξονες και
την ευθεία
Μονάδες 5
Γ5. Ένα υλικό κινείται επί της και η τετμημένη του αυξάνεται με ρυθμό .
Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης του , τη χρονική στιγμή κατά την οποία
διέρχεται απ ’το .
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Δ
Έστω δύο φορές παραγωγίσιμη στο για την οποία ισχύει :
και
Δ1 . Να αποδείξετε ότι : , .
Μονάδες 5
Δ2. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .
Μονάδες 4
Δ3. Να βρείτε για τους οποίους ισχύει
Μονάδες 5
Δ4. Έστω ,
i. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται απ’ την την
εφαπτόμενη της στο και την ευθεία .
Μονάδες 6
ii. Να αποδείξετε ότι αντιστρέφεται και να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου