MATHEMATISCH MODEL VOOR DE BEREKENING VAN GOLFOPLOOP Scheveningen april 1 9 7 2 - oktober 1 9 7 2 A, Roos Afstudeerverslag Technische Hogeschool Delft Afd. V/eg- en Waterbouwkunde - Vakgroep Vloeistofmechanica oktober 1 9 7 2
MATHEMATISCH MODEL VOOR DE BEREKENING VAN GOLFOPLOOP
Scheveningen
a p r i l 1 9 7 2 - o k t o b e r 1 9 7 2
A, Roos
A f s t u d e e r v e r s l a g Technische Hogeschool D e l f t
A f d . V/eg- en Waterbouwkunde - Vakgroep V l o e i s t o f m e c h a n i c a
o k t o b e r 1 9 7 2
ERKENTELIJKHEID
De a u t e u r i s P r o f . i r . W.C, B i s c h o f f van Heemskerck e r k e n t e l i j k voor
de s t e u n b i j het o n t w i k k e l e n van d i t mathematische model.
H i j w i l i r , J.A. B a t t j e s en i r . N. Booy bedanken voor de k r i t i s c h e
en ondersteunende w i j z e waarop z i j de opzet en de o n t w i k k e l i n g van het
rekenmodel hebben b e g e l e i d .
INHOUD
1 . INLEIDING 1
2 . VERGELIJKINGEN, DIE DE WATERBEWEGING _OP_HE_TjrAXUD J ^ ^ 3
2 . 1 V e r g e l i j k i n g e n voor de waterbeweging i n de " n e t t e " gebieden 3
2 . 2 V e r g e l i j k i n g e n voor h et oplopende g o l f f r o n t 5
3 . BEREKENING TERMEN VAN DE VERGELIJKINGEN M.B.V. RESULTATEN
GQLFOPLOOPPROEVEN 8
3 . 1 E e r s t e b e r e k e r i i n g s v / i j z e 8
3 . 2 Tweede b e r e k e n i n g s w i j z e 1 2
NUMERIEKE REKENMODEL 1 7
^ . 1 Keuze rekenschema en w e r k i n g rekenmodel 17
' + . 2 Numerieke v e r g e l i j k i n g e n algemeen punt 2 0
' f . 3 Numerieke v e r g e l i j k i n g e n punt t . p . v . x = O 2 5
h.h Numerieke v e r g e l i j k i n g e n punt t . p . v . x = R 2 6
' + . 5 Numerieke v e r g e l i j k i n g e n voor het bovenste d e e l van de
w a t e r t o n g 2 9
^ « 6 B e s c h r i j v i n g computerprogramma 3 2
5 . RESULTATEN NUMERIEKE GOLFOPLOOPMODEL ^ f l
5 « 1 Randvoorwaarde t . p . v . h et punt van s t i l w ater n i v e a u op h e t
t a l u d ( b e r e k e n i n g I ) • ^ + 1
5 . 2 Randvoorwaarde i n het water voor het t a l u d ( b e r e k e n i n g 2 ) ^ 2
6 . SAMENVATTING EN CONCLUSIES ^ 5
LITTERATUURLIJST , +7
SYMBOLENLIJST • •. ' + 8
BIJLAGEN
INLEIDING
I n l i t t . [ l ] v i n d t men een e x p e r i m e n t e l e s t u d i e naar het gedrag
van tegen t a l u d s oplopende r e g e l m a t i g e g o l v e n . I n a a n s l u i t i n g op d i e
e x p e r i m e n t e l e s t u d i e i s een mathematisch model ontv/orpen voor de be
r e k e n i n g van g o l f o p l o o p . Het d o e l h i e r v a n i s t e onderzoeken o f men
met een d e r g e l i j k model de v / e r k e l i j k e g o l f o p l o o p kan berekenen» Het
model kan d a a r t o e i n e e r s t e i n s t a n t i e v/orden g e b r u i k t ora t e p r o b e r e n
de p r o e f r e s u l t a t e n u i t [ 1 ] na t e rekenen^
Door v e r s c h i l l e n d e o n d e rzoekers z i j n reeds m o d e l l e n o p g e s t e l d
waarmee de g o l f o p l o o p tegen t a l u d s kan worden berekend. B i j a l deze
rekenmodellen wordt de waterbeweging op het t a l u d beschreven met be
h u l p van de n i e t - l i n e a i r e l a n g e - g o l f t h e o r i e , Het oplopende g o l f f r o n t ,
dat het u i t e r l i j k v e r t o o n t van een b o r e , wordt beschreven door de
v e r g e l i j k i n g e n voor een lopende w a t e r s p r o n g . Het v e r k r e g e n s t e l s e l
v e r g e l i j k i n g e n kan worden o p g e l o s t door g e b r u i k t e maken van i n t e g r a
t i e l a n g s k a r a k t e r i s t i e k e n . Het oplopende g o l f f r o n t w o r d t i n h e t ka-
r a k t e r i s t i e k e n p a t r o o n a l s het s n i j p u n t van twee convergerende k a r a k t e
r i s t i e k e n van d e z e l f d e " f a m i l i e " gevonden, z i e Stok e r [ ? . ] .
Freeman en LeMéhauté [ j ] geven een methode voor de b e r e k e n i n g van g o l f
o p l o o p . De l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n v/orden i n k a r a k t e r i s t i eken-vorm ge
b r a c h t . De p l a a t s van het g o l f f r o n t wordt gevormd door het s n i j p u n t van
i n v o o r w a a r t s e r i c h t i n g lopende convergerende k a r a k t e r i s t i e k e n . S p e c i a l e
aandacht wordt besteed aan de oploop van het g o l f f r o n t over h e t droge
t a l u d . Er wordt een t o e p a s s i n g gegeven, w a a r b i j a l s beginvoorwaarde
wordt i n g e v o e r d s t i l s t a a n d water met h o r i z o n t a l e w a t e r s p i e g e l t e g e n h e t
t a l u d , met op enige a f s t a n d van het t a l u d een s y m e t r i s c h e e'énlinggolf
d i e op punt s t a a t t e breken ( l i m i t s o l i t a r y wave) d i e z i c h naar h e t t a
l u d beweegt. B i j deze t o e p a s s i n g wordt het k a r a k t e r i s t i e k e n p a t r o o n op
g r a f i s c h e w i j z e g e c o n s t r u e e r d .
Amein b e r e k e n t eveneens de g o l f o p l o o p tegen t a l u d s , z i j n r a n d v o o r
waarden o n t l e e n t h i j aan de l i n e a i r e k o r t e - g o l f t h e o r i e . I n o n d i e p wa
t e r gaat h i j over op de n i e t - l i n e a i r e l a n g e - g o l f t h e o r i e . De v o o r t p l a n
t i n g van de g o l v e n i n ondiep water en de g o l f o p l o o p t e g e n het t a l u d
worden v e r d e r berekend met behulp van de n i e t - l i n e a i r e l a n g e - g o l f v e r g e
l i j k i n g e n , d i e i n k a r a k t e r i s t i e k e n - v o r m z i j n g e b r a c h t . H i j b r e n g t geen
weerstand i n r e k e n i n g . Met behulp van een computerprogramma v/ordt de
oploop van p e r i o d i e k e i n v a l l e n d e g o l v e n berekend.
2 "
Ook Daubert en V/arluzel [ 5 ] berekenen de oploop van r e g e l m a t i g e g o l
ven tegen v l a k k e t a l u d s , Z i j . gaan eveneens u i t van de n i e t - l i n e a i r e
l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n , i n c l u s i e f een weerstandsterm v o l g e n s Chézy,
Ze brengen deze v e r g e l i j k i n g e n n i e t i n k a r a k t e r i s t i e k e n - v o r m , maar
z e t t e n ze d i r e k t om i n d i f f e r e n t i e - v e r g e l i j k i n g e n . Aan het zeewaartse
e i n d wordt een randvoorwaarde opgelegd d i e overeenkomt met de p e r i o d i e k e
i n v a l l e n d e g o l f en de g o l f o p l o o p tegen het t a l u d wordt met behulp van
een computerprogramma berekend.
Het mathematisch model dat i n d i t v e r s l a g wordt g e p r e s e n t e e r d i s
geen v e r b e t e r i n g o f v e r f i j n i n g van de bestaande beschreven m o d e l l e n .
De grondgedachte b i j het o p z e t t e n van het model i s , een eenvoudig r e k e n
model voor het berekenen van g o l f o p l o o p tegen v l a k k e t a l u d s t e o n t w e r
pen, dat aan de hand van r e s u l t a t e n van g o l f o p l o o p p r o e v e n [ l j kan wor
den g e t o e t s t . Er wordt eveneens van de n i e t - l i n e a i r e l a n g e - g o l f v e r g e
l i j k i n g e n u i t g e g a a n . Deze worden n i e t e e r s t i n k a r a k t e r i s t i e k e n - v o r m
g e b r a cht maar d i r e k t omgezet i n d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n . Hot g o l f
f r o n t wordt n i e t geïsoleerd i n de o p l o s s i n g , i n p l a a t s daarvan worden
een s o o r t d i f f u s i e - a c h t i g e termen aan de l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n t o e
gevoegd, d i e e r v o o r zorgen dat het rekenproces s t a b i e l b l i j f t .
Men t r e f t i n d i t v e r s l a g de volgende i n d e l i n g aan. Onder 2 v i n d t
men de v e r g e l i j k i n g e n d i e de waterbeweging op het t a l u d b e s c h r i j v e n .
Aan de hand van de p r o e f r e s u l t a t e n u i t [ l ] worden onder 3 de termen
i n de v e r g e l i j k i n g e n berekend, om t e z i e n o f bepaalde termen ( b . v . de
w r i j v i n g s t e r m ) v e r w a a r l o o s b a a r z i j n t . o . v , de andere termen i n de v e r
g e l i j k i n g e n , under H v i n d t men de keuze van het rekeascherna, de v e r g e
l i j k i n g e n worden er i n numerieke vorm gebracht en het computerprogramma
wordt er beschreven. De r e s u l t a t e n van de u i t g e v o e r d e b e r e k e n i n g e n v i n d t
men onder 5 t e r w i j l onder 6 de c o n c l u s i e s v o l g e n .
3
2 « V E H G ^ A I J K I N ^ i E ^ i i ^ i l l O i L j ^ ^ ^
B i j de oploop van golven tegen v l a k k e t a l u d s kunnen aan de g o l f -
t o n g op het t a l u d d r i e g e d e e l t e n worden onderscheiden ( z i e f i g , l ) .
F i g , 1 , D r i e g e d e e l t e n d i e aan de g o l f t o n g kunnen worden o n d e r s c h e i d e n .
I n g e b i e d (T) v i n d t oploop van water p l a a t s , d i t water l o o p t a c h t e r het
g o l f f r o n t aan dat z i c h i n g e b i e d ( 2 ) b e v i n d t . I n g e b i e d ( 3 ) v i n d t
t e r u g l o o p van wat e r p l a a t s , I n do gebieden (T) en Q) t r e f f e n we oen
min o f meer " n e t t e " waterbeweging aan, i n g e b i e d (Z) b e v i n d t z i c h h e t
oplopende g o l f f r o n t , de waterbeweging d a a r i n i s a f w i j k e n d en wordt dan
ook a f z o n d e r l i j k bekeken.
2 , 1 V e r g e l i j k i n g e n voor de waterbeweging i n _ d o ^ ^ n e t t e ^ ^ g e b i e d e n
Voor de b e s c h r i j v i n g van de waterbeweging i n de g e d e e l t e n (J) en
( 3 ) kunnen de massabalans en i m p u l s i e b a l a n s worden a f g e l e i d voor een
r u i m t o l i j k g e f i x e e r d mootje op het t a l u d ( z i e f i g , 2 ) .
F i g , 2 , Mootje op t a l u d , waarvoor de massa-
en i m p u l s i e b a l a n s worden a f g e l e i d .
B i j de a f l e i d i n g van de v e r g e l i j k i n g e n voor de waterbeweging wordt
aangenomen:
- raassadichtheid van water /o i s c o n s t a n t .
- over de w a t e r l a a g d i k t e h e e r s t een h y d r o s t a t i s c h e d r u k v e r d e l i n g .
- voor de w r i j v i n g l a n g s het t a l u d wordt aangenomen -pg w a a r i n
T de w r i j v i n g s k r a c h t l a n g s de bodem per o p p e r v l a k t e - e e n h e i d v o o r s t e l t ,
V i s de s n e l h e i d van h e t water t e r p l a a t s e en C i s de coëfficiënt van
Chézy.
k -
De keuze van de w r i j v i n g , z o a l s h i e r gedaan, g e l d t i n f e i t e v oor een
p a r i g e s t r o m i n g . B i j langzaam veranderende s t r o m i n g , z o a l s b.v. b i j
g e t i j d e n , w a a r b i j men de s t r o m i n g a l s q u a s i - s t a t i o n a i r kan o p v a t t e n ,
kan deze f o r m u l e r i n g van de w r i j v i n g ook worden g e b r u i k t , I n ho e v e r r e
de keuze voor de s t r o m i n g op het t a l u d - w a a r b i j d u i d e l i j k van n i e t
s t a t i o n a i r e s t r o m i n g sprake i s - g e r e c h t v a a r d i g d i s , z a l nog moeten
b l i j k e n . E v e n t u e e l kan i n een l a t e r s t a d i u m , wanneer h e t rekenmodel
wordt g e t o e t s t aan r e s u l t a t e n van g o l f o p l o o p p r o e v e n [ l ] , de f o r m u l e
r i n g van de w r i j v i n g s t o r m worden g e w i j z i g d .
Voor de massa- en i m p u l s i e b a l a n s van h e t mootje i n f i g . 2 worden
r e s p , de v e r g e l i j k i n g e n ( 2 . 1 ) en ( 2 . 2 ) gevonden:
öh , &v öh v — + h — .f = O
tix ÖX öt ( 2 . 1 )
bv ö V . V | v | , V - - E smoc- g
6 X cos CX. ( 2 . 2 )
De beide v e r g e l i j k i n g e n ( 2 . 1 ) en ( 2 . 2 ) , d i e worden gevonden s t a a n
bekend a l s de l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n . Ze kunnen ook i n de volgende
gedaante worden geschreven:
h "
öh bh - g smcx. v m
C^h
( 2 . 3 )
U i t deze v e r g e l i j k i n g ( 2 , 3 ) z i e t men d i r e k t de k a r a k t e r i s t i e k e verge
l i j k i n g e n v e r s c h i j n e n :
É l
d t cos(X dh h d t
g e l d t l a n g s dx d t
. , V v l
g smo^ '- g — 5 ~
= V + \/gh cosoc
>
Voor het g e b r u i k van de v e r g e l i j k i n g e n i n h e t rekenmodel i s h e t n u t t i g
ze i n d i m e n s i e l o z e vorm t e brengen, We berekenen i n h e t model de op
l o o p van r e g e l m a t i g e g o l v e n , de oploop i s p e r i o d i e k met de g o l f p e r i o d e
T, Van deze p e r i o d e T wordt g e b r u i k gemaakt b i j de keuze van de volgende
d i m e n s i e l o z e g r o o t h e d e n :
_ 5
1 T
V
Jl.
> . . . . . . . . . ( 2 . 5 )
Na invoei'en van deze d i m e n s i e l o z e grootheden gaan de v e r g e l i j k i n g e n
( 2 . 1 ) en ( 2 . 2 ) over i n de volgende vorm:
, £ > h ' , , ö V '
v' — + h' - " - r b h '
O a a , . ( 2 . 6 )
£ V _
b t ' ' , b v ' ö h '
ÖX' cosoc= - sinoc
V ' 1 V '
. ( 2 . 7 )
I n v e r g e l i j k i n g ( 2 . 7 ) i s f i n g e v o e r d , h i e r v o o r g e l d t f = f i f
d i m e n s i e l o z e f a k t o r .
Voor v e r g e l i j k i n g ( 2 . 3 ) wordt i n d i m e n s i e l o z e vorm gevonden;
een
ö F ^ i y h 'cosc<)^T C O S t X öh bh'
V ' I V
since - f ( 2 , 8 )
V e r g e l i j k i n g ( . 2 , k ) z i e t er i n d i m e n s i e l o z e vorm a l s v o l g t u i t :
i l l d t '
cosoi dh d t '
- sinoc - f
g e l d t l a n g s ,- = v' -I- l/h' cosoc
. . . . . . ( 2 , 9 )
V e r g e l i j k i n g e n voor het omlopende g o l f f r o n t
Voor l i e t g e b i e d ( 2 ) kunnen ook een massa- en impulsiebalanö
worden o p g e s t e l d , deze balansen worden b e t r o k k e n op een r u i m t e l i j k
g e b i e d j e dat met de s n e l h e i d van het oplopende f r o n t c l a n g s h e t t a l u d
meebeweegt ( z i e f i g . 3 ) < . Het oplopende f r o n t kan worden opgevat a l s
een lopende w a t e r s p r o n g ( b o r e ) .
. . 6
y niinAeiijL ^elitJje., Jat hrat M ijo/ffront: /Mtelsi^,/t«^t
Fig» 3 * R u i m t e l i j k e g e b i e d j e v/aarvoor de maesa-
en I m p u l s i e b a l a n s voorden afgeleid»
De v / a t o r l a a g d i k t e en de d e e l t j e s s n e l h e i d aan de bovenstroomse k a n t (u_p)
z i j n r e s p , h^ en v^, aan de benedenstroomse ka n t (down) z i j n h e t h^ en v ^ .
Voor de massabalans van het r u i m t e l i j k e g e b i e d j e wordt gevonden:
( v - c) h = (v,, ~ c) h , • . ( 2 . 1 0 )
u u d d
Voor de i m p u l s i e b a l a n s kan, onder v e r w a a r l o z i n g van de z w a a r t e k r a c h t en
de w r i j v i n g l a n g s h et t a l u d , worden a f g e l e i d :
\ g c o s o c C h ^ - h^) . ( v ^ - c) h^ v^ - ( v ^ - c) h^ v^ • • • ( 2 . 1 1 )
Uitgaande van deze beide v e r g e l i j k i n g e n kan voor de s n e l h e i d waarmee h e t
f r o n t togen het t a l u d o p l o o p t worden gevonden:
C080C . . . . . . . . . ( 2 . 1 2 ) .
Men z i e t h i e r u i t dat de s n e l h e i d waarmee h e t g o l f f r o n t t egen h e t t a l u d
o p l o o p t g r o t e r i s dan de s n e l h e i d waarmee v e r s t o r i n g e n z i c h aan de bene-
denstroorase z i j d e v o o r t p l a n t e n en k l e i n e r i s dan de s n e l h e i d waarmee
v e r s t o r i n g e n z i c h aan de bovenstroomse z i j d e v o o r t p l a n t e n .
De v e r g e l i j k i n g e n voor de oplopende bore kunnen eveneens i n d i m e n s i e
l o z e vorm worden gebracht» H i e r v o o r kunnen de d i m e n s i e l o z e grootheden van
( 2 . 5 ) worden g e b r u i k t , a a n g e v u l d met:
" • ^ ^ •
„ 7 -
I n v o e r e n v a n de d i m e n s i e l o z e grootheden l e v e r t voor de massa- en i m p u l -
s i e b a l a n a van v e r g e l i j k i n g ( 2 ^ 1 0 ) en ( 2 » 1 1 ) ?
( v ' - c') h' = ( v ' - c ' ) h' ( 2 . 1 ' f )
u u d d
I c o s c x C h ^ ^ ™ h^^) = (v^^ - c ' ) h' v ^ » ( v ^ ~ c ' ) h ' V ' . . . ( 2 . 1 5 )
De u i t d r u k k i n g ( 2 . 1 2 ) voor de s n e l h e i d v a n h e t oplopcrade f r o n t z i e t e r
i n d i m e n s i e l o z e v o r m u i t a l s :
f' + \ / h' c o o cc > e' > V l + \/h' cosoc , ( 2 » l 6 )
u y u a V d
- 8 -
5 . BEjmEJlING TER^ DE VERGELIJKINGEN M.B.V. RESULTATEN
GOLFOPLOüPPROEVEN
Teneinde na t e gaan o f er bepaalde termen kunnen worden verwaar
l o o s d i n de v e r g e l i j k i n g e n d i e de waterbeweging op het t a l u d ( a f g e z i e n
van h e t oplopende g o l f f r o n t ) b e s c h r i j v e n en om t e k i j k e n van welke
orde van g r o o t t e de w r i j v i n g s t e r m i s t . o . v . de o v e r i g e termen, worden
termen berekend met be h u l p van de p r o e f r e s u l t a t e n d i e men i n l i t t . [ l .
v i n d t . B i j de e e r s t e b e r e k e n i n g s w i j z e onder 3.1 worden termen berekend
van de v e r g e l i j k i n g e n d i e de v^aterbeweging op i e d e r e p l a a t s op het
t a l u d b e s c h r i j v e n , d i t z i j n i n f e i t e de massa- en i m p u l s i e b a l a n s voor
zeer k l e i n e g e b i e d j e s op het t a l u d (Ax — O ) .
Daar de r e s u l t a t e n van deze e e r s t e b e r e k e n i n g s w i j z e n i e t b e v r e d i g e n d
z i j n , w o r d t er onder 3.2 een tweede b e r e k e n i n g s w i j z e g e h a n t e e r d .
D a a r b i j worden de termen berekend van de massa- en i m p u l s i e b a l a n s , d i e
gelden voor een bepaald d i s c r e e t g e b i e d op het t a l u d (ax = e i n d i g ) .
3.1 Eerste b e r e k e n i n g s w i j z e
De v e r g e l i j k i n g e n d i e de waterbeweging op i e d e r e p l a a t s op h e t
t a l u d ( i n de " n e t t e " gebieden) b e s c h r i j v e n z i j n gevonden onder 2 . 1 ,
ze l u i d e n ;
V ^ , h 5 1 . ^ = O (3 . 1 ) t)X DX b t
ÖV öV . bh - V I V.!. ( 7, p )
b t ÖX ^ bx h
Termen van de beide v e r g e l i j k i n g e n worden berekend voor een t w e e t a l
proeven u i t [ l ] , het z i j n p r o e f k b i j t a l u d 1:3 en p r o e f k b i j t a l u d
1:?. B i j deze proeven z i j n onder meer bekend h e t v e r l o o p van de v/ater-
l a a g d i k t e n h en de d e e l t j e s s n e l h e d e n v a l s f u n k t i e van de t i j d b i n n e n
één p e r i o d e ( r e g e l m a t i g e g o l v e n ) t e r p l a a t s e van v i e r opnemers op het
t a l u d ( d i t z i j n de p l a a t s e n waar 'de w a t e r d i k t e n worden gemeten), z i e
f i g .
Men v i n d t deze gegevens voor de beide proeven op de b i j l a g e n 13 en 23
van [ l ] . V o o r t s z i j n voor beide proeven de g e c o n s t r u e e r d e g o l f t o n g e n
op h e t t a l u d voor i e d e r t i j d s t i p bekend ( z i e [ l ] ) .
Voor i e d e r van de beide proeven worden de termen berekend voor de op
eenvolgende t i j d s t i p p e n b i n n e n é 6 n p e r i o d e met o n d e r l i n g e t i j d s i n t e r -
- 9
v a l l e n van 0 , 1 sec t e r p l a a t s e van de 1 , 2 en 3 opnemer op h o t t a l u d .
F i g . ^. Bekende v e r l o o p van de wat e r l a a g d i k t en en de d e e l t j e s -
snelheden t . p . v . de v i e r opnemers op h o t t a l u d .
Teneinde do termen van de v e r g e l i j k i n g e n ( 3 . 1 ) en ( 3 . 2 ) t e kunnen b e r e
kenen, moeten bekend z i j n :
'^h öh _bv bv_ ^ b t ÖX ^ b t ÖX
h cn V z i j n op i e d e r t i j d s t i p bekend, ~ en kunnen u i t het bekende
v e r l o o p van h en v worden berekend a l s :
bh, h [ t + A t ] - h [ t - A t ] ' ^ ( 3 . 3 ) öt " 2At
bv _ v [ t + A t ] - V [ t - A t ] " ( 3 . ' O b t " 2At
Voor h e t bepalen van ™ kan g e b r u i k worden gemaakt van de bekende w a t e r ¬
tongen op het t a l u d ( z i e f i g . 3 ) • Tussen twee opvolgende punten v e r
l o o p t de w a t e r s p i e g e l r e c h t .
Opna.ir,«.r J
OprittTtarZ
1 L ^ X
F i g , 5 . V/atertong op het t a l u d op een bepaald t i j d s t i p ^
- 1 0
De waarde van w o r d t g e l i j k g e s t e l d aan de h e l l i n g ¥an de w a t e r s p i e g e l
t e r p l a a t s e van opnemer 1 , deze i s g e l i j k aan de h e l l i n g van de waterspi©-e
g e l d i e w o r d t gevonden i n het g e b i e d t u s s e n de 1 en 2' opnemer. De v?aarde
van -—" wordt bepaald a l s gemiddelde van de w a t e r s p i e g e l h e l l i n g e n l i n k s
en r e c h t s van opnemer 2. H e t z e l f d e g e l d t voor g^-, d i e a l s gemiddelde
van de w a t e r s p i e g e l h e l l i n g e n l i n k s en r e c h t s van opnemer 3 wordt b e p a a l d . t) V
Voor het v i n d e n van ™ worden de d e e l t j e s e n e l h e d e n t.p»v» de opnemers
u i t g e z e t en door r e c h t e l i j n e n o n d e r l i n g verbonden ( z i e f i g , 6 ) . De s n e l
heden i n deze f i g u u r komen overeen met d i e i n de w a t e r t o n g i n fig«. 5 op
t r e d e n . optïCrntr X
I I I I L
F i g , 6 . Water8ne1heden i n de w a t e r t o n g op h e t
t a l u d op een bepaald t i j d s t i p .
Ter p l a a t s e van opnemer h i s geen d e e l t j e s s n e l h e i d bekend omdat daar het t > v
1 t a l u d droog s t a a t , De waarde van r r r " - i s g e l i j k aan de h e l l i n g van de l i j n
O A
e 0 di e we a a n t r e f f e n i n h e t g e b i e d t u s s e n de 1 en de 2 opnemer. De waarde
r> Vo van wordt bepaald a l s het gemiddelde van de h e l l i n g e n l i n k s en r e c h t s
bx t5V- van opnemer 2, Do waarde van ~ — w o r d t g e l i j k g e s t e l d aan de h e l l i n g , d i e
e ^^e
i n h o t g e b i e d t u s s e n de 2 en 3 opnemer voor de l i j n v/ordt gevonden.
U i t het voorgaande b l i j k t hoe en ™ worden bepaald i n de s i t u a t i e d i e
i n de f i g u r e n 5 en 6 wordt gegeven. Op sommige t i j d s t i p p e n b e v i n d t h e t
g o l f f r o n t z i c h op het t a l u d , dan l i g t de zaak i e t s g e c o m p l i c e e r d e r
( z i e f i g , 7 ) ,
4.
^ TTTTTT
M M
F i g , 7» Bepalen van ~ en ~ i n d i e n het g o l f ¬
f r o n t z i c h op h e t t a l u d b e v i n d t ,
•11
De V/aarden van ~ kunnen t e r p l a a t s e van de opnemers 2 , 3 en h op de
beschreven w i j z e worden b e p a a l d . De " wordt g e l i j k g e s t e l d aan de
h e l l i n g d i e t e r p l a a t s e van de 1 ^ opnemer wordt gevonden. I n d i t ge
v a l met het g o l f f r o n t t u s s e n de l * ' en 2 ® opnemer i s deze waarde van
-hl „cl t w i j f e l a c h t i g . Voor het bepalen van ~— g e l d t i e t s s o o r t g e l i j k e , b x b X
De waarden van t e r p l a a t s e van de opnemers en h kunnen worden b x b v - ] b V 2
bepaald op de reeds beschreven w i j z e . Voor de waarden van ™ ™ en -g:^
l i g t d i t m o e i l i j k e r . Men kan z i c h het s n e l h e i d s v e r l o o p i n het g e b i e d
t u s s e n de 1® en 2^ opnemer d i s c o n t i n u v o o r s t e l l e n ( s t r e e p l i j n ) o f a l s
een r e c h t e l i i n t u s s e n v^ en v. (streop»stip-lijn) o f a l s de één o f 1 2 •DV'l
andere tussenvorm. Over de waarde van — — i s i n d i t g e v a l n a u w e l i j k s bVo
i e t s z i n n i g s t e zeggen. Voor — — kan men aannemen dat h i j g e l i j k i s
aan de h e l l i n g van de l i j n t u s s e n de 2 en 3 ' opnemer. Voor zover men
voor de a f g e l e i d e n i n de b u u r t van het g o l f f r o n t nog e n i g s z i n s z i n n i g e
waarden kan opgeven worden de termen van de v e r g e l i j k i n g e n berekend,
e c h t e r v o o r z i e n van een v r a a g t e k e n . I s er helemaal n i e t s van t e zeggen, b Vi
z o a l s b.v, i n f i g . 7 omtrent r — dan worden de termen i n het gehe e l
n i e t berekend.
Men v i n d t op b i j l a g e 1 de berekende termen voor p r o e f h b i j t a l u d
1 : 3 . Ze worden gegeven voor de opeenvolgende t i j d s t i p p e n b i n n e n één
g o l f p e r i o d e met o n d e r l i n g e t i j d s i n t e r v a l l e n van 0,1 sec t e r p l a a t s e
van de 1*^, 2 ® en 3 * ^ opnemer op het t a l u d . I n een e n k e l g e v a l z i e t men
een v r a a g t e k e n a c h t e r de termen g e p l a a t s t , ' men h e e f t dan t e maken met
een t w i j f e l a c h t i g e a f g e l e i d e van of ~ ( z i e h i e r b o v e n ) . B i j de 2 en
3^ opnemer z i j n i n g r o t e d e l e n van de p e r i o d e geen termen berekend, d i t
h e e f t twee oorzaken: o f men h e e f t t e maken met a f g e l e i d e n -~ d i e n i e t
kunnen worden bepaald ( z i e h i e r b o v e n ) o f er s t a a t geen wa t e r op h e t
t a l u d t e r p l a a t s e van de opnemer i n de b e t r e f f e n d e fase van de p e r i o d e .
L i n k s op de b i j l a g e z i e t men de d r i e termen van de massabalans ( c o n t i
nuïteitsvergelijking) met hun som. De som van de d r i e termen moet O
z i j n , i n a l l e g e v a l l e n worden van O a f w i j k e n d e waarden gevonden.
Rechts op deze b i j l a g e ' v i n d t men de termen van de i m p u l s i e b a l a n s ( b e
w e g i n g s v e r g e l i j k i n g ) . De som van de termen u i t het l i n k e r l i d van v e r
g e l i j k i n g ( 3 , 2 ) , d i e men ook op de b i j l a g e v i n d t , l e v e r t de w r i j v i n g s
term op. Het b l i j k t dat geen enkele term v e r w a a r l o o s b a a r k l e i n i s t>v
t . o . v . de o v e r i g e termen. De b e l a n g r i j k s t e termen b l i j k e n t e z i j n ~
en g sinoc. Op b a s i s van de gevonden waarden van de w r i j v i n g s t e r m kunnen
waarden voor f = worden berekend. Men z i e t dat e r i n bepaalde g e v a l -
- 1 2 -
l e n n e g a t i e v e waarden voor f worden gevonden, d i t b e t e k e n t dat de
w r i j v i n g s k r a c h t i n de r i c h t i n g van de waterbeweging w e r k t , hetgeen
f y s i s c h o n m o g e l i j k is„ V o o r t s b l i j k t dat do f-waarden met het goede
t e k e n e r g g r o o t z i j n , men verwacht waarden van f t e v i n d e n i n de
orde van 0 , 0 0 1 , De meeste berekende waarden z i j n e c h t e r g r o t e r , boven
d i e n v e r t o n e n ze een zeer g r o t e s p r e i d i n g .
Op b i j l a g e 2 v i n d t men de berekende termen voor p r o e f h b i j t a l u d
1 : 7 , H i e r v o o r g e l d t h e t z e l f d e a l s i s opgemerkt b i j de b i j l a g e 1 ,
3 , 2 Tweede b e r e k e n i n g s w i j z e
De r e s u l t a t e n van de e e r s t e b e r e k e n i n g s w i j z e , w a a r b i j de termen
• van de l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n i n de punten t . p . v , de opnemers worden
be p a a l d , z i j n zeker t e n a a n z i e n van de r o l van de w r i j v i n g s t e r r a n i e t
•bevredigend. Het bepalen van de differentiaalquotiënten d i e i n de t e r
men voorkomen, i s h i e r b i j e c h t e r een v r i j g e v o e l i g e zaak.
Daarom wordt h i e r een tweede b e r e k e n i n g s w i j z e g e h a n t e e r d , I n p l a a t s
van met de l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n ( z i e v e r g e l i j k i n g ( 3 . 1 ) en ( 3 . 2 ) )
t e werken d i e g e l d e n voor een o n e i n d i g k l e i n g e b i e d j e , wordt gewerkt
met de behoudswetten van massa en i m p u l s i e voor een ge b i e d van e i n d i g e
a f m e t i n g e n . I n wezen l e v e r t d i t geen andere v e r g e l i j k i n g e n op, ze g e l
den e c h t e r ' voor een g r o t e r g e b i e d . Werken met deze v e r g e l i j k i n g e n h e e f t
het v o o r d e e l dat de termen nauwkeuriger kunnen worden b e p a a l d , d i t g e e f t ,
hoop op b e t e r e r e s u l t a t e n .
Beschouwd w o r d t een b r e e d t e - e e n h e i d van hot ge b i e d t u s s e n dea
2 ° en 3 " opnemer op het t a l u d . Voor d i t g e b i e d worden de massa- en
i m p u l s i e b a l a n s a f g e l e i d ( z i e f i g . 8 ) . D a a r b i j wordt aangenomen d a t '
de w a t e r l a a g d i k t e en de g r o o t t e van de d e e l t j e s s n e l h e i d t u s s e n de be i d e
opnemers l i n e a i r v e r l o p e n .
F i g . 8 . Gebied waarvoor massa-' en i m p u l s i e b a l a n s worden a f g e l e i d .
I n p r i n c i p e kan men deze massa- en i m p u l s i e b a l a n s voor i e d e r w i l l e k e u r i g g e b i e d op het t a l u d a f l e i d e n , de termen van de balansen worden e c h t e r berekend voor d i t g e b i e d t u s s e n de 2 ^ en 3^ opnemer, van daar deze keuze b i j de a f l e i d i n g .
- 1 3 -
A l l e r e e r s t de massabalans.
bedraagt ^/^(^'2
houd van het g e b i e d 1/o ( h ^ +
Do massainhoud op het t i j d s t i p t ~ At
1 . Op hot t i j d s t i p t + At iö de massain-
I n de v e r s t r e k e n t i j d i s
2 A t . Men v i n d t ^ \ . . A t
i n g e s t r o o m d /oq^ 2At en u i t g e s t r o o m d i s er /Oq.
a l d u s de massabalans:
^ 2At pcu 2 At ( 3 . 5 )
V/ordt a l s gemiddelde v / a t e r l a a g d i k t e over het g e b i e d i n g e v o e r d
h = ^ ' ( ^ 2 ^ ^ 3 ^ v/ordt v e r d e r geschreven:
'\t-At " N-.-At ^ öh 2At b t
. ( 3 . 6 )
dan kan de massabalans na u i t w e r k i n g worden geschreven a l s :
^ 1 - f .- O ^ 3 9 3 O & . . ( 3 . 7 )
Vervolgens z a l de i m p u l s i e b a l a n s voor het gebied v/orden a f g e l e i d .
Daartoe z a l a l l e r e e r s t een u i t d r u k k i n g voor de i m p u l s i e i n h o u d van h e t
gebied t u s s e n de beide opnemers voorden a f g e l e i d . Aangenomen wox'dt dat
de v / a t e r l a a g d i k t e en de g r o o t t e vnn de d e e l t j e s s n e l h e i d l i n e a i r v e r
l o p e n t u s s e n de beide opnemers. A l s gemiddelde v / a t e r l a a g d i k t e i s
reeds i n g e v o e r d h = -j ( h ^ -i- h ^ ) , a l s gemiddelde d e e l t j e s s n e l h e i d
wordt i n g e v o e r d v y ( v ^ + v.^) . De i m p u l s i e i n h o u d over het g e b i e d
18 nu ( z i e f i g . 9)
7 ll-
F i g . 9 « L i n e a i r v e r l o o p w a t e r d i k t e en g r o o t t e van
d e a l t j e o s n e l h e i d over h e t g e b i e d .
l l
p h dx V .a 9 13 9 9 . , ( 3 . 8 )
4 1
hiei-'in kunnen worden i n g e v o e r d voor h en v a l s f u n k t i e van x :
- h. h ( x ) - h + x
v ( x ' ) - V + - i y ^
( 3 . 9 )
, ( 3 . 1 0 ) 0 « O * O
Oplossen van de i n t e g r a a l l e v e r t voor de i m p u l s i e i n h o u d van het gebied:
I h "v + ( h ^ - h^) ( v ^ - v.^) ( 3 . 1 1 )
Met deze u i t d r u k k i n g kan nu de i m p u l s i e b a l a n s worden o p g e s t e l d . De
i m p u l s i e i n h o u d van het gebied op t i j d s t i p t - A t bedraagt
( h i e r i n i s I k o r t s c h r i f t voor de u i t d r u k k i n g i n v e r g e l i j k i n g ( 3 « 1 l ) ) ,
de i m p u l s i e i n h o u d op het t i j d s t i p t + At ie I ^ . , ^ ^ - I " v e r s t r e k e n
t i j d i s er aan i m p u l s i e i n g e v o e r d /oq^^2At V-,^®" u i t g e v o e r d
p q , 2At V, .De u i t w e n d i g e k r a c h t e n , d i t z i j n de w r i j v i n g s k r a c h t , d© ' 3 t
h y d i ' o s t a t i s c h e k r a c h t e n aan beide z i j d e n en de z w a a r t e k r a c h t , l e v e r e n
i n het t i j d s v e r l o o p van 2At aan i m p u l s i e :
( T l + ^/ogh^cosoc -^/3gh^cosc<-/>gh 1 sincx) 2At
h i e r i n wordt r p o s i t i e f v e r o n d e r s t e l d i n d i e n h i j i n opwaartse r i c h t i n g
l a n g s het t a l u d op de watermoot w e r k t .
Tezamen l e v e r e n a l deze b i j d r a g e n de i m p u l s i e b a l a n s , deze l u i d t nu:
h V > :^ ^ ( h ^ - h ^ ) ( v ^ - v ^ , ) t4-At
p l h V 4 j ~ { h . ^ - h J ( v , - V . ^ ) t - A t
/oq 2At V - pq 2At v , + t ^ t
(Tl+l^gh^Jcoscx - -j/Dgh coscx- pghl sincx) 2At
Werken we d i t u i t en wordt geschreven:
t-fAt h V f ~ ~ ( h . , - h - ) ( v -v^) h v 4- -.j~(h^^-h..,) ( v -v^.^)
. ( 3 . 1 ? )
t - A t
2At
1
öt
. - h 2 ) ( v -v.,)_
BOO . . ( 3 . 1 3 )
1 5 -
dan v/ordt voor de i m p u l s i e b a l a n s gevonden;
j5 'h V + ~(h.,™h^)(v -v )| p P
c)t 2 ; >
+ gh 1 sinoc - v^q^ + v^q^ = 1 , . . . ( 3 . l ' 0
Voor de v ^ r i j v i n g s k r a c h t kan ( a f g e z i e n van het t e k e n ) v/orden geschreven
r r : p f v ' 2 waardoor het r e c h t e r l i d i n bovenstaande v e r g e l i j k i n g o v e r
gaat i n f 1 v''.
De termen van de beide v e r g e l i j k i n g e n ( 3 - 7 ) en ( 3 . l ' - 0 worden
berekend aan de hand van de r e s u l t a t e n van p r o e f ' f , t a l u d 1 : 7 u i t [ 1 .
voor het gebied tussen de 2 ® en 3^ opnetr.er op het t a l u d . Het v e r l o o p
van de w a t e r d i k t e n , d e b i e t e n en d e e l t j e s s n e l h e d e n t . p ^ v , opnemer
2 en 3 v i n d t men op b i j l a g e 2 3 [ l ] . Het v e r l o o p van h, q en v t e r
p l a a t s e van de beide opnemers wordt a l l e r e e r s t g l a d g e s t r e k e n om t e
voorkomen dat de g r i l l i g h e i d i n het v e r l o o p van deze grootheden
( s p e c i a a l b i j q en v) er de oorzaak van wordt dat de berekende termen
o n j u i s t e g r i l l i g v e r l o p e n d e waarden k r i j g e n . ^ ^ J._( h.--h.,) ( v-, ~v^)
ö h L _ _ J 2 Z^è. 2. ±L.A I n de beide v e r g e l i j k i n g e n komen de termen — en — —
v o o r , deze worden berekend z o a l s aangegeven i n de v e r g e l i j k i n g e n ( 3 . 6 )
en ( 3 . 1 3 ) , Cp b i j l a g e 3 v i n d t men de berekende termen voor de beide
v e r g e l i j k i n g e n . De i m p u l s i e i n h o u d I kan n i e t worden berekend op de
momenten, dat het g o l f f r o n t z i c h t u s s e n de beide opnemers b e v i n d t , d i t
v e r k l a a r t do lege band t u s s e n t ^- 0 . 3 0 en 0 . 8 3 sec, de termen van de
massabalans z i j n i n d i t g e d e e l t e ook n i e t berekend.
L i n k s op de b i j l a g e v i n d t men de massabalans, op een g r o o t a a n t a l t i j d
s t i p p e n k l o p t deze r e d e l i j k . Rechts op de b i j l a g e v i n d t men de i m p u l -
s i e b a l a n s . De som van de termen van het l i n k e r l i d van de v e r g e l i j k i n g ,
d i e men boven de t a b e l a a n t r e f t , l e v e r t de w r i j v i n g s t e r m . H i e r u i t kan
de waarde van f worden berekend. Men z i e t dat i n een a a n t a l g e v a l l e n
het teken van f f o u t i s , d.w.z. dat de w r i j v i n g s k r a c h t d e z e l f d e r i c h
t i n g h e e f t a l s de s t r o o m r i c h t i n g , hetgeen f y s i s c h o n m o g e l i j k i s .
De s p r e i d i n g i n de f-waarden met het j u i s t e t e k e n i s e r g g r o o t . I n de
l a a t s t e kolom van de t a b e l i s ook de Chézy-coëfficiënt berekend, men
z i e t dat deze v e e l t e k l e i n e waarden h e e f t (v/e hebben g o l f o p l o o p t e
gen gladde t a l u d s ) .
Geconcludeerd kan worden, dat de b e r e k e n i n g van de termen, zowel
b i j de e e r s t e a l s b i j de tweede b e r e k e n i n g s w i j z e , geen u i t s l u i t s e l
» 1 6
g e e f t omtrent de r o l van de w r i j v i n g s t e r m . M o g e l i j k e oorzaken' h i e r
van kunnen z i j n :
- de r e s u l t a t e n van de metingen z i j n t e onnauwkeurig om h i e r u i t goed
de termen t e kunnen berekenen.
- de v e r g e l i j k i n g e n b e s c h r i j v e n de • v/aterbeweging op h e t t a l u d o n v o l
doende o f o n j u i s t .
- 1 7
A c h t e r e e n v o l g e n s v i n d t men h i e r o n d e r de keuze van het rekenschema,
de a f l e i d i n g van de numerieke v e r g e l i j k i n g e n waarmee de waterbeweging
i n de g o l f t o n g wordt berekend en de b e s c h r i j v i n g van het computerpro
gramma " G o l f o p l o o p 1 " dat de oploop van r e g e l m a t i g e g o l v e n tegen t a
l u d s b e r e k e n t .
Keuze rekenschema en w e r k i n g rekenmodel
B i j de opzet van het rekenschema kan men een keuze maken t u s s e n
de berekeningsmethode met k a r a k t e r i s t i e k e n en de methode w a a r b i j men
g e b r u i k maakt van een d i f f e r e n t i e e c h e m a . Daar het werken met k a r a k t e
r i s t i e k e n , zeker voor een probleem w a a r b i j men t e maken h e e f t met een
oplopend f r o n t , voor de b e r e k e n i n g met een computerprogramma n o g a l
b e w e r k e l i j k i s , wordt gekozen voor de b e r e k e n i n g s w i j z e met een d i f f e r e n
t i eschema.
B i j het rekenen met een • d i f f e r e n t i e s c h e m a h e e f t men opnieuw een
keuze t e maken t u s s e n de m o g e l i j k h e d e n ( z i e l i t t L^J)=
- e x p l i c i e t o f i m p l i c i e t rekenschema,
- één-staps o f meer-staps schema,
- a l o f n i e t i s o l e r e n van het g o l f f r o n t i n de b e r e k e n i n g .
Gekozen w o r d t , met a l s b e l a n g r i j k s t e r e d en h e t rekenschema zo eenvoudig
m o g e l i j k t e houden, voor een e x p l i c i e t één-staps-schema zonder i s o l a t i e
van het g o l f f r o n t . Vanwege de keuze, het g o l f f r o n t n i e t t e i s o l e r e n i n
h^r-^nVi-i kkpn d i e zowel de
vorm en de beweging van g o l f f r o n t a l s de waterbeweging i n de gebieden
t e r w e e r s z i j d e n van het f r o n t b e s c h r i j v e n . B i j b e n a d e r i n g wordt h i e r
aan voldaan door de n i e t - l i n e a i r e l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n , waaraan
d i f f u s i e - a c h t i g e tei^men worden toegevoegd, V/e spreken dan van een
"één-staps e x p l i c i e t d i f f u s i e - s c h e m a " .
Het rekenmodel b e r e k e n t b i j gegeven b e g i n - en randvoorwaarden de
waterbeweging op het t a l u d , I n een re e k s van d i s c r e t e punten op onder
l i n g e a f s t a n d Ax l a n g s het t a l u d ( z i e f i g . 1 0 ) worden de w a t e r l a a g d i k t e
h, de d e e l t j e s s n e l h e i d v en het d e b i e t q = h v berekend voor de opeen
volgende t i j d s t i p p e n met een i n t e r v a l A t .
A l s beginvoorwaarden moeten i n a l l e d i s c r e t e punten op het t a l u d be
kend z i j n de w a t e r l a a g d i k t e h en de d e e l t j e s s n e l h e i d v op het t i j d
s t i p t = O. Het model h e e f t twee randvoorwaarden ( z i e f i g , 1 0 ) .
1 8
Ro.nJi'oori'Jaardt. tpV X-O ^eefo/en t/er/oop Van di ivatlrdikU
Uttiïrite. WaUrL-ijo - ö.
F i g . 1 0 . Rekenmodel G o l f o p l o o p met randvoorwaarden.
De e e r s t e randvoorwaarde l i g t t . p . v . x := 0 , daar moet bekend z i j n
het v e r l o o p van de w a t e r d i k t e of de d e e l t j e s s n e l h e i d a l s f u n k t i e van
de fase t/T ( h e t model b e s c h r i j f t de oploop van r e g e l m a t i g e g o l v e n ,
de randvoorwaarde i s dus p e r i o d i e k met de g o l f p e r i o d e T ) . I n het h i e r
beschreven model wordt de w a t e r l a a g d i k t e h a l s f u n k t i e van de fase
t/T a l s randvoorwaarde gegeven. De tweeds randvoorwaarde wordt gege
ven door het f e i t d at t e r p l a a t s e van de u i t e r s t e w a t e r t i p op het
t a l u d g e l d t h - O. Ter p l a a t s e van deze w a t e r t i p wordt een marker M
gedacht, deze s c h u i f t i n de t i j d l a n g s het t a l u d op en neer en wordt
ook t u s s e n de d i s c r e t e p l a a t s e n op het t a l u d gezet ( z i e f i g . 1 0 ) .
Het schema v o l g e n s hetv/elk de v/aai-den van h en v m de w a t e r
t o n g op het t a l u d worden berekend, v i n d t men i n f i g . 1 1 .
D i t schema v e r e i s t nog wel de nodige t o e l i c h t i n g . Berekend worden
h ( x , t ) en v ( x , t ) , h i e r i n nemen x en t de waardon van gehele g e t a l
l e n ( i n t e g e r s ) aan. Zo wordt het t i j d s t i p 3At aangeduid met t = 3 ,
de p l a a t s op het t a l u d op een a f s t a n d van 5Ax van de o o r s p r o n g wordt
met x - 5 aangegeven.
Begonnen wordt met de bekende beginvoorwaarden, h en v z i j n op het
t i j d s t i p t = O i n a l l e d i s c r e t e punten op, hot t a l u d bekend. Verder i s
ook de p l a a t s van de marker M en de s n e l h e i d van de w a t e r t i p op d i t
b e g i n t i j d s t i p bekend. De marker M s t a a t i n h e t algemeen op een p l a a t s
op het t a l u d t u s s e n d i s c r e t e punten i n . Het d i s c r e t e punt d i r e k t onder
M wordt R genoemd ( z i e i n z e t i n de l i n k e r bovenhoek van f i g . 1 1 ) , •)
M en R z i j n p l a a t s e n op h e t t a l u d u i t g e d r u k t i n Ax.
» 19
ct\ pi^tih Lf*.'/- x^o <
(•zie. oi^dxr '^•l)
LerektMinC] -fl Our
in l>Unh t.j>.i/. JTi/? '
V It, h&t ^
(zia onc/or ij.^)
plaats >-<" = 'V;
hereka.)! i/(o,t)
i u . t )
X:^ X-t
_.. ^ ,
^ ^ lereJlcn : -A (^lO
\
X.-» X-/
•
\/a,t)
F i g . 1 1 , Rekenschema G o l f o p l o o p 1»
- 2 0 -
We v o l g e n het schema, t wordt g e l i j k aan 1 gemaakt en men komt i n de
t - l u s . I n deze l u s worden de g o l f t o n g e n v o o r opeenvolgende t i j d s t i p p e n
berekend van t = 1 t o t t = t , H i e r b i j i s t een opgegeven waarde max ^ max
voor het t i j d s t i p t waarop het rekenpro c e s moet worden beëindigd. B i j
de b e r e k e n i n g van de g o l f t o n g s t a r t e n we i n het j j u n t x = O, De w a t e r
l a a g d i k t e i s i n d i t punt bekend a l s randvoorwaarde, de d e e l t j e s s n e l
h e i d i n d i t punt wordt berekend.
Vervolgens wordt x e 1 gemaakt, we komen i n de x - l u s , I n deze l u s worden
de w a t e r l a a g d i k t e n en de d e e l t j e s s n e l h e d e n berekend voor de punten
X - 1 t o t X - R - 1 . Het i s m o g e l i j k dat t i j d e n s de b e r e k e n i n g i n deze l u s
b i j een bepaalde waarde van x < R - 1 een w a t e r l a a g d i k t e h wordt berekend,
d i e n e g a t i e f i s . D i t b e t e k e n t dat de w a t e r t o n g z i c h op h e t t a l u d t e r u g
t r e k t , de waarde van x wordt met 1 v e r m i n d e r d en de b e r e k e n i n g wordt
dan v o o r t g e z e t b i j de l a b e l EXTRAPOL,
I n h e t g e v a l dat er t i j d e n s do b e r e k e n i n g van h en v i n do x - l u s geen
n e g a t i e v e w a t e r l a a g d i k t e n worden berekend, wordt de b e r e k e n i n g b i n n e n
de l u s a f g e b r o k e n i n d i e n x = R i s geworden^ De b e r e k e n i n g van h en v
i n punt R ge b e u r t op een e n i g s z i n s a f w i j k e n d e w i j z e . Ook h i e r b i j moet
na de b e r e k e n i n g van de w a t e r l a a g d i k t e worden gekeken o f h n i e t n e g a t i e f
i s . I n d i e n d i t zo i s dan wordt de waarde van x met 1 v e r l a a g d , er wordt
een s t a p t e r u g gedaan,
We z i j n nu i n h e t schema aangeland b i j de l a b e l EXTRAPOL, x h e e f t b i j
het passeren van deze l a b e l een bepaalde waarde, d i e v/s XE noemen.
Op doze p l a a t s i n het schema wordt h et bovenste g e d e e l t e van de g o l f
t o n g berekend. A l l e r e e r s t wordt de nieuwe p l a a t s van de marker M be
re k e n d , daarna worden de w a t e r d i k t e n en d e e l t j e s s n e l h e d e n berekend i n
de d i s c r e t e punten d i e l i g g e n t u s s e n XE en M.
Na v o l t o o i i n g van de b e r e k e n i n g van de w a t e r t o n g wordt gekeken o f t - '^fj,ar'' ' ^ n i e t h e t g e v a l i s , wordt de t o n g op h e t volgende
t i j d s t i p berekend, I s t = t dan wordt da b e r e k e n i n g beëindigd,
I n f i g . 11 z i e t men aan de l i n k e r k a n t aangegeven wat i n i e d e r van
de g e d e e l t e n wordt berekend, tevens waar de o n d e r d e l e n van het schema
v e r d e r z i j n u i t g e w e r k t (onder 'f,2 t/m ^,5) •
k„2 Numerieke v e r g e l i j k i n g e n _ a l g e t n e e n _ g u n t
De v e r g e l i j k i n g e n d i e de waterbeweging op het t a l u d b e s c h r i j v e n ,
met u i t z o n d e r i n g van h e t g e b i e d van het g o l f f r o n t , v i n d t men i n dimen
s i e l o z e vorm a l s ( 2 , 6 ) en ( 2 , 7 ) •
2 1 « •
Viordt d a a r i n i n g e v o e r d :
- s i n DC = O « ® O
. . (»l-.2)
en worden i n het vervolg__van d i t v e r f i l a g _ v o o r _ _ d e _ d i r n e n s i e l ^
heden de accenten weggelaten, dan kunnen de be i d e v e r g e l i j k i n g e n
worden geschreven a l s :
ö(hv) bh -r = O „ . . . .
bx b t
PJ. + ( i v ^ + h c o s o c ) = 0 ^ + 0 •öt bx G w
Q 3 9 . . . , i k . 3 )
Deze beide v e r g e l i j k i n g e n kunnen worden omgezet i n d i f f e r e n t i e v e r
g e l i j k i n g e n door op de volgende v f i j z e de partiële d i f f e r e n t i a a l
quotiënten door differentiequotiënten t e vervangen ( z i e f i g . 1 2 ) :
r 1 1 1 aé ! 1 ' 1 1
t ' L
1 1 ' 1 1 1
1 1 1
e. Constant
F i g . 12. Rooster van d i s c r e t e punten i n het x - t ~ v l a k .
i k + 1
2ax 9 9 Q »
At . . . . ( ' + . 6 )
w a a r i n \// een w i l l e k e u r i g e c o n t i n u e f u n k t i e van x en t s y m b o l i s e e r t ,
h i e r v o o r kan bv. worden gelezen hv, h, v enz. De i n d e x k h e e f t be
t r e k k i n g op de p l a a t s x, de j h e e f t b e t r e k k i n g op de t i j d t .
Z e t t e n v/e de be i d e v e r g e l i j k i n g e n (^4,3) en op deze wijz© om
i n d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n dan v i n d o n v/e:
v^
2AX
h' v" h
At r= O
-1 c o s c x . !
2AX
I n b e i de v e r g e l i j k i n g e n kunnen hjj"*''^ en V j ^ ^ ' ^ \ de w a t e r l a a g d i k t e en de
d e e l t j e s s n e l h e i d op een volgend t i j d s t i p , e x p l i c i e t worden geschreven,
We vin d e n dan:
h-l + l _ + - ( h ^ v^ \ ~ \ ^ 2 ^ k-1 ^ k - - l
h^ v"J ) . . . . ( ^ . 9 )
k k 2
+ 0QAt + A t . . ,(^U10)
v/aarin A= M,*) Worden deze beide d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n g e b r u i k t , 'Ax r 1 r T
dan b l i j k t het rekenpr o c e s i n s t a b i e l te z i j n , z i e [ 6 J en [ 7 ] • Deze
i n s t a b i l i t e i t kan worden voorkomen door voor h;| en v^ r e s p , t e s c h r i j v e n
h, . 4- (h?, , ^ h?.. J O @ « O 3 . . . . . . ( 4 , 1 1 )
,(^U12)
Aldus v i n d e n we de volgende d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n , d i e wel een s t a
b i e l r e k e n p r o c e s l e v e r e n ( b i j de j u i s t e keuze van A ) :
. . .('u13)
k = 1 ( v
k-1 ( I v^-fh c o B o < : ) j ^ _ ^ « ( 1 v^ + h coscx)
4- 0^At ^ (0,_^)j^ A t
. ( t u l ' i )
At en Ax z i j n boide d i r a e n s i e l o o s , A dus eveneens.
23 «
Door het i n v o e r e n van de b e t r e k k i n g e n en (4o12) met het oog
op de s t a b i l i t e i t van het r e k e n p r o c e s , komen de beide bovenstaande
d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n n i e t meer overeen met de beide vergelijkin»
gen ^+,3) en C - i J f ) , Ze b l i j k e n de d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n t e z i j n
van de beide onderstaande partiële d i f f e r e n t i a a l v e r g e l i j k i n g e n :
ïiilYl ^ öh ^ U x f ^ i ± , ( ' i , 1 5 ) ÖX bt 2At ^y^2
Het v e r s c h i l met de beide v e r g e l i j k i n g e n ('4,3) en (hA) wordt gevormd 2 2 2 2
door de d i f f u s i e - a c h t i g e termen -S^l- en , De v e r g e l i j k
k i n g e n { h . l 3 ) en ( ' u l 6 ) b e s c h r i j v e n de waterbeweging op het t a l u d i n
c l u s i e f het g o l f f r o n t . Voor de n e t t e gebieden waarvoor de l a n g e - g o l f
v e r g e l i j k i n g e n gelden z i j n ^ en g v r i j w e l g e l i j k aan n u l , de beide
d i f f u s i e - a c h t i g e termen komefi pas " i n a c t i e " t e r p l a a t s e van het g o l f
f r o n t , waar de kromming aan het w a t e r o p p e r v l a k a a n z i e n l i j k i s en waar
ook de term — d u i d e l i j k van n u l z a l v e r s c h i l l e n .
Voor de weerstandsterm i n v e r g e l i j k i n g (4,1'4) wordt geschreven:
I s X i i . - ^ At = - W v?'-'' A t , . . . , ,(4,17)
k k
wa a r i n de f a k t o r f g e l i j k i s aan ~\ ; C i s de coëfficiënt van Chézy c
di e vvordt berekend a l s ;
6.1(hf .4 h f ^ ^ ) 3(h,^ -4 h . f ) ^ C . 18 l o g ^ - ^ - ^ i s ^ ^ J ? - ^ ^ ^ . 7«3 m , . . ,('4,18)
a
wa a r i n a een maat voor de r u w h e i d van het t a l u d i s .
De weerstand d i e men op deze w i j z e i n v o e r t g e l d t ongeveer halverwege
t i j d s t i p t . en t . ^ ^ . Men voorkomt met deze f o r m u l e r i n g van de weer¬
s t a n d s t e r m dat het t e k e n van de s n e l h e i d zou omslaan t . g . v , de v/eer-
s t a n d s t e r m a l l e e n , \'le z u l l e n d i t t o e l i c h t e n . Beschouwen we de d e e l
t j e s s n e l h e i d op een bepaalde v a s t e p l a a t s ; het d e e l van de s n e l h e i d s
v e r a n d e r i n g dat voor r e k e n i n g komt van de weerstandsterm wordt i n
onderstaande v e r g e l i j k i n g u i t g e d r u k t ( d i t i s een g e d e e l t e van v e r g e l i j ¬
k i n g (hA) ):
L I - w , (4,19) •öt " w
2h
N u m e r i e k ' u i t s c h r i j v e n , w a a r b i j (4,17) wordt i n g e v o e r d , l e v e r t :
& « 0 & (, a 3 9 ö t. m & O & is \ r & c^^J /
vJ^'' - vf k k
At W vi
e f v/e 1 :
(1 + W A t ) = vp , (4.21)
w a a r i n W p o s i t i e f i s ( z i e v e r g e l i j k i n g ( 4 , 1 7 ) ) , Men z i e t dat vj^'' '
tuss e n de waarde van v ^ en O I n l i g t , hetgeen met de w e r k e l i j k h e i d o v e r
eenstemt ,
I n d i e n men e c h t e r een weerstandsterm zou i n v o e r e n van de vorm:
v, k ia ),^ At - - f ^-•^^-^ At = - W v.*; At
V/ k h k & & O a & & 9 , (4.22)
dan zou men op d e z e l f d e w i j z e v i n d e n :
v^^'^ ( 1 - W'At) v j j & ۥ O (4,23)
h i e r i n i s l / ' p o s i t i e f , h e t i s e c h t e r m o g e l i j k dat V/'At>1, wat zou be
tekenen dat met de op deze w i j z e g e f o r m u l e e r d e weerstandsterm de s n e l
h e i d zou omslaan a l s g e v o l g van de weerstandstei'm a l l e e n , hetgeen fj-
s i s c h o n m o g e l i j k i s .
Wordt de weerstandsterm van v e r g e l i j k i n g (4.17) i n ( 4 . l 4 ) i n g e v o e r d
dan gaat deze v e r g e l i j k i n g over i n ;
^•'-''(l+WAt) = Uvi .,-fvJ. J -I- -k k--1 k+1
( I v ^ + h ooscx.)jJ__^ -(-^-v^+h c o s c x . ) ^
k+1
+ At s « 4 . (4.24)
E i s voor de s t a b i l i t e i t • v a n het rekenschema i s de Courant c o n d i t i e
( z i e [ 7 ] ) :
At > V -1- \ h c o s o i g O 9 (4.25)
deze e i s g e l d t voor a l l o punten op het t a l u d . B l i j k b a a r moet de v e r
houding t u s s e n Ax en At zo worden gekozen dcut ~ g r o t e r i s dan de
s n e l h e i d v/aarmee een v e r s t o r i n g z i c h i n de w a t e r l a a g op het t a l u d v o o r t
p l a n t .
25 -
5 Numerieke ve r g e l i j _ k i n g e n ^ _ p u n t _ _ t , p , v
B i j de randvoorwaarde t , p , v , x = O i s de w a t e r l a a g d i k t e h a l s
f u n k t i e van de fase gegeven ( z i e f i g . 1 0 ) , Do d e e l t j e s s n e l h e i d t e r
p l a a t s e moet e c h t e r worden berekend. Bekend z i j n d a a r b i j ( z i e f i g . 1 3 )
de w a t e r l a a g d i k t e h en de d a e l t j e s s n e l h e i d v op het t i j d s t i p t ^ op de
p l a a t s e n x en en de w a t e r l a a g d i k t e h op de p l a a t s x op het t i j d -^ O 1 " s t i p t . ^ ^ .
ij., k T — -
Al
ti f 1
A * i
P i g . 1 3 . Berekening d e e l t j e s s n e l h e i d t . p . v . x - O,
Er kan geen g e b r u i k worden gemaakt van v e r g e l i j k i n g (4.24) d i e onder
4,2 voor de b e r e k e n i n g van de d e e l t j e s s n e l h e i d i n een algemeen punt
i s a f g e l e i d . Voor do b e r e k e n i n g van de d e e l t j e s s n e l h e i d t . p . v . x = O
wordt g e b r u i k gemaakt van de v o o r w a a r t s e en a c h t e r w a a r t s e k a r a k t e r i s
t i e k e v e r g e l i j k i n g e n ( z i e [ 6 ] ) d i e z i j n gegeven i n v e r g e l i j k i n g (2«8).
Om nu de s n e l h e i d t e r p l a a t s e van x^ op het t i j d s t i p t^. _ ^ ^ t e berekenen
u i t de bekende snelheden en w a t e r d i k t e n op het voorafgaande t i j d s t i p
t . op de p l a a t s e n x en x,| wordt de a c h t e r w a a r t s e k a r a k t e r i s t i e k e v e r ¬
g e l i j k i n g g e b r u i k t :
tjv .,. (v-Vhcosoc)^J -bh b t
r \ bh
bx = ^ w
Deze v e r g e l i j k i n g wordt i n d i f f e r e n t i e - v o r m g e b r a c h t :
h^ v'i-'-''-vj
^ T t - ^ - . ( v ^ . h^ coscx)
v:J-v*^ _J__o Ax
cosoc
h c O s o )
O At
+ (0 ) G ^ w
0 0 9 (4,27)
Voor de weerstandsterm i n deze v e r g e l i j k i n g kan worden geschreven
( z i e u i t d r u k k i n g ( 4 . 1 7 ) ) :
(0 ) ^ w O
- f vJ v^-^^
KhJ+h^-*-'') O O
( 4 , 2 8 )
Voeren we d i t i n v e r g e l i j k i n g (4„27) i n en werken we deze v e r d e r u i t 14-1
dan wordt voor v^ gevonden:
v - '' (i-4WAt) . v^i \/.£iifï ( h f ' - h ^ )
- A ( v i { - Wh^ coscx) 1 O 1/ , D 1 O
" l
+ A t . . , (4,29)
Met deze v e r g e l i j k i n g wordt de d e e l t j e s s n e l h e i d t o p , v . x = O berekend»
,4 Numerieke v e r g e l i j k i n g e n t , p , v . x - R
Voor het punt R ( 2 ; i e fig» l 4 ) kunnen de v e r g e l i j k i n g e n d i e onder
4,2 voor een algemeen punt z i j n a f g e l e i d n i e t worden toegepast« I n
het ee.rstvolgende d i s c r e t e punt boven R z i j n n a m e l i j k geen w a t e r l a a g
d i k t e en d e e l t j e s s n e l h e i d bekend, omdat de w a t e r t o n g op het t a l u d n i e t
zover reikt» De waterbeweging i n punt R wordt v/el beschreven door de
beide v e r g e l i j k i n g e n ( 4 . 3 ) en ( 4 . 4 ) , b i j toepassen van deze v e r g e l i j k i n g
en op punt R doet z i c h het probleem voor u i t d r u k k i n g e n t e v i n d e n voor
t) Ö X
het p u n t .
''''' ^ en •— ( 1 v^4- h coscx:) i n de beide d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n v o o r
F i g , l 4 . B e r e k e n i n g van h en v t , p , v , punt R,
I n p r i n c i p e komt d i t probleem neer op h e t bepalen van
het g e v a l dat ( x ^ - x^) 9 ^ ( x ^ - x^) , z i e f i g , 1 3 ^ x=x,.
d f F i g , 1 5 « Benaderen van de a f g e l e i d e -g™
h X3
J x=x. i n d i e n ( x 2 ~ x ^ )?^(x-j-X2)
Me leggen door de d r i e punten i n f i g . 1 5 een kromme y ( x ) , d i e f ( x )
b e n a d e r t . Deze f u n k t i e y ( x ) v/ordt berekend met behulp van de p o l y
nomen van Lagrange:
y ( x ) - l ^ ( x ) f ^ + l ^ i x ) f., •> l ^ ( x )
v/aarin de polynomen worden bepaald a l s :
X -X, l . ( x ) a O 9 a
k=1 , 3 J k
D i t l e v e r t voor y ( x ) de volgende u i t d r u k k i n g :
? 2
X "-XX -XX -f-X X X -XX^ "XX- + X^X^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ . ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
2
X -XX,,-xx^ + x .x„
( x ^ - x ^ ) ( x ^ - x ^ )
De a f g e l e i d e van deze f u n k t i e y ( x ) i s nu:
d y ( x ) dx
2 x - x ^ -x^ 2 x - X -X
( 4 . 5 0 )
( 4 . 5 1 )
( 4 . 5 2 )
( x ^ ^ ^ ^ l x ^ - x ^ T 5
^ / \
( 4 . 3 3 )
De a f g e l e i d e van de r u n k t i e l A x ; t e r p i a a t s e van x nu.
d f dx"
l x dx
J x-x. x=x.
( x ^ ^ x ^ ^ T T x p o c p " 3
f , . . ( 4 , 3 4 )
V/e passen d i t r e s u l t a a t t o e op het probleem de a f g e l e i d e n naar
X i n het punt R t e v i n d e n . D a a r b i j wordt dan g e s t e l d x^ = ( R - I ) A x ,
^ KAx en x^ ^ M A X ( z i e f i g , l 4 en 1 5 ) . We v i n d e n a l d u s :
d f dx
x=R
M-R r. R + 1 - M .p , 1 , f 11^ v r )
^R - 1 •*• Tr-m ) 'ax ' r T M i R + T K l T r R T A l ^ • • ^
2 8
v/ordt nvi inp;evoerd:
A
2 " R-ÏÏ
" Ü ' I - r - T i T T k - ' r T
> (4.36)
dan wordt voor de a f g e l e i d e van f ( x ) i n punt R b i j b e n a d e r i n g gevonden
d f dx
x=R Ax
& & a O O i k . 3 7 )
Voor de f ( x ) kunnen we l e z e n ( h v ) en (^v"^ + h cosoc). U i t d r u k k i n g (4,37)
kan nu worden g e b r u i k t b i j het a f l e i d e n van de d i f f e r e n t i e v e r g e l i j k i n g e n
voor het punt R,
V e r g e l i j k i n g ( 4 . 3 ) l u i d t , onder g e b r u i k m a k i n g van ( 4 , 3 7 ) , i n d i f f e r e n
t i e - v o r m :
A 1 ^J
A. A. h
^R-1 ^R^i ^ l i < l i < < ' - ^ T t - ^ = ' , (4,38)
H i e r i n i s v^ de s n e l h e i d van de u i t e r s t e w a t e r t i p , h ^ i s de w a t e r d i k t e
t e r p l a a t s e van de u i t e r s t e w a t e r t i p en dus g e l i j k aan O, S c h r i j v e n we
v e r d e r h "'''' e x p l i c i e t dan v i n d e n we de u i t d r u k k i n g :
.1. A h" v^ ' ^ 2 R R
, (4.39)
V e r g e l i j k i n g ( 4 ,4) kan, onder g e b r u i k m a k i n g van ( 4 , 3 7 ) , i n d i f f e r e n t i e -
vorm geschreven worden a l s :
J + 1 J V" - v ^ ^^•1 j ^ 2 . 2
At -^-n^^-^'^ h c o s c x ) ( I v ^ H
A ^ j , j + (-|.v'--i- h COSCX) ^ =: + i 0 j ^
h cosoO R
(4,40)
v;e weten dat h^, - O, v e r d e r i s de weerstandsterm i n deze v e r g e l i j k i n g
g e l i j k aan:
V
(0 )o w R R (4.41)
K h ^ . h - ' )
Invoelden h i e r v a n i n v e r g e l i j k i n g (4„'(-0) en e x p l i c i e t s c h r i j v e n van
,1 + 1 v'j^ l e v e r t dan de u i t d r u k k i n g :
v^'^ ( 1 + V M t ) = v j - A ^ 3 2 J
A (-Iv" + h coscx) „ . •{- A (|v~ + h coscx)
•f 0 , At 9 O , O , A , C u 42)
Keb de beide v e r g e l i j k i n g e n (4,39) on (4,42) kunnen de w a t e r l a a g d i k t e
en de d e e l t j e s s n e l h e i d t . p , v , x = R voor een vo l g e n d t i j d s t i p worden
berekend.
4,5 Numerieke v e r g e l i j k i n g e n voor het bovenste d e e l van de v/atertong
V/e z u l l e n t hans nagaan hoe de waterbeweging i n het bovenste ge
d e e l t e van de w a t e r t o n g op het t a l u d kan worden berekend. Er kunnen
z i c h twee s i t u a t i e s voordoen, de g o l f t o n g l o o p t tegen het t a l u d op
(de marker K v e r p l a a t s t z i c h i n p o s i t i e v e r i c h t i n g ) o f de g o l f t o n g
t r e k t z i c h t e r u g (de marker l o o p t i n n e g a t i e v e r i c h t i n g ) ,
I n beide g e v a l l e n wordt voor het v i n d e n van de p l a a t s van de u i t e r s t e
w a t e r t i p geëxtrapoleerd v a n u i t h et punt XE ( z i e t o e l i c h t i n g op het
rekenschema van f i g , 1 ' t ) , Aan de hand van f i g , l 6 z u l l e n wa de bereke
n i n g van de waterbeweging i n d i t bovenste g e d e e l t e van de w a t e r t o n g op
het t a l u d nader t o e l i c h t e n .
F i g , l 6 . Berekening waterbeweging i n bovenste d e e l van de w a t e r t o n g .
I n f i g . 1 6 i s M'"' de p l a a t s van de u i t e r s t e w a t e r t i p op het t i j d s t i p
t . , M " ^ i s de p l a a t s van de t i p op het volgende t i j d s t i p t , , _ ^ . B i j
het oplopende g o l f f r o n t z a l de p l a a t s van w a a r u i t wordt geëxtrapoleerd
om de marker op het t i j d s t i p t ^ _ ^ ^ t e berekenen XE, overeenkomen met R
( d . i . de p l a a t s van R op het t i j d s t i p t ) , b i j een t e r u g l o p e n d e w a t e r ¬
t o n g z a l punt XE het d i s c r e t e punt z i j n dat d i r e k t l i g t onder de p l a a t s
waar een n e g a t i e v e w a t e r d i k t e i s berekend.
3 0 -
A l l e r e e r s t wordt de p l a a t s van de marker op het opvolgende t i j d
s t i p t berekend, t e v/eten H' ''', Daartoe v/ordt aangenomen dat de
• ' .1 + 1
w a t e r s p i e g e l van de w a t e r t o n g e n boven XE r e c ) i t i s , Toepassen van
de wet von behoud van massa voor het gebied boven XE l e v e r t nu:
1 (M^''''-XE)Ax - i h^g (M^-XE) Ax -
-Kv^ h^ -I- v' -''' h '""'') A t , . , . . Ah A3) XB XE XE XB
H i e r s t a a t dat de toename van de b e r g i n g boven de doorsnede XE tuesen
het t i j d s t i p t . en t,. ^ g e l i j k i s aan de h o e v e e l h e i d d i e i n d i t t i j d s ¬
v e r l o o p door de doorsnede i s i n g e v o e r d .
Werken we deze u i t d r u k k i n g u i t dan wordt gevonden voor de nieuwe p l a a t s
van de marker op het t a l u d :
3„.-, ^"-^-^^^ X E ^ ^ 4 e 4 e ^ ^ X e ' ^ e ' ) ,
' = XE -1- — • -Jl^i^^^^^--;^-.;-™.-—-—-^-.-..™---— , , , , i h , h k )
' XE
Nadat de nieuv/e p l a a t s van de marker i s gevonden moeten de v / a t e r d i k t e n i +1
en d e e l t j e s s n e l h e d e n i n de d i s c r e t e punten t u s s e n XE en M' worden be
re k e n d . Het i e m o g e l i j k dat z i c h tussen het punt XE en K* ^ geen d i s
c r e t e punten bevinden ( z i e f i g , ' 1 6 , r e c h t e r f i g u u r ) , dan v e r v a l t deze
noodzaak, I n het g e v a l van een oplopende w a t e r t o n g z u l l e n i n de r e g e l i + 1
wel één o f meerdere d i s c r e t e punten t u s s e n XE en >r i n l i g g e n ,
ii e i ; vei'xoop van ae wu l ex-w pj.egt; j. uu^oexi <v ü vju n x o i c r k ^ i i i . , i ^ ^ ^ j . c i x ^ ^ i u - . . ^ ,
van de w a t e r d i k t e n i n de t u s s e n l i g g e n d e d i s c r e t e punten i s dus een
v o u d i g ( z i e f i g , 1 7 ) ,
F i g , 1 7 . W a t e r d i k t e n en d e e l t j e s s n e l h e d e n i n het
bovenste d e e l van de w a t e r t o n g .
Deze v e r o n d e r s t e l l i n g i s n i e t n o d i g i n .het g e v a l van de t e r u g l o p e n d e t o n g , over het g e d e e l t e t u s s e n XE en M" b e h o e f t de w a t e r s p i e g e l dan n i e t r e c h t t e z i j n . B i j de a f l e i d i n g d i e ' v o l g t i s d i t t o n o n r e c h t e wel v e r o n d e r s t e l d , de 'invloed h i e r v a n i s w a a r s c h i j n l i j k g e r i n g , het e c h t e r wel nodig dat deze o n j u i s t h e i d wordt g e c o r r i g e e r d i n een v o l gende v e r b e t e r d e v e r s i e van het computerprogramma.
- 3 1 -
De u i t d r u k k i n g voor de w a t e r l a a g d i k t e t e r p l a a t s e van het d i s c r e t e
punt A wordt gegeven doors
h J + ' 'XE
h 'XE
Het berekenen van de d o e l t j e s s n e l h e d e n i n de d i s c r e t e punten t u s s e n
XE en M'"'' i s w e l i e t s g e c o m p l i c e e r d e r . Het probleem i s do d e e l t j e s -
s n e l h e i d i n het d i s c r e t e punt A t e berekenen ( z i e f i g . 1?) op het
t i j d s t i p • t j . j . - i '
H i e r v o o r wordt g e b r u i k gemaakt van de wet van behoud van massa voor
het bovenste d o e l van de w a t e r t o n g op het t i j d s t i p t . .
Voor het gebied ( T ) ( z i e f i g . 1?) g e l d t a l s c o n t i n u i t e i t s v o o r w a a r d e :
. . . . . ('Uit6) XE XE A h b t
1 d., AX ( h ^ ^ h,)
o f w e l i
V j f h i t ? - ^ d AX ( A n A E 1
^hy,, öh
j4-1 . . ( h A 7 )
Voor gebied (u) ( z i e f i g , 1?) kunnen we eveneens een c o n t i n u i t e i t s -
voorwaarde o p s c h r i j v e n :
^ A A
o f w e l , i n d i e n we
noemen:
bt" -J d^ AX h^ 0 0 9 ^ ^ A A S )
b(d,,Ax) V., ( = 5 n e l h e i d van de u i t e r s t e w a t e r t i p ) h
. . (4.49)
Zowel met v e r g e l i j k i n g ( 4 , 4 ? ) a l s met ( 4 . 4 9 ) kan de waarde van v ' '
worden berekend. De beide gevonden waarden z u l l e n i n het algemeen v e r
s c h i l l e n d z i j n . D i t komt omdat de termen i n de r e c h t e r l e d e n worden be
naderd. Om nu een r e d e l i j k e waarde voor v ,' '' t e v i n d e n worden de beide be.
r e k e n i n g s r e e u l t a t e n van ( 4 , 4 ? ) en ( 4 , 4 9 ) eenvoudigweg ge m i d d e l d . Voor
j + 1 de b e r e k e n i n g van deze waarde van v'^' ' wordt dan gevonden: bh
5 1 "TT" + ( d . , - d , ) ^
h j + 1
A
i , . ( 4 , 5 0 )
- 3 2
V o o r t s weten we dat de geëxtrapoleerde w a t e r t o n g t u s s e n XE en M
een r e c h t e w a t e r s p i e g e l h e e f t , d i t b e t e k e n t d a t :
j + 1
h j-M A d^+d^ "XE
. . » ( 4 . 5 1 )
en
bh, bh XE
b t d^+d^ b t (d^+d^)
S , j-M
2 Ax XE ( 4 . 5 2 )
S u b s t i t u t i e van de beide u i t d r u k k i n g e n ( 4 . 5 1 ) en ( 4 . 5 2 ) i n ( 4 . 5 0 ) 6<
l e i d t t e n s l o t t e , t o t de volgende v e r g e l i j k i n g voor v j + 1 .
J + 1 _
d / d ^ - d ^
' ^ + ^ 2 ( d ^ + d 2 ) 2
v j ^ ' ' - 1 .
d 2 ( d . , - d 2 ) bh XE
b t
.3 + 1
( 4 . 5 3 )
Met de be i d e u i t d r u k k i n g e n ( 4 , 4 5 ) en ( 4 . 5 3 ) kunnen de w a t e r l a a g d i k t e n
en d e e l t j e s s n e l h e d e n worden berekend i n a l l e d i s c r e t e punten t u s s e n
XE en M ' ''. >.,v, XE
I n v e r g e l i j k i n g ( 4 , 5 3 ) worden en Vj ^ bepaald a l s :
^ ^ E ^ X e ' - ^ X E
b t A t
T A - I T
= I t —
, . ( 4 . 5 4 )
. . ( 4 , 5 5 )
4 , 6 B e s c h r i j v i n g computergrogramma
Het computerprogramma dat i s gemaakt voor de b e r e k e n i n g van g o l f
oploop wordt " G o l f o p l o o p 1 " ( k o r t w e g G01) genoemd. Het g l o b a l e r e k e n
schema v i n d t men onder 4 , 1 i n f i g , H . Onder 4 , 2 t/m 4 , 5 z i j n de nume
r i e k e v e r g e l i j k i n g e n a f g e l e i d voor de v e r s c h i l l e n d e o n d e r d e l e n van het
schema,
I n h et computerprogramma wordt gerekend met d i m e n s i e l o z e g r o o t h e
den; de t i j d i s d i m e n s i e l o o s gemaakt door t e d e l e n door de g o l f p e r i o d e
T, de snelheden z i j n gedeeld door gT en de len g t e m a t e n z i j n door gT ge
de e l d ( z i e ook onder 2 de v e r g e l i j k i n g e n ( 2 , 5 ) en ( 2 , 1 3 ) ) •
- 3 3
Het stroomdiagram van het computerprogramma v i n d t men op b i j l a g e h„
Op b i j l a g e 5 worden twee procedures u i t het schema gegeven. Het i n ALGOL
geschreven computerprogramma v i n d t men op b i j l a g e 6 . De b e l a n g r i j k s t e
symbolen d i e i n het stroomschema en het computerprogramma worden g e b r u i k t
worden v e r k l a a r d op b i j l a g e 7 - ' .
Aan de hand van het stroomdiagram op b i j l a g e h z a l h e t programma
worden t o e g e l i c h t . H i e r t o e z i j n op de b i j l a g e o m c i r k e l d e c i j f e r s aange
geven waarnaar z a l worden verwezen. Tevens z a l worden verwezen naar de
f o r m u l e s i n de voorafgaande t e k s t , d i t om de programma-onderdelen goed
t e kunnen p l a a t s e n .
Men v i n d t i n het stroomdiagram op b i j l a g e h de s t r u c t u u r t e r u g van
het g l o b a l e rekenschema van f i g , 1 1 , Het stroomdiagram bevat 3 l u s s e n ,
een w e e r s t a n d s - l u s , een x - l u s en een t - l u s . De x - en t - l u s v i n d t men ook
i n f i g , 1 1 , Door de w e e r s t a n d s - l u s i s het m o g e l i j k een bepaalde b e r e k e n i n g
voor een a a n t a l v e r s c h i l l e n d e waarden van de ruwheidsmaat a a c h t e r e l k a a r
u i t t e v o e r e n .
Thans z u l l e n we het schema s t a p voor s t a p v o l g e n , d a a r b i j g e b r u i k makend
van de o m c i r k e l d e c i j f e r s op b i j l a g e 4 ,
- ( 3 ^ en ( 3 9 ) S a m e n s t e l l i n g van de i n v o e r ,
I n h et programma worden a c h t e r e e n v o l g e n s i n g e v o e r d :
PER = g o l f p e r i o d e T.
COTALFA = cotano<:, d . i . de r e c i p r o k e waarde van de t a l u d h e l l i n g .
DELTAX = de o n d e r l i n g e a f s t a n d t u s s e n de d i s c r e t e punten op het
t a l u d A x .
XMAX = t o t a a l a a n t a l d i s c r e t e punten ( u i t g e z o n d e r d het punt
t , p , v , X = 0 ) waarmee het t a l u d b e l e g d i s ,
DELTAT = de t i j d s t a p t u s s e n twee opvolgende t i j d s t i p p e n waarop
de g o l f t o n g wordt berekend A t .
TMAX = t o t a a l a a n t a l t i j d s t a p p e n A t , dat t i j d e n s de b e r e k e n i n g
moet v/orden genomen.
P = a a n t a l t i j d s t i p p e n per g o l f p e r i o d e waarop de g o l f t o n g
moet worden a f g e d r u k t ,
KBEG = p l a a t s van de marker M op het t a l u d op het b e g i n t i j d -
s t i p t = O ( b e g i n v o o r w a a r d e ) .
VMARKBEG = s n e l h e i d van de u i t e r s t e w a t e r t i p (M) op h e t t i j d s t i p
t = O ( b e g i n v o o r w a a r d e ) .
De symbolen i n h e t computerprogramma z i j n u i t s l u i t e n d i n h o o f d l e t t e r s , • •)
De p l a a t s van de w a t e r t i p , d i e h i e r wordt i n g e l e z e n , i s n i e t u i t g e d r u k t i n A x .
- 3 4 -
HBEÜIN [ o : r ] = w a t e r l a a g d i k t e n i n de d i s c r e t e punten op het t a l u d
op het b e g i n t i j d s t i p t = O ( b e g i n v o o r w a a r d e ) ,
VBEGIN [ o : R ] = d e e l t j e s s n e l h e d e n i n de d i s c r e t e punten op h o t t a l u d
op het b e g i n t i j d s t i p , t = O (beg i n v o o r v / a a r d o ) .
HO O:ïPER-1 = a l s p e r i o d i e k e randvoorwaarde t , p , v . x = O gegeven
w a t e r l a a g d i k t e n gedurende a l l e t i j d s t i p p e n ( f a s e n )
van de g o l f p e r i o d e (TPER = a a n t a l t i j d s t a p p e n At per
g o l f p e r i o d e )
PRIMTT [ l : P ] = t i j d s t i p p e n ( f a s e n ) waarop voor i e d e r e g o l f p e r i o d e de
g o l f t o n g e n moeten worden a f g e d r u k t , u i t g e d r u k t i n A t .
Voor h e t l a a t s t e t i j d s t i p u i t de r e e k s moet de waarde
O worden opgegeven, d i t l a a t s t e b e w e r k s t e l l i g t dat de
g o l f t o n g e n op de gehele p e r i o d e n worden a f g e d r u k t .
A = maat voor de ruwheid van het t a l u d .
Ter a f s l u i t i n g van de g e t a l l e n r e e k s wordt het g e t a l 1 opgegeven, men
kan e c h t e r ook het g e t a l O geven g e v o l g d door een nieuwe waarde van A.
De b e r e k e n i n g wordt dan h e r h a a l d voor deze nieuwe A-waarde. D i t kan
men voor een reeks van A-waarden doen ( h i e r t o e d i e n t de w e e r s t a n d s - l u s ) ;
t e n s l o t t e wordt de g e t a l l e n b a n d door het g e t a l 1 a f g e s l o t e n . Er wordt
op gewezen dat de waarden voor DELTAX, DELTAT, F.BEG, VMARKBEG, HBEGIN,
VBEGIN, HO en A i n d i m e n s i e l o z e vorm moeten worden i n g e v o e r d .
(2^ H i e r worden twee grootheden berekend d i e de bovengrenzen v a s t l e g
gen van de a r r a y ' s , d i e onder (k^ worden v e l g e l e z e n .
R i s de p l a a t s van het d i s c r e t e punt d i r e k t onder de marker M op h e t
t a l u d , u i t g e d r u k t i n Ax, op het b e g i n t i j d s t i p t = O,
TPER i s het a a n t a l t i j d s t a p p e n per g o l f p e r i o d e , h i e r b i j i s DELTAT de
door d e l i n g door de g o l f p e r i o d e d i m e n s i e l o o s gemaakte t i j d s t a p A t .
(3^ Berekend worden h i e r een a a n t a l c o n s t a n t e n d i e v e r d e r i n het p r o
gramma v e e l v u l d i g worden g e b r u i k t .
PHIG ( 0 ^ ) i s g e l i j k aan - s i n o c ( z i e ( 4 . 1 ) ) , voor de b e r e k e n i n g van
s i n a wordt g e b r u i k gemaakt van de i n g e l e z e n waarde van cotano < ,
GONST i s g e l i j k aan 1 7- = ^ A .
COS i s de cosoc-term, deze wordt berekend a l s -(-sinoO• cotanoc.
(7^ Ken i s nu de l a b e l NWEERST, d i e het b e g i n van de w e e r s t a n d s l u s
m a r k e e r t , gepasseerd. Aan een a a n t a l g r o o theden worden initiële waar
den gegeven.
„ 3 5 -
SOMINV i s de over a l l e voorgaande t i j d s t a p p e n gesommeerde h o e v e e l
h e i d i n g e v o e r d v/ater door de doorsnede x = 0, deze v/ordt h i e r g e l i j k
aan n u l gemaakt.
TEL i s een t e l g r o o t h e i d d i e wordt g e b r u i k t b i j het v a s t s t e l l e n van
het moment waarop de g o l f t o n g moet worden a f g e d r u k t , deze k r i j g t a l s
beginwaarde 1 .
TPH ( = f a s e ) g e e f t het t i j d s t i p b i n n e n een g o l f p e r i o d e aan u i t g e d r u k t
i n A t . Deze g r o o t h e i d k r i j g t h i e r de waarde O,
De waarde van VMARKBEG (begi n v o o r w a a r d e ) wordt aan VMARK toegekend.
MACT en MOUD k r i j g e n de waarde MBEG/DELTAX, h i e r b i j i s MBEG de p l a a t s
van de marker op het b e g i n t i j d s t i p t = O ( b e g i n v o o r w a a r d e ) . Merk op
dat MACT en MOUD de p l a a t s van de marker weergeven u i t g e d r u k t i n A x .
R i s de p l a a t s van he t d i s c r e t e punt d i r e k t onder de marker M op het
t a l u d , u i t g e d r u k t i n A x . ( D e z e l f d e waarde van R i s ook reeds berekend
onder ( 2 ) , het i s e c h t e r noodzaak dat R i e d e r e keer wanneer de l a b e l
NWEERST wordt gepasseerd, z i j n initiële waarde weer t e r u g k r i j g t ) .
Voor de d i s c r e t e punten O t/m R op het t a l u d worden de b e g i n v o o r
waarden HBEGIN en VBEGIN toegekend aan r e s p . HACT, HOUD en VACT, VOUD.
-(9^ Berekend wordt h i e r de h o e v e e l h e i d geborgen water op het t a l u d boven
de doorsnede x = O op het b e g i n t i j d s t i p t = O, De•berekening van de
h o e v e e l h e i d geborgen water .vin d t p l a a t s i n de procedure BERGING, waar
van men het stroomschema v i n d t op b i j l a g e 5 onderaan. De b e r g i n g wordt
berekend ( z i e f i g . 1 8 )
'O
F i g . 1 8 , B e r e k e n i n g h o e v e e l h e i d geborgen water op het t a l u d ,
met de f o r m u l e :
BERGING
R - 1
i h ( 0 ) + 2 h ( n ) + |h(R) + i h ( R ) ( M - R )
. n = 1
A X . . . . ( 4 . 5 6 )
De procedure BERGING onderaan op b i j l a g e 5 s p r e e k t , i n d i e n men d a a r b i j
de f o r m u l e ( ' + , 5 6 ) voor ogen h o u d t , voor z i c h z e l f .
De waarde d i e voor de b e r g i n g op het b e g i n t i j d s t i p wordt berekend,
wordt toegekend aan BBEG. Tevens wordt de waarde voor de b e r g i n g t o e -
kend aan BACT en BOUD.
- 3 6
en ( 1 2 ) , Men kornt nu i n de t - l u s , h i e r i n v/ordon de g o l f t o n g e n
voor de opvolgende t i j d s t i p p e n berekend. B i j het d o o r l o p e n van de
t i j d l u s wordt t (= de t i j d u i t g e d r u k t i n de t i j d s t a p A t ) i e d e r e keer
met 1 verhoogd.
Naast' h e t a b s o l u t e t i j d s t i p i n de b e r e k e n i n g i s ook van b e l a n g de
fase b i n n e n de g o l f p e r i o d e . Daartoe d i e n t de i d e n t i f i e r T P H . I e d e r e
keer wanneer men de t - l u s éénmaal d o o r l o p e n h e e f t wordt T P H met 1
verhoogd, v e r v o l g e n s wordt gekeken o f T P H g e l i j k i s aan het t o t a a l
a a n t a l t i j d s t a p p e n per g o l f p e r i o d e T P E R . I n d i e n d i t zo i s dan wordt
T P H g e l i j k aan n u l gemaakt, d.w.z. men b e v i n d t z i c h aan het b e g i n van
de volgende g o l f p e r i o d e .
, ( 1 ^ en . Berekenin.i^^ü^un^
De w a t e r l a a g d i k t e t . p . v , x - O HACT [ o ] k r i j g t de waarde H O [ t P H ] , d i t
i s de a l s randvoorwaarde bekende waarde van de w a t e r l a a g d i k t e i n de
b e t r e f f e n d e fase van de g o l f p e r i o d e .
V e r v o l g e n s wordt de d e e l t j e s s n e l h e i d t . p . v . x = O berekend, h i e r v o o r
g e l d t v e r g e l i j k i n g ( ' f , 2 9 ) .
A l v o r e n s op de b e r e k e n i n g van deze d e e l t j e s s n e l h e i d i n t e gaan, d i e n t
op deze p l a a t s a l l e r e e r s t t e worden opgemerkt d a t vanwege de r e k e n e f f i
ciëntie i n het gehele r e k e n p r o c e s g e b r u i k gemaakt wordt van de n o t a t i e
d i e men v i n d t i n f i g . 1 9 .
•f 1 f 1-I I I I
« é é
il
H^ HM HR .
I I I I I I 1 AX. K /»X I
HL = NoudLx-Ü
Ht1= UoudExJ
J
X-/
VL
Vflcrlxl —-^ --r
I 1
VM VR
I I I I
^X_^^X_»^ I I
VL = VoudCx-iJ
V/1= VOUD [xl
VR = VOUD Lx-nl
X-l x+t
F i g , 1 9 , Rekenmoleculen voor de b e r e k e n i n g van HACT en VACT i n
algemeen p u n t .
Voor de b e r e k e n i n g van de w a t e r l a a g d i k t e en de d e e l t j e s s n e l h e i d op een
volg e n d t i j d s t i p i n een algemeen punt g e l d e n de rek e n m o l e c u l e n u i t
f i g . 1 9 , H A C T [ x ] en VACT [ x ] worden berekend u i t HL, HM, H R , VL, VM en
VR,
3 7 -
We hebben h i e r t e maken met de b e r e k e n i n g van VACT[oj, D a a r b i j wordt
ook de genoemde n o t a t i e t o e g e p a s t . Het punt waar V L en H L g e l d e n o n t
b r e e k t h i e r b i j . HK en V K gelden t . p . v . het punt x O en HR en VR
gelden t . p . v . het punt x ^ 1 . B i j @ z i e t men de t o e k e n n i n g van de
waarden aan HM, HR, VM en VR; tev e n s wordt voor \/hOUD [ l ] / C O S a l s k o r t
s c h r i f t WH i n g e v o e r d .
De f o r m u l e voor V A C T [ o ] b i j ( T B ) komt overeen met v e r g e l i j k i n g ( 4 , 2 9 ) .
De waarde van W i n de fo r m u l e wordt berekend i n de procedure d i e men
v i n d t op b i j l a g e 5 bovenaan. Er worden daar twee proc e d u r e s voor W
gegeven. I n de e e r s t e ( T ) wordt a l l e r e e r s t de coëfficiënt van Chêzy
berekend v o l g e n s v e r g e l i j k i n g ( 4 , 1 8 ) , HG komt h i e r i n overeen met
-i ( h ^ + h'^"^''), d , i , de w a t e r l a a g d i k t e ongeveer halverwege h e t oude en k k
het nieuwe t i j d s t i p . V ervolgens wordt de waarde van W berekend, d i e
overeenkomt met de W z o a l s d i e i s i n g e v o e r d i n v e r g e l i j k i n g ( 4 , 1 7 ) ,
I n de tweede procedure (2^ voor de b e r e k e n i n g van W op b i j l a g e 5
wordt W = O gemaakt, deze procedure wordt g e b r u i k t i n het g e v a l er
zonder w r i j v i n g wordt gerekend.
( 1 6 ) , ( T t ) , (lS) en ( 1 9 ) . Berekening_algemeen_£unt
Men komt nu bin n e n de x - l u s , h i e r i n worden de w a t e r l a a g d i k t e n en d e e l
t j e s s n e l h e d e n berekend voor de algemene punten op het t a l u d van
X = 1 t/m R - 1 . I n d i e n er t i j d e n s deze b e r e k e n i n g i n de x - l u s voor
een bepaalde waarde van x < R~1 een n e g a t i e v e o f zeer k l e i n e w a t e r l a a g
d i k t e wordt gevonden dan wordt de waarde van x met 1 v e r m i n d e r d en
wordt de b e r e k e n i n g b i j het l a b e l E X T R A P O L v o o r t g e z e t .
I e d e r e keer dat de x - l u s wordt d o o r l o p e n s c h u i v e n de reke n m o l e c u l e n u i t
f i g . 1 9 één p l a a t s naar r e c h t s . B i j ( g ) z i e t men dat de d a a r b i j beho
rende nieuwe waarden aan H L , HM, HR, V L , VM en VR worden toegekend.
B i j ^ wordt de nieuwe w a t e r l a a g d i k t e H A C T [ X ] berekend o v e r e e n k o m s t i g
v e r g e l i j k i n g ( 4 , 1 3 ) ,
B i j ( 1 8 ) wordt de w a t e r l a a g d i k t e HG berekend, d i e ongeveer halverwege
het nieuwe en het oude t i j d s t i p g e l d t . Deze waarde wordt g e b r u i k t b i j
de b e r e k e n i n g van de weerstandsterm W i n de p r o c e d u r e .
Er z i j nu twee omstandigheden w a a r b i j de b e r e k e n i n g i n de l u s wordt
a f g e k a p t . De e e r s t e i s wanneer er een n e g a t i e v e w a t e r l a a g d i k t e wordt,
berekend, de tweede i s i n d i e n de w a t e r l a a g d i k t e HG k l e i n e r i s dan 2A,
I n d i t l a a t s t e g e v a l v i n d t men zeer o n r e a l i s t i s c h e waarden voor de
weers t a n d . De b e r e k e n i n g wordt i n deze g e v a l l e n , nadat x met 1 i s v e r
l a a g d , v o o r t g e z e t t , p . v , de l a b e l EXTRAPOL.
- 38 -
I n h e t g e v a l de b e r e k e n i n g gewoon d o o r l o o p t wordt b i j (19) de nieuwe
d e e l t j e s s n e l h e i d VACT [ x ] berekend overeenkomstig v e r g e l i j k i n g ('u2'0.
-(20) , (21) , (22) , (23) en (SM) . Berekening_2unt _ t . p. v.
A l l e r e e r s t wordt h et reke n m o l e c u u l één p l a a t s naar r e c h t s verschoven,
HL, HM, VL en VM k r i j g e n hun nieuwe waarde b i j (20) . Waarden voor HR
en VR o n t b r e k e n , daar het r e c h t e r punt i n d i t g e v a l wordt gevormd door
MOUD dat op een a f s t a n d < ax vanaf het m i d d e l s t e punt l i g t . Het r e k e n -
m o l e c u u l i s a s y m e t r i s c h .
B i j @ worden berekend waarden voor A1, A2 en A3 overeenkomstig v e r
g e l i j k i n g ( 4 , 3 6 ) .
B i j (zz) wordt de nieuwe w a t e r l a a g d i k t e H A C T [ r ] berekend v o l g e n s v e r
g e l i j k i n g ( 4 . 3 9 ) .
De waarde van H G , g e b r u i k t b i j berekenen van de weerstandsterm W i n de
pro c e d u r e , wordt berekend b i j ( 2 3 ) .
I n d i e n nu de w a t e r l a a g d i k t e n e g a t i e f o f t e k l e i n i e , dan w o r d t , even
a l s b i j de b e r e k e n i n g van een algemeen p u n t , de waarde van x met 1
v e r l a a g d en de b e r e k e n i n g wordt b i j de l a b e l EXTRAPOL v o o r t g e z e t . Zo
n i e t dan wordt b i j (z^ de nieuwe d e e l t j e s s n e l h e i d V A C T [ r ] berekend,
t i g de v e r g e l i j k i n g ( 4 . 4 2 ) .
- (25) , @ 1 (27) , @ . (§) en ( S o ) . Berekening_bovenBte_gedeel^
w a t e r t o n g .
We z i j n nu de l a b e l EXTRAPOL gepasseerd. Men kan op d i t punt op d r i e
v e r s c h i l l e n d e manieren komen met v e r s c h i l l e n d e waarde van x.
A l l e r e e r s t wordt b i j (25) de nieuwe p l a a t s van de marker, MACT berekend
v o l g e n s v e r g e l i j k i n g ( 4 . i h 4 ) . Mocht de berekende waarde van MACT k l e i n e r
z i j n dan x (hetgeen t h e o r e t i s c h m o g e l i j k i s ) dan wordt een s t a p t e r u g
gedaan, o f w e l x wordt met 1 v e r l a a g d en de waarde van MACT wordt op
nieuw berekend.
V e r v o l g e n s wordt de nieuwe waarde van R berekend b i j (zè) .
B i j ^ 7 ) worden twee grootheden berekend d i e v e r d e r i n de b e r e k e n i n g
van de d e e l t j e s s n e l h e d e n i n het bovenste g e d e e l t e van de w a t e r t o n g
voorkomen,
VMARK i s de s n e l h e i d van het oplopende ( o f t e r u g l o p e n d e ) g o l f f r o n t , z i e
v e r g e l i j k i n g ( 4 . 5 5 ) . öh ^
DHDT i s de v e r k o r t e s c h r i j f w i j z e voor de u i t d r u k k i n g » z i e de v e r
g e l i j k i n g ( 4 . 5 4 ) .
- 3 9 - •
I n d i e n nu de nieuwe waarde van R g r o t e r i s dan x ( b i j h et passeren van
de l a b e l EXTRAPOL) dan worden de w a t e r l a a g d i k t e n en d e e l t j e s s n e l h e d e n
i n de w a t e r t o n g berekend voor de d i s c r e t e punten x f l t/m R.
B i j (2È) worden berekend Dl en D2, deze komen overeen met de waarden
van d^ en d2 i n f i g . 17. DS i s de som Dl +D2, DV i s het v e r s c h i l
D1-D2.
B i j ^ 9 ) worden d@ nieuwe w a t e r l a a g d i k t e n berekend v o l g e n s v e r g e l i j k i n g
( 4 , 4 5 ) .
De nieuwe d e e l t j e s s n e l h e d e n worden v o l g e n s v e r g e l i j k i n g ( 4 . 5 3 ) berekend
b i j ( 3 0 ) * \
- ( ^ , ( 3 2 ) en ( 3 3 ) . A l l e r e e r s t wordt de h o e v e e l h e i d geborgen w a t e r boven
de doorsnede x = O berekend voor d i t nieuwe t i j d s t i p , d i t i s BACT,
D a a r b i j wordt g e b r u i k gemaak.t van de procedure BERGING.
Berekend wordt v e r v o l g e n s de h o e v e e l h e i d water d i e i n de t i j d s t a p At
door de doorsnede x = O i s i n g e v o e r d . A a n s l u i t e n d wordt deze INVOER
b i j SOf''.INV ( d i t i s de over a l l e voorgaande t i j d s t a p p e n gesommeerde
h o e v e e l h e i d i n g e v o e r d w a t e r ) o p g e t e l d .
-(3y Gekeken wordt o f de w a t e r t o n g op d i t moment moet worden a f g e d r u k t ,
vandaar de vra-ag o f T P H g e l i j k i s aan P R I N T t [ t E l ] . I n d i e n d i t zo i s
dan wordt gevraagd o f T E L g e l i j k i s aan het t o t a a l a a n t a l p r i n t t i j d e n
P , Zo j a dan wordt T E L g e l i j k aan 1 gemaakt (men s t a a t dan weer aan
het b e g i n van de nieuwe g o l f p e r i o d e ) , zo n i e t dan wordt T E L met 1 v e r
hoogd. De w a t e r t o n g wordt i n be i d e g e v a l l e n a f g e d r u k t .
• ( 3 0 ) en ( 3 7 ) . Op deze p l a a t s e n worden de waarden d i e behoren b i j de
g o l f t o n g op het a c t u e l e moment MACT, BACT, H A C t [ o : r ] en V A C t [ 0 : r ] t o e
gekend aan r e s p . KOUD, BOUD, H 0 ü d [ 0 : r J en V O U d [ o : r ] . H i e r d o o r komen de
a c t u e l e p l a a t s e n weer v r i j voor de volgende t i j d s t a p . D i t i s eenvoudig
een k w e s t i e van r e k e n t e c h n i e k .
• ( E ) ' ( 1 0 ) en ( 3 5 ) . S a m e n s t e l l i n g van de u i t v o e r .
Een v o o r b e e l d van een g e d e e l t e l i j k e u i t v o e r van het computerprogramma
v i n d t men op b i j l a g e 8 .
Op deze p l a a t s i s er een f o u t i n het computerprogramma g e s l o p e n , de fo r m u l e b i j (Sd) komt n i e t geheel overeen met v e r g e l i j k i n g ( 4 . 5 3 ) .
D i t i s wel h e r g e v a l i n d i e n men VMARK i n ( 3 0 ) d e e l t door DELTAX. D i t z a l i n een volgende v e r b e t e r d e v e r s i e van het computerprogramma moeten worden g e c o r r i g e e r d .
B i j worden de invoergegevens, behalve A, a f g e d r u k t . Men v i n d t d i t
op b i j l a g e 8 b l a d 1. Bovenaan v i n d t men de g o l f p e r i o d e T (waarmee de
t i j d d i m e n s i e l o o s i s gemaakt) en v e r d e r gT en gT' (waarmee de s n e l h e
den en le n g t e m a t e n d i m e n s i e l o o s z i j n gemaakt). Dan v o l g e n daaronder
de invoergegevens, deze spreken voor z i c h z e l f .
B i j (S^ wordt de waarde van A a f g e d r u k t , deze v i n d t men op b l a d 2
bovenaan.
Dan v o l g t b i j (10) het a f d r u k k e n van de g o l f t o n g op het t i j d s t i p t = O,
d i t i s de e e r s t e w a t e r t o n g d i e men a f g e d r u k t z i e t op b i j l a g e 8 , b l a d 2 ,
Tevens i s d a a r b i j de waarde van de h o e v e e l h e i d geborgen water boven de
doorsnede x = O vermeld, d i t i s BERGING (deze waarde i s g e l i j k aan BBEG),
B i j (^5) v/orden de g o l f t o n g e n i n de gev/enste f a s e n van de g o l f p e r i o d e
a f g e d r u k t , men v i n d t deze op de bladen 2 , 3, 4 en 3 - . B i j i e d e r van deze
a f g e d r u k t e g o l f t o n g e n v i n d t men het t i j d s t i p T, Daarnaast XE, d i t i s
het d i s c r e t e punt op het t a l u d v/aarboven het bovenste g e d e e l t e van de
w a t e r t o n g wordt berekend ( h e t i s de waarde van x b i j h e t passeren van
de l a b e l EXTRAPOL),
Dan v o l g t de p l a a t s van de marker M en de s n e l h e i d van deze u i t e r s t e
w a t e r t i p VMARK. Voor de d i s c i ' o t e punten op het t a l u d worden gegeven
de p l a a t s X, de w a t e r l a a g d i k t e H, de d e e l t j e s s n e l h e i d V en het d e b i e t
Q = H.V. Verder worden gegeven de b e r g i n g , de toename van de b e r g i n g
i n de b e t r e f f e n d e t i j d s t a p (= BACT-BOUD), de h o e v e e l h e i d i n g e v o e r d wa
t e r i n de t i j d s t a p (=IHVOER), de som van de toename van de b e r g i n g
over a l l e voorgaande t i j d s t a p p e n (= BACT-BBEG) en de som van de hoe
v e e l h e i d i n v o e r over a l l e voorgaande t i j d s t a p p e n (=S0MINV)„
Er wordt op gev/ezen dat a l l e u i t g e v o e r d e v/aarden d i m e n s i e l o o s z i j n .
. i n .
5 , R E S U L T A T E N N U M E R I E K E G O L F O P L O O P M O D E L
M e t h e t b e s c h r e v e n c o m p u t e r p r o g r a m m a G01 z i j n een a a n t a l b e r e k e
n i n g e n u i t g e v o e r d , w a a r v a n e r h i e r o n d e r e e n t w e e t a l w o r d e n b e s p r o k e n »
I n d e e e r s t e b e r e k e n i n g w o r d t g e p r o b e e r d d e r e s u l t a t e n v a n e e n p r o e f
[ l ] ^ ® r e k e n e n . D e r a n d v o o r w a a r d e w o r d t d a a r b i j t . p . v . h e t p u n t
v a n s t i l w a t e r n i v e a u o p h e t t a l u d o p g e l e g d .
D e t w e e d e b e r e k e n i n g b e t r e f t e e n f i c t i e f g e v a l . H i e r b i j w o r d t d e r a n d
v o o r w a a r d e o p g e l e g d i n h e t w a t e r v o o r h e t t a l u d ,
( b e r e k e n i n g 1)
I n d e z e b e r e k e n i n g i s g e t r a c h t d e w a t e r b e w e g i n g o p h e t t a l u d ,
z o a l s d i e i s g e m e t e n b i j p r o e f 6 , t a l u d 1 : 5 u i t [ l ] , m e t h e t c o m p u t e r
p r o g r a m m a n a t e r e k e n e n . D e b e g i n - e n r a n d v o o r w a a r d e n z i j n d a a r b i j a a n
d e r e s u l t a t e n v a x i d e g e n o e m d e p r o e f o n t l e e n d . D e r e s u l t a t e n v a n d e z e
b e r e k e n i n g v i n d t m e n o p d e b i j l a g e n 9 e n 10,
D e b e g i n v o o r w a a r d e n v i n d t m e n o p d e b i j l a g e 10 i n h e t m i d d e n
b o v e n a a n . D a a r n a a s t l i n k s v i n d t m e n d e p e r i o d i e k e r a n d v o o r w a a r d e t . p . v ,
X = O, d i t i s h e t g e m e t e n v e r l o o p v a n d e w a t e r s t a n d t . p . v . h e t p u n t
v a n s t i l w a t e r n i v e a u o p h e t t a l u d i n d e p r o e f . E e n a a n t a l a a n v u l l e n d e
g e g e v e n s v i n d t m e n o p b i j l a g e 9 , z o a l s d e t a l u d h e l l i n g , d e g o l f p e r i o d e ,
d © w a a r d e n v a n A x e n A t e n d e t w e e a a n v u l l e n d e b e g i n v o o r w a a r d e n n l . ^ d e
p l a a t s v a n d e m a r k e r M e n d e s n e l h e i d v a n d e z e m a r k e r o p h e t b e g i n t i j d -
s t i p t = O ,
O p d e z e b i j l a g e 9 v i n d t m e n d e p l a a t s v a n d e u i t e r s t e w a t e r t i p ( M ) o p
h e t t a l u d a l s f u n k t i e v a n d e d i m e n s i e l o z e t i j d o v e r e e n v i j f t a l g o l f -
p e r i o d e n . D e d u n n e s t r e e p l i j n i s h e t v e r l o o p z o a l s d a t i n d e m e t i n g e n
v a n d e p r o e f i s g e v o n d e n . D e b e i d e d i k k e l i j n e n g e v e n h e t v e r l o o p v a n
d e b e r e k e n d e p l a a t s v a n d e w a t e r t i p . D e g e t r o k k e n l i j n g e l d t v o o r e e n
b e r e k e n i n g z o n d e r w e e r s t a n d ( d e w r i j v i n g s t e r m i s d a a r b i j g e l i j k a a n n u l ) ,
b i j d e g e s t r e e p t e l i j n i s g e r e k e n d m e t w e e r s t a n d , v o o r d e d i m e n s i e l o z e
m a a t v a n d e r u w h e i d v a n h e t t a l u d i s 0,00001 g e n o m e n . D i t k o m t o v e r e e n
m e t e e n w a a r d e v o o r a v a n 0 , 2 m m . M e n z i e t d a t h e t v e r l o o p v a n d e p l a a t s
v a n d e u i t e r s t e w a t e r t i p a l s f u n k t i e v a n d e t i j d w a t v o r m b e t r e f t e e n
r e d e l i j k e o v e r e e n k o m s t v e r t o o n t m e t h e t g e m e t e n v e r l o o p . D e b e r e k e n d e
w a t e r t o n g e n l o p e n e c h t e r n i e t v e r g e n o e g t e g e n h e t t a l u d o p . D e o p l o o p
d i e w o r d t b e r e k e n d i s e e n f a k t o r 2 , 5 k l e i n e r d a n d e g e m e t e n w a a r d e n v a n
d e o p l o o p .
De g o l f t o n g e n d i e z i j n berekend i n het g o v a l met w e e r s t a n d worden voor f
3 , 0 < - < 4 . 0 weergegeven op b i j l a g e 1 0 ,
Geconcludeerd kan worden dat deze b e r e k e n i n g van de g o l f o p l o o p
k w a l i t a t i e f een r e d e l i j k r e s u l t a a t g e e f t . K w a n t i t a t i e f i s de berekende
g o l f o p l o o p e c h t e r n i e t j u i s t , de berekende maximale g o l f o p l o o p i s ean
f a k t o r 2 ^ 5 t e k l e i n , We z i j n dus nog n i e t i n s t a n t de g o l f o p l o o p op een
bevredigende w i j z e na t e rekenen.
5 , 2 Randvoorwaarde i n h e t w a t e r ^voor^het_^talud__(b0reken
B i j deze tweede b e r e k e n i n g w o r d t de g o l f o p l o o p berekend voor een
f i c t i e f g e v a l . De randvoorwaarde wordt h i e r b i j opgelegd op enige a f s t a n d
van h e t punt waar h e t s t i l w a t e r n i v e a u het t a l u d s n i j d t . De r e s u l t a t e n
van deze b e r e k e n i n g v i n d t men op de b i j l a g e n 1 1 en 1 2 .
Men moet z i c h b i j deze t o e p a s s i n g van het rekenmodel wel r e a l i s e r e n d a t
de waterbeweging i n h e t g e b i e d waar de golven breken w o r d t beschreven
door de l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n , waaraan de d i f f u s i e - a c h t i g e termen
z i j n toegevoegd. Het i s de v r a a g i n hoeverre d i t g e r e c h t v a a r d i g d i s , -De
waarde van d i t type berekeningen met het g o l f o p l o o p r a o d e l moet men dan
ook n i e t t e hoog s c h a t t e n . Het model i e n i e t ontworpen met h e t oog op
d i t t y p e b e r e k e n i n g e n , men moet deze t o e p a s s i n g dan ook z i e n a l s een
i l l u s t r a t i e van de e v e n t u e l e m o g e l i j k h e d e n ^
A l s beginvoorwaarde g e l d t d a t h s t water volkomen s t i l s t a a t , do
w a t e r l a a g d i k t e n worden gevonden u i t de p l a a t s van h e t s t i l w a t e r n i v e a u
en de d e e l t j e s s n e l h e d e n z i j n o v e r a l g e l i j k aan n u l ( z i e b i j l a g e 1 2 , b l a d
^ .-.j j! .1 .. _ 1 . „„.-, fli,« ïfot-, -u- - n •emvA'r n 1 R t - i A r>ï nd 1 f>k« f»nnd — I , l U X U U t ^ l i u u V C i i c t C A A A / O ^ A p . i . c i t - \ o s : » \> v ï . » . * * — ^ . . w i . - , ^ . ^ ^ w .
voorwaarde op h e t s t i l w a t e r n i v e a u een i n de t i j d s i n u s v o r m i g v e r l o p e n
de w a t e r s t a n d opgelegd (zi<3 b i j l a g e 1 2 , b l a d 1 , l i n k s bovenaan). Op b i j
lag© 1 1 v i n d t men nog een a a n t a l a a n v u l l e n d e gegevens, z o a l s de t a l u d -
h e l l i n g , do g o l f p e r i o d e , de waarden van ax en At en de twee a a n v u l l e n d e
beginvoorwaarden n l , de p l a a t s van de marker M on de s n e l h o i d van deze
marker op h e t b e g i n t i j d s t i p t = O, Er i s gewerkt zonder w r i j v i n g s t e r m ,
dus de weerstand i s n u l .
I n d i e n men de v a r i a t i e van de w a t e r s t a n d t . p . v . x O, d i e a l s r a n d
voorwaarde w o r d t opgelegd, a l s de r e g i s t r a t i e van een i n v a l l e n d e g o l f
o p v a t , dan v i n d t men voor d i e g o l f een hoogte H van 0 , 2 0 m en een g o l f
l e n g t e op d i e p w a t e r van 1 , 6 0 m. De g o l f s t e i l h e i d i s dus H/L^ = 0 , 1 2 5 ,
d i t i s een zeer g r o t e s t e i l h e i d .
Het v e r l o o p van de p l a a t s van de u i t e r s t e w a t e r t i p op h e t t a l u d a l s
- 'O -
f u n k t i e van de d i m e n s i e l o z e t i j d over een t i e n t a l g o l f p e r i o d e n v i n d t
men op b i j l a g e 1 1 . Men z i e t h i e r u i t dat de e e r s t e aankomende g o l f h e t
hoogste o p l o o p t , daarna v i n d t men oploophoogten d i e d u i d e l i j k l a g e r
l i g g e n . O p v a l l e n d i s v e r d e r dat h e t v e r l o o p van de p l a a t s van de w a t e r ~
t i p na 1 0 p e r i o d e n nog n i e t p e r i o d i e k i s , maar d a t e r nog een s o o r t
g o l f met een g r o t e r e p e r i o d e i n h e t v e r s c h i j n s e l z i t . D i t zou t e maken
kunnen hebben met t e r u g k a a t s i n g op de randvoorwaarde t . p . v . x = O .
De berekende g o l f v o r m e n voor 0 < ~ ^ 2 « 0 en 8 . 0 < ~ ^ 1 0 . 0 v i n d t men op
b i j l a g e 1 2 , b l a d 1 , 2 en 3 »
De maximale g o l f o p l o o p d i e i n de b e r e k e n i n g wordt gevonden kan men v e r ~
g e l i j k e n met de oploophoogte d i e men v i n d t u i t de g o l f o p l o o p f o r m u l e van
Hunt, d i e g e l d t voor r e g e l m a t i g e g o l v e n d i e breken op h e t t a l u d
z = \ / h i / tan oc (z i s de maximale v o r t i k a l e oploophoogte boven h e t s t i l
w a t er n i v e a v i ) . Vat men de opgelegde randvoorwaarde op a l s de r e g i s t r a t i e
van een i n v a l l e n d e g o l f en v o o r t men de kenmerken van deze g o l f
(H = 0 . 2 0 m en L = 1 . 6 0 m) i n de f o r m u l e van Hunt i n , dan b l i j k t d a t de o
berekende g o l f o p l o o p h o o g t e oen f a k t o r 2 a 3 k l e i n e r i s dan de hoogte d i e
men op b a s i s van de f o r m u l e van Hunt v e r w a c h t .
B i j do b e r e k e n i n g van de g o l f o p l o o p wordt ook berekend do h o e v e e l
h e i d geborgen w a t e r boven de doorsnede x = O ( z i e h e t v o o r b e e l d van ds
u i t v o e r op b i j l a g e 8 ) , tevens worden berekend de toename van dez© ge
borgen h o e v e e l h e i d w a t e r en de h o e v e e l h e i d i n g e v o e r d w a t e r door de door
snede X = O gedurende i e d e r e t i j d s t a p . De over a l l e voorafgaande t i j d ~
s tappen gesommeerde toename van de h o e v e e l h e i d geborgen w a t e r en de over
a l l e voorafgaande t i j d s t a p p e n gesommeerde h o e v e e l h e i d i n g e v o e r d w a t e r ,
d i e eveneens worden berekend ( z i e b i j l a g e 8 ) , dienen op i e d e r t i j d s t i p
aan e l k a a r g e l i j k t e z i j n , d . w . z . h e t v e r s c h i l moet op i e d e r moment go-
l i j k aan n u l z i j n .
D i t b l i j k t b i j de r e s u l t a t e n van h e t programma n i e t h e t g e v a l t e z i j n .
Op b i j l a g e 1 3 i s i n de bovenste f i g u u r h e t v e r s c h i l t u s s e n de gesom
meerde i n v o e r en de gesommeerde toename van geborgen w a t e r tegen de d i
mensieloze t i j d u i t g e z e t . Naast h e t p e r i o d i e k e s l i n g e r e n d e v e r l o o p
(met de g o l f p e r i o d e ) z i e t men ook een v r i j w e l c o n s t a n t e toename van h e t
v e r s c h i l . Het s l i n g e r e n d e v e r l o o p kan worden toegeschreven aan h e t f e i t
dat de i n v o e r een s o o r t n a - i j l - e f f e k t v e r t o o n t . I n h e t b e g i n , o v e r de
e e r s t e p e r i o d e , z i e t men een s t e r k e toename van h e t v e r s c h i l , daarna
neemt h e t v e r s c h i l c o n s t a n t t o e , d . w . z . d a t e r c o n s t a n t meer w a t e r wordt
i n g e v o e r d dan er w o r d t geborgen boven de doorsnede x = O ,
Om t e onderzoeken waardoor d i t v e r s c h i l wordt v e r o o r z a a k t z i j n ook be-
- hk
rekend do over a l l e t i j d s t a p p e n gesommeerde toename van de h o e v e e l h e i d
geborgen w a t e r boven de doorsnede x - 2 A x en de over a l l e t i j d s t a p p e n
gesommeerde h o e v e e l h e i d i n g e v o e r d w a t e r door de doorsnede x = 2 Ax.
Het v e r s c h i l van beide i s op b i j l a g e ' 1 3 i n de o n d e r s t e f i g u u r u i t g e z e t .
Men z i e t opnieuw h e t z e l f d e p e r i o d i e k e s l i n g e r e n d e v e r l o o p . Ook de s t e r k e
toename i n h e t b e g i n , over de e e r s t e p e r i o d o , i s ongeveer g e l i j k ' , de
c o n s t a n t e toename van h e t v e r s c h i l i s e c h t e r v e e l k l e i n e r en v r i j w e l ge
l i j k aan n u l .
Hiermee i s de oorzaak van h e t c o n s t a n t e v e r s c h i l t u s s e n de i n g e v o e r d e en
de toename van de geborgen h o e v e e l h e i d w a t e r g e l o k a l i s e e r d . Het v e r s c h i l
moet worden gezocht i n de a f w i j k e n d e manier waarop do d e e l t j e s s n e l h e i d
t . p . v , X = O i n h e t computerprogramma wordt berekend. B l i j k b a a r w o r d t
d a a r b i j n i e t op de j u i s t e w i j z e aan de continuïteit v o l d a a n .
- 4 5 -
S A M E N V A T T I N G E N C O N C L U S I E S
O n t w i k k e l d i s e e n e e n v o u d i g m o d e l v o o r d e b e r e k e n i n g v a n p e r i o d i e k e
g o l f o p l o o p , d a t i s g e b a s e e r d o p d e b e s c h r i j v i n g v a n d e w a t e r b e w e g i n g o p
h e t t a l u d d o o r m i d d e l v a n d o n i e t - l i n e a i r e l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n , I n
d e z e l a n g e g o l f v e r g e l i j k i n g e n i s e e n w e e r s t a n d s t e r m o p g e n o m e n v o l g e n s
C h é z y .
T e n e i n d e t e o n d e r z o e k e n o f b e p a a l d e t e r m e n i n d e l a n g e - g o l f v e r g e
l i j k i n g e n k u n n e n w o r d e n v e r w a a r l o o s d e n o m i n z i c h t t e k r i j g e n i n d e r o l
v a n d e w r i j v i n g s t e r r a , z i j n t e r m e n v a n d e l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n b e
r e k e n d o p b a s i s v a n d e p r o e f r e s u l t a t e n u i t [ l J . D e z e b e r e k e n i n g e n l e v e r e n
g e e n b r u i k b a r e i n f o r m a t i e o p .
B i j d e o p z e t v a n h e t r e k e n s c h e m a i s g e k o z e n v o o r e e n d i f f e r e n t i e -
s c h e m a w a a r b i j e e n e x p l i c i e t e r e k e n m e t h o d e w o r d t g e b r u i k t . H e t o p l o p e n d e
g o l f f r o n t w o r d t n i e t g e ï s o l e e r d i n d e b e r e k e n i n g . N u m e r i e k e v e r g e l i j
k i n g e n z i j n a f g e l e i d v o o r d e w a t e r b e w e g i n g o p h e t t a l u d . H i e r b i j b l i j k t
d a t h e t r e k e n p r o c e s d o o r e e n b e p a a l d e n u m e r i e k e i n g r e e p s t a b i e l i s t e
m a k e n , d i e n e e r k o m t o p e e n t o e v o e g i n g v a n d i f f u s i e - a c h t i g e t e r m e n a a n d e
l a n g e - g o l f v e r g e l i j k i n g e n . D e z e n i e u w e v e r g e l i j k i n g e n b e s c h r i j v e n d e
w a t e r b e w e g i n g o p h e t t a l u d i n c l u s i e f d e b e w e g i n g v a n h e t o p l o p e n d e g o l f
f r o n t . S p e c i a l e v e r g e l i j k i n g e n z i j n a f g e l e i d v o o r h e t r a n d p u n t x = O e n
h e t b o v e n s t e g e d e e l t e v a n d e w a t e r t o n g o p h e t t a l u d .
D e r a n d v o o r w a a r d e n v a n h e t r e k e n m o d e l w o r d e n g e v o r m d d o o r e e n b e k e n d
p e r i o d i e k v e r l o o p v a n d e w a t e r l a a g d i k t e t . p . v . x = O e n h e t f e i t d a t
t e r p l a a t s e v a n d e v r i j o v e r h e t t a l u d b e w e g e n d e w a t e r t i p d e w a t e r l a a g
d i k t e s t e e d s n u l i s .
D e r e s u l t a t e n v a n h e t r e k e n m o d e l l a t e n z i © n d a t e r k w a l i t a t i e f © e n
r e d e l i j k e o v e r e e n k o m s t i s m e t d e p r o e f r e s u l t a t e n . D e b e r e k e n d e m a x i m a l e
g o l f o p l o o p b l i j k t e c h t e r e e n f a k t o r 2 a 3 t e k l e i n t e z i j n . M o g e l i j k e
o o r z a k e n h i e r v a n k u n n e n z i j n :
1. H e t r e k e n s c h e m a i s n i e t v e r f i j n d g e n o e g ,
2 , D e l a n g e g o l f v e r g e l i j k i n g e n b e s c h r i j v e n d e w a t e r b e w e g i n g o p h e t t a l u d
n i e t g o e d .
B i j d e v o o r t z e t t i n g v a n h e t o n d e r z o e k i s h e t n u t t i g d a t m e n z i c h d e z e
b e i d e p u n t e n g o e d r e a l i s e e r t .
I n e e r s t e i n s t a n t i e k a n m e n t r a c h t e n d o o r h e t a a n b r e n g e n v a n e n k e l e c o r
r e c t i e s o f v e r f i j n i n g e n o p h e t b e s c h r e v e n m o d e l b e t e r a a n d e p r o e f r e s u l
t a t e n t e v o l d o e n . L u k t d i t n i e t d a n k a n m e n d e n k e n a a n h e t m a k e n v a n
- 46 -
r e k e n m o d e l l e n d i e o p v e r f i j n d e r e r e k e n s c h e m a ' e z i j n g e b a s e e r d .
M o c h t o o k d a n g e e n o v e r e e n s t e m m i n g m e t d e p r o e f r e s u l t a t e n v / o r d e n g e v o n d e n
d a n w i j s t d i t e r o p ( i n d i e n m e n u i t g a a t v a n d e j u i s t h e i d v a n d e p r o e f
r e s u l t a t e n ) d a t d e w a t e r b e w e g i n g o p h e t t a l u d n i e t g o e d d o o r d e l a n g e -
g o l f v e r g e l i j k i n g e n w o r d t b e s c h r e v e n . M e n z a l d a n n a a r a n d e r e v e r g e l i j
k i n g e n m o e t e n z o e k e n v o o r d e b e s c h r i j v i n g v a n d e w a t e r b e w e g i n g o p h e t
t a l u d .
LITTERATUURLIJST
1 A, Roos;
E x p e r i m e n t e e l onderzoek naar h e t gedrag van tegen t a l u d s oplopende
r e g e l m a t i g e g o l v e n .
A f s t u d e e r v e r s l a g Technische Hogeschool D e l f t , o k t o b e r 1 9 7 2 .
2 ] J.J. S t o k e r ;
Water waves, Ch. 1 0 , >
I n t e r s c i e n c e P u b l i s h e r s , I n c . , New York, 1 9 5 7 .
3 ] J.C. Freeman en B, LeMéhauté;
Wave b r e a k e r s on a beach and surges on a di-y bed,
Proc. A.S.C.E. 9 0 , n r . HY 2 , maart 1 9 6 4 ,
k] M, Araein;
A method f o r d e t e r m i n i n g t h e b e h a v i o r o f l o n g waves c l i m b i n g a
s l o p i n g beach.
J o u r n , o f Geophysical Research Tl.» n r , 2 , j a n , I 9 6 6 .
5 A, Daubert en A, W a r l u z e l ;
Modèle mathematique non l i n e a i r e de l a p r o p a g a t i o n d'une h o u l e e t
de sa r e f l e x i o n s u r une p l a g e ,
Proc, 1 2 t h Congress I.A.H.R., F o r t C o l l i n s , C o l o r a d o , v o l . 4 , s e p t , I 9 6 7 .
6 ] G. T e r z i d i s en T, S t r e l k o f f ;
Computation o f open-channel s u r g e s and shocks.
Proc. A.S.C.E. 2 6 , n r . HY 1 2 , december 1 9 7 0 .
7 ] J.A. L i g g e t t en D.A. W o o l h i s e r ;
D i f f e r e n c e s o l u t i o n s o f t h e s h a l l o w - w a t e r e q u a t i o n .
Proc. A.S.C.E. n r . EM 2 , a p r i l 1 9 6 ? .
») SYMBOLENLIJST
Symbool V e r k l a r i n g Eenheden
a Maat voor de ru w h e i d van h e t t a l u d m
I n g e v o e r d symbool, z i e ( 4 , 5 6 ) «.
^ 2
I n g e v o e r d symbool, z i e ( 4 , 5 6 )
I n g e v o e r d symbool, z i e ( 4 , 5 6 )
c S n e l h e i d oplopend g o l f f r o n t (m/s)
C Coëfficiënt van Chézy
^^ Onderdeel van een lengtemaat g e d e f i n i e e r d i n
f i g . 1 7 «•
Onderdeel van een lengtemaat g e d e f i n i e e r d i n
f i g . 1 7
f Darcy-V/eisbach w r i j v i n g -
g V e r s n e l l i n g van de z w a a r t e k r a c h t / 2
m/s
h W a t e r l a a g d i k t e l o o d r e c h t op h e t t a l u d (m)
M P l a a t s van de u i t e r s t e w a t e r t i p op h e t t a l u d ,
u i t g e d r u k t i n Ax_
q W a t e r d e b i e t p e r b r e e d t e - e e n h e i d van h e t t a l u d - 2 , _
ra / ö
t • T i j d ( s )
V D e e l t j e s s n e l h e i d (m/s)
S n e l h e i d van de u i t e r s t e w a t e r t i p
W Deel van de w r i j v i n g s t e r m , g e d e f i n i e e r d i n ( 4 , 1 ? ) -X P l a a t s op h e t t a l u d (m)
oc H e l l i n g s h o e k van h e t t a l u d t , o , v , de h o r i z o n t a a l
Bepaalde grootheden komen i n h e t v e r s l a g zowel i n n i e t - d i m e n s i e l o z e a l s d i m e n s i e l o z e vorm voor . I n d i e g e v a l l e n worden de eenheden van h e t n i e t d i m e n s i e l o z e symbool t u s s e n ha a l t j e s g e p l a a t s t . Z i e voor de symbolen, d i e i n h e t computerprogramma worden g e b r u i k t , b i j
l a g e 7 .
- 4 9 -
Symbool V e r k l a r i n g E££i]l£den
A t Een k l e i n e toename van d e t i j d t . ( s )
A X Een k l e i n e toename van x, (fi')
. . A t
X H e t q u o t i e n t — A X
/O M a s s a d i c h t h e i d van water kg/m^
2 2 - S c h u i f s p a n n i n g t u s s e n h e t water en de bodem N/m
0 Z w a a r t e k r a c h t s t e r m , z i e ( 4 . 1 ) G
gS Weerstandsterm, z i e ( 4 , 2 )
en 3^ Ofmai^itr pfi hel- ^ t ^ ^ ^ ^ z J j ^ J ^ '' ^ - f>i-o<-f '/ / " / 7 •
34
hiaSial>a,la,HS
Jb ^ x Ceo fC
Opn<t^er 2 t . p . ( / . X= /I.-3 On.
t
O.o
0.1
o.l
p. 3
a.V
e>.s
o.(,
V
0. a
a;
1. a
l.l
- i . a
-t- o.g
+ I.S
•t-i. I
T i . i
+ i . i
-il.X
•i-0.8
-f-I.S
^I.J
-O.l
0< J t
Ci^/it^l
•I- H
- 0 . 8
- 2.0
- t Y
-Y.8
- H.o
-3.S
—>• Son,
+ !•$
-I.O
-0,1
-ho.é
- l . a
J ^ u T 1
-O.L
- l o l
- V i /
- i W i
+ 3s
- VVS
i-it • f
- /
•hii
•t-ls
- l i
- M
- S o
IS-
V- Jlo
3lo
i- 3lo
•I i l a
•t ilo
+ Slo
-/- 31c.
- 3i
- <93
- Li
- i r
- 3i
- l b s
- I OS
~ Z3Y
-4- IO ^ Z8S
•i-SéSo
•h IHoo
- <9ê
-
- l ^ o i
- salo
- l l l i o
t ^ 3X Oi i t Se>fn
St/ i t
of i / l ' / l / (ice) (C», /Ste.'-J
O.o
o.l - i L s ! _ ê.l ? •t IV.V
* - 10. s ->-i73
- i s 3 ? •I- 3 lo - l i L i f .
•Z- IPC? -I- z y i o
* - 0. o3J
o.i - I' o. s •t y.v - 3.0 - ' ' 7
^ N •i- 3io - 13L 1 -t / f ^ r - 0. 00/
O.i - 7-" •/- 1.3 t S.3 ^ i.L - sL •f Jo -t ilo - l o i i-ZV/ •1 iSio - 0. / 8 I
0.1 - V.i •f- 1.2. - O.L - i . j - i d + IB f i l o ~ 73 + i i / y^o -o.oVZ
- I.I •f- I.S + o.V •t 0,9 - ' / S i -h S i- 3/0 - SB - m + / o i +1. é f o
aé ^ 1.8 V
- y.j + o.i - ' f Z l - l i - L8 - 3.0/ - '^S - /.oLo
°-7 ^ J./ •h 2,0
- V - l,o v- Ll - 4'/ -h i l o - y -t-zao - J i S -i-o.3S$
•I- /.é 4- 2.0 - v./ - Ö. Ï _ vLL _ Lo t- Slo - ZY - 2Vo - i g i o - 0. lis-
^ s.v + /.I V./ + O,'/ - 77 - ' 3 y- Slo - 3S — 5" 000 •+ ö.oiS
/.a '•9 - S.O - «r - 135- - So + Sia - S3 •t Lz _ 3^00 i 0.00^
/./
C-J
- 0. D/o
- O.oSY
-i-o. Jos
- i . I g S
-to, S5S
- o . l V f
•+ o. 00}
- t d o z L
Opnemen J X^tZS.o Ch, ,
b
dec)
^ 57 •^ t>/i
dct^/Secl
0< -dS-
—^ So^ ot
(ch. /fee 'J /C*. /Scc'-J
^ Si-n <<
i^c^/s^V (a^ /tec V
—^ S0yy\ d/^l A /
o.a
0,1
O.i
0.3
O.V
O.S - i . J -O.l + Z.L -0,X - V5-S- - I -t i l o - 7^ - Z 2 3 • i - y s i y- o . i ê s
O.L + 0,1 .(.l.l -o.V - 272 - I + i l o _ L^ - - 7 ~ y. /Vo
"•7 t 1.3 •hO,^ - i . i ~ " 7 - iL + J/o - s ^ -t IZ3 - VZo -to.Z^i
0.3 •tZ.I + 1,0 - l . l + '•3 - ' 3 ' - i s 1 Slo - sx + Z5 - / V 3 o +0. oSo
1.0
-ti.S + I.i - 1.0 -o.Z - z a v - IZo •t i l o - 7 - 1 3 / - sé>/o -o.oZS
l.l
ét^ j[>e.JaaJ/^f ht^r^i*^ cia. bw^f&lackis-*^^. u/a&rc/ea^ ^eJ>ruAi< ^^n^aa/cé".
[gerekende tert,,en i/üh d*. friaSio. - e/i //^^fiu/s/eln/aiS t^o/^e/iS de eers/é. 6erakeningin/ij-3« ^•/• t^- de l^,J^
en 3^ ofimei^ar of> Aeir iafuc/ - TgUd / . • / -' proef y Cl 1 .
• AlaSSala/a/7S
0^ ^ 1 7 = °
ynij>u Js/eAa/a/i s
" a r ^ ax dt —*• Sohy av ^SlH —^ Soh^ WW
f
(Stc) (c/H /Sie) (ci>^/s^c) (O» /SccJ (Cfe, /Stx') ( O , / K c 'J I'cm/uc'J ( - J
0.0
n.l + 0.é -1.8 1 •t 11.1 + lo.K « - i l + IS ? + n s - io i lol ~Zl1 + 0. YjL
o.l -5.S ? + y.'i _ /.V " + iiiL _ Lz ! + 138 ~2$i ï * / ^SO
•+3jo - i . s é o *
0.3 - 9 1 • -I/.Z '. + 13. a - /.J * - j t s _ 122 f +. n s - i S i '. + sèg +i(>1^*
CV -3.1 l -11^ ? W.y - J . t ^ y- 85 ~ i l ' + 138 - l U + li + Li - 0. Zoo *
o.i - 3.S + 3.3 - - 23 - 21 ! • + 138 - l a + ;v + 0.^Zo'^
o.l. -?.3 - 7 ' + 210 + 13 + 138 - l i s + i i L + / é i -/.SZO
O.J - 1.0 + 3.i -1.2 - I.L - SSO * 3 + 138 - 6s - 1JZ + JV + IS.goo
•f- O.J 4-S.I - 8 . 0 . - l i ~ 23 - + I3i - V -t sn ~ vC + /.Zoo
4-0.5 + V.i -1.1 + 0.J + 7,2 - 11 + IZS - 33 + 113 - 90 t i.Joo
1.0 -fO. H + i . s -i.L t 0.3 - sL - 13 + IS3 - 3o ^ 9
- ?Z + o . l p
l.l 4-O.S + 3.1 -3.8 + 0.1 - i j L - iL + nS - io - s-^
- Slo - 0. ivS
n + o.^ -tX.5 -3.0 + 0.1 + 15-1 - 13 +138 - io + i i j 1-0.^$0
1.3 •t-I.W - Z . l . + 1.1 _ iS-3 - i J + I3S - Vl - I S 1 - s L i - 0. SO^
1.1 + l . i +J.I -2.0 + 1.1 + 111 - i l + 133 - ^3 + Zl(, ~S^1 + o.3(,</
IS i-0.5 *i-7 - 1 . 8 ~ o.i - 132
- ^3 + I3S ~ Xo - 13 - é s s - 0 . oLL
U
t
/u<.) /Ch^lUc.)
af ic^lu^)
—> Jon, ók
(Cn, lUa '-) (ot./Ue.'J Cc^/i^'-)
•—&• ifo>w
/e^ /S€i. *)
V/s/l
^e^/Uc'-)
/ c - )
0.0
o.l
o.i
+ 1.0 -O.l ? -2.1 • - I . S " - loL + 1 ? + l i s - 21 + 12^ - IZ8o + 0, oog
0.)
0.1
o.s
O.L
"7
o.S
0-3
I.O
l.l
1.2
l.i
1.1
l.i-
U
- L . l
- i.3
-O.J
-O.J
-O. 3
+ 0.3
+ U.V
+ O.L
+ O.L
+ O.L
+ l.i >
-O.V ?
+ O.S >.
+ 3.3
+ 3.1
+ 3.3
+ 2.1.
+ 1.1
+ I.S
+ I.Z
+ L.2
+ i . i
- i . L
- I . L
-I.V
- I.L
- i.Z
- i . L
- I . L
- 1.3
+ 1 . 1 "
-O.S- *
- Z.S *
- 1.0
+ I.S
- I.O
- o . l
+ 0.1
+ 0.S
0
+ l^a
- l i j
+ JS
+ 21
- i z L
- i ° 3
+ IS
- L
+ lL
~ i
+ i l
II
+ • é
- 7
- 1/
- 11
- 15
- / I
+ I3S
+ I3S
+ l i S
+ /3S
+ 133
+ 133
+ 139
+ I3S
+ 133
+ 13 S
- II i f
- SI
- U
-- IS
- ^3
- Vo
- 31
- 7
+ / f S *
- l o s
- 3' *
+ lo8
- '31
- 23
+ /o3
- 3
+ sL
+ SS
+ Sol/
+ loo
^ '3
+. 3S
+ II
- IZ
- 15
- V
-1^3
- z L z
- o . s e y *
+ 2.01S *
- I.Soo *
- Z . S I o
+ 2. Slo
-I.^IS
+ 2.1^ O
- 0.0^3
+ 0.13S
+ o . i i i
? VlacrdA /3 j LcLrou.,..j IS Im^JT^Lo.
L'^ b^.f>aJif,,^ (lUrVan i/ai-i ^ w y / e / o o ^ ^ ' ^ iVA -r-o'*», i^-eLrul/c ^en.a.alti.
B i j l a d e l 7>7aU 1
Be-re ieiiote termen yan de maSSA - &n iit,feu/siii kaUnS ^_^/3^S_dA -?f^llA—J^?/'''^^""^y ^ •/>• i/- de / ^,
• //las SaLcl"^ S - /ty/iiA.Is/eia/at,s
Uaari'n
t
dec)
j SV ^ dx —> Som
fChf /set) öt ^ OX —É, So/Tt v/W
A (a»/st^^)
i
( - J
0.0
ó.l
O.l 4 0.1
•l-o.S
•i-o.y ?
- 1.0
-o.a
0 *
0
' V -t 121
- IS
- n ?
•t /i<S
-t 13 3
-
- '7 -t Z3o
-J,o
-Las
to.oiê
-f-o. 13L *
0.5
0.1
•f 07
1' /. V
-t o.l ?
+ ?
-lo
-o.a
+ Ó.l -2iL
- I J l
- 8 l
- L !
-t 133
•1-13 3
- ^ - LL"
-11^5
-wno
- 0.1/3
-o.oiL •*
0.S
O.l,
-i-0.5
-I- 0.3
-0.1 ?
-o.i f
-1.0
•i-1.8
_ O.L "
+ / . ^ "
-tiL^
+ 31
^ / • + Ii3
-t 133
- 13
- iL
•t Sol
•t 221
- i l j o
- soL
t 0. ISS *
t O.V33
O.S
0.f
1.0
l.l
l.l - O.g + l.g -1-1 - O.-/ - 31 -t za •h n s - y -t 33 -t 2SJ -o.ioi
l.i -0.1 •1-1.3 -o.a V- ö. / - IIJ 4- II -t n s - i j - 35 + n •to. ISo
1.1 y- 0.1 •ho.8 -I.L -O.J -13^ - 3 4 na -3o - 31 - li - Z.Uo
1.5 -1-0.3 -l-0.l> -O.L -to.3 + 21 - 5 + n s -2S + IZS - sa -h /. Vjo
l.é
Wo-a^-^ /i fHoeiUjU. b. hepaJih, , Letruu.wi'uzrLe.ïal / i tvJyfelacAtij
u .
•Bijlade I Z •
1
I
S
• ^ -f
I
V
•i
1 5
to -'•
3
V
+
s
- I N
I
+
+
1
^ .5
I
N
.15
1-
- I M 0
-g 1
1 4
• ^ 5 ? 5 ! V
N O
0
5 ^
In
7> S o Ift
lA I f l 10
f -j rs> l A
0 Q 0
P -.0
H l o > -
? i 5 ; ^
i + ^
V )
"=3
• v o c-i S
l o N o r \ K ^
+ i - + +
^ 1
1 I
+ 1- 1- + - +
ty> <N < ^ N
+ + + + 1- +
CO v o 1 1 N o 5 ^
Cr- , t ) K ' N « W> l o
I I I I I I
«V, « o
C f , S v N O >
V O ^ I N
1 1 1 + +
O 0 c r .
+
« a-<M »^ < ^
I I I I
C I - , o a - l o
•*3
I I I I I I
I 1 I I cv, C> <v,
K 5 5 :
4 4 4 4 i i i , ^ '
c j ^
CI <5
0 c, 0
^ "> $ V a- ^ > ^ ^
v2 0 ^ ^ m m X X l
• v ^ ^ ^ s
0
<i3 v o I V > -
rv>^ t V N O N
A. + + I + + + +•
> CM = 0 v o Vo
O v o VQ I T -
+ 1- ? Ï ^ + + - ^
Cb
1-0 3 R
m <*J > 7 I I
Ct3 CQ t \ 0 ? £ > CV
I V CQ CJ
I I I I I I
Q v ^ N O N > - P . C h t v t v , t V • n . N j
In
+
I f l O O N o
+ + + 't
is
I a > N CV y> , . c ^ Wl V-, ^
"*r t v K"^^ V> v o
+ +
0 O C I N V, w I n I n
1 I
i n 0
•V, | i ! s¬
I n ^ r v OV <N
1 I (
l o > cv 0 1Ï) N J )
^ - V - ~
1 1 I
0
I I
«V rri v > I n
J - V Q c»)
„ i n O V .
I n 5 - cv . CO
I I I I
I n Q
f v ^
c v •'V
I I
Cn I n V o 0 <N cv c^ , 1 1
O O
0 3
I I 1 I
I
V, V )
+ + CV) +
+ CV
+
C o
-t- +
h v >
5> - n
V V . v s c v c- l
I
^ N . ^ 0 - , I n
I I +
h v , O
+ +
in C h , CO In ! V . <Q
I I I I I I I I
• V Cr> M cv
1 I
cS
In V
c i cS
I n CJ
iS If?
Bar.ka^cU berrie, ^a. n,aSS1 - ^ U^fiuhleiaLnS ^ol^^.S de b^e.J^ È.re/ce^,n^S^//-z. ^.é
i/^icUof. K/an de Wah.rcLLti.n ey, deeltjesS/n<d/,e^(tH ) . .
PROCEZ>U/fE W
0 .
g.a* D8S (i/Li) / C c II-c » HO)
W.=. O
\ N ^ H-1 / (/V-/vra [
èBRCil/JÜ : = ( R E R Q -hO.SV^iMRCV -R)i^ HRCT i n ) ) M- DELTSX.
c
o ot*
3 1 / )
+
m i l l i iy i iy | i»i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i im
_ UJ . _ j . . . + U , D UJ UJ ^ « f
c c c O c C l _ ' C - UJ
O
O c c < D •
a" .- tD I 1/1 - O
• . ^ . ^ < < < i j - o o c — 1. . . c r
•uj L ^ i . £ g i f
g £ ë S S o ! ! ; ^ ' - - I ' S ^ ^
7. 2 X « 1 C i « Z _ l U l _ J - X UJ + U J
i ^ j : "IL-.. s s e Ï r . g i = ^ S . " . " ^ . ^ [ L " . c = ^ . ^ - G S " S é
? § § i ^ r s s 5 Ü : 5 X
O ^ r . _ ^
c ? " S £ S : i . X i . 3 ^ ; H o ^ 4 0 ? o J x u
. 2 a s ? T . r [ £ c ^ - z,::w^z ^ i- s P u . - 5 - t.>-^ ï:- . . .,
a . K x i - r o « i - < . - i - c . - c - u , o u j a : u j i x i - u j e - o e — - ' _ J U - I I > - " " . ' . ^ ' ' - " C S ' J f ' r t i i !
R„ 2%.? y " o C . - 0 " - - - J X t U H O - - < D O = C O C / l c Q w _ i a ! 1 7 " — 2 - U J < - " - U J ? r h - - — o T C C ^ l -
_ j . 5 O K C M " i - u J U J U J u j UJ u j u j - — CL — u ^ a : " U j . . - - c i : - o Q - - C . - . - O Z - -
i - . u j _ i o a - c i : o : c i : c i : c i : a : c i ; ' - < C i i : u j D : • . z c j - z - z o o r . - u . : ? n . ^ Ü J . - l ^ - ^ - ' - ' - ' : ? D — U I ' D U J C - w U J _ J . - . _ l — U - U J - O i -y - " i o ^ c é t S ö ö c . o c c c n o u j i - i i - c j h - < t c 5 « i o - m o o c c z u j . o i r u j u j u . u j u ' u . u j u j z u j i - 1 - . . z u j z u j u j u j u j 2 c £ u j
c i — I i « « _ i o o o i _ > o o o — > - z z i - - ' f c i - Q ; i o a : « 3 u i a o i ( J » < l - c ^ a o c c c o c c ^ - Z " - ' U J l / l l J I - - - - - . . .
_ i u j _ ) u j o u j c a r Q ' c i : c r : Q : o i : c r : i - - ' Z i l z u j
8 c c u J o c 3 : c D c D a a . Q . C L a Q . a u J Z . - ' . . „ , _ . c i [ o . - - . . - - - i / i - . . » c i ; i _ i -
• * o ( ^ J ^ J l r ^ m ( " - T c o ( ^ J > o o u ^ o l / ^ ^ - r ^ l n T O O ^ g r ^ ) r ^ - T C ^ O ( c l u ^ - o ^ - a : . t c ^ f ^ l u ^ c D O - ^ n J t D m l n . o c o o r M > ^ < ) « ^
^ ° ' ^ ' ^ ' ^ ' ^ ' ^ ' ^ " U J w r 4 ^ J m m m . ^ • s ^ ^ ^ l A l n u ^ l / ^ l n u ^ v 5 < J . O s O v O < } ^ - ^ - c c a ; c c C T < ^ C T ^
»— •~> »—
X \ •
<r
X w
tiJ u
* <I u 0
X X < 2 :
> CC c c *> " «»
OC (\J c
0 0 *> II 3^
c • • U J
- 1 - H «»• U J i r u
X w 0 + < u .
X U J - J
ft: U J
c c
< <3 U - - > 0 0 m U J u .
c 0 c K a : *•
c c c fM ^ U J
c — D — 0 Q r - i
- ^: = ^ ^ II w
*~i U . X
- u - - UJ •• U J *v 0 - I t-* f! - !i - II X < U J U -
> _ J c ? - J fl 0 < »— - ^ >. 1—• w - U J
>- 2 0 ' - 2r 0 J —
• < 0 u , , - ^ «- > U l V -
C C C C C C C C C C C C > f h c t c c p - r C r - f N r - J
UJ < < < : < ( i ( r c r u t _ t _ " o > -C r (N ( \ fv r \ f \ fs. fV (N, (N (N * r c c c o c c c c ' c c c c a c C C C C C C C c c c c
c c c c c c c c c o c c c o i r v r c c c c c ^ ( v f f c c . c c
f v { \ f ^ ( v f s r - o . o o j C O c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c
c c c c c c c c c c c c c o c - c c c c ^ - c c c c c c c o . -_ j z - c a c > o a > / ^ t - : 3 > 3 r x > - > -(V O- O . 0^ O . O J O O O O : O O i O.' c c c o o c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c o c o r a ct Q o t c i ^ o ' c r a ü ^ a c ï ' o ^ ö ^ a
i r c o c c c o c o o o c o c . - ( ^ . r • < l ^ - c a c . - . c , - • ^ : ^ o c > > - > - > - > > - M < I < t D t ï J e P ( D U tM O J tN O . O . O ; f\' O"' f f f ' t^ 1 ^ ff' c c e c c c o c t r c o c o o c c o c c c c c c c c c c c oio^a.cLaLcc:cca.cca:-C£Ccao:.
o: z +
z —
c
c c — c c C I
I ¬C O o: <r
I t c H -U CJ <t - 1 t c
> z
• ' r - c ct; t n UJ * C c
2 - • O J
• „ OJ . - i U - u .
- O — z
II e o : Z U J
t c O . cc ^ L U U J t c c
c >
c >
• c
U J fvj > 3" C O - U J c I - c n r-1 c v>
_ X , - - -„ _ 2 - — ^
(-5 c l (J; O
~ 7^ -I ^ 7' a ct: r-H CÏ: o : h- H — I - K ' / i co UJ 0 0 t n <f >- \- Z >- >- < j 3 " 3 : r j O c - J c c ^
(VJ + hH UJ — O - J O z UJ II U J T
1) t v •~* 0" — r H UJ *— c 0 .
w O h - O + V . + 1 CD < > ^ X U J Z " •» r~l • 2 - X z *v — • f O- z C ï
2 > - X UJ UJ UJ **• r-* « + c Q. r— CD O O
- J C <— w UJ 2 U J •— - J ^ - ' c X X
U J c c c c Z * UJ — l / ) 11 O il
— h- *. " t-4 P-I - c •• • « •v. I t > " 3 • f • UJ UJ UJ c *H r H *w » • -—. c II — C _ J UJ O (/) c c \A U J 1 O Kf\ < f* •v.
a ' IL.- F H Z " — » J X - J ( E c t X z * c r »— O
i - i " t o : r p. tn •-^ C f U J n U J > UJ ». c V .
Cf 1—• < r-4 - J u . - ^0 » U I C L sO > - t It X w
U J a r _ j or * >— V-I » u . «*
G - ü - •> • K UJ l iJ ^ »- - O — » «• O O - H t -I f < Z " " •• II z : O z - z : te UJ •* O >- <
C rsi . X t - U i U - UJ - > UJ UJ UJ • <f O X <r . . < - J <r CC II X w w X rH II X Cf — X »*
*. c ^ I-* O t> • f • •• O ^ H X w • • h - X UJ X t * > c
c •—' ~ j f~ _ J U J — — — X - HH C O t f O tt UJ X U I X . < : ^ u . Z ' V-t z : U - > U - UJ II • »
» U J c < C < 11 < r-t II U . r— II < z < c c • » r < a X T »• r- > - _ J - - J •• O - j ^ X UJ
U J *~-< Cf X ÜJ O CD U J c UJ O cc V . X t -Cf c u . H *• _ J O - e O Z * O c c UJ " < w
2 - < t/^ » • w c C o c II U J • • UJ •> 11 UJ r z O z
O . t - X O X oc O CC Cf O O D ^ - > I z U J
t . O m ». " ^ V - X z t - tt II O X _ I - 6 2* «- — - U - 1 - 00 — U - U_ UJ < UJ t—
U J , < X r—1 X f* X w 2 - C U . f - c U i c >-* • co cc —. •»
c c >- c - Cf 1-1 w »-l w »-< X U J O - - =:> c - — Q - - X UJ O c t > 2r II K - C O <— u . X U - X u_ ^ c - II _ J c II UJ 11 - c < tl c a G U I
n *—> O H U i uo z - m t—• < < U . C f e H - z r »• c • z • II • " Ou O Cf - O CL h - IR O. • O u - C l - —. •> Q c t D t - < > — UJ X J _
w w => > < <I — < J 2 TT c c _ j z 2r < - 1 Z 2^ c O < tt „ „ CO C U J _ D »•> >-* t_< • f> <r >—> O 00 •-H X —* - J X
< O O ^ CL' h - UJ - «. »- 'OJ - r - . h - UJ - Z CL li Of V . c < 0 . r-1 ^ « UJ 1—1 — — - c O r H 2r tl> O Cf z 1» t-H U i • • — »-* co
al >- w ». O.' O tl II tt il c n j - f V •w c _ J " o : U I _ J O II B>
< < O CS fNJ U J CïT X - > - UJ Q - l« i t «• UJ O - » c - U J O L 1 - 3 : UJ 3 »» It t—• U -
a ' *. 0- UJ c < II < fl z - C U . ' < rH U j P-I > rH U J ITi - O y- «• -. 1—1
z : t— o: r\i tt C ( - > ' 1 - X of - U . ' V - < UJ ) - w Q U ) K — u . z X u O z * • •• < *. Cf > - J < —1 <r < • c ; CL Cf LO _ ) a C f l / ) -^^ z : tx • C f IT" II < t».
o : ^ U J Z - < UJ r 37 UJ UJ - CO UJ # - 2* < - c - _ l CD M I—i
O- : z . a t - X t r > CT l ~ O ^ < O 21 < Q . C z 1- r-< U - rH —* — li r H + H ) - t/> r-* I—1 »—• _ J - rH *— 1^ 1- —» •r I t z — X
L U e c r w w - w w w - II O c n r-t - II KT CD P-H w It ^ M O »» c X z e t—• a c .
Ol c . c * * O _ O U - I K »• C It UJ *» r. - O • 1 UJ O »- 2 c U - •s . U I U i of UJ D c : O < c r n >. f •> h 2 : 05 rH II CC r-* r-K O, II z ce i-H tl < w CD Q - t - 11
c . X X ». r H r~* •—< (-1 rH (—4 r-4 rH T~t . . II • • >—• II .-H r H i> H c t • 1 X H - co 00 »•
LU *. tr i O r - i v w •~' _ i O UJ _ J O h U J — ' _ J O • 1 rH UJ H - X •—• o • • •> X
O c : (. O O O O ^ O U i LU X .-t z : UJ U J X 2 r O O l UJ w 2 l / ) CL Cf O < X O UJ r H c -
c «M ^ 2 : n 2 : 2 : O CD - «- O CD - ' cQ - ^ _ H- t - U l II X II 3 II f t > > r~* (—1 »— • UJ - Cf UJ _ J l i c t u . UJ - Ct z - j r > %r. »—' n •* • » QC '»
a < H Cf Cf Cf: c t Ct &' Cf Cf Ct c t Z C J 2 : e f z : c z : 1* o: a z D < t - O t~ X z z X t - z Cr* or t - t~ t - f - 1- t - y- ^ h - " O . *—• - U - t_j - H >—• U - _ J * II z - 1—. >—' I k — -•
O Q ; cc •»f X l / ) </) t / ) LO l / ) 1/1 U J ( / ) Ct c : - _ j O _; C i / l o : O c c O »l UJ cc O il Cf c r < T <r t~ t - H - 1 - \~ Z - H - h - C U J Z " O UJ z l - C UJ Z i / l - J II c 'JJ U - II »• c UJ
U ' T: _ J _ J IX. Z ) ~» D ^ Z> O U - tG U i u . co UJ U - r o UJ c t UJ u co ** O co
- *-> cö CD < c c c b C ó - J O c m • - - - - a - - " UJ H Of - > i- •
• * O
— II
c
V , >
— V , ) _
:s » C O J X V w X
t - -ct: — C ï -
I c + O l ' ~ t o
c -X < — -tt » O l t n V
• O — O X O
X
> I
o ; •— >
It u . e "
X X -
O (T. O
C » > I K 3: •• I o ; o : > > — •
o ^ V , 2¬
— C O O O « C O J > I II I •• 3 X - v
> -~ • • 2"
— I N I r-i •V. - v — O C V ,
C h¬I U 11 < •t X
• - o : — - X + O 1 : r- — > UJ ^ — - O II
1 O V =) 3 O - O ^ C X -1 - 11 I ¬C • • O
X <t - X >
3
z
c <}• ^ CM i n 0- W (7- r H •O (7 rH fsj i n co —( m i n Ü O r n i n h - CT pH r g i n CO a h - fM m ^ h - co C\i
1 r H m ITi r H .-H r H r H
• c h -r H ,-1 r H
N -r H
CO co r H
00 r H rH r H I - I
<J' r H
O CM c g
O r g
o (VJ
O Cvj (Vt
rH CM
rH (M
r H f H CM «M
CM r g
CM CM
^ f-" c g <M fM
n r g
f*l "4" (M <V4
c c c c c c c c c c c c c > - t ; c c - c
u . c C X . - . ^ - : « - _ ; 3 c r r n- n- n c" r f < c c c c c c c c c c - c c c c c c c c c
Q a ' O O' Q 0' O c r a < - < • * ' < ? < r < < r < o r
c c c c c c c c c c c c c < c c c c O c Z ' C C C C C ' O L t - ' l / ' t / - t -
C C C C C C C C c c c c c e c c c c c c c c o c t a c r a o ' o r Q O Q C C
c C C C C C C C c i c c c c ^ . r c c r - c - , r v K u -z ? r ) D < 3 a : t c t ^ - u c c c c
c c * c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c Q o r o c t o a a c t o c i c r a
c c e c c c c c c c c c c r - ^ r n ' ^ i / < N c r o C u - u u u u u u u a u
c c e c c c c c c c c c c e c c c c c c c c Q (X CI cc a ci a a a a' oc
c c c c c c o c c c o c C ' - c . - c c c c c c r - r
c c c c c c c c c c c c c c c c c C C C C C C C o r c t c n o D C O c t o a a a o t < - « : < f « : < - < r < < « 3 ' < 3 ' < < r
c c r
r r 7
X
2-
+ »
• + O I Q : X
• V L U
c • (_) —' •—
I f
> > II ! - »
< - J or H X > - J 1
U - X
a ' c . > > * » II X
+ X f~( w
> cc « > 1-
X •» IjO > a : 1- z II X « < c
1 _ J _ l _ J > _ J »
I X > > I f •» U J r g .—, • - « a 1
Q- 1- — -1 c « » X
r-* < V X - IT' c o I • V 1 - w ^ U . ' •—- i - j 11 <v _ l + « I f U J - I I t V . U J X .— "I" I f 1- c
l>0 ,—. 1- - J ijO + •s .
w # - — *^ - c :^ a : 3 O O C X < i a c
u . + D C •Sv » < t_) c 1 f w
c . - J - C ? + r g K + O a 1" w I ,—. V H Iff » > o • V 1 II Qt: c : X t l ' Oc II < ^ CC '• c I U J > X • • X
< 1- - o : + X I> B + 1 X -
UJ < _ l T + CC C - J CL- > z _ l I C 1 - > > I f U J
U J _ i K a : w - c . « X X o : U J z T » X O c a : > H
C 3 11 I T II - i n > 11 -( - • « - . • • . . V t f • « I t O
U- c - - I X O 1- — I - I o _ J w
_ l " - X 11 o - - . 1 • > 1 U J X O - *• < X X II o t f V
c C - U J X X - s II I I 1 a: V + 1 - r ^ I I —s l/> X
tjO 11 X » 1- X O I f 11 CC I - • ' V , u - X 1-: a: • • 1
1—1 1 • < z 11 X Q
u . V , II X 1 - c T 1- , I I X r ! « •• * t-J II - O 1- I X I f c
Q : X X ^ < tt U - U J o + I f X X
UJ X - ' - J X ts »— t c < —1 f X — - 1 1 cc f t* I — - > > o II -
Q : C U J I t U -
a X U . « 1 U J _ l i : w - - ~ I -
o
- J o
- J
»T s r i n 1>J m i n Cf o O r g sO
vO ^ IS- r - <c t c t c CO 00 (M r g (M r g r g r g r g r j r j r g t \ i OJ
< u .
c O
O u-
r X
c z
- J + r— I f
UJ r-> 1—< r H - J 00 — 00 X —- I f X C
C Ci X 1- a • r> O + t-H <— — <
o < tt u c cc X # _ J < — 3 }-> fsi _ J X cc c c ? X
1 U - + < .—. > u . X X o X O -
X > > > tt c
» - t f »
- tl + II I f (/> c < C " r~t > OC X O + •> — k_ « » ft - C " I f
UJ V . V , i n O —^ O •—. t f
> «•> - c t .—. > - •f B tt V . rH
* r-> X • - >- c tt CO c rv.' X 1 .— *T - J <^ < w I f X r i r + "V X
X C t - h - tt • UJ -— f-H 11 Ct < - J r H O O — < K -
c t ft • a < UJ < i * -iT f— « f 1 < CM > e •w * »—< >— <• —
« _ O V H - tt tt < X Ct U - X 21 O c * >^ Z o »— + <f • f UJ O V . »—<
r r c c X UJ UJ 00 >~t X 00 —. 1 - 3 O c : X OO X » - X X OO X 1 - O UJ
X X w + c K a O c A r > X CO
I 1 c c H - + O u X c — 03 tt -r H O » c o tt « - t * 11 — X -1 . -1 Ct c rv: X r— X X X V . 2r C t + CM •V. il - 1 O I X c rsj * m 1 UJ
r ~ C Ï : 1 w V C J X + « o w Q X C 1 r h- f—. r-« V tt > X C r H -
— 3 U 1-.— u I _ j > V C < -cc o tl <f cC cc cC X tl tt < X UJ r H X T X
I X c X 11 i 1 X h- - ^ tt It
a 1 «• O - J > _ J U_ 1—• c O V •—< X i : > tt UJ HH 21 + h -
6 + D : IT". O - c tt cC i n «• *—• •—« X X o ' V (*• « < 2" X _ J • tt • • 2 r a ' Ct I f II < w - O X >—< . ' > o - J WH >- •f 1» X
II M ll G II o - tt + c 00 00 c t - » M a . UJ u . IT, tt r H Ö- U J 2 : o O U -
r H M C O < UJ e cc >-< • < w * r ( E UJ < <• l - J
< < < X - X - > < C Ï : •- o O - X > -
< — c I f K e — o -- < I . — X ~
11 t r ^ i _ B -
- c — • = ) - i - i _ j
- < , - . X H
rs i c
- I C r - . O C - It
f . O - < I f
- X • ¬
II i n — + - . _ i
- t o c U J
- - X J t o - fM _ J U J
* — <T a ' .
O — + ^ i - i X
» O X <
X I - ^ _ l — U J ^
* a : i n < r g X
. > 0 » 1 —
o - • • -^ I f 1 - r g — I - Z O C < 3 + n I - - i - J O _1 c X U - II
I C 0- >• t_ ^ U - 1/1
U - I - O <t t o I f
• a X X «
l / l » — G — 1/1 V . ^ Q ( M X - - ,
zr z ^ -
o o • < <
X X
2 tM • O l f . I r - l • I - U ' I O z • V t - t I - _ j : i_> - ' < z I X - I I . 1
U . U J I *-t r c :
a : - ^ _ I U l I t 00 - CO CD ^ I - 11 U l ct:
- 3 H K a : < e C u o _ j X U J I f « < U J >
X - X X I ¬I - r g - - I - ^
„ 0- I ¬X - - . o
t. < w - s t < .-t X U J t - i fM 1 X — X z X — O A 1 - o < cc Z I - _ l 2 Z X U l
W X »-•
w X fM
: CC <- <t z cc cc . 1- - X ^ I - I .
I O O t:^ - e 00 t / i 1¬1 - Z U . U J I - I - o
• n U J fM to T r J < : c - - - o o X
w X
£ " c z X -
I oc — c ^ U -X -V -^ z H U l O X < I ¬X -— X II
D U J
Z 11
CC
\- ' O U -X O -
I » - c I - - H I e O — < X < 1/1 X V . > Q II w » » I t H - i n O O
OJ U « O C -tf c — I f X — ^
X II 11 > I .1 • • c
Z — « II ^ - < •t z z c fM V , w c + - I - > - H Z O O O I - < < I • O X > c UJ c c
c fl
D
c > fl
II " • .1 cc CC U J UJ c
Z l-M 1-1 + I f >
O z I f z > -X • - X H O C .1 o: 00
U J U J II X to • • - II > - I . z C I - kM Z O X
U J <( O - t r i / i
I op f o s4- i n i n r - (JS
•4-
C C C O C c c c c c c c c c c c c c
UJ i - C C U l a C ' I 1 - - ! ^ . t i r i r i r i r i r . i r t r
<r C C C C C C C C C O C C C C C C C C C
o r o r o c D C a O L a a ' ü r « r < ' <r - c < < < <
t c
r> c >/i
+ X •
•—•
• u o; <
I ll • f
a - s z X U J
• f Sv •
C O V-Z — oo U J C Ö :
- X U J tt> — U J
rs-z ^ z
>•
cc u . c CL CD 1-i f •• c fM " O
(\) + c • f u
_ J d 1- * f
0- u.' " o rM H cc < fM
r -
I N U J _ l II • U J
*v l / ^ n O
0- _ l 1 - O < r g U J Z D
•- C t f
u - - 03 f—
o - " r ' . f <
U-- U J U I C . Q X X U J Z S f
< H 1 - 1 - U J f j U J - - O O < - j ^ Q- - #n LU U J » v II O •Sv CC o: - 1 - J II X z
r. U ' U J •< » v t—*
t - 1- 1 - X Vrf f
U - •Sv - - y- z . - J — u . o ; o • f t—« U J 1- — O <( 00
K - > LU r - II - II _ J ' v c c
t-i >• •* «• O H -C c ; _ J 1- <-s >- »s —
CL CL U J O -•s 1- O z u . II 1- - t X s - LU
X - X s-s LU o : X
CL a z II s— C U J K U J • — W H c . z LJ> -_ J - O c U J C
U . LU — C LU K - II
CL i - j nü O > z z ^ • - - X « f O •M If
O z z u . O U J »-J
- J t " O 1—1 O = )
_ J <
O f - i i r i os r g m i n
1 - sO s ö sO •0 r -t/1 r o m f* r o fO m
z z
z
c
O z
ComputkrSyrn LooL
fll
n z
f?3
B&£G
BOUD
C
CoS
J)i
J>i
2>S
DV VELTJ9T
DHDT
HBEGIN [ x l
Hncr /Tv7
Houb M
HL
HM
HG
HO M
mea
V
VEIL
PHld
War Icel^ke. $tjfrtiool-
a
^1
Hi
Z
Cos oC
Cohayt cC
d z
dl -I- dl
T
Maat ' ' o o r ru.wh<uai i/cu^ het taUiU
Z/e (VJÜ
Hoe\fee.Llreid ^eLor^e.!-, yt/a-kr loi/Ci-, oU. do^rs^ac/a
X=:o op h-ct Uy^é^oi/it-p é=o
Hctefeelhetoi ^elxirfa^ Wotir hove*-, oU deforJt^Oe^
X - o op het ^i-eMu/st. éyc/stcp t j+i
Hoe\/ee.(MeioL ^e.l>or^e*r ulatZr êo^en da. daarjuaaf-e.
X = o Op hei OU-OLA 6<^'oi.séip t j
ProcaoUt.r.e Voor cU L>e,reUe.»i'fr(^ l/at^ oU. L&rqi^g
boi/e^ cU. pL'-^rSMcia. X = o
Z,V / / .
Zie f<3 ly.
Jle iijotsta^ éuSU*-, tuee. op/oli^ei-xc^ tijd sli'ppe.t^
U/aei-rop ciU. ^olfton^ u>oraC& here^i^ol
Oy\oUrLiiige. afstcLt^oi ius^n de, citScr^t^ Jbutttê,»
Op, ttat tci.Lu.dj U/aa.r- dt Ul^li'rLxa^oC<i,&.*., « < 7
Tertn ui.t i/zrfaiyLtl,^ C'/.Sl)
UJo-ttr laa.^ aUUti*, gp he.t > 7 / e t < i * / e tjdsttp ^j+i
ll/aUrlaa^ciiLcéity Op het OuoU tCjdstif. é^'
h/ab-rU-acjcLtctL op Ai.L i/oL^eh>aée. tydsWp Ji^
. m ir- e / M . ^ M t . , . •
J<i.,(HÜ £[(H>i) Ii,,(ll^) H. rechts
WatirLaagdikte. On^e'^e&r / » / » ' « r n / « ^ « t{jcJthi.p t j tj-n
liJaUrLAa^ oUUti L,J>.\^. K = o (ra.t\e(UooriA/ci^oU. ) , Honfe<dhe4U IH ijevoerci tt/o&r oUnr c^Bor(tx.t.^ )izo
/A «&n i'jdstap ^ b
TLo^alrS aU u/cdirt^p M op het talbot k.h
tijde, t =o
Tlaais l/OM cU. u/A^ttj> /y Cp Act ba-Luot Ojt, ti&t
/J/Ctcu/fc tjc/st<.p tj^./ j Uci'^e.d.ru.i^ /A Ax.
P/aais I/a» dt. U/atlrtop H Op het taLu.d Op Aeé'
O Looit. tijdstip t j j U<.t<^oiri^Lt / „ A X.
tlojttAl htalet-, ctai dt. ^o/féon^ J>er- ^ol^^ri'oc/c,
Inoe^ uporde^ O^^edru.id' .
^o/fpe-rioo/a.
Z e CV./J
PRI KIT r UreL]
R
SoMXNi/
r
TPBH ••
TPH
VEL
mECrIN CKI}
Vf)CT £ K J
liouo [ x l
VL
\/M
VR
V M f i a n
W
WH
X
XliDK
Vk
vl
4. ^.
VM
Id
TydsWppt^ UJa-arop Voor iedere tfo/f^Ji^nodc de
^plfhon^Z^ ^peJju., Morden a.^jzx^lru'td y uit^edruJot
AL.
?laah i/aK hat cé'ScreJz ^c.^,é Op /fe.t taUud direLt
Ohdtt-r d f t t y , a r k ^ M , u^tfftdrudié //,' AX { [ ' a ^ e / V j
Ovtr Alii. l/crora-^^iSLattoLi bijdftapp^^ ^e.SOh-i^rd*-.
ho&i/'cdheid l^n^evoerd ivakr door da. doarSf^eoie X = o
lïfd Uf^edruAi A if"
Tohacd aanta-l èijdstappe^ A t d.a.t é j d i ^ S da.
ddntaL i'jdsbcpp^ jte^r ^o/f/>&-i'odt.
De é'jdsfaSz eon ^n'ode. Ui-t^edru.ib l*i - d ^
Tel^rooéhetd die wordt ^ei/rd^Lt ib'j Hat l^epaJei-,
Van heJ: ki^dskip U/aarop de. ^o/pk°>tJ h-toeAr U>oroiet~
&^^edru.L6 ,
klaterdeddjeSSmeLkede^ ^ é j d t . i.=.o (jLey/A uoorWaa.rdaJ
Watiirdedl;/e.S(i^&ihede4^ Of, k-ct n/Auu^e t ' j d s t c j , t/^i
' \ A / A t l r d e M j € . S o p het ouda é i j d d i p t j
ijroothediH, ^eMrulLt i j de. if^r^Ac^t^^ i/ay, ale.
Wadr de.e.ltje4Ct^dA£.4d Cf} ke^t i/ol^e^.,o/e. k<^i=(^6'ij.
PI.- tn;dM^
H/iid^i-) vY(M) f^it (tin)
ShaLiieid {/ojn de. ld.ta.rstt. Wakriip M op /}et hegiM -
t j d s t t j , t
Sne,(jidd I/OM d& udj.rs/a uloÉi-r tip M.
Tie Ver^elijlcjA^ ('/•Ij)
TerM uit ve<jei)i.i^^ O/.i.^)
PloAtj op /jet taUud J udydri^Li /y, £iX.
Totaa.l (Xaittcl diScrcli. Cd.t^e:2^,.,d^rU het
1 . . . . - . / t . n ./ V r— - f-..
L'J^^r-^.s^ ,h?ct todui.d he.(e^cX /i.
r= 1 .38
G O L F O P L O n p 1
S E C ; G * T = 1 3 . 5 2 M / S E C ; G * T * T = 1 8 . 6 6 H;
I N V O E R G E G E V E N S :
T A L U D 1 : 5
D E L T A X = . 002140 X M A X = 30 O E L T A T = . C 2 0 0 C 0 T M A X = -iOO M = .C26 ' ï f ' 0 V M A R K =+ .074000
B E G I N V O O R W A A R D E N : H= - 0 0 ) 1 2 0 . 0 C 0 5-50
. 0 0 2 8 6 0
. 0 0 0 3 5 0 .002620 .000130
. 0 0 2 3 7 0 . 002120 .101890 .001620 , 00 n 00
V = + . 0 1 7 4 0 0 + . 0 1 O 0 0 0
+ . 0 3 1 8 0 0 + . 0 3 7 5 0 0 .020600 .055000
+ . 0 2 2 2 0 0 + . 0 2 3 7 0 0 + . 0 2 5 2 0 0 + . 0 2 6 3 0 " + . O ? 7 3 0 0 + . 0 2 « 5 o n + . n ? 9 s n o
R A N D V O O R W A A R D E : H0= , 0 0 1 1 4 0
. 0 0 2 4 0 0
. 0 0 1 7 3 0
. 0 0 1 1 6 0
. 0 0 2 6 0 0
. 0 0 3 0 8 0
. 0 0 2 3 2 0
. 0 0 1 6 7 0
. 0 0 1 1 2 0
. 0 0 2 8 7 0
.003010
.0022 50
.001620
.00 H O C
.003120
. 002140
. 0 0 2 1 8 0
. 001560
.001120
.003230
. 0 0 2 8 7 0
. 0 0 2 1 1 0
. 001500
. 0 0 1 1 5 0
. 0 0 3 2 4 0
. 0 0 2 7 9 0 , 0 0 7040 , 001450 .001230 .003270
. 002710
. 0 0 1 9 7 0
. 0 0 1 3 9 0
.001400
. 003280
. 0 0 7 6 3 0
. 0 0 1 9 1 0
. 0 0 1 3 3 0
.00164-0
. 003260
. 0 0 7 5 5 0
. 0 0 1 8 5 0
. 0 0 1 2 7 0
. 0 0 1 9 6 0
, 0 0 3 2 3 0
. 0 0 7 4 7 0
. 0 0 1 7 8 0
. o o i 7 i n
. r . o 7 7 R O . r 03 1 9 0
E I N D E I N V O E R G E G E V E N S ;
C CJ O co c O- ot) t r O CT r o CT-c c c (<• C s t cc (T C >C r \ CT c c c u- C h r g rM C CT C f
i r c IV' •c a - P-I ( \ ' - C r - I f . O <r cr c r \ c 1 1 c r r s i n c
0 (. O- c 17 r - . O c CT -O c C ( S c — c rv c r - c c c
c c <r c c c c c C C O c • • • » • • • • ft ft ft ft + + + + • +
C c c ir, c t v c r c c f>j cc h C c C r r cr O - t 0- C rv; O c c c c — C . - - t c rM i r OC ÏV C C J m rVj r - l rM rvi r g c f~ O
r- l i r C rM 1» cr c . - s t cr c — cr O h . - cc c ^ ft- m c c r c ^ C rM C rM C C C
C C C C c c c c O c O O • * • • • • * • ft ft ft ft + + * + + +
c c c u- c e 'M •f C (V' c c C C O CD c:- rrs CT or O CT O rM
C c; C c m sc tO c t r i n ( T cr i r c cc r r CT rs CC i r rM c
r r r c c m s t c CT t n evi c - t — r c • t ^ c - t rM i r c • - i C O ' c -M C - M C -M c c c c c c- c C C C C c C O c • 0 « 0 6 0 B 9 ft e e e
+ + + * rM t v r g s t
a c c -' O s t -O O O ÏM O r - s t 1^ O O O - O O c rvj rto O m O O rVj rM c O O r g O c r O OT rri m O i n rM g :
%}• r j c s t s t i r c r g O O s t c r g c cc sC G c c f- rM e c O t r fs- sO O
• tM r-4 sC O r g rH O c c r g rM r o O ' M c r v O — O - • c c c - ' C O O O O C O C O c c O C O O O O
• • • • • • • • • ft ft ft ft ft + + + + C ' C + + O <r * - f r<v
c rM rM
c O O O K i O 0 cc 0- 11 II i r . O fM fs- 00 s(- C . O O •O r o C s t CT- O rM O s t CT oc
C C Q c o i r s t c c z oc O c r r r g r g c O CT- O - t O O r g t - UJ O O s t gD O
0 r - OC O e r~ CT sO O tJ ! C ft r ^ cc i n O c — if- O O O rM s t O Ot: > c O rM rM O + • - i O r v C J 1 O - 1 C l UJ z + rM O O C
C C J O O O C . O O co 1-M O O O O
• * • • • • • • • ft ft ft ft ft II + + II •f * z > 11 ic UJ UJ
a oc c c cc < C O C s t c t c cc <c 1- I < O CT t- i rvj
O O C Csl O O O rM O O sO i r
> O O O O > O m t n cc a r T > O t-M r o .-1 CM O i r i sO l ~ s t C s U O g J sO O
i r r J t - O m rM r r c t/1 t / l i n CT f - O oc rsj f c O op rvi r g O t » » r to rM O O O O r s . O tD O O c O O c O O O O O O O O O O O O
• • • • B • • • rM sO ft ft ft ft + + + + rM r o 1 1 c r o r g r g O rM O (Tl — c c O O O r-s •-t c- m CT- C ' O r r tr . f - O O O O s t s t sO O i n sO f --0 O O C -O to O r - O fs- O rM rM O O oc O CVl - O rM O CT-CT O
O O O <N r g O m i r c r r OC O c c r g O t r c r h c r o m O O tNj K c- m O r g i n rM rv; r g -O fCl O O O O r g cc r g O r g s t fTi O
• s t rci rst O • s t r i 0 - O c r O •C S j t ^ O • s t O - t c cc O g j O
c •O csi rsj O O sC tV' O c 1^ O r g O O O O -0 r g t r c O rM O O O r \ O C C rM fVv w O o • ft O C O c rvi ^ O O
11 O O O O 11 O O O O O O O O O O II O O O O O O O O
3 • t • • • • • • • « ft • + + 3: ft ft ft ft ft ft ft ft + + * •¥ ' 1 II II O
1 1 + +
c O e fs- cr O c i r O sO i n O r g co z a: O r < rM g j c C ' rM g j C O C T- O O O rM c rM r g O sO s t o l-M UJ O t - fs- i n O CT i n rM
O O c m O O O f - O r g u " rM O r g i n s t O c O - t -O (O O f~ O P-M O <r> r \ ) C irv O- t^ O o O cc rM i r tvi t o O s t o oc > O c c (3- f-- rM oo rM f^ O O CM sO sC c gs rM O O r g r g i n s t O •c s t rM o U J Z r g r.^ ^ G sO • t f^ O c • t r \ j r r O i n O m c co s t r g co O i n c O O tO ft— OO s t r g g i O i n O r g O c. c O r g c r g c i n c r - O O O O r j O rM O ft ft N C ' O O O r g O O O O O O O O O O O O r g O O O O c O O O z > r g O O O O O O O O
c * • • • • • f • c » • t • • • • • L U UJ O ft ft ft ft • • ft ft • * + + + • •f + •f + O C ft 1 1 •f + O c O 1- I O O
11 O O O - t O c O r g II C CT- s t sO O O g j II O i n g> i n O O f -O U I O O c r o O O O rM U I O r<^ 00 r g O r g oc rvi U l O r g g3 CD O r g sO sO
c X O O - t O O O m rM X O -O i n t n c t c r r O r g X O r o r g O O O r g r o 1^ • t s ö O m s r i n O rM rM * t i n s t rM - t to rM rM t*i s t CT^ CT- r g s t i n os O O .-s c r O O t n (Tl i n O .-1 sO r O i n -O CT O fs- rM r g O ü i n fs- oc O O (M r g O- O m O O s t r g tvi i n c m O • t O >t r g r g CT- O o t O O O O r - . tN c r r . O rM O O O c rvj rM c s t O O O O r g O O O O O O c- O O O O O sT O O O O c O O O • t O O O O O O O O • • » • • • • • • O • • • t • • ft • O ft ft ft ft • • ft *
O * + •»• + O + + * + O 1 1 + + O O
II O O
< O O O c- O O O fs- • O O rri fr^ O r g fs- to • O O - 1 O O - O 00 i n • O O O O rM O O O rM O O O O CO rM O m o i n O O O O - t OO O 00 rM g j
O O O O s t O O O cn O O O - t r~ O CO r - O O O co t o O fs- 00 i n O O r g O uo O <r O rM O O CT- m O O co 03 t-M O O O CT- r J O rM t O
z O O - 1 ~t O - t t n c c O II O O i n O s r 00 r - O II O O s t CT O t O i n O <t O O r n r— O r-t O O O u • O O r g r g O rM O o- O t o O O r g rM O rM »-l u-i O 1- O O O »-* O tsj O rr i O z rM O O O O r g O f - i O z r g O O fM O r g o O O 1/1 • O O O O O O O O » O O O O O O O O ft O O O O O O O O
a. O • • • • • • • • O O • • • • » * • • O • ft ft ft ft • ft fl t u + -f + + o : + -f + •f ot: 1 1 * * UJ II II 11 II !L II (1 11 N U J II II H II n n Hl a u UJ II II 1 II JL II H II n
t- X I > O X X > O as 1- X I > t i ï X > a co X ± X » X I > O
B E R G I N G = 0 . 0000421163 ; T n E N . 8 E R G I N G = • HDEV.INVOER =
-0 .0000007632 -0 .0000004603
:SOM TOEN.aERGING= ;SnM HOEV.INVOER -
+ 0 . 0 0 0 0 0 0 6 4 5 ? +0 .0000076733
0.300COO XE= 0 . 0 2 7 8 2 0 M= 0 . 0 2 8 2 6 9 VMARK = +0 .002858
X= . 00000000 . 0 0 2 1 4 0 0 0 . 0 0 4 2 8 0 0 0 . 0 0 6 4 2 0 0 0 .OC856000 . 01070000 . 0 1 2 8 4 0 0 0 . 0 1 4 9 8 0 0 0 .0171 2000 . 01976000 H= . 0 0 2 0 4 0 0 0 . 0 0 1 9 5 5 7 7 . 0 0 1 8 7 3 3 9 .D0179447 . 0 0 1 7 0 7 6 2 . 0 0 1 6 2 4 6 0 . 0 0 1 5 2 0 4 9 . 0 0 1 4 1 2 7 7 . 0 O l ? ( C C , o e ; . 0 0 1 1 0 4 0 3 V=- •-02536070 - . 0 2 2 6 7 2 3 8 - . 0 2 0 1 7 2 3 4 - . 0 1 7 7 0 7 1 7 - . 0 1 5 3 4 1 9 6 - . 0 1 3 1 7 6 4 1 - . 0 1 0 9 7 9 5 1 - . 0 0 9 1 ' ) 5 9 0 - . 0 0 7 1 2 5 3 8 - . 0 0 5 5 6 7 6 5 Q=--.0000517'^ - . 0 0 004434 - . 0 0 0 0 3 7 7 9 - . 0 0 0 0 3 1 7 7 • - . 0 0 0 0 2 6 2 0 - . 0 0 0 0 2 1 4 1 - . 0 0 0 0 1 6 6 9 - . 0 0 0 0 1 2 9 8 - . 0 0 0 0 O < ? o « . - . 0 O 0 0 O | t , x 4
X= .0214000C .02354000 . 0 2 5 6 9 0 0 0 . 0 2 7 8 2 0 0 0 H= .00089511 . 0 0 0 6 5 0 2 8 . 0 0 0 3 7677 . 0 0 00 39 80 V=-- .00364346 - . 0 0 2 1 9 5 9 3 - . 0 0 0 1 9 8 5 3 + .00248765 Q = - - .00000326 - . 0 0 0 0 0 1 4 3 - . 0 0 0 0 0 0 0 7 + .0000 0022
B E R G I N G = 0 . 0 0 0 0 3 6 9 3 3 3 ;TOEN.8ERGING= -0 .OC0O01181O ;SOM TOEN. BERG ING= - 0 . 0 0 0 0 0 4 5 3 7 8 HOEV.UIVOER = - 0 . 0 0 C O 0 0 9 5 9 4 ;SOM HOFV.INVOER = -O.OOOOO12175
Ö3
C 5 i
a.
0 .400000 XE= 0 . 0 2 7 8 2 0 M= 0 .028451 VMARK= +0 .000560
X= . 00000000 . 00214000 . 0 0 4 2 8 0 0 0 . 0 0 6 4 2 0 0 0 . 0 0 8 5 6 0 0 0 . 0 1 0 7 0 0 0 0 . 0 1 2 8 4 0 0 0 .0149800O . 0 1 7 1 2000 . 0 1 976000 H= . 0 0 1 7 3 0 0 0 . 00165310 .00159231 .00151591 . 0 0 1 4 4 2 8 9 . 0 0 1 3 4 9 5 2 . 0 0 1 2 5 3 4 0 .001132O3 . O O O O <3'5ft3 . 000R4367 V = - • .03794076 - . 0 3 5 7 6 0 8 0 - . 0 3 3 5 4 6 7 4 - . 0 3 1 2 0 3 7 7 - . 0 2 8 9 7 6 3 3 - . 0 2 6 4 2 9 4 2 - . 0 2 3 9 9 0 9 3 - . 0 2 1 7 2 9 2 0 - . 0 1 8 5 7 7 9 9 - . 0 1 5 6 3 5 5 1 Q = - • .00006564 - . 0 0 0 0 5 9 1 3 - . 0 0 0 0 5 3 4 2 - . 0 0 0 0 4 7 3 0 - . 0 0 0 0 4 1 8 1 - . 0 0 0 0 3 5 6 7 - . 0 0 0 0 3 0 0 7 - . o o n o 2 4 0 3 - . 0 0 0 0 1 8 5 7 - . O n O O l : i l q
x= . 02140000 . 0 2 3 5 4 0 0 0 . 0 2 5 6 8 0 0 0 . 0 2 7 8 2 0 0 0 H= . 00067166 . 0 0 0 4 8623 . 0 0 0 2 9 4 3 4 . 0 0 0 1 0 5 8 5 V = - . 0 1 2 7 6 4 7 5 - . 0 0 9 4 5 5 0 8 - . 0 0 5 6 5 0 7 6 - . 0 0 0 4 1 5 1 8 Q — . 0 0 0 0 0 8 5 7 - . 0 0 0 0 0 4 6 0 - . 0 0 0 0 0 1 6 6 - . 00OC 0004
B E R G I N G = 0 . 0000303199 ;TOEN.BERG ING= HOEV.INVOER =
- O . O O f 0 0 1 3 9 8 8 - 0 . 0 0 00012676
:SOM TOEN.BERGING^ ;SOM HOEV.INVOER =
- 0 . 0 0 0 0 1 1 1 5 1 2 - 0 . 0 0 0 0 0 7 0 0 1 9
0 .500000 XE= 0 . 0 2 7 8 2 0 M = 0 . 0 2 8 1 8 0 VMARK= - 0 . 0 0 5062
X= . 00000000 . 0 0 2 1 4 0 0 0 . 0 0 4 2 8 0 0 0 . 0 0 6 4 2 0 0 0 . 0 0 8 5 6 0 0 0 . 01070000 . 0 1 2 8 4 0 00 . 01498000 . 0 1 7 1 2 0 O 0 . 01976000 H= . 0 0 1 4 5 0 0 0 . 0 0 1 3 6 8 9 0 . 0 0 1 2 9 0 5 2 . 0 0 1 2 1 5 0 4 . 0 0 1 1 2 4 4 6 . 00103378 . 0 0 0 9 7 q i 6 . 0 0 0 8 1 0 9 3 .0007OOO<; . 0005747?
v = -• .04935164 - . 0 4 7 4 5 3 2 1 - . 0 4 5 0 2 0 3 1 - . 042602 53 - . 0 3 9 9 1 5 3 6 - . 0 3 7 1 9 5 0 3 - . 0 3 4 2 4 9 9 6 - . 0 3 1 7 9 1 5 6 - . 0 2 8 1 2 3 4 7 - . 0 ? 4 8 7 7 f t g Q = - • .00007156 - . 0 0 0 0 6 4 9 6 - . 0 0 0 0 5 8 1 0 - . 0 0 0 0 5 1 7 6 - . 0 C 0 0 4 4 8 8 - . 0 0 0 0 3 8 4 5 - . 0 0 0 0 3 1 8 2 - . 0 0 0 0 7 5 6 6 - . 0 0 0 0 1 9 6 9 - . 0 0 0 0 1 4 7 0
X - . 0 2 1 4 0 0 0 C . 0 2 3 5 4 0 0 0 . 0 2 5 6 8 0 0 0 . 0 2 7 8 2 0 0 0 H= . 0 0 0 4 4 5 0 4 . 0 0 0 3 1 4 3 7 , 0 0 0 1 8 6 1 9 . 0 0 0 0 5 7 6 0 V » -• .02125490 - . 0 1 7 1 7 5 8 3 - . 0 1 2 0 8 9 9 2 - . 0 0 5 3 6 7 1 7 Q — • .00000946 - . 0 0 0 0 0 5 4 0 - . 0 0 0 0 0 2 2 5 - . OOOC 0031
BERGING» 0 .0000230281 :TOEN.BERGING» HOEV. INVOER =•
- 0 . 0 0 0 0 0 1 4 7 5 0 :SQM TOEN.BERGING» - 0 . 0 0 0 0 1 8 4 4 3 0 - 0 . O C O 0 0 1 4 2 5 4 ;SOM HOEV.INVOER = - 0 . 0 0 0 0 1 3 8 7 9 ?
T - 0 . 6 0 0 0 0 0 XE= 0 . 0 2 5 6 8 0 M= 0 .027361 VHARK= - 0 . 0 1 2 0 2 7
X« . 00000000 H= . 0 0 1 1 6 0 0 0 V = - . 0 5 8 1 6 8 9 1 ( }=- .00006748
,00214000 ,00105351 .05637094 .00005939
. C 0 4 2 8 0 0 0
. 0 0 0 0 7 0 3 4 - . 0 5 4 0 6 1 6 9 - . 0 0 0 0 5 2 4 6
. 0 0 6 4 2 0 0 0
. 0 0 0 8 8 6 3 5 - . 0 5 1 4 0 5 7 6 - . 0 0 0 0 4 5 5 6
. 0 0 8 5 6 0 0 0
. 0 0 0 8 0 3 0 9 - . 04868338 - . 0 0 0 0 3 9 1 0
. 01070000
. 00071468 - . 0 4 5 7 8 3 6 2 - . 0 0 0 0 3 2 7 2
. 01284000
. 0 0 0 6 2 5 1 4 - . 0 4 2 8 0 2 7 9 - . 0 0 0 0 2 6 7 6
. 0 1 4 9 8 0 0 0
. 00053181 - . 0 3 9 6 3 4 2 0 - . 0 0 0 0 2 1 0 8
.01712000 , 0 O 0 4 ? f 6 7
- . 0 3 6 2 6 6 9 7 - . 0 0 0 0 1 5 8 7
. 0 1 9 2 6 0 0 0
. 0 0 0 3 4 3 0 7 - . 0 3 2 4 8 7 8 2 - . 0 0 0 0 1 1 1 5
X= . 02140000 H= .00024908 V = - . 0 2 8 0 7 0 2 2 O » - . 0 0 0 0 0 6 9 9
. 0 2 3 5 4 0 0 0 . 0 2 5 6 8 0 0 0
. 0 0 0 1 5 9 1 3 . 0 0 0 0 7 1 0 3 - . 02322270 - . 0 1 7 7 0 1 9 4 - . 00000370 - . 0 0 0 0 0 1 2 6
BERGING= 0 . 0 0 0 0 1 5 8 7 3 0 ;TOEN.BERG ING= - 0 . 0 C 0 0 0 1 3 5 1 9 HOEV.INVOER = - 0 . 0 0 0 0 0 1 3 7 5 5
;SOH TOEN.BERGING= ;SOM HOEV.INVOER =
- 0 . 0 0 0 0 2 5 5 9 8 1 - 0 . 0 0 0 0 2 0 9 4 3 2
0 .700000 XE= 0 . 0 2 3 5 4 0 •M* 0 . 0 2 6 2 1 8 VMARK» - 0 . 0 1 2 4 8 2
X= . 00000000 .00214000 . 0 0 4 2 8 0 0 0 . 00642000 . 0 0 8 5 6 0 0 0 . 01070000 . 0 1 2 8 4 0 0 0 . 01498000 . 0 1 7 1 2 0 0 0 . 01976000 H= . 0 0 1 2 3 0 0 0 . 0 C 0 8 4 2 5 5 . 0 0 0 6 8 3 1 2 . 0 0 0 5 9 0 2 6 . 0 0 0 5 1 3 4 3 . 0 0 0 4 4 0 0 9 . 0 0 0 3 6 8 4 1 .00029831 . 0 0 0 2 3 1 0 8 .OOOlftft^B V » -- .05248970 - . 0 6 0 2 5 0 2 6 - . 0 6 0 1 9 1 8 2 - . 0 5 8 1 2 8 0 4 - . 0 5 5 3 4 0 1 9 - . 05225530 - . 0 4 8 9 4 4 2 7 - . 0 4 5 2 8 8 1 8 - . 0 4 1 2 3 7 8 2 - . 0 3 6 3 8 3 1 1 Q=-. - .00006456 - . 0 0 0 0 5 0 7 6 - . 0 0 0 0 4 1 1 2 - . 0 0 0 0 3 4 3 1 - . 0 0 0 0 2 8 4 1 - . 0 0 0 0 2 3 0 0 • - . 0 0 0 0 1 8 0 3 - . 0 0 0 0 1 3 5 1 - . 0 0 0 0 0 9 5 3 - . 0 0 0 0 0 607
x= . 02140000 .02354000- . 0 2 5 6 8 0 0 0 H" . 0 0 0 1 C 6 7 9 . 0 0 0 0 5 5 8 2 .00001121 V=- - .03004943 - . 0 1 6 5 9 7 2 7 - . 0 0 1 3 8 0 3 5 0 = - . 0 0 0 0 0 3 2 1 - . 0 0 0 0 0 0 9 3 - . 0 0 0 0 0 0 0 2
BERGING» 0 . 0 0 0 0 1 0 5 2 5 9 ;TOEN.BERGING» -O.OCOOOO8214 HOEV.INVOER = - 0 . 0 0 00012878
;SOM TOEN.BERGING» - 0 . 0 0 0 0 3 0 9 4 5 2 ;SOM HOEV.INVOER = - 0 . 0 0 0 0 2 7 4 9 2 0
T= 0 .800000 XE» 0 . 0 2 3 5 4 0 H= 0 . 0 2 5 9 2 4 VMARK » -t-0.00145 9
X= . 00000000 . 0 0 2 1 4 0 0 0 . 0 0 4 2 8000 . 0 0 6 4 2 0 0 0 . 0 0 8 5 6 0 0 0 . 0 1 0 7 0 0 0 0 , 01284000 . 0 1 4 9 8 0 0 0 . 0 1 7 1 2 0 0 0 . 0 1 9 7 6 0 0 0 H= . 0 0 2 6 0 0 0 0 . C 0 1 4 1 0 6 4 . 0 0 0 6 5 0 7 7 . 0 0 0 3 8 6 5 4 . 0 0 0 29074 , 0 0 0 2 3 0 6 9 . 0 0 0 1 7 8 8 6 . 0 0 0 1 3 5 9 9 . 0 0 0 0 9 8 9 6 , 0 0 0 0 6 8 3 2 V» - . 0 1 2 2 4 0 2 5 - . 0 4 2 5 6 1 8 9 - . 0 5 7 1 1 6 1 8 - . 0 5 9 8 3 7 4 3 -- . 0 5 7 5 5 5 2 5 - . 0 5 3 6 6 9 7 9 - . 0 4 8 3 8 2 2 5 - . 0 4 2 8 8 0 3 6 - . 0 3 5 6 1 4 7 5 - . 0 2 8 8 2 6 5 8 Q= - . 0 0 0 0 3 1 8 2 - . 0 0 0 0 6 0 0 4 - . 0 0 0 0 3 7 1 7 - - 0 P 0 0 2 3 1 3 • - . 00001673 - , 0 0 0 0 1 2 3 8 - . 0 0 0 0 0 8 6 5 - . 0 0 0 0 0 5 8 3 - . 0 0 0 0 0 3 5 2 - . 0 0 0 0 0 1 9 7
X= . 02140000 . 0 2 3 5 4 0 0 0 . 0 2 5 6 8 0 0 0 H= . 00004371 . 0 0 0 0 2 1 2 6 . 0 0 0 0 0 2 1 7 V» - . 0 1 9 7 6 4 6 4 - . 0 1 1 6 4 8 66 •••.00088074 Q= - . 0 0 0 0 0 0 8 6 - . 0 0 0 0 0 0 2 5 00000000
c t- <t < c 1» <r c g; r C ' (v . c c cr c c c O -< a — c c c c c
• • • • I I
O (M -O m O O- c r v c c c < M C C rv c ri c O- C i - i c ^ C. - 1 C C C C
I • • * I I
O r ' r*- fr. O C CT I - I C or rr c -c . - c c (V c rg c CT C f - C r - C C C c c c c • • » »
I I
C — vt (V C r g l i <v C 1^ -r g < v c I - C c r c f- c "v c - c rv C C C C C
• • • •
I I
C i r ( \ r \ ' O c c CT I f C CT C C r g rvi cr O I - C r g O ^ c 1^ c ^ c c c c c c
• • • • I I
e Of O c ,c s f > t C c r C fvj f s : >ü <2
r - C ' I ' C C r r c
r- l C i - ' C
O c e c • • • •
I I
m rr I - . < ; -c CT I — I - I *-* r r (Tl r r O c O O C O O O • •
C O I I
!l " Z of 1— UJ
c c c c > UJ z co 1-.
z > UJ UJ
O c I - I
X X C O UO l / l
I - uv CT- -C t~ - t
- t oc
O c O O O O O O O c C c
» • O c * I
II II O z o: w U J
O O o: > U J z co >-.
• *
z > UJ UJ c c t - I
cr rr t-rr.
O
+
II
oc
O j : . u v • ^
C -1- 1^ c c ~ t O" rg a: O c CT C i - i C - t c rg c
C rr c C C O C
• • • •
I I
O f r -O rvj O uv ÏM fO O u- <vi <r
v t t c O O t r c ; oc O r g c t o O • - I c r - O O O O O
O O O O O-
I I
O IA v t t r O r r i-t riv O O r g iT' O r g O O t~ I - r v O O O - t O — c - t O O O O O
I I
O CT- I - I CT C - t rr i C ' O u". t*i O lO O oc r-«
UV r g O O co O CT O O c - t O O c O O
« t -O r - oc r - - t r v - t t c i f r g r^ O O c O O O O O • •
c c I I
II H (-•! Z of »_. UJ C 5 O
OC > u ^ Z Ct» t -
• t
z > UJ UJ
O O H X
X X C O l/> t / l
• • * • r g 0 1 1 fw t n
l<^ • t -c O r o v t
f - O r g c t O O c O f^ irv O C O
rvi C CT r r trt C O
O r g fw t f l r g O O
- t - t CT- O O c O •c- O r - C O O
O O - t O • • II O O O c O O
X * • « • + 1 i i II n
O f - v t co O r g O z ot: O I - I fM O O I - I CT O >- . UJ
O —1 C l/v O O CT O O c O c r fw CT - t co O r g O C Ï : >
O r g I - I - t O -O O -0 O UJ z ~ t - t 1-4 t r O i r O r- l O co 1— l - t c c. t^ c r ; O c O • • r g O O O O O O O O z > O • • • • • • * U l UJ
• 1 1 + + c c O 1- I
C3 ts:
O rvi CC tr\ O v t O O O r , r-- t g> i n t n -M r g i n O 0.1 t\i rj O c O r g O O O O O • • • •
I I
O O 00 t n O O co g j O O r g - t O r ^ r i r j O r g t n O O r o n* O O O O O O O O O
I
X X > O
c - t m ivj O r v (VJ O O O O O - t r - l tr . c t n O I - I O rti O r g O r g c c O
O O c O
• • • • • I 1
O - O - I - ' m
O r v i-t r g O I - I fvj c O tvj m O - r O - O O -M O i-< c r g O P-I O O O O O
• • • « I I
N H 11 11 X r > O
O O O O
C5 CC
O CT • - • ^ O C C CT c (V r j c c r - t c r c CT- C CT C v t C (VI C
- c r v c O c e c • * • «
I I
O f - i -O -O O r - g> cr O f - t~- rM v t -O I - I O c c O CT C r g O (O O
O r g O O O O c
C ' O
II
ct;
I
O U-- r g c O -O - t m O tr CT - t O r v -O c r- -O O O O - t O f - i O r v O O O O O
I I
O (Vl . - . i - i O - c -O r g c i r r g -M -O O f- p-t t n rc -O O 00 c -O O O O r o O O O O O
I I
O ( T O r g
O O - O O O CT CT v t r g i - i O (M - t N v t C vO O r o O O O «-1 c O O O <5
O O -O (Vi O c - i n r o O . t r o i n OD -O I - I (Tl r g v t i-t O v t I - I - t O C c r g C ' O O O O
• • B • I I
O OC O f^ O CVl CT r H O i - i rO - t - t fw CO r o I - I (r^ r o O r g rv; v t O
O O -M O O O O O
O O
I I
O O r - O O O m f-v O O tc- r g O - t r g r g
O rM r g O O r v fw c O O O O O O O O
• • t •
oc - t ro f-- t i r O t c f^ f~ r g (O
O O O O O C
C c t »
O O I I
Z o : » - UJ O D
DC > UJ z ( D • - .
t •
z > UJ U -
C O H I
X X O cr I A t / l
O tn I - I r-rM « r g - t
O O O O O O O O O O O O
• • O O
+ I
II n O z e; f H UJ
UJ z CQ 1-4 • *
z > UJ UJ
O r - - t •-< C 00 -O O O -O X O • t O - t O i n O f-- O r i O O O r g O O O O O O O
• • B t
I I
O cr .T r-O 00 O O O r o f w O O r g O - t O O -M O uv O r g O O O
O O O O
I I
II n > O
O O O O
z
cc
C - t - I c¬O (V oc CT C O I - c t t v t r g c O C I - I c • t C C C
rM c r g c C C C C
e B e s
I I
C -O vO O (O (O v t O U- f^ (V: v t CT r- O to O l ~ O r g c t n O I - I c r g O O O O O
OC
<
fw
f -O t o r g O
II X
O r g rM fw rM O
• O
II UJ X
O O
I I
O CT c r . - I O rv. t n (v;
O (V; r r .O
C - I -O O fw r g r j O O O CT O rM O r g O O O O O
« • • B I I
O O i n r-o - t CT- (O c r g cc ( O gs g; r-1 rM
m « t CT o co c t o O O O r g O c o c o
• B « • I I
O CT -O in O CT- O r g O O- (VJ r g r g r g (M - t P CT O g> O (O. O O O r g O O O O O
O rM 00 r g O cr v t r g O r g - t r¬a> vO I - " (VI r g u - - t O v t f ^ O
O C i - l O
O O O O • « • •
I I
O 00 (O <c O O t- O c -O r g g j • t ( O g j r g rM (Vl vO O r g r g rM O O O r-« O OOOO • « • •
I I
O O v t CT-O O -O rM O O c r m O <r r g r g O r- O O O r g c r O OOOO OOOO
t B • • I I
O g j CT- r -o O ty- O O co - O O O O - t O v r O rM O rM O 03 O r g O O O O O O O
• • • •
M a d S 1
periocJi&kc r&nJw. l.p.\/. K-S.O hejii
0.00/ H
•i
0.OOOOO O.ooUX ooiyv
O.ootlV 0. 01 go
t.toViS o.oto/.
0.00 iiy o.olSo
O.OO éiL 0. so I /I o.oXSJ
o.oloya f.oisl
o.oitai 0.00 fil t.Oiii
a.oo/iS o.ol/J
t.oiy/l O.OOflo O.olSS
0. OoaSS
t.oi/'/o 0-poo G^ 0.0 JoS
0.0 O.OOoiS o.alyS
0.0 Is O.oooll O.CSSO
i>y/«^e Q )
?« onJerjla^*"'^ fi^ujtst-i i/ineli «ais
te-rci^ej^oU. ^„/^to,..^^ ap Aaf ttUttd voor-
3.04. ^/r < y . o i>.er^/<»MC< rtr.et n/e.e:rfU^ee
/•^ o.iooo/)
a O
jT' r
0.0 0 0.0 tl «
I.01 0.0 0
O.ol 0.0 ly 0
0. 03 0. 0 IS 0
O.oV 0.0 li 0
i.oS o.o II 0
».oi> O.oo^ 0
0. oy O.ooJ 0
e.oS O.ooS O
0. of O.ooi 0
0. lo O.OO/ 0
Btf*kfJ<ii^] ^olfofloof met Com/3uJiri)ngta.n„t,a ^oj
KEHlUa I : k^ntdi/oorti/Marde. in hat f^ier f^or het tfJu^J
(zic voor vetUatK ^0^e.^^S /yijtt^& / i )
BC^tkeMIfJo 3 •• A.aKjvtorhl*ArJt / « t^attr Hiér het taU<U ( V - VerJtn y < ^ * r t w Jg/ege/')
en^tnlA^nc/e jijuret, i / i / ^ i Mtt, e/e. het diende fol/r'orry.en yoar S.o 4^/'''4.'^ o
Bijlade ll i>lael 3