Collège Voltaire, 2015-2016 Mathématiques / Exercices / 3ème Géométrie vectorielle h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-m a 3 - geometrie .pdf Table des matières Série 50 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015........................................................................... 2 Effectuer des rappels sur les vecteurs dans le plan V2 (signification, norme, etc.).................. 2 Introduire les vecteurs dans l'espace V3 (notation, combinaison linéaire, norme, etc.)...........2 Série 51 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015........................................................................... 6 Comprendre et déterminer l'équation paramétrique et cartésienne de la droite dans l'espace V3.............................................................................................................................................. 6 Série 52 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015......................................................................... 12 Déterminer les traces des droites.............................................................................................12 Série 53 3MA1 / Géométrie vectorielle /octobre 2015.............................................................................. 14 Comprendre et déterminer l'équation paramétrique et cartésienne de la droite dans l'espace V3............................................................................................................................................ 14 Déterminer les traces des droites.............................................................................................14 Déterminer la position relative de deux droites...................................................................... 14 Représenter graphiquement les droites................................................................................... 14 Série 54 3MA1 / Géométrie vectorielle /novembre 2015.......................................................................... 20 Calculer le produit scalaire et résoudre des problèmes à l'aide du produit scalaire................ 20 Série 55 3MA1 / Géométrie vectorielle / janvier 2016.............................................................................. 22 Déterminer lorsqu'un point appartient à un plan..................................................................... 22 Déterminer l'équation paramétrique et l'équation vectorielle d'un plan.................................. 22 Représenter un plan dans l'espace à l'aide de ses traces..........................................................22 Déterminer les positions relatives de droites et de plans, et déterminer leurs intersections. . .22 Série 56 3MA1 / Géométrie vectorielle / janvier 2016.............................................................................. 28 Déterminer les positions relatives de plans et déterminer leurs intersections.........................28 www.dcpe.net/ eleve/ volt1234
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Mathématiques / Exercices / 3ème Géométrie vectorielledcpe.net/POII/sites/default/files/cours et ex/ex-ma3-geometrie.pdf · (dépacement horizontal, repère orthogonal) à droite
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Collège Voltaire, 2015-2016
Mathématiques / Exercices / 3ème
Géométrievectorielle
h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-m a 3 - geometrie .pdf
Table des matièresSérie 50 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015...........................................................................2
Effectuer des rappels sur les vecteurs dans le plan V2 (signification, norme, etc.)..................2Introduire les vecteurs dans l'espace V3 (notation, combinaison linéaire, norme, etc.)...........2
Série 51 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015...........................................................................6Comprendre et déterminer l'équation paramétrique et cartésienne de la droite dans l'espace V3..............................................................................................................................................6
Série 52 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015.........................................................................12Déterminer les traces des droites.............................................................................................12
Série 53 3MA1 / Géométrie vectorielle /octobre 2015..............................................................................14Comprendre et déterminer l'équation paramétrique et cartésienne de la droite dans l'espace V3............................................................................................................................................14Déterminer les traces des droites.............................................................................................14Déterminer la position relative de deux droites......................................................................14Représenter graphiquement les droites...................................................................................14
Série 54 3MA1 / Géométrie vectorielle /novembre 2015..........................................................................20Calculer le produit scalaire et résoudre des problèmes à l'aide du produit scalaire................20
Série 55 3MA1 / Géométrie vectorielle / janvier 2016..............................................................................22Déterminer lorsqu'un point appartient à un plan.....................................................................22Déterminer l'équation paramétrique et l'équation vectorielle d'un plan..................................22Représenter un plan dans l'espace à l'aide de ses traces..........................................................22Déterminer les positions relatives de droites et de plans, et déterminer leurs intersections. . .22
Série 56 3MA1 / Géométrie vectorielle / janvier 2016..............................................................................28Déterminer les positions relatives de plans et déterminer leurs intersections.........................28
axe des ordonnées(dépacement vertical, repère orthogonal)
Série 50 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015
Objectifs✔ Effectuer des rappels sur les vecteurs dans le plan V2 (signification, norme, etc.)✔ Introduire les vecteurs dans l'espace V3 (notation, combinaison linéaire, norme, etc.)
Source: h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma3-geometrie.pdf
Ex.1. Égalité de deux vecteurs
Voici des vecteurs placés dans un repère orthogonal :
b
e
a d
c
a) Les vecteurs a et b sont les seuls vecteurs égaux : a = b Quelle pourrait être la définition d’égalité de deux vecteurs ?
b) Comment pourrait-on indiquer à un interlocuteur les propriétés des vecteurs a et b de la manière la plus simple possible ?
c) Construisez 2 vecteurs u et v égaux au vecteur c . d) Donnez la norme du vecteur v et a :
‖v⃗‖= ‖a⃗‖=Rappel :
Chaque vecteur est déterminé par deux points : son origine et son extrémité.
Déplacement de l’origine à l’extrémité du vecteur :
2 ) et W⃗ = (24 )et les points A(2;4) B(-3;2) C(1;-3)
Représentez sur le repère ci-dessous :
A⃗L = u⃗ A⃗L signifie …………………………………………….……
u⃗ = F⃗A ; v⃗ = A⃗N ; W⃗ = B⃗T ; W⃗ = C⃗X
Ex.3.On considère les points et vecteurs suivants dans le plan V2.
O⃗P1 =2 O⃗A + 3 O⃗B
O⃗P2 =1.5 O⃗A -2 O⃗B
O⃗P3 = O⃗C -2 O⃗B - O⃗A
v⃗ = O⃗A - O⃗B + O⃗C
Construisez les points P1 à P3 ainsi que le vecteur v⃗ .
Construisez un point P4 tel que O⃗C = O⃗A + O⃗P4
Écrivez O⃗Q comme combinaison linéaire de O⃗A et O⃗B
Écrivez O⃗Q comme combinaison linéaire de O⃗A et O⃗C
Ex.4.On considère les points A, B et C dans l'espace V3.
Construisez les points Pi:O⃗P1 = O⃗A + O⃗B + O⃗C
O⃗P2 =0.5 O⃗B +0.5 O⃗C
O⃗P1 = O⃗C - O⃗B
Trouvez la combinaison linéaire, en fonction de O⃗A , O⃗B et O⃗C , des vecteurs
O⃗Q et O⃗N .
Ex.5.On donne quatre vecteurs relativement à la base canonique de l'espace V3.
a⃗ = (1
−32 ) b⃗ = (
08
−5) c⃗ = (218
−11) d⃗ = (111)
Calculez les composantes de v⃗ =3 a⃗ −2( c⃗ − b⃗ )
Exprimez, si possible, c⃗ et d⃗ comme combinaison linéaire de a⃗ et b⃗ .
Calculez ‖a⃗‖ et ‖a⃗+ b⃗‖
Série 51 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015
Objectifs✔ Comprendre et déterminer l'équation paramétrique et cartésienne de la droite dans l'espace V3
Source: h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma3-geometrie.pdf
Ex.1.Pour pouvoir représenter une droite de notre choix dans l'espace V3, que faut-il ? Cochez la/les bonne(s) réponse(s) et justifiez vos réponses par un croquis.
Vrai Faux
On a nécessairement besoin de 3 points
On a besoin de 2 points
On a besoin uniquement d'un seul point
On a besoin d'un point et un vecteur
On a besoin de seulement un vecteurQuiz sur le site : http://www.dcpe.net/POII/node/140
Login: eleve Mot de passe : volt1234
Ex.2.Trouvez une représentation paramétrique de la droite qui passe par les pointsA (2 ;3 ;5) et B (1 ;5 ;7 )
Ex.3.Trouvez une représentation paramétrique de la droite qui passe par A (1;2 ;3 ) et a pour vecteur directeur d⃗ : d⃗ =2 i⃗ −3 j⃗ + k⃗
Ex.4.On donne une droite d par la représentation paramétrique:
(xyz )=(
523)+ λ(
−133 ), λϵ R
Les points ci-dessous appartiennent-ils à la droite d ?a) A (6 ;−1 ;−8 )
b) B (3 ;8 ;9 )
c) C (6 ;−1; 0 )
d) D (−6 ;35 ;36 )
e) E( 174 ;174
;254 )
f) F( 275 ;45;95 )
Ex.5.On donne une droite d par le système d'équations paramétriques:
{x=2−5ky=−1+kz=3k
, kϵℝ
Déterminez le point de d :
a) qui a une abscisse égale à 12b) qui a une ordonnée égale à 5c) qui a une cote égale à -2d) dont l'abscisse et la cote sont égalese)dont la cote est égale au double de l'ordonnée
Ex.6.Soient A (2;−1 ;0 ) ;B (1 ;−1 ;3 ) ;C (5 ;−2;1 ) ; D (2;6 ;7 ) quatre points
a) Trouver les équations paramétriques des droites d AB et dBC
b) Le point E (1;−1 ;6 ) appartient-il à la droite d AB ?
c) Le point F (−2;−1 ;12 ) appartient-il à la droite d AB ?
d) Le point G(338 ;13;115 ) appartient-il à la droite dCD ?
e) Trouver quelle doit être la valeur de β pour que le point H ( 54 ; β ;172 )
appartienne à la droite dCD
Ex.7.Trouvez une représentation paramétrique de la droite qui passe par A (−3 ;5 ;2 ) et
parallèle à j⃗ .
Ex.8.Trouvez une représentation paramétrique de la droite qui passe par (0 ;−2;−7 ) et estparallèle à i⃗ .
Ex.9.Deux droites p et q sont données chacune par un système d'équations paramétriques:
p: {x=4−3 ty=6 t
z=8−5 t, tϵℝ q :{
x=3+2 ty=5−2 t , tϵℝ
z=1+t
Donnez pour chacune d'elles un système d'équations cartésiennes du type:x−a1
d1
=y−a2
d2
=z−a3
d3
Ex.10.Une droite t est donnée par le système d'équations cartésiennes:
x−23
=y−17
=z−32
Donnez une représentation paramétrique de la droite.
Ex.11.Montrez que les systèmes d'équations suivants déterminent la même droite.
{x=3+2ky=5−2kz=1+k
, kϵℝ ; {x=5+2ry=3−2rz=2+r
, rϵℝ et {x=−1+sy=9−s
z=−1+s2
, sϵℝ
Réponses :
Ex 2: (xyz )=(
235)+ t(
−122 ); t ∈R
Ex 3: (xyz )=(
123)+ t(
2−31 ); t∈R
Ex 4: a) non b) oui c) oui d) oui e) non f) oui
Ex 5: a) (12 ;−3 ;−6) b) (−28;5 ;18 ) c) ( 163 ;−53;−2) d) ( 34 ;−
34;34 ) e) (-12 ;-3 ;-6)
Ex 6 a) d AB :{x=2−ty=−1z=3 t
; t ∈R dBC :{x=1+4ny=−1−nz=3−2n
; n∈ R b) non c) oui d) non e) β=8
Ex 7: (xyz )=(
−352 )+t (
010); t∈R
Ex 8: (xyz )=(
0−2−7)+t (
100); t∈R
Ex 9: p:x−4−3
=y6=z−8−5
q :x−32
=y−5−2
=z−1
Ex 10: t :(xyz )=(
213)+t (
372); t∈R
Ex 11 : Vérifier que même vecteur directeur & un point en commun.
Série 52 3MA1 / Géométrie vectorielle /septembre 2015
Objectifs✔ Déterminer les traces des droites
Source: h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma3-geometrie.pdf
Ex.1.Calculez les intersections des droites d et e avec les plans yOz , xOz et xOy
d :(xyz )=(
1−33 )+ λ(
11
−3) , λϵℝ e :(xyz )=(
−56
−2)+μ(501) , μϵℝ
Ex.2.Déterminez les traces des droites suivantes:
(xyz )=(
259)+k (
053) , kϵℝ (
xyz )=(
4−71 )+k (
200) , kϵℝ
Définition : On appelle trace d'une droite d (sur les plans de coordonnées) les points d'intersection de d avec les plan xOy, xOz et yOz
Ex.3.Soit la droite d passant par les points A (5 ;−2 ;6 ) et B (2 ;4 ;15 )
Calculez les intersections de la droite avec les plans yOz , xOz et xOy
Ex.4.Déterminez les traces de la droite d passant par les points :
Série 53 3MA1 / Géométrie vectorielle /octobre 2015
Objectifs✔ Comprendre et déterminer l'équation paramétrique et cartésienne de la droite dans l'espace V3
✔ Déterminer les traces des droites✔ Déterminer la position relative de deux droites ✔ Représenter graphiquement les droites
Source: h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma3-geometrie.pdf
Ex.1.
Soit la droite d d'équations paramétriques d :{x=5−λ
y=−1+3 λz=1+λ
, λϵ R
a) Le point A (3 ;5 ;2 ) appartient-il à d ?b) On donne les points B (1;6 ; 0) et C (3 ;0 ;−2 ) . La droite (BC ) est-elle parallèle à d ?c) Établissez une représentation paramétrique de la droite (BC ) .
Ex.2.
La droite d a pour équations cartésiennes: x−33
=− y6
=2−z2
a) Donnez un vecteur directeur de db) Donnez un système paramétrique de dc) Donnez une représentation cartésienne et une représentation paramétrique de la droite e qui est parallèle à d et qui passe par le point C (1 ;0 ;−2 ) .
Ex.3.
La droite d a pour équations cartésiennes: x−3−1
= y=z−42
a) Déterminez les traces de d
b) Donnez une représentation paramétrique de la droite d
c) Représentez graphiquement la droite d (esquisse soigneuse !)
Ex.4.
La droite d a pour équations cartésiennes: x−33
=y
−6=
2−z2
a) Déterminez les traces de db) Donnez une représentation paramétrique de la droite dc) Représentez graphiquement la droite d (esquisse soigneuse !)
Ex.1 a) a⃗⋅b⃗ =-2 , a⃗⋅c⃗ =0 et b⃗⋅c⃗ =16 b) a⃗ et c⃗
c) (2 a⃗ - b⃗ ) ⋅ ( b⃗ + c⃗ )=-40
d) a⃗ ⋅ ( b⃗ + c⃗ )= a⃗⋅ b⃗ + a⃗ ⋅ c⃗ =-2 Le produit scalaire est distributif sur l'addition
Ex 2 Comme A⃗B = D⃗C , le quadrilatère est un parallélogramme.
Comme de plus A⃗B ⋅ B⃗C , ce parallélogramme est forcément un rectangle.Ex. 3 Ces deux droites sont de direction perpendiculaire.Ex. 4 Les angles sont (environ) : 55,46° , 77,08° et 47,46°.Ex. 5 Le point d'intersection est I(0 ; 2 ; 0). L'angle est 126,27° ou 53,73°.Ex. 6 a) a⃗ et d⃗ ; a⃗ et g⃗ ; b⃗ et h⃗ ; d⃗ et m⃗
Série 55 3MA1 / Géométrie vectorielle / janvier 2016
ObjectifsDéterminer lorsqu'un point appartient à un plan Déterminer l'équation paramétrique et l'équation vectorielle d'un plan Représenter un plan dans l'espace à l'aide de ses traces Déterminer les positions relatives de droites et de plans, et déterminer leurs intersections
Source: h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma3-geometrie.pdf
Ex.1.Soit Π le plan d’équation : 2x+3y-3z-5=0. a) Les points suivants appartiennent-ils au plan Π ? A(0 ;2 ;2) B(4 ; 3/2 ; 5/2)b) Trouver trois points distincts C , D et E ∈ Π et différents de A et B.
c) Trouver deux vecteurs directeurs et un vecteur position à Π .
d) Déterminer l’équation vectorielle(représentation paramétrique) et les équations
paramétriques de Π .
Ex.2.
Soit Π le plan d'équation : (xyz )=(
315)+n(
−213 )+k (
1−43 ) ; k , n∈ℝ .
a) Les points suivants appartiennent-ils au plan Π ? A(3;4;3) B(4 ;-3;8) .
b) Trouver deux points distincts C et D ∈ Π et différents de A et B.
c) Trouver deux vecteurs directeurs et un vecteur position à Π .
Ex.3.
On donne les points A(3;4;0) , B(-3;8;1) , C(1;2;-3) , D(11;1;1) , E(3;3;-1) ,
F(8;3;1) , G(0;5;-1) , P(-5;-2;-5) et Q(0;4;-3)
a) Déterminer l'équation cartésienne du plan (ABC)
b) Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite (PQ) et du plan (ABC))
c) Montrer que la droite (DE) est incluse dans le plan (ABC)
d) Montrer que la droite (F;G) est strictement parallèle au plan (ABC)
Ex.4.Trouver les équations paramétriques d'un plan Π passant par le point A(2;0;-3) et
contenant les vecteurs suivants : a⃗=(2
−16 ) et b⃗=(
0−35 )
Ex.5.La colonne de gauche sert à représenter graphiquement le plan, celle de droite définit celui-ci en donnant trois points non alignés lui appartenant.a) Dessiner (à gauche) le plan satisfaisant les conditions (de droite).b) Trouver, avec ou sans calculs, l’équation paramétrique correspondante.Exemple :
a) (0 ;0 ;0) ,(1; 0; 0)et (0 ;1 ;0) ∈ Π
Équation paramétrique de Π :
(xyz )=t (
100)+s(
010) ; t , s∈ℝ
b) (0 ;0 ;2),(1 ;0 ;2)et(0;1 ;2) ∈ Π
c) (3 ;0 ;0), (3 ;1 ;0)et (3 ;0 ;1) ∈ Π
d) (1 ;0 ;0) ,(1 ;1 ;0)et (0 ;0 ;1) ∈ Π
Équation paramétrique de Π :
e) 2;3;0 , 0;3;0 et 0;0;2
Équation paramétrique de Π :
Ex.6.Déterminer les coordonnées du point d'intersection d'une droite d et d'un plan α , dans les cas suivants:
a) d : {x=−4−5ky=8+6kz=3−k
k∈ℝ
α : 2x+3y-z-5 =0b)d : {
x=4+3ky=3+kz=4−k
et α : {x=3+3 p−qy=−2−5 p+qz=7+3 p−q
c) d(AB) avec A(-1;0;4) et B(1;2;0) α : x-y+2z-3=0
Ex.7.
Soit Π le plan d’équation vectorielle : (xyz )=(
4−23 )+k (
−77
−4)+m(−34
−4 ) ; k ,m∈ℝ .
Décrivez et illustrez (sans les axes de coordonnées) le sous-ensemble du plancorrespondant à chacune des données suivantes.
a) k=0 et m=1 c) m=0 et −1≤k≤1
b) k=1 et m∈ℝ d) 0≤m≤1 et 0≤k≤2
Réponses:
Exercice 1a) A B b) Par exemple :
Posons x=1et y=0 , on calcule z : C(1 ;0 ;-1) Posons x=1 et y=1, on calcule z : D(1 ;1 ;0) Posons x=−2et y=0 , on calcule z : E(-2 ;0 ;-3)
c) Par exemple : Vecteurs directeurs : et C⃗D=(0
−1−1) et C⃗E=(
−3−1−3)
Vecteur position : O⃗C=(110)
d) (xyz )=(
110)+s (
0−1−1)+t (
−3−1−3) et {
x=1−3 ty=1−s−tz=−s−3 t
, s , t∈R
Remarque : La représentation paramétrique, vectorielle et cartésienne d’un plan n’est pas
unique.
Exercice 2a) A B b) Par exemple : C(3;1;5) et D(1;2;8)
c) Par exemple : Vecteurs directeurs : D⃗C=(−213 ) et C⃗B=(
1−43 )
Vecteur position : O⃗C=(315)
Exercice 3
a) (ABC ) :(xyz )=(
340)+k (
−641 )+n(
−2−2−3) et (PQ ):(
xyz )=(
−5−2−5)+t (
562) ,t ∈R
le point d'intersection entre le plan et la droite est: (−1513
;3413
;−4513 )
b) (ABC ): x+2 y−2 z−11=0
c) (DE ):{x=11−8 sy=1+2 s1−2 s
, s∈R
Exercice 4
Équations paramétriques de :
x 2k 2
y k 3 ,k
z 6k 5 3
¡
Remarque : La représentation paramétrique et cartésienne d’un plan n’est pas unique.Exercice 5
a) 0;0;0 , 1;0;0 et 0;1;0
Équation paramétrique de :
(xyz ) = t ∙(
100)+s ∙(
010) , s, t∈R
Remarque : planOxy
b) 0;0;2 , 1;0;2 et 0;1;2
Équation paramétrique de :
(xyz ) = (
002)+t ∙(
100)+s ∙(
010) , s, t∈R
Remarque : // planOxy
c) 3;0;0 , 3;1;0 et 3;0;1
Équation paramétrique de :
(xyz ) = (
300)+t ∙(
010)+s ∙(
001) , s, t∈R
Remarque : // planOyz
d) 1;0;0 , 1;1;0 et 0;0;1
Équation paramétrique de :
(xyz ) = (
100)+t ∙(
010)+s ∙(
−101 ) , s, t∈R
e) 2;3;0 , 0;3;0 et 0;0;2
Équation paramétrique de :
(xyz ) = (
030)+t ∙(
100)+s ∙(
0−32 ) , s, t∈R
Exercice 6:
a) k=−89
donc ( 49 ;83;359 ) b) k=−1 (1;2 ;5 )
c) d :(xyz ) = (
−104 )+t ∙ (
22
−4) , t∈R on trouve t=12
donc le point cherché est:
(0 ;1;2 )Exercice 7:
a) A(1 ;2 ;-1) est un point appartenant au plan .
b) C' est l'équation d'une droite appartenant au plan de vecteur directeur v⃗=(−34
−4 ) et de
vecteur position O⃗A=(−35
−1) .
c) C'est l'équation d'un segment de droite d'extrémité A(11 ;-9 ;7) et B(-3 ;5 ;-1) appartenant auplan .
d) C'est un plan limité par les points : A(4 ;-2 ;3) , B(1 ;2 ;-1) , C(-10 ;12 ;-5) et D(-13 ;16 ;-9).
Série 56 3MA1 / Géométrie vectorielle / janvier 2016
ObjectifsDéterminer les positions relatives de plans et déterminer leurs intersections
Source: h ttp://dcpe.net/POII/sites/default/files/cours%20et%20ex/ex-ma3-geometrie.pdf
Ex.1.Soit le plan d’équation Π : 0.5x -y +2z=1 et le plan d’équation Π ' : -x+2y-4z=-2 Déterminez l'intersection des deux plans Π et Π ' et donnez leurs positions relatives.
Ex.2.Soit le plan d’équation Π : x +2y -z= -6 et le plan d’équation Π ' : 3x+y-2z=-1 Déterminez l'intersection des deux plans Π et Π ' et donnez leurs positions relatives.
Ex.3.Soit le plan d’équation Π : 3x -y -z= -2 et le plan d’équation Π ' : -6x+2y+2z=3 Déterminez l'intersection des deux plans Π et Π ' et donnez leurs positions relatives.
Réponses:
Exercice 1L'intersection est le plan lui-même, car les deux plans sont les mêmes.
Exercice 2
L'intersection est une droite: {x=11+3ky=1k
z=17+5kk∈ℝ
Exercice 3Pas d'intersection, les plans sont parallèles, mais différents