Lösung von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen Musterbeispiel: 5 ( x - 2 ) + 3 x = 2 ( 5 - 3 x ) (Vereinfachen!) 5 x - 10 + 3 x = 10 - 6 x (Vereinfachen!) 8 x - 10 = 10 - 6 x / + 6 x (x - Terme auf einer Seite sammeln!) 8 x - 10 + 6 x = 10 - 6 x + 6 x (Vereinfachen!) 14 x - 10 = 10 / + 10 (Zahlenterme auf anderer Seite sammeln!) 14 x - 10 + 10 = 10 + 10 (Vereinfachen!) 14 x = 20 / : 14 x = d.h. L = { } 20 14 = 1 3 7 1 3 7 Manche Schritte beim Vereinfachen kann man zusammenfassen, so dass die Rechnung schneller zum Ergebnis führt! Löse die folgenden Gleichungen nach dem gleichen Schema: 1) 2 ( 3 x - 4 ) + 5 = 6 - 7 ( 8 x - 9 ) 2) 5 ( 2 x - 3 ( 4 - x ) ) + x = 2 ( 3 x - 5 ) 3) 2,5 x - 3,4 ( 2 - 3 x ) = x : 2 - 12,9 4) 2,3 - 4,5 x = 6,7 - 8 x 5) 7 4 x − 3 ( 3 2 x − 2 5 )= 3 4 ( 2 − 3x ) 6) 9 x - 8,7 = 6 ( 5,4 + 3 x ) - 2,1 7) 7,6 x - 5 ( 4,3 - 2,1 x ) = 6 ( 5,4 + 3,2 x ) 8) 5 ( 4 - 3 ( 2 x - 1 )) + 2 x + 3 = 4 ( 5 - 6 ( x + 7 ) + 8 ) 9) 12 x - 3 ( 5 - 4 ( 2,5 - 3 x ) + 2 ) = 4 ( 3,5 - 2,25 x ) + 32,5 10 ) 100 - 5 ( 20 x - 20,5 ) + 2,5 = 5( 5x - 9 ) Wie lautet das Lösungswort? O A I C L N S H E L E B 50 38,5 12,3 2,5 2 1 9 35 1 5 31 -0,5 -0,6 -2,5 − 4 1 3 -49 Mathematik -Intensivierung * Jahrgangsstufe 7
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Mathematik -Intensivierung * Jahrgangsstufe 7 …x + 1cm x + 9cm x - 1cm 2x x - 3cm x + 5cm x - 1cm x + 1cm Mathematik * Jahrgangsstufe 7 * Einfache Textaufgaben 1. Finde die gesuchte
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Lösung von Gleichungen durch Äquivalenzumformungen
Musterbeispiel:
5 ( x - 2 ) + 3 x = 2 ( 5 - 3 x ) (Vereinfachen!)5 x - 10 + 3 x = 10 - 6 x (Vereinfachen!)8 x - 10 = 10 - 6 x / + 6 x (x - Terme auf einer Seite sammeln!)8 x - 10 + 6 x = 10 - 6 x + 6 x (Vereinfachen!)14 x - 10 = 10 / + 10 (Zahlenterme auf anderer Seite sammeln!)14 x - 10 + 10 = 10 + 10 (Vereinfachen!)
14 x = 20 / : 14
x = d.h. L = { } 2014 = 1 3
7 1 37
Manche Schritte beim Vereinfachen kann man zusammenfassen, so dass die Rechnung schnellerzum Ergebnis führt!
Löse die folgenden Gleichungen nach dem gleichen Schema:
1 ) 2 ( 3 x - 4 ) + 5 = 6 - 7 ( 8 x - 9 )2 ) 5 ( 2 x - 3 ( 4 - x ) ) + x = 2 ( 3 x - 5 )3 ) 2,5 x - 3,4 ( 2 - 3 x ) = x : 2 - 12,94 ) 2,3 - 4,5 x = 6,7 - 8 x
5 )74 x − 3 (
32 x −
25 ) =
34 ( 2 − 3 x )
6 ) 9 x - 8,7 = 6 ( 5,4 + 3 x ) - 2,17 ) 7,6 x - 5 ( 4,3 - 2,1 x ) = 6 ( 5,4 + 3,2 x )8 ) 5 ( 4 - 3 ( 2 x - 1 )) + 2 x + 3 = 4 ( 5 - 6 ( x + 7 ) + 8 )9 ) 12 x - 3 ( 5 - 4 ( 2,5 - 3 x ) + 2 ) = 4 ( 3,5 - 2,25 x ) + 32,510 ) 100 - 5 ( 20 x - 20,5 ) + 2,5 = 5( 5x - 9 )
Wie lautet das Lösungswort?
OAICLNSHELEB
5038,512,32,521 9351
531-0,5-0,6-2,5− 4 1
3-49
Mathematik -Intensivierung * Jahrgangsstufe 7
Das Lösungswort lautet SCHNEEBALL
Mathematik -Intensivierung * Jahrgangsstufe 7
Mathematik * Gleichungen * Jahrgangsstufe 7Löse die Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen! Finde das zugehörige Lösungswort!
ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA
2625242322212019181716151413121110987654321
1. ( 7 + 5 $ x ) : 4 + 6 = 7 $ 2
2. 80 − 10 $ ( 40 − 2 $ x ) = 40
3. ( x + 36 ) $ 3 − 100 = 50
4. 12 + ( x + 1 ) : 4 = 17
5. (x : 4 + 5 ) $ 6 = 7 2 + 11
6. 2 $ ( 50 − 21 ) = 2 $ x + 4 $ 8
7. 10 2 = 7 $ (x + 7 ) + 44
8. 3 3 + 1 = 4 $ x 2 − 8
9. 3 $ 7 = ( 7 + 7 $ x ) : 3
Mathematik * Gleichungen * Jahrgangsstufe 7
Löse die Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen! Finde das zugehörige Lösungswort!
m) (10 2x) 5 20− ⋅ = n) 120 : x 15= p) x : 120 15= 2. Finde wieder alle Lösungen der folgenden Gleichungen durch Überlegen und Probieren! Nun ist es aber schon ein klein wenig schwieriger! Manchmal gibt es auch mehr als nur eine Lösung!
a) 2x (2x 12) 0⋅ − = b) 23x 75= c) x (x 1) 56⋅ + =
3. Hier kommen auch ungewöhnliche Lösungsmengen vor.
a) x 0 3⋅ = b) x 0 0⋅ = c) x 3 0⋅ =
d) x 3x 5x+ = e) x 3x 4x+ = f) 23x x (x 3) x− + = − ⋅ 4. Und jetzt wird es echt schwierig! Jede Lösung ein „gemeiner“ Bruch. Wer schafft es trotzdem, die Lösungen zu finden? Wie muss man vorgehen?
a) 3x 4 5 6+ = ⋅ b) (x 5) 4 3+ ⋅ = c) 100 2 (5x 3) 40− ⋅ + =
d) 2 3x
64 5
+=
+
e) 6 5
24 3x
+=
−
f) 2 (100 6x) 208⋅ − =
Viel Spaß beim Knobeln!
Mathematik * Jahrgangsstufe 7 * Gleichungen (Blatt1) Wir lösen Gleichungen durch Überlegen und Probieren * Lösungen 1. a) x = 64 b) x = 17 c) x = 13 d) x = 60 e) x = 36 f) x = 52 g) x = 7 h) x = 9 k) x = 2 m) x = 3 n) x = 8 p) x = 1800 2. a) x1 = 0 ; x2 = 6 b) x1 = 5 ; x2 = − 5 c) x1 = 7 ; x2 = − 8 d) x1 = 6 ; x2 = − 6 e) L = { } f) x = 0,5 g) x1 = 4 ; x2 = − 4 h) x = 2 k) x = 1 m) x = 4 n) x1 = 5 ; x2 = − 5 p) x = − 25 3. a) L = { } b) L = Q c) x = 0 d) x = 0 e) L = Q f) L = Q
3. Löse das Zahlenrätsel mit Hilfe einer Gleichung! Nenne dabei die gesuchte Zahl x und stelle eine zum Text passende Gleichung auf!
a) Multipliziert man eine natürliche Zahl mit ihrem Vorgänger, so ist dieses Produkt um 30 kleiner als das Produkt dieser Zahl mit ihrem Nachfolger! Wie heißt die Zahl?
b) Addiert man zum 8-fachen einer Zahl 30, so ist diese Summe 5-mal so groß wie die Summe aus 30 und dieser Zahl. Wie heißt die Zahl?
c) Addiert man zum Dreifachen einer Zahl 70 und teilt das Ergebnis durch 5, so erhält man genau das Doppelte der Zahl. Wie heißt die Zahl?
d) Subtrahiert man vom 5-fachen einer Zahl 60, so erhält man das Dreieinhalbfache dieser Zahl. Wie heißt die Zahl?
e) Ich denke mir eine natürliche Zahl, addiere zu ihr das 6-fache ihres Nachfolgers und erhalte dabei um 30 weniger, als das 10- fache dieser Zahl. Wie heißt die Zahl?
Mathematik * Jahrgangsstufe 7 * Einfache Textaufgaben 1. Finde die gesuchte Zahl!
a) Subtrahiert man vom Fünffachen einer Zahl 17, so erhält man die Summe aus 75 und dieser Zahl.
b) Addiert man zur Hälfte einer Zahl das Produkt aus 7 und 8, so erhält man um 7 weniger als das Fünffache dieser Zahl.
c) Addiert man zu einer natürlichen Zahl ihren Nachfolger und dividiert dann das Ergebnis durch 3, so erhält man die Differenz aus dieser Zahl und der Zahl 3.
d) Addiert man zu einer Zahl das Produkt aus 4 und 7, so erhält man das 4,5-fache dieser Zahl. e) Subtrahiert man von 1000 das 8-fache einer Zahl, so erhält man um 10 mehr als das
Dreifache dieser Zahl.
2. Die zwei abgebildeten Rechtecke haben
den gleichen Umfang.
a) Bestimme diesen Umfang!
b) Haben die beiden Rechtecke auch den
gleichen Flächeninhalt?
3. Bestimme jeweils die drei Innenwinkel des Dreiecks!
a) Der Winkel α ist um 10o kleiner als das Doppelte von ß und γ ist um 6o größer als ß.
b) Der Winkel ß ist das 2,5-fache von α und α ist um 9o kleiner als γ.
c) Der Winkel γ ist halb so groß wie die Summe von α und ß, und ß ist doppelt so groß
wie α .
d) Der Winkel γ ist um 12o größer als ß und ß ist um 15o kleiner als α .
4. Die beiden Rechtecke haben den gleichen
Flächeninhalt.
a) Berechne x.
b) Haben die Rechtecke gleichen Umfang?
5. Schwierige Aufgabe für Experten zum Knobeln:
Die drei Geschwister Patty, Charlie und Linus sind zusammen gerade so alt, wie ihr Vater zur
Geburt von Patty war. Patty ist um 3 Jahre älter als Charlie und Charlie ist doppelt so alt wie
Löse die Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen ohne Verwendung des Taschenrechners! Finde das zugehörige Lösungswort!
1 ) ( )3 4 4
0, 2 x 0,2 x 0,34 5 5
⋅ − = ⋅ −
2 ) ( )2 2 2 3
x x 0,753 3 3 4
⋅ − + = ⋅ +
3 ) ( ) ( )2 3,5 4,5 x 4 6 7,5 8,5 x⋅ − − = ⋅ −
4 ) ( )1 2 1 2
5 x 5 x 12 3 2 3
⋅ − + = ⋅ −
5 ) ( )5 7 3
x 4 x 26 8 5
− = ⋅ −
6 ) 3 4 2 5 3 2
x x8 9 3 6 4 3
⋅ − = ⋅ −
7 ) 4 3 2 3
4 x 2 x 0,55 4 5 4
− ⋅ = ⋅ −
8 ) ( )1,2 3x 4 5,6 7 x 8,9− + = −
9 ) 2 5 1 3 1
x 2 x 1 2x3 8 3 4 2
− ⋅ − = ⋅ −
10) ( )2 5 3 1 3
x x 0,5 1 1,5 x3 8 4 3 8
⋅ − − = ⋅ −
11) ( ) ( )2,4 5 x 0,8 1, 2 x 0,6 3,5 2 x⋅ + − = ⋅ −
12) 3 2
2,5 2 x 8 7,5 x4 3
⋅ − = − ⋅ +
1 1
412
− 13
45 4,5
13
29− 29
234
39
188 0,58
52
63 2,45
3
23 8 0,015 0,45
M O F A M E E R R E I S E N
Lösungswort: SOMMERFERIEN
Mathematik * Textaufgaben für die Jahrgangsstufe 7
Beachte folgende Punkte beim x- Ansatz :
1 ) Gib genau an, was die Unbekannte x sein soll!
2 ) Übersetze die Textinformation in eine Gleichung!
3 ) Löse die Gleichung!
4 ) Gib eine Antwort! (Prüfe die Lösung gegebenenfalls mit einer Probe!)
Aufgabe 1
Addiert man zu einer Zahl 5 und subtrahiert man vom Doppelten dieser Summe 3, so erhält man das Dreifache dieser Zahl. Berechne diese Zahl!
Aufgabe 2
Ein Vater hinterlässt seinen drei Söhnen sein Vermögen in Talern. Der erste Sohn soll 1600 Taler mehr als der zweite erhalten. Der dritte Sohn bekommt 25% des Gesamtvermögens und damit 800 Taler weniger als der zweite Sohn. Wie viele Taler hinterlässt der
Vater?
Aufgabe 3
Albert ist jetzt dreimal so alt wie Bernd vor 5 Jahren war. In 5 Jahren wird Albert doppelt so alt sein wie Bernd jetzt ist. In wie viel Jahren wird Albert volljährig?
Aufgabe 4
Verlängert man bei einem Quadrat zwei gegenüberliegende Seiten um je 3cm und verkürzt die beiden anderen Seiten um je 4cm, so entsteht ein Rechteck, das einen um 26cm2 kleineren Flächeninhalt als das Quadrat hat. Wie groß war der Flächeninhalt des Quadrats?
Aufgabe 5
Bei einem Rechteck ist die Länge um 4,5cm größer als das Doppelte der Breite. Der Umfang des Rechtecks ist um 68,5cm größer als die Länge. Welchen Flächeninhalt hat das Rechteck?
Aufgabe 6
Hans hatte vor einem halben Jahr 400,- € mehr auf dem Konto als Peter. Hans bekommt 3,0 % Zinsen, Peter aber 4,0 %. Jetzt heben beide ihr gesamtes Geld ab. Nun hat Peter nur noch 396,- € weniger als Hans. Wie viel Geld hat Hans jetzt?
Aufgabe 7
Peter bringt einen Geldbetrag zur Bank, der mit 5,0 % verzinst wird. Nach zwei Jahren hat er 264,60 €. Wie viel brachte Peter zur Bank?
Aufgabe 8
Ein Autohändler verkauft ein aus der Fabrik stammendes Auto mit 20 % Gewinn an Herrn Meier. Herr Meier verkauft das Auto mit 8 % Gewinn an Herrn Schulz. Das Auto ist jetzt um 5328,- € teurer als der Fabrikpreis. Welchen Gewinn hatte der Autohändler?
Aufgabe 9
Hans eröffnet für einen Totogewinn ein Konto in einer Bank. Nach genau einem Jahr zahlt er zusätzlich 350,- € ein. Nach genau einem weiteren Jahr kann er 4266,50 € abheben. Wie hoch war der Totogewinn, wenn er im ersten Jahr 5,0% und im zweiten Jahr 6,0% Zinsen erhielt?
Mathematik * Textaufgaben für die Jahrgangsstufe 7 * Lösungen
Aufgabe 1
(x 5) 2 3 3 x 2x 10 3 3x x 7+ ⋅ − = ⋅ ⇔ + − = ⇔ =
Aufgabe 2
1. Sohn erhält (x 1600)Taler+ 2. Sohn erhält x Taler
Die Schachtel enthält 12 Pralinen der teueren und 6 Pralinen der billigen Sorte. 3. x = Anzahl der Gramm vom Darjeeling, y = Anzahl der Gramm vom Ceylon-Tee z = Anzahl der Gramm vom Assam-Tee a) x 3, 2Ct. z 2,1Ct. 21,80 € und x z 750⋅ + ⋅ = + =
3, 2 x 2,1z 2180 und z 750 x 3,2 x 2,1(750 x) 2180+ = = − ⇔ + − =
3, 2 x 2,1x 1575 2180 1,1x 605 x 550 und z 200− + = ⇔ = ⇔ = =
In der Mischung sind 550g Darjeeling und 200g Assam-Tee. b) y 2,5Ct. z 2,1Ct. 23,60 € und y z 1000⋅ + ⋅ = + =
2,5 y 2,1 (1000 y) 2360 0, 4y 260 y 650 und z 350+ ⋅ − = ⇔ = ⇔ = =
In der Mischung sind 650g Ceylon- und 350g Assam-Tee. c) x 3,2Ct. y 2,5Ct. z 2,1Ct. 2660Ct. und x y z 1000 und y z⋅ + ⋅ + ⋅ = + + = =