Top Banner
114

Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

Jan 24, 2017

Download

Documents

hoanghanh
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� �������������� �������� � �������������� ���� �!��"��#�%$ � �&�'��� ���

( )+*-,/.1032�465/.1*-,/78592;:'2+.6)+<=0>2?0

@%ACBEDGF6HEIKJCL�I#MNL�OPB

QSRUTWV�XZY-[]\_^a`-bcT8dUXZe3Y-XZfhg;XZ^aRUTWijkY-XZbh^UYkblnm�Yk`8m�T-R�g�o�T-RUXZ^aXZ^Upqrbh^8`8T8bhe

Page 2: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

���

��� ������������ ����������������� ��������������� �� ��!#"���$%���&����'�'��)(���$#*+�,!-'�����"���������.#'���$#�� �/0,1���2���� �3 �4"-��*5 ����1��$6� � �$#����!- 7��'8��������$#������9;:8!#� � � ��!<"���$%���=�2/8.-������'�'�/&���5$#� ������!-�����>"���?5�� ����@�� ��)(A"CB)"� 7�D(�$&�� ���,E?D�5 ����5!<�="���������.#'���$-���F '������G��������$#������BH. � /8��������BH� � ��,I��� �� �/5BH,1�)� � ��,1����������BH� ���������2��������BH��$-*5��$-���� ���$-*<9�9�9�JK�5$#"+"� 7�D(�$���)(��� 7"L� � ���$����� ��M�5���ONP���2(Q����$R� � �S$#�)��!- ��5'���������$#������9T:8!#� � �2��!#"���$%�7�I ���U�!#�� ��L�6�� ���� � ���5!- 7���O��$R� � �����S ���'���?)��$%���!-N�V2�������Q� � �)��� � �� ��>W# 7� ��"-��*5 ����X(Q����YPZ)[\��$=]�� � ����NP�%��^1*5��?5���Q�5$_��$%�� ��8"-!#�`������$_����,1�)� � ��,1����������'a��^8��'�'�����5 �$#�5$�bc,1�)� � ��,1�)���������5$#���)��,1�5� ���� �3 ��'���?5��'d9

��� �G*5!-��"���$-*_.# ���$#����.-'������X� � ����,I�5$8/S���5$#����.��7�&�� ��NP��� �&*� ���� .P��"+�e�@��$-�G(\�� �^��A��$-�53 ��(Q�D/L���)(Q�5 �"� � ��,f� � ���!-* � �_���� ������>�5�@������ 7����������� � �)�&*5 7�5"-!#��'�'�/S�5"-,G���&,G�� ��G����,G.#'����8���2/59�g>'����#Ba����$<���h`3 ?5�����5!#$#"� � �)�A$-��$�bi,1��� � ��,I������������$#��� � !��>"��)(�$L� � ���� �N- ��5��$<��.- ���bc��,I.�����?5��'�/_��$�I"�������$#����?��� ���� .P�5$#�������j���� �������$���� �,I��$-�5'��5*�/5B%h@��$%�� ��8"-!#����$-��(k���� �,I��$-�5'��5*�/I���\� � �&?5�� �/1'��5� �Q,I��,G��$%��B-�)�l���� Q� � �&� ��!<"���$%� � �5� F h � ��.<�DJ"��������)?5�� ���"_� � �����5$#����.��>���5 � ��,_m � �� 7� ��'e�n��$� � �������� 7����������9�h�(\��!-'�"S$#���>��$%�� ��8"-!#������� �,I��$#�5'��5*5/L�)�X�5'�'(Q�� ������A$-�5�Q���� �� � �&�M���`��� � �)��� � �4�2��!#"���$��>�5'���� � �5�Q���1*�����$S�5���������\���I� � ��'������� �����!- ��59

o �� ��nhp ���?%����(A�qN#�5��������^8��'�'���9 o �� ��qh hn"�����'��n(��e� � � � ������ ��Q����� � $-��U%!-���@$-����"���"G�����.-.#'�/�,I��� � ��,1�)���������$6� � �1$#����!- 7��'\��������$#������9 o �5 ��h�h h�"����5'��4(��e� � ?D�5 ����5!<�����5.#������( � ��� � �� ���U%!-��$%��'�/r�� ���� �I!#������!-'\��$6,�!-'eb����"���������.#'���$#�� �/K ���� ���� 7� � 9rs � ��.-���� Ltj�����0.- ��� ���U%!-��� �����1���� �� � �5.����� ���u-Bpv#B\w�Bn��$#"yx#96s � �5.����� Gz+�����.- ��� ���U%!-��� �����G���� � � ��.-���� 7��v<B;{�Bp��$<"K|#9Ss � �5.����� 4uS�����S.- ��� ���U%!-��� �����G���5 �� � ��.����� }#9Ls � �5.����� 4v����.- ��� ���U%!-��� ���������� �.#�� ������5�;� � �5.����� Xw89

hp��,~?��� �/4*5 7�)������!-'����4�2��!#"���$��7�n( � � � �D?��Q.P�5��$%����"I�5!��q�� � ��5 7�=��$I� � �������� 7����� �������5��$#�)� � ��$IgA �,I�5$#"CB� ��*5��'a�>/��� �B#����N<�� �>�&�� 7"�$-�� �B-���5!#^5�I�&�%��� � �� �B-:%����?5��$L�&��"-"�'��5B#�5$#"L�>�D/8'���/_��� �'���/�9

�;�D��2�&�����n�`�5� �p���%�#��� �5 �^8��$#*�� � ��5!-* � � � �n����'�'��)(���$-*������� 7���������H/5��!&(���'�'�U%!-���7^8'�/�*5'����5$&�5$&�)?5�� �?8����(0�� ���?8����(R�5�H���5,I�����P� � ������� ��$������5'�,1�)� � ��,1�)��������'#��^8��'�'��n� � ���@�� ��Q$#����"-��"����5 @��,�!-'e����"-��������.-'���$#�5 �/�,1�5� ���� �3 �"���*5 ����Q��$�� � ��$<�)��!# ��5'8��������$<������9��A��,I��,�N<�� ���( � ��$G/5��!��� ����2��!#�7^4���p( � ��$G/5��!'����� �$a9p�>�5 �"��� p������ 7����� ���� ���� ���(���� � � � �Q(\�� �"#�A�7sQ�5$�/5��!a9�9�9��-9p:8!#���������2��!#'%���5,I.-'��������5$����� � ����� � �5 �"��� =���8�� ����������=����$-�5��$-������������ �/( � ��$+/5��!+�� ��&W# �� �X(Q�5 �^8��$#*I� � ��5!-* � � � ��,1�)���� �����'i9A�A�)(Q��?��� �B�� � �/5��!,!#� ��� ����'�'=�7��^5�$-���������4���@�5$%/ �����!-'e�7���2�7�)����"L��$O� � �������� 7����� ��B-� ��$#����( � �)�����5'�'��)(A�\(���'�'a*5��$-�� 7��'�'�/j"-��.P��$#"S��$_� � ���A,I������ �����'i9

� �����5������$#��'�'�/5B�/��5!j�� ��A�5��^5��"G���� ���?%����(��� q ���?8�����>�&���5.-����9;�q�5!j� � ��$ � �D?5�A���4 ��������5 �� � � � �>,1�)���� ����5'!#����$#*��������8� bcNP�%��^I�5 \�5$j�5$-bi'���$#�> ������5!- 7����9 � � ��'��X� � ��� � �������A���=� � ��� �X ���� ��!- ������n���\��$%���� ���'�/I!-._����/5�5!=B� �� ��&���A�G'����2�A�5�=�����8��NP�8�5^��Q� � ���Ah\.<�� �������!-'��� �'�/1 ������5,I,I��$#"a�

�@�d���8�� O�-¡M¢P�%£� )� �X�D?8��"SsX9#¤��D/H�p¤=��$#���� Ag>'�*���N- 7�G��$#"Lhc����g>.-.-'������)������$#� F gX"-"���� ��$�b � ��� '���/-J¥L��¦@�% )�8�H§��M�#¡\�8¨C©;��§��dª<�;« ���5,G���qsX9D�A�5N-��$#���5$a�=g>$�h¬$%�� ���"�!#�������5$��� � �"���$#�5 �/��X�e­H�� ���$%������'�®\U�!<�)�����5$<�

F sQ��,�N- ���"�*�� � ���8�7����$SgA.#.-'�����"�0�)� � ��,1�)��������J¯& )ª#£p��£p�M¡d��§7° �G9P��9H�� ���,G,I��� ��BH��9P��9H:%���� �±���^��� �� o ��5N<��N-��'����2/O�5$#"�A�5$#"��5, o �������������� F � �%���� �":����eb

��$#��� o !-N-'������)������$#��J² §���§��M«�§��M³�« ¤a�����<9D´��5��$aB��+�)�®@$-*5��' � �5 �"����Ch¬$%�� ���"�!#�`������$4��� o ���N#��N-��'��e�2/���$<"�+��� � ��,I���������5'�:8���)����� �������

F �X!���N-!- �/Ls\'����������&:��� �������Jµ©;¶y�% D�d³5�-¡\�-�;�-¡�°a«��M« ����� � �� 7"L´\!# �"���$aB-�<9#�>��!-*5'��5��·<���� ������ � !#,G�� ������5'agA$#�5'�/������ F ´Q ��8�5^��>s\��'��DJ

Page 3: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� ������������

� ��������������� �� ¥L��¦@�% )�8�H§��M�-§��MªP�������H§��%¢< )��§��dª<�

t59�t ��� �&��!-$<"-��,I��$%�7��'="���W#$-�������5$ 9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 ut59 z o �)(Q�� 7��9&9�9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 ut59 u �X�e­H�� ���$%�����)������$S �!-'���� 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 ut59 v ��� ���"���­P�� ���$%�����)�����5$L �!-'���� 9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 ut59 { ·- 7�5�������5$#�5'C.<�)(Q�� 7�G9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 vt59 } gA$%����"��� ���?)�)����?����f9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 vt59 w g ��.<��������'=�5 ������.<�� ������5 9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {t59 x gA$+�5 ����4��!#$#�`������$ 9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {t59 | �X�e­H�� ���$%�����)����$#*I� � �4�5 ����4��!-$<�`�����5$ 9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {t59�t"! ��� �� ���'��)������$#� � ��.LN<���2(\����$S"��� ���?D������?5������$#"L�� ������ 9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {t59�t5t6gA ���������$#"S�5$�����"-�� ���?)�)����?���� 9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }t59�t�z ��� �&��!-$<"-��,I��$%�7��'C� � ���� ���, ���p����'���!#'�!#��9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }t59�t�u gE.- ��5N-'���, (��e� � .<�)(Q�� 7��9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }t59�t�v�g ��.<��������'=�5$�����"-�� ���?)�)����?�� 9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }t59�t�{$#r���A�G'���*��� ���� � ,f9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 wt59�t�} ��� ��$#����!- 7��'C'��5*%�� ��e� � , 9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 wt59�tDw ��� �����8.P�5$#��$%������'H��!-$<�`�����5$ 9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 wt59�t�x ��� ��$8!-,�N<�� &%+9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 wt59�t�|�:8��,G����$%���� ����2����$-* F ��$%���lJ2"��� ���?)�)����?����I9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 wt59 z'! gA$+�5.-.- ��D����,1�)������$ 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 xt59 z�t6�A��* � �� >"��� ���?)�)����?�����9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 xt59 z5z gA.#.- ��D����,1�)����$-*1� � ��* � "��� ���?D������?5� 9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 xt59 z�u �+�5$%/O��$%����"���­P�� ���$������������5$S�2����.#�L9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 xt59 z)v�gE!#������!-'a���5 �,!-'�� 9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |t59 z5{ � (Q�G?��� �/_��.<��������'H��!-$#�������5$#�&9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |t59 z�} ��� ��'���$#^_(���� � �� ���*��5$-��,I���� �/ 9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t(!

)+* �8³�§�ª< )«1�-�-,T¶y��§� )�d³5�8« �.�z�9�t g ����,I.-'��4�2�7�� ��>9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t�tz�9 z �+���� ��������9�9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t�tz�9 u0/n�������� A'���$-*�� � 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t�tz�9 v1/n�������� A��U%!#�5'����2/ 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t�tz�9 { gE?5���`���5 �����,I���A�G$8!-,�N<�� �9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 tDzz�9 } g>"#"���$#*1?5�������� �� 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 tDzz�9 w+/n�������� A��U%!#�������5$#� 9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 tDzz�9 x ��� ��&�5$L?5���`���5 ���U%!#�������5$#� 9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t�uz�9 | g � � �5 �� � �5$#"O$-���7�)�����5$ 9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t�uz�9�t"! �!-'�����.-'�/8��$-*1,1���� �������� 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t�vz�9�t5t ��� ���� �"��� ����p,I���� ��e�O,!-'�����.-'������)�����5$S,1�)������ �� 9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t�vz�9�t�z�s\�5'�!-,I$#�A�5$#"O ��)(A� 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 tD{

�����

Page 4: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

��? �������������

z�9�t�u h¬$8?5�� ����&,I���� ��������Q9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 tD{z�9�t�v��+���� ��e�_.P�)(Q�� 7� 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 tD{z�9�t�{ � ��5$#� .P�����������5$ 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 tD{z�9�t�} ��� ������*���$8?)��'�!-�&.- ���N-'���, 9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t�}z�9�tDwR®q��*5��$8?D�5'�!#��� 9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t�}z�9�t�x ®q��*5��$8?5�������� ���9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t�}

¯& )ª#£p��£p�M¡d��§7° � �u-9�t h¬$%��!-������?5��.# ���N#��N-��'��e�2/ 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t�|u-9 z ®q?���$%���69&9�9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t�|u-9 u s\�5$<"��e������$#��'C.# ���N#��N-��'��e�2/ 9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z !u-9 v �A�5$#"��5, ?)�� ����5N-'�����9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z !u-9 { g>������*�$-��$#*G.# ���N#��N-��'��e�������69�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z-tu-9 } ��� �4´Q�� �$-��!-'�'��C?)�� ���������9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z-tu-9 w ��� ��N-��$-��,G����'C?)�5 ����)���T9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z-tu-9 x ��� �4"���� �� ���N-!-�����5$L��!-$#�������5$ 9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z-tu-9 | �X������ ������4��$#"L����$�����$8!-��!#�� 7��$#"���, ?)�� ����5N-'���� 9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z�zu-9�t"! gE!#������!-'=.- ���.<�� �2/ 9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z�zu-9�t5t o ��5N<��N-��'����2/j"���$#� ���2/ 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z�zu-9�t�z ®n�-�5,G.#'��������p.- ���N#��N#��'��e�2/j"-��$#���e�2/_��!-$#�������5$#� 9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z�zu-9�t�u h¬,I.<�� �7��$%�A.- ��5N#�5N-��'����2/j"���$<� ���2/j��!-$<�`�����5$<� 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z5uu-9�t�v � ��5$#�2���� �,1�������5$#�Q���; ��5$#"���, ?)�� ����5N-'����T9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z5uu-9�t�{ o ��5N<��N-��'����2/I�� 7��$<�2���� �,1� 9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z�vu-9�t�} ®n��.P�������)������$ 9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z�vu-9�tDwR®n��.P�������)������$O�5�p���� ��5$#�2���� �,I��"_ 7��$#"-�5, ?)�� ����5N-'���9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z�{u-9�t�x /q�� �����$#���r9�9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z�{u-9�t�| ®n��.P�������)������$O�5�p�I��!-, 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z5}u-9 z'! h¬$#"���.<��$#"���$#��� 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z5}u-9 z�t ��� �4� � ��b¬��U%!#�5 ���?)�� �������� 9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z5}u-9 z5z ��� ��s\��$��� ��5'a¤a��,I�e� ��� ���5 ���, 9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z%wu-9 z�u�:%��!#"���$%��3 �[ 9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z%wu-9 z)v s\�)?)�� ����5$#��� 9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z5xu-9 z5{ /q�� �����$#�����5�p�I��!-, 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z5xu-9 z�}�:8��,G�4���5,I,I�5$-'�/j!#����"L� ���)����� ������� 9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z5xu-9 z�w s\�5$<"��e������$-��$-*1�5$S�G ��5 �����?���$%� 9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z5xu-9 z�x g �� ����7^%/OU�!#��� �����5$ 9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z5|u-9 z�| gA$��,I.- ��)?5��"O��.-.# ��D����,I�������5$_���5 � 7�� ��X��?5��$%�7� 9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z5|u-9 u !�:��5,G.#'���$-*j����,I.-'�����������"_.- ��5N<��N-��'���� ������� �� �!#����!- ���� 9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 z5|u-9 u-t6�+�5 �^��)?Os � ����$L�+�5$%����sQ�5 �'�� 9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 u !u-9 u�z�s � �8������$-*G� � ��$-���8�>�2����.K9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 u !

����� ����� ����� � ���

� ¥O°a���-¶R�M³5« ��v#9�t :%�7�)����bd�� ��5$#���e������$_��!-$<�`�����5$<� 9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 u%{v#9 z s\�5$%����$8!-��!#�Q����,I� 9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 u%{v#9 u ´Q�� �$-�5!#'�'��d3 ��,I��� � ��" 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 u�}v#9 v ��� ��!-N#��U%!-������!#��!#���&���n"��e­H�� ���$%�����5'C��U%!#�)������$#� 9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 u�}v#9 { ·;��$<"���$#*I� � �4� ��������bi�� 7��$<� �������5$O��!-$#�������5$ 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 u8wv#9 } gA!-���5$#�5,/�9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 u�xv#9 w ·;��$<"���$#*j� ��'�!�������$#� 9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 u�xv#9 x0/>���5'��)������$S���=� � ��� #��H���5$#"��������5$f9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 u�|v#9 | gA � ��)( � ����"-�\���5 AU%!#��'������)����?�����$#�5'�/������L9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 u�|

Page 5: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� ������� ���� ?

v#9�t"! ��� ��. � �5����.#'��5$-� 9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v !v#9�t5t ��� ��. � �5��� � �)( 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v !v#9�t�z ��� ��. � �5����.P�5 ��� 7����� 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v<tv#9�t�u ·;��$<"���$#*1( � ��$#�����~( � ��� � �� 9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v<tv#9�t�v�gE'���$-���� A��/��2����, 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v8zv#9�t�{ ��� �4� � �5 ����`���� ���� �����>��U%!#�)������$�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v%uv#9�t�} ¤a������'C'���$-���� A�5.-.- ��D�8��,1�)������$ 9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v%uv#9�tDwR�X������ ������&����,G� 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v�vv#9�t�x hc���� �������,1��.<� 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v�vv#9�t�| ·;�e��.P�5��$%��� 9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v�vv#9 z'!�:%���8� � �5� ������"�/8$#��,I����� 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v%}v#9 z�t ��� ��.P�� 7� ��� ����$<������!-$#�������5$ 9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v�wv#9 z5z ��� � � �5±��5 �"_ �������9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v�wv#9 z�u ��� ��$-�5bi,I��,G�� �/1.# ���.<�� �2/ 9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v%xv#9 z)v�g>������!-$%����$-*I���5 A�5$O���%�� ��G��$ � !��9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v%xv#9 z5{ � ��^8��$#*�� � ����$<� ��,N-'���'���,I�e�~9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v%|v#9 z�} ��� ��V2!-,I.+� � �5��$ 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v%|v#9 z�w ��� �4�+�5 �^��)?1� � ����$ 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 v%|v#9 z�x �X�����5��'���"LN#�5'��5$#��� 9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 { !v#9 z�| ®q �*5��"��������2/ 9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 { !v#9 u !Ts\�5$%�� ���'�'���"L"�/8$#��,I����� 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 { !v#9 u-tys\�5$%�� ���' 9�9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 { !v#9 u�z�s\�5$%�� ���'a�5���I�2�7�)���49�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 { !v#9 u5u � .�����,I��±���"S���5$%�� ��5' 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {-tv#9 u�v � .�����,1��'�� � �5����� 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {-tv#9 u�{ �X/%$<��,I���&.# ���*5 7��,I,I��$-*09�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {�zv#9 u5} ��� �4"�/8$#�5,I���&.- ��5*� ��5,I,G��$-*����N#'��f9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {�z

���~ª ,;�8¡M¡d�M�;¢��~�%§��;ª ,;ª<¡dª<¢<° � {�9�t � � ���A���A�G,I��"���'O9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {5u{�9 z g>����!-,I.������5$#� 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {5u{�9 u �A��"-"���$+�5��� !#,G.-�����5$#� 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {5u{�9 v :%�� ���$-*1��$#"L(Q����^j������!-,I.�������$#�y9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {�v{�9 { s\�5$<� ���2����$#��/ 9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {�v{�9 } ���"���'=����,G.#'����8���2/S9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {�v{�9 w :8��,!-'��)������$09�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {�{{�9 x �X��,I��$<� ���5$#�5'=��$<��'�/8�����69�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {�{{�9 | ®q,I.-�� �������'a"���,I��$#������$ 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {�{{�9�t"! ®@U%!#�5'����2/j�5�p"���,I��$#�����5$#�09�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {5}{�9�t5t6�X��,I��$<� ���5$-'������AU%!#�5$����e�������K9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {5}{�9�t�z gEN#��� �������p��,I.-�� ������5'a"���,G��$#������$#�y9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {5}{�9�t�u �X��,I��$<� ���5$L���5 �,!#'�� 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {%w{�9�t�v�gA'����� �$<�)����N<�5������9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {%w{�9�t�{ � ����!- 7��'C!#$-�e�7� 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {%w{�9�t�}� A$#�e�7�X9�9&9�9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {5x{�9�tDw s � �8������$-*I,G��"���'eb¬"��� ���?5��"_!-$#�e�7�R9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {5x{�9�t�x �A�)( ���1� � �8�%� ��!-$-����� 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {5x{�9�t�| ´Q!#�7^8��$#* � �5,L3 �Q� � ���5 ���, 9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {5|{�9 z'! ·-�� �,I��$-*1�IN#�5�����j9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 {5|{�9 z�t6�X��,I��$<� ���5$-'������AU%!#�5$����e�������K9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 } !{�9 z5z ��� ��.- ��8���p���5$<��'�!#"���" 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 } !{�9 z�u ����5��!- ���,I��$%�A�2�� ���$-*�� � 9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 } !{�9 z)v ��� ��$-��,I��$#�5'a������'��&���p,G���5��!- ���,I��$%� 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 } !{�9 z5{ ��� ���� �"���$#�5'a������'����5��,I����� !# ���,G��$%��9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 } !

Page 6: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

?8� �������������

{�9 z�} ��� ����$%���� �?)��'a�����5'��&���p,I����� !- ���,I��$�� 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }#t{�9 z�w ��� �� 7�)�����1������'������p,G���5��!- ���,I��$%�k9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }#t{�9 z�x ��� �4�5N#� ��'�!-����������'������5��,I����� !- ���,I��$�� 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }#t{�9 z�| ���)���E9�9&9�9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }%z{�9 u ! � ��� ����$-*1.- ���"����`������$#��9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }%z{�9 u-t o �� 7��,I������ ����2����,1�)������$ 9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }%z{�9 u�z ���8��"�$-�������5�=W-� 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }%z{�9 u5u ´Q��� � biW-�A?)��'�!-����9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }�u{�9 u�vT:8��,!-'����5$-����!#��W-������$-*�9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }�u{�9 u�{ g V2!#� ����W<���������5$L���5 �'������2��bc��U%!#�� ���� 9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }�u{�9 u5} �!-'�����.-'��"-�����I� ����� 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }5v{�9 u%w :�����'���$-*IN8/_?)�5 �����$#��� 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }5v{�9 u5x g ��!-$#"#��,I��$%���5'C�� 7�5"-��bc��­ 9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }5v{�9 u5| ®@� ����,1�)����$-*1���5$�W<"-��$#��� 9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }%{{�9 v ! ·;��� � �� A��$-���5 �,I�������5$ 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }%{{�9 v#t � !���bi�5�lbc����,I.-'��&.- ���"����`�����5$09�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }%{

� �����c�� )�8�H§��d�-¡�«�§���§��d«�§��M³�« ���

}-9�t o �5.#!-'��������5$#� 9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }8w}-9 z � N#���� �?)�)�����5$<� 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }8w}-9 u �����$#� 9&9�9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }8w}-9 v ��� ��.P�5.-!#'��������5$"����2�� ���N-!�������$_��!-$<�`�����5$ 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }8w}-9 { ��� �4� ���������2��������'C.P�5.-!-'��)������$ 9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }�x}-9 } ����.<���)����"L�5N#���� �?)�)�����5$<�E9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }�x}-9 w :��5,G.#'���?)�� �����$#���>9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }�x}-9 x gA$!#$%N#����� ��"_���2����,1�)���&���n���5,G.#'��&?)�� ����5$#���O9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }�|}-9 | �A/8.P��� � ������� 9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 }�|}-9�t"! ��� �4�� ����������5'C ���*5���5$ 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w'!}-9�t5tys � �8������$-*1��'�. � � 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w'!}-9�t�z gA'�. � �I�� o bc?)��'�!-� 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w'!}-9�t�u gE!#������!-'= ���� !-'�� 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w'!}-9�t�v�gA$#��� � �� ��2/8.P�������� � ��5 9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w'!}-9�t�{ o �)(Q�� 9&9�9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w�t}-9�t�} ®@� ����,1�)������$ 9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w�t}-9�tDwR¤a��^5��'�� � �8��" 9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w�t}-9�t�x �!-'�����.-'��4�5N<� �� �?)�)������$#����$#"O'���^���'�� � �8��" 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w5z}-9�t�| ¤a��*5���2������ ���*� �����������$ 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w5z}-9 z'! g � ����$<"-�� 7"j����� �A.- ��5N-'���, 9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w�u}-9 z�tys � �5 ����`���� ���±���$-*�� � �4����,I.-'���� 9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w�u}-9 z5z g �����2�>� ���������2����� 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w�u}-9 z�u ��� ��$8!-'�' � /8.<�5� � ��� ����9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w�u}-9 z)v��X������ �,I��$-��$-*I� � �4�� ����������5'C ���*5���5$ 9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w)v}-9 z5{ >����$-*j��$L��� ����,1�)���&���� �� � ��?)�5 �����$#��� 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w)v}-9 z�} ��� �4� � �������&���;�1�� ����������5'C ���*5���5$aB8��$S*5��$#�� 7��'p9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w5{}-9 z�w ��� � � ��/8,1��$�b o ���5 ����5$j'���,I,1� 9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w5{}-9 z�x o ��)?8��$#*� � � � ��/%,1�5$�b o ���� 7� ��$j'���,I,1� 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w�}}-9 z�|�����$#�� 7��'���±���"O'���^5��'�� � �8��"O 7�)�����G.- ���$<����.-'�� 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w�}}-9 u ! ��� ��'���^���'�� � �%��"O �������� 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w�w}-9 u-t6gA$<��'�/8���������p?D�5 �����$<����9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w�w}-9 u�z�s � ��bc��U%!#�� ��������2�7�A9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w�x}-9 u5u ·-!# � � �� >� � �eb¬��U%!#�5 ��X�����2�7� 9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w�|}-9 u�v � ��� ����$-*I���5 ���$#"���.<��$#"���$<���G9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 w�|}-9 u�{ ���8��"�$-����� bi�5�lbdW-������� ��� 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x !}-9 u5}�:��� �����$-��$-* 9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x !

Page 7: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� ������� ���� ?8���

}-9 u%w :8��$#� ������?8�e�2/L��$#"S��.<������W<�����2/ 9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x#t}-9 u5x�: � �5 ���$-*1��'�. � � 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x#t}-9 u5|Ts\�5$<� �� �?)�)������$O�5�;� ���������2��������'C.P�)(\�� 9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x#t}-9 v ! gE^5��/j�5N<� �� �?)�)������$ 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x%z}-9 v#t ��� ��$-���8�>�2����. 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x%z}-9 v%z ��� �4� ����.�bc"-�)(�$O.- �������"�!- �� 9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x%z

����� ����� ���� �� ����� ���

�� �� §��d¶y������§��dª<� ���w89�t :8��,I.-'�����8�� ���,1�E9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x%{w89 z ´Q�5!-$<"-� 9�9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x%{w89 u �X����'���$-*1(��e� � ���5$<�2�� ��5��$%���y9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x%{w89 v �+���8��,I��±���$#*�� � �4��bi��!-$#�������5$ 9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x�}w89 { ¤=�5*5 7��$-*��X,�!-'�����.-'����� 7� 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x�}w89 } � .�����,1��'=.- ����������Q���5$%�� ��5' 9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x�}w89 w ����� .P��������$-*I� � �4� �������&�� ��5$#� �������5$<�_9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x8ww89 x ·;��$<"���$#*j��$S�5.�����,1�5'a� ��'�!�������$ 9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x8ww89 | ��� �4��(��e�7� � ��$-*G��!-$#�`������$�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x8ww89�t"! � �)(Q�5 �"-�����5$%����$8!-�5!#�Q����,I��9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x�xw89�t5t :8��$-*5!#'��5 A���5$%�� ���'@9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x�xw89�t�z�s\�5$%�� ���'C��$L������"�N#���7^1���5 �,f9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x�|w89�t�u ��� �4����'���!-'�!#�����p?)�� ����������5$#�f9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x�|w89�t�v�gE.-'���$#�5 ��5N�V2���`����?��X��!#$#�`������$ 9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 x�|w89�t�{Rh¬$%���� �$#�5'C.<����$%� 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 | !w89�t�}Ts\�5$8?����O"���,1����$#� 9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |#tw89�tDwRg ��/8� ����,1�)�����&.- �������"-!- �� 9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |#tw89�t�x ®n�8����$#"���$-*I� � �&����� � $-��U�!#�X��� � ��* � �� A"���,I��$#� ���5$<�O9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |%zw89�t�| /n�� ������O,I�)?5��� 9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |%z

� ��ª<©� )�M�% _«��� )�d�%«�����ª<©� )�M�% j§� D�#��« �cª# )¶�� � ² �#¶ � ¡d�M�;¢ � x-9�t ·-!#$#�`������$#��� � �)�A ���.P���)� 9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |�ux-9 z o �� ����8"-���X��!-$#�������5$#� 9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |�ux-9 u ��� �&��!-$<"-��,I��$%�7��'a.P�� �����" 9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |�ux-9 v ·;��$<"���$#*I� � �4���%���j������$%���>9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |�ux-9 { ��� �4·#�5!- ����� A� �� ������Q ���.- �������$%�7�)�����5$ 9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |5vx-9 } ��� �4�5,G.#'�����!#"-�4� .P������ �!-, 9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |5vx-9 w ��� ��. � �5���&��.P���`�� �!#, 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |5vx-9 x g>������,G,I��"-������$-*j��.P�� �����"����X��!-$#�������5$#� 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |5vx-9 | � �)(Q�5 �"j� � �4·#�5!- ����� ��� 7��$#� ���5 �, 9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |%{x-9�t"! ��� �4·#�5!- ����� ��� 7��$#� ���5 �, ��$<"O��������.P���`�� �� 9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |�}x-9�t5t :8��*5$#�5'��I9&9�9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |�}x-9�t�z :��5,G.#'���$-* 9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |�}x-9�t�u ��� �4·#�5!- ����� ��� 7��$#� ���5 �, ���;� � �4���5,G.#'���"_.- ���������� 9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |�}x-9�t�v�´���$#"�bi'���,I������"L����*5$#�5'�� 9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |8wx-9�t�{ ��� � � /8U%!-��� ���� ���U�!#��$#��/T9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |8w

� ¯& )�M�;³5� � �-¡���ª<¶ � ª<�;�8�H§��O���-¡M°a«��d«I�-� ,��¡d©�«�§��% )�M�;¢ � �|-9�t g "-�����1������(��e� � ��.P����!-'����5 A.- ��5.P�� ��2/_9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |�||-9 z ��� ��,I���5$�b¬"���?8���)�����5$O���5 �, 9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |�||-9 u gA'�,I��� � bc'���$-���� A"-�����I� �����>9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 |�||-9 v �����$�b¬"���?8���)������$O��$S*5��$#�� 7��'09�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"! !|-9 { h¬$����� �,1�)������$�bc ���� � �5$#"L��$����� �,1�������5$�bc.<�8�� ����8�5 7"���$<�)����� 9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"! !

Page 8: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

?8����� �������������

|-9 } gE!#������!-'=.- ���.<�� �2/ 9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"! !|-9 w ����$#�� 7��'���±���$-*G��� � ��* � �� A"���,I��$#�����5$#�Q9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!#t|-9 x �X���5*5�5$<��'���±��)�����5$ 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!#t|-9 | o ���$#����.#��'a���5,I.P�5$-��$��7��9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!#t|-9�t"! ��� �4���� ����&.-'�����9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!%z|-9�t5t6�+���8��,!#, ¤a��^5��'�� � �8��"O��'�!<�2���� ���$-*�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!�u|-9�t�z � N��7����$-��$#*j�+¤K��� ����,I������ �� 9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!�u|-9�t�u g>������*�$-��$#*I"#�)���G.P�5��$%�������I��'�!<�2���� 7� 9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!�u|-9�t�v��%b¬����5$#����'�!#� ���� ���$-*f9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!5v|-9�t�{ �A���� 7�� 7� � �����5'H��'�!<�2���� ���$-* 9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!5v|-9�t�} �X��� ���5$#����biN#��� ��"O��'�!<�2���� ���$-* 9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!5v|-9�tDwRgA,1�5'�*%��,1�)������$ 9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!5v|-9�t�x �X��� ���5$#����� 9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!%{|-9�t�| ��� �4�5,I�5'�*%��,1�)������$_ �!-'�� 9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!%{|-9 z'! /q��'���"-�)������$ 9�9&9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!%{|-9 z�t6�+���8��,!#, ¤a��^5��'�� � �8��"O��'�!<�2���� ���$-*�9&9�9�9&9�9&9�9�9�9�9&9�9&9�9&9�9�9&9�9�9�9&9�9�9&9�9&9�9 t"!�}

Page 9: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� � � ��� ���

t

Page 10: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...
Page 11: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�� ��� ��� � ��� � ��� �.��� � � ������� � � � ���

� ��� ��������� ����� ������� ��!�� �#"$�&% �'%)(*�hc�*+O���Q���5,I����!#$#�`������$aB8� � �>��!-$#�������5$-,�.0/21435.6,879/;:'<=+;B8���l����$_"���$-������"�+&>P��$#"_����'�'���"I� � �?,�.0/2143;@�A41435.B:'7C+;B���)����� W#���

+ > F�D JFE '���,G'HJI+ F�DLKNM JPOQ+ FRD JM F t�9�tDJ

���5 A�5'�' D ���5 �( � ��� � � � ����'���,I�e�A������� ����9

SUTa�� )³��M«�� � ¤a���V+ FRD JFEXW D 9 /n�� �����/1� � ���U+ F�DLKNM JYEZW F�DLKNM JYEZW DLK W M �5$#"O� � !#�

'���,G'HJI+ FRDLK[M JPO\+ F�D JM EZW[]

�A��$#����B^+&> F�D J$E_W F �K������$#� ����$%�Q��!-$#�������5$#�%J`9

SUTa�� )³��M«�� ) ¤a���V+ FRD JFEXW D`K\a 9�/n�� �����/j� � �)�A'���, G'HJIcbedgfih G6jlk b#dmf jG EXW@9

SUTa�� )³��M«�� ¤a����+ F�D J-E �T�5$#" "������� �,I��$-�n+ > F�D J�B>!#����$-*R��U�!<�)�����5$ F t59�t�J�9 :8^5����� � *� ��5. � �j�5�?+ F�D J��$<"�+&> F�D J`9

SUTa�� )³��M«�� � ¤a���V+ FRD JFEXW Dpo 9q�X������ �,I��$-�?+&> F�D J`B-!<� ��$-*1��U%!#�������5$ F t�9�tDJ`9

� �rq sP(utv�^wyxhc�V+ F�D J8E Dpz B�( � �� ��|{}E t5B*{}E z�B*{}E u-B=�����59�B;� � ��$[+&> F�D J~E�{ D^z k � F �!-'��5�r� ���8.P�5$#��$%�4��$K�� ��5$%��B����.P�5$-��$%��,I��$8!#���5$#����J�9

SUTa�� )³��M«�� � sQ��$+/��5!+�����( � /L� � �������X��� F �>��$%����� � �G"���W<$-�e������$aBC��U%!#�������5$ F t59�t�J�]H� ���5 ��(��e� � {\E t5B��$<"_(Q�5 �^j/5��!- �(Q�D/1!#.a9 J

SUTa�� )³��M«�� � ¤a���V+ FRD JFEXW D`K\a�Dpo�K\�pDp�FK��'D^� 9q�X������ �,I��$-�?+&> F�D J`9

� �r� �L% �$�^wl�����'%����'%)(*�Nw2� ! ��xh¬$S( � �)������'�'��)(A��B�+;Bu�HB#�5$#"��+�5 �����!-$<�`�����5$<��]^+0��$#"�� � �D?���"-�� ���?)�)����?����B+&>C�5$#"��u>d9SUTa�� )³��M«�� �}��� �;�+«�©�¶  )©;¡M��� ¤a���J� F�D JUE�+ FRD J K � FRD J F �2+K.#'�!#�U����J�9 X� �G��U%!#�������5$ F t59�t�J����L� � �)(� � �)�B�&> FRD JFEX+&> FRD J K ��> FRD J`9SUTa�� )³��M«�� � ��� �;� �  Dª ,�©;³�§I )©�¡d��� ¤=���C� F�D JFE�+ F�D J�� FRD J F �2+����,I���C����J`9nsQ��$�/��5!4� � �)(K� � �����&> F�D JFE+&> F�D J�� FRD J K + F�D Jl��> FRD J F �A��$����I(� �������+ FRD�KXM J����~+ F�D J KZM�F + FRD�KZM J�O_+ F�D J�J�� M ��$<"�� FRD�KZM J4���� F�D J K�M=F � FRD~K\M J*O-� FRD J J2� M 9@:8!-N#� ������!-���&� � ������'��5$#*5�� ����8.# �����������$#�@���5 B+ F�D~K[M JQ��$<"|� F�D~K\M JQ��$O� � �"���W#$-�������5$aB��&> F�D J$ET'���, G'HJI b#dmf6h G6j9� dmf6h G6jlk b#dmf j9� dmf jG 9 J

� ��� �Q(�wy�-�*% �$�^wl�����'%����'%)(*�Nw2� ! ��x� �&����$L!#���X� � �&.- ��8"-!#�`�� �!-'�������W<$#"j� � �4"��� ���?)�)����?5������+ F�D JYE�� D 9 � N<� �� �?��>� � �)� D E D � E D �¡ h �¡ ED �¡ D �¡ 9 ��� ��"��� ���?)�)����?5�����n� � ���X���X��'����� �'�/6t F � ��$#���~��> F�D JVE t�( � ��$-� FRD JBE D J`9&´Q!��X� � �.# ���"�!#���X �!-'�����D/8�

F�D �¡ D �¡ J > E�+ > FRD J D �¡ K�D �¡ + > FRD JFEkz#+ > F�D J D � ¡��$<"_��U�!<�)����$-*G� � �������t5B�(Q�&�5N��7����$z¢+&> FRD J D �¡ E t59

SUTa�� )³��M«�� � �A��$<���5B�(Q�5 �^j��!���� � ���U+&> FRD JFE~t'� F z¢� D J�9u

Page 12: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

v ����������� �� ����� ������������������������� �!���

SUTa�� )³��M«�� �#"_� � ���0¨C©�ª<§��d�%�H§I )©;¡M��� ¤=���|� F�D J E + F�D J��6� F�D J F �0+�"���?8��"���" N8/Q�8�%J`9 sQ�5$R/��5! � � �)(� � �)�

� > F�D JFE +&> F�D J� F�D J O �u> F�D J

� F�D J � F�D J F � �����5�p/5��!1,I�D/ � �D?��A��$<���5!#$����� ���"1��"��e­H�� ���$%�\���5 �,!-'�����$_��� � �%��'d]%?5�� �����/G� � ���@� � ��/1����,I�A���� � �&����,I�� � ��$-*<]�� � �&���5 �, *5��?5��$ � �� ��&��������� ���� ����G ���,I��,NP�� %$ J

SUTa�� )³��M«�� � � ¤a���

& FRD JFE W K�a�D�LK��'D

( � �� �� D(' !1�5$#" W@B a B � B#�5$#" � �5 ����5'�'�.<�%� ������?5�&.#�5 ��5,G������ ���9\: � �)( � � �)� & > F�D J ' !I�e­ � & F�D J*) a � � 9:8^������ � �G*5 7��. � ����� � �&��!#$#�`������$ & FRD J F ��JQ( � ��$�W �,+[a�� ��$#" F ���lJ�( � ��$ W �.- a � 9

SUTa�� )³��M«�� � )}�0/ � ª � + ª � D�1 � ¤=����+ F�D J�E D K u ��$#" � F�D J E D^o 9 �X������ �,I��$-�n� F + F�D J�J`9 F �A��$%�����!-N#� ������!����4� � � ���* � �X,G��,NP�� X���p� � �G"���W<$-�e������$+���F+r��$����1� � �.-'��5���4��� D ��$� � �4 ���* � �X,G��,NP�� X���n� � �"���W#$-�������5$S���*�P9 J

SUTa�� )³��M«�� � � � ���0³ �;�-�d�� D©;¡M��� ¤a���v� FRD JJE � F + FRD J�J F ����5� + �5� D �L�i9 ��9r� W# 7�2�8+;BC� � ��$n�8�%J`9IsQ�5$/5��!K� � �)( � � �)�8�&> F�D JvE���> F + F�D J J +&> FRD J F � ������� ��� ���&����U%!-����� � �5 �"2$ � �/���S ���,I��,�N<�� &� � ���& �!#'���B=����� ��5.<�\!#.S�5'�'a� � �&����,I�59 J

SUTa�� )³��M«�� ��� ·;��$<"S� � �G"��� ���?D������?5�������2� F �lJ D^o K W D ] F ���lJ f ¡f%3 h � ] F �����lJ54 D�6�K\Dp�%798 9 F �A��$����@� � �'��5� �A�5$#�*5�8������'����AU%!-���7^5�� �(��e� � � � �4� � �5��$L �!#'���9 J

SUTa�� )³��M«�� � � sQ��$S/��5!jW<$#"L� � ��"��� ���?)�)����?����5� 3� D E D �3

F �>��$%���q������ 7��������|#9 J

� ��: ;Cwl�<#�'%)(*��� !>=&(utv��wlxhc�C/5��!G'��8�5^G�)�@���8�� ����������n|��5$#"St�{-B����Q��.#.<���� 7�;� � ���q� � �> �!-'��j������.<��$-��$%�q��$I�� ���$%��B5����.<��$-��$%�q,I��$8!#�@�5$-�����.#.-'��������5'����G( � ��$O� � ������.<��$-��$%��������� 7�5�`������$O'���^5� �o �5 �� 9nh¬$_�M���`��B#���8����$#"���$-*G� � �&��"����#B�(\�����5$L� � �)(� � �)��� � ���� �!-'�����.-.-'�������( � ��$O� � ������.P�5$-��$%�����A�5$%/_ �����'H$8!-,NP�� �� F�D�? J >pE_W D�? k � B�WA@CBQ9

SUTa�� )³��M«�� � � :8!-.#.<�%� �?+&> F�D JFE D�D 9\sQ�5$L/��5!_W#$#"S��$S����.- �����������$j���5 V+ FRD J SUTa�� )³��M«�� � � :8!-.#.<�%� ��+&> FRD J�E DFE 9 sQ�5$R/5��! W#$#" ��$R����.- ������ ���5$ ���� + F�D J F �A��$���� � � ���1����� � �"��� ���?)�)����?5�&�5� DFE h � � �)(k(� ������ DFE �5� FRa�K tDJ k � F�a�K t�J DFE 9 J

� �HG IL���'%)� ��w�% J����'% J��¢xh¬$T� � �r'��5� �j�2(Q�R���8�� ����������j/5�5!T(Q�� ��r��� ^���" ���RW#$#" ��$�@LKpA41R,�.0/2143;@�A41435.DB�W#$<"���$#*y� � �k� .# ���,I�e����?���� �� � .# ���*5��$#�e���5 7�j��!-$<�`�����5$ �5��( � ��� � �S*���?���$K��!-$#�������5$y���&� � �_"��� ���?D������?5��9_hc��/5��!K(� ������y� KNM �S�)�l���� �5$%/��$<� (Q�� �/5��!W#$#"CB=/5�5!r�2����'�' � �D?5�G�O���5 � ����`���5$#��(\�� �BH� ��$#���� � �6� KNM �j���� ���.-'��5����"N8/T� K !��j( � ��$0/��5!"���­P�� ���$%�����)����9 ��� ���(\�� �^���( � �)����?5�� �?D�5'�!#� M ,I��* � � � �D?5��];� � �j��$-'�/0� � ��$#*� � ����,1�)������ �������� � �)� M"��8���4$-���4?)�� �/+(���� � D 9O:8�#B;( � ��$-��?��� 4���5,I��� � ��$#*L���&� � �_���5!-* � ��bd���� ���$%����"��� ���?D������?5��B=� ����4���5,I��� � ��$-*.-'�!#�A�5$L�5 �N-���� 7�� �/j����$#� ����$%��B%( � ��� � �������l����$S����'�'���"O� � �v1�K&Al.PO¢/�@�AR1�:QKSR�:0KT Al@0K&A 9UWVYX%Z>[P\Q\Q]^Z`_9a�[cb^a!dfeNg!h(i*Zj[PeQkml^a n[PeQo�dfeQp q a n^rQs

Page 13: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

����������� ��������������� ���� ����������� {

� ��� I xL=&� <�%�� !��^wl���Q(�=&��w����;( w�q�5!1�5 ����M�5,G��'����5 q(��e� � � � ����"����&�����2� � �A�� �����!-$#"-�� n� � �A*5 7��. � �5�C����!#$#�`������$1N<���2(\����$G� � �>.<����$%��� D E! ��$<" D E#"��-]p(\�1(���'�'Q"���$-�����I� � ����5 �����5��$ F +&%' &%("�J`9 F ��� �� ��j���4$-�*) D 3=��$6� � ��������.- ������ ���5$6����$#���1� � ��� ����_"���.P��$#"#�X��$� � ���!-$<�`�����5$K��$#"+� � ��?)��'�!-���+ S��$#","DBC$-�����5$� � �G$#��,I��5�q� � ��?)�� �����N-'����'��5$#*j� � �� �� ���±���$��7��'C�)������9 J4�q�5!�� �����'�� ���M��,I��'����� �(���� � � � �4� ��*5$S����$%?���$%�����5$<�

$ F OV+&%' &%("�J�E O-$ F +&%' &%."�J/%0$ F +&%' &%."�JYE O-$ F +&%."1%. 8J��$<"j� � � F ��$%��!-������?5��'�/O ����5���5$#�5N-'��DJn���� �,�!-'��

$ F +&%. &%'2�JFE3$ F +&%. &%."�J K $ F +&%."1%.2�J( � �� ��4 5)5" )62)9

SUTa�� )³��M«�� � � s\�5,I.-'������&� � �&����'�'��)(���$-*���U%!#�)������$a�7$ F +&%. &%' �JYE 9

SUTa�� )³��M«�� � � >����$-*I� � �4����*5$S���5$8?���$%�����5$#���5'���$-�5B���?D�5'�!<�)����$ F +&% O�89%�u:8=JQ( � �� ��8+ F�D JFET����$ D 9

SUTa�� )³��M«�� )" ¤a���U++NP�4�1����$#� ����$%����!-$#�������5$aB&+ F�D JFE M 9 >���4�I� ^����7� � �5��� � �&��!-$#�������5$S���j� � �)(k� � ���$ F +&%' &%."�JYE � F "FO� �J`9� ��; IL�\�^wy�u����� �F<#�'%)(*� >����$-*L�O*5��?5��$��!-$#�������5$\+ ��$<"+�5!# L���� ����1��.<�� ������� ��<$ABa(\�I���5$r"��� ���?5�G�_$#��(~��!#$#�`������$>=+K�� ��5, +6N8/"���W#$-��$-*?=+ F�D J$E@$ F +&%�t�% D J`9 � �����&� � ���>( � ��'��A=+0���A����!-$#�`������$+"��� ���?5��"_�� ��5, +;B#�e�>����YHZ)[ +;3 �A"-�� ���?)�)����?��+&> F U%!-�e���A� � �A�5.#.<�%� �����A��$I�M�5����B8�5�@(\�>� � �5'�'#� � �� ��'�/I� ����J�9 � �>(Q�5$a3 �@!#����� � �>��/%,�N<��'B=+O��$1( � �)�q����'�'��)(A��B��$<"4V2!#� �>'���� $ F +&%�tC% D J�� ���5$#"L�5�Q� � ��$#��,I������� � ������!-$<�`�����5$=9

SUTa�� )³��M«�� )�� /n�� �����/j� � �)��� � �&���5'�'��)(���$-*����5 �,!-'��G���A���5$#�����2����$%��(��e� � � � �4����*�$L���5$8?5��$�������$#���

$ F +&%. D%("�JFE3$ F +&%�t�%."�JPOE$ F +&%�tC%' �J F t�9 z�J

F �q��!S,I�D/O�5��� !-,I��� � �)�F" - I���� �� � �4���5^5�����;���5$8?5��$-����$#���5B-��'�� � �5!-* � � � �)�A����$-���A$#������������ �/59 J

� ��G �L% �$�^wl�����'%����'% �IH��5������wl�u� ��� �F<¢�'%)(����� �X'����2�@������ 7����� �>� � �)(A�p� � �)�\� � �>��!-$#�������5$J$ F +&%�tC% D J\��! �j�����q���G"����'�'<�5 ����5�n!#$#"��� \� � �X��!# �?���(\�X,I�D/(���$%�����1"��#9\s\��$#����"��� �� � �4"-�� ���?)�)����?��X�5��� � ������!-$#�������5$a�

$ > F +&%�t�% D JYE '���,G6HvI$ F +&%�t�% DLK[M JPOK$ F +&%�t�% D JM E '���,G6HvI

$ F +&% D % D`KNM JM ] F t�9 u%J

SUTa�� )³��M«�� ) ) �+�5^5��� !# ��&/5��!O!#$#"��� 7� ����$<" � �)(k� � �4�������5$#"O��U%!#�5'����2/_�5 ���� ����9

� ����L �����Qwy�^! ���'% (*��x#�&%�=NM&�#� tJ�����\� �^w % J����'% J���x � ���N�^wl����xhc�J+ ��"��8���G$-�5�j� � ��$-*��O,�!#� � �rN<���2(\����$ D �5$#" D K M B\�e�1���6���5'�,I��� ���r�r���5$#� ���5$%����!-$<�`�����5$ �5$ � � ���$����� �?)��'<O D % D K MIP 9 �������� � ���$#*KN<�5�7^ ��� ������ 7����� �+z !-BQ/5�5! ,I��* � �j*5!-�����G� � �)�Q$ F +&% D % D-K M J1���1(Q��'�'�b��.#.- ��D����,1�)����"jN8/�+ FRD J FRD`KNM O D JFE�+ F�D J M B#���� �7����$-'�/R� ��$_� � ��'���,I�e�7� MSR !#9SUTa�� )³��M«�� ) g>����!-,I��� � ���>/5��!����$S!#����$ F +&% D % D`K M J$E + F�D J M ��$S� � �4'���,I�e�X���n��U%!#�������5$ F t�9 u%J`B#�5$#"� ��$#����?��� ��e��/I� � �)� $Y> F +&%�t�% D JYE�+ F�D J`9

Page 14: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

} ����������� �� ����� ������������������������� �!���

� ���&� ILwl����x�� ��� � ���'%)� ��w�% J����'% J���xg ,I�5 ��4���5 �����!-'=�5 �*�!-,I��$%� F ( � ��� � '��%��^���,G�� ��4��'��%� ��'�/ � �)( (\��'�'�biNP� � �D?5��" +r���7J�NP���5 �����!���� � ���> ���� !-'���9¤a�����~NP�4��$��$%����"��� ���?)�)����?��X�5��+;B-���G� � �����v> FRD JFE�+ F�D J`9

SUTa�� )³��M«�� ) � : � �)( � � ����� FRD J�E $ F +&%�t�% D J K M ( � �� �� M ����� � �S�5 �N#�e�� ��5 �/K��$%����*5 7�)������$R����$#� ����$%��9F �>��$%��� $Y> F +&%�tC% D JFEZ+ FRD J`9 JSUTa�� )³��M«�� ) � >������U%!#�������5$ F t�9 z�Jq���j� � �)(T� � ��� $ F +&%. &%."�JFE�� F "�J�O�� F 8J�9

SUTa�� )³��M«�� ) � � �_��?)�5'�!#������$ F +&%. D%("�J`BC/��5!+$#����"���jW<$#"0�5$0��$%����"��� ���?)�)����?5�����$+;BH( � ��� � ���X$#�����5'�(��D/������� /�9\:8!-.#.<�%� ��/��5!S����$LW#$<"_�2(Q�1��� � �� ���!#$#�`������$#�B� F�D J���$#"�� F�D J>� !<� � � � �)�U+ FRD J�E_�&> F � FRD J�J��u> F�D J F ���+'��8�5^���'���^��X� � �� �����!-'e���5�p�5$L�5.-.-'������)�����5$L���;� � �4� � ����$O �!-'���J�9q®n��.-'�����$O( � /1� � �&���5'�'��)(���$-*G���>���5 � ����`���

$ F +&%' &%("�JYE}� F � F "�J�JPO�� F � F 8J�J ]� ����q ����� ��� ����� ���^��� � !C�5���¢( wl�^� (p��<u� ! <�� !g��xh¬$#� �����5" ����$ F +&%. &%."�J�B�(\�!#��!#�5'�'�/y(� ��e������ + FRD J� D F � !<� � �5$�����.- ������ ���5$ ���_����'�'���"���$}1�KpA�.cO�/0@��2]�� � ���/%,�N<��' ) � 3����A�5$�1�K&Al.PO¢/�@�� T 1 O KPJ`9p�q�5!# � ���� !-'����� ��5, ���8�� ���������z5{� � ��$S'��8�5^���'���^���� � �����

� �

+ F�D J� D E�� F "�JPO�� F �J ( � �� ���� > F�D J$EZ+ F�D J

( � ��� � ����^8$-�)(�$S�5�Q� � �v7��LK ,�@e<�.PK&Ay@��YA��p.i:'/;.0< :57>R�@�� R������ T�9SUTa�� )³��M«�� ) � ®q?)�5'�!#������� �� Dpo D 9

SUTa�� )³��M«�� ) � � ��5$#� '��)���&� � �,G��� � ��"�5�;������ 7����� �z5}I��$%���_��$%����*5 7��'C$-�5���������5$aB<!#� ��$-*1� � �4��"���$%���e�2/� �� E�u> FRD J� D 9 F �A��$����O/��5! � � ��!-'�"R�� � ���?��O�)�G� � �,) ��!-N#� ������!�������$ ,I��� � ��"C3n( � ��� � � � �5!#'�" N<�L�M�5,G��'����5 �� ��5,/5��!- ���� � �%��'C"-�D/���9ph¬$L.- ����`�������5B%� � ����'��)������ �,I��� � ��"O����,I�5 ��&���5$8?���$-����$%��B�( � �� ����5�\(���� � � � ��,I��� � ��"O��������� ��������&z5}G�e�A����,I�5 �����'����� ��! #"j�e�A(Q�5 �^�� $ J

� ����� I =�wl( M ! �^�t % �5� =&(utJ�^wlx��������'�'P� � ���\� � ����$%����"��� ���?)�)����?5�X��� D E ��� F�a`K tDJ k�� D E h � K M F M ���@� � �&��$%����*5 7�)������$_����$#� ����$%�`J`9n�A�� �� a���5$ONP�4��$8/j ����5'C$8!-,NP�� �B����-����.��8O�t59

SUTa�� )³��M«�� ) � � � /_���Q� � �&���� �,�!-'���$#�G*��8�8"_���5 a E O�t

� ���u� I xL=&� <�%)��!�� ���'%)� �^w % J����'% J��:8�I( � ���A���Q� � �4��$%����"��� ���?)�)����?5�&�5� D k�� E �

f ¤=���A!#��W< �� ��*5��?5�&�e�>�G$#�5,I�5�

$ F�D JFE*$ F +&%�tC% D J ( � �� ��8+ F�D JFE tD ] F t�9 v8J

SUTa�� )³��M«�� " s\�5,I.-'������0� � �K���5'�'��)(���$-* ��U%!#�)������$a� $ F t�J�E 9 F �A��$%��� � � �6"���W<$-�e������$ �5� $ BX��U%!#��b�����5$ F t59 v%J`B�.#'�!#�A������ 7����� �Gt�x#9 J

SUTa�� )³��M«�� � :8^������ � �O*5 7��. � �5�@� � �G��!-$#�`������$Q+ FRD JJE �f 91s � �8�����G���5,I�G?D�5'�!#�L� - t59Is\ ������ b � ����� �$ F �HJ�E6$ F +&%�t�%��HJ�B-� � ��� ����G!-$#"-�� A� � ���!- �?���N<���2(\����$ D E t��$#" D E���9�gA'����_� � �8�������1?)��'�!-��� - �

��$<"O�� ��%��� b � �)��� � $ F +&%%�D%��&��J`B-� � �4�5 ����!-$<"��� �� � �4��!# �?��XNP���2(Q����$ D E��_�5$#" D E_�'�<9

SUTa�� )³��M«�� ) sQ��$6/��5!r����'�'n�� ��5, /��5!- &*� ��5. � � � �)��$ F +&%�tC% �CJcE $ F +&%%�D%��&��J F �A��$%�����7��^��G/��5!- �W# 7� ��� ������ b � ����� � ��"��� ����#BP����U%!-����±��������;?��� ��������5'�'�/&N%/4�A�M�5�����5 �( �5$#"+���2�� ������ � �>�e� � �5 ���±��5$%�7��'�'�/�N8/4���M�5������ !�P9 J

SUTa�� )³��M«�� sQ��$I/��5!G.- ��)?��@� � �)� $ F �'�8JYE $ F �HJ K $ F ��J F �A��$%���p�5N<� �� �?��@� � �)� $ F +&%��&% �'�8JYE $ F �&��JuO$ F �8J\� � �� �����!-'e���5��� � ��.- ���?8����!#�Q������ 7�������59 J

Page 15: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

��� ��� �y¤�� �E� �������F��� ����� w

� ���#: �N%)x �N! ( H �^w % �5� ���� �� �����!-'����5��� � ��'��5� �������� 7����� ��,I����$<�Q� � ��� $ ���A��Z��� ����l[ �����������Y���[��MZ)Y<9

SUTa�� )³��M«�� � sQ��$E/��5! �����6( � / � � ���L���5'�'��)(A� F �>��$%��� "���W#$#�6�T���5 � ����`������$T��!-$#�������5$EN8/ � FRD J�E$ FRD J2�;'���* D ]-� � �� �����!-'��Q����'�'��)(A�����;/��5!S����$L��� ���5N-'���� � � � �)� ��> FRD JFE !-9 J� ��� G �����Q�����5� w�� !Y! ( H&�^w�% �5� �� �)(~� � ����(Q� � �D?5����2�7��N-'���� � ��"� � �)� $ ���&�_'��5*%�� ��e� � ,I���4��!-$#�������5$aBa(Q��� � �5'�'p���l����$K(� ������G'�$ D ��$#� ������"��� $ F�D J`9 ��� ����'���*��� ���� � , ���^8$-�)(�$y�5�4� � � K^@�A%�e/0@�� ��:%O�@5/214A ��<S]n�e�7�N#��� �_���G"���$#������" %%9r:8�+(Q� � �D?����$<� (Q�� ���"y� � �+U%!-���2������$ .P������" �������$%��'�/P�L� � �+��$%����"��� ���?)�)����?5�L���It'� D ���1'�$ D~F ��!-. ��� ��$ ��$�����*� ��������5$����$#� ����$%�7��J`9��A�)(~N-��*S��� % khc� D E '�$ & BH� � ��$ & E % f 9 � �)( F % f J�>YE �� � d"! j NP�����5!#���5B=U%!-�����I*5��$-�� 7��'�'�/F + k�� FRD J J >&E t'�#+&> F�D J`9

SUTa�� )³��M«�� � sQ��$0/5�5!0.- ��)?��&� � ���� �!#'�� F + k � F�D J J�>PE t'�#+&> FRD J F �A��$%��� � �)(~�5 ��4� � ��*5 7��. � �>���$+6�5$#"+ k � ���'��)����" ��� �� ���'��)������$ + k�� F + F�D J�JFE D "���W#$#���Q� � ����$8?5�� �������!-$#�������5$-+ k � 9 J� ����� ��������#Y=&(*�������'%�� !���� �F<¢�'%)(��gA'����#B $ > F & J�E t5� & B#��� F % f J >�E & E % f 9�:��#��[ %$'&�$(���*)� )[��*)�$jZ+� % f �-,�% f/.10 $2$�3�4#Z)Y�$�Y<[5�� ������Y���[��MZ)Y % f�-,765�l[5,Z��nY8&�$(���*)� )[��*)�$:95�

'���,G'HJI% fih G O % fM E�% f ]

� ����; �����Q� � � M&��w<;¤a���A� � ����!-$#�������5$ �_NP��"���W#$-��"SN%/�� FyM J�E F % fih G O % f J�� F4M % f J F .<�D/O��'������4�)������$�������$a�n� � ���5 �*�!-,I��$%������j���A���5'�'���" M � �� ��5B#$-��� D J�9SUTa�� )³��M«�� � >���&� � �4"���W#$#�e������$L�5�C� F4M J\���j"��� ���?5�X� � �&���5 �,!-'�� %cE F t KNM � F4M J J �>=0G 9SUTa�� )³��M«�� � /n�� �����/j� � �)�A'���, G'HJI � F4M JYE t�9 F �>��$%���n 7��������NP��� � � ��"����Q���G� � ��.P�)(\�� ���� M 9 J

SUTa�� )³��M«�� � � �)( � � �)( � � ���X'���, G'HJI F t KNM J �>=0G E�%%9A®q?)��'�!#������� � ����8.# �����������$ F t K M J �?=0G $8!-,I�� ���b���5'�'�/5B8���� M E !�]�t5B M E !�] ! !-t�B M E�!�] ! ! ! ! ! !#t F �� �( � �)����?5�� A� ,1�5'�'C$8!-,�N<�� ���/��5!O�M��$#��/�$ J`9

� ����G @*(*���Q% ���;�^wy��x;�'% �IHBA0� ���'%DC � ��w�% J����'% J���x� �)( � � �)��(\� � �D?5��� � �>'��5*%�� ��e� � ,I������!-$#�`������$_'�$aB8(\�X����$O"�����5,I�>��$%���� ���� ����$-*4��$%����*5 7��'���B�( � ��� � B8���q/��5!� �D?��@� ����$aB)��$8?5��'�?����C� � ��"������� �,G��$#�������5$4�5�<��$%����"��� ���?)�)����?5��� F ( � ��� � ����.-'�����$#��( � /&.P����.-'������D/O����$%����*5 7�)�����( � ��$R� � ��/ ,G����$ ��"������� �,I��$-���$���$%����"��� ���?D������?5���+( � ��� � ���I,I�5 ��S���5 � ����`��Bn� � �5!-* � �5'����K,G�� ��L'��5$-*5b(���$#"���"<J`9

SUTa�� )³��M«�� � ·;��$<"� � ��"��� ���?)�)����?5����@z f 9 F �>��$%���� ���(� ������4�5� %FE G o�H B#� � ��$K��.-.#'�/O� � �G� � ����$ �!-'���B<������ �b�������Gt�u-B�(���� � + F�D JFE�'�$>z f E D '�$XzG��$#"�� FRD JFE % f 9 JSUTa�� )³��M«�� ��" ·;��$<"K� � �_"-�� ���?)�)����?��1����'�$ F { K}DJI J�9 F �>��$%���� � �j� � ����$6 �!#'���B�(���� � + FRD J8E { K_D/I �5$#"� F�D J$E�'�$ D 9 J

SUTa�� )³��M«�� � � ·;��$<"��$7 )Y#[���&K$L���*)� )[��*)M$���� f ¡� h �3 f 3

9 F �A��$%���p� � ��.- ���?8����!#�������� 7�������59 J

SUTa�� )³��M«�� � ) ·;��$<"��$S��$%����"��� ���?D������?5����� f? hCf ¡ 9

Page 16: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

x ����������� �� ����� ������������������������� �!���

� �rq L IL�\� = =�wl(:#�% �����'% (*��X�� ���?)�)����?������5 ���!#������!-'a��$��.-.# ��D����,I������$-*���!-$#�`������$#��9 ��� ����"-���G���

+ FRD J���+ F �J KkF�D O� �J + > F �J( � �� ��`+ F �JA�5$#" +&> F �J>�5 ���� � �����4��!#$#�`������$#����?)��'�!#�)����"�������5,I����.<��������'�?D�5'�!#�Q PBC����'�'���"S� � �`:��*.�/0@�AR1�:QK�P:'1�KpA�9SUTa�� )³��M«�� � sQ��$O/5��!j ���'������>� � ������.-.# ��D����,I�������5$I������U�!<�)�����5$ F t59�t�J F ( � ��� � "���W#$#���\� � �&"��� ���?)�)����?5�DJ F �>��$%���q ����� � ��5$-*5��B��7��^5� D O� LE M 9 J

SUTa�� )³��M«�� � � sQ��$S/��5!_����.-'��5��$S( � /1� � �4��NP�)?5�&��.-.# ��D����,I�������5$ � �������-�5��������� � ����.<�� ��������5$L.<����$%���

� �rq*� �?% H*���^wV� �^w % J����'% J��¢x��� ��I$-�5���)������$a��� � �j"��� ���?D������?5�1�5� +R���~+&>FE=+�� ��� ];� � �_"-�� ���?)�)����?��I���B+&>q���?+&> >FE=+�� o � ];� � �_"-�� ���?)�)����?����� +&> >����8+&> > >PE +�� � � ]��5$#"0���O��$aBa(���� � � � � +�� z � $-�5���)������$0NP����$-*S!#������!-'nNP������!#����(Q�G,I�D/(���$%�����O���5'�^��NP�5!-� +�� ��I2I2I� B8( � ��� � (\��!-'�"1 ���U%!-�� ��A,I�5 ��>.# ���,I���@� � ��$_(Q�5!-'�"1.- ���$%�Q�5$_��� ��$-*5'��>'���$-� $ � ������'�'&+�� z � � � �{�A���,u.�/�1y3;@�A41435.c:57*+;9q·;��$#��'�'�/�B�+�� I� ���;V2!#� �U+��������'��29

SUTa�� )³��M«�� � � ¤a���� NP�4��$��$%����*5�� �B� - t�9\¤=���c+ FRD J$E D� 9AsQ��$S/��5!S*5��?5����$����.- ����������5$O���5 U+ � � ·-�� V+�� h ��� � �rq&q I,= =�wl(:#�% �����'%g�IH �[�&% H*�n� �^w % J����'% J��g ���W#$-��,I��$%�����@� � �G���5 ���*��5��$-*L�5.-.- ��D����,1�)������$+��"����L���������.-.#'�/� � �j��.#.- ��D����,1�)�����5$0$-���&��� +y�e�7� ��'e�2BN-!������1�e�7� {H� � "��� ���?)�)����?5���

+ � z � FRD J���+ � z � F �J K FRD O� 8J�+ � z h ��� F 8J�]��� �_V2�5N $-�)(f���j���R ������)?5�� O��$ ��.#.- ��D����,1�)�����5$ ���� +;]&�5!# _,I������?)�)������$T���5 L"��5��$-* � � ���O���1� � �)�L� � ���.#.- ��D����,1�)�����5$O*5��$-�� 7��'�'�/1NP�����5,I����NP�������� ����5 �N-��*5*���  {n9

SUTa�� )³��M«�� � � /n�� �����/j� � �)��� � �4��$%����"��� ���?D������?5�����;� � �4�5.-.- ��D����,1�)������$_���

+ � z k ��� FRD J��Z+ � z � F �J DLK tz + � z h ��� F �J FRD O �J o K�M ] F t�9 {�J

� �rq&� �\�����n� ���'%)�*% ����wl�^���'%)���'% (*�\x;�;��=�x��� ����$%����*� ��������5$L���5$<�2�7��$%������"������� �,I��$-��"LN8/1� � �&��!-$#�`������$ + � z k ��� �)� D E! _��$<"j��!- �$<���5!������1N<�

M EX+ � z k���� F �JPO\+ � z � F �J� ] F t�9 }%J

SUTa�� )³��M«�� ��� s � ���7^1� � �&����'�'��)(���$-*I ����� � ��5$-*5��,G��$%���

+ � z k ��� F�D J��X+ � z k���� F �J K + � z � F �J F�D O� �J K tz + � z h ��� F �J F�D O� �J o ]

F �>��$%���@� !#N#�2���e��!�������U%!#�)������$ F t59 }�J\��$%���1��U%!#�)������$ F t59 {5J�9 J

SUTa�� )³��M«�� � � sQ��$S/��5!O����� � �)( ���I.- ���������" ��� ��$#���8�>�2����.S���

+ � z k o � FRD J���+ � z k o � F 8J K + � z k���� F �J FRD O� 8J K tz + � z � F �J F�D O� �J o K t

} + � z h ��� F �J F�D O �J � ]

Page 17: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

��� ���I�3�����I����� ��� ��� �� � � |

� �rqp� I ��x �¢��� !���( w2� � !)�s\�5$%����$8!-��$-*G� � ��� �4�5$%����"��e­H�� ���$%�����������5$S�2����.#��B�(\��W#$<��'�'�/L�� � ���?5���)��� � �&���5'�'��)(���$-*I��.-.- ��D����,1�������5$a�

+ F�D J �z h � �� I

+ ��� F 8J P$ F�D O� �J

�] F t�9 w5J

��� ���A��!-*5*���� �Q� � �)�A.P�� � �5.#�A��$7$�3: ���[� ���.- �������$%�7�)�����5$O���n�6����!-������N#'�/j$#�������G��!-$#�������5$-+0����*���?���$LN8/j� � ���$�W#$-�����4��!-,

+ FRD JFE���� I

+���� F �J P$ FRD O� 8J

�] F t�9 x%J

� �5�>��'�'H��!-$#�������5$#�A�5 ��S��� !-�����5N-'�/1$-�������I��$L� � ����� ��$#���59q�A�)(Q��?��� �B5� � ������.P�5$-��$%������'C��!-$<�`�����5$S����$-�����59

SUTa�� )³��M«�� � � >����$-* LE�!1"��� ���?��>� � �&���5'�'��)(���$-*I��$�W#$-�����4��!-, ���5 �,!-'��-�

% f E~t K\DLK D^oz K Dp�

u$ KD^�v�$ K������

SUTa�� )³��M«�� � " �X��"�!#���&� � �&����'�'��)(���$-*#�

%UE z K tz K t

uF$ Ktv$ K�����

g>"#" � � �_W# 7� �Ot"!+���� �,1�����A� � ���G��!-, ���0W#$#"R�5$-��� � �� G$8!-,I�� �������'Q��.-.- ��D����,1�������5$6���5 %%Bp� � �LN#��� �O���� � ��$#����!- 7��'�'���*��5 ���� � ,S9�s\�5,I.#�� ��4/��5!- X ���� !-'��X(���� � � � �%� �����q���8�� ��������u�x-BP( � �� ��/��5!0�5'����_����,I.-!�����"$8!-,I�� �������'a�5.-.- ��D�8��,1�)������$#�q��� %%9SUTa�� )³��M«�� � � ¤a���v{yN<�I� F .P����� ��N-'�/'��5 �*��5BHN-!��&W#$-�����DJX.<�%� ������?5�G��$%����*5�� ��5$#"0"-��W#$-�|+6N8/ + F�D JUE D^z 9o ��)?5�� � ���4'���, f H � + F�D J2� % f E !-9 F �>��$%���� !#N#�2���e��!����_��$K� � �1��$�W<$-�e���j� !#, ����.- �����������$+���5 % f ];"���?8��"-�$8!-,I�� 7�)���5 ���$#"L"���$-�5,I��$#�)���5 �NP��� � N8/ Dpz 9 J

� �rq�: �8tJ( J��^w ��x =p��<�%�� !C��� �F<#�'%)(*��x:8!-.#.<�%� �&� � �)���2(Q���!#$#�`������$#� �+��$<" �O���������2��/1� � �&���5'�'��)(���$-*I.- ��5.P�� ����������

� F !�JYE ! � F !�JFE t � > F�D JFE � F ��J � > FRD JFE O � F ��J�] F t�9 |%J

SUTa�� )³��M«�� � ) ·;��$<" � ��* � �� �"��� ���?)������?5����B=��9 *<9 �&> >�E �u>$E O �;BC�&> > >�E �u> >�E O �&>FE O �PB���� � � E ��> > >$EO �&> >pE O �u>^E O F O �HJ�EZ��9

SUTa�� )³��M«�� � ¤a���B{�E !I%�t�%7z�%�u % ]i] ]79\sQ��$L/5��!L���5$�W# �, � � �&���5'�'��)(���$-*

!?EZ� � o2z � F !�JYE�� � o2z h ��� F !�JQ] K tVEZ� � �0z h ��� F !�JYE�� � �0z � F !�JQ]iO�tBEZ� � �0z h � � F !�JFE�� � �0z h o � F !�J ]SUTa�� )³��M«�� � � >����$-* LE�!1"��� ���?��>� � �&���5'�'��)(���$-*I��$�W#$-�����4��!-, ���5 �,!-'��-�

� F�D J$E D O D^�uF$ K

D�6{F$ O

D 8w $ K

D�D|F$ O �����

��$<"jW#$<"L�1����,G��'��� �����.- ������ ���5$O���5 � F�D J`9

SUTa�� )³��M«�� � � s\�5,�N-��$-�&� � �� �����!-'������5�������� ����������Qv�|I�5$#"L{�vG���j"���"�!#���

%�f E � F�D J K l� FRD J

( � �� ��� � ���Q� � ��.# ���.<�� �2/� o E O�t59

Page 18: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

t"! ����������� �� ����� ������������������������� �!���

� �rq�G �����Q!r% ��� t % �5�n�5w�% H&(*��(*���¢�5w ���� ����!-$<�`�����5$<�@����$ D �5$#"1���%� D � � �� ��\� � �A.- ��5.P�� �������� F t59 |�J;(���� � � F�D Jn��$#" � F�D Jq�5�n����$INP�A?5�� ���W#��"�!#����$#*"���W#$-�������5$ F t59�t�Jp.#'�!#����*�����,G���� �������'P�� �*5!-,I��$%��B���$<"I� � �� ������5 ��A� � �����A�� ���*5��$-�5,I���� ����Q��!-$#�������5$#� � �D?���� � �����,I�&��$�W<$-�e���4� !#, ����.- �����������$#��9 ��� !#��(Q� � �D?5�X� � �� ���,1�5 �^)��N#'��X���5 �,!-'��-�

%�f Ek���%� DLK %����$ D F t59�t"!%J

( � �� ��� o E O�t�9

SUTa�� )³��M«�� � � �X��"�!#����� � �&���5 �,!-'��I����� D E F %�f K % k

�f J2��z�9q·;��$#"S�1� ��,I��'��� ����� �,�!-'������ A� ��$ D 9 F �A��$%���

� � ��.- ���.<�� �����������%� F O D JYE ����� D B#����$ F O D JFE O� ��$ D 9 J

SUTa�� )³��M«�� � � ·;��$<"L� � �4"��� ���?)�)����?��X�5�p����$ F�D J-����� F�D J`9

SUTa�� )³��M«�� � � ·;��$<"L� � �4"��� ���?)�)����?��X�5� % ? f 9 F �>��$%���q� � �4� � �5��$L �!-'���B-(���� � � FRD JYE % f �5$#" + F�D J$EZW D 9 J

SUTa�� )³��M«�� � � ·;��$<"L� � �4"��� ���?)�)����?��X�5� % ? f ����� D 9

SUTa�� )³��M«�� ��" ·;��$<"��$7 )Y#[���&K$L���*)� )[��*)M$�����% ? f ����� D 9

Page 19: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�� � � ��� � � ��� � � � � � � �

qP��� I x5% �S= ! � x � ��wy�SUTa�� )³��M«�� � � :8��'�?��X� � �4��/8� ����, �

D~K " & E}�2 D~K & E � ]

F �>��$%���4,1��^5� D � � �j� !#N�V2�����4���Q� � �IW# 7� �4��U%!#�)������$aB=��!-N#� ������!����1� � �1 ���� !-'�����$-*S����.- �����������$+���5 D ��$K� � ���������$#"O��U%!#�)������$aB8� � ��$� ��'�?������5 & ]-"��G� � �4����,I�S� N#!���� � ���5� � �� �(Q�D/j�5 ���!-$#"-�����G��N����5��$ D 9 J

qP�rq �\���5w %!<��¢x·-�� ��5!- �.#!- �.P��������B-�L< @�AR/21�� � (���'�'aN<�4�G ���������$#*5!-'��� ��� � ��D/1�5��$8!-,�N<�� �� F �5 �?)�� ����5N-'����7J`B�'���^��&���#�� x z'!

| {t�{ w��

�5 A���#� " 2 % + � M��

��$<"O� 35.%RiA�:'/�(���'�'=N<�4�G,1�)�� ����_����) (���"8� � 3=t�B�'���^5�����#�� � �� �( � ��� � ����� ) u)bc?5�������� �38( � ��� � (Q��,1�D/j��'�� �I(� ��e�����5�4O � %%�D% � P�� ���1����$#� �� �?�����.#�����59

SUTa�� )³��M«�� �.) � ������+"��)(�$ �0,1���� ��e�R�5�>(���"8� � v#B � ����* � �Iv#B\(��e� � ±��� �������?��� �/%( � �� ��_���-����.��1�5$ � � �"�����*��5$#�5'dB\( � ��� � ���I� � �v6.P�����e������$#�I �!-$-$-��$-*K�� ���, � � �S���5.�'����l�_���5 �$-�� 1"��)(�$ ���6� � �N<�5� ���5, ���* � ����� �$#�� �9

qP�r� �U� <¢�;( wL! �^�IHp�5���� ��'���$-*5� � ���;� � �zDbc?5�������� +O ��%�� P � ���A"���W#$-��"O���1N<� � � o K � o 9 ��� ��'���$-*�� � ���;� � �u�bi?��������5 +O � %%�D% � P �����"���W#$#��"O���1NP� � � o K � o K � o 9SUTa�� )³��M«�� � sQ��'���!#'�������� � ��'���$#*�� � �5��O uI%7{ P�� 9

SUTa�� )³��M«�� � � ����?5�4�I� ��$#����N-'���"���W<$-�e������$S���;� � ��'���$-*5� � ���n�1{Dbc?5�������� Q'���^5�BO ��%��&% � % D % & P�� 9

qP��� �U� <¢�;( wJ���P����!r% ��� (Q�G?��������5 7���� �� $��L�% �;�e�;� � �4���5,I.P�5$-��$%������ �����'�'H� � �4����,I���� D

& � � E� � �� ��� D EZ��% & E��D% � E � ] F z-9�tDJ

SUTa�� )³��M«�� � � sQ��$�Iu)bc?5���`���5 Q��?5�� �N<����U%!#��'H���I�Iv5bi?��������5 O�>�8����� � �4U%!-���2������$O��?5��$L,1��^��&����$<� � U�� p��Q]^[Pp� �i�[cb ]^a�!WZWk s V2XQZ#" df] o i*Zj[PeQk%$ i*dPb XQZW]'&�(�a!e b^X%Z k^ZWeQk^Z�dPn>k)�Q] ]^d*�Qe%oQa!e,+ k)�Q\Qk b^]^[cb)�%i-(2[Pk*a!e.$ i*dPb^XQZW]�p!d oQZ*&!s$ /�Z0!`b df]'&0i*Zj[PeQk1$ !j[P]^] a!ZW]'&!s

t�t

Page 20: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

t�z ���� ��Y��� ��� �������.��� ���� �

qP��: I J�� <¢�;( wB�'% ����x��N� � � M&�^w� �4����$L,!#'e����.-'�/O�G?����`���5 �N8/_�G$8!-,NP�� �B-'���^���� �<�

W D& � E

W DW & � ] F z-9 z�J

SUTa�� )³��M«�� � � sQ��'���!#'������r� � �6'���$-*5� � �5� O D % & P�� ��$#"k���~W O D % & P�� 9 �>�)( "�� � � ��� �K'���$-*5� � �S����,I.#�� ��( � ��$�� W��#E t � � ��$�� W�� + t � � ��$�� W�� - t

qP�HG IJ� �*% �IH�J���<#�;(�wyxhc�;�2(\�I?5���`���5 7� � �D?5�X� � �4����,I� � ����* � ��B-(\������$S�5"-"O� � ��, ���5*���� � �� �B�'���^5�����#� D

& � K � � � E

D~K �& K � � ] F z-9 u%J

��� �&� � ��$#*G��$L� � �� ���* � ��� ����'�' � �5��(���"8� � t�B-� �I���A����� ����'�'=�I?5���`���� �9

SUTa�� )³��M«�� � � �X������ �,I��$-� D ��$<" & � !#� � � � �)�

D O�t

z � K & OAu

w � E

zO>{ � ]F �>��$%���4��.-.-'�/S� � �1 �!-'�� F z-9 z�J`BC����'�'��)(\��"+N8/ �!-'�� F z�9 u�J���$#"0W#$#�5'�'�/+ �!-'�� F z�9�t�J`Ba���S�5N��7����$K�S��/��2����, '���^��� � ���5$-�&��$L������ 7����� �&}-t�9 J

SUTa�� )³��M«�� � � � �/1���j� ��'�?��>� � �&���5'�'��)(���$-*G���� D ��$#" & �

D O�t

z � K & OAu

} � E

zO>{ � ]hc�p/5�5!L �!-$O��$%���I�� ���!-N-'��5B8�� �/1���j"������� ���NP��� � ��$<�)��!# ��&���;� � ��.- ���N-'���,S9

SUTa�� )³��M«�� � � � �/1���j� ��'�?��>� � �&���5'�'��)(���$-*G���� D ��$#" & �

D O�t

z � K & OAu

} � E

tO>z � ]sQ��$L/5��!ONP�4��!- ���� � �)�A��?5�� �/8N<��"�/IW<$#"-��� � �4���5,I�&���5'�!�������$

qP��� �U� <¢�;( wJ���P�����'% (*��x��� ����/8� ����,~���H������ ��������Q}#t\��$8?5��'�?����;�X,1���� ��e�

"2 � B5��?5�������� �O ��%�� P�� B���$<"CB�.P�� � ��.#�p'������;�5N8?8����!#��'�/�B

��$#��� � �� �?5���`���5 BO D % & P�� 9 ��� �I��U�!<�)�����5$<�&��$6������ ��������G}#tG����'�'q!#���NP�5!��4�L(Q�D/+�������,N-��$-�I� � �1,I���� ��e���$<"K� � �L?5���`���� SO D % & P�� ���0�5N-������$6� � �_?5���`���5 SO � %%� P�� ]Q�)�'������2��B;� � ��������5$-�j(��D/0�5�A'��8��^%��$-*0���4� � �������U%!#�������5$#��9

SUTa�� )³��M«�� �" >���� �!-'���� F z-9�tDJ� F z�9 u�J@���G ���(� �������� � ����U%!#�)������$#�����p������ 7��������}#t&�����

D 2 � K &

" � E

� � � ]

Page 21: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�I����� �@����� ��������������� ��� � ����� ���F� t�u

qP��; �Q(�wy�-(*�(J�� <¢�;( wU� �P�����'%)(*��x� ��$-�)( �5*5 ����X� � ����� � �&����'�'��)(���$#*����A��$#��� � �� �(Q�D/_����(� �������$-*I� � �4����,I����/8� ����,S�

"2 � � D

& � E � � � ]

SUTa�� )³��M«�� ��� ����(� ���������$�� ,1�)�� ����8bc"��5� bc?5���`���� ������5 �,L�� DLK " & K 2 � E_� D`K % & K � E��

F �>��$%���nW# 7�2��W#*�!- ��&��!���( � �)��� � ��,1�)�� ����O��$#"_� � �&�2(\�I?5���`���5 7�Q� � ��!-'�"LNP�59 J

SUTa�� )³��M«�� � ) sQ��$S/��5!jW<$#" PB "DBI2)B#�5$#"� 1� !#� � � � �)� "2 � � D

& � E D& �

���Q�� �!-�5B-$#�G,1��� ���� A( � ����?)�5'�!-��� D ��$<" & �7��^��

qP��G I xe��( wy�5��� ������(p� ���'%)(*���� ���5"�?)��$%�7��*5�>���C� � �X"��5� bc.- ���"�!<�`�\$#�����������5$1���q� � �)��(Q�>���5$j!#���X�����$-*5'��A'���� ���� \���G�2�7��$#"I���� Q�5$j��$%���� ��,1�)�� ����CB�'���^5�����#�

� E "2 � F z-9 v8J

����� � ��.- ��5N-'���, ���p������ 7����� �&}-t�����$LN<��(� ��e������$S���Q���5'�'��)(A���

� � O D % & P � EO � %%� P � ]SUTa�� )³��M«�� � ¤a��� � N<�I�5�X"���W#$#��"��$+��U%!#�������5$ F z�9 v%J F (��e� � �5 �N-���� 7�� �/j?)��'�!-����BP$-����$-�����������5 ���'�/j� � �����/5��!_����!-$#"L��$L������ 7����� �4w�z�J\�5$#"O'����

� E �� � k k � � k k � � k �� � k � ] F z-9 {�J

� �)( ?5�� �����/1� � �)��� � �&���5'�'��)(���$-*G������ �!#�5�

� � O ��%�� P � E O D % & P � ]( � �� ���� � ���2(Q�j?5���`���5 7����'�� �j���)����� ��/O��U%!#�)������$ F z�9 v%J�9 F �A��$%����(Q�5 �^_�5!-�A� � ��,!-'�����.-'������)������$�5$S� � �4'����l��B��$<"O� � ���7^1� � �)�A���>��*5 ������Q(��e� � /��5!- � �����!-'�������$L������ 7����� ��}-t�9 J

SUTa�� )³��M«�� � � � ��� � � � ��,I���� ����������5$#"_?��������5 7���5����$L� � ��.- ���?8���5!#�Q���8�� ��������5B�?��� ��e��/j� � �&����'�'��)(���$#*#�

� � 2 � E

t! �

��$<"� �

" � E

!t � ]

Page 22: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

t�v ���� ��Y��� ��� �������.��� ���� �

qP����L � � ! �'%�= ! �&% �IH_�����5w %!<¢��xh¬$j� � ��'����2�Q������ 7����� ��B�/��5!j,�!-'�����.-'�����"_� � �X,1�)�� ���� � N8/I�2(\��?5���`���� ��q� � �������5$#� ������!-���X� � �L�����5'�!-,I$#���4���� � ��,I���� ��e� � 9 ��� �&����'�'��)(���$#*�$-�5���������5$S���5$<"���$#�����Q� � �����&�2(Q�G,�!-'�����.-'������������5$#����$%���1�1����$-*�'��&��$-�5�

� � "2 � E

t�!! t �

�5 ���?5��$O,I�5 ��&N- ���� � /H�� � � E �

( � �� �� � �����2�7��$#"#�� 7"1$-���7�)������$j���5 ��r����U%!#�� �����,1���� ��e�1� � �)� � ���\±��� ����\��?��� �/%( � �� ��>���-����.����5$_� � �&,1����$"�����*��5$#�5'd9ns\�5$#"���$#����"I$-�5���)������$1���l����$1,1��^����n� � �A$-�)?8�����A$#�� �?5�5!<��]5���������!#��*���� !#� � (Q�5 � �������B���� � ��'�.#�n��� ���,I��,�N<�� A� � �)�>/��5!���5$+��'�(Q�D/��1��!-$8(� ��5.#��� � ��$-���7�)�����5$S��$%���1��!-'�'����5 �,LBP��$#"+/5�5!� � �5!#'�"S^�����.+"-�5��$-*� � ����!#$�����'=/5�5!S"��G� � ���A�5!�����,1�)�������5'�'�/1( � ��$-��?��� �/5��!L���5,I���5�� ��%��������$#"���$#� ��"_$#�����������5$a9

SUTa�� )³��M«�� � � ¤a���¯ E

W a� � ���$<"

� E � � { �

��$<"_?��� ��e��/1� � �)��� � �� ���* � ��,I��,�N<�� ����;� � �&����'�'��)(���$-*I��U%!#�)������$O�������� � ��������

¯ � � E W � K\a W�� K�a {� � K[� � � K[� { � ]

F �>��$%����W< �� ��B%� !-N<�2���e��!����>� � �>"-��W#$-�������5$<�n���H� � ���2(\��,1���� ��������n��$%���&� � �>��U%!#�������5$a9 ��� ��$I��.-'��e�\� � �>,I���� ��e�� ��$%���I�2(\�1����'�!#,G$L?5���`���5 7�@���1*5���Q�2(Q�1� /�� ����,I���5�;��U%!#�)������$#��9 J

SUTa�� )³��M«�� � � � ��� � � � ��,I���� �������� ¯ ��$#" � �5����$L� � ��.- ���?8���5!#�������� 7����� ��B8����'���!-'��)����� � ��,1�)�� ����

� � ¯ ]SUTa�� )³��M«�� � � s � �8������$%!#,G�� ������5'H?D�5'�!#���Q���;/5�5!# \�)(�$O'���^8��$-*G���� \� � �&,1�)�� ����j��'���,I��$%�����5�a� � ��.# ���?%���5!<��2(Q�G������ 7����� ��� F �59 *#9YWQE u#B a Ek{-B�9�9�9�B �|E t�B�9�9�9�JI�5$#"O��!-N#� ������!-����� � �����&��$%���1/��5!- � �����!-'�����9�/n�� ��e��/_� � ���¯ � ���E � � ¯ 9 F � �����5�>���@/��5!jV2!<�2� � ��.#.<��$+���S� � �8�����?)�5'�!-���&� !#� � � � ��� ¯ � � ����,G���>��!���� � �1����,I��5� � � ¯ B-/5��!_,1�D/ � �D?����� 7�� ���,I��� � ��,1�)�������5'C��$%��!-�e������$2$ J

SUTa�� )³��M«�� � � � ��� � "���W#$-�������5$#� F z�9 v%J��5$#" F z-9 {�J`B#����'���!-'��)��� � � � ��$<" � � � 9 � � �)�X"��1/��5!L$-��������� F �>��$%���q/5��!O��'� ����5"-/_"���" � � � 9 J

SUTa�� )³��M«�� � � s\�5$<� ��"��� >� � ����5'�'��)(���$-*I�2(Q�_"�����*��5$#�5'a,1�)�� ���������� ¥ E � !! � � ��$#" S E

!! { � 9

: � �)(k� � ��� ¥ � S E S � ¥ 9

qP���&� ������( wy� �^wU(p�~�����5w�% # � � ! �'%�= !r%!<����'% (*� �������;��wlx�q�5! � �D?5�A� � �)(�$G� � ���q� � �>�5 7"��� q�5�H� � ���2(Q��,1�)�� ��������p� � ���\�� ���,!#'e����.-'�����"I���5*5��� � �� q,1��^����q��"���­H�� ���$#����5�A ���*��� 7"-�\� � �4 ���� !#'e��9 � ����D/j� � �)�A,1�)�� ����L,�!-'�����.-'������������5$"��8���>$-���A��$*5��$-�� 7��'�R;:'<`< ��Al.D9��A�)(Q��?��� �B��$S���5,I������� ����B8.#�5�� 7�����p,1�)�� ���������&�Z1����,I,!����5B#��!#� � �5�Q� � ���5$-������$L� � ��'����2���2(Q�G������ 7����� ����9

SUTa�� )³��M«�� � " ¤a�8��^1N#�5�7^1��$O���8�� ��������4w�{���$#"j�� �/1���I����.-'�����$_( � /j��������$#���A� �I��!- �.# ���� ��$-*� � ���A,I���� ��e�,!#'e����.-'������)������$L�M����'��Q���1N<�4���5,I,!��7�)����?��X��$S*5��$#�� 7��'i9

Page 23: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�I� ��� � ����� � � �F�E� ��� �4���,� tD{

qP����q � (�!g� � ��x �����Zwl(ut~x��� �Q) (���"8� � 38�����,I���� ��e�1��������'�'���"I� � �&$%!#,NP�� Q���>R;: ���e< KT�B8( � ��� � �5 ��>� � ��?5�� ��������'P?5�������� ��q� � ���Q,1��^��!-.O� � ��,1�)�� ����C]�� � � ) � ����* � ��38���=� � �&,1�)�� ����j��������'�'���"1� � �X$8!-,�N<�� Q�5��/;:��>T�9�hc�;��,1�)�� ���� � �5���4 ��)(A�\�5$#"2G���5'�!-,I$#��Ba(Q�G ������� ����S�e�4�����5$ ��� 2�,1�)�� ������#9�g�T � ��@5/;.1,1�)�� ���� � ���X��U%!#��'n$8!-,�N<�� �����������'�!-,I$#���$<"_ ��)(A��9ph2"���$%�����2/j,1�)�� ����������5 ����5'�(��D/��Q��U%!#�� ��59

SUTa�� )³��M«�� � � sQ��$ /5��! � � �)( � � ���1�e�X�2(\�K��U%!#�5 ��O,I���� ��������I�� ��O��!#� � � � ����� � ���� j"����I.- ���"�!#�`�I���G�5$��"���$%�����2/0,1���� ��e�CBC� � ��/r,!#� �����,G,�!���� F �>��$%���4N<�j��!- ��G���+�D?5����"r�5��� !#,G��$-*L� � �1?5�� �/S� � ��$-*/��5!6�� ���� �/8��$#*����I.- ��)?�� $ J

qP����� ��� J���wlx �\� ���5w�% <���x� � ��$1�2(\�����5,I,�!�����$-*��U%!#�� ��A,1�)�� ��������q,!#'e����.-'�/G����*5��� � �� q���4���� �, ��$_��"���$%�����2/�,1�)�� ����CB5� � ��/1�5 ��>������"���NP�1����� � ��� � �� �3 �J1�K&3'.0/PT�.D9 ��� �j,1�)�� �������� � ��$#" � "���W#$-��"KN8/0��U%!#�)������$#� F z-9 v8J&��$#" F z-9 {�J��� ��I�5$���-�5,G.#'���B-��$#"L(Q���5�l����$L(� ������ � E � k�� F �� �B)V2!<�2�>����(\��'�'iB � E � k � J�9SUTa�� )³��M«�� � ) � ��� �y¥ �5$#" S �5�&��$K������ 7����� �_w)|#B=���5'���!-'��)��� ¥ k � �5$#"6���5,I.#�5 �� ¥ k � ��� S 9 F �+�5 7��'i�� NP����$-*I��$%?��� 7� ��������,G.#'������I�����5,I,�!�������N#!��A$-���A?8�����&?5�� ����-9 J

SUTa�� )³��M«�� � s\�5$<� ��"��� q� � �A,1���� ��e�,�!-'�����.-'������������5$ � ��� E � ( � �� �� � ��������<2��\B%�5$#" � ��������<2��A9/n�� �����/r� � �)��/5�5!y����$ ��$-'�/6���5 � �/0��!��4� � �_,�!-'e����.#'������������5$ ( � ��$@2�� E����>90: � �)( � � ����Bn����� � ���4'��)������ ����$#"��������5$L������!-'eW<'�'���"CB#(\�&W#$<"_� � �)��� � ��,1�)�� ���� � ����� � K2 � 9

SUTa�� )³��M«�� � � sQ��$ /5��! � � �)( � � ���I,1���� ��e�R,�!-'�����.-'������������5$���� @LTcT0:FR�19@�A41435.D9 F �>��$%���S� � ���1,I����$<�G� � ���F � ��� J � � E � ��F�� � � JA���&��'�(Q�D/����� �!#��(���� � $-�O�5� � �� X ���U%!-�� ���,I��$%���>�5$0� � ��� � ����G,1�)�� ��������>�5� � �� � � ��$L� � ����N8?%���5!<�\��$-��� � ���A ��)( ��$#"S����'�!#,G$L$8!-,NP�� 7�1��,I����� � �#9 J

SUTa�� )³��M«�� � � ®n��.-'�����$L( � /O(\������$L�5$-'�/j,!#'e����.-'�/O�G,1�)�� ���� � �l[ �l[5,L$( �( � ��$S���A������U%!#�� ��59

qP���u� �\���5w % # =&(utv��wlx��� ��4� � �5 ��>$-�5���������5$a�Q( � �� �� � ���>�_��U%!#�5 ���,1�)�� ����CB-� � ��"��5�>.- ���"�!#�`� � � � ���A���l����$(� ��e������$0�5� � o ]� � �4"����A.- ���"�!#��� � � � o �����5�l����$S(� ��e������$S��� � � ]#��$<"O���I�5$a�p� � �8{H� � .P�)(\�� ����n�G��U%!#�� ��&,1�)�� ���� � ���� z ]#N<��'��)( /5�5!L(���'�'a��$8?5���2����*%�)���X� � ��'���,I�e�>'���, z H � � z 9

qP���#: �cw�� ��xL=&(&x5% �'% (*�gA$#��� � �� S� �� �L���4����.P�5$-��$%�L���j� � ��) � 3\� � ���O��!- �$#�O�R ��)( ?��������5 O'���^5�6O D % & P ��$%��� �R���5'�!-,I$ ?5���`���5 ��O D % & P�� E

D& � 9 ��� ���A��'�����(Q�5 �^��\(���� � ,1�)�� ���������B-�5$#"L�e�ANP��� �A����.-'�����$-��"_N8/_������( ���-�5,G.#'������

" 2 % + � � E� " %2 + �

��$<"CB-��*%����$aB W a� � � � E W �a � � ]

��� ���A"�����*��5$#�5' � ��.-.#��$-*I���A���5'�'���"nAR/�@0K�T �P:0T�14A419:0K F � ��$<���&� � � ) � 3 J`9

SUTa�� )³��M«�� � � � ������4"��)(�$O� � �&�� 7��$#��.<�%� ���Q���;� � �&����'�'��)(���$#*G,1���� ����������� � � { � �� � � �5$#"

W a � � !" # $ % & � ]

Page 24: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

t�} ���� ��Y��� ��� �������.��� ���� �

SUTa�� )³��M«�� � � sQ��$S/��5!O� � �)(k� � ��� F � � � J � E � � � � � SUTa�� )³��M«�� � � ¤a����� E

W � t O�W oO � t OQW*o W � 9n�X������ �,G��$-��� � �5$#"�� k�� 9 � � ����"���/5��!j$-��������� sQ��$L/5��!O����.-'��5��$O� � ��� F �A��$����p� � � ) ,1��*�������'aU%!#��$%���e�2/H3I 8O*"/2)9 JqP��� G ��������% H&��� J���!m��� =^wy(�M ! ���gE?5�� �/1��,I.<�� �7��$%�A,1�)�� ����_��U%!#�������5$L���Q� � �4����b¬����'�'���"�.�1HO�.PK&3;@�����.��&/;:�����.0<S�

"2 � � � � � E &

� � � F z-9 }%J

�5 ?O & "2 8O & � � � � � E

!! � ] F z-9 w5J

SUTa�� )³��M«�� � � sQ��$�/5��!� � �)(6� � ���;��U�!<�)�����5$ F z�9 w�J=(���'�'8�5$#'�/ � �D?��q� � ��) �� ���?8����'i3)� ��'�!�������$SO � %%� P�� EO !I% ! P��( � ��$-��?��� F UO & J F cO & J\"��8���Q$-��� � �D?5�>� � �&����,I�>?)��'�!-���5��"/2 F �>��$%���n/5�5!1��$#����!-$%���� ���"I� � �Q) ,I�5*5�����5'U%!#��$%���e�2/H3I 8O*"/2XN<�����5 ��59 J

SUTa�� )³��M«�� ��" :8��'�?��X� � ����U%!#�������5$

F 8O & J F ?O & JPO*"/2BE�! F z-9 x%J

���5 & 9 F �>��$%���q,!-'�����.-'�/_��!������I�5N-������$�IU�!<�5"� 7�)�����X��U%!#�������5$L��$ & �5$#"L!#� ��� � ��' �"/27bi���5 �,!#'����-9 J

qP����� �F% H&�^� J�� !g���¢x��� �����5'�!������5$#� F ) ��8���7��3 J\������U%!#�)������$ F z�9 x�JQ�� �������'�'���"j� � �~.01 O�.fK&3�@�� �u.fTA�5�=� � ��,1�)�� ����

"2 � B�( � ��� �

(Q��(���'�'="���$#�����4��� & � �5$#" & o 9SUTa�� )³��M«�� � � ·;��$<"_��?����`���5 �O ��%�� P�� � � ���Q���)����� W#���@��U%!#�������5$ F z-9 w5J;���5 & E & � 9 ��� ���q���q� � �J.�1HO�.PK&3'.QRiAl:5/�5�����8����������"j(���� � � � ������*���$8?)��'�!-� & � 9qP����; �F% H&�^� J�� <¢�;( wlx�q����,I�5 �� F ��N%?8���5!#�7J�$-�5���������5$a�Q*5��?5��$S� � �4����*���$8?)��'�!-�4.- ��5N#'���,LBP��U%!#�������5$ F z�9 w�J`B<(\��"���$-�5���� � ������*5��$-b?5���`���5 S�5��� �������)����"T(���� � � � �6����*���$8?)��'�!-� & � �5� O � � %%� � P � �5$#"T� � �K����*5��$8?����`���5 L�5��� �������)����"T(���� � � � �����*5��$8?D�5'�!#� & o ���JO � o %�� o P�� 9&����?5��$� � ��� ���2(Q�j����*5��$%?��������5 7��B#(Q�����5$+����.- ������>�5$8/L*���?���$?����`���5 O D % & P���5�@�4� !#, 2 � O � � %%� � P��8K 2 o O � o %�� o P�� 9ph¬$I� � �X���� �'����� n������ 7����� ����B5/5�5!j���D( � �)(R���4(Q�5 �^4�5!��@� � �>���8� �j������$%���2 � �5$#" 2 o 9SUTa�� )³��M«�� �.) �+�5^5��� !# ���� � �)�A/5��!L����$O���5'�'��)(k� � �4� ����.#����$O� � �&���5'�'��)(���$-*1"��� ���?)�)������$a�

"2 � z � D

& � E "2 � z ��� 2 � � �� � � K 2 o

� o� o ��E!2 �

"2 � z � � �� � � K 2 o

"2 � z � � o� o �

E!2 � & z � � �� � � K 2 o & zo

� o� o �E & z � � 2 �

� �� � � K 2 o F & o � & � J z � o� o �� ]

Page 25: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�I� � �I�3�-�(��� � � �F��������� t)w

SUTa�� )³��M«�� � g>����!-,I�_� � �)� � & o � & � � + tO��$<" � ��$<���S� � �)( � � �)�G'���, z H � F & o � & � J z E !-9 s\�5$#��'�!#"-�� � �)�

"2 � z � D

& � �!2 � & z � � �� � �

���5 �'��� �*5��?)��'�!-�����5�*{n9

SUTa�� )³��M«�� � � sQ��$S/��5!_��?)��'�!#�)���&� � �&����'�'��)(���$#*�'���,I��� +'���, z H � "2 � z � D

& � ]

Page 26: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

t�x ���� ��Y��� ��� �������.��� ���� �

Page 27: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�� � � ��� � ��� � ���

�P��� �����5�&% �'% J�� =^wy(�M�� M&% !m% � �SUTa�� )³��M«�� � � � � ���Q���\� � ��.- ��5N#�5N-��'����2/ � ���a� � ��)(���$-*����2(Q�(���� � ��M���� �"���� � � �)�����@� � ��.- ���N#��N#��'��e�2/���p� � ��)(���$-*j�5$L��?5��$$%!#,NP�� � � �)�>����� � �4.- ��5N<��N-��'����2/_�5�p� � ��)(���$#*j� ��,G��� � ��$-*1'�������� � ��$+���e� 6¤=������ � ��$S��'���?���$ F (���� � � ,��lY �� $"�����J ¤a�����Q� � ��$S��$-� � !#$#"� ���"

SUTa�� )³��M«�� � � � � �� �� �0���A� � ��.# ���N#��N-��'��e�2/L���@�5$+��?���$%��BH���5$/5�5!r� � �)( � � �)�X� � �G��"-"-�X ����������1���n� � �����?���$%�����A*5��?5��$ON8/j� � �&���5 �,!-'��

�vE t O ��

F �>��$%���p� � ����"-"-�� 7�)�����G���Q� � ��(��D/1���;����.- ������ ��$-*.# ���N#��N-��'��e�2/jNP��'��)?5��"j�5��*��5,N-'��� 7��B8���Q��$�����,I��'�'�����$_����5$#���-9 J

SUTa�� )³��M«�� � � h¬$ � �)( ,1�5$%/1"���­H�� ���$%�\(��D/��q���5$j/5��!I� � ��)( �2�2(Q�4��/�������(��e� � �"-��� � � �)��,1��^5���q/��5!NP��'�����?5�1� � �)��� � ���$8!-,�N<�� ��U�!<��'���� � �_$8!-,NP�� ����A(��D/���/5��!y����$6� � ��)( �0� ��� F �>��$%����� � ��$-^6����� � �� � ��)(���$-*G���n�G"-���4������. � /���������'C.- �����������9 J

�P�rq � J��^���;x��� ��� ���Q�5�=��'�'#� � ��$#*��@� � ���Q����!-'�" � �5.-.<��$j���\����'�'���"I� � ��T0@5< � ��.*T���@#R;.DB8"���$-�5����"1N8/���B��5$#"1�����\��'���,I��$%����� �� . ��.0<�.PK&Al@5/�E��?5��$%�7��9 ��� �0U%!-��� �����5$ ( � �)�j���-�5�`��'�/ ����$#�2���e��!������j��$���'���,G��$%���� �/y��?5��$%�j��$ � �)��!- ��'����5"#�Q���1,1��$8/j.P�� �.-'������e��������B�. � /���������'a����(\��'�'a����. � ��'��%� ��. � ������' o 9q�>�)(\��?5�� �B8�e�>��! �j�����Q���j������!-,I��� � ���(Q�j����$6$-��?5�� 4�5N#���� �?5�1�5$%/r������!# � ���$#���1� �.- �����������'�/� � �)�(Q�1(Q�5!-'�"KN<�_�5N-'��1���S����'�'@�5$#�1��'���,I��$%���5 �/��?���$%�q�� ��5, ��$-�5� � �� �]5� � �v.'35.PK&A T�(Q�A(���'�'H"����5'#(���� � �5 ���,�!#� � �� �!#"��� �B%,!<� � ,G�� ��A���5!- 7����bc*5 7����$-��"� � �5$��'���,I��$��7�� �/O��?5��$��7��9 ��� !<��BP(\�G�� ��4�5$#'�/S����$#���� �$-��"S(��e� � ��!-N#�����7�A�����]a�5$��?���$%��� ���5 � ���� .P�5$<"-�����O���!-N#�����A�����k�5$#"O� � ��.# ���N#��N-��'��e�2/1�5��� � ���A��?5��$%��B� F �J`B������ � �4��*�*5 ���*������X���=� � ��.- ��5N#�5N-��'����2/_���5 � �����"jN8/� � ����'���,I��$%���5 �/_��?5��$%���Q(��e� � ��$S� � ���A��!-N#������9

SUTa�� )³��M«�� � � ®n��.-'�����$L( � /O/5��!_,!<�2� � �D?��� F ��JYE t&���5 A�G?)��'���"� r��!-$#�`������$a9

SUTa�� )³��M«�� � � ®n��.-'�����$_( � /1/��5!j,�!#�2� � �D?��� F�� J�E�!4���� ���?)��'���"� +��!-$<�`�����5$=9 F �A��$%���p� � �&��,I.��2/j����� ������1� !-N<� �����5�p�5$8/_� ����9 J

SUTa�� )³��M«�� �#"�" �> 7�D( � /n��$-$O"-���5*5 7��, �����T�5$#"_�5$_��?5��$%��������9@s\ ��%��� b � �)�7� � B5��$L"-�e­H�� ���$%�����5'��5!# ���B� � �4� ������� ��$#"��1B#�5$#"S���5$<� ��"��� � F �JQ�5�Q� � �2�? �[5�MZINP���2(Q����$_� � �4�� ������ b � ����� � ��"_�5 �����5��� ��$#"���9

SUTa�� )³��M«�� �#" � h¬$K/��5!- �"�����*� ��5,f���5 &� � �1.- ���?8����!#�������� 7�������5Ba�� ������ b � ����� � F ��$6�S"���­H�� ���$%�4���5'��5!# 7J>� � ���?���$%������� F � � �)�>����BP��'�'a�����k���-����.����J�9 ��� ��������� � �5R�:'< � ��.0<�.fKpA\�����1B#�5�l����$S"-��$-�5����" �j9\®n��.-'�����$� � ��'��D( F �4JYE~t O! F ��J`9

SUTa�� )³��M«�� �#" ) �> 7�D( � /n��$-$_"�����*� ��5,~���"� ��$#"G�2(Q�2�'��[5�% �* "�$�3:�L � ,��*)�$A��?5��$%�7���$#%��� �5$#"&�$# #%�'��9s\ ������2b � �)�7� � � � ����?���$%����#)(��$# #H��$#"j����.-'�����$j� � �X �!-'��� F �$#*(&��# #�JYE� F �$#�J K F �$# #�J`9 F �A��$�����) ,�!���!<��'�'�/���-��'�!#����?5�53�,I����$#��) $-�I�)?5�� �'���.a3�9 J

SUTa�� )³��M«�� �#" ����.P�����@� � �>.- ���?8���5!#�n������ 7����� �A�5'�'��)(���$#*4� ��,G�>�)?5�� �'���.GN<���2(\����$1� � �>��?5��$%�7���$#<�5$#"��$# #MB��$<"_���8.#'��5��$L� � �� �!-'��+ F �$#,(-��# #�J + F �$#�J K F �$# #�J�9U/.�d*�."Ya!p!pYX0[j_ Z k^dfi*Z�n�[Pi*a!p!a�[P] a b q "Ya b^X b^XQZ !Wdfe,!WZ10%b�dPn20Q] df\0[P\Qa!p!a b q43 "YXQa�! X a!k�dPnHb^ZWe Z/5*0Q]^ZWk k^ZWo [Pk�[60LZj] !WZje b^[�+fZ73i�[cb XQZWi�[cb^a�!Wa�[PeQk2Z/5)0%]^ZWk^k"0Q]^df\Q[P\Qa!p!a b q�[Pk [me �Qim\LZj]2a!e�b^X%Z a!e b Zj] _f[Pp98 :);1</= s>@? d9oQZW] eA0Q] df\0[P\Qa!p!a b q b XQZWdf] q k^a!o%Zjk b^Z10Qk b XQa!k�B �%Zjk b^a!dfe _ ZW] q eQZj[cb p q (#\,�%b a b^k o%ZW_ ZWp!dC0Qi*ZWe b a!e _ dfp _ ZWk>k^dfi*Zmk)�Q\%b p!Z*k^Z`bEDb XQZWdf]^Z`b^a�!>a!k k)�QZWkF3 " Z�n dfp!p!d'" [ i*df]^Z�dfp!o)D�n�[Pk XQa!dfeQZWo (G0LZWoQZWk b ]^a�[Pe�[@0G0Q]^d [�!^X�XQZW]^Zfs

t�|

Page 28: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

z'! ������2��� ��� ��� � ��

SUTa�� )³��M«�� �#" � h¬$O� � � /n��$-$"����5*5 7��, �5��� � ��.- ���?8���5!#�����8�� ��������5B-�� ��%��� b � �)�7� � � � �4�� ����G���;� � �_Z�)M$L��" �4PB��$<"O���5$#����"-�� $ F � # � � # # J����Q� � �2�� )[��MZIN<���2(\����$O� � ��$#��(�'�/O�� ������ b � ����� � ��"j�� ����I�5$#"j� � �4�� �����������9

SUTa�� )³��M«�� �#" � h¬$�� � � /n��$#$j"����5*5 7��, �5�<� � ��.- ���?8����!#�p������ ��������5B5���5$#����"��� p� � � �? )[��MZ&NP���2(Q����$�� � ��$-��(�'�/�� ������ b � ����� � ��"j�� ����I�5$#"j� � �4�� ���������� # 9�P�r� � (*���*% �'%)(*��� ! =�wl(�M�� M&% !r% ����� � 7�)�����6/5��! ���5$#����"��� ���" ��$T������ 7����� �6t"!%{+NP� � �D?5���I?��� �/y,!<� � '���^5��6.- ��5N#�5N-��'����2/P]���$#"�����"���� �-,+�.- ��5N#�5N-��'����2/O.# ��)?8��"���"L� � �)�&(\��� �������� # �5��� � � ) !-$#��?��� 7� �4�5�@"��������5!- 7� ��3#��$#� ������"�����]C(Q�����D/O� � ���X(Q�� ���� �� ����`���_����� # B= ���*%�� 7"���$#*_����5����$6��!- � ��5*%�)����5,I��*��-9 ��� ���&.- ��5N#�5N-��'����2/+�������5��"0���L� � �1.- ���N#��N#��'��e�2/���p��?���$%���2O¢1y3'.fK��$# F �5'����#�n� � ��.- ��5N#�5N-��'����2/_�5�;��?5��$%�*O�1435.PK �$#MBP��$#"S��'����#�p� � ��.- ���N#��N#��'��e�2/SR�:0K ,#1yAR1�:QK^@���5$ �$#�J`9 � ��(� �������� � ���A.- ���N#��N#��'��e�2/j���� F �$# # �,�$#�J�9SUTa�� )³��M«�� �#" � >���A� � �>?)�� �����!#�n 7�)�����%�n���a�� ������ b � ����� � ��"I�� ����5�q/5�5!1� ��!#"-����"1��$j� � �>���5 ���*5����$#*������� 7����� ������1"��� ���?5��� � �&��!-$#"-�5,I��$%���5'C���5 �,!-'������n���5$<"��e������$#��'C.# ���N#��N-��'��e�2/H�

F �$# � ��# #�JYE F �$# � �$# #�J F � # # J ] F u#9�tDJ

SUTa�� )³��M«�� �#"�� � �~©;¡�§�� � ¡M�M³���§��dª<��� ®q��.-'��5��$O� � �&���5'�'��)(���$-*I����.- ������ ���5$=� F �$# � �$# #�JYE F �$# # � �$#�J1 F �$#�JYE F ��# �,�$# #�J/ F �$# #�J ]

SUTa�� )³��M«�� �#" � ��� ª#§��-¡ �  )ª<£;�-£;�d¡M��§7°�� �> 7�D(T�&$-��(�/n��$-$j"�����*� ��5, F ��Jq(��e� � �2(\��"���?8��"���$-*4'���$-����]�� � !#����5 �,I��$#*6� � ����+,�!���!<��'�'�/ ���-��'�!#����?�� F $-��$�bc�)?5�� �'���.-.-��$-*8J��5$#"X. �#�^@ � TiAR1y3'. F ���)?5�� ���$-* ��'�'A��� ��Jj��?5��$%����B( � ��� � /5��!_���5'�'9�$#dB ��# #H��$<" �$# # #M9n�> 7�D(T��$O������!- �� � ��?5��$%�� ( � ��� � ,1�D/I�)?5�� �'���.I(���� � ���5� � ���C� � �>W# 7� �� � ����59 � �)( "���"-!#���&� � ��'��D(

F XJYE� F �,�$#�J1 F ��#�J K F � ��# #�J/ F �$# #�J K F � �$# # #�J/ F �$# # #�J ]SUTa�� )³��M«�� �#" �}� � �5°P�%«��n )©�¡d��� � ��� � � � � /n��$-$T"�����*� ��5, ����� � �.- ���?8���5!#�G���8�� ��������5BQ� � �)( � � �)�1� � ����5'�'��)(���$-*G���� �,�!-'�� � ��'�"-���

F ��� �� XJYE F � ���DJ1 F ���DJ F � � # J/ F � # J K F � � # # J/ F � # # J K F � � # # # J/ F � # # # J ]

SUTa�� )³��M«�� � � " ����$-�� ��5'���±��L� � � ���� !-'����I�5�X� � �.- ���?8���5!#���2(Q�K������ 7����� ���G���Q{ ��$#� �����5" ����ur,�!���!<��'�'�/���-��'�!#����?5�5B���� � ��!#� ����?5����?���$%����9

SUTa�� )³��M«�� � �.��� ���-,�� � �8�-,��8�;³5���r� (\�6��?5��$%�7� � # �5$#"'� # # �� ��+���5��" ��� NP�-1�K ,u.�*.fK ,u.PK&AG�e� F � # # �� # JYE� F � # # J�9@: � �)( � � �)��� � ������,I.-'������$ F � # # � � # JFE' F � # J1 F � # # J���$#"� F � # � � # # JYE� F � # J�9SUTa�� )³��M«�� � � ) :8!-.-.P������/5��!_�������Q�2(\�G�M���� A������$<��9 ��� �� ���'���?)��$%����?���$%�����5 ���� � ��$����������B�����������B�� �!�������$<""� �!������BC( � �� ��� � �I'���� ���� 7�&,G����$@) � ���5"-��3C��$#"@) ������'���3�9�¤=����� � �I?)�� ����5N-'��$# "���$-�5���G� � �G$8!-,�N<�� &���� ���5"-��9>sQ��'���!-'��)��� F # E !�J`B F # E t�J�B F # E z�J`B F # EEu%J`B F # )kz5J`9 F �A��$�����N<�G� !- ��&���_$-���������� � �)�ANP��� � ���������A��$#"%� �!�&����,1��.O���I� � �&$8!-,NP�� 4t�9 J

�P��� '�� ��� (*� J��^w %�� M ! ��x��� �X��"����4�5���v/�@0K ,u:5< 3�@e/�19@ ���9. � B8��!#� � ���(# ��$_� � �X'����2�Q������ 7����� ��B����@������������*5$1$8!-,NP�� 7�@�����?5��$��7� F �d9 �59���1��!-N#�����7��������J`9@gE 7��$#"-�5, ?)�� ����5N-'������Q� � !#�>� �2 �4r�� ���, �T��� B\9

SUTa�� )³��M«�� � � ��� �1 �����'p'���$-�5B ���5$r��������'���N<�j���5$#����"-�� ���"K�5���S���5,I.-'��1��.#�5���59 ��� �1��?5��$%�7���� �� � �5'e�lb�5.P��$0��$%���� �?)�5'���BC� !#� � �5� F O�)5%. P ���� � @ BQBq��$#"0��� � �� �� !-N<� �����X���mB ���� �,I��"�� ���,f��!#� � ��$%���� �?)��'��AN8/����,I.-'���,I��$%���������5$aBP��$%���� 7� ���`�����5$+�5$#"S!-$-���5$<��9 /n�� ��e��/L� � �)�>� � ������5� � �� X��!-N#�����7��� � ��$0��$#��'�!#"-���$����� �?)��'�����;� � �&���5 �,I� F &% K ) J`B7O P B O &%." P B F &%." P B F &%."�J%( F 2:%% 8J`9@�5$#"O���G���5 �� � 9

*,+�p!k^d(-9e%d'"Ye [Pk�.&/1032547638:9;�03/ g&0=<?> (�03@&>�0=<A63/�BC;�03/ g&0ED,@&> (GFH<A6JILK503FH< g&INMLO325I3<�g&632�s

Page 29: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

���D� ���F�I���(� ��� � � ��+����������� � ������� z-t

�P��: IJxix5% H��&% �IH =^wy(�M��7M&%g!m% �'%)��xhc�n(\� � �D?5���5��� ��*5$#��"L.- ��5N#�5N-��'��������������I� � �%� �4��!-N#�����7�����2� � � ���X���� � �����.<��$#"_���_��!-N#�����7�����;� � � �����'a'���$#��5�A����.-'��5 ���"L��$������ 7����� �1t�t�u-B-���5 X�I*���?���$S 7��$#"���, ?)�� �����N-'����yB-� � ��$(Q�����$S��?)��'�!#�����4.- ��5N<��N-��'����������A���� � ��^%��$#"� F � @B$@JQ( � �� ���$ ����� !#� � �I��!-N#��������� BQ9

SUTa�� )³��M«�� � � � h2"���$%������/S� � ����N%?8���5!#�X.- ��5N-'���,f���q� � ���&����$#"��������5$r�5$+.- ��5N<��N-��'����������>���5 &��!-N#���������5��E���$-�5�Q��!#'eW#'�'���"C9 � $O� � �&�5� � �� � ��$#"CB���������.# ���N-'���,1�)�����X�e�;.- ���N#��N#��'��e������������$LNP���� � �D?5�XN<����$�5��� ��*5$#��"I�����?���$%������$ ��� � �)�>"��1$#���A���� � �����.<��$#"1���1��?���$%���Q��$ B ����� � �4���5 ��A����$#� ��"��� ���"_��$S������ 7����� �Gt5t�u

�P�HG ������� �^w���(*� !g!r%2J��^w�%)���;�o �� � �5.#�1� � �K����,G.#'����2�L ��5$#"��5, ?)�� �����N-'��+,1��.#�_� � �r��'���,G��$%���O���6� ��� ���e� � �� !y�� rt�9 ��� ���O���O� � ��B.0/cKp: ��� �g1?3;@5/219@�Al.�j]����L ���U%!-�� ����-� ���RNP�K"���?8��"-��"T��$%���+V2!<�2�L�2(\�R,!���!#��'�'�/�������'�!<� ��?5��BA��� � �5!#�2����?����?���$%������� I (�� � E ��B�(��e� � F � E~t�JYE' F � � JYE �S( � �� �� � @�O ! %�t P ����� � � F ����$-*�'��DJQ.#�� 7��,I������ Q���;� � �´Q�� �$-�5!#'�'��a"����2�� ���N-!�������$a9

SUTa�� )³��M«�� � � � �>��"�!#���&� � �)�� F � E !�JYE' F � I JYE t O �=9

�P��� �����*M&% ��(�� %)��! J��^w %����;���� � �51 K&:'<`1 @��F3;@5/219@�Al.� (���� � .#�� 7��,I������ 7� �0�5$#"�� ���>"���W#$-��"+N%/ �E�� � K � o K �����eK ��� ( � �� ��� � ����A�5 ���� ��$#"-��.P��$#"���$%�>´\�� �$#�5!-'�'��C?)�5 ����)������B8�5'�'=(��e� � � � �4����,I�&.#�� 7��,I������ �=9

SUTa�� )³��M«�� � � � ����?8��� ���@������ ���������t5tDz�B��5$#"I?8����( # �5�@��´Q��$-�5,I����'<?D�5 ����)����(��e� � .#�5 ��5,G������ �� ��E �o �5$#"� E z-9�/n�� ��e��/ON%/O"��� ������A����'���!#'��������5$S��$#"S����,I.#�� ������5$_(��e� � /5�5!# Q���� �'����� � �����!-'����Q� � �)�

F # E D JFE � zD F �o J f F �o J o k f���5 D E�!I%�t�%7z�9 F �>��$%���n �������'�'H� � ��� � zD E z $

F zcO D Jf$ D $ 9 JSUTa�� )³��M«�� � � � �+��^��j� !- ��I� � �)�4/5��!6!-$#"��� �� ���5$#"r� � �j*���$-�� ��5'p���5 �,!-'��L���5 ��´\��$-��,G����'@?D�5 ����)���1(��e� �.#�5 ��5,G������ �� ���$#"�� �

F � E D JFE � � D � f F t O �PJ � k f ���5 D E !I%�t�%i] ] ]/%�� 9

F �>��$%���q ������5'�'P� � �)� � � D E � $F � O D Jf$ D $ ]-����$#��!-'e�>�������8��NP�8�5^_���p$-�����������5 �/�9 J

SUTa�� )³��M«�� � � � ¤a����� N<�G�1´\��$-��,G����'�?)�� ���������(���� � .#�5 ��5,I������ �� �-E������ �5$#"�� ( � �� ����6���>�IW#�8��".P�����e����?���.<�� 7��,I������ �9qsQ�5$O/��5!L.- ��)?5�X� � �&����'�'��)(���$#*� �����!-'��

'���,� H � F � E D JFE � f % k��D $ ]

�P��; �����-�*%)x;�5w�% M ���'%)(*�n��� �F<¢�'% (*�gy 7��$<"��5, ?)�� ����5N-'���� ����$�NP��� � �� 7�5������ ���±���"XN8/&,G����$#�=���-�����F,#1�T A4/�1 �#��A419:0K87��LK R6AR1�:QK"���W#$-��"�5�!��� F�D JFE F � ) D J�9SUTa�� )³��M«�� � � � : � �)(T� � �)��^8$-�)(�'���"�*��>����� � ��"���� �� ���N-!-�����5$j��!#$#�`������$L��! �j�����@���I��?)��'�!#�)���X.# ���N#��N-��'��e����������5 ���?5��$��7���5$O� � �� ����5'C'���$-��9nh¬$L.<�� �������!-'��� �B8?5�� �����/1� � �&����'�'��)(���$-*�^���/1���� �,�!-'��-�

F � @ F &%." P JYE�� � F "�JPO�� � F �J ( � �� ��4 + "U] F u#9 z�J

Page 30: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

z5z ������2��� ��� ��� � ��

SUTa�� )³��M«�� � )�" :8^5����� � �r*5 7��. � ���X� � �"����2�� ���N-!�������$y��!-$<�`�����5$ ���5 G� � �S ��5$#"��5, ?)�� �����N-'�� # ���>������ �b�������Gt�t�z-9

SUTa�� )³��M«�� � ) � � �e� � ��� � � �O"����2�� ���N-!�������$6��!-$#�������5$y/��5! "������� �,I��$-��" ��$ � � �_.- ���?8����!#�������� ��������5B;!#�����U%!#�������5$ F u#9 z�J@(���� � " E z4���I��?)��'�!#�)���

F # E z5J�E '���,z H �� � F z5J*O�� � F z J ( � �� ��+ z EkzcO t

{ ]F �>��$%���q�e�A,1�D/jNP� � ��'�.���!#'C� � ���A/5��!L�5'� �����"�/1^8$-�)( � � ��?)��'�!-�&���;� � ����.- ��5N#�5N-��'����2/I�� ���, ������ ��������It5t�z-9 J

SUTa�� )³��M«�� � ).) ����.P������� � ��.- ���?8���5!#�Q���8�� ��������5B�N#!��A$-�)(k(���� � " E z�] v<9

SUTa�� )³��M«�� � ) � �e� � � �G ��5$#"���, ?)�� ����5N-'���B�����$L/5��!L� � �)(k� � ���Q� � �4"����2�� ���N-!�������$L��!-$#�`������$ ��� ,�!#� �NP��$-�5$�b¬"����� ����5����$-*#B% ���* � ��bc���5$%����$8!-�5!#��B���$#" � �D?��X� � �&���5'�'��)(���$-*G'���,I�����

'���,f HLk �

� � F�D JFE�! % '���,f H h �

� � F�D JFE t

F �>��$%���;$#�5$�b¬"����� ����5����$#*#�=���C� � ���\(\�� ��>$-���q� � �&���5���5B�( � �)� � ��.#.<��$#�@(���� � ��.-.-'������)������$#�q�5�H���5 �,!-'�� F u#9 z�J ����* � � b¬����$%����$%!#�5!#���� �� � ���`��� � �)�A(Q�&,!#� � � �D?5�+ F � ) D J$E�'���, z H � F � ) DLK �z J�9 J

�P��G �L%)x <^wl�#�;�Q� ��� <¢(*���'% � ��(���x w�� ��� (*� J��^w %�� M ! ��x��� �S���� ���*5�5��$-*K������ 7���������1� � �)( � � �)�� F � E D JI�5$-'�/R��?)��'�!#�)�����G���y�6$#�5$�bc±��� ��6$8!-,NP�� _�e��� � BQ� � �"����2�� ���N-!�������$S��!-$#�������5$+�5�;� � � 7��$<"��5, ?D�5 �����N#'����RB � ���A�K) V2!-,I.a3P��� D 9A�A��$#"-�5, ?D�5 �����N#'�����( � �����4"����2b�� ���N-!������5$O��!-$#�������5$#���5 ����2����.O��!-$#�������5$#��B-����$#� ��� ����$-*��5���)��,I��� ��"���$8!-,I�� 7��N#'�/1,1��$8/&V2!-,I.#��B-����$-$-���`����"N8/ � �� ���±���$%����'C����*�,G��$%����B#�� �������'�'���"n,#1�T R2/�.5Al.D9q�>��$#"���, ?)�� �����N-'�����(���� � ��!��X�5$%/O� !#� � V2!-,I.#�>�� ��&����'�'���"R�:0K&AR1�K'�u: � T�9SUTa�� )³��M«�� � ) � �>�8����� � ����$-��,G��$#��'��)��!- ��X��� � ��!#� ��� � ��.P��������N-��'��e�������

�P����L I ��x �¢��� !>=�wl(�=p�^w4� �·-�� ����5$%����$8!-��!#�� ��5$#"��5, ?)�5 �����N-'�����B9 F � E D JcE !#9G:%����'�'iBa(\�G(Q�5!-'�"0'���^5����� � �D?5�G� ��,I�G��"����_�5� � �)('���^���'�/�(Q�X�5 ������4W#$<" � �5��� !#,G��$-*�?)��'�!-�> ��5!-$<"1��NP�5!�� D 9 ��� �>.# ���N#��N-��'��e�2/6 F � E DUK��~D Jq���5 ����5,I��~D - !I*���?��������5,I�&��"����G���p.- ���N#��N#��'��e�2/K) $-���� �3 D 9

SUTa�� )³��M«�� � ) � : � �)( � � �)�� F � E DLK��~D J�����$-��$�bc"-���� ������ ��$-*���$ �~D 9

�P���&� sVwy(�M�� M&% !m% � �n� �^��x5% ��� �1*5�����1�2�� ����`��'�/O'������5'=U%!#��$%���e�2/�B#(Q��(\��!-'�"L'���^��&���j'���� �?D R !#9\´Q!��A� � ���A'���,I���X��?)�5'�!#�������Q���j±��� ��#B#���(Q��� ���N#�5�7^O( � �� ��4(Q�� ���� �����"C9��A�)(Q��?��� �B�(\�����$��N����5��$+�5$L��$#"������������5$�5�q'������5' �&/;:��#@ �51 �m1yA �n,u.fKT�14A ����;(Q��W# �� �>"���?8��"��&N8/ �~D B�� � ���A����B-(Q�����5 �, F � E DLK��~D J�� �~D �5$#"_� � ��$O�7��^��X� � ��'���,I����9

SUTa�� )³��M«�� � ) � : � �)( � � �)��� � ����'���,I�e�A��� �v>� FRD J�9SUTa�� )³��M«�� � ) � : � �)( � � �)���v>� F�D J ' !#9 F �A��$%���p� � ��.- ��5.P�� ���������'���� ����"O��$S������ 7��������tDz�u�J�9

�P����q � #p� �(= ! ��x|(p� =�wl(�M�� M&% !r% ���� ����xe% � �Q��� �F<#�'%)(*��x��� �&��!-$<�`�����5$ �v>� FRD J�����!#��!#�5'�'�/_"���$-������" + � FRD J�B#( � ��� � ���A����'�'���"j� � ���&/;:��#@ �51 �g1yA � ,u.PK�T 1yA ��7��LK R6AR1�:QKa9

SUTa�� )³��M«�� � ) � : � �)( � � �)� � h �k �+ F�D J� D E t�9 F �A��$%���n� � ��.- ��5.P�� ��������Q'���� ����"L��$S������ 7����� �Gt�z5u�J�9

Page 31: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

��� � �I�*�+� ������D� � �@��4��� ��� ���7� ��� �F� �F� � ��� ��� � ����� ���F� z5u

SUTa�� )³��M«�� � ) � h¬$1?%����( ���H� � ��.- ��5.P�� ��������n�����5,I��$-��"G��$1���8�� �����������tDz�wX��$<"OtDz�x#B�( � ��� � ���P� � ������'�'��)(���$-*�� ��&?)��'���"O.- ��5N#�5N-��'����2/_"���$<� ���2/1��!-$#�������5$#� F �lJ + F�D JFE & % k�� f t � I�� � j F�D J`]F ���lJ + F�D J$ET���8.��¢O & D o O % k� f� t � I�� � j FRD J�]F ������J + FRD JFE ����.� D

z F t K ����.� D J o ]

F ��?-J + F�D JFE t t�� F�D JQ( � �� ����=E

O K o

z %iO tz P ( O tz %

K oz � ]

F ?-J + FRD JFE tD t�� FRD J�( � �� ����=EOetC%�z P ]F ?8�lJ�+ FRD JYE ���8.�� D

F t K ����.� D J o 9

F �>��$%���>$-�5���)������$a������.� D E % f ]nt�� FRD JX���&�5$-1 K�,#1 R�@�A�:'/c7��LK RiA419:0K0,1��.#.-��$#*_��� !1���� D �@�� ��$#"yt���� D @��S]-.#�5 ��5,I������ ���"���$-������"LN8/O�� �����^_'���� ���� ����5 ���� �� �������'�/j.P�����e����?��59 J

�P����� ���S=&( w4� ����� =^wy(�M�� M&% !m% � ��� �^��x5% ������ �F<#�'%)(*��xh¬,I.<�� �7��$%�0.- ��5N<��N-��'����2/E"���$#�����2/ ��!#$#�`������$#�r�5 ���� F ��J+� � � TiAy@0K�,�@5/i, �LK�1g74:'/2< ,#1�TiAR/21 �#��AR1�:QK=� + FRD J_Et � I�� ��� F�D J`] F ���lJ>� � ��.�� �P:QK&.PK&AR19@��$,#1�T A4/�1 �#��A419:0Ka�J+ FRD JVE & % k�� f t � I�� � j F�D J`] F �����lJ>� � � TiAy@0K�,�@5/i, Kp:5/�< @��$,#1�T��AR/21 �#��AR1�:QK=�F+ F�D J$E�����.��O D^o ��z � � z 8n9

SUTa�� )³��M«�� � " /n�� ��e��/O� � ����� � ��� �.- ���N#��N#��'��e�2/O"���$#�����2/j��!-$#�������5$#�X���������2��/_� � ��.# ���.<�� �������A�2�7�)����"L��$���8b�� 7����������t�z%w�5$#"rt�z�x#9 F �A��$%���n�����LE � h �k �

% k f ¡ D B-� � ��$� o E � h �k �

% k f ¡ D � h �k �% k ! ¡ & E � h �k �

� h �k �% k dmf ¡ h ! ¡ j D & ( � ��� � ����$TNP��� 7��$#� ���5 �,I��" ���R.<��'��5

���8�� �"���$#����������� o E � o��I � �I % k�� ¡ �� ��� ���9 J

SUTa�� )³��M«�� � � :%�������L� � �S.- ��5N<��N-��'����2/y"���$#� ���2/6��!-$#�������5$ ���X� � �L���5'�'��)(���$-*6����$%����$%!#�5!#�G"����2�� ���N-!�������$#���F �lJ>'���*5���2�����5] F ���lJ>'���*5$-�� �,1��'i] F �����lJ�� o F � � �eb¬��U�!<�� ���J`] F ��?-J o �� ������<] F ?�J�:%��!#"���$%��3 �! `9 F �A��$%���A/��5!0����$W<$#"� � ��, ��$��$8/1�����8��NP�8�5^j��$O� � �4��!-N�V2������9 J

SUTa�� )³��M«�� � ) :%��������� � �4���� �,�!-'��G���� � F � E D J�( � �� ���� � � ��5$#"��5, ?)�� ����5N-'���� ����'�'��)(A�����5� � ���p� � ����5'�'��)(���$-*+"-������ ������_"����2�� ���N-!�������$#�4��$6��!- �$a� F �lJ�*����5,I���� ����5] F ���lJ � /8.P�� �*5����,I���� �����] F �����lJ o ���������5$a9 F �A��$%���� � �������X�5'����_���5'�'���"0�1.- ��5N#�5N-��'����2/7&�$�Y%,��l[ "O��!-$#�������5$0N8/S� ��,I�4�����8��NP�%��^���]H/5��!+,1�D/L�5'����j��$#����!-$%���� X� � �'����������5$-��!#� ��$-*G���� �, < @LTcT 7��LK RiA419:0Ka9 J

�P���u� �cw�� ��x;��(�w�� ���'%)(���x`(p�Lwl����� (�� J��^w�%)�7M ! ��x¤a��� � N<���� ��5$#"���, ?)�5 �����N-'��5B��5$#"j'������ F � J\NP����� �� �������'�/1,I�5$-�5���5$#�A��!-$#�������5$a9 ��� ��$#"�E � F �rJ@�����5'�����G ��5$#"���, ?)�� ����5N-'���9

SUTa�� )³��M«�� � . : � �)( � � �)��� � F�D JFE���$ F � FRD J�J`9@�>��$#���4"���"�!<���&� � �)�+ � FRD JFE�+ $ F � F�D J�Jl� > F�D J ]

F �>��$%���q!#���X� � �4"���W#$-�������5$a� � � F�D J$E� F � ) D JYE F � k�� F "GJ�) D J`]- ���,I��,NP�� �� � �4� � ����$O �!-'��59 J

SUTa�� )³��M«�� � � :8!-.-.P�����I� � ����� ��������.P�5$-��$%������'�'�/0"-��� �� ���N#!�����"CB!� � FRD J8E tJOy���8.��¢O & D ���5 D ' !-B& - !-9�¤=����" E � F �rJBE~����.��OBW � B&W - !-9�·;��$#"���$ F & J�BC� � �I"����2�� ���N-!�������$+��!-$<�`�����5$r���%"_9 F �A��$%��� ������5'�'H� � ��.- ��5.P�� ��������Q���;� � �4"���� �� ���N-!������5$L��!-$<�`�����5$L�� ��5, ������ 7����� �Gt�z5u-9 J

SUTa�� )³��M«�� � �� h¬$/5�5!# � ���� !-'��A���;� � �4.- ���?8����!#�������� ��������5B�'����UW\E O & 9�����?��4�G���5 �,!-'������5 U+ $ F & J�B-� � �.- ��5N#�5N-��'����2/1"���$#�����2/I��!-$#�`������$_�5�&"j9n�>�D?��>/��5!j��$#����!-$%���� ���"1� � ���Q.- ���N#��N#��'��e�2/1"���$#���e�2/I��!-$<�`�����5$ON<�����5 ��

Page 32: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

z)v ������2��� ��� ��� � ��

�P���#: sVwy(�M�� M&% !m% � � �5w�� ��x;��(�w���xh¬$y� � �L'����2�G������ 7����� ��B " ����'�'��)(Q��" �K�2�7��$#"-�5 �"6!#$-�e���� �, "-��� �� ���N#!������5$aB\��$#"�� E � k � F "�JG���5,I�_�5� � �� "����2�� ���N-!�������$a9 ��� ����� !#*5*5���2�7��� � �)��(\�G����$0�5N��7����$0�5T0@5< � ��.��� ���, ��$8/L"-������ ���"+"-��� �� ���N#!������5$aBH���q(\�G�� ��*5��?5��$L�I����,I.-'����� ���, � � �4� ���5$#"-�5 �"O!-$-�����5 �, "���� �� ���N-!-�����5$a9

SUTa�� )³��M«�� � � ¤a����� NP����5,I� F ?��� �/_'��� �*5�DJQ$%!#,NP�� �B#��$#"���5$#����"��� �� � �4'���� �>���n$8!-,�N<�� ���tC%�zI% ] ]i]/% � 9¤a��� �

�NP�j� � �j�� 7�5�������5$ ���A$8!-,�N<�� ���5$6� � �_'���� �� � �)�I�� ��_��,I�5'�'��� 4� � �5$aBn�5 ���U%!#��'@���<B 79r: � �)( � � ���

'���, � H � ��E���� F 2J�B-( � �� ������R���Q� � �4"-��� �� ���N#!������5$L��!-$#�������5$S���;� � �4�2�7��$#"-�5 �"_!-$-�����5 �, "���� �� ���N-!-�����5$a9

SUTa�� )³��M«�� � � h¬$6� � �O'����2������� � �_.- ���?8����!#�������� ��������5B;���5$<� ��"��� ��.- 7�5�`��������'n(��D/0��$ ( � ��� � /5�5! ���5!-'�"*5��?5��� � ��$8!-,NP�� 7������� � ��'���� �>�I� � !��1��9 F �A��$%���q��9 *<98����'�� bi����.S.<��$aB � ��� � ���� 7"-��9 J

SUTa�� )³��M«�� � � g �2T0.���,u:'/�@0K�,u:'< K �e< ��.0/,O�.PKp.�/0@�Al:'/S���I�r���5,I.-!��7�)�����5$<��'Q����� � $-��U�!#�O���r*���$-�� ������L����� �����������$8!-,NP�� 7��� � �)�K� ��,!-'��)����� F ��$y���5,I�_��.#.- ���.- ��������j����$#����J��S 7��$<"��5, � � !��1�j�5��� � �O$%!#,NP�� 7��� ��5, t���� �yB5( � �� �� �f���q?��� �/N-��*#B%(���� � ��!��@ ���'�/%��$-*4��$1��. � /�� �����5' F �5$#"j��.#.#�� ���$%��'�/ 7��$<"��5,jJ;.- �����������9·;��$<"O��!���,I�5 ��&�5N<��!��A� !<� � ����� � $-��U%!-���Q�� ��5, � � �&(Q��NL�5 ������8��NP�%��^���9ph¬$#"���������� � �)( /5�5!S���5$j��!- �$L� � ���'���� �A��$%���I�5$O��,!-'��)����"S����,I.-'��X�7��^���$O�� ���, � � �4� ���5$#"-�5 �"O!-$-�����5 �, "���� �� ���N-!-�����5$a9

SUTa�� )³��M«�� � � ����?���$�I"���� �� ���N-!������5$O��!-$#�������5$ �IB�'����

� F & J$E�,I��$���

� & ) � F �CJ ] F u#9 u%J

sQ��$K/5��!r� � �)( � � �)�4( � �� �� " ����� ���5$#"-�5 �"0!-$-�����5 �,G'�/0"���� �� ���N-!-����"aBa� � �G 7��$<"��5, ?)�� �����N-'�� � E � F "GJ� ���\"���� �� ���N-!-�����5$1��!-$<�`�����5$��� F �>��$%���q���5$#����"��� @W# �� �@� � �&���5���A( � �� �� �E���Q� �� �������'�/G,I��$-�����5$-����$#"j� � �)(� � �)� � E � k � ]�� � ��$L.- ���������"j�5�\��$j������ 7�������t�u�u-]�W#$#�5'�'�/1���5$<� ��"��� � �)(T/��5!j,�!#�2���5"DV2!<�2�Q� � �� �������.P�X��$� � ��*5��$#�� 7��'C����� �&( � �� ���� ���&YHZ)[��2�� ����`��'�/O,G��$-�����5$-��9 J

SUTa�� )³��M«�� ����"}��� �;� �  )ª#£p��£p�M¡M�M§7°y§� )�-�;« �cª< )¶ §��%³ �;���d¨C©���� h¬$#"���������� � �)(K/5��!X(Q�5!#'�"�!#���n� � �p�� 7��$#� b���5 �,1�)������$S"-������ ���NP��"LN8/_��U�!<�)�����5$ F u-9 u�J\���1*���$-�� ��������1����,I.-'��&�� ���, �I*5��?5��$"���� �� ���N-!������5$ � (���� � � � �����"O���n��.<� ��!#"��5 7��$<"��5, $8!-,�N<�� A*5��$-�� 7�)���5 �9

�P��� G � #Y=p��<¢� ���'%)(����� �~.�� �P.%R6Ay@�AR1�:QKL���n�� 7��$<"��5, ?)�� �����N-'��&����"���W#$-��"L���Q���5'�'��)(A���

� F �rJYE � D � FRD J F u#9 v8J

( � ��� � ���5 A"������� ������&?)�� ����������\(Q�5 �^��Q�5!��>���

� F �rJYE�� �� I

D � F � E D � J F u#9 {�J

( � �� ��� @ 7��$#*5���Q�)?��� Q� � �?D�5'�!#����( � ��� � � � ��?)�� ����)��������$�5��� !#,G��]�( � �� ������Q���5 A���5$%����$8!-�5!#��?)�5 ����)�����Q� � �����.P�������)������$O����*���?���$LN%/

� F �rJYE � h �k �D + � F�D J ] F u#9 }%J

��� �L����.P���`�7�)������$R���G�5'����0����'�'���" � � ��<�.;@LKa]��5�G(��e� � � � �L"-��� �� ���N#!������5$R��!-$#�`������$ �5$#" � � �L.- ���N#��N#��'��e�2/"���$#� ���2/S��!-$#�������5$aBC(Q��5�l����$0�5,I���X� � �I� !-N<���� ���.�� F � �� ��5� �rJ�� � �)�&��"���$%����W#���A� � �� 7��$<"��5,f?)�� ����5N-'���)?5�� ( � ��� � � � �����8.P�������������5$L���Q�7��^5��$aB�( � ��$O� � �� ��4���5$ONP��$-�1����$���!#������$a9

SUTa�� )³��M«�� ��� � : � �)( � � �)��� � ������.P�������)������$O�5�p�I´Q�� �$-��!-'�'��C?)�� ��������&�����e�7��.#�� 7��,I������ ��9

SUTa�� )³��M«�� ����) : � �)( � � �)��� � ������.P�������)������$O�5�p�5$O����.<��$-��$%������'�'�/_"����2�� ���N-!�����"L?)�� ��������&���&t5� & 9

Page 33: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

��� �I� �3���� ����� ����� ����� �3� � ��� �F� � ��� � ������ � � ��� ��������� ��� � z�{

�P����� � #Y=p��<¢� ���'%)(��Q(p�c�n�5w�� ��x;��(�w����¢� w�� ��� (*� J���w�%�� M ! ���� �����8.P�������������5$L���n���!#$#�`������$L�5�p�G 7��$#"-�5, ?)�� ����5N-'�������"���W#$-��"S���Q���5'�'��)(A���

F � F �rJ JUE � � F�D J� � F�D J ] F u#9 w5J

SUTa�� )³��M«�� ��� � ��e���4"��)(�$O� � �������5 �,!#'������5 F ��J�"-������ �������?)�5 ����)��������$#" F ���lJ�����$�����$8!-��!#��?)�� �����������9

�P����; �U�^w�%)���F<¢�gA$r��,I.P�5 ����5$�����!-$#�������5$0���O����^��4���� U�S��$0���� �,�!-'�� F u-9 w�J>���>� � �I��U%!#�5 ���"+"���?8���)������$+���q� � �G,G����$a9 ��� � �����!-'e����$#*G����.<���`���������5$L���A^%$#�)(�$L���Q� � �|3;@5/219@0K R;.8�

� F �rJ$E � F�D O F �rJ J o � F�D J ] F u#9 x%J

SUTa�� )³��M«�� ��� � : � �)(~� � �)�� � �1?)�� �����$#�����5���´Q�� �$-��!-'�'��n?)�� ��������I(���� � .#�� 7��,I������ � ��� F tJO �HJ ��9_·-�� ( � ��� � ?D�5'�!#���5� �S���Q� � ����?)�� �����$#����,1���8��,1��'

SUTa�� )³��M«�� ��� � s\�5$#����"-�� n� � �8,u.PO�.fKp.0/�@�A�.V,#1�TiAR/21 �#��AR1�:QK1(���� � .#�� 7��,I������ �n� F � E �=JYE t�9p: � �)( � � ������������8.P�������������5$L��� �K��$#"L������?)�5 �����$#���X����±��� ��<9

SUTa�� )³��M«�� ����� : � �)( � � �)� � F �KJ ' !���� A��$8/j 7��$#"-�5, ?)�� ����5N-'����R9

SUTa�� )³��M«�� ��� � ¤a��� � � E F �KJ`9�sQ�5$O/��5!S� � �)(k� � ����� � �&����'�'��)(���$-*������� �!-� � F �rJFE F � o JPO � o ] F u#9 |%J

SUTa�� )³��M«�� ��� � ¤a����� � F JYE F %�� � J`9n�X������ �,I��$-��� >� F J;��$#"�� > >� F J`B%��$#"��?)��'�!#�)���Q� � ��� ��"��� ���?D������?5����)� FE�!#9 F �>��$%���q"-������ �,I��$-�&� � �4"��� ���?)������?5���Q�5��� %�� � F�� J�(���� � �����.<���`����� `9 JSUTa�� )³��M«�� ����� s\�5,N#��$-�O� � �O �����!-'����G���A� � �L.- ���?8����!#�4�2(Q�0������ 7����� ���4���r���8.# ������� � �L,I���5$ ��$<" � � �?)�� ����5$#������$O���� �,1����� � >� F !�J��5$#"�� > >� F !�J`9SUTa�� )³��M«�� � � " �>��,G��$#� �� 7�)���@� � ��?)��'���"��e�2/&�5�-� � �Q����'�'��)(���$#*��2(\�X �!#'�����( � �� ���� ���p��$8/& ��5$#"��5,E?)�� �����N-'��F �5$#" Wy��$<" a �� ��& �����'a���5$#� ���5$��7��J��

F W K�a �rJYEXW K�a F �rJ F u-9�t"!%J��$<"

� F W K�a �rJYE a o � F �KJ ] F u-9�t5tDJ

SUTa�� )³��M«�� � � � s\�5$#����"-�� ��2(Q�+"������� ������1 7��$#"���, ?)�� �����N-'������ � �5$#" � o Bn��$#"6������!-,I�I� � ����NP��� � ����^��?)��'�!-���Q�� ��5, �1���5,I,I�5$S������ � %' o %' � %i] ]i] %' �� %i] ] ]�9@: � �)( � � �)� F � � E ���JYE� F � � E! �� ��� o E � J K F � � E5 �� ��� o E! o J K F � � E �� ��� o E � J K������ ]

F �>��$%���n� � ��'��D(k�5�=�������5'C.- ��5N#�5N-��'����2/5B������� ��������It"!5x#9 JSUTa�� )³��M«�� � � ) ·-�5 p� � �� 7��$#"���,~?)�� ����5N-'����p���<� � �>.- ���?8����!#�;������ 7����� ��B5����$#����"��� p� � ������.<���`���������5$G���P� � ���� ��!-,S�

F � � K � o JYE ��

F � K � J1 F � � E � ��� o E � J�]sQ��$L/5��!O���2�7��N-'���� � � � �&����'�'��)(���$-*I ���� !-'��

F � � K � o JYE F � � J K F � o J�]F �>��$%���0(� ��e���S� � �+��!-, �5��� � ���� � F � � E �� ��� o E � J K � � � � � F � � E �� ��� o E � JI�5$#"� � ��$��.-.#'�/1� � �� �����!-'e�A�5�=� � ��.- ���?8����!#�������� ��������59 J

Page 34: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

z�} ������2��� ��� ��� � ��

�P����G � #Y=p��<¢� ���'%)(��Q(p�c��xe� ���� �& �����!-'e������� � ��'��5� �������� 7����� ��Bp� ����.P�������)������$_�5�;��!-, ����� !-, ��������.<���`���������5$#���-B��5.-.-'������Q�5'��������5 �� !#,I����C� � ����>�� @,I�5 ��A?)�� ����)������9p��� ����)?5�� �B����Q�5'������.#.-'������@���5 Q����$�����$8!-��!#�q 7��$<"��5, ?)�� ����5N-'�����B5( � �� ��>���;:'1�K&A�&/;:��#@ �51 �m1yA � ,u.fKT 1yA ��7��LK2RiAR1�:QK-++���A"-��W#$-��"O���5 �4V2�5��$��A 7��$<"��5, ?)�5 �����N-'�����B�� !<� � � � �)�

� f��k ������ � f �

k �+ F � %i] ]i] % � J� � ����� � E � F�D � %i] ]i] % D � J F u-9�t�z�J

( � �� �� � FRD � % ] ]i] % D ��JYE F � � ) D � � ����� ��� �.) D ��J ] F u-9�t�u%J

SUTa�� )³��M«�� � � : � �)(f� � �)�L� � �6����.P�������)������$ ���G�R´Q��$#�5,I���5'X?)�5 ����)���0(���� � .<�� 7��,I������ 7���E��$#"�� ���� ��9 F �>��$%����'��8��^r�)�4/��5!- � �����!-'������5 4�´Q�� �$-��!-'�'��q?)�� ����)����Ba������ ��������St�v#t�B��5$#"6��.-.-'�/+� � �1 �!-'��I���� �� � �����.P�������)������$O�5�p�I��!-,S9 J

�P�rq L ����� �=&����� �^�F<��� � ��$&�2(\�A���5$%����$8!-�5!#�H 7��$<"��5, ?)�5 �����N-'����C�5 ��n��$#"���.<��$#"���$���B�� � ���� �V2����$%�=.# ���N#��N-��'��e�2/>"-��� �� ���N#!������5$?+ FRD � % D o J�������;� � �&���� �, + � F�D � J�+ o FRD o J`9SUTa�� )³��M«�� � � � ¤a��� � � ��$<" � o N<�&�2(Q�I��$<"���.P��$#"-��$%�>����$�����$8!-��!#�Q ��5$#"���, ?D�5 �����N#'�����B���$<"O'���� �_�5$#" MNP�&�2(\�G��!-$#�������5$#��9q�X��"�!#���&� � �&����'�'��)(���$-*I ���� !-'����

F � F � � J �6M=F � o J JYE F � F � � J J � FlM�F � o J�J�] F u-9�t�v8J

SUTa�� )³��M«�� � � � ·-�5 \� � �� 7��$<"��5, ?)�� ����5N-'����q�5�a� � �X.- ���?8���5!#�\������ ��������5B%'���� � FRD JYE M=FRD JFE�% f �n( � �� �� q����G$-�5$-bi$-��*�������?5��.#�� 7��,I������ �9q: � �)( � � �)� F % � d � � h � ¡ j JYE F % � d � � j J F %�� d � ¡ j J�9SUTa�� )³��M«�� � � � sQ��$y/��5! *5��$-�� 7��'���±��1� � �O �����!-'����5��� � �L.- ���?8����!#�4������ 7����� �1���r� � �)( � � �O���5'�'��)(���$-*0 ���b��!-'e� � � �� ���� � % � o % ]i] ] % � z �5 ��L��$<"���.P��$#"-��$%�_ 7��$#"���, ?)�� ����5N-'�����Bq� � �O����'�'��)(���$-*6���I�� �!#�O���� I� � ���� ��!-, � z� � � �

��

F % ������ � � � JYE z��� �

F % � d � � j J�]SUTa�� )³��M«�� � � � s\�5$#����"-�� A�G ��5$#"���, ?)�� ����5N-'���� � � �� 7�5������ ���±���"_N8/

F % � � JYE ����.� � �� �

%� �

( � �� �� %�E �-z

�k � � 7B5( � �� ����G���\�&.<�%� ������?5�A.<�� 7��,I������ �9;: � �)( � � �)� F �rJBE �I��$#" � F �rJ�Ekz��H9 F �A��$%���

!#����� � �� �����!-'��������p������ ���������t�v�|#9 J

SUTa�� )³��M«�� � � � ¤a��� �fNP��� � �� ��5$#"��5, ?)�� ����5N-'����5�<� � �A.- ���?8���5!#�p���8�� ��������5B5(��e� � .<�� 7��,I������ ��H9@sQ��$I/��5!� � �)( � � �)�

F % � � J$E F tVO6z J k�� = o F �>��$%���@����$#� !#'e��� � � � �D/8'��5 �����.#�5$#� ���5$L���;'�$ F t K[D J�9 J�P�rq*� ����� <��&% �0x �P���^wy�SJ���w�%����;���� �S 7��$#"���, ?)�� ����5N-'��L���X� � �'��5� �I�2(\�K������ ����������G���1���5��"y���6N<�+� � �eb¬��U%!#�5 �� F � o JI"���� �� ���N-!-����" (���� � �,u.PO¢/;. .fTB:57�79/;. .',u:'<S9

SUTa�� )³��M«�� � � � ¤a����� � % � o % ]i] ] % ��%i] ] ] % � z NP�I��$#"-��.P��$#"���$%�& 7��$<"��5,f?)�� ����5N-'�����BC( � �� ��� � � i� � 7��$-b

"���, ?)�� ����5N-'������� � o "���� �� ���N-!-����"6(���� � �

�"-��*5 ������&���Q�� �����"���,S9_: � �)(~� � �)��� � ���� ��!-, � z� � � �

����

��'���� � o "-��� �� ���N#!�����"CB�(��e� � � z� � � ��"���*5 ������@�5�=�� �����"-�5,S9 F �A��$%���q���5$#����"-�� F ����. �� � z� � � �

� J`]�!<� ��� � �

�����!-'e�7�����p������ 7����������t�{5}��5$#"0tD{�x#9 J

Page 35: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

��� � � � ������ � �Q� ���F���7�+� � �A����������� � z%w

SUTa�� )³��M«�� � ��" :8!-.-.P������� � �)� � � � % � o %i] ]i] % � z ���@�4����� F ����,I.-'���Jp�5�H��$#"���.<��$#"���$��Q ��5$#"���, ?)�� ����5N-'�����B��"���$%�������5'�'�/ "����2�� ���N-!�����"y(���� � "����2�� ���N-!�������$ ��!-$#�������5$ � � 9 ¤a����� � �L"-��� �� ���N#!������5$ N<�S� � �� 7�5������ ���±���"rN8/,I���5$#�����;� � �&����'�'��)(���$-*���"���$����e�2/H�

F % � � JYE ����.� % � K % o o K % � � K����� ( � �� �� % � % % o % % � %i] ]i]@�� ��A$-��$�bi$#��*�������?5�>���8� �j������$%����9p¤a�����TNP�&��$-�5� � �� @ 7��$#"���, ?)�5 �����N-'�� F � � ��Kp:'/2< @�� �1��'.6,5T��e<jJ�"���W<$-��"LN8/H�

�ZE � z� � � ��O�{ % �� ze{ % o ]

sQ��$L/5��!O���2�7��N-'���� � � � �&����'�'��)(���$-*I ���� !-'��

'���,z H � F % ��� JFE�% � ¡ = o

F �>��$%���@��.-.#'�/1� � �� �����!-'e���5�;���8�� ��������Gt�{�}#9 J

SUTa�� )³��M«�� � � � :8!-.-.P������� � ����� ���q�����5$%����$8!-�5!<�p ��5$#"��5, ?D�5 �����N#'���( � �%� �A"���� �� ���N-!-�����5$G��!-$#�������5$ ���k���� � �5 ����`���� ���±���"I��$_���� �,1�\��� F %�� � J\�5�\��$_� � ��.- ���?8����!#�\������ 7����� ��9nsQ�5$j/5��!_"��� ���?5�>� � �X���5'�'��)(���$-*4NP�5!#$#"

� � F % � K z % o K u % � o K������ J ' t OK����.��O % o o O6z % � � OKu % � � O ����� �P�rq&q ����� ���^���5wl��!���%g� % �L� ����( wy�^���� �G ���� !#'e�&���@������ 7����� �Ot�} !_���&�ON#�5�����?��� 7� ���5$�5�q� � � �Y.fKpA4/0@����C1m<`1yA<� �p. :5/�.�<L9 � � �)�&���& ���,1�� �^)��N-'����NP�5!-�>� � ���X���A� � ���X/��5!�5$#'�/L$-����"���"� � �W# �� �A�2(Q�_���8���1������$%����B % � �5$#" % o F ( � ��� � ���5 � ���� .P�5$#"O���j� � �,I���5$+��$#"L?)�� ����5$#�����5� ���&J`B<���j$#�5 �,I�5'���±���� � ����!-,S]-� � ��$aB<���5 X�1'��5 �*��&$%!#,NP�� >�5�p���� �,1� F {=JA/5��!OW<$#"���5 �� � ��$#�5 �,I�5'���±���"0��!-,��~� � ��� F %����QJ � % � ¡ = o ( � ��� � ,G����$#�>� � �)��~���5'�'��)(A�>� � �1� ���5$#"-�� 7"$-�� �,1�5'"����2�� ���N-!�������$ �?$ �� ��?& "$(,�,&�5��� � ��!-$#"-�� �'�/8��$-*1"���� �� ���N-!������5$ � �9

gk��!-, ���a,1��$8/I��$<"���.P��$#"-��$%�Q��"���$���������'�'�/1"���� �� ���N-!-����"j ��5$#"��5, ?)�� ����5N-'����q���Q��.-.- ��D����,1������'�/$-�5 �,1��'�'�/j"���� �� ���N-!-����"aB- ���*��5 �"�'������\���;� � �4"���� �� ���N-!-�����5$S����� � ��� ��?)�� �����N-'�����9

SUTa�� )³��M«�� � � ) � �/1���I� � ��$-^_�5�;���e��!#�)������$#��( � �� ���� � ���A����$%�� 7��'C �����!-'���,1�D/j.# ��)?��X!#������!#'d9

SUTa�� )³��M«�� � � sQ��$+/��5!+*���$-�� ��5'���±��&� � �G����'���!-'��)������$���@������ 7����� �jt�} !1( � �� ��4� � �4���� �,1���� ���� ����'�';��$#"���b.P��$#"���$%��B-N-!-�>����� � (���� � �e�7���)(�$S"���� �� ���N-!������5$ F �d9 �59 F % � � � JFE����8.�� % � �

� K % o �

� o K % � �

� � K������ J

SUTa�� )³��M«�� � � � ¤a�����R����'�'��)( ��� ���5$#"-�5 �"�$-�5 �,1��'�"����2�� ���N-!�������$aB��5$#"I����$#� ��"��� �� � �A 7��$#"-�5, ?)�� ����5N-'���� o 9hc�Y+ � ¡ F �CJ\����� � ��.- ��5N<��N-��'����2/j"���$#� ���2/j��!#$#�`������$L�5�� o B-?��� ��e��/j� � ���U+ � ¡ F �CJYE�!����� � + !#9SUTa�� )³��M«�� � � � s\�5$%����$8!-��$#*1� � ��.- ���?8����!#�����8�� ��������5BP���5$/5�5!+� � �)( � � ����� o ����'�'��)(A�A� � o "����2�� ���N-!�������$(���� � �|E t F �>��$%���n(Q�5 �^j��!�� F ����. �� �� o J�9 JSUTa�� )³��M«�� � � � ¤a��� � �5$#"�� NP�0��$#"���.<��$#"���$%�L ��5$#"��5, ?)�� ����5N-'�����BQ( � �� ����f����'�'��)(A�I� � �r� ���5$#"-�� 7"$-�� �,1��'n"���� �� ���N-!-�����5$6��$#"�� ��� � o "���� �� ���N-!-����"K(���� � �0"-��*5 ����������@�� �����"��5,S9GgA'�� �S'������ E��$��� ��� �C9/n�� �����/j� � �&���5 �,!-'��

F ��) JYE �� F F � ) � �$� �#J�J�] F u-9�t�{�J

�P�rq&� @��5��� �^�����rx����� �+ 7��$<"��5, ?)�� ����5N-'����f��$T� � �+'����2�O������ 7����� �S����'�'��)(A�S�&A%��,u.fKpA�� T j"����2�� ���N-!�������$T(��e� � ��"���*5 ������j����� �����"-�5,S9

SUTa�� )³��M«�� � ��� sQ��$G/5�5!G"��� ���?5�\� � ��.- ��5N#�5N-��'����2/4"���$<� ���2/"����2�� ���N-!�������$��5�H:%��!#"���$���3 �� ;"����2�� ���N-!�������$�� ��5,��U%!#�������5$ F u#9�tD{5J F �A��$%���q ������� ����I������ 7�������Gt�u-t�9 J

Page 36: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

z�x ������2��� ��� ��� � ��

�P�rqp� � (�J��^w�%)���F<¢�s\�5$<� ��"��� >�2(\�O ��5$#"���, ?)�� �����N-'���� � � ��$<"�� o ��$<"+'������ � E F � � J`B � o E F � o J`9 ��� � R�:¢3;@5/219@0K R;.����� � �&�2(\�I 7��$#"���, ?)�� ����5N-'���������"-��W#$-��"S�5�Q���5'�'��)(A���

s\�)? F � � % � o JYE F F � � O � � J F � o O � o J J�] F u-9�t�}%J

SUTa�� )³��M«�� � � � s\�5,I.-'������>� � �A���5'�'��)(���$-*#�ns\�)? F � % �KJYE 9 F �>��$%���p� � ���q���n� � �X����� �>( � �� �� � � E � o E�yB � � E � o E �n9 J

SUTa�� )³��M«�� � � � : � �)(r� � ���a���5 a��.#�5�� =���8��$#"-��.P��$#"���$%�� 7��$#"���, ?)�� ����5N-'���� � � ��$<"�� o B�(Q� � �D?5�@s\�)? F � � % � o JYE!-9 F �A��$����@"��� ���?5��� � ����W< �� �����5 A����$%����$%!#�5!#��?)�� �����N-'�����B8!#� ��$-*I��U%!#�������5$ F u#9�t�v%J`9 J

SUTa�� )³��M«�� � ��" :8!-.-.P�����@� � �)�;���5 n�>.#���� ��5�# 7��$#"���,E?D�5 �����N#'���� � � �5$#"�� o B)/5�5! � �D?5��s\�)? F � � % � o J$E�!-9�X�%�����������5'�'��)(T� � �)� � � �5$#" � o �5 ��&��$#"���.P��$<"���$%�

�P�rq�: �U�^w�%)���F<¢�n(p�c��xe� ���� ��'��5� ���2(Q�X������ 7����� ����� �� �������� � �Q�M�5���p� � ���p��$#"���.<��$#"���$#������,I.-'������p±��� ��X���)?D�5 �����$<���5BDN-!-�p$#��� ) ����$�)M$L��,L )9

SUTa�� )³��M«�� � � � �>��"�!#���&� � �&���5'�'��)(���$-*I'��D(��

� F � � K � o JYE � F � � J K � F � o J K z%s\�)? F � � % � o J�] F u-9�tDw5J

F �>��$%��� F F � � K � o ONO � � K � o P J o J`9 JSUTa�� )³��M«�� � �.) s\�5,I.-'������>� � �>���5'�'��)(���$-*<� � F � � O � o JFE 9 F �A��$%���n.#�D/I��'������>��� ����$%�����5$1���4� � �>,I��$8!#�����*�$aB-��$#"L ���,I��,�N<�� ������� 7��������tD{'!-9 J�P�rq�G @*(*��� <�(*� ��(�� ! �[��xi�¢�}x � ���'%)x;�'%!<¢x��� �X���5'�'��)(���$-*GU�!<��$%������������B�"��� ���?���"j�� ���, � � �&.- ���$#����.<��'P�5$-���Q�5'� �����"�/G��$%�� ���"�!#����"CB-�5 ������5,I,I�5$#'�/I!#����"C�

TiAy@LK ,�@5/i,�,u.'3'19@�AR1�:QK�� � E � � F �rJ F u-9�t�x%J

R;:'/2/�. � @�AR1�:QK R;:u.��CR�1�.PK&A�� � $ E s\�)? F � %�"J� � � $ ] F u-9�t�|%J

SUTa�� )³��M«�� � � /n�� ��e��/_� � ����� � �4���5 � ���'��������5$_���%���j������$%�A�����2(\�I��$#"���.P��$<"���$%�>?)�� ����)�����Q����±��� ��#9

SUTa�� )³��M«�� � � � �>�� ���?5��� � �&���5'�'��)(���$-*G���5 �,!-'��-�

� � $�E � F � O � � J� �

� " O � $� $

SUTa�� )³��M«�� � � � sQ��$ /5��!y� � �)( � � �)��� o� $ ) t F �>��$%���j� � �)( � � �)� � � � $ � ) t�]nN<��*5��$yN8/K"-��"�!#����$#*� F F � O � �&J���� f KkF " O � $ J���� $ JFE z F t K �8J�]-"��� ���?����G����,G��'��� Q���5 �,!-'������5 � F F � O � ��J���� f O F " O� $ J���� $ J�J`]# �������'�'P�� ���, ������ 7�������Gt�v�}� � ���A?)�� ����5$#�����Q�5 ����5'�(��D/��@$-��$�bc$-��*%�)����?5��9 J

�P�rq � � (����*% �'%)(��&% �IH�(*�\�[w��^wy� � J��^���®n���� ����������t�u5} Et�v !1���5$#���� �$-��"+�_����� � $-��U%!-�5Ba����'�'���"S� � � �&/;:��¢@ �51 �m1yA ��AR/�@0KT�74:'/2< Al.%R��K�1��#��.)BH���L �����'���±�������,I.-'����� ��5, ��$8/+*���?���$6"���� �� ���N-!������5$=B�*���?���$6�"���?8�����I� � �)�4*5��$-�� 7�)�����&�����,I.-'�� � �� ��5, �� ���5$#"-�� 7"!-$-�����5 �, "���� �� ���N-!-�����5$aB#��!#� � �5���G.#����!#"-�5 7��$#"���, $8!-,NP�� �*���$-�� ������5 �9pg � .P�������5'a"�� �j��!-'e�2/L�� ��������Q( � ��$/5��!0(���$%���������,G.#!����G� � �G����.<���`���������5$r���\/��5!- & 7��$#"-�5, ?)�� ����5N-'�����Q��$%���� ���� ��B=���5$#"��������5$<��'p�5$K�O 7�� ����?���$%��9

� �,! X [ k [Pi$0Qp!Z�a!k2b XQZWe�k^[Pa!o b d !WdfeQk^a!k b�dPn /1>�03@!g �30=< g&6327F0(Qk q9eQdfe q%i*k�4=/10��g 2�� F [PeQo�g 27FH<A0325<�g&0=< g&6327F s

Page 37: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

��� � �I�3� � ��� ��� � � �����7��� ��� z5|

SUTa�� )³��M«�� � � � : � �)( � � ����BP*5��?5��$S�j����,I.-'���� � % ]i] ]�% � � �� ��5, �j^%$#�)(�$S"-��� �� ���N#!������5$ �IB#/��5!S!#����� � ����5'�'��)(���$-*1�5.-.- ��D�8��,1�)������$1���5 �,!-'��-�

F � F �rJ � � - � J � � � � � � � F � � J�t ���� � � � � � t �

��� F u-9 z'!%J

F ( � �� �� � ���A�G*5��?5��$S����$#� ����$%�`J`9

SUTa�� )³��M«�� � � � : � �)( � � �)��B-*5��?5��$L�I����,I.-'���� � % ]i] ] % � � �� ���, �IB�/5��! � �D?5�

F � � � � � t ����

JYE F � - � J � ]� � ��� � .- ��5.P�5 ������5$S���p� � ������,I.-'���"S?)��'�!-����� � � ���>���`��!#��'�'�/L!#����"S��$0���5'���!-'��)����$-*I� � � ���* � � b � ��$#"S����"-����p��U%!#�������5$ F u#9 z !�J SUTa�� )³��M«�� � � � sQ��$T/5��!T����.-'�����$T( � /5B����R�5� � ����?��+ ����5���5$<��N-'���5����!- 7�5��/ (��e� � ���5 �,!#'�� F u-9 z'!%J`B�� � �����,I.-'��&����±���� ,!#� �AN<��'��� �*5�� F �2/8.-������'�'�/H�n?��� �/1,!#� � '��� �*5�� `Jq� � �5$rt5�G F � - � J

�P�rq ; I �5w %!< � � �P����x;�'%)(*���� �j'��5� ���2(Q������� 7����� ���&N- ���$-* � �5,I�I� � �_.- ���N-'���, ( � ��$ /5��! �� ��I���5$#"-�e������$-��$#*�5$ � 7�� ��G��?5��$�� F �d9 �59( � ��$� F � - � Jn���@?5�� �/��,1��'�'�J���/��5!I$-����" � !-*5�A����,I.-'�����B5��$<"I,G�%�2�q�5�H� � �>����'���!-'��)����$#*���­H�5 ��q���@(Q���2����"�5$S����,I.-'���.<����$%���Q� � �)�>�5 ��S� � � ��)(�$O�D(��D/��-9

SUTa�� )³��M«�� � � � ¤a��� M NP�4��$8/j$#�5$�bc±��� �����!-$#�������5$��$#"L'������ � �4"����2�� ���N-!�������$ =� N<�4"-��W#$-��"LN%/ 6

=� FRD JFE � f�

M=F �HJ� � F �HJ�]sQ��$L/5��!L� � �)(k� � ���

F � F �rJ � � - � J � � � � � � � F � �5J`t ����

� M=F � �)J� � � � � t �

��� � M=F � �)J

F u-9 z�tDJ

F �>��$%���q/5��!_,1�D/j(���$%�����1.- ��)?5�X� � ����W# 7� �Q���� �� � �4���5���&( � �� ����~���A�I"������� �������"���� �� ���N-!������5$=9 J

�P�rq G IL�N%g�(=�wl(�J����}� = =�wl(:#�% �����'% (*� ��(�w8wl�^wl�-� J������;x��� �O^5��/6��"����0���� � �)�G���5 �,!-'�� F u#9 z-t�J&.# ��)?8��"������+,!<� � ��,I.- ��)?5��" ��.-.# ��D����,I�������5$aBp�5�G����,I.#�� ���"K������5 �,!#'�� F u#9 z !�J�B�( � ��$L/5��! � �D?�� =� F � J�� � F � J`9

SUTa�� )³��M«�� � � " ®n��.-'�����$+� � �G��,I.- ��)?5��,I��$��&���@� � �1��.#.- ��D����,1�)�����5$=9�������?)������� � �1� � ������� M�F�D JcE % � f���5 A���5,I����!-�e�7��N-'���?)��'�!-�&��� & 9

SUTa�� )³��M«�� � � � � � �)�>(Q�5!#'�"O/5��! � �D?5�X���j� � �5$-*5�&��$S� � �4�5N<�)?���.# �������"�!- ��&�e�n/5��!O ���.#'�������"_� � �4��?���$%�� - � N8/_��$8/j�5� � �� � ��5 �����?���$%� � @�� (��e� � F � @ �jJ�� t

�P�r� L @P� �(= !r% �IH�<�(*�S= !m% <u���;��� =�wl( M��7M&%g!m%)x;�'%!<-x;�5w2�F<#�5� wl��x��� �j.# ���N#��N-��'��e�2/0�� 7��$#� ���5 �, ����� � $-��U%!-�j���$#������!-������N#'��j��$y���5,I�_���e��!#�)������$#��9 � $-�O���5,I,I�5$ ���e��!#�)������$���>� � �)�&� � �1"���� �� ���N-!������5$r���@��$%���� ����2�&���&$#���&^%$#�)(�$0��$r��'�������"+���5 �, �5 &����,G.#!����������5$#�5'�'�/+��!-,�N<�� ����5,I��9��� ���q.- ��5N#'���, ������!- ��q( � ��$1/��5!- n 7��$#"-�5, ?)�5 �����N-'������H��$����� ���� � F ���D/5B �rJ;���q��������'��C����!#$#�`������$j���C��.- ��5N#��bN-��'���� ���������2�7�)�����X�5 &�����5$�W#*�!- 7�)�����5$<�A� � �� 7�5������ ���±���"�N8/4� ��,G� F .P��������N-'�/U%!-����� � ��* � b¬"���,I��$#������$#��'lJ= ��5$#"��5,?5���`���5 ��69 � /8.-������'�'�/�B#/��5!(���'�';N<�G��N-'������_����,G.#!����� � �4.# ���N#��N-��'��e�2/L���q��$8/L�5$-�*5��?5��$+���5$�W<*5!- 7�)������$aB

��nq d*�N[P]^Z �%e%n�[Pi*a!p!a�[P] "Ya b X b XQZ>eQdPb^[cb^a!dfe $ �� ������ &%a!e�b XQZ a!e b^Z�+f] [Pe%o (�� �%k b2]^Zj[Po $ ������������ &Qn df] a b s

Page 38: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

u ! ������2��� ��� ��� � ��

��?���$I���P� � �>"���� �� ���N-!-�����5$I��� �yB�( � ��� � ���q����!-$#�������5$1�5�<� � �>����$�W#*�!- ��������5$aB5���n��$%�� 7�5������N#'���9 ��� ������'�'��)(���$-*������ �����������"���?5��'��5.S�G,I��� � �8"O���1*5��$#�� 7�)���&�I���5,I.-'����

� � % � o % ]i] ] % � ��� ��5, � � �4"����2�� ���N-!�������$L�5���y9

SUTa�� )³��M«�� � � ) ����?8����(f� � �+���5'�'��)(���$-*R^5��/� �����!-'������ F ��J1� � �6"������� ������+.# ���N#��N-��'��e�2/�"����2�� ���N-!�������$ D ED � % ]i] ] % D z ����� �+�5 �^��)?y� � ����$�(��e� � �� 7��$#���e������$�.- ���N#��N#��'��e������� ��� ���j� ���5N-'���e�&� � �\,u.'Al@51 �9.', �#@��9@0K R;..��#�¢@�AR1�:QK D � � � � E D � � �

�F u-9 z5z�J

���X���)����� W#��"���5 &��'�'�.#�5�� 7� F (%��8J`] F ���lJ>�e�q� � �I�+�� �^5�)?L� � ����$+���X���5$-$-���`����"CBP� � ��� ���U%!-��$#��/S(���� � ( � ��� � �5$��$#�2�7��$%�����)������$O?8��� ������� ������� q��U%!#��'�� D � 9�P�r�*� �\�^w �'(�J �U���&% �_�Q(����;� � �^w�! (��� ����"����4��� � @5/��u:¢3J� �^@e1 K2�n:0K&Al.4��@e/%��:����p���4� � �8������� � ���� ��5$#� �������5$I.- ��5N<��N-��'����������q��$1��!#� � �&(Q�D/4� � ���� � ��"���������'���"+N<��'���$#���4��U%!#�������5$#� F u-9 z5z�J��� ������)����� W#��"S(��e� � D � ��U%!#�5'�'���$-*1� � ��.- ��5N<��N-��'����2/L���@����$�W#*�!- ���b�����5$ n���� A��'�' 79SUTa�� )³��M«�� � �. : � �)( � � �)��� � ��.#��� � ����� � ����$#� ����$%�����������5$O� � ��$S���5$#� ������!-������� � �4"���� �� ���"L���5,G.#'��

� � % � o %i] ]i] % � �.- ��)?8��"���"j� � �)��� � �&�� 7��$#���������5$L.- ���N#��N#��'��e���������� ���� !#� � � � �)��� � �4� � ����$O��������$-$-���`����"C9

SUTa�� )³��M«�� � � � ����?���$I� � �)�@� � � �8� � .P�5��$%� F � � Jq���C/5��!- \����,I.-'��A���n� � � i� � ���5$�W#*�!- 7�)�����5$=B�"�������!#��� � �)(���&����'����`�n.P�5��$%� F � K tDJ�N%/���$8!-,I�� 7�)����$-* �

�� %i] ] ]�%��

�z ��$#"�� ��'����`����$-*�� � �Q$#���8�p� ����.�(���� � ��.#����!#"��� ��5$#"���,

$8!-,NP�� �*���$-�� ������� �9

SUTa�� )³��M«�� � ��� /n�� ��e��/6� � �)�L{ ���� � �O$8!-,�N<�� ��5�X����$�W#*5!# ��������5$#��B;�5$#"y��!-.-.P�����_� � �)��� � ���G$8!-,NP�� G����5� �� ��5$#�5,I������'�'�/G'��� �*5�59qsQ��$O/5��!j� � ��$-^_������(Q�D/G���I���� � �/G�5!-�Q� � �L� $-���%��� ����.<��.# �������"�!- ��X"�������!#��� ��"j��$� � ��.- ���?8����!#�Q������ 7����� �&(���� � ��!��A��$8!-,I�� �������$-*G� � ���� 7��$<� �������5$L.- ��5N#�5N-��'����������

�P�r�&q �c��(C(&x5% �IH\�5���\����#��Lx �;�=� $-�G� ��'�!�������$S���_� � ��.- ���N-'���, .<�%� ��"��$+� � ��'����2�������� 7����� �����>���_��,I.-'��)/S�I�2(Q��b¬�2����..- �������"�!- ��59�� �*��,`[dB����'����`����$8/L���5$�W<*5!- 7�)������$ F �d9 �59H� � �5��$+� ��������JA�)�> 7��$#"-�5,S] $���Z�YJ&�B<���e� � �� ����� � �/_�5!-���I�� ��5$#� �������5$L���j� � �����'����`����"S����$�W#*�!- ��������5$ F (���� � �5������.����5$#���&.- ��5N#�5N-��'����2/S

�� JQ�5 � ��2V2������� � ��� ��'����`����"S���5$-W#*5!- 7�)������$ F (��e� �

.- ��5N#�5N-��'����2/+t O� �� J���$<"_ �����!- �$O���I� � �&W# 7�2�A� ����.a9

SUTa�� )³��M«�� � � � : � �)(r� � ���a� � �@�2(\��� ����.#�=����$&N<�Q���5 � �����">��!��=(���� � ��.#����!<"��5 7��$#"-�5,k$8!-,�N<�� a*5��$-�� 7�)���5 �9

SUTa�� )³��M«�� � � � /n�� ��e��/�� � �)�L� � �r�2(Q��b¬�2����. .- �������"�!- ��0�5$#'�/� ���U%!-�� ����j� � �K����'���!-'��)������$ ���G�5������.��7��$#���.- ��5N#�5N-��'����������@���5 Q� � �����5$�W#*�!- 7�)�����5$1.# ���.<�%� ��"1��$_� � ��W# 7� �Q� ����. F � � !<���D?5�5��"���$-*�� � �X$#����"j���G��$8!-,I�� 7�)������ ���5 A��'�'��8J`9

SUTa�� )³��M«�� � � � : � �)( � � �)��B����5 �� � �&�2(Q��b¬�2����.L.- �������"�!- ��5B%� � ��.- ��5N#�5N-��'����2/ F � � h � �����2�7�)����� � � �4����� ���)��� cJ

(���'�'�NP�_���8�� ���,G��'�/6(Q��'�'Q�5.-.- ��D����,1�)����"6N8/* �� �5{T�e�V{T����?5�� �/K'��5 �*��59r�>��$#���_��$����� G� � �)��� � �S"����7����'���"

N#�5'��5$#���& ���U%!-�� ���,G��$%�QNP�����5,I����� � �)��� �� E � � �

�F u-9 z�u%J

���5 A�5'�'C.<���� �� F .% �8J`B-( � �� �� ������� � ��.- ��5N<��N-��'����2/1���n����$�W#*�!- ��������5$ �9

� b^] a�!`b^p q k 0LZj[,- a!e,+,(F[���������������� ��� ��! �Na!eQ[Pk^i � ! X,[Pk q d*� " a!p!pFb q*0Qa�!j[Pp!p q �Qk^Z�[�0Qk^Z��QoQdf]^[PeQoQdfi e �Qim\ ZW] +fZWeQZW] [cb df]>b^dn��Q]^eQa!k X b XQZ eQZ�!WZWk^k^[P] q�k [Pi$0Qp!ZWk�n ]^dfi�b^XQZ k b [Pe%o0[P]^o-�%eQa n�df] i o%a!k b ]^a!\,�%b a!dfe�s

Page 39: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

��� � � � ���Q�4����� � � ����� ����� �6�7� � u#t

SUTa�� )³��M«�� � � � /n�� ��e��/_� � ����� � �&����'�'��)(���$#*���� �,�!-'������� �� � �4��������.����5$#���&.- ��5N<��N-��'����2/H�

�� ET,G��$ � tC% � �

��

���)����� W#���I� � �0"������5��'���"�N#�5'��5$#�����U%!#�)������$ F u-9 z�u%J`9 F �>��$%���6�5����!-,I�5B�(��e� � �5!-�O'������1���&*5��$-�� 7��'��e�2/�BQ� � �����- � � 9q�X�G$#�������5 �*5����� � ��?��� ��e��/1� � �)��� � �4� � �5��$L�������5$-$#���`����"C9 J

SUTa�� )³��M«�� � ��" /n�� ��e��/_� � ����� � �&����'�'��)(���$#*���� �,�!-'������� �� � �4��������.����5$#���&.- ��5N<��N-��'����2/H�

�� E � � F t O �

�� � J z ¡ = o

���)����� W#���Q� � �4"����7����'���"_N<��'���$#������U%!#�)������$ F u-9 z�u�J�9

SUTa�� )³��M«�� � � � : � �)( � � ���1� � �S���� �,�!-'��K�5�����8�� ��������6t�x�|r���I�5.-����,I�5'A��$ � � �0����$#���L� � ���O�K.- ��5.P������"�� 7��$<� �������5$_���I�'������Q'���^5��'�/j���5$�W#*�!- 7�)�����5$_(���'�' � � �"M,�N<���5������.�����"C9@sQ��$L/5�5!_����.-'�����$_( � / ) �5.�����,1��'i38�����$S��.#.- ���.- ��������X���� �, ��$L� � ��������$%�����8�

Page 40: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

u�z ������2��� ��� ��� � ��

Page 41: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� �

� � � � �� � ���

���

Page 42: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...
Page 43: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� ��� � � � ���

����� ��� ����� �0�5wl����x5% �'% (*����� �F<#�'%)(*��x��� T Al@�Al.���A4/0@LKT�14A419:0K�7��LK RiA419:0K� �������� ����������� ��� !"���$# ��% � � ��� # �'& ! % !"�����)(*�,+*��!-���� T Al@�A�. D � �.�/�,��� �(�� +������/��0+ �'& 1 � �'� ����2!"� � ��� � �3�/�,��� I*4

D65 ��7 E8 5 � % I % � 7:9 ������ D65 I;7 E � ] 5=<?>,@ 7� 1 !�A CB � � +���!���D�2!E� � ��� D �=� � 9 � � � !F� ���/�,����G�H %�� � � � ��1 �I� � O I >SUTa�*JLK��NM��PORQTSVUW��� 5 � % I % � 7 E 5 I � ��7 o � A � � �X& ��� I E @ A D65 IL7 E � E � >ZY ��& # 1�&$� ��� D65\[ 7 >]Y �'& # 1�&$� �/�D65\^ 7 >`_Ra ���/#b � (*� ��c ��� DZ5 7 �=� � ed OmO �I% @gf Ph>ji & ! � ! a ���/#b � (�� �'c �'�3k 5 7X9 �,�������l! � �m�n!"� � ����o��� � �?!"�,��� � � �=1 �D#���� � �WA�H 1 � 9 �p�/ rqtsvu�� � ��k 5 rq 7 s � s � >wyxa�*JLK��NM��PORQ{z}| � �/�,+ � �/�X����0~D�/���F���;�?�"�$���r�b��� � ���L�������N�=�;� 4

5 rq�� rq*� � 7 s ��� 5=<?> u 75N� �,�I� 4 � 9 �N� �3� !F�/��2!"� � �/� B � � +�� �j�=� � 9 � � � !��,�`��� ����GI� 7wyxa�*JLK��NM��PORQ?��| � �/�,+ � �/�X����2���g���;���`���L�D��� ���h����� � ���;�������N�=�;� 4

5 E�'� rq*� � 7 s8 5 E�'� ��;�/ 5 ��;� rq�� � 7"7 � 5=<?> � 75N� �,�I� 4 1 !��3��� 1D� ��� � � 5=<?>,@ 7 � �2� � ��1 #���/ � �]H � �/�!�� � ��! ��� �g� 1?� ��� � � 5=<?> � 7 � 1 !"��H?�.��� c �/��!/!"� � �D! �=� � k 5 � 7��� � ���*���r�����m�¡ D�$¢����N£ ! % !"����� k 5 � 7 � !F¤��¥� �l� �D#�� k 5 q 7 � !H{�����¦! c ��#��,¤D� � > 7§�¨p© ª«Z¬¥­;® ¬�¯�«Z¯�°�­;®$± �²r� � ���L�{�\�,�T³I�¥³�� � �\�,´�� ��% � � ��� # �'& ! % !"�����`A;�/��+ �'& 1 ��! �=� � rq*� ��;� E�'� ����� # � ��H?� � �/H��,��� � �/� & % # & � !��]� � (���������� �`�/��0��� �'&W& � ��� > � 1 ! 9 �2# � ��# � �D!"� � ������� c?� ����� �'&W� ����� + � ��� +�� ��� �/��e!"� � �/��o���� � �D!��,��� � � �=1 �D#��/� � � 9 �p�/�/��! c �g#��� � �,�/!¤?�/!"� � �/( 1 �����I� 4

¶µ�· ��¸ 5 ���¹�� � 7 sº& �,�» �N¼ q 5 ¶½ � ���¹�� � 7¿¾ 5 ��"¹�� � 7

� � 5=<?> < 7wyxa�*JLK��NM��PORQTÀVUW��� 5 � � q � � 7 s 5 qLÁ � 7 � �¥>� ���/� �=% �� � � ¶µ�· ��¸ 5 � � q � � 7 s ¾ u �q bÃTÄ� �¥>wyxa�*JLK��NM��PORQ{Å _ 1�c�c{� !��X�� � ��A�� � �m��% � � ��� # �'& ! % !E�/��� 9 �,�� � @ o � � �����D!�� � � �'& !"� � ��� kÆd¦Ç A¶����2!"� � ����o��� � �?!"�,��� � � �=1 �D#���� � �¦� ! � ��¤D�D� � �,�l�������j! ��� � 9 ��� ��D��� �=1 �D#���� � �D!yÈ � � ��É A � ! �=�*&,& � 9 ! 4

5 � � q � � 7 s È 5 � � q � � 7 ��� c��É 5 � � q � � 7 5=<?> [ 7� � � ! 1�cDc?� !"�*A �=1 ���������� � ���*A¥�� � � É 5 rqI� rq�� � 7 s f �=� � �'& & + ��&,1 �g! �'� �¥> �����Æ!" � 9 �/ � �tÈ 5 rq�� rq�� � 7 s ��=� � ��&,& + ��&,1 �g! �'� �¥>-5N� �,�I� 4 � � � � ��� � � 4 ��� c��k tÊÌË;Í � � 1 !E�.! � �/� ! �=% ��D�2# � �?!"�$!E�/���D# % # � � � �,��� � �D! > 7wyxa�*JLK��NM��PORQTÎ8ÏÌ�p�/¦����2!"� � ����o���� � �?!"�,��� � � �=1 �D#��/� � �¦(�� +����`H % ��� 1D� ��� � � 5=<?> [ 7 AD# �'& # 1�&$� �/� ¶µ�· �/¸ >wyxa�*JLK��NM��PORQ{Ð Y � � %���1 ��� c�&$� � � 9 % 9 �X � +*�.�/�� �=��& & � 9 �,��( �=� �-# � �I�/�,� 1��*1 !Eo���� ��� �¥% � � ���$#�!b�

Ñ k 5 7Ñ sV ¶µ�· ��Ò 5 �� ��"k 5 7"7 � 5=<?> Ó 75N� �,�I� 4 � ��¤D�����/�� � ����� + � �/�,+*� � !�Ô k Á Ô�Õ � !�Ô�Õ`Ö f � ¤D�b!E��!� � 9 �� � �`Ô k×sØ 5 Õ ½ Ô�Õ � Õ �"k 5 Õ 7"7y¾ 5 Õ � Õ �"k 5 Õ 7�7 > 7

� [

Page 44: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� Ó ������������ ����§�¨�� � ��� ¬�«6¯����,®��,°¦± � ­���«��i � � ��D���-# � ��� � � ��c�c � � � � �?#�� �'� ���� � �! T���/���I��� �'& �g� 1?� ��� � � 5=<?> Ó 7 � !

"k 5 Õ 7 s$# 5 Õ ��k 5 Õ 7"7 5=<?>�% 79 ������ # 5 ¹D�'& 7 Ê ¶µ�· �/Ò 5 ¹���¹��'& 7 >

wyxa�*JLK��NM��PORQ{Q)(+*G�*J)�,�-./.d�+0 M21y�4365�,�798 Y � � %*��1 +������ �=% �� � ����D�-!E� � ����o\�/� � �D!��p�/� � � �=1 �D#���� � ��(�� +�����H %��� 1D� ��� � � 5=<?> [ 7�9 �,��

É 5 Õ � Õ q��:& 7 s$;=<<?>A@

5 ¹�� Õ qI�'& 7 Ñ ¹ 5=<?> ^ 7� � �

È 5 Õ � Õ q*�'& 7 sÌkDqF½B; <<?>DC

5 ¹�� Õ q*�:& 7 ��� c�E ¾ É 5 ¹�� Õ q'�:& 7GF Ñ ¹ 5=<?> H 7�$! � !/! � #�� � �/� � 9 �p�/`���� �=�*&,& � 9 �,�D( � �! T���/���I��� �'& �g� 1D� �/� � �?�

"k 5 Õ 7 sC

5 Õ � Õ q���kDq 7 ½@

5 Õ � Õ qI�"kDq 7 k 5 Õ 7 5=<D> @�f 79 ������ k 5 Õ q 7 sI& >e5N� �,�I� 4 1 !�� %*��1 �y���g! 1�& �/!-�,�Æ���¥���b#��$!"�g! @JH*Ó � � � @6H4% � � � �/� #��2¤D�b!"�-�� � � ÉIµ�· ��Ò 5 Õ � Õ q���kDq 7# � ���/��! c{� � � !�� �

@5 Õ � Õ qI�"kDq 7 � � ��1 !��t����2# � �R+����I��� � �l�� � � É 5 Õ qI� Õ q*�'& 7 s f�K & > 7

wyxa�*JLK��NM�� SMLNLPO6� � � �/��X!E� � ����o\�/� � �D!��p�/� � � �=1 �D#��/� � ��# � ���/��! c?� � � � ��(X� � ���� �=��& &,� 9 � ��( � �! T���/���I��� �'& ��� 1D� o��� � � 4 "k 5 Õ 7 sRQ Õ ¾TS k 5 Õ 79 �,�� k 5 Õ q 7 sR& >-5N� � �I� 4 �/� � ���F� � ��� 1D� ��� � � 5N<D> @�f 7 A�!����"�/�,�D(

@ Ê ¾�S � � �C Ê Q Õ�A � � � ��+ ��&,1D� ���2È � � �jÉ

� #�# � � � � ��(�� � ��� 1D� ��� � �D! 5N<D> ^ 7 � � � 5N<D> H 7��VUU < 5 Õ Ë�W < Á S?7 s Õ Ë�W < ½ Ë�W < Á S > 7

wyxa�*JLK��NM�� SML¶ORO6� � � �/��X!E� � ����o\�/� � �D!��p�/� � � �=1 �D#��/� � ��# � ���/��! c?� � � � ��(X� � ���� �=��& &,� 9 � ��( � �! T���/���I��� �'& ��� 1D� o��� � � 4 "k 5 Õ 7 s$Q Õ ¾YX Õ k 5 Õ 79 �,�� k 5 Õ q 7 sZ& >y5N� � �I� 4 �=��& &,� 9 ����2! � ��� c � � #�� �¥1 �/� � !�,�����¥���b#��$!"� u f*f !"���"��� ��(

@ Ê ¾[X Õ � � �C Ê Q Õ �UU < ��� c�E X Õ � Á u F s X ÕR��� c�E X Õ � Á u F > 7

wyxa�*JLK��NM�� SMLTS�O6� � � �/��X!E� � ����o\�/� � �D!��p�/� � � �=1 �D#��/� � ��# � ���/��! c?� � � � ��(X� � ���� �=��& &,� 9 � ��( � �! T���/���I��� �'& ��� 1D� o��� � � 4 "k 5 Õ 7 sR\ Ë Ã W < k 5 Õ 79 �,�� k 5 Õ q 7 sR& >35\� � �*� 4 �=��& &,� 9 �/��y! � ��� c � � #�� �¥1 �/� � !�� �n���¥���b#��$!�� u f*f !"���"�/�,��(

@ Ê \ Ë Ã W < � � �C Ê f�> 7

§�¨ § ]^� � ¯�_T®�`¿¯T® ­�«Z¯�°¦¯�° � «�ab�Z® c �M�h� ¬¥­;®�d�� � `¿¯Md�­;® «Z¬�°O � � � 9 � � �]� � ��(*� ��� !�#��,���*�/�p¤{# c � � H & ���j!�� �I+ ��& +R�,��(F�/���� 1D� �I�/�p� � ��� +�� � ��!/#��/� c �/� � � �'�¿B"c � � #���!/!���!/G�A��,�W� 1 ���D!��1 �3�� � � � �� T���/���I��� �'& ��� 1D� �/� � �D! c � � +R� � � � � � � 1 � �'& ��� � � 1 � �=� ���D� � ��!/#��/� c ��� � � �'� ����g!"� c � � #���!/!���! >

wyxa�*JLK��NM�� SML{z Y � � %���1 ��� c�&$� � � 9 % ����$!3�$!3! � �

Page 45: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

����������� ���������� ������������������� �!�"��"#$%� &')(*��"#$ � %§�¨,+ -Z®$¬ �Z®$¬/. ­�� � °�­ d¥­ �10 ­ � d�¬�°'® ­;® «Z¬ a�¯�¬/2*­;® «Z¬3 � +���� �P� �! {�������*�/� ��& ��� 1D� �/� � �WA %*��1 9 � & & � %Rc �$# �'& & % 9 � �*��� � ¤?� � 5 � � � � & � � !E�j#b � � � #��������54�� 7 �/�� � #�o# � � cD� � % �,�D( !E� � �/��o���� � �D!��p�/� � � �=1 �D#���� � � > OZ� � � � ��( �/���!E� � �/��o���� � �D!��p�/� � � �=1 �D#���� � � # � �/���g! c{� � � �,�D(�� ���� �! {�������I��� �'& ��� 1D� ��� � �`� !.# �'& & � � �b�7698;� ��:Æ��D� � �� T���/���I�/� ��& ��� 1D� �/� � � � >

ÏÌ���� � !"� � ����o���� � �?!"�,��� � � �=1 �D#���� � � 5 Õ � � Õ q �:& 7 �$! c ���g!"���*�/� �n� ! �ec�1 � � ��� +��.! ��& 1 �/� � � �'�¶�2� �� T���/���I��� �'&��� 1D� ��� � � "k 5 Õ 7 s # 5 Õ �"k 5 Õ 7�7 A 9 �p�/PH �*1 � ��� � % # � � � �p�/� � � k 5 Õ q 7 s k q A¶� 9 � �/��,�D(*!0����� � � � H{�j+������,¤D� � 4��D�X¤D�/!"�-# � �D!"�$!"�����?# % # � � � �,��� � � 5 Õ q*� Õ q��"k?q 7 sÌkDq A � � �` ¶µ�· �/Ò 5 Õ � Õ q*�'& 7 s$# 5 Õ �/ 5 Õ � Õ q*�"k?q 7�7 >

wyxa�*JLK��NM�� SML?�<;¿��� �=� �/� ����g!"�X� 9 � #bD��# a ! � �l����2! ��& 1 �/� � �D! %��*1��=�*1 � � �,�¦���R���/#�� !���! u f�f>= u f u >

wyxa�*JLK��NM�� SMLTÀ 3 �,+*��� �`�¥% � � �m�$# ��& ! % !"����� 9 �,��P!"� � �/� k d Ç A k 5 Õ 7 s 5 Õ � Õ q���k 5 Õ q 7"7 A � � � � !E�/���$#�� &,%� �D#��/� � !"� ��( �=1 �D#��/� � �@?�A � ��¤D�D�X����0+ � �/� � H & ��A�H %

k`s ? 5 A 7 ½ k 5 Õ q 7 5=<D> @�@ 7� � � !� � 9 �/ � ��AÆ! � �/� !"¤D�g!F���� �=�*&,& � 9 �,�D( � �� T���/���I��� �'& �g� 1D� �/� � � 4

"A 5 Õ 7 s ¶µ�· ��Ò 5 Õ � Õ � ? 5 A 7 ½ k 5 Õ q 7"7? · 5 A 5 Õ 7�7 s "k 5 Õ 7? · 5 A 5 Õ 7"7� 5=<D> @ u 7

wyxa�*JLK��NM�� SML{Å)(CB=�ED�F¥J7F 3��/,P�Z,�G�H/F¥J)�IF�JD.M�RM�8 Y � � %��*1 !" � 9 �� � � �y� �� T���/���I�/� ��& �g� 1D� �/� � � 9 � !����/� (�I�������H?���t�$! �nc � �¥�¥1 #�� �'� � 9 �n�=1 �D#��/� � �D!�A � ��� ��� 9 ��$#b �$! �n�=1 �D#���� � � �'�]� � &,% ��D�m!"� � ���m+ � ��� � H & �*A � � ���D� � ��D���3�$! �m�=1 �D#��/� � � �'�6� � & % ��� ����A & � a �0! � 4

"A 5 Õ 7 s@

5 A 7 C5 Õ 7 5=<D> @ � 7

� !F���� �=�*&,& � 9 �,�D(�! ��& 1 �/� � �?�; <<?>DC

5 ¹ 7 Ñ ¹ls ;LKEM <ONKEM <?>�N

�P

@5 P 7 � 5=<D> @�< 7

5N� �,�I� 4 # � � cD� �����g� 1?� ��� � �?! 5=<?>,@ u 7 � � � 5=<?>,@ � 7�� !����@

5 A 7 s @ Á ? · 5 A 7 � � �C

5 Õ 7 s "k 5 Õ 7 > ²r�I�/��(�� � �/���D��!�� � � � � HD!����/+��n�/ � �m��D� & � � � � � � �/� (�I��������H?���/! ��� ��� 1D� ��� � � 5=<D> @�< 7 � ���`H � �� ��� c �/��!/!"� � �?! �=� �k 5 Õ 7¿¾ k 5 Õ q 7 > 7

wyxa�*JLK��NM�� SMLTÎRQ.!�� �=� �/� 1�&$� 5N<D> @�< 7 � � ! �*& +*�"A 5 Õ 7 s ATS�ÕVU

9 ������XÕXW Õ qys @ A�A 5 Õ q 7 s @ A � � � QZYs @ A X Ys ¾ @�>

wyxa�*JLK��NM�� SML{Ð\[ � �/�� c �/��+R� �*1 !F���¥���b#��$!�� �=� �����2# � !�� 9 D���/� X s ¾ @�>

wyxa�*JLK��NM�� SML{Q\Q.!��X���� �=� ��� 1�& � 5=<?>,@�< 7 � � ! ��& +��"k 5 Õ 7 sZ\*k 5E@ ¾ k 7 Õ S

9 ������ Q�Ys ¾ @ � � �lk 5 Õ q 7 sR&^] @�>_�`badc*e f>gdhig>jlkbg�mon5jqpbk'adrtsVavuwadcXx>r y1c�pwc�gzuwr,{}|/c�~if>{�uwrtjqg�rt��9jq| �zc�x�rt�uwadc��V�d�o�l���5�q��kba>rtsVa���{}�>�buwrt�*c���u9j ��{�u'uwrt�*c��V�� x>r y1c�pwc�g"u9r,{}|!c�~"f7{�uwrtjqg �w�oc�slr �>cl�{�n�f>g>s�uwrtjqg��"� �qr �irtg>�*{�pwc�|,{�uwrtjqg��oc�u�kTclc�gvu9a7{�ubn5f>gds�u9rtjqgv{}gdx r u9�'x>c�p9r �q{�u9r �zcz�����V�

Page 46: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� ^ ������������ ����§�¨�� �m¯¥­�«Z¬�«Z±��i � �� T���/���I��� �'& ��� 1D� ��� � �Æ�$!���³��h�L�{�;´��¥³��0� � �p�b!.�/�,(*I�y������H?��� � � c ��� � ! � �ÆÕ�/�� ��1 (*¦����m!E� � ��� k ATH 1 ��  �� �/�� �*1 (�l��D�2!E� � ��� 4 "k 5 Õ 7 s$# 5 k 5 Õ 7"7 5=<D> @g[ 75 # � > ��� 1D� ��� � � 5=<?>�% 7"7 >wyxa�*JLK��NM�� S�O LVÏÌ�� #b ��� �/�� �=��& &,� 9 � ��( � �! {�������*�/� ��& ��� 1D� ��� � �D!�$! �'1 � � � � � ��1 !b�

5 � 7 "k 5 Õ 7 s � Í M <ON �� Í M <ON5 � � 7 "k 5 Õ 7 s Q¶k 5 Õ 7 ½ X Õ �5 � � � 7 "k 5 Õ 7 s # � ! 5 Õ 7¿¾TS k 5 Õ 75 � + 7 "k 5 Õ 7 s 5 Ë�� < ½ k 5 Õ 7"7 à �

5N� �,�I� 4 & �I� a ��1 � �=� � �'c�c � � � � �D#��g! ��� Õ-�,� ����m�/�,(**�t�����eH{��� � ������.�/ � � �,� k 5 Õ 7�� ��D��!���� � � �$# � ������ � ���D�0��� 1D� �/� � �l�$!� � �¥o ��1 � � � � � �*1 ! > 7wyxa�*JLK��NM�� S�O{O=(+*)F¥J;J ,�� 0 M G ,DJ�1Y-�.9F�8@Qy!"� �=� �/� 1�&$� 5N<D> @�< 7 � � !� � 9 �� � �6�/�� �'1 � � � � � �*1 ! � �� T���/���I��� �'&��� 1D� ��� � �`� !3! ��& +�� � H % 4

Õ ¾ Õ qysP; Í M <ONÍ M <?>lN

Ñ &# 5 & 79 �������+*��� # 5 & 7 Ys f H?��� 9 �����`��D�0�,�I����(�� � �/� � � & �,���,�/! >

§�¨�� -Z®$¬ �Z®$¬/. °�«� ¯¥­;® «Z¬�°_ �*& +R� ��( � �! {�������I��� �'& �g� 1D� �/� � �D!2�$! �Æ� ���n# 1D& � � ��� > O � ��� 1 � � ��� &,% AZ� 1 #b � � �=� �/� � ��� � � � H �*1 �e�/��l!"� � ����o��� � �?!"�,��� � � �=1 �?#���� � � # � � ��& �/� �*�¥% H?��( & � � �D� �l� � � �)���� � �� T���/���I�/� ��& ��� 1D� ��� � ���,�/!�� &,� A 9 �p�/ ��1 �y���������� ��=� � � �l��� c�& �$#��,�.! ��& 1 ��� � � >wyxa�*JLK��NM�� S�O�S Y � �D!�� � �����D� �'1 � � � � � �*1 ! � �! {�������*�/� ��& ��� 1D� ��� � � 4"k 5 Õ 7 s$# 5 k 7 s�k ¾ k � sÌk 5E@ ¾ k 7 �_Ra ���/#b # 5 k 7 � ! �0�=1 �D#��/� � � �'�Wk > | � � a � �j���� k o � �¥� !]����e���/�\�\�N���76��Z�L�,�T�\� 9 ����/� # 5 k 7 s f � # ��& � ��� ���b�� ��D� cD� �"� 5 ! 7 �'� �/�� k o � �¥� ! 9 ����/� # 5 k 7�� f A � � �����b� ��D� cD� �"�b! 5 ! 709 ����/� # 5 k 7 ] f�> ² � �/��`�,���,��� �'&# � � � �,��� � � k 5 Õ q 7 �$!]� � � (*���������/��(�� � �¶A 9 � � 9 � &,& ����t! �*&,1 ��� � � & �I� a & � a � 5 � > � > 9 � &,&{k ( �21�cn� � �¥� 9 �¶A 9 � &,&�,�y# � �*�/�,� 1 �X� ���¥� ! �j� � ��c�c � �*� #b � �`��+����*� 1D�'& + ��&,1 ��A ���-£b���r����� 7 � [.�,�"� �j�=� � � �¦�,�D�p�/� ��& # � � � �,��� � ��� � ��/� � ����(�� � � >wyxa�*JLK��NM�� S�O¥z\[.� � 9 ��c{��& % � � ��� �'&W���Z%*��1 � � 9 ��#b �R� !"� ��( 5�� 1 !"� � !�� �I� �� & �,���2�� � � 9 �,(*( & ��! � � �*1 � ���D� k o � �R�$! � # ��1�c�& � ��� ��� ����!m�$!e¤?��� 7e9 ��$#b %��*1 �/��( � � � � ! # 5 k 7 � !m� � �/�� c ����+I� ��1 !e���R���/#�� !�� � � ��/� c � � ��/��0��� �� (*�������`!"��(������I�/! c � � #�� �¥1 �/� >wyxa�*JLK��NM�� S�OR�! 3� c � � �e��D� c �/��+R� ��1 !e���¥���b#��$!"�*A¿H 1 ��� � 9 � � a �l! 1 �/�j�� � � � #��/�p�/� # �'&Fc?� �,�I�m# � � �D#�� � �g!9 �,�� � �`���R���/��� 1 � ���6%*��1 � c{��& % � � ��� �'& >wyxa�*JLK��NM�� S�O�À Y � �D!�� � ��� � � �'1 � � � � � ��1 ! � �� T���/���I�/� ��& ��� 1D� ��� � � "k 5 Õ 7 sI# 5 k 5 Õ 7�7-9 D���/� # 5 k 7�� f �=� �k S ] k ] k#" A # 5 k S 7 sR# 5 k#" 7 s f A � � �%$ # 5 k 7 $#&(')"*$ k#" ¾ k+$ 9 ����/� ')" �$! � ¤D�D�p�/� c{� !��p�/�,+*�.# � �D!"� � �I� >Y � � %��*1 �g!E� � H & �$!"l���� �=�*&,& � 9 � ��(I�

& �,�< ¼-, k 5 Õ 7 svk " 9 D������+���� k 5 Õ q 7 d 5 k S �"k " 7 �² � A�� � ����� �,��� � �¶A 9 �0 � +*� $ # 5 k 7 $.&/' S $ k S ¾ k+$ # � � %��*1 !��,��� & � � & %nc � � +��y��D� �=��& &,� 9 � ��(I�

& �,�< ¼ à , k 5 Õ 7 svk S 9 �������+���� k 5 Õ q 7 d 5 k S �"k" 7 �

Page 47: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

���������'�"#��'����"#$ #$�\��� ��� U�'(*#$�� �"��"#$ � Hwyxa�*JLK�NM�� S�O¥Å Y � �D!�� � ���� 9 ��� � !"��� �D#��.!"� � ����o\�/� � �D!"�,��� � � �=1 �D#���� � �D! 5 &^] f � � � Õ � Õ q � �¦H � ���# � !"�g! 7 4

5 Õ � Õ q*�:& 7 s 5 & � � Ä ½ �Ä 5 Õ ¾ Õ q 7"7 Ä

� � � 5 Õ � Õ q��'& 7 s�� 5 & ��� Ä ½ �

Ä 5 Õ ¾ Õ q 7�7 Ä �=� �3Õ & Õ q ¾ � & ��� Äf �=� �3Õ � Õ q ¾ � & ��� Ä �_ � 9 �� � ��� � ��� !E� � �/��o���� � �D!��p�/� � � �=1 �D#��/� � �D!-! � ���$! �=% ���� ��1 � � � � � �*1 ! � �� T���/���I�/� ��& ��� 1D� �/� � �

"k 5 Õ 7 svk ��� Ä � 5=<D> @�Ó 7§�¨�� �m® «� d�­;® «Z¬P«�ay­�� ��� ��� 2I«Z¬ �Z® ­;® «Z¬����� � �¥o 1 ���$� 1 ���D��!/!3�,�Æ���� & � !E�t���¥���b#��$!"� � ���$!���!3H{��# �'1 !��0��D��#��/�,���$# �'&6c?� �,�I� 5 ������ 4 kÆs f 7 �$!-�/� � #bD� �� �¦¤D���,���2�/�,��� > �D� !y# � �D� � �- ��c�c ��� 9 ����¦����m# � � � �p�/� � � 9 �p�/ ' " (*�,+*���¦� �����¥���b#��$!"� u @g[ �$!-! � ���$!"¤D� � A� ! 9 � !3!� � 9 �l�,�`�� � �-���¥���/#�� !�� >wyxa�*JLK�NM�� S�O�Î _ � 9 �/ � �0�/��j�/�,(**�0������H?��� �'� ��� 1D� ��� � � 5=<D> @�Ó 7 �N� � & !t� � ! � �/� ! �=% �/���� U�W# � � � �,��� � � >5N� �,�I� 4 !� � 9 �/ � �X�/����/���$!X� � ¤D���,��� ' ! 1 #bÆ�� � � $ k ��� Ä $ & ' $ k $D�=� � �'& &¿kL] f � �p�2� �;% H{���� & c¥�=1�& � �! a ���b#b k ��� Ä � ! �e�=1 �D#��/� � � �'�6k A cD�;% � ��( cD� �����$# 1�&$� � � �"�����I��� � �`� � ��D�2! & ��c � � � kls f�> 7wyxa�*JLK�NM�� S�O¥Ð Y � � %���1 ! a ���b#b��/��2! ��& 1 ��� � �D! ���

"k 5 Õ 7 s @@ ¾ k 5 Õ 7

9 ������ k 5 Õ q 7 ] @ � � � 9 ������ k 5 Õ q 7 � @ �

§�¨�� � � � «! ^� � dM��° aE« � `¿¯Md��p® ­ d¥­;® " � d�¬Md�� ��°'® °²r�D!"��� ���Æ��� # �*&,�*1 �/�,��(l!"��(������I�/! �'� ���� � HD!/#��$!/! � ��� �Æ� � � (��/�����WA � ! %���1 � � � � � ���¥���/#�� !�� u @ u A %��*1 # � ��'& ������� � ��� +�� &,%j1 !"� & �p��� & � � �/� � 9 D� ��� ! c{� � �I��� ��(m� � ��D� & � � � � � � � � �/��0��� (�I�gA¥���g! c ��#���� +�� & % >wyxa�*JLK�NM�� S�O¥Q$#�� c�&$� � � � 9 ����$! � �/� � 9 �� ��� !X�/��#�� c � ��&,& � 9 ! %*��1 � � � � ���I��� �=% 5 c�1 � � �/�,+*� 7 �'& c �Æ� � �� ����( ��c?� �,�I�/! >wyxa�*JLK�NM�� S?S�L Y � �D!�� � ��� "k 5 Õ 7 s$# 5 k 5 Õ 7�7 s Sn¾ k 5 Õ 7 � �[y� � 9 ! a ���/#bD��! �'�9# 5 k 7 �=� � 5 � 7�S ] f � 5 � � 7�S s f � 5 �,� � 7�S � f�>�Y � ��� %j��1 �3�/��2�/� �� (��/�����l!���(������*�b! 5 � �� �/� � 9 �� �*� ! 7 c � � #�� �¥1 ���t� � � � ���I�/� �=%`�'& c ��� � �`� �m��( ��c?� �,�I�b! 5 � �¿� � % 7 >wyxa�*JLK�NM�� S?SWO 3� c � � �3���� c �/��+R� ��1 !F���R���/#�� !�� �=� ��/�� �=��& &,� 9 � ��( � �! {�������*�/� ��& ��� 1D� ��� � � 4

"k 5 Õ 7 s$# 5 k 7 sÌk 5 Õ 7 5 Sj¾ k 5 Õ 7"7 �wyxa�*JLK�NM�� S?S{S Y � �D!�� � ���

"k 5 Õ 7 s$# 5 k 5 Õ 7"7 s Sj¾ Q6k 5 Õ 7 ½ X k 5 Õ 7 �@ ½ k 5 Õ 7 �

9 ������ k W f A S W f A � � � f ])Q ] X ]�u Q > [y� � 9 ! a ���/#b��g! ����# 5 k 7 �=� �+ � ��� ��1 !�+ �'& 1 �g! ��� S >�Y � � %*��1�'& ! � ! a ���/#b �&% �('r³'�����¥�\�¡�L� � � � (�� � �¦A 9 ��$#b` � ! S � ! � HD!/#��$!/! � � A � � � �/�� k o�+ �'& 1 �g! �=� � 9 ��$#b # 5 k 7 s f5 � �3����0(*�,+*��� S?7 � ! � � � � � � �/�g�)�`badc�*,+�-/./0�-1-2*Xrt��u9a>cXa>jqp9r�3�jqg"uw{}|/{�4drt� 57uwadc76�829:0�;<*>=@?Xrt�buwadc��zc�p9u9rtsl{}|/{�4drt�l�BA c�j}n�uwc�g�{}|t�wj*�w{l�DCw�FEO{�4irt�1G�{}g>xHC1IJEO{�4irt�1GF5h"g>jCkbrtg>�Xn�f>|t|1k�c�|t|Eu9a7{�u'u9a>c ~"f7{}gzuwr u9rtc���{}|tjqg>�Xu9a>c��wc�{�4ic��'��{����1cl{}pbx>r y1c�pwc�g"u'g7{}�*c��C�

Page 48: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

<*f ������������ ����§�¨���� ]^� ��� �Md�° ��� � dW¬ �_ �`�N� �t�/��j!E� � ��� k 9 � ! @ o � � �m���D!�� � � �'& >�� ���R��A¶# � �D!�� � ��� u o � � �����D!�� � � �'& ! % !E�/���j! 4 k d Ç � > Ï � 9 �/�p�/�k`s 5 k � �"k � 7 A &es 5 & � �'& � 7 >� � ���$#���/ � � 5 Õ � Õ q �'& 7 # � ��H{�-��� c �/��!����I��� � H %��Xc{� � �I��� ������ cD& � ��� 5 k � ��k � 75 # �'& & � � ���� ���'��� �T6 �L�{� 7�� �=� �0� �D!"� � �?#���A 5 Õ q � Õ q �'& 7 # � �/���g! c{� � � !y� � ��D� c?� �,�I� 5 & � �:& � 7 >li !0ÕX� � ��(��g!� +���� Ç A¿��D��!"� � ����o\�/� � �D!"�,��� � � �=1 �D#��/� � � � ! 9 ��� c ! ��1 �,� � !���� ����c{� � �*�b!t�,� ���� c � !"� c�& � ����A 1 ! 1D��&,& %��!�� �R� ��¦# 1 �/+��*A 9 �� #b¦�$!F���� �������b����� �¥������ �'�/�"� ��:���D���¥³7:� & � >wyxa�*JLK�NM�� S?S?z}UW���-Õ q s f � � �

� k � 5 Õ 7 s � Ë Ã W <k � 5 Õ 7 s � Ë Ã W < ½�� Ë Ã�� <_Ra ���/#b��/�� c � !"� cD� �� �=� � � s @ A ��s�� A ��s�� A�� s u S > 5\� � �I� 4 ¤?� ��k?�n� ! �=1 �D#���� � � �'�kT� � � � �/��� � �.��� c E ¾ �{Õ F s 5 ��� c�E ¾�S Õ F;7 � � W � � � a �0! 1 �/�X�� � � %*��1 �-# 1 ��+*� �  #�� # � �I� � � �D! c{� � �I�/! � +R� !��p�/� � �?H % ��D�! % !"����� � �.! � ���t��� ���0Õ > 7

wyxa�*JLK�NM�� S?SD�IO � ������y! % !"����� �'� �/�� c �/��+R� ��1 !]���¥���b#��$!"�*A�+*���/� �=% �� � � & � s���� � �V& � s �T½!�� � � !� � 9�� � �& �,�< ¼-, 5 Õ � Õ q��:& 7 s 5\f � f 7

�=� � ��&,&9&ls 5 & � �'& � 7 >n_Ra ���/#b ��� � 9 � � ��� cD� ��D!t�/�� �*1 (� � �! {�������I�0#b � �$#���! ��� & > ; 1 � � ��� � 9 �� �*� ! � �%��*1 � cD� �/D!� � � � � �$# � ���X�/��0� � ��� � �l� � 9 � � � �/�� � �/� (�� � >

wyxa�*JLK�NM�� S?S{À _ � 9 �/ � �3�/��2! % !"�����" k�� 5 Õ 7 s � Ë Ã W$# <k � 5 Õ 7 s � Ë Ã W # < ½�� Ë Ã%� # <

� !F���� ¢ �L�j� # ��& & �g#��/� � � ���Zc � !�� c?� ��?! � !F��D�2! % !"����� �'� ���� c �/��+R� ��1 !F� 9 � ���¥���b#��$!���! >

§�¨���� ]^� ��� �Md�° �'& « ���n���I��� ����� %Æ�'�3c � !"� c?� ��?! 5 9 ��$#b %��*1 # � ��� � � � � � 9 A6!��,�?#�� %*��1 � � ¤ &,&�1�c %��*1 � c � !"� c�&$� �D� 9 �p�/� � a�( 7 � � a ��! 1�c �/�� ���'���*){��+ ��� �/�� ! % !E�/��� > ��� &$� !"�n���¥���b#��$!��Æ!" � 9 � � �/ � �l���� c � !��!, � 9� � &,% � ���/���/�m� ���g! � �¥% � � ���$# ��& ! % !"����� 1�c � � � � � � � � � ���¦� �D#��/� � !"� ��(���� � �D! �=� �/� � �/� � � �'� �/�,��� > ²r����¥���/#�� !�� u�u < A %*��1 ! � 9 �� � � � �$!"��� �D#�� cD� �/D!.# � ��# � �I+*���/(�� � �.����m�L´���:�� �¿�;� �T� 5 ����/� 4 5Nf � f 7�79 ��$#b�� !� ��� � �,��� � � �`����X� �¥¤D���,��� �=1 � 1 �/� > �D� !�$!(�������� �'& &,% �/� 1 � ���Z� ����������� ��� !"���$# �'1 � � � � � ��1 !! % !E�/���j! 4 cD� ��D!# � � � � &,% # � �,�?#�� � � 5 � �F�,�I�����/!���#�� 7 � � � ����( �2c?� �,�I�/! � ���76���� �Z�L�,�T�\��A 9 ��$#b � �/� � �"� � �,�D� � � �n�/��.� �¥¤D���,���cD� !E� 5 �/ � �y� !�A & � ���p�/�,�D( c?� �,�I�/! � !Õ]Ö ¾.- 7 >

wyxa�*JLK�NM�� S?S?ŠY � � %���1 ��� c�&$� � � 9 %nc � !"� cD� ��D!-# � � � � & % # � � �D#�� � � 5 � �I�����/!���#�� 7 � � ��&,c ��� � � ����( �c{� � �*�b!/�

wyxa�*JLK�NM�� S?S{Î8²r�`���¥���b#��$!"� u�u < A %��*1l� �/� 9 � � � ��� � 9 �� �*� ! > ²r�l����2! % !E�/���

� "kT� 5 Õ 7 s #¿� 5 k�� 5 Õ 7 �"k{� 5 Õ 7"7"k?� 5 Õ 7 s #6� 5 k�� 5 Õ 7 �"k{� 5 Õ 7"7 5=<D> @ % 7�/� &$� ���F�/�� � � ���g#���� � � ��� ��D��!�� � �/� � 9 !6� � �/��.!��,(*�D! �'� # � � � �V# � >35N� � �I� 4 # � �D!"� � ���¿���� � � � ���g#���� � �m+��g#�� � �,�/ # � �:# �1032 > 7

Page 49: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

������� � ��� ����� � ������#$�*�������"� <?@

§�¨��¥© ]^� ��� �Md�° ��� « � ­ � dT® ­i �����b� �¿�;�g�N���L���2�$! �Pc �$#�� 1 ��� ��� �/�� c � !�� cD& � ���¦� � (����/���� 9 �,��v!�� & ��#���� � c � !�� cD� �/D!�AF! � � !m� �# � �R+�� %`� �Æ� � c �/��!/!"� � � ��� ���� c � !�� , � 9 ��� ���� �'1 � � � � � ��1 !-! % !E�/��� 5=<?>,@�% 7 >�� � ! c ��#�� ��& � � c?� �"� � �D#��� �n# � �?!E�/� 1 #���� ��( �Xc � !"� c?� �"�/� � �p� � ���F��D�y#��/�,���$# �'&Dc?� �,�I�/!�A 9 D���/� #¿� 5 k��L��k?� 7 sZ#Z� 5 kT�'�"k?� 7 s f A � � � ��D��T³o656N��6,� �{��� > ��� k � �N�{³16�6\�C6 �,�T�0�$!��D�X!���� ���6c{� � �I�/! 9 ������ # � 5 k � ��k � 7 s f � ���� k � �N�T³o6�6\�C6 � �{�e� !F�/��2!"��� �'�c{� � �*�b! 9 ������ # � 5 k � ��k � 7 s fD>wyxa�*JLK�NM�� S?S?Ð$#�� c�&$� � � 9 % ��D��#��/�,���$# �'&6c?� �,�I�b! � �/� � �y������,�I�/���b!"�g#���� � � ��� ���� k�� oh� 1�& & # & � ��� � � � ��D�k?� oh� 1D&,& # & �,�D� >wyxa�*JLK�NM�� S?S?Q _ 1�c�c{� !��F�� � � �tcD� ���#�� � !/!"�g!W�/�� k � o�� 1�& & # & �,��� � � �yc{� � �*� 9 D� #b�� !   � �¿� #����,���$# ��&¥c?� �,�I� >ÏÌ � �# � � %*��1 ! �;%�� H ��1 �F���� � �/� � 9 �� �*�j� �F�� � � c{� � �I�b� 5N� �,�I� 4 # � �?!"� � ������D� � H � +*� � ��¤D���,��� � � ��� ��D�kT� oh� 1D&,& # & �,�D� � � �`&,�R� a � �3��D�D� � � �/��#��/� � �l+*��#�� � �,� / #��'�:#Z� 032 > 7wyxa�*JLK�NM�� SDzNLVÏÌ � �.# � � %���1 ! �;%�� H ��1 ��/�� � �/� � 9 D� ��� ! � �F�/��2#��/�,���$# �'&�c{� � �I�/!b�wyxa�*JLK�NM�� SDz¶O Y � �D!�� � �����D� �=��& &,� 9 � ��( �'1 � � � � � �*1 !3! % !"����� �=� � k � W f A k � W f 4

� "k � s \Ik � ¾ �Ik � � ¾ �bk � k �"k � s �k � ¾ ��k �� ¾ Ñ k � k � 5=<D> @�^ 75 k���� � ��k{��� �/� �=1 �D#���� � �D! ��� ��� �m�mÕ�A � !yH{� �=� �/� � �/��$!y�$!t� � �t��� c�& � #��p� &,% � � � �$# � ��� � ������ �=� �t�����! � a � �'�H��/��+R�,� % 7 >._ � 9 �� � �.�/�� k�� oh� 1�&,& # & � ����# � �D!�� !"�/! �'� 5 � 7 �/�� k{� o � �¥�$! � � � 5 � � 7 � !"��� � � (�I� & � ���m# � �D����#���� ��(��D� c?� �,�I��� � ���/�� k?� o � �¥� !�� � ���� c{� � �I�� � ���/�� kT� o � �¥� ! >wyxa�*JLK�NM�� SDzTS�O � �m! % !"����� 5N<D> @�^ 7 AZ¤D� � �/�� k � oh� 1D&,& # & �,�D� > 5\� � �*� 4 �p��# � �?!"�$!E�b! ��� � 9 � !"��� � � (�I� & �,���g!�A� 1 #b & � a �X���� k�� oh� 1�&,& # & � ��� > 7wyxa�*JLK�NM�� SDz{z _Ra ���/#bÆ�/�� c � !"� c�& � ��� 5 �=� � k � W f A k � W f 7 � � � ! a ���/#bÆ����m� 9 � � 1�& & # & � ����!�A 1 !��,�D(� �! {�������I�.# ��& ��1 �/! � � !/! 1 ��� � � U A � � � � > ²r� � �$# � �/�t����2#����,���$# ��&�c?� �,�I�/! >wyxa�*JLK�NM�� SDz?�}²r� %���1 �2! a ���/#b ��� �/�� c �/��+R� ��1 !0���¥���b#��$!"�*A � � � 9 !� � ���2+����"�/� # �'& 5 � �/��4 � �I� ��& 7 & � ����! � ���D� k � oh� 1D&,& # & �,�D� 5 k � oh� 1�& & # & � ��� 7 A � � �Æ�*���Æ� ��� � 9 �� �*� !� ������ �'cDc � �*c �/� � ��� � � ���g#��/� � � >�5\� � �*� 4 # � �D!"� � �����D�D� � � �/��#��/� � �l+*��#�� � �,� / # � �:# � 032 > 7wyxa�*JLK�NM�� SDzTÀ8²r� %*��1 �3! a ���b#b ��� ��D� c ����+R� �*1 !����¥���b#��$!"�g!�A %��*1 !� ��1D& � � +�� �=��1 �3����(�� � �D!�H �*1 � � � � H %� �¥�g! � � � � 1�& & # & � ���g! > ²r�P� � #b ��� �� � !"�*AZ# � �D!�� � ���0�/�� ¢�� �  D¢n�'�[#¿�n� � �T#Z� A � � � � � � 9 �¦& �p��� & � � �/� � 9c{� � �*�/�,�D(����eA����2A���� A � ����� � � � � � �$# � ���X��D� �'c�c � � �¥�,� � ��� � �,�/��#���� � � �'� ���� c � !�� , � 9 >wyxa�*JLK�NM�� SDz{ÅV²r� %��*1 ��! a ���b#b �'� �/�� c �/��+R� ��1 !����¥���b#��$!"�g!�A3# � � %��*1 ��� &,& 9 ��$#b8#��/�p�/� # �'&yc?� �,�I�/! � �/��'& c � c{� � �*�b!�A � � � 9 �� #b � �/� � �m��( � c?� �,�I�/!b� 5\� � �*� 4 �/��/��� � �/�l!"��� � � (�I� �=� � 9 � � � >�� �D�l�$! � ���,�R� ��'& c ���;� �m��( �ec?� �,�I� > 7§�¨�� � -Z®$¬ �Z® ¬/. ^� � ¬/2 ��� ^�T® ­�� �M���� & � !E�t���¥���b#��$!���!� � 9 !-�/ � �t��D�m# & � !�!��p¤{# � �/� � � �'�F�'& c ��� � �Æ� ����( �nc?� �,�I�/!t�$!t� � � �'& 9 �;% !y!E�/� � �,(**��o�=� � 9 � � � > ���,�D(*! � ���0! � ��� 9 � �3� � !�� ��� 9 ����WAD� ��! % !"����� 5=<?>,@�% 7 A # � � � � # � � � c ��� �¦& �,��� � � &,%�� �`������,�� �/( 1 �m���I�/! >wyxa�*JLK�NM�� SDzTÎ Y � �D!�� � �����D�2! % !"�����

� k � s & � Ë W�� <k � s & � Ë W � < 5=<D> @JH 7[y� � 9 ��c � !�� c?� �"�/� � �p� �=� ��/��2# � !"� 9 ������ S � s S � ] f�>

Page 50: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

< u ������������ ����wyxa�*JLK�NM�� SDz{Ð\[.� � 9 �mc � !"� c{� ����� � �,� �=� �-! % !"����� 5=<?>,@6H 7 � �l�/��2# � !"� 9 ������ S � s S � � f�>wyxa�*JLK�NM�� SDz{Q\[.� � 9 �Xc � !�� c?� �"�/� � �p� �=� ��! % !"����� 5=<?>,@6H 7 � �m����.# � !�� 9 ����/� S � Ys S � A S � ] f A S � ] f�>wyxa�*JLK�NM�� S�� L\[.� � 9 �Xc � !�� c?� �"�/� � �p� �=� ��! % !"����� 5=<?>,@6H 7 � �m����.# � !�� 9 ����/� S � Ys S � A S � ] f A S � � f�>wyxa�*JLK�NM�� S��6O  ���/� �=% �� � �.! % !"����� 5=<D> @JH 7 ! � ���$!E¤D�g!F���� � �� T���/���I��� �'& �g� 1D� �/� � �

"k`s�����k

9 ������ � s�� S � ff S ��� �

wyxa�*JLK�NM�� S���S8ÏÌ�p�/ k (�� +����lH % ! % !"����� 5=<?>,@6H 7 A & ���

� A � s Q¶k��]½ X k?�A � s � k � ½�;k � 5=<D> u f 7

� �gARH��/�,� , % A s����k A 9 ������ �$! �mu� ¦u � � �/���,�l# ��& & �g#���� ��(m��D�X# � � �n#�� ���I�/! ��� ! % !E�/��� 5N<D> u f 7 >¿Â ���/� �=%�� � � "A s� à � �������� A � 5=<D> u @ 7wyxa�*JLK�NM�� S��Tz  ���/� �=% �� � �.! % !"����� 5=<D> u f 7 # � �`H{�0��� 9 ���,�"�/���`�,�¦� � ��� � ��!"�-+��g#�� � � �=� �/� 4

� A �A � � s ��� � Q � � Ë W � < ½���� � X ��� Ë W � <

9 ������¦�/��Æ# � � �n#��,���*�b! � � � � � � � � �/� � ���/���/�m� ��� � H % �����H ��1 � ��� � % # � � � �,��� � �?! 5 # � � %��*1 (*�,+*� � ���� c�& �$#��,� �=� �/� 1�&$���=� ���D� ! � � c ��� � ���D#��;� 7 >wyxa�*JLK�NM�� S��{� Y � � %*��1�� ��!/#��/�,H{�e� �P� 1?�'& �p� � ��� +��e�������j!t � 9 �/��m��� � �D! �=� �/� � ��� � � � � �/�� c ����+I� ��1 !���¥���/#�� !�� ��& �/���b!F���� k o c � !�� , � 9 � � (�� +��y�����A?o c � !�� , � 9 �

§�¨��R§ � �p®$¬ � d � ° ��°�­ � ±²r�¦���¥���b#��$!�� u < ue%���1 ! � 9 �� � �.! ��& +I� ��( �m& � ��� � �� 9 � o � �,�����?!"� � � ��&��'1 � � � � � �*1 !! % !"����� �'� ���� �=� ���

"kls�����k 5=<D> u�u 75 9 D���/� � �$! �ju� �u � � ���/�p�l# �'& & � � �/��2�������h��´ ´ �¥�\����� 7 � !� � ! % � � 9 �0# � �`�/� 9 �/�p�/� ��� ! �=��& &,� 9 ! 4� s B à � ����� B ����3#��/�,���$# �'&¥c{� � �I��� !Z�/�� � �/�,(*�,�WA � � � �p�b! �'& c ���;� ����( � !"� � � 1 ! � � c ��� � ! � �e�/�� � � � ( � � �'& � & ���m���I�/! �'��� A� !� & &,1 !"��� � �/� � H % ���¥���/#�� !���! u � %i= u <If�>wyxa�*JLK�NM�� S���À  ���/� �=% �� � �3����2! ��& 1 ��� � �¶A¥�,�¦� � ��� � ��!"�-+��g#�� � � �=� �/�¦A �'� ! % !"����� 5=<D> u�u 7 � !

� k �k ��� s�� � � P �/�P ����� Ë W � < ½�� � � P �E�P ����� Ë W � < 5=<D> u � 7

9 ������F��D� P ! � �/�F� & �������I�/! ��� B]A � � � ���� S ! � ������D� � � � ( � � �'& � & ���m���I�/! ����� >35N� � �I� 4 # � > ���¥���b#��$!"� u < � > 7wyxa�*JLK�NM�� S��TÅ Y � �D!�� � ����! % !E�/��� 5N<D> u�u 7¶9 �,��j� ���,��� �'& # � � � �p�/� � �D!]! 1 #bm�� � ��A*�,���/���/��! �'� ! % !"����� 5=<?> u � 7 A%��*1 � +�� ���3s @ � � � ���.s fD>¿Â ���/� �=% �� � �

"k`s S � � P �/�P ��� � Ë W � < s S � k� � � ����D#��0� � � ���3�� � � ����kls S � k >

Page 51: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�����7�!� ��� � (���� ����(*�����*�l����"(L���)&'����"#$ < �§�¨��!+ ]^� � 2M�Md � d/2*­ �M� ® °�­;® 2 � `¿¯Md¥­;® «6¬���0�/��! 1�& � ��� �/�� &$� !"����¥���b#��$!"�X# � �lH{� 9 ���,�"�/���

5 � ¾ S ��� 7 ��kls f5 � �$!¿��D� u Xu � � ���I���,� % � � �/���,� 7 > ²r� � � � ���Z�� � � k �$!¿� � ���/��3� 1�&,& +���#�� � �Z��+���� % 9 ������ 5 9 ��$#b 9 �*1�& � H{� �� � ��D���H � ��� ��(�! �*&,1 ��� � � 7 AR����X� � �/���,� � �l���� & � � �- � !�� � H?�X� � �¥oh�,�R+����"�/�,H & �*A 9 D� #b % �,� & � !��/��0��� 1D� ��� � �

5 ����� ¾ S � 7 5 �R��� ¾TS � 7�¾ �R���1���E�.s f�� 5=<D> u < 7��� c � � #�� �¥1 �/� �=� � S � �$!���I�/�,�/� & %�� � �'& � ( �*1 ! � � �`% �,� & � !F����2! � ���X��� 1D� ��� � � >wyxa�*JLK�NM�� S���Î _ ��& +��n�g� 1D� �/� � � 5N<D> u < 7 5N� �,�I� 4 �,�e�$! � � 1D�*� � � ���$#j� � SW� ! ��& +��j�,� �=� � S 1 !"� ��(��/�� ���1� o�=� �/� 1D& � > 7wyxa�*JLK�NM�� S��TÐ}UW���

k 5 Õ 7 s � kT� 5Nf 7 Q Õk � 5Nf 7 X Õ � Ë � <

� � � +*���/� �=% �/ � ���D� !-! ��& 1 �/� � �l# � ���/��! c{� � � !�� �j��� �! {�������I��� �'& ��� 1D� ��� � � �'� �/�� �=� �/� 5=<?> u*u 7 AIH %�� ���/�,+R� ��(� � ��� c �/��!/!"� � � �=� �m����¦� � �/���,� � � � � !� � 9 �� � ������ c � � #�� ��1 ��� �'� ���� c �/��+R� ��1 !m���¥���/#�� !�� % � � &$� ! �� 1D��� � � ���$# 9 �,�� �`������� �'�h�b�j� � � � 5 � > � > A¥�/��0� �R� �/! � �/�t����2! � ��� � � � H � ��¦�g� 1?�'& S{7 >

§�¨�� � �?«b2 d��9�,® ¬ � d � d ����� «��W® ± d¥­;® «6¬���2� � � ���'� 6,� �{� �'��� ���N�=�;�`� !-� �n��c�c � � �R� � � �/�y�/��2H{�� � +R� ��1 � ��� �/��2(*������� ��& � � �¥o & �,��� � �.! % !E�/��� 5=<D> @ % 7� �l�/��0�����,(*IH ��1 �� �R�¥�n���¿� #����,���$# ��&�c?� �,�I�-H %��m& � ��� � �-! % !"����� >

wyxa�*JLK�NM�� S��TQV² � k �$! � #��/�p�/� # �'&Zc?� �,�I� �'� ! % !"����� 5=<D> @ % 7 5 �� � �t�$!�A #�� 5 k��L� k?� 7 s #Z� 5 k��L� k{� 7 s f 7 � � ���D� � ��+R� � �/� � � � � � � �����#��/�p�/� # �'&Wc{� � �I�-� !�� 5 �/ � �.�$!�A�� �.s8kT� ¾ kW� A � �tsvk{� ¾ k?� 7 # � � %���1 !� � 9 �� � �� ¤D�b!E��o � � � ��� �'c�c � � �¥�,� � ��� � �j� � ���� �¥% � � ��� #�! �'� ���� � ��+R� � ��� � �`� !

"� s � # � µ"· �/Ò 5 kW�;� kT� 7�7 # � µ�· �bÒ 5 kW�;� k{� 7"7# � µ"· �/Ò 5 kW�;� kT� 7�7 # � µ�· �bÒ 5 kW�;� k{� 7"7 � � �9 ������t��D�0� � ���/�p�l� & �������I�/! � �/�.�/�� cD� ����� �'&W� ���/�,+ � �/�,+*��! �'� ��D� �=1 �D#��/� � �D! # � � � � # � �wyxa�*JLK�NM�� S?À�L Y � �D!�� � ��� � �?#��X� � �/�y�/��2! % !"����� �'� ���¥���/#�� !�� u � @

� "kT� s$#�� 5 k��L��k?� 7 s \IkT� ¾ �Ik � � ¾ �bk��bk{�"k?� s$#Z� 5 k��L��k?� 7 s �k{� ¾ ��k �� ¾ Ñ kT��k?� 5=<D> u [ 7Y �'& # 1D& � ���t���� � ���/�,+ � �/�,+*��! ���# � 9 �p�/¦���g! c ��#��F� �jk � � � �`k � � �¥� ����2! � ��� 9 �,�� # � A � � � # ��& & �g#��3�/����� � �ju� �u � � ���/�p� � !� �l�/�� c �/��+R� ��1 !���R���/#�� !�� >

wyxa�*JLK�NM�� S?ÀWO _ % !E�/��� 5=<D> @�^ 7 � !0�����#����,���$# ��&]c{� � �*� 5 k � � k � 7 s 5Nf � f 7 >`_ 1 HD!E�/�p� 1 ��������g!"��+ ��&,1 ��!0� ���D�t� � ���/�p� %*��1�� H¥� � �,�D� � � �l���� c �/��+R� ��1 !F���¥���/#�� !���A � � � ! ��& +��t��� 1D� �/� � � 5N<D> u < 7 �=� ��/�� !� � ���/�p� >]_ � 9�� � ��H � �/ S ! � ��� c{� !��p�/�,+*� >]Y � � %��*1 ��� c�& � �,� 9 % �/��$!]��� � �D!¿�� � ����D�.#��/�p�/� # �'&¥c{� � �I� 5Nf � f 7 �$! � � ��&,c �c{� � �*���wyxa�*JLK�NM�� S?À{S 3� c � � �y�/�� c ����+I� ��1 !.���R���/#�� !�� �=� �.�/���#��/�p�/� # �'&Zc?� �,�I� 5 k � � k � 7 s 5Nf � Á � 7 >e_ � 9 �� � �H � �� S ! � �/�.����( � ��� +�� >�Y � � %*��1 ��� c�& � �,� 9 % ����$!��� � �D!F�� � �����$!3#��/�p�/� # �'&Tc{� � �*�-�$! � � � ����( �ec{� � �I�b�wyxa�*JLK�NM�� S?À?z Y � � %���1 !" � 9 A �=� �0! % !"����� 5=<?>,@g^ 7 AT�/ � �X�/��j#��/�p�/� # �'&�c{� � �*� 5 k � � k � 7 s 5 \ Á �?� f 7 �$! � �� ����( ��c?� �,�I�b�

Page 52: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

<�< ������������ ����wyxa�*JLK�NM�� S?ÀD� Y � � %���1 !� � 9 A �=� �-! % !E�/��� 5N<D> @�^ 7 AR�� � �3����2#����,���$# ��&�c?� �,�I�

k � s � ¾ � \� Ñ ¾ � � k � s Ñ \ ¾ � � Ñ ¾ � ��$! � �m�,�¥� �`�'& c ���;� ����( ��c?� �,�I�b�

wyxa�*JLK�NM�� S?À{ÀR[.� � 9 �/�� c � !"� c{� ����� � �,� ��� �/�� �=��& &,� 9 � ��(j! % !"�����

� "k � s �k � ½ k � ¾ k ��� k � � ½ k ����"k � s ¾ k � ½ �k � ¾ k � �\k � � ½ k �� ��=� � 5 � 7 �/���# � !�� (& f � � � 5 � � 7 �/���# � !�� � f�>�5\� � �I� 4 � � c{��&$� �y# �R� � � �,� � ���g!3�/��e�g� 1?� ��� � �?!-H{��# � ���"� s � 5 ¾ � � 7 A "� s ¾ @*> 7wyxa�*JLK�NM�� S?À?Å Y � � %���1 (�������� �'& ��4��.�/��X���g! 1D& �b! �'� �/�� c �/��+R� ��1 !F���¥���/#�� !��.� � ! % !"�����j! �'� ��D� �=�*&,& � 9 � ��(�=� �/�n� � "kT� s �kT�]½ k?� ¾ k�� È 5 � 7"k?� s ¾ kT��½ �k?� ¾ k?� È 5 � 79 ������ � s�� k � � ½ k �� AL��D� �=1 �D#��/� � �D!]È 5 � 7 � � � È · 5 � 7 � ���# � �I��� � 1D��1 ! �=� � � W f A*È 5Nf 7 s f � � � È · 5 � 7�� f�=� � � W f�>

§�¨�� � �m® °"2 ��� ­ � ­;®$± �²r� � ���$���/���L�h�z�"�N� ´�� �¥% � � ��� # �'& ! % !"�����¦A � � &,%�� ��� 1 �m��� � H & % � � � % + �'& 1 ��! �=� �yÕ q � Õ � � Õ � � ����� � �/��# � �D!�� � o���/� � AR� � (*���/���� 9 �,��`��D� � !/! � #�� � �/� � ��� �¥�h�t���¥³I������� k 5 Õ q 7 �"k 5 Õ � 7 �"k 5 Õ � 7 � �����

wyxa�*JLK�NM�� S?À{Î Y � �I��� � !"�6# � �I��� � 1D��1 !"o\�/�,����+����b! 1 ! � �$!/#��/������o\�/�,��� �¥% � � ���$# �'& ! % !"�����j! >Z� � 9 �=1 � �D� �����¥o� ��& �$!�����$! � � !"��� �D#��/� � �?� Y � �j����t! � ���y!"� � �/��o���� � �D!��,��� � � �=1 �D#���� � � � ���$!��-�,�lH � �� � # � �*�/�,� 1��*1 !"o\�/�,��� � � ���� �$!�#���������o���� ���0! % !"�����n�

§�¨��!� � ­ �M� d¥­ � ± d � °���2!"� � ����o���� � �?!"�,��� � � �=1 �D#��/� � �¦� ! 1 ! 1D��&,& % 9 �/�p������� � !����� �T��¦�\�r�b���¥�h�y´ � �¿A � ��¤?��� �¦� ! �=�*&,& � 9 ! 4

#�� ��� 5�� �:& 7 s8 5 Õ�� � � � Õ�� �'& 7 5=<D> u Ó 7wyxa�*JLK�NM�� S?À?Ð Y � � c�& ����� 4 # � q � 5�� �'& 7 s >

wyxa�*JLK�NM�� S?À?Q  ���/� �=% �� � �3����2!���# � � � # � �D!"�$!"�����?# % # � � � �,��� � �¦� � 9 ��� ��� ! 4# � ��� 5�� �'& 7 sZ# � � à ��� 5�� ½ � � # � ��� 5�� �:& 7"7

�=� ��� s f � @ �/u�� ����� ��� >

§�¨��!� -Z® � � «6®$¬¥­�°i ( � � �WA*���� ��1 � � � � � �*1 !]# � !"�3�$! ��� ! c ��#�� ��& � �I�����/��!"��A 9 ����/� # � ��� 5�� �'& 7 Ê # � ��� 5 & 7 K���5 B ��D�y! � ���3� �'cj�=� ���+*��� % !E�/� c G 7 >2i ���/�\�\�N���76 �Z�L�,�T� �¡� '-��T������ ���h��� ���h��� k ! � �/� !"¤D��! # � ��� 5 k 7 s k >mY �/�,���$# �'&Zc{� � �*�b! �'� ¤D�b!"��,����� � �/�X� ��c ! � �/�0# ��&,& � � ~ � �Z�L�,�T��� >

wyxa�*JLK�NM�� SDÅNL\[.� � 9 � (�� �'c �'� # � � � 5 k 7t9 �,�� k d Ç 5 � � %�� ��� %*��1 & � a � 7 >�i & ! ��� � � 9 ���� � � � ( � � ��&& �,���! s�k > ²r� � �$# � ���t����X¤D� c{� � �I�/! 5 �,� � � % 7 � � %*��1 �(*� ��c >

Page 53: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�������!� ���� � #X�� � � <R[

wyxa�*JLK�NM�� SDŶO _ 1�c�c{� !��3�� � ��AI(�� +���� � ¤�� c?� �,�I� k�d�Ç�� � � ! � ��� � � f A'��D�3¤D�b!E���,����� � ���3� �'c ! � �/� !"¤D�g!��D� �=��& &,� 9 � ��( 4 ���� # � � � 5 km½�� 7¿¾ k� ���� ] @�=� � �'& &�$ � $/] � > [y� �¥1 #��0�� � � k �$! � � � ����( �mc{� � �I� �=� � ��&,&6k q 9 �,���� � �j� �$!E� � �D#�� �m�'� k >-Y � � %��*1 ¤?� �� !"� ��� &$� �-# � � � �p�/� � � �=� � �'& c �mc?� �,�I�b!/�wyxa�*JLK�NM�� SDÅTS _ � 9 �/ � � � ¤�� c{� � �I� kÆd`Ç AZ! � ���$! �=% � ��( # � � � 5 k 7 s k AD� ! ��& ! ��� #����,���$# ��&�c?� �,�I� ���D# � � � >wyxa�*JLK�NM�� SDÅ{z Y � � %���1 !� � 9 �/ � � � ¤�� c{� � �*� k�d�Ç � ! ��& ! ��� #����,���$# ��&�c?� �,�I� ���D# � ��� �=� ��� W u �wyxa�*JLK�NM�� SDÅ?� _ 1�c�c{� !��t�� � � kÆd¦Ç �$! � #��/�p�/� # �'&{c?� �,�I� �'� ����0!���# � � � �,����� � ��� > �D��� # � � � 5 k 7 �$! �'& ! �m�#��/�,���$# �'&Tc{� � �I� ��� ����0!���# � � � �p�/��� � ��� � !" � 9 ����$! >35\� � �*� 4 %��*1 � +*� # � � � 5 k 7 s k � # � � � 5 k 7 � �;% ARH 1 �3����� �� � ��A�H{�0��� 1D��& � � k > 7wyxa�*JLK�NM�� SDÅTÀ _ � 9 �� � � � #����,���$# ��&Wc{� � �*� k d¦ÇV�'� ��D�2!"�g# � � � �,����� � ��� 9 ��$#b¦� !   � �3�'& ! �m� ¤�� c{� � �I�# � ���/��! c{� � � !�� ���mc ���/� �¥� �$#0!"� � �/�0!"�g� 1 ���D#��

����� � k6�:# � � � 5 k 7 � k6� # � � � 5 k 7 � kZ�:# � � � 5 k 7 � �����wyxa�*JLK�NM�� SDÅ{Å Y � � %��*1 !� � 9 �/ � � � #����,���$# ��&]c?� �,�I� k�d Ç �'� ��D������P�,����� � ����A 9 ����/�� � ! �lc ��� ���� 1 �eH{���gA 9 D� #bÆ�$!   � �-��& ! �n� ¤�� c?� �,�I�X# � �/�/��! c?� � � !F� �l� ��o c ����� �¥� �$#2!E� � �/�e!"�g� 1 ���D#��g� 5\� � �*� 4 9 % ��D���� c � !�� ! � � c �/� �m�g!3������;� 7wyxa�*JLK�NM�� SDÅTÎ Y � �D!�� � ��� �� o � �,�����?!"� � � ��&�� � !/#��/���/��o���� ��� ��% � � ��� # �'& ! % !E�/��� 5 kÆd`Ç � 7 � ��¤?��� � H % ��D��=��& & � 9 �,��(m¤D�b!"�"oh�p�/��� � ���t� �'c 4

#�� � � 5 k 7 s

�������� � k � ½ � � k � ½�� ���g½ � � k �k �k �>>>k � à �

�������� ����� u %����� �"!$#&% (' #)�+*-,.,�%/,�01%324#�56,�!$7.�4,�8�9:��!;# �=< ��%39$,��

� � s � � � � à � ½ � � � � à � ½���� �g½ � � à � � ½ � � �> 24#?�A@=#B*-9�0�7�%-2���%C%32�#D0�,=!E!$,�F/9$�4GH# �I< ��%-9E,=�A�J# ¤ �4#?K/�H56,=K-KL9 ' !$#MKL%-��%3#�KL# �I< #B��NB#O0�,=*P%3249:K/KL7JKL%3#?8 � 9$���J# � #Q�' 7SR �UT�

�������WVWV à �WV à �

���WV à � � �

��������F/24#?*3# � 9$K/���X��* ' 9�%-*-��*37SNB,���KL%-���=% �wyxa�=YLK�NM��[ZDÅ{Ð]\.< 5456,=K3#O%-2���%^%324#K37.KL%3#?8_,�0;%32�#D54*-#[email protected]$, < K`# � #B*aN&9:K3#b9$KP8�,J�J9 ¤ #?�S�=Kc0�,=!E!$,�FbK?d�%-, ' #?N&,=8�#�4,=� o � < %3,=�4,�8�, < K T

# V.e � � � � k � s

�������� �bkT��½ � ��k{��½�� � �;½ � � k � ½�f S Vk �k �

���k � à �

� ������ ����� u�g �

Page 54: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� Ó ������������ ����F/9E%32 ��� ���4�J9E%39$,�� ��! '\�;����� ��:P�h�b�/´ f S V �  #B*-9E0�7 %32���%%324#+0�,�!$!$,�F/9E�4GA# �I< ��%39$,�� �J# ¤ ��#?K�X5 ,IK3K39 ' !E#�K %a��%-#K3# �I< #B� N&#M0�,�*C%-249$KOKL7JKL%3#B8 � 9$���J# � #Q� ' 7AR �UT

�������f S V � � Á � S � ¾ � � S � à � ¾ � � S � à � ¾ � � � ¾ � � �f S V à � � � Á � S � ¾ � � S � à � ¾ � � S � à � ¾ � � � ¾ � � �f S V à � � � Á � S � ¾ � � S � à � ¾ � � S � à � ¾ � � � ¾ � � ����f S V � � Á � S � ¾ � � S � à � ¾ � � S � à � ¾ � ��� ¾ � � �

�������� �

wyxa�=YLK�NM��[ZDÅ��V² 0 k�� � R � �J#?�4,�%-#?Kb%324#+K %a��%3#HKL# �=< #B��NB#)G�9$@�#?� 9E� # � #B*aN&9:KL# u Ó4% ��� � k���� � R � �J#B�4,�%3#QK/%32�#KL%-��%-#DK3# �I< #?��N&#DG�9$@�#B�"9E�A# � #B*aN&9:KL# u Ó g dIK324,�F %32 ��% k�� � R � ½ ��k��� � R � d.F/24#B*-# � 9$KP���A��* ' 9�%-*-��*37�N&,=��KL%-���I%Qd9:K/��!:KL, �+5 ,IK3K39 ' !E#�KL%-��%3#)K3# �I< #B� N&#M0�,�*bK37JK %-#B8 � ��� u�g � �wyxa�=YLK�NM��[Z?Î�LV² � N&,=�I%39$� < , < K o %-9E8�#X�J7.����8�9:NBK?dc7�, < #B��NB, < �I%-#B*H%3#B*-8 K !$9��# Ë W < F/24#?*3# S!� � 8�#?��� K� # � 5���� �J9E��G � ��K Õ 9$��N&*-#?�=KL#QK � F/249$!E# S ] � 8�#?����K � K324*-9E��I9$�4G � � � F/2�#B*-#?��KH9$� �J9:K-N&*-#&%3# �J7.����8+9:NBK?dc7=, <#B� N&, < �=%-#B*A%3#?*38 KA!E9��# S < dOF/2�#B*-# S ��� 8+#Q����K � # � 5���� �J9E��G � ��K Õ 9E��NB*3#Q��K3#?K � F/249$!E# S ] � 8�#?��� K� KL24*-9$��.9E�4G � � � � ,�F N&,�8�#C%-24#ON&*-,=K-K o ,�@=#B*1,.N?N < *aKc��% 4 #?*3,�9$� ,��4#bN?��K3#�dI����� ��% < �49E% 7H9$��%32�#b,�%-24#B* � � � 9$�I% T%32�#�* < !$# Ë � s � Ë �

� 8�9$G�2I%b24#?!E5 � �wyxa�=YLK�NM��[Z?Î���� ,���K39$�4#B*� � o �J9$8�#B��K39E,=����!1�J9:K3NB*3#B%3#H�47I� ��8�9$N?��! KL7JKL%3#?8 � k�� Ç�� � �J# ¤ �4#?� ' 7X%-24# 0�,=! o!$,�F/9E�4G ¤ *aKL% o 9�%-#B*a��%3#M8 ��5 T# � � � � k � s

����Q¶k � ½ � k � ½ � k Ä ½ � k �� k �� k Ä� k �

����� � ����� u HI� #B*-9E0�7S%32�#0�,�!$!E,�F/9$�4G+8���%3*-9 � # �I< ��%-9E,=� T����

Q � � �� � � �� � � �� � � �

�����V

s����Q V � S�� �� �S �� � S�� �� �S �� � S�� �� �S ��� � V � �� � � V �� � � � V

�������� �"24#?��N&#�G=9E@=#����X# � 54*-#?K-KL9$,��"0�,�*C%32�#)K %a��%3# o %-*-����K39�%-9E,=�S0 < ��N&%39$,�� �§�¨p©�� 6­�«b2��Md�°�­;® 2 � ��¬Md�±Æ®t2I°\ ,X0 ��*Qd FP#�2�� @�#H%32�, < G=2=%),�0`%-24#SK %a��%-#��=K�� �=< ���I%39E% 7 F/249:Na2 NB��� dW9E� 54*-9$��N&9$54!$#S��%�!E#Q��KL%?d ' # , ' KL#?*3@=#?���%��!$! �J#QKL9$*-#?� 56,�9$�=%aKO9$� %-9E8�# � > 2 < KBd69E0c%324#H8�#?��K < *-#B8�#B�I%O,�0 %324#�K %a��%-#)9$K & ��%O%39$8+# Õ s Õ q d %324#?� %32�#KL%-��%-#%3*a����K39E%39$,��A0 < ��NU%-9E,=� 54*-#?�J9:NU%aKC%32���%/%324#HK %a��%3#�8�#Q��K < *3#?8�#B�I% � ,�* � % ���b�d8����N�=�;� � ��%/%39$8+# Õ s Õ � F/9$!E!' #"! � Õ � Õ q��'& � � Ï #)K-� 7 %-2���%/%-24#)�J7.����8�9:NBKC9:K �R�;�r�b�/´��,���$���N�\� �# 7 NB,��I%3*a��KL%?d^%324# KL%-��%3# 9$� � ���r��� �'���N�\� �J7.����8�9:NB��!OKL7JKL%3#?8 9:KS�4,�%"��� , ' K3#B*-@�� ' !$# @���! < #�d ' < %X�54*-, ' � ' 9$!E9E% 7"�J9:K %-*39 ' < %-9E,=� � > 2 < K?d.%324#)KL%-��%3#)��%C%-9E8�# Õ �J,.#?KC�4,�%bG�9$@�#M%324#�@���! < #,�0 K3,�8�#G�9$@�#?� �I< ���=%-9�% 7,�09$�=%-#B*-#?KL%"��% Õ d ' < %"9E� K %-#?��� K35 #QN&9 ¤ #?KS54*3, ' � ' 9E!$9$KL%39:N �I< ���I%-9�%-9E#QKBdCK < Na2 �=K�%32�# 54*-, ' � ' 9E!$9E% 7 %32���%S%32�#�I< ���I%-9�% 7S,�019$�I%3#?*3#QK %/9:K/KL8 ��!$!$#B*C%32 ��� KL,=8�#M5�*3#Q�J# ¤ ��#?�A@ ��! < # �wyxa�=YLK�NM��[Z?Î6Z$� ��� 7�, < � < KL%39E0�7 %32�# N&!:��9$8 %32���%[�J#&%-#B*-8+9$�49:K %-9$N K37JK %-#B8 K ��*-# � < K % K35 #QN&9:��!)NB�=KL#QKX,�0KL%3,JNa2���KL%39:NKL7JKL%3#?8�K � � � 9E�I% T %3249$��A,�0 �J#BG=#B�4#?*-��%3#�J9$KL%3*-9 ' < %39$,�� K � �wyxa�=YLK�NM��[Z?Î?z%� ,���K39$�4#B*C%32�#)K %-,.Na2 ��KL%39:NDK37JK %-#B8 K356#?N&9 ¤ #Q� ' 7 %-24#0�,�!$!$,�F/9E�4G KL%-��%3#M%3*a����K39E%39$,�� T

k � � Õ � � s Ë Ã W M < � Ã < > N�&')( q k ' � Õ q �

/ S � Õ � ¾ Õ q � 0 � à '� � ¾+* � ( ����� � � �

Page 55: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

��� � �E� ��� ������� ���l������)(���� &')(*��"#$ � %0�,�* � s � � � �/u¥� ��� ����� � � , < 8 � 7H9E�I%3#?*35�*3#B% k � � Õ � �=K %324#O54*3, ' � ' 9E!$9�% 7 %32���%^� �I< ���I%-9�% 7H,�0;9E�I%-#B*-#?KL%`��K-K < 8�#QK%32�#+@���! < # � ��%M%39$8�# Õ � i NBNB,�*a�J9$�4G�!$7 k � Õ q � 8 < KL%)K3��%39:K 0�7X%32�#�NB,����49�%-9E,=��K k � � Õ q � W � K � d�� ,� ( q k � s � �\ 24,�F %-2���%Qd < ���J#?*PKL%-��%3#D%3*a����K39E%39$,�� � ��� � � � d�%-24#�K %a��%-#D��%P%39$8�# Õ � ��!:K3,HK-��%39:K ¤ #?K`%324#QKL#MN&,=���J9E%39$,���K � 2�#B��NB#N&,=��N&! < �J#H%32 ��%%324# KL%-��%3#+*3#?8���9E� KM�A@���!$9$� 54*-, ' � ' 9$!E9E% 7 �J9$KL%3*-9 ' < %39$,�� ��KM9E%�9$KNB��*3*-9$#?� 0�,=*3FC��*a�4KD9E� %39$8�#' 7 %32�#%3*a����K39�%-9E,=�"0 < ��NU%-9E,=� � �wyxa�=YLK�NM��[Z?ÎD�  #B*-9�0�7 %32���% %324# KL%-��%3# %-*-����KL9E%39$,�� � ��� � � � K-��%-9$K ¤ #?KX%-24# ¤ *aKL%[N&,�� KL9:K %-#B��NB7 N&,=���J9E%39$,�� �� � 9E�I% T KL#?## � #B*aN&9:KL# � H � %3,�*3#?8�9E���X7=, < *aKL#?!�0 ,�01%324#)�J# ¤ �49E%39$,�� � �wyxa�=YLK�NM��[Z?Î{À$� ��� 7�, < @�#B*-9E0�7�%-2���%A%324#[KL%-��%3# %-*-����K39�%-9E,=� ����� � � � K3��%39:K ¤ #?K %-24#[K3#?NB,���� NB,���K39$KL%3#?��N&7N&,=���J9E%39$,�� � � � 9$�I% T K3#B#M# � #B*aN&9:K3# � H � %-,+*-#B8�9$���S7=, < *aK3#B!E0W,�0 %-24#��J# ¤ �49�%-9E,=� � 7�, < 8 � 7 ¤ ���S%324# ' 9$�4,=8+9:��!0�,�*-8 < !$��d � �t½ � � Vjs � V� ( q�� R ��� �.V à � � � d�24#B!$5J0 < ! � �wyxa�=YLK�NM��[Z?Î?Å%� ,���K39$�4#B*C%32�#)K %-,.Na2 ��KL%39:NDK37JK %-#B8 K356#?N&9 ¤ #Q� ' 7 %-24#0�,�!$!$,�F/9E�4G KL%-��%3#M%3*a����K39E%39$,�� Tk � � Õ � � s ,&

')( �k ' � Õ q � � * � � # � 5 E ¾�S � � Õ � ¾ Õ q � F � �3¾ # � 5 E ¾�S � Õ � ¾ Õ q � F � ' à � ����� � � �0�,�* � s � � � �bu¥� ��� ����� �  #?*39E0�7 %32 ��%/%32�# ¤ *-KL%ON&,=��K39$KL%3#?��N&7SNB,����J9E%39$,�� 9:KC@�#?*39 ¤ #?� �wyxa�=YLK�NM��[Z?Î{Î \ 24,�F %-2���%OKL%-��%3#M%3*a��� KL9E%39$,�� ��� � � � � 2���KP%-24#0�,�!$!$,�F/9E�4G�,=8+#?G=�H5 ,=9E�I% T

k"`s��������

���

� ���� �

§�¨p© � ]^� � � °'® °�­�D¬/2� a�¯�¬/2�­;® «Z¬Ï 249$!E#`%324#CKL%-��%-#c,�0��DK %-,JNa2���KL%39:Nc�J7.����8+9:N`K37JK %-#B8 9$K1�/54*-, ' � ' 9$!E9E% 7�J9$KL%3*-9 ' < %39$,�� d %324# �=< ���I%39E% 7,�0J9E�I%-#B*-#?KL%9:K < K < ��!E!$7 %a� =#B� %-,),JNBN < 5I7 � < �49 �I< #=dJ�J# ¤ ��9�%-#DKL%-��%-#O@���! < #M��%P���.7HG=9E@=#B� 8�,�8�#B�I%P9E� %-9E8�# � FP#DK-� 7H%32���%%32�#�8+#Q��K < *-#B8�#B�I% � , ' KL#?*3@���%39$,�� � 9$KO�J,��4#,=� ��� � �D��� �'�{�\� ���N�=�;� ,�01%324#�KL%3,JNa2��=K %-9$NK37.KL%3#?8 �\.< Na2 ��� 9E��KL%-���I%39:��%39$,�� N?��� ' #H�J#QK3NB*39 ' #Q� ' 7A%32�# �Z���/���$���r�b������'r³'���g�N�=�;� Ä F/249$Na2 �4#?K-N&*-9 ' #?KC%-24# � 5 #?* oK39$KL%3#?��N&# %-9E8�# � K35 #?�=% ' 7 %32�#"9$��K %a���I%39:��%-9E,=� ,.N?N < 5.7.9$�4G %32�# � %32 KL%-��%-#S@���! < # � 8�,=*3# 54*-#?NB9$K3#B!$7�d� � � Õ � Õ q ��J#?�4,�%-#?KD%324#�54*-, ' � ' 9$!E9E% 7X%32���%)���[9$��KL%-���=%-9$��%39$,�� F/249$Na2(��K-K < 8+#Q� %-24# � %-2 @���! < #���%M%39$8�# Õ q F/9$!$! *3#B%-��9$�%32 ��%b@���! < #���%b!$#?�=K % < �I%39$!;%-9E8�# Õ � F/24#?*3# ÕXW Õ q � �wyxa�=YLK�NM��[Z?Î?Ð]\ 24,�F %-2���%/%-24#�56#B*aKL9:K %-#B��NB#M0 < ��NU%-9E,=� 8 < KL%OK3��%39:K 0�7S%324#0�,=!E!$,�F/9E��G+5�*3,=5 #?*L%-9E#QK T � � Õ � Õ q � � / � � � 0 � � Õ � Õ � s � � e µ"· �/Ò � Õ � Õ q � & � �

� � 9E�I% T %324#�56#B*aK39$KL%3#?��N&#2��=K ' #?#B� �J# ¤ �4#?�A%3, ' #)��54*-, ' � ' 9E!$9E% 7 � �§�¨p©T© ]^�T�Md� d � � � d¥­�> 24# � �'���m� ���h� 9$K/�4# ¤ �4#Q� ��KP0�,�!$!$,�FbK T� � Õ � Õ q � s ¾ � e µ�· ��Ò � Õ � Õ q � � � Õ � Õ q � ����� �*u �wyxa�=YLK�NM��[Z?Î��]\ 24,�F %-2���% � � Õ � Õ q � W � 0�,�*O��!E! ÕXW Õ q �wyxa�=YLK�NM��[ZDÐNL%� ,���K39$�4#B*"��� � #?��KL#?8 ' !$# � ,�0�� 9$��K %a���I%39:��%-9E,=��KS��!E!M��K-K < 8�9$�4G %32�# � %32 KL%-��%-# @���! < #[��%%39$8�# Õ s Õ q � � ���A7=, < ��*-G < #MF/2.7"7=, < N?��� F/*-9�%-#"� � Õ � s ¾ � � Õ � Õ q � � � Õ �54*-,�@.9$�J#Q�S%-2���%�� 9:KC@�#B*-7S!:��*-G�# � � � 9$�I% T %-24#�!$� F ,�01!$��*3G=#M� < 8 ' #?*-K � �� � |t�wj�higdjCkbg�{}�B82?���0�*,+�0���0 = ������;<.�= 0�6�; rtg ~"f7{}|tr u�� s�jqg"u9pwjq|!{}g>x�u9a>c-���8���0 ��6�8�rtg �>rtjq�*c�x>rtsl{}|!{}�>�d|trtsC{�u9rtjqg>�l�

Page 56: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� g ������������ ����§�¨p© � ]^�P¬�« 0 ± ?±l« � � �M� « � � ­ �² � 8 ���.7 ��545�!E9:NB��%39$,���K?d4%-24# 2�� 4 ��*-�A0 < ��N&%39$,�� 9:KM� < %-,��4,=8+, < K/9$� %32�# 5���*L%-9$N < !$��*OK3#B��K3#�%32 ��%D9E%M�4#B56#B���4K,���!E7S,=�"%-24#%39$8�#�%32 ��%/2���Kb# � 549$*3#Q�AK39E� N&# Õ � � > 2 < K T� � Õ � Õ � � Ê � � Õ ¾ Õ � � ����� � � �F/24#?*3#M%32�# � ,��A%324#�*-9$G�2I%/9$K/�H0 < ��N&%39$,�� F/9E%32 ��KL9$�4G=!E#���*-G < 8+#?�I% �wyxa�=YLK�NM��[ZDÐ �=(���� ,T1y� 1=, Y��90�8 � ,=��K39$�J#?* % FP, 9E� �J#B56#B���4#B�I%(9$��KL%-���=%-9$��%39$,���K #B�I%3#?*39$�4G %-24# � K %a��%-#@���! < # ��% �J9:K %-9E��N&% %39$8+#QKBdD%32�# ¤ *aKL% ��% Õ � ����� %-24#(K3#?NB,���� ��% � !:��%-#B*X%39$8�#�Õ � � \J< 5456,=K3#[%-2���% %32�#2�� 4 ��*a� *a��%-#?KO0�,�*M!E#Q� @I9$�4G"%324# � %32 KL%-��%3#+@���! < # ' ,�%-2 2�� @=# 2�� @=#)54*-,�56#B*3% 7 ����� � � � �����[��*3#H9$�J#?�I%39:NB��!10�,=*��!$! Õ�W �Õ � � �����;d ¤ ����!E!$7�d4K < 5456,=K3#b%-2���%P%3249:KC9:�J#B�I%39E% 7 ,�0 2�� 4 ��*a��*-��%3#?K^9:K`%-* < #D*-#BGI��*a�J!E#QK3K`,�0W%-24#Na24,�9:N&#D,�0%32�#OKL#QN&,=���+9E��KL%-����N&# �Õ � � ² �J0�#B*c%32���%c%324#O2�� 4 ��*a�H*a��%-#/9$K`N&,�� K %a���I%?dI������24#?��N&#DKL24,�F�%32���%c%32�#b5 #?*-K39:K %-#B��NB#0 < ��N&%39$,���K)0�,�*�%-24#S% FP, 9$��K %a���I%39:��%-9E,=��K)��*3# # � 5 E ¾�S � � Õ ¾ Õ � � F ����� # � 5 E ¾�S � � Õ ¾ �Õ � � F � � � 9E�I% T *-#BF/*-9�%-## �I< ��%39$,�� ��� � �Iu � ��K " � ¾�S � ����� K3,�!$@�#D%3249:K/# �=< ��%39$,�� � �wyxa�=YLK�NM��[ZDÐ Z  #B*-9�0�7(%32 ��%+%324# � @�#?*-��G�#�5 #?*-K39:K %-#B��NB#S%39$8�#S0�,=*+��� # � 56,��4#?�=%-9$��!^56#B*aK39$KL%3#?��N&#"0 < ��NU%-9E,=� � Õ � Õ � � # � 5 E ¾�S � Õ ¾ Õ � � F 9$K � Á S �b� � 9$�I% T 7=, < 2�� @�#M%3,�#?@ ��! < ��%3# � <<?> � ¾�S � # � 5 E ¾�S � ¹ ¾ Õ � � F Ñ ¹ � �wyxa�=YLK�NM��[ZDÐ{z]\.< 5456,=K3# %32 ��% ���M9$��KL%-���=%-9$��%39$,��F/9$!E!IN&#?�=KL#1%-,b*3#B%-��9E�M%32�# � %-24#`KL%-��%3# @���! < #`��%;%324#c8�,=8+#?�I%F/24#?�X#?9�%-24#B*O,��4#�,�0 % FP, � %-#B*-8�9E����%39$�4G � #B@�#?�I%-KC2���545 #?��K � � ��!$!;%-24#?K3#�#B@=#B�I%-K���� ��������� � � O4< *3%324#?*38�,=*3#=dK < 5456,=K3#�%32���%O%-24#)%-9E8�# < �I%-9E!���� 2 ��5456#B��KO9$KO# � 56,��4#?�=%-9$��!E!$7 �J9$KL%3*-9 ' < %3#Q� F/9E%32 5���*-��8�#&%3#?* � d ��� �X%32���%%32�#C%39$8+# < �=%-9E!�� � � 9:Kc��!$K3,D# � 5 ,=�4#B�I%39:��!$!$7 �J9:K %-*39 ' < %-#?�+F/9�%-2�5���*a��8�#&%-#B* � � � � ���+7�, < K324,�F %-2���% %-24#C%39$8�#< �I%39$!�#?9�%-24#B*�� � ,�*�� � � d�� �R�N£������L��� �.� � �D�� D¢��]�b¢�� d�9:K # � 56,��4#?�=%-9$��!E!$7 �J9:KL%3*-9 ' < %3#?��F/9E%32 5 ��*a��8�#&%-#B* � ½� � � �� #?��N&#/�J#Q� < NB#C%32���% S � � ½ � � �C� � 9E�I% T 7�, < ��*3#C��K)�#Q��%-,N?��!:N < !:��%-#P%324#/�J9:K %-*39 ' < %-9E,=�H,�0 %-24# ���¡ ?�¡���¥�,�01% FP,H# � 56,���#B�I%39:��!;@���*-9:��%3#QK � �wyxa�=YLK�NM��[ZDÐ?�<Q ���J#?* %324#b�=K3K < 8�5J%-9E,=��K ,�0 %324#/54*-#[email protected]$, < K1# � #?*-NB9$K3#�d�K324,�F�%32���%1%-24#C0�,�*-8 < !$� � Á � � ½ � � �G�9$@�#QK^%324#�54*-, ' � ' 9$!E9E% 7S,�0����6%-#B*-8+9$����%39$�4G+%324#�*-#?K39$�4#B��NB#M,�0 %-24#�9$��K %a���I%39:��%-9E,=�A9$�X%324# � %-2XKL%-��%3#�@���! < # �wyxa�=YLK�NM��[ZDÐTÀ$� ��� 7=, < G�#B��#B*a��!$9 4 # %32�# *-#?K < !E%-KX,�0)%-24# 54*-#[email protected], < K"% F^, # � #B*aN&9:K3#?K"%3, %324*-#B#(,�* 8�,�*-#%3#?*38�9$����%-9E��G+#?@�#?�=%aK �wyxa�=YLK�NM��[ZDÐ{Å%� ,���K39$�4#B*b���X#B� KL#?8 ' !$#,�0 � � 9$��K %a���I%39:��%-9E,=��K?dJF/9�%-2 ���A# � 5 ,=�4#B�I%39:��!$!$7"�J9:K %-*39 ' < %-#?�X5 #?*��K39$KL%3#?��N&#O%39$8+#=dI%32���%P2�� @=#/%32�# � %32"KL%-��%3#D@ ��! < #M��%`%39$8�# Õ � %32�#D9$��KL%-���I%-9$��%39$,���K`�4#B#Q�S�4,�% ' #DK37I� Na24*3,=�49 4 #?�Wd%32 ��%D9:K?d�%-24#B7 8 � 7 2�� @�#�#?�=%-#B*-#?�X%-24# � %-2[K %a��%-# ��%�J9 #B*-#B�I%D%39$8+#QKO9$� %-24# 5��=K % � � ,=�4#&%-24#B!$#?K-K?d 7=, < NB���KL%39$!E!WF/*-9E%3# "� � � Õ � ¾�S � � � � Õ �� 0�,=*b!:��*-G�# � � � F/24#B*-# � Á S � 9$KC%-24# � @=#B*a��G�#M56#B*aKL9:K %-#B��NB#%39$8�# � � ��� 7�, < # � 54!$��9E� F/2.7 � � � 9$�I% T N&,�8 ' 9$�4## � #?*-NB9$K3#?K u�g � ����� u�g � � �§�¨p©{§ �v2�2*«Z¯�¬¥­;®$¬/. aE« � dW¬ �D­ � d ®$¬ & ¯ �² �A%324#�!:��KL%/# � #B*aN&9:KL#=d.F^#9$G��4,=*3#Q� %32�#�5 ,IK3K39 ' 9E!$9�% 7",�0 9$��KL%-���=%-9$��%39$,���K/�=K3K < 8�9$�4G %-24# � %32 K %a��%-#M@���! < #���0 %3#B*%39$8�# Õ � %32�9$K! 39E� ,�<¥�#" ,�0 9$��KL%-���=%-9$��%39$,���KC9:K/*-#B54*-#?K3#B�I%-#?� ' 7"��K3#?NB,����"%3#?*38 T

"� � � Õ � ¾�S � � � � Õ � ½%$ � � Õ �F/24#?*3# $ � � Õ � 9:KM%324# *a��%-#���%�F/249$Na2 9$��KL%-���I%-9$��%39$,���K��=K3K < 8�# %-24# � %32 KL%-��%-#�@ ��! < #S��%%39$8�# Õ � ² � G=#B�4#?*-��!$ � � Õ � �J#B56#B����K^,=�S%-24#D� < 8 ' #?*-KP,�0W9E��KL%-���I%39:��%39$,�� K � ����� %324#?9E*C56#B*aKL9:K %-#B��NB#O0 < ��NU%-9E,=��K � 9$�A��!$! ,�%-24#B*CK %a��%-#@���! < #?K * Y � �

Page 57: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

��� �!�!� �����v���� ��� ��������������b� �����@�"� � Hwyxa�=YLK�NM��[ZDÐTÎ \.< 5456,=K3#+%32���%M56#B*aKL9:KL%3#B� N&#H%39$8+#�9:KM# � 5 ,=�4#B�I%-9$��!E!$7 �J9:K %-*39 ' < %-#?�[0�,�*���!$! K %a��%3#+@���*-9$� ' !$#?K �\ 24,�F %32���%/%324#�G=#B�4#?*-��! # �I< ��%-9E,=�"%-24#B� ' #?NB,�8�#?K"� � � Õ � ¾�S � � � � Õ � ½ ,&

')( �� ' � S ' � ' ����� � � �F/24#?*3# � ' � 9$K�%324#S5�*3, ' � ' 9$!$9�% 7 %-2���% ��� 9E��KL%-���I%39:��%39$,�� �=K3K < 8�#?KM%-24# � %32 KL%-��%-# @���! < # F/24#B� 9E% N&#Q��K3#?KM%-,*-#&%-��9E�A%32�# * %-2 K %a��%3#@���! < # � � � � � 0�,=*b��!$! ��� �wyxa�=YLK�NM��[ZDÐ{Ð\Q ���J#?* %32�#O��K-K < 8+54%39$,���K ,�0 %-24#b54*-#[email protected]$, < K # � #B*aN&9:KL#=d��J# ¤ �4#�� 2 � ,� ( � � � � Õ � ��� �+K324,�F%32 ��% "� 2 � �/� � 9$�=% T ¤ *aK %/@=#B*-9�0�7 %-2���% � ,')( � � � ' � 0�,=*O��!$! � d4����� < K3#M%3249:KC0 �=NU% � �§�¨p© + ][d��D® ¬/. ­�� D¬�° D± _�� �p®$±Æ® ­

² � ����9:�J#?��!C#B��K3#B8 ' !E#=d %32�#X� < 8 ' #?*-K+,�0O9E� K %a���I%39:��%-9E,=��KH��*3#A9E� ¤ �49E%3#B!$7 !:��*-G�# � > , �J#?��!PF/9E%32 %32�9$K?dcFP#�4,=*38 ��!$9 4 # ' 7X�J# ¤ �49E��G � � Õ � � � � Õ � Á � 2 �wyxa�=YLK�NM��[ZDÐ��  #B*-9�0�7"%324#0�,=!E!$,�F/9E��GH54*-,�56#B*3%39$#?K T � � Õ � � / � � � 0 ����� ,&

� ( � � � Õ �F/249:Na2 #?KL%-� ' !E9:KL2A%32 ��%� 9:K/�+�49$K-N&*-#&%-#�54*3, ' � ' 9E!$9�% 7S�49$KL%3*-9 ' < %39$,�� �wyxa�=YLK�NM��[Z��NL\Q K3#�# �I< ��%-9E,=� � ��� � � � %-,�, ' %a��9$�"%-24#0�,�!$!E,�F/9$�4G�# �I< ��%39$,�� T

" � ¾�S � � ½ ,&')( �

� ' � S ' ' � ����� � � �wyxa�=YLK�NM��[Z�� � #��I< ��%-9E,=� ����� � � � 54*-,�@I9:�J#QK;�CG�#B��#B*a��!�*-#?NB9E56# %3,/0�,=*38 < !:��%3#cKL%3,JNa2��=K %-9$N �47I� ��8�9$N?K � #[email protected]$#BF%32�#)��K-K < 8�5J%-9E,=��KC!$#?���49E�4G < 5X%-,H%-249:K/# �I< ��%39$,��Wd4����� �J9$K-N < K3KP%-24#B9$*/G�#?�4#B*a��!;��5�54!E9:NB� ' 9$!E9E% 7 �§�¨p© � ]^���;¯�± � 2M�Md�® ¬Ï #CN?������K-KL,JNB9$��%3#^�M�J9:K3NB*3#B%3#�� %-9E8�#/K %-,JNa2���KL%39:N^�47I� ��8�9$NCK37JK %-#B8 ' 7�0�,�*-G�#B%L%-9E�4GD%32�#C� < *-��%39$,��H,�0 *-#?K39:�J#B��NB#��� ��0�,JN < K-K39E�4GM,���!E7,�� %324# � � < 8�5�K � d�F/2�#B*-#P� � < 8�5H,JNBN < *aK F/2�#B�4#?@�#B* ���H9E� K %a���I%39:��%-9E,=� Na2�����G�#?K 9E%-K K %a��%-#@���! < # T � � Õ � � �J#B�4,�%3#QKP%324#54*-, ' � ' 9$!E9E% 7�,�0 ¤ ���J9$�4G %-24#9E� K %a���I%39:��%-9E,=�"2�� @.9$�4G %-24# � %32 K %a��%3#M@���! < # ' #B0�,�*-#%32�# � %32 � < 8�5 � > 2�#KL%-��%3#)K3# �I< #?��N&#9:KP%324#?� N?��!$!E#Q�A%324#�� ³'´-� � �'�,� �wyxa�=YLK�NM��[Z�� Z  #B*-9�0�7 %-2���%M%324# � < 8�5 Na2���9$�[��K-K3,.NB9$��%3#Q� F/9�%-2[# �=< ��%39$,�� ����� � � � 2��=Kb%-24#+0�,�!$!E,�F/9$�4G"�47 �����8+9:NBK T

� � Õ � � � � ,&')( �

� ' � ' � Õ � �F� ����� � ÓI�§�¨p© � ]^��� d � �L« " 2��MdT®$¬> 24# � < 8�5+Na2 ��9$�), ' %a��9$��K < ���J#?* %-24#CN&,�� �J9�%-9E,=�)%-2���% � � � � 0�,�* ��!$! � � *-#&%-��9E��9E�4GO%324#CKL%-��%-#^@���! < #C�J,.#?K �4,�%N&,=��KL%39E% < %-#C� � < 8+5 " � � � ,�FP#B@=#B*Qd 9�% 9:K ,�0 %3#?�H# � 56#?�49E#?�=% %-,D*-#B!:� � %-249$K *-#?KL%3*-9:NU%39$,�� d �����+��!$!E,�F� -K %a��%39$,�� ��*-7� < 8�5�K " � > 24#)KL%-��%3#�K3# �I< #B� N&#M0�,�*C%-249$K � K3!E9$G�2I%3!$7 � 8�,�*-#MG=#B�4#?*-��! @ ��*39:���I%C9$KONB��!$!$#?�X� � �L���R�E8�� �'�,� �wyxa�=YLK�NM��[Z��{z]\.< 5456,=K3#O%-2���%�X9$K`%324#KL%-��%-# � 9 � # � %-24#M�49$KL%3*-9 ' < %39$,�� � 0 ,�0 � | ��* �,�@+Na2���9$�SF/9E%32 �J9$K-N&*-#&%-#� < 8�5 �J7.����8�9:NBK � ��� � ÓI� � � #B% ' #)��KL%-��%-#F/249$Na2 K-��%-9$K ¤ #?K

� � � ' ' � ' � 0�,�*b��!E!W5 ��9$*-K � � � * � � ����� � %��\.< 5�5 ,IKL# %-2���% � Õ � � �9$8�54!$9E#QK� � Õ � � � � � � � 9E�I% T *-#?N?��!$!c%32�#S249$�=%+,�0b# � #?*-NB9$K3#�� g=g � K324,�F %32���% � � Õ � � � � � 0�,�*b��!$! � � �

Page 58: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� � ������������ ����§�¨p© � � *­ dT®�� 4��_Md���d�¬/2�> 24#(!$�=K %X# � #B*aN&9:K3#[KL2�,�FbKS%-2���% ��KL%-��%3#[F/2�9$Na2 K3��%39:K ¤ #QKS%-24# �R�;� �L�56¡�;� % �76 �L�W��� ��¥³ �¥�\�¡�L� ��� � � %�� 9:KX�KL%-��%-9E,=����*-7��J9:KL%3*-9 ' < %39$,�� � � | ��* �,�@ Na2���9E� 9:K ���L���{�g�g�h�;� 9E0�� K3#B*-9$#?K�,�0 � < 8�5�K?dC#?��Na2 F/9E%32 56,=K39�%-9E@=#54*-, ' � ' 9$!E9E% 7�d;# � 9:KL%-K ' #B% F^#?#B�(���.7 5���9$* � � � * � � KL,X#B9E%32�#B* � � '��%� d;,�*D%32�#B*-#+9:K��%!E#Q��KL%M,=�4# � · K < Na2[%32���%� � ��� ����� � ��� ' ��*3# ' ,�%32X5 ,IKL9E%39$@�#=dJ,�*^%324#?*3#9:KC��%C!E#Q��KL%C,=�4#M5���9$* � �

· � � · · � K < Na2S%32 ��% � � ��� ����� � ��� ��� � ����� � ��� � '��*-#���!$!;5 ,IKL9E%39$@�#=d4����� K3,+0�,�*3%32 �wyxa�=YLK�NM��[Z��?� \.< 5456,=K3# FP# 2�� @=# ��� #?��K3#B8 ' !E#H,�0 � 9$���J#?5 #?���J#B�I%9E� K %a���I%39:��%-9E,=��KbF/24,IKL# 54*3, ' � ' 9E!$9�% 7�J9:K %-*39 ' < %-9E,=� K3��%39:K ¤ #QKM%324#S�4#&%-��9E!$#?� ' ��!$����N&#�# �I< ��%39$,�� ��� � � %�� F/24#B*-#+%324# | ��* �,�@ Na2���9E�(9$K�NB,��4��#?NU%-#?� �� ,�� KL9:�J#B*b%324#0�,=!E!$,�F/9E��G �=< ���I%39E% 7�d4F/2�9$Na2 �J# ¤ �4#QK/24,�F 0�*3# �=< #B�I%3!$7",=�4#�,�0 %32�#?K3#)9E� K %a���I%39:��%-9E,=��K [email protected]:KL9E%-K "%32�# � %-2 K %a��%3#@���! < # T � !E9$8 ¼-,��

&� ( �

� � � Õ � � ����� ��g �F/24#?*3# � � � Õ � � � 9�0 %-24# K3#B!$#?NU%-#?� 9$��KL%-���I%-9$��%39$,�� 9:K/0�, < ���X%3,S2 � @�#%32�# � %32 KL%-��%-#)@���! < #)54*-9$,�*/%-,S9�%aK � %-2� < 8�5 � ����� � � � Õ � � � ,�%-24#B*-F/9:KL# � � � ��� 7�, < KL2�,�F %-2���% � 9 � %324# �=< ���I%39E% 7 � 9:K�%-24#"K-��8�# 0�,�* #B@�#?*379$��K %a���I%39:��%-9E,=� � ��� � � 9E9 � 7�, < 2 � @�# � � 0�,=*b��!$! � �§�¨p© � � � .T«��Z® 2D® ­ �> 24#H54*3,=5 #?*L% 7 � � � 3� @=#B*a��G=#M,�@=#B*/%-9E8�# 0�,�*�SKL9$�4G=!E#)5 ��*3%39:N&!$# # �I< ��!$KD� @�#?*-��G�#,�@�#?*b5���*3%39:N&!$#?Kb0�,�*M�K39E�4G=!E#M%-9E8�# " � 9$K/��� # � ��8�54!$#,�0 ���l:������N�/�\� � �wyxa�=YLK�NM��[Z��TÀ8² �)%32�#`0�,=*3#?G�,�9$�4Gb# � #B*aN&9:KL#QKBd 9E% FC��K ��K-K < 8+#Q��%-2���% ,��4!$7��J#B� < 8�#?*-� ' !E#^8 ���.7)K %a��%-#`@���! < #?K�4#?#?� ' #`�J9:K %-9E�4G < 9:KL24#Q� � F/249:Na2)NB��� ' #c!:� ' #B!$!E#Q� � � � � � � �D� ����� � KL,C%-2���%1�/�J9$K-N&*-#&%-# 54*-, ' � ' 9E!$9E% 7D�J9:K %-*39 ' < %-9E,=�K < � N&#?Kb%3,XNa2���*a��N&%3#B*-9:KL#M%32�#HKL%-��%-# � � ��� 7�, < K)�#B%-Na2 24,�F 7�, < F^, < !:�X%-��N .!$#�%32�#HNB�=KL#�F/2�#B*-#�%324#+K %a��%-# *-#B54*-#?K3#B�I%-KC� £ �  ?�\�¡ �� � �R¢ �J9$KL%3*-9 ' < %39$,�� �

§�¨���� ª«6¬¥­ � «�!� 4� � ��¬MdW±Æ®t2*°� ,�� KL9:�J#B*P�H�49$K-N&*-#&%-# � %39$8+#M�J7.����8�9:NB��! K37.KL%3#?8 F/9�%-2A� ¤ �49E%3#K %a��%3#MKL# �I< #B��NB#� � Õ � � � � Õ � � � ����� � � Õ�� � �����%32�#S0�,�!$!$,�F/9E�4G 56#?N < !$9$��*39E% 7 T ��% #?�=Na2 %39$8+# Õ � d � £�� � �N£/� 9:KH8��=�J# ' #&% FP#B#?� % F^,[��!�%-#B*-����%-9E@=# � KL% 9E%3#B*a��%-#� KL%-��%3#�%-*-����KL9E%39$,�� � 8 ��5�K # ������ T 9�0 # 9$K)Na2�,=K3#B� ��%�%39$8�# Õ � d � Õ � � � � # � � Õ � �L� d F/24#?*3#Q��KM9E0� 9$KNa24,IKL#?�X��%P%-9E8�# Õ � d � Õ � � � � �� � � Õ � �L� � > 24#�9E��9�%-9$��!W@���! < # � Õ � � 9:K/G�9$@�#?� �wyxa�=YLK�NM��[Z��{Å]\.< 5456,=K3# %32 ��%S%-24# Na24,=9$NB# 9$K"8 ���J#[��%S*-�����J,=8 � � ��� 7=, < �J#QK3NB*39 ' # %324#[�=K3K3,JN&9:��%-#?�KL%3,JNa2���KL%39:N"�47I� ��8�9$N?��!CKL7JKL%3#?8 � � � 9$�I% T KL%3,JNa2��=K %-9$NA�J7.����8�9:N"K37.KL%3#?8 K+N?��*-*37 �[�49$KL%3*-9 ' < %39$,���0 < ��NU%-9E,=�0�,�*-FC��*a� 9E�(%-9E8�# � %32�9$KF/9$!E! 2 � @�#H%3, ' #�%-24# �J9:K %-*39 ' < %-9E,=�(,�0`%-24# K %a��%3#�,�0`%32�# 3��!E%3#?*3� ��%39$@�#+�J7.����8�9:NBK "K37.KL%3#?8 � �§�¨�� � ª«6¬¥­ � «�> ,S*3#?���J#?*/%324#+��!E%3#?*3����%39$@�#)�J7.����8�9$N?KO�J#B%3#B*-8�9E��9$KL%39:N�d �SK3# �I< #B� N&#),�0 Na2�,�9:N&#?K?d�,�0 %3#?�[NB��!E!$#?�X%-24# ���L�T�N���>6 dF/9$!E! 2�� @=#b%3, ' #�K35 #QN&9 ¤ #?�A��KP��0�,=*-NB9E�4G 0 < ��N&%39$,�� � > 2 < KPFP#O2�� @=# E A � F

� à �� ( � F/2�#B*-# A � � 9E���49$N?��%3#QK^%32���%8 ��5 # 9:KbK3#B!$#?N&%3#?�X��%/%-9E8�# Õ � d������ A � � 9$���J9:NB��%-#?KC%-2���%b8 ��5�� 9$KOKL#?!E#QNU%3#Q�A��%/%39$8�# Õ � �wyxa�=YLK�NM��[Z��TÎ8Ï 2I7X�J,.#?KP%-24# A ��K3# �I< #B� N&#M,��4!$7S�4#?#?�A%3, * < �A%3,�%39$8�# Õ�� à � �wyxa�=YLK�NM��[Z��{Ð]\.< 5456,=K3#O%-2���%C7�, < 2�� @=#O�)8 ��5� [�����S7�, < !E#B% A � � � � Õ � �L� � \ 24,�F ,=�S%32�9$KCK35 #QN&9 ¤ NB� �%39$,��X%-2���%/%-24#)�J7.����8�9:NBKC,�0 ' #?N&,=8�#?KC0 < !$!$7A�J#B%3#B*-8�9E��9$KL%39:N �§�¨��T© ª«6¬¥­ � «��d�° dP°�­ d¥­�� �4# ��5454*-,=��Na2 9:K %3,�*3#?G=��*a��%324# 0�,=*-NB9E��G KL# �=< #B��NB# ��K�%-24#[KL%-��%-#[K3# �I< #B� N&# ,�0)K3,�8�# ,�%-24#B*A�J7.����8�9:NK37.KL%3#?8 � %32 < K A # #QNU%39$@�#?!E7 ' #QN&,=8+#QK/��K %a��%3#�@���*39:� ' !$#M9E� 9E%-K/,�F/�X*39$G�2I% �wyxa�=YLK�NM��[Z����]\ 24,�F %32���%)%32�# � ��*L%-#?K39$��� 5�*3,J� < N&% " ,�0C%324#"% F^, �J7.����8�9$N?��!^K37JK %-#B8 K)��% 2���� � %324#?�0�,�*-8 K/� < K < ��!W�J#B%3#B*-8�9E��9$KL%39:N��J9:K3NB*3#B%3# � %39$8�#�KL7JKL%3#B8 �

Page 59: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�������/� # ������ ���T��� (*#$)���v#�� � �

§�¨�� � � � ­;® ± ® � � 2*«Z¬¥­ � «�� 8+,=*3#P9$�=%-#B*-#?KL%39$�4GOFC� 7M%3, ¤�� %32�#^0�,=*-NB9E��GDK3# �I< #B� N&#`9:K ' 7)K < 5�54!E7.9$�4G� � �¿�N� ´�� ��¥�N�=�;�����/�\�r�b�/�¡�L� T E A�� F �� ( �9:K %3, ' #OK < Na2+%32���%`�G�9$@�#B� � % � �g�g�N�w8;� 'r³'���g�N�=�;��� � E � Õ � � � A � F

� à �� ( � � 9:K 8�9E��9E8�9 4 #?� � O ,�* 8 ���I7H9E�I%-#B*-#?KL%39$�4G54*-, ' !$#B8 K?d.%324#�, ' � #?N&%39$@�#M0 < ��N&%39$,��X%-���#QKP%324#0�,=*38 ,�01� K < 8 dJ!E9��#)K3, T� � E � Õ � � � A � F

� à �� ( � � � à �&� ( �

� � � � Õ � � � A � � ����� � HI�F/24#?*3#FP#M2 � @�#�KL5�!E9E% � 9$�I%3, � � !$,JNB��! � NB,��I%3*-9 ' < %39$,���K � � �wyxa�=YLK�NM��Æz�LNL]\.< 5456,=K3#O%-2���%C%-24#O0�,=*-NB9E��GHK3# �I< #B� N&#M2���K ' #B#B�XKL56#?NB9 ¤ #?� < 5S%-, A � à � d.F/9E%32X,��4!$7 A � à �*-#B8 ��9$�49$�4G�%3, ' # �J#B%3#?*38�9$�4#?� � \ 2�,�F %-2���%D%3249:Kb�4#Q��*-!E7XN&,=8+5�!E#B%3#�0�,=*-NB9E�4GSK3# �I< #?��N&#=dJ%3,=G�#B%324#?*bF/9�%-2 %32�#9$�49�%-9$��! N&,=���J9E%39$,�� � Õ � � d��J#&%-#B*-8�9E�4#QKC%32�#)K %a��%3#�K3# �I< #?��N&# � Õ � � � ����� � � Õ � à � � d�F/9E%32 � Õ � � KL%39$!E! ,�56#B� �wyxa�=YLK�NM��Æz�L �RO ,�*C%-24#�54*-, ' !$#B8 ,�01%324#�54*-#[email protected]$, < KP# � #?*-NB9$K3#�dJ@=#B*-9�0�7S%32���%�

� Ã �&� ( �

� � � � Õ�� � � A � � ½ � � à � � � Õ � à � � � � � 0�,�* A � à � �

� � Ã �&� ( �

� � � � Õ � � � A � � ½ � � à � � � Õ�� à � � � � � 0�,�* A � à � �

��� �"24#?��N&#)K324,�F %32���%/%324#)�J9 #B*-#B��NB#M8 �=�J# ' 7 %324#)Na2�,�9:N&#���%C%39$8�# Õ�� à � 9:KÔ � � � à � � � Õ�� à � � � � � ¾ � � à � � � Õ�� à � � � � �F�

wyxa�=YLK�NM��Æz�L Z�O ,�*+%-24# 54*-, ' !$#B8 ,�0O%32�#X5�*3#?@I9$, < K % FP,(# � #B*aN&9:KL#QKBd^KL24,�F %32���%+%-24# ,�5J%-9E8 ��!bNa24,�9:N&#X9$KA � à � � 9E0 Ô � & � ����� A � à � � 9E0 Ô � � � �§�¨��{§ � � ­;® ± d���2���«¶®t2�² �X%324#�!:��KL%C0�#BF # � #B*aN&9:K3#?K?dI7=, < N&,=��K %-* < NU%3#Q�A��� � �¿�N� ´ �76�� T�;�\��� 'r³'���g�N�=�;�� � à � T

� � à � � & � � � 9�0 � � à � � &¥� � � & � � à � � &¥� � �� 9�0 � � à � � &¥� � � � � � à � � &¥� � � �

> 24# �#?7 9$�4#?�X9$KM�4,�F %3, ��545�!E7 %-24# K3��8�#H54*-,JN&#Q� < *-# %-, �4#&%3#?*38�9$�4# � � à � d ��� � FP,�* 7�, < *DFC� 7 ' ��N ��!$! %324#�FC� 7"%-, � � � > 24#B� A � � � � � Õ � �L� d A � � � � � Õ � �3� d �B�?� ����� %32�#��47I� ��8�9$N?KO2 ��K ' #QN&,�8�#H0 < !$!E7�J#B%3#B*-8�9E��9$KL%39:N �wyxa�=YLK�NM��Æz�L{z � #&%� � à � �J#?�4,�%-# %324# !:��KL%;% FP,C%3#B*-8 K;,�0 � T � � à � � � Õ�� à � � � A � à � � ½ � � à � � � Õ�� à � � � A � à � � �\ 24,�F %-2���%� � à � �  #�� �J#B56#B� �4Kb,=� � Õ�� à � � ����� A � à � � � � 9$�I% T A � à � �J#&%-#B*-8�9E�4#QK� � Õ�� à � � d %324*-, < G�28 ��5 Na24,�9:N&#������ K %a��%3#M%-*-����KL9E%39$,�� � � Õ � à � � 9$�X% < *-�X�4#&%3#?*38�9$�4#?K A � à � %-24*3, < G�2A%32�#�8���5 � � à � � �wyxa�=YLK�NM��Æz�L?� � #&% � à � � � Õ�� à � � � A � à � � ' #%324#�8 ��5 �4# ¤ �4#Q�X9E�X%32�#�54*3#[email protected], < KC# � #B*aN&9:K3# � \ 24,�F %32���%%32�#0�,�!$!E,�F/9$�4G �J# ¤ �4#?KP%-24#�,�5J%-9E8 ��! Na24,�9:N&#D0 < ��N&%39$,�� ��%/%-249:KbK %a��G=# T� � à � � & � � � 9E0� � à � � &¥� � � & � à � � &¥� � �

� ,�%-24#B*-F/9:KL# �

wyxa�=YLK�NM��Æz�LTÀ � #&%� � ÃTÄ �4#B�4,�%3#A%324# !:��KL%+%-24*-#B#A%3#B*-8 K+,�0 � � \ 24,�F %32���%� � ÃTÄ �J#B56#B����K �  #�� ,=� � Õ�� Ã{Ä � ����� A � ÃTÄ d4��� �A#QK %a� ' !$9:KL2A%324#0�,=!E!$,�F/9$�4GH*-#?K < !E%

� � Ã{Ä � & � � � 9E0� � ÃTÄ � &¥� � � & � Ã{Ä � &¥� � �� ,�%-24#B*-F/9:KL# �

wyxa�=YLK�NM��Æz�L{Å%� ��� 7�, < G�#B��#B*a��!$9 4 #H%-24#S*-#?K < !E%-K),�0C%324#S!:��KL%)0�#?F # � #B*aN&9:KL#=dW%32 ��% 9:KBd G=9E@=# � � à 2 0�*-,�8 � à 2 F/2�#B*-#�� 9:KP%324#�� < 8 ' #?*b,�0 � %a��9$! � %-#B*-8 K/N&,�� KL9:�J#B*-#?� �

Page 60: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� � ������������ ����§�¨�� + � ��¬MdW±Æ®t2 �M� « . � d�± ±Æ®$¬/.² � %-24#+0�,�*-#BG=,�9$�4GS# � #?*-NB9$K3#?KD7�, < #?KL%-� ' !E9:K324#?� � ' �=KL9:N @=#B*aKL9$,�� ,�0c%32�#�K3, ��NB��!E!$#?� � �¥� �L´��N� �T���d:I� �'´m´�� ��:8�#&%-24,J� �wyxa�=YLK�NM��Æz�LTÎ \.< 5456,=K3# %32 ��%"%-24#[KL%-��%3#� ,��4!$7�%a� =#?K @���! < #QKS9$� � ¤ �49E%3#(KL#B%�� F/24#?*3#�� 2 ��KSR��#B!$#B8�#?�=%aK � KL,%-24#OKL%-��%-#OK35���NB#/9$K^�J9$K-N&*-#&%-#b��K`F^#?!E!��=K %39$8�# � �  #B*-9�0�7H%32���%c%32�#OKL# �I< #B��NB#/,�0;,�54%39$8���! Na24,=9$NB#0 < ��N&%39$,���K E � � F � à �� ( � �=K3K < 8�#?KP%-24#0�,�*-8 ,�0 � � � � � � F/9E%32 R�� *-,�FbKP����� � ¾ � N&,=! < 8+� K �§�¨�� � ]^� � ��¬Md�±Æ®t2 ��� «T. � dW± ± ® ¬/. ­ d�_�� O ,=*`���J9:K3NB*3#B%3#OKL%-��%3#bK35���NB#/,�0WNB��*-�49E����!E9E% 7)R��Hd�%-24#OK3# �I< #?��N&# E � � � � � � � � � � F

� à �� ( � N?���S��!:K3, ' #b*-#B54*-#?K3#B�I%-#?���KH� %-� ' !$#"F/9E%32 R�� *3,�FbK ����� � ¾ � N&,=! < 8���K � � à � 9:K � < K % � � à � � � � , < NB��� F^,=*) %32�#"54*-, ' !$#B8K37.KL%3#?8 ��%39:NB��!E!$7 ' 7 ' < 9E!:�J9$�4G < 5 %32�9$KA%-� ' !$# 0�*-,�8 %-24# *-9$G�2I%"%-, %32�# !$#&0 % " 9$� N&,=� � < ��N&%39$,�� F/9�%-2 %32�#,�54%39$8���!WN&,=�=%-*3,=! %-� ' !E#,�01# � #?*-NB9$K3# � � % �wyxa�=YLK�NM��Æz�L{Ð > 24#+K3,�! < %-9E,=�[,�0`%324#+54*-, ' !$#B8 9:KD%324#�K %a��%-#+K3# �I< #?��N&#=d;F/9�%-2 %32�#+9$�49E%39:��! � Õ � � G�9$@�#?� �=K' , < ������*-7XNB,����J9E%39$,�� � NB,�8�5���*3#�%-249:KD, < %35 < %D,�0 � ¾ � �4��%-�S56,�9$�I%-KO%3,"%324#+��8�, < �I%M,�0`�4��%-� %-2���%M�4#B#Q�%3, ' #MN?��!:N < !:��%-#?� %-,+NB,�8�549$!E#D%32�#O%a� ' !$#?K �/� � 9$�I% T !$,.,=K3#B!$7�K356#?� .9$�4G�dI%-24# � � � * � %-2A#?�=%-*37�,�0W%324#M%a� ' !$#O%-#B!$!$K7�, < %-24# ' #QK %P0�,�*aN&9$�4G+,�5J%-9E,=� A 9�0 %324#�K37JK %-#B8 K324, < !:�S#?@�#?* ¤ ���"9E%-K3#B!E0 ,JN?N < 5.7.9E��G)%32�# � %-2XKL%-��%3#M@ ��! < #M��%%32�# * %-2 5 ,=9E�I%b9$�A%-9E8�# � ' < %bF/9$!E!W%3249:KbN&9$*aN < 8 KL%-��� N&#M% 7.549$N?��!$!E7"54*3#QKL#?�I%C9E%-K3#B!E0 � �wyxa�=YLK�NM��Æz�L��]\ ,"0 ��*?d A FP�=KO#?9�%-24#B* � ,�* � ��� � KL56#?NB9 ¤ #?�[� ' 9$����*-7 Na24,�9:N&# ' #B% F^#?#B� % FP,A��!�%-#B*-����%-9E@=#KL%-��%-#+%3*a����K39�%-9E,=� 8 ��5�K � � ,�F �J, 7=, < �=�4��54%M%-24# 54*-,JN&#?� < *3#�9E0P7=, < ��!$!E,�F 8+,=*3# Na24,=9$NB#?K � 9 � # � A %-���#QK@���! < #?KC9$� � ' 9EG=G�#?*bKL#B% � ��Ï 2���%b9E017=, < #B@=#B� ��!$!E,�F A %3, ' #)NB,��I%39$� < , < K �

Page 61: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�� ��������� ��� � �������������������

+�¨�� � �Md¥­�® ° d ±l«�� M���� ,.,IKL#?!E7�K35 #Q� .9E��G�d�� ´��¥�! }6 � 9:K1�M549$#?NB#^,�0 8 ��%-24#B8 ��%39:NBK?d�9E�I%3#?*35�*3#B%3#?� 9E�H%3#?*38 K ,�0�, ' K3#B*-@�� ' !$#`*-#?��! � FP,�*-!$�5424#?�4,�8�#?��� � > 24#�8 ��%-24#B8 ��%39:NB��!WNB,�8�56,��4#?�=%b,�0 %-24#�8�,.�4#B!W9:K/NB��!E!$#?�A%32�# ´"���# q6#�%$&� � '$ �(yxa�=YLK�NM��*)�� L%� , < !:�A���.7 L8�,J�J#B!;54*-,�56#B* " � < �49$�I%3#?*354*-#&%-#?�A8 ��%32�#B8 ��%-9$N?K � ' #�8��=�J#5���*3%C,�01�+8�,J�J#B!' 7S8�#?����KC,�0 ��K < 9E%-� ' !$#�9E�I%3#?*35�*3#B%-��%-9E,=� �

(yxa�=YLK�NM��*)������ ��� 7=, < �J# ¤ �4# � %,+ '$d8 � % 6- ���% './�L´" 0./�1.{� � � 9$�I% T 2�,�F �J,"%-24#H%3#B*-8 KO,�0`��*3%D,�0 � #?8��549$*39:NB��! � K3NB9E#?�=%-9 ¤ N �J9:K3NB, < *aK3#)��N �I< 9$*-#%324#?9E*M8�#?����9E�4G � � ,�F ��*3#�%-24#?K3#)8�#?���49$�4G=KD� #?NU%-#?� ' 7 ���J@�����N&#QK9$�X# � 5 #?*39$8�#B�I%-��! %3#?Na2��49 �I< #QK � � ,�F %-24#B,=*37 � !$�=�J#B�X��*-#��4��%a�+�����A# � 5 #?*39$8�#B�I%-��!;, ' K3#B*-@���%-9E,=��K � �(yxa�=YLK�NM��*)��4Z8² K�9�%)��#?N&#QK3K-��*-7 %32 ��% ���;����L�@�¥�¡  � � K-� 7�d #B@=#B*-7 @ ��*39:� ' !E# ��� �[5���*-��8�#&%3#?* � 9$�(%324# 8�,J�J#B!54*-,�56#B*bNB,�*-*3#QKL56,�����Kc%-,S���X, ' K3#B*-@�� ' !$#D5�24#B�4,=8�#B�4,=� �

(yxa�=YLK�NM��*)��!)%� ��� 7�, < 8�,�%39$@ ��%3#%-24#�0�,�!$!$,�F/9E�4G KL%-��%3#B8�#?�=% �(> 24#�9E�I%-#B*-54*3#B%-��%39$,�� ,�0 ��8�,.�4#B! N?��� ' #K354!E9E%^9$�I%3,�% FP, NB,�8�5 ,=�4#B�I%aKBd � 9 � �)!E9:K %P,�0;9:�J#B�I%39 ¤ N?��%39$,�� K ' #&% FP#B#?� 5���*3%-K`,�0;%32�#O8�,J�J#B!654*-,�56#B*`����� 5���*L%aK,�01%32�#�F^,=*3!:� � � 9$9 � %324#, ' KL#?*3@���%-9E,=����! 9$�I%3#B*30 ��NB#�d.%-24#�# � 56#B*-9E8�#B�I%a��!W��5�54*3,I��Na2"%3,+%324#�FP,�*-!:� �(yxa�=YLK�NM��*)��R� � ���"7=, < # � 54!:��9$�"F/2.7 %32�#D9:�J#B�I%-9 ¤ N?��%-9E,=��K � 9$�"%-24#�KL#?��K3#D,�0W%324#54*-#[email protected]$, < K^# � #?*-NB9$K3# � ��*-#K-��9:�S%-,SN&,�� K %-9�% < %3#��32 % 4�1$& 26587 �76� � �9� 2 / + 5 +4:+�¨p© �X°�°'¯�± � ­;® «Z¬�°² �[5�*-�=NU%39:N&#=d 7�, < K %a��*3%DF/9E%32 � 9E8�56#B*30�#?N&% � .�4,�F/!E#Q�JG�#H� ' , < %M%324#+*-#?��! � F^,=*3!:�;d ����� 7=, < ��%L%-#B8�5J%M%3,A0�,�* �8 < !$��%3#)�SK < 9E%-� ' !E#�8�,J�J#B! 54*-,�56#B* � > 249:K .�4,�F/!$#?�JG=#�NB���X%a� �#%-24#�0�,=*38 ,�0c��!E9:KL%O,�0cKL%-��%-#B8�#B�I%aKBd�N?��!$!E#Q�%32�# � +;+ ³'´-� 265 �<. + ³,.�=! '$�6 � 5 .�: 2 / y´���=# }6 �(yxa�=YLK�NM��*)���À > 24#D�=K3K < 8�5J%39$,�� K^��*3#OK-��9:��%-, ' #>7 �1. 285 .�:! 0. 2LdIF/249$Na2"8+#Q����K`%32 ��%P%324#?7+8 � 7 ' #OF/*-,��4G d�J#?5 #?���J9$�4G ,��XF/2���%/9:K/��N&% < ��!E!$7 %32�#N?��K3#@? � ² K � � �   � ���X��!E! � ,=*�� �4,�%3249$�4G 5�*3,=5 #?*L% 7=dI,=*/��*-#D%-24#B*-#�KL2 ���J#QK,�0 G�*a� 7 : ² KP%324#�8�,J�J#B! 54*3,=5 #?*bN&,=�=%-9E��G�#B�I% :(yxa�=YLK�NM��*)��¥Å%� ,�8�8�#B�I% ,��H%324#/N&!:��9$8 %-2���%c#?@�#B*-78�,.�4#B!42��=K1# � ��N&%3!$7 �  T� ��K-K < 8+54%39$,��Wd�� ��8�#B!$7�%32 ��% TA ,J�J#?!454*-,�56#B*CB *3#?54*-#?K3#B�I%-K *-#?��!JF^,=*3!:�+5424#B��,�8�#B�4,=�ED]�=NBN&,=*-�49E�4GD%3,H�!E9:K %c,�0;9$�J#?�I%39GF NB��%39$,���K�H � F/9�%-2K35 #QN&9GF NB��%39$,���KC,�0 BJIKD �����LH K < 5454!$9E#Q� � �(yxa�=YLK�NM��*)���Î8Ï 2���% ��*-# %32�#X�=�J@����I%-��G�#?K),�0 ' *-#?��I9$�4G[�4,�F/� %324# L8�,=�4,�!$9�%-249:N " �=K3K < 8�5J%39$,�� ,�0b%32�#54*-#[email protected]$, < K`#&MJ#B*aN&9:KL#O9E�I%3,+�)!$,��4GH!E9:KL%^,�0 �4#&%-��9E!$#?�ON]KL56#?NB9PF NM��K-K < 8�5J%39$,���K : Ï 2���%/��*-#/%-24#M�49$K-���J@����=%a��G=#?K :+RQ�� S>T���� VU=d�W@W,X�Y �!Z T [9U�W� � �=K3K < 8�5J%-9E,=�A%-2���%b9:Kb��,�%OK35 #?!E!$#?� , < % ' 7S%32�#)8�,.�4#B!$!E#?*b9$KOK3��9$�A%3, ' #\5^] �T6 567_5`2 � ���I%-,��.7.8 T � �T6 587;562 � �Ï 24#?�X9E% ' #?N&,=8�#?KC9$8+56,�*3%-���I%?d����A9$8�54!E9:N&9E%O��K-K < 8�5J%39$,�� 9:K < K < ��!$!E7"N?��!$!E#Q�A� 5 =�=! '.%� +;+4a ] � 285 �1. �(yxa�=YLK�NM��*)��¥ÐVÏ 2I7AF^, < !:�"8�,J�J#B!$!$#B*aKC!E#Q� @�#��K-K < 8�5J%-9E,=��KC9$8+5�!E9:N&9E% :_ e bvjix>c�|�m"kbrt|t|E�*cl{}g e ��{�uwadcl��{�u9rtsl{}|E�*j"x>c�|�m"rtg u9a>rt��k�jqp9hi�9a>c�c�u 5o{}| u9a>jqf>�qa��wjq�*cs�jq�*�*c�gzuw��{}|t�9j${}�>�>| �*u9jXj}u9a>c�p�u��d�oc��j}n/�*j"x>c�|��wfdsVav{}�b�wsl{}|tc �*j"x>c�|t�C�)'c rtc A�c�| urt�Iub{}|t|tcl� 5dk�{}�bx>c�pedo{}|t|!rt�9ul�

� �

Page 62: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� � ��$��� ������� ���Z���� ��� �����������

+RQ�� Z�� [9U/. d�U � d��Yd�W4W X�Y �!Z T [9U�W� %^NB, < !:��2���5�5 #?��%32���%c%324#DN&,�� N&! < KL9$,�� K ,�06%324#D8�,.�4#B! ������!$7JKL9:K 8 � 7HNa2����4G�#b�4*-��8���%39:NB��!E!$7)9E0;���S��K-K < 8+5#�%39$,�� 9:K/��!E%3#?*3#Q�",=�4!E7AKL!$9EG=2I%3!$7��4K < Na2 ��� ��K-K < 8�5J%39$,��X9$KOK3��9$�"%3, ' # + 2 $0�<.�: � ���I%3,��.7.8 T +R � � � �(yxa�=YLK�NM��*)�� � A ,�%-9E@���%-#)�+54*3#B0�#B*-#B��NB#M0�,�*/FP#?� S�=K3K < 8�5J%-9E,=��K �(yxa�=YLK�NM��*)6Z�L � �A�=K3K < 8�5J%-9E,=�S8 � 7+KL%3*-,��4G=!E7�N&,=�!F��4#D,�*P*3#Q� < NB#b%32�#O*a���4G=#b,�0 *-#?��! � FP,�*-!$�+5424#?�4,�8�#?����J#QK3NB*39 ' #Q� ' 7"%324#�8�,J�J#B!��4K < Na2 ��� ��K-K < 8�5J%-9E,=�A9:KbK-��9:�S%-, ' # + 2 $ 5 ./:! '. 2 � ���I%3,=�.7I8 T $& }6 � � = � �(yxa�=YLK�NM��*)6Z�� � NB,�8�8�,�� K %-*-��%3#?G�7 9:KM%3, K %a��*3%F/9E%32 KL%3*-9E�4G=#B�I%)��K-K < 8+54%39$,���K?dW�����(��KM7=, < G=, *3, < ���%32�#�8+,J�J#?! NB7.NB!E#=dJ%3, *-#B!:�<M"%324#QKL#)�=K3K < 8�5J%39$,�� K � 9 � # � *-#B54!:��NB#D%-24#B8 ' 7"8�,�*-#*3#?!$�,M.#Q�"@=#B*aKL9$,�� K � � Ï 2I7A9$K%32�9$Kb��K3, < � �AKL%3*a��%-#BG�7 : � � 9$�=% T KL%3*-9E�4G=#B�I%b��K-K < 8+54%39$,���KP%-#B���A%3, ' #�#?�=KL9$#B*P%3,SKL%-��%3#���� �"%-, ������!E7JK3# � �+RQ,+ � [9U�W<T W Z U/2 �� K-K < 8�5J%39$,���K � F/9E%3249$�[� G=9E@=#B� 8�,J�J#B! ( � K324, < !$� ��,�%DNB,��I%3*a���J9:NU%D,��4#)���4,�%-24#B*���%-249:K/%32�# *-#�� < 9$*3#?8+#?�I%b,�07 �<. + 5 + 2 0. 7 � �(yxa�=YLK�NM��*)6Z6Z \ 24, < !$� %32�# N&,�� KL9:K %-#B��NB7 *-#�� < 9$*3#?8+#?�I% ' # #&M.%3#?���J#Q��%-, N&,�@=#B*H%324# �J#?8 ����� %32 ��% %32�#��K-K < 8�5J%39$,���K/�4,+��,�%ON&,=�I%3*a���J9:NU%P%324#)� @���9E!:� ' !$#��4��%a� :(yxa�=YLK�NM��*)6Z )�� MJ54!:��9$�AF/2.7 9E%b8+9$G�2I%/FP#B!$!;2���5456#B�X%-2���%C%32�#)��K-K < 8�5J%-9E,=��KP,�0 �H8�,J�J#?!W��*-#NB,���K39:K %-#B�I%F/9E%32 #?�=Na2A,�%324#?*b��KCFP#B!$! ��K/%324#)� @���9$!:� ' !$#��4��%a�4d ' < %O%324#)NB,���NB! < K39$,���KC,�0 %-24#)8�,J�J#B! ������!$7JKL9:K^0 ��9$!;%3,S�4,K3, � [ , 7=, < N&,=��KL9:�J#?*^%-249:KC%3, ' #)�H0 ��9$! < *-#,�*b��K < NBNB#?K-KC,�0 %-24#�8�,J�J#B!$!E9$�4G #4M.#?*-NB9$K3#��K/�+F/24,�!$# :(yxa�=YLK�NM��*)6Z! <[ 9:K3N < K-K � 9E���DG�*-, < 5 � %324#P%-24,�*-�.7M9:K-K < #P,�0 7 �$/ '$& '. 7 ' #&% FP#B#B�H%32�#P�=K3K < 8�5J%39$,�� K �P� � 9$�I% TK324, < !:�"%324#)�=K3K < 8�5J%39$,�� K ' #�#�� < ��!$!E7"KL%3*-9$�4G�#?�=%QdJ#�� < ��!E!$7"KL%3*-,��4G : Ï 2I7 � �4,�% � : �+RQ�� � [�� M��2 [9Y � � �eT Z �� KO�H8�,J�J#?!E!$#B*QdJ7�, < 2�� @=#O%-,S�J#?NB9$�4#�24,�F NB,�8�54!$#&M"7=, < FP���=%C7�, < */8�,J�J#B!;%-, ' # �(yxa�=YLK�NM��*)6Z�"$� ���X7�, < �J#4F��4#�,�*bNa2 ��*a��NU%-#B*-9 4 #b%-24#)N&,=��N&#?5J%b,�0 N&,�8�54!$#&MJ9E% 7 0�,�*b�+8�,J�J#B! :(yxa�=YLK�NM��*)6Z?Å%� ,���K39$�4#B*C%32�#0�,�!$!E,�F/9$�4GH%324*-#B#�56,=K-KL9 ' !$#���9$8�KC,�0 �+8�,J�J#B! T� 9 � %3, 5�*3#Q�J9$N&%C%324# � 0 < % < *-# � ' #?2�� @.9E, < *C,�0 �H*-#?��! � FP,�*-!$� 5�24#B�4,=8�#B�4,=�#�� 9$9 � %3,SN&,=�I%3*-,�!6%324# ' #B2 � @I9$, < *P,�0 �+*-#?��! � F^,=*3!:� 542�#B�4,=8+#?�4,��$�� 9$9$9 � %-, < ���J#?*-KL%-�����S%-24# ' #B2�� @.9$, < *C,�0 �+*3#Q��! � FP,�*-!:� 5424#?�4,�8�#B��,��#���� �A��*3*a���4G=#O%-24#?K3#M%324*-#B#)��9E8 KC9$�X%324#�,=*-�J#?*C,�0 *3#�� < 9E*-#?�"8+,J�J#?! N&,=8�54!E#4MJ9�% 7 �(yxa�=YLK�NM��*)6Z{Î8Ï 2���%)56,=K39�%-9E@=# 5 < *-5 ,IKL#�8 � 7 ' #"K3#B*-@�#?� ' 7 �J#?!E9 ' #?*-��%3#?!E7 �&% � ��')( � � ��* N&#?*L%a��9$� ' 9E%-K),�0.�4,�F/!$#?�JG=# � 9 � # � �J#B!$9 ' #?*-��%3#B!$7 �4,�%+*-#B54*-#?K3#B�I%-9E�4G N&#B*3%-��9E� .�4,�F/� 8�#?Na2����49:KL8 K+9E��%324#X8�,J�J#B!/54*-,�56#B* � :[ 9$K-N < K-K/���4@ ���I%-��G=#?KC��� �X�49$K-���J@����=%a��G=#?K �(yxa�=YLK�NM��*)6Z?Ð\[ 9:K3N < K-K`FC� 7JKc,�0;%a��N .!$9E�4GH*3#Q��! � FP,�*-!:�H5�24#B�4,=8�#B���%-2���%CFP, < !:�S��5�5 #Q��*Qd=9$�S,���#DK3#B��K3#O,=*����,�%32�#B*Qd�%-,I, N&,=8�54!E#4M %3, NB��54% < *-# 9$�[�A8+,J�J#?! � � � 9$�=% T %-249E�� ,�0`K-NB��!$#?KD9$� %39$8�#+����� K35���NB#�d #B8�#?*3G=#B�I%54*-,�56#B*3%39$#?K?d1KL%-��%39:K %-9$N?��!c8�#QNa2����49:NBK � � K)*-#BGI��*a�4KM#&M4��8�54!$#?K ,�0/�J,�8 ��9E��K F/24#B*-#�%32�9$K 54*3, ' !$#B8 ��*39:K3#?K�9$�%32�#�!E9E0�#)K3NB9E#?��N&#QK+�.%-249$��",�01�4# < *-,��4#QK-, ' *a��9$��K?dI9$���[email protected]$� < ��!:K-,O#QN&,=K37JK %-#B8 K?dJ8+,=!E#QN < !$#?K.,DN&#?!E!:K � �(yxa�=YLK�NM��*)6Z��%� ��K3#PKL% < �47 T %324#C8�#?Na2 ���49:NBK ,�0 %324#C!$#&0 % @�#?�=%-*39:N&!$#`2�#?��*3% 9$K18�,J�J#B!$!E#Q� ' 7)� F��4#?!E7)8�#QKL24#Q�F��49E%3#�� #?!E#?8�#B�I%c*3#?54*-#?K3#B�I%-��%39$,��+,�06%324#/8H7.NB,JNB��*a�J9 < 8 d�9$��N&,=*356,�*a��%-9E�4GD%32�#b@���*-9E, < K1!$� 7=#B*aK ,�0 8 < K-N&!$# F ' #?*-K9$�(��!�%-#B*-����%-9E�4G �J9$*3#QNU%-9E,=��KBd %-24# #B!$#?N&%3*-9$N?��! 9$8+5 < !$K3# N&,=��� < N&%39$,��[5 ��%32.FC� 7�dW����� %-24# N&,=*3,=����*-7A56#B*30 < K39E,=�K37.KL%3#?8 � > 24#+��,=*L%a�4d ��G=��9E��KL%OF/249:Na2 %-24# 2�#?��*3%D9:KDF^,=*).9$�4GS� < *-9E��GAK37.KL%3,=!E#=d 9:KM*3#?54*-#?K3#B�I%3#Q� ��KO� � F/9$��� ��#QK3K3#B! � F/249:Na2 9$K # #?N&%39$@�#B!$7 � 2.7J�J*a� < !$9:N�*3#QKL9:K %-,�*)����� � NB��5���NB9�%-,�* � [ 9:K-N < K-K%32�#"�J9:KL5���*L%-9�% 7 9E� �4#&%-��9E!' #&% FP#B#B�X%-24#�8 7=,.N?��*-9$����! �����A%32�#)��,�*3%39:ND*3#?54*3#QKL#?�I%-��%-9E,=� �

Page 63: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�����i� �!����& �b����"#$ � �

(yxa�=YLK�NM��*) )NL\[ 9:K3N < K-K � 9$� �HG=*3, < 5 � %32�#0�,�!$!E,�F/9$�4G�N&,�8�8�,��X549E%L0 ��!E!:K T� 9 � F/9:KL2J0 < !;%3249$��.9$�4G = %-��9E!$,�*-9E��G+8�,J�J#?! ��K-K < 8+54%39$,���K^%3,S��%L%-*-�=NU%39$@�#M#�� < ��%39$,���K��� 9$9 � 8+9:K3!E#Q���J9$�4G�����8�#QKP0�,�*b8�,J�J#B!#� < ���I%39E%39$#?K = 9$�.@I9E%39$�4G�,�@�#?*39$�I%3#?*354*-#&%a��%-9E,=�#�� 9$9$9 � 9E8�5 < %39$�4GAG=,=��!$K?d , ' � #?N&%39$@�#QK Ä ����� 0 < ��NU%-9E,=��K � %3,[email protected]��GS%32�9E�4GIK = ���4,�5J%-9E�4GX��� #?�4G�9$�4#?#B* � KO5 ,=9E�I%,�[email protected]#?F �� � 9E�I% T *3# , #?N&%C%32���%?d49E0 < KL#Q� � < �J9$NB9E, < K3!E7=d4�H5�9�%30 ��!$! 8 � 7 % < *3�X9E�I%-,S� < KL#B0 < !;%3*-9:N � �+RQ�� CT Y X���d Z T [9U> ,)�J#B*-9E@=#C*3#QK < !E%-KCN NB,���NB! < K39$,���K10�*-,�8 %324#/8�,J�J#B! dI9�%aK ' #?2�� @.9E, < * ��'���� ��'�� %324#O*3#Q��! � FP,�*-!$�)5424#B��,�8�#B�4,=�8 < K % ' #/54*-, ' #?� � > ,%3249:K #?���;d=%324#b8�,J�J#?!454*-,�56#B*c9:KcK < ' � #?N&%3#Q�+%3,�8 ��%-24#B8 ��%-9$N?��!�������!$7JKL9:K � � � � ��!$8�,=KL%, ' !E9$G=��%3,�*-7 � 5���*3%c,�0 %32�9$K`9$K + 5^] a 6 � 265 �<.�� dIF/249:Na2 9$Kc�)� < 8+#?*39:NB��! � ����� < K < ��!$!E7+G�*a��5�249$N?��! � �J#B8�,�� K %-*-��%39$,��,�01%32�# ' #?2�� @.9E, < *C,�0 %-24#�8�,J�J#B! �(yxa�=YLK�NM��*) ) ��[ 9:K3N < K-K %32�# �J9:K %-9E� NU%39$,�� ' #B% F^#?#B� ������!$7I%39:NB��!D����� �4,=� ��������!E7I%39:NB��! dP%-*-�=NU%-� ' 9$!E9E% 7�db�����*-#[email protected]#?F K %a�����4��*-� � < 8�#?*39:NB��!`%-#?Na24�49 � < #?K � � � 9$�I% T F/2.7 9$KH9�%+5 #?*38�9E%L%-#?���"%3,(�J#&F���# � � � ��K %32�#K3,�! < %39$,��X%3, /?� � " � ? F/24#?*3#Q��KC7�, < NB�����4,�%b@=#B*-7SF^#?!E!1�J#?NB!$��*3#7=, < *b5�*3, ' !E#?8 %-, ' # K3,�!$@�#Q� ' 7 ���������������� ��� � � F/24#?*3# ���!����������� ��� 9:K/�J#&F �4#?�A%3, ' # � < KL%/%32���% : �(yxa�=YLK�NM��*) ) Z \.< 5456,=K3#%32���% & d�"1d4�����$#���*-#M*3#?!$��%3#?� ' 7

#�&" � � � � �' < %P%32�#M8�,J�J#?!E!$#B*P9$K < � � FP��*3#b,�0;%3249:K/K39E8�54!$#b0 �=NU%/�����"G�#B��#B*a��%3#QK`�+KL#?*39$#?K`G�*a��542 K`9$�"F/249:Na2%# 9:K^5�!E,�%L%3#Q���GI��9$��KL%&"1dI56#B*-2���5�KC��%/� @���*-9$#&% 7�,�0 @���! < #QKP,�0 & � Ï 9$!E!6%-24#8+,J�J#?!E!$#B* ' #M� ' !$#O%-,H9$�J0�#B*C0�*-,�8_249:KCG�*a��5�249$N?K%32 ��%/%32�#%324*-#B# � < ���I%-9�%-9E#QKb��*-#D9$�I%3#?*3*-#B!:��%-#?�X��NBNB,�*a�J9$�4G %-,�#�� < ��%-9E,=� � � � � � :+RQ�� �ET Y U�W<T [9UMd���deUMd�� ��W<T W> 24#!:��KL%C#4MJ#B*aN&9:KL#M9E!$! < K %-*-��%3#QK/�H5�*3, ' !E#?8 %32 ��%bNB��� ' #?NB,�8�#@�#B*-7SK3#B*-9E, < KPF/24#B� 7�, < �J,��4,�% .�4,�F F/2���%*-#B!:��%39$,�� KL249$5(7�, < ��*-#+!E,.,�.9$�4GX0�,�*Qd ��� � F/2�#B� %324#?*3#S��*3#+8 ���.7 5���*-��8+#B%3#?*-K��� � 5 ��*a��8�#&%-#B*@���! < #?KM%-,KL% < �J7 � > 24#b8�,�*a��!49:K`%32���%`9�%P9$K^��G�,.,J��9:�J#?�M%-,)%3*-7H%3,)56#B�4#B%3*a��%-#/%324#D8�,.�4#B! ' 7�������!E7I%-9$N?��!48�#?����K`�=K 0 ��*��K`7�, < *c8 ��%-24#B8 ��%-9$N?��! 54*3,�FP#?K-K � ,=*c%-2���%`,�0 0�*39$#B���4!E7�8 ��%-24#B8 ��%-9$NB9$����K � F/9E!$!4%a� =#b7�, < d ' #?N?� < K3#b9E%^9:Kc�4,�%��!$FC� 7.KO#?�=KL7 %-, < � N&,�@�#?*O9$8�5 ,=*L%a���I%M9$�I%3#?*-�J#?5 #?���J#?��N&9$#?K � � 5G] '. + 5 �1.�o6)�<.�o6 � + 5 + 9:K�� < KL#B0 < ! %3#QNa24�49 � < #F/249:Na2 24#B!$5�KP%3,S��!E!$#[email protected]:��%-#O%-249$Kb54*3, ' !$#B8 �+RQ�� � Y � T � T 2 d����9T Y U�W<T [9U> FP, � < ���I%-9�%-9E#QK � ��� �(' � ��*-#AK-��9:� %3,(2�� @=#S%32�# + � ] � ] � 5 $ 587 �76 �O= 5^] '. + 5 �1. dcF/*-9E%L%3#?� ' *-9$# , 7 �=K *)+ '�d49 T

� � , < ���I%39E%39$#?K �����$' NB��� ' #�8�#?����9E�4G�0 < !$!E7A#�� < ��%-#?�A,�*bNB,�8�5���*-#?� � Hd ] d � � �� � , < ���I%39E%39$#?K �����$' 2�� @�#�+8�#?����9E�4G�0 < ! K < 8 ,=*b�J9 #?*3#?��N&# �> 24# � 1 D �Y NKEF . 7 /1R�.-ZM,/,/- � ' *39$# , 7 T 7 /1y�0-ZM> ,1-32 � ��K/���A#�� < 9E@���!$#B� N&#�N&!:��K-KC,�0�� < ���I%39E%39$#?K < ���J#B* )+ �O 9E� ��!$!E7=d�F^#CK-� 7D%-2���%1%32�#C�49E8�#B� KL9$,��+,�0�G=9E@=#B� � < ���I%39E% 74' 9:K1%324#P5���*3%39:N < !$��* #�� < 9E@���!$#B� N&#CN&!:��K-K � < ���J#?*5)+ �%3,�F/249:Na26' ' #B!$,���G=K ��87 ? ��? 6���6:9 � rt�Tu9a>c x>j"s�u9pwrtgdc�uwa7{�ubc��zc�p9�"uwadrtg>�$rtg�g7{�u9f>pwc�k�{}��jqp�rt��x>c��9rt�qg>c�x kbr u9a {��drtc�k u9j${}sVadrtc��irtg>�*{��<;j"x,E��qr �zc�g>=C��wc�ubj}n jq�@?Ic�s�u9r �zc�����n�pwjq� uwa>c&;p9clc�h = ? ��6�- �*cl{}g>rtgd��e �>f>p9�ojq�wcqm7jqpe c�g>x�m �V�A `badc +�0�6���6:9J0�. *�� ����;<.�= 0�6�;�j}n�{$slc�pIuV{}rtgv�Iuwp9f>s�uwfdpwc�jqp'�>p9jis�c��w�'rtg�{}gvjqp9�z{}g>rt�w��rt�s�jqg>�9u9r u9fduwc�x��z��kba7{�u9c��zclpc�y1c�s�uw�'uwa>c�>p9cl�9c�g>s�c�j}n�u9a7{�u$�Iuwp9f>s�uwf>p9c�jqp��>p9jis�c��w��a7{}�>�oc�g>�Xu9j�a>{l�zc*kbr uwa>rtg uwa>c s�jqg"u9c24iu$j}nbu9a>c jqpw�z{}g>rt�9�v�CB�nbuwadcl�9c�c�y1c�s�uw�Xu9c�g>xu9jv{}rtx�uwa>c*|tr n�c�uwrt�*c�pwc��>p9jixdf>s�uwr �zc*�9f>s�slc��9��j}n�u9a>c$rtgdx>r �drtxdf7{}|t��rtg�kba>rtswa r u�a7{}�d�1c�g>��u9j��7g>x�r u9�wc�| n 5�r u kbrt|t| �oc�pw�9rt�9u jqg){}gc��zjq|tfdu9rtjqg7{}p9� uwrt�*c��9sC{}|tcq�D�`badc�u9c�pw� e �9rt�Xf>|,{�u9rtjqg�mdrt�'f>�9f7{}|t| � uV{}hqc�gvu9j*rt�*�>| �*uwadc�f>�9c�j}n g"f>�*c�pwrtsl{}|Eu9c�sVa>g>rt~"f>c���5Ertg �>{}p9u9rtslfd|,{}p'n�jqpbu9a>c��wjq|tfdu9rtjqgj}n/�ojqf>g>x7{}pI���}{}|tf>c �>p9jq�>|tc��*�C�EGF f>jix�|trts�c�ubrtjl�drEg>jqgv|trts�c�u��1jl�dr��HJI c�sl{}pwc�n5fd|Eu9a7{�u��zjqf x>j�g>j}ubsljqgin5f>�9cu9a>rt��f>�wc�j}n�u9a>c�k�jqp9x�e xdrt�*clgd�wrtjqg�mzkbr uwa j}u9a>c�pb�*cl{}g>rtgd�q�brtg���{�u9a>c���{�uwrts�� 5d�9f>sVa{}��uwa7{�u'j}n/|trtg>cl{}pb{}|t�qc��>pV{@K7rtg�u9a>c��>pwj"j}n/j}n I f>sVh"rtg>�qa7{}�vm ��u9a>c�jqpwc�� k�c�kbrt|t|1�1c fd�wrtg>�Xu9a>c�u9c�pw� rtg �oj}uwa �wc�g>�wc��l�

Page 64: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� ��$��� ������� ���Z���� ��� �����������

(yxa�=YLK�NM��*) )/)�� #B*-9�0�7"%32���% � K-��8�#��J9$8+#?��K39E,=� � 9$KO���X#�� < 9$@ ��!E#?��N&#*-#B!:��%-9E,=� �+RQ���� �` XMd��GT Z � [Na �9T^Y VU�W,T [9U�W> , #?KL%-� ' !E9:KL2 F/24#B%324#?*�% FP, � < ���I%39E%39$#?K�2 � @�#+%324#AK3��8+#S�49E8�#B� KL9$,��Wd1FP# �4#B#Q�[%-,[��K-N&#?*L%a��9$� F/2�#&%32�#B*),=*�4,�%� )+ ' �(yxa�=YLK�NM��*) ) �� 2I7 9:KD9�%�4,�%*-#?��!$!$7X�"8���%L%-#B*,�0c8 ��%-24#B8 ��%39:NBKMF/24#&%-24#B* )+ ' 9:KO@���!E9:� : � � 9E�I% T %32�#N&* < M"9:KC%-24#F^,=*-� � 8�#Q���49$�4G�0 < ! � d4F/249:Na2A2�9E�4G=#?KC,=�X9$�I%3#?*354*-#&%a��%-9E,=�Wd.�4,�%b8�,J�J#B! 54*3,=5 #?* � �(yxa�=YLK�NM��*) )�" A ,�%-9E@���%-#%324#)NB,��.@�#?�I%39$,�� )+

''0�,�*b���.7 % F^,�� < ���=%-9�%-9E#QK ����� '�dJ*3#?G=��*-�J!$#?K-KP,�01F/24#&%-24#B*� )+ ' �

+RQ���� �ET Y U�W<T [9U�� W4W ` XMdeU Z T Z T� W> 24#�N&,=�.@�#B�I%-9E,=�",�0 %324#�!:��KL%P#4MJ#B*aN&9:KL#M9E� � < N&#QK/���X#�� < 9$@���!$#B��NB#NB!$�=K3KC�J#?�4,�%-#?� ' 7 � T F^#F/*-9�%-# � �� � )+ ���� �AN?��!$!;%324#�#�� < 9E@���!E#?��N&#�N&!:��K-K^%32 < KC0�,=*38�#Q� � a $0 . a ] % 0$ �(yxa�=YLK�NM��*) )���� MJ54!:��9$�AF/2.7 � < ���=%-9�%-9E#QK/9$�"%-249$KOKL56#?NB9$��! N&!:��K-KC��*-#M*-#&0�#?*3*-#?�S%3,S�=K = 5G] 0. + 5 �1. 6 +_+ �(yxa�=YLK�NM��*) )�� 2I7+9:Kc%-24# � NB,�8�8�,��4!$7+24#?��*-� � K %a��%3#?8�#B�I%`%-2���% � < ���I%39E%39$#?K?d�� ��% < *-��!E!$7H9$�I%3#?*354*-#&%-#?� �=K� < 8 ' #B*aK?d���*-#���!$FP� 7JKC�J9$8+#?��K39E,=�4!E#QK3K " 9E�X0 �=NU%/0 ��!$!:��N&9$, < K : � � 9$�I% T *-#&0�#?*C%3,S� ' KL,=! < %3#�K3N?��!$#?KC,�018�#?�=K < *3#��8�#B�I%?d�#&MJ54!:��9$�4#?� ' #?!E,�F � �(yxa�=YLK�NM��*) )��]\.< 5456,=K3#�7�, < *M8�,J�J#?!c2���K � K3N?��!:��* � < ���I%39E%39$#?K E '�� I������@I�'�� F � %324#QKL#�� < ���=%-9�%-9E#QK���*-#%32�#b@���*-9$� ' !E#QK �����+5���*-��8�#&%3#?*-K 9$�+%324#O8+,J�J#?!454*-,�56#B* � Q KL9$�4G%-24# ' � )+ ' ' %-#?KL%?d=7�, < N?��� ��5456,�*3%39$,��H%32�#?K3#� < ���I%-9�%-9E#QKO��8�,=�4G � � < 8 ' #B*b,�0 #B8�549$*39:NB��! �J9$8�#B��K39E,=��K � \ 2�,�F %-2���%b%-24# � < 8 ' #?*b,�0c�J9:KL%39$��NU%M#B8�549$*39:NB��!�J9$8�#B��K39E,=��KCF/9$!E! ' #)���.7.F/24#?*3# ' #B% F^#?#B� � � 9$��N&! < K39E@=# � ������� � 9$��N&! < K39E@=# � �+RQ���� � _Md�W<T W [Na Y � T � Tt2 d����9T Y U�W<T [9U�W� ,�� KL9:�J#B* � �J9:K %-9E��N&%)�J9E8�#?��KL9$,�� KBd;#Q��Na2 *-#B54*-#?K3#B�I%-#?� ' 7 K3,�8�# � < ���=%-9�% 7�� � d;F/249$Na2 2���KD%-24# 0�,=!E!$,�F/9$�4G54*-,�56#B*3%39$#?K T 0�,�*/#?@�#B*-7 ' ' d * � I������&I�� d ' ' )+

��� ( �

� �����

0�,�*bK3,�8�#@�#QNU%-,�* / � �<I������4I � � 0 d4F/249$!$#0�,�* ( �! � � ' % ,�0 E � �<I������4I � �#" �,I � � � �,I������&I � � F 9�%b9:KP%3* < #%-2���%0�,�*b���.7$� � d � � I������&I � d%� � )+ ��'&( �

� � �)(

� %-24# � � ��*-# *-#?��! � < 8 ' #?*-K � � \.< Na2 �XKL#B% E �*�1I������4I�� � F NB,���KL%39E% < %3#?K� JFDM>\M ,�0`#B8�549$*39:NB��!1�49E8�#B� KL9$,���K0�,�*/7=, < *C8�,J�J#B! �(yxa�=YLK�NM��*) )���� #B*-9�0�7D%32���%W%32�#RF�*aK % NB,����J9E%39$,���#?��K < *3#QKWK < � N&9$#B��NB7O,�0.%-24# ' �=KL9:K 0�,�*W%324#c8�,J�J#?! � F/24#B*-#?�=K%32�#)KL#QN&,�� �"9:K/��� ��� ��!$,�G+,�0 !$9$�4#?��*/9E���4#B56#B���J#?��N&# �

Page 65: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

����� �/� ����� �� �!�"#$%��#$��� & ��� � %+RQ�� � �ET Y U�W<T [9U a [ � Y X����� #"8 � 7 *3#B0�#B*)%-, %-24#?K3# ' �=KL9:K �49E8�#B� KL9$,���K � F/2�9$Na2 7=, < F/9$!$!^*-#?N?��!$!^��*-#S#�� < 9E@���!$#B� N&#ANB!$�=K3K3#?K � F/9E%32������5�54*3,=54*-9$��%3#�������� ����� � � ��8�#c%-2���% *3#QNB��!E!:KW%-24#P9E�I%3#?*35�*3#B%-��%-9E,=��,�04%-24# � < ���I%39E%39$#?K 9E� %324#CN&!:��K-K?d?0�,=* #&M4��8�54!$#� ����� � > ,X9E���49$N?��%3# %32���%%324#��J9$8+#?��K39E,=� ,�0c%-24# � < ���I%39E% 7 Õ 9:Kb%-9E8�#�,��4# < K < ��!$!E7 F/*-9�%-#?K�J9$8 E Õ F � �����9$��K %-#?�=�",�0 Õ � � ����� �(yxa�=YLK�NM��*)! L%� ��� 7�, < 8 � =# K3#B� KL#X,�0�� 0�,�*-8 < !:� K < Na2 ��K������ ���� � � !� �"�# �%$ � � ����� : � � 9E�I% T F/9�%-2& � ����� ���� � � d4FP#2�� @�# &(' P � Õ F/24#B*-# P � � ����# �%$ ��� � Õ � � ����� � �(yxa�=YLK�NM��*)! � \ 24,�F %-2���%/%-24#0�,�!$!$,�F/9E�4G+0�,=*38 < !*) 24,�!:� T�J9$8 E F �J9$8 E F �J9$8 E F � � � � ��J9$8 E F �J9$8 E F �J9$8 E F � � � � ��J9$8 E V F � �49E8 E F � V F/24#?*3# �J9$8 E R F � � � � � � �(yxa�=YLK�NM��*)! ;Z \ 24,�F %-2���%b!$� E F 9$KbF^#?!E! � �4#&F��4#Q�",=�4!$7S9�0c�J9$8 E F � �(yxa�=YLK�NM��*)! %)PO ,�*SNa2�#B8�9$KL%-K T F/2I7�9$K+%-24# � #B� �J#B*aKL,=� � � ��K-K3#B! ' ��!:Na2 *-#B!:��%39$,�� �J9$8+#?��K39E,=����!$!E7 NB,�*-*3#QNU%Qd�J#QKL549E%3#/��545 #Q��*a����NB#?K ��� ��%32�#/54*3#[email protected], < K1#&MJ#B*aN&9:KL# : � K1%-24#/N&!:��9$8 %32 ��% %-24#C5,+ 2��=K �4, < �49E%-K " �4#&0�#B� KL9 ' !$# :(yxa�=YLK�NM��*)! � IO ,�* 542.7.K39:N&9:K %aK T @�#B*-9E0�7[%-2���% E � ����# �%$ d � �����=d-����� � F 9$KH� ' ��K39$K),�0bN&!:��K-KL9:NB��!c8�#?Na2����49:NBK �� ����7�, < K324,�F %32 ��% E ����� ���� � � d.�/�0�1�2�=d3�������4# � F 9:KH� ' ��K39$K?d %3,., : � 2���%�� ' , < % E ��"� ���� � � d-���,����� �%5 �Hd�6� � � �,� F :+RQ�� � � � Z � UMd Z _Md�W W> 24#S!:��KL% #4M.#?*-NB9$K3#SK324,�FbKM%32���%+� �J9$8�#B��K39$,�� ' �=KL9:K��4#?#?� �4,�% ' # < �49 � < # � � K37JK %-#B8 ��%-9$N�5�*3,JN&#Q� < *-# 9$K� @���9$!$� ' !$#O%-,+�J9:K-N&,�@�#?*P���J9$8�#B��K39$,�� ' ��K39$KPG�9$@�#?�A�+54*-, ' !$#B8 F/9E%32�� � < ���I%39E%39$#?K/��5�5 ,=*L%-9E,=�4#?�",�@�#B*C�+KL#B%,�0W�J9$8�#B��K39$,���K?d ' < %`9E� KL56#?N&%39$,��S��� �H9$�I% < 9E%39$,��SK < � N&#O9E� 8 ���.7H54*3, ' !$#B8 KBdI��K %-24#OK39E8�54!$#b#4MJ��8�54!E#/9$��%32�#0�,�!$!$,�F/9E�4G�#4M.#?*-NB9$K3#?KP8 � =#?KCN&!$#?��* �(yxa�=YLK�NM��*)! " � #&%%-24#+0�,�!$!E,�F/9$�4GX8+,J�J#?! 54*-,�56#B**3#?54*-#?K3#B�I%O%-24# �J7.����8�9:NBKM,�0^%324# ��8�, < �I%M,�0^8 � �8�,�!$#?N < !E#QKP%3*a����K-N&*-9 ' #Q�S0�*-,�8 �+G=9E@=#B�XG�#B��#M9$� ��N&#B!$! T

77 Õ � �� � S � � � � � �F/9E%32 %32�#�0�,�!$!E,�F/9$�4G�9$�=%-#B*-54*-#&%-��%39$,���K T � 9:K/%32�#)� < 8 ' #B*b,�018 � � 8�,�!$#?N < !$#?K�� � 9$KC%-24#)*a��%-#)��%bF/249:Na28 � � 8�,=!E#QN < !$#?KC��*-#M54*3,J� < N&#?� ' 7 %3*a����K-N&*-9$5J%39$,��#�J����� S 9:KP%32�#M*a��%-#M��%/F/249$Na2A%32�#M8 � � 8�,�!$#?N < !E#QK��*-# ' #?9E�4G �4#BG�*a���4#?� � � %�%39$8�# Õ � dW%324#?*3# ��*-# � � 8�,�!$#?N < !E#QK54*-#?K3#B�I%�9E�(%32�#�NB#B!$! � � ��8�#+%324# *��08 % %5���*-��8+#B%3#?*-KP,�0 %3249:K/8�,J�J#B! �(yxa�=YLK�NM��*)! �]\ 24,�F #�� < ��%-9E,=� � � � � � 2��=KP%324#0�,=!E!$,�F/9E��G+K3,�! < %39$,�� T� � Õ �

� S � � � � � S � #&MJ5 E � S Õ F � � � � ÓI�+RQ��!+ 9 d Z X � d�� X�U%T Z W� � < ��%39$,�� � � � Ó=� 9$K K39E8�54!$#(#B�4, < G�2 0�,�*X9�%aK Na2���*a��N&%3#B*-9:K %-9$N 5�*3,=5 #?*L%-9E#QKS%-, ' # G�!$#?����#?� ' 7 9$��KL56#?N&%39$,�� �� ,�FP#B@=#B*Qd&%-24#^K3,�! < %39$,���,�04�b�J9 #?*3#?�=%-9$��!�#�� < ��%39$,���9:KW��,�%1��!EFC� 7JK6%32���%1K39E8�54!$#�d ,=*W8 � 7D�4,�% ' #^��� ��!$7=%-9$N?��!$!E7� @���9$!$� ' !$#b������8 < K % ' #D� < 8�#B*-9$N?��!$!E7H#B@���! < ��%-#?� � � � ' ,�%-2"NB�=KL#QKBd=7�, < FP, < !$� KL% < �47 %-24# ' #B2�� @.9$, < *`,�0;%32�#8�,J�J#B! ' 7�54!$,�%L%-9E��GMN < *3@=#?K 0�,�* KL56#?NB9PF6N^� < 8�#?*39:NB��!IK3#&%3%39$�4G=K ,�04%-24#C5���*a��8�#B%3#B* � � 067�, < 54!E,�%1#�� < ��%-9E,=� � � � ÓI�0�,�*D@���*-9E, < KOK3#&%3%39$�4G=KO,�0 � d S d;��� � � � d 7=, < G�#B%M��%a���4G=!E#Q� 8�#?K-Kb,�0`�J9 #B*-#B�I%N < *-@�#QK � � � 8�,J�J#?!$KDF/9�%-28�,�*-#C%32�����%324*-#B#/5 ��*a��8�#&%-#B*aKBd�� < 8�#?*39:NB��!E!$7 #4M.5�!E,=*39$�4GM%324# ' #?2�� @.9E, < *c��%^��!E!�5���*a��8�#&%-#B*`K3#&%3%39$�4G=Kc*3#Q���J9$!E7' #?N&,=8�#?KM�S24,=5 #?!E#QK3KO%-�=K � � ,�FP#B@�#?*?d %32�#H5���*-��8�#&%3#?*DNB, < �I%MN?��� ' #+*3#Q� < N&#Q� ' 7 ��KO8����.7 �49E8�#B� KL9$,���K��KP%-24#B*-#���*-# � > 24#�9:�J#?�+9:KC%3, < K3#%32�#�5���*a��8�#&%-#B*aK^�=K � � ��% < *-��! < �49E%-K � �

Page 66: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

��g��$��� ������� ���Z���� ��� �����������

(yxa�=YLK�NM��*)! �$� 24,.,=K3# � ��������� � � 5 � � ����������� � �� 5 � � �M��KD%324# ' �=KL9:K�J9$8+#?��K39E,=��K � � KL%-� ' !E9:K32 %32�#H0�,=! �!$,�F/9E�4G T �J9E8 E � F � 5 � � �����"� ���,� � � 5 � � ��J9$8 E Õ F � ������J9$8 E � F � 5 � � �����"� ���,� � � 5 � � � � � �����" ��J9$8 E S�F � �����

" ��J9$8 E � � F � 5 � � �����"� ���,� � � 5 � � �

� � 9E�I% T < K3#D%-24#)�J9$8�#B��K39E,=�X%3#?KL% � �+RQ�� � � U%T Z W� a . 562 0�,=* ���)#B8�549$*39:NB��!=�J9$8�#B��K39$,����D9$K ���)#?!E#?8�#B�I% ,�0���d�K-� 7 A�� d�F/249:Na2 K3#B*-@�#QK %3,D*3#?5 ,=*L%W%-24#`8 ��G��49E% < �4#,�0 ��!$!;,�%-24#B* � ��9$�X%3#B*-8 K/,�0 %324#)�49E8�#B� KL9$,��4!$#?K-KC*a��%39$, � A�� �(yxa�=YLK�NM��*)! ��� #B*-9�0�7 %-2���% � A � 9:KM�J9E8�#?��KL9$,���!E#QK3K �+� � 9$�I% T %-24#H%3249$�4G ' #?9E�4GA8�#?��K < *-#?� ����� %-24# < �49�%8 < K %OK32���*-#M#B8�549$*39:NB��!W�J9E8�#?��KL9$,�� � �+RQ�� � �b��[[%W<T U/. YO[�� M� 0 � � T "4� X�U%T Z W� %b9:KC5 #?*L0�#QNU%3!$7"!$#BG=9�%-9E8 ��%3#%3, Na24,.,IKL# � < ���I%-9�%-9E#QKC9E�X%32�#�8+,J�J#?!W��K < ��9�%aK �(yxa�=YLK�NM��*)! ��]\ 24,�F %-2���% S " � � � �����������A%32���% S " � NB���A%32�#B*-#&0�,�*-#�KL#?*3@=#M�=K/� < �49E%O,�0 � ����� �(yxa�=YLK�NM��*)�"�L]\ 24,�F %-2���% � S " � N?��� KL#?*3@=#M�=K/� < �49E%O,�0 � 5 � � �"����� ��� � �� 5 � � � �(yxa�=YLK�NM��*)�"�� \ 24,�F %-2���% Õ� Õ S ����� � � � � " � S ��*-#M�49E8�#B� KL9$,��4!$#?K-K �(yxa�=YLK�NM��*)�"6ZR[ #?*39$@�#M%32�#0�,�!$!E,�F/9$�4G K3N?��!$#?�A@�#?*-K39E,=�",�0 #�� < ��%39$,�� � � � � �UT7

7 Õ � � � � � � � � � � %��(yxa�=YLK�NM��*)�" )]\ 24,�F %-2���%b,=�4#M0�*3#?#)�J9$8+#?��K39E,=�4!E#QK3KC5 ��*a��8�#&%-#B*C*3#?8 ��9$��K T � �� �� � � " � S �(yxa�=YLK�NM��*)�"! \ �#B%-Na2A%324#)K3,�! < %39$,��X,�0 #�� < ��%39$,�� � � � %�� 0�,=*/@���*-9E, < KC@���! < #?KC,�0 � �� �(yxa�=YLK�NM��*)�"�" \ 24,�F %32���%P��!E%3#?*3� ��%39$@�#/Na24,=9$NB#/,�0 < �49E%-K^��*-#�� � 0�,=* � 5 � � �"� �"�.��� � � � 5 � � �c�����*� " � � " ��0�,�* � �������W%-24#B� KL2�,�F %32���%%324# *-#B8 ��9$�49$�4GA0�*3#?#+�J9$8�#B��K39$,��4!$#?K-KM5���*a��8�#&%-#B*9:K S � �X� � 9$�I% T �" � � " �� Õ 9$K�J9$8�#B��K39E,=�4!$#?K-K � �(yxa�=YLK�NM��*)�" �%� ��� 7�, < %3249$�� ,�0 *-#?��K3,�� KCF/2I7X7�, < 8+9$G�2I%O5�*3#B0�#B*b%-, � ��,�% � < KL#)%324#+��!E%3#B*-����%39$@�# < �49E%-K,�01%32�#�54*3#[email protected], < KP#&MJ#B*aN&9:KL# �+RQ��!� S [ Z [L2���[[%W X�U%T Z W� %O9:K/�4,�%3#BFP,�*3%32.7�%-2���% � K3N?��!$#?�X@�#?*-K39$,���KP,�0 � � < ���I%39E%39$#?Kb*3#?8���9E� 9$�X%324# �49E8�#B� KL9$,��4!$#?K-K/8�,J�J#B! F/24#B�4#?@�#?*%32�#?K3# � < ���I%39E%39$#?K 2�� @�# ( � *�' #B#?� < K3#?�(%3, �J#&F���#S%32�# < �49E%-K � > 249:K)G=9E@=#?K�7=, < � G=#B�4#?*-��! G < 9:�J#B!$9$�4#S0�,=*Na24,.,=K39$�4G < �49�%aK T �4, ( � * 9$�I@=,�!$@�#D%324#�5 ��*a��8�#&%-#B*aK^F/2�9$Na2 ��*-#,�0 9E�I%3#?*3#QK % �(yxa�=YLK�NM��*)�"�� \.< 5456,=K3#X%32���%+%-24# 8�,.�4#B!C�4,�F ��!$K3,(�4#?��!:K+F/9�%-2�%-24# 8 � � %3*a��� K3NB*39$5J%�,�0M�(K3#?N&,=���G�#?�4# � � ,�F 7=, < ��*-#S�J#?��!E9$�4G F/9E%32 % FP, G�#?�4#?K?d K3� 7�P������ � � , < !$� � 5 � � ���-��� ��� � ��� � � � 5 � � � ���

������� � � ����� � 5 � � ��� ��� ��� � ��� � �� 5 � � � �"������� ��� � � NB, < �I%D�=K/% FP,A�J9:K %-9E� NU%D#?8�549E*-9:NB��!1�J9$8+#?��K39E,=��KBd,�*/FP, < !$� ' ,�%32 @���*-9$� ' !$#?K ' #?!E,=�4G+%3,�%-24#)K3��8�#NB!$�=K3K � 5 � � ��� �"� ��� � ��� � � � 5 � � � :

Page 67: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�������!���)&X( �v�� �*� ����� � ������#$����� � H+RQ��!� � X/2 ��T U/.�Md�Y �GW Z � [ � Y> 24#P0�,�*-#BG=,�9$�4Gb#4MJ��8�54!E#CK < G�G=#?KL%-K %32���% ' 7)K-NB��!E9$�4G�d�7=, < NB���H*3#Q� < NB#`%-24#C� < 8 ' #B* ,�0�9$���J#?5 #?���J#?�=% 5���*-��8 �#&%-#B*aK ' 7 ��KD8 ���.7X�49E8�#B� KL9$,���KM��Kb%324#?*3#+��*-#)9$���J#B56#B� �J#B�I%��J9E8�#?��KL9$,�� KO9$� 7�, < *O8�,J�J#?! � � a 7 � 5 .�: � ] � +2 % 4�1$& ] ��K-KL#?*L%aK`%-2���%/%-249:K/9$KC9$���J#?#?� ��!$FC� 7.KCK3, � � � %28� 8 % � � *�' � (�����' �

� � ' � I������4I�' � � � � � � g ���� � ( � *�� % ��� �#� (!*�')*�' % � ')( ��� � % � � 8 � �!%28 � ( � % 8 % � 8.')*�* %+( ')( '���% (��-' � (#�&%G�J� � � 8���� � � � I � ��� I � V � � � � )+ � I � � I������&I3R � � � HI��8� � 8 % � � *�' � (�����' � �� ��� � ( � R��� � � '���% (��-' � (#�&%G�J� � �#� (!*�')* ' %G���> 24#0�,=!E!$,�F/9E��G+K3#B*-9E#QKC,�01#&MJ#B*aN&9:KL#QKP#?KL%-� ' !E9:KL2 �+54*-,.,�0 ,�0 %-249$K/%324#?,�*-#B8 �(yxa�=YLK�NM��*)�" �]\ 24,�F %-2���%QdDG=9E@=#B� � @�#QNU%3,=*�� ��� � dO7�, < N?��� 0�,=*38 � � < ���I%-9�% 7�� � � � F/249$Na2 9$K#&MJ54*-#?K-K39 ' !$#9E�A%32�# ' ��K39$K/�49E8�#B� KL9$,���K T

� � � � ��')( �

' ���' )+��� ( �

� ��� � � � � � � � �� � 9E�I% T *3#QNB��!E!6%32�#)�J#&F���9E�4G 5�*3,=5 #?*L%-9E#QKC,�01���J9$8�#B��K39$,�� ' ��K39:KBd�� � � � � � �(yxa�=YLK�NM��*)�"���� #B*-9�0�7"%32���%b#�� < ��%-9E,=� � � � � � � 9$��� < N&#?K/�+!$9E��#?��*C%-*-����KL0�,�*-8���%39$,��� T � �! Ö � � �

� � 9E�I% T %324#�@=#?N&%3,�*"� �#� � 9$K/8 ��545 #Q�A%3, �+@�#?N&%3,=*%$ �#� � � �(yxa�=YLK�NM��*) �NL�� #B*-9�0�7M%32 ��%W%-24#^� ' ,�@=# %3*a����KL0�,�*-8 ��%39$,�� � 2��=K � =#B*-�4#B! � < ! � ,�0��J9$8�#B��K39$,���R � � � �� � ��*-�49$�4G T %-24#M%3#?*38 � �J9$8�#B��K39$,�� � 9:K < K3#?�X9$�A%-24#)K3#B��K3#,�0 !$9$�4#?��*b��!$G�# ' *-�H24#B*-# ( �(yxa�=YLK�NM��*) � � � #B*-9�0�7"%32���%&$ L 8+#Q����KP%-2���%/%-24# � < ���I%-9�% 7�� � � � 9:K/�J9$8+#?��K39E,=�4!E#QK3K �(yxa�=YLK�NM��*) � Z � #&% E�' � I������4I ' V F ' #� ' �=KL9:K^0�,�* � < ! � �����"@=#B*-9�0�7�%-2���%C%-249$Kb9E��� < N&#QKCR �J9$8�#B��K39E,=�4!$#?K-K� < ���I%-9�%-9E#QK

� � ��')( �

'� � (' )+ � � � I������4ILR �

+RQ ��� - [ � Y T^U/.BdB_Md�W,T W� ���J9E��G @=#?NU%-,�*aK E�' V � �,I������&I ' � F %3, %-24# ' ��K39$KH,�0 � < ! �)d 7�, < NB��� 0�,�*-8 �[NB,�8�54!$#&%3# ' ��K39:K)0�,=* � � �� 9E%32 #?�=Na2A,�0 %-24#?K3#����4�J9E%39$,�� ��! ' �=KL9:KP@�#QNU%3,=*-K?dJ��K-KL,JNB9$��%3#�� � < ���I%39E% 7

� � ��')( �

'� � (' )Y+ � � R � I������&I�� �

(yxa�=YLK�NM��*) �/)]\ 24,�F %32���%D�4,=�4# ,�0 %324#QKL# � < ���I%39E%39$#?K � � 9:KO�J9$8�#B��K39$,��4!$#?K-K �H� � 9$�I% T %-24#"=#B*-�4#B! ,�0 � 9$K��!$*-#?���47SKL5����4�4#Q� ' 7S%-24# F�*aK %/R ' ��K39:K^@=#?N&%3,�*aK � �(yxa�=YLK�NM��*) � \ 24,�F %32���%"#?�=Na2�' ' � * � I������4I�� � NB��� ' # #4MJ54*3#QK3K3#?� < �49 � < #B!$7 ��KS� 54*-,J� < N&%S,�056,�F^#?*-KP,�01%32�# E � � F �� ( � �b� � 9$�I% T %-24#�8 ��%-*39GMAN&,=!E!$#?N&%39$�4G+%324# ' ��K39$KC@=#?NU%-,�*aKP9$KC9$�.@�#B*3%39 ' !$# � �(yxa�=YLK�NM��*) ��" \ 24,�F_%32 ��%�#?��Na2�*3#?!$��%39$,�� � � � g � N?��� ' #"*-#BF/*-9E%L%3#?��9$� %32�#"0�,=*38 �� � � �1I������@I � � � � �� � 9E�I% T %324#�5�*3#?@I9$, < K^#4MJ#B*aN&9:KL# � �

Page 68: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� ���$��� ������� ���Z���� ��� �����������

+RQ � � �ET Y U�W<T [9U�� W4W ` XMdeU Z T Z T� W� 0cFP# @���*-7 < �49�%aKD��* ' 9�%-*-��*39$!E7=d � � ' � I������4I�' � � � *-#B8 ��9$��KO@ ��!E9:� 9$�[@.9$*L% < #),�0`NB,�8�56#B��K-��%-,�*-7ANa2����4G�#QK��8�,=�4G ��!$! %324# ' ' � ,=�[%-24#S,�%-24#B*�2 �����;d %324#LF *-KL%)R � ' ��*3#�9$8+8 < �4#�0�*-,�8 K < Na2 N&,=8�5 #?��K3��%39$,�� KL9$��NB#%32�#B7A��*3#�J9$8�#B��K39E,=�4!$#?K-K �(yxa�=YLK�NM��*) ��� � *-G < # %-2���% K < Na2 9E8�8 < �49E% 7 9E8�54!$9E#QK)%-2���%+7�, < NB��� �J#B*-9E@=# �� Y � ' 7 @���*-7I9$�4G < �49�%aKBd< �4!$#?K-K �� ,��4!$7"�J#?5 #?���4K/,=� � �1I������@I � V �(yxa�=YLK�NM��*) �� \ 24,�F %-2���% �� ,���!E7 �J#?5 #?���4KM,�� � �<I������4I � V �"� � 9E�I% T �� � 9:KD@���!E9:�;d;�4,X8 ��%L%-#B*F/2���%%32�# < �49E%-Kb��*3# � �(yxa�=YLK�NM��*) ���]\ 24,�F %-2���% �� � � �<I������&I � � � � *-#?� < NB#?KP%-, �� � � �<I������4I � V � � �+RQ �� ]^� �M� [[Na�2 [9U/2M�^X � �� � %32�# !:��KL%O#&MJ#B*aN&9:K3#M7=, < 54*-,�@�#Q� #P< N .9$�4G�2 ��8 � K/%324#?,�*-#B8 d�F/249:Na2 %3#?!E!:K < K/%-2���%OFP#)�4#?#?�X%-,SF^,=*)AF/9�%-2,���!E7 R � < ���I%39E%39$#?K�*a��%-24#B*�%-2���� � � > 249:K)G�*-#?��%3!$7[K39E8�54!$9PF #?K�%-24#"��8+, < �I%),�0/FP,�* %3,[�4,�d �����;d18�,�*-#9$8+56,�*3%-���I%3!$7�d.#?K-KL#?�I%39:��!6*3#?!$��%39$,���K3249$5�K^��*3#D54*-#?K3#B*-@�#?�SF/24#B�A�4,�� ���J9$8�#B��K39E,=����!$9 4 9$�4G � � �"8�,=KL%/NB��K3#?K`%32�#B*-#��*-#���%b!$#?�=K %b��KC8 ���I7"5���*a��8�#&%-#B*aK/��KP%-24#B*-#���*-#M9$���J#?5 #?���J#?�=%M�J9E8�#?��KL9$,�� KC9E�X%32�# < ��K-NB��!E#Q�"8�,J�J#B! d������,���#M9:K/!$#&0 %bF/9E%32 K3,�8�#*3#?8���9E��9E�4G K-NB��!E#Q�"5���*-��8�#&%3#?*-K �(yxa�=YLK�NM��*) ���]\.< 5456,=K3#A� %-*-��9E� KL56,�%3%3#B*+KL56,�%aK �[� < 8 ' #B* ,�0/#B�4G=9E�4#QKH� < *39$�4G %-24#ANB, < *aK3# ,�0O� F/9$���J7� < % < 8����4� 7 � � � %324#"#B@�#?�49$�4G�d1%32�#A�J9$!E9$G�#?�I%H���4,=*-��[�����4K < 5 ��!$!c%32�#?K3#S� < 8 ' #B*aK ����� NB��!$N < !$��%3#QK�%32�#� @�#?*-��G�# � � ,�8�8�#B�I%b,=�"%-24# < K3#&0 < !$�4#?K-KC,�01%32�9$KbN?��!:N < !:��%-9E,=� �+RQ � � � d�W X � Y U Z W Z�� VU/. Z �> 24# KL,=!E#QN&9:KL8 ,�0b%324# !:��KL%+#4MJ#B*aN&9:KL#A9E!$! < K %-*-��%3#?K %32�#X9:K-K < #A,�0b%-24# + 2 $0 0.�: 2 ,�0M8�#?��K < *-#B8�#B�I%aK T �4,�%���!E!K-NB��!$#?K/��*3#M8�#?�=K < *-#B8�#?�=%aK/��*-#MKL%3*-,���G+#?�4, < G�2A%3, K < 545 ,=*L%b��!E!W56,=K-K39 ' !$#���*-9�%-248�#&%-9$N?��!;,�56#B*a��%-9E,=��K �+RQ ��� ]^� U�[ Y T^UMd��W"2 d�� *[Na>Y 4dVW,X � VY VU Z� � � ./� ]L5 .�76 + 7 �o6 � ' ] � +4a $0 ] 0. 2Ld4� < 8 ' #?*b9$Kb8+#?*3#?!E7A������8�# � � ,S��*-9E%3248�#&%-9$N?��!;,=5 #?*-��%39$,���KC8 � =##B8�549$*-9$N?��!cK3#B��K3#�,�� �X�4,�8�9$����!cK-NB��!E# � > 24#�,��4!$7 NB,�8�5���*-9:KL,=�[56,=K-KL9 ' !$#+F/9E%32�9E� � �4,=8+9$����!cK3N?��!$#+9:K0�,=*#�� < ��!E9E% 7 �(yxa�=YLK�NM��*)���L 3 9E@=#c#&M4��8�54!$#?K ,�0 � < ���I%-9�%-9E#QKW8�#?�=K < *-#?�M,=�)�/�4,�8�9$����!IK3N?��!$# �`� � 9$�I% T %-249$��D,�0�KL9E% < ��%39$,�� KFP#B*-#N?��%-#BG�,=*39$#?K^,�0 �4��%-����*-#D*-#B5�*3#QKL#?�=%-#?� ' 7S9E�I%-#BG�#?*-K � �+RQ � + ]^� [ � �9T UMd�� W"2 d�� *[Na>Y d�W X � Y U Z� � ��� �1$@= 5 .�76 + 7 �o6 � ' ] � +@a $0 ] '. 2LdJ%-24#�,�*a�J#?*/,�0 %324#�� < 8 ' #?*-Kb�4,�F 2 ��K/��8�#?���49E��G � O ,�*/9$��KL%-��� N&#�d#B@=#B*-7�5���9$* ,�0 ' 9E,=!E,=G�9:NB��!IK35 #QN&9$#?K 8 � 7 ' #C�=K3K39$G��4#Q��%32�#/� < 8 ' #B*aK � d �Jd � d � d � d�,=* � ��N?N&,=*-�J9$�4GO%3,F/24#&%-24#B*%32�#B7 ' #B!$,���GH%-,+%324#)K-��8�#G�#?� < KBd.0 ��8+9$!$7�d4,=*-�J#?*?dJNB!$�=K3K?dJ542.7.! < 8 d4,=* .9E�4GI�J,�8 �(yxa�=YLK�NM��*)���� � #B*-9�0�7A,�*a�J9E� ��!$9�% 7 T ��5���9E*/,�0 K35 #QN&9$#?KbNa2 ��*a��NU%-#B*-9 4 #?� ' 7 � 9$K/8�,=*3#�N&!$,=K3#B!$7"*-#B!:��%-#?�"%32�����+5���9$*bNa2���*-�=NU%3#?*39 4 #Q� ' 7 � ,��A%32�9$KbK-NB��!E# �(yxa�=YLK�NM��*)��6Z � MJ54!:��9$��F/2I7M%-24#^�J9 #B*-#B��NB# ' #&% FP#B#B� 5���9$*-KW%32���% K-N&,=*3# � ����� � NB���4�4,�% ' #^8�#?����9E�4G�0 < !$!E7N&,=8�5���*-#?� %3, ���4,�%324#?*�5���9$*,�0C5���9$*aKO%-2���%)K-N&,=*3# �X����� � � � � 9E�I% T %324# � < 8 ' #?*-K � %3, � 8�9EG=2I% � < K % �=KFP#B!$!;2�� @�# ' #B#B� � d � �Jd � � d % ��� d % ��� dJ����� % � � H g � � �(yxa�=YLK�NM��*)�� ) � KS� KL56#?NB9E#QK�5���9$*�%32���%"K3NB,�*-#?K � %324*-#B#X%-9E8�#?KS!E#QK3K NB!E,IKL#?!E7 *-#B!:��%-#?��%32���� � 5 ��9$*�%32���%K-N&,�*-#?K � :(yxa�=YLK�NM��*)��! � ���X7�, < 8�#?���49E��G�0 < !$!E7AF^,=*) F/9E%32 � @=#B*a��G�#QKc,=� ���A,=*-�49E����!WK3N?��!$# : � 2.7 � �4,�% � :

Page 69: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

��� ����� ��� �Z��)����� �!� � �b(�� �b� #$� � ��� ��&'����� ��)� � �

(yxa�=YLK�NM��*)���"B(��^Y>F�-6M,?3,OHB?3���8 � #&% � *O*3#?54*3#QKL#?�I%D��� ,=*-�J9$����! K-NB��!$#�d6KL,S%32���% � * � � � 9:Kb%-24#)8�#?�=K < *3#��8�#B�I% � � K3NB,�*-# � � ,�0^, ' � #?N&% � ,�� %3249:K�K-NB��!$# � > 24#B�(@�#?*39E0�7 %32 ��% � * � � � � � * � � � ����� � * � � � � � * � � �%3,=G�#B%324#?*/9E8�54!$7 � * � � � � � * � � � �(yxa�=YLK�NM��*)�� �%� ���+%324#bNB,���NB#B5J%c,�0 #?8+5�9E*-9$N?��!��49E8�#B� KL9$,�� ' #b��5454!$9$#?�H%3, � < ���I%-9�%-9E#QK %32���%`��*-#C8+#Q��K < *-#?�,�� ��� ,=*-�J9$����! K-NB��!E# :+RQ � � ]^� T^U Z � "Md��W"2 d�� *[Na>Y 4dVW,X � VY VU Z� �S���L5 . 2 '$d8 �76 + 7 �o6 �F' ] � +@a $& ] '. 2LdI�J9 #?*3#?��N&#QK ' #&% FP#B#B�+%-24#O� < 8 ' #?*-K 2 � @�#b����#?8+5�9E*-9$N?��! 8+#Q���49$�4G �(yxa�=YLK�NM��*)���� \ 24,�F]%32 ��%D7=, < N?��� 8�#?���49$�4G�0 < !$!$7X�J,X���4�49�%-9E,=��KBd K < ' %3*a��N&%39$,���KD�����[� @�#B*a��G=9E��G+,=� %32�#9$�=%-#B*-@���!WK-NB��!$# �(yxa�=YLK�NM��*)�� � � *-G < # F/2.7[9E%)8 � =#?K�K3#B��K3#�%3, KL%-��%3#�%32 ��% � �� � 9$K%-24#S8�#?��� ,�0 � � � � ����� � � � � �� � 9E�I% T %3249$��X� ' , < %/8�9PMJ9$�4G #�� < ��!#� < ���I%39E%39$#?KC,�01FC��%-#B*C,�0 �J9 #?*3#?�I%P%-#B8�56#B*a��% < *3#QK � �(yxa�=YLK�NM��*)���� � K/9�%/%-* < #D%-2���%O�H%-#B8�5 #?*-��% < *-#,�0 � � � � 9:KC% F/9$NB#���KC249$G�2 ��K � � � � : � 2.7 � �4,�% � :(yxa�=YLK�NM��*) �NL�� MJ54!:��9$� F/2.7X5�*3,=5 ,=*L%-9E,=��K � *-��%39$,=K?d�� < ,�%39$#B�I%-K � ' #&% FP#B#?� 8�#?�=K < *-#B8�#?�=%aKO��*3#H8+#Q���49$�4G �!$#?K-KC,�� ��� 9E�I%-#B*-@ ��!WK3N?��!$# �/� � 9E�I% T %324# 4 #B*-,H,�0 ���A9$�I%3#?*3@���!WK-NB��!E#9:K/��* ' 9E%3*a��*-7 � �+RQ � � ]^� � d Z T [ W"2 d�� *[Na>Y d�W X � Y U Z� � � $�� 285 � + 7 �o6 �F' ] � +@a $0 ] '. 2LdM�J9 #B*-#B� N&#?K ����� 54*-,�56,�*3%39$,�� K � *-��%39$,=K?d � < ,�%-9E#?�=%aK � ' #&% FP#B#?� %32�#� < 8 ' #B*aKC2�� @=#���A#?8�549E*-9:NB��! 8+#Q���49$�4G � > 24# 4 #?*3,+9$Kb�4, !E,=�4G�#?*/��* ' 9�%-*-��*37 ' < %b#&MJ54*-#?K-KL#QK/�+����% < *-��!;� < !E!56,�9$�=% � � !$!1��*39E%32�8+#B%39:N�8 � =#?KOK3#B� KL#�,=� %324#H*-��%39$,SK3N?��!$# � � �4!$7"%-24# < ��9�%M9$KDK %-9E!$!1��* ' 9�%-*-��*37S,=� %324#H*-��%39$,K-NB��!$# � > 24#A*-��%39$, K3N?��!$# 9$K)%324#"K-NB��!E# ,�0/8+,IK %+N&,�8�8�,���!E7 < K3#?� � < ���I%-9�%-9E#QK)9$� 542.7.K39:NBK?d1Na24#?8�9$KL%3*-7 �����' 9$,�!$,�G=7 �(yxa�=YLK�NM��*) � � � MJ54!:��9$� F/2.7�8�,=KL%18�9:K %a� �#QK F/9E%32�K-NB��!$#^KL%3*-#B��G�%32+��*-#^� < #`%-,M��� #B*-*-,��4#?, < K1��K-K < 8+54%39$,��%32 ��%/%32�#�8+#Q��K < *-#B8�#B�I%b��%/2������X2���KP%-24#)K %-*3#?�4G�%-2A,�01��*a��%-9E,�K3N?��!$# �+RQ � � ]^� d�_�W4[�^X Z *W"2 d�� W"[Na>Y d�W X � Y U Z� �4!$7 � %,+ �>6 a 2 + 7 �76- + ��*3# KL%3*-,���G�#B*b%32���� *-��%39$,"K-NB��!$#?K � > 24#QKL#+K3N?��!$#?KD��*-#)!E9��# %324#H*-��%39$,"K-NB��!$#�d ' < %M%32�#< �49E%b9:K/�4,�!E,=�4G�#?*/��* ' 9�%-*-��*37 �(yxa�=YLK�NM��*) � Z$� ����7=, < KL#?#XF/2.7 �(N&,=8+8�,=��8�9$KL%-���#XF/9�%-2 � < ���I%39E%39$#?K+,�� ��� � ' K3,�! < %-#XK-NB��!E#X9$KH%-,N&,=��K39$�J#?*C%324#?8 %-, ' #)�J9$8�#B��K39E,=�4!$#?K-K :(yxa�=YLK�NM��*) �/) � ���J9:NB��%-#�F/24#&%-24#B*%-24#+0�,�!$!E,�F/9$�4G K3N?��!$#?K��*-#H��,�8�9E� ��! d;,�*a�J9E� ��! d;9E�I%3#?*3@���! dW*a��%-9E, d;,�*�� ' �K3,�! < %3# T � 9 � 8 ��K-KM9E� I9$!$,�G�*a��8 K�� � 9$9 � A ,=2 � KMK-NB��!E#H0�,�*M%-24#�2���*a�J�4#QK3KM,�0^8+9$�4#?*-��!$K�� � 9$9$9 � %3#?8�5 #?*-��% < *-#H,=�%32�# +#[email protected]$�"K3N?��!$# � � 9$@ � � K3#B8�9 � � < ���I%-9�%a��%39$@�# � K-NB��!E#QK %32 ��%C#&MJ54*-#?K-Kc%-24#DNB,�G���9�%-9E@=#DKL%-��%-#O,�0 ���"���49$8���! d.K < Na2��KP�J#?G�*-#B#b,�0 ��G�G=*3#QK3K39$@�#B��#?K-K ,�* � , � � @ � %32�#O%-#B8�5 #?*-��% < *-#DK-NB��!E#QKc,�0 � #B!:KL9 < K?d �#?� < 8 < *P����� O ��2�*3#?�424#B9E%��� @.9 � 56,�5 < !:��%-9E,=� KL9 4 #�� � @.9$9 � %39$8+#�9$� K3#?N&,=���4K�� � @.9$9E9 � %-24# # #?� < 0�,�*3%bK3N?��!$#�,�0 F/9E���#� � 9GM � %32�# �J#?NB9 ' #B!1K3N?��!$#,�0 K3, < ���A9$�=%-#B��K39E% 7�� � M � %324# 9:Na2I%3#?*bK3N?��!$# �(yxa�=YLK�NM��*) � �� #B*-9�0�7 %-2���%�,=�4!E7 � < ���I%39E%39$#?K,��(��� 9E�I%3#?*3@���!cK3N?��!$# ,�*�KL%3*-,��4G=#B*M2�� @�#���� #B8�549$*39:NB��! �J9 �8�#B��K39$,�� �(yxa�=YLK�NM��*) ��" � MJ54!:��9$�[F/2.7[� � < ���I%39E% 7 %32���% ���J8�9E%-KM8�#?�=K < *-#B8�#?�=%,�� �XK3N?��!$#H,�0P�AG�9$@�#B� KL%3*-#B�4G�%32��!:K3, ���J8�9E%-KH8+#Q��K < *-#B8�#B�I%),�� � F^#Q� �#?* K-NB��!$# � � � 9$�=% T #B@�#?*37I%-249E��G NB��� ' #"#4MJ54*3#QK3K3#?�(,=� � �4,�8�9$����!K-NB��!$#�dJ9E0 ,��4!$7"��K � 8�#?�=K < *-#B8�#?�=%/� < 8 ' #?* � � �(yxa�=YLK�NM��*) ����� 2I7AF^, < !:�"7=, < 54*3#B0�#B*b�+FP#?� =#B*/K-NB��!$# : � � 9$�I% T *-#B!$9$� ' 9E!$9E% 7 � �

Page 70: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� �

��$��� ������� ���Z���� ��� �����������

(yxa�=YLK�NM��*) ��$� ���X7�, < 54*-,�@�#D%324#0�,=!E!$,�F/9$�4G N&!:��9$8�K :� 9 � � �4,=8+9$����! K3N?��!$#D9:K/9$�.@ ��*39:���I% < ���J#?*O���.7 ' 9 � #QNU%39$,�� � � � � %-*-����K 0�,=*38 ��%39$,�� � �� 9$9 � � � ,�*a�J9$����!WK-NB��!E#9:KC9E�.@���*-9$���I% < ���J#B*b���.7S8�,��4,�%3,���#D%-*-����KL0�,�*-8���%39$,�� �� 9$9$9 � � �X9$�I%3#?*3@���! K3N?��!$#D9:K/9$�I@���*39:���I% < ���J#?*O���.7 %-*-����K 0�,=*38 ��%39$,��S,�0 %-24#0�,�*-8 �� � �� 9$@ � � *-��%39$, K3N?��!$#D9:K/9$�I@���*39:���I% < ���J#?*O���.7 %-*-����K 0�,=*38 ��%39$,��",�0 %-24#0�,�*-8 �� �� 9$@ � � � � ' KL,=! < %-#�K3N?��!$#M9:KC9$�I@���*39:���I%/,��4!$7 < � �J#B*/%-24#9$�4#B�I%39E% 7 �+RQ � � � d Z d> 24#/N&,=8 ' 9$�4#Q�)*-#?K < !�% ,�068�#?��K < *-#B8�#B�I%aK 56#B*30�,�*-8�#?� %3,Na2���*3%1,=* Na2���*a��N&%3#B*-9 4 #`�D*3#Q��! � FP,�*-!:�5424#B��,�8�#B�4,=�9:KcNB��!E!$#?�O2 / � �9 0$ 5^] '. 2 �o6%= � 2 ��� � � 8 � � ,�* < K3#/,�0 8���%324#?8 ��%39:NB��!J8�,.�4#B!:K 9$K %3,�,�*a�J#?*c�4��%a�M�����+#&M.%3*a��N&%9$�J0�,�*-8 ��%39$,��A0�*-,�8 %-24#?K3#)�4��%a� � NU0 � � � � � �(yxa�=YLK�NM��*) ���%� ,��I%3*a��KL%S����� N&,=8+5 ��*-#"%-24# 0�,�!$!E,�F/9$�4G(% FP,(FC� 7JK+9E� F/249:Na2 � 8�,J�J#?!b9E�I%-#B*a��NU%aK�F/9�%-2�4��%-� T �4��%-� + � a $ 7 ] � 2 '$ 5 �o6 @=#B*aK < KC�4��%-����K 2 + 2R] � 2 0$ 5 �76 �+RQ���� ] W Z T U/. �M� 4�9T 2 Z T [9U�W� 24#?� %324# 8�,J�J#B!O9$KS�4#B@�#?!E,=5 #Q��9$���J#?5 #?���J#?�=%-!E7 ,�0�K3,�8�# 5���*3%39:N < !:��*S����%-� K3#&%QdPNB,��J0�*-,��I%a��%39$,�� ,�0M%32�#8�,J�J#B!WF/9E%32X%-2���%O�4��%-��K3#&%b��8�, < �=%aKP%3,�%-24#%3#QK %-9E�4G�,�0 �+54*-#?�J9:NU%-9E,=� �(yxa�=YLK�NM��*) ��� � K�9�%S#QK3K3#B�I%39:��!P%-2���% %-24#X%3#?KL%"�4��%-� KL#B% 9$K NB,�!$!E#QNU%3#Q��,=�4!$7���0 %-#B*�%32�# 8+,J�J#?!/2���K ' #B#?��J#?@�#B!$,�56#?� :+RQ�� � �9d � deY Z � W Z T^Y d Z T [9U� � � �<$�� ] 2 '$�� 2K285 .�:�� d ����%-�AKL#?*3@=# ' ,�%32(��KMKL, < *aN&#H����� %-#?KL%M8 ��%-#B*-9$��! d;�=Kb5���*-��8+#B%3#?*D@���! < #QKD��*3#)#QK %-9 �8 ��%-#?�(F/249$!E#�%-24#S8�,J�J#B!c9:K ' #B9$�4G N&,=�J0�*-,��I%3#Q� F/9E%32(%-24#"�4��%-� � \.< 5456,=K3#�%32���% � 8�,.�4#B! � �J#?K-N&*-9 ' #QK��54*-,JN&#?K-KP@���*-9$� ' !E# �=K/�H0 < ��NU%-9E,=� ,�0 %39$8+# Õ ��� �S%-24*3#?#�5���*a��8�#B%3#B*aK Q I X I � T

� � Õ � Q I X I � ���� � K < 5�5 ,IKL#%-2���%D�S� < 8 ' #B*bR ,�0c�4��%-��5���9E*aK � Õ � I � � 9$Kb� @���9E!:� ' !$# � %-24#)#?�=%-9E*-# �4��%-� K3#&%O8 � 7 ' #)*-#B5�*3#��K3#B�I%3#Q�A�=K � I� �L� �(yxa�=YLK�NM��*)��NL]\.< 5456,=K3#�%32 ��%b%-24#B*-# ��*-# � I * K < Na2X%-2���% Õ � Õ ' � [ , 7=, < #&MJ56#?N&% � ' : � 0c�4,�%Qd�24,�F�J,�7�, < �=NBNB, < �I%C0�,�*C%-24#)�J9:K3NB*3#?5�����NB7 :(yxa�=YLK�NM��*)�� ��[ ,H7�, < #4M.56#?N&%`%-24#D�4��%-��56,�9$�I% � %3, #�� < ��! � � Õ � � Q I X I � � : � 0W��,�%?dI24,�F �J,)7=, < �=NBN&, < �I%0�,�*C%-24#)�J9:K3NB*3#?5���� N&7 :+RQ��� � [ [�� U W4W [Na� Z> ,� < ���I%-9�0�7 24,�F KL%3*-,��4G=!E7"%324#+8�,J�J#B!154*-#?�J9:NU%-9E,=�[N&,=�!F�*-8�KO%3, � ,=*D�J#?@I9:��%-#?KO0�*3,=8 � %32�#+�4��%-��d 9$�[,�%324#?*FP,�*a�4KBdQ%-,M#4MJ54*3#QK3K %32�#�� ,�,�73-;�IMgM�� , G�����3 dB%-24#P0�,�!$!E,�F/9$�4G M6-�1 , G6M���-'F4YD� 76�IY Y , YLM 0 < ��NU%-9E,=� ![9:K F/9:�J#?!E7< K3#?� T

! � Q I X I � � I� � V&� ( � � � � �� � Q I X I � � � � � ? � � � � ��� �

(yxa�=YLK�NM��*)�� Z � KC%324#�G=,.,.�4�4#?K-K � ,�0 �`F4%C249$G�2X,�*/!$,�F F/24#?� ! 9:KC249EG=2 :� `badc �wrtg>�qf>|,{}p�rt� 9F*>= ��� kba>rtsVa �*cl{}g>�e uwa>{�u'kba>rtsVa�rt���qr �zclgEmt���� jq�*c�uwrt�*c���{}|t�wjXsC{}|t|tc�x . *���0@+�82*>= 0�6�;��

Page 71: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�������/���$����� �9��"� ��� � &'��� ���+RQ�� � � W Z}0 Z "Md��^X W> 24# ' #?KL%��`F4%�@ ��! < #?K E��Q I �X I �� F ,�0`%32�#H%-24*-#B#�5���*a��8�#B%3#B*aKM��*-# %-24,=K3# 0�,=*�F/249:Na2 ! 9$K8�9$�49E8�9 4 #Q� � > 2�#?K3#��*-#, ' %a��9$�4#?� ' 7S5 < %3%39$�4G � ! � � Q � ! � � X � ! � � Q � �����XK3,�!$@I9$�4G+0�,�*C%-24#�5���*-��8+#B%3#?*-K �(yxa�=YLK�NM��*)��/)\[ 9:K3N < K-K � � < 8�#B*-9:NB��! � 54*-,.NB#?� < *3#QK`%-,S�J#&%-#B*-8�9E�4#M%-24# ' #QK % �6F�%b@ ��! < #?K �(yxa�=YLK�NM��*)�� �� � G�#?�4#B*a��! d47�, < ��*-#�!E,.,�I9$�4G 0�,=*D� 8�9$�49$8 < 8 ,�0 ! 9$� � 5���*-��8�#&%3#?*OK35���NB#�%32���%D2��=KO�=K8 ���.7 �J9E8�#?��KL9$,�� KD�=KO7=, < 2�� @=#)5���*a��8�#B%3#B*aK � [ 9:K3N < K-Kb%-24#+�49 � N < !�%-9E#QKO7=, < 8�9$G�2I%D#4M.56#?N&%M�J#B%3#?*38�9$�49E��G%32�# � � � � � � 8�9E�49$8 < 8 ,�0 ! �+RQ���� CT Y X�� Z d�U [ X�W Z0Z T^U/.� %c,�0 %-#B��2���545 #?��K %-2���%c%-24#b�4��%-�N&,=8+5�*39:KL#/K39E8 < !E%-����#B, < K 8+#Q��K < *-#B8�#B�I%-K T %-2 < K 7�, < 2 � @�#/�4��%a�M5 ,=9E�I%-Kc,�0%32�#D0�,=*38 � � � I � I � I ��� � 9:KC� @ ��9E!:� ' !E# � � 0 %324#M8�,.�4#B!W�J#QK3NB*39 ' #QKC��!$! %-24#?K3#K %a��%3#M@���*-9$� ' !$#?K?d=7=, < N?���A#&M.%3#?���%32�#M5�*3,JN&#Q� < *-#b%-,>F�� �S%-24# ' #QK % F4%3%39$�4G KL#B%P,�0 5���*a��8�#B%3#B*P@���! < #?K < K39$�4G+��!E!;� @���9$!:� ' !$#D�4��%-�+KL#B%-KC��%/,=��N&# �(yxa�=YLK�NM��*)���"B(CB /1Y-�./3iF�-;� ,�-ZM �3 3, - � K1F�-ZJ\�@H<�IY���D�FJYLM,/1=,/- ,�-ZM�8 \.< 5456,=K3# %32 ��% 7=, < 2�� @�#=d?�=K9$�[%-24# � ' ,�@�# #4M4��8�54!$#�d;%-24*3#?#H5 ��*a��8�#&%-#B*aKD����� %-24*-#B#�K %a��%3#�@���*-9:� ' !$#?K � > 24# �4��%-�XNB��� ' #�*-#B54*-#?K3#B�I%-#?���K/%324*-#B#�G=*-��54249:NBK?dI5�!E,�%L%39$�4G d�*-#?K35 #QNU%39$@�#?!E7=d��4��%-�+5 ,=9E�I%aK/,�01%324#)0�,�*-8 � � � I � � d � � � I � � d������ � � � I � � � � � ,�F8 ���.7 5 ��*a��8�#&%-#B*aKc��*-#/7�, < #QK %-9E8 ��%39$�4G L56#B*^N < *-@�# " : � ,�F �J,.#?Kc%3249:K`NB,�8�5���*-#C%3,H��K %-*-��9EG=2=%c!$9$�4# � ,�0 %3#?�%3, < %3#Q� ��K %-24#�KL9$8�54!$#?KL%b5 ,IK3K39 ' !E#8�,J�J#B! " � :+RQ�� + � �1X�W Z T '2 d Z T [9U a [ � � d�W Z}0 W ` XMd � W> 24#)8�#B%324,J� ,�0 8�9$�49E8�9 4 9$�4G %-24# K < 8 ,�0 K � < ��*-#?KCF/9E%32[*3#QKL56#?N&%/%3, %-24#)5���*-��8+#B%3#?*-K/N?��� ' # � < K %-9PF #?� �=K0�,�!$!$,�FbK � � K3K < 8�#A%32���% %32�#A8�#?�=K < *3#?8+#?�I% #B*-*3,=*)9$� � 9$KH�4,�*-8 ��!$!E7 �J9:K %-*39 ' < %-#?� � ' , < %+%324#A54*3#Q�J9:NU%3#Q�@���! < #�d`F/249E!$#A%324# � � ��*-# .�4,�F/��F/9E%32 5 #?*L0�#QNU%S��N?N < *a��NB7 � O4< *3%32�#B*-8+,=*3#=d %324# #?*3*-,�*aK)��*-#S%a� =#B� %-, ' # T� 9 � < � ' 9$�=KL#Q� *3#?!$��%39$@�#%-,A� � %3* < # � 8�,J�J#B! d�%-2���%M9$K?d6%324#H#&MJ56#?NU%-#?� @���! < # ,�0c#B@=#B*-7A8�#Q��K < *3#?8�#B�I%b9$KDF/2���%9:K 54*-#?�J9:NU%-#?� ' 7 %-24# 8�,.�4#B!b0�,=* %32�# � %-* < # � 5���*-��8�#&%3#?* @���! < #?K�� � 9$9 � 9E� �J#B56#B���4#B�I%������� ,�0 � 9E9$9 � #�� < ��!@���*-9$����N&# � ? � > 2�#B�+%324# � ,�9$�=%c5�*3, ' � ' 9$!$9�% 7 �4#B��K39�% 7 � ,�0/F����J9$�4G%-24#b8�#?�=K < *-#B8�#?�=%aK I� G�9$@�#?� %-24#b8�,J�J#B!��� �"9E%-K/5 ��*a��8�#&%-#B*aK^9:K

� � � I Q I X I � � V�� ( � � � ��� � �

" � #&MJ5 E � � / � � � � � Q I X I � � � � 0 � � � ? � � F �� ,�F 7=, < ��5454!$7+�HN&,�� N&#B54% < ��!4% F/9:K % T 7=, < @.9$#BF %32�9$K � �=K %32�# . ��<� . /5,�,�7 ,�0;%-24# �#�68�����% * %28J� dJG=9E@=#B��%32�#�4��%-� � � , < ��*3#!$,.,�.9E��G 0�,=*C%324#�5���*-��8�#&%3#?*C@ ��! < #?KC%-2���%b8 �<MJ9$8�9 4 #D%-249:K/!E9��#?!E9$24,.,J� �(yxa�=YLK�NM��*)����]\ 24,�F %-2���%b7=, < 2�� @�#D%3, 8 �,M.9$8�9 4 #

' � Q I X I � � I� � � �" ? V&

� ( � � � � � � � Q I X I � � � � � ?F/9E%32 *3#QKL56#?N&%C%3,+%324#�5 ��*a��8�#&%-#B*aK �C� � 9E�I% T %-� =#!E,=G=��*-9E%3248 K?d.�49$K-NB��*-�S%3#B*-8 KP%32���%O�J,��4,�%b�J#?5 #?��� ,��A%32�#5���*-��8+#B%3#?*-K � �(yxa�=YLK�NM��*)��� \ 24,�F %32���%b8��,MJ9E8�9 4 9$�4G ' ��8�, < �I%aKP%3, 8�9E��9E8�9 4 9$�4G�%324#)K < 8 ,�0 K � < ��*3#QKP�=Kb�J#4F��4#?�X9$�#�� < ��%39$,�� � � � ��� � �(yxa�=YLK�NM��*)������ #B*-9�0�7"%32���%b7�, < �J,��4,�%C��#B#?�A%-, I��,�F � ,=*/#?KL%39$8���%3# � %324#�@���! < #�,�0 � �

Page 72: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� � � � ��� ������� ���Z���� ��� �����������+RQ�� � � X�� Z T � � ��d Z d W Z W> 24#H!E,=G � !E9��#?!E9$24,.,J� ��*-G < 8�#B�I%DN?��� ' #+#&M.%3#?���J#?� %3, KL9$8 < !E%-���4#B, < KO����%-�AKL#B%-K?d;��K/0�,=!E!$,�FbK � � #B% � I � I � �' #�%324*-#B#�8�#?�=K < *-#B8�#?�=%aK��%%39$8�# � � � \.< 5�5 ,IKL#�%-2���% � I��%I � ��*3#H%32�#SKL,=! < %-9E,=��K,�0^%324# 8�,J�J#?! %32���%)FP�=K54*-,�56,=K3#?�"%3, �J#QK3NB*39 ' #M%-24#)�4��%a� � > 24#!$,�G � !$9 =#B!$9E2�,I,J�A��*-G < 8�#B�I%C%32�#B� !E#Q���4K < KP%3, 8�9E��9E8�9 4 #

' � Q I X I � � I�� I�CI�� � V&� ( �

� � � � � � � Q I X I � � � � � ?� ?� � � � � � � Q I X I � � � � � ?� ?� � � � � � � Q I X I � � � � � � ?

� ? � � � � � � �> 24#b,=�4!$7+�=�4�J9E%39$,�����! �J9 � N < !E% 7H9:K`%32���%`�4,�F %324#O@ ��*39:��� N&#?K � ?� I � ?� I � ? ,�06%-24#O8�#Q��K < *3#?8�#B�I%c#B*-*3,=* F/9�%-249$�#?�=Na2A,�0 %-24#%324*-#B#)K39$8 < !E%-���4#B, < KC�4��%a� KL#B%-K�� I� I��[8 < KL% ' # .�4,�F/� �(yxa�=YLK�NM��*)������ ,�F FP, < !$�A7�, < %a��N .!E#M%-249$KO�J9 � N < !�% 7 :+RQ�� � 2 d��GT^U/.R_ � "Md � T�deU/2 � �4# K3,�! < %39$,�� 9:K���K0�,=!E!$,�FbK T F/24#?� 9�%-#B*a��%39$@�#?!E7 KL,[email protected]$�4G"%-24#SK3#&%),�0C#�� < ��%39$,���K � ! � � Q � �����M7=, <(< K3#%32�#O@���*-9$����N&#b0�, < ���S9E� %-24#M54*3#[email protected], < Kc9E%3#?*-��%39$,�� � > , 9E�49E%39:��!$9 4 #b%-249:K^5�*3,JN&#Q� < *-# � 9$�S9E%3#?*-��%39$,�� � %-24#B*-#O9:Kc��,54*-#[email protected]$, < KP9E%3#B*a��%-9E,=� ( � 7=, <X< K3#D%-24#�F/9E%3249$� ���4��%a��K3#&%b@���*-9$����N&#QK �(yxa�=YLK�NM�� NLNL]\.< 5456,=K3#c%-2���% 7�, < , ' %a��9$� �/*-#?��K3,�� � ' !$7OG=,I,J� F�%?d�,�* 5 #?*32 ��5�K �b56,I,=*eF4%Qd�,�* ����#4MJNB#B!$!E#?�I%F4% � � ,�F �4, 7�, < %32�9E��AG�,.,J�J�4#QK3K�� ,�0 �6F�%CK324, < !$�A9E� ,�< #B� N&#�7�, < */N&,=�!F �J#?��N&#�9$�X%324#�8�,J�J#B! :(yxa�=YLK�NM�� NL � \.< 5456,=K3#`%-2���% 9$�H7=, < * #&MJ54!$,�*a��%39$,�� ,�0�7=, < * 8+,J�J#?!J7�, < 2�� @�#`0�, < � ��%32 ��%?d��=K15���*a��8�#&%-#B*aK��*-# @���*-9E#Q�;dW%-24#"N < *3@=#?K��J#?549:NU%39$�4G %-24#S54*-,JN&#QK3K@���*-9:� ' !$#?K � @���*-9$��%39$,�� F/9�%-2 %39$8�#"��K-K < 8+#S� F/9:�J# *a���4G=#,�0`K32���5 #QK � � MJ54!:��9$� F/2.7X9$� K < Na2[NB9E*aN < 8�KL%-����N&#QKb#?@�#B� � G�,.,J� ��G=*3#?#B8�#B�I% ' #&% FP#B#?� ' #?KL% F4%����� �4��%a��J,.#?K^!$9�%3%3!$#O%-,HN&,=�!F�*-8 %324#MK %-* < N&% < *-#O,�0;%324#M8�,J�J#B! �/� � 9$�I% T 24,�F � #?�=KL7 � 9$K^9�%P0�,�*`%324#M5���*-��8+#B%3#?*-Kc%3,\F ���F4%3%39$�4G @���! < #?K : �(yxa�=YLK�NM�� NL Z \.< 5456,=K3#M%32���%?d ' 7"N&,=�I%3*a��KL%?d.7�, < *C8+,J�J#?!WNB���",���!E7"�=K3K < 8�#� *-#?KL%3*-9$N&%3#Q�AK3#&%/,�01KL2���5 #QK �� *-G < #HF/2.7 9$�[%-249$K�N?��K3#+�XG=,I,J� ��G�*-#B#?8�#B�I% ' #&% FP#B#?� ' #?KL% F4%)����� �4��%a�X�4,I#QKM#B�42�����N&#�N&,=�!F �J#?��N&#�9$�%32�#�8+,J�J#?! � � �(yxa�=YLK�NM�� NL/)]\.< 5456,=K3#�,���NB#8+,=*3#M%-2���%b7=, < *C8�,J�J#B!W9:K � @�#?*-K-��%-9E!$# � 9$�A%-24#)K3#B��K3#�,�01#&MJ#B*aN&9:KL# � ��� dJ�����K < 5456,=K3#A%-2���% 7=, < 2 � @�#X, ' %a��9$�4#?� �[G=,.,.� F4% � � ,�F N&,=�!F �J#?�I% ��*3#X7�, < %-2���% %-24# ' #QK % �6F4% @���! < #QK�,�0%32�#A5���*-��8�#&%3#?*-K ��*-#"N&!$,=K3#S%-, %32�#% L%3* < # " @���! < #QK : � ��KLFP#B* %324# K-��8�# � < #?KL%39$,���F/24#B� 7�, < * 8�,J�J#B!P9$K� *3#QK %-*39:NU%-#?� � 9$�A%-24#�KL#?��K3#D,�0 #&MJ#?*-NB9$K3# � � �4d.�����S7=, < 2�� @�#M, ' %a��9$�4#?�X�HG�,.,J�"F4% �b� � 9E�I% T 2�,�F !$��*3G=#D9:KP%32�#*-#BG�9$,��A,�01%324#�5 ��*a��8�#&%-#B*/KL5 ��N&#F/24#?*3#M%-24# F4%b9:K/���.7SG�,.,J� : �+RQ�� � � a0X�U ��d�Y U Z d�� Z�� dM� 0 [Nc> 24# 0�,=*3#?G�,�9$�4G #&MJ#B*aN&9:KL#QK�K < G=G�#QK %S� %3*a���J#�� , ' #B% F^#?#B� %324# NB,��!F6�J#B��NB# � G=,.,.� F4%SG=9E@=#?K+7�, < ')( *�� %� � % � �����"%324#N&,=�!F �J#?��N&#��HG�,.,J� F4%/G=9E@=#?K^7�, < ')( *�� %���* * % ��� � �!%G� � � , < N?��� Na2���*3%^24,�F %324#8�,J�J#B! � K' #B2�� @.9$, < * Na2����4G�#QK ,�@=#B*+%324# 5���*-��8�#&%3#?*+K35��=N&#X%3, �J#B%3#B*-8�9E��#X,=��F/249:Na2 KL9:�J# ,�0D%3249:K+%3*a���J#�� , 7�, < *8�,J�J#B!W!$9$#?K �(yxa�=YLK�NM�� NL <[ 9:K3N < K-KC%324#�*-,�!$#M,�0 �J9E8�#?��KL9$,�� ��!W��� ��!$7.K39:K^9$�X%3249:K/#4M.5�!E,=*-��%39$,��",�0 5���*-��8�#&%3#?*bKL5 ��N&# �_� ���clc���rtg��*rtg>x 57u9a>jqf>�qa�5Eu9a7{�u�{*pV{}x>rtsl{}|t| � x>r y1clp9c�g"u �*j"x>c�| 5o�7{}�9clx�jqg�~"f>r u9cXx>rt�Iuwrtg>s�u�{}�9�wf>�*�iuwrtjqg>� 51��{l���>pwjl�drtx>cX{}gc�~if>{}|t| ���qj"j"x �>u�uwj�uwa>c�x7{�uw{d�

Page 73: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�����I�!� ���b���� ������� (*#$ ���� �� (�� � �

+RQ�� � �9W Z T Y d Z T^U/.�2 [9U �� U/2�� 8�,�*-#M�J9$*-#?NU%CFC� 7�%3,���K-KL#QK3K`%324#�NB,��!F �4#B��NB#D7=, < 8�9$G�2I%/2�� @�#D9E�X7�, < * ' #QK % �6F4%/5���*-��8�#&%3#?*C@ ��! < #?KP9$K^%-,�J#B%3#B*-8�9E��# � ' 7[� < 8�#B*-9:NB��!`8+#Q����K?d 9E0C�4#?NB#?K-K3��*37 � %324#SK3#?NB,����(5���*L%-9$��!c�J#B*-9$@ ��%39$@�#QKF/9�%-2 *3#QKL56#?N&%�%3, %32�#5���*-��8+#B%3#?*-K T

� ? !� Q ? I � ? !

� Q � X �����XK3,+,=�Wd#B@���! < ��%3#Q�A��% Q �Q d X �X d � �� �(yxa�=YLK�NM�� NL�" � MJ54!:��9$�SF/2.7�%324#QKL# � < ���I%39E%39$#?KP#4M.5�*3#QK3K`24,�F 54*-#?NB9$K3#B!$7+%324#M5���*a��8�#B%3#B*P@���! < #?KP��*-# FVM.#Q�' 7 %32�#)�4��%a� �+RQ���� -9T W � � T U a [ � Y d Z T [9U� � %32�#)8�,�*-#�G�#B��#B*a��!WK3#&%L%-9E��G ,�0 !E9��#?!E9$24,.,J�A%324#?,�*-7�dJ%-24# KL%-��%-9$KL%39:NB��!W#&MJ56#?N&%-��%-9E,=��K/,�01%-24# K3#?NB,����X5���*L%-9$��!�J#?*39$@���%39$@�#QK ,�0 %32�#b!E,=G!E9��#?!E9$24,.,J��F/9�%-2 *3#QKL56#?N&% %3,%32�#b5���*a��8�#B%3#B*aK 8 � =# < 5 �8���%3*-9PM�NB��!E!$#?�+%-24# � 5 + / '$5 . '6�1$ ] � 285 �1. d4��� ��5J%b����8�#�=KC9�%/%-#B!$!$K < K/24,�F FP#B!$!;%-24#�5���*a��8�#B%3#B*aKC��*-# FVM.#Q� ' 7S%324#)�4��%-� �(yxa�=YLK�NM�� NL���� MJ54!:��9$�[%-24# KL#?#B8�9E��G�!$7 5 #?*3@=#B*aKL#+��%3%39E% < �J# ,�0P�X8�,J�J#B!$!E#?*�F/24, N&!:��9$8 KO%-2���%�%-24# !:��*-G�#@���! < #?KC9$�X%324# O 9:KL2�#B*/9$�J0�,�*-8 ��%39$,��X8 ��%-*39GMS%3#?���A%3, � � � � � 8.* %-24#%324#?,�*-#&%-9$N?��! 2.7I56,�%-24#?K39:KC,�0 249$Kb8+,J�J#?! �+RQ�� � � X Z}0 [Na 0 WJd�Y � � ��� 4�9Tt2 Z T [9U� 0 %-#B*`%324# ' #?KL% F4%3%39$�4G�5���*a��8�#B%3#B* @���! < #QK 2�� @=# ' #B#?��0�, < � �;d�7=, < 8�� 7H7�#B%`�J#?NB9$�J#C%-,)N&,=�J0�*3,=�I%1%-24#b8�,J�J#B!F/9E%32 ��� �=�4�J9E%39$,�����!^�4��%-� K3#&%�%32 ��% FC��K���,�% < K3#?�(9$� %324#"F4%L%-9E�4G[54*3,JNB#?� < *-# � %-24#S8�,J�J#B!`%324#?� G�9$@�#QK��K3, ��NB��!$!$#?� � a 2 � �F'I� + � ] �T6- 54*-#?�49$N&%39$,�� � �

Page 74: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� �

� � ����������� ���Z���� ���������������

Page 75: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�� ���"��� ����� �� �� �� ����� � ������ Q�� � [���X���� Z T [ U�W�� � � a���� 265 �<. ,�01K39��?# � N&,=��K39$KL%-KP,�0 � 9�%-#B8 KP%3,�#?�=Na2",�0 F/249:Na2A9:K/��K-K39EG=�4#?�A�H@���! < # T! � � I�� ? I������4I�� �#" �� $ � .�=#� ] �%$ + '$'& � 285 �1. 5�9$N JKP, < %C,���#D,�0 %32�#?K3#D@���! < #QK+�J9E0 � 9:KP%32�#M, ' K3#B*-@ ��%39$,��Wd=%32�#B�)( � � �+* � ��0�,�*b��!E!�, �(yx.-=YLK0/NM'- 21� 8����#�K < *3#7=, <X< ���J#?*-KL%-�����S%-24#0�,�!$!$,�F/9E�4G+�4,�%-��%-9E,=� T

( � �43 � ���& * ( � �65 �87 � �

� � 9E�I%b,=�X��,�%-��%39$,�� T �'9 � 9�01%324#)NB,����49�%-9E,=� � 9:KP%3* < #�d4,�%324#?*3F/9:K3# �'9 � � �� Q � �;:�W =<?>@� Z T [9U�W� 0 ] a�� 285 � � �%$ + 0$A& � 285 �1. + ��*-#^NB��*3*-9$#?��, < %?d�%-24#/KL#QN&,=���), ' KL#?*3@���%39$,��)549:N JK �D@���! < #P, < % ,�04%32�#P56,�5 < !$��%39$,��Wd��GI��9$�A��%b*-�����J,�8 d.0�*-,�8 ��8�,��4GH%324#�9E%3#?8 K/!E#B0 %O��0 %-#B*/%-24# F�*aK %/, ' KL#?*3@���%-9E,=� �(yx.-=YLK0/NM'- 21�� � 0 � �D9:KP%324# F�*aKL%b, ' K3#B*-@���%39$,��X����� � ? %324#)K3#?NB,����Wd4KL24,�F %32���%( � � ? 3 � �� � �

�& * ( � �65 �87 � � � �CB 7 �� � � �

(yx.-=YLK0/NM'- 21��%� ��� 7=, < G�#?�4#B*a��!$9D�B#%32�# 0�,=*38 < !$�S,�0 %32�# 54*-#[email protected]$, < KO#&MJ#B*aN&9:KL#)%3,S%-24#HN?��K3#),�0cR , ' K3#B*-@ � �%39$,�� K :;E ,�*C%-24#GFI%32 , ' KL#?*3@���%39$,�� � � 3 F 3 � � 7�, < 2�� @=#( � �IH#3 � �� � �JF

�& * ( � �65 �87 � �LK H " �* ( � � � � 7 �� � �JF �

� QNM � +��U�W> 24#)� @=#B*a��G�#O,�01%324#�R , ' K3#B*-@���%39$,�� K^9:KC%-24# +O� ] � � ] � . � �V K V* ( � � * �(yx.-=YLK0/NM'- �P1�� 2���%b�J,H7�, < .�4,�F � ' , < %P%32�#M�J9�Q #B*-#B��NB# ' #&% FP#B#?�"%-24#D56,�5 < !$��%39$,��A8+#Q��� �� K �* ( � � *��� �S%-24#)K3��8�54!E#�8�#Q���XF/24#B� R �� :� Q�� RTSJ�%[U��X���� Z T [9UWV9T W Z <_TD:�X Z T [9UYX0X�U%Z Z T [ U� #B% []\

�_^� � ( � �`3 � ��

�& * ( � � 5 � 7 � �> 249:K/9:KP%324# � � � aa�b� 285 �1. = 5 + 2 $ 5 $ a 285 �1.dc a . 7@285 �1. �(yx.-=Yfe0/hg'- ����� ,���K39$�4#B*���� 9$�!F��49E%3#?!E7�!$��*3G=#S5 ,=5 < !:��%-9E,=� ��� � !E#B% [ � � !$9$8 �jilk [ \ �_^ � � � \ 24,�F%32 ��%b7�, < 2 � @�# ( � � H 3 �

[� �0�,�*M#?�=Na2 ,�0`%324#+R , ' K3#B*-@���%-9E,=��Kb9$� %-24#+K-��8�54!$# � � � 9$�=% T %a� �# %324#+!$9E8�9E%D0�,=*O%-24# 0�,=*38 < !:�S7�, < 0�, < ��� 9$�#&MJ#?*-NB9$K3# � �am � �(yx.-=Yfe0/hg'- �4Z � *-G < #=d < K39E��G #&MJ#B*aN&9:KL# � ��� d %-2���% %-24# , ' KL#?*3@���%-9E,=��K�NB��� ' # @I9$#BFP#?� ��K�9$���J#?5 #?���J#?�=%*-#?��!$9D�?��%-9E,=��KM,�0C�A*a��� �J,�8 @���*-9:� ' !$#�F/9�%-2 �49$KL%3*-9 ' < %39$,�� 0 < ��N&%39$,�� [ 54*-,�@.9$�4#?�[%32���%M%-24#SK-��8�54!$#+9:K@�#?*37K38���!E!WNB,�8�5���*3#Q�S%-,H%-24#�56,�5 < !:��%-9E,=� � Ron � � � � #�F/9$!E! ��!EFC� 7JK`FP,�* < ���4#B*/%-249$KO��K-K < 8�5J%-9E,=� �

�+p

Page 76: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

��g � ��� ��� � � � � � � � ����� � � � ��� �� �� Q� RTS*W Z � Z T W Z T Z+��� �/[���X���� Z T [ U� ����� F ��������������������� �"!��$#����%����!��&!%'(��)��+*�!����-,.!��/*0�213�4�5��16���&�5)��+� M �4�7,.�2*�� 8/9�9:��*;*�!�<=�.�5��<=�>*;,4�%������1&�+ 2 � 265 + 28567 ��� � � � a��b� 285 �1.@?(A )���,4#�<CB"�4�7*�!�<=�C,.!����5��,.����!��:������<;*EDF�G�5)HDF)��2,7)I��!�#+D�!��5J���1:���H� M ���5,4��*��K8�L mM �%���2*�)@NODF)���,7) ��,4,4!�#��P�7*Q'R!��S��)��T,.���P���7�%�$��<=�/!��0�7�%�$,4�U!�'V*0#$,7)W��� F ���G�5��XY)��4�$,4�E�213�>�%��� � ��1$Z[�/!���#��2�\����!��/*S���*0�5�\�5��*0���2,4���]��)���!��5� ?

(yx.-�^fe0/hg'- V_!)a` !��P���7��*0�b���$1c,.!�<d�/�%�5�U�5)���* ��!%�5��!��:!�'e�;*0�5�%���2*f�5��,��%�g�"!���#��2�\�5��!�� DF����):�5)$�\� !�'h�d�"!���#3i�2�\����!��c��*b���$,.!�#��P�������>1W���+13�4<=!����5����)��2,4* ?

(yx.-�^fe0/hg'- V_ jA )��k*���<=�����T<=����� �2* ����*�!d�=�7�%�/13!�< M �%�5�2�%B���� ?Ql �4�5� M �E�5)��T'R!�����!\DF�����=�5��*�#����5*�mn X �porq Zs�%�/1utkX � Z owv ?x

DF)������ q �%�$1 v ? 13�4��!����S��)��b<=�����C�%�$1k��)�� M �%�5�����$,.�y!%'��5)��b13��*0���5��B�#3����!��[? X � ���P��mV�5�.'R���V�5!U�5)��y'R!��5<C#��2�

��)/�\�F13� F �$��*S��)��T*���<=�����(<=�����@N3�%�$1-���������d��)��(��#$���>*['R!��y� M �"��,.�5�%����!�� ���$1 M �%�5�2�%�$,4�U!%'@D��4����)P�5��1-*�#�<;* ?z �4'R�4�b��!=�5)��KD�!��5JO*�)����.�b!��:����!�B$�%B$�����G�f�W�G'h��!�#:13!=��!�� ����<=�4<CB"�4�b�5)���*��T��#$���>* ? Z

(E{.-�^fe0/hg'- V_ "� )$�\� ,4���W��!�# *5�|�-�%B"!�#��y�5)��K13� Q �4�5�4�/,.�TB/�4�fDy���4�W��)��T<=����� q �%�$1-��)��K*5�%<=�����E<=�����DF)���� xI}�~ :

� Q � �y� � � � Z.� V [�:�W � < >@� Z T [9U�WA )��d'R!��5�4��!������W� M �4�7,.�2*0�>*U���$13�2,4�%���=DF)O� �4���U�"�&%G� !%' 8 %��!%5� * % I��� �+% 8��|� * ' � (�� �����=�W<;�����$*0�5�|�+!�'y� M �"�4�5��i<=�4�P�5���e*5,.���4�/,.��m F �7*0��N/��)��=� M ���5�����T!%'Q�5)��C!�B$*0��� M �%����!��$*F�2*(�-�7�%�$13!�< M �����2�%B����kDF)�!P*0�C<d�>�%�H,4!����$,.�213�>*DF����);�5)$�\�S!�']��)��E�/!���#��2�\����!��IXYDy�E*��|�C��)$�%�S�G����*y�%� a .�$ 5 �,+ =E + 265G] � 2 !%' q Z � ���$1;*���,.!��$1gN���)�� M �����2�%�$,4�!%'S��)��2*(��*0����<=�%���d13��,4���>��*���*U��* �5)��;*���<=�����d*0� � �����/,.�5����*���* ?TA )���*T13�>,.�5����*0����� M �%�5�2�%�$,4�k<=���%�/*U�5)$�\�(��)$�*5�%<=�����E<=�����W��� M ��*b�C<=!���� 8 %.� 'Y� � �&% ���$13�2,4�%����!�� !%'V�5)��(���5#��(�/!���#��2�\����!�� <=���%� q ��*y<=!����(!�B$*��4� M �\�5��!��$*�%�5�K,4�����5���>1-!�#3� ?

(E{.-�^fe0/hg'- V_�� � ' � H ��*��5)�� F �5):!�B$*��4� M �%����!��@NP�5)�� � #$�%�P�����f��� � H � q �O�2*F,.#/*f�5!�<;�%�5�����W,��%�����>1-�5)�� '$;$0�<$��*5*�!O,4���%���>1-DF����) ��)�� F �5):!�B$*��4� M �%����!�� ?[` !��P�5�4<=���2�\���E��)$�-XR���/Zf�������5!����5���%��������*5*S!�'V�5)���*��5�4�5<=����!���!����='R!��M �%�5��!�#$*�� M �"�4�5��<=�4�P�7�%�@,.!��P��� M �7*b��!�#c,4���W�5)�����JW!�' ?

� QG� � �eYW��� � >@�=<KT ��U%Z �� ��#��OB�����*0�>1&��*0����<=�%���I!�'T��)����/!���#��2�\����!�� M �%�5�2�%�$,4� v ? �2*-��� M ����BP��� � #$�����5�G�f�&,4��������1&�5)�� + � ] � � & � $ 5 � . 7 m

� ? o 9x � 9

�� *�� � X � � � * Zf� � X � ? 9|Z

�E{.-�^fe0/hg'- V_ �j` �%�&��!�#&*0)$!\D���)$�%�;��)��+*5�%<=����� M �����2�%�/,.�:���$1��4��1����5! M ��13�>*=�%�6#$�PB$����*0�>16�>*f�5��<;�\�5�>�X � ���P�>m[��!�# �%�5�K��*�J��>1-�5!=*�)�!\D���)$�%� n X � � Z o v � ? Z�E{.-�^fe0/hg'- V_��j� )�!\D���)$�%�W�5)���*5�%<=�����H* � #/�%�5��1�13� M �2�\�5��!��r!%'K��)$�H<=�������d���� B3� � " � �¡ R¢� " � �2*W� � 'Y� �+% ��*0����<;�\�5!��F!%'£��)��K�"!��$#����%����!�� M �%�5�����$,.� v � ? X � ���P��mQ#$*��T��)$�K���>*0#����F!%'h� M �4�7,.�2*��E8/9 p ? Z�E{.-�^fe0/hg'- V_3¤ E ���$��������N$*�)�!\D¥��)$�%�F��)�� � #$���P�����f���d���� B ��¦ " � �Y Y¢� ��*U�%��§ ( � 'Y�8�+% ��*0����<=�%��!��F!%'e��)��K�"!��3i#��2�\�5��!�� M �%�5�2�%�$,4� v � ?

Page 77: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

���������������� ��������������� ������������������� "!#�%$���&� ����('�� � m��)+* ,.-0/1- :32��54 � V � 47682:9)�;6 �=< X�4'�19 ��� � >@�=<>2�� - Z �A !����4��)�����N���)$�E�2��*0�S'R��D �7?3�4�7,.�2*���*S*�)�!\D��5)$�\�y��)��T*���<=����� M �%�5�����$,.�(,.!��P�7�%���$*S�k'Y��,��5!��TX xA@ 9>ZS���/*f�5����1-!%'x B/�>,4�%#/*0�(��)$�k*���<d�$���T<=����� �2*F#$*���1 ���:�5)��T'R!��5<C#��2��N3���$*0���>��1 !%'e��)��T�5��#��T�"!���#$���%����!��c<=���%� ?�E{.-�^fe0/hg'-CB3D=1�� )P�+13!WDy�k�$�4��1+��!-#$*��k�5)��C*5�%<=�����C<=�����/�rXFE �����>mF��*U�G�T�%��D��|�3*F�"!�*5*���B����K�5!-#$*��k��)$�'R!��5<C#$���d!%'e�7?3�4�7,.�2*��(8/9 m �>Z�E{.-�^fe0/hg'-CB3D@_rl �>13#$,.�T�5)$�\�U��� #$�PB$����*0�>1W�>*f�5��<;�\�5!��F!�'£�5)�� M �%�5�����$,.�(!%'e��)��k*5�%<=�����T<=���%�:�2*4m

9x X xG@ 9>Z

�� *�� � X � @ � * Zf� �XHEU���P�>mS,.!�<CB������T��!�#��b���>*0#����5*b!�'e�I?3�4�7,.�2*0�>*y8/948=�%�$1:8/9 p ? Z�E{.-�^fe0/hg'-CB3DJD ��*��.�y!�'g���������2,4�%���>1=!�B$*��4� M �\����!��/* XY��*���<d�$���|Zh��*y#$*�#$�%�������5�4�"!������>1;��*Q�5)��E*5�%<=����� <=���������#$*E!��U<=���O#$*E���I���$13�2,4�\�5��!��I!%'Q�5)���*����5����1c���+�5)���*���1$�\�5� ?�K )����ID�!�#��21+��!�#+#$*�� � �5)���*MLP#$�%�5�k�5!P!��!%'e��)$�k*���<d�$��� M �%�5�����$,.��N3�%�$1:DF)���� D�!�#��21:��!�#W#$*�� ��N � x � XFE ���P��mQ�5�.'R�4�b�5!=��)��K�$��� M ��!�#/*y�I?3�4�7,.�2*0� ? Z�E{.-�^fe0/hg'-CB3DPOj� #����"!�*��U��!�#W13!d�%�-!�B$*��4� M �%����!��;DF)������E��!�#;JP�$!\D���)$�%�S��)$� M �%�5�2�%B���� !�B/*0��� M ��1d'R!�����!\D *��)$�(Qh!��2*5*0!��c1���*0���5��B$#3����!�� X¡*0! ( X � oSR Z oST�U ¦ q � N R�V Z ? EU!\Dy� M ����N���!�#I13!W��!%�(JP�$!\D¥�5)�� M ����#��C!%'Q��)$��$���5��<d�4����� q ���$1 ��!�#�D���������! 13�2*f�5���$��#��2*0)3W;B"�.�fD��4��� ��)$�c,���*�� DF)$�4�5� q 3YXq ���$1 �5)��c,4��*��:DF)��4�5�q[ZXq N]DF)������ Xq �2*T*0!�<d�����5��13�I\$����1 M �%��#�� ?k� #��$�/!P*0����)��d!�B/*0��� M ��1 M �%��#��(] �2*U<�#$,7)H�2�%�5����� ��)/�%� XqQ?K !�#��21 ��)��2*F���$,.�����$�K��!�# ��!=�5��^f�>,��F��)$�K)P�O�"!%�5)���*���* qY3_Xq !��F�7�\�5)��4���5)��K)O�P�"!%�5)���*��2* qa`bXq ��E{.-�^fe0/hg'-CB3D5B ` !��P�����O#����$�K��)��E���5� M ��!�#$*[�I?3�4�7,.�2*0��N�,.!��$*���13���S�C*��.�y!%'@�����5�4���4� M �%��#��>*dc o fehgiekj 9 gie#jl gnmImnm " DF)��4�5� e Z_XqQ?S� )�!\D���)$�%�F'R!�� �%��� R�o c���!�#:)$� M �

( Xp] o[R Z 3[T Udq¦ Xq � N R#V#��$1��4�b��)$�K)P�O�"!%�5)���*���* q 3_Xq N�DF)��4�5����*

( Xp] o[R Z Z[T Udq¦ Xq � N R#V#��$1��4�y��)��()O�P�"!%�5)���*��2* qrZsXqQ? E ���$,.�(,.!��$,.��#$13�U��)$�%�y�5)��U�2�\�����4��)O�O�/!���)��>*0�2*S�2*(t0<=!��5�F����J�������uk��!CB"� �5��#$�'R!��F!�B$*��4� M �%����!��$*����Gc XYDF)��4�5�(��)��2*F�213���d!%'h����J��4����)�!O!31:*f�5�����@Db�%�P�5*F*�!�<=�(��)��5��*�)������=!�#3��Z ?�E{.-�^fe0/hg'-CB3DJvwK �G�5)=c �%�$1a]p��*E13�I\$���>1H���H�5)��=���5� M ��!�#$*U�fDy!:�7?3�4�7,.�2*���*�N]*�)�!\Da�5)$�\� ( XH] o c Z 3K k*��yx TzUdq¦ Xq * N , V #��$1��4�b��)$�E)O�O�/!���)��>*0�2* q 3sXqQ?kK �������K13!\DF�:��*���<=�������y�I?3�����>*�*���!��;'R!��y�5)��{t����G�5�4�5�$�\�5� M �nu)O�O�/!���)��>*0�2* qaZ_XqQ?

��)+| }�~ � < 6fS � 4 � 4� �T��*(#$*��.'R#��e�5!W)$� M ���-)/�%�$13�I��B�B��5� M �2�\����!��c'R!��(��)��d)O�P�"!%�5)���*���*(�\�()$�%�/1gN@*0!W��)$�%�(D���1�! ��!��()/� M �K�5!�5�4�"���\�T�5)��d��)������C*��"��,.��\/,��\����!�������'R#����[� M �4�5�c����<=�=Dy�=������1���!c�5�.'R�4�(�5! �5)��4< ?;A )O#$*�NV���H�5)��-13��,4��*���!�����5!�B����4< ,4!��$*��213�4�5��1+���I�5)��d'R!��5�4��!������-�7?3���5,4��*���*�N]���4���.�=13�4�$!%���d�5)���)O�O�"!%��)$��*���*E��)/�\� q 3�Xqk� �%�$1H���4�� W 13�4�$!%���(�5)��K)O�P�"!%�5)���*��2*b��)$�%� qrZ_XqQ?�E{.-�^fe0/hg'-CB3DP�j� #����"!�*��W��!�# 13��,4��1��-��!H���i^f��,��.� � DF)��4� ��)�� !�B$*��4� M �>1 M �%��#�� ��*k'R!�#��$1 ��!IB"�W��� ��)$�*��.��c ?S� )�!\D���)$�%�

( XF� � �2*b���i^f��,.����1:DF)�������� � �2*b���5#��|Z 3 k� *��yx

T;q¦ Xq *, V m

�������n�8���i�������f�����8���������F�8�������;� ���¡�F� ¢f£�¤8���H�¡¥F��¦8�f�F�i¤.� ¦8�¡��¥F§���¦8���¨��¢.�i�����1¦8��� ��� ©��.���"�F�8��¢n�8��¦ª�i¥"���#��� ¢«���h��¢8¢8����������¡� ���y�h��¥H�¡�����8�¬��¥P���f�ª���F�h�M�1� �ª��¢���¢��k­f�f��¤��¡�����y®���¢8¤8�i®"¯I�8¢f¤8��¥3�¡�8�#�8¥¡��§���������¢8©d���i��¦8¥���¢f�1�z���F��¢I�F�¬���:¯8¢f�i�f¥¡���F¥���¢8�F��� �F�F��¥��� ¢8����¢I�F¥��M�F��� ¢°¯k��¢f¤{�¡�8�¡�8����± � ²r³y�8���F���F��¤8���i���F��� ¢n´µ®��8���¡�8��¥�� ¥�¢f�����F�8�¶�h��¥��������F��¥����n���i��¤8�¸·¹ ´¸�i��¢G�8�����¸�8��¤f�i����¤8�®��8���¡�f�i¥��¡�f�i�F�k��� ¢8¤8� �F��� ¢8���Mºz�����#�F�8�d� �ª�i¢f��¢8©�±I��¢8���¡���������5�F�8�k��� ¢����h��¢8¢8�����8¢f¤8��¥#�H�¡�8¤n�I²

Page 78: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

p L ��� � � ������� ��� � � � � � � � � � �� �

��) ��� RTS � Z@<>2 682�Z+��� < �� 2 <�-K )���� �:*��.�k!%' M �%��#���*T����J�� c �2*T#$*0�>1I�5!+13��,4��13�d�5!:�5��^f�>,�� �.�=!�����)��;B/��*���*(!%'y��)��;!�B$*��4� M �%����!��@Ng���K��*,4��������1 �5)�������������� �f� ����������� ?dK �C*5�|�;��)$�%��� � ��*U���i^f��,.����1:DF)����c��)��K!�B$*��4� M ��1 M �%��#��T'Y�%���2*F���c�5)��C,4�������2,4����5�4����!��VNO���$1 ��)$�%��� � ��*F��,4,.���3���>1W!���)�����DF�2*�� ?�E{.-�^fe0/hg'-CB3D! � ���5��!���� N��C,.�5�G�5��,��%�$�5�4����!��=<=�|�dB"�U�%�O�=*0�4�y!%' M �%��#��>* ?�K !�#��21;�G��B/�(*0���$*���B����F�5!k#$*�� ��)$�'R!�����!\DF�����;*��.� ��*F,4�������2,4���g��������!��/� fehgie�j l gie�j 8 gImImnm " DF)��4�5� e ZbXqQ?kK )O��XY��!%��Z0�

��) ��� " S <�< 4h2 -# ���D��S@�� �b��*�,.�����������������5!��$�4!�#/*h��!����i^f��,����.�UDF)����W���y�2*����;'Y��,��y���5#�� ?kK � �5���d��!d,.!����5��!����5)���*������5!��[BO�;13�>,.�213���$�!��6��)��+<;�ª?O��<C#$< ����!�B$�%B$�����G�f� !�'E�����5!��dDy�c�%�5�:DF��������������! ��� M �:DF����)jX �5�5��13������!��$������� 13�4�$!%���>16BO�%$hZ ?Qh!��$#������F,7)�!��2,.�>*S'R!��b��)�� M ����#��K!�'&$ �����KL m L�L�9�N3L m L$9(���$1cL m L(' ?�E{.-�^fe0/hg'-CB3D�) E !��E�;,.�5�G�5��,��%�g�5�4����!��:!%'h�5)��T'R!��5< c o nehg>e�j 9 g>e�j l gImImnm " N;\$�$1:��)$�C*0<;��������*0� e XY� ? � ?��)$�K����������*0�b,4�������2,4���g��������!��/Z�*�#$,7)W�5)$�\�

( XH� � ��* ���i^f��,��5��1 DF)������¶� � �2*����5#��>Z 3 $DF)������*$ )$��*F�(\;?3��1 M �%��#�� ?

��) ��+ , �D��S@� < <-,/. >@��� /��10�F' �5�4�£��)���!�B/*0��� M �\�5��!��T)$��*£B/���4�k<;��13��N>��)$� 32 & �f��4 �b��*�*�!3,.�2�\�5��1(DF�G�5)k�5)��S!�B$*0��� M ��1 M �%��#��S�2*V��)��b*0<;��������*0�,7)�!���,4�(!�'&$ *�#$,7):��)/�\���.�TDy!�#���1:B"�K���i^f��,.����1 !�� ��)$�KB$��*���*b!�'£�5)��K!�B/*0��� M ��1 M ����#�� ?�E{.-�^fe0/hg'-CB3D/¤a` !��$*���1��4�b��)$�T��B/! M �(1��7\$��������!��+,��%�5�.'R#������ ?k� *b�G� B"�.�������b��!-13�>,.�213�T!��5$ XY����*�!=JP�$!\DF�:��*��)$�76��98��:� c ��;!�*�<�=6>�fZ[B"�.'R!�����)$�%�/1gNP���$1;�5��^f�>,��y!��y��,4,.���3��� � ��,�,.!��713����������N ��? �5�4�"!����S��)$��QQi M �%��#���X¡� ? J ? � ?��)$�@� $ 6=�A� & �CBD6��98��%Z0��E{.-�^fe0/hg'-CBJO21FE �.�HGJIK13�4�$!%���T�5)��¶QQi M �%��#��T��*5*0!3,.�2�\�5��1 DF�G�5):��)��K!�B$*0��� M ��1 M ����#$�7K3m

G I o ( Xp]MLNK;� qIo Xq ZXRDF)$�4�5��] ��*[��)��E!�B$*��4� M �>1 M ����#$�>Z[���$1=���.�OK�XQP"Z[B/�U��)��E!�B$*��4� M �>1 M �%��#��U'R!��SDF)$��,7)=�5)���Q[i M �%��#��F�fL�#/�%�2*RPVm

( Z.XH]MLSK�XTP]ZF� qIo Xq Z o P mE ���/�%������Ng���4� [ UWV 13����!%�5�k��)$�=1���*0���5��B$#3����!��H'R#��$,��5��!��H!�'[��)��«Q[i M �%��#�� ?k` ���I��!�#H*�)�!\Dj��)$�%�T��)��AQQi M �%��#��GJI;'R!�����!\D *k��)��:*f�7�%�$1$�%�71 #�����'R!��5< 13�2*0���5��B�#�����!�� DF)���� q�oYXq � XFE �����>m;��!�# ����� ��*�J���1��5!H*�)�!\D ��)$�%�[UWV o P � �5��,��%���/�5)$�\�

[UWV o ( X�GXI 3 P"Z ? Z

��) �PM , / 4 � X / � < � 4 / � 6A )��U,4!��$,4��#/*0��!��;!�'"�5)��U�$��� M ��!�#/*Q�7?3�4�7,.�2*�� )�!��21�*S���;���4�����5���¡mV��)��¨QQi M ����#$�b'R!�����!\D *[��)��(*f�7�%�$1����51d#��$�G'R!���<13�2*f�5����B�#3�5��!��c#��$13����� � ?

��) �1Y ,.-;< 6fS � <�6 ~ � �C< X � < < < <K )��������.�y,��%�KB"�S'Y����*��4���E�5��^f�>,��5��1gN\���e,4!�#��21k�%�2*�! B/�S'Y�%�2*0�����K��,4,.���3���>1 ?£A )$��*£!%�5)��4�V�f�P�"��!%'��4�5�5!��SXZ�\[a��� > Z�2*b��� M �4�:BO�-�5)��T'R!�����!\DF�����d���5!�B$��B��������f�

( XH�.�T��* ��,4,4�4�3�5��1 DF)������¶� W ��*��5��#$�>Z m�E{.-�^fe0/hg'-CBJOV_ � )�!\D �5)$�\�

( XH� � ��*F��,4,4�4�3�5��1:DF)�������� W ��*F���5#��>Z 3 x U W� *�� �T q¦ Xq *, V

DF)������ e ��*��5)��KB/!�#��$1������W!%'V�5)��k,.�5�����2,4�%�g�5�4����!��@N���*bB"�.'R!���� ?

Page 79: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� ����� � ����=�"& p 9�E{.-�^fe0/hg'-CBJO3D � #����"!�*��W�5)$�\�=��!�#6�\������<d�����5!�,4!��P���5!��S��)��¸\$�7*f���f�P�"�:!%'U�����5!��kBO� ,7)�!O!P*0����� $ M �����*�<=����� ?T` ���I��!�#H13�>13#$,.��)�!\Dj��)$��*(� Q ��,.�5*U��)����f�O�/� �i� �����5!���� XFE �����>m ���IDF)$�\�T13�����>,�����!���13!O��* e <d! M �DF)����5$ B/�>,.!�<=�>*F*0<;�%�����4���{E !\D¥1�!P�>*b��)/�\� � Q ��,.�F��)��T�f�O�"� �i� �4�5��!��7� � ���T��)��K���5� M ��!�#$*��I?O���5,4��*�� ? Z��) �O , <��K� <A )��T�f�O�"� �>� �����5!��b�2*����7��13������!��/�%�����W1��4��!�����1 BO� ?SA )$��LP#$���P�����f�I9 @ �2*bJO��!\DF�:��*���)�� ����� �A�K!%'e��)$����>*f� ?�E{.-�^fe0/hg'-CBJOJO� �4�5�G'R�d��)$� 'R!�����!\DF�����C���P�������$���4�5�\�5��!��;!%'@*0�5�\�5��*0���2,4���/�"!\D��4�>m@��)$�U���5!�B$��B��������f��!�'g���i^f��,��5���$���)$�K�P#$���@)O�O�"!%��)$��*���*�N3DF)��4�c��� !�#���)P���5!=B/�K�5��^f�>,����>1 ?

��) � � � 47682:9)�;682 <�-� � �5��*0�������$N[��)��:���5!�B����4< �2*k�5!�1���,.�213�:DF)��.�5)��4�;�H�/!���#��2�\����!���� *d13�2*f�5����B�#3�5��!��6�$���5��<d�4�������2*=�%B"! M �-!��B"�4��!\D *�!�<=�-,.#3��i ! Q M �%��#�� ? �U��!%�5)��4�k�������5!���,7)I��!+�"!��$#����%����!�� �$���5��<d�4�����5*(�2* �=6>����� � ��� �C�@N£DF)��4�5�=��)$�#���JO��!\DF�:�$���5��<d�4�������2*b�5!dB"�k��*5*���������1:*0!�<=� M ����#�� ?�E{.-�^fe0/hg'-CBJOPBa� #����"!�*��W�5)$�\�d��)$�:!�B$*��4� M �%����!�� ] ��*AQh!��2*5*0!��3i 1���*0���5��B$#3���>1gN ( Xp] oR Z o TzU ¦ q�� N R#V NDF)������ ��)��c�$���5��<=�.����� q ��*d#��$JP�$!\DF� ?&� #$���/!P*0��NS<=!��5�4! M �4�>Ne��)$�%�=D��¸\$�$1�] o 9�L ? K )��2,7)�!�'U��)$�'R!�����!\DF����� M �%��#��>*bDy!�#���1 ��!�# B"�K<=!�*0�F���$,4�������>1W�5!-��*5*0�����W��! q mF9�NV9�L�N]9>L�L�� K )O����E{.-�^fe0/hg'-CBJO3v � #����"!�*��K��)/�\�E��!�#c)$� M � x ���$13���/���$13�����>N]�����/�>�\���>1c!�B$*��4� M �\�5��!��$*b!%'h��)$�C�7�%�$13!�< M �%�5��i�%B$���T!%'e��)$�K����� M ��!�#$*��7?3�4�7,.�2*0��m�] W g ] � gnmImnmIg ] � ?S� )�!\D���)$�%�

( XH] W o R W�� ] � o R � � mnmIm ] � o R � Z o T � ¦��*�� Wq����R * V m X�� ? l Z

�E{.-�^fe0/hg'-CBJOJ� E !\D�D�!�#$��1W��!�#¸\$�$1W��)$� M ����#$�E!�' q 'R!��bDF)��2,7)W�5)��K������)P�b)$�%�/1 *���1��(!�'£�fL�#/�\����!���X�� ? l Z�2*b<=�ª?3��<;�%� �

��) �3� �y2�� � �+2bS <�< VA )�� � ����� � �9; ���#BW!�'£�5)�� M �%��#�� q 'R!��b��)��K�"!��$#����%����!��:�$�%�7�%<=�4���4�b�2* 13�I\$����1c��*�'R!�����!\D *�m

X q �h] W o[R W�� ] � o R � � mImIm ] � o R � Z owT � ¦ ��*�� Wq�� �R * V m X�� ? ! Z

A )��d�7?3���5��*5*0��!��H!��+�5)��=������)P�E�2*(�7?���,.�����c��)��=*5�%<=����*U�5)$�\�T!%'y�nLP#$�\�5��!���X"� ? l Z ? EU!\Dy� M ����N/��)����fDF�2*f�T��*��)/�\�y)$�4�5�b��)��2*[�5�4�5< �2*�,.!�<=��#�����1;��*S�T'R#$�$,��5��!��-!%' q$#&% ��')( �5)�� !�B$*0��� M ��1 M �%��#���*�NPDF)��4�5����*h��)��E,.�2��*5*0�2,4���,.!��P���7?O� !�'e�fL�#/�\����!�� X"� ? l Z��2*b��)$�%�F��)��C����!�B$�%B$�����G�f�W!%'h!�B$*��4� M �����d�5)���*�� M �%��#���*F�2* ,��%�2,.#��2�\�5��1gN���� M �4�:��)$��$���5��<d�4����� M ����#�� qQ?�E{.-�^fe0/hg'-CBJO �* ?3���2�%���k��)$���$�4��1C'R!��h����D ������<=����!���!�����N|�5)$�\�Q�2*4N%DF)O�K�2*£��)���LP#$�%�P�5�G�f�k,��%�2,.#��2�\�5��1C,��%�����>1�+����J��4����)$!P!31���!��C���5!�B$��B��������f��NeDF)���,7) <;�|��*f�5����J��;��!�# ��* M �4�5�H!31�1 *����$,.�;�5)��;'R!���<�#����c�2*k�I?���,��5������)$�*5�%<=�K��*���)/�\� !%'h�=���5!�B$��B��������f� ? XHEU���P��mQ�2* q �=�5���$13!�< M �����2�%B����K�\� �%��� �>Z�E{.-�^fe0/hg'-CBJO!)+* ?3���2�%���HDF)O�c��)�� q i M �%��#��d��)$�%�T<;�ª?O��<=� � ��*E��)$�d����J��4����)�!O!O1 �2*E��)��=!��$���5)$�\�K�2*Gtf��)$�<=!�*0�F���>��*�!��$��B����fuk��� M ���4D !%'£��)��K!�B$*��4� M �%����!��$* ?�E{.-�^fe0/hg'-CBJO"¤j� )�!\D��5)$�\�d��)�� q �5)$�\�;<;�h?3��<=� � ��* X q Z:�2*��213�����5��,��%����!���)$� q ��)$�%�=<;�ª?O��<=� � ��*���)$�� � � 2 � ����� � �9;!�1�#B-��� X q Z ?�E{.-�^fe0/hg'-CBPB�1 l ����!%�5�dBO��,q �5)�� q ��)/�\�K<;�h?3��<=� � �>*E��� X q Z ?c` ���H��!�#H*�)�!\Da��)/�\�-,q�o W� K �*�� W ] * �XHEU���P�>m *f�7�%���UDF�G�5)I�5)��C�I?O�$���>*�*���!��/.�0 132. ¦ o L � Dy!���J:!�#3�T�='R!��5<C#$���='R!��U��� \$�7*f�>N"#/*0�����-�5����)P�U<=�4<CB"�4�!%'h�nLP#$�%����!��4� ? !�? Z

Page 80: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

pªl ��� � � ������� ��� � � � � � � � � � �� �

��) � * �0/ � 682D��� ��< :;4 � < >@��682 <#- 4I� - V ��2�� � �+2bS <�< VK )����-��)$�(13�2*0���5��B�#�����!��-!�'@��)��(!�B/*0��� M �\�5��!��$*Q�2*b,.!��P�5���O#�!�#$*4N���)��(����J��4����)�!O!31;�2*y'R!��5<=�������d��13���P���2,4�%�/��!���)$�^f!����P� ���5!�B$��B��������f�-13�4�$*����f�-'R#��$,.����!�� ?

�E{.-�^fe0/hg'-CBPB£_ � #����"!�*��I�5)$�\� ��)�� x !�B$*��4� M �%����!��$*-���r�5)���*5�%<=�����+'R!�����!\D���)�����!��5<;�%�E1���*0���5��B$#3����!��@N���$13�4�"�4�/13�4�P�����-DF����) �$�%�7�%<=�.�5�4�7* q ���$1 v � ?kK �5�����T13!\DF�;��)$�"^f!����P�b����!�B$�%B$�����G�f�;13���$*��G�f�='R#��/,�����!�� ?[` �����!�#:*�)�!\D���)$�%�b<;�ª?O��<=� � ���$�;��� ��*b�fLP#�� M ���������b�5!;<d������<=� � ����� K �*�� W X q @ ] * Z � ��E{.-�^fe0/hg'-CBPB1Dj` !��$*���1��4��� !�B$*0��� M �%����!��$*T!�� ���y�����$!�#������ M �����2�\�5� � �5)��-!�#��5,.!�<=�+9-��*C!�B$*��4� M �>1 x 3� ����<=��* ?j� )�!\D �5)$�\���P o x N � �2*=��)��H<=�ª?3��<�#�<p����J��4����)�!O!O1&�>*f�5��<;�\�5� ? XHEU���P�>mH�5)��I����J��4����)�!O!31&��*� �x� P � X09 @ P]Z� U � � �5�%J��(��)��K��!��P�%�5�G�5)�<cNO1�� Q �4�5�4�P���2�\�5�KDF�G�5)c���>*0�"��,.���5!*PVN3��#�� �nLP#$�%�]�5! � ����! ? Z

��) � | � < 2�47682�ZJ< �( < � 4n4h2 <�-���f�O���2,4�����%�������2,4�\�5��!��=!%']<=�ª?3��<�#�< ����J��4����)$!P!31d��*0����<;�\�5��!��d�2*h�5)��F��*0����<;�\����!��=!�'g�T13!P*���������)$���>*0)�!���1�'R!���%����i !��0i ��!��$�F���>*0�"!��$*���* � ?[A )��(*f�7�%���������C�"!����P���2*b��� �#B1� � c 4 �R�>��� �C� �=N3DF)��2,7)W���5! M ��13�>*Q�5)��E�$��!�B$�%B������G�5���>*!%'h�5��*��/!��$*0�T�%�/1 �$!��3i ���>*0�"!��/*0��m

( XY���>*0�"!��$*��K�\13!�*�� R Z o �;X R#��� Z X�� ? 8OZ( XY��!��5��*��"!��$*��k�\13!�*�� R Z o 9 @ �;X R���� Z X�� ? '�ZDF)������ � �2*]��)��y�$�%�7�%<=�4���4� M ��,.��!��V!%'O��)��S<d!313���¡N|DF)��2,7)KD��S�%��<��5! ��*0����<;�\�5�Q!��T��)$�SB$��*0�2*g!%'3!�B$*0��� M �%����!��$* ?A )��>*0�d!�B$*��4� M �\�5��!��$* �7�%J��k��)$��'R!�����!\DF�����-'R!���<cm �5)��4�5�;�%�5� x !�B$*��4� M �%����!��$*E!%'S��)��d'R!��5<�X R * g�� * Z�NVDF)��4�5�R * ��* ��)���13!�*��-XY*��.�UBO� ��)��C�7?3�/������<=�4�P�����7Zb���$1 � * �2*b��)��C!�B$*��4� M �\����!��VN�DF)��2,7)+��*E*�,4!��5��1:��* L;DF)$�4�c��)$�, ��)c�5�4������,��\�5�E'Y��������1W��!;�5��*��"!��$1gN����$1:��*T9TDF)��4�:�5)�� , ��)c����������,��\���K13�21:���>*0�"!��/1 ?�E{.-�^fe0/hg'-CBPB3O� �4�5�G'R�W��)��T'R!�����!\DF���$�C'R!���<�#����$m

��� 6o �� *�� W 9�� � � W ��� �;X R * ��� Z " j 9�� � � � ��� 9 @ �;X R * ��� Z " m�E{.-�^fe0/hg'-CBPBJB ` �%�K��!�#EDF�5�����S13!\DF�(�5)��[�nLP#$�%����!��$*g��)$�%�£13�.�5�4�5<=�����[��)��[<;�ª?O��<C#$<¥����J��4����)$!P!31(��*0����<;�\�5�!%' � � XHEU���P�>mQ��!�#c�%�5�K��*�J��>1;��!;D�!��5J;!�#��UL o�� 0 132����� DF)��4�5� ��� �2*b��)������5)c,4!�<=�"!��������F!�' �h? Z�E{.-�^fe0/hg'-CBPB1vj` �%�:��!�#:D�!��5J;!�#3�F�5)��K<;�h?3��<�#�<w����J��4����)$!P!31 ��*0����<;�\����!��:�nLP#$�%����!��$*�'R!��b��)��T'R!�����!\DF�����<=!313�4�g'R#$�$,��5��!��/� �;X R Z o 9

9 j �7?3� @ � W X R @ � � Z " m�E{.-�^fe0/hg'-CBPB3� A )��C�I?O�"�4�5��<d���P�5�%�e1��\�7�;<;�|� B"�C�$���>*0�����5��1c���H�W*�������)��5���c13� Q �������P�U'R!��5<cm � 13� Q �������P�13!P*0�>*������T���$,.��#$13�>1:��� ��)��K�I?3�/������<=�4�P�kXY13!P*0�>* R H N F o 9 gnmImImIg �+Zy���$1:�\� ����,7) 13!P*0� x H <=����*�#��5�4<=�4�P�7*�%�5�K�7�%J���� � ��)�� � ?�� � � ?"! % � ( !%'Q���>*0�"!��/13�4�7* �2* �5��,4!��713��1+��* P H N]DF)�������L 3 P H 3 9 ?(` ���+��!�#I��1��%���U��)$�'R!��5<C#$���d!%'e�7?3�4�7,.�2*��(8�8 ! ��!d��)$��* 1$�\�5��'R!���<;�\���

�E{.-�^fe0/hg'-CBPB� E !\DrD�!�#��21;��!�#W��1$�%�3�y��)��(���5!O,4��13#$��� ���-�5)��E,���*��UDF)������U��)��T1��%��#�< R ��*b*��/�>,.��\$��1;BO�<=!��5�(��)$���:!����T�O#�<CB"�4�kXY� ? � ? �2*F)�����)$�4��i 13��<=�4�$*���!��$���2Z��# �����¨���f�8���i���y���8�����f���7¯5��� ¢8�F��¤8��¥���¢A���n�z��¥F�����i¢7����¢(®��8�����A������������¥F����¢8���8¦h�M�F�i¤A®�� �F�.§ ��¥F��� �8����� ¢8����¢7�¡¥¡�M�¡��� ¢8���������� ���ª� �8¢8¤¶�¡�h�M�d��¢f¤8�8�����d�F�8�����n�8¥¡���F�¡��� ¢ ���y�������8�H�¡��¥d���1© ��¢8���%$:���F�¡�I���¬�M�¡��¤(®�� �F� ���¡�ª����� ­h�����������8�¬��¥����8¢8���F��� ¢'&���¢¶�F�8���¡����������>²

Page 81: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� � ��� � ���y�P��������&�� �����y�� "&�����!���� p !��) + � , 476 � - V.�=<8V 6 � 476d�=< < :�� � 9� ,.!�<d<=!��I���>*f�T���5!�B����4< �2*(��!c13�>,.�213�=DF)��.�5)��4�K� �$�%���T!%'y*5�%<=������*T,.!��P�5�%���H!�B$*��4� M �%����!��$*U!�� � *����������*0�5�\�5��*0���2,4���g�/!���#��2�\�5��!��@N�!��>N3�%���������$�%��� M ������N3!�� �fDy!;13�2*f�5���/,�� �"!���#��2�\�5��!��$*�� ?�E{.-�^fe0/hg'-CBPB ) � 'e�5)��k�fD�!-*5�%<=������*F)$� M �k13� Q ���������(*���<d�$���K<=�����$*�N���)$��*U��* � ? %�� ���.� % ' � M ��13���$,.�k��)$�%���)$�E�fD�!=*���<d�$���>*�1�!=,4!��5���>*0�"!��/1=��!��fDy!=13�2*f�5���/,��U*0�5�\�5��*0���2,4���]�/!���#��2�\����!��/* ? E !\D�� M �4�>N��5)��4�5�(��*F�d*0������!�#/*���5!�B����4< DF����)���)��2*(��1���� ? * ?O�$�������+�5)��d����!�B����4<cN@�%�$1I�7?3���2�%���HDF)O�c�G�KD�!�#��21+B"�d������� M �2�\���>1+��'S��)$�C�fD�!*5�%<=������* D��4�5�KB"!%��)H����\/���G�5�4���c��������� ? XHEU���P��mF)$!\D ����J��4���:��*U�G�E��)$�%�U��)$�K�fDy! *���<d�$���k<=�>�%�$*E�%�5� '��O� ! �� ��)$�k*���<d��N3� M �4�:�G'e��)���� �����2*0�E'R�5!�<��=*����$������N�,.!�<=<d!�� �"!��$#����%����!��/�|Z

��) +�� " S@�@< �%Z�6 � <i2���2 -# 6fS � 4A�19 ��� � 4l �4��!���� �5)�� !�B$*0��� M �%����!��$*h'R�5!�< ��)$��\$�7*f��*���<d�$��� BO�.] W gImnmIm7g ] * gnmImImIg ] ��� N��5)�!�*�� !%']�5)��E*���,4!��$1=*5�%<=�����BO� � W gnmImImIg�� * gnmImImng�� ��� ? �U*5*0#$<d�d�5)$�\�C�����[!�B$*��4� M �%����!��$*T�����d���/13�4�"�4�$1��4�P���%�/1H��!���<;�������H13�2*f�5����B�#3�5��1gNDF����)=<=���%� q � �%�/1 M �%�5�����$,.� v � ���C�5)���\$�7*f�Q*���<=�����F���$1CDF����)d<=����� q � ���$1 M �%�5�2�%�$,4� v � ���C�5)�� *���,.!��$1*5�%<=����� ?QA )��k*5�%<=�����(<=�>�%�$*F����� ] o W��� K ���*�� W ] * ���$1 � o W� � K � �*�� W � * ?�E{.-�^fe0/hg'-CBPB]¤� �4�5�G'R�:��)/�\� n X ]�Z o q � N n X � Z oaq � N/tkX ]�Z o v � N x � ���$1:tkX � Z o v � N x � ? XHE ���P��m�7?3���5,4��*��E8/948 ? Z�E{.-�^fe0/hg'-CB3v=1a` �%�W��!�#:*0)�!\D ��)$�%���5)��K13� Q �������$,.� � @ ] �2*���!��5<;�%�����-13�2*0���5��B�#�����1 DF����):<d�>�%��� qIoq � @ q � �%�/1 M �%�5�2�%�$,4� v � Xf9 N x � j 9 N x � Z0��E{.-�^fe0/hg'-CB3v@_ �4�5�G'R����)/�\�C�5)��W)O�O�"!%��)$��*���*C��)$�%�C�5)�� *5�%<=������*CDy�����;�7�%J��4� 'R�5!�< �I*����������:*f�7�\�5��*0���2,4����"!���#��2�\�5��!�� �2*C�I?O�$���>*�*���1 BO����)$�-'R!��5<C#$����� qjo LIDF)������>��*K�5)��:)P�O�"!%�5)���*���*C��)/�\�d��)��:*���<d�$���>*CD��4�5��5��J����W'R�5!�< 1���*0�����$,��E�/!���#��2�\����!��/*b��*b�I?O�$���>*�*���1 BO��� q��o L ?�E{.-�^fe0/hg'-CB3vJDw� '£�5)��k13� Q �������$,.� � @ ] ��*b<�#$,7)c���5���\�5�4����)/�%�:��)��k*0�5���$1����51 13� M �2�\����!��c� M �213�����b'R�5!�<��)$�T1$�\�5�$N3Dy!�#��21-��!�# B"�T���/,.�������>1-�5!=B/������� M ��� qIo L�!���� q��o LP� K )$�\�F��'V�5)��K!�B$*��4� M �>1-13� Q �������$,.�T���<=�����$*b��* <C#$,7)c*0<;�������4�b�5)$�%� ��)��k*0�5���$1����51:13� M �2�\�5��!��/�

��) + + , 6 � 4I6A4I6 ��682�47682�ZK �d*�)$�%���e#$*0�C��)��d!�B/*0��� M ��1+13� Q �������$,.������<=���%�/* � @ ]���!-�7�%J��C!�#$�U�5��*0�(13�>,.�2*0��!�� ?K� #$,7)��µLP#$�����5�G�f�#$*���1 ��!=B$��*0�K*0�5�%���2*f�5��,��%�g���3'R�4�5�4�$,4�K!��:��*F,��%�����>1c� � �=6>� 6 � � ���\6>����� ?�E{.-�^fe0/hg'-CB3vPO�� !%�5� M �\�5�k�5)��C<=�.�5)�!313!���!�����,��%�@�5�nLP#����5�4<=�4�P�F��)/�\�(�;����*0�(*0�5�%���2*f�5��,C<C#$*0�UB"��,��%�$��B����C!%'B"�4�����-,4����,4#����%���>1W�����5���5�4���;'R�5!�<��5)��K!�B/*0��� M �\�5��!��$�%�g1��%�5� ?

��) +�M RTS � -1/ ��� S ~ � < 6fS � 4ª2 4K � *�)$�%���[�7�%J��-��)�� � 4a��� ;W[0���1��;!�=6��\6µ� � ��!IB"� � q¥o L ?IA )$�W�O#����S)O�O�/!���)��>*0�2*K'R#������ 1��.������<=������*C��)$�13�2*f�5����B�#3�5��!��c!%'V�5)��T���>*f�U*0�5�%���2*f�5��, ?�E{.-�^fe0/hg'-CB3v5B K )P�r�2* ��)�� 13�2*0���5��B�#�����!�� 'R#$�$,��5��!���!%'C��)������>*f�+*0�5�\�5��*0���2, � @ ] ��!��¸\5?O�>1 BO����)$��f� �<�=��� � ��� & �:;([0�&����;!��6Z� 6�� W m!� q��o L���E{.-�^fe0/hg'-CB3vJv � )�!\D �5)$�\�F�5)��¶LP#$�%�P�5�G�f� � @ ] @ � q

v#" W��� j W� �$&%h� ¥k���f�����8��� ¯z®1��®y��¢7�k�F��±I¢8�>® � �1���i��¥H������¢¶© ��¢8��' ���k���f�8¥F���¡�¡��¤ �M�d¤8� ºz��¥¡��¢7�d����§7��������¢¶�i��¢8����¥¡� �8�%$+�¡¥¡��¢8�F��� ¥¡����¤'&���������>²)( �����i���¡�8¥F����*,+#�a����§7�����k���1© ��¢8�-' ��¢ $�� &����¡�����8�������J�¡¥¡��¢8�F��� ¥¡����¤����������k��¢8¤ $ ��� &����������f�������1¢f� ¥¡�����;���i�����i²³y�8���¡�����i���¡�8¥F�i����¢7�¡�P�����>��¥F� ����� ¢8�H�¡� �F�f�F��� ¦8�F�i¥H§ �M�F��� ¢8�3� ¢���®1�d¤8���H�¡��¢f���J�ª� �8�8�¬�M�F��� ¢8�3®��8��¢.'C�¡�h��¢8© ���1� �¡�J�����¡� §n� ����¤8�8¥F��¢8©�i��¢8����¥>²!/#�i®1��§7��¥>¯�� �0' ¦ª���h�i§7���d���¡�¡��¢7�¡�¬����� ���¡�f���������"��¢�¦ª���¡�¶±I��¢8¤8�����J���i�����i¯ª�¡�8��� ¦8�¡��¥H§ �M�F��� ¢8�d�����5��¥¡���¡�d��¥¡� � �21436587:9 ;�F�¡�M�F���F�F���>���°�z� �f�8�¬�M�¡��� ¢�²

Page 82: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

p 8 ��� � � ������� ��� � � � � � � � � � �� �

'R!�����!\D *���)��k*0�5���$1��%�71-�$!��5<=���@13�2*f�5����B�#3�5��!�� #��/13�4�F�5)��K�O#����@)O�P�"!%�5)���*��2*�� � ?�E{.-�^fe0/hg'-CB3vP��� !%�5� M �\�5�T��)��T'R!�����!\DF�����d,7)$!��2,.�('R!��b�5)��k,.�5�G�5��,��%�g�5�4����!��

X @E~ g��������� ���g�j ~ ZDF)������ ��� ` L ���$1 �� Z L ? XHEU���P�>m+��!�#$�d<=!����c�����5#������ M �+�%�$*�D��4�d��! �7?3���5,4��*�� 81' l <;�|�6,.!�<d�c���)������3'R#$� ? Z

��) +!Y � � 6 � <M9�2 - 2 -# 6fS � Z=<>2 682�Z �.� < �( 2 <#-A )��KB"!�#��/1��%�5���>*�!%'e��)��k,4�������2,4���g��������!�� �����K13�4������<=������1:BO�

( � � @ ]

v#" W��� j W� �` � ���� o $

l �%�$1 ( � � @ ]

v#" W��� j W� �Z � ��� o $

l

DF)������*$ �2*b��)$�k13��*����5��1:*�� � �(!�'£�5)��(���>*f� ?�E{.-�^fe0/hg'-CB3v! �� *��������+*0�4�k!%' *f�7�\�5��*0���2,4���Q�5��B����>*4N M ������'R�I�5)$�\�C��)��-B"!�#$�$1��%�5����*K!�'y�5)��W,.�5�����2,4�%�S��������!���%�5�T��� M ���WBO� ����� o�� v�� 9

x �j 9x ��� W U���� �

DF)���� v � �2*FJO��!\DF� ?

��) +" ��4ª2 -# � -�� 4I682 9d��6 � X < <�6fS � >@�=<i2 � - Z �� 'g,.!�#$�5*���N\���=���5��,��5��,4� v � DF�����3��!%�[B"�FJO��!\DF�@N����$1k�5)��«t � i �5�%B$���fu �2*Q!%'"��!T#$*0� ?#K � �%�5�F�%B�������!T��*0����<;�\�5�v � N���)$!�#���) ? � �2*0!/N/*����$,4�KDy���%�5�k,.!��/,.�4�5���>1 DF����)c�5)���1���*0���5��B$#3����!��+!�'e�5)��K�5��*0�E*f�7�\�5��*0���2,K#��$1��4���.��N$D��,4��� �"!O!��g�5)��k*5�%<=������*F��*b��'e��)����W13�21:�����2*��E'R�5!�<��d*����������K*f�7�\���2*0���2,4�%�V�/!���#��2�\����!�� ?�E{.-�^fe0/hg'-CB3v�)j� )�!\D �5)$�\�F�5)��K�"!P!����>1:��*0����<=�%���T!%'e��)$� M �����2�%�/,.��m

� � o K ���*�� W Xp] * @ ]�Z � j K � �*�� W X � * @ � Z �x � j x � @ l�2*F�%�c#��OB��2��*���1 ��*0����<=�%���T!%' v � ? XHE ���P��mQ��<=�G�7�\���K��!�#�� ,��%�2,.#��2�\�5��!��-'R!��F�7?3�4�7,.�2*0�T8/9 p ? Z�E{.-�^fe0/hg'-CB3v/¤j� )�!\D �5)$�\�kXH] * @ ]�Z � N v � 'R!�����!\D *b�=,7)���i *MLP#$�%�5�E1���*0���5��B$#3����!��:DF�G�5) !����K13�4�������E!�'V'R�5�4�4i13!�< ?�E{.-�^fe0/hg'-CBJ�21a` �%�:��!�#:*0)$!\D ��)/�\�kX x � j x � @ l Z � � N v � �2*! � 13�2*f�5����B�#3�5��1:DF�G�5)#" o x � j x � @ l ��E{.-�^fe0/hg'-CBJ�V_�` �%�:��!�#c*�)�!\D �5)$�\�F�5)��T'R!�����!\DF�����=*�,��%����1 M ���5*���!��W!�'£�5)��T���>*f�U*0�5�%���2*f�5��,�m� @ ]

�%$ 9 N x � j 9 N x �'R!�����!\D * � ��#$1��4�P� � *%& i�13��*0���5��B�#3����!��"��E{.-�^fe0/hg'-CBJ�3Dj` !���\$�5<���)$�%�E�5)��=13�.�5�4�5<d���$�%����!��I!�'[��)��dB"!�#��$1$�%�5���>* !%'S��)��=,.�5�G�5��,��%�e��������!��+��!\Da�$��!�i,.����1�*C��*K��� �7?3�4�7,.�2*��d81' p N@B�#3�CDF����) � W U���� � �������2��,.�>1HBO�& W U��'� � X¡�%���������5!+B/�;'R!�#��$1 ��� �+*f�7�\�5��*0���2,4����5��B����>Z ?�E{.-�^fe0/hg'-CBJ�JOa` �%�+��!�#:*��4�C)�!\D��5!W��1$�%�3�F�5)��K���>*f�E�G'h��)$�k)O�P�"!%�5)���*���*E�%�5��m"� � m � q�o L M ���5*�#$*�� W m� qaZ L��

Page 83: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� � � � �w������'��.�� I'������ � '�&� I�� I'���! &����� I�����; �����������&���! p '�E{.-�^fe0/hg'-CBJ�PBa� !�<=�k�I?O�"�4�5��<d���P�5*F�O���4�21+,.!�<=�$���5�%��� M �K1��%�5�d��)/�\�E�����K�I?O�$���>*�*���1:��*E�;*0���������k*5�%<=������� ?l ��*5,.#$*5*[)$!\D��5)��U��B/! M �F����!3,4��13#��5�F�2*[�5!kB/�E��1����3���>1 ? XHE ���P��mh��!�#=)$� M �FB"�4���;���5���%�������K��)$�F�fDy!�*���<d�$���>*��*d�H*����������-�"!P!����>16*5�%<=�����HXR#$�$13�4�«�.�>ZC��� ��)��:���5� M ��!�#$*C����!3,4�4��1������P*C���P�ODb�|��NQ*�!I#�� �5!H��!��5�%����!��$���,7)$�������>*S�5)��K���5!3,.��1�#����T�2*b��*5*0���P���2�%�����;�5)��k*5�%<=� ? Z

��) + � RTS � Z@S < 2�Z �a< X �YZ@<>2 682�Z+��� < �( 2 <�- 2 - "�P-�� <8�.�A )��E�7?��%<=������*y!%'V*0�5�%���2*f�5��,��%�/����*0��������)$� M �U*�!k'Y���yB"�4���W*���<=�����E����!�#$��)=��)/�\����)��Gt�*�)$�%�"�nuk!%'g��)$�(,4�������2,4����5�4����!��:,.!�#���1 B"�T1��.������<=������1 !�� ��)$�(B/��*���*b!�'e,.!�<=<d!�� *��4�$*�� ? EU!\Dy� M �4�>NP�G� �2*b#$*��.'R#��]�5!d)/� M �T�C���4�����5���,.�5�����4�5��!��='R!���*0�����>,��5�������k,.�5�G�5��,��%�/��������!�� ?hA )�� ���4�����5���/*��G�5#$�\�5��!��;��*S��)$�%�y!�'"�fD�!C,4!�<=�/�4�������C)O�O�"!%��)$��*���*�N� � M ���5*�#$*�� W N�DF)��2,7)c<;�%J��T�;*0�5�\�5�4<=�4�P�F!��:�5)�� M �%��#��T!%'Q*0!�<d�T�$���5��<=�.����� � !%'h���P�5�4�5��*0��m

�(�Cm �+o � � M * � W m �co � W m X�� ? �PZ�E{.-�^fe0/hg'-CBJ�3v E �.��] W gImnmImng ] � ���������>*0���P�[��)��(1��\�7�K!��;DF)$��,7);�5)�� �5��*0��13�>,.�2*0��!��;�2*S��!kB"�EB/��*���1 ? � �%J��*�#����T��!�#c,4�%�:�����5�4�5���5�.�b��)��T'R!�����!\DF�����$m

( X�Xp] W gnmImImng ] � Z o c � � � Z o $XHEU���P�>m[��!�# *�)�!�#��21:)$� M �(�4�/,.!�#$���5�4�5��1:�%���]��)��2*F��!��5�%����!��:B/�4'R!��5� ? Z�E{.-�^fe0/hg'-CBJ�J�a` !�<=<=�4�P�k!�����)��;�7�\�5��!��$�%���d!%'���)��='R!�����!\DF���$�:,4������������!��@m��� ' � � ! %�� �\� ? % ! % 7�\� ? ' #&% � (�c � ��� %�� ' $ � � ? ! ' ! '�� ! � ?5��� ��' �����������% ��� § ! � ! � � ? ��( � ! ' ?*? ' #&% � ( c � � ��� %�� ' $ � §� �\��'��

( X�Xp] W gImnmImng ] � Z o �c � � W Z3L ( X0Xp] W gnmImnmIg ] � Z o c � � � W Z m X�� ? p ZXHEU���P�>my�5��,��%���g��)$�%�¨� � �2* �5��^f�>,����>1cDF)��4�c�5)��K�5��*0�E*f�7�\�5��*0���2,T�5��J��>* � M �%��#��k���c��)���,.�5�G�5��,��%�V�5�4����!�� � �5��,��%�����)$�E13�I\$��������!��W!�'SXY*0�5�%���2*f�5��,��%� ZQ�"!\Dy���y�%�/1;!�B$*��4� M �b�5)$�\�y��)��(���5!�B$��B�������������*S���HX"� ? p Z[���4'R�4�[�5!k�5)��E� M �����y!%'�5��JO�����;� ��?=? '& ! ����*0� 13��,4��*���!�� ? Z��) +]� RTS �! E��~ 9)� - .C, � �@<�4 <�- � � 9a9)�A )��#" ���O<=���3i�Qh���%�7*�!��+���4<=<;� ��� M ��*(�%���7?3������,4�G�K�5��,4���"�C'R!��T��)��;,4!��$*0���5#$,��5��!��H!�'S��)$�d!��3����<;�%�[,4�������2,4����5�4����!�� *��/�>,.��\$��1 BO��,4!��$1��G�5��!���X"� ? p Z ?�� '�$hX R W gImnmIm7g R � ��� Z(��*k��)��;���5!�B/�%B��������f�H13���$*��G�f��'R#��$,.����!�� !%'b��)$����>*f�U*0�5�%���2*f�5��,�N �c o�% X R W gImnmImIg R � ZF� $hX R W gImnmIm7g R � ��� � Z$hX R W gImnmIm7g R � ��� W Z 3 F'& X�� ? ( ZDF)������ F ��*F�d�"!�*��G�5� M �K,.!��/*f�7�%�P� ,7)�!�*��4�c*0#/,7)W�5)$�\�

( X0XH] W gImImnm7g ] � Z o �c � � � Z o $ m X�� ? m Z�E{.-�^fe0/hg'-CBJ� � �5��#��TDF)O�W�=�"!������kX R W gImImnmIg R � Zy'R!��FDF)$��,7):��)$�K�5�%����!$hX R W gImnmImIg R � ��� �|Z N $hX R W gImnmIm7g R � ��� W Z�2* M ������*0<;�����y��*��+�/!����P�d��!�# D�!�#��21 B"� *0���5!������������$,4�������>1 ��!I���$,4��#$1��W��� ��)��:,.�5�G�5��,��%�[�5�4����!�� ? XHE ���P��mDF)$�%�U13!O��*���)$��*F�7�\�5��!��������V��!�#c�%B"!�#��F��)��K����J��4����)$!P!31�*b!�'V�5)��k,.!�<d�"�.�5���$�;)P�O�"!%�5)���*���*F�%���5)$�\� �"!����P�7�|Z�E{.-�^fe0/hg'-CBJ�!)�� !%�5� M �\�5�U�5)��T��)�����!P*0!���)O�;B/��)����$1-�5)���" ���P<;���3i�Qh�>�%�7*0!��=����<d<;�$m£�5!=���$,4��#/13�E�"!����P�5*b�����)$�k,.�5�G�5��,��%�g�5�4����!��VNO*0�5���0�5���$�dDF����):�5)��K!����>*�'R!��FDF)��2,7):��)��K�7�\�5��!

$hX R W gImnmImIg R � ��� � Z N $hX R W gImnmIm7g R � ��� W Z�2*F*0<;�%������*0��N�#��P�5���g�5)��k13�>*0�����>1 *�� � �*$ �2*F���>��,7)��>1 ?) %h� ¥P��¢8�H����¢f�i� ¯I��� ¢8�¡��¤f�i¥P��¢����n�ª�i¥F������¢I�5��¢�®��8���¡���F�8�y��ºz�����3���ª���I�¡� ±I��¢8�'*.� ¢��F�8�y���n�8¥F�i�F�¡��� ¢����ª© ��¢8� 'G���;¤8���F�i¥F����¢8��¤¦7�����>���F�8¥¡��¢f© © ��¢8��' ��*,+#�[����§7������¦ª��� � ¥F����¢8¤¸�M���F��¥���¢8���8¦h�M�F��� ¢¸®�� �F�+* ��¢-,C�i�������i²�%h� ¥��i�����µ�������:¯3�¡�f�-.¡¦ª����� ¥¡�0/���i���¡�8¥F�����i¢7�y���y�¡�8¦n�¡¥¡�����F��¤¨��¥¡� � �¡�8��.��M�+�F�i¥1/����i���¡�8¥F�i����¢7�>¯I�n���i��¤f��¢8©��������H�y���2, ¤f� º���¥F�i¢f�i���i²

Page 84: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

p � ��� � � ������� ��� � � � � � � � � � �� �

��) + * , < < >32 -# 6fS � (�z~ 9d� - .�, � �=<¡4 <�- � � 9a9)�A )��T'R!�����!\DF���$���I?O���5,4��*���*�D�!��5J-#�� ��!-�d���5!O!%'£!�'£�5)�� " ���O<=���3i�Qh���%�7*�!��;���4<=<;� ?�E{.-�^fe0/hg'-CBJ�"¤a` !��$*���1��4� �c ��*d*��"��,.��\$�>16BO� �nLP#$�%����!�� X�� ? ( Z��%�/1����P� !���)����.c � !�'(*�� � � $yNy���$1����4��c � c � 13����!%�5�T��)���*0�4� !%'[�%���@�"!������7*F��� �c �I?�,.�4���F��)�!P*0�K���U)$��*F���+,4!�<=<=!��cDF�G�5){c � XR��'[�%�O��Z ? �4�5�G'R���)/�\�

( X�Xp] W gImnmIm7g ] � Z o �c � � W Z o ( X0Xp] W gnmImnmIg ] � Z o �c � c � � � W Zj ( X�Xp] W gnmImImng ] � Z o �c��µc � � � W Z

XHEU���P�>mS� �4���+13�2�%���5��<�<=�|�W����! M �E)$�4���3'R#�� ? Z

�E{.-�^fe0/hg'-CB =1 K �G�5)I*0�4�b�$!%�5�%����!��$*F��*b���:�5)��K���5� M ��!�#$*��7?3�4�7,.�2*���N � )�!\D���)$�%�

( X0XH] W gImnmIm7g ] � Z o �c � c � � � W Z3L 9F ( X0XH] W gImnmImIg ] � Z o �c � c � � � �|Z g�E{.-�^fe0/hg'-CB @_[K �G�5)I*0�4�b�$!%�5�%����!��$*F��*b���:�5)��K���5� M ��!�#$*��7?3�4�7,.�2*���N�*�)�!\Dr��)/�\�

( X0XH] W gImImnmIg ] � Z o �c � c � � � � Z o $ @ ( X�Xp] W gnmImnm7g ] � Z o �c��«c � � � � Z m�E{.-�^fe0/hg'-CB JDwK �G�5)I*0�4�b�$!%�5�%����!��$*F��*b���:�5)��K���5� M ��!�#$*��7?3�4�7,.�2*���N�*�)�!\Dr��)/�\�

$ @ ( X�Xp] W gnmImImng ] � Z o �c��µc � � � �|Z o ( X0XH] W gImnmIm7g ] � Z o c � � �c � � �\ZDF)������¨c � � �c 13�4�$!%���>*���)��k*��.�F!�'h�����g�"!����P�5*F���µc � �7?�,.���3�b��)�!P*0�T��� )$��*b���+,.!�<=<=!��:DF����) �c XY�G'[���P��Z ?�E{.-�^fe0/hg'-CB POa` �%�=��!�#d�$!\D����5! M �y��)$��" ���P<;���3i�Qh�>�%�7*0!��C���4<=<;��N���)$�%�S��*�N�*�)�!\D6��)$�%�y,.!��$13������!��+X�� ? p Z�2*U*5�\���2*i\$��1cBO� ��)��C,4�������2,4���V�5�4����!��c*��"��,.��\$�>1cBP� X�� ? ( Z0�rXFE ���P��mF*f�5�������=�5)��C�5��*�#����5* !�'h��)��k�$��� M ��!�#/*b'R!�#���7?3���5,4��*���*y��!����4��)���� ? Z

��) + | �U�P-�� < ����2�� � V ��2 � � ��2DS <#< V < ��682 < �=<i2 - Z;2b��� �A )�� M ���5*���!��+!%'[�5)�� " �4�O<;�%��i�Qh�>�%�7*0!��:��!�#I)/� M ��^f#/*f�T���5! M ��1H13������*EDF�G�5) 6����l� � �-)P�O�"!%�5)���*���*�N"��)$�%�(�2*4N!��$��*b�5)$�\� !������W'R���%��#��5�K�nLP#$����*F*������$*b���c��)������U*0�5�%����<d���P�5*F!��:�/�%�7�%<=�.�5�4�7* ?[A !;��,4,4!�<=<=!31��\�5� �=� �l� � ���)O�O�/!���)��>*0�>*IXR!�����*=DF����) �o N Z N ` N7LKN�!�� 3 NF*�#$,7)r��*=��!�#�)$� M �+�����5����13� �4�$,4!�#��P�5�4�5��1$ZdD��+�������4�7�%��i� � �=��)$�-����J�������)�!O!31��5�%����!+�������$,4�������-��*K'R!�����!\D *�mT��)��-����*0��*0�5�%���2*f�5��,=)$��*k�c���5!�B$��B��������f�H13���$*0���f��'R#��$,��5��!��$hX R W gnmImnm7g R � ��� Z�DF����)+�d�$�%�7�%<=�.�5�4� M �>,��5!�� �ao� ���$1W��)��k,4!�<=�/�4�������;)O�O�/!���)��>*0�>*F�%�5��m

� � m �=o� � M * � W m �ao� � � � m X�� ? 9�LPZ

DF)������ � ��� �w?eA )�� 4 �#���=6>�������>�<�CBC<;�h?3��<C#�<a����J��4����)$!P!31C��*0����<=�%���b!%'$��)��b�$���5��<d�4����� M ��,��5!��e��* �� DF)��4�5�$hX R W gnmImImIg R � � �� Z3L $hX R W gImnmIm7g R � ��� Z� ��o�� m

�E{.-�^fe0/hg'-CB 5B+ �4�5�G'R�;�5)$�\�b�5)��E<;�ª?O��<C#$<w����J�������)�!O!31-�>*f�5��<;�\�5�E!�'V�5)��T�$�%�7�%<=�.�5�4� M �>,���!��y#$�$13�4��� � ��*�� � DF)��4�5� $hX R W gImnmIm7g R � � �� �|Z3L $hX R W gImnmIm7g R � ��� Z� ��o�� � m

Page 85: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� ��� � �w����� !� ����"!� 0�(�����S&����� I� p0p��) M � RTS � �+2 � � ��2DS <#< V <8�;682 <A )�� � ����� � �9; ���#B � � ��� �;�2*b��!\D 13�7\$�$��1c��*�'R!�����!\D *4m

� X R W gnmImImIg R � Z o$hX R W gnmImnmIg R � � �� � Z$hX R W gnmImImIg R � � �� Z X�� ? 9�9|Z

�%�/1-�5)��k,.�5�G�5��,��%�g�5�4����!�� �2*F13�7\/����1:BO��c o X R W gnmImnm7g R � ZF� � X R W gnmImImIg R � Z 3 F " X�� ? 9 l ZDF)������ F ��*F�d�"!�*��G�5� M �K,.!��/*f�7�%�P� ,7)�!�*��4�c*0#/,7)W�5)$�\�

( X0XH] W gImImnm7g ] � Z o �c � �� �>Z o $ m X�� ? 9 ! Z

�E{.-�^fe0/hg'-CB Jvj` !��$*���1��4�E�W*���<d�$���k!�' x ���$1��4�"�4�$13���P��N"��!��5<;�%�����c13�2*f�5����B�#3�5��1+!�B$*0��� M �%����!��$*KXYDF�G�5)H�$�%i�7�%<=�.�5�4�7* q ���$1 v � N]��)��d���%�0�5�4�T��*5*0#�<=�>1+JO��!\DF�/Z�NgDF)$�4�5�(� � m q o q � Ny� W m q��oaq � ? �4�5��'R�c��)$�%�E'R!����)$��*F�$��!�B�����<cN3��!�#:)$� M � � o X @E~ g j ~ Z.N � � o q � " N ��+o ] X �5)��k*���<=�����T<=�����/Z�N �� � o�qQ?�E{.-�^fe0/hg'-CB P� E !��=�5)��:���>*f�;���5!�B����4< !%'U�5)��c���5� M ��!�#$*d�7?3�4�7,.�2*���Ny*�)�!\D��5)$�\�=�5)��+����J�������)�!O!31 �7�\�5��!���*��� M ��� BO�;�5)��T'R!�����!\DF�����d'R!���<�#����$m

� o �7?3� @Fx X R @ q �>Z �8N X l v � Z " m�E{.-�^fe0/hg'-CB ! ¥A )��U,.�5�����2,4�%�$��������!��d'R!��S��)��F�5��*0�S���5!�B����4< !%']�7?3���5,4��*��F8 p '(��*y13�7\$�$��1=BO� � 3 F � XRDF)$�4�5�F � *�!�� M ��*;��)��I�fLP#$�\�5��!�� ( X � 3 F Z o $ 'R!�� F NF#��$13���¸� � Z ? � )�!\D���)/�\�-�5)��I'R!�����!\DF���$� 'R!��5<C#��2� ��*�nLP#�� M �%���4�P�b��!=�5)���*U,.!��/13�G�5��!�� !�� � m X R @ q � Z �

v � N xL F � m X�� ? 948OZ

�E{.-�^fe0/hg'-CB �)j� )�!\D �5)$�\�U,4!��$1��G�5��!���X"� ? 948PZy������1�*���!=�5)��k,.�5�G�5��,��%�g�5�4����!��X @E~ g @ � W U���� � � �� j � W U���� � g�j ~ Z

'R!��b�5)��T���>*f�U*0�5�%���2*f�5��,;X R @ q � Z N X v�� x Z.N�!��>NO�nLP#�� M �������P������N3�5!��5)��k,.�5�����2,4�%�g�5�4����!��� W U�� Xf9|Z g j ~ Z'R!��b�5)��T���>*f�U*0�5�%���2*f�5��,;X R @ q � Z � N X v � x Z�Z ?�E{.-�^fe0/hg'-CB /¤a` �%�I��!�#ID�!��5JW!�#3�E�5)��C�$��!3,.�>13#��5�k'R!�� ��)$�C�5��*0�(���5!�B$����<�!�'S�7?3�4�7,.�2*��k8 p ' Q ? DF)����I��)$�)O�O�/!���)��>*0�>*F�%�5���.��m q+orq ��N;� W m qaZ�q �|� XFE ���P��m � o � q � g ~ Z ? Z�E{.-�^fe0/hg'-CB!)21a` �%�r��!�#�Dy!���J !�#3�-�5)��I����J��4����)�!O!31��7�\����! ���5!O,4��13#$���c'R!��-��)$�+���>*f�W�$��!�B�����< !�'T�I?3�4��i,.�2*��d8 p ' Q ? ���H�5)��;,4��*��dDF)��4�5� v � �2*T#���JO��!\DF�"� XFE ���P��m � �2* l i�13��<=���$*0��!��/�%� NgDF�G�5)��$���5��<=�.�����K�h?3��* q�%�/1 v � NeDF)������ � � �2*K�5)��-�������-,4!��5���>*0�"!��/13���$� �5! q o q � ��� ��)�� � i ���2�%��� � ��!�# *�)�!�#$��1 �%�5�5� M �=�%�k��)$��fD�!%i�*0�213��1 & i¡�5��*0�U,.!��$*0�213�����>1W��� �I?3�4�7,.�2*0�T8�� l ? Z��) M�� ,.- ��� ~ 4h2�4 < X >@�=<>2�� - Z �A )��=�������4�7�%��� � ��1H����J�������)�!O!31H�7�\�5��! ���>*f�k,��%��B/�=�7?O�5�4�$13�>1���!:��)��d�5��*0�k����!�B����4< DF)������d��)$�4�5�=�����d<=!��5���)/�%���fDy! *���<=�����>*d!%'E�$!��5<=��� M �����2�\�5��*�NS�%�/16���;��*d�5!�B"�+13��,4��1���1��G'T�%���b��)��>*0�+*5�%<=������*=�%�5��*�� 'R��!�<��,.!�<=<d!��:*0�5�%���2*f�5��,��%�g�"!���#$���%����!�� ?�E{.-�^fe0/hg'-CB!)V_rz � M ���4D � � �f� [�6Z� 6 � cI& � ��� � ������� ���(�¶$�� ��� �6���I?P�5B/!O!�J � � ? � ? �b�%��� � * ��������)/�%�71O���� ? X8 l !�� 8 l ' ?

Page 86: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

p ( ��� � � ������� ��� � � � � � � � � � �� �

��) M + " S32 . 4�� / �=< � 6 � 4I674��!%�5) �>*f�5��<;�\�5��!��:���$1:*f�7�\���2*0���2,4�%�]�5��*0�5*F,4!��$,4�4�5�-��)$�K#��$,.! M �4�5���$�C!%'e����'R!��5<=�%����!��:���������513�������$�%�7�%<=�.�5�4�7*!%'e���P�5�4�5��*0�b!��-�5)��KB$��*��2*y!�'£�I?O�"�4�5��<d���P�5�%�@1$�\�5�:XR!�B$*��4� M �%����!��$*7Z ?QA ��*0�F����!�B����4<;*b,4�%�:!%' �5�4�:B/�k,���*0�b��*b�LP#���*0����!��:DF)��4��)����F��)��K�"!��$#����%����!��c�\� )$���$1W'R!�����!\D *F�d��� M ���:1���*0���5��B$#3����!�� ?

�E{.-�^fe0/hg'-CB!)3Dj` !��$*���1��4� x *0�5�\�5��*0���2,4�������+���$13�4�"�4�/13�4�P�K!�B$*��4� M �\�5��!��$*U!���� ���4�5��!�#������ M �%�5�2�\������*�! ��)$�%�( XH] * o 9>Z o P6DF)������ P6�2*k�5)�� ���4�5��!�#��������$�%�7�%<=�.�5�4� ? �4�5�G'R���5)$�\� K �*�� W ] * 'R!�����!\D *k��)�� ������!�<=�����13�2*f�5����B�#3�5��!��IDF����)+�$���5��<d�4�����5*/P��%�$1 x ?E` !��$*���13����� � m&P o P � M �4�7*�#$*�� W m�P �o P � ?El �2*�,4#$*5* )�!\D ��)$�����J��4����)�!O!31 �5�%����!d�2*b#$*���1 ��!;,4!��$*0���5#$,��b�5)��k,.�5�G�5��,��%�g�5�4����!�� ?

�E{.-�^fe0/hg'-CB!)JO E !��h�5)������>*f�[���5!�B$����< !%'/��)��F���5� M ��!�#$*e�I?O���5,4��*���N%*�)�!\D �5)$�\�>N�DF)���� x �2*h����������N\��!�#�,4!�#��21�nLP#$�������-D��4���@13!-� � i ���>*f�>N3DF)��4�5�(��)��T�5��*0�U*f�7�\�5��*0���2,K �*�� W ] * @�x P �$ x P � Xf9 @ P � Z

'R!�����!\D *d��*0�5�%�/1��%�71 ��!���<;���b1���*0���5��B$#3����!�� ? XHEU���P�>m:�5��,��%������)��:'R!��5<C#$��� 'R!��;<=���%�&�%�$1 M �%�5�����$,.�:!%'(�B�����!�<=�2�%� M �%�5�2�\��� � ����<=�4<CB"�4�b�5)�� ` �4�P�5�5��� E ��<d��� A )���!��5�4< ? Z

�E{.-�^fe0/hg'-CB!)PB E !��b�5)��T���>*f� �$��!�B�����<w!%'e��)$�K����� M ��!�#$*��7?3�4�7,.�2*0��N�*0)$!\D ��)/�\�F��!�#:,4!�#��21(^f#$*f�U��*bDy�����@1�!� � i¡�5��*0��N�DF)������(�5)��T���>*f�U*0�5�%���2*f�5��,X K �*�� W ] * @�x P � Z �x P � Xf9 @ P � Z

'R!�����!\D *F�d,7)$�Gi�*>LP#$�����T13�2*f�5����B�#3�5��!�� DF����)c!����k13�4�������E!�'£'R�5�4�>13!�< ?

�E{.-�^fe0/hg'-CB!)3v � )�!\D �5)$�\�F�5)��T���>*f�U*0�5�%���2*f�5��,T!�'V�5)��K���5� M ��!�#$*b�7?3���5,4��*��(,��%�:B/�K�5�4DF�5���0�����:��*�'R!�����!\D *�m�� *�� WX�� * @ T * Z �

T *DF)�������� W ��*S��)$� �O#�<CB"�4��!%'g!�B/*0��� M ��1=L�*�N� � ��*[��)��E�O#�<CB"�4��!%'g!�B/*0��� M ��1:9�*�N T W �2*S��)�� �I?3�/�>,����>1;�O#�<CB"�4�!%' � �4�5!�*b#��$1��4���.�WXYDF)���,7)+�2*kX09 @ P5�>Z x N/��*F��!�#:*�)�!�#$��1 M �4�5�G'R��Zb�%�/1 T � �2*b�5)��k�7?3�"��,.����1c�O#�<�B/��� !%'F9>*#��$1��4���.�-XRDF)��2,7)c��* P5� x Z ?

�E{.-�^fe0/hg'-CB!)J�j� #����"!�*��-��!�# )$� M � e *5�%<=������*�NhDF�G�5) x * !�B$*0��� M �%����!��$*T!�� �����4�5��!�#������ M �%�5���%���;��� ��)$�, ��)c*���<=������E���$1W��)��(���>*f�5���$�����5!�B$����<���*�� � m�P * o P * � M �4�7*0#$*�� W m P * �o P * � X , o 9 gImnmIm7g>e Z ?y� )�!\D ��)$�%���)$�T����*0�U*0�5�\�5��*0���2,x� *�� W��� � WX�� * � @ T * � Z �

T * �DF)������ T * W o Xf9 @ P * �>Z x * �%�/1 T * � o P * � x * N£�������5!8?O��<;�\�5�4���c'R!�����!\D *K�c,7)���i *MLP#$�%�5�=13��*0���5��B�#3����!�� DF����) e13�����5�4��* !%'h'R������13!�< DF)����c��)�� x * �%�5�k�%���V�2�%�5��� ? XFE �����>mb��� M ���4D ��!�#��F�5��*�#��G�7* !�� �5)���*�#�<�!%'[�=�O#�<CB"�4�!%'� � M �%�5�2�\���>* ? Z

� %h� ¥���¢8�F�¡��¢8��� ¯1�¡�8�¨���n�ª��¥¡������¢I�����i�A��¢7§7� � §7� ,C����������®��8�����µ�h�i§7�¨¦z����¢µ��¢8���8¦h�M�F�i¤�¯��M��� © � §7��¢��¡��������¢8¤¸� © � §7��¢��� ¢8����¢I�F¥��M�F��� ¢°¯°®�� �F�������n����© ��¢8���"��� ���z� �f¢8¤°² �3�������������������F�8¦8�F���I�8��¢7�¡� �����8� �F�8¥F�i¤���¢8¤��¡�f����¢8�F�8��¢8©���� ��� ¢I�¨�������8����± ��¤��� ¥3��§f��¤8��¢8�������°�¡¥¡��¢8�F��� ¥¡���M�F��� ¢��M�+�¡��¥1�¡� �����¡���3�F����� ²���¢h���¡���8�������3�F�8��� �f�F��� �������3¦f��¢h��¥F� $+�7�����M¢8�"�¡¥¡��¢8�F��� ¥¡���M�F��� ¢'&��¡�8�� �M�¡�k���5�i�����¨������� �������3��¥¡¢f� �8�����z§���¥¡�¬�M�F� ¯8®��8� �¡�d�h��¥¡�������F��¥��¨���1�¡�8�k�f¥¡� ¦h��¦8����� �������;���f���M�F��� ¢°²

� *1� ¢7�F��¢n�8��¢f©��F�8�"�8¥¡��§n��� �8�����f�����8���d� ¢����f�¡��© ��¢8���¡���i¯h�¡�8�"���f�ª��¥¡������¢7�������i��¥¡¥F���i¤¨� �f�k�M����¤8� ºz��¥¡��¢7����¢8���8¦h�M�F��� ¢¶��� ¢f£����¢I�F¥��M�F��� ¢8�>¯h®�� �F�¨�����M�¡�8�����M�F���i���°���I¤8���°© � §n��¢8©��F�8��§ �����8�d�������3�M���¡�f��� �¡����¢8���8¦h�M�F��� ¢���� ¢8����¢I�F¥��M�F��� ¢°²

Page 87: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� ��� �;� �¨#&�������&b'��� Z2¡���.#��&��������y�k� p m��) M�M � / <F6fS � < Z=S32 . 4�� / �=< � 6 � 47674����*���1���*�B����$!�<=������*�NQ,.!�<d<=!��613�2*�,4���4���W13�2*0���5��B�#�����!��3i ���>*f�5���������5!�B����4<;*���� M !�� M �;<C#���������!�<d�2�%�b13�2*f�5����B�#3i����!��/*�� ? �U*FDF����):��)$�KB����$!�<=�����]���>*f�>N3��)��K<�#���������!�<=�2�%�g�5��*0�F,��%�cB"�K�7?O�����$13��1W��! e *���<=�����>* ?�E{.-�^fe0/hg'-CB!) ¥z � M ���4D¥��)��K���5!�B/�%B��������f�-13���$*0���f�-'R#$�$,��5��!��:!�'V�5)��K<C#���������!�<d�2�%�£13��*0���5��B�#3����!�� ?�E{.-�^fe0/hg'-CB!)!)FE �.���;B"� �%� ���P�������4�>N��5L l ?H� )$!\D �5)$�\���;���$13�4�"�4�/13�4�P�.Qh!���*5*�!�� M �%�5���%����*CDF�G�5) �$�%i�7�%<=�.�5�4�7* q * X , o 9 gnmImImIg �4Z.N£,.!��$13������!����>1H!��H�5)��4���k*�#�< B"�4�����+�nLP#$���h��!+�:��� M �4��,.!��$*f�7�%�P���Ng'R!�����!\D �<C#$�G�5����!�<=�����V13�2*f�5����B�#3�5��!��+DF�G�5)+�$�%�7�%<=�.�5�4�7*�P * o q * N X K�� � W q � Z ? XHEU���P��my��� M ����D��5)��C,.��!�*�#��5�T����!��/���0�f�!%'kQh!��2*5*0!�� M �%�5���%����*�mQ�=*0#�<�!%'e���$1��4�"�4�$13���P��Qh!��2*�*�!�� M �����2�\�5��*b�2*F�%�P�%���:�AQh!��2*5*0!�� M �%�5���%��� ? Z�E{.-�^fe0/hg'-CB!)"¤a` !��$*���1��4�Q� �5��*0�������(����!�B����4<aDF����)=�E*����$�����y<�#��G�5���$!�<=���������C13�2*0���5��B�#�����1�*���<=�����b!�'/*0� � � xXRDF����)�� 13�2*f�5���/,��b!�#3�7,.!�<=�>*5ZhDF)$�4�5��� � m P * o P * � M �4�7*�#$*d� W m!P * �o P * � X , o 9 gnmImnm7g �4Z ?S` �%�2,.#��2�\�5� T * NP��)$��7?3�"��,.����1:�O#�<�B/���F!%'e����<d�>*b��)$� , �5) !�#3�5,4!�<=�T��* !�B$*��4� M �>1gNO#��$13���b��)��K�O#����@)O�O�/!���)��>*0�2* ?�E{.-�^fe0/hg'-CB"¤21 E !��V��)��S���>*f�5�����E���5!�B����4< !%'O��)$�S���5� M ��!�#$*V�7?3�4�7,.�2*0��N>,��%�K��!�#k*�)�!\DH�5)$�\�£��)��S���>*f�h*f�7�\���2*0���2,

� *�� WX�� * @ T * Z �

T *�%�$����!8?3��<;�\�������:'R!�����!\D *T�:,7)$�Gi�*>LP#$�����d13�2*f�5����B�#3�5��!���DF����) � @ 9d13�����5�4�>*E!�'S'R�5�4�>13!�< DF)$�4����)��=�O#�<CB"�4�!%'[!�B$*��4� M �%����!��$* ��*E���������>��XHE ���P��m�\/�5*0��N]*0)$!\Dj��)$�%�U��)$��,.!��$13������!�������� !%'[�7?3���5,4��*��k8 ( ( ��*E�nLP#�� M �%���4�P��N]�����)$�;��������� x ����<=�G�>NV�5!+)$� M ���$��� @ 9=���$13�4�"�4�/13�4�P�(Qh!���*5*0!�� M �%�5�2�\���>*(����#/*K!����=�5)$�\�k�2*K,.!����5�4�2�\�5��1�DF�G�5)��)$�(!���)����5* � ��)����:13����� M �(��*�#�<����WDF)��2,7) ��)���\$�7*f��� @ 9E���4�5<;*b�%�5� � N3DF�G�5)W�I?O�"��,.�5�%����!�� ���$1 M �����2�%�$,4�B"!%��):�nLP#$���"��!c9�N3DF)������U�5)����7��) ������<�)/��*b�7?3�"��,.�5�\�5��!�� ���$1 M �����2�%�$,4� � �4�5!����W�5)��T����<=�G� � ��!�#W<;�|�;Db�%�P���!;,4!��$*���1��4�b���5����!�<=�2�%�2*�\$�5*0��N3B"�.'R!����(�7��,7JO�������d��)$�K���4�$�4�7�%�g,4��*0� ? Z�E{.-�^fe0/hg'-CB"¤V_�` !��$*���1��4�h�%� e i�*���<d�$���S����*0�h!%'/���7i <�#���������!�<=�2�%���[DF)�������� � *��/�>,.��\$��*V��)����[�$��!�B$�%B������G�5���>*'R!��F�>��,7):!%'£��)�� e t��7i ��!�<d�2�%�2*Mu ?Q� )�!\D �5)$�\�F�5)��T���>*f� *0�5�%���2*f�5��,

x� *�� W �� � WX�� * � @ T * � Z �

T * ��%�$����!8?3��<;�\�������('R!�����!\D *h�(,7)$�Gi�*>LP#$������13�2*f�5����B�#3�5��!���DF����) e X�� @ 9>Zh1��4���5�4�>*V!�'$'R�5�4�>13!�< DF)$�4����)�� x * �%�5��������2�%�5��� ? XHEU���P�>mQ��)��T�5��*�#�����LP#�!����>1W��� �I?3�4�7,.�2*0�(8 m LC����#$*��5)��K��#$���('R!��F*�#�<;*b!%'h���/13�4�"�4�$1��4�P� � M �%�5���%���>* ? Z��) M!Y R � 47682 -# X < <�2 - V � � �P- V �5- Z �Qh�4�5)$���$* �-<=!����C,4!�<=<=!�� M �����2�%�P�U!�'Q��)��at e�� �7u;�5��*0�E���5!�B$����<�!3,�,.#��7* DF)����=�.��<=���������c*f�7�\�5��*U��)$�%���)$�W���5!�B$��B�������������*k�����-��)��W*5�%<=�;'R!��C�>��,7) !%'b�5)�� e *5�%<=������*WXY� ? � ? P * ��� P � , o 9 gnmImnm7gie " ZkDF�G�5)�!�#��*��/�>,.��'R�P����� �5)��4<�� ? A )���*-��*;JO��!\DF����*5� �=6>���\��� c �C���\��B1� �&�=��B1�=���=�3m+��)��+�O#���� )O�O�/!���)��>*0�2*;�2*=��)/�\�;��)$�,4�%������!��5� � �\�5��!��W��<=��������1:BO�-�5)�� e *���<=�����>*F13!O��*F�$!%�U� Q ��,.�F��)��C����!�B$�%B$�����G�f� 13��*0���5��B�#3����!�� ?SA !-,��%�2,.#��2�\�5��7?3�"��,.����1&!3,4,4#��5�����$,.�:�O#�<CB"�4�7*4Ny��!�#6)$� M �W�5! ��*0����<=�%���:��)$� XY,.!�<=<d!��/Z����5!�B$��B��������f� 13��*0���5��B�#3����!��&'R!����!�#����7i <C#$�G�5����!�<=����� ?hA !�13!K��)$��*�N���!�#=�"!P!����5)�� e *5�%<=������*[���$1d�5��J��F�5)��F'R�5�nLP#��4�/,.����*[!�']��)����b!�#3�7,.!�<=�>*! M ������)�� e *���<d�$���>*��5�%J��4� ��!����.�5)��4� ��*b��*0����<;�\���>* �P � N � o 9 gImImnm7g �(!�'V��)$�K����!�B$�%B$�����G�5���>* ?

��� �8� �¡��¢f� ���¬�����#��¥F���¡���I�8� �F��¢h�M�F�8¥¡����� �¨��¢�¦8���¡���d�¡� �I�8��¢8������¢h��� �n�¡���i¯ª��¢�®��8�������¡�8�"�I�i���8¥F¥¡��¢8���d� ¥F���I�8��¢8�����������P�����8�h��¦ª����F�n��¦ª� ���1��¢��¡�f�k�¡� �n�f�i¢f�i�"��¥F���¡��� ¥¡��¤ �8��¢"!$# %'&(!*)*+$,J���y��­h¢8� �F���¡�������;¤8���H�¡��¢8�����ª� �¡�F��¦8����� �¡�����i¯f�i��������¤��H�f��¦ª� �����I� � ¥1��¢8�H����¢f�i� ¯�F�8��- +#�=�����8�h��¦ª���#�i� ¢f�¡���F�F�����/.�¢n�f�i�������F��¤8���>¯8®��8��¥F�>�����¡�f�k�8¥¡���F��� ���k�i� ¢f�¡���F�F�����1032�������¢8��������¤8�i²

4 %h� ¥����8�����f���7¯5�F�8����¢7§7���F�F��©7�M�¡� ¥������ �i� ¢f�¡��¤8��¥���¥F��© ��� ¢8�����#�¡�8��© ��¢8� ��� ¯J�F�8�¡�ª�����¡��¢f©¶�F�h�M���F�8���¡��¥¡��© ��� ¢8��¤8� ºz�i¥���¢¢I�8�����i���F��¤8�¶�8�¡��© ���h�M�H�¡��¥¡¢f���k�i�����¸¥¡��© ��� ¢ �"�h�����(����¥F�¡����¢G����¢8©��F�°¯������-, ��¦8���¡���h����¥F�>²C³y�8�¨��¢I§7���F�F��©7�M�F� ¥�¥F�i��� ¥F¤8���¡�8���¥¡� �n�f�i¢f�i�����"�M�d®��8����� �>���¡�.���3�F�8����� �8¥k¢n�f�i�������F��¤8�����I�����8¥���¢¶��§7��¥F� ¥¡��© ��� ¢°²�³y�8���¡����¥¡� �n�f�i¢f�i�����"��¥¡���¡�8��¢(�i� ���8��¥¡��¤��¡��F�8�����n�ª�i���F��¤µ¢I�8��¦z��¥F�"�i�������8�¬�M�F��¤«� ¢.�¡�f��¦h���F���������F�8��¢n�8���J�I�n�ª���¡�8���F���>¯5®#�f�����A�¡�ª����� ­h�����F�8���8¥¡� ¦h��¦f����� �¡�����"����­8¢8¤8��¢8©��¤8��¢8� �F��¢8� ¯ª© �h��¢8� �¡��¢f�7¯8���I�F� �¡��¢8� ¯z��¢8¤��¡�7�f����¤f��¢8����� ¥��i�����¨¥¡��© ��� ¢ $+� � ¥��i�����¨¥F��© ��� ¢°¯8�F�8���¡�k� � �f¥��f¥¡� ¦h��¦8����� �F�����y�¡�8� �8��¤¨��¤8¤�8���¡��5�&�²

6�*1� ¢7�F��¢n�8��¢f© �F�8���8¥¡��§n��� �8�����8�����f���7¯5�F�8��¢I�8���1�7�f�ª���F�8���¡����®1� �f��¤«���i¥F��� �(�H���M�F���F�h�M���F�8� ��¥¡��© ��� ¢8�������F�8�¨© ��¢8� ����8¢8¤f�i¥d��� ¢8�F��¤8��¥��M�F��� ¢.��� ¢I�¡����¢.�F�8����� �8¥k¢n�f�i�������F��¤8�����M�k�F�8���������"� ¥F� �n�8��¢8�������>² ��¢f�i��¤f�i¢7�¡����� �I¯;¢f���¡���F�h�M�d�¡�8� �I�h�M�F��¥¡¢h��¥H������8�h��¦ª���d������¢¶� ¦7§f��� �f�>¯�¦8�f�k¢8���k�F�8��� ¢8� �����f� ���i���¡���F�F�8¤f��- +#� �F���I�8��¢8�������;��¦8��¢8��¥F�������f�h��¦ª���%$��8�8¥F��¢8� ¯°�7�n¥¡������¤8��¢8��&�i��¢������F��¦ª�k�8�¡�����8�:²87n�������¬��¥3���8���ª��¤¨�����f�h��¦ª���F���i��¢�¦z�k¤f��­8¢8��¤¨� � ¥y�8¥F���¡����¢8�i²

Page 88: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

( L ��� � � ������� ��� � � � � � � � � � �� �

�E{.-�^fe0/hg'-CB"¤3Dj` �%�c��!�#:,4!���\$�5<w�5)$�\�U��)��K�"!O!��������-*0���7�\�5�4���-��*U,.!��/*0�2*f�5�4�P� DF����):��)��C���4�$�4�7�%��� � ��1 ����J��4i����)�!O!31:�5�%����!d�������5!���,7)/��E{.-�^fe0/hg'-CB"¤JOa` �%�:��!�#c*�)�!\D �5)$�\�F�5)��T���>*f�U*0�5�%���2*f�5��,E'R!��b�5)��k,7)���i *MLP#$�%�5�E����*0�F'R!��F���$13���/���$13���$,.��N

x� *�� W �� � WX�� * � @ T * � Z �

T * �DF)������ T * � o �P � x * N � DF����)�� o K x*�� W x * ���$1 �P � o K x*�� W � * � N � N$�%�$����!8?3��<;�\�������='R!�����!\D *F�;,7)���i *MLP#$�%�5�13�2*f�5����B�#3�5��!��HDF����)�X e @ 9|Z.X � @ 9>ZE13�����5�4��*U!%'['R�5�4�>13!�< DF)$�4�I�5)�� x * �����d�%���h���������>�jXHEU���P�>mU)�!\D <;���P����$13�4�"�4�/13�4�P��Qh!��2*�*�!�� M �����2�\�5��*��%�5�U�5)��4�5��N3���-�5�4�5<;*b!%'@�5)��K�%�����5!8?3��<;�%����!��-#$*���1 ���W�7?3���5,4��*��E8 m LP��"U!%�5���)/�\�W��!\D���!�#�)$� M �c��!��-!������&,4!��$*0���7�%���P�5*=!�'E�5)��+'R!��5< K � � W � * � o x * N ��*=B/�4'R!��5��NFB�#3�W��)��+�5!%�7�%�2*K x*�� W � * � o � �P � �%�5�(����*�!.\;?3��1gN$*����$,.��� � ���5���%�5*���)$��*��T��*b��� M ���$* ? Z��) M" ��<#< V -�� 4I4=. < X<. � 6 6 � 47674A )��;�5)��4!����HB/��)����/1 � �5��*0�5*K�2*C*�!�<=��DF)$�\�K�5���2,7JO��N£���$1��G�d,4�%� B"�-)$���51��5!I�%�5��� M �;�\�K�5)��W,4!��5���>,��k13�.i���5�4�>*F!%'e'R�5�4��1�!�< ,.!�#$��� ? "U!����4��)������>*�*�N��5��*0�5*UB$��*���1c!�� �5)��� � i�13�2*f�5����B�#3�5��!��I�%�5�K�7?O���5�4<=�4���W#/*0�4'R#��£���$1*0���7�%����)P�0'R!���Db�%�71=��!;,��%�5���;!�#3� ?�E{.-�^fe0/hg'-CB"¤PB E �.�#] 13����!%�5�S�b�7�%�$13!�< M �%�5����B����eDF)$��,7)T�7�%J��>*g��\$�������[�O#�<�B/���@!%' M �%��#���* R�� W g � � gImnmImng �

DF����):����!�B$�%B$�����G�5���>*XP W g P � gnmImnmIg P?S� #����"!�*��U�5)$�\� �d*���<d�$���(!%' x ���$1��4�"�4�$13���P�b!�B$*��4� M �%����!��$*y�2*y<;��13�E!��

] N[���$1 ��!�# Db�%�P�C�5!I���>*f�;�I�O#����b)O�P�"!%�5)���*��2*CDF)��2,7)6*��/�>,.��\$��*��5)�� �$��!�B$�%B������G�f� 13�2*f�5����B�#3�5��!��¥XR� ? � ? � ���*5*������$*b*0�"��,4�+\/, M ����#��>*���!*P W g P � gImnmImng P

Z ? E !\D�D�!�#$��1 ��!�# ���5!3,.����1$� XFE �����>m[�7?3���5,4��*���*�8 ( m ���$1:8 m L ? Z

�E{.-�^fe0/hg'-CB"¤3vj` !��P�����O#����$�6�5)�� ����� M ��!�#$*W�I?3�4�7,.�2*0��NU)�!\D D�!�#$��1r��!�# ��1����3�:��!�#��:���5!3,.��1�#�������'C��)$�13�2*f�5����B�#3�5��!��6'R#$�$,��5��!���!�'�] XY�2Zd�2*;13�2*�,4���4���:B�#3�-��!��3i � �4�5!I'R!��;13�4�O#�<=�4�7�%B$��� <;�%�O� M �%��#��>* � !��cXY��� Z���*,.!��P�����P#$!�#$*7��E{.-�^fe0/hg'-CB"¤J� � ,.!�<d<=!�� �#�1��B(�!�=6�6 2 � c�2�� �[�$��!�B�����<w�2*F��!=�5��*0�UDF)��4��)����U*0!�<=�k13��*0���5��B�#3����!��VN$DF����)+�$�%i�7�%<=�.�5�4�7*S��*S���4�y#���JO��!\DF�VNP�2*��%�����5!��$���2�\�5� ?e� #����"!�*��U��!�#-��*0����<;�\�5� F �$���5��<=�.�����5*['R��!�< �5)��T1��\�7� � ��)����)�!\D¥<=���O�W13�4��������*�!%'e'R�5�4��1�!�< 13!O�>*b��!�#$�b����*0� *f�7�\�5��*0���2,T)$� M �|�

��) M � ��Z=< �P�5- 2 -# � !H'Y�%�>N[Dy� )$� M �WB/���4�6D�!��5JO���$�I!��6��)�� �5��,.���d��*5*�#�<=�3����!��6��)$�%�C��)$�:� M �%��#$�\�5��!�� !%'U�H��� M �4��*�,4�������5�+\",�7?3�"�4�5��<=��������� M !�� M ��*[!����(,.!��5�5��*��/!��$13�����k*f�7�\�5��*0���2,4���/13�>,.�2*0��!��-�$��!�B�����<�XR���>*f��Z ? E !\D�� M �4�>N����y�2*S!�' �����-��)$�,4��*0�E��)/�\�F��)$�(� M �%��#$�\�5��!��W!%'£��)��k1$�\�5��!�B��5�%�����>1W���:��� �I?3�/������<=�4�P�5���@*f�5#$13�-�5�nLP#������>*b� M �4�5�;���������dX¡*��|��N� Z��O#�<�B/���U!�'Q*0�5�%���2*f�5��,��%�V,4!�<=�$�����2*0!��$*y��!-B"�C,��%�5������1 !�#3�7W � � *f�5#$13�:DF)��2,7)+��� M !�� M ��*F�=�2�%�5���T�O#�<CB"�4�!%'Q,.!�<=�$�%�5��*�!��/*SDF����)+,.!��$,.!�<=�G�7�%�P� *f�7�\���2*0���2,4�%�@1���,.�2*���!��$*b��*U,4�%������1:�D6 ����� �=�#�\��� ?�E{.-�^fe0/hg'-CB"¤ � #����"!�*��S�5)$�\�h�5)��F*0� � ��!%'$�>��,7)C,4!�<=�$�����2*0!��k�2*&$ ?Q� )�!\D �5)$�\�Q��!�#k�7?3�"��,.�/$ � �4�5��!����4!�#$*,.!��$,.��#$*���!��$*�#��$13���F��)$�@���a�&�=����� �A� � 2 �/� 6A�H� 4��D� ;W[0���1��;!�=6��\6E�5)$�\���.�K�2*����5#��T'R!��F�>��,7)c,.!�<=�$�����2*�!�� ?�E{.-�^fe0/hg'-CB"¤!)j� #����"!�*��F��)/�\�"�.� �2*h���5#�� ��� ��� 3� ,4��*0�>*4N%DF����);�>��,7);,.!�<=�$�%�5��*�!���!%'@*�� � �:$ ? * ?3���2�%���DF)O�-��!�# �I?3�/�>,��H$ ��� 'Y����*��T���i^f��,��5��!��$*b!%'e�O#����V)P�O�"!%�5)���*���* ?�E{.-�^fe0/hg'-CB"¤"¤a` !��P�����O#����$�H�5)��+���5� M ��!�#$*d�7?3�4�7,.�2*���NS*�#����"!�*��W�5)$�\�-�>��,7)&,.!�<=�$�����2*�!�� ��� M !�� M �>*����5��*0�DF����)c�/!\D��4�T9 @ ? * ?O�$�������:DF)O�-��!�# �I?O�"��,.� SX � @ ��� Zy'Y�%�2*��(�$!��3i ���i^f��,.����!��$*�!%'h�O#����@)O�P�"!%�5)���*���* ?�E{.-�^fe0/hg'-=v@121a` !��P�����O#����$�-��)$�����5� M ��!�#$* �fDy!W�7?3�4�7,.�2*0�>*4N"���.�� o X � @ ��� Z N � XR� ? � ? N]��)��C'R�5��,�����!��H!%',.!�<=�$�%�5��*�!��/*bDF)��4�5�T��)��C�P#$���£)P�O�"!%�5)���*���* ��*b'Y����*��>Z �%�$1c*�)�!\D��5)$�\�U��)��k�$��!�B$�%B������G�f�-!�'[�=���i^f��,��5��!�� XR� ? � ? N13�>,.�2�%�7�\����!�� !%'Q�=*f�7�\���2*0���2,4�%�����W*0�����$�+\/,��%�P�F���>*0#$�G��ZSB"�4�����-,4!��5���>,��b��*kX09 @ eZ� N X�$�Xf9 @ �Z j Xf9 @ £Z yZ ?��� *����i�����3�¡�f�����f�����8���������¡�8�����n�8¥¡���¡�F��� ¢A���#���¡��¢8© ����© ��¢8� '0��¢(�F¥���¢f�F��� ¥¡����¤ §7��¥F�¡�8��¢8� ¢f£:�F¥���¢8�H� � ¥F����¤(���������>¯;®��8��¥¡�

��*,+#� ����§7�i������� ¥�© ��¢8� ' ®1��¥¡��¤8���F��¥¡����¢8��¤{��¢¸�������8�����������F¥���¢f�F��� ¥¡����¤G��¢f¤{¢8� ¢f£:�F¥���¢f�F��� ¥¡����¤G���������>² ³y�8�¶��*,+#����f�f¥¡���¡�F��� ¢¨���i���¡�8¥F�����i¢7�y���i��¦ª�k¤8� ¢f�k� ¢���§7��¥F���¬��¥F© �k¢n�8��¦ª�i¥1���5© ��¢8���>²

Page 89: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� �����f� ������� I�� 8$� I���0�����s�� "�¨'� ��� I'� I��� ( 9�E{.-�^fe0/hg'-=v@1V_ � )�!\D ��)/�\�V'R!��e*�<;�%����'R�7��,.����!��$*V!%'��5��#$�S�"!�*��G�5� M ��*SX n 9|Zg�5)��S�$��!�B$�%B������G�f�(!%'/� ���i^f��,��5��!��B"�4�����:,4!��5���>,��(��*T�%�$����!8?3��<;�\�������:�nLP#$���V�5! W U��� ?d` !�<=<d���P�(!��+��)��2*('R!��5<C#$���-'R!��E��)��;,4��*0�D$ o L m L('�N o L m 8/N 3 L m L%8 ?��) M]� � �P- 4h2 682 >32 6 ~ � - V04�� � Z52 � Z52 6 ~� �d��)�� ,4!��P���I?O�[!%']<C#������������ ,.!�<=�$�����2*�!��$*�N|��)��F�"!\D��4�F9 @ :��*Q!�' �����d�5�.'R�����5��1C��!k��*e��)��:6=�A��6Z����� & ���\[I!%'"��)$�,.!�<=�$�%�5��*�!��VN/�%�/1 9 @ $&�2*(,��%�����>1c��)$�@68�&�C��� � �����\[ ? � �f�O���2,4�%�e�%���$���2,4�%����!��I�2*E��)��d13�.�5��,��5��!��H!�'[<d�>13�2,4�%�,.!��$13������!��$*b���+�d�/!���#��2�\����!��VN$�%�$1W��)$�4� r�2*F,4��������1W��)�� ���=� & ��� �=���=� ?�E{.-�^fe0/hg'-=v@13D � )�!\D ��)/�\�-�%� �����5!��$�4!�#/*k�5��^f��,.����!�� !�' ��)$�:�I?3�/������<=�4�P�0i DF��*��W�O#����b)O�P�"!%�5)���*��2*C!3,4,4#��7*DF����):��)��T'R!�����!\DF�����=����!�B$�%B$�����G�f�]m

9 @ ( XR'R!�� , o 9 gImnmImng � N#G * Z $hZDF)������*G * 13�4�$!%���>*���)��¶Q[i M ����#��T���W�5��*0� , ���$1 $613�4��!����>*���)��k*�� � �K!%'£��)��K���$13� M ��13#/�%�V,4!�<=�$�%�5�2*0!�� ?�E{.-�^fe0/hg'-=v@1JOa` �%�:��!�#c*�)�!\D �5)$�\� ( X�G * Z $eZ o 9 @ $DF)������ G * �2*C���O�H!%'b�5)�� � !�B$*��4� M ��1rQQi M �%��#���* $��2*K�5)��W*�� � �-!%'b��)$�W���$13� M �213#$���y,4!�<=�$�%�5�2*0!��/��XHE ���P��m�7?3���5,4��*��E8 ! L ? Z�E{.-�^fe0/hg'-=v@1PB � '�G������2*b�5)��K���5!�B$��B��������f�;!%'Q�%�:�7?3�/������<=�4�P�0i DF�2*0�(�f�O�/� � �4�5�5!��>NP*�)�!\D �5)$�\� ��!�#:)$� M �

G���� o 9 @ Xf9 @ $eZ �DF)������*$ �2*b�5)��k*0� � �K!�'£�5)��K���$13� M �213#$���V,.!�<=�$�%�5��*�!�� ? E �4�/,.��N$�G' $�� ��*b�5)���� ��!%�7�%� ���7?3�"�4�5��<=������i DF�2*��T*�� � ��N13����� M � $ o 9 @ Xf9 @ $ � Z W � �DF)������*$ �2*b��)$�k*0� � �T!%'£��)��K���$13� M ��1�#$�%�V,4!�<=�$�����2*0!�� ? XHE ���P��mQ�5)��K���5� M ��!�#$*y�fD�!d�I?3�4�7,.�2*0�>* ? Z�E{.-�^fe0/hg'-=v@13v � )�!\D �5)$�\� ��!�#:)$� M �E��)$�k�%�����5!8?3��<;�%����!��

9 @ Xf9 @ $ � Z W � ��� $ ��

DF)����5$ � �2*F*0<;�%��� ?

��) M * �_S@�=<i2 -# �.����S@�A )��U'R!��5<C#��2�-$ o $�� N � *�#�������*0�5*[��)$�%�3$��HB"�4)/� M ��*[����J��(� M �%��#$�%B�����N3*5,4���5,4�F���>*0!�#��5,4�FDF)��2,7)-��*�13� M ��13�>1�nLP#$�������W��<d!����=�%��� � ,.!�<=�$�����2*�!��$* ?�E{.-�^fe0/hg'-=v@1J�j� #����"!�*��D$ � o L m L(';���$1 � o l L g L�L�L ?(` �%�2,.#$���%���@$ ?�K )$�\�K13!O��*E�5)���*E<=�����I'R!��E��)$�*0�5�\�5��*0���2,4���g�/!\D��4�F!�'£��!�#��F,.!�<=�$�%�5��*�!��/*4NO��'h�����@�����K13!����K�\�U*�� � ��� $ � N � �

��) M | " <#- 4 � < >@��682 <�-r< X¨476 ��682�47682�Z+��� � <��K� <A )��k<=!��5���@!%'h��)$�k����*f�E�7?3�4�7,.�2*0�T�2*F�5)$�\� �5)���,4!��$*��4� M �\�5��!�� !�'Q��*F<C#/,7)I*f�7�\���2*0���2,4�%�£�/!\D��4� ��* �"!�*5*0��B����K��*,.�����������;��<d�"�4�7�\�5� M � ?�E{.-�^fe0/hg'-=v@1 � <=!����k��)�� � !�B$*��4� M �>1(Q[i M ����#��>*4N����4�3G \ W ^ 13�4��!����F�5)��E*�<;�%�����>*f�(XY*�!K��)$�%�OG \ W ^ 3 G * , Z�%�/1�13����!%�5�bBP�(�

\� ^� ��)��F�I?O�"�4�5��<d���P�0i DF��*��y�O#�����)O�O�/!���)��>*0�2*e��)/�\�[�%��� � �P#$����)O�O�"!%��)$��*���*h�%�5�����5#�� ?Q� )�!\D

��)/�\�S�5)��E'R!�����!\DF�����k�2*y�K����*0��'R!����\� ^� mh���i^f��,����

\� ^� ��'JG W 3 9 @ Xf9 @ $ � Z W � � NP��,4,.���3�y!���)�����DF�2*�� ? XHE ���P��m��'S� M �4� G W �I?�,.�4�>1�*�9 @ Xf9 @ $ � Z>W � � N"DF)/�\�K13!W��!�#IJO��!\Da�%B"!�#��E�5)����5��*0�E!�'Q��)��AQQi M �%��#���*7� � B$*��4� M ���)/�\� �7?3���5,4��*�� '�L l ��� M �>*b�C'R!���<�#��2�C'R!��:G���� ? Z

Page 90: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

( l ��� � � ������� ��� � � � � � � � � � �� �

��) Y�� , � ��~ < :;4 � < >@��682 <�-� 'S�5)��=�7?3�"�4�5��<=�4�P��i DF�2*0���O#����Q)O�O�"!%��)$��*���*��

\� ^� )$��*(B"�4������,4,.���3���>1gN]��)$�(\/�$�%�Q,.!��$,.��#$*���!��H)$��*E��)�������BP�

�%���5����1��;B/���4�c���>��,7)��>1gme'R!��F��!����T!%'e��)�� � ,4!�<=�$�%�5�2*0!��$*S�2*b�5)��K���/13� M �213#$���@�O#����g)O�O�"!%��)$��*���*b�5��^f�>,����>1 ?

�E{.-�^fe0/hg'-=v@1!)j� #����"!�*��=��)$�%�(� \ � ^� �2*K���i^f��,.����1 ?:� )�!\D ��)$�%�k��)$�;���$1�� M �213#$�%�S�P#$���[)O�O�"!%��)$��*���*T'R!��K��)$�,.!�<=�$�%�5��*�!��:��*5*0!3,4���%����1WDF�G�5):��)��K��!\Dy�>*f��Q[i M �%��#�� G\W ^ �2*F���i^f��,.����1 ?

��) Y � RTS � -���� 6A476 � �K )����=�

\� ^� �2* �5��^f��,.���>1gN/�-,4!��$,4��#/*0��!��c)$��* ���4� ��!WB/�k�5����,7)���1:!��c��)�� � @ 9k,4!�<=�$�����2*0!��$*b!%�5)��4�U��)$���

��)$� !����F��*�*�!3,.�2�\���>1CDF����)=�5)��F��!\Dy�>*f�dQQi M �%��#�� ?�E �4�"�\� U W ^� B"�b��)�� )O�O�"!%��)$��*���*e�5)$�\�[�5)��F�O#����$)O�O�/!���)��>*0�>*

��*5*�!O,4���%���>1�DF����)6��)��>*0�W����<=�����$������,.!�<=�$�����2*�!��$*k�����-�����y���5#�� ?�� ���2*k��<=�/!��0�7�%�P�C�5!I��!%�5�-�5)$�\�A�\� U W ^�

!��$���-���P���4�7*F,.!��$*���13���5�%����!��$*�DF)����C�\� ^� ��*b�5��^f�>,����>1 ?

�E{.-�^fe0/hg'-=v@1"¤FE �.� G\� ^ 13�4��!�������)$�F���7?O�0i B�#3��i !����.i�*�<=��������*0�kQQi M �%��#��kX�G \ W ^ 3 G

\� ^ 3 G * , Z ?Q� )�!\D6��)$�%�

��)$��'R!�����!\DF�����W�2*T�-�5��*0�('R!����\� U W ^� m(���i^f��,����

\� U W ^� �G' G � 3 9 @ X09 @ $ � ZMW � � � U W   N£��,4,4�4�3�T!%�5)��4�5DF�2*0� ?

XHEU���P�>mQ��)��2*F��� M !�� M �>*S�>*�*��4�P�5���������;��)$�k*���<d�T�213���=��*b�7?3�4�7,.�2*0�-'�L p ? Z�E{.-�^fe0/hg'-=vg_P1 K )���,7)I,4!��$,4��#/*0��!��$*F�����K�5����,7)���1 !��c�5)��K�5�4<;�%��������� � @ 9k,.!�<=�$�����2*�!��$*F��,4,.!��51������;��*�\� U W ^� �2*b���i^f��,��5��1:!�� ��,4,4�4�3�5��1$�

��) Y�+ RTS � 476 � �1. V <��¸- �=< < Z � V / < �A )��:�������4�7�%���$�\���������&*0)�!�#��21 ��!\DwB"�:,4���>�%�>m;'R!��;L 3��Y3 � @ 9�NQ)O�O�/!���)��>*0�2*A�

\� U�� ^� �2*����>*f�5��1 BO�

,.!�<=�$�%�5���$�k��)$�T������i B�#3�0i � *�<;�%�����>*f��QQi M �%��#��7G\��� W ^ �5! 9 @ X09 @ $��hZ>W � � � U��   ?k� '�� \ � U�� ^� ��*F��,4,.���3���>1gNO��)$�

,.!�<=�$�%�5��*�!��/*E��*�*�!3,.�2�\���>1IDF����) G\ * ^ 'R!�� , 3�� N , �o L�N@)$� M �C�5)��4���k���$13� M ��13#/�%�Q�O#����[)O�P�"!%�5)���*���*(�5��^f�>,����>1DF)������k��)�������<=�����$�����;!�����* )$� M �T�5)��4���U�O#����V)O�O�/!���)��>*0�2* ��,4,.���3���>1gN/���$1:��)$�C���5!3,.��1�#����T�5�4�5<=���$�%���>* ? � �

��)$�K!%��)$�4�F)$���$1gN���'��\� U� ^� �2*F�5��^f��,.���>1 ���$1 �¨` � @ 9�N � �2*F*0�4�F��! � j 9K�%�/1W�5)��¶�

\� U��MU W ^� �2*�����*0���>1 ?

�E{.-�^fe0/hg'-=vg_"_ � ��#$1��-��)$�k�%B"! M �T�%����!��5����)�<�'R!��b��)��-6>�<� � 2 B1���/� ���=�#�=�CB 4 ���k,��%�5�.'R#������ ?�E{.-�^fe0/hg'-=vg_;D � #����"!�*��F��)/�\�y�%' ���4�S��)��E*f�5�4�3i�13!\DF�=���5!O,4��13#$���F)$��*h������<=���$�\�5��1gN �� ,.!�<=�$�����2*�!��$*h)$� M �)$��1 �5)��4���-�O#���� )O�P�"!%�5)���*���*=�5��^f�>,��5��1&�%�$1���)$�+����<=�����$����� � @ � )$� M �c)$��1 �5)��4���-�O#���� )O�O�/!���)��>*0�>*��,�,.���3���>1 ? �4�5�G'R�d��)/�\��NODF)������ ��)$�E�I?O�"�4�5��<d���P�0i DF��*��U*�� � �U�2*O$ � NP�5)��U���$13� M ��13#/�%�],.!�<=�$�����2*�!��$*S)$� M � B"�4���,4�����5����1+!�#3�k�\�K*0� � �c9 @ Xf9 @ $ � Z>W � � � U��   'R!�� ��o L gnmImnmIg � @ 9d���$1�*�� � �:9 @ X09 @ $ � ZMW � � � U � �   'R!���Uo � gImnmIm7g � @ 9 ?�E{.-�^fe0/hg'-=vg_�Oa` �%� ��!�# �7?3���2�%����DF)O����)�� *f�5�4�3i�13!\DF� ���5!O,4��13#$���;DF�����S�f�O����,��%������,.!��$*0��� M �-*f�7�\�5��*0���2,4����"!\Dy���7� XFE �����>mh��)��K�$��� M ��!�#/*b�7?3�4�7,.�2*0� ? Z�E{.-�^fe0/hg'-=vg_ B E !\D 13! ��!�# 13�>,.�213�I��� �������4�7�%�b�5)$�\�c� ,.!�������,.����!��r!%'k*0�5�%���2*f�5��,��%� �5��*0�5*W���4�>1�*;�5!6B"�*�#�B$*�#�<=��1�#��$13���£�5)��b)�����13�����E!�'"t��(*����������fu �I?O�"�4�5��<d���P�7� � ��!���)����hDy!��51�*�mg#��$1��4�QDF)��2,7)�,4���7,.#�<;*0�5���$,.�>**�)�!�#��21C���O�T�fDy!T*f�7�\�5��*0���2,4���O,4!�<=�$�����2*0!��$*£B/�F,.!��$*���13�����>1T��!(B"���/�%���h!�'���)$�b*5�%<=���7?3�"�4�5��<=�4�P�FXY���$1C)$�4�$,4�������1 ��!=B"�k,.!��5�5��,��5��1-'R!��b��)$�K�7?3�/������<=�4�P�0i DF�2*0�(�f�O�/� � �4�5�5!���Z0��E{.-�^fe0/hg'-=vg_;v �U*���!�# )/� M �-*��4�4�VN[�c���>*f�=*f�7�\���2*0���2,-<C#/*f�dB/�:,4�%�/�%B����-!%'FB"�4������,��%�2,.#��2�\�5��1�'R�5!�< ��)$�!�B/*0��� M �\�5��!��$�%��1$�\�5�C�%��!���� � �%�/1=<d!�����! M ����N%���5*y13�2*f�5����B�#3�5��!��='R#��$,��5��!��W*�)�!�#��21=B"� JO��!\DF� ?[` �%�;��!�#=��)�����J!%'"!%�5)��4�h13��*����5��B����b,7)$���5��,��������2*0���2,4*@���=� �5��*0�Q*0�5�%���2*f�5��,>��XHE ���P��me��� M ��*��[�5)���*e�5!����2,����=�(*f�7�\���2*0���2,4*£���I?P�5B/!O!�J"N� ? � ? �b����� � * ��������)/�%�71O��N3,7)$���3�����K9�L ? Z�E{.-�^fe0/hg'-=vg_�� � *K�G�k�$��,.�>*�*5�%�5�+�5)$�\�K�5)��-13�2*f�5����B�#3�5��!�� 'R#��$,��5��!�� !%'F�:����*0�C*0�5�\�5��*0���2,;,4��� B/�;� M ����#/�\���>1�%�/�%�����5��,��%�������

Page 91: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�����

� ��� ������� �� ��������

(�!

Page 92: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...
Page 93: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�� � � ��� ����� � �� �

� )� �"2:9� � �I� � 6�� � 9���E{���^��������=vg_# E �.��� 13�4�"�4�$1:!�� { ��)��5!�#$��) ��'R#��/,�����!���� ?S� )$!\D ��)/�\� <;�h?3��<d�����%����!�� !%' � o �;X { Z���*�nLP#�� M �%���4�P�b��!;<=������<=�����%����!��c!%' @ �;X { Z ?�E{���^��������=vg_�)j� #����"!�*�� { �7�%J��>*T��\$�$�G�5�;�P#$<CB"�4�T!%'b13� Q �4�5�4�P� M �%��#���* ? � #3�������$�=�:���5!3,.#$1��4�5�C�5!¸\/�$1��)$� M ����#��(!%' { 'R!��bDF)��2,7)!� o �;X { Z��\�0�7�%���$*b�C<=������<C#�< ? XHEU���P�>mQ��!k�5)��5!�#���) �����2*f�>N��%�$1WJ����4�-�5�5��,7J=!%'��)$�K��!\D���*0�F��<;�%��� M ����#��k*�!d'Y�%� ? Z�E{���^��������=vg_3¤j� )�!\D �5)$�\�F�5)��K<;�h?3��<C#�<�!%' � o @ R � ��*b'R!�#��$1c�\� R:o L ?�E{���^��������=vPD#"j� )�!\D �5)$�\�F�5)��K<=���$��<�#�< !�'$� o X R @ $hZ � � � !3,4,.#$�5*F�%� Rco $ ?�E{���^��������=vPD@_ � )�!\D ��)/�\�V�5)��S<;�ª?O��<C#$< !�'��7?3� % @ X R W @ $hZ � X R � @ £Z �'& ��*£��!O,��\�5��1K�\�bX R W g R � Z o X�$ g £Z ?�E{���^��������=vPDJDj` !��$*���1��4�(�;X R Z o_R N Xf9 j R Z ? � )$!\D ��)/�\�K��)$�;<=�ª?3��<�#�< !�')�;X R Z(�nLP#$����**$ N X09 j $eZ*�#�B�^f��,.�F��!d��)$�k,.!��/*f�5�5�����P� @ 9 ` R+* $ ?�E{���^��������=vPDPO K �G�5)��;X R Z o R N Xf9 j R Z�N]*0)$!\D��5)$�\�C9 Z �;X R ZF'R!�� R L L ? � �2*�!W*0)$!\D��5)$�\� l Z �;X R Z'R!�� R L�L ?�E{���^��������=vPD5B K �G�5)��;X R Z o R N X09 j R Z�N�*�)�!\D&��)$�%���5)��4�5�U�2*b�k�"!�*��G�5� M � M ����#��U'R!��-,k*0#/,7)-��)/�\� l @ , Z�;X R ZF'R!�� R L L ? �y�+,4!��$*0���7��*0��N]*0)$!\D¥�5)$�\�(��)$�4�5�C�2* ( � �"!�*��G�5� M � M �%��#��k'R!��.,-*�#$,7)+�5)$�\�d9 @ , Z �;X R Z'R!�� R L�L ?

� ) + / <�/1-10 4� � �7?3�4�7,.�2*���' l ! N@��!�#��>*f�7�%B�����*�)��>1I�5)$�\�kB"!%�5)r9=���$1 l �%�5�d#$���/���kB"!�#��$1$*T��!+�;X R ZT������)��;�7�%�����=!%' R��� M ��� ?�� �;�7?3�4�7,.�2*0�H' l 8K��!�#;*0)$!\Dy�>1C�5)$�\�>N�<=!�����! M �4�>N�9F�2*S�32 �54W6 � 4761616 �A�981� 4 ��B ? �;:�<7=�*?>[#$���#<7@yB"!�#BA$1C *D=':2*FE=JGA1E\DDAH=�*D= 6 4�6 �=� � 4 � ?�E{���^��������=vPDJvj` ='A�IJEJKc1L<I\BA1<M>�)B<M>N<O@5< �\� � � 4 � XP=':2*FE=JGA1E\DDA�=�*-Q(���54#�<��6 ��2 ���/�=�M8�� 4 ��B$Z0��E{���^��������=vPDP�a` EJA$* C 11<O@>N�E�A$,5<E<RE�@N<�NS�;X R Z o R N Xf9 j R Z ?[� )1E\DT>�)#=�>D�;X R ZU=�>N>V= C A$*y)B=�* ( � <W=h? C <XK�<EJA!>�)1< R i C AS>N<7@ M =':QX @ 9 g $hZ(XRDF)1<7@N< $ Z @ 9>Z.N3B1KL>)>�)B='> C *F1LEG<>*y)#= M <M=�*NK1Y1@V<4<ZK�< XAB=�<[<O:�I�N#$ N Xf9 j $hZ0ZEJA\>�) C * C AS>N<7@ M =': ?�E{���^��������=vPD! E <5>-�;X R Z o $ j R DF)1<O@V<H$]='A$1 �=J@N<)>fD-E3A1E�A3i^AB<O_�='> C M <F,5E�A$*F>V='AS>7* ?Q� K1Y1Y�E�*N<D>5)B=�> RC *`@V<�*F>N@ C ,5>N<�1R>VEC*NE�<[<U*N<5>)a ?Q�Lb E\Dc> b ='>U�;X R Z b =�de=(dNK1Y1@V<4<ZK�<fY1@NE M C 1L<�1Z> b =�>Da b =JdSB#EJ> b = C A�\/<XK�<dNK1Y1@V<4<XK$<g='A$1H=(\BA C >N<(dNK1Y1@V<4<ZK�< ?�E{���^��������=vPD�)ih C A$1j> b <-< C A C <ZK�<kE'lD� o R � W j R �� dFK$B�^?<7m5>X>NE+> b <!mOEJABdF>N@n= C AS> R � @ $ j R W o L ?XHE C AS>>m`KBdN<o> b <(m5E�ABdF>N@n= C A�>)>VER<7: C < C A#=�>N< R � l@NE�<p> b <3<nLSKB=�> C E�A!lE�@D� ? Z� )rq � � � ��2 -# � 2 6�s]t <�- 476��u�32 - 674A)b <Z>N<�m b A C L�KB<XE'lv> b <R:�=�d?>9<7?L<O@nm C dF<�NwE'l`@V<7xLKBm C AB_y> b <Rx C <[<OABd C EJAIBGI�dFK$BBd?> C >VKL> C EJAVN�mO='AHB#<[x C{z mOK1:{>o>VE='YBY1:{I C l�> b <om5E�ABdF>N@n= C A�>-mO='ABA1E'>�B#<9Y1KL> C A!<7?LY1: C m C >-lEJ@5< X|> b =�> C d�N C Ay> b <�lE�@�<}EJl~='Ay<fL�K#=�> C EJA!E'l@D b C m b< C > b <O@ R W E�@ R � C do> b <[dNK�B�^?<�m�>�Z ? �.A]=J:r>V<O@VAB=�> C M <(>V@ C m7J C dTB#=JdN<7x+E�A C ABm5@V<7=�d C A1_!> b <Wx C <[<OABd C E�A�EJle> b <Y1@VE�B1:�<4< D C > b > b < C AS>V@NELxLKBm5> C EJA]E'l)='Aj='K�? C : C ='@VI�YB='@n=%<[<O>N<O@ � ?=A)b <y= C < C d9>VEc<[=ª? C < C �O<W=\lK1ABm�> C E�A� o �;X R W g R � Z)dFK�B;^?<7m�>D>VEW=RmOEJABdF>N@n= C AS>DE'l~> b <MlEJ@5<p�gX R W g R � Z o L ?�E{���^��������=vPD/¤a` EJABd C x1<O@D> b <(l�=�< C :�I�EJl�lK1ABm�> C E�ABd.�;X R W g R � Z j � �gX R W g R � Z�YB='@n=%<[<5>V@ C �O<�x:BSI � ?E�Gb E\D> b =�>R> b <�lK1ABm5> C EJABd C A�> b C dRl�=�< C :�I�='_�@N<7<HX C ? < ? <[=JY�>VE�> b <�dN=�<R<\�Pi M =':�K1<�d5Z(<7?1=Jm5>N:�I�=�>R> b ESdF<\Y#E C AS>VdX R W g R � Z�D b <O@V<9> b <(mOEJABx C > C E�A C dDdN='> C d�\#<7x ? ( '

Page 94: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

( � � ����� ������� �!��� � �

� ) Y � � � 2 9=2 �;2 -# 6�s � } .�� /1- t�682 <�-A)b <9lK1ABm5> C EJAH�;X R W g R � Z j � �gX R W g R � Z.N1m5E�ABd C xL<7@N<�x!=�>D=�� ��'�� M =':�K1<9E'l � N C d�^?KBdF>D=R='ABE'> b <O@-lK1ABm5> C EJA�E'l>fD-E M ='@ C =�B1:�<7d�N"D b C m b DU<��W= I�xL<OA1EJ>N<dBGI�� X R W g R � g � Z�N�='A#x m7='AIB�<[EJYL> C � C �O<7x C A+> b <RK#dFKB=J:��[=JA1A1<7@X � K1ABmOEJABdF>N@n= C A1<�x � Z�� E <O>KX �R W�� g �R � � Z)xL<7A1E'>V<o> b <3:�EGm7=�> C E�A\EJl > b C d��[=ª? C �ZK����

�E{���^��������=v5O�"j�Gb E\D;> b =�>>NLlEJ@D< M <7@NI M =J:{K1<MEJl � I�EJK�[= IWDD@ C >N<�6X �R W�� g �R � � Z3LT�;X R W g R � Z lE�@D< M <O@VI R W g R � dNKBm b > b ='>D�]X R W g R � Z o L�� X���� �|Z

XHE C AS>>m9K#dF<R> b <Zl�=�m�>M> b =�>¶� X �R W!� g �R � � Z L�� X R W g R � g � Z9< M <O@VIPD b <O@V<�N]BGI+xL<7\BA C > C E�A]EJl"�W=h? C �XK��cN~=JABxIJE�K1@�\BABx C A1_y='>�<7?L<O@nm C dF<*' l$# �Z

�E{���^��������=v5OV_ � K1Y1Y�E�dN< � � C d3dFKBm b > b =�>3�gX �R W&%� g �R � % � Z o L�� �Gb E\D > b ='>WX �R W'%� g �R � % � Z C d C A�l�=�m�>3> b <ym5EJA�idF>N@n= C A1<7x�W=h? C �ZK�� I�EJKHdF<7<4J �

�E{���^��������=v5O3D �Gb E\D > b ='>+> b <(�W=h? C �XK�� E'l[> b <�lK1ABm5> C EJA �;X R W g R � Z�NRdFK$B�^?<7m5>+>NE > b < mOEJABdF>N@n= C AS>�gX R W g R � Z o L�N C l C >.<I? C dF>�N��W= I-B�<(=)�[EJA1_Z> b <(dFE�:{KL> C E�ABd)E'l$> b <(dFILdF>N<*�

+3� X R W g R � g � Z+ R W

o L+3� X R W g R � g � Z

+ R �o L

+3� X R W g R � g � Z+ � o L

D b <7@N<�� X R W g R � g � Z o �;X R W g R � Z j � �gX R W g R � Z���XFE C A�>>m~> b <�\B@VdF>$>fDUEo<nLSKB=�> C E�ABd :{ELmO='>N<-='AXKBABm5E�ABd?>V@V= C AB<7x�W=h? C �XK��glEJ@.=JA+='@5B C >V@V=J@NI M =J:{K1<XE'l � � > b <X:�=�d?>�E�A1<�\;?L<7d � BGI!<OA#dFK1@ C A1_[> b ='>�> b <XdFE�:{K1> C EJA C d�EJAH> b <:�EGmOKBd)E'l$> b <(m5EJA#d?>V@V= C AS>-�,�Z

� ).- ��� �u� -# ]� 9 / � 682 �+2 � ��4A)b <Z>N<�m b A C L�KB<RI�EJK b = M <R<7dF>V=%BB: C d b <7x C A+> b <[:�=�d?>9l<4D <7?L<O@nm C dN<7d C dMmO=J:{:�<7x+> b <R>V<7m b A C LSK1<RE'l ! 4 Q��n4 �LQ��� 4 2���� 6 2\� �A�A6 � � C d�='A�<7?1=$�RYB:{<ME'lv= E =J_J@n='A1_�<��XKB:r> C Y1: C <O@/�

�E{���^��������=v5OJO z <4D-EJ@5JW<7?L<O@nm C dN<*' l ( KBd C A1_W= E =J_J@n='A1_�<��ZK1:r> C YB: C <O@/�

�E{���^��������=v5OPB10 <OA1<7@V=J: C �O<�> b <H>N<7m b A C LSK1<�>VE2�ZK1:{> C Y1:{< E ='_�@V=JA1_J<3�XK1:{> C Y1: C <7@Vd�mHEJKL>V: C A1<H> b <+dFE�:{K1> C EJA�[<5> b ELx�lEJ@)> b <(EJYL> C � C �7='> C EJAHE'lv�;X { ZDdNK�B�^?<�m�>D>VE[� W X { Z o LR=JABx\� � X { Z o L�N�B#=JdN<7x\EJA�>fDUE E ='_�@V=JA1_J<�XKB:r> C Y1: C <O@nd � W N � � �

� )54 6 �682 9H� �`#� < t � 4I4!t <�- 6�� < ���A C �RY�EJ@N>V=JAS>[=JY1Y1: C m7=�> C EJA E'l E ='_�@V=JA1_J<7�XK1:{> C Y1: C <7@Vd C d C AcEJYL> C �W=J:-YB@NELm5<�dNdRm5E�AS>N@VEJ:�� A)b < M =J@ C =%BB:{<�db <7@N<[='@V< R W gnmImnm7g R ='ABx98 W gImnmIm7g 8 NwlEJ@(dNE$�[< C AS>N<7_J<7@ � NVD b <O@V<X> b <[E�B�^?<�m�> C M < C d9>NE3�W=h? C � C �O<R> b <lEJ:�:�E\D C A1_«LSKB=JA�> C >?I]m �

: � W; : X R : g 8 : Z

D C > bCR W \;?L<7xH=�>.dNE$�[<M_ C M <7A M =J:{K1<<�"= b <?>�='@ C =)@1:�<7d R : ='@V< C AS>V<O@VY1@N<O>N<�x\=�d)> b <?>�=J:{K1<�d�=JdVdNK��[<7x3@GIy> b <dF>V=�>V<�> =J@ C =)@B:{<ME'lv=REJA1<*A x C �[<OA#d C EJAB=J: x C dVm5@V<5>V<�A^> C �[<Mx1ISA#=)� C m3dNILd?>V<*�g='>)> C �R<�d%& W gImImnm7g & : gImnmIm7g & �

�E{��<B��������=v5O3v <O@ C lI!> b ='> R W C d)> b < C A C > C =':�mOEJABx C > C EJADC

Page 95: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�n� �n��&����; "��'��� �� �%����� ���5��������&������ I�� I���¨� ( �

� ) � �y� 4' � t�682 -# 6�s � 4I6O��6 � 6��u� - 4ª2 682 <�- 4� C � C : ='@V:{I<C�> b <�8 : ='@V<3> b < >�=J:{K1<�d9E'le=WlE�@Vm C AB_ylK1ABm5> C EJA]=�>9> b <[dFK#mOm5<�dNd C >J< C ABdF>V='AS>nd C A+> C �[< & W g & � gImnmIm �= b <(mOEJABdF>N@n= C AS> C d)> b =�>)> b <?>�=J@ C =)@1:�<7d �ZKBdF>DdV=�> C dFlIy> b <(dNIGdF>N< �4� dDdF>V='>N<9>N@n='ABd C > C EJA\lK1ABm�> C E�A �

R : � W�� ��� R : g 8 :�� lEJ@� � � gImnmIm7g � @ �$� ����� l �����<B��������=v5OJ�j�Gb E � > b =�>9> b <R: =�>F>V<O@3m5E�ABdF>N@n= C A�>MmO=JA @�<R=�mOm5E<� �RELx1='>N<�x @GI C AS>N@VELxLKBm C A1_ � @ � E =)A_J@n='AB_J< �XK1:{> C Y1: C <7@Vd CL_ C > C A1_R> b <3E$@�^?<�m�> C >�<olKBABm�> C E�A �

� ��

: � W; : � R : g 8 :�� j

U W�: � W

� : �P��� R : g 8 :�� @ R : � W � m

� )+* ��2 -10 2 -# � -r< �682 9H� �y4 < � / 682 <�-= ERxL<O>N<7@�� C A1<3='A�EJYL> C �W=': dNEJ:�KL> C EJADCLIJEJK�x C Q <7@N<7A�> C ='>N<���� C > b @V<7dNY#<�m�>->NE R � gImnmIm7g R C�8 W gImnmImIg 8 =JABx� W gnmImImIg � U W ='ABx�I�EJK\dN<5>.=J:{:w> b <7dN<(xL<7@ C >�=�> C >J<�d)<nLSKB=J:w>NE����

����<B��������=v5O E�E � �W=JASI!<nLSKB=�> C E�ABd->NE[I�EJK�E$@L>n= C A C A\> b C d�)= I3�����<B��������=v5O!)� <O@ C lI > b ='>!@VEJK1_ b :{Ic=j> b C @nxTE'l9> b <�dF<�<nLSKB=�> C E�ABd�^?K#d?>!_ C >�<�IJE�K�@#=Jm���> b < dNILd?>V<*�4� dxLIGAB=$� C mOd�� C � <$��> b <(dF>V=�>V<M>N@n='ABd C > C EJABd)=Jm7m5E�@Vx C A1_Z>NEW<fL�K#=�> C EJA���� � � l ��� �

����<B��������=v5O"¤j�Gb E �;> b =�>�I�EJKH=': dFERE$@1>V= C A�� @ �M<nLSKB='> C EJABd)EJl~> b <MlEJ@ �� : � ;�� �: � W � R : � W g 8 : � W � j � : � W � � � � R : � W g 8 : � W � ����� ! �

lEJ@�� � � @ � g � @ l gnmImImng ! g l g ��� b <O@V<�� R C ABx C mO='>N<7doYB=J@F> C =J:~xL<O@ C > ='> C >J<�d�� C > b @V<7dNY#<�m�>o>NE R �|> b <¶\B@ndF>='@V_JK �R<7AS>)EJl~> b <7dN<MlK1ABm5> C EJABd � ='ABx � �� � C dD=�@#E�K1ABx1=J@NI\m5EJA#x C > C E�A �

����<B��������=v;Bw" � A�>V<O@VY1@V<5>[> b < E ='_J@n='AB_J<7�ZK1:{> C Y1: C <O@ � : =JdR> b <�>�=':�K1<�=JdVdFK��[<�x(@GI = A1<���d?>n=�>V< �> b <dNE)AumO=':�:�<7x ��� 2 6 � 4�� � � =�>)> C �[< & : � K b =�> C d C >nd�d?>n=�>V<o>V@V=JABd C > C E�A!lK1A#m�> C EJA"�����<B��������=v;B"! E <5>

# : � R : g 8 : � � ; � $: � R : g 8 : � j � : � � $ � R : g 8 : �� b <7@N<%��8 C ABx C m7=�>N<�dDYB=J@F> C =J:�xL<O@ C >�='> C >J<7d&� C > b @V<7dNY#<�m�>)>NE 8'�> b <(dN<7mOEJABx�='@V_JK �R<7AS>)EJl > b <7dN<9lK1ABm5> C EJABd � ��Gb E � > b ='>D> b <�\#AB=': � > b C @nx �1E'l�<nLSKB='> C EJABd C d)E'l$> b <MlEJ@ �

# : � R : g 8 :�� � � m ����� ( �����<B��������=v;B1D � K1Y1Y�E�dN<-> b ='> lE�@�=J:{:)��C 8 : C d�m5E�ABd?>V@V= C AB<7xM>VEM=JA C AS>N<O@ >�=': � 8+*-, 1 g 8.*-/ � � CJ='ABx(> b ='>�> b <7@N< C dA1E?8 A�>�=J:{K1< C A[> b C d C A�>V<O@ >�=':GlEJ@-� b C m b <nLSKB='> C EJA0����� ( � �21-='A[IJE�KRd b E ��> b =�>"� C d��W=h? C � C �O<�x @GI(YBKL>F> C A1_8 : � 8 *-/ � � b <OA1< >J<O@ # : � R : g 8 : � Z � C A!> b <3=':�:{E �-<7x C AS>N<7@�>�=':�CL='ABx78 : � 8 *-, 1 � b <OA1< >J<7@ # : � R : g 8 : � ` ���

� )+| 3 s54�4 � 2 65t#s32 -# � /1- tz682 <�-= b <y: =JdF>X<I?G<7@Vm C dN< �W=6��<7d(mO:{<�='@�� b I # C dZmO=':�:�<7x > b < 6)�/��� � ;��9�LQ87 4 ���>������� � � l)> b <�d�� C >Vm b C A1_+lK1ABm�> C E�A=JdVdNK��[<7dD> b <�> =J:{KB<X�O<7@NE�=�>MdFE<�R<ZY#E C AS> C A�> C �R< & : C�> b <R=�dNdNELm C =�>V<7x�m5E�AS>N@VEJ:D8 � 8 : =�>o> b ='> C ABdF>V=JA�> C ddV= C xy>VE @#<-6��9�1Q 4 2|4��/�

����<B��������=v;B3O 1-='A!I�EJK\<7?G>N<7ABxW> b <MY1@NELmO<7xLK1@V<�>VE b C _ b <O@�Aux C �[<7ABd C EJA#=':#x C dVm5@V<5>V<�A^> C �R<MxLIGAB=$� C mO=J: dFILd!A>N< �Wd5�

Page 96: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

( ( � ����� ������� �!��� � �

� )� � 3�<�� �#� 0 4Wt <�- 682 -1/;<�/ 4A682:9 4= b <DY1@V<7dN<OAS>`='YBY1@NES=Jm b >NE(x C dNmO@N<O>N<*AP> C �[<)EJYL> C �W=J:Bm5E�A�>V@NE�:GY1@NE<@1:�<*�Wd`mO=JA @�<�='YBY1: C <7xZ>VE(m5EJAS> C AGK1E�KBd$> C �[<=Jd �U<7:{:�� � A(YB@N<7YB='@n=�> C E�A.lE�@�> b C d C �U<ex1<7\BA1< ; : � R : m 8 :�� � ; � & g R : g 8 :�� � &�='ABx $ � R : g 8 :�� � & � ��� R : g 8 :�� @ R : �

����<B��������=v;BJB+ <O@ C lI!> b ='>.� � � � R : g 8 :�� � � j $ � � � R : g 8 :�� � &)='ABx�� � $ � R : g 8 :�� � $ � $ � R : g 8 :�� ��& �����<B��������=v;B1v�� <7@ C >J<9> b <MlEJ:�:{E � C A1_ �

R : @ R : U W� & � $ � R : U W g 8 : U W �='A#x � : @ � : � W��& � @ � ; � � � & g R : g 8 : � j � : $ � � � R : g 8 : � � m

����<B��������=v;B3� 1-='AyI�EJKyA1E �T<�d?>n=)@1: C d b > b <.lE�:{:�E � C A1_P� h E�@-=XY1@VEGmO<7dVd R � & � xL<7dVm5@ C @�<7x7@GIZ> b <ox C Q <O@V<OA�A> C =':�<fL�K#=�> C EJA��R � $ � R � & � g 8 � & � � � C > b=R � & W � _ C >�<OA�=�d C A C > C =':vm5E�ABx C > C EJA C � b <7@N<�8 � & � C d.> b <Wm5E�AS>N@VEJ:�: C A1_�E�@ � C A1Y1K1> � � lK1ABm5> C EJA CB=JA\E�YL> C �W=':~mOEJAS>N@VEJ:w@V<O_ C �[<�8 ��� � � C > b @V<O_S='@nx[>NE[> b <3E$@�^?<�m�> C >�<olKBABm�> C E�AB=':� � � ¢�� ; � � g R � � � g 8 � � � �� �

�W= I @�<(dFE�K1_ b > @GIyEJYL> C � C � C A1_� � ; � & g R g 8 � j � $ � R g 8 � ����� ' �

� C > b @N<�dFY�<7m5>)>NE 8+=�>�<�=Jm b & C5� C > b � � & � � � ��C�� b <7@N<�� � @

+3�+ R m

����<B��������=v;B� wK C > b � _ C >�<OA3@SI!<nLSKB=�> C E�A � � � ' � CBd b E � > b ='>�R � +3�

+ � m

�HE C AS> � IJE�K\=':�@V<7=Jx1I �GA1E � > b =�>��R � $ � R g 8 � � �����<B��������=v;B )j� K1Y1Y�E�dN<)> b ='> 8 � & � �XKBdF>edN='> C d?lI � * 8 � & � * �UlE�@`=':�: & C�=JABxZ> b <D= C � C d$>NE?�W=ª? C � C �7< � �* dF>V=$@1: C d b > b <WlE�:{:�E � C A1_'��m7='ABx C x1='>N<8W � EJY1> C �[=J:em5E�AS>N@VEJ: � 8 � & � � �0� b <O@V< # � & � ` ��C 8 � & � � � � b <O@V<# � & � Z � C�� C > b # � & � � ���� $ �

� )�w� � 2 -# #/ � �#�.t <#- 6�� < �� l # � & � � �WEJA1:�IH=�> C dNEJ: =�>N<�xHY#E C AS>nd C A�> C �[< �> b <D6)�/��� � ;#�\�LQ � ��� �=� ��6 � CwmOEJAS>N@VEJ: =Jd.dF> C Y1K1: =�>V<7x @GI�> b <: =JdF>(<7?L<O@nm C dF< C d(dV= C x >NE @�<�8J4��1Q 2 8J4��LQ,� � A]> b <!E'> b <O@ b =JABx C C l)> b <O@V< C d(=�> C �[< C AS>V<O@ > =J:`E'l)Y�E�d C > C >�<xLK1@n=�> C E�A C1dV= I � &�� g &�� � � b <O@V< &�� @ &�� Z �[='ABx & W * &�� ` &�� * & � C#dFKBm b > b =�> # � & � � �RlE�@�=':�:�& o � &�� g &�� � C> b <OA�m5E�A�>V@NE�: C d:6��\�LQ 4 2|4��?@�<5> �-<O<7A#&��X=JABx &����|> b <O@V<?�[= I7@#<3A1E�A1<$CLE�A1<MEJ@ �[EJ@V<3dFK#m b C AS>N<O@ >�=': d � �����<B��������=v;B]¤j� K1Y1Y�E�dN<3EJYL> C �W=J:�m5EJAS>V@NE�: C d�d C AB_JK1: ='@-lEJ@�=J:{: & o � & W g & � � � �Lb E �;> b =�>

� � & � � @; � $ � & g R � & � g 8 � & ���$ � $ � R � & � g 8 � & � � m

�HE C AS> � m5E�ABd C xL<7@ # � & � � �����<B��������=vPv#"j� K1Y1Y�E�dN<�> b =�> ; xLEG<�d`A1EJ>-xL<7Y#<7ABxW<7?LY1: C m C >N:�IRE�A &�� ; � � � � CS=JABx[> b =�>UE�YL> C �W=':�m5EJAS>V@NE�:C dDd C A1_JKB:�=J@D<*>J<7@NI)� b <7@N<<CL=Jd C A!> b <3Y1@V<*> C E�KBd)<7?L<7@Vm C dN<$� 1-='A�IJE�K�d b E � > b =�> �� � ���� ((����¥¡��¢8���k�8�8¥F�¡�8��¢f©��F�8���¡�8¦��F������®�� �¡���F�8��¥F��© � �8¥�¥F���I�8��¥F�i¤��F��© � §7�����¡�F�8¥���¢f�i���k� ¥�¤f���¡��������¤¶�i� ¢f¤8� �¡��� ¢f���.¡��¢f�¡��© �7� /

¢8��� .¡�8¥F�n���1/����y� �8¥1®y�M�¡�¡�I®1� ¥F¤���¢��¡�8���F�"���n��¥¡�����¡���>²

Page 97: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�n���8�5�w'����(��&���!r ������"�������¶' ������&�� ( #

����<B��������=vPv ![K C > b > b <�=JdVdFK �RY1> C EJABdXE'lD> b <yY1@V<*> C E�KBd(<I?L<O@nm C dF<<C$d b E � > b ='> �YB@NESdFY�<7m5> C >J< � EJYL> C �W=':m5E�AS>N@VEJ: 8 � & � C d.xL<5>V<O@ � C A1<�x7@GIy> b <3<nLSKB='> C EJA; � R � & � g 8 � & ��� @ ; � $ � R � & � g 8 � & � � $ � R � & � g 8 � & ���$ � $ � R � & � g 8 � & ��� � � ����� � �

� b <7@N< � C d.=RmOEJABdF>V=JAS>->VE @#<(xL<O>N<7@�� C A1<7x\l@VE$�p> b <?@#E�K1ABx1=J@NI\m5EJA#x C > C E�A � � & � � � ���

� )� + " <#- 6�� < �k2 - � 4 4 0�� �Bt3� � < �>9��A]<nLSKB='> C EJA]dFKBm b =Jd ����� � � C > b @NE�K1_ b � b C m b 8 � & � mO='A9@#<RlE�K1ABx�l@NE<� R � & � ='>M< >J<7@NI#& � C � <$� � C A#d?>n='AS>V=)AA1<7EJKBdN:{I � � C d�dV= C x!>NE[_ C >J<3m5E�AS>N@VEJ: C A07��>� B#8J4�� � 7��C� ���

����<B��������=vPvJD 1UEJABd C x1<O@`> b <9Y1@NE<@1:�<*� � b <O@V<o=JAy<7?G>V@N< �XK��fE'l�> b < C AS>N<7_J@n=':�� ¢�� ; � & g R g �R �� & C d-dFE�K1_ b >/��Gb E � > b ='>D> b <�� EJY1> C �[=J: YB=�> b � R � & � �ZKBd?>.dV=�> C dFlI

& + ;+ �R �

+ ;+ R m ������� �

�HE C AS> � m5E�ABd C xL<7@ �R � 8�=JABx\=�dNdNK��[<9> b ='>�EJYL> C �W=J:�m5EJAS>V@NE�:,8 C d)A1E�A�Aud C A1_JKB:�=J@-< >J<7@NI)� b <7@N<<� �

� )�Lq 3 s54�tS��� t / � / 4 < ���B�#�i2 ��682 <�- 4= b <\Y1@NE<@1:�<*�kE'lD> b <!: =JdF>Z<I?G<7@Vm C dN< C dZ= d C �[Y1:�<!<7?1=$�RYB:{<\E'lD> b <\dNEJ@N>ZE'l�YB@NE<@1:{< �WdX=JxBxL@N<�dNdN<7x @GI]> b <�n4'2�� 4 2 4 6H� 7��54���� 4#��� �C��6 � �����<B��������=vPvPO 1-='A�IJEJK�@V<��D@ C >V<9<fLSKB=�> C E�A � � �.� � =Jd-lE�:{:�E ��d5�

& � ; @ �R + ;+ �R � � + ;

+�& m����<B��������=vPv5Ba� K1Y1Y�E�dN<R> b ='> ; � � ��<*>�<O@VI)� b <O@V<$�?= b <7A]d b E � > b =�> ; @ �R ����� C d9<nLSKB=':$>VEHdNE$�[< ��=JdIJ<O>DK1A5�GA1E �DA � mOEJABdF>V=JA�>/��HE C AS> � > b <3Y1@V<*> C EJKBd-<7?L<7@Vm C dN<$� �

� )� Y , � � - �B� < ��� 4St�682 �54 � /1- t�682 <#-= b <MlE�:{:�E � C AB_Z<I?G<7@Vm C dN<7d)mOEJABd C x1<O@�=RY1: ='AB=J@DE$@�^?<�m�> C >J<olK1ABm5> C EJA�EJl~> b <MlEJ@ �

��� R W g R � � � $ j R W j�� R �� b <7@N< $ C !='ABx � ='@V<`m5EJA#d?>n='AS>Vd C5> b <`: =�>F>V<O@~> �UEDA1E�A�A �O<O@VE � > b <`E$@�^?<�m�> C >�<�lK1ABm�> C E�AX� C d >NE�@�< �W=h? C � C �O<�xdNK�@�^?<7m5>D>NE � R W g R � � o a � b <O@V<3a C dD=[m5:�E�dN<7x C1d C �[Y1:�I\mOEJA1AB<7m�>V<7x�dFK @BdF<O>�E'l$> b < � R W g R � � A Y1: ='A1<<�

����<B��������=vPvJv 1UEJABd C x1<O@�=odF>N<7Y � � R W g � R � � C A(> b <%� R W g R � � A Y1: ='A1<<� <7@ C lIM> b =�>$> b <D=JdVdNEGm C ='>N<�x3m b ='A1_�<C A�E<@�^?<7m5> C >J<�>�=':�K1< C d�_ C >J<OA@GI �R� � � R W j�� � R � �����<B��������=vPvP� 1UEJABd C x1<O@Z=6§ ( % ! � ! '�� dN='> C d?lI C A1_ � � R W � � j � � R � � � � �<� � lD> b <�dF>N<7Y C dZ='>R=JA1_J:�<��@V<O: =�> C >J<o>NE[> b < R W Aux C @V<7m5> C EJA CLd b E �;> b =�>�� R W�� mOE�d�� ='ABx�� R � � d C A�� �

����<B��������=vPv! �Gb E � > b =�>3='A�<I?G>N@V<*�XK � lE�@2�R�pKBABxL<O@3=!K1A C >3dF>N<7Y�EJle='A1_�:{<�� C d9E$@1>V= C A1<�xHlEJ@9> b <� A�>�=J:{K1<�d-> b ='>.dFE�: >�<

>V=JA�� � � m ����� ( �

�HE C AS> � x C Q <7@N<7A�> C ='>N<%� C > b @N<�dFY�<7m5>D>NE�� � �# ��¢��F�8�d�>�������8���f�#����§���¥¡�¬�M�F��� ¢8�>¯h� �I�h�M�F��� ¢ $��n² �"&3���y±I¢8�>®�¢������ �$# +"!�# $ +&%'� ! ,)(+*-,�� ¥1�¡�f�.����# +�!�/10 !324! !-,52 +�+6%'� ! ,7(+*-,�²

Page 98: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

# � � ����� ������� �!��� � �

����<B��������=vPv�)� <O@ C lI�> b =�>M<nLSKB=�> C E�A'����� ( � b =�d !���� dNEJ:�KL> C E�ABd*C�EJAB<XE'l2� b C m b C ABx C mO='>N<�d�> b <Rx C @V<7m5> C EJAE'l 6 � � � 6 ��6 �.4W6����A� �!Cw> b <WE'> b <O@3EJl � b C m b > b <yx C @N<�m�> C E�A EJl36>�<� � 6 ��6 �7B1��6����A� �!� �FE C A�> � xL@n= � =�_J@n='Y b E'l>V=JA���E >�<O@D=ZlK1:{:~Y#<7@ C ELx � �����<B��������=vPv/¤ 1UEJABd C x1<O@)> b <MQ(��41BW� �A� �

� � �� � �

� b C m b IJE�K!d b EJK1: xW@V<7=J: C �O< C d)=�� '& !���? � �Gb E �T> b =�> � � Y#E C AS>nd C AW> b <9x C @V<7m5> C EJAyEJl~d?>V<O<OY�<7dF>D=JdVm5<OAS>/CS=JABx> b =�> @ � � Y�E C AS>Vd C A�> b <(x C @V<7m�> C E�A\EJl$dF>N<7<OY�<7dF>.xL<7dVm5<7A�>&�)�

����<B��������=v5��"� <O@ C lI3> b =�>$> b <-_�@V=�x C <OAS> C dvm5E�ABd?>n='AS>$=JABxZA1EJA�A �O<7@NE�> b @VEJK1_ b EJK1> > b <DxLE$�W= C ARa ��E.<OABmO<m5E�ABm5:�KBxL<9> b =�>D> b <?�W=h? C �ZK��g<I? C dF>VdD=JABx C dDK1A C LSK1<<�

� )� - �p- 6 4B� - � �v < 2 - 6��AN�9� � �A���#4�2 6 ���9� �ME'lD> b <�dN<5>Wa b =�d3> b <\YB@NE�Y#<7@F>?I > b ='>X> b <O@V< C d[=�Y#ESd C > C >J<!,+dFKBm b > b ='>R=':�:-Y#E C AS>Vd� C > b C A�=Rx C dF>V=JABm5<3:�<7dVd-> b =JA�,Z='@V<3m5EJAS>n= C A1<7x C A�a��

����<B��������=v5� ! 1UEJA�\B@ �p> b C d.xL<7\BA C > C E�A � C > b I�EJK1@ C AS>NK C > C >J<MA1EJ> C EJAHE'l � C AS>N<O@VAB=J:"�������<B��������=v5�3D 1UEJABd C x1<O@~=D: C A1<edN<O_$�[<7A�>XGTmOEJA1AB<7m�> C AB_�=�> =JAM=J@�@ C >V@V=J@NI C AS>N<7@NAB=J:JY�E C AS>JG EJlG> b <-dF<O>$a� C > b =!Y�E C AS>gEJA�> b < @�EJK1A#x1='@VI�E'lDa�C~dNKBm b > b =�>-GgY#E C AS>Vd C A�> b <Wx C @N<�m�> C EJA]E'l � � ��� b E � > b ='>��� � Z ����G � � �HE C AS> � > b <ZA1E'>n=�> C EJA �R<�='ABd�� b =�>9IJE�K �UE�K1:�x+<7?LY#<�m�> � C l R�� W g R��� ='@V<3> b <RmOEGEJ@nx C A#=�>N<�dE'l$> b <3Y#E C AS>� CL> b <OA���� � � ��� R�� W g R��� � � �����<B��������=v5�JO � b E �p> b =�>y=9�[=ª? C �ZK�� E'lM� C dR>NE2@#<�lEJKBABx E�A > b <�� ��� (,��� ? EJl9a�� �HE C AS> � > b <Y1@V<*> C EJKBd-<7?L<7@Vm C dN<$� �����<B��������=v5�PB E <5>)> b <o@V<O: =�> C E�A�� � R W g R � � � �RxL<7\BAB<.> b <�@#E�K1ABx1=J@NIWEJl$a���� b E �;> b ='>)=JA!<7?G>V@N< �XK��E'lv� E�A!> b C d @#E�K1ABx1=J@NI7�XKBdF>.dN='> C d?lIy> b <3<fL�K#=�> C EJA

� � � � � R W g R � �� � ��� � R W g R � � �

� ����� # �

C AH=�x1x C > C EJA\>NE[> b <(m5E�ABx C > C EJA�� � � � �FE C AS> � KBdN<(= E =J_J@n='A1_�<��XKB:r> C Y1: C <O@/� �����<B��������=v5�3v �GK1Y1Y�E�dN<-> b ='>$> b < @�EJK1ABxB='@VI3E'lwa C d�=oY�EJ:�IG_JE�A � �.@N_�K1< � b I<C�_J<7A1<O@ C m7=':�:{I<C�IJE�K � C :{:�\#ABx> b < �W=h? C �ZK��gE�A1:�I�='>�EJA1<3EJl$> b <XmOEJ@VA1<O@DY�E C AS>Vd �(E'l�> b C d.Y#E�:{IG_JE�A ���FE C AS> � � b =�>oxLEG<�dD<nLSKB='> C EJA ����� # �:�ESE �y: C ��<olE�@�='AGIy_ C >�<OA � <�xL_J<��LE'l$> b <3Y�EJ:�IG_JEJA�! �����<B��������=v5�J� �GK1Y1Y�E�dN<�> b =�>�> b <9@�EJK1A#x1='@VITE'lZa C dH=�Y�EJ:�IG_JEJAD� 1UE�ABd C xL<7@�=(>J<O@N>N<I?#" ='A#x > b <<7x1_J<�"%$ mOEJA1AB<7m�> C AB_�"g>NEH=�A1< C _ b @�EJK1@ C A1_7>�<O@N>N<7? $ �&� b E � > b =�>M> b <Wm5E$�[Y�EJA1<7AS>MEJl`> b <R_�@V=�x C <OAS>��' � ( # "%$ mO=JAyEJAB:{IRY#E C AS>U>NE �)='@nx&" C l~> b <9='A1_�:{<�@�<5> �-<O<7AW> b <.<7x1_J<("%$ ='ABx[> b <._�@V=�x C <OAS> C de_�@N<�=�>N<7@> b ='A*)� �

����<B��������=v5� �GK1Y1Y�E�dN<�> b =�>�> b <2@�EJKBABx1='@VITE'lRa C dH= Y#E�:{IG_�EJA � 1UEJA#d C xL<O@H= >�<O@N>N<I?+" C C >Vd\> �-EA1< C _ b @�EJKB@ C A1_ >J<7@F> C mO<7d($ =JABx-,f=Jd��U<7:{:$=Jd�> b <Z<7xL_�<7d(,"p='ABx."/$ ���GK1Y1Y�E�dN<(> b =�>o> b <Zm5E$�[Y�EJA1<7AS>E'l)> b <!_�@V=�x C <7AS>X=':�EJA1_ ,0" Y#E C AS>Vd(>NE �)='@nx1" CvdFE+> b ='>Z��� " � Z ����, � C`='ABx]> b =�>(> b <\mOE$�[Y�EJA1<7A�>ZE'l> b <W_J@n=Jx C <OAS>3=':�EJA1_2"%$ =': dFE�Y#E C AS>nd9>NE �)='@nx " C$dFE\> b =�>X��� " � Z ��� $ � � 1UE�ABd C xL<7@o> b <ydNK�� E'l-> b <='AB_J:�<7d � C � @�<5> �-<O<7A3,0" ='A#x�> b <!_�@V=�x C <OAS>(='ABx � C{C � @�<5> �-<O<OA4"05g='ABx > b <y_J@n=Jx C <7A�> � d b E � > b =�>(> b C ddNK��g<I?LmO<O<�x1d # �$ ��¢�� �����i¯8�F�8����¥¡���¡�8� �y�f� ��¤8�#© ��¢8��¥¡����� �I¯f¢8��� �F�8�H�1� � ¥y�8�¬��¢8��¥#� ¦��F�����¡� §7�k���8¢8���F��� ¢8�>²) �=��� ¥F¢8��¥#�ª� ��¢7�#���y�8�F�h����� ���i�������i¤¨�76�+�!�,�+�8�¯h�f���8¥����96�+"! ,7(;: +�$>²

Page 99: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

����� � �w'����«$������� �������� # �

����<B��������=v5�!) 1UEJAS> C AGK C AB_[> b <(YB@N< > C EJK#dD<7?L<O@nm C dN<$CBdNK1Y1Y�E�dN<M> b ='>�> b < �W=h? C �ZK���E'l`� C d.=�m b C <*>J<�x!E�AdNE$�[< >�<O@N>N<7?�� EJ> b <7@.> b ='A " ��� �� " � �0� C ABmO<R����" � Z ����, � =JABx+��� " � Z ��� $ � C I�EJK�=J:�dNE b = >�<� �� ,f='A#x�� �� $ � >J<7@ C lIy> b C d � ��1UE�ABd C xL<7@D> b <XdFK � EJl$> b <Z=JA1_J:�<7d � C � @#<O> �U<7<OA ,0" ='ABx�� "}=JABx� C�C � @#<O> �U<7<OA."05 ='A#x�� " � mO=JA\I�EJKHd b E � > b ='>)> b C d�dNK���CL>NEGE CL<I?1m5<O<�x1d # !

� )��4 " <#- �54 �j01< 9H�32 - 4�id C �[Y1:{IWmOEJA1A1<�m�>V<7x!x1E$�W= C A C dUm7=':�:{<�x5�=��������� C l~<*>�<O@VIZ: C AB<odN<O_$�[<7A�>)m5E�A1A1<7m5> C A1_(> �-EZ=J@�@ C >V@V=J@NIZY#E C AS>VdE'l$> b <(xLE$�W= C A�: C <7d)<7A�> C @V<O:�I � C > b C A�> b <(x1E$�W= C A �

����<B��������=v5��� � b E �;> b =�>.=[x C dVm C dDmOEJA >J<I? �

����<B��������=v� #" � @n= � > b <�E�KL>N: C AB<�E'l =3dF<�= Aud?>n='@/� h C ABxR> �UE3Y�E C AS>Vd`dNKBm b > b =�>v> b <.dF>N@n= C _ b >`: C A1<.dN<O_<�[<OAS>m5E�A1A1<�m�> C A1_3> b <*�p: C <7d`E�A1:�IRY#='@N>N:�I C AyIJE�K1@edN<7=)A dF>V=J@exLE$�W= C A C�> b KBdU<7dF>V=$@1: C d b C A1_3> b =�>e> b <ox1E$�W= C A C dUA1EJ>m5E�A >J<7? �

����<B��������=v� ![� A�<7?L<7@Vm C dN<@'&� ( I�EJK�mOEJABd C x1<O@V<7x�> b <Rm7=JdN< � b <7@N<�� b =Jd9=yY�EJ:�IG_JE�AB=': @#E�K1ABx1=J@NI � > b <�W=h? C �XK�� C dW=Jm b C < >J<7x EJA�>J<7@F>V<7?�� =JABx�> b <O@V<�='@V<!> b @V<O<HE'> b <O@ >�<O@N> C m5<7d�,�C " ='ABx $ dNKBm b > b ='>��� " � Z ��� , � ='A#x\����" � Z ��� $ � � � b E �;> b =�>�� mO=JA1A1E'> @�<(m5E�A >�<7? �

����<B��������=v� JD �GK1Y1Y�E�dN<�> b ='>�� b =JdW=]Y�EJ:�IG_JEJA#=': @#E�K1ABx1=J@NI =JABx C dWmOEJA >J<I? � E <5>!����� � Z ��� R � Rao a�� � b E � > b ='>�� C do= >J<7@F>V<7?�=JABx C d*C �RE�@N<7E >J<7@ CS> b <(EJA1:�I3>J<O@N>N<I?�"}dNKBm b > b =�>o����" � C d�_�@N<�=�>N<7@> b ='A�@#EJ> b >�=':�K1<7d)EJl�� =�>D> b <M> �UERA1< C _ b @�EJKB@ C A1_ >J<7@F> C mO<7d-E'l " �

� )� � , 4 ~ 476 4P9��;682 t B� < t 4 0�/ � 4= b <�:�=�d?>[<7?L<7@Vm C dN<7>�=': C x1=�>V<7dZ> b <�lE�:{:�E � C AB_�Y1@VELm5<7x1K1@N<!>NEa\BABx > b <��W=h? C �XK�� EJlo= Y1:�=JAB='@RE$@;^?<7m�> C >�<lK1ABm5> C EJA�E�A�=WmOEJA >J<I?!xLE$�W= C A0� C > b Y#E�:{IG_JE�AB=': @�EJKBABx1='@VI � d?>n='@N>�=�>.='AGI >�<O@N>N<I? � C l C > b =JdD=[A1< C _ b @�EJKB@� b <7@N<D� C dv_�@N<�=�>V<O@/C �RE >�<->NE �)='@nx(> b =�>`A1< C _ b @#E�K1@ � � mOEJAS> C AGK1< �RE > C A1_9>NE �)='@nx�� dFKBY#<7@ C EJ@���A1< C _ b @�EJK1@ C A1_>J<7@F> C mO<7d-K1AS> C :~I�EJK�='@V<M='>�= >J<O@N>N<I? @#EJ> b E'l � b ESdF<MA1< C _ b @�EJKB@Vd b = >�<M=[d��W=':�:{<7@)� A >�=':�K1<$�

����<B��������=v� PO 1UEJABd C x1<O@�=RY1@VE$@1:�<*� EJl > b <MlEJ:�:�E � C A1_[='YBY#<�='@n='ABmO< �>NE �W=h? C � C �O<7��� R W g R � � � $ � j � R W j�� � R �

dNK�@�^?<7m5>D>NE � * $ : j : R W j � : R �

lEJ@ � � � gImImnm7g � � b <O@V< �ML ! � ��:�:1YB=J@V=$�R<O>N<7@Vd$='@V<e@V<7=J:G=JABx � g&� � =J@N<-A1EJA�A^�7<O@VE � <7@ C lI3> b <UlE�:{:�E � C A1_l�=Jm5>Vd � � C � > b <[mOEJABdF>N@n= C AS>Vd9xL<7\#A1<R=�m5E�A >J<7?+xLE<�W= C A � C > b =!Y�EJ:�IG_JEJA#=': @#E�K1ABx1=J@NI � � C�C � <�=Jm b >J<O@N>N<I?�E'l> b < @�EJK1ABxB='@VIHx1<7\BA1<�do=yY#E C AS>%� b <O@V< !���� EJlv> b < � m5E�ABd?>V@V= C AS>nd.='@V<XdV=�> C di\B<7x � % ! '! � � ' % ! � � C{C�C � > b <Y1@VE$@1:�<*� C d)dFE�: >�<7x @GI!=JY1Y1:�I C A1_X> b <{t�>J<O@N>N<I? �RE >�<nu �R<O> b ELx\EJKL>V: C A1<�x!=)@�E >J<<C)� C > b >�<O@N> C m5<7de>N@n='A#dF: =�>V<7xC A�>VE\Y#= C @Vd9E'l-<nLSKB='> C EJABdM=Jd9Y�<O@�� C � ='A#x � C�C � �0�HE C AS> � lEJ@�� C � Cy\B@nd?>M<7dF>V=$@1: C d b > b =�>(=Hm5E�A >�<7?+xLE<�[= C A C d@ C dF<�m�>V<7x�@GI�=!d?>V@V= C _ b >�: C A1< C AS>NEW> �-Eym5E�A >�<7?HxLE$�W= C ABd C1> b <OA+K#dF< C ABxLK#m�> C EJA � lE�@ � C{C � E<@BdF<7@�>�<9> b ='>.> b <m5E�ABdF>N@n= C A�>nd)xL<7\BAB<M> b <3<�xL_J<�d*� �

����<B��������=v� 5B � de> b <Mm5EJA >�<O@ndF<�EJl dF>V=�>V<*�[<OAS>%� C�C � C Ay> b <9YB@N< > C EJK#d`<7?L<7@Vm C dN<�>V@NK1< ! �HE C AS> � > b =�> C d*CLxLEG<7d<*>�<O@VIHYB= C @oEJlUm5E�ABdF>N@n= C A�>nd*C#>V= �J<7A � C > b <fLSKB=': C >?I<C xL<7\BAB<R=>J<7@F>V<7?HEJA+> b <�@#E�K1ABx1=J@NIHE'le> b <WxLE<�[= C A�E'lR A >�=':�K1<7dD=J:{:�E �-<7x@SIy> b <(dN<5>DE'lvm5E�ABdF>N@n= C A�>nd ! �

� 7n�i��¢8¢8��¢8©��F�8��¢f�i��© �I¦ª� �8¥¡�y�����7� �8¥1�H����¥H�¡��¢f©�§7��¥F�F����¯8�7� �����i���i� �F�8��¥y���>§7���¡�"�¡�8��­8¥¡�F�#" �¡�8�ª��¥¡��� ¥%$n� ¢f���¡�h�M�y��¥F� �8�y�8�°¯� ¥1�7� �����i���F�i��¢¨¦ª���¡��¢8����© �n¦ª� �8¥F�#­h¥F�F����¢8¤��¡�f�i¢�¯ª� ��¦ª���¡����¥F�k�¡�8�ª��¥¡��� ¥i¯f���i§7���¡���¡�8�&" ¦ª���F�%$h�����F�8����²

Page 100: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

#�l � ����� ������� �!��� � �

� )��* � � 6 4 -10 2 -# 6�s54�6 4�t#s - 2 � / 4=6 < s32 s54#� 0 2:9 4 - 4h2 <�- 4* dVdN<OAS> C =':�:{I[> b <(dV=)�[<��R<O> b ELxHmO=JA�@#<(=JY1Y1: C <�xy>VE[> b <�� Aux C �R<7ABd C E�AB=': >J<7@Vd C EJA!EJl > b <3Y1@VE$@1:�<*� �

>NE �W=h? C � C �O<7��� R W gImnmImng R�� � ��� �>� j����� W � � � R �

dNK�@�^?<7m5>D>NE � * � : � j����� W � : � R �

� C > b � � � gnmImImng � C � L� j �<C6� b <7@N<)> b <�YB=J@V=$�R<O>N<7@Vd � : � =J@N<D@V<7=J:LASK � @�<O@nde='A#xX> b < � � � C � � � gnmImImIg �='@V<MA1EJAB�O<O@VE �

����<B��������=v� Jv 1-='A�IJE�K�d b E � > b =�>.> b <XxLE<�W= C A C dom5EJA >�<7?9! �HE C AS> � d b E � > b =�>M=Wd?>V@V= C _ b >�: C A1< C A� �� C :{: C AS>N<7@VdN<7m5>D=JA�� @ ��A b ISY�<O@VY1: ='A1<M=�> �[E�dF>DEJABmO<$CB=JABx\KBdF<9> b =�>Dl�=�m�> � �����<B��������=v� P�FE <5>� W gnmImnmIg � @�<��H@V<7=J:BYB=J@V=$�R<O>N<7@Vd C'A1EJ>U=':�:B�7<O@VE C�=JABxWKBdN<D> b <7dN<D>NEZxL<7\BAB<o=(dF>N<7Y � RdNKBm b > b =�>�� R � � � � � � N " �

���� W �� � �� � � <O@ C lI!> b ='>.� R C dD=RK1A C >odF>N<7Y C A�� A x C �[<OABd C EJAB=J:�dFYB=�m5<<�

����<B��������=v� ! � b E � > b =�>9> b <Wm b =JA1_J< C A]E$@;^?<7m�> C >�< >�=':�K1<[=JdVdFELm C ='>N<7x � C > b > b <[K1A C >3dF>N<7Y xL<I\BA1<�x C A> b <3Y1@N< > C E�KBd-<7?L<O@nm C dF< C d�R� � �

���� W � � �� �" �

���� W �� � �� � m����<B��������=v� �) � b E � > b =�>(=JA�<7?G>V@N< �XK�� EJle> b <Wm b ='A1_�< �R� mO=': m5KB:�='>N<7x C A > b <WY1@N< > C E�KBd.<I?L<O@nm C dF< C dlEJKBABx � b <OA W > b @VEJK1_ b � =J@N<�=':�:)<nLSKB=':�CedV= I� � � �3� b E �p> b =�>[lE�@� Z ��C`> b <HK1A C >yd?>V<OY � RxL<I\BA1<7x C A <I?G<7@Vm C dN<D' ��� C d C A�> b <Wx C @N<�m�> C EJA E'l`> b <[_J@n=Jx C <OAS> � � C�='ABx�> b ='>MlEJ@� ` � C,� R Y�E C AS>Vd C A> b <(x C @V<7m5> C EJA�E'l @ � � � �FE C AS> � dN<5> �������� <fLSKB=': >VE��XlE�@�=':�: �R>VEA\BABx\> b <3<I?G>N@V<*�XK �3� �����<B��������=v� � 1-='A�I�EJK+<I?G>N<OA#x�> b < C xL<7=\E'lU<7?L<O@nm C dF< '&��'R>NEHd b E � > b ='> C _J<7A1<O@ C mO=':�:�I$C�> b <��W=h? C �XK��E'l�� C d-lEJK1A#x\='>D= >J<7@F>V<7?yEJl~> b <Mx1E$�W= C A�! �FE C A�> � <7=�m b >J<7@F>V<7? C dDxL<7\#A1<7x@GI��+<nLSKB=J: C > C <7d C1m b ESdF<7A!EJK1>E'l$> b <(dF<O>)EJl � m5E�ABdF>N@n= C A�>nd*� �� )��| � 4#�¡6 4 � 9 < �54°4= b <�A#=�>NKB@V=J:L<7?G>N<7ABd C EJA[EJl�> b <�dN<7='@nm b �R<O> b ELx C dv>VE(m5EJA#d C xL<O@ >�<O@N> C m5<�d`xL<7\#A1<7x @GI�� A^>NKBY1:{<�dvE'l <fL�K#=': C > C <�dm b ESdF<7A;EJKL>HE'lX> b < � _ C >�<OA mOEJABdF>N@n= C AS>Vd � �od@�<5lE�@N<<Co=(�RE >�<+l@VE$� E�A1< >�<O@N>N<7?T>VE C >Vd�A1< C _ b @�EJKB@m5E�@N@V<7dNY�EJABx1de>NER> b <M@N<7Y1:�=�m C A1_REJA1<ME'l > b <M<fL�K#=�> C EJA#dUEJl~> b <�� AP>VK1Y1:�<7d � C > b ='A\<nLSKB=': C >?IW>V= �J<OA!l@NE<�p> b <@V<*�W= C A C A1_ � @ � mOEJABdF>N@n= C AS>Vd �����<B��������=v�)�" = b <�mO@NK;?]>VE�> b <3> =J: C x C >?IjE'l�> b <�t�>J<7@F>V<7? �RE >�<nu �[<O> b ELx C dR='_S= C A >NE Y1@NE >�<W> b =�>W=>J<7@F>V<7?Z> b ='> C dedNK1Y#<7@ C EJ@`>NEX=J:{:#E'l C >nd`A1< C _ b @#E�K1@Vd �XKBdF>"@�<�> b <�K1A C LSK1<��W=h? C �XK����21-='AWI�EJKRlK1@VA C d b > b C dY1@VEGE'l ! �FE C A�> � dFK1YBY#ESdF<<C1>NEy> b <Rm5EJAS>V@V=J@NI<CG> b ='>�> b <7@N< C do= >J<7@F>V<7?�"pE'> b <O@�> b ='AH> b < �W=h? C �XK�� � b C m b� xLE$� C AB=�>V<7d � =J:{: C >Vd$A1< C _ b @�EJKB@Vd � � b E �j> b ='>$> b <O@V< C d�='A�� @ � b IGY�<O@VY1:�=JA1<��idFKBm b > b ='> � C � ��� R � � ��� " �lEJ@U=':�: R E�A[> b ='> b ISY�<O@VY1: ='A1< � � C{C � �T> b <o<7xL_�<7dUm5EJABA1<7m5> C A1_%"i>NE C >VdeA1< C _$@�EJKB@Vd`=J@N<�=J:{:#EJA[EJAB<.d C xL<�EJl�� �='A#x � C�C�C � > b <��W=h? C �XK�� �ZKBd?> @�<�E�A > b < �'! ' ? d C xL<\EJl�� � = b <OAcd b E �}> b ='>[mOEJA >J<I? C >?Ij<OALlE�@VmO<7dZ=m5E�AS>N@n=Jx C m�> C E�A � �

� � ¢8�>®�¢(�F�¨� �ª��¥��M�F��� ¢8�"¥¡���¡�i��¥F���8��¥¡�����"��# ( ,'+ !-! % !"*324! !"! �°�F�8���¡� ����®��h�M�"�F�¡��¥F�F����¢8©��¡��¥¡� " �8¥F� © ¥���� $z�h�������k� ¥F� � �¡�8�� �����J�¡�h�M���8¥F� ¦8�������J��� �F�8���1�F� ¥F�1���+�¡��¢���¥¡���F�����3�F�8�����M�F�8�����M�¡���i���ª¥¡���8¥F���¡��¢I�¡�M�F��� ¢����;�d¥¡���F� �8¥¡���k�������I�i�M�¡��� ¢��¡���¡±�� ���i��¤�¦I���¢¨� ¥F©7��¢8�$#i�M�¡��� ¢¨�¡�8���¨�������i� ���8��¢I�7²

Page 101: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�� ���� ���� � �� �� ��� � ���� ���� ��y��� �� ���� � � � � ����� ���

���� �����1t������ �"!#��sB�$��� 4B 4S�"�����<B��������=v�) ! *&% Y1: = C A � b IW> b <MlK1ABm5> C EJA

R � & � � � �l j('�) � W � ) mOE�d+*-, � & j/. ) d C A0*-, � & � ( � � �

@V<OY�<7=�>nd C >ndF<7:rl�<*>�<O@VI l # N , � > C �[<3K1A C >Vd CL> b ='> C d C R � & j l # N , � � � R � & � lE�@�=':�: >�=':�K1<7dDEJl & ���� + , 4#�1��� 0 � t �2���1t3��� � �"!�GKBm b lK1A#m�> C EJA#d�='@V<9m7=':�:{<�x543� 2 6 �A�����#BW����� b <O@V<643� � l # N ,#�$�

����<B��������=v�)87 � b E �;> b =�>.=943��A Y�<O@ C ELx C molK1ABm�> C E�A C d�=J:�dNE l 43��A Y#<7@ C ELx C m)C ! 43� A Y�<O@ C ELx C m)C1=JABxHdFE[EJAD�

���rq 3 s54 �2��� 0 ��: 4+�$�O���v.4#�;� � 0�}Y�<O@ C ELx C mZlK1ABm�> C E�A�> b KBd b =�d C A�\BA C >V<O:�I �W='AGI+Y�<O@ C ELx1d C � b C m b ='@V< C AS>N<O_�@V=J:��XK1:{> C Y1:�<7dME'l-> b < 7 4 ��BS4 2� �A� �^4'2 6 �=��� �#B<4 � �����<B��������=v�)JO 1-='A+I�EJK+< % YB:�= C A � b I�> b <(lK1ABxB=)�[<OAS>V=J:�Y#<7@ C ELx�E'le=!_ C >J<OA�Y#<7@ C ELx C m(lK1ABm5> C EJA R � & � C dxL<I\BA1<7x\>VE�@�<M> b < � � ��' '�' � ! Y�E�d C > C >�< >�=J:{K1<MEJl 4 dFK#m b > b =�> R � & j 4 � � R � & � !����<B��������=v�)>= E <5> X* xL<OABE'>N<[dNE$�[<WdF<7:{<�m�>N<�x >�=':�K1<[E'l?* � * >�=':�KB=�>V< � � ��@ � �U ��@ � � R � & � m5ESd>*-, � & &�� C > brR � & �_ C >J<7A @GI�<BASKB=�> C E�A�� ( ��� � �DC`E�KTd b E�K1:�x E$@1>V= C A � q) 4 �FE l � �HG C AS> � IJE�Kcm7='AcKBdN< C AS>N<7_J@n=�> C EJA�@GI�YB=J@F>nd�|> � C m5< V � C1EJ@)KBdN< � 4 2��=�JI 6&7��C� � 4 2|4 69m5ESd$K � �MLFN j L3O8N � E l ='A#x\d C A?K � �MLFNQPRL�O�N � E � l � � � b <O@V< � � � P?�$� �

��� Y � �S� 0 �S� ��s54+t-� 43T t"� 4+�$�U!C`EJKB@D@N<�dFK1:{>� ) � l4 � � �

��@ � �O � @ � ��V � & � mOE�d>*J,#� & & � ( � l �

C ABx C mO=�>V<7d`> b ='>e> b <9mOES< z m C <OAS>Vd�� � de=JABx . d � C Ay<WASKB='> C EJA � ( � � � m7='A @�<�lEJKBABx @GI t C A�>V<O_�@V='> C A1_9>NEJ_�<5> b <O@�u> b <ZlKBABm�> C E�A V � & � � C > b > b <Wm5ESd C A1<7d9='A#x d C AB<7d9E'l`> b <Wm5E�@N@V<7dNY#E�ABx C A1_Wl@V<WASK1<7ABm C <7d ��dNE � ) _JEG<7d � C > b =m5ESd C A1<ME'l l@N<BASK1<OABmOIX*-,��)CB=JABxHdFEREJA � �

����<B��������=v�)3v ��: dFE[<7dF>V=$@1: C d b� ) � l4 � � �

��@ � �O � @ � � V � & � mOE�d>*J,#� & & � ( � ! �

='A#x� � �

l4 � � ��FY � �

O �B@ � �ZV � & �� & m � ( � ( �

# !

Page 102: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

# ( � ���<��� � � �����R��� � ���� �<��� � � ��� � � �:� � �<� � � ���� ��� � �\��

���.- 3 s54 �+� � �;� 4#�0! 4B�;� 4-!�� 4B#��4-!�4>�$�O�$����� �= b < C xL<�=XEJl~=�� � 4 �����=�O6=�A������6 ��� 6 �=��6A�=�!� 4�������� C de>NEZ@N<7Y1@N<�dF<7AS> ��( Y�<O@ C EGx C m�lK1ABm�> C E�A � C > b lK1ABx1=$�R<7AS>V=':Y�<O@ C ELxX4 � C A�> b <MlE�@��gE'lv= �-< C _ b <7x�dFK��gE'lvm5E�d C A1<7dD=JABx\d C A1<7d C1=Jd C AH<WASKB=�> C E�A � ( ��� � �����<B��������=v�)J�FE <5> V � & � @�<o=XY#<7@ C ELx C m�lK1ABm5> C EJA � C > b lK1ABx1=$�R<7AS>V=':�Y�<O@ C ELx 4 � CLdNKBm b > b ='> V � & � � �3lE�@P?43� E l * & * �[='ABx V � & � � �olE�@�� * & * 43� E l � �)��<5>nm b =R_J@n='Y b EJl V � & � lEJ@ V � P l 43�9>NE V � j l 43�)�

����<B��������=v�) �� C > b V � & � =�d C AH< % <7@Vm C dN<*' ( � C1d b E � > b ='> � � � �<���MG C AS> � <BA�K#=�> C EJA � ( � ( � � �����<B��������=v�)!)�� C > b V � & � =�d C A+< % <7@Vm C dN<@' ( ��C�d b E �i> b =�> ��� � � � �HG C A�> � <WASKB='> C EJA'� ( � ! � � @V<*�[<*� @#<7@> b =�>?,#� � l # E 4J�<C1='ABx�@V<5l<7@)>NEWd���<5>nm b <7d)EJl$m5ESdJ,#� &-=JABx�d C AQ,#� &eEJA�> b < C AS>V<O@ > =J: � P?43� E l g j 4J� E l � � �����<B��������=v�)���� C > b V � & � =�d C AH< % <7@Vm C dN<*' ( � C1d b E � > b ='> � ) � �ZlEJ@0* � � g l g ! gImImnm �

����<B��������=v ��"�� C > b V � & � =�d C A�< % <O@nm C dF< ' ( � CBd b E � > b =�> . � � �) ���MG C AS> � <WASKB='> C EJA'� ( � l � � @V<*�[<*� @#<7@> b =�>.m5ESd # � P?�<� �����<B��������=v � !�� C > b V � & � =Jd C A�< % <O@nm C dF<@' ( � C�d b E �i> b ='> . � � ��� �MG C AS> � <WASKB=�> C E�A'� ( � l � � @V<*�[<*� @#<7@> b =�>.m5ESd l # � j �<� �����<B��������=v �87 1-='ARIJEJK[d b E �?C � C > b V � & � =�d C AR< % <7@Vm C dN< ' ( � C > b ='> . ) � �) ) � b <7A * C d�EGxBx CJ='A#x . ) � �� b <7A * C dD<*>�<OA�!���54 3 s54���: � � �F� 0 4 !J.4St���� ��:= b <Hm5EG< z m C <7A�>nd � � dZ=JABx . d � � b C m b IJEJK mO='A mO=': m5KB:�='>N<ylE�@R=�_ C >J<7A�Y#<7@ C ELx C mWlK1ABm5> C EJA CUKBd C A1_ <WASKB=)A> C EJA#d � ( � l � � � ( � ( � Cwm5E�A�>n= C A ��' 'eC ALlE�@��W='> C EJA+=)@�EJK1>o> b =�>olK1ABm�> C E�A � h EJ@ C ABd?>n='ABmO<$C�> b < ASKB='AS> C >?I�� ) �$ � � ) j . � ) >V<O:�:�dMI�EJK b E � �XK#m b E'lel@N<BA�KB<OABmOI *-, � t C d9Y1@V<7dN<OAS>Mu C A V � & � � � ) C d9> b <W4&� 6 29��� 4 B1�y='>Ml@N<*AASK1<OA#m5I *-, � ��= b <D=)�[Y1: C >VKBxL<7d$>VEJ_�<5> b <O@�|lE�@�=J:{: >�=':�K1<�d�E'l * � �W=6��<UKBYX> b <�4�� 6 2\��� 4 B1�O6 6 � � ��� 4 � EJl V � & � �����<B��������=v ����� b <OA V � & � � m5E�d$, � & C#d b E � > b ='>�� � � �3='ABx�� ) � �ZlEJ@0* �� �<���MG C AS> � IJEJKH=':�@V<7=Jx1Ix C x3�RESd?>DEJl > b <��UE�@ � C AH< % <O@nm C dN<7d' ( (R=JABx ' ( '�� �����<B��������=v �>= � b E �;> b =�>)> b < 6 ;#4W6A� 2 6�;#� 7 �<� B!lK1ABm�> C E�A V � & � � mOE�d�� ,#� & P�� � b =JdU> b <(dN=$�R<3=$�RYB: C >NKBx1<dNY#<�m�>N@VK�� =Jd V � & � � mOE�dJ,�� & � �MG C AS> � KBdN<H> b <�lEJ@ �XK1: =Jd!m5E�d � � P . � � d C A � d C A .¨j m5ESd � mOE�d . =JABxd C A � � j m5ESd � � � �<� ���� � 3 s54 sB�"! 4 !' 4St���� ��:� C Q <O@V<OAS>yd C _JA#=': d �W= Ij> b K#d b = >J<!> b <�dV=)�[<�=)�[Y1: C >VKBxL<�dFY�<7m5>N@VK���� = E xL<5>V<O@ � C A1<�=�lK1ABm�> C E�A lKB:{:�I$C='ABE'> b <O@`AGK�� @#<7@ �XKBdF>"@�<DY1@VE > C xL<�xR='>`<7=�m b l@V<WASK1<7ABm5I<� = b C d C d�> b < 6 ;�4 6=� � ) � P�>V='A8O � � . ) E � ) � ��= b <Y b =�dF<�d->NE�_J<5> b <O@��lEJ@�=J:{: >�=':�K1<�d)E'l * � �W=6�J<MK1Y\> b < 6 ;#4 6=�76 6 �C�>��� 4 � EJl V � & � �����<B��������=v �3v 1-='AHIJE�K\>V<O:�: � b ='>�> b <(Y b =�dF<(dNY#<�m�>V@NK�� E'l`=RlK1ABm5> C EJA�:�EGE �LdD: C ��< C l C >Vd h EJK1@ C <O@�dN<O@ C <�d@V<OY1@V<7dN<OAS>V='> C EJA�m5EJAS>n= C ABd)EJA1:�I!d C AB<o>V<O@ �Wd���=�d � C > b lE�@ C A#d?>n='ABmO<o> b <MlK1ABm5> C EJAHE'l�< % <7@Vm C dN< ' ( � � !��� � � tSt3� : :<� 0 �"��� � � 4B�;��� 0 � t��2���1t������ �"!= b < C xL<�=[E'l � Y C m�� C A1_WEJKL>D> b <(l@V<WASK1<7ABm C <7d �1EJl�=[lKBABm�> C E�A @SI C AS>V<O_J@n=�> C AB_[> b ='>�lK1ABm5> C EJAH>NE�_J<O> b <7@�� C > bd C A1<�d`='A#xZmOE�d C A1<�d*C�=Jd C AR<BASKB=�> C E�ABd� ( � l � � � ( � ( � C C dvdFE3A C mO<)> b ='>2�U< �-EJK1: xR: C �J<->NE?@�<�=)@B:{<->NE(=JY1Y1:�I(> b C dC xL<7=W< >J<7A � b <OA V � & � C d�A1EJ>.Y�<O@ C ELx C m��E�@�� b <7A�Y#<7@ b =JYBd C > C d*C @1KL>��-<(xLEyABE'>��GA1E � > b <(lK1ABx1=$�R<7AS>V=':Y�<O@ C ELx � � � C ABmO<3> b <(lK1ABm�> C E�A C d�='Y�<O@ C ELx C m)C+�U<3@V<7dNEJ:�>J<9>VE C AS>V<O_J@n=�>V<9l@NE<� P�� >VE j � CB='ABx�>VEyxLEW> b C dlEJ@�=J:{: Y�E�dVd C @1:�<Ml@V<WASK1<OA#m C <7d��|> b =�> C d CGlEJ@�=':�:�@V<7=J:,>�=J:{K1<�dDE'l , � � = b C dD_ C >�<7d)=ZlK1ABm�> C E�AHE'l , �

]! #"%$ � , � � � � 'O ' V � & � m5E�d", & & � ( � ' �

Page 103: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� ��� ����� ���������� � � ����������� ������� � ���� # '

='A#x C1d C � C : ='@V:�I$C� $ , 1 � , � � � � 'O ' V � & � d C A , & &�� � ( � � �

����<B���������� �J� �.dVdFK��[<D> b =�>e> b <9='Y�<O@ C ELx C m-lK1ABm5> C EJA V � & � C d`A1E�A�A �O<O@VEMEJA1:�I C Ay=��#A C >V<�A1< C _ b @�EJKB@ b EGELxE'l�& � � � V � & � � � lEJ@�� &���� 4 �� � � ( ��� �

� b E � > b ='>� #"%$ � , � � � �

� � � �O � � � � V � & � m5ESd$, & &

� ( ! % �%� ��� � � � ! % � ( CB=JABx �D@ C >N<(xLE �DAH=[d C � C : ='@D< % YB@N<�dNd C E�AylE�@ � $ , 1 � , � �����<B���������� � �GK1Y1Y�E�dN<9> b ='>�IJEJK!>N@VIW>NEW=�dNd C _�A CLdFE<�[<�� b ='>D=J@�@ C >V@V=J@ C :{I<CS=ZlK1A#x1=)�[<OAS>n=': Y�<O@ C ELx<4��9>VE=HlK1A#m�> C EJA dN='> C d?lI C A1_�m5E�ABx C > C EJA � ( �.� � � E <5> ,� � � # E 4��!='A#x < % Y1: = C A � b I � #"%$ �H*-,�� � � � ) 4�� E ��C ddNK1@N<(>NE @�<ZmOEJ@V@N<�m�>�EJAB:{I C lvI�EJK+m b EGE�dN<M> b <(lK1ABxB=)�[<OAS>V=J:~Y�<O@ C ELx�dNKBm b > b =�> 4 � L 4 � ���MG C AS> � m5E$� @ C A1<<WASKB='> C EJA � ( � � � � C > b > b <3Y1@V<*> C E�KBd)< % <7@Vm C dN<$� ����� 3 � � �#� 0 ��s54 �>� � �;� 4B� ��� � �"!�� � � := b <ZlEJ@V<O_�E C A1_y< % <7@Vm C dN<7d9dFKB_J_J<�d?>o> b ='>M=JA =JY#<7@ C ELx C m(lK1ABm5> C EJA V � & � dV=�> C dFlI C A1_�m5E�ABx C > C EJA � ( �.� � mO=JA @�<@V<OY1@V<7dN<OAS>N<�x @GI\= h EJK1@ C <7@DdF<7@ C <7d C1=Jd-lE�:{:�E ��d �

V ��@ � & � � �4 � '�) � � � � #"%$ �H*-,�� � mOE�d>*J,� &"! � $ , 1 � *-,� � d C A0*-,�� & � � ( � ( �� b <7@N< � � � � � E 4 � � � � � � � �O � � � � V � & �� &D='A#x\m7='@V< b =Jd @�<O<OA�>n=6�J<7A!>VEWm b EGE�dN< 4 �$# 4 � �����<B���������� ��%+*&% Y1: = C A � b I V �B@ � & � C�xL<��BA1<�x @GI(<BASKB=�> C E�A � ( � ( � C C d�ABE'> ASK C >N<)> b <�dN=$�R<D=�d V � & � ��MG C AS> ��B@nd?>D< % YB:�= C A0� b I V ��@ � & � C d?4���A Y#<7@ C ELx C m$C1='ABx � b I V � & � C dDA1E'>/� �����<B���������� ��� 1-='A�IJEJKHdN<O<%� b I �-< b = >J<9: C � � @'& ' V � @ � & � � V � & � !����<B��������)(#"�" � b E �;> b =�>

: C ���@ & ' V� @ � & � � : C ��B@ & '

�#'�) � � � � #"%$ �H*-, � � mOE�d+*J, � &*! � $ , ++�H*-, � � d C A0*J, � & � , � �

�MG C AS> � d b E � > b ='>D> b <M>V<O@ � � C > b � � >�='A C d b <7dD='A#x �-EJ@ �[> b <6, � C AS>VEZ> b < C A�>V<O_�@V=JABx � �����<B��������)(#" ! 1-='A�IJEJK�<7dF>V=$@1: C d b > b <MlEJ:�:�E � C A1_[@V<7dNK1:{> !

V � & � � �#� '� � � #"%$ � , � m5E�d$, &,! � $ , +�� , � d C AQ, & � ,-�

�MG C AS> � mOE$� @ C AB<D> b <o@N<�dFKB:r>nd`E'l > b <�Y1@V<*> C EJKBd`> �UEX< % <O@nm C dF<�d*��.�<O> ,� � � , ='ABx9, � * � , =JABxWm5E�ABd C xL<7@> b <(dFK���=JdD=0/ C <*�W='ABAHdNK���� �����<B��������)(#"87 1-='A�IJEJK�A1E � <7dF>V=)@B: C d b > b <MlEJ:�:{E � C A1_ �J<7Iy@N<�dFKB:r> !

V � & � � �� #

� � 'O '� � , � L :21 , � b <O@V< � � , � � � � 'O ' V � & � L O :�1 &�� � ( � # �

�MG C AS> � m5E$� @ C A1<�> b <.@V<7dNK1:{>VdUE'l�> b <oYB@N< > C EJK#d`< % <7@Vm C dN<�� C > b43 K1:�<O@65 delEJ@ �XK1: =JdUm5ESd$K � �HL N ! L O�N � E � =JABxd C A?K � �MLFNQP L�O�N � E � � � � � b <O@V< � � � P?�$� �����<B��������)(#"��87 A]<BASKB=�> C E�A � ( � # � C xLE�I�EJK b = >J<R>NE+=�dNdNK��[<[> b =�> V � & � dV=�> C d9�B<7dM> b <ym5E�ABx C > C EJA � ( ��� � !�MG C AS> � IJE�Ky>NEGE �y> b <3: C � C > 4 �;: � � �

Page 104: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

#�� ��� �<����� ��� � � � � ��� �� �<����� ��� ��� � � � �<��� � ���� ��� ��� ���� ������ 3 s54 �+� � �1� 4#�0���u���"!�� ���;: � � 0 � �U!#!' 4�t3���u�= b <3lKBABm�> C E�A � � , � C dD> b <��������������! "�n4�#�$�7"�%�'&gE'l V � & �)( > b <7I�=J@N<X@N<7:�='>N<7x\>VEy<7=�m b EJ> b <7@�@GI � ( � # � � = b <lK1ABm5> C EJA � � � , � � C dv> b <*&y4�Q+#,�- .��/��0$ 6 �212 3�2��&}E'l V � & �)( > b <�lK1ABm5> C EJA!=J@N_ � � , � > b < 6�4 4�$)�0$ 6 �212 3�2��& �|lEJ@=[m5E<�RYB:{< % AGK�� @�<O@*5 � �0L :�6 C� 5�� � � ='ABx�='@V_75 �98 � �����w� � �;: �B��� !7 A C ABd?>V@NK �R<7AS>V=�> C E�A C�< C dv> C �[<.=JABx V �3< � C d C A�>V<O@VY1@V<5>N<�x[=Jd�> b <�$'�rQ=##4�2wE�A[> b <! "�n4�#�$'&>��$�$.���?#R2@��#A� @�<5> �-<O<7A> b <9YB@NE<@#< ��dN<OABdNEJ@ � =JABxW> b <Md C _JAB=J:#YB@NELm5<�dNd C A1_X<BA�K C Y��[<7A�>/� = b KBdU> b <Md C _JA#=': V ��< � EJl|>N<7A!@V<OY1@V<7dN<OAS>Vde> b <>JE�:r>n='_�<ZE�A = � C @V<Wm5E<� C A1_�l@VE$� > b <WY1@NE<@#< ��EJ@9> b <W: C _ b > C AS>N<7ABd C >?I C Aj= � @#<7@ C EJ@%� b =�>V<*>�<O@MY b ILd C mO=J:<OA#m5ELx C A1_[E'l$> b <(d C _�AB=': C d �[E�dF>�m5EJA >�<OA C <OAS> � �

7 A �W='AGI C ABdF>V='A#m5<7d C�> b <WY b <7A1E$�[<7AB=HK1ABxL<7@N:�I C AB_H> b <yd C _�AB=': V ��< � ='@V<��ZKBm b �[EJ@V<y='Y1YB=J@N<7AS> C~=JABxb <7ABm5<-<7=�d C <O@~>NE�>V<O:�:L='YB=J@F>/C7l@VE$�i> b <-d C _JAB=J: 5 d h EJK1@ C <7@~>V@V=JABdFlEJ@ � � � , � > b <OAXl@NE<� > b <-d C _JAB=J: C >VdN<O:{l&��= b C d=Jm7m5E�K1AS>VdUlEJ@D> b <�� C xL<7dNY1@V<7=Jx!KBdN<3E'l h EJK1@ C <O@)>N@n='A#d?lE�@��Wd C A C ABdF>N@VK��[<OAS>V='> C EJAH='ABx�d C _JA#=': Y1@VELm5<7dVd C A1_ �= b <Xd C _JAB=J:~mO=JA1A1E'> @#<Z@N<�m5EJ@nxL<�x C A C >Vdo<OAS> C @N<O>?I8�> b C d C dD>V@NKB<(<*>�<OA�E'l`=JAB=':�EJ_W@V<7mOEJ@nx C AB_��[<O> b ELx1d �)(> b <U>V@V=JABd�� C dVd C EJA(: C A1<->?ISY C m7=':�:{IMl<7<7x1d C AS>NEM='A[=JmOmOK��XKB:�='>NEJ@ � b C m b mOEJ:�:{<�m�>Vd C dFE�:�='>N<�x >�=':�K1<7d$EJlB> b <)d C _JAB=J:=�>M@V<O_JKB:�=J@ C A�>V<O@ >�=': d*��= b C dB$n4%& 6 2���#LQ Y1@NELmO<7dVd.@V<7dNK1:{>Vd C A]=!dN<WASK1<OA#m5<XEJl7&C�54�$D���E��&C�)#A -$ V � *J4GF � � b <O@V<*IHKJc='A#x<4GF C d)> b <L&C�54�$D���E��&C�)#A M��#� N���5�54�2�C�� C > b =JdVdFELm C =�>V<7xC&O�O4�$P���E��&C��#� 7Q�)�?R��=��#S1.TR,UF � � # E 4GF*�= b < @B=Jd C modV=)�[Y1: C AB_ZY1@VE$@B:{< � C dU>VE[dV=)�[Y1:�<o> b <3d C _�AB=': dNK z m C <OAS>N:�I[l@N<BASK1<OAS>N:�IW>VE @�<3=)@1:�<9>NER@N<�m5EJA�AdF>N@VKBm�> � � , � ='ABx V �3< � l@NE<�p> b <(dF<BA�KB<OABmO<9EJl �[<�=JdNK1@N< �[<OAS>Vd �

�����V � ��: � �S�,:= b <X=�m�>�EJl$>n=6� C A1_y= �[<7=JdNK1@V<*�[<OAS>.='>D> C �R<W<.F C d�x1<7dVm5@ C @�<7x3@GI!> b <3lK1A#m�> C EJAX��3<&PY<.F � C�� b C m b�b =�d)> b <Y1@VEJY�<O@N>?I[> b ='> �

O ' V � 8 � X�� 85PZ< F �� 8 � [ � � b <OAK<�\]< FV ��< F � � b <OAK< # < F �3^���� � �

� b <7@N<9> b C d C AS>N<7_J@n=':w@N<7Y1@V<7dN<OAS>VdU> b <(d?>n=�>N<3EJl~> b <(=Jm7m5K��ZK1:�='>NE�@ �����<B��������)(#">= 1UE$�[Y1:�<5>N<!> b <!lEJ:�:{E � C A1_�<BA�K#=�> C EJA � � O ' X�� 8 �� 8 � �MG C AS> � mOE$�[YB=J@ C dFE�A � C > b <WASKB=)A> C EJA �"^���� � � d b E ��d-> b ='> <.F � ��C V ��< � � �$� �����<B��������)(#"�� 1-='A I�EJK x1<O@ C >�<�> b < h EJK1@ C <O@�dF<7@ C <7d\@V<OY1@V<7dN<OAS>V='> C EJA EJl(> b < dV=)�[Y1: C AB_ Y1@VELm5<�dNd � C > bdV=)�[Y1: C A1_yl@N<BA�KB<OABmOI5,UF9@N<7Y1@N<�dF<7AS>N<7x�@GI_9` ') � O ' X�� 8 P *$4SF � ! �HG C A�> � mO=J:�mOK1:�='>N<3> b <�aGd9='ABx . d*C�<WASKB=)A> C EJA#d��3^�� � � ���"^�� ( � � �����<B��������)(#"�( 1-='A�IJEJK�@V<��D@ C >V<9I�EJK1@)@V<7dNK1:{>�E'l~> b <3Y1@V<*> C EJKBd)< % <7@Vm C dN<M=Jd-lEJ:�:�E ��d !

` '�) � O 'X�� 8 PZ*J4 F � � , F

� #` '�) � O '

L : ) 1=b �3^����$� �

�MG C AS> � @N< �[<*� @�<O@/C1m5ESd 80� �ML 6 ! L3O 6 � E � � �

����Lq 3 s54dc+� � �1� 4#�0���u���"!�� ���;: �,�0��s54 !7��: � 4 0 B� �~t 43!W!= b < h EJK1@ C <7@->N@n='ABdFlEJ@ � E'l > b <(dV=)�[Y1:�<7x�Y1@VELm5<�dNd C dDxL< �BAB<7x\>NE @�<

� F � , � � ` '�) � O 'V � *J4 F � L O :�1 ))e b � �3^���� � �

����<B��������)(#"�fhg <O@ C lI!> b ='> � F � , � mO=JA@�<(mO=J:�mOK1:�='>N<�xyl@VE$�p> b <(dN<WASK1<OA#m5<ME'l��[<7=JdNK1@V<*�[<OAS>nd*�

Page 105: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� ����� ������� ��� �� �����& � ���� ��� � # �

����<B��������)(#"�% 1-='A�IJEJKHxL<7@ C >J<9> b <MlEJ:�:{E � C A1_R@N<�dFK1:{> ! � F C d)> b < h EJK1@ C <O@->N@n='ABdFlEJ@ � EJl

V F ��< � � ` '�) � O 'V �3< � X�� 8<P *$4 F �

����<B��������)(#"�� 1-='A�IJEJKHxL<7@ C >J<9> b <MlEJ:�:{E � C A1_ �J<OI!@N<7:�='> C EJABd b C Y@�<5> �-<O<7A � F ='ABx � !� F �� , � � �4 F � ` 'O '

� � , � X 1=b �� , P , �� ,-� �3^������ ��MG C AS> � mOE$� @ C AB<�<WASKB='> C EJA �3^ � � � � � C > b > b <�< % YB@N<�dNd C E�ARlEJ@ V ��< � C A �"^�� # �)( @V<5l<O@e>NE(< % <O@nm C dF< � � � >NEZxL<O@ C >�<> b <MlEJ@ �XK1: = X 1=b � , � � ,?O �F _ ` ') � O ' L : ) � ) 1��'1 b � �����<B��������)( !L" 1-='AyI�EJKy< % YB:�= C A CG@V<5l<7@N@ C AB_3>NEZ<WASKB=�> C E�A �3^ � ��� � C � b I � F � , � C dUA1EJ>U> b <9dV=)�[<.lK1ABm�> C E�A=Jd � � , � ! �MG C AS> � � F C d , F A Y#<7@ C ELx C m$����EJ>N<y> b =�> X 1�b � Y C m��Ld(K1Y"5 >�=':�K1<�d(A1EJ>��?KBdF>R='>� ,�C @1KL>[=': dFE+='> ,�!/*-, F C5� b <7@N< *IHKJ � ������� /D� � 0�� � � : � � 4 0 ! � : �B��� != b < h EJK1@ C <7@->N@n='ABdFlEJ@ � E'l�=H8J4%#S/ � 2��@& �- N�?/Hd C _�AB=': dV=�> C d9�B<7d-> b <MlEJ:�:�E � C A1_WmOEJABx C > C EJA �

� � , � � � lEJ@�� ,;� � ,�� �3^�����( �> b =�> C d*CJ,�� C dD> b < b C _ b <7dF>-l@V<WASK1<7ABm5I!EGm7m5K1@V@ C A1_ C A�> b <3d C _�AB=': V ��< � �����<B��������)( !.! 1-='ARIJEJK[d b E � > b =�>vlEJ@`= @B=JABx A : C � C >V<7x[d C _�AB=':�C�IJE�K b = >�< � F � , � � � � , � lEJ@`=':�:�>�=':�K1<7dE'l+,�C ��� � ��� � � �"!$# �%! ,MF # � , � !8�HG C AS> � >�<O@ C lIM> b =�>$> b < C AS>N<O_�@V='> C EJA(: C � C >Vd P�� >NE ! � mO='A @#<-@V<OY1: =JmO<7x@GI PQ,UF E � >VE !0,MF E �WC A�<BA�K#=�> C EJA �"^������ � C#=JABx�d b E � > b =�>�> b <XYB@NE<@1:{< �gI�EJK C xL<OAS> C �B<�x C A+< % <O@nm C dF< � � �C d)A1E � = >�E C xL<7x � �����<B��������)( !"7 1UEJABmO:{KBx1<D> b ='>elE�@U=?@B=JABx A : C � C >V<7xWd C _�AB=':+� C > b �W= % C �XK�� l@N<BASK1<OABmOI ,�� C�> b < h E�K1@ C <7@>N@n='A#d?lE�@�� m7='A�@#<(m7=': m5K1: =�>V<7x!l@NE<�p> b <?�R<�=JdNK1@V<*�[<OAS>Vd

� � , � � ` '�) � O 'V � *J4 F � L O :21 ))e b �3^�����& �

Y1@VE > C xL<�x , F # � ,�� ���HG C A�> � m5E<� @ C A1<M<WASKB='> C EJABd��"^���� � � =JABx!> b <3Y1@V<*> C EJKBd)< % <O@nm C dF<<� ����� - 3 s54('�)+*��8��!U� ��� 4 *��54>�1t,)= b <(dV=)�[Y1: C AB_Z@n=�>V< � , � C5� b <7@N< , � C d-> b < b C _ b <�d?>)l@V<WASK1<OA#m5I C A�= @#='ABx A : C � C >N<7xHd C _�AB=':�C C d �SABE �DA�=�d> b < � TSR�����$P -7Q�E�2R��=��#G1 T �

����<B��������)( !���3&% Y1: = C A�� b Io> b <-��I$ASK C d?> l@N<BASK1<OABmOI C d > b < C xL<�=':GdN=$�RYB: C A1_Dl@V<WASK1<7ABm5I<� �MG C AS> � m5E�ABd C xL<7@> b <(xL@V= � @#=Jm��WE'l�dN=$�[Y1: C A1_W=�> � �XKBm b � :�E �-<O@�='A#x b C _ b <O@D@n=�>N<�d*� �����<B��������)( !J= 1-='A[IJE�KRxL<7@ C >J<U> b <DlEJ:�:{E � C A1_olEJ@ �XK1: =�! 7 >`< % YB@N<�dNdN<7d > b <DEJ@ C _ C AB=J:1d C _JA#=': V �3< � C AR>V<O@ �[dE'l�EJAB:{IW> b <?�[<7=�dFK1@V<7x7>�=':�K1<7d�dV=)�[Y1:�<7x�=�> < � *$4 F �H*IH J � �

V �3< � � ` '�) � O 'V �H*J4 F � d C A ���3<�P *J4 F � , F E � ��3< PZ*J4GF � ,UF E � �3^���� � �

� b <7@N< ,MF # � , � ���MG C AS> � m5E$� @ C A1<3<WASKB='> C EJABd%�3^ � # � ='ABx �3^ � �.& � C1='ABx\KBdN<(d C A 80� �ML 6 P L3O 6 � E � � � � � �

Page 106: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

# ^ ��� �<����� ��� � � � � ��� �� �<����� ��� ��� � � � �<��� � ���� ��� ��� ����

Page 107: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

�� � ��� � � � � � � � � ��������� � ����� � ��� ������ ��� ������� �����

��� � 0 �$�O�R!�43��� � ��sj� 4�t>� � � �#�(B� �$.4#� � )C`EJK m5EJA#d C xL<O@!> b <]='AB=J:{ILd C dyE'lX=�x1='>V= dF<O>�m5E�ABd C dF> C A1_�EJl�� E$@BdN<O@ >�=�> C EJA#d*C � b <7@N<+<�=Jm b E<@BdN<O@ > ='> C EJAm5E�ABd C dF>VdoE'lU=8�Y�E�dVd C @1:�I >J<7@NIH: ='@V_J< � AGK�� @�<O@ ��E'lUE$@BdN<O@ >�=�> C EJA#d*� C`EJK8� C d b >VE\x C dNmOE >J<7@�> b <[dF>N@VKBm5>NK1@V<E'l�IJE�K1@Dx1=�>n=[dF<O> � h E�@�d C �[Y1: C m C >?I �U<�@�<O_ C A � C > b � � � ( C AH=Z>?IGY C mO=J:~='Y1YB: C mO='> C EJA � C d �XKBm b : ='@V_J<O@/�

����<B��������)( ! � 1UEJABd C x1<O@)> b <MlEJ:�:{E � C A1_[dF<O>�E'l�� � &ZE$@BdN<O@ >�=�> C EJA#d �% � ��� � � � � ��� ( � � �&���*� � � � # � & � � �&�� � � & �

/D<7Y1@N<�dF<7AS>-> b <7dN<(x1='>V= C A�= $D1n4� ' N�)� 6 2��� �CG> b ='> C d CB=JdD=[dN<5>�EJl Y�E C A�>nd� C > b m5EGEJ@nx C AB=�>V<7do% � V : �F� : � & �: � � �����<B��������)( !�(ih EJ@[> b <+x1='>V=jdF<O>WE'l9> b <�Y1@V<*> C EJKBdR< % <7@Vm C dN<$C-mO=J:�mOK1:�='>N< V � � O � _"!: � � V : =JABx � �� O � _#!: � � � : �

����<B��������)( !,f .�<5> V%$ � V : P V =JABxy� $ � � : P � � � @n= � =[dVmO=�>N>N<7@NY1:�E'>)E'l > b <3x1='>V=RdF<O>M% � V%$ : �F� $: � &&�: � � �����<B��������)( !�% � b E �;> b =�> V $ � � O � _ !: � � V�$ : � �[=JABx � $ � � O � _ !: � � � $: � ���

�� V 3 s54Z: 4G��� ��0 4 �8� �"��� � � � ���;:= b <W: =JdF>3> �UE�< % <O@nm C dF<�d3d b E � > b ='>Z=HdFK C >n=)@1:�<W>N@n='A#dF: =�> C E�A]m7='A @1@ C A1_�> b <!x1='>V= C Aj=�lE�@�� � b <O@V<[> b <m5EGE�@Vx C AB='>N<+= >J<7@V=J_J<�dR=J@N<��7<O@VE �1= b C d C d!m7=':�:{<�xc> b <&C�O4%# � /���?�|4� "�Q�%# 7"�%�'&�� 1-=': m5KB:�='> C EJABd C A >JE�: > C A1_>�='@ C =JABm5<�d(='@V<W<7=�d C <O@ � b <OAj> b <\= >�<O@n='_�<7d3='@V<W�O<7@NE ( �U<\d b =J:{:-=': �-= ILd(=�dNdNK��[< �[<7=JABd&AuxL< > C =�> C E�A]lEJ@ �3C='A#x\xL@VEJY\> b <(dFK1Y�<O@ndVm5@ C YL> � '�5L>VEW= >JE C xyKBA1A1<7mO<7dVdN=J@ C :�Iym5:�KL>F>V<O@V<7x�A1E'>n=�> C E�A �

����<B��������)( ! � 1UEJABd C x1<O@�> b <DY1:{EJ>vIJEJK[xL@V<�� lEJ@v< % <7@Vm C dN< � � ��� 1-=JAZI�EJK��[='>Vm b > b <)lE�:{:�E � C A1_MASK � @�<O@nd>NE[Y�E C AS>Vd C AHIJEJKB@-YB:{EJ> !��� �� �WP �

� � ��� P?���

��rq � � :<�8!U� � � � �54G�#� 0 �$�O�R! 4��U!= b <MY1@V<*> C EJKBd-< % <7@Vm C dN<odNK1_J_�<7dF>VdU> b =�>�x1=�>n= C AH=(> �-E)Aux C �[<OABd C E�AB=':wx1='>V=[dF<O>�mO='A@#<9>V@N<�=�>N<�x\=�d�(N=':��[E�dF>EJAB<�Aux C �[<7ABd C EJA#=':*) � b <OAH> b <Xx1=�>n=ym5:�EJK#x C d+(N<O:�EJA1_S=�>V<7x�)[=Jd��RESd?>oE'l�> b < > =J@ C =�> C E�AHEGm7m5K1@nd C A�EJA1<3Y#='@�A> C m5KB:�=J@)x C @V<7m5> C EJA �> b <M< % =$�RYB:{<9E'l~< % <O@nm C dF< � ��&(='A!< % >N@V<*�[<9m7=JdN<�� b <7@N< ��' ' > =J@ C =�> C E�A � C > b C A!> b <3x1=�>n=dN<5> C dD=':�EJA1_[=Wd?>V@V= C _ b >-: C AB< � �����<B��������)( 7#" 1UEJABd C x1<O@)> b <(x1=�>n=X>V@V=JABdFlEJ@ �[='> C EJA,.-V -��/ � , m5ESd�0 d C A10P�d C A10 m5ESd�02/ � , V ��/ � # � � �g <O@ C lIy> b =�>D> b C d C d�=R@NEJ>V='> C EJA �

����<B��������)( 7 ! h EJ@)> b <M>N@n='A#d?lE�@��W=�> C E�A!_ C >�<OA3@SI!<WASKB=�> C E�A � # ��� � C�>J<7@ C lI[> b ='>-V � � O � !�

: � �-V : � � =JABx -� � � O � !�

: � �-� : � �

��=�dNdNK�� C A1_ �R<�='ABd!AuxL<*> C =�> C EJA!lEJ@ ��C C � <$� _ !: � � V : � �[='A#x _ !: � � � : � � � �

#<#

Page 108: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� � � ��� ��� ����� � � � � � � � � � ���S� � � � ��� � � � � ����� ��� � � � ���� ����<B��������)( 7 7 h EJ@9> b <R>N@n='ABdFlEJ@ �W=�> C EJADC <WASKB=�> C E�A � # ��� � C >�<O@ C lIH> b =�>M> b < >�='@ C =JABm5<ZE'l -V : C d9_ C >�<OA @GI��P � O � _ !: � � -V �: ( �D@ C >N<�xLE �DA;d C � C : ='@WlE�@��ZK1:� lE�@W> b < > =J@ C ='A#m5<�E'l -� : ='ABxc> b <�mOE > =J@ C ='A#m5<HE'l -V :� C > b -� : �

����<B��������)( 7 �87 AWIJEJKB@`dNm7=�>F>V<O@VY1:�E'>`E'l < % <7@Vm C dN< � � � CJx1@V= � C Ay= % <�d -V =JABx -�RdNEM> b =�>`> b <�>�='@ C =JABm5<D=J:{E�A1_> b < -V Au= % C d C d �W= % C �W=J:�='ABx!> b <�>�='@ C ='ABmO<9=J:{E�A1_X> b < -�<A = % C d C d � C A C �[=J: ��� b E �;> b =�>)> b <3@NEJ>V=�> C E�A\=JA1_J:�<> b <OA�dN='> C d �#<7d->V=JA 0 � �� ( =': dNE[d b E � > b =�> -V -� � ��P � O � _ !: � � -V : -� : � ���

�� � 4G��� ��0 4 �8� �"��� � � �S�Y: 4>�54B�u� �.�<O>oKBd9='YBY1:{I�> b C d C xL<7=\='AGI � A x C �[<OA#d C EJAB=J:~x1='>V=!mO:{E�KBxj%)� V : �F� : � & !: � � � h C @VdF> CwI�EJK �W=6��<XdFKB@N<3> b =�>9> b <x1='>V=W='@V< C A �R<�='A�AuxL< > C =�> C E�A!lE�@���� = b <OA�I�EJKH@VE'>V='>N<9> b <X= % C d�=Jm7m5EJ@nx C A1_R>NEy<BASKB=�> C E�A � # ��� �E( > b <Xx1=�>n=m5:�EJK#x C dDxL<7dVm5@ C @#<�x @GIyA1< � m5EGE�@Vx C AB='>N<7d.% � -V : � -� : � & !: � � ��C`EJK�A1E �;AB<O<7x!>NE�BA#xy> b <3@NEJ>V='> C EJA\=JA1_J:�<o> b ='>�W= % C � C �O<�d-> b <?>�=J@ C ='ABmO< -V � ='A#x7� C A C � C �O<�d -� � �����<B��������)( 7+= 1UEJA��B@ �p> b =�>�I�EJK3�XKBdF>.dFE�: >�<.> b <3<WASKB='> C EJA

0 -V � � �lEJ@)> b <(='AB_J:�< 0 � � C Q <O@V<OAS> C =�>V<M>NE[E$@L>n= C A _"!: � � -V : -� : � ��� 1-=JA\I�EJK4�BABx\> b <MlE�:{:�E � C A1_RlEJ@ �XK1: =�!

>V=JA � 0 � � V �V � P � � � � # � � �

����<B��������)( 7�� h EJ@X> b <�dFY�<7m C =J:-m7=JdN< � b <7@N<y� : � * V : C-� � � � ����� � � C � b <7@N<<* C dR=+m5E�ABdF>V='AS>/C�d b E �> b =�>X> b <\=JA1_J:�<W> b =�>��[= % C � C �O<7d -V � C dZ_ C >J<7A @SI >V=JA 0 � * � 1-=JA IJE�K >J<O@ C lI�> b =�>Z> b C dZ=J_J@V<O<�d�� C > b<WASKB='> C EJA � # � � � !

��.- � ��� � � :��$����� � � �;� tBsj��� 0 �S��� � � :��"��� � � � � � ��t3� � � 0 � �B�"� 43!= b <WY�E C AS>(E'l)@NEJ>V=�> C AB_\> b <y= % <�d*C~=�d3Y�<O@3<WASKB='> C EJA � # � � � C C dM> b =�> C A]> b <WAB<��}m5EGEJ@nx C AB=�>V<7d�� -V � -� � C > b <�B@nd?>)m5EGEJ@nx C AB=�>V< -V m5EJAS>n= C ABd (��[EJ@V< C A1lEJ@ �[='> C EJA�)3> b =JAy> b <odN<7m5E�ABxymOESE�@Vx C AB='>N< -� � C A!l�=Jm�>/CS> b <9@NEJ>V='> C EJA='AB_J:�< C dZm b ESdF<7A dNE =JdX>NE @N<7ABxL<7@X> b <�x C Q <O@V<OABmO< C A C ALlEJ@ �W=�> C >�<OA1<�dNd C d[=JdZY1@VEJA1E�K1ABmO<7x =JdZY�E�dVd C @1:�< � �= b KBdM=3� C A C �XK�� E'l C ALlE�@��W=�> C E�A C dM:{ESd?> C lUIJE�K�E�A1:{I�@N<7Y#E�@F>9> b <�B@ndF>MmOESE�@Vx C AB='>N<0��m5l&��< % <O@nm C dN< � � # � �� l-mOEJK1@ndN<$Cw> b C d3dF>N@n=�>V<O_JIHEJl*/S4, ^4C�)�?/���1P "�Q�%# E�A1:�I�@N<�=':�:{I+mOE$�[<7d C A�>VE C >VdME �DA � b <7A�<7=�m b E<@BdN<O@ > ='> C EJAm5E�ABd C dF>Vd)EJl �W='AGI$C C ABdF>N<�=Jx\E'l �?K#d?>D> �-E CLAGK�� @#<7@Vd � C`EJK�mO=JA!lELm5K#d)EJA\> b <��B@ndF>-l< �imOEGEJ@nx C A#=�>N<�dU='l|>N<7@�=>N@n='A#d?lE�@��W=�> C E�AX> b =�>-<OABdNK1@V<7d�> b =�>U> b < �B@VdF>UmOESE�@Vx C AB='>N< C d (��RESd?> C ALlE�@��W='> C >J< ) C�> b <odN<7m5E�ABx[m5EGEJ@nx C AB=�>V<(FE�A1<�A @1KL>�A��[ESd?> C ALlE�@��W='> C >J< )!='ABx dFE\EJA � = b <X>N@n='ABdFlEJ@ �W=�> C E�A+< Q <7m5> C >J<O:�IH:{E �-<O@ndD> b <Wx C �R<7ABd C E�AB=': C >?IE'l�IJE�K1@Dx1=�>n=�C�� C A C � C � C A1_[> b <3:{ESdNd)EJl$x1='>V= C A >�EJ:�>J<7x C A�xL@VEJYBY C AB_Z> b <M>N@n= C : C A1_Wx C �[<OABd C EJABd �

= b KBd C > b <)x1=�>n=odN<5>`mOEJABd C dF>Vd E'l � E$@#dF<7@�>�=�> C E�ABde% � � ��� � � ! & � b <O@V<e<�=Jm b E<@BdN<O@ > ='> C EJA � /S4� 4 6 �?��#� � : C d.=JA�� A x C �[<OABd C EJAB=J: >J<�m�>NE�@ � C AH> b <3lEJ@V<O_�E C A1_[IJEJK b =�x�� � � � � = b <M>N@n='ABdFlEJ@ �W=�> C EJA C d - � � � � b <7@N< � C dD=JA ��� � �W=�>V@ C % ��= b <oE<@��?<7m5> C >J< C d->VE �#ABxy> b < � > b ='>)@V<7x C dF>N@ C @BKL>N<�d >�=J@ C ='ABmO<7d-=':�EJA1_Z> b <�|>V@V=JABdFlEJ@ �R<�x � m5EGEJ@nx C AB=�>V<9= % <7d C A\> b <?�[E�dF>D< % >N@V<*�[<��)= IWY#ESdNd C @B:{<<�

����<B��������)( 7 (�� @ C >V<oxLE �DA � lEJ@ � � � ='A#x >J<O@ C lIX> b =�> C >)dN='> C d �B<�d � � � e ��� � b <O@V< � C d`> b <������C xL<OAS> C >?I7�W='>N@ C % ��MG C AS> � dF<7<9<BASKB=�> C E�A � # ��� �)( > b <(dNK1Y#<7@VdVm5@ C YL> � =�5 C ABx C mO='>N<�d �W=�>N@ C % >N@n='ABdNY�E�d C > C E�A � �

��54 � �"!�4<�2������� ���.4�� � )= b <(mOEJABx C > C EJA � � � e ��� _�<OA1<7@V=J:{:�I b EJ: x1d)lE�@�=R@NEJ>V=�> C E�A C A��]x C �[<OABd C EJABd �����<B�� �"!#�)( 7Af 1-='A�IJEJK�< % Y1: = C A � b I!> b C d C dDdFE !

Page 109: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� ����� �� � ����� � ������� ������������ � �� ��&� � � ����� � � �

�� � ��4>�54����� ��$�S�,: �U� s8� :$s54�� � � : 4+�"! � � �"!7 A�< % <O@nm C dF< � � �XI�EJK�d b E �-<7xy> b ='>)> b <(mOE > =J@ C ='A#m5< C d��O<7@NEZlEJ@)> b <3xL<7d C @V<7x!>N@n='A#d?lE�@��W=�> C E�A ��= b C d C d)EJKB@m5:�K1<MlE�@)> b <3_�<OA1<7@V=J: C �7='> C EJA �

����<B�� �"!#�)( 7 % .�<5>-> b <9x1='>V=XY#E C AS>Vd : @#<o> b <9mOEJ:�K��[ABd-E'l~='A�� � � �W=�>N@ C % � b C m b I�EJK!m7=':�:�> b <�/S4� 4&y4� "�'����� � 1UEJABd C x������ b � 1)� ���%������#S1)�?�������! %" � � �#� e � # � � �

�%$'& >(�)�� �*,+-��.'�����, � 0/�1 � 21�/3*,4(�5�(6�6879�( ��;: � � �=< �)( �, > � 5/?1@ �:A7���4B7'4B�C�! �4B$9�%6D��4E��.���F�4 >G�(�� ��%$'F��04(*H��.9��=��.I��6>��JK��$L��4%*D��.��5&��%�!�@7'4B �$L�!: �� ���.E��.9��<(�!.E�)6��)JM�)$L��4(*D�!.��5&����;�N7O4( >$L�!: ( �, > � � 5/�/8 �:�7��!4(7O4(���� >4($9�(69�!4��.9�?>G�(�� ��%$'F��P4%*Q��.����=��.-�)6��)JM�)$L��4(*R�!.��0&��%�!�M7'4B �$L�;:�S

����<B�� �"!#�)( 7 � g ���! T*,+I��.'��� �!.��0�!�!�($9:C*,4(�!JM�#&U&����;��J����!�� % �: � �G�V�%$'&U:C.�4 �W�!.9���2��.��N���;�%$9:C*,4(�!JK�)&F�4 >��(�� ��%$9F��2J��%���! % �:�X( �>(�)$@Y+

� � ��� � � � � �)� � e � � � " � � e ��MG �$L� � F�4BJM7'�%�!�E�!.��U6>��*Z�[�!���!J\��4]�BAB^'���� >4($ �`_9S � � C��%$9&a^9:��UJ����!�� % �%6>X(� @��;�b�!^�6>�):M��4]�#:c�;�)@�6> �:C.a��.9��WAL^9�(6� ��c+(S �����<B�� �"!#�)( �Od g ���! T*,+e��.9�%����.��0F�4($9&f ��� >4($ � � � e ��� >JK7�6� >�): � e � � O � S����<B�� �"!#�)( � ! g ���! T*,+e��.9�%����.��0F�4($9&f ��� >4($I4%*8���)��4KF�4 >��(�� ��%$9F��):3 �$I�!.��A���;�%$9:C*,4(�!JK�)&IF�4Y4(�;&f >$9���!�):�6>�)�(&9:��4M�!.��5�WAL^9�%�� >4($

� � " � � O � �hg �`_9S ( ���.��)��� g �:���&f ��%X(4B$9�%6iJ����!�� % S����<B�� �"!#�)( �87hg ���! T*,+E��.9�%�j�WAL^9�%�� >4($ �`_9S ( � 6��#�(&�:��!4K��.��0*,4(6>6�4 �� >$�X /��Z�Gk,�?#'�%l@�>m#�, 3���?#e4(*R�!.��NF�4 >G�(�� ��%$'F��J����!�� % " �

" ��� O � � g � � � �`_9S & �����<B�� �"!#�)( ��� g ���! T*,+A�!.9���/C� T*��!.����!��� % >:C�!:Q�jJ��%���! % g :C^'F;.0��.'���R�BAL^9���! �4B$ �`_9S ( � �:R:!���! >:9�9�#& C� T�Q*,4(6>6>4 �j:��.'��� " � " e S��HGj >$B� � ^9:��A�WAL^9���! �4B$ ��_�S & � S � �� � n �?�,:8� �9��� ��B�$����� �.o >$��#�%�8�%6>X(��p9�!�j����6>6�:8^9:R��.9�%�Q�!.����!��� % >:C�!:8�2J������! % g :C^9F;.N��.9�%�Q�BAL^9���! �4B$Eq`_9S ( � �:r:!���� �:9�9�)&N Q "tsW" e SCu4(^-�%6>�!�)�(&�+��):C�!�%p96� �:C.9�)&e��.� �:�6>�B:c��*`�BFv�j >$E� % �)�!F� >:�� � � ^9wf:C >$9F�� "tsW" e �: �c^9:c� �($�4%�!.���� ���G+�4%*r:��G+Y >$�X��.'���7 /?1 s 1�/ *,4B� �%6>6x79�% >�;:Pq � �=< � S����By�� �"!#�)( �>= 1��%$N+B4(^M:C.�4 �z��.9�%�R�!.���*,4(6>6�4 �� >$�XP >:8�P:C4B6�^f�! �4B$N4(*9��.9��&� >�(X(4($'�%6> ��#���� >4($5�BAL^9���! �4B$Eq`_9S & � !.o��� g pO�e�{&� >�(X(4($'�%6rJ����!�� % �� ���.|�!.��e�) �XB��$Y}��%6>^��):0~ � � ��� � �!~ � 4%*���.9�eF�4�}��%�! ��%$9F��@J����!�� % " 4($|��.9�&f ��%XB4($9�(6�w�:�4j��.'���u~ � # ~ � # ��� � # ~ � w%�($9&06>���Q��.9�3�!4 �j:D4(* � p'�3��.���F�4B���!�):�7O4($9&f >$�Xj^9$� T�8�� >X(�)$Y}(�)F���4B�!:)SqMG �$L�#�j T*u�� >:P�%$b�� >X(��$Y}B�)Fv�!4(�#w9�#:c�;�%p�6> >:�.U�!.9��� " �#� s ~�� ��.����!�M~b �:j�!.��MF�4(�!���#:C7O4($'&f �$9X��� >X(��$Y}��%6>^�� (�9�;:c�u:�.�4 �]�!.9��� � �Z�U >:r�A:C�!�($9&��%�;&0p'�(:� >:Q}(�#Fv�!4(� ( ��.��)$MF;.9�)F�����.9�%�8.'�%7�7O��$9: ��.9��$M��.� �:8 �:87����)JN^�6��� >7�6> ��#&�� ���. g S �

��� � �1�S���+��9���D�3� : � � �54>�$�U!� .��2^�$� ����) �XB��$Y}(�#Fv��4B�!:84(*x��.��AF�4�}��(�� ��%$9F���J������! % " �%�!� F��(6�6>�)&M�!.����S�'��#S1'���o�%lG1)�%&0���%#A��#� "$j4%*x��.9�P&��%�!�9S� .��U4B$��{F�4B���!�):�7'4B$9&f >$�X���.��-�!.��{6��%�!X(�):C�K�� >X(��$Y}��%6>^��U �:M��.��b�,��$P �����@#G1'���o��l�1E�?&0���%#A��#� ( �!.�� $)�21)�%#S/�����@#G1'���o��l71)�?&0�M�?#A�)#� H �:���.9�N^�$� �� �) �XB��$Y}(�#Fv��4B�jF�4B���!�):�7'4B$9&f >$�XK��4K�!.��@:��)F�4($9&I6��%�!X(�#:c�j�) �XB��$Y}��%6>^��54%* " w�%$'&E:�4K4($oS

Page 110: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� � � ����� ��� ��� � ��� � ���� � �L���S� � � � ��� � � � � ����� ��� � � ��� �� ����By�� �"!#�)( ��� �j4 � ��.'����+(4(^e.9�G}(� F;.'�%�;�(Fv�!���! ��)�)&@��.9�2J����!�� % � wfF�4B$9:� >&f�)���(XB�( �$K�!.�� �!�!�($9:C*,4(�!JK�%�� >4($- / s ��� / S g ���! T*,+e��.9�%� -V ��� / s�� � V ��� / ! � � V � � /�! ����� ! � � V � � /��.��)��� � � ����� � � � � �(���2��.9�5��6>��JK��$L�!:j4%*D�!.����9�;:c��7��! >$9F� >79�%6RF�4(JK7O4($��)$L�)S����By�� �"!#�)( ��(�� 4($9:� >&�����4($'F��5JK4(�!�P��.��N:�7O�)F� ��%6RF��(:����.����!��� s � �($9& V � � / s * V ��� /�S �Y.�4 �h��.9�%�j��.9�F�4�}��(�� ��%$9F��2J��%���! % �:�X( >}(�)$EpY+��!.��A*,4(6>6>4 �� �$�XK� % 79���#:�:� �4B$o�

"ts , � ** * � / !�/ � � V

���� / �

����By�� �"!#�)( ��f�� 4($L�� >$Y^� �$9XN�!.��57��!��}Y �4B^9:�� % ���;F� �:��(wf:C.94 � ��.9�%����.��5�) �XB��$Y}��%6>^��):34%*R��.��0F�4�}G�(�� ��%$'F�� J��)A���! % �%�!�0~ s q � !/*���_�!/ � � V � ��� / �%$9&-~ s�� w��� ���.UF�4B���!�):�7O4($9&f >$�XM^�$� ��j�� >X(�)$L}B�)F���4(�;:

, � E q � ! * � �* E q � !/* � � / �%$9& , * � E q � ! * � �P0* E q � !/* � �+/ �

Gj�)$9F��@&f�)&f^'F��5�!.9��� - / s�� V ��� / �! e wOF�4($��'��JK >$�X�+(4B^����)�(��6> ��)� �9$9&� �$�X[��.9�%� �$-�!.� �: :�7'�#F� ��%6RF)�(:��(w9�(6�6 >$f*,4(�!J����� >4($I �:�F�4($L�;�% >$��)&E �$I�!.����9�;:c���!�!�($9:c*,4B��JK�#&eF�4Y4B�!&f >$9�%���(S

��#"�� $&%(' !���� ')' ��� � �* ��$9���;�%6>6�+Bw(�!.����!�+�� >6�6ipO�P:�4(JK�Mq,p�^f��6>�):!:3�($9&[6>�):!:,�u �$�*,4(�!JK�%�� >4($eF�4($L�!�( �$9�)&K >$E:�^�p9:��WAL^���$L�3���;�%$9:C*,4(�!JK�)&F�4Y4B�!&f >$9�%���):)S � �.-Y$�4 �t�!.9���M��.9�E�!�!�($9:C*,4(�!JM�#&zF�4�}��(�� ��%$9F��[J����!�� % �/� " � � O � >:K&f ��%XB4($9�(6Pq`�WAL^9�)A�� >4($ q`_�S 0)�1�vS � ��-Y >$�X-��.9�[���;�(F�� � �($9&z&f >}Y >&� �$�Xb�)�(F;.]�)6��)JK��$L�@4(*���.��e���;�%$9:C*,4(�!JK�)&|F�4�}��%�! ��%$9F���JK�%���! %pY+-��.� �:2���;�(F��(w2�3�M4(p��!�% >$b�I:C�)�� >�):24%*H*,�!�BFv�� >4($':�wx�(&9&f �$9Xe^�7b��4I4($��Bw3��.� >F;.� �$'&f >F)���!�@.�4 � J@^9F;.b4(*u��.9�}��%�! >�($9F��A >$I��.��0&��%�!�M �:�F��%7���^��!�)&IpY+[�)�BF;.E4(*R�!.��0F�4BJK7'4B$���$L�!:)S54 p9�(��7�6�4(��4%*Q��.��#:C�A*,�;�(F��� >4($9:5q�:C4B�C�!�)&pY+e&f�#F��!�)�(:� >$�XM:� >���6�� �:�F��(6�6>�)&-� $D1'�E�D�3�ilQ�� CS����By�� �"!#�)( ��% �Y^�X(XB�):C�D��7��!4fF��)&�^����8�!4 &f�#F� �&f�u4($P�!.��H$Y^�J@p'�)�o4%*�&f >JK��$9:� �4B$9:Hq` �S �(S����;�% >6� >$�X F�4Y4(�;&f �$'�����#: >$E�!.��A���;�%$':c*,4B��JK�)&[*,�!�(JK�6�3��.'��� F��($EpO�0&f�!4(7�7O�)&oS

����By�� �"!#�)( ��� �Y^�7�7O4B:��N�!.9���AJ / �+4 � % 7��!�):!:� �4B${6��)}(�)6>:2�%�!�NJK�)�B:C^��!�)&U*,4(�A�[}(�)��+-6��%�!X(� �87 $Y^�JNpO���4%*uXB��$��#:�wO >$�F��)6�6�:j^9$9&f���A�[}��(�� >���c+I4%*HF�4($9&f ��� >4($':�S �Y^�7�7O4B:��(wO*,^�����.��)��JK4B���Bw9�!.9���2��.��)���M�%�!� � �:9 �87(CJ��B:c�!���PX(��$9�): )&��.� �F;.b�!�):�7O4($9&b �$9&���7O��$9&f�)$L��6>+U��4E��.���F�4($9&f ��� >4($': �!4;��.� >F;.b��.���F���6>6>:A�%�!�K:C^�p+�c�)Fv�!�)&xw��.� >6��3��.9�3�!��J��% >$� >$�X �876P � � X(�)$��):Q�%�!�3:�6��G}(�):<��.�4B:��H� % 7����#:�:� >4($06>��}B��6�:R�(���u� % 7����#:�:� >p�6����(:Q�+���� >X(.L�!�)&:�^�J 4%*j�!.�� (�JK�B:c�!���@X(��$9� )U� % 79���#:�:� �4B$]6��)}(�)6>:Iq,�#�(F;. (�:�6��G}(� )-.'�G}L >$�Xb�b^�$� SAL^��I:����M4%* �87��3�) �XB.L�� >$�XF�4Y��=�F� ��)$L�!:��vS?>2 >:!F�^9:!:2.�4 � 7��! �$'F� >79�%68F�4BJM7O4($9��$L�A�($9�%6>+f:C �: F�4(^�6�&{pO�M^9:C�#&U�!4E �&f��$L�! T*,+-�!.��@$Y^�J@p'�)�A4%*J��(:C���)��X(��$9�):)S

����By�� �"!#�)(+=id�� 4($L�� >$Y^� �$9Xj��.9�H7��!��}Y >4(^9:R� % ���;F� �:��(wG&f >:!F�^':�:D��.����@=[F)�(F�+P4%*�79�� >$9F� >79�(6LF�4(JK7'4B$���$L�;:<��.��)$��.9� (�:�6>�G}B�2XB��$��#: )M&f��7O��$'&E4B$I��.��5J��(:C���)�!:��BF�F�4B�!&� �$�X@��4K$�4B$�A6� >$��)�(��*,^�$9F��� >4($9:)S

����By�� �"!#�)(+=BA �Y^�7�7O4B:��P��.9�%���!.��0&��%�!�MF�6>4(^9&IF�4B$9:C �:C�!:�4%*8�N$Y^�J@p'�)��4%*QF�6�^':c�!���;:34(*Q&��%�!�9w��� T�!.�4(^f�j�($L+F�4B���!��6����! �4B$C�� T�!.� �$e��.��#:C�PF�6>^9:C�����;:)S�>2 >:!F�^':�:D��.9���3��.��27��! �$9F� �7'�%6iF�4(JK7O4($��)$L�!:u4(*D:C^'F;.e�N&��%�!�0F�6�4B^9&E�� >6�6q,4B�F�� �6>6o$�4(���3�!��6>6o+(4B^E�%pO4(^�����.��0:C���!^9Fv�!^��!�P4(*R�!.��0&��%�!��S

GIH<J6KMLONQP :SRUT�VXWUYZW,[]\_^ `Z^ba3[ JcK a_dcYeT�V�[ JcK5f ^gW�h�T ¢ W�i K i K Y K ¢@[]aSj

Page 111: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� ���,� � ������� �� � ����� �#�c������������ *���������" � � �

��#"2" ��� � : ��:�� ��� ' � � % � �D� ��� �"!U� ' �1�S�,:� .��)$K��.���� A &f >JM�)$9:� �4B$9�%69&9���!�AF�6�4B^9&M >:u��.�4B^�X(.L�r��40F�4($9:� �:c�r4%*o�P$Y^�JNpO���H4%*o&����;�AF�6>^9:c�!���;:�wB+(4B^MF)�%$K^9:��J�� % >JN^�J 6> -B��6> �.�4Y4f&��#:c�! �J����! �4B$�� ��4@&������)��JK >$��2��.��26�4fF��%�� >4($e�($9&[:!F��(6��279�%�;�%JK���!���;:u4(*x��.��#:C�AF�6>^9:C�����;:)S����By�� �"!#�)(+=�7�� 4($9:� >&����R��.���F��B:C��� s � w �� ���.�� s � F�6>4(^9&9:�w%�($9&N�B:�:�^�JK�u�!.9���Q��.��#:C�3�I��42F�6>^9:C���)�!:Q�%�!�$�4B��J��%6>6>+@&f �:c�!�� >p�^f�!�)&xS��U4(�� >}��������!.���*,4B6�6>4 �� �$9X56�4BX)A6� O-(�)6� >.�4Y4f&0*,^�$'Fv�� >4($DwL�($9&K �$L�!���!7������r��.�� 79�%�;�%JK���!���;: � w"! � w�! � w�#$�� w9�%$9&%#$�� S

6>$& s !'/)( � 6>$ [ �# �+* �-, � % 7 [ P q V /�P.! � ���� # �� / ! � P �# � * �-, � % 7 [ P q V /�P.! � ���� # �� /0/ q`_9S � �

����By�� �"!#�)(+= �W� .��1�). �#:c�! �J����!4(�;:54%*���.9� �9}(��7'�%�;�%JK���!���;:A �$���.9�[7��!��}Y �4B^9:5� % �)�!F� >:����%�!�K*,4(^�$'&�pY+:� �J@^�6T�;�%$��)4(^9:�6>+e:C4B6�}Y >$�X@��.��A*,4B6�6>4 �� �$9XK:�+f:c�!��J-�2 6�$&2 � s � 2 6�$&23! � s�� 2j6>$&23! � s�� 2j6>$&23# � s � 226�$&24# � s�� �

3&% 7�6> �F� ��M��4(�,-[4B^f����.����9�;:C����.��!���A4%*Q��.9�):��(S ��#"�V 576 ���8�S�8� �,: � ' !U���S:I�"�U��� !� .��56��(:C��� % ���;F� �:C�A:�.�4 �j:���.9�%����.��8��.��#:c�! �J��%��4(�;:�.9�G}B� �!4�p'�54Bpf�!�( �$��#&e$Y^�JK�)�� �F��(6�6>+(S����By�� �"!#�)(+= = Gj4 � J��%$Y+U79�(�!�(JK�����)�!:P&f4-+(4B^{.9�G}B�N�!4E�#:c�! �J����!�K �$���.���F)�(:���� s � w$� s �:9 Gj4 �J��%$Y+�*,4B��X(��$9���;�%64�%9����By�� �"!#�)(+=,��� �%$I+(4(^-:�.�4 �h.�4 �h��.��8��.|�):C�� >JK�%���A4%*�� �:�*,4(^�$'&�9����By�� �"!#�)(+=�(�� �%$U+(4B^-X(��$9���;�%6> ��)�A��4;� # � 9 qMG �$L�)��F�4B$9:� >&f�)�Z��.�����.��)� +(4B^ ���($L����4[ >$9F�4B��7O4(�;���!�5�F�4B���!��6����! �4B$E:C���!^9Fv�!^��!�P >$-�)�BF;.e4%*8+(4B^���F�6>^9:C�����;:)S �

����By�� �"!#�)(+=Sf � .��0^9:��54%*8��.9�0$�4(�!J��%6D&� >:C���! �p9^f�� >4($- >$-��.��5*,4B���)X(4B �$�XM�;�(F� ���6>+-�(:!:C^�JK�#:���.9�%�j��.9�N&����;��%�!�A �$%<�=uS G 4 ����4(^�6�&e+B4(^-�(&��(7f����.��579��4fF��#&f^��!�2 �*8��.��0&9���!� (�6� >}(�&)N >$ J�=Lw�4(��>�=rw�4B� � � � � ="9 ��#"@? � ! ! � : �8�S�,: �o�"��� �8� � �$�U! �U����� �"!U� ' � !G �G}Y >$�XM*,4(^�$'&I�K$Y^�J@p'�)�j4%*rF�6>^9:C���)�!:)wf7�6>^9:�6>4YF)���! �4B$-�($9&I:�F)�%6>�579�%�;�%JK���!���;:3*,4(���)�BF;.-4%*D�!.��):��(w'+(4B^.�� >6�6���%$L����4BADCEC �GFIH� �$'&f �}Y �&f^9�(6D&����;�M7'4B �$L�!:��!4K��.��0F�6�^':c�!���;:�S����By�� �"!#�)(+=�% /����!^���$9 �$�X{��4-��.9�eF��B:C�J� s � wK� s � w8F�4B$9:C �&f�)�A��.��[6> O-(��6> >.�4Y4Y&��!.9���@&9���!�-7O4( >$L� V /pO��6>4($�XL:���4M��.����'�!:C� F�6>^9:C�����#�

�L # � * �-, � % 7 [ P q V /�P L! � ���� L# �� /��.��)����.9���;:E4B$ ��4B7h4(*@:C+YJ@p'4B6>:E �$'&f >F)���!�M�). �):C�� >J����!�):)S � �! T�!��&f4 ��$ ��:� �JK >6>�(�e*,4B��J@^�6��|*,4(�I��.9�6> -B��6> �.�4Y4f&@��.9�%�H&����;�P7'4B �$L� V / p'�)6�4B$�XB:8�!4A��.��j:��)F�4($9&MF�6>^9:C���)�)S � .���$E��4(^96>&@+(4B^M�B:�:� �XB$ V / ��40F�6�^':c�!��� � w�%$'&&��.��)$I��4[F�6>^9:C���)� � 9����By�� �"!#�)(+=4N87 $E�!.��57��!��}Y >4(^9:��POf�)�!F� >:��(w L � &f >&E$�4(� �9X(^��!�(S��U4(�� >}������A�!.� �:jF;.�4( �F��BSQSRUT K ¢�[ J T�dch J [ J ^ba ^ba WUa_[_\QW�^bh J [_V T�\WV W�\ fYX T[Z T ^bT�dca<WE\D\cib^^]SW,[_^bT ¢ T�V�[ JcK`_ba \c\]^�¢+]S^^\6i KPc [ JcK ]Iibdca_[ K \]^�¢chDib^ [ K \QW,[_dc\ K ]SW�ibiba[ J ^ba<[ JcK RedPf�R�g L P�L)hGiSj�k+P d h^k�h^l1P�L)hGiSj Y K [ J T f j

Page 112: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� � 0 ����� ��� ��� � ��� � ���� � �L���S� � � � ��� � � � � ����� ��� � � ��� �� ��#"�� � � ' �����M������� ' ��� �,:4j${�(6T�!���!$9���! �}B�57��!4YF��)&f^9���A �:���4[�B:�:� >X($I��.��.� &9���!�K7O4( >$L�!:2��� �;�%$9&�4(Jt�!4���.��0�I�34[F�6�^9:C���)�!:)w9�($9&I��.��)$F;.�4Y4B:��P7'4B �$L�!:)w�4B$��5���j�@�� >JM�0�($9&I���j�;�%$9&f4BJ-wY�($9&IJK4�}(�2��.��)J ��4M�!.��54%�!.����jF�6�^9:C���)�� T*Q��.9 >:j&��)F��!�)�B:C�#:��.9�A��4%�;�%6x}��%�! ��%p� >6� ��c+ �� ���.� >$-�)�BF;.IF�6�^9:C���)�j�%$9&��G4(�� >$9F��!�)�B:C�#:3��.��5}��%�! ��%p� >6� ��c+[pO���I�����)$IF�6�^9:C���)�!:)S����By�� �"!#�)(��'d �U4%�! �}����!�A��.��A*,4B6�6>4 �� >$�XN*,4B��J@^�6 � q � s � w@� s � ���

}��%�! ��%p� >6� ��c+ �� ���.� >$UF�6>^9:C�����;:)� '/������

q��'/�� ��� � � � ! '/������

q��'/�� ��� � � �}��%�! >�(p� �6> ��c+�p'���I�3�)��$UF�6>^9:C�����;:)� q � ��� � �2� � !hq � ��� � �2� � q`_9S�� �

��.��)��� ����� s q _ /���� � �O/]�! fq � "$# � �vw�% s � � � �($9& �| �:P��.��K4�}B���;�%6>6�q`X(�;�%$9&��2JK�)�($b4(*H��.9�[&����;��S8>2 �:�F�^9:�:X(�)$����;�%6> >�)���! �4B$9:H��4�.� >X(.��)�����($9& ��S����By�� �"!#�)(�� A > 4�+B4(^I�POf7'�#Fv���).]F�6�^9:C���)�� >$�X��%$'&&% AJK�)�($9:�F�6>^9:C�����! >$�XM��4KX( >}(�5:� �JK >6>�(�����#:C^�6��!:E9 ��#"(' ) � ' � ���� % � �Y���Q������� ' ��� �,:7 �A >:P:C4BJK���� >JK�):P&f�):� >�!�(p�6��0��4EF�4(6>6��#Fv�AF�6>^9:c�!���;: >$L��4Ep� �XBX(�)�2F�6>^9:C���)�!:)wx�%$9&-�!4EF�4(6>6��#Fv� �!.��):��N >${�!^��!${ �$L�!4p� >X(XB����F�6>^9:C�����;:)w��%$9&-:�4M4B$oS

����By�� �"!#�)(���*�� �%$a+(4(^��POY���)$9& �). F�6>^9:C�����! >$�Xb�!4|.� ��)�!�(�!F;.9 >F)�%6�F�6>^9:c�!���! �$9X 9 q�+ �$L�)�{:!�G+]+(4B^ .9�G}B�4(p��!�% >$��#& L� F�6�^9:C���)�!: ( ���)7�6>�BF��5�#�(F;.U4%*8�!.�4B:��NF�6>^9:C���)�!:+�� T�!.b�[&��%�!�[7O4( >$L�j��.'���2�!��79���#:C�)$B�;:���.9�@�G}(�)�!�(X(�4%*Q��.9�0F�6>^9:c�!���65 :�JK�)JNpO���;:��8+(4B^e�!.Y^9:�*,4(�!J �M$���� (�.� �XB.�����A4(�;&f��� )0&��%�!�KF�6>4(^9&oS � ��#"-, n ��������� ',�+6 �$� ' � ������� ' ��� �,:4j$94%��.9��� �(7�7��!4B�(F;.e��4K.� >���;�%�;F;.� �F��%6xF�6�^9:C���)�� >$�XK �:���4�XB��4B^�7I&9���!�M7O4( >$L�!:�p9�B:C�#&e4B$U:C4BJM�5&f �:C�!�%$'F��5JK�)�)A:�^����BS

����By�� �"!#�)(�.�/ /���}Y >��� ��.��57��!4(7O������ >�):�4(*R�!.�� A$�4(�!J &f �:c�;�%$9F��A*,4(��}��%�! >4(^9:�}��%6>^��):�4(* �� � /�� 1 � � s q _ =0 (2143 �O/ 0 �5�f1 0 3 6 �

1 � 687 q`_9S ^)�� �%$I+(4B^E� Of7�6>�( �$ ��.Y+&���A����9B^9 ��!� # � *,4(���!.� >:j$�4(�!Jt��4C��4(�,-"9����By�� �"!#�)(�.$:<; ^�7�7O4B:��A��.��54Bp��c�)F��!:��(���A:c�!�� >$�XL:�4%*r:C+YJNpO4(6�:!=�S � �%$I+(4B^I&f�)}Y >:��5�K$�4(�!J;9����By�� �"!#�)(�.�. /���}Y >��� �!.�� � �%& & �@#�kI/���$P =�%#G1)� ( F��($e+B4(^e:�.�4 � ��.'���� T��:��%�� �:?>'�):H��.��> 3������#fkBl��0��#A�?R��L��l ��- �T�9 ��#"-@ ACB ��� :x� B �-D��EF�� .��u79��4fF��#&f^��!�r >:o��42��&[��l�kY�%&[�, N�u4(p��c�#Fv�!:)w#�I�34j�%�R���� >JK�(wG >$N��:C���D4%*f4Bp��c�)F��!:2G[S � .9�u �$9 T�! >�(6(4(p+�c�)Fv�;:oF��($pO����.��2&����;�A7'4B �$L�!:)w(4B�8��.��2F�6>^9:c�!���H�G}B���;�%XB�):Q4(pf�;�% >$��)&@�!.���4B^�X(.J�).-4B�H% AJK�)�%$':rF�6>^9:c�!���! �$9X9SFI .���$K�I��44(p+�c�)Fv�;:j�%�!�0�%J��(6�XL�%J����!�)&xwY�!.���+-�%�!�5���)JK4�}(�)&e*,�!4(JJG �%$9&-�!��796>�BF��)&IpY+E� C � H�F�K � 4Bp��c�)F�� ���)7��!�):���$L�� >$�X��.9�579�% >�)S

����By�� �"!#�)(�. ( g ���! T*,+���.9�%� 3 G 3 >:N���#&f^9F��)&�pY+ � pY+|�%$]�%J��%6>XB�(J����� >4($DSL+j4 � J��%$Y+��%J��%6>XB�(JK�%�� >4($:C����7':�F��%$-pO�0&f4($9� ��.9��$I��.��5 >$� ��� ��%6o4Bp��c�)F��j:C���j.9�(: � ��6>��JK��$L�;:S9����By�� �"!#�)(�.Af � p9:C�)��}B�0�!.9���0�%$��%J��%6>XB�(J����� >4($U$9���)&�$�4(�P >$Y}(4(6>}(�@4(p��c�#Fv�;: *,�!4(J �!.��M �$� ��� ��%6u:���� ( 4($9�4(�5pO4%�!.]4%*���.��E�%J��%6>XB�(JK�%���#&{4(p+�c�)Fv�;:5J��G+bpO�K��.��e���#:C^�6��04%*��%$|�#�%�!6� >���0�(JK�(6�XL�%J����! �4B$�:C���)7oSL+ ��$9F��JK4%�! �}����!�A��.��0:C�!�%���)JM�)$L���!.9���j.9 ��)�!�(�!F;.� �F��(6xF�6>^9:c�!���! �$9X@*,4B��J�:��>#A�E$D �2/K1�lZ��$�$.�>�S1;�, 3���?#oSM H<J6K a K a�N6Y�Z�T�iba�YF^bh J [ V K ibi Z K ^�¢@[ K h K \]a c W�a ibT ¢ch&W�aON@T�dQP KSK \ ^�¢;YF^�¢ f [ J W,[ [ JcK N W�\ K T ¢ WA¢cT�YF^�¢ W�i�ae]SW�i K T�V

Y K W�a]dc\ K Y K ¢@[ c [ J W,[B^ba c W�\_^ [ J Y K [_^^] T[\ K \QW,[_^bT ¢caBW�\ K Y K W�¢c^�¢ch�i K a]aSj

Page 113: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

��� ��� � � � ���� ���� � � &

��#" n ��������� ' �4 :!:�4YF� >�%���#&&�� ���. G �:j�K:C����4%*r&f >:C�!�($9F��#:��(:!:C >X($9�)&e��4��%$Y+[79�( ���4(*Q&f �:C�� >$9Fv� �)6��)JK��$L�!:�4(*4G[S

����By�� �"!#�)(�. % ; .�4 ���!.9�����!.����!�5�%�!� 3 G 3 q 3 G 3 � � � ��@&f �:c�;�%$9F��):�pO���I�����)$-�(6�6x7'�% >�!:)S

��#"� $&%(' � B ��� :x� B �-D��EF� �!��� '� .��A�%&[��l�kY��&��, 3���?#>�P�(lQ�P �:H:� >JM796��B�8�(J��%6>XB�%J��%������.9� 79�( ��34%*x4(p��c�#Fv�;:r��.'���3.'�G}(����.9�2:�JK�(6�6>�):C�3&f �:C�!�%$'F��(S� .��N&� >:C�!�($9F��#:�4%*u�%6>6o4(��.��)�j4(p��c�#Fv�;:���4K�!.��NJK�)JNpO���;:�4%*8��.9�N�%J��%6>XB�(J������#&e7'�% >� �%�!�0&f��6>���!�)&xwO�%$9&-$9���&f �:c�;�%$9F��):3�%�!� �(:!:C >X($9�)&KpO���I������$K�!.�� $9��� 4(p+�c�)Fv�Aq,�!��7��!�):���$L�! �$�XA�!.��2�(J��%6>XB�%J��%���)&K7'�% >���r�($9&K�!.�� 4(��.��)�4(p+�c�)Fv�;:�S

����By�� �"!#�)(�.UN > �:�F�^9:!:A}G�(�� >4(^':A4(7f�! �4B$9:P��4U�(:!:� �XB${��.9�):���$���� &f �:c�;�%$9F��):)�Kq` �2�!.��[�%J��(6�XL�%J����!�)&{7'�% >� �:P�B:�:� >X($��#&-��.��K�G}(�)�!�(X(�0F�4L4B�!&� �$9�%���#:j4%*3 T�;:AJM�)JNpO���;:�wO*,�!4(J/��.� �F;.b&f �:C�!�%$'F��):A�(���MF��%6�F�^96>�%���)& ( q, > � ��.9�&f �:c�;�%$9F��{pO���I������$���.����%J��%6>XB�(JK�%���#&�7'�% >�E�%$'& �%$�4Bp��c�)F�� >:e��.9��:�JK�(6�6>�):C�e4(*5��.��b�I�34 &� >:C�!�($9F��#:��.� �F;.|��.��eJM�)JNpO���;:04(*��!.��[79�( ��N.9�(&��!4 q (C$9�)�%�!�):C�0$��) �XB.LpO4(^9�� ))� ( q` � > �5��.��E&f >:C�!�($9F��ep'���I�3�)��$|��.9��%J��(6�XL�%J����!�)&-79�( ��A�%$9&b�%${4Bp��c�)F�� �:2��.��M6>�(��XB�):C� 4%*r�!.��@�I�34I&f >:C�!�($9F��#:+��.9 >F;.U�!.��MJM�)JNpO���;: 4(*u��.9�79�( ���.9�B&[�!4 q (c*,^�����.9�):C�j$��� >X(.YpO4(^�� � ) ��S � �%$I+(4B^e�!.� �$�-e4%*Q4%�!.�����7O4B:!:C >p� >6� ��� >�):E9����By�� �"!#�)( (Od > �:�F�^9:!:j.�4 � +(4B^��j$��#:c�!�)&{F�6>�B:�:� >'F��%�� >4($U�(:!:C >X($':���.��@4(p��c�#Fv�;:j >$-��.��@ �$� ��� ��%6Q4(p+�c�)Fv�P:C�����4M�!.��A���)��JK >$9�%6o}B������ �F��#:34(*8�K "�)�P���%S >2 >:!F�^':�:j�(7�7�6> >F)���! �4B$9:�:C^'F;.I�B:u� 4 Tfl��#k,��#A�% 3�"1B "�)�P�)$)S �� V�� � ��� ���o�-D��EF�� 4(^C�� >6�69^9:C^'�%6>6�+0�!� 9L^� >�!��:�4(JK�� >$9&f �F����! �4B$K4%*O��.����!��6> >�(p� >6� ��c+04%*O��.9�����#:C^�6��!:84(*O+B4(^��r&��%�!�5F�6�4B^9&@�($9�%6>+f:C �:)S7 &f�#�%6>6�+Bw�+(4(^ ��4(^96>&56> O-(�u�!4 4Bpf�!�( �$N��.���:c�;���� �:C�� �F�:R4%*'�($0��$9:���J@p�6>�H4%*9&9���!�2F�6>4(^9&9:�w�4(*(��.� >F;.N��.��379�%���� �F�^96>�(�&��%�!�e:����2��.9�%�P+B4(^{.'�G}(�N�($9�%6>+f:C�#&- >: �c^9:C�A�(${ �$':c�;�%$L�� ����! �4B$oS�� $f*,4(����^9$9���!��6>+(wx:C^'F;.b�%${�)$9:���JNp96��@�POf >:C�!:4($96�+I�(:��@��.��)4(�!���! >F)�%6x �&f�)�(6� >�)�%�� >4($oS4+ 4 �3�)}(���#wY+(4B^-F)�%$-&f4K��.9� (C$�� OL�jpO�):C����.9 �$�X�� )C��.� �F;.- >:���4K4(pf�;�% >$(C}Y >�C�!^9�%6x >$9:C�!�($B�! >�%�� >4($9: )@4%*D�!.��5��$':C�)JNp�6>�5pY+O�)�E$!��&0�il@��#fk{�!.��54(�! >X( >$9�%6x&��%�!�K:C���)S����By�� �"!#�)( (<A � .����!�u�%�!�r}��%�! �4B^9:xJK���!.�4f&�:o4(*L4Bpf�!�( �$� >$�Xj}Y >�C�!^9�%6( �$9:C�!�($L�� ����� >4($':x4%*Y��.9�HF�6>4(^9&P�)$9:C�)JNp�6>�(S7 $������� -$D "�;�)������#fk{+(4B^[4(p��!�% >$-:��(JM796��#:34(*o��.9�A:!�%JK�P4(�! �XB �$'�%6i&����;�@:����j:� ��)� �VpL+E:��(JM796� >$�XK�����!�($9&f4(J*,�!4(J �!.��04B�� >X( >$9�%6uq`X( >}(�)$ ��&����;��:C���)w�p9^f����� !$#�� ��� K A�� ��� � H ! S 7 $ 1��)��$'$ �! �%l@�"/L�� "�Q�%#owY+(4B^-�B:�:� >X($I��6>��JK��$L�!:4%*r�!.��@&9���!�E:C���P�%�2�;�%$9&f4BJ �!4E��$Y^�J@p'�)�Mq �#" 9 � �j4%*uJ@^f��^9�(6�6>+-�PO�F�6>^9:� �}B�N:�^�p�A :C���!:)S � 4($L�!�!�B:c� �($9&F�4BJK79�%�!� �!.��):��A�I��4MJK����.�4f&�:� >$E�����!J�:�4%*R��.��) ��2�(&f}��%$L�;�%X(�#:��%$9&I&f �:��B&f}��%$L�!�(X(�):)S

����By�� �"!#�)( ( * +j4 � F��(${+(4B^{��$':C^��!�(w2��.��)${+(4B^{^9:��@F���4L:�:!A=}��(6� �&����! �4B$ow��!.9���A+(4B^{4(p��!�% >$%$ &����;�e:����!:4%*8� 9L^9�(6o:C >���D9����By�� �"!#�)( (�/ > �#:�F��� >p'� �$e&����!�( �6'.�4 � +(4B^E�34B^�6>&M4Bpf�!�( �$e&��):!F��! �7f�! �}B�j:c�;���! >:C�� �F�:u*,4(�H79�� >$9F� >79�(6'F�4BJK7'4$A$��)$B�H�($9�%6>+f:C �:)S3q�+ �$L�#��q` �u�%X(�!���)JK��$L�r4%*i7��� >$9F� �79�(6�F�4BJM7O4($9��$L�H�-Of�):)�RF�4($9:� �&f���8�!.�� �G}(�)�!�(X(��&f4%�u7��!4f&f^9F���� ���.��!.��2:!�%JK7�6>� �G}(�)�!�(X(� ( q, > �3�%XB���)��JK��$L�u4(*x���;�%$9:C*,4(�!J-�RF�4B$9:� >&f�)�r��.9�!1)���'&I1��Q�)#� M�)( ���'�Z�� "�Q�%#�*�4%*o�#�(F;.���;�%$':c*,4B��JK�)&E&����;�K7'4B �$L��4�}(�)����.��0:� �J@^�6������#&-:��(JM796��BS �

����By�� �"!#�)( (�: +j4 �/��4(^�6�& +(4B^ 9L^9�%$L�! T*,+ �%XB���)��JK��$L�e >$ ��:C >JN^96>�%���)&h:��(JM796���4%*NF�6>^9:C���)�!:E9 q�+j >$L�)�F�4B$9:� >&f�)��79�% >�,�� >:��P�(X(�!���)JM�)$L��4(*QpO�� >$�X[�(:!:� �XB$��)&[��4M��.��0:!�%JK�5F�6>^9:C���)�)Sb�

����By�� �"!#�)( ( . +j4 � ��4(^�6�&@+(4(^ 9B^'�%$L�� �*,+N�%XB���)��JK��$L�Q �$K�A:C >JN^�6����!�)&@:��(JM796���4%*'���!���):E9�q�+j >$L�)�8F�4B$9:C �&f�)�79�%��.-6��)$�X%�!.EpO���I�����)$I�I�34M���)��JK >$9�%6x4Bp��c�)F��!:)S �

+-, \/. h^j�0-1 R 1^h^j)2�P�0 R43c[ J ^ba ^ba<T ¢ K T�V�[ J T�a K65cK i f a V JcK \ K ¢ KSKIf i K a_a87_W�\]h�T ¢0\c\]T�ib^ V K \QW,[ K a1j9;: iba]THPn¢6T V�¢ W�aKg iSk f 1 R L R 1^h^j)2�P�0 R,j<=: [_\ KIK ^ba<WDh�\]WE\ J ^�¢0V J ^^] J W�¢NZ[ V3T T K \_[_^^] K aBW�\ K ]IT ¢8¢ K ] [ KIf Z�N WDd8¢6^?>�d K a_dD]�] K a_a]^bT ¢ T�V f ^ba_[_^�¢D] [ KIf h K a1j@ : iba]THPn¢6T V�¢ W�a3[ J6K f i i,NKk+PSj8A . i f L)hGiSj jB�H<J6K ]ST KDC ]I^ K ¢�[BT�V T W�\]^gW,[_^bT ¢FE ]�j T j GU^ba f6K!5 ¢ KIf W�a<[ JcK a [QW�¢ f W�\ ffcK T ^gW,[]^bT ¢ f ^ T ^ fcKIf ZN+[ JcK W T K \]W�h K j

Page 114: Mathematics FoR MultiDiscipliNaRy MasteRs A course through ...

� � � ����� ��� ��� � ��� � ���� � �L���S� � � � �����2��� � ����� �����, � ��� ������ V�" ����� B � B ����� ' � � % E2ED� ������� ' ��� �,: 4B���{�IOf �J@^�J .o O-(��6> >.�4Y4Y&�F�6�^':c�!���! �$�X'w(+B4(^[F��($e&f45�!.��j*,4B6�6>4 �� >$�X0 >$9:c�!�)�B&K4%*D:� �J@^�6>�%���#&�:��(JM796� >$�X9�Q �* 8 / �:24B$��N4(*u��.9�M7'�%�;�%JK���!���;:j >${��.9�@79�(�!�(JK�����)�2}B�)F���4(� 8 wo�%$9& L8 >:2��.9� �).��):C�� >J����!�(wi��.9��$��($b >$9&f� O{4%*:���$9:� T�! �}Y ��c+[ �:�X( >}(�)$EpY+��!.��5�POf7��!�):!:C >4($

8 �/ 24�x6>$&2 8 � 1 6 (��6 7

����By�� �"!#�)( (�(�3 Of7�6��% >$8��.Y+0�!.��j�%pO4�}(��*,4B��J@^�6>�P �:u�A:C^9 T�;�%p�6>��JK�)�(:�^��!��4%*i���)6� ��%p� >6> T�c+Bw(�%$9&K&f �:!F�^9:!:r.�4 �+(4B^.��4(^96>&�q,$Y^�JK���! �F��%6>6>+��3�)}G�(6�^'�����A ��)S