MATHEMATICAL MODELLING L I N K Tujuan Metode Ngwa Chitnis Gabung Hasil Simpulan Latar B RESMAWAN G 551 11 0021 Komisi Pembimbing Dr. Paian Sianturi Dr. Ir. Endar H Nugrahani, MS Bogor, 31 Juli 2013
Mathematical modelling for malaria
Jul 05, 2015
Malaria merupakan penyakit yang disebabkan oleh infeksi parasit dari genus Plasmodium, yang dapat menyerang manusia. Penyakit malaria menular melalui gigitan nyamuk, yang membunuh ribuan orang setiap tahunnya. Pada penelitian ini disajikan sebuah model dalam bentuk sistem persamaan diferensial biasa bagi penyebaran malaria pada populasi manusia dan nyamuk.
Pada model yang telah dirumuskan oleh Chitnis, populasi manusia dibagi menjadi empat subpopulasi, yaitu manusia rentan (susceptible), manusia terpapar (exposed), manusia terinfeksi (infected), dan manusia sembuh (recovered), sedangkan populasi nyamuk dibagi menjadi tiga subpopulasi, yaitu nyamuk rentan (susceptible), nyamuk terpapar (exposed), dan nyamuk terinfeksi (infected). Manusia rentan dapat terinfeksi saat digigit oleh nyamuk yang terinfeksi. Mereka kemudian berpindah ke kelas terpapar, infeksi, dan sembuh, sebelum kembali memasuki kelas rentan. Nyamuk rentan dapat terinfeksi ketika menggigit manusia terinfeksi atau manusia sembuh, dan mereka akan berpindah pada kelas terpapar dan terinfeksi. Model yang diusulkan dalam penelitian ini merupakan modifikasi dari model yang telah dirumuskan oleh Chitnis dengan menambahkan parameter laju pemulihan manusia dari subpopulasi terinfeksi ke subpopulasi rentan.
Model ini menunjukkan adanya endemik maupun tanpa penyakit di suatu daerah untuk nilai parameter tertentu. Hal ini dapat dilihat dari perhitungan titik tetap model. Perhitungan menunjukkan adanya dua titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit (disease-free equilibrium) yang terdiri dari sub-subpopulasi yang tidak mengandung parasit dalam tubuhnya dan titik tetap endemik (endemic equilibrium) yang terdiri dari sub-subpopulasi yang mengandung parasit dalam tubuhnya. Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan pada titik tetap dengan mempertimbangkan bilangan reproduksi dasar (R_0). Bilangan reproduksi dasar merupakan nilai harapan banyaknya infeksi tiap satuan waktu. Bilangan ini menjadi tolok ukur penularan penyakit dalam populasi. Jika R_0 < 1, maka rata-rata setiap individu terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu individu baru, sehingga penyakit tidak akan menyebar. Jika R_0 > 1, maka rata-rata setiap individu terinfeksi akan menghasilkan lebih dari satu individu baru terinfeksi, sehingga penyakit akan menyebar.
Hasil analisis dan simulasi numerik menunjukkan bahwa jumlah tiap subpopulasi manusia dan nyamuk mencapai kondisi stabil di sekitar titik tetap tanpa penyakit pada kondisi R0<1,>1. Simulasi juga menunjukkan adanya kontribusi parameter laju pemulihan manusia dari subpopulasi terinfeksi ke subpopulasi rentan terhadap perubahan nilai bilangan reproduksi dasar. Jika laju pemulihan manusia ditingkatkan, maka R0 akan semakin kecil. Dengan demikian, peningkatan nilai parameter ini dapat membantu menekan laju penularan penyakit dalam populasi.
Pada model yang telah dirumuskan oleh Chitnis, populasi manusia dibagi menjadi empat subpopulasi, yaitu manusia rentan (susceptible), manusia terpapar (exposed), manusia terinfeksi (infected), dan manusia sembuh (recovered), sedangkan populasi nyamuk dibagi menjadi tiga subpopulasi, yaitu nyamuk rentan (susceptible), nyamuk terpapar (exposed), dan nyamuk terinfeksi (infected). Manusia rentan dapat terinfeksi saat digigit oleh nyamuk yang terinfeksi. Mereka kemudian berpindah ke kelas terpapar, infeksi, dan sembuh, sebelum kembali memasuki kelas rentan. Nyamuk rentan dapat terinfeksi ketika menggigit manusia terinfeksi atau manusia sembuh, dan mereka akan berpindah pada kelas terpapar dan terinfeksi. Model yang diusulkan dalam penelitian ini merupakan modifikasi dari model yang telah dirumuskan oleh Chitnis dengan menambahkan parameter laju pemulihan manusia dari subpopulasi terinfeksi ke subpopulasi rentan.
Model ini menunjukkan adanya endemik maupun tanpa penyakit di suatu daerah untuk nilai parameter tertentu. Hal ini dapat dilihat dari perhitungan titik tetap model. Perhitungan menunjukkan adanya dua titik tetap, yaitu titik tetap tanpa penyakit (disease-free equilibrium) yang terdiri dari sub-subpopulasi yang tidak mengandung parasit dalam tubuhnya dan titik tetap endemik (endemic equilibrium) yang terdiri dari sub-subpopulasi yang mengandung parasit dalam tubuhnya. Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan pada titik tetap dengan mempertimbangkan bilangan reproduksi dasar (R_0). Bilangan reproduksi dasar merupakan nilai harapan banyaknya infeksi tiap satuan waktu. Bilangan ini menjadi tolok ukur penularan penyakit dalam populasi. Jika R_0 < 1, maka rata-rata setiap individu terinfeksi akan menginfeksi kurang dari satu individu baru, sehingga penyakit tidak akan menyebar. Jika R_0 > 1, maka rata-rata setiap individu terinfeksi akan menghasilkan lebih dari satu individu baru terinfeksi, sehingga penyakit akan menyebar.
Hasil analisis dan simulasi numerik menunjukkan bahwa jumlah tiap subpopulasi manusia dan nyamuk mencapai kondisi stabil di sekitar titik tetap tanpa penyakit pada kondisi R0<1,>1. Simulasi juga menunjukkan adanya kontribusi parameter laju pemulihan manusia dari subpopulasi terinfeksi ke subpopulasi rentan terhadap perubahan nilai bilangan reproduksi dasar. Jika laju pemulihan manusia ditingkatkan, maka R0 akan semakin kecil. Dengan demikian, peningkatan nilai parameter ini dapat membantu menekan laju penularan penyakit dalam populasi.
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
RESMAWAN G 551 11 0021
Komisi Pembimbing Dr. Paian Sianturi
Dr. Ir. Endar H Nugrahani, MS
Bogor, 31 Juli 2013
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Latar Belakang
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Sumber: Ditjen PP & PL
Latar Belakang
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Latar Belakang
1911 1957
2000 2005
R. Ross ⟹ Model Ross
MacDonald ⟹ Model Ross-MacDonald
Ngwa & Shu Chitnis
Model
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B Tujuan
Menentukan titik tetap dan analisis
kestabilan pada model SEIRS-SEI
Melakukan simulasi terhadap model untuk
melihat dinamika populasi manusia dan
nyamuk pada kondisi tanpa penyakit
dan endemik
Menunjukkan kontribusi laju pemulihan
manusia dari subpopulasi terinfeksi ke
subpopulasi rentan terhadap laju
penyebaran penyakit
Merekonstruksi model matematika
penyakit malaria
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B Metode
Merekonstruksi Model Penyakit Malaria
Menentukan Titik Tetap
Bilangan Reproduksi Dasar
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Simulasi Numerik
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
SPD
Diagram Kompartmen SEIRS-SEI Ngwa & Shu
2000
Keterangan : Perpindahan Individu
Pengaruh
𝜓𝑚
𝛿ℎ
𝑓ℎ(𝑁ℎ) 𝑓ℎ(𝑁ℎ)
𝑓𝑚(𝑁𝑚)
𝛾ℎ
𝑓𝑚(𝑁𝑚)
𝑓ℎ(𝑁ℎ)
Sh Eh Ih
Sm Em
𝑓ℎ(𝑁ℎ)
𝑣𝑚
𝑓𝑚(𝑁𝑚)
𝑣ℎ
𝜌ℎ
Rh
Im
𝜆ℎ
𝜆𝑚
𝜓ℎ
𝜔ℎ
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
SPD
Chitnis
2005 Diagram Kompartmen SEIRS-SEI
Keterangan : Perpindahan Individu
Pengaruh
Λℎ
𝜓𝑚
𝛿ℎ
𝑓ℎ(𝑁ℎ) 𝑓ℎ(𝑁ℎ)
𝑓𝑚(𝑁𝑚)
𝛾ℎ
𝑓𝑚(𝑁𝑚)
𝑓ℎ(𝑁ℎ)
Sh Eh Ih
Sm Em
𝑓ℎ(𝑁ℎ)
𝑣𝑚
𝑓𝑚(𝑁𝑚)
𝑣ℎ
𝜌ℎ
Rh
Im
𝜆ℎ
𝜆𝑚
𝜓ℎ
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Imigrasi
𝑰𝒉 → 𝑺𝒉
Ngwa & Shu
?
Chitnis
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
SPD
Diagram Kompartmen SEIRS-SEI
Keterangan : Perpindahan Individu
Pengaruh
Λℎ
𝜓𝑚
𝛿ℎ
𝑓ℎ(𝑁ℎ) 𝑓ℎ(𝑁ℎ)
𝑓𝑚(𝑁𝑚)
𝛾ℎ
𝑓𝑚(𝑁𝑚)
𝑓ℎ(𝑁ℎ)
Sh Eh Ih
Sm Em
𝑓ℎ(𝑁ℎ)
𝑣𝑚
𝑓𝑚(𝑁𝑚)
𝑣ℎ
𝜌ℎ
Rh
Im
𝜆ℎ
𝜆𝑚
𝜓ℎ
𝜔ℎ
Gabungan
2013
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Sistem Persamaan
𝑑𝑆ℎ
𝑑𝑡= Λℎ + 𝜓ℎ𝑁ℎ + 𝜔ℎ𝐼ℎ + 𝜌ℎ𝑅ℎ − (𝜆ℎ + 𝑓ℎ(𝑁ℎ))𝑆ℎ
𝑑𝐸ℎ
𝑑𝑡= 𝜆ℎ𝑆ℎ − (𝑣ℎ + 𝑓ℎ(𝑁ℎ))𝐸ℎ
𝑑𝐼ℎ𝑑𝑡
= 𝑣ℎ𝐸ℎ − (𝛾ℎ + 𝑓ℎ(𝑁ℎ) + 𝛿ℎ + 𝜔ℎ)𝐼ℎ
𝑑𝑅ℎ
𝑑𝑡= 𝛾ℎ𝐼ℎ − (𝜌ℎ + 𝑓ℎ(𝑁ℎ))𝑅ℎ (3.9)
𝑑𝑆𝑚
𝑑𝑡= 𝜓𝑚𝑁𝑚 − (𝜆𝑚 + 𝑓𝑚 (𝑁𝑚 ))𝑆𝑚
𝑑𝐸𝑚
𝑑𝑡= 𝜆𝑚𝑆𝑚 − (𝑣𝑚 + 𝑓𝑚 (𝑁𝑚))𝐸𝑚
𝑑𝐼𝑚𝑑𝑡
= 𝑣𝑚𝐸𝑚 − 𝑓𝑚 (𝑁𝑚)𝐼𝑚
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
𝑓ℎ(𝑁ℎ) = 𝜇1ℎ + 𝜇2ℎ𝑁ℎ
𝑓𝑚(𝑁𝑚) = 𝜇1𝑚 + 𝜇2𝑚𝑁𝑚
𝑑𝑁ℎ
𝑑𝑡= Λℎ + 𝜓ℎ𝑁ℎ − 𝑓ℎ(𝑁ℎ)𝑁ℎ − 𝛿ℎ𝐼ℎ
𝑑𝑁𝑚
𝑑𝑡= 𝜓𝑚𝑁𝑚 − 𝑓𝑚(𝑁𝑚)𝑁𝑚
Sistem Persamaan
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Sistem Persamaan
𝑒ℎ =𝐸ℎ
𝑁ℎ, 𝑖ℎ =
𝐼ℎ𝑁ℎ
, 𝑟ℎ =𝑅ℎ
𝑁ℎ, 𝑒𝑚 =
𝐸𝑚
𝑁𝑚, 𝑖𝑚 =
𝐼𝑚𝑁𝑚
, 𝑠ℎ =𝑆ℎ
𝑁ℎ, 𝑠𝑚 =
𝑆𝑚
𝑁𝑚
Penondimensionalan
𝑠ℎ + 𝑒ℎ + 𝑖ℎ + 𝑟ℎ = 1 dan 𝑠𝑚 + 𝑒𝑚 + 𝑖𝑚 = 1
𝑆ℎ = 𝑠ℎ𝑁ℎ = (1 − 𝑒ℎ − 𝑖ℎ − 𝑟ℎ)𝑁ℎ
𝑆𝑚 = 𝑠𝑚𝑁𝑚 = (1 − 𝑒𝑚 − 𝑖𝑚)𝑁𝑚
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Sistem Persamaan
𝑑𝑒ℎ
𝑑𝑡=
𝜎𝑚𝜎ℎ𝑁𝑚𝛽ℎ𝑚 𝑖𝑚𝜎𝑚𝑁𝑚 + 𝜎ℎ𝑁ℎ
(1 − 𝑒ℎ − 𝑖ℎ − 𝑟ℎ) − 𝑣ℎ + 𝜓ℎ +Λℎ
𝑁ℎ 𝑒ℎ + 𝛿ℎ 𝑖ℎ𝑒ℎ
𝑑𝑖ℎ𝑑𝑡
= 𝑣ℎ𝑒ℎ − 𝛾ℎ + 𝛿ℎ + 𝜔ℎ + 𝜓ℎ +Λℎ
𝑁ℎ 𝑖ℎ + 𝛿ℎ 𝑖ℎ
2
𝑑𝑟ℎ𝑑𝑡
= 𝛾ℎ 𝑖ℎ − 𝜌ℎ + 𝜓ℎ +Λℎ
𝑁ℎ 𝑟ℎ + 𝛿ℎ 𝑖ℎ𝑟ℎ
𝑑𝑁ℎ
𝑑𝑡= Λℎ + 𝜓ℎ𝑁ℎ − (𝜇1ℎ + 𝜇2ℎ𝑁ℎ)𝑁ℎ − 𝛿ℎ 𝑖ℎ𝑁ℎ
𝑑𝑒𝑚
𝑑𝑡=
𝜎𝑚𝜎ℎ𝑁ℎ
𝜎𝑚𝑁𝑚 + 𝜎ℎ𝑁ℎ 𝛽𝑚ℎ 𝑖ℎ + 𝛽 𝑚ℎ𝑟ℎ (1 − 𝑒𝑚 − 𝑖𝑚 ) − (𝑣𝑚 + 𝜓𝑚 )𝑒𝑚
𝑑𝑖𝑚𝑑𝑡
= 𝑣𝑚𝑒𝑚 − 𝜓𝑚 𝑖𝑚
𝑑𝑁𝑚
𝑑𝑡= 𝜓𝑚𝑁𝑚 − (𝜇1𝑚 + 𝜇2𝑚𝑁𝑚 )𝑁𝑚
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian
𝒙𝑑𝑓𝑒 (𝑒ℎ , 𝑖ℎ , 𝑟ℎ , 𝑁ℎ , 𝑒𝑚 , 𝑖𝑚 , 𝑁𝑚) = (0, 0, 0, 𝑁ℎ∗, 0, 0, 𝑁𝑚
∗ )
𝑁ℎ∗ =
(𝜓ℎ − 𝜇1ℎ) + (𝜓ℎ − 𝜇1ℎ)2 + 4𝜇2ℎΛℎ
2𝜇2ℎ
𝑁𝑚∗ =
(𝜓𝑚 − 𝜇1𝑚)𝜇2𝑚
Titik tetap tanpa penyakit
Titik Tetap
Titik tetap endemik
𝑥𝑒𝑒 (𝑒ℎ , 𝑖ℎ , 𝑟ℎ , 𝑁ℎ , 𝑒𝑚 , 𝑖𝑚 , 𝑁𝑚) = (𝑒ℎ∗∗, 𝑖ℎ
∗∗, 𝑟ℎ∗∗, 𝑁ℎ
∗∗, 𝑒𝑚∗∗, 𝑖𝑚
∗∗, 𝑁𝑚∗∗)
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian Bilangan Reproduksi Dasar
𝓡𝟎 = 𝑲𝒎𝒉𝑲𝒉𝒎
KET
𝑲 =𝟎 𝑲𝒉𝒎
𝑲𝒎𝒉 𝟎 Diekman (1990)
Bilangan Reproduksi Dasar: Nilai eigen
Modulus Terbesar dari matriks K
(Driessche&Wathmough, 2005)
𝐾ℎ𝑚 = 𝛼ℎ𝑚. 𝑏𝑚∗ . 𝛽ℎ𝑚. 𝜃ℎ𝑚
𝐾𝑚ℎ = 𝛼ℎ𝑚. 𝑏ℎ∗ 𝛽𝑚ℎ. 𝜃𝑚ℎ + 𝛽 𝑚ℎ. 𝜃 𝑚ℎ. 𝜁𝑚ℎ
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian Analisis Kestabilan Titik Tetap
Matriks Jacobi
𝑱𝒙𝒅𝒇𝒆=
𝑱𝟏𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝑱𝟏𝟔 𝟎𝑱𝟐𝟏 𝑱𝟐𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎
𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎
𝑱𝟑𝟐
𝑱𝟒𝟐
𝑱𝟓𝟐
𝟎𝟎
𝑱𝟑𝟑
𝟎𝑱𝟓𝟑
𝟎𝟎
𝟎𝑱𝟒𝟒
𝟎𝟎𝟎
𝟎𝟎𝑱𝟓𝟓
𝑱𝟔𝟓
𝟎
𝟎𝟎𝟎𝑱𝟔𝟔
𝟎
𝟎𝟎𝟎𝟎𝑱𝟕𝟕
SPD
𝒙𝒅𝒇𝒆 Pelinearan
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian Analisis Kestabilan Titik Tetap
Matriks Jacobi
Nilai Eigen
Stabil jika semua nilai eigen negatif
Tidak Stabil jika ada minimal 1 nilai eigen taknegatif
Kondisi Kestabilan
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian
𝓡𝟎 < 𝟏
Simulasi Numerik
𝒙𝒅𝒇𝒆 = 0, 0, 0, 583, 0, 0, 2425 Nilai Parameter
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000480
500
520
540
560
580
Pop
ulas
i Man
usia
Nh
Sh
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 100000
20
40
60
Waktu (Hari)
Pop
ulas
i Man
usia
Eh
Ih
Rh
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian
𝓡𝟎 < 𝟏
Simulasi Numerik
𝒙𝒅𝒇𝒆 = 0, 0, 0, 583, 0, 0, 2425
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10002000
3000
4000
5000
Pop
ulas
i Nya
muk
Nm
Sm
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
20
40
60
80
100
Waktu (Hari)
Pop
ulas
i Nya
muk
Em
Im
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian
𝓡𝟎 > 𝟏
Simulasi Numerik
𝒙𝒆𝒆 = 0.0085, 0.1516, 0.7435, 492, 0.1463, 0.1024, 4850
0 200 400 600 800 10000
200
400
600
Popu
lasi
Man
usia
Nh
Sh
Eh
Ih
Rh
0 200 400 600 800 10000
1000
2000
3000
4000
5000
Waktu (Hari)
Popu
lasi
Nya
muk
Nm
Sm
Em
Im
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian
Parameter 𝝎𝒉 Bilangan Reproduksi
Dasar
𝜔ℎ = 1.0 × 10−3 ℛ0 = 0.99
𝜔ℎ = 1.4 × 10−3 ℛ0 = 0.96
𝜔ℎ = 1.8 × 10−3 ℛ0 = 0.92
𝜔ℎ = 2.2 × 10−3 ℛ0 = 0.89
𝜔ℎ = 2.6 × 10−3 ℛ0 = 0.86
Pengaruh nilai 𝝎𝒉 terhadap laju penyebaran penyakit
Simulasi Numerik
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Hasil Penelitian
Pengaruh nilai 𝝎𝒉 terhadap laju penyebaran penyakit
Simulasi Numerik
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
20
40
60
Waktu (Hari)
Man
usia
Ter
infe
ksi
0 50 100 150 200 250 300 350 40020
30
40
50
Waktu (Hari)
Nya
muk
Ter
infe
ksi
0 100 200 300 4000
20
40
60
Waktu (Hari)
Manusia
Terinfe
ksi
omg=1.0e-3
omg=1.4e-3
omg=1.8e-3
omg=2.2e-3
omg=2.6e-3
0 100 200 300 40020
30
40
50
Waktu (Hari)
Nyam
uk T
erinfe
ksi
omg=1.0e-3
omg=1.4e-3
omg=1.8e-3
omg=2.2e-3
omg=2.6e-3
0 100 200 300 4000
20
40
60
Waktu (Hari)
Manusia
Terinfe
ksi
omg=1.0e-3
omg=1.4e-3
omg=1.8e-3
omg=2.2e-3
omg=2.6e-3
0 100 200 300 40020
30
40
50
Waktu (Hari)
Nyam
uk T
erinfe
ksi
omg=1.0e-3
omg=1.4e-3
omg=1.8e-3
omg=2.2e-3
omg=2.6e-3
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Simpulan
Simulasi numerik menunjukkan bahwa jumlah tiap
subpopulasi manusia dan nyamuk mencapai kondisi stabil
di sekitar titik tetap tanpa penyakit pada kondisi 𝓡𝟎 < 𝟏,
dan stabil di sekitar titik tetap endemik pada kondisi 𝓡𝟎 > 𝟏.
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Simpulan
Simulasi juga menunjukkan adanya kontribusi parameter
laju pemulihan manusia dari subpopulasi terinfeksi ke
subpopulasi rentan (𝝎𝒉) terhadap penurunan bilangan
reproduksi dasar (𝓡𝟎). Jika laju pemulihan manusia
ditingkatkan, maka bilangan reproduksi dasar akan
semakin kecil. Dengan demikian, peningkatan nilai
parameter ini dapat membantu menekan laju penularan
penyakit dalam populasi.
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B Hasil
Titik Tetap
Bilangan Reproduksi Dasar
Kestabilan Titik Tetap
Simulasi Numerik
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B Nilai Parameter
Parameter Nilai
ℛ0 > 1 ℛ0 < 1
Λℎ 0.033 0.041
𝜓ℎ 1.1 × 10−4 5.5 × 10−5
𝜓𝑚 0.13 0.13
𝛽𝑚ℎ 0.48 0.24
𝛽ℎ𝑚 0.022 0.022
𝛽 𝑚ℎ 0.048 0.024
𝜎ℎ 19 4.3
𝜎𝑚 0.5 0.33
𝑣ℎ 0.1 0.1
𝑣𝑚 0.091 0.083
𝛾ℎ 0.0035 0.0035
𝛿ℎ 9 × 10−5 1.8 × 10−5
𝜌ℎ 5.5 × 10−4 2.7 × 10−3
𝜇1ℎ 1.6 × 10−5 8.8 × 10−6
𝜇2ℎ 3 × 10−7 2 × 10−7
𝜇1𝑚 0.033 0.033
𝜇2𝑚 2 × 10−5 4 × 10−5
𝜔ℎ 1.853 x 10−3 1.853 x 10−3
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Sistem Persamaan Ngwa & Shu
2000
𝑑𝑆ℎ
𝑑𝑡= 𝜓ℎ𝑁ℎ + 𝜔ℎ𝐼ℎ + 𝜌ℎ𝑅ℎ − (𝜆
ℎ+ 𝑓ℎ(𝑁ℎ))𝑆
ℎ
𝑑𝐸ℎ
𝑑𝑡= 𝜆ℎ𝑆ℎ − (𝑣ℎ + 𝑓ℎ(𝑁ℎ))𝐸
ℎ
𝑑𝐼ℎ𝑑𝑡
= 𝑣ℎ𝐸ℎ − 𝛾ℎ + 𝑓ℎ(𝑁ℎ) + 𝛿ℎ + 𝜔ℎ 𝐼ℎ
𝑑𝑅ℎ
𝑑𝑡= 𝛾ℎ𝐼ℎ − (𝜌ℎ + 𝑓ℎ(𝑁ℎ))𝑅
ℎ (3.9)
𝑑𝑆𝑚
𝑑𝑡= 𝜓𝑚𝑁𝑚 − (𝜆𝑚 + 𝑓𝑚(𝑁𝑚))𝑆
𝑚
𝑑𝐸𝑚
𝑑𝑡= 𝜆𝑚𝑆𝑚 − (𝑣
𝑚+ 𝑓𝑚(𝑁𝑚))𝐸𝑚
𝑑𝐼𝑚𝑑𝑡
= 𝑣𝑚𝐸𝑚 − 𝑓𝑚(𝑁𝑚)𝐼𝑚
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
Sistem Persamaan Chitnis
2005
𝑑𝑆ℎ
𝑑𝑡= Λℎ + 𝜓ℎ𝑁ℎ + 𝜌ℎ𝑅ℎ − (𝜆ℎ + 𝑓ℎ(𝑁ℎ))𝑆ℎ
𝑑𝐸ℎ
𝑑𝑡= 𝜆ℎ𝑆ℎ − (𝑣ℎ + 𝑓ℎ(𝑁ℎ))𝐸ℎ
𝑑𝐼ℎ𝑑𝑡
= 𝑣ℎ𝐸ℎ − (𝛾ℎ + 𝑓ℎ(𝑁ℎ)+𝛿ℎ)𝐼ℎ
𝑑𝑅ℎ
𝑑𝑡= 𝛾ℎ𝐼ℎ − (𝜌ℎ + 𝑓ℎ(𝑁ℎ))𝑅ℎ (3.1)
𝑑𝑆𝑚
𝑑𝑡= 𝜓𝑚𝑁𝑚 − (𝜆𝑚 + 𝑓𝑚 (𝑁𝑚 ))𝑆𝑚
𝑑𝐸𝑚
𝑑𝑡= 𝜆𝑚𝑆𝑚 − (𝑣𝑚 + 𝑓𝑚 (𝑁𝑚))𝐸𝑚
𝑑𝐼𝑚𝑑𝑡
= 𝑣𝑚𝐸𝑚 − 𝑓𝑚 (𝑁𝑚)𝐼𝑚
MATHEMATICAL MODELLING
L I N K
Tujuan
Metode
Ngwa
Chitnis
Gabung
Hasil
Simpulan
Latar B
𝐾ℎ𝑚 dan 𝐾𝑚ℎ : perkalian dari kemungkinan individu bertahan dari
keadaan terpapar sampai terinfeksi, banyaknya kontak,
kemungkinan penularan per kontak, dan rata-rata masa hidup
individu.
𝛼ℎ𝑚 =𝑣𝑚
𝑣𝑚 + 𝜇1𝑚 + 𝜇2𝑚𝑁𝑚∗ 𝛼𝑚ℎ =
𝑣ℎ
𝑣ℎ + 𝜇1ℎ + 𝜇2ℎ𝑁ℎ∗
𝜃ℎ𝑚 =1
𝜇1𝑚 + 𝜇2𝑚𝑁𝑚∗ 𝜃𝑚ℎ =
1
𝛾ℎ + 𝛿ℎ + 𝜔ℎ + 𝜇1ℎ + 𝜇2ℎ𝑁ℎ∗
𝜃 𝑚ℎ =1
𝜌ℎ + 𝜇1ℎ + 𝜇2ℎ𝑁ℎ∗ 𝜁𝑚ℎ =
𝛾ℎ
𝛾ℎ + 𝛿ℎ + 𝜔ℎ + 𝜇1ℎ + 𝜇2ℎ𝑁ℎ∗
Related Documents
