Mathematical Economics · จ านวนอตรรกยะ จ านวนตรรกยะ ไม่สามารถเขียนให้อยู่...

Mathematical Economics BEC3103 คณตศาสตรเศรษฐศาสตร

ฟงกชนและกราฟ

แนวคดพนฐานเกยวกบทฤษฎเซต

• เซต คอ กลมของ, ตวเลข, ตวอกษร ทมความแตกตางกน เชน

• เซต S เปนกลมของตวเลข 5 ตว ประกอบดวย 1, 2, 3, 4 และ 5 เขยนเปนสญลกษณทางคณตศาสตรไดวา

• เซตของนกศกษาเศรษฐศาสตรทเรยนวชาคณตเศรษฐศาสตรในเทอมน มจ านวน 49 คน เขยนเปนสญลกษณคณตศาสตรไดวา

𝑆 = สฐดา, พชราภา, ธงชย, … , บศรา

1, 2, 3, 4, 5S

2

แนวคดพนฐานเกยวกบทฤษฎเซต • จากตวอยาง สมาชกของเซตไมมตวใดซ ากน นนคอสมาชกของเซตตองม ความแตกตางกน

• ซงเปนการเขยนเซตในแบบแจกแจงสมาชกแตละตว แตถาสมาชกมจ านวนมากมายหรอนบไมได จะท าใหไมสะดวกตอการเขยนและการวเคราะห

• เชน จงเขยนเซต I แทนจ านวนนบเตมบวก

1, 2, 3, 4, 5,...999999, 1000000, 1000001,...I

3

แนวคดพนฐานเกยวกบทฤษฎเซต การเขยนเซตแบบแสดงเงอนไข

• จากตวอยางขางตนเขยนเซตแบบมเงอนไขไดวา

I = 𝑥 𝑥 เปนจ านวนเตมบวก

“ I เปนเซตของ x โดยท x เปนเลขจ ำนวนเตมบวก”

• Ex. ก าหนดให J เปนเซตของเลขจ านวนจรง ทมคาระหวาง 1 และ 10

“ J เปนเซตของ x โดยท x มคำระหวำง 1 และ 10 ”

1 10J x x

4

• เซต S มสมาชกทสามารถนบจ านวนไดอยางแนนอน เซตแบบจ ากด (Finite Set)

• เซต I และ J มสมาชกมากมายทไมสามารถนบไดหรอแจกแจงไดจนครบ เซตแบบไมจ ากด (Infinite Set)

• ตวอยางเซตทสอดคลองกบศศ.

เซต I มสมาชกทประกอบไปดวย การลงทนในระดบตางๆ

I = การลงทนทางตรง, การลงทนทางออม

เชต C มสมาชกทประกอบไปดวย ดชนราคาผบรโภคในหมวดตางๆ

C = อาหารและเครองดม, การตรวจรกษาพยาบาล, คาโดยสารสาธารณะ, การศกษา, เครองนงหม และรองเทา

5

เซตแบบคอนดบ • สงทกลาวมาขางตน เราไมไดสนใจต าแหนงของสมาชกแตละตว

• คอสามารถสลบกนอยางไรกได ไมไดใหความส าคญ กบอนดบหรอต าแหนงของสมาชกในเซต

เซตแบบคอนดบ (Set of Ordered Pairs)

• เปนเซตทใหความส าคญกบต าแหนงของสมาชก 𝑎, 𝑏 ≠ 𝑏, 𝑎 ; ยกเวน a = b

6

เซตแบบคอนดบ Ex. เซตอนดบทแสดงถงความสมพนธของ อาย และ น าหนก ของนศ.กลมหนง

นาย A. อาย 18 ป นน. 40 กก. นส. B. อาย 18 ป นน. 50 กก. นส. C. อาย 20 ป นน. 40 กก. นาย D. อาย 20 ป นน. 50 กก.

ดงนนสามารถเขยนเซตคอนดบได 𝑆 = อาย, น าหนก = 18, 40

แสดงวานศ. คนนมอาย 18 ป และหนก 40 กก.

ถาสลบทกน ความหมายจะเปลยนไป 40, 18 กลายเปนวา อาย 40 และน าหนก 18 กก.

∴ นายA. อาย, น าหนก = 18, 40 ≠ 40, 18 7

• สมมตให a เปนเซตคอนดบของอาย (age) 𝑎 = 18, 20

ให w เปนเซตคอนดบของน าหนก (weight) 𝑤 = 40, 50

จากเซตคอนดบนสามารถหาผลคณคารทเซยน ไดโดย a x w

∴ คอนดบทเกดจากสมาชก a และ w จะไดวา

18, 40 , 18, 50 , 20, 40 , 20,50

8

• ผลรบทได เปน 4 คอนดบ เรยกวา ผลคณคารทเซยนของเซต a และ w ซงสามารถเขยนเปนสญลกษณไดวา

• โดยทวไปทางคณตศาสตรมกจะใช x และ y เปนตวแปรแทนเซตของตวเลขทเปนจ านวนจรง R (Real Number)

∴ ผลคณคารทเซยนของเซต x และ y คอ

,a w c v c a and v w

,x y a b a R and b R

9

จ านวนจรง Real Number

จ านวนอตรรกยะ จ านวนตรรกยะ

ไมสามารถเขยนใหอยในรปเศษสวนของจ านวนเตม หรอทศนยมซ าได

เชน 2, 3, 𝜋

จ านวนตรรกยะ

เขยนอยในรปเศษสวนไดหรอทศนยมซ าได

เชน 1

2= 0.50

1

3= 0.333

จ านวนเตม

เตมลบ

เตมศนย

เตมบวก

10

• Ex. เซต จงหาคอนดบของเซตน

• เซต เปนความสมพนธในลกษณะทคาของ x หนงคาไดใหคา y หนงคาเสมอ “ความสมพนธแบบหนงตอหนง” (one-to-one mapping)

, 2 2x y y x

, 2 2x y y x

11

เซตและฟงกชน • ความสมพนธระหวาง x และ y ในเซตทมลกษณะแบบ 1:1 ขางตน เปนความสมพนธทเรยกวา ฟงกชน ซงสามารถเขยนไดวา

“ y เปนฟงกชนของ x ”

ก าหนดใหคาของ x จะถกเปลยนแปลงใหเปนคา y

นกเศรษฐศาสตรเรยก x = ตวแปรอสระ (Independent Variable)

y = ตวแปรตาม (Dependent Variable)

( )y f x

12

ดงนน ชวงของคา x (เซตของตวแปรอสระ) ทเปนไปไดเรยกวา โดเมน (Domain)

คา y (คาตวแปรตาม) ทเกดจากการแทนคา x เขาไปในฟงกชนทละตวเรยกวา เรนจ (Range)

Ex. ( ) 2 2y f x x

13

Ex. ก าหนดใหฟงกชนตนทนการผลต TC = 100 + 3Q ถาโรงงานผลตไดเตมทแค 200 หนวยตอวน จงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนน ; (TC = ตนทนรวม, Q = ปรมาณการผลต)

0 200

100 700

D Q Q

R TC TC

14

การแสดงความสมพนธทางเศรษฐศาสตรดวยคณตศาสตร

แสดงถงตวแปรตาม y 1ตว มความสมพนธกบตวแปรอสระ x แค 1ตวแปร

แสดงถงตวแปรตาม y 1ตว มความสมพนธกบตวแปรอสระ x 2 ตวแปร คอ x1

และ x2

แสดงถงตวแปรตาม y 1ตว มความสมพนธกบตวแปรอสระ x n ตวแปร

15

( )y f x

1 2( , )y f x x

1 2( , ,..., )ny f x x x

นกเศรษฐศาสตรน าความสมพนธระหวางตวแปรมาอธบายได 3 ทางคอ 1. ใชตารางแสดงคาตวแปร 2. วาดกราฟ 3. เขยนในรปสมการหรออสมการแสดงความสมพนธ

Ex. ก าหนดใหสมการอปสงคของสนคา x ซงแสดงอยในรปสมการ

16

2 10 1.5x x yQ P Y P

ประเภทของฟงกชนทนยมใชในเศรษฐศาสตร 1. ความสมพนธเชงเสนตรง (Linear Function)

รปแบบทวไปของความสมพนธเชงเสน

a, b0 = คาคงท

bi = คาสมประสทธของตวแปรอสระ xi หรอคอความชน (slope)

17

y a bx

0 1 1 2 2y b b x b x

0 1 1 2 2 ... n ny b b x b x b x

0

1

n

i i

i

y b b x

2. ความสมพนธไมเปนเสนตรง (Non-Linear Function)

2.1 รปแบบฟงกชนพหนาม เชน ฟงกชนก าลงสอง (Quadratic Function)

18

2

2 1 0y a x a x a

2.2 รปแบบฟงกชนไมเปนเสนตรงในรปแบบอนๆ ทนกศศ.นยมใช เชน

• ฟงกชนยกก าลง (Power Function)

ฟงกชนแบบนถกเรยกวา Cobb-Douglas function

19

by Ax

1 2

1 2

b by Ax x

• ฟงกชนลอการทม (Logarithmic Function)

ฟงกชนนจะไวใชในกรณทตองการใหสมการเปนเสนตรง (เพองายตอการคด) เชน ฟงกชนยกก าลง

20

log logy a b x

by Ax

Mathematical Economics

BEC3103 คณตศาสตรเศรษฐศาสตร