MathematicaによるDGEモデル・シミュレーション佐野：MathematicaによるDGEモデル・シミュレーション 113 l w l c 1 n) =))-i mi+

111福井県立大学経済経営研究　第30号　2014年3月

1　はじめに

　加藤（2007）による動学的一般均衡モデルの設定を概観し，RBCモデルおよびNew IS-LM

モデルのシミュレーション・プログラムをMatlab からMathmaticaに変換したプログラムコードを付録とする．Matlab とMathematicaのプログラムコードの相違を明らかにするために，できるかぎり加藤（2007）のコードと対照させた．

2　RBCモデル

　完全情報，完全競争のもとで代表的個人を仮定し，その最適化行動について分析するために，最も基本的なRBCモデルから出発する．このRBCモデルは非現実的であり，パラメータの統計的な推定や検定も現実的には無意味であるが，外生的なショックに対する一般均衡モデルの動学的な反応経路を分析することができるので，さまざまなタイプのマクロ均衡モデルのシミュレーション特性を調べるための理論的な基礎となる．　最初に家計の効用最大化問題を設定する．

　　　 ,max E u c ltt t

t

0

0

b

3

=

^ h/

　　　. .s t k k w l1t t t t1 d= - ++ ^ h

r k ct t t+ - （2.1）

　ただし，cは消費水準，lは労働時間，uは効用関数，bは主観的割引率，kは資本ストック，rは実質金利，wは実質賃金，dは資本減耗率であり，資本ストックの初期値k0は所与とする．　相対的危険回避度が一定であるCRRA型効用関数を仮定する．この効用関数の形状を図1 に示す．

　　　 ,u c lc

l1t t

tt

11

$i

n=-

-i

m-

+^ h （2.2）

消費を決定する家計の1階の最適化条件から，異時点間の限界効用を比較するオイラー方程式を得る．

　　 E rc

c1 1t t

t

t1

1b d= + -

i

++

-

^ ch m （2.3）

また，労働供給を決定する家計の最適化条件を，消費の限界効用と労働の限界不効用を同時点で比較する次式であらわす．

　　　　　　wc

l1t

t

tn m=

+i

m

-

^ h （2.4）

　労働市場の均衡n=lおよび企業の生産関数にコブ・ダグラス型を仮定すると，所得の二面等価により　　 y z k n w l r kt t t t t t t t

1= = +a a- （2.5）

が成り立つ．限界収入が限界費用に等しいという最適化条件から

　　　　　r znk

t tt

t1

a=a-

d n （2.6）

〔研究ノート〕

MathematicaによるDGEモデル・シミュレーション―加藤（2007）のMatlab コードを変換して―

佐　野　一　雄

112 福井県立大学経済経営研究　第30号　2014年3月

　　　　w znk

1t tt

ta= -

a

^ dh n （2.7）

が成り立つ．均衡点を動かす外生的な生産性ショックをAR（1）であらわす．　　　　　　 z zt t t1 1z p= ++ + （2.8）

ただし，01z11， pt～ i.i.d. N(0, v)であり，初期値および定常状態でz0=z*=1である．（2.3），（2.4），（2.6），（2.7），（2.8）に（2.1）の制約条件を加えた6本の連立方程式がRBCモデルである．このRBCモデルは非線形の連立方程式であり，解くのは困難である．シミュレーションでは，線形近似によって定常的な均衡の近傍での動きを調べる．

2.1　RBCモデルの定常均衡

　（2.4）を簡単に

　　　　　　　lc

wt

t

t

n=m

i （2.9）

とする．（2.3）より 1）

　　c E r c1t t t t1 1b d= + -i i-+ +

-^ h （2.10）

（2.1）および（2.5）より　k k z k l c1t t t t t t1

1d= - + -a a+

-^ h （2.11）

を得る．　（2.8）から誤差項を削除し，01t11により

定常状態z*からの乖離を表現する．　　　 z z z1t t1 t t= + - )

+ ^ h （2.12）

（2.6）および（2.7）でn=lより

　　　　　　r zlk

t tt

t1

a=a-

d n （2.13）

　　　　w zlk

1t tt

ta= -

a

^ dh n （2.14）

を得る．　定常状態ではct=ct+1=c*が成り立つので，（2.10）から期待値オペレータを削除して，定常均衡における実質金利を得る．

　　　　　　r1 1

bb d

=- -) ^ h

（2.15）

したがって，（2.13）より，定常均衡における資本装備率を得る．

　　　　　　lk

zr 1

1

a=)

)

)

) a-c m （2.16）

これを（2.14）に代入して実質賃金を得る．

　　　w zz

r11

aa

= -) ))

) aa-

^ ch m （2.17）

同様にして，（2.11）より

　　　lc z

lk

lk

d= -)

))

)

)

)

)a

c m （2.18）

（2.9）より

図 1：CRRA 型効用関数

113佐野：MathematicaによるDGEモデル・シミュレーション

　　　l wlc

1

n=)

)

)

) i m i- +c m< F （2.19）

および

　　　　　　klk l#=))

))c m （2.20）

　　　　　　clc l#=))

))c m （2.21）

を得る．以上でRBCモデルの定常均衡が記述された．

2.2　均衡近傍での挙動

　完全予見を仮定し，線形近似によって，均衡近傍におけるモデルの動きを調べる．変数をベクトルxtで表示する．

l

c

k

z

xt

t

t

t

t

= f p （2.22）

モデルの均衡条件（2.9）～（2.12）をベクトルzで表示する．

lc

w

c r c

k k z k l

z z z

1

1

1

tt

t

t t t

t t t t t

t t

1 1

11

1

n

b d

d

t t

z=

-

- + -

- - -

- - - )

mi

i i

a a

-+ +

-

+-

+

J

L

KKKKKKK

^

^

^

N

P

OOOOOOO

h

h

h

（2.23）

ゆえに均衡近傍においては次式が成り立つ．

　　　uu

uu

d dxx

xx

tt

tt

11

z z=

++ （2.24）

ただし，uz/uxt，uz/uxt+1はそれぞれ4行4列のヤコビ行列であり，（2.24）を簡単に次式であらわすことにする．　　　　　　　Bx Cxt t 1= + （2.25）

したがって，合理的期待均衡解の存在は，次式を満たす行列Aの存在を意味する．　　　 x B Cx Axt t t

11 1= =-

+ + （2.26）

行列Aの固有値分解を　　　　　　A Q Q1 K= - （2.27）

とおき，収束条件を課して均衡解の動きを調べ

る．（2.26）および（2.27）より　　　　　　Qx Qxt t1

1K=+- （2.28）

を得るので，固有値mi21は（2.28）を収束させ，固有値mj 11は発散させることがわかる．それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを分割して表示すると

　　　Q

Q

Q

Q

Q

Q

A

C

B

D

1

1

=1

2

m

m

f fp p （2.29）

（2.28）が収束するための必要条件は　　　　 Q Q x 0A B t =^ h （2.30）

であるので，（2.22）より

　　　l

c

k

zQ Q

t

tA B

t

t

1=- -f fp p （2.31）

が成り立つ場合にのみ収束する均衡解を得る．（2.31）を（2.28）のxt, xt+1に代入して整理すると，均衡解の経路

　k

zQ Q Q Q

t

tD C A B

1

1

1 11

1K= - 2m

+

+

- - -f _p i

　　　　　k

zQ Q Q QD C A B

t

t

1- -_ fi p （2.32）

を得る．ただし，Km21は1より大きい固有値からなる．　シミュレーションでは，定常状態からの乖離率で評価するために，z*=1に基準化して対数線形近似する．

　　　uu

uu

dd

xx

xx

x

x

tt

t

tz z= )

)d n （2.33）

3　New IS-LM モデル

　金利およびマネーサプライの予期せぬ変化の影響を評価するために，裁量的な金融政策について二つのルールを設定する．

3.1　金利ルール

　RBC モデルとは異なり，New IS-LMモデルはもともと線形モデルであり，ハイブリッド型に一般化して示す 2）．

114 福井県立大学経済経営研究　第30号　2014年3月

　　　　y E y y1t t t t1 1t t= + -+ -^ h

i Et t t t1v r e- ++^ h （3.1）

　　　　E 1t t t t1 1r b r b r= + -+ -^ h

yt ta o+ + （3.2）

　　　　 i q y qt t t t1 2 r h= + + （3.3）

　　　　 t t t1 1h zh e= ++ + （3.4）

ただし，01z11， pt～ i.i.d. N(0, v)であり，（3.3）

が金利ルールである．モデルの変数を

E y

E

yxt

t t

t t

t

t

t

1

1r

r

h

=

+

+

J

L

KKKKKKKK

N

P

OOOOOOOO

（3.5）

とおき，RBC モデルの（2.25）に対応して

　　B

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

t

a b

vz

z

=

-

-

J

L

KKKKKKKK

N

P

OOOOOOOO

q q

C

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1 2b v

b

v

a

v

=

- + -

-

J

L

KKKKKKKK

^ N

P

OOOOOOOO

h

とおけば，New IS-LM モデルを次式で示すことができる．　　　　　　　Bx Cxt t 1= + （3.6）

収束条件が満たされれば，RBC モデルと同様に，均衡解の経路

　　E y

E

E

Q Q Q Q

t t

t t

t t

D C A B

1

1

1

1 11

1r

h

K= - 2m

+

+

+

- - -f _p i

　　　　y

Q Q Q QD C A B

t

t

t

1 r

h

- -_ fi p （3.7）

を得る．

3.2　マネーサプライ・ルール

　マネーサプライ・ルールは，直感的にイメージしやすい金利ルールとは対照的である．マネーサプライが消費者の効用に影響するメカニズムを導くためには，money in the utilityの仮定が不可欠である．モデルの単純化のため，効用関数（2.2）から労働供給 lを削除し，マネーサプライmを変数として，便宜的に次のCRRA

型効用関数を仮定する 3）．

　　　 ,u c mc m1 1t t

t t1 1

i n=

-+

-

i n- -

^ h （3.8）

家計の実質純資産を次式で定義する．　　　　　　　a b mt t t= + （3.9）

ただし，btは1期間満期の債券であり，初期値b0 m0 は所与とする．貨幣を導入したことにより名目値と実質値が区別されるので，RBC

モデルにおける家計の効用最大化問題（2.1）は次のように修正される．

　　　 ,max E u c mtt t

t

0

0

b

3

=

^ h/

　　　 . .s t m b c1 t t t tr+ + +^ ^h h

　　　　　　　　 i b m1 t t t1= + +-^ h （3.10）

ラグランジュ乗数をmtとすると，1階の最適化条件　　　　　ct tm=i- （3.11）

　　　　　m Ei

1t tt

tt

11r

bm=

+n-

++ （3.12）

　　　　　 Ei

11

t tt

tt

11m

r

bm=

++

++

^ h （3.13）

より，消費のオイラー方程式

　　　　c Ei

c1

1t t

t

tt

11b

r=

++i i-

++

- （3.14）

を得る．RBCモデルの場合と同様に，定常均衡近傍で対数線形近似すると

　　 ln lnc E c i E1t t t t t t1 1i

r= - -+ +^ h （3.15）

115佐野：MathematicaによるDGEモデル・シミュレーション

を得る 4）．　マネーサプライ・ルールを導くために必要な最後の仮定は　　　　　　　　 y ct t= （3.16）

である．（3.13）からmt+1をもとめ，（3.12）に代入すると

　　　mi

ic i c

1tt

tt t t.=

+n i i- - - （3.17）

したがって，LM曲線　 ln ln ln ln lnM p m i y1

t t t t tn ni- = =- +

（3.18）

が得られる．変数を対数として表記すると

　　M p m i y1t t t t tn n

i- = =- + （3.19）

および　　m m Mt t t t1 1 1rD= - ++ + + （3.20）

が金利ルール（3.3）に代わるマネーサプライ・ルールである．名目貨幣供給量Mtの差分3Mt=Mt-Mt-1はAR（1）

　　　　 M Mt t t1 1z eD D= ++ + （3.21）

に従い，誤差項が貨幣供給量の予期せぬショックをあらわす．　マネーサプライ・ルールは，シミュレーションのためのモデル設定としては興味深いが，生産，労働，資本，貯蓄といった重要な要素が含まれないため，現実的なイメージを結ぶことは困難である．

4　おわりに

　本稿では，加藤（2007）による動学的一般均衡モデルの設定を概観した．MatlabからMathmaticaに変換したRBCモデルおよびNew

IS-LMモデルのシミュレーション・プログラムを付録とする．Matlab とMathematicaのプログラムコードの相違を明らかにするために，できるかぎり加藤（2007）のコードと対照させた．そのため，Mathematicaに固有のプログラ

ムとして効率的ではない部分が含まれている．MatlabおよびMathematicaのマニュアルを参照しながら，加藤（2007）のコードと対照すれば，プログラムの詳細を理解することができる．いずれもオンラインで利用可能である．　注釈

1） 加藤（2007）のシミュレーションでは，消費関数に含まれるδが省略されている．

2） t=b=1で通常のNew IS-LMモデルである．3） 量的緩和の効果が現実の金融政策にかかわる問題であるだけに，この仮定の成否はきわめて重要である．しかし，マネーサプライの増加が消費者の効用を高めるという仮定は，cash in advanceを考慮しても，現実的なイメージを結びにくい．

4） it≒ ln(1+it)，rt≒ ln(1+rt)であり，定数項 ln bは乖離率と無関係なので削除してある．

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Output?", NBER Working Paper Series, no.2285.Calvo, G.A.(1983), "Staggerd Prices in a Utility-

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116 福井県立大学経済経営研究　第30号　2014年3月

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Taylor, J.B.(1993),"Discretion versus Policy Rules in Practice", Carnegie-Rochester Conference Series on Public Policy, 39, 195-214.加藤　涼（2007）『現代マクロ経済学講義―動学的一般均衡モデル入門』，東洋経済新報社，2007年．佐野一雄（2011）「粘着価格モデルと期待形成―

Taylor（1980）の検討― 」『統計学』100号，2011年，57-65頁．佐野一雄・竹内淳哉（2012）「粘着価格モデルと効用最大化―Calvo（1983） の検討―」『経済経営研究』26号，2012年，33-39頁．

佐野一雄（2013）「ニューケインジアンモデルの現状と課題―物価と経済成長の関係をめぐって―」『経済経営研究』29号，2013年，15-24頁．

117佐野：MathematicaによるDGEモデル・シミュレーション　付録1

付録1

118 福井県立大学経済経営研究　第30号　2014年3月

119佐野：MathematicaによるDGEモデル・シミュレーション　付録1

120 福井県立大学経済経営研究　第30号　2014年3月

付録2

121佐野：MathematicaによるDGEモデル・シミュレーション　付録2

122 福井県立大学経済経営研究　第30号　2014年3月

123佐野：MathematicaによるDGEモデル・シミュレーション　付録3

付録3

124 福井県立大学経済経営研究　第30号　2014年3月