Mathematica Electrostatica

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Mathematica a vuelo de pajaro y ejemplos de su uso en ElectrostticaM.A. Rodrguez-Meza Departamento de Fsica, Universidad Iberoamericana, Santa Fe.

Mxico, D.F., Marzo 1, 2005.

Este tutorial es una breve introduccin a Mathematica. Te dalos elementos bsicos que necesitas para iniciarte en el uso deesta herramienta. Para eso te mostraremos varias de las face-tas de Mathematica:

Como calculadora Su poder de clculo

El uso de sus algoritmos El conocimiento delas matemticas con su uso

Construccin de clculos Manejo de datos

Visualizacin Sus notebooks

Su interaccin con el medio ambiente Su idea unifi-cadora

Como lenguaje de programacin Escribiendo progra-mas

En particular, pero sobre todo, queremos mostrarte un par deejemplos de su uso como una herramienta para aprenderElectricidad y Magnetismo .

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Mathematica a vuelo de pajaro y ejemplos de su uso en Electrosttica 1

2004 Mar.

Qu es Mathematica?Mathematica es un sistema para hacer matematicas y otros clculos tcnicos; nosotrospreguntamos y Mathematica nos da una respuesta. Adems, Mathematica contiene unlenguaje de programacin que nos permite crear funciones o programas simples o sofisti-cados, y una interface que la hace de procesador de palabras, como herramienta debosquejo y preparacin de textos matemticos.

Tres de las clases de cmputo que Mathematica hace son: -clculos numricos (como los aritmticos y la evaluacin de funciones), -clculos simblicos (como los algebricos y de clculo diferencial o integral), y -clculos grficos (como mostrar grficas en dos o tres dimensiones de datos o funciones).

Las dos partes principales de Mathematica son el ncleo (kernel) y la interface con elusuario (front end). El front end es la interface de Mathematica, la cual nos provee conun procesador de palabras y un ambiente para bosquejar, llamado notebook, que nospermite introducir comandos y texto que lo acompaa, mientras que el kernel realiza losclculos matemticos.

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Los notebooksLa manera de interactuar con Mathematica es atravs de documentos llamados note-books. Este tutorial es un ejemplo de un notebook. Los notebooks pueden tener variasformas. Pero tpicamente consisten de celdas que contienen texto, clculos, o grficas.

Las celdas se indican por parentesis cuadrados a la derecha. Esta celda es una celda detexto. La entrada para Mathematica que se desea evaluar va en celdas de entrada (inputcells).

Para crear una nueva celda de entrada, haga clic fuera de una celda existente y comienzea teclear. Cuando hayas terminado presiona . Mathematica evalua la entrada ypone el resultado en una celda de salida (output cell) abajo inmediatamente.

Aqu est un clculo de muestra. El cursor puede estar en cualquier lugar en la celda deentrada cuando presiones . Las etiquetas In[n]:= y Out[n]= se agregan automtica-mente.

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In[1]:= 5 + 3

Out[1]= 8

Puedes editar la entrada existente y presionar para re-evaluarla. El nuevoresultado reemplaza el viejo en la celda de salida.

In[2]:= 264 4Out[2]= 66

Experimente cambiando algunos de los nmeros en la celda de entrada anterior.Entonces, presione para rehacer el clculo.

Haga clic en el siguiente link para un ejemplo de notebook. Tambin, podemos ver comoest estructurado el curso de Electricidad y Magnetistmo I.

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Comienze su uso como una calculadoraPara interactuar con Mathematica, tecle la entrada, entonces presione paraobtener su salida. Si presiona slo , se obtiene tan slo una nueva lnea. En el ejem-plo de abajo, el simbolo ^ indica la operacin de elevar a una potencia.

In[3]:= 19^50

Out[3]= 8663234049605954426644038200675212212900743262211018069459689001

Si se pone explicitamente punto decimal en la entrada, entonces Mathematica da unresultado numrico aproximado. Nmeros muy grandes y muy pequeos son mostradosen notacin exponencial.

In[4]:= 19.^50

Out[4]= 8.66323 1063

Use o un espacio o explicitamente el simbolo * para indicar multiplicacin.

Si se escribe punto y coma al final de la entrada, se previene que la salida se muestre.

In[5]:= 2^20 3^20;

Se puede usar el simbolo % para indicar el resultado del ltimo clculo que se hizo. Estotrabaja sin importar donde el clculo aparecesea en el mismo notebook o en otro.

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2004 Mar.

In[6]:= Sqrt@%DOut[6]= 60466176

Haga que Mathematica trabaje la inversa de una matriz

In[7]:= Inverse@881, 2

La potencia va despus de los argumentos de la funcin, no antes. Entonces, el primertrmino es correcto pero el segundo no.

In[13]:= Sin@Pi 4D^3 + Sin^3@Pi 4DOut[13]=

12 !!!2 + Sin3@ p4 D

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Haciendo clculos numricos con cualquier precisinMathematica da resultados exactos para clculo con enteros, sin importar cuantos digitossean necesarios. El smbolo indica que continua en la siguiente lnea.

In[14]:= 125!

Out[14]= 188267717688892609974376770249160085759540364871492425887598231508353156331613598866882932889495923133646405445930057740630161919341380597818883457558547055524326375565007131770880000000000000000000000000000000

Puedes usar N para obtener un resultado aproximado. Recuerde que % representa elltimo resultado.

In[15]:= N@%DOut[15]= 1.88268 10209

Puedes usar E o para representar al exponencial constante e. Para introducir , tecleeee.

In[16]:= N@EDOut[16]= 2.71828

Puedes especificar cuantos digitos generar en un clculo. Aqu est el valor de e hasta 60digitos.

In[17]:= N@E, 60DOut[17]= 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496697

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Haciendo clculos simblicos para obtener frmulasMathematica trabaja con expresiones simblicas as como nmeros. Los parentesis contro-lan la agrupacin de las operaciones aritmticas. Note que el producto de a y b es escritacomo a b. Sin espacio ab indica que es single variable.

In[18]:= Expand@Ha b - c dL^2 + Ha d + b cL^2DOut[18]= a2 b2 + b2 c2 + a2 d2 + c2 d2

In[19]:= Factor@%DOut[19]= Ha2 + c2L Hb2 + d2LLa funcin Simplify usa varios mtodos para reducir expresiones a sus formas mssimples.

In[20]:= Simplify@Cos@xD^4 - Sin@xD^4DOut[20]= Cos@2 xDFullSimplify es una versin ms potente de Simplify, pero puede tomar mstiempo.

In[21]:= FullSimplify@Gamma@zD Gamma@1 - zDDOut[21]= p Csc@p zD

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Creando grficas 2D y 3DAqu est la grfica de una funcin de una variable. La lista {x, 0, 4} especifica elrango de la grfica.

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2004 Mar.

La siguiente instruccin diferencia el resultado previo.

In[25]:= D@%, xDOut[25]= -

14 a3 Ha - xL - 14 a3 Ha + xL - 12 a4 H1 + x2a2 L

Puedes usar Simplify para obtener de regreso el integrando original.

In[26]:= Simplify@%DOut[26]=

1-a4 + x4

Integrate tambin trabaja con integrales definidas, as como integrales multiples.NIntegrate encuentra la aproximacin numrica de una integral. Aqu est la integraldefinida 01 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!2 - x2 - x6 dx. In[27]:= NIntegrate@Sqrt@2 - x^2 - x^6D, 8x, 0, 1

En Mathematica, se puede evitar tales problemas usando reglas de transformacin. Laregla x 3 representa x es reemplazada por 3. Aqu el smbolo /. aplica antes laregla a la expresin pero no asigna ningn valor a x en el proceso.

In[31]:= 1 + x^2 + x^4 + x^5 . x 3Out[31]= 334

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Resolviendo ecuaciones simblicamenteLas ecuaciones son escritas con la notacin == . El segundo argumento de Solve es lavariable respecto de la que hay que resolver. Las soluciones son regresadas como reglasde la forma x value.

In[32]:= Solve@x^2 + x a, xDOut[32]= 99x 1

2H-1 - !!!!!!!!!!!!!!1 + 4 a L=, 9x 1

2H-1 + !!!!!!!!!!!!!!1 + 4 a L==

El operador = se reserva para asignar valores a las variables. Si usas = en vez de ==,Solve te previene, pero se pudo haber asignado el valor a la variable, sin darnos cuen-tas.

Se pueden resolver ecuaciones con ms de una variable. En la salida, cada sublista repre-senta una solucin.

In[33]:= Solve@8x^2 - k^2 0, y^2 x^2

NSolve regresa una lista de reglas. Para obtener los nmeros de x, simplemente seaplica esas reglas a x usando el operador /.

In[36]:= x . solutionsOut[36]= 8-0.682328, 0.341164 - 1.16154 , 0.341164 + 1.16154 0

In[54]:= Edisco = -Grad@PotencialDisco, Cartesian@x, y, zDDOut[54]= 9-2 k p ikjj-1 + x!!!!!!!!!!!!!!!R2 + x2 y{zz s, 0, 0=

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Ejemplos en electrosttica: Disco cargado ... [Parte b]Para obtener el campo elctrico producido por un plano infinito, hacemos que el radio deldisco vaya a infinito,

In[55]:= Eplano = Limit@Edisco, R DOut[55]= 82 k p s, 0, 0R *L,4 p r2 Einside qEnclosed H* r

Ejemplos en electrosttica: Esfera cargada uniformemente [Parte c]In[74]:= vv@x_, y_, z_: 0, R_: 1, rr_: 1D :=

If@r < R, vIn@r, RD Evaluate,vOut@r, RD EvaluateD . 9r -> !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 + z2 , r rr=

In[75]:= vPlot = ContourPlot@vv@x, yD , 8x, -2, 2

c. Anime el campo elctrico esttico de un dipolo rotando. Esto es, considere un dipoloque est girando alrededor del eje-y con un ngulo q, y grfique el campo elctrico deeste dipolo in el plano 8x, z< para una secuencia de valores de q.Solucin

In[84]:= Off@General::spell1D;Off@General::spellD;

In[86]:= Clear["Global`*"];

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Ejemplos en Electrosttica: Campo elctrico de un dipolo [Parte a]In[87]:= monopole@q_, p0_: 80, 0, 0

In[91]:= plot =PlotGradientField3D@

-dipole . 8q 1, d 1< Evaluate,8x, -0.5, 0.5

In[92]:= Show@plot, ViewPoint -> 80, 3, 0< D;

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Ejemplos en Electrosttica: Campo elctrico de un dipolo [Parte b]In[93]:= Needs@"Calculus`VectorAnalysis`"D;In[94]:= x2rRule = Thread@8x, y, z<

CoordinatesToCartesian@8r, q, j

In[97]:= eField = -Grad@dipoleR, Spherical@r, q, jDDOut[97]= 9 2 d q Cos@qD

r3,

d q Sin@qD

r3, 0=

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Ejemplos en Electrosttica: Campo elctrico de un dipolo [Parte c]In[98]:= rotDipole@q_D =H monopole@+1, 1 2 8+Sin@qD, 0, +Cos@qD