This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
التفاضل والتكامل calculus بشقيه: التفاضل differentiation والتكامل integration. ومن ناحية أخرى فإن المحتوى ينمو ا (في كل صف) بحيث يتضمن وحدات من فروع مختلفة تعكس - إلى ا في كل فرع، ويتوزع أفقي ا (عبر الصفوف) وحلزوني رأسي
حد ما - وحدة الفكر الرياضي. ويراعى في جميع الحاالت التناغم الرياضي لمتطلبات الوحدات على اختالف انتماءاتها الفرعية
ولخدمة العلوم األخرى ذات الصلة.
Draft
äÉ«°VÉjôdG ¢ùjQóJ ±GógCG
الرياضيات مادة حية تنمو وتتطور، وقد نشأت أصال لخدمة حاجة اإلنسان في حياته العملية، وما زالت هي األداة األساسية
لحل المشكالت وخدمة العلوم األخرى، بل إن التقدم التقني المعاصر هو تقدم يستند إلى األساليب الرياضية، والنماذج الرياضية
التي تستخدم لبناء وتطوير األجهزة والبرمجيات التي تستخدم فيها. وال يقتصر استخدام الرياضيات على العلوم الطبيعية والهندسية
والطبية والزراعية والفيزيائية، ولكنها تستخدم أيضا في العلوم اإلنسانية واالجتماعية بل وفي الفنون واللغويات. من ناحية أخرى
فإن الرياضيات ذاتها تتقدم وتتطور، فهي من حين آلخر تلتفت إلى نفسها لتعيد بناء تركيباتها وأساليب براهينها ومعالجتها وترتيبها،
ومن ثم فهي دائما تأتي بالجديد سواء ظهر بصور رياضية بحتة أو من خالل التطبيقات الواسعة، خاصة في االقتصاد وفي وسائط
االتصال اإللكتروني وتقنية المعلومات، ومعادالت ومتباينات التوقعات في المجاالت المختلفة. وال شك في أن المدرس ال بد أن
يكون على وعي وعلى دراية ولديه ثقافة رياضية عامة عن المادة التي يقوم بتدريسها.
والمدرس - بطبيعة الحال - يواجه دائما بالسؤال العتيد ªلماذا نعلم الرياضيات؟»
هناك أكثر من طريقة للتعريف بأهداف تعليم الرياضيات، أشهرها تصنيف األهداف إلى:
١ .Cognitive أهداف معرفيةتتعلق بالمفاهيم والنظريات والمهارات العقلية المتدرجة والمتنوعة في تعلم معارف رياضية كثقافة عامة أو كإعداد لدراسات
تالية في المراحل التعليمية المتتابعة. وهناك ثالثة مستويات معرفية: مستوى أدنى، ويتضمن مجرد تذكر المعلومات واستيعابها؛
ومستوى متوسط، ويتضمن التطبيقات المباشرة لما يتعلمه الطالب من قوانين ونظريات، ومستوى أعلى، ويتضمن تنمية مهارات
التفكير العليا، وحل المشكالت بما تتطلبه من تحليل وتركيب وتقويم لمسائل وعالقات ومواقف رياضية وتطبيقية.
٢ .Affective أهداف وجدانيةتتعلق بتقدير appreciation الرياضيات كعلم ومجال وأسلوب تفكير بشري، وتقدير الرياضيين وإسهاماتهم، وتكوين ميول
واتجاهات إيجابية نحو دراسة الرياضيات، ونحو دورها في التقدم ونحو أساليبها في التفكير ودقة لغتها في االتصال سواء بالرمز
أو بالشكل البياني.
٣ .Psychomotor أهداف نفسحركيةيقصد بها تنمية مهارات عملية، مثل اإلنشاءات الهندسية، واستخدام أدوات ذات طابع رياضي هندسي أو حسابي أو حوسبي
(متعلقة بالحاسوب) سواء في صورة آالت حاسبة calculators أو حواسيب computers، ومساعدة الطالب على اكتساب مهارات
استخدام التقنية المتاحة من أجهزة وأقراص مدمجة CDs جاهزة مناسبة.
Draft
¢ùjQóà∏d áeÉY äÉ«é«JGôà°SEG
ï إستراتيجية التدريس: هي خطة تحركات المدرس في تحقيق أهداف الدرس، مع مالحظة أن الهدف األساسي للتدريس
والتعليم هو أن يتعلم الطالب. ويقاس نجاح اإلستراتيجية بمدى كفاءتها في أن يتعلم الطالب ما قصد لهم أن يتعلموه بغرض
.constructivism مساعدتهم في أن يبنوا بأنفسهم ويكتشفوا المعارف التي يتعلمونها في ضوء النظرية البنائية
ï:وتتضمن إستراتيجية التدريس أن يقوم المدرس باآلتي
ï.(وقد يكون قصة تاريخية) التقدم بمسألة أو سؤال يثير انتباه الطالب
ï.إعطاء فرصة للطالب للمناقشة
ï ا، وأعمال فردية يفكر فيها كل طالب بنفسه، وأعمال توزيع العمل بين أعمال تعاونية في مجموعات صغيرة تعمل تعاوني
جماعية يحدث فيها تفاعالت بين المدرس والطالب وبين الطالب أنفسهم.
ï في نهاية كل مناقشة أو عمل تعاوني أو عروض من جانب بعض الطالب يقوم المدرس بتلخيص واضح لما تم مناقشته أو
حله متضمنا األساسيات: تعريفات، عالقات، منطوق نظريات لها براهين، إلخ.
ï.إعطاء الطالب فرصا داخل الصف أو في المنزل (واجبات) الكتشاف بعض الخواص أو العالقات بأنفسهم
ï.تشجيع الطالب على إعطاء حلول أو براهين بديلة
ï عند تدريس أي مفهوم أو عالقة بين عدة مفاهيم يعطي المدرس، ويطلب إلى الطالب، إعطاء أمثلة تمثل المفهوم أو تحقق
العالقة، وأخرى ال تمثلها أو ال تحققها.
ï ابتعاد (المدرس) عن الشرح طوال الوقت وكتابة الحلول جاهزة كاملة على اللوح وطلب نقلها في الكراسات من دون
مناقشة أو محاوالت مسبقة من الطالب.
ï.تنويع السلوكيات (أي طرق التدريس) في الحصة الواحدة
ï الحرص على إعطاء رعاية خاصة في فترة العمل الفردي أو في المجموعات التعاونية للطالب بطيئي التعلم أو من هم دون
المستوى في قدراتهم على التعلم، وكذلك الحال بالنسبة إلى الطالب المتفوقين.
ï تنويع الواجبات سواء داخل الصف أو في المنزل مع مراعاة الفروق الفردية - ليس من الضرورة أن يحل كل الطالب
ªالضعفاء»، فيقدم لهم الحد األدنى، ويالحظ تقدمهم حتى يصلوا إلى جميع التمارين في الكتاب خاصة بالنسبة إلى الطالب
مستويات أفضل متدرجين في الواجبات.
ï.تحديد بعض الساعات للمساعدة خارج الصف في مكتب المدرس أو في المكتبة
ï.مساعدة الطالب على أن يشعر بأنه يمكنه النجاح والتفوق في هذا المقررDra
العالقات بين الدوال المثلثيةالعالقات األساسية بين الدوال المثلثية
الوحدة ٣ الهندسة الفراغيةدروس الوحدة
النقطة الهندسية والمستقيم والمستوي في الفضاءتوازي وتعامد المستقيمات مع المستويات في الفضاء
المجسمات: الموشور واألسطوانةالمجسمات المخروطية: الهرم والمخروطالمجسمات الكروية: الكرة والقطوع
الهندسة
Draft
١١
األهداف:تعيين النقطة في المستوى اإلحداثي والمسافة وطول ◀
القطعة
تقسيم المسافة بين نقطتين ◀
العالقة بين ميل المستقيم وظل الزاوية ◀
العالقة بين ميلي المستقيمين المتوازيين ◀
العالقة بين ميلي المستقيمين المتعامدين ◀
معادلة الخط المستقيم ◀
البعد بين نقطة ومستقيم ◀
نصف ◀ وطول المركز وإيجاد ومعادلتها الدائرة تعريف
القطر
المحتويات:المستوى اإلحداثي. ١تقسيم المسافة بين نقطتين بنسبة معينة. ٢ميل الخط المستقيم. ٣معادلة الخط المستقيم. ٤طول القطعة المستقيمة العمودية على مستقيم معلوم من . ٥
نقطة خارجةمعادلة الدائرة. ٦
الوحدة ١Analytic Geometry Analytic Geometryالهندسة التحليلية
( 1596 - 1650)
Descartes ( ) .(x, y) .(x, y)
. 1596 . . . ." " . . . . " 1650 ."
.
Draft
١٢
مهاراتمفاهيمالمكونات الفرعية
المستوى اإلحداثيتقسيم المسافة
ميل الخط المستقيممعادلة الخط المستقيم
المسافة بين نقطة ومستقيمالدائرة
المتجهات
المسافة بين نقطتينالبعد بين نقطة ومستقيمميل الخط المستقيم
توازي وتعامد المستقيماتمعادلة الخط المستقيم
معادلة الدائرةالصورة العامة لمعادلة الدائرة
إيجاد المسافة بين نقطتين.تقسيم المسافة بين نقطتين.
إيجاد البعد بين نقطة ومستقيم.استخدام اإلحداثيات لحساب ميل الخط
المستقيم.رسم المستقيم بمعلومية نقطة منه وميله.
تعرف المستقيمات المتوازية والمتعامدة.إيجاد معادلة الدائرة ومركزها وطول
كتاب الطالب من صفحة ٦ إلى صفحة ٩األهداف:. ١مراجعة إحداثيات النقاط ◀
إيجاد المسافة بين نقطتين وطول قطعة مستقيمة ◀
إيجاد إحداثيي نقطة المنتصف ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢
المسافة بين نقطتين - طول قطعة مستقميةاألدوات المستخدمة:. ٣
أوراق مليمترية - مسطرة مدرجةالتمهيد:. ٤
المعرفة السابقة المكتسبة:محور السينات ومحور العينات
إحداثيات النقاطالقيمة المطلقة لعدد حقيقي
نظرية فيثاغورسذكر الطالب بإحداثيات النقاط وخاصة النقاط الموجودة على
أحد المحاور.يمكن التحدث عن المحاور الديكارتية. أعلم الطالب بوجود إحداثيات غير ديكارتية: اإلحداثيات القطبية. راجع مع الطالب دائما هي المسافة وأن المطلقة والقيمة المسافة بين العالقة
عدد موجب.ابدأ بقصة ديكارت الذي عمل على ربط الجبر بالهندسة حيث
- ذكر الطالب بنظرية فيثاغورس.توصل معهم إلى قانون المسافة بينأي نقطتين. دعهم يتحققون من أنالقانون يصلح في كل الحاالت
إليجاد طول قطعة مستقيمة بعلم نقطتي نهايتيهما(أفقية، عمودية، مائلة).
- أكد للطالب أن المسافة بين نقطتين أو طول قطعة مستقيمة معينة يعبر عنها بعدد حقيقي موجب.
- وضح المقصود بالرمز |a - b| عدد موجب سواء أكان
n دائما عدد موجب (حيث n a > b أم a < b كما أن عدد موجب).
ªدعنا نفكر ونتناقش»، دع الطالب يالحظون توسع: في فقرة العالقة بين نقطتين موجودتين على خط مواز ألحد المحاور.
نقطتين بين المسافة معرفة إليهم اطلب مساعدة: أفكار موجودتين على خط مواز ألحد المحاور بالحساب الذهني. ªمسألة للتفكير» قد يعمد بعض الطالب إلى استخدام اآللة في الحاسبة إليجاد طول بعض القطع. ذكرهم بأن اآللة الحاسبة
ا خاصة عندما ال يكون العدد مربعا كامال. تعطي جوابا تقريبي
Dividing the Distance Between Two Points with a Given Ratio
تقسيم المسافة بين نقطتين بنسبة معينةDividing the DistanceBetween two Points Witha Given Ratio
كتاب الطالب من صفحة ١٠ إلى صفحة ١٢األهداف:. ١
تحديد إحداثيي نقطة تقسيم قطعة مستقيمة:
من الداخل ◀
من الخارج ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢
تقسيم قطعة مستقيمة من الداخلتقسيم قطعة مستقيمة من الخارج
األدوات والوسائل:. ٣أوراق مليمترية - مسطرة مدرجة
التمهيد:. ٤المعرفة السابقة المكتسبة:
إحداثيات النقاط - النسبة - نظرية طاليسبعض أعطهم بالنسبة. أيضا ذكرهم طاليس. بنظرية الطالب ذكر ابدأ والنسبة. طاليس نظرية استخدام حلها يوجب التي التمارين بنقطة المنتصف، لقطعة مستقيمة أفقية، لقطعة مستقيمة عمودية، ثم x2) حتى تصل إلى
, y2) ،(x
1, y
1لقطعة مستقيمة مائلة بين النقطتين (
.,
x x y y2 2
1 2 1 2+ +c l
النتيجة العامة إلحداثيي نقطة المنتصف التدريس:. ٥
B ،A لتقسيم المسافة بين نقطتينبنسبة معينة (من الداخل)، ابدأ
Aبقطعة مستقيمة أفقية ثم بقطعة D
CE
B
F( , )yx1 1
( , )yx1 2( , )yx2 2
O مستقيمة عمودية ثم بقطعة مائلة. هو C لنقطة األفقي اإلحداثي أن يالحظون الطالب دع C واإلحداثي الرأسي لنقطة ،F اإلحداثي األفقي نفسه لنقطة
.E هو اإلحداثي الرأسي نفسه لنقطةحقق القانون العام على نقطة المنتصف.أعط مثاال يوضح ذلك (تتضح فيه نقطة
التقسيم على ورقة مربعات مثال).لتقسيم قطعة مستقيمة AB منالخارج في نقطة C بنسبة معينة(مثال 4:1) حولها مسألة لتقسيم
1 2
2
4
4
5 6
6
7 8
810
12
3O
3C ,5
28b l
B ( , )4 8
A ( , )1 4
AC من الداخل بنسبة 3:1.
الربط:. ٦(1:4) CB:CA (أ) أوجد نسبة
D (ب) احسب إحداثيي نقطةمن خارج القطعة AB بالنسبة:
O xC(3, 0)
B(4, 1)
A(-1, -4)
y
DB:DA = 1:4D ,3
1738
b l; E
أخطاء متوقعة:. ٧يرتكب بعض الطالب األخطاء في احتساب إحداثيي النقطة الضرب على شدد الداخل. من AB القطعة تقسم التي
التقاطعي.ذكر الطالب بوجوب االنتباه إلى جهة التقسيم.
وهنا يمكن إعادة المثال األول صفحة ١٠ بتقسيم PU لجهة U بدل P كما في المثال.
التقويم:. ٨أفكار مساعدة: دع الطالب يتأكدون من صحة اإلجابة وذلك باستخدام المسطرة وقياس المسافة بين نقطة التقسيم وطرفي
القطعة.
Draft
١٨
(x, y)
x3 1 4
82
1 7 3 5# #= +
+ =- =--] g
1 ( 4).y
3 1 45
1 253 3# #
= +- +
= =
.(-2, 1.25)
- B A C . ( 2, )B 3- (3, 4)A - .BC = 2AC
.AC:BC = 1:2 :-. AB
- .B(4, 8) A ,1 2^ h
.4:1 C B AB .C
.AB C AB C C ,x y^ h .AC:BC = 4:1
AB:BC = 3:1 3:1 AC B(4, 8)
:
(1) x x3 1
3 1 14
3 14
#+
+ +==
x = 5 3x + 1 = 16 :
(2) 3 3 2y y
3 1 4 82 1#+
+=
+=
y = 10 3y + 2 = 32 : . C(5, 10)
: C
5x 4 14 4 1 1
316 1# #
= --
=-
= .
y 4 14 1
38 2 32 2
10# #
= --
=-
=
.
. C(5, 10)
فكر متطور: اطلب إلى الطالب تقسيم القطعة AB من الداخل A والخارج لجهة
C بنسبة 1:3 ولتكن
وD هاتين النقطتين.
اسألهم في أي نسبة
A BCD .CD القطعة A تقسم
اطلب إلى الطالب حل التمارين رقم: 2، 3، 5 في الصفحة 12.
تأكد من أنهم يستخدمون التقسيم من الداخل ومن الخارج
بشكل جيد.
مالحظة حول التقسيم من الخارج:كرر للطالب أنه باإلمكان استنتاج التقسيم من الخارج كحالة
من التقسيم حالة في وأنه الداخل، من التقسيم من خاصة
الخارج تكون نقطة التقسيم من جهة النقطة التي يكون عندها
حد النسبة األصغر.
إحداثيات باحتساب البدء قبل تقريبي رسم وضع على شدد
نقطة التقسيم من الخارج.
معادالت التقسيم من الخارج: AB تقسم C حيث C (x, y)و B (x
2, y
2A (x و(
1, y
1لتكن (
من الخارج بنسبة m:n تكون:
y mmy ny
n2 1= -- x و m
mx nxn
2 1= --
تدريب ص ١٢: في التمرين 5، ذكر الطالب بإمكانية االستفادة من معرفة مساحة المثلث إليجاد مساحة متوازي أضالع. قد
يجد بعض الطالب صعوبة في حل التمرين 3. شجعهم على
إعادة المحاولة.
AB بنسبة 2:3 من الداخل فكر متطور: طريقة أخرى لتقسيم مستقيم نصف نضيف ثم AB القطعة أوال نرسم .A لجهة
مبدأه A. بواسطة الفرجار نرسم على AX قطعا متساوية الطول
الخامسة القطعة نهاية يصل مستقيما ا خط نرسم .5 عددها
بالنقطة B ونرسم مستقيما آخر مواز لألول انطالقا من نهاية
C القطعة الثانية. نحصل على النقطة
التي تقسم AB كما هو مطلوب.
مسألة اليوم:. ٩يوجد خلل في مؤشر السرعة في السيارة. لذلك، فالسرعة التي
يحددها المؤشر تزيد بمقدار %10 عن السرعة الصحيحة. ما
100؟ km/h سرعة السيارة عندما يحدد المؤشر سرعة
(90.9 km/h)إجابات وحلول:. ١٠
تدريب ص ١١(١) استخدم قانون التقسيم من الداخل،
C ,34
35-
b l
D ,21
21-
b l ،AB منتصف D (٢) لتكن
,47
49-
b l ،AD منتصف
,43
45-
b l ،DB منتصف
Ox
y
,21
21-
^ h
( , )2 3-
, )2 3(-
)4( ,3 - ( , )3 4-
C D
B B
A A
Draft
١٩
( , )x yB 2 2 ( , )x yA 1 1
AB C(x, y) : B m:n
x m nmx nx12= --
y m nmy ny12
= --
- 3:2 AB .B(-2, 3) A(3, -4)
- C(2, 4) B(1, 6) A(0, 8) :
BC A ( )CA B ( )AB C ( )
. - (-3, 4) (1, -1)
. -(2, 5) (9, -3) (4, 7) -:
.C(11, 8) B(9, 5) A(3, 5)
( )D
. ( ) 0
تدريب ص ١٢(-12, 17) (١)
(٢) (أ) A تقسم BC من الخارج بنسبة 1:2
(B من جهة)
(ب) B تقسم CA من الداخل
بنسبة 1:1 (منصف)
AB تقسم C (جـ)
من الخارج بنسبة
(B من جهة) 1:2
,C 31
32-
b l (٣)
,D 35
37-
b l
ABC (٤) نقطة تالقي المستقيمات المتوسطة في المثلث
,x x x y y y
3 31 2 3 1 2 3+ + + +
b l هي
(x3, y
3)
(x2, y
2) (x
1, y
1)
M
2
1
الحل ويمكن التمرين. هذا قبل كتمرين ذلك إعطاء ويمكن
بالخطوات نفسها.
M(5, 3) النقطة المطلوبة
AB = 6 = CD (أ) (٥)
D(x, y) حيث y = 8 (لماذا؟)
(x - 11)2 + (y - 8)2 = 36
x = 5
x = 17 فسر اإلجابة
(ب) المساحة:
(وحدة مربعة) 18 = 6 ^ 3
(x, y)D
A B
C
(3, 5) (9, 5)
(11, 8)
Draft
٢٠
* * *
* *
Slope of a Straight Line
- : (d) (h)
35
=
=
-.B A ( )
. ( ) ( )
-. ì î
= :
( )
:(2) (1) .
(l) -.
(k) -.
.l k
52 =
= (l)
53
- =
= (k) ( )
( )
B
A
(k)
ميل الخط المستقيمSlope of a Straight Line
كتاب الطالب من صفحة ١٣ إلى صفحة ١٩األهداف:. ١حساب ميل خط مستقيم ◀
رسم خط مستقيم عندما نعرف نقطة منه وميله ◀
تعرف العالقة بين ميل المستقيم وظل الزاوية وتطبيقها ◀
كتابة معادلة المستقيمات المتوازية أو المتعامدة ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢
ميل الخط المستقيماألدوات والوسائل:. ٣
أوراق مليمترية - مسطرة مدرجةالتمهيد:. ٤
المعرفة السابقة المكتسبة: إحداثيات النقاط - ظل الزاوية
اطلب إلى الطالب وضع النقاط التالية على شبكة اإلحداثيات:
(0, 4) ، (-3, 0) ، (4, 5) ، (-2, -3)التدريس:. ٥
اسأل الطالب
عما تعني لهم كلمة ميل.
دون بعض اإلجابات على اللوح. دعهم يحددون بعض العوامل
التي تدخل في تحديد الميل.
اسأل الطالب كيف يمكن قياس انحدار طريق ما.
األفقي المحور على تميل ال أنها أي أفقية، الشوارع معظم
أو يعتبر ميلها على األفقي صفرا. ولكن بعض الشوارع تكون
منحدرة أي أنها تكون مائلة على األفقي. أكثر الشوارع
انحدارا في العالم موجودة في
نيوزيلندا. اسألالطالب عن
أو شوارع عن واسألهم أستراليا) (جنوب نيوزيلندا. موقع
النيوزيلندي الشارع هذا انحدار سوريا. في منحدرة طرق
يبلغ 1.266 أي أنه على شكل مستقيم ميله على األفقي يبلغ
1.266، أي أنه يصنع زاوية مع األفقي قياسها حوالى 52°.
اسأل: كيف يمكن أن نقيس ميل المستقيم؟
ا إن أمكن. ومثل لهم ذلك عملي
- قياس الزاوية (مثال)
m xy
=
y
52°
( , )yx1 1
y y( , )2 1
( , )xx2 1
( , )yx2 2
m x xy y
1
2 1
2= -
-
m = التغيير العمودي
التغيير األفقي
زاوية منفرجة
الميل السالب الميل موجب
زاوية حادة
يمين يساريمين يسار
الميل الموجب يعني أن المستقيم يصنع زاوية حادة مع االتجاه الموجب لألفقي
المستقيم أن يعني السالب الميل يصنع زاوية منفرجة مع االتجاه
الموجب لألفقي
إلى أسفلإلى أعلى
O O
Draft
٢١
. . (t)
. .
.
325
1201000-
=- =
=
:
. 3 25
12
.
(x2
, y2) (x
1, y
1)
: (m) x x2 1! :
m x xy y
2 1
2 1= -
-
x x1 2! :
. ( , )B 5 7 A(-2, 1)
5 ( 2)7 1
76
:m- -
-== AB m x x
y y2 1
2 1
--
=
. ( , )B 4 2 A(1, 2) AB
m x xy y
2 1
2 1
--
= 4 12 2
0= --
=
. AB -. AB : -2 AB :
.y = 2 AB
( )
( )
( )
( )
( )0
0
//
- وضح الميل الموجب والميل السالب.
- الحظ أن ميل خط هبوط الطائرة سالب وميل خط إقالعها
موجب.
ا (يصنع °90 مع الخط األفقي) فإن - إذا كان المستقيم عمودي
ميله غير معرف.
- استخدم فكرة:
m = التغير العمودي
التغير األفقي x x
y y2 1
2 1= -
-
دع الطالب يحسبون ميل
مستقيمات في أوضاع
مختلفة على ورقة مربعات
باستخدام نقطتين على
المستقيم، ومالحظة النتيجة
في حالة المستقيم األفقي
y
x
( , )yx1 1
( , )xx2 1
( , )yx2 2
y y( , )2 1
والمستقيم العمودي.
مالحظة حول المثال (١) ص ١٣:اذكر لهم أن الميل يكون موجبا عندما يكون المستقيم مائال
على األفقي بزاوية حادة ويكون الميل سالبا إذا كانت الزاوية
منفرجة.
في المثال (١) ص ١٣-١٤: دع الطالب يالحظون أن الزاوية تكون حادة عندما يكون الميل موجبا وتكون الزاوية منفرجة
عندما يكون الميل سالبا.
مثال (٢) ص ١٤:بما أن كتابة الميل تأخذ شكل كسر، قد يعتقد بعض الطالب
ì مثل 4 أو 3. أن الميل ال يمكن أن يكون îعددا صحيحا
... 14 * ذكرهم بأن 4 تكتب
* ذكرهم بأن ميل المستقيم األفقي هو صفر واسألهم بم تتميز
نقاط الخط األفقي.
* ذكر الطالب بأنه ال يمكن قسمة أي عدد على صفر وأنه في
.ERROR حال استخدام اآللة الحاسبة فإنها تعطينا
O
O
y
x
Draft
٢٢
. D(4, -1) C(4, 5) CD
4 41 5
06
m x xy y
2 1
2 1= -
-= -
- -=
-
.( = ) CD :
-. CD -4 CD
: .x = 4 CD
-:( ) ( ) ... AB ... CD
-: ( ) EF *
... = EF ... EF
:LN *...= LN
... LN
. 23
- (1, 2)
.( ) A (1, 2)
.( ) B 23
-
.AB B A
2 3 -3 .( )
( )
o
yl
E
N
F
1
1-2 -1-1
2
2 3 4
( )
( )
( )
x
الربط:. ٦يجد إحداثياتهما. مع نقطتين يأخذان معا. طالبين كل يعمل األول ميل المستقيم بواسطة القانون أما اآلخر، فيحاول إيجاد
الميل بقياس طول كل من القطعة األفقية والعمودية.ذكر الطالب بأن:
ميل المستقيم ال يتأثر باختيار النقاط على المستقيم.كل القطع المأخوذة من مستقيم واحد لها الميل نفسه.
المستقيم العمودي ال ميل محدد له، أما الخط المستقيم األفقي فميله صفر.
أخطاء متوقعة:. ٧قد يخلط الطالب بين ميل الخط المستقيم والزاوية مع االتجاه
الموجب لمحور السينات.التغير العمودي
التغير األفقياشرح لهم أن الميل هو نسبة:
وأن هذه النسبة تبقى ثابتة ويمكن أن تكون موجبة أو سالبة أما الزاوية فهي دائما موجبة.
التقويم:. ٨اطلب إلى الطالب حل التمارين 2، 4، تأكد من صحة إجاباتهم
وحسن استخدامهم للمعلومات المكتسبة.مسألة اليوم:. ٩
عددان طبيعيان بين صفر ومئة، كالهما مربع كامل ومكعب كامل. ما هما؟ (1، 64)
إجابات وحلول:. ١٠تدريب ص١٥
(١) ميل AB موجب، ميل CD سالب.(٢) ميل EF صفر، ميل LN غير معرف.
الحظ أن: معادلة المستقيم هي العالقة بين إحداثي نقطة متغيرة ) عليه. , )x y
- بالنسبة إلى المستقيم األفقي EF: جميع نقاطه لها اإلحداثي (y = ثابت) y = 3 العيني نفسه 3. معادلته
- المستقيم العمودي LN: جميع نقاطه لها اإلحداثي السيني (x = ثابت) x = 2 نفسه 2. معادلته
- بناء على ذلك يمكن استنتاج أن:y = 0 معادلة محور السيناتx = 0 معادلة محور العينات
لمعادلة صورة في منزلي كواجب يفكرون الطالب دع -المستقيم المائل.
ا مثل: أوجد نقطة على (٥) قبل هذا التمرين أعط تمرينا تمهيديالمستقيم الذي معادلته 5x - y + 2 = 0 يمكن طلب أكثر من نقطة، ويمكن طلب إعطاء أمثلة لنقاط تقع عليه وأخرى ال
تقع عليه.y وابحث عن x = 0 مثال: ضع C إليجاد نقطة -
9= (جـ) .B ، C اطلب إلى الطالب بحث ما يمكن استنتاجه من
m m 11 2 !- (د) AC 41= , BC = 9 , AB 52= (هـ)
(١٠) (أ)
c (االستهالك)
(األيام)d
85
17
0 85d c&= = (ب)
0c d 17&= =
c الجزءان المقطوعان من المحورين d85 17
1+ = أو
c = 0 (انتهاء الطعام)، d = 17 (عدد األيام)
(جـ) معدل االستهالك = ميل المستقيم
c = -5d + 85 = -5
o Draft
٣٣
A
B
(0, -6)
(13, 90)
التكلفة
(3, 30)
90
3012
3 13 x
y
(3, -4)
(9, 0)
. ( ) ( )
( )- (2, 3)
.(5, 9) (4, 1)- B(7, -5) A(-3, 1) AB C
.C AB - 2x + 5y = 10
.- (-2, 4)
( ) .9 - 2x - 3y = 18
(-7, 4) . B A .A 2:1 AB
- 30 : 13 km 90 3 km (x) (y)
.
( )
( ) ( )
( ) (30 km = )
(١١) نقطة التنصيف (2 ,3)، المعادلة المطلوبة:
2y = 7x - 17
معادلة إليجاد يرونها التي الصورة اختيار للطالب اترك
المستقيم المار بنقطتين.
3y - 5x + 16 = 0 (١٢)
1x y5 2 =+
، 2x + 5y = 10 (١٣)
المساحة:
2 5 521
# # = (وحدة مربعة)
a ويحقق (4 ,2-)x
ay
9 1=+ - (١٤)
a = -3 أو a = 6 تعطي a2 - 3a - 18 = 0
x y3 12
1=- + x أو y16 3 =+ المعادلة:
وكل منهما يحقق (4 ,2-)
المعادلة y جزء من x جزء من
1x y6 3 =+ 3 6
1x y3 12
=+- 12 -3
1x y9 6 =+- (١٥)
نقطة التقسيم (4- ,3)
المعادلة المطلوبة تمر بالنقطتين
:(-7, 4) ، (3, -4)
5y + 4x + 8 = 0
(١٦) المعادلة الخطية تحقق النقطتين (30 ,3)،
.y = 6x + 12 (90 ,13) وصورتها
(أ) عند بدء التشغيل توجد تكلفة ثابتة قدرها 12 ليرة ويمثلها
الجزء المقطوع من محور العينات.
بدء بعد الواحد الكيلومتر تكلفة يمثل المستقيم ميل (ب)
التشغيل.
(جـ) ال معنى هنا للجزء المقطوع من محور السينات.
(د) التكلفة:
o
o
y
x
Draft
٣٤
l1
(3, 10)
y=4
l1=6
(8, 4)
x=3 l2
l2=5
(x 1 ,y 1
)
ax+by+c=0l
Distance Between a Point and a Straight Line
l M M(x1, y
1)
ax + by + c = 0 : l
ha b
ax by c2 2
1 1
=+
+ + : l M
ax1 + by
1 + c |ax
1 + by
1 + c|
M(x1, y
1)
ax + by +
c = 0
ï
6x + 8y - 25 = 0 (10, 5)
:
ha b
ax by c
6 8
6 10 8 5 252 2
1 1
2 2
# #=+
+ +=
++ -
.64 36
60 40 251075
7 5=+
+ - = =
. 7.5
*
12 30 6 192# =+ البعد بين نقطة ومستقيمليرة Distance Between a Point and a Straight Line
كتاب الطالب من صفحة ٢٩ إلى صفحة ٣٠األهداف:. ١تعرف البعد بين نقطة ومستقيم ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢
البعد بين نقطة ومستقيماألدوات والوسائل:. ٣
مسطرة مدرجة - مثلث رسم الزوايا القائمةالتمهيد:. ٤
أوال: مراجعة ما يلي: معادلة المستقيم - القيمة المطلقة - موقف حياتي
ثانيا: اسأل الطالب: كيف يمكننا إيجاداالرتفاع الجانبي للهرم؟
التدريس:. ٥- ابدأ بإيجاد طول قطعةمستقيمة عمودية نازلةمن نقطة معلومة على
مستقيم أفقي (يوازي محور السينات).- اطلب طول قطعة مستقيمة عمودية
نازلة من نقطة معلومة على مستقيم عمودي (يوازي محور العينات).
أفكار مساعدة:- دعهم يبحثون عنطريقة إليجاد طول
قطعة مستقيمة عموديةنازلة من نقطة معلومة
.(ax + by + c = 0) على مستقيم مائلì ويعبر - الحظ أن الطول عدد îموجب
.x وتعني القيمة الموجبة للعدد |x| عنه بالرمز- أعط القانون
lax by c
a b
1 1
2 2=
+ +
+مصحوبا بمثال عددي.
خطوات اشتقاق القانون:Aí نقطة اإلسقاط العمودي للنقطة A(x ولتكن
1, y
1لتكن النقطة (
.l هو متعامد مع المستقيم ( , )n a b A على المستقيم l. المتجه
l l ll lln n. AA' AA' AA'a b2 2# #= = + . AA'n ax by c1 1= - - - أيضا
AA'a b
ax by c2 2
1 1
=+
+ +نستنتج:
مالحظة: تعتبر خطوات اشتقاق القانون هذه للمدرس فقط.ا - طبق القانون على الحاالت التي يكون فيها المستقيم أفقيا للتدريب على استخدام القانون والتعويض المناسب. وعمودي
ما مثلث مساحة إيجاد القانون هذا باستخدام يمكن توسع: حيث البعد بين نقطة رأس المثلث والمستقيم الذي يمر بطرفي القاعدة يمثل ارتفاع المثلث. كما يسمح أيضا بإيجاد البعد بين
مستقيمين متوازيين.الربط:. ٦
3x - y + 1 = 0 ومعادلته (d) لنأخذ المستقيمأين تتواجد النقاط التي تبعد 3 وحدات طول عن المستقيم (d)؟
الحل: على أحد المستقيمين المتوازيين ومعادالتهما:3x - y + 1 + 3 010 = 3x - y + 1 و 03 10 =
تمرين إضافي: لنأخذ المستقيم (t) ومعادلته:2x + 3y - 1 = 0 والنقطة A(2, 3). دع الطالب يجدون يجدون ثم ،A النقطة من (t) مع المتعامد المستقيم معادلة AH وأخيرا طول القطعة H إحداثيات نقطة تقاطع المستقيميناسأل الطالب ما يفضلونه: القانون المقترح أو هذا التمرين؟
o
o
o
y
y
x
xDraft
٣٥
A(-1, 7)
C(-4, 1)
B(2, 3)l
A
B C
(d)
( )D
للمتفوقين:(d) و(9) مستقيمان متوازيان.
في Cو B وبقيت (d) المستقيم على (A) موقع تغير إذا مكانهما، فإن مساحة المثلث ABC ال تتغير. برهن ذلك.
نشاطy ويحددون b ، a منذ البداية. فمثال
1 ، x
1دعهم يدركون موقع
إليجاد المسافة بين النقطة (10 ,8)والمستقيم y = 5 باستخدام القانون:
la b
ax by c2 2
1 1
=+
+ +
( )x y0 1 5 0# # =+ + - معادلة المستقيم: c = -5 ، b = 1 ، a = 0
(x1, y
1) = (8, 10)
( ) ( )
( )
0 1
0 8 1 10 51
10 52 2
# #=
+
+ + - -l == 5
(10 ,8)وهو ما نحصل عليه l
y=5x
yمباشرة من الشكل:
أخطاء متوقعة:. ٧غير بالقيم أي الصحيح، غير التعويض الشائعة األخطاء من
A(2, -4) y = 3x - 7 المناسبة للقانون. مثال:
l9 1
3 2 4 7
10
5210#= = =
+- -
والخطأ هو عدم كتابة معادلة المستقيم بصيغة:ax + by + c = 0
التقويم:. ٨كلف الطالب حل التمرين رقم ٢ صفحة ٣٠ وتأكد من أنهم
يطبقون القانون بشكل صحيح.مسألة اليوم:. ٩
أراد محمود قياس نصف قطر قناةهواء المكيف. استخدم مسطرته
60 cm
60 cm27.5 cm
O
بتشكيل زاوية ووجد القياسات (51.7 cm) .المبينة في الرسم. أوجد نصف قطر القناة
إجابات وحلول:. ١٠تمارين ص ٣٠
4l
3
3 2 4 5 5531# #= =+ +
+ 22] ]g g
(١)
x - 3y + 7 = 0 : BC (٢) (أ) - معادلة
1.5l10
15 15 1010
10= = = (ب) -
BC 240 10= = (جـ) - BC ABCl21# # 9= (د) - مساحة
= 10 ^ 1.5 = 15
-. (2, 5) 3x + 4y + 5 = 0
-: C(-4, 1) B(2, 3) A(-1, 7) .BC ( )
.BC A ( ).BC ( )
.ABC ( )-: C(2, -3) B(-1, 3) A(3, -1)
.BC A ( ).BC ( )
.ABC ( )-.E(4, 7) N(5, 2) M(-6, -8) ( , 5)L 9 -
. ( ) .ME N L ( )
- (3, 4) (-1, 2)
. 43-
- (0, 3) .(-1, 0) (4, 5)
- : . (3, -2) 2x - y + 1 = 0 :
(4, 1) .(-1) -
.2x - y + 3 = 0 :(12, 3)
-. A*B C
A
B C
x
y
0
(٣) كما في (٢):ME (٤) معادلة
3x - 2y + 2 = 0L 131 3x =
Nx 132 =
l520
4= = (٥)
x - y + 1 = 0 :(٦) معادلة المستقيم3 2
2
0 1
2=- + طول العمود:
ا) ألي مسألة يساعد على (٧) الحظ أن رسم شكل (ولو تخطيطي
الحل.
البعد بين منزل أحمد والطريق األولى:
4 1
2 4 1 158
5# =
+- +
البعد بين منزل أحمد والطريق الثانية:
1
4 1 1 42 2
1 2=
++ - =
يختار أحمد الطريق الثانية ألنها أقصر.
4 1
2
5
12 3 3 24# =+- + (٨) طول الخرطوم:
29
17 (٩)
y
x
E
N
L
M
(4, 7)
(5, 2)
(9, -5)
(-6, -8)
x2
x1
Draft
٣٦
6 m .
.
. .(r)
( )
. 5
.OA = r = 5 ( ) A (x, y) :
(x - 0)2 + (y - 0)2 = (OA)2 = 25x2 + y2 = 25
.
(r) A (x, y)
.x2 + y2 = r2 : O (0, 0)
M0(x
0, y
0)
.(r) :
= ( ) ( )x x y y2 12
2 12- + -
( ) ( )r x x y y02
02= - + -
( )x y rx y02
02 2- + - =^ h
M0(x
0, y
0)
: (r) ( ) ( )x y rx y0
20
2 2- + - = M
0(x
0, y
0)
.(r)
* *
*
*
Circle
r
(0, 0)o
A (x, y)
r
M0 (x
0, y
0) r
A (x, y)y
x
Circle الدائرة كتاب الطالب من صفحة ٣١ إلى صفحة ٣٦
األهداف:. ١تعريف الدائرة ومعادلتها ◀
تعرف الصورة العامة لمعادلة الدائرة وتوظيفها ◀
إيجاد مركز الدائرة وطول نصف قطرها ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢
مركز الدائرة - نصف قطر الدائرةاألدوات والوسائل.. ٣
مركز الدائرة - فرجار - آلة حاسبةالتمهيد:. ٤
أوال: مراجعة ما يلي:كيفية إيجاد المسافة بين نقطتين - كيفية إيجاد البعد بين نقطة
ومستقيم - المربع الكاملثانيا: استخدم المعادلة: x2 + y2 = 25، والناتجة في المثال
(١) واسأل الطالب:(١) ما قيمة y عندما تكون x = 0؟(٢) ما قيمة x عندما تكون y = 4؟
المستطيل الذهبي والنسبة الذهبية ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ١
التشابه - النسبة الذهبيةاألدوات والوسائل: . ٢
ورق رسم بياني - مسطرة مدرجةالتمهيد: . ٣
ذكر الطالب بما يلي:
- مفهوم تطابق المثلثات.
- نظرية فيثاغورس.
اسأل الطالب إذا كانت أزواج الكسور التالية متكافئة:
32 و20
5635 4؛
4 و28 32؛
12 8 و3
وتشابه. تناسب لكلمتي اللغوي المفهوم الطالب مع ناقش اسألهم إذا سبق ورأوا على التلفاز أو في السينما أماكن شهيرة أو مواقع أثرية تحترق أو تدمر، وكيف أن اإلخصائيين قادرون
على محاكاة الواقع وتشبيهه بواسطة الحاسوب.
أخيرا ذكر الطالب بتطابق المثلثات ثم المضلعات.التدريس:. ٤
المضلعان يكون كيف الطالب يتعلم سوف الدرس هذا في
متشابهين وكيف تكتب نسبة التشابه.
أسئلة للتفكير: اطلب إلى الطالب تعليل إجاباتهم؛ واسأل طالبا آخرين إذا أقنعتهم إجابات رفاقهم.
اطلب إلى الطالب إحضار صورة فوتوغرافية لمن تتوفر لديهم
والقيام بتنفيذ أشكال مشابهة لها.
قد يجد بعض الطالب صعوبة في تحديد األضالع المتناظرة
في شكلين هندسيين. قد يفيدهم رسم أحد الشكلين ومحاولة
تقريبه للرسم اآلخر بواسطة اإلزاحة أو الدوران أو الطي.
يمكن الطلب إلى المجموعات اختيار أثر تاريخي أو رمز وطني
مع صورته في إحدى المجالت ثم إيجاد مقياس الرسم.
التناسب والتشابهProportion and Similarity
Draft
٤٢
The Golden Ratio .
: 1 = x = ABCD
: EBCF ABCD AB
CFBCBC
=
(0 � ) x x1 11
= -
x(x - 1) = 1 ^ 1: x2 - x - 1 = 0
x 21 5
=- x 2
1 5=
+
1,6x 21 5
b=+
. 1.6:1
x 2
1 5=
-
.3 cm -.5 cm -
.
: ( 1519 - 1452)
.
:
=
100 m 1 cm
. ...1 km 1 cm
: 2.5 cm :
1.5 cm : :
= 1 200
.x200
1 2 5=
5 m = 1 200 2.5x # #=
: 1 cm :2 m
1.5 cmy =
3 m = y m = 1.5 ^ 2
.
The Golden Rectangle
. EBCF AEFD ABCD :
. ABCD ABCD
1 cm : 2 m
FD C
E
1
A B1 x - 1
تمرين إلى الطالب:نشاط: ارسم مستطيال ABCD إذا كانت إحداثيات رؤوسه هي: ارسم )Dثم 2, 4)- ، ( , )C 46 ، ( , )B 6 2 ، A(-2, 2). أوجد
21 صورته JKLM حيث J(-1, -1) ومقياس الرسم
إحداثيات K ، L ، M. (الحظ وجود أكثر من حل).
المستطيل الذهبي: يمكن أن يحاول الطالب معرفة ما إذا كان ا. اسألهم إذا باب الصف أو حائط الصف يشكل مستطيال ذهبيالسورية العربية للجمهورية الورقية العملة قطع إحدى كانت
ا. تشكل مستطيال ذهبي
أحد طول يقدرون الطالب دع :٤١ ص بيزا برج نموذج في األعمدة في طوابق البرج.
الربط: . ٥(كل
500 0001 بمقياس لسوريا خريطة وضع أردت إذا
1 على الخريطة). ما المسافة cm 500 على األرض تعادل mعلى الخريطة بين دمشق وحلب علما أنها تساوي ما يقارب
350 على األرض؟ kmأخطاء متوقعة: . ٦
المتناسبة األضالع بين الربط في صعوبة الطالب يجد قد والزوايا المتساوية في األشكال المتشابهة. مد يد المساعدة بأن توضح لهم أنه في األشكال المتشابهة توجد الزوايا المتساوية
مقابل األضالع المتناسبة.التقويم: . ٧
اطلب إلى الطالب حل رقم ٧ في التدريب ص ٤١ وحل رياضة عقلية ص ٤٢. تأكد من حسن استخدامهم لنسبة
نسبة التشابه بين محيطي شكلين متشابهين - نسبة التشابه بين مساحتي شكلين متشابهين
األدوات والوسائل: . ٣ورقة مربعات - مسطرة - آلة حاسبة
التمهيد:. ٤اسأل الطالب عن:
- نسبة التشابه في مضلعين متشابهين.- تشابه المثلثات.
- محيط بعض األشكال الهندسية مساحتها.الطالب دع منحرف. شبه ارسم ثم الزاوية قائم مثلثا ارسم
يجدون مساحة كل من الشكلين.التدريس:. ٥
دع ا. هندسي شكال مربعات ورقة على ارسم تعاوني: عمل الطالب يرسمون ضمن مجموعات، ومستخدمين المربعات، أصغر أو أكبر الشكل هذا كان إذا وليحددوا مشابها شكال ويكتبوا النسبة بين قياسات الشكلين. ذكرهم بضرورة تبسيط
الكسر.
3 ومساحته cm مثال إضافي: طول ضلع شكل سداسي منتظم23.4. أوجد مساحة الشكل السداسي المنتظم إذا كان cm2
.(65 2cm ) .5 cm طول ضلعهناقش مع الطالب طريقة أخرى إليجاد مساحة هذا الشكل.
تفكير نقدي: بالنسبة إلى النظرية، اسأل الطالب إذا كان عكس النظرية صحيح:
إذا كانت نسبة التشابه بين مساحتي شكلينa : b = متشابهين
:a b فإن نسبه تشابه الشكلين =
Draft
٥٦
الربط:. ٦ما نسبة محيطي مستطيلين متشابهين إذا عرفنا أن مساحتيهما
75؟ m248 و m2 همامن المعروف أن إنتاج الخضراوات يتناسب مع مساحة قطعة
األرض. إذا أصبحت أبعاد القطعة 2.5 من أبعاد القطعة السابقة
فإن اإلنتاج سيزيد 6.25 مرة.
منتظم، ضلع) n) األضالع متعدد أخذنا إذا الطالب: اسأل
ما العامل الذي نضرب فيه طول الضلع للحصول على مضلع
أعد )؟ 2 ) األول المضلع مساحة ضعف مساحته مشابه
.( 3 التمرين مع ثالثة أضعاف (أخطاء متوقعة:. ٧
متشابهين شكلين محيطي نسبة بين الطالب بعض يخلط قد
وبين نسبة مساحتيهما.
ذكرهم بأن النسبة بين المحيطين هي نسبة التشابه بينما نسبة
المساحات هي مربع نسبة التشابه.التقويم:. ٨
تمرين: الشكالن الرباعيان
RSTWو RíS íT í Wí
هما متشابهان.
جد العالقة بين مساحتيهما.
-2
-2 R
W
T
S
Y
4
2
-4
2 4 6 x
Wl
Tl
Sl
Rl
مسألة اليوم: . ٩تظهر الصور أدناه الوجهتين األمامية والجانبية لمجسم ما. ما
الشكل ثالثي األبعاد لهذا المجسم؟
الوجهة الجانبية
الوجهة األمامية
Draft
٥٧
:
. a ^ b = c ^ d
A C
BD
M
a c
bd
: .M AB CD :
AM ^ MB = CM ^ MD :
:BD AC
AMC DMB=\ \AD B C,V W
� AMC � � DMB : D
AB
CMM
MM
= :. AM MB CM MD# #=
( )
.MA ◊ MB = MC ◊ MD
( )
MA MB MT2
# =
:Circles: Chords and Tangent Segments
* * *
*
B
A
T
M
B
D
AC
M
الدائرة: األوتار المتقاطعة، المماسCircles: Chords and Tangent Segments
كتاب الطالب من صفحة ٥٨ إلى صفحة ٦٠األهداف:. ١
تعرف األوتار المتقاطعة والعالقة بينها
تعرف المماس والعالقة بين طول المماس وطول القاطعالمفردات والمفاهيم الجديدة: . ٢
وتر - مماساألدوات والوسائل: . ٣
منقلة - فرجار - آلة حاسبةالتمهيد:. ٤
اسأل الطالب عن قياس الزوايا المحيطية والزوايا المركزية.التدريس:. ٥
من تقطعان ومركزية محيطية وزاويتين دائرة الطالب يرسم
الدائرة القوس نفسه.
اطلب إليهم إيجاد قياسات الزوايا إذا عرفوا طول القوس.
ارسم المثلثين في الشكل التالي على اللوح.
G
I
J
KH
يكتبوا وأن متشابهان، هما لم يشرحوا أن الطالب اسأل األضالع المتناسبة.
نشاط تعاوني: قد يجد بعض الطالب صعوبة في قياس بعض بدقة. التماس نقطة تحديد على قدرتهم لعدم وذلك القطع ذوي أقالم واستخدام أكبر دوائر يرسموا أن إليهم اطلب
رؤوس دقيقة.قد يجد بعضهم صعوبة أيضا في فهم نظرية العالقة بين وترين
متقاطعين في دائرة ونتائجها.ارسم الشكل على شفافية وأبرز بصورة خاصة النقاط المهمة.
ناقشها مع الطالب.تطبيقات حياتية: تأكد من أن الطالب قد فهموا لماذا يجب أن 96.43 للحصول على قطر الدائرة فنحصل m 21 على m نزيد
.117.43 m على
Draft
٥٨
.90 m
21 m . .
: x ^ 21 = 45 ^ 45
.x 2145 45
96 43#
= =
21 + 96.43 = 117.43 m =
: ( ) 21 m
- : y x
208
6x
85
4y
x
816
11
x
y
8
32
( )( )( )( )
6
- .
. .
-. -.
m
m
اختبار سريع:النقطة C هي نقطة التماس.
(١) أوجد BE إذا علم أن:
29270
9.3b: D AB=9 ،BC= 6 ،IB=5.8
x
A
B
C
D
EF
G
H
I
(٢) أوجد HC إذا علم أن:
3 .HC 14 11 2-=6 @ E| = 15 ، H| = 21
AG أوجد FG=5 وأن DF=14 (٣) نعلم باإلضافة إلى ما سبق أن
٦. الربط:.zو yو x أوجد قيمة
x
z = 12.5 y = 10.9 x = 12.6
معطيات أن الطالب بعض يعتقد قد :٦٠ ص ٥ رقم التمرين المسألة ناقصة. ذكرهم بنظرية فيثاغورس.
ومثال الجيولوجيا تمرين بين الشبه يالحظون الطالب دع
الهندسة المعمارية وهذا يساعدهم على حل المسألة.
العالقة استخدام في الطالب يخطئ قد متوقعة: أخطاء .٧لتقاطع األوتار في داخل الدائرة أو في خارجها. ساعدهم على
فهم كل نظرية في موقعها الصحيح.
٨. التقويم: اطلب إلى الطالب حل التمرينين ١ و٢ في الصفحة ٥٩ والتمرين رقم ٦ في الصفحة ٦٠. تأكد من فهمهم الجيد
لمفهوم النظريات في الدائرة.
x ٩. مسألة اليوم: استخدم الصورة كي تثبت أن ضلع المربع2 دون أن تطبق نظرية فيثاغورس. يساوي
[اإلجابة:
21
b l 1- مساحة المثلث الخارجي
4 21
2# =b l 2- مساحة المربع = أربعة أضعاف مساحة المثلث
(x2)x 3- مساحة المربع بداللة1
1
x
١٠. إجابات وحلول:في الحاالت جميعها تكون االستنتاجات كاآلتي:
على الزوايا لدوال الحسابية القيم إيجاد اآللة الحاسبة
إيجاد عناصر المثلثحل المثلث قائم الزاوية
زوايا االرتفاع واالنخفاضزوايا االرتفاع واالنخفاضاستخدام المثلث قائم الزاوية إليجاد زوايا
االرتفاع واالنخفاض
إشارات الدوال المثلثيةدائرة الوحدةدائرة الوحدة
+Erالعالقات بين الدوال المثلثية E2 وr
- Er و - عالقات
E2r - E2 وr
+ و
العالقات األساسية بين الدوال المثلثية
cos E2 sin و E2 العالقة بين
sec E2 tan و E2 العالقة بين
Ecosec2 cot و E2 العالقة بين
Draft
٦٥
حساب المثلثاتTrigonometry
أوال - استخدام اآللة الحاسبةقبل تقديم إرشادات التدريس، نقدم أوال كيفية استخدام اآللة
الحاسبة العلمية التي بها الدوال المثلثية باإلضافة إلى العمليات
الحسابية العادية.
(١) التحويل من كسور الدرجة إلى الدقائق والثواني مثال (١): حول °30.8 إلى درجات ودقائق وثوان
الحل بالحاسبة (من اليسار إلى اليمين):30.8 °,,, = 30° 48' 00" الناتج اضغط اضغط سجل
أي أن
30.8° = 30°48 0l m
(٢) التحويل من القياس الستيني إلى القياس الدائريمثال (٢): حول °40 إلى قياس دائري
الحل بالحاسبة (من اليسار إلى اليمين):40 X P ÷ 180 = .6981317 الناتج اضغط سجل اضغط اضغط اضغط سجل
40° = 0.69813170 radians أي أن
2.43 إلى القياس الستيني radians مثال (٣): حول:( الحل بالحاسبة (
2.43 X 180 ÷ P = 139.2287442 الناتج اضغط اضغط اضغط سجل اضغط سجل
2.43 radians = 139.2287° أي أن
ولتحويل كسر الدرجة إلى دقائق وثوان:
139.2287442 °,,, = 139° 13' 43.48" الناتج اضغط اضغط سجل
2.43 radians = 139° 13‘ 43.48" أي أن
(٣) إيجاد قيمة النسب المثلثيةsin75° مثال (٤): أوجد
الحل بالحاسبة (من اليسار إلى اليمين):
sin 75 = 0.96592582 الناتج اضغط سجل اضغط
sin 75° = 0.96592582 أي أن
cos43 25% l :(٥) مثال:( الحل بالحاسبة (
cos 43 °,,, 25 °,,, = 0.72637477 الناتج اضغط اضغط سجل اضغط سجل اضغط
cos 43°25‘ = 0.72637477 أي أن
sec17° مثال (٦): أوجدالحل:
cos 17 EXE shift x-1 = 1.04569175 الناتج اضغط اضغط سجل اضغط سجل اضغط
sec17° = 1.04569175
مالحظة: تختلف البرمجة من آلة حاسبة علمية إلى أخرى. هذه
يمكنك الحاسبة. اآلالت إحدى برنامج وفق هي العمليات
الرجوع إلى الكتيب (أو CD) المرفق بآلتك الحاسبة.
Draft
٦٦
مثال (٧):إذا كان sec x = 1.04569175 حيث x زاوية حادة.
x° أوجدshift cos اضغط اضغط
الحل (من اليسار إلى اليمين):1.04569175 shift x-1 = 16.9999988
الناتج اضغط اضغط اضغط سجل
x = 16.9999988° = 17° أي أن
مثال (٨): tan 55° 54í أوجد
:( الحل (tan 55 °,,, 54 °,,, = 1.476993828 الناتج اضغط اضغط سجل اضغط سجل اضغط
tan 55° 54‘ = 1.476993828 أي أن
(٤) إيجاد الزاوية إذا علمت إحدى نسبها المثلثيةsin x = 0.48256 حيث x° مثال (٩): أوجد
x0 901 1 وحيث %
:( الحل بالحاسبة (
shift sin 0.48256 = 28.85273356الناتج اضغط سجل اضغط اضغط
28° 51' 09.84" °,,,
اضغط الناتج النهائي
x = 28° 51í 0984" أي أن
مثال (١٠):tani فأوجد .cos 0 345i = إذا كان
0 901 1i حيث %
:( الحل بالحاسبة (shift cos 0.345 = 69.81820423الناتج اضغط سجل اضغط اضغط
2.720587492 ANS tan shiftاضغط اضغط اضغط الناتج النهائي
.tan 2 720587492i = أي أن
(٥) للتحقق من صحة متطابقاتمثال (١١):
باستخدام اآللة الحاسبة أثبت أن:
sin17°cos 52° + cos17°sin 52° = sin 69°
الحل:
الطرف األيسر = sin 17 x cos 52 + cos 17سجل اضغط اضغط سجل اضغط اضغط سجل اضغط
0.9335804265 = 52 sin x
الطرف األيمن = sin 69 = 0.9335804265 الناتج اضغط سجل اضغط
` الطرفان متساويان
مالحظة: هذه العالقة تتبع المتطابقة:
A B A B A Bsin sin cos cos sin+ = +] g
ولكن الجزء هذا في مقرر غير ا نظري المتطابقة هذه وإثبات
في الحاسبة الستخدام كتطبيقات تعطى الحسابية التمارين
إيجاد قيم النسب المثلثية.
اطلب إلى الطالب استخدام اآللة الحاسبة حيثما كان العمل
ا بحتا. في حاالت الزاوية الخاصة دعهم يتطلب عمال حسابي
يستنتجون النسب المثلثية من الخواص الهندسية للمثلث قائم
الزاوية التي يتضمنها.
اضغط اضغط سجل اضغط الناتج
Draft
٦٧
ثانيا - إرشادات تدريس الوحدة مقدمة ومشروع للتفكير
بعمق المثلثات» ªحساب لموضوع الطالب يتعرض سوف وتركيز؛ لذا يجب إعطاء فكرة عامة عن هذا العلم أو الفرع كتاب في التاريخية المقدمة يقرأون دعهم الرياضيات. من الطالب، ثم أكد لهم أن الكثير من األفكار المتعلقة بحساب
مشكالت من أصال نشأت المثلثات زوايا أو لمسافات قياسات عمل تتضمن بطرق غير مباشرة، أي بدون استخدام أداة للقياس. مثال: إيجاد عرض نهر عند موقع ومده قياس شريط استخدام (بدون معين بين نقطتين متقابلتين على الشطين) وذلك اسأل الموقع. هذا عند فوقه جسر إلقامة
:AB الطالب ماذا يفعلون لو كانوا مهندسين إليجادالذي الشاطئ على قائمة بزاوية BC معينا طوال نرسم مثال: ACB الزاوية قياس رصد يمكن األجهزة وبأحد .B نقطة به
ولتكن °60. كيف يمكن الحصول على AB؟للمثلث مشابه ABC الزاوية قائم مثلث رسم الحلول: أحد ABC بقياسات صغيرة ثم قياس AB واستخدام فكرة مقياس
.AB الرسم إليجاداذكر لهم أن حساب المثلثات يحل لنا مثل هذه المشكلة وفي معظم الحاالت نستخدم المثلث قائم الزاوية كما نرى في هذه
الوحدة.
300 m
A
C B
Draft
٦٨
*
*
*
The Degree Measure - 360
. .(∞) .90∞
.180∞
.(') 60
1
.(") 601
15 45 75 .75∞ 45' 15"
.« ª 100
. 87
87 c
87
90 78 43
# c= = b l
43 4
360 45#= =l l
87 = 78∞ 45' :
-. 0.625 732
- 161 148∞ 17'
. - 6:13:5
.
Angle -
. « ª
OB OA O ) OA,OB_ i ( ) AOB
% .(
(OA, OB)
.
OA . OB
OA
.
.O
. OB OA
OA .( ) OB .( ) OB OA
:
.
* * *
Measure of Angle
The Degree Measure and the Radian Measure
A
A
B
B
O
O
B
A
A
B
( )
( )
O x
y
B
A
B
A
الزاوية وقياسها القياس الستيني والقياس الدائري
Measure of AngleThe Degree Measure andthe Radian Measure
كتاب الطالب من صفحة ٦٦ إلى صفحة ٧٠األهداف:. ١معرفة الزاوية الموجبة والسالبة. ◀
تعرف قياس الزاوية. ◀
التحويل بين الدرجات والدقائق والثواني. ◀
إيجاد طول القوس على الدائرة. ◀
التحويل بين القياس الستيني والقياس الدائري. ◀
حساب مساحة القطاع الدائري. ◀
حساب مساحة القطعة الدائرية. ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢
الزاوية الموجبة - الزاوية السالبة - القياس الستيني(بالدرجات) - القياس الدائري (بالراديان).
التمهيد:. ٤- اسأل الطالب كيف نجد محيط الدائرة ومساحتها.
- أرشدهم إلى فهم شبكة اإلحداثيات.- ذكرهم بعقارب الساعة ودورانها: تحديد االتجاه السالب
والموجب.
تناقش معهم حول أجزاء الساعة: الدقيقة والثانية. اعرض
على ملصقات أشكاال للزاوية في أوضاع مختلفة ودعهم
يقرأونها.- دع الطالب يشكلون باستخدام ضلعي الفرجار زوايا حادة
وقائمة ومنفرجة.
Draft
٦٩
The Radian Measure -
.
:
.
.
M�NOM = A�B
OA = C�DOC
=
.
:
.�
(r) (l)
.l = �r � = lr
:
M
NB
O
D
AC
. .radian Rad : .Rad
التدريس:. ٥- على ورقة مربعات ومستوى إحداثي، اصنع زوايا رأسها عند نقطة األصل وأحد أضالعها يكون على امتداد االتجاه الموجب
لمحور السينات، والضلع اآلخر في مواضع مختلفة.عرف الضلع القياسي للزاويةوالضلع االبتدائي لها (وليكنOA) والضلع النهائي (وليكن
OB) في أوضاع مختلفة،
ووضح الزاوية الموجبة والزاوية السالبة.- اطلب إليهم رسم زوايا في أوضاع قياسية حادة موجبة وحادة سالبة
ومنفرجة موجبة، ... إلخ.- ذكر الطالب بالقياس الستينيوالمنقلة التي نقيس بها الزوايا
A
A
B
B
زاوية سالبة
زاوية موجبةO
O
والدرجة والدقيقة، وقياسات مختلفة: قائمة، مستقيمة.
القائمة أجزاء عن التعبير في الحاسبة اآللة استخدم -والمستقيمة بالدرجات والدقائق والعكس بالعكس.
- نبه إلى أن الزاوية يمكن أن تأخذ قياسات من °0 إلى 360° في حالة دورة الضلع النهائي دورة كاملة (عكس اتجاه عقارب
الساعة) ويمكن أن يزداد قياس الزاوية بمزيد من الدورات.الزاوية وقياس الموجبة الزاوية قياس بين تربط أن يمكن -
السالبة، مثال (60°، 300°-).
- كما يمكن الربط بين قياسالزاوية وقياس الزاوية المضافة
إليها دورات كاملة.
60º-300º
مثال: ... 360 +60 ,60. - ال تسهب في شرح هذا الجزء بل اجعله نشاطا وحوارا مع
الطالب على الشكل التالي:- ارسم الضلع النهائي للزوايا: 30°، 390°، 750°، 30°-،
.-390° ،-330°
مثال حياتي: ناقش مع الطالب المثال التالي. في ميدان دائري دارت سيارة ثالث دورات وربع الدورة باالتجاه الموجب ثم توقفت. أوجد قياس الزاوية (°90 + °360 × 3). ثم تابعت سيرها ودارت دورتين. أوجد قياس الزاوية (90° + 360° × 5). افترض أن السيارة تراجعت دورة كاملة. يصبح قياس زاويتها
°90 + °360 × 4. الحظ أن نقطة توقف السيارة لم تتغير.
- اذكر قياسات 3 زواياتكافئ في وضعها الزاويةBالتي قياسها 90°،45° ... A
C
- لتوضيح الحقيقة الهندسية:
طول القوس الذي يحصر زاوية
طول نصف قطر هذه الدائرة= مقدارا ثابتا
استخدم عدة شفافيات، مرسوما على كل منها مستوى إحداثي لها زاوية ارسم شفافية كل على ثم نفسها. بالمواصفات المقياس نفسه مركزها يقع في كل من الدوائر المرسومة في على الشفافيات ضع ثم مختلفة أقطار وبأنصاف شفافية كل جهاز العرض واحدة بعد األخرى بحيث تقع مراكز الدوائر الزاوية قياس ثبات فكرة الطالب أمام فيتضح بعضها، على
r عدد حقيقي غير نسبي يساوي تقريبا 3.14 الحظ أن وال يمكن التعبير عنه بالضبط بعدد نسبي.
حقيقي بعدد الزوايا) قياس الواحدة (في الدرجة عن عبر -1 0.0175
180c -
r= مناظر (سيفيد ذلك في مقرر آخر عند عرض فكرة الدوال المثلثية
أو الدوال الدائرية باعتبارها دوال متغيراتها أعداد حقيقية).x للتحويل من قياس إلى آخر.
180cc
rX = - استخدم العالقة
في المثال ص ٦٧:ذكر الطالب بمعنى زاوية قائمة. اكتب على اللوح أن
1í = 60"60 = °1 وíقد يجد الطالب صعوبة في عملية ضرب عدد صحيح بكسر. مد يد المساعدة واشرح لهم أننا نبدأ بضرب العدد الصحيح إكمال على ساعدهم المقام. على النتيجة نقسم ثم بالبسط
العملية الحسابية إذ يمكن أن نحصل على كسر عشري. لنحصل 60 بالعدد يضرب العشري الكسر أن لهم اشرح على الدقائق وإذا كان الكسر العشري في الدقائق نكمل أيضا
ونضرب بالرقم 60 لنحصل على الثواني.x = 21.256° :على سبيل المثال0.256° × 60l = 15.36l نأخذ
. .0 36 60 21 6 22# -=l m m m بعد ذلك نأخذx 21= °15 22l m فيكون
مثال من الفضاء ص ٧٠:الحظ أن المطلوب هو طول
AB الذي يقابل% القوس الدائري
120º
المسافة المطلوبة
سطح األرض
مسار القمرالصناعي
مركز الكرةاألرضية
2600
B
A
3 دورة كاملة، 1 زاوية قياسها
3 حيث 2r قياس الزاوية المقابلة للدورة الكاملة.1
2# r أي:اشرح للطالب أن سرعة القمر الصناعي حول األرض نعتبرها المسافة
31 ثابتة. إذا المسافة التي يقطعها في ساعة واحدة هي
اإلجمالية التي يقطعها بثالث ساعات..l = r� ساعدهم على إيجاد المتغيرات لتطبيق القاعدة
الربط:. ٦قمر صناعي يدور حول األرض بسرعة ثابتة وبشكل دائري،
54 في كل دورة. ما بعد القمر الصناعي 000 km يقطع مسافة
عن مركز األرض؟
l.
r r2 3 1454 000
& #X = =
أخطاء متوقعة:. ٧قد يخلط الطالب بين الدرجة والراديان. وضح لهم أن زاوية
.180
1!r% قياسها °180 هي نفسها r راديان وأن
التقويم:. ٨اطلب إلى الطالب حل التمارين في فقرة تدريب ص ٦٩.
تأكد من أنهم يستخدمون التحويل بين القياس الستيني وبين Draالقياس الدائري.
ft
٧١
.
- .5 radians
: x 180
x 5#c
= r
.
5 ◊ 180 ˜ r = INV Ç Ñ.286∞ 28í 44.03"
.
-85∞ 18í 23" .
�
� = 180∞ ∑ x
. 85 Ç Ñ 18 Ç Ñ 23 ◊ r ˜ 180
1.488877359 - :
. 3 2600 km 6400 km
.
. l 6400 2600 9000 km=+
: 31
2 31
32
# =r r
l 9000r AB32
#rX= = =%
:
= 18 849.5559
مسألة اليوم:. ٩إن تحديد موقع مدينة (L) على الكرة األرضية يعرف بزاوية األرض مركز يصل األول وضلعها األرض، مركز في رأسها (L) بخط االستواء وضلعها الثاني يصل مركز األرض بالمدينة
(شكل أ).48 شماال وزاوية الثانية 9% l لنأخذ مدينتين زاوية األولى
3 ميال. 5l °35 شماال وطول نصف قطر األرض تقريبا 960احسب المسافة الدائرية بين المدينتين (شكل ب).
الثانية والمدينة A بالرمز األولى المدينة إلى نرمز مالحظة: .B بالرمز
إن قياس الزاوية المركزية بين المدينتين هو:� = 48°9í - 35°5í = 13°4í
ارسم على اللوح عددا من الزوايا. اطلب إلى الطالب قياس كل زاوية بواسطة المنقلة. اسألهم تحويل هذه القياسات من القياس
الستيني إلى القياس الدائري.- ارسم شكال ووضح عليه: الدائرة،قطاع دائري، قطعة دائرية. وأشر إلى
قطاع أصغر وقطاع أكبر وكذلك الحالبالنسبة إلى القطعة وحدود كل منها والمنطقة التي تمثلها. أظهرهما كأجزاء
قطاع دائري
قطعة دائرية
منفصلة ثم بصورة متكاملة في دائرة. التدريس:. ٥
إلى بنسبته البدء يمكن الدائري القطاع مساحة إليجاد - ،2r المركزية زاويته قياس قطاعا باعتبارها الدائرة مساحة
ويمكن استنتاج مساحة القطاع على الصورة: مساحة القطاع
2 #rX= مساحة الدائرة
[2r قياس الزاوية g ،حيث � قياس الزاوية المركزية للقطاعالمركزية للدائرة بالراديان.
(1) r2 مساحة القطاع 1 2X=
فإذا علم طول القوس l، نعوض عن l = �r من القانون (1) الزاوية بقيمة نعوض المركزية زاويته قياس علم وإذا نفسه.
بالقياس الدائري.الربط:. ٦
تريد زراعة أزهار في قسم من حديقة المنزل على شكل قطاع 20 تقريبا. فإذا كانت زاويته تساوي تقريبا m2 دائري مساحته
°72 فكم يكون طول نصف قطر هذا القسم؟
18072
52# r rX = =
A r r21
20 21
522 2
& #rX= =
r = 5.6 m
أخطاء متوقعة:. ٧قد يستخدم الطالب قياس زاوية القطاع الدائري � بالدرجات إلى الدرجات من التحويل يجب أنه لهم وضح .(degrees)
.(Radians) الراديانالتقويم:. ٨
اطلب إلى الطالب حل التمارين والمسائل: ٢ و٤، في الصفحة إليجاد جيدا المعطيات يستخدمون أنهم من تأكد .٧٢
المساحات المطلوبة.مسألة اليوم: . ٩
عندما طلب أحد الزبائن من صاحب متجر أن يبيعه سلعة ما، فكر صاحب المتجر بما يلي: سوف أزيد على السعر المعلن سعر من 20% سأحسم بأني الزبون أبلغ ثم 20% للسلعة السلعة وهكذا أكون قد بعتها بالثمن نفسه. هل برأيك صاحب
المتجر على حق؟ علل إجابتك.لنفترض السبب: حق. على ليس المتجر صاحب إن (الحل: أن ثمن السلعة 100 ليرة بزيادة %20 يصبح ثمنها 120 ليرة
وبحسم %20 على 120 ليرة يصبح ثمنها 96 ليرة).
Draft
٧٣
2 rX =
2rX ^ = S
- 4 cm .10 cm
: l 4 10 20r cm2
121 2##= =
- 70∞ .18 cm
:
r21
21
18070
182 2# # rX = ^ h
= 197.9203 cm2 - 6 cm 7.5 cm
.
l 2r + l = 2 7.5 6 21cm#= =+
...... =
-. 16 cm 13.6 cm - 100∞ 20 cm
.-. 6.2 cm 53 cm - 48 cm
. 7.8 cm - 10 cm 85 cm2
.
إجابات وحلول:. ١٠في التمارين ساعد الطالب ليتمكنوا من استخدام المتغيرات
A وهي مساحة القطاع الدائري. r21 2X= في القاعدة
radi-) الدائري بالقياس الزاوية قيمة هي � بأن ذكرهم المعطيات حسب قاعدة كل استخدام على ساعدهم .(ans.l = r� وذكرهم بأن A r2
1 2X= lA و r21= الموجودة:
تدريب ص٧١r2
1 2X مساحة القطاع الدائري =
21
100 6 6157
# # -r (أ)
26.18 cm2-
39.25 cm4157 2- - (ب)
- 52.36 cm2 (جـ)- 157.08 cm2 (د)- 314.16 cm2 (هـ)
حلول التمارين ص ٧٢lr2
1 = 54.4cm2 :(١) مساحة القطاع(٢) مساحة القطاع:
.r cm21
21
180100
400 349 072 2# # -rX =
l + 2r (٣) محيط القطاع: 2r = 46.8
l 23.4 6.2 72.54 cmr21
21 2# #= = مساحة القطاع:
،l = 32.4 cm ،r = 7.8 cm (٤)lr2
1 مساحة القطاع =
lr21 =85 cm2 (٥)l = 17 cm Dra
ft
٧٤
A
.(sin)
= :
sin A = AW = B
BCA :A
sin B = BV
= ABAC :B
:
AACBC
, CACAB
in ins s54
53
= = = =
.(cos)
cos C = CW =
ACBC :C
cos A = AX
= ACAB :A
A
BC
: B ABCT
.cos C, sin C, cos A, AC
: AC = 17 cm
8
15
C
BA
cos A = VA = 15
17
sin C = VC = 15
17
cos C = VC = 8
17
A
B
AX
AX C
A
C
5 3
4B
* * *
: Sine and Cosine Ratios
النسب المثلثية: الجيب وجيب التمامSine and Cosine Ratios
كتاب الطالب من صفحة ٧٣األهداف: . ١◀ .(sin) تعرف جيب الزاوية
◀ .(cos) تعرف جيب تمام الزاوية
استخدام الجيب وجيب التمام لحساب أضالع غير معلومة ◀
األطوال في المثلث قائم الزاوية.
مثل ◀ متنوعة تطبيقات في المثلثية النسب هذه استخدام
حساب دوران الكواكب.المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢
.(cos) جيب تمام الزاوية - (sin) جيب الزاويةاألدوات والوسائل:. ٣
مسطرة مدرجة - منقلة - فرجار - آلة حاسبة - مثلث قائم
الزاوية - ورق رسم بياني.التمهيد:. ٤
المقابل الضلع بأن الطالب ذكر الزاوية. قائم مثلثا ارسم *
للزاوية القائمة يسمى وترا في المثلث قائم الزاوية. اطلب إلى
الطالب حساب النسب لكل زاوية حادة على الشكل التالي:
الضلع المقابل للزاوية الضلع المجاور للزاوية
وتر المثلث وتر المثلث
* مفهوم الزاويتين المتتامتين
(°30 و°60)، (°50 و40°)،
(°54 و36°)
* اطلب إلى الطالب إعطاء أمثلة ...التدريس:. ٥
ناقش مع الطالب كل خطوة متبعة
إليجاد الجيب وجيب التمام.
54
3
وترمقابل
مجاور BA
C
تأكد من أن الطالب فهموا جيدا العالقة:
النسب قيم استقراء خالل من sin(x°) = cos(90° - x°)
الحاصلة.
أرشد الطالب إلى فهم أن نسب الجيب
Draوجيب التمام هي فقط في المثلث قائم الزاوية.ft
٧٥
العالقات إيجاد الطالب إلى واطلب الزاوية قائم مثلثا ارسم
بين كل زوجين من أطوال أضالع المثلث.
- ذكر الطالب بالنسب المثلثية
في المثلثات الخاصة التالية:١- المثلث قائم الزاوية وهو
نصف مثلث متساوي األضالع. ٢1- المثلث قائم الزاوية ومتساوي
145º
2
الساقين. (انظر إلى الصورتين.) - وضح أن النسب المثلثية خاصة
النموذج تعتبر أنها في كثيرة عملية تطبيقات لها sin ،cosوتمثيل البحرية األعمال مثل حياتية لمظاهر الرياضي الدورانات الهندسية وتحركات الموجات الصوتية وموجات
المد والجزر ...الربط:. ٦
ب الطالب على استخدام اآللة الحاسبة في إيجاد النسب درنسبة معلوم زاوية قياس إيجاد وكذلك معينة، لزوايا المثلثية
مثلثية لها.صحة إلثبات النظري البرهان استخدام على الطالب ب درمتطابقات مثلثية بسيطة باستخدام القوانين المثلثية المعطاة في
الوحدة.أخطاء متوقعة:. ٧
قد يخلط الطالب بين جيب الزاوية وجيب تمام الزاوية. وضح
لهم النسبة في المثلث قائم الزاوية التي تدل على جيب الزاوية
وجيب تمام الزاوية.التقويم:. ٨
باستخدام الخواص الهندسية
1
2
60º
60º
30ºاطلب إلى الطالب إيجاد
أطوال األضالع غير المعلومة في المثلثات التي بالشكل.مسألة اليوم: . ٩
أراد أحد األشخاص قياس انخفاض الماء عن السطح العلوي
للبئر. فتقدم باتجاه الفتحة حتى تمكن من رؤية حافة المياه،
تساوي البئر فتحة عن تفصله التي المسافة أن وجد عندها
160 عن السطح cm 140. فإذا كانت عيناه على ارتفاع cm
120، فما انخفاض الماء؟ cm وكان قطر فتحة البئر يساوي
1
2
60º3
30º
120 cm 140cm160 cm
x
الحل: x يساوي االنخفاض ومن تشابه المثلثين يكون:
x120 140140
160160
+ = +
x160140
160160= +
x = 22.86 cm
Draft
٧٦
.cosec A A 1sin A sin A
cosec A = 1sin A & cosec A ◊ sin A = 1
.sec A A 1cos A cos A
sec A = 1cos A
sec A = 1cos A & sec A ◊ cos A = 1
( )
5 3
4C
A
B
. cosec C sec C
cosec C = 53 sec C = 54 :
.AC = 25 cm BC = 24 cm AB = 7 cm �ABC cosec A sec A cos A sin A . �ABC
.cosec C sec C cos C sin C
( )
(1543 - 1473)
. A = 22.3∞
: .AU =
150 AU.
( ) sin 22.3∞ = xl = x
1
x = 83.0 UA =
.A = 4.61∞
* *
Cosecant (cosec) and Secant (sec)
xl
مقلوبات الجيب وجيب التمامCosecant and Secant
كتاب الطالب من صفحة ٧٤ إلى صفحة ٧٧األهداف:. ١تعرف قاطع الزاوية. ◀
تعرف قاطع تمام الزاوية. ◀المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢
قاطع الزاوية - قاطع تمام الزاوية.األدوات والوسائل:. ٣
اطلب إلى الطالب رسم وجه ساعة مع عقاربها على أن يكون العقرب الكبير عند الرقم 12 والعقرب الصغير عند الرقم 8.
اطلب إليهم عن قياس الزاوية بين العقربين بواسطة المنقلة.التدريس:. ٥
عمل تعاوني:* استخدم الفرجار لترسم دائرة نصف قطرها يساوي وحدة
القياس على شبكة اإلحداثيات ومركزها مركز الشبكة.مركز في رأسها 30° تساوي زاوية لترسم منقلة استخدم *محور من الموجب القسم على أضالعها وأحد الدائرة السينات والضلع الثاني (االنتهاء) في الربع األول حيث يتقاطع
.P مع الدائرة بنقطةP(0.8, 0.5) :ستجد P احسب إحداثيات النقطة *
cos 30 0.866c- * استخدم اآللة الحاسبة فستجد أن .sin 30° = 0.5و
* ارسم زاوية °45 بالمواصفات السابقة نفسها وسوف تجد .Q(0.7, 0.7) :نقطة
cos 45° = 0.7 استخدم اآللة الحاسبة فستجد أن *.sin 45° = 0.7و
ماذا يمكن أن تستنتج؟ الربط:. ٦
ال يوجد.
Draft
٩٢
2r10
E2 1 1r r
( )+--
r0-10
E 23
1 1r r
( )--+
23r
-10
E 223
1 1r r
( )-+-
2r010
A
A
A
Ax
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
o
o
o
o
o
o
o
B (0, 1)
A
B (x, y)
B (-1, 0)
B (x, y)
B (0,-1)
B (x, y)
AB
A
E sincostan
0010
0 E 21 1r
( )+++
x
y
x
y
o
o
A (1, 0)B
A
B (x, y)
أخطاء متوقعة:. ٧ cosineو sine قد يجد بعض الطالب صعوبة في فهم فكرةوقد يجد البعض صعوبة في التفريق بينهما. ساعدهم على فهم هوالقيمة sineو السيني المحور على القيمة هو cosine أن
على المحور الصادي، للنقطة الموجودة على دائرة الوحدة.
sineو cosine إشارة الطالب مع ناقش مساعدة: أفكار بحسب موقع نهاية تقاطع ضلع انتهاء الزاوية مع دائرة الوحدة. ساعدهم على إيجاد cosine وsine الزاوية إذا تم قياسها في
اتجاه دوران عقارب الساعة أو في االتجاه المعاكس لها.التقويم:. ٨
اطلب إلى الطالب إعطاء مثال شبيه للمثال في الصفحة ٩٠ من .D(-0.6, كتاب الطالب باختيار نقطة (0.8
مسألة اليوم: . ٩
AW. أوجد طول BC إذا كان لدينا ABC مثلث قائم الزاوية في .4 cm بـ AB 2 وأطول من الضلع cm بـ AC أطول من الضلع
(BC = 10 cm)
Draft
٩٣
Er - E - :
( E) sin Esin =r -( E) cos Ecos - =-r( E) tan Etan =-r -
tan 120∞ cos 120∞ sin 120∞ :
( )sin sin sin120 180 60 60 23
c c c c= - = =
( )cos cos cos120 180 60 60 21
c c c c= - =- =-
( )tan tan tan120 180 60 60 3c c c c= - =- =-
:-tan 150∞ cos 150∞ sin 150∞ -tan 135∞ cos 135∞ sin 135∞
: E- E
sin (-E) = - sin Ecos (-E) = cos E
tan (-E) = - tan E
:sin (-30∞) = - sin 30∞
cos (-30∞) = cos 30∞tan (-60∞) = -tan 60∞
.tan (-30∞) cos (-60∞) sin (-60∞) :
sin (2π + E) = sin Ecos ( 2π + E ) = cos Etan ( 2π + E ) = tan E tan 440∞ = tan 80∞ :
cos 400∞ = cos 40∞sin 390∞ = sin 30∞
*
E
( 2r - E)
(r - E) (r + E)
(2r - E)
sin a
a
32
21r
= =
cos a
a2
3
23
6r
= =
sin a
a2
3
23
3r
= =
cos a
a
32
21r
= =
sina
a
24r
=
2
2 21
= =
2cos
a
a4r
=
2 221
= =
Relations Among Triangular Functions
x
y(x, y)
(-x, y)
EE
x
y(x, y)
(-x, y)
E-E
a
2
30∞
60∞90∞
6
r
3
r
2
r
a
2
3
a
a
a
A
D
B
C
2
r4
r
4
r
العالقات بين الدوال المثلثيةRelations AmongTriangular Functions
كتاب الطالب من صفحة ٩٢ إلى صفحة ٩٦األهداف:. ١إيجاد العالقة بين الدوال المثلثية للزاوية E وللزوايا: ◀
. 2 Er -] gو Er +] gو Er -] gو E2r -b l
تبسيط عبارات جبرية تحتوي على دوال مثلثية. ◀المفردات والمفاهيم الجديدة: . ٢
ال توجد.األدوات المستخدمة:. ٣
مسطرة - فرجار - منقلة.التمهيد:. ٤
اطلب إلى أحد الطالب رسم دائرة الوحدة على اللوح. اسأله
كيف يحدد زاوية °40 مثال على الدائرة، ثم اسأله ما إحداثيات
إيجاد إليه اطلب الدائرة. على الزاوية هذه تقاطع نهاية نقطة
cos 40° وsin 40° باستخدام اآللة الحاسبة.التدريس:. ٥
ساعد الطالب على فهم أن كل زاوية يجب أن يتطابق رأسها
مع نقطة مركز الدائرة والضلع األول منها مع القسم الموجب
من المحور السيني.
؛ Er - ؛ E و E2r - اشرح لهم مفهوم الزاويتين E و
قائمة المثلثات استخدم .2 Er - و E وأخيرا Er + و E
الزاوية والمتطابقة إليجاد العالقة بين قيم الدوال المثلثية للزاوية
Er +] gو Er -] gو E2r -b l وقيم الدوال للزوايا E
. 2 Er -] gو
أمثلة إضافية: بسط العبارات الجبرية التالية:
sin (6 Er + ) -sin 7 Er +] g + (أ)
cos 13 Er -] g +cos 15 Er -] g
sin E29r -b l + cos E2
13r -b l - (ب)
cos sinE E12 15r r- + -] ]g g
tan tanE E3 23r r+ + - +] bg l (جـ)
tan tanE E4 27r r- - - -] bg l
أفكار مساعدة: قد يجد بعض الطالب صعوبة في حفظ هذه
العالقات. شجعهم في البداية على فهمها جيدا على الدائرة. ثم
دعهم يكتشفون ذلك في عمل تعاوني مستخدمين المثلثات
القائمة المتطابقة.
نشاط إثرائي:
لنأخذ على دائرة الوحدة الزاويتين
E2r + E و
Esin 2r +b l (أ) أوجد العالقة بين
Ecos من جهة 2r +b lو
وsin E وcos E من جهة ثانية.
y
N M
EO
E+
X
.cot Eو Etan 2r +b l (ب) استنتج العالقة بين
الربط: . ٦dí هما مستقيمان متعامدان على شبكة اإلحداثيات. ولتكن d و
:y a x b d= +l l l ومعادلة y = ax + b : d معادلة
.d هي الزاوية بين المحور السيني والمستقيم a
.dl هي الزاوية بين المحور السيني والمستقيم b
Draft
٩٤
cos 420∞ : sin 420∞ tan 420∞
+ E E - :
sin (π + E ) = -sin Ecos (π + E ) = -cos E
tan (π + E) = tan E
:tan 210∞ cos 210∞ sin 210∞ :
sin 210∞ = sin (180∞ + 30∞) = - sin 30∞ = 21-
cos 210∞ = cos (180∞ + 30∞) = - cos 30∞ = 23-
tan 210∞ = tan (180∞ + 30∞) = tan 30∞ = 1
3
cos 225∞ : sin 225∞ tan 225∞
2π - E E - :
sin (2π - E) = -sin Ecos (2π - E) = cos E
tan (2π - E) = -tan E
:tan 315∞ cos 315∞ sin 315∞ :
sin 315∞ = sin (360∞ - 45∞) = -sin 45∞ = 2
1-
cos 315∞ = sin (360∞ - 45∞) = cos 45∞ = 2
1
tan 315∞ = tan (360∞ - 45∞) = -tan 45∞ = -1
(x, y)
(-x, -y)
Er +
y
x
E
E
2 E-r E
(x, y)
(x,-y)
-+
y
x
sin (2 + E) = sin Ecos (2 + E) = cos Etan (2 + E) = tan E
2a r b= +b l .b و a (أ) أوجد العالقة بين
tan ab = lو tan aa = (ب) من المعروف أن
aa 1=-l أثبت أن
d’Y
d
X
أخطاء متوقعة:. ٧
Er و E - لهما الدوال - قد يخطئ الطالب ويستنتجون أن
المثلثية نفسها. اطلب إليهم تمثيل الزوايا على دائرة الوحدة.التقويم:. ٨
اطلب إلى الطالب حل التمارين رقم ٣ و٦ و٧ من الصفحتين
٩٥ و٩٦ من كتاب الطالب.مسألة اليوم:. ٩
6x3 + 2x2 - 9x - 3 :مساحة مستطيل تساوي
2x2 - 3 :وطول أحد أضالعه يساوي
(4x2 + 6x - 4) .أوجد محيط هذا المستطيل
إجابات وحلول:. ١٠تدريب (١) ص ٩٢
sin 150° = sin 30° = 21 (١)
cos 150° = -cos 30° = 23
-
tan 150° = -tan 30° = 3
1-
sin 135° = sin 45° = 22 (٢)
cos 135° = -cos 45° = 22
-
tan 135° = -tan 45° = -1
تدريب (٢) ص ٩٢
sin (-60°) = - sin 60° = - 23
cos (-60°) = cos 60° = 21
tan (-30°) = - tan 30° = -3
1
تدريب (٣) ص ٩٣
cos 420° = cos (360° + 60°) = cos 2601
=c
sin 420° = sin (360° + 60°) = sin 2603
=c
tan 420° = tan (360° + 60°) = tan 60 3=c
تدريب (٤) ص ٩٣
sin 225° = sin (180° + 45°) = -sin 45 22
=-c
cos 225° = cos (180° + 45°) = - 45 22
cos =-c
tan 225° = tan (180° + 45°) = 45tan 1c=
Draft
٩٥
تدريب (٥) ص ٩٤sin 330° = sin (360° - 33°) = - sin 30°
، أكمل ... 21=-
تمارين ص ٩٤(١) الحظ أن المطلوب هو كل قياسات الزاوية الممكنة في
2r ,0[ ومن ثم يوجد قياسان كل منهما يحقق الفترة ]
كال من المعطيات - استخدم اآللة الحاسبة.
ثم المرتبطة الحادة الزاوية أوال أوجد EW = ... قياسات
الحظ اإلشارات:
°55 أو 305° (أ)
(في الربعين األول والرابع)
318° 50l 50 °138 أوl (ب)
(في الربعين الثاني والرابع)
°32.24 أو 147.76° (جـ)
(في الربعين األول والثاني)
39l°128 أو 40l°308 (الثاني والرابع) (د)
23l°157 أو 23l°337 (الثاني والرابع) (هـ)
اسأل الطالب أن يتعرفوا بأنفسهم مواقع الزوايا، واجعلهم
يخمنون ذلك قبل إيجاد قياسات الزوايا بدقة ليتكون لديهم
الحس بالقيم التقريبية لزاوية إذا علمت قيمة إحدى دوالها
المثلثية.
611r 6 أو
5r (أ) (٢)
67r 6 أو
5r (ب)
35r 3 أو
2r (جـ)
45r 4 أو
r (د)
34r 3 أو
2r (هـ)
43r 4 أو
r (و)
.tan 330∞ cos 330∞ sin 330∞ :
-: ,0 2r6@ E tan E = -0.8743 ( ) cos E = -0.5734 ( )
tan E 45=- ( ) sin E = -0.5334 ( )
tan512
E =- ( )
-: ,0 2r6@ E cos E = - 2
3 ( ) sin E = -0.5 ( )
cot E = 1 ( ) tan E = 3- ( )sin E =
2
1- ( ) cosec E = -2 ( )
cos(2 E) y sin E yr
- = =
( )cos E sin E2r - =
E , xsin cosx E2r - = =b l
: x 0∞< x < 90∞
( 17) 47cos sinx c c- =
17 47 90x c c c- + =
...x =
-. (O) . B
E = 120∞ ( ) E = 45∞ ( ) E = 30∞ ( )E = 210∞ ( ) E = 135∞ ( ) E = 150∞ ( )
E = 315∞ ( ) E = 225∞ ( )
-
: sin2 E + cos2 E
E = 3r ( ) E = 6
r ( )
x
y
DC
B
Ao
E
E
AB = CD :
E En cos 2r= -b l
:
x
o 30A
B
o 45A
B
sin ( 2r - E) = cos E
cos ( 2r - E) = sin E
tan ( 2r - E) = cot E
Draft
٩٦
تمارين ص ٩٤، ٩٥تكون B النقطة إحداثيات أن يالحظون الطالب دع (١)
Esiny = ، Ecosx = ،(x, y)
,2
1
2
1c m (ب) ,2
321c m (أ)
,23 1
2-c m (د) ,21
23-c m (جـ)
,23 1
2- -c m (و) ,2
1
2
1-c m (هـ)
,2
1 1
2-c m (حـ) ,
2
1
2
1- -c m (ذ)
1
45º
2
1
2
1
1
30º
23
21
(٢) تفكير ناقد:يتفق وهذا جميعها. الحاالت في sin2 E + cos2 E = 1
مع معادلة دائرة الوحدة (مركزها نقطة األصل ونصف قطرها
. x2 + y2 = 1 الوحدة) وهي
(٣) حل المعادلة:
1 - 41 = sinx × 1 ×
2
1 × 3
sinx = 4 3
3 246= =0.6124
x = 37°46l
E = 32r ( ) E = 4
r ( )
: ,x 0 2dr:D x -
tan cos sin tan cos tanx4 3 4 4 32 2 =r r r r r-
: -
sin cos cos sin3 6 6 3
22r r r r+ - -b bl l
: -
2sin sin cos32
3 3r r r=
: - sin cos sin2 2 1
2
=r r r-+b l
: -
1 tan sec4 42 2=r r
+
: - sin 48∞ = cos ... ( )
cosec 75∞ = sec... ( ) tan 47∞ = cot... ( ) cos 25∞ = sin ... ( )
: x 0 < x < 90∞ - cosec (x + 27∞) = sec (5x - 17∞) ( )
التمهيد:. ٤اطلب إلى الطالب أن يصفوا ببضع كلمات كال من األشكال
ثالثية األبعاد اآلتية وأن يرسموها بعد ذلك: هرم، أسطوانة، مخروط.
التدريس:. ٥وضح: أن التعريفات الموجودة في الفقرات (جـ) و(د) و(هـ)
هي جديدة في هذا الدرس.يمكنك إيضاح التعريف (جـ) بمثال محسوس على الشكل . ١
مسطحة، مساحة على صغيرين مسمارين لنثبت التالي: المستقيم الخط يمثل الذي الخيط بواسطة ونربطهما وذلك في نقطتي التقاء المسمارين مع المساحة المسطحة. نالحظ أن الخيط موجود بكامله في المساحة المسطحة.
يمكنك إيضاح التعريف (د) على الشكل التالي:. ٢أعط أحد الطالب قطعة خشب مسطحة، وثالثة مسامير
كبيرة متساوية الطول. اسأل الطالب ما يمكن أن يفعله كي تكون قطعة الخشب في مستو مواز للطاولة:
* هل يكفي أن نضعها على مسمار واحد مثبت على الطاولة؟* هل يكفي أن نضعها على مسمارين متساويين في االرتفاع
ومثبتين على الطاولة؟
* هل يكفي أن نضعها على ثالثة مسامير متساوية االرتفاع
مثبتة في خط مستقيم على الطاولة؟
هل يكفي أن نضعها على ثالثة مسامير متساوية االرتفاع
مثبتة غير متتابعة في خط مستقيم على الطاولة؟
اطلب إليه أن يكتب بالتفصيل مالحظاته.
Draft
١٠٣
. :
- - - - -. -. - ( )
( ) ( )
.
- -
- - -
يمكنك إيضاح التعريف (هـ) على الشكل التالي:. ٣
لنأخذ قطعتين من الورق المقوى، وندخل إحداهما في فتحة
من األخرى. نالحظ أن التقاطع بين هاتين القطعتين هو خط
مستقيم.
األفكار األساسية في الدرس:م هذا الدرس مبادئ المسلمات وفرضيات النقطة يقد
الهندسية والمستقيم والمستوي والعالقة فيما بينها. وبالتالي
يساعد هذا الدرس على بناء المعرفة الكاملة في الهندسة
اإلقليدية (Euclide) انطالقا من المستوي وصوال إلى
األشكال ثالثية األبعاد.
:(Perspective) رسم منظورينرسم المستوي على شكل متوازي األضالع. ١
عالقة محددة بين نقطة ومستقيم تمثل مستو. ٢
A
(d) عالقة محددة بين مستقيمين تمثل مستو. ٣
الربط:. ٦
دع الطالب يالحظون تقاطع المستوي المتمثل بباب الصف
والمستوي المتمثل بحائط الصف. يمثل هذا التقاطع الخط
المستقيم الذي يمر بمفصلتي الباب.Dra
ft
١٠٤
أخطاء متوقعة:. ٧من المحتمل أن يجد بعض الطالب صعوبة في إيجاد تقاطع
مستويين ورسمهما، لذا من الممكن اتباع الخطوات التالية
للتوصل إلى الشكل (١):
.(P) (أ) نرسم متوازي األضالع الذي يمثل المستوي
(ب) نرسم من الناحية العليا لمتوازي األضالع قطعة مستقيم
متوازية معه.
(جـ) من طرفي قطعة المستقيم نرسم قطعتي مستقيمين
متساويتين تمران من األعلى إلى األسفل بالنسبة إلى
.(P) المستوي
(د) نصل طرفي هاتين القطعتين ببعضهما فنحصل على
.(Q) متوازي أضالع يمثل المستوي
(P) والمستوي BBlو AAl (هـ) نصل نقطتي التقاطع بين
فنحصل على المستقيم MN الذي هو تقاطع المستويين.
شكل (١)
P
Q
A'
NM
A
B'
B
التقويم:. ٨
هل يمكن لمستقيم، غير عمودي على مستو، أن يكون
ا على مستقيم موجود في المستوي؟ عمودي
(نعم، إن المستقيم غير العمودي على مستو يمكن أن يكون
ا على مستقيم موجود في المستوي). عمودي
(d)(d)
P
مسألة اليوم:. ٩ادرس هذا النمط:
السطر األول 22=4=1+2+1
السطر الثاني 32=9=1+2+3+2+1
السطر الثالث 42=16=1+2+3+4+3+2+1
أكمل النمط.
ما ناتج جمع األعداد الموجودة في السطر السابع؟ (82=64)
إجابات وحلول:. ١٠تمارين ص ١٠٢
(١) مستو.
(٢) مسطح متعدد األوجه.
(٣) في مستو واحد.
(٤) مستويات متعامدة - مستقيم متعامد مع مستو.
(٥) إجابة محتملة:
(٦)
(٧) (أ) دائما.
(ب) حين تكون أطراف األرجل في مستو واحد.
(جـ) في الجزء (د) ثالث نقاط غير موجودة على مستقيم
واحد تعين مستويا واحدا فقط.
(٨) صح.
(٩) صح.
(١٠) صح.
(١١) صح.
(١٢) ألن المستوي ليس له سماكة.
Draft
١٠٥
. .
( )Angles Formed by a Line and a Plane
.A (P) d .(P) .( )
MABW :
MADW MACW
. (Pisa)
(. ) 85∞
.95∞ 85∞. 90∞
( )
A (P) t .
:
Line-Plane Perpendicularity Theorem
.
*
*
*
*
Parallel and Perpendicular Lines and Planes in Space
t
m
PA
l
P
D
M
CA
(d)
B
توازي وتعامد المستقيمات معالمستويات في الفضاء
Parallel and PerpendicularLines and Planes in Space
كتاب الطالب من صفحة ١٠٣ إلى صفحة ١٠٦األهداف:. ١رسم مجسمات ثالثية األبعاد. ◀
تطبيق خصائص المستويات. ◀ المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢
الزاوية بين المستقيم والمستوي - المستقيم العمودي على
المستوي - الزوايا ذات األوجه - المستويات المتعامدة.األدوات والوسائل:. ٣
مسطرة - زاوية قائمة.التمهيد:. ٤
يطلب إلى الطالب أن يصفوا بالكلمات: الزاوية، المساحة،
التوازي، التعامد.التدريس:. ٥
تعامد المستقيم والمستوي.
المعطيات:
.A تتقاطع في نقطة (P) مستقيمات في المستوي nو lو mlt= المستقيم t يقطع المستوي (P) في نقطة A بشرط
.t m= و
t n= المطلوب: إثبات أن
AC=AB بشرط أن Bو C نقطتين t سنأخذ على المستقيم
l ومع ،E بنقطة n وعلى المستوي نأخذ مستقيما يتقاطع مع
المستقيم العمودي على مستو:لم يستخدم البرهان المتبع إلثبات إمكانية تعامد المستقيم مع المستوي إلرهاق الطالب وتضليلهم بل إلبراز المفاهيم في
الهندسة المستوية التي استعملت إلثبات المفاهيم في الهندسة الفراغية.
30º مثال: رسم وجه زاوية قياسها
30o
ترابط مع الهندسة المستوية:قانون:
* إذا كان مستقيمان متعامدين على مستقيم ثالث ضمن مستو واحد فإنهما متوازيان فيما بينهما.
* إذا كان مستويان متعامدين على المستقيم نفسه، فإنهما متوازيان فيما بينهما.
مثال إضافي: لنرسم مستقيما(m) يقطع مستويا (Y) وليكنxº قياس أصغر زاوية يصنعها
.(Y) مع المستوي m المستقيمولنأخذ (zº) قياس الزاويةبين المستقيم (m) وأي
(m) مستقيم آخر يتقاطع معفي المستوي (Y). ما هو المجالالمحتمل لقياس الزاوية (z)؟
z 180x x# # -
٦ .
m
الربط: أمثلة على الزاوية بين مستقيم ومستوي:
- زاوية برج بيزا في إيطاليا مع سطح األرض.- توازي المستويات وتعامد المستويات في الصف.
أخطاء متوقعة:. ٧قد يخطئ الطالب في تحديد زاوية المستقيم مع المستوي. أرشدهم بواسطة الرسوم على فهمها وعلى أنها أصغر زاوية
من الزوايا التي يصنعها المستقيم مع جميع المستقيمات الموجودة في المستوي.
التقويم:. ٨اطلب إلى الطالب إيجاد تقاطع ثالثة مستويات مختلفة
ورسمها مستعينا بما يلي:(أ) إذا كانت ثالثة مستويات متوازية فال يوجد أي تقاطع بينها.(ب) إذا كان اثنان من الثالثة متوازيان فال يوجد تقاطع بين
الثالثة ولكن إذا كان الثالث يقطع المستويين المتوازيين فيكون التقاطع مستقيمين متوازيين.
(جـ) إذا تقاطع الثالثة فيكون هناك إحدى الحالتين:إما نقطة تقاطع واحدة: مثال على ذلك زاوية تقاطع جدارين . ١
في الصف مع السقف أو مع أرض الصف.إما مستقيم واحد: مثال على ذلك ثالث أوراق متتابعة من . ٢
الكتاب نفسه.مسألة اليوم:. ٩
يتألف اختبار في الرياضيات من 33 سؤاال وشروطه كما يلي:لكل إجابة خطأ يخسر الطالب 3 عالمات؛ ولكل إجابة صحيحة ينال 8 عالمات. أجاب أحد الطالب عن كافة
األسئلة وكانت عالمته النهائية صفرا.ما عدد اإلجابات الصحيحة؟
ليكن x عدد اإلجابات الصحيحة و(x-33) عدد اإلجابات الخطأ إذا:
8x - 3(33-x) = 08x - 99 + 3x = 0
11x = 99x =
1199 = 9
Draft
١٠٧
: -.30∞ -. -. -. : ( )
. ( ) - -.
-.120∞
: -. -.
-. -
.
- .
P P
H
B B
A
P
Q
l
l
Dihedral Angles ( )
:
.l A l l m A
l n A (P) .(Q)
. .A
Perpendicular Planes ( ):
.(Q) (P) m = n
A
Q
P m
n
l
إجابات وحلول:. ١٠تمارين ومسائل ص ١٠٦:
(١)
(٢)
30º
(٣)
(٤) (أ) خطأ.
(ب) يؤلف برج بيزا (Pisa) زاوية تساوي 85o مع سطح
األرض.
ا على ا على المستوى x إذا كان عمودي (٥) يكون المستقيم l عمودي
.x كافة المستقيمات الموجودة في المستوى
(٦) بقياس طول القطعة المستقيمة المتعامدة مع الحائطين.
(٧)
120º
(٨) سقف الغرفة مع الحائط.
(٩) سقف الغرفة وأرضها مع ثالثة حيطان.
(١٠) تقاطع حائطين مع سقف الغرفة.
متعامدين مستويان كان إذا ألنه خطأ، للتفكير: مسألة (١٢)
متوازيين غير الفراغية فإنهما الهندسة في مع مستو ثالث
بالضرورة.
Draft
١٠٨
* * *
Prism and Cylinder :
.
.
.
Polygonal RegionPolygon
Cuboid . :
ï AE AB
. ... AD
.EFGH ABCD GC ï ... D C B A
.
A E
FD
C G
HB
المجسمات: الموشور واألسطوانةPrism and Cylinder
كتاب الطالب من صفحة ١٠٧ إلى صفحة ١١٠األهداف:. ١تعرف الموشور واألسطوانة. ◀
حساب المساحات واألطوال في الموشور واألسطوانة. ◀
تمييز األجسام المشابهة للموشور واألسطوانة في ◀
محيطنا.المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢
منطقة المضلع - متوازي المستطيالت - األسطوانة
والموشور.األدوات والوسائل:. ٣
مسطرة - زاوية قائمة.التمهيد:. ٤
اسأل الطالب أن يصفوا مستطيال ومضلعا ثم دائرة ومكعبا
ويرسموا كال منها.التدريس:. ٥األسطوانة. . ١ ماهية الطالب يتعرف أن ا جد المهم من
مستو هندسي شكل بين الواقع المجسم هي األسطوانة وصورته الحاصلة بواسطة االنسحاب حسب متجه معين. واألبراج المباني منها كثيرة تطبيقات لها األسطوانة إن
العالية ... إلخالرسم المطلوب من الطالب في النشاط ضمن الدرس يمكن . ٢
.(PERSPECTIVE) تنفيذه دون استعمال الرسم المنظوري
نرسم صورة لمضلع ونأخذ من كافة الزوايا قطع مستقيمة
متوازية ومتساوية نحو األسفل. نصل بين أطراف هذه
المستقيمات، فنحصل على صورة لمضلع أساسي، فيكون
لدينا موشورا.الربط:. ٦
في علم البصريات يستعمل الموشور ثالثي القاعدة وهو
على شكل قطعة شفافة مكون من مواد تعكس أشعة الضوء
ويمكن أن يؤلف حزمة من األشعة متعددة األلوان كقوس
قزح. كذلك يمكن استعمال الموشور في اآلالت الخاصة
.(Spectroscopes) لتحليل الضوء
أخطاء متوقعة:. ٧قد يخطئ الطالب في تحديد مساحة الدائرة أو محيط
الدائرة. أرشدهم إلى ذلك وليكتبوا على اللوح القواعد
المستخدمة في الحالتين كليتهما.
ذكرهم أيضا أن بعض أوجه الموشور قد تكون مربعة وال
Draيكون الموشور مكعبا.ft
١٠٩
التقويم: . ٨لم األوجه الجانبية في الموشور هي متوازية األضالع؟. ١كم قطرا يوجد في الموشور (بحسب القواعد)؟. ٢
لنأخذ متوازي المستطيالت التالي:. ٣
(أ) عين ضلعا على متوازي المستطيالت غير مواز وغير عمودي
.AD على
(... CE أو HB)
(ب) عين أربع نقاط على مستو واحد غير موجودة في
(Fو Eو Bو A) .الواجهة نفسها من متوازي المستطيالت
(جـ) في أي مستو توجد القطعتان المستقيمتان AD وFG؟
(ADFG)
(د) في أي مستو توجد القطعتان المستقيمتان AD وGH؟
(ال يمكن إيجاد مستو يحتوي على القطعتين المستقيمتين).
مسألة اليوم:. ٩قطعة حلوى لها شكل متوازي المستطيالت وقياساتها: طول
.6 cm 10، االرتفاع cm 20، عرض القاعدة cm القاعدة
وضعت طبقة من المسحوق األبيض على وجهها األعلى
مت إلى مكعبات متساوية. إذا كان وجميع جوانبها، ثم قس
2، فما عدد المكعبات التي cm طول ضلع المكعب يساوي
ال يوجد عليها المسحوق األبيض؟ (48 قطعة)
ï .
ï .
ï.
Cylinder :
.
. *.(P)
* .
. *
.. *
Prism : :
.
Cylinder
Pentagonal Prism
Draft
١١٠
إجابات وحلول:. ١٠تمارين ومسائل ص ١٠٩-١١٠
(١) (أ)
(ب)
(٢) (أ) ضلع.
(ب) 4
(جـ) 6
(د) 4
(هـ) 12
GHEFو ABCD (أ) (٣)
DCEFو ABHG أو
BCEHو ADFG أو
A B
CD
EF
G H
AB=CD=GH=EF=7 (ب)
(٤) (أ) موشور سداسي.
(ب) أسطوانة.
(٥)
(٦)
(٧)
(٨)
. .(P)
. * . *
. *
.(oval) .
.
- .
.
.
: - . .
.
-
. .( )
. ... ( )
-. ( ) . ( )
-: . .... ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
Draft
-: =
C
G
EF
D
BA
H
. ( ) AB 7= ( )
.7 -:
. ( ). ( )
: -. -. -. -.
: -. (CD)
-. -.30∞ -.40∞ - . :
تطبيقات في الرياضيات ص ١١٠(٩) مجسم أسطوانة قائمة.
(١٠) موشور أو مجسم أسطوانة قائمة.
(١١)
(١٢)
30º
40º
(١٣) في الطبيعة:
يستخدم النحل الشمع إلغالق الفراغات بين الخاليا ويمكن
إثبات أن مجموع محيطات الخاليا أصغريا إذا كان التقطع
المستخدم سداسيات منتظمة أي أن هذا الشكل يقلل من
استخدام الشمع إلى الحد األدنى ذلك أن النحل يستهلك
٢ كغ من العسل لصنع ١ كغ شمع.
١١١
x
x
y
y
o
o
Draft
١١٢
ï :
... : ï... ï
. ï
...
. ï. ï.
.
A D
CB
SO (ABCD)=
A
S
D
CO
B
Cone
.
.(axis)
Oblique Cone
Right Cone
* * *
Pyramid and Cone :
Pyramid
.
. 2600 2800
.
.
.( )
.
.
.
:.
- (vertex)
.( ) SA SB (lateral edges) -.(... AB BC) -
.(... SBC SAB)
( )
S
DA
B( )
C
المجسمات المخروطية: الهرم Pyramid and Cone والمخروط
كتاب الطالب من صفحة ١١١ إلى صفحة ١١٥األهداف:. ١تعرف الهرم والمخروط ورسمهما. ◀
قياس المساحات واألطوال في الهرم والمخروط. ◀
محيطنا ◀ في والمخروط للهرم المشابهة األجسام تمييز
(عالمنا).المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢
ارتفاع الهرم - ارتفاع المخروط - الضلع الجانبي.األدوات والوسائل:. ٣
مسطرة - زاوية قائمة.التمهيد:. ٤
راجع مع الطالب نظرية فيثاغورس ونظرية المستقيمات المتعامدة.
البوظة، . ١ (بسكوتة المخروط. تمثل حولك من أمثلة أعط قبعة صينية).
مصر، . ٢ (أهرامات الهرم. تمثل حولك من أمثلة أعط خيمة).
بوظة؟ . ٣ األسهل الشكل فعال هو المخروط أن تعتقد هل (شكل المخروط يسهل حمله باليد).
التدريس:. ٥تعلم تعاوني:
ضع أمام الطالب نماذج عن هرم وأعط كل مجموعة هرما واطلب إليهم تحديد ما يلي: الوجوه - األضالع - الرؤوس - القاعدة - وجه جانبي - ضلع جانبي - رأس. اطلب إليهم تحديد محور المخروط وتحديد المساحة الجانبية وتحديد
ارتفاع جانبي وارتفاع الهرم.الربط:. ٦
رسم جذع مخروط أو جذع هرم:لنرسم جذع مخروط أو جذع هرم. نبدأ برسم المخروط أو
الهرم ثم نقطعه بمستو مواز للقاعدة فنحصل على قطع أصغر من القاعدة. وبعد ذلك نزيل الجزء األعلى (فوق القطع) من
الهرم أو المخروط فنحصل على جذع مخروط أو جذع هرم.أخطاء متوقعة:. ٧
قد يخطئ الطالب في استخدام كلمة منتظم. ذكرهم بأننا نستخدم كلمة منتظم في أشكال هندسية مستوية مختلفة
تحوي عدة محاور تماثل. فمثال يوجد في المضلع المنتظم محاور تماثل أكثر من المضلع العادي. والهرم المنتظم
يحتوي على مستويات تماثل أكثر من الهرم العادي. وبشكل
Draft
١١٣
.
.(lateral face)
.(lateral edge)
-
. SH - .
.( ) SF (Slant height)
-. -
. .( )
.
.( ) SO
.( ) ( )
O O OH H
S S S
( )
( )
S
S
F
DH
D
C
O
C
B
B
A
A
SO (ABCD)
( )
( )
عام إن الهرم الذي قاعدته مضلع له n أضالع متساوية يوجد فيه n مستويات تماثل.
التقويم:. ٨اسأل الطالب ما يلي:
.n لنأخذ هرما قاعدته مضلع وعدد أضالعه (n+1) ما عدد األوجه في هذا الهرم؟ *
(2n) ما عدد األضالع؟ ** استطاع عالم الرياضيات Euler إثبات قانون في مجسم له
أوجه مضلعة على الشكل التالي:عدد األوجه + عدد الرؤوس = عدد األضالع +2
فيكون:F+V=E+2
حيث إن:F=Faces األوجه
V=Vertices الرؤوسE=Edges األضالع
مسألة اليوم:. ٩يحتوي صندوق على أوان فضية مؤلفة من 8 مجموعات باإلضافة إلى عدد من قطع تقديم الطعام، وكل مجموعة
تتألف من: سكين، وشوكة كبيرة، وشوكة صغيرة، وملعقة كبيرة، وملعقة صغيرة. وفي كل مجموعة ملعقة صغيرة
إضافية. كما أن قطع تقديم الطعام تشكل نصف عدد السكاكين. ما عدد قطع األواني الفضية الموجودة في
الصندوق؟(8 × 6)+4=52
Draإذا يوجد 52 قطعة.ft
.SH = 12 .ST TH = 7
: H SHT
ST SH HT
ST 12 7
ST 193
ST 13.9 units193
2 2 2
2 2 2
2
.
= +
= +
=
=
( ) 13.9
-: . ( )
( ) ( )
( ) ( )
-O . MO
( ). ( )
. ( ). ( )
. ( ). ( )
. ( )-.2 cm -
RQ = 4 PQ = 10 . ( )
. ( )
S
HT
CB
A
D
E
L
N
MO
R
P
Q
إجابات وحلول:. ١تمارين ص ١١٤
(١)ABDE (أ)
C (ب)BC ،AC ،EC ،DC (جـ)
ACB ،BCD ،DCE ،ACE (د)EA ،DE ،BD ،AB (هـ)
(٢) (أ) مخروط قائم.OM (ب)
ML ،MN (جـ)M (د)
المركز ونقطة الدائرة (هـ) .O
(و) طول القطعة من الرأس إلى نقطة في دائرة القاعدة.ML ،MN (ز)
(٣)
RQ=4و PQ=10 (٤)
(أ) االرتفاع: 10 وحدات قياس.
(ب) االرتفاع الجانبي:
.116 10 8- (وحدة قياس)
2cm
A
B C
D
E
M
N O L
١١٤
Draft
١١٥
- . : ( )
( ) ( )
-: ( )
( ) ( )
( )- 33 cm .
.17 cm. ( ). ( )
تطبيقات في الرياضيات ص ١١٥(٥) (أ) ارتفاع الهرم.
(ب) االرتفاع الجانبي.
(جـ) الضلع الجانبي.
(٦) (أ) 6
(ب) 7
(جـ) 6
(د) 12
(٧) القبعة الصينية:
(أ) االرتفاع الجانبي:
37.1cm1378 -
(ب) محيط الدائرة:
66 207.35 cm2-r
Draft
١١٦
Sphere and Sections :
.
.
. 1522 .
. . :
. :
: ( ) ...
( ) ( ) ... :
ï. . O -
. OA -. OB -
: -.CD
A
B
DC
( )
O
* *
*
( )
المجسمات الكروية: الكرة والقطوعSphere and Sections
كتاب الطالب من صفحة ١١٦ إلى صفحة ١٢٠األهداف:. ١رسم الكرة. ◀
رسم تقاطع المستوي مع أشكال ثالثية األبعاد. ◀
في ◀ المساحات بعض وحساب القياسات بعض معرفة
الكرة.
نستعملها، ◀ أو نراها التي األبعاد ثالثية األشكال معرفة
وتحديدها.المفردات والمفاهيم الجديدة:. ٢
الكرة - الدائرة الكبرى من الكرة - الدائرة الصغرى من
الكرة - خط االستواء - القطع المجسم - الخط الدائري
الكبير.األدوات والوسائل:. ٣
فرجار - كرة أرضية - تفاحة - كمية من الرمل - منقلة -
كوب زجاجي - إبريق ماء زجاجي.التمهيد:. ٤
(أ) ارسم على اللوح دائرة واطلب إلى الطالب تحديدها
وتحديد خصائصها ومحيطها ومساحتها.
(ب) فكر في قطعة جبنة أسطوانية الشكل. إذا قطعنا قسما من
الجبنة من قاعدتها، هل يتغير الشكل الدائري لهذه القاعدة؟
اشرح.
(ليس بالضرورة: يتحدد شكل القاعدة حسب الزاوية التي تم
بها قص القطعة.)
(جـ) لنفترض أنك تريد أن تقطع قطعة خشب مربعة إلى
قسمين، هل كل قطع نحصل عليه هو أيضا مربع؟ اشرح.
(ليس بالضرورة: يختلف شكل القطع بحسب الزاوية التي
استعملت لقطع الخشب.)التدريس:. ٥
يناقش هذا الدرس التعابير المتعلقة بمجموعة كبيرة من
األشكال بدءا من تحديد الكرة وقطع الكرة (الدائرة الكبرى
والدائرة الصغرى)، ومن ثم قطع الموشور واألسطوانة والهرم
وأخيرا قطع المخروط.
ا للتصور أو التخيل. يجب أن يصبح هذا الدرس مهم جد
الطالب قادرين على فهم قطع المستويات وذلك للتعامل مع
الكثير من حسابات المساحات واألحجام.
اسأل الطالب عن المجسمات الموجودة على الطاولة: كرة
أرضية، كرة قدم ... تفاحة.
شجعهم بالسؤال عن الفرق بين الكرة والدائرة. اطلب إلى
كل طالب أن يأخذ المنقلة ويبرمها حول قطرها دورة كاملة.
اسألهم ماذا يستنتجون. اقسم التفاحة إلى قسمين ودلهم على
القطوع التي هي دائرة صغيرة أو كبيرة بحسب طريقة قسمة
التفاحة.
من الطرق الجيدة لتبيان قطع المستوي مع األشكال الهندسية
استعمال الرمل.
حضر أشكاال شفافة من األهرام واألسطوانات والعلب
والمخاريط وضع فيها رمال ثم وزعها على مجموعات من
الطالب. أحن الشكل ليتخذ الرمل شكل قطع المستوي ولتسهل
رؤيته. اطلب إلى الطالب رسم األشكال الهندسية والقطع.
مالحظة: عند مناقشة الدرس، على الطالب رسم األشكال
الهندسية على دفاترهم.
Draft
( ) Small Circles and Great Circles
: ( )
. .( )
( ) .
.( )
O ( ) .
.( ) .
:( ) .
. .
.( )
: ( )
( )
.
( ) ( ) .
. ( ). ( )
. ( )
.
( )
( )
( )
الربط:. ٦الصلة بالعلوم: قد يتعلم الطالب علم األحياء في الوقت نفسه
الذي يتعلمون هذا الدرس أو قد سبق ودرسوه. مما يعني أنهم تعرفوا القطع األفقي لألوراق أو للحيوانات. رسم األشكال
الهندسية في هذا الدرس والرسم في مادة علم األحياء يكمالن بعضهما بعضا.
الصلة بالجغرافيا: هذا هو الوقت المناسب إلحضار كرة أرضية والتحدث عن الدوائر الكبرى والدوائر الصغرى
ومناقشة خطوط الطول والعرض.أخطاء متوقعة:. ٧
عندما يستخدم الطالب تعابير الكرة التي سبق وتعلموها ا. يخطئ ا أو مخروطي ذكرهم بأن الكرة ليست شكال أسطواني
بعض الطالب باستخدام تعبير عرض الدائرة والدائرة األكثر عرضا وما شابه، بدال من الدائرة الكبرى والدائرة الصغرى.
ناقش مع الطالب القطع الممكنة للسطوح التي سبق وتعلموها. اطلب إليهم أن يعملوا ضمن مجموعات
ويضعوا جدوال بقطع الكرة واألسطوانة والهرم والموشور والمخروط.
السطح قطع ممكن
دائرة كبرى، دائرة صغرىقطع ناقص، دائرة، مستطيل
مضلع (عدد أضالعه يساوي عدد أضالع القاعدة أو يزيد ضلعا واحدا عنها.)
مضلع (ال يزيد عدد أضالعه عن أكثر من 2 من عدد أضالع القاعدة مثال: إذا كانت
القاعدة خماسية، ال يتعدى عدد أضالع المضلع السبعة.)
قطع ناقص، قطع مكافئ، قطع مستوي، دائرة
الكرةاألسطوانةالهرم
الموشور
المخروط
ما، . ١ كرة قطر طرفي تشكالن Bو A النقطتان كانت إذا لماذا يوجد إذا أكثر من دائرة كبرى تمر بهاتين النقطتين؟ (تشكل النقطتان A وB مع مركز الدائرة الكبرى مستويا مستقيم على موجودة الثالث النقاط هذه أن بما ولكن بهذا تمر التي المستويات من الكثير هناك لذلك واحد
المستقيم).هل من الممكن أن تتواجد دائرتان كبريان على مستويين . ٢
متوازيين؟(كال، ألن كل مسطح يجب أن يمر بمركز الكرة.)
هل من الممكن أن تتواجد دائرتان صغيرتان على مستويين . ٣
متوازيين؟
(نعم، مثال الدوائر الصغرى التي تمثل خطوط العرض).
١١٧
Draft
: :
.( ) . .( ) :
.
.( )
. .
. .
Plane Sections of Pyramids and Cones
( )
( )
مسألة اليوم:. ٩ .12 cm 20 ونصف قطر الثانية cm كرتان نصف قطر األولى
.24 cm والمسافة التي تفصل بين مركزي الكرتين هي
m
A
a b n
B
t
20 12
(أ) هل تتقاطع الكرتان؟ (نعم ألن 20 + 12 > 24)(ب) ما شكل تقاطعهما؟ (دائرة)
(62.59 cm) (جـ) ما محيط شكل التقاطع؟
إجابات وحلول:. ١٠مالحظات حول التمارين: قد يشكل رسم األشكال الهندسية ثالثية األبعاد صعوبة لدى بعض الطالب. اطلب إليهم مراجعة
الرسوم الواردة في الدروس السابقة.
تواصل شفهي: اختر واحدا من أشكال المجسمات التي تمت مناقشتها في الدرس. دع الطالب يكتشفون مختلف
أنواع القطع الممكنة لهذا الشكل.كرر التمرين حتى يتسنى لكل الطالب اإلجابة. اقبل كل
أنواع األشكال وتأكد من أن جميع أشكال القطع قد اكتشفت.
6378 تقريبا. km خطوة متقدمة: يساوي طول خط االستواء6378، ثم km تخيل أنك أحطت هذا الخط بحزام طولهافترض أنك قطعت هذا الحزام وأضفت إليه قطعة طولها
6378.005. افترض أيضا أن km 5. يصبح طول الحزام mهذا الحزام يبتعد عن كل نقاط خط االستواء المسافة نفسها. هل يمكن إدخال ورقة بين الحزام واألرض؟ هل يمكن أن
تدخل يدك بين الحزام واألرض؟ 5r 5 على طول الدائرة فهذا يعني أننا أضفنا m إذا أضفنا)على القطر أي حوالى 79.5cm على نصف القطر. وهذا
كاف ليدخل إنسان بكامله بين الحزام والكرة.)
١١٨
Draft
تمارين ص ١١٨:نشاط ١
نشاط ٢
تمارين ومسائل ص ١١٩:(١) الكرة هي مجموعة نقاط في الفضاء لها البعد نفسه عن
نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة.
(٢) الدائرة هي مجموعة نقاط في المستوي الواحد لها البعد
نفسه عن نقطة واحدة تسمى مركز الدائرة.
(٣) دائرة
(٤) (جـ)
(٥) القطع هو الشكل الناتج عن التقاء مجسم ثالثي األبعاد
مع مستو.
(٦) (أ)
من أصغر ولكنه مربع هو عليه نحصل الذي القطع (ب)
القاعدة.
(٧) (أ) دائرة، قطع ناقص، قطع مكافىء، قطع زائد.(ب) مدار الكواكب، تليسكوب، مصابيح أمامية.
Conic Sections
. .
Hyperbola
Parabola
Ellipse
Circle
.
.
-. - -... - :
( ) ( ) ( )
( )-. -. ( )
. ( ) -. ( )
. ( )
١١٩
Draft
.
.( ) ( ). ( )
. ( )
-
- -
- . .
. .
-. -.
-. ( ) .
( ) ( )
( )
تطبيقات في الرياضيات ص ١٢٠(٨) (أ)
(ب)
(جـ) القطع أ هو مستطيل والقطع ب هو مستطيل.
(٩) (أ)
(ب)
سداسي هو ب والقطع منتظم سداسي هو أ القطع (جـ)
غير منتظم.
(١٠) (أ)
(ب)
(جـ) القطع أ هو دائرة والقطع ب هو قطع ناقص غير دائري.