Math Elmi12P2 Book

�U??O{U�d�«

w½U¦�« ¡e?'«

Íu�U��« w�U��« n?BK�

wLKF�«

WO�UŽ bL×� Æ√ bLŠ qOKš wKŽ Æ√ åÎ UI�M�ò nÝu¹ rOŠd�« b³Ž s�Š Æœ

qL'« nÝu¹ bL×� Æ√ `�U� bL×� Æœ r$ wLKŠ bL×� Æ√

W½UHŽ ËeŽ Æœ

ÊuH�R*«

5D�K� W�˜

w�UF�« rOKF��«Ë WO�d��« …—«“Ë

5D�K� W�Ëœ w� w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë  —d�

Â≤∞∞∑ Ø≤∞∞∂ wÝ«—b�« ÂUF�« s� Î «¡bÐ UNÝ—«b� w� wLKF�« Íu½U¦�« w½U¦�« nBK�  UO{U¹d�« »U²� f¹—bð

ÂUF�« ·«d?ýù«

hL(« uÐ√ rOF½ Æœ ∫Z?¼UM*« W?M' fOz—

5ÝU¹ Õö� Æœ ∫Z¼UM*« e�d� ÂUŽ d¹b�

Z¼UM*« e�d�

hL(« uÐ√ dLŽ Æœ ∫ÍuÐdð ·«dý≈

WOMH�« …dz«b�«

…dŽUOÝ bLŠ√ ∫Í—«œ≈ ·«d?ý≈

ÍËUL×� ‰UL ∫WŽU³DK� VÝu;« œ«bŽ≈Ë rOL?Bð

ÊUŠdÝ ÊU�ž ¡«dOÝ ¨d�UŽ œuL×� dLÝ ¨w�¹b�« Í“u� ÊUNLÝ√ ∫bOCMð

 UO{U¹d�« ÃUNM* wMÞu�« o¹dH�«

—UH�« “UMNý jO³{ ”UO�« Æœ åÎ UI�M�ò bF�� 5D� Æœ

dÐUł U½UO� WHOKš wKŽ Æœ bLŠ qOKš wKŽ

pA qz«Ë q³I� bL×� Ê«bLŠ bL×� Æœ

∫W×IM*« W��M�« ¡«dŁ≈ o¹d�

…bFÝ uÐ√ qOLł Æ√ ∫ÂUŽ ·«dý≈

…dŽUOÝ bLŠ√ …dłU$ bFÝ√ `�U� bL×� Æœ

W½U³ý fO� lOЗ vN²M� w�UF� qOLł

WOd���« WO�U��« WFD�«

?¼ ±¥≥± Ø Â ≤∞±∞

Z¼UM*« ed�Øw�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“u� WþuH×� l?³D�« ‚uIŠ lOLł

WM¹b*« ed� WNł s� 5LO�« vKŽ Ÿ—Uý ‰Ë√≠b¼UF*« Ÿ—Uý≠ÊuOB*« wŠ≠ Z¼UM*« ed�

5D�K� ≠ tK�« «— ≠ ∑±π »Æ ’

´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥∑∑ fU� ´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥μ∞ ÊuHKð

[email protected] ∫w½Ëd²J�ô« Ê«uMF�« ≠ www.pcdc.edu.ps ∫WO½Ëd²J�ô« W×HB�«

b?ONL�

oOIײ� ªWOMOD�KH�« WO�uB)« wŽ«d¹ ÃUNM� l{Ë …—Ëd{ w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë  √—

ÎU ÒLN� ÎUÝUÝ√ bF¹ wMOD�K� ÃUNM� ¡UMÐ Ê≈ Æ»uFA�« 5Ð t½UJ� cšQ¹ v²Š wMOD�KH�« VFA�«  UŠuLÞ

…«œ√Ë ¨w½U�½≈ oŠu¼Ë ¨WOÞ«dI1b�«Ë rOI�« aOÝd²� Î UÝUÝ√Ë ¨wMOD�KH�« VFAK� WOMÞu�« …œUO��« ¡UM³�

Æ…—«“uK� WO�L)« WD)« ΔœU³� UN²�Ý— w²�« W�«b²�*« W¹dA³�« œ—«uLK� WOLMð

w�uð «c� ªlL²−*« ·«b¼√ oIײð UN�öš s� w²�« ¨rOKF²K� W�Ozd�« WKOÝu�« t½√ w� ÃUNM*« WOL¼√ sLJðË

v�Ë_« …«œ_«Ë ¨rKF²K� jOÝu�« —bB*« t½_ ªÃUNM*« d�UMŽ bŠ√ ¨wÝ—b*« »U²J�UÐ W�Uš W¹UMŽ …—«“u�«

rKF²�«Ë ¨WOK;« W�UI¦�«Ë ¨»uÝU(«Ë ¨X½d²½ù« ∫rKF²�« qzUÝË s� ÁdOž v�≈ W�U{≈ ¨V�UD�«Ë rKF*« bOÐ

Æ…bŽU�*« jzUÝu�« s� U¼dOžË ¨ÍdÝ_«

X Ół=uÔð w²�« ¨©±≤≠±® WOÝ—b*« V²J�« lOLł nO�Qð WKŠd� ÂU9SÐ w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë X�U bI�

l�¨wMI²�«Ë ¨wMN*«Ë ¨WO½U�½ù« ÂuKF�«Ë¨ wLKF�« ∫tŽËd� lOL−Ð ©±≤® Íu½U¦�« w½U¦�« nB�« V² oO³D²Ð

 «uM��« w� WK�Uýd¹uDð WDš cOHMðvKŽ ÎUO�UŠ …—«“u�« qLFðË Æ©≤∞∞∑ Ø ≤∞∞∂®wÝ«—b�« ÂUF�« W¹«bÐ

¨©±≤≠±®·uHBK� V²J�« lOLł WFł«d�® W¹d¹uDð WDA½√∫w¼Ë¨  ôU−� WFЗ√ wDGð ¨W�œUI�« Àö¦�«

Z¼UM* WOKOK%Ë WO1uIð  UÝ«—œ® WOK³I²�� WDA½√˨©WMOF*« qzUÝu�«Ë rKF*« W�œ√® WO�ULJ²Ý« WDA½√Ë

 UJ³A�« ‰U−� w� WO²×²�« WOM³�« lOÝuð® W¹“«u� WDA½√Ë ¨©ÎU¹œuLŽË ÎUOI�√ YŠU³*« lOLł w� Àö¦�« qŠ«d*«

Æ©W�UF�« W¹u½U¦�« ÊUײ�« WO�¬ 5�%Ë ¨w½Ëd²J�ù« rOKF²�«Ë

…eO— ÎUÐU² ¥μ∞ »—UI¹ U¼œbŽË ¨dAŽ wMŁô« ·uHBK�  e$√ w²�« rKF*« W�œ√Ë WOÝ—b*« V²J�« bFðË

ªwIDM�Ë qNÝ »uKÝQÐ X{d ÔŽ  U�uKF�Ë ·—UF� s� tOKŽ qL²Að U0 ¨rKF²�«Ë rOKF²�« WOKLŽ w� WOÝUÝ√

VO�UÝ√Ë WDA½_«Ë qzUÝu�«Ë ¨f¹—b²�« oz«dDÐ qB²ð ¨W×{«Ë  «dýR� sLC²ð ¨WŽuM²�  «d³š dO�u²�

ÆÁöŽ√ …—uc*« WO�L)« WD)« ΔœU³� l� ¡ö²ðË ¨.uI²�«

Êu�uI¹ s¹c�«  ULKF*«Ë 5LKF*«Ë 5¹uÐd²�« W—UA0 ÎUÒ¹uMÝ U¼ƒ«dŁ≈Ë UN×OIMðË V²J�« WFł«d� r²ðË

w ªd¹uD²�«Ë q¹bF²K� WKÐU WO³¹d&  UF³Þ WFЫd�« v�≈ v�Ë_« s�  UF³D�« …—«“u�« ÈdðË ¨UN�¹—b²Ð

wMOD�KH�« wÝ—b*« »U²J�« WLO Ê≈ Æ…UO(«  «—UN�Ë włu�uMJ²�«Ë wLKF�« ÂbI²�« w�  «dOG²�« l� ¡ö²ð

V²J�« œ«bŽ≈ ‰U−� w� 5BB�²*« s� sJ2 œbŽ d³√ W—UA� s�Ë ¨œuNł s� tO� ‰c³¹ U� —«bI0 œ«œeð

WO−NM0 ¨WFł«d*« s� WFÝ«u�«  UOKLF�« ‰öš s� ¨rOKF²�« w� ÎUÒ¹d¼uł Î «dOOGð ÊuŁb×¹ s¹c�« ¨WOÝ—b*«

ÆÁbOŠuð vKŽ qLF¹ Íc�« sÞu�« w�dÞ w� ëdšù«Ë nO�Q²�« w�U−� w� Z¼UM*« ed� UN�Ý—

 ULEM*«Ë  U�ÝR*« v�≈ d¹bI²�«Ë dJA�« q¹e−Ð ÂbI²ð Ê√ ô≈ UNF�¹ô w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë Ê≈

ÆZ¼UM*« ŸËdA* w�U*« UNLŽb� ªUJO−KÐ W�uJŠ W�U�ÐË WI¹bB�«Ë WOÐdF�« ‰Ëb�«Ë ¨WO�Ëb�«

w�¹—U²�« wMÞu�« qLF�« «c¼ “U$≈ w� X—Uý w²�« ¨WOMÞu�« W¹uÐd²�«  «¡UHJ�UÐ d�H²� …—«“u�« Ê√ UL

¨…eOL*« r¼œuN−Ð rN²—UA� vKŽ r¼dJAðË ¨WOÝ—b*« V²J�« œ«bŽSÐ ÂuIð w²�« ¨W¹uÐd²�« ÊU−K�« ‰öš s�

5—UA*«Ë ¨s¹—d;«Ë ¨5H�R*«Ë ¨—«dù«Ë ¨Z¼UM*«ed�Ë ¨W¹—«“u�« Z¼UM*« ÊU' qLAðË ¨tFu� V�Š yq

s� WOÝ—b*« V²J�« ¡«dŁ≈ w� 5—UA*«Ë ¨5FÐUD�«Ë ¨5Fł«d*«Ë ¨5�UÝd�«Ë ¨5LLB*«Ë ¨qLF�«  Uý—uÐ

ÆoO³D²�« ¡UMŁ√ Ê«bO*«

w�UF�« rOKF²�«Ë WOÐd²�« …—«“Ë

Z¼UM*« e?�d�

WOLKF�« YŠU³LK� W�UF�« …—«œù«

 ≤∞±∞ ÊU�O½

W bI

ÆÆÆ bFÐË 5*UF�« »— tK� bL(«

nBK�  UO{U¹d�« »U² s� w½U¦�« ¡e'« ¡«eŽ_« UM²³KD�Ë ¨ ULKF*«Ë 5LKF*« UMzö�e� ÂbI½ Ê√ U½d�¹

wMOD�KH�« ÃUNM*« WDš sL{  UO{U¹d�« Y׳* W�bF*« WC¹dF�« ◊uD)« o�Ë ¨wLKF�« Íu½U¦�« w½U¦�«

ƉË_«

Æ ôUL²Šô«Ë ¨WOÞËd�*« ŸuDI�«Ë ¨tðUIO³DðË q�UJ²�« ∫w¼  «bŠË ÀöŁ vKŽ ¡e'« «c¼ qL²A¹

q�UJ²�«Ë ¨ÊU1— ŸuL−�Ë Wze−²�«Ë ¨œËb;« dOž q�UJ²�« UM�b ©tðUIO³DðË q�UJ²�«® WFЫd�« …bŠu�« w�

œËb;« q�UJ²�«  UIO³DðË ¨q�UJ²�« ‚dÞË ¨q�UJ²�«Ë q{UH²�« w� WOÝUÝ_« W¹dEM�«Ë ¨t�«ušË œËb;«

ÆWO½«—Ëb�« Âu−(«Ë  UŠU�*« w�

¨bz«e�« lDI�«Ë ¨hUM�« lDI�«Ë ¨T�UJ*« lDI�« s� ö UM�b ©WOÞËd�*« ŸuDI�«® W��U)« …bŠu�« w�Ë

Æ»U×�½ô« l{Ë w�Ë wÝUOI�« l{u�« w�

dOG²*«Ë ¨eOÐ W¹dE½Ë ‰öI²Ýô«Ë ◊ËdA*« ‰UL²Šô« UM�b © ôUL²Šô«® WÝœU��« …bŠu�« w�Ë

ÆwFO³D�« l¹“u²�«Ë ¨s¹b(«  «– l¹“uðË ¨ULNFuðË qB²*«Ë qBHM*« wz«uAF�«

¨WOLKF�« Wb�« vKŽË ¨ U¹dEM�«Ë rO¼UHLK� wIDM*« q�K�²�« vKŽ UM�dŠ bI� ¨»uKÝ_« YOŠ s� U�√

l� WŽuM*« WK¦�_«Ë WO×O{u²�« ÂuÝd�« p�– s� ÎôbÐ U½bL²Ž«Ë ¨ U¹dEM�« 5¼«dÐ vKŽ bz«“ eOdð ÊËœ

ÆsJ�√ UL¦OŠ ¨q×K� W�UŽ  UO−Oð«d²Ý« l{Ë

qC�√ oOIײ� …œ«e²Ýô«Ë oLF²�«Ë W�dF*« vKŽ ’d(« q ÊuB¹dŠ W�UF�« W¹u½U¦�« W³KÞ Ê√ UM²ŽUMI�Ë

s¹—UL²�« s� WŽuL−0 …bŠË q UMF³ð√ ¨WOF�U'« rNðUÝ«—b� Î «bON9 W�UF�« W¹u½U¦�« ÊUײ�« w� ZzU²M�«

w� …œ—«u�«  «—UN*«Ë 5½«uI�«Ë  ULOLF²�«Ë rO¼UH*« wDGð w²�« WO�UI*«Ë WOŽu{u*« WŽuM*« WK¾Ý_«Ë

ÆÀö¦�«  «bŠu�« œuMÐ s� bMÐ q W¹UN½ w� qzU�*«Ë s¹—UL²�« v�≈ W�U{ùUÐ ¨…bŠu�«

5LKF�Ë ¨ U�dA�Ë 5�dA� ¨Ê«bO*« w� UMzö�“ s� ÂbI²½Ë ¨ÕU$Ë oO�uð q W³KD�« UMzUMÐ_ vML²½

¨d¹bI²�«Ë «d²Šô« qJÐ ¨»U²J�« «c¼  «œu�� ¡«dŁ≈ w� «u—Uý s¹c�« sÞu�«  UE�U×� lOLł s� ¨ ULKF�Ë

‚b� qJÐ rNNOłuðË ¡«eŽ_« UM²³KÞ rOKF²Ð WKO³M�« rNðdO�� ‰UL≈ w� rNI�u¹ Ê√ qłË eŽ v�u*« 5KzUÝ

…b¹bł WF³Þ —«b�ù cOHM²�« l{u� »U²J�« l{Ë bFÐ Z¼UM*« ed* WFł«d�« W¹cG²�« .bIðË ¨t½U�√Ë

ÆW×IM�

oO�u²�« w�Ë tK�«Ë

ÊuH�R*«

 U???¹u??²;«

W��U��« …b?Šu�«

WÝœU��« …b?Šu�«

W??FЫd�« …b?Šu�«t?ðUIO³DðË q???�UJ²�«

≥

œËb;« dOž q�UJ²�« ±≠¥

∏ ÊU1— ŸuL−�Ë Wze−²�« ≤≠¥

±¥

œËb;« q�UJ²�« ≥≠¥

±∏

œËb;« q�UJ²�« hzUBš ¥≠¥

≤≤

q�UJ²�«Ë q{UH²�« w� WOÝUÝ_« W¹dEM�« μ≠¥

≤∏ WOFO³D�« WOÝ_«Ë W?OL²¹—UžuK�«  U½«d²�ô« ∂≠¥

≥¥ q????�UJ²�« ‚d???Þ ∑≠¥

¥μ

œËb;« q�UJ²�«  UIO³Dð ∏≠¥

μ∂

W�UŽ s¹—U9

W?OÞËd�L�« Ÿu?DI�«

∂± WOÞËd�*« ŸuDI�« μ

∂≤ T�UJ*« lDI�« ±≠μ

∂∑ h�U?M�« l?DI�« ≤≠μ

∑≤ b???z«e�« l???DI�« ≥≠μ

∑∂ W�UŽ s¹—U9

 ôUL²Šô«

∑π qBHM*« wz«uAF�« dOG²*« ±≠∂

∏μ s¹b(« Ë– l¹“u²�« ≤≠∂

π∞ qB²*« wz«uAF�« dOG²*« ≥≠∂

π¥ wFO³D�« l¹“u²�« ¥≠∂

±∞∞ W�UŽ s¹—U9

±∞≤ wL�«d²�« Í—UOF*« wFO³D�« l¹“u²�« ‰Ëbł ∫o×K�

±∞¥

lł«d*«

≤

t?ðUIO³DðË q???�UJ²�« ¥

…b???????Šu???????�«

”

’

»

©”® Ω ’

≥

(Indefinite Integral) œËb;« dOž q�UJ²�« ±≠¥

WI²A*« UM�b�²Ý«Ë ¨ÂuKF� Ê«d²�ô v�Ë_« WI²A*« œU−¹≈ ÎUÝUÝ√ X�ËUMð w²�« q{UH²�« WOKLŽ o³Ý ULO UMdFð

ªtOKŽ WDI½ Í√ bMŽ ÂuKF� Ê«d²�« vM×M* ”UL*« qO�Ë ¨„dײ� r' WOE×K�« WŽd�« œU−¹≈ UNM� …dO¦�  UIO³Dð w

vLðË ¨v�Ë_« t²I²A� XLKŽ Íc�« Ê«d²�ô« œU−¹≈ Í√ ¨q{UH²�« WOKLF� WOJF�« WOKLF�« ·dF²MÝ bM³�« «c¼ wË

wL½ UM½S ¨o²A*« Ê«d²�ô« ÂuKF� Ê«d²�« q{UHð sŽ "UM�« Ê«d²�ô« UMOLÝ UL�Ë Æq�UJ²�« WOKLŽ WOKLF�« Ác¼

u¼ ≥” Ê«d²�ô« Îö¦L ¨©WI²A*« fJŽ Ë√® WI²ALK� ÎUOz«bÐ ÎU½«d²�« v�Ë_« t²I²A� XLKŽ Íc�« wK�_« Ê«d²�ô«

Æ«cJ¼Ë ¨”U²ł Ê«d²�ö� wz«bÐ Ê«d²�« u¼ ”Uł Ê«d²�ô«Ë ¨≤”≥ Ê«d²�ö� ©WI²A*« fJŽ Ë√® wz«bÐ Ê«d²�«

∫ÂUŽ tłuÐ

∫n¹dFð

Æ©”® Ω ©”®Ó ÊU� «–≈ ©”® Ê«d²�ö� ÎUOz«bÐ U½«d²�« ©”®Â Ê«d²�ô« vL¹

Æ©”® Ê«d²�ö� WOz«bÐ  U½«d²�« WŁöŁ V²�√ Æ≤ Ω ©”® sJO� ∫©±® ‰U¦�

∫©”® Ê«d²�ö� ÎUOz«bÐ ÎU½«d²�« WOðü«  U½«d²�ô« s� Ïq� ÊuJ¹ q{UH²�« w UMðU�uKF� s�

”≤ Ω ©”® ±

Â

≤ ´ ”≤ Ω ©”® ≤

Â

± ≠ ”≤ Ω ©”® ≥

Â

Æ©”® Ω ≤ Ω ©”® ≥ÓÂ Ω ©”®

≤ÓÂ Ω ©”®

±ÓÂ Ê_ p�–Ë

Ác¼ s� wzUN½ô œbŽ błu¹ l�«u�« wË ª≤ Ω ©”® Ê«d²�ö� Èdš√ WOz«bÐ  U½«d²�« błuð t½√ kŠô

ÆwIOIŠ œbŽ ?ł YOŠ ¨ ?ł ´ ”≤ W�UF�« …—uB�« c�²ð UN½√ b$ UNO q�Q²�UÐË ¨ U½«d²�ô«

≤ Ω ©”® Ê«d²�ö� œËb;« dOž q�UJ²�« …—uB�« Ác¼ vLðË

¥

∫n¹dFð

œËb;« dOž q�UJ²�« ÊS ©©”® Ω ©”®Ó Ê√ Í√® ¨©”® Ê«d²�ö� ÎUOz«bÐ ÎU½«d²�« ©”®Â ÊU� «–≈

WŽuL−� u¼ ¨” ‰«œ ©”® q�UJð ∫√dIÔ¹Ë ¨”s©”® ∫ e�d�UÐ t� e�d¹ Íc�«Ë ¨©”® Ê«d²�ö�

ÆwIOIŠ œbŽ ?ł ¨ ?ł ´ ©”®Â Ω ”s ©”® ∫ ∫Ê√ Í√ ©”® Ê«d²�ö� WOz«b³�«  U½«d²�ô« lOLł

∫5O�U²�« s¹œËb;« dOž 5K�UJ²�« s� Îö� błË√ ¨q{UH²�« w pðU�uKF� «b�²ÝUÐ ∫©≤® ‰U¦�

”s ”≤

U� ∫ » ”s ≥”¥

∫ √

≥”¥ Ω ©?ł ´ ¥”®

”s

s

Ê_ ?ł ´ ¥” Ω ”s ≥”¥

∫ √

”≤

U� Ω ©?ł ´ ”Uþ® ”s

s

Ê_ ?ł ´ ”Uþ Ω ”s ”≤

U� ∫ »

∫WOðü« œËb;« dOž q�UJ²�« bŽ«u� W×� s� oIײ�« pMJ1 WËdF*« ‚UI²ýô« 5½«u� vKŽ œUL²ŽôUÐ

∋ ?ł ¨ ¨ ?ł ´ ” Ω ”s ∫ ±

∋ ?ł ±≠ ≠ wIOIŠ œbŽ Ê ?ł ´ ± ´ Ê

±´Ê”

Ω ”s

Ê” ∫ ≤

∋ ?ł ¨ ?ł ´ ”U²ł≠ Ω ”s

”Uł ∫ ≥

∋ ?ł ¨ ?ł ´ ”Uł Ω ”s

”U²ł ∫ ¥

∋ ?ł ¨ ?ł ´ ”Uþ Ω ”s

”≤

U� ∫ μ

∋ ?ł ¨ ?ł ´ ”U²þ≠ Ω ”s

”≤

U²� ∫ ∂

∋ ?ł ¨ ?ł ´ ”U� Ω ”s

”Uþ ”U� ∫ ∑

∋ ?ł ¨ ?ł ´ ”U²�≠ Ω ”s

”U²þ ”U²� ∫ ∏

μ

∫WOðü« Ò’«u)« W×� s� oIײ�« pMJ1 UL�

∋ ¨ ”s

©”® ∫ Ω ”s

©”® ∫ ±

”s

©”®?¼ ∫ ∓ ”s

©”® ∫ Ω ”s ©©”®?¼ ∓ ©”® ® ∫ ≤

©5½«d²�« s� d¦�√ qLA²� WO�U)« Ác¼ rOLFð sJ1Ë®

∫WOðü« …œËb;« dOž  ö�UJ²�« bł ∫©≥® ‰U¦�

”s ≥”∏ ∫ » ”s μ ∫ √

”s ©∑ ´

≤≠”μ ≠ ≤”≥®

∫ œ ”s ©”U²ł ´

¥”∂® ∫ ?ł

?ł ´ ”μ Ω ”s μ

∫ √

”s ≥” ∫ ∏ Ω ”s ≥”∏

∫ »

?ł ´ ¥”≤ Ω ?ł ´

¥

¥”

× ∏ Ω

”s ”U²ł

∫ ´ ”s ¥”∂ ∫ Ω ”s ©”U²ł ´

¥”∂ ® ∫ ?ł

≤ ?ł ´ ”Uł ´

± ?ł ´

μ

μ”∂

Ω

≤

?ł ´ ±

?ł Ω ?ł YOŠ ¨ ?ł ´ ”Uł ´ μ

μ”∂

Ω

”s ∑

∫ ´ ”s ≤≠” ∫ μ ≠ ”s ≤”

∫ ≥ Ω ”s ©∑ ´

≤≠”μ ≠ ≤”≥®

∫ œ

?ł ´ ”∑ ´

±≠

±≠”

× μ≠ ≥

≥”

× ≥ Ω

?ł ´ ”∑ ´ ±≠”μ ´

≥” Ω

∫ UIO³Dð

rK ÔŽ «–≈ Ê«d²�« vM×M� W�œUF� œU−¹≈ q¦� ¨…œbF²� WOzU¹eOË WOÝbM¼  UIO³Dð w œËb;« dOž q�UJ²�« Âb�²¹

∫WO�U²�« WK¦�_« w 5³²¹ UL� ¨tŽ—Uð rK ÔŽ «–≈ „dײ� rł WŽdÝ œU−¹≈ Ë√ ¨tOKŽ WDI½ W¹√ bMŽ t� ”UL*« qO�

∂

¨”≤ u¼ tOKŽ ©’¨”® WDI½ Í√ bMŽ t� ”UL*« qO� ÊU� «–≈ ©”® Ê«d²�ô« …bŽU� bł ∫©¥® ‰U¦�

Æ©μ ¨ ≤® WDIM�UÐ d1 ©”® Ê«d²�ô« vM×M� ÊU�Ë

”≤ Ω ©”® Ó Ω ”UL*« qO�

?ł ´ ≤” Ω ”s ”≤

∫ Ω ©”® ∴

¨vM×M*« W�œUF� oI% WDIM�« Ác¼ ÊS ©μ ¨ ≤® WDIM�UÐ d1 ©”® Ê«d²�ô« vM×M� Ê√ U0Ë

± Ω ?ł UNM�Ë ¨ ?ł ´ ≤

©≤® Ω μ Ê–≈ ¨ μ Ω ©≤® Ê√ Í√

± ´ ≤” Ω ©”® ∴

∫bł Æ≤

ÀØrݱ ´ Ê≤ Ω   Ÿ—U²Ð rOI²� jš w q�_« WDI½ s� ÊuJ�« s� rł „d% ∫©μ® ‰U¦�

≥ Ω Ê bMŽ q�_« WDI½ sŽ r'« WŠ«“≈ » ≥ Ω Ê bMŽ r'« WŽdÝ √

± ´ Ê≤ Ω

Ês

Ÿs

Ω   Ÿ—U²�« √

?ł ´ Ê ´ ≤

Ê Ω Ês

©± ´ Ê≤® ∫ Ω Ÿ ∴

∞ Ω ?ł UNM�Ë ¨ ?ł ´ ∞ ´ ∞ Ω ∞ ÊS ¨∞ Ω Ê bMŽ ∞ Ω Ÿ Ê≈ YOŠË

Ê ´ ≤

Ê Ω Ÿ Ê√ Í√

ÀØrݱ≤ Ω ≥ ´ ≤

≥ Ω

≥ Ω Ê

¸ Ÿ ∴

Ê ´ ≤

Ê Ω Ês

·s

Ω Ÿ »

± ?ł ´

≤

≤

Ê

´ ≥

≥

Ê

Ω Ês

©Ê´≤

Ê® ∫ Ω · ∴

∞ Ω Ê U�bMŽ ¨ ∞ Ω · Ê≈ YOŠË

∞ Ω ± ?ł UNM�Ë

± ?ł ´ ∞ Ω ∞ ∴

≤

Ê ≤

±

´ ≥

Ê ≥

±

Ω · Ê√ Í√

≤

≥ × ≤

±

´ ≥

≥ × ≥

±

Ω

≥ Ω Ê

¸ · ∴

rÝ ±≥[μ Ω ¥[μ ´ π Ω

∑

©±≠¥® s¹—U9

∫W�UŠ q� w ©”® Ê«d²�ö� wz«bÐ Ê«d²�« u¼ ©”®Â Ê«d²�ô« Ê√ s� oI% ±

≤

©≤” ´ ±®

≤” ≠ ±

Ω ©”® ≤” ´ ±

”

Ω ©”®Â √

≤”U²ł ”≤ Ω ©”® ≤”Uł Ω ©”®Â »

∫WOðü« …œËb;« dOž  ö�UJ²�« s� Îö� bł ≤

”s ≥

©”≤®

±

∫ » ”s ©μ ´ ≥”®

∫ √

’s ’ √

≤’ ∫ œ ”s ©

”

√ ≤

± ´ ” √® ∫ ?ł

”s ©” U²ł≥ ≠ ”Uł≤®

∫ Ë ”s ± ≠ ”

± ≠ ≥”

∫ ?¼

”s © ”≤

Uł ≠ ±

” Uł

® ∫ Õ

”s ©”≤

Uþ∂ ´ ∂® ∫ “

∫W�UŠ q� w …UDF*« ◊ËdA�« oI×¹ Íc�« ©”® Ê«d²�ô« błË√ ≥

≥ Ω ©±® ∑ ´ ”∏ ≠ ≤”∂ Ω ©”® Ó √

μ Ω ©≤® ¨ ∏ Ω ©≤® Ó ∏ ≠ ”±≤ Ω ©”® Î »

∫…bŽUI�UÐ vDF¹ ©’¨ ”® tOKŽ WDI½ Í√ bMŽ ©”® Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M* ”UL*« qO� ÊU� «–≈ ¥

Æ©≤≠ ¨ ≥® WDIM�UÐ d1 ÁUM×M� ÊQÐ ÎULKŽ ¨©”® Ê«d²�ô« …bŽU� błËQ ¨≤ ≠ ”∂ ≠ ≤”≥ Ω

”s

’s

”UL*« qO� ÊU�Ë ¨©∞ ¨ ¥® WDIM�UÐ d1 ©”® Ê«d²�ô« vM×M� ÊU�Ë ¨

”

√

μ Ω ©”® Î X½U� «–≈ μ

ÆvM×M*« W�œUF� b− ¨± ÍËU¹ WDIM�« Ác¼ bMŽ vM×MLK�

¨± Ω ” bMŽ μ ÍËUð WOK×� ÈdG� WLO� ©”® Ω ’ Ê«d²�ö� ÊU�Ë ¨¥ ≠ ”∂ Ω ©”® Î X½U� «–≈ ∂

ÆÊ«d²�ö� WOK;« vLEF�« WLOI�«Ë vM×M*« W�œUF� b−

¨ÀØrݱ∂ Ω ©∞®Ÿ ÊQÐ ÎULKŽ ©Ê®· WŠ«“ù« Ê«d²�« bł Æ≤

Ê≥ Ω   Ÿ—U²Ð rOI²� jš w rł „dײ¹ ∑

ÆrÝπ Ω ©∞® ·

∏

(Partition & Riemann Sum) ÊU1— ŸuL−�Ë Wze−²�« ≤≠¥

ŸuL−�Ë Wze−²�« bM³�« «c¼ w ·dF²MÝË ¨œËb;« dOž q�UJ²�« u¼ q�UJ²K� ÎU�uNH� oÐU�« bM³�« w UMdFð

ÆœËb;« q�UJ²�« u¼Ë q�UJ²K� dš¬ ÂuNH� .bI²� ΫbON9 ÊU1—

∫Wze−²�«

∫n¹dFð

¨{Ê

” ¨ÆÆƨ≤

” ¨±

” ¨∞

”} Ω Ê

σ WŽuL−*« ÊS WOIOI(« œ«bŽ_« s� WIKG� …d² ›» ¤ X½U� «–≈

Æ›» ¨ ¤ …d²HK� WO½u½ Wze& vLð ¨ » Ω Ê

” > ÆÆÆ > ≤

” > ±

” > ∞

” Ω YOŠ

Ω∞

”±

”≤

”±≠

—

”—

”±≠Ê

”Ê

” Ω »

± ≤ — Ê

©±≠¥® qJA�«

∫tM� 5³²¹Ë ¨›» ¨ ¤ WIKG*« …d²HK� Ê

σ Wze−²�« ©±≠¥® qJA�« `{u¹

±

” e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨ ∞

”

≠ ±

” UN�uÞË ¨›±

” ¨ ∞

”¤ w¼ v�Ë_« WOze'« …d²H�« ±

≤

” e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨ ±

”

≠ ≤

” UN�uÞË ¨›≤

”¨±

”¤ w¼ WO½U¦�« WOze'« …d²H�«

⋮

—

” e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨ ±≠—

” ≠ —

” UN�uÞË ¨›—

”¨±≠—

”¤ w¼ WOz«d�« WOze'« …d²H�«

⋮

Ê

” e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨±≠Ê

” ≠ Ê

” UN�uÞË ¨›Ê

”¨±≠Ê

”¤ w¼ ©…dOš_«® WO½uM�« WOze'« …d²H�«

± ´ Ê ÍËU¹ Wze−²�« d�UMŽ œbŽË ¨Ê ÍËU¹ Êσ Wze−²�« sŽ W&UM�« WOze'«  «d²H�« œbŽ ≤

 «d²H�« 5F ›±∞ ¨ ±≠¤ WIKG*« …d²HK� WOŁöŁ Wze& {±∞ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ±≠ } Ω ≥

σ X½U� «–≈ ∫©±® ‰U¦�

ÆUN�«uÞ√Ë ≥

σ sŽ W&UM�« WOze'«

≥ Ω ©±≠® ≠ ≤ Ω UN�uÞË ›≤ ¨ ±≠¤ w¼ v�Ë_« WOze'« …d²H�«

± Ω ≤ ≠ ≥ Ω UN�uÞË ›≥ ¨ ≤¤ w¼ WO½U¦�« WOze'« …d²H�«

∑ Ω ≥ ≠ ±∞ Ω UN�uÞË ›±∞ ¨ ≥¤ w¼ W¦�U¦�« WOze'« …d²H�«

π

ÆW¹ËU²� dOž oÐU�« ‰U¦*« w WOze'«  «d²H�« ‰«uÞ√ Ê√ kŠô

›» ¤ WIKG*« …d²HK� Êσ Wze−²�« sŽ W&UM�« WOze'«  «d²H�« lOLł ‰«uÞ√ UNO ÊuJð w²�« W�U)« W�U(« wË

wË ¨WLE²M� WO½u½ Wze& Êσ Wze−²�« wL½ UM½S

Ê

≠ »

Ω Ê

”Δ Ω ÆÆÆ Ω ≤

”Δ Ω ±

”Δ Ê√ Í√ ¨W¹ËU²�

∫ÊuJ¹ W�U(« Ác¼

Ω ∞

”

± × Ê

≠ »

´ Ω …bŠ«Ë WOzeł …d² ‰uÞ ´ Ω ±

”

≤ × Ê

≠ »

´ Ω 5²Ozeł 5ðd² ‰uÞ ´ Ω ≤

”

⋮

— × Ê

≠ »

´ Ω  «d²H�« s� © — ® ‰uÞ ´ Ω —

”

∫wK¹U2 Îö� błËQ ¨›≤∞¨±≤≠¤ WIKG*« …d²HK� WLE²M� Wze& ±∂

σ X½U� «–≈ ∫©≤® ‰U¦�

±∂

σ sŽ W&UM�« WÝœU�« WOze'« …d²H�« » ±∂

σ Wze−²�« √

≤ Ω ±∂

©±≤≠® ≠ ≤∞

Ω Ê

≠ »

Ω WOze'« …d²H�« ‰uÞ √

{≤∞ ¨ ±∏ ¨ÆÆƨ ∏≠ ¨ ±∞≠ ¨ ±≤≠ } Ω ±∂

σ ∴

›∂

” ¨ μ

”¤ w¼ ±∂

σ sŽ W&UM�« WÝœU�« WOze'« …d²H�« »

— × Ê

≠ »

´ Ω —

”

≤≠ Ω μ × ±∂

≥≤

´ ±≤≠ Ω μ

”

∞ Ω ∂ × ±∂

≥≤

´ ±≤≠ Ω ∂

”

›∞ ¨ ≤≠¤ w¼ WÝœU�« WOze'« …d²H�« ∴

ÆWLE²M� Wze& μ

σ sJ²�Ë ¨›∑ ¨ ≤¤ WIKG*« …d²H�«vKŽ ÎUdF� ÎU½«d²�« ± ´ ”≤ Ω ©”® sJO� ∫©≥® ‰U¦�

WOze'«  «d²H�« U¼bŽ«u� w²�«  öOD²*« rÝ—« rŁ¨t�U−� vKŽ ©”® vM×M� rÝ—« √

Æ «d²H�« pKð  U¹«bÐ bMŽ ©”® Ê«d²�ô« rO� UNðUŽUHð—«Ë ¨ μ σ sŽ W&UM�«

Æ©√® ŸdH�« w  öOD²*«  UŠU� ŸuL−� błË√ »

±∞

± Ω μ

≤ ≠ ∑

Ω Ê

≠ »

Ω WOze'« …d²H�« ‰uÞ √

{∑ ¨ ∂ ¨ μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ } Ω μ

σ

…d²H�« vKŽ ©”® vM×M� q¦1 ©≤≠¥® qJA�«

 öOD²*« q¦9 WKKE*« WIDM*«Ë ¨›∑¨≤¤

¨μ σ sŽ W&UM�« WOze'«  «d²H�« U¼bŽ«u� w²�«

pKð  U??¹«b??Ð bMŽ Ê«d??²??�ô« rO� UNðUŽUHð—«Ë

Æ «d²H�«

”

μ

’

±∂

±≤

∏

¥

¥≥≤ ∂ ∑

± ´ ”≤ Ω ©”®

©≤≠¥® qJA�«

∫wðü« ‰Ëb'« ÊÒuJ½  öOD²*«  UŠU� ŸuL−� œU−¹ù »

WOze'« …d²H�«

›—

” ¨ ±≠

—

”¤

WOze'« …d²H�« ‰uÞ

—

”ΔqOD²*« ŸUHð—«

©±≠

—

”®

qOD²*« WŠU�

—

”Δ × ©±≠

—

”®

›≥ ¨ ≤¤±μ Ω ©≤® μ

›¥ ¨ ≥¤±∑ Ω ©≥® ∑

›μ ¨ ¥¤±π Ω ©¥® π

›∂ ¨ 줱±± Ω ©μ® ±±

›∑ ¨ ∂¤±±≥ Ω ©∂® ±≥

¥μ

WFÐd� …bŠË ¥μ Ω  öOD²*«  UŠU� ŸuL−� ∴

—

”Δ × ©±≠

—

”®

μ

∑±Ω

—

Ω oÐU�« ‰U¦*« w  öOD²*« lOLł  UŠU� ŸuL−� Ê√ kŠô

Æμ σ Wze−²K� W³M�UÐ ©”® Ê«d²�ö� ÊU1— ŸuL−� ¨ŸuL−*« «c¼ q¦� vL¹

ÊUL¹— ŸuL−� ∫n¹dFð

¨›» ¨ ¤ …d²HK� WO½u½ Wze& Ê σ X½U�Ë ¨›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ÎUdF� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈

Wze−²K� W³M�UÐ ©”® Ê«d²�ö� ÊU1— ŸuL−� ÊS ª›—

”¨±≠

—

”¤ WOze'« …d²HK� wL²M¹ — *” œbF�« ÊU�Ë

—

”Δ × © — *”® Ê

∑±Ω

—

Ω © ¨ Ê σ®  ∫wK¹ UL� ·dF¹ ¨© ¨

Ê σ®  e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨

Ê σ

∫WGOB�« ÊU1— ŸuL−� c�²¹ ¨›» ¨ ¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ ÊuJð U�bMŽ W�U)« W�U(« wË

© — *”® Ê

∑±Ω

—

Ê

≠ »

Ω © ¨ Ê σ® Â

±±

Ê«d²�ö� WLE²M*« WO½uM�« Wze−²�« vKŽ ¨ÊU1— ŸuL−0 WIKF²*«  UÐU(« w ΫbŽUB Êü« s� dB²IMÝ

Æ≤ vKŽ t²ł—œ b¹eð ô Íc�« œËb(« dO¦�

…d²HK� ¥ σ WLE²M*« Wze−²K� W³M�UÐ π ´ ”≤ ´

≤” Ω ©”® Ê«d²�ö� ÊU1— ŸuL−� błË√ ∫©¥® ‰U¦�

∫5²Oðü« 5²�U(« s� >q� w ›∂ ¨ ≤≠¤

—

” Ω — *” –U�ðUÐ √

≤

—

” ´ ±≠—

”

Ω — *” –U�ðUÐ

»

{∂¨ ¥ ¨ ≤ ¨ ∞ ¨ ≤≠} Ω ¥ σ

© — *”® Ê

∑±Ω

—

Ê

≠ »

Ω © ¨ Ê σ® Â

∫ —

” Ω — *” √

©—

”® ¥

∑±Ω

—

¥

©≤≠®≠∂

Ω © ¨ ¥ σ® Â ∴

©©¥

”® ´ ©≥

”® ´ ©≤

”® ´ ©±

”® ®≤ Ω

©©∂® ´ ©¥® ´ ©≤® ´ ©∞® ®≤ Ω

©μ∑ ´ ≥≥ ´ ± ∑ ´ π®≤ Ω

≤≥≤ Ω ±±∂ × ≤ Ω

∫ ≤

—

” ´ ±≠

—

”

Ω — *” »

© ≤

—

” ´ ±≠

—

”

® ¥

∑±Ω

—

≤ Ω © ¨ ¥ σ® Â ∴

©©μ® ´ ©≥® ´ ©±® ´ ©±≠® ® ≤ Ω

©¥¥ ´ ≤¥ ´ ±≤ ´ ∏® ≤ Ω

±∑∂ Ω ∏∏ × ≤ Ω

±≤

…d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ X½U�Ë ¨ ›± ¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ÎUdF� ”μ Ω ©”® ÊU� «–≈ ∫©μ® ‰U¦�

∫błËQ ¨›± ¨ ∞¤

≤

©± ´ Ê® Ê

Ω —Ê

∑±Ω

—

ÊQÐ ÎULKŽ ¨—

” Ω — *” Ϋc�²� © ¨

Ê σ® Â √

© ¨ Ê σ® Â

∞ ← Ê

»

± Ω ” rOI²*«Ë  UMO�« —u×�Ë ©”® vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� ?ł

Ê

±

Ω Ê

≠ »

Ω …bŠ«u�« WOze'« …d²H�« ‰uÞ

— × Ê

≠ »

´ Ω —

” Ω — *” √

Ê

—

Ω — × Ê

±

´ ∞ Ω

© — *”® Ê

∑±Ω

—

Ê

≠ »ÿ

Ω © ¨ Ê σ® Â

© Ê

—

® Ê

∑±Ω

—

Ê

±

Ω

—

Ê

∑±Ω

—

≤

Ê

μ

Ω

Ê

—μ

Ê

∑±Ω

—

Ê

±

Ω

≤

Ê≤

Êμ ´ ≤

Êμ

Ω

≤

©± ´ Ê® Ê

× ≤

Ê

μ

Ω

Ê≤

μ

´

≤

μ

Ω

©Ê≤

μ

´

≤

μ

®

∞ ← Ê

Ω © ¨ Ê σ® Â

∞ ← Ê

»

≤

μ

Ω ∞ ´

≤

μ

Ω

WKKE*« WIDM*« WŠU� w¼ WÐuKD*« WŠU*« ?ł

rzU� YK¦� WŠU� ÍËUðË ©≥≠¥® qJA�« w

μ Ω tŽUHð—«Ë ¨± Ω tðbŽU� ‰uÞ W¹Ë«e�«

”

’

±

”μ

Ω ©

”®

∞

μ

©≥≠¥® qJA�«

WFÐd� …bŠË

≤

μ

Ω

≤

μ × ±

Ω WŠU*« ∴

…d²HK� Ê σWze−²K� W³M�UÐ ©”® Ê«d²�ö� ÊU1— ŸuL−� W¹UN½ Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠö½

 UMO�« —u×�Ë ©”® vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� ÎU¹œbŽ ÍËUð ›± ¨ ∞¤

Ʊ Ω ” rOI²*«Ë

±≥

…d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ X½U�Ë ›≤ ¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ÎUdF�

≤” Ω ©”® ÊU� «–≈ ∫©∂® ‰U¦�

∫błËQ ¨›≤ ¨ ∞¤

∂

©±´Ê≤® ©±´Ê®Ê

Ω ≤—

Ê

∑±Ω

—

ÊQÐ ÎULKŽ ¨ —

” Ω — *” «c�²� © ¨

Ê σ®Â √

© ¨ Ê σ® Â

∞ ← Ê

»

Ê

≤

Ω Ê

≠ »

Ω …bŠ«u�« WOze'« …d²H�« ‰uÞ √

Ê

—≤

Ω — × Ê

≤

´ ∞ Ω — × Ê

≠ »

´ Ω —

” Ω — *”

© — *”® Ê

∑±Ω

—

Ê

≠ »ÿ

Ω © ¨ Ê σ® Â

≤—

≤

Ê

¥

Ê

∑±Ω

—

Ê

≤

Ω © Ê

—≤

® Ê

∑±Ω

—

Ê

≤

Ω

≤—Ê

∑±Ω

—

≤

Ê

¥

× Ê

≤

Ω

≤

Ê≥

¥ ´ ʱ≤ ´ ≤

Ê∏

Ω

∂

©± ´ Ê≤® ©± ´ Ê® Ê

× ≤

Ê

¥

× Ê

≤

Ω

©ø«–U*® ≥

∏

Ω ≤

Ê≥

¥ ´ ʱ≤ ´ ≤

Ê∏

∞ ← Ê

Ω © ¨ Ê σ® Â

∞ ← Ê

»

©≤≠¥® s¹—U9

›≥ ¨ ±≠¤ …d²HK� WOÝUL)« WLE²²*« Wze−²�« V²�« ±

ÆWze−²�« Ác¼ sŽ W&UM�« …dAŽ WÝœU�« WOze'« …d²H�« błËQ ¨›≥ ¨ ≤≠¤ …d²HK� WLE²M� Wze& ≤∞

σ X½U� «–≈ ≤

∫WOðü«  ôU(« s� >q� w Ê σ Wze−²K� W³M�UÐ ©”® Ê«d²�ö� ÊU1— ŸuL−� błË√ ≥

±≠—

” Ω — *” ¨ ›∂ ¨ ∞¤ …d²HK� WLE²M� Wze&

¥ σ ¨ ≥ Ω ©”® √

—

” Ω — *” ¨ ›¥ ¨ ≤≠¤ …d²HK� WLE²M� Wze&

∂ σ ¨” ≠ ≤ Ω ©”® »

≤

—

” ´ ±≠

—

”

Ω — *” ¨ ›¥ ¨ ∞¤ …d²HK� WLE²M� Wze&

¥ σ ¨

≤” ´ ∂ Ω ©”® ?ł

błËQ ¨…d²H�« ÁcN� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ ¨›μ ≤≠¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ÎUdF� ± ≠ ”≥ Ω ©”® ÊU� «–≈ ¥

±≠—

” Ω — *” Ϋc�²� »

—

” Ω — *” Ϋc�²� √ ∫© ¨

Ê σ® Â

błËQ ¨…d²H�« ÁcN� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ ¨›≥¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ÎUdF� ± ´

≤” Ω ©”® ÊU� «–≈ μ

© ¨ Ê σ® Â

∞ ← Ê

błË√ rŁ ¨ ±≠

—

” Ω — *” Ϋc�²� © ¨

Ê σ® Â

±¥

(Definite Integral) œËb;« q�UJ²�« ≥≠¥

∫n¹dFð

X½U�Ë ¨›» ¨ ¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ ¨›» ¨ ¤ vKŽ * ΫœËb×�Ë ÎUdF� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈

Ê«d?²�ô« Ê≈ ‰UI¹ t½S ¨›—

” ¨ ±≠

—

”¤ ∋ — *” rO� lOL' W¹ËU???²�Ë …œułu� © ¨

Ê σ® Â

∞ ← Ê

©”® Ê«d²�ö� œËb;« q�UJ²�« …—u�c*« W¹UNM�« vLðË ¨›» ¨ ¤ …d²H�« vKŽ q�UJ²K� qÐU� ©”® © ¨

Ê σ® Â

∞ ← Ê

Ω ”s ©”®

»

∫ Ê√ Í√ ª”s ©”®

»

∫ e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ

∫ UEŠö�

Æt� ÍuKF�« b(« » wL½Ë q�UJ²K� wKH�« b(« wL½¨ ”s ©”® »

∫ œËb;« q�UJ²�« w ±

¨» ¨ s¹œbF�« vKŽË Ê«d²�ô« …bŽU� vKŽ ”s ©”®

»

∫ œËb;« q�UJ²�« WLO� n�u²ð ≤

¨dš¬ dOG²� Í√ tK×� q×¹ Ê√ sJ1Ë q�UJ²�« WOKLŽ w W�Uš WOL¼√ t� fOK ” dOG²*« U�√

∫Ê√ Í√ ¨ÆÆÆ ¨ Ÿ ¨ ’ q¦�

a�≈ ÆÆÆ Ω Ÿs ©Ÿ®

»

∫ Ω ’s ©’®

»

∫ Ω ”s ©”®

»

∫

b(« Ê√ Í√ ¨» > Ê√ ÷«d²« sLC²¹ ÁöŽ√ w œ—«u�« ”s ©”®

»

∫ œËb;« q�UJ²�« n¹dFð Ê≈ ≥

∫5O�U²�« 5H¹dF²�« Âb�²½ Èdš_«  ôU(« wË Æt� ÍuKF�« b(« s� dG�√ q�UJ²K� wKH�«

”s ©”®

»

∫ ≠ Ω ”s ©”®

» ∫ ≤ ∞ Ω ”s ©”®

∫ ±

›» ¨ ¤ vKŽ V�UÝ dOž ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈ ¥

”s ©”® »

∫ œËb;« q�UJ²�« ÊS q�UJ²K� ÎöÐU�Ë

Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� q¦1

5LOI²*«Ë  UMO�« —u×�Ë ©”®

Æ©¥≠¥® qJA�« kŠô Æ » Ω ” ¨ Ω ”

”

’

»

©”®

Ω ’

©¥≠¥® qJA�«

∫Ê≈ YO×Р¨ ‰ ÊUOIOIŠ Ê«œbŽ błË «–≈ jIË «–≈ ›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ œËb×� Ê«d²�« ©”® Ê≈ ‰UI¹ *Æ›» ¨ ¤ ∋ ” rO� lOL'  ≥ ©”® ≥ ‰

±μ

Æ”s ¥

≤

∞

∫ œU−¹ù œËb;« q�UJ²�« n¹dFð Âb�²Ý« ∫©±® ‰U¦�

›≤ ¨ ∞¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ sJ²�

© — *”® Ê

∑±Ω

—

Ê

≠ »ÿ

Ω © ¨ Ê σ® Â

XÐUŁ ©”® Ê_ ª›—

” ¨ ±≠

—

”¤ ∋ — *” rO� lOL' ¥ Ω ©

— *”® Ê≈ YOŠË

∏ Ω Ê¥ × Ê

≤

Ω ¥

Ê

∑±Ω

—

Ê

≤

Ω © ¨ Ê σ® Â ∴

∏ Ω ”s ¥

≤

∞

∫ Ê√ Í√ ¨ ∏ Ω © ¨Ê σ® Â

∞ ← Ê

∴

©∞≠≤®¥ Ω ∏ Ω ”s ¥

≤

∞

∫ Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠô

©wKH�« b(« ≠ ÍuKF�« b(«® × XÐU¦�« Ê«d²�ô« WLO� Ω

∫ÂUŽ tłuÐ

∫…bŽU

© ≠ »® ?ł Ω ”s ?ł

»

∫ ÊS ¨XÐUŁ ?ł ¨›» ¨ ¤ ∋ ” lOL' ¨ ?ł Ω ©”® ÊU� «–≈

∫s� q� WLO� błË√ ∫©≤® ‰U¦�

”s π

≤

∞

∫ » ”s ∂

≤

±≠ ∫ √

±∏ Ω ≥ × ∂ Ω ©©±≠®≠≤®∂ Ω ”s ∂

≤

±≠ ∫ √

π≤ Ω ©∞≠≤® π Ω ”s π

≤

∞

∫ »

∫W¹dE½

Æ…d²H�« pKð vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÊuJ¹ t½S ›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ÎöB²� ©”® Ê«d²�ô« ÊU� «–≈

±∂

”s ”

»

∫ œU−¹ù œËb;« q�UJ²�« n¹dFð Âb�²Ý« ∫©≥® ‰U¦�

Æ©œËbŠ dO¦�® qB²� t½_ ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� qÐU� ” Ω ©”® Ê«d²�ô«

— ” Ω — *” sJ²�Ë ¨›» ¨ ¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze&

Ê σ sJ²�

© —

”® Ê

∑±Ω

—

Ê

≠ »ÿ

Ω © — *”® Ê

∑±Ω

—

Ê

≠ »ÿ

Ω © ¨ Ê σ® Â

© — × Ê

≠ »

´ ®

Ê

∑±Ω

—

Ê

≠ »ÿ

Ω —

”

Ê

∑±Ω

—

Ê

≠ »ÿ

Ω

›≤

©± ´ Ê® Ê

× Ê

≠ »

´ ʤ Ê

≠ »ÿ

Ω › —

Ê

∑±Ω

—

× Ê

≠ »

´

Ê

∑±Ω

—¤

Ê

≠ »ÿ

Ω

Ê

± ´ Ê

×

≤

≤

© ≠ »®

´ © ≠ »® Ω

©

Ê

± ´ Ê

×

≤

≤

© ≠ »®

´ © ≠ »® ®

∞ ← Ê

Ω ”s ”

»

∫ ∴

≤

≤

≠ ≤»

Ω

≤

≤

© ≠ »®

´ © ≠ »® Ω

∫WO�U²�« …bŽUI�« v�≈ q�u²�« sJ1 ÂUŽ tłuÐ

∫…bŽU

ÊS ¨ ±≠ ≠ wIOIŠ œbŽ Ê ¨›» ¨ ¤ vKŽ ÎUdF� Ê

” Ω ©”® Ê«d²�ô« ÊU� «–≈

± ´ Ê

±´Ê

≠

±´Ê

»

Ω ”s

Ê

”

»

∫

∫WO�U²�«  ö�UJ²�« s� >q� WLO� bł ∫©¥® ‰U¦�

o½s o½ √

¥

± ∫ » ”s

¥”

≥

± ∫ √

μ

≤¥≤

Ω

μ

μ

± ≠ μ

≥

Ω

± ´ ¥

±´¥

± ≠ ±´¥

≥

Ω ”s ¥”

≥

± ∫ √

≥

±¥

Ω

≤

≥

≤

≥

± ≠ ≤

≥

¥

Ω

± ´

≤

±

±´

≤

±

± ≠ ±´

≤

±

¥

Ω o½s o½ √

¥

± ∫ »

∫W¹dE½

©”® Ω ©”®?¼ Ê«d²�ô« ÊU�Ë ¨›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ©”® Ê«d²�ô« ÊU� «–≈

ÊuJ¹ ©”®?¼ ÊS ¨›» ¨ ¤ …d²H�« w ” rO� s� WON²M� WŽuL−� «bŽ ¨›» ¨ ¤ ∋ ” rO� lOL'

”s ©”®

»

∫ Ω ”s ©”®?¼

»

∫ ÊuJ¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU�

±∑

vKŽ q�UJ²K� qÐU� ©”® Ê√ 5³ ¨›± ¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ÎUdF� ›”¤ Ω ©”® ÊU� «–≈ ∫©μ® ‰U¦�

”s ›”¤

±

∞ ∫ błË√ rŁ ›± ¨ ∞¤

›± ¨ ∞ ¤ ∋ ” lOL' ∞ Ω ©”®?¼ Ê√ ÷dHÐ

vKŽ qB²� ©”® Ê√ Í√ ¨± Ω ” bMŽ «bŽ ›± ¨ ∞¤ ∋ ” lOL' ©”®?¼ Ω ©”® ÊuJ¹

Æ…bŠ«Ë WDI½ bMŽ qB²� dOž ©”® W�U(« Ác¼ wË ¨U¼bŽ sJ1 ◊UI½ bMŽ «bŽ U� t�U−�

XÐUŁ Ê«d²�« t½_ ¨›± ¨ ∞¤ vKŽ q�UJ²K� qÐU� ∞ Ω ©”® ?¼ Ê≈ YOŠË

›± ¨ ∞¤ vKŽ q�UJ²K� qÐU� ›”¤ Ω ©”® Ê–≈

dH� Ω”s ∞

±

∞ ∫ Ω ”s ›

”¤

±

∞ ∫ ÊuJ¹Ë

©≥≠¥® s¹—U9

¨ — *” ?� U� —UO²šUÐ

≤

Ê

±

´ ¥ Ω © ¨ Ê σ®  ÊU�Ë ¨›μ ¨ ≤¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈ ±

∫błËQ ¨›μ ¨ ≤¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ YOŠ

”s ©”®

≤

μ

∫ » ”s ©”®

μ

≤

∫ √

∫s� >q� œU−¹≈ w œËb;« q�UJ²�« n¹dFð Âb�²Ý« ≤

”s ©± ≠ ≤”®

¥

≤

∫ ?ł ”s ©± ´ ”®

≥

±

∫ » ”sμ

≤

∞

∫ √

∫s� >q� WLO� błË√ ≥

”s ≥”

±[≥

±[≥

∫ œ ’s μ’

≤

≤≠ ∫ ?ł ”s ∂

≤

±≠ ∫ » ”s

≤”

±

∏

≤

∫ √

∫W�UŠ q� w …UDF*« …d²H�« vKŽ q�UJ²K� WO�U²�«  U½«d²�ô« s� >q� WOKÐU� w V³�« 5Ð ¥

›± ¨ ≤≠ ¤ …d²H�« vKŽ ¨ ≥ ´ ≤” Ω

©”® √

› ≤ ¨ ∞ ¤ …d²H�« vKŽ

¨ ” Uł Ω

©”® »

›≤ ¨ ∞ ¤ …d²H�« vKŽ

± ” ¨ ≤”

± Ω ” ¨ μ

Ω

©”® ?ł

›≤ ¨ ± ¤ …d²H�« vKŽ

› ± ´ ” ¤ Ω

©”® œ

∫WO�U²�«  ôU(« s� >q� w » Vłu*« XÐU¦�« 5Ž μ

∞[≤μ Ω Ÿs »

Ÿ

±

∞

∫ ?ł ≤¥ Ω ”s

”

»

±

∫ » ±μ Ω ”s

»

≥

∞[μ

∫ √

±∏

œËb;« q�UJ²�« hzUBš ¥≠¥

∫hzUB)« Ác¼ s�Ë ¨ ôU(« s� dO¦� w  U½«d²�ô« iF³� tÐUŠ qONð w bŽUð WLN� hzUBš œËb;« q�UJ²K�

∫©±® W ÒO�Uš

©”® ?ł Ê«d²�ô« ÊS ¨wIOIŠ œbŽ Í√ ?ł ÊU�Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈

”s ©”®

»

∫ ?ł Ω ”s ©”® ?ł

»

∫ ÊuJ¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÊuJ¹

∫ÊU¼d³�«

›» ¨ ¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ sJ²�

© ?ł ¨ Ê σ® Â

∞ ← Ê

Ω ”s ©”® ?ł

»

∫

©© — *”® ?ł

Ê

∑±Ω

—

Ê

≠ »ÿ

®

∞ ← Ê

Ω

©© — *”®

Ê

∑±Ω

—

?ł × Ê

≠ »ÿ

®

∞ ← Ê

Ω

”s ©”®

»

∫ ?ł Ω ©

© — *”® Ê

∑±Ω

—

Ê

≠ »ÿ

®

∞ ← Ê

× ?ł Ω

”s ≤”≥

¥

± ∫ błË√ ∫©±® ‰U¦�

”s ≤”

¥

± ∫ ≥ Ω ”s ≤”≥

¥

± ∫

∂≥ Ω

≥

∂≥

× ≥ Ω

≥

≥

± ≠ ≥

¥

× ≥ Ω

∫©≤® W ÒO�Uš

¨©”®?¼ ´ ©”® ∫5½«d²�ô« ÊS ›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� 5KÐU� 5½«d²�« ©”®?¼ ¨©”® ÊU� «–≈

∫ÊuJ¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� 5KÐU� ÊU½uJ¹ ©”®?¼ ≠ ©”® ”s

©”®?¼

»

∫ ∓ ”s

©”®

»

∫ Ω ”s

©©”®?¼ ∓ ©”® ®

»

∫

Æ5½«d²�« s� d¦�_ WO�U)« Ác¼ rOLFð sJ1Ë

±π

”s ©”≤ ≠

≤”®

≥

∞ ∫ WLO� błË√ ∫©≤® ‰U¦�

”s ”≤

≥

∞ ∫ ≠ ”s ≤”

≥

∞ ∫ Ω ”s

©”≤ ≠ ≤”®

≥

∞ ∫

≤

≤

∞ ≠ ≤

≥

× ≤ ≠

≥

≥

∞ ≠ ≥

≥

Ω

∞ Ω π ≠ π Ω

∫©W�U{ù« WO�Uš® ©≥® W ÒO�Uš

pK²� wL²M𠜫bŽ√ WŁöŁ W¹√ ¨ ?ł ¨ » ¨ X½U�Ë ¨WIKG� …d² vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈

∫ÊS ¨…d²H�«

”s ©”®

»

?ł ∫ ´ ”s

©”®

?ł

∫ Ω ”s

©”®

»

∫

”s ¸≤ ≠ ”¸

μ

∞ ∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦�

≤ ≥ ” ≥ ∞ ” ≠ ≤

μ ≥ ” ≥ ≤ ≤ ≠ ”

Ω ¸≤ ≠ ”¸

”s ©≤ ≠ ”®

μ

≤ ∫ ”s

©” ≠ ≤®

≤

∞ ∫ Ω ”s ¸≤ ≠ ”¸

μ

∞ ∫ ∴

©≤ ≠ μ®≤ ≠

≤

≤

≤ ≠ ≤

μ

´

≤

≤

∞ ≠ ≤

≤

≠ ©∞ ≠ ≤®≤ Ω

∂[μ Ω ∂ ≠ ±∞[μ ´ ≤ ≠ ¥ Ω

”s ©”®

∂

π ∫ ≠ ”s

©”®

∂

± ∫ ∫bŠ«Ë q�UJð …—u� w V²�√ ∫©¥® ‰U¦�

”s ©”®

π

∂ ∫ ´ ”s

©”®

∂

± ∫ Ω ”s

©”®

∂

π ∫ ≠ ”s

©”®

∂

± ∫

”s ©”®

π

± ∫ Ω

≤∞

∫©W½—UIL�« WO�Uš® ©¥® W ÒO�Uš

rO� lOL' ©”®?¼ ≤ ©”® ÊU�Ë ¨ ›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� 5KÐU� 5½«d²�« ©”®?¼ ¨ ©”® ÊU� «–≈

∫ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋ ”

”s ©”®?¼

»

∫ ≤ ”s

©”®

»

∫

∫W−O²½

∫ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋ ” rO� lOL' ∞ ≤ ©”® ÊU�Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈

∞ ≤ ”s ©”®

»

∫

Æ5K�UJ²�« s� >q� WLO� »UŠ ÊËœ ¨”s ”≤

∂

±≠ ∫ ≤ ”s

©μ ´ ≤”®

∂

±≠ ∫ Ê√ 5Ð ∫©μ® ‰U¦�

lOL' ”≤ Ê«d²�ô« ≤ ©μ ´ ≤”® Ê«d²�ô« Ê√ s¼d³½ Ê√ WM¹U³²*« W×�  U³Łù wHJ¹

›∂ ¨ ±≠¤ ∋ ” lOL' ¨ ∞ ≤ ”≤ ≠ μ ´ ≤” —«bI*« Ê√ Í√ ¨ ›∂ ¨ ±≠¤ ∋ ”

?ł ¥ ≠ ≤

» eOL*« b$ ”≤ ≠ μ ´ ≤” wFOÐd²�« —«bI*« …—Uý≈ w Y׳K�

…—Uý≈ fH½ —«bI*« …—UýS V�UÝ eOL*« Ê≈ YOŠË ¨ ±∂≠ Ω μ × ± × ¥ ≠ ≤

©≤≠® Ω eOL*«

∋ ” lOL' Vłu� —«bI*« Ê√ Í√ ¨ ” rO� lOL' ≤” q�UF�

∋ ” lOL' ∞ ≤ ”≤ ≠ μ ´ ≤” Ê√ Í√

›∂ ¨ ±≠¤ ∋ ” lOL' ”≤ ≤ μ ´ ≤” ∴

”s ”≤

∂

±≠ ∫ ≤ ”s

©μ ´ ≤”®

∂

±≠ ∫ ⇐

¥ ¨ ≤ 5²LOI�« 5Ð lI¹ ”s ©”≥

Uł ´ ≥®

∞ ∫ Ê√ 5Ð ∫©∂® ‰U¦�

± ”≥

Uł dH� ∴ ø«–U* ± ”Uł dH�

¥ ”≥

Uł ´ ≥ ≥ ∴

”s

¥

∞ ∫ ≥ ”s

©”≥

Uł ´ ≥®

∞ ∫ ”s

≥

∞ ∫ ∴

¥ ≥ ”s

©”≥

Uł ´ ≥®

∞ ∫ ≥ ≥ ∴

≤±

”s

± ´ ≤”

± ≠ ”≤

¥

± ∫ q�UJ²�« …—Uý≈ 5Ž ∫©∑® ‰U¦�

lOL' W³łu�

± ´ ≤”

± ≠ ”≤

Ω ©”® Ê«d²�ô« …—Uý≈

©μ≠¥® qJA�« kŠô Æ

≤

±

< ” rO�

›¥ ¨ ±¤ …d²H�« w W³łu�

± ´ ≤”

± ≠ ”≤

Ê«d²�ô« …—Uý≈ ∴

∞ < ”s

± ´ ≤”

± ≠ ”≤

¥

± ∫ ∴

≤

±

≠ ≠ ≠ ´ ´ ´j³�« …—Uý≈

≤

±

´ ´ ´ ´ ´ ´ÂUIL�« …—Uý≈

≤

±

≠ ≠ ≠ ´ ´ ´ ©”® …—Uý≈

∞

´

∞

©μ≠¥® qJA�«

©¥≠¥® s¹—U9

∫s� Îö� błËQ ∏ Ω ”s ©”®?¼

μ

± ∫ ¨∂ Ω ”s

©”®

μ

± ∫ ¨¥≠ Ω ”s

©”®

≤

± ∫ ÊU� «–≈ ±

”s ©©”®?¼ ≠ ©”®‚¥®

μ

± ∫ ?ł ”s

©”®

μ

≤ ∫ » ”s

©”® ≥

≤

± ∫ √

∫bŠ«Ë q�UJð …—u� w V²�√ ≤

”s ©”®

≥

± ∫ ≠ ”s

©”®

∑

± ∫ » ”s

©”®

∂

≤≠ ∫ ´ ”s

©”®

≥

∂ ∫ √

∫Ê√ 5Ð WO�U²�«  ôU(« s� >q� w  ö�UJ²�« »UŠ ÊËœ ≥

∞ ≤ ”s ©”Uł ´ ±®

π≤

∞ ∫ » ∞ ≤ ”s ¸μ ≠

≤”¸

∂

±≠ ∫ √

± ≥ ”s

≤” ´ ±

±

±

∞ ∫ ≥

≤

±

œ ”s ©μ ´ ”≥®

¥

± ∫ ≥ ”s

©∂ ´ ”≤®

¥

± ∫ ?ł

∫s� >q� WLO� bł ¥

”s ¸≤ ≠ ”¸

∞

≥≠ ∫ ?ł ”s≤

©μ ≠ ”≤®

≤

± ∫ » ”s

≤ √≤∞

±≠ ∫ √

”s ©”®

≤

∞ ∫ WLO� błËQ

± > ” ≥ ∞ ± ´ ≤”

≤ ≥ ” ≥ ± ” ≠ ≤

Ω ©”® ÊU� «–≈ μ

ø”s ©”®?¼ μ

≥

± ∫ WLO� UL ¨π Ω ”s

©”® ≥

≥

± ∫ ÊU�Ë ¨±π Ω ”s

©©”®?¼∑ ´ ©”® ¥®

≥

± ∫ ÊU� «–≈ ∂

ø?ł rO�ØWLO� UL ∞ Ω ”s ©” ≠ ±®”

?ł

∞ ∫ ÊU� «–≈ ∑

± Ω ”s ©”®

±

∞ ∫ ¨∞ Ω ©±® Ω ©∞® ∫Ê≈ YO×Ð ¨©”® WO½U¦�« Wł—b�« s� œËb(« dO¦� błË√ ∏

≤≤

(Fundamental Theorem of Calculus) q�UJ²�«Ë q{UH²�« w� WOÝUÝ_« W¹dEM�« μ≠¥

rNð U� v�≈ W¹dEM�« Ác¼ WOL¼√ œuFðË ¨q�UJ²�«Ë q{UH²�« rKŽ  U¹dE½ r¼√ ÈbŠ≈ bM³�« «c¼ w ·dF²MÝ

nA²�« b�Ë ªÈdš√ WNł s� œËb;« q�UJ²�« WLO� »UŠË ¨WNł s� …œËb;« dOž  ö�UJ²�« œU−¹≈ w tÐ

q{UH²�« rKŽ fÝ√ wF{«Ë UL¼—U³²ŽUÐ ¨o×Ð ¨s¹d¹bł ULNKFł U2 ¨s¹œdHM� eM³¹ôË sðuO½ ÊU*UF�« W¹dEM�« Ác¼

Æq�UJ*« Ê«d²�ô« vL¹ U� ·dF²½ W¹dEM�« ÁcN� ΫbON9Ë ¨dAŽ lÐU�« ÊdI�« w q�UJ²�«Ë

∫n¹dFð

¨’s ©’®

”

∫ Ω ©”®  Ê«d²�ô« ÊS ¨› »¨ ¤ …d²H�« vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈

Æ› »¨ ¤ …d²H�« vKŽ ©”® Ê«d²�ö� ©”®  q�UJ*« Ê«d²�ô« vL¹ ¨» ≥ ” ≥

Æ›μ ¨ ±¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ± ´ ≤”≥ Ω ©”® Ê«d²�ö� ©”®  q�UJ*« Ê«d²�ô« błË√ ∫©±® ‰U¦�

» ≥ ” ≥ ’s ©’®

”

∫ Ω ©”® 

μ ≥ ” ≥ ± ’s ©± ´

≤’≥®

”

± ∫ Ω

’s ±

”

± ∫ ´ ’s ≤’

”

± ∫ ≥ Ω

©± ≠ ”®± ´

≥

≥

± ≠ ≥”

× ≥ Ω

≤ ≠ ” ´≥” Ω ± ≠ ” ´ ± ≠

≥” Ω

± > ” ≥ ∞ ”≥

≤ ≥ ” ≥ ± ”¥ ≠ ∂

Ω ©”® ÊU� «–≈ ∫©≤® ‰U¦�

›≤ ¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ©”® Ê«d²�ö� ©”®  q�UJ*« Ê«d²�ô« ± ∫błËQ

øW�U(« Ác¼ w ©”® l� ©”® Ó  W�öŽ U� ¨©”® Ó  ≤

≤ ≥ ” ≥ ∞ ’s ©’®

”

∫ Ω ©”® 

∫ÊS ± > ” ≥ ∞ X½U� «–≈ ∫ÎôË√

’s ’

”

∞ ∫ ≥ Ω ’s ’

≥

”

∞ ∫ Ω ©”® 

≤”

≤

≥

Ω

≤

≤

∞ ≠ ≤”

× ≥ Ω

≤≥

∫ÊS ≤ ≥ ” ≥ ± X½U� «–≈ ∫ÎUO½UŁ

’s ©’¥ ≠ ∂®

”

± ∫ ´ ’s ’

≥

±

∞ ∫ Ω ©”® 

©≤

≤

± ≠ ≤”

® ¥ ≠ ©± ≠ ”®∂ ´

≤

©≤

∞ ≠ ≤

±® ≥

Ω

≤

μ

≠ ≤”≤ ≠ ”∂ Ω

± > ” ≥ ∞ ≤”

≤

≥

≤ ≥ ” ≥ ±

≤

μ

≠ ≤”≤ ≠ ”∂

Ω ©”®  ∴

bMŽ qB²� ©”®  q�UJ*« Ê«d??²??�ô« sJ�Ë ¨± Ω ” bMŽ qB²� dOž ©”®

Ê√ ‰U¦*« «c??¼ w k??Šô

Æ©p�– s� oI%® ± Ω ”

∫ÂUŽ tłuÐ

∫W¹dE½

ÊuJ¹ ’s ©’®

”

∫ Ω ©”®  q�UJ*« Ê«d²�ô« ÊS ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ©”® ÊU� «–≈

Æ›» ¨ ¤ vKŽ ÎöB²�

∫…bŽUI�UÐ vDF¹ ›¥¨±¤ …d²H�« vKŽ ·dF*« ©”® Ê«d²�ö� ©”®  q�UJ*« Ê«d²�ô« ÊU� «–≈ ∫©≥® ‰U¦�

Æ» ¨ 5²ÐU¦�« błËQ

≤ > ” ≥ ± » ´ ”≤

¥ ≥ ” ≥ ≤ ≤ ´ ≤”

Ω ©”® 

’s ©’®

”

± ∫ Ω ©”® 

dH� Ω ’s ©’®

±

± ∫ Ω ©±®  ⇐

≤≠ Ω » UNM�Ë ∞ Ω » ´ ± × ≤ ∴

≤ Ω ” bMŽ qB²� uN ›¥ ¨ ±¤ vKŽ qB²� ©”®  Ê«d²�ô«

©≤®  Ω ©”® 

´ ≤ ←

”

Ω ©”® 

≠ ≤ ←

”

∴

≤ ´ ¥ Ω » ´ ¥ ∴

±≠ Ω ÊuJð i¹uF²�UÐË ≤ Ω » UNM�Ë

≤¥

Æ›¥ ¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ·dF*« ¸ ≥ ≠ ” ¸ Ω ©”® Ê«d²�ö� ©”®  q�UJ*« Ê«d²�ô« bł ∫©¥® ‰U¦�

Æ©”® Ó  błË√ rŁ

≥ ≥ ” ≥ ∞ ” ≠ ≥

¥ ≥ ” > ≥ ≥ ≠ ”

Ω ©”®

’s ©’®

”

∞ ∫ Ω ©”® 

∫ÊS ≥ ≥ ” ≥ ∞ X½U� «–≈ ∫ÎôË√

’s ©’ ≠ ≥®

”

∞ ∫ Ω ’s

©’®

”

∞ ∫ Ω ©”® 

©p�– s� oI%®

≤

≤”

≠ ”

≥ Ω

∫ÊS ¥ ≥ ” > ≥ X½U� «–≈ ∫ÎUO½UŁ

’s ©≥ ≠ ’®

”

≥ ∫ ´ ’s

©’ ≠ ≥®

≥

∞ ∫ Ω ©”® 

π ´ ”≥ ≠

≤

≤”

Ω ©≥ ≠ ”®≥ ≠

≤

π ≠ ≤”

´

≤

π

Ω

≥ ≥ ” ≥ ∞

≤

≤”

≠ ”

≥

¥ ≥ ” > ≥ π ´ ”≥ ≠

≤

≤”

Ω ©”®  ∴

≥ ” ∞ ¨ ”

≠ ≥

¥ ” ≥ ≥ ≠ ”

©ø«–U*® ≥ Ω ” dH�

Ω ©”® Ó  ∴

¤¥ ¨ ∞ › ∋ ”

©”® Ω ©”® Ó  Ê√Ë ¨ ›¥ ¨ ∞ ¤ vKŽ qB²� ©”® Ê√ kŠô

∫q�UJ²�«Ë q{UH²�« w� WOÝUÝ_« W¹dEM�«

’s ©’®

”

∫ Ω ©”®  ÊU�Ë ¨›» ¨ ¤ WIKG*« …d²H�« vKŽ ÎöB²� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈ ∫ÎôË√

lOL' ©”® Ω ©”® Ó  ÊuJ¹Ë ‚UI²ýö� qÐU� ©”®  ÊS ¨ Ê«d²�ö� q�UJ*« Ê«d²�ô« u¼

©”® Ê«d²�ö� wz«bÐ Ê«d²�« u¼ ©”®  Ê√ Í√ ¨¤ » ¨ › ∋ ”

∫ÊS ¨›» ¨ ¤ vKŽ ©”® qB²*« Ê«d²�ö� ÎUOz«bÐ ÎU½«d²�« ©”®Â ÊU� «–≈ ∫ÎUO½UŁ

»

¸ ©”®Â …—uB�« vKŽ ‚dH�« «c¼ V²J¹Ë ¨© ®Â ≠ ©»®Â Ω ”s ©”®

»

∫

≤μ

ÍœR¹ «c¼Ë ¨t� wz«bÐ Ê«d²�« u¼ qB²� Ê«d²�ô q�UJ*« Ê«d²�ô« Ê≈ ‰uI�« W¹dEM�« Ác¼ s� ‰Ë_« rI�« sLC²¹

WIKG� …d² vKŽ qB²� Ê«d²�ô œËb;« q�UJ²�« »U( t½√ ÃU²M²Ý« sLC²¹ Íc�« W¹dEM�« s� w½U¦�« rI�« v�≈

WI¹dDÐ U½œËe¹ «c¼Ë ª© ®Â ≠ ©»®Â Ω ”s ©”®

»

∫ ÊuJO ©”®Â t� ÎUOz«bÐ ÎU½«d²�« b$ Ê√ wHJ¹ ¨›» ¨ ¤

q�UJ²�« n¹dFð vKŽ WLzUI�«Ë ¨œËb;« q�UJ²�« »U( U¼U½bL²Ž« w²�« v�Ë_« WI¹dD�« s� W�uNÝ d¦�√ Èdš√

ÆÊU1— ŸuL−� W¹UN½ t½QÐ œËb;«

ÊU�Ë vKŽ ÎöB²� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈ ∫©μ® ‰U¦�

Æ©≥® błËQ ¨ ” ´ ≤” Ω ’s©’®

”

∞

∫ Ω ©”® 

qB²� ©”® Ê_ ©”® Ω ©”® Ó 

” ´ ≤” Ω ©”®  Ê√ U0Ë

± ´ ”≤ Ω ©”® Ó  ∴

± ´ ”≤ Ω ©”® ∴

∑ Ω ± ´ ≥ × ≤ Ω ©≥® UNM�Ë

?ł ´ ”U²ł ´ ”Uł Ω ’s ©’®

”

≤

π

∫ Ω ©”®  ÊU� «–≈ ∫©∂® ‰U¦�

vKŽ qB²� ÊQÐ ÎULKŽ ¨ Ê«d²�ô« …bŽU�Ë ¨ ?ł XÐU¦�« WLO� błËQ

?ł ´ ”U²ł ´ ”Uł Ω ’s ©’®

”

≤

π

∫ Ω ©”® 

?ł ´ ≤

π

U²ł ´ ≤

π

Uł Ω ’s ©’®

≤

π

≤

π

∫ Ω ©≤

π

®  ∴

±≠ Ω ?ł UNM�Ë ¨?ł ´ ∞ ´ ± Ω dH� ∴

vKŽ qB²� Ê«d²�« Ê√ U0Ë

©”® Ω ©”® Ó  ∴

”Uł ≠ ”U²ł Ω ©”® Ë√ ¨©”® Ω ”Uł ≠ ”U²ł ∴

≤∂

Ê«d²�ö� ©”®Â ÎUOz«bÐ ÎU½«d²�« V²�U ¨›± ±≠¤ …d²H�« vKŽ ÎUdF� μ ≠ ≤” Ω ©”® ÊU� «–≈ ∫©∑® ‰U¦�

Æ”s ©”®

±

±≠ ∫ błË√ rŁ ©”®

?ł ´ ”μ ≠

≥

≥”

Ω ”s ©μ ≠

≤”® ∫

”μ ≠

≥

≥”

Ω ©”®Â u¼ ©”® Ê«d²�ö� ©”®Â WOz«b³�«  U½«d²�ô« bŠ√ ÊuJO

≥

≤∏

≠ Ω ©μ ´

≥

±

≠ ® ≠ ©μ ≠

≥

±

® Ω ©±≠®Â ≠ ©±®Â Ω ”s ©”®

±

±≠ ∫ ∴

¨› ≤

π

¨ ∞ ¤ …d²H�« vKŽ ”Uł ´ ”U²ł Ω ©”® Ê«d²�ö� ©”®  q�UJ*« Ê«d²�ô« błË√ ∫©∏® ‰U¦�

”s

©”Uł ´ ”U²ł®

≤

π

∞

∫ błË√ rŁ

’s ©’ Uł ´ ’ U²ł®

”

∞ ∫ Ω ’s

©’®

”

∞ ∫ Ω ©”® 

”

∞ ǀ ©’ U²ł ≠ ’ Uł® Ω

©± ≠ ∞® ≠ ©” U²ł ≠ ” Uł® Ω

± ´ ” U²ł ≠ ” Uł Ω

≤

π

∞ ǀ ©” U²ł ≠ ” Uł® Ω ”s

©”Uł ´ ”U²ł®

≤

π

∞

∫ ∴

©∞U²ł ≠ ∞Uł® ≠ ©≤

π

U²ł ≠ ≤

π

Uł® Ω

≤ Ω ©±≠® ≠ ± Ω

”s ¸”¸

±

±≠ ∫ błË√ ∫©π® ‰U¦�

∞ > ” ≥ ±≠ ”≠

± ≥ ” ≥ ∞ ”

Ω ¸”¸

”s”

±

∞

∫ ´ ”s”

≠

∞

±≠ ∫ Ω ”s ¸”¸

±

±≠ ∫ ∴

± Ω

≤

±

´

≤

±

Ω

±

∞ ǀ

≤

≤”

´

∞

±≠ǀ

≤

≤”

≠

Ω

≤∑

©μ≠¥® s¹—U9

∫WOðü«  U½«d²�ô« s� >qJ� q�UJ*« Ê«d²�ô« błË√ ±

¥ ≥ ” ≥ ± ” √ Ω ©”® √

π ≥ ” ≥ ∞ ¨ ”Uł ´ ” Ω ©”® »

≤ > ” ≥ ±≠ ”≥

≥ ≥ ” ≥ ≤ ” ≠ ∏

Ω ©”® ?ł

≤ ≥ ” ≥ ∞ ¸± ≠ ”¸ Ω ©”® œ

Æ ”Uł ´ ± √ Ω ’s ©’®

”

≤

π ≠

∫ Ω ©”®  q�UJ*« t½«d²�« Ê≈ YO×Ð vKŽ qB²� Ê«d²�« ©”® ≤

Æ©∞® Ó ¨ ©∞® błË√

≤ > ” ≥ ∞ ≤”

μ ≥ ” ≥ ≤ ´ ”¥

Ω ©”®  q�UJ*« t½«d²�«Ë ¨›μ ¨ ∞¤ vKŽ qB²� Ê«d²�« ©”® ≥

©≤® ?ł ”s ©”®

μ

∞

∫ » XÐU¦�« WLO� √ ∫błË√

± > ’ ≥ ∞ ’

≤ ≥ ’ ≥ ± ’ π Uł

Ω ©’® YOŠ ’s ©’®

”

∞

∫ Ω ©”®  ÊU� «–≈ ¥

©≤

≥

® Π ©≤

±

® Ó  s� Îö� błË√

∫WOðü«  ö�UJ²�« s� Îö� błË√ μ

”s ©

≥≠”±∏ ≠ ≤

±

”

≤

≥

≠ ”≤®

π

±

∫ √

”s ¸≥ ≠ ”≤¸

∂

≤≠ ∫ »

”s ”≤

U�

≥

π

∞

∫ ?ł

”s ›≤ ´ ”¤

≥

±

∫ œ

≤∏

W?????OFO³D�« W ÒO?????? ÒÝ_«Ë W?OL²¹—UžuK�«  U½«d²ô« ∂≠¥

(Natural Logarithmic and Exponential Functions)

∫wFO³D�« wL²¹—UžuK�« Ê«d²ô« ∫ÎôË√

ø”s ”

±

∫ Í√ ¨±≠ΩÊ UNO ÊuJð w²�« W�U(« sŽ «–UL¨±≠ ≠ Ê ¨ ?ł ´

± ´ Ê

±´Ê”

Ω ”s Ê

” ∫ Ê√ rKFð

vKŽ qB²� Ê«d²�« ∞ < ” ¨ ”

±

Ω ©”® Ê«d²�ô« Ê√ kŠö½ ‰«R�« sŽ WÐUłû�

∞ < ” ¨ Ÿs Ÿ

±

”

±

∫ Ω ©”®‰ Ê«d²�ô« ÊS rŁ s�Ë ªt�U−� s� WIKG� …d² W¹√

WŠU� tK¦9 ± ≤ ” dOG²LK� WLO� Í√ bMŽ Ê«d²�ô« «c¼ WLO�Ë ¨t� wz«bÐ Ê«d²�« u¼

Æ©∂≠¥® qJA�« w WKKE*« WIDM*«

’

Ÿ

± ”

Ÿ

± Ω ©Ÿ®

©∂≠¥® qJA�«

∫wK¹ U� ∞ < ” ¨ Ÿs Ÿ

±

”

±

∫ Ω ©”®‰ Ê«d²�ô« hzUBš s�

dH� Ω ©±®‰ ±

©q�UJ²�«Ë q{UH²�« w WOÝUÝ_« W¹dEM�«® ”

±

Ω ©”®Ó‰ ≤

∞ < ” lOL' ∞ < ©”®Ó‰ ∴

ÆW³łu*« WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL−� u¼Ë t�U−� vKŽ b¹«e²� Ê«d²�« ©”®‰ Ê√ Í√

≤”

±≠

Ω ©”®Î‰ ≥

∞ < ” lOL' ∞ > ©”®Î‰ ∴

Æt�U−� vKŽ qHÝú� dFI� ©”®‰ Ê«d²�ô« vM×M� Ê√ Í√

UL� w³¹dIð qJAÐ ©”®‰ vM×M� rÝ— sJ1 ¨hzUB)« ÁcNÐ W½UF²ÝôUÐ

Íc�« wL²¹—UžuK�« Ê«d²�ô« vM×M0 „d�c¹ ªqJA�« «c¼Ë ¨©∑≠¥® qJA�« w

ÆÎUIÐUÝ pF� d�

’

”

±

©∑≠¥® qJA�«

Ê√Ë ¨WOL²¹—UžuK�«  U½«d²�ô« WKzUF� ÎöF wL²M¹ ©”®‰ Ê«d²�ô« Ê√ ÊUO³ð sJ1Ë

ÆÎU³¹dIð ≤[∑ t²LO�Ë ÎUIÐUÝ t²dFð Íc�« ©?¼® ÍdO³OM�« œbF�« u¼ Ê«d²�ô« «cN� ”UÝ_«

≤π

∫n¹dFð

Á«b�Ë ¨W³łu*« WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL−� t�U−� Ê«d²�« u¼ ”?¼

u� Ω ©”® wFO³D�« r²¹—UžuK�« Ê«d²�«

∞ < ” ¨ Ÿs Ÿ

±

”

±

∫ Ω ”

?¼

u� tðbŽU�Ë ¨WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL−�

UN²LKFð w²�« UNð«–  UL²¹—UžuK�« 5½«u� ”?¼

u� Ω ©”® wL²¹—UžuK�« Ê«d²�ô« vKŽ o³DM𠨉U(« WFO³DÐË

∫Ê√ Í√ ¨ÎUIÐUÝ

»?¼

u� ´ ?¼

u� Ω » ?¼

u� ±

»?¼

u� ≠ ?¼

u� Ω »

?¼

u� ≤

?¼

u� Ê Ω

Ê

?¼

u� ≥

∫W¹dE½

”

±

Ω ©”® Ó ÊS ∞ < ” ¨ ”

?¼

u� Ω ©”® ÊU� «–≈ ±

?ł ´ ¸”¸ ?¼

u� Ω ”s ”

±

∫ ≤

∫ÂUŽ tłuÐË

∫ÊS ¨‚UI²ýö� qÐU�Ë ¨ ∞ < ©”®Ÿ YOŠ ª©”®Ÿ ?¼

u� Ω ©”® ÊU� «–≈ ±

©”® Ÿ

©”® ÓŸ

Ω ©”®ÓŸ ×

©”® Ÿ

±

Ω ©”® Ó

?ł ´ ¸©”® ¸ ?¼

u� Ω ”s

©”®

©”®

Ó

∫ ≤

”s ”

μ

∫ błË√ ∫©±® ‰U¦�

”s ”

±

∫ μ Ω ”s ”

μ

∫

??ł ´ ¸”¸

?¼

u�μ Ω

≥∞

”s ”

±

≤ ?¼

?¼

∫ błË√ ∫©≤® ‰U¦�

≤ ?¼

?¼

¸ ¸”¸ ?¼

u� Ω ”s ”

±

≤ ?¼

?¼

∫

≤ ?¼

?¼

¸ ”?¼

u� Ω

?¼ ?¼

u� ≠ ≤

?¼ ?¼

u� Ω

± Ω ?¼ ?¼

u� Ω ?¼ ?¼

u� ≠ ?¼ ?¼

u�≤ Ω

”s

’s

błËQ ”≤

U²ł?¼

u� Ω ’ X½U� «–≈ ∫©≥® ‰U¦�

Ó ©”≤

U²ł® × ”≤

U²ł

±

Ω ”s

’s

” Uþ≤≠ Ω ”

Uł

≠ × ”

U²ł≤ × ”≤

U²ł

±

Ω

”s

± ´ ≤”

”≤

∫ błË√ ∫©¥® ‰U¦�

©± ´ ≤”® ÂUI*« WI²A� u¼ ©”≤® j³�«

?ł ´ ©± ´ ≤”®

?¼

u� Ω ”s

± ´ ≤”

”≤

∫ ∴

”s ”

U²þ ∫ błË√ ∫©μ® ‰U¦�

”s

”

Uł

Ó©”

Uł®

∫ Ω ”s

”

Uł

”

U²ł

∫ Ω ”s ”

U²þ ∫

?ł ´ ¸”Uł¸ ?¼

u� Ω

≥±

∫wFO³D�« Òw ÒÝÔ_« Ê«d²�ô« ∫ÎUO½UŁ

ªdþUMð Ê«d²�« u¼ ”

?¼

u� Ω ©”® wFO³D�« wL²¹—UžuK�« Ê«d²�ô«

¨

´

Á«b????�Ë ¨ t�U−� ©”®±≠ wJŽ Ê«d??²??�« t??� ÊuJO

Ê«d²�ô« vM×M* ”UJF½« u¼ ÁUM×M�Ë ¨”

?¼ Ω ©”®±≠ tðbŽU�Ë

Æ©∏≠¥® qJA�« dE½« Æ” Ω ’ rOI²*« w wL²¹—UžuK�«

’

”

±

”

?¼

u� Ω ’

” Ω ’

”

?¼ Ω ’

©∏≠¥® qJA�«

o³DMðË ¨wFO³D�« wÝ_« Ê«d²�ô« ”

?¼ Ω ’ Ê«d²�ô« wL½

∫UNM�Ë ¨ÎUIÐUÝ UN²LKFð w²�« fÝ_« 5½«u� tOKŽ

Ê≠Â

?¼ Ω Ê

?¼ õ Â

?¼ ≤ Ê´Â

?¼ Ω Ê

?¼ × Â

?¼ ±

± Ω ∞

?¼ ¥ Ê Â

?¼ Ω

Ê

©Â

?¼® ≥

∫W¹dE½

”

?¼ Ω ”s

’s

ÊS ”

?¼ Ω ’ X½U� «–≈ ±

?ł ´ ”

?¼ Ω ”s ”

?¼ ∫ ≤

∫ÊU¼d³�«

”

?¼ Ω ’ ±

∫Z²M¹ ¨5dDK� wFO³D�« r²¹—UžuK�« cšQÐ

” Ω ?¼?¼

u� ” Ω ”

?¼?¼

u� Ω ’

?¼

u�

∫Z²M¹ ¨” v�≈ W³M�UÐ W�œUF*« wdÞ ‚UI²ýUÐË

± Ω ”s

’s

’

±

”

?¼ Ω ’ Ω ”s

’s

∴

”

?¼ Ω ©”

?¼® ”ss

Ê√ U0 ≤

”

?¼ Ê«d²�ö� wz«bÐ Ê«d²�« ”

?¼ ∴

?ł ´ ”

?¼ Ω ”s ”

?¼ ∫ Ê√ Í√

≥≤

∫wK¹ UL� WIÐU��« W¹dEM�« rOLFð sJL¹Ë

©”®Ó„ × ©”

®„

?¼ Ω ”s

’s

ÊS ‚UI²ýö� qÐU� ©”®„ ¨ ©”

®„

?¼ Ω ’ X½U� «–≈ ±

?ł ´ ©”

®„

?¼ Ω ”s ©”®Ó„ Æ

©”

®„

?¼ ∫ ≤

∫wK¹ U2 q� w ”s

’s

błË√ ∫©∂® ‰U¦�

± ´

”

?¼

”

?¼

?¼

u� Ω ’ ?ł

≤

π

Ω ” bMŽ ”

Uł

?¼ Ω ’ » ”

?¼ ” Ω ’ √

”

?¼ ” Ω ’ √

”

?¼ ´ ”

?¼ ” Ω ± ×

”

?¼ ´ ”

?¼ × ” Ω ”s

’s

≤

π

Ω ” ”

Uł

?¼ Ω ’ »

”U²ł × ”

Uł

?¼ Ω ”s

’s

∞ Ω ∞ × ±

?¼ Ω

≤

π

U²ł × ≤

π

Uł

?¼ Ω”s

’s

≤

π Ω

”

¸ ∴

± ´

”

?¼

”

?¼

?¼

u� Ω ’ ?ł

Ó

©± ´

”

?¼

”

?¼

® ×

©± ´

”

?¼

”

?¼

®

±

Ω ”s

’s

≤

©± ´

”

?¼®

©

”

?¼®

”

?¼ ≠

”

?¼ × ©± ´

”

?¼®

× ”

?¼

± ´

”

?¼

Ω

± ´

”

?¼

±

Ω ≤

©± ´

”

?¼®

”≤

?¼ ≠

”

?¼ ´

”≤

?¼

× ”

?¼

± ´

”

?¼

Ω

∫«cJ¼ Èdš√ WI¹dDÐ ‰«R�« qŠ sJ1Ë

± ´

”

?¼

”

?¼

?¼

u� Ω ’

©± ´ ”

?¼® ?¼

u� ≠ ”

?¼ ?¼

u� Ω

©± ´ ”

?¼® ?¼

u� ≠ ” Ω

± ´

”

?¼

±

Ω

± ´

”

?¼

”

?¼ ≠ ± ´

”

?¼

Ω ”

?¼ ×

± ´

”

?¼

±

≠ ± Ω ”s

’s

∴

≥≥

∫WOðü«  ö�UJ²�« s� Îö� błË√ ∫©∑® ‰U¦�

”s ”

U²ł ”

Uł

?¼

∫ » ”s ≥”

?¼ ≤”

≥

∫ √

”s Ó ©≥”® ×

≥”

?¼ ∫ Ω ”s ≥”

?¼ ≤”

≥ ∫ √

?ł ´ ≥”

?¼ Ω

”s Ó ©”Uł® ”

Uł

?¼

∫ Ω ”s ”

U²ł ”

Uł

?¼

∫ »

?ł ´ ”

Uł

?¼ Ω

©∂≠¥® s¹—U9

∫wK¹ U2 Ìq� w ”s

’s

błË√ ±

≥

©” ?¼

u�® Ω ’ » ©”≤ ´ ≤”®

?¼

u� Ω ’ √

”

?¼

u� ” ≠ ” Ω ’ œ ”≤

Uł ?¼

u� Ω ’ ?ł

©” ?¼

u�® ?¼

u� Ω ’ Ë ”

?¼

u� ´ ±

”

?¼

u� ”

Ω ’ ?¼

≥” ?¼

u� ≤”

?¼ Ω ’ Õ

± ≠ ”

?¼

± ´ ”

?¼

Ω ’ “

’´

”

?¼ Ω ’

?¼ ´ ”

?¼ Í ≥

©± ´ ≤”®

” √

?¼

u� Ω ’ ◊

”

” Ω ’ ‰ ≥

©± ´ ≤”®

” √ Ω ’ „

©‰ ¨ „ 5ŽdH�« w 5dD�« r²¹—Užu� cš ∫œUý—≈®

∫WO�U²�«  ö�UJ²�« s� Îö� błË√ ≤

”s

± ´ ”

≤

?¼

”≤

?¼

∫ » ”s ”≤

U� ”

Uþ

?¼ ∫ √

”s ”

≤

?¼≤

?¼

∞

∫ œ ”s ”

?¼ √

≤

±

∫ ?ł

©j³�« w ± ≠©±´”® Ω” l{ ∫œUý—≈® ”s

± ´ ”

”

∫ Ë ”s

¥ ´ ”≤ ´ ≤”

± ´ ”

∫ ?¼

∫W�œUF*« oI×¹ ”

≥

?¼©”≤ ´ ±® Ω ’ Ê«d²�ô« Ê√ 5Ð ≥

∞ Ω ’

π ´ ”s

’s

∂ ≠ ≤”s

’≤s

(Methods of Integration) q????�UJ²�« ‚d???Þ ∑≠¥

q�UJ²�« w WOÝUÝ_« bŽ«uI�« ÈbŠù dýU³*« oO³D²�« ÊUJ�ùUÐ ÊuJ¹ b� ¨U� q�UJð ¡«dł≈ pM� VKD¹ U�bMŽ

∫q¦� ÎUIÐUÝ pF�  d� w²�«

¨ ?ł ´ ¸”¸ u� Ω ”s

”

±

∫ Ë√ ¨?ł ´ ”

Uþ Ω ”s ”≤

U� ∫ Ë√¨±≠ ≠ Ê ¨ ?ł ´

± ´ Ê

±´Ê”

Ω ”s Ê

” ∫

Æa�≈ ÆÆÆË√

∫UNM� Èdš√ ‚dÞ Â«b�²Ý« sJL*« sL WOÝUÝ_« q�UJ²�« bŽ«uI� dýU³*« oO³D²K� lC�ð ô w²�«  ôU(« w U�√

Æi¹uF²�UÐ q�UJ²�« ±

Æ¡«eł_UÐ q�UJ²�« ≤

ÆWOze'« —uJ�UÐ q�UJ²�« ≥

∫‚dD�« Ác¼ s� >qJ� `O{uð wK¹ ULOË

(Integration by Substitution) i¹uF²�UÐ q�UJ²�« ∫ÎôË√

∫’s ¨ ”s Ê«e�d�« ∫bON9

©’ ¨ ”® WDIM�« bMŽ ‚UI²ýö� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® Ω ’ ÊU� «–≈

vKŽ ’ WK{UHðË ¨” WK{UHð ÊUOL¹Ë ¨’s ”s s¹e�d�« ·dF½ UM½S

Æ ”s ©”®Ó Ω ’s ¨”Δ Ω ”s ∫«cJ¼ ¨VOðd²�«

uN ’s e�d�« U�√ ¨”Δ Í√ ” w dOG²K� dš¬ e�— u¼ ”s e�d�« Ê≈

WDIM�« bMŽ vM×MLK� ”UL*« v�≈ W³M�UÐ ” w dOG²K� dþUM*« ’ w dOG²�«

s� W³¹d� ÊuJð ’Δ ÊS dHB�« s� W³¹d� ”Δ ÊuJð U�bMŽË ¨©’ ”®

Æ©π≠¥® qJA�« dE½« ¨’s

’

”

”

©’ ¨ ”®

”s

’Δ

’s

©”® Ω ’

©π≠¥® qJA�«

ÆVOðd²�« vKŽ ”s ¨’s t�UI�Ë tDРΫd� ”s

’s

—U³²Ž« n¹dF²�« «c¼ UM� `O²¹Ë

qNÝ√ …—uBÐ b¹bł dOG²0 dš¬ q�UJð v�≈ vDF*« q�UJ²�« q¹u% vKŽ ÂuI¹ i¹uF²�UÐ q�UJ²�« »uKÝ√ Ê≈

i¹uF²�« ÊS ”s ©”® Ó ?¼ Æ©©”®?¼® ∫ …—uB�« vKŽ »uKD*« q�UJ²�« ÊU� «–≈ Îö¦L ªWOK�_« …—uB�« s�

qNÝ√ …dOš_« …—uB�«Ë ª”s ©”® Ó ?¼ Ω ’s Ê_ ’s ©’® ∫ …—uB�« v�≈ q�UJ²�« ‰u×¹ ©”®??¼ Ω ’

Æv�Ë_« …—uB�« s�

≥¥

”s μ

©≥ ´ ”≤® ∫ błË√ ∫©±® ‰U¦�

≥ ´ ”≤ Ω ’ Ê√ ÷dH½

≤

’s

Ω ”s

UNM�Ë ”s

≤ Ω ’s ∴

?ł ´ ±≤

∂

’

Ω ≤

’s

μ

’ ∫ Ωq�UJ²�« ÊuJ¹ i¹uF²�UÐ

?ł ´ ±≤

∂

©≥ ´ ”≤®

Ω

”s ©≥ ´ ”≤® ≥

©”≥ ´ ≤”® ∫ błË√ ∫©≤® ‰U¦�

”≥ ´ ≤” Ω ’ Ê√ ÷dH½

”s ©≥ ´ ”≤® Ω ’s ∴

?ł ´ ¥

¥’

Ω ’s ≥’ ∫ Ω q�UJ²�« ÊuJ¹ i¹uF²�UÐË

?ł ´ ¥

¥

©”≥ ´ ≤”®

Ω

”s

©≤ ´ ”≥®U²ł ∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦�

©≤ ´ ”≥® Ω ’ Ê√ ÷dH½

≥

’s

Ω ”s UNM�Ë ”s

≥ Ω ’s ∴

?ł ´ ’Uł ≥

±

Ω ’s

’U²ł ≥

±

∫ Ω q�UJ²�« ÊuJ¹ i¹uF²�UÐË

?ł ´ ©≤ ´ ”≥®Uł ≥

±

Ω

”s ”U²ł ”≤

Uł ∫ błË√ ∫©¥® ‰U¦�

”Uł Ω ’ Ê√ ÷dH½

”s ”U²ł Ω ’s ∴

?ł ´ ≥

≥’

Ω ’s

≤’ ∫ Ω q�UJ²�« ÊuJ¹ i¹uF²�UÐË

?ł ´ ≥

” ≥

Uł

Ω

≥μ

≥∂

∫…bŽU

?ł ´

©» ´ ” ®Â

Ω ”s ©» ´ ” ® ∫ ÊS ¨ ?ł ´ ©”®Â Ω ”s ©”® ∫ ÊU� «–≈

∫WO�U²�«  ö�UJ²�« s� Îö� błË√ ∫©μ® ‰U¦�

”s ∑´”

μ

?¼ ∫ ?ł ”s

©± ´ ”μ®≤

U� ∫ » ”s μ

©¥ ´ ”≥® ∫ √

?ł ´ ∂

∂

”

Ω ”s μ” ∫ √

?ł ´

≥ × ∂

∂

©¥ ´ ”≥®

Ω ”s μ

©¥ ´ ”≥® ∫ ∴

?ł ´ ±∏

∂

©¥ ´ ”≥®

Ω

?ł ´ ”Uþ Ω ”s ”≤

U� ∫ »

?ł ´ μ

©± ´ ”μ®Uþ

Ω ”s

©± ´ ”μ®≤

U� ∫ ∴

?ł ´ ”

?¼ Ω ”s ”

?¼ ∫ ?ł

?ł ´ μ

∑´”

μ

?¼

Ω ”s ∑´”

μ

?¼ ∫ ∴

”s

”≤

Uł ´ ± √

”U²ł ”Uł≤

≤

π

∞

∫ błË√ ∫©∂® ‰U¦�

”≤

Uł ´ ± Ω ’ Ê√ ÷dH½

”s

”U²ł ”Uł≤ Ω ’s

’ √

’s

∫ Ω œËb;« dOž q�UJ²�« ÊuJ¹ i¹uF²�UÐ

’s

≤

± ≠

’ ∫ Ω

?ł ´ ”≤

Uł ´ ± √ ≤ Ω ?ł ´ ≤

±

’ ≤ Ω

≤ ≠ ≤ √ ≤ Ω

≤

π

∞

¸ ”≤

Uł ´ ± √ ≤ Ω »uKD*« œËb;« q�UJ²�« ∴

≥∑

U�bMF ’ b¹b'« dOG²*« l� q�UJ²�« w —«dL²ÝôUÐ ÎUC¹√ œËb;« q�UJ²�« »UŠ sJ1 ∫WEŠö�

≤ Ω ≤

π

≤

Uł ´ ± Ω ’ ÊuJð ≤

π

Ω ” U�bMŽË ¨± Ω ∞ ≤

Uł ´ ± Ω ’ ÊuJð ∞ Ω ”

≤ ≠ ≤ √ ≤ Ω

≤

±

¸ ≤

±

’≤ Ω œËb;« q�UJ²�« ∴

”s ”

©”

?¼

u�® U²ł

?¼

±

∫ błË√ ∫©∑® ‰U¦�

”

?¼

u� Ω ’ Ê√ ÷dH½

’s

” Ω ”s

UNM�Ë ”s ”

±

Ω ’s

∴

± Ω ?¼

?¼

u� Ω ’ ÊuJð ?¼ Ω ” U�bMŽË ¨ ∞ Ω ±?¼

u� Ω ’ ÊuJð ± Ω ” U�bMŽË

’s

” × ”

’U²ł

±

∞

∫ Ω q�UJ²�« ÊuJ¹ ¨i¹uF²�UÐ ∴

’s

’

U²ł

±

∞

∫ Ω

±

∞

¸ ’

Uł Ω

± Uł Ω ∞ Uł ≠ ± Uł Ω

”s

” ≥

U²ł

∫ błË√ ∫©∏® ‰U¦�

”s

”≤

U²ł Æ ”U²ł

∫ Ω ”s

”≥

U²ł

∫

”s

©”≤

Uł ≠ ±®”U²ł

∫ Ω

”s

”U²ł Ω ’s ÊuJ¹

”

Uł Ω ’ Ê√ ÷dHÐË

’s

©≤’ ≠ ±®

∫ Ω ”s

”≥

U²ł

∫ ∴

?ł ´ ≥

≥

’

≠ ’ Ω

©q(« W×� s� oI%® ?ł ´ ≥

”≥

Uł

≠ ”Uł Ω

≥∏

©±≠∑≠¥® s¹—U9

∫WO�U²�«  ö�UJ²�« s� Îö� błË√ ±

”s ”≥ ≠

≥” √ ©± ≠ ≤”®

∫ » ”s

μ

©¥ ´ ≤”®”

∫ √

”s

”

±

Uł ≤≠”

∫ œ ”s ”Uł ´ ± √ ”U²ł

∫ ?ł

”s

”

≤

©” ?¼

u�®

∫ Ë ”s

©∂ ≠ ”¥ ´ ≤”® Uł ©≤ ´ ”®

∫ ?¼

”s

± ´ ” √

± ´ ” √ Uł

∏

≥

∫ Õ

”s

± ´ ”≥ ´ ≥” √

± ´ ≤”

≤

∞

∫ “

”s

μ ´ ”≤ √

μ´ ”

≤ √?¼

∫ Í ”s ≤

©± ´ ”

?¼®

”

?¼

∫ ◊

∫WO�U²�«  ö�UJ²�« s� Îö� błË√ ≤

”s

”≤

Uł

∫ » ”s ± ≠ ”≤

≥√

∫ √

”s ”U²ł ≠ ±

±

∫ œ ”s

”≥

U²ł ”≤

Uł

∫ ?ł

”s

±μ

©± ´ ”®≤”

∫ Ë ”s

”Uþ ”≥

U�

≥

π

∞

∫ ?¼

©©”Uþ ´ ”U�® vKŽ r�«Ë »d{« ∫œUý—≈® ”s

”U�

∫ “

©” ´ ± Ω ’ l{ ∫œUý—≈® ”s

” ´ ± √

”

∫ Õ

≥π

(Integration by Parts) ¡«eł_UÐ q�UJ²�« ∫ÎUO½UŁ

∫ÊS ” dOG²LK� W³M�UÐ ‚UI²ýö� 5KÐU� 5½«d²�« ?¼ ¨ ÊU� «–≈ t½√ rKF½

”s

s

× ?¼ ´ ”s?¼s

× Ω ©?¼ × ® ”ss

∫ÊuJ¹ ” v�≈ W³M�UÐ 5dDK� q�UJ²�« ¡«dłSÐË

”s ”s

s

?¼

∫ ´ ”s ”s

?¼s

∫ Ω ?¼ ×

s

?¼

∫ ´ ?¼s

∫ Ω

∫Ê√ Í√

s

?¼ ≠ ?¼ × Ω ?¼s

`C²¹ UL� ¨ ö�UJ²�« iFÐ »UŠ w UN�«b�²Ý« sJ1Ë ¨¡«eł_UÐ q�UJ²�« …bŽU� …bŽUI�« Ác¼ vLð

∫WO�U²�« WK¦�_« s�

”s”Uł ”

∫ błË√ ∫©±® ‰U¦�

Ê√ ÷dH½ ”s”Uł Ω ?¼s ” Ω

”U²ł≠ Ω ”s”Uł

∫ Ω ?¼ ”s Ω s≠

s

?¼

∫ ≠ ?¼ Ω ?¼s

∫ sJ�

”s”U²ł

∫ ´ ”U²ł ”≠ Ω ”s”Uł ”

∫ ∴

?ł ´ ”Uł ´ ”U²ł ”≠ Ω

”s ¥ ´ ” √ ”

∫ błË√ ∫©≤® ‰U¦�

”s ¥ ´ ” √ Ω ?¼s

≠

” Ω Ê√ ÷dH½

≤

≥

©¥ ´ ”® ≥

≤

Ω ”s ≤

±

©¥ ´ ”®

∫ Ω ?¼ ”s Ω s

”s ≤

≥

©¥ ´ ”® ≥

≤

∫ ≠ ≤

≥

©¥ ´ ”®” ≥

≤

Ω ”s ¥ ´ ” √ ”

∫ ∴

?ł ´ ≤

μ

©¥ ´ ”® × ±μ

¥

≠ ≤

≥

©¥ ´ ”® ” ≥

≤

Ω

¥∞

∫w�U²�« ‰U¦*« w UL� ¨…d� s� d¦�√ ¡«eł_« WI¹dÞ oO³Dð q�UJ²�« ¡«dł≈ VKD²¹ Ê√ sJ1

”s ”U²ł ≤”

∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦�

”s ”U²ł Ω ?¼s ≤” Ω Ê√ ÷dH½

”Uł Ω ”s ”U²ł

∫ Ω ?¼

”s ”≤ Ω

”s ”Uł ”≤

∫ ≠ ”Uł ≤” Ω ”s ”U²ł

≤”

∫ ∴

”s ”Uł ”

∫ ≤ ≠ ”Uł ≤” Ω

qB×M ©±® ‰U¦� w UL� ¨Èdš√ …d� ¡«eł_UÐ q�UJ²�« Âb�²½ ”s ”Uł ”

∫»U(Ë

∫WOzUNM�« W−O²M�« vKŽ

?ł ´ ©”Uł ´ ”U²ł ”≠® ≤ ≠ ”Uł ≤” Ω ”s ”U²ł

≤”

∫

?ł ´ ”Uł≤ ≠ ”U²ł ”≤ ´ ”Uł ≤” Ω

”s”

?¼

u�

?¼

±

∫ błË√ ∫©¥® ‰U¦�

”s Ω Ës ”

?¼

u� Ω Ê√ ÷dH½

” Ω Ë ”s ”

±

Ω

”s ”

±

× ”

∫ ≠ ”

?¼

u� ” Ω ”s”

?¼

u�

∫ ∴ ?ł ´ ” ≠ ”

?¼

u� ” Ω

?¼

±

¸ ” ≠ ”

?¼

u� ” Ω ”s”

?¼

u�

?¼

±

∫ ∴

± Ω ©± ≠ ±

?¼

u�® ≠ ©?¼ ≠ ?¼

?¼

u� ?¼® Ω

∫w�U²�« ‰U¦*« w UL� ¨UF� ¡«eł_«Ë i¹uF²�« w²I¹dÞ oO³D²Ð  ôU(« iFÐ w q�UJ²�« »UŠ sJ1Ë

¥±

”s ” √ Uł

∫ błË√ ∫©μ® ‰U¦�

≤’ Ω ” ∴ ” √ Ω ’ Ê√ ÷dH½

’s ’≤ Ω ”s ∴

’s ’

Uł ’≤

∫ Ω ”s ” √ Uł

∫ ÊuJ¹ ¨i¹uF²�UÐ

’s ’

Uł ’

∫≤ Ω

∫WOzUNM�« W−O²M�« vKŽ qB×M ©±® ‰U¦� w UL� ¨¡«eł_« WI¹dÞ Âb�²½ ’s ’

Uł ’

∫ »U(Ë

’s ’

Uł ’

∫≤ Ω ”s ” √ Uł

∫

?ł ´ ©’Uł ´ ’U²ł ’≠®≤ Ω

?ł ´ © ” √ Uł ´ ” √ U²ł ” √ ≠®≤ Ω

©≤≠∑≠¥® s¹—U9

∫wK¹ U2 Ìq� w ¡«eł_UÐ q�UJ²�« WI¹dÞ Âb�²Ý« ±

”s ”≥ U²ł©± ´ ”≤®

π

∞

∫ » ”s ”≤Uł ”

∫ √

”s ”

?¼ ≤”

∫ œ ”s ”

?¼

u� ”

∫ ?ł

”s ”

Uł ”

?¼

∫ Ë ”s ”

?¼

u� ±∞”

∫ ?¼

∫WO�U²�«  ö�UJ²�« błË√ ≤

”s

” ≠ ± √ ”

±

∞

∫ ?ł ”s

©”

?¼

u�® Uł

∫ » ”s ”≤

U²� ” U²þ ”

∫ √

”s

©”® Ó ”

≤

±

∫ WLO� VŠU ∏ Ω ©≤® ¨ μ Ω ©±® ≥ Ω ”s

©”®

≤

±

∫ ÊU� «–≈ ≥

Æ” W�ôbÐ ’ błËQ ¨”Uþ ”U� ” Ω ”s

’s

X½U� «–≈ ¥

¥≤

Integration by Partial Fractions WOze'« —u�J�UÐ q�UJ²�« ∫ÎU¦�UŁ

ÊuJ¹ YOŠ ¨a�≈ÆÆƨ

± ´ ≤”

”≤

¨

≤ ´ ”≤

≤

q¦� WO³½  U½«d²�«  ö�UJð b$ Ê√ UMFD²Ý« oÐUÝ bMÐ w

Æ ?ł ´ ¸©”® ¸ ?¼

u� Ω ”s

©”®

©”®

Ó

∫ …bŽUI�« «b�²ÝUÐ p�–Ë ¨ÂUI*« WI²A* ÎU¹ËU� j³�«

ÂuIðË ¨o³Ý U2 rŽ√ WO³½  U½«d²�«  ö�UJð œU−¹ù WOze'« —uJ�UÐ q�UJ²�« WI¹dÞ ·dF²MÝ ¨bM³�« «c¼ w

Ë√ v�Ë_« Wł—b�« s� WO�Ë√ q�«uŽ v�≈ w³M�« Ê«d²�ô« w ÂUI*« qOK% vKŽ WI¹dD�« Ác¼ w WOÝUÝ_« …dJH�«

`C²¹ UL� ¨ÁöŽ√ w —u�c*« ŸuM�« s� d¦�√ Ë√ 5O³½ 5½«d²�« ŸuL−� W¾O¼ w w³M�« Ê«d²�ô« WÐU²� rŁ ¨WO½U¦�«

ªWO�U²�« WK¦�_« s�

q�«uŽ v�≈ qOKײ�« q³I¹Ë ≥ vKŽ t²ł—œ b¹eð ô œËbŠ dO¦� t�UI� w³½ Ê«d²�« q�UJð œU−¹≈ vKŽ dB²IMÝË

ÆWHK²�� WODš

”s

≥ ≠ ”≤ ≠ ≤”

≥ ≠ ”μ

∫ bł ∫©±® ‰U¦�

©≥ ≠ ”® ©± ´ ”® Ω ≥ ≠ ”≤ ≠ ≤” ÂUI*«

≥ ≠ ”

»

´

± ´ ”

Ω

≥ ≠ ”≤ ≠ ≤”

≥ ≠ ”μ

lC½

©≥ ≠ ”® ©± ´ ”®

©± ´ ”® » ´ ©≥ ≠ ”®

Ω

©≥ ≠ ”® ©± ´ ”®

© ≥ ≠ »® ´ ” ©» ´ ®

Ω

5D³�« ÊS ÎUC¹√ ÊU¹ËU²� 5�UI*«Ë ÊU¹ËU²� 5dD�« w 5O³M�« 5½«d²�ô« Ê√ U0Ë

W¹ËU²� ULNO WNÐUA²*« œËb(«  ö�UF� ÊuJðË 5¹ËU²� ÊU½uJ¹

©±® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ μ Ω » ´ ∴

©≤® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≥≠ Ω ≥ ≠ »

≥ Ω » ≤ Ω ∫ Ê√ Z²M¹ ÎUF� 5²�œUF*« q×ÐË

”s ©≥ ≠ ”

≥

´

± ´ ”

≤

® ∫ Ω ”s

≥ ≠ ”≤ ≠ ≤”

≥ ≠ ”μ

∫ ∴

?ł ´ ¸≥ ≠ ”¸

?¼

u� ≥ ´ ¸± ´ ”¸

?¼

u�≤ Ω

¥≥

”s ” ≠

≥”

± ≠ ”≥ ´ ≤”≤

∫ błË√ ∫©≤® ‰U¦�

©± ≠ ≤”®” Ω ” ≠

≥” ÂUI*«

©± ´ ”® ©± ≠ ”®” Ω

± ´ ”

?ł

´

± ≠ ”

»

´ ”

Ω ” ≠

≥”

± ≠ ”≥ ´ ≤”≤

lC½

©± ´ ”® ©± ≠ ”® ”

©” ≠ ≤”®?ł ´ ©” ´

≤”®» ´ ©± ≠ ≤”®

Ω

©± ´ ”® ©± ≠ ”® ”

≠ ” ©?ł ≠ »® ´ ≤” ©?ł ´ » ´ ®

Ω

∫Z²M¹ 5D³�« w WNÐUA²*« œËb(«  ö�UF� …«ËU0

©±® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≤ Ω ?ł ´ » ´

©≤® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≥ Ω ?ł ≠ »

©≥® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ±≠ Ω ≠

±≠ Ω ?ł ¨ ≤ Ω » ± Ω ∫Ê√ Z²M¹  ôœUFL�« q×Ð

”s ©± ´ ”

±

≠

± ≠ ”

≤

´ ”

±

® ∫ Ω ”s ” ≠

≥”

± ≠ ”≥ ´ ≤”≤

∫ ∴

?ł ´ ¸± ´ ”¸

?¼

u� ≠ ¸± ≠ ”¸

?¼

u�≤ ´ ¸”¸

?¼

u� Ω

”s ” ≠

≤”

± ´ ≤”≤ ≠

≥”≤

∫ błË√ ∫©≥® ‰U¦�

‰uB×K� WLI�« ÎôË√ Íd$ «c� ªÂUI*« Wł—œ s� d³�√ j³�« Wł—œ Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠö¹

ÆÂUI*« Wł—œ s� dG�√ UNO j³�« Wł—œ WO³½  U½«d²�« vKŽ

∫ÊuJ¹ ÎU³½Uł 5³� u¼ UL�

”≤

” ≠ ≤” ± ´

≤”≤ ≠ ≥”≤

≤”≤ ≠ ≥”≤

±

´ ≠

” ≠

≤”

±

´ ”≤ Ω ” ≠

≤”

± ´ ≤”≤ ≠

≥”≤

”s © ” ≠ ≤”

±

´ ”≤® ∫ Ω ”s ” ≠

≤”

± ´ ≤”≤ ≠

≥”≤

∫ ∴

¥¥

”s ” ≠

≤”

±

∫ ´ ≤

” Ω

∫Ê√ ÷dH½ ”s ” ≠

≤”

±

∫ q�UJ²�« ¡«dłùË

± ≠ ”

»

´ ”

Ω

©± ≠ ”®”

±

Ω ” ≠

≤”

±

©± ≠ ”® ”

©”®» ´ ©± ≠ ”®

Ω

©± ≠ ”® ”

≠ ” ©» ´ ®

Ω

∞ Ω » ´ ⇐

± Ω » ±≠ Ω Ê√ Í√ ± Ω ≠

”s ©± ≠ ”

±

´ ”

±≠

® ∫ Ω ”s ” ≠

≤”

±

∫ ∴

¸± ≠ ”¸

?¼

u� ´ ¸”¸

?¼

u�≠ Ω

?ł ´ ¸± ≠ ”¸

?¼

u� ´ ¸”¸

?¼

u� ≠ ≤” Ω ”s

” ≠ ≤”

± ´ ≤”≤ ≠

≥”≤

∫ ∴

©≥≠∑≠¥® s¹—U9

∫WOze'« —uJ�« WI¹dÞ Â«b�²ÝUÐ WOðü«  ö�UJ²�« bł ±

”s

≤ ´ ”≥ ´ ≤”

≥ ´ ”

∫ » ”s ≤” ≠ ±

±

∫ √

”s ”μ ≠

≤”¥ ≠ ≥”

±μ ≠ ”μ ≠ ≤”¥

∫ œ ”s ” ´

≤”

± ´ ≤”

∫ ?ł

”s

± ≠ ≤”

”≤ ´ ≤” ≠

¥”

∫ Ë ”s ”¥ ≠

≥”

∏ ´ ”≤ ´ ≤”

∫ ?¼

Æ© ≥

±

” Ω ’ l{∫œUý—≈® ”s

± ≠ ≥

±

”

± ´ ≥

±

”

∫ błË√ ≤

”s

≤ ≠ ”

?¼ ≠ ”

≤

?¼

”

?¼

∫ błË√ ≥

¥μ

œËb;« q�UJ²�«  UIO³Dð ∏≠¥

5OÝbM¼ 5IO³Dð WA�UM0 UM¼ wH²JMÝË ªU¼dOžË W¹œUB²�«Ë WOzU¹eOË WOÝbM¼ …œbF²�  UIO³Dð œËb;« q�UJ²K�

ÆWO½«—Ëb�« ÂUł_« Âu−ŠË W¹u²*« oÞUM*«  UŠU� ∫UL¼

∫W¹u²�L�« oÞUML�«  UŠU�� ∫ÎôË√

t³ýË ¨YK¦*«Ë ¨qOD²*« ∫q¦� ¨WFKC*« W¹u²*« oÞUM*«  UŠU� »UŠ WOHO� WIÐUÝ  «uMÝ w XdFð

c�²ð ô W¹u²� oÞUM�  UŠU� »UŠ w bOHð Èdš√ WI¹dDÐ œËb;« q�UJ²�« U½œËe¹Ë ªa�≈ÆÆƨ·d×M*«

ÊU1— ŸuL−� .bIð bMŽ ÎUIÐUÝ U½błË bI¨ÎUFKC� ÎöJý …—ËdC�UÐ

¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈ t½√ © ¨ Ê

σ®Â

ÊU1— ŸuL−� ÊS ¨…d²H�« Ác¼ w  UMO�« —u×� ‚u ÁUM×M� lI¹Ë

—u×�Ë ©”® vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� V¹dI²�UÐ q¦1

Æ©±∞≠¥® qJA�« k?Šô Æ» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë  UMO�«

”

’

»

©”® Ω ’

©±∞≠¥® qJA�«

∫ÊS ∞ ← Ê U�bMŽË

ÆWIDM*« pKð WŠU� Ω ”s

©”®

»

∫ Ω © ¨ Ê

σ®Â

∞ ← Ê

∫W¹dE½

WIDM*« WŠU� ÊS  UMO�« —u×� ‚u ÁUM×M� lI¹Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈

∫…bŽUI�UÐ vDFð » Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë  UMO�« —u×�Ë ©”® vM×M� 5Ð …—uB;«

”s

©”®

»

∫ Ω WŠU*«

≤” Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« WŠU� bł ∫©±® ‰U¦�

≥ Ω ” ¨ ± Ω ” 5LOI²*«Ë  UMO�« —u×�Ë

©±±≠¥® qJA�« kŠôÆ›≥¨ ±¤ ∋ ” lOL' ∞ ≤ ≤” Ω ©”®

≥

±

¸ ≥

≥”

Ω ”s ≤”

≥

±

∫ Ω WŠU*« ∴

WFÐd� …bŠË ≥

≤∂

Ω

’

”

≥

∞

≤

” Ω

©”

®

±

©±±≠¥® qJA�«

¥∂

©”® Ê«d²�ô« ÊU� «–≈ t½S ¨WIÐU�« W¹dEM�« vKŽ œUL²ŽôUÐ

lI¹ Ê«d²�ô« vM×M� ÊU�Ë ¨›» ¨ ¤ …d²H�« vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU�

ª©±≤≠¥® qJA�« kŠô ¨…d²H�« Ác¼ w  UMO�« —u×� X% tK�UJÐ

 UMO�« —u×�Ë ©”® vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� ÊS

∫wðQ¹ UL� UNÐUŠ sJ1 ¨ » Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë

”

’

»

©”®

≠ Ω ’

©”®

Ω ’

©±≤≠¥® qJA�«

©”® ≠vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� Ω WŠU*«

» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë  UMO�« —u×�Ë

¸ ”s

©”®

»

∫ ¸ Ω ”s

©”®

»

∫≠ Ω ”s

©”® ≠

»

∫ Ω WŠU*« ∴

”Uł Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� bł ∫©≤® ‰U¦�

Æ›π≤¨ π¤ …d²H�« w  UMO�« —u×�Ë

Æ©±≥≠¥® qJA�« kŠôÆ›π≤¨ π¤ ∋ ” lOL' ∞ ≥ ”Uł Ω ©”®

”s ”Uł

π≤

π

∫ ≠ Ω WŠU*« ∴

π≤

π

¸ ”U²ł Ω

WFÐd� …bŠË ≤ Ω

’

”

π

”Uł Ω ’

π≤

©±≥≠¥® qJA�«

 UMO�« —u×�Ë ≤ ≠ ” Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ∫©≥® ‰U¦�

Æ≥ Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI²*«Ë

∞ Ω ©”® U�bMŽ  UMO�« —u×� lDI¹ ©”® vM×M�

≤ Ω ” Í√ ∞ Ω ≤ ≠ ” U�bMŽ Í√

›≥ ¨ ∞¤ …d²HK� wL²Mð ≤ Ω ” Ê≈ YOŠË

Æ›≥ ¨ ≤¤ ¨›≤ ¨ ∞¤ ÊU²Ozeł ÊUðd² UNMŽ QAM¹ t½S

Æ©±¥≠ ¥® qJA�« kŠô

’

”

≥

≤≠

≤

≤≠” Ω’

≤

Â

±

Â

©±¥≠¥® qJA�«

¥∑

≤

 WIDM*« WŠU� ´ ±

 WIDM*« WŠU� Ω WÐuKD*« WŠU*« ∴

¸ ”s ©≤ ≠ ”®

≥

≤

∫ ¸ ´ ¸ ”s ©≤ ≠ ”®

≤

∞

∫ ¸ Ω

¸ ≥

≤

¸ ©”≤ ≠ ≤

≤”

® ¸ ´ ¸ ≤

∞

¸ ©”≤ ≠ ≤

≤”

® ¸ Ω

WFÐd� …bŠË ≤[μ Ω ¸ ≤

±

¸ ´ ¸ ≤≠ ¸ Ω

ÆW¹u²*« WÝbMN�« bŽ«u� «b�²ÝUÐ WÐUłù« W×� s� oI%

∫ÂUŽ tłuÐ

©”® Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WŠU*« ÊS ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ©”® Ê«d²�ô« ÊU� «–≈

∫WO�U²�«  «uD)UÐ UNÐUŠ sJ1 ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë  UMO�« —u×�Ë

Æ›» ¨ ¤ …d²H�« w Ê«d²�ô« —UH�√ b$ ±

Æ©±® r�— …uD)« w  błË w²�« —UH�_UÐ WOzeł  «d² v�≈ ›» ¨ ¤ …d²H�« Δe$ ≤

Æ©≤® r�— …uD)« w WOzeł …d² q� vKŽ ©”® Ê«d²�ö� œËb;« q�UJ²�« b$ ≥

ÆWÐuKD*« WŠU*« u¼ "UM�« ÊuJO WIÐU�« …œËb;«  ö�UJ²K� WIKD*« rOI�« lL$ ¥

Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ∫©¥® ‰U¦�

Æ UMO�« —u×�Ë ” ≠ ≥” Ω ©”®

∞ Ω ©”® U�bMŽ  UMO�« —u×� lDI¹ vM×M*«

∞ Ω ” ≠ ≥” U�bMŽ

±≠ ¨ ± ¨ ∞ Ω ” UNM�Ë ∞ Ω ©± ≠ ≤”® ” ∴

Æ©±μ≠¥® qJA�« kŠô

±

’

”

±≠

©±μ≠¥® qJA�«

¸ ”s

©” ≠ ≥”®

±

∞

∫ ¸ ´ ¸ ”s

©” ≠ ≥”®

∞

±≠

∫ ¸ Ω WÐuKD*« WŠU*« ∴

¸ ±

∞

¸ © ≤

≤”

≠ ¥

¥”

® ¸ ´ ¸ ∞

±≠

¸ © ≤

≤”

≠ ¥

¥”

® ¸ Ω

WFÐd� …bŠË ≤

±

Ω ¥

±

´ ¥

±

Ω ¸ ¥

±

≠ ¸ ´ ¸ ¥

±

¸ Ω

¥∏

∫sOOM×M� sOÐ WŠU�L�«

YOŠ › » ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� 5KÐUI�« ©”®?¼ ¨ ©”® 5½«d²�ô« wOM×M� —ËU−*« ©±∂≠¥® qJA�« 5³¹

Æ›» ¨ ¤ ∋” lOL' ∞ ≤ ©”®?¼ ≤ ©”® 5LOI²*«Ë 5OM×M*« 5Ð WIDM*« WŠU� ÊuJð W�U(« Ác¼ w

¨©±∂≠¥® qJA�« w WKKE*« WIDM*« w¼Ë ¨» Ω ” ¨ Ω ”

UNM� ÎUŠËdD�  UMO�« —u×�Ë ©”® vM×M� 5Ð WŠU*« ∫ÍËUð

 UMO�« —u×�Ë ©”®?¼ vM×M� 5Ð WŠU*«

”s

©”®?¼

»

∫ ≠ ”s

©”®

»

∫ Ω

”s

©©”®?¼ ≠ ©”® ®

»

∫ Ω

”

’

»

©”®

Ω ’

©”®?¼ Ω ’

©±∂≠¥® qJA�«

∫ 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ∫©μ® ‰U¦�

≤ Ω ” ¨ ±≠ Ω ”∫5LOI²*«Ë ≤ Ω ©”®?¼ ¨≥ ´ ≤” Ω ©”®

≤ Ω ©”®?¼ ≤ ≥ ´ ≤” Ω ©”®

›≤¨ ±≠¤ ∋ ” rO� lOL'

Æ©±∑≠¥® qJA�« kŠô

’

”

≤±≠

∑

≥

≥ ´ ≤” Ω ©”®

≤ Ω ©”®

?¼

©±∑≠¥® qJA�«

”s

©©”®?¼ ≠ ©”® ®

≤

±≠

∫ Ω WŠU*« ∴

”s

©≤ ≠ ≥ ´ ≤”®

≤

±≠

∫ Ω

ÆWFÐd�  «bŠË ∂ Ω ©≥

¥≠

® ≠ ≥

±¥

Ω

≤

±≠

¸ ©” ´ ≥

≥”

® Ω

∫ÂUŽ tłuÐ

∫W¹dE½

rO� lOL' ©”®?¼ ≤ ©”® ÊU�Ë ¨›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� 5KÐU� 5½«d²�« ©”®?¼ ¨©”® ÊU� «–≈

ÍËUð » Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋ ”

Ɣs

©©”®?¼ ≠ ©”® ®

»

∫

¥π

Æ≤ ´ ” Ω ©”®?¼ ¨ ¥ ≠ ≤” Ω©”® ∫5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ∫©∂® ‰U¦�

©”®?¼ Ω ©”® U�bMŽ ÊUOM×M*« lÞUI²¹

≤ ´ ” Ω ¥ ≠ ≤” U�bMŽ Í√

∞ Ω ∂ ≠ ” ≠ ≤”

≥ ¨ ≤≠ Ω ” UNM�Ë ¨ ∞ Ω ©≤ ´ ”® ©≥ ≠ ”® ∴

©±∏≠¥® qJA�« s� kŠö½

’

”

≥

≤ ´ ” Ω ©”®

?¼

¥≠

μ

¥ ≠ ≤” Ω ©”®

©±∏≠¥® qJA�«

›≥¨ ≤≠¤ ∋ ” lOL' ©”® ≤ ©”®?¼ Ê√

”s

©©¥ ≠ ≤”® ≠ ©≤ ´ ”®®

≥

≤≠

∫ Ω 5OM×M*« 5Ð WŠU*« ∴

≥

≤≠

¸ © ≥

≥”

≠ ”∂ ´ ≤

≤”

® Ω

WFÐd� …bŠË ∂

±≤μ

Ω ©≥

∏

´ ±≤ ≠ ≤ ® ≠ ©π ≠ ±∏ ´ ≤

π

® Ω

” Ω ©”®?¼ ¨≥”

¥

±

Ω ©”® 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ∫©∑® ‰U¦�

©”®?¼ Ω ©”® U�bMŽ ÊUOM×M*« lÞUI²¹

” Ω ≥”

¥

±

U�bMŽ Í√

∞ Ω ”¥ ≠ ≥”

≤≠ ¨ ≤ ¨ ∞ Ω ” UNM�Ë ∞ Ω ©¥ ≠ ≤”®” ∴

Æ©±π≠¥® qJA�« ?EŠô

’

≤

≤ ” Ω ©”®

?¼

≥” ¥

±

Ω ©”®

≤≠

≤≠

”≤

Â

±

Â

©±π≠¥® qJA�«

©≤

® WIDM*« WŠU� ´ ©±

® WIDM*« WŠU� Ω WÐuKD*« WŠU*«

”s

© ≥”

¥

±

≠ ” ®

≤

∞

∫ ´ ”s ©” ≠ ≥”

¥

±

®

∞

≤≠

∫ Ω

≤

∞

¸ ±∂

¥”

≠ ≤

≤”

´

∞

≤≠

¸ ≤

≤”

≠ ±∂

¥”

Ω

WFÐd� …bŠË ≤ Ω ± ´ ± Ω

μ∞

∫ÂUŽ tłuÐ

wOM×M� 5Ð …—uB;« WŠU*« ÊS ›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� 5KÐU� ©”®?¼¨ ©”® ÊU½«d²�ô« ÊU� «–≈

∫WOðü«  «uD)UÐ UNÐUŠ sJ1 ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë 5½«d²�ô«

Æ›» ¨ ¤ …d²H�« sL{ 5OM×M*« lÞUIð ◊UI½ 5F½ ±

ÆWIÐU�« lÞUI²�« ◊UIMÐ WOzeł  «d² v�≈ ›» ¨ ¤ …d²H�« Δe$ ≤

ÆWOzeł …d² q� vKŽ ?¼ ¨ 5½«d²�ô« ‚dH� œËb;« q�UJ²�« b$ ≥

ÆWÐuKD*« WŠU*« u¼ "UM�« ÊuJO WIÐU�« …œËb;«  ö�UJ²K� WIKD*« rOI�« lL$ ¥

Æ UMO�« —u×�Ë ¨¥≠”≤Ω©”®?¼ ¨≤”

¥

±

Ω©”® 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ∫©∏® ‰U¦�

U�bMŽ ©”®?¼ ¨©”® ÊUOM×M*« lÞUI²¹

¥ ≠ ”≤ Ω ≤”

¥

±

U�bMŽ Í√ ©”®?¼ Ω ©”®

∞ Ω ≤

©¥ ≠ ”® ∴ ∞ Ω ±∂ ´ ”∏ ≠ ≤”

w vM×M*« lDI¹ rOI²*« Ê√ Í√ ¨ ¥ Ω ” UNM�Ë

¨WKKE*« WIDM*« w¼ WÐuKD*« WIDM*« Æ…bŠ«Ë WDI½

5²IDM� v�≈ UN²ze& sJ1Ë ©≤∞≠¥® qJA�« w

—u×� lDI¹ ¥ ≠ ”≤ rOI²*« Ê√ kŠô Æ≤

 ±

Â

≤ Ω ” bMŽ  UMO�«

’

”

¥

¥≠

¥

±

Â

≤

Â

¥ ≠ ”≤ Ω ©”®

?¼

≤” ¥

±

Ω ©”®

≤

©≤∞≠¥® qJA�«

≤

 WŠU� ´ ±

 WŠU� Ω WÐuKD*« WŠU*«

¸ ”s

©©¥ ≠ ”≤® ≠ ≤”

¥

±

®

¥

≤

∫ ¸ ´ ¸ ”s ≤”

¥

±

≤

∞

∫ ¸ Ω

¸ ¥

≤

¸ ©”¥ ´ ≤” ≠

±≤

≥”

® ¸ ´ ¸ ≤

∞

¸ ±≤

≥”

¸ Ω

¸ ›©∏ ´ ¥ ≠ ±≤

∏

® ≠ ©±∂ ´ ±∂ ≠ ±≤

∂¥

®¤ ¸ ´

±≤

∏

Ω

WFÐd� …bŠË ≥

¥

Ω ≥

≤

´ ≥

≤

Ω ¸ ›©¥ ´ ≥

≤

® ≠ ©≥

±∂

®¤ ¸ ´

≥

≤

Ω

∫«cJ¼ Èdš√ WI¹dDÐ WÐuKD*« WŠU*« »UŠ sJ1 t½√ kŠô

©ø«–U*® WFÐd� …bŠË ≥

¥

Ω ”s

©¥ ≠ ”≤®

¥

≤

∫ ≠ ”s ≤”

¥

±

¥

∞

∫ Ω WÐuKD*« WŠU*«

μ±

©±≠∏≠¥® s¹—U9

∫wK¹ U2 W�UŠ q� w 5MOF*« 5LOI²*«Ë ¨ UMO�« —u×�Ë ¨©”® Ê«d²�ô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« WŠU� błË√ ±

≤ Ω ” ¨ ∞ Ω ” ¥ ´ ”≤ Ω ©”® √

≥ Ω ” ¨ ±≠ Ω ” ≥ ≠ ”≤ ≠ ≤” Ω ©”® »

∏ Ω ” ±≠ Ω ” ”

≥√ Ω ©”® ?ł

± Ω ” ≤

±

Ω ” ”

≤

?¼ Ω ©”® œ

Æ∏ Ω ” rOI²*«Ë ¨ UMO�« —u×�Ë ¥ ≠ ” √ Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« WŠU� błË√ ≤

≤” ≠ ”¥ Ω ’ ¨ ≤” Ω ’ 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ≥

¨ UMO�« —u×�Ë ¨ ”

√ Ω ’ vM×M*UÐ …œËb;«Ë ‰Ë_« lÐd�« w WF�«u�« WIDM*« WŠU� błË√ ¥

Æ≤ ≠ ” Ω ’ rOI²*«Ë

∫WO�U²�« oÞUM*« s� ÒÌq� WŠU� błËQ ¨” ≠ ≤ Ω ©”®?¼ ¨ ≤” ≠ ”≤ Ω ©”® ÊU� «–≈ μ

Æ?¼ vM×M�Ë ¨ vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« √

Æ UMO�« —u×�Ë ?¼ vM×M�Ë vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« »

Æ «œUB�« —u×�Ë ?¼ vM×M�Ë vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« ?ł

¨ ± ≠ ” Ω ©”®?¼ Ê«d²�ô« vM×M�Ë ¨

± ´ ”

∏

Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ∂

Æμ Ω ” rOI²*«Ë  UMO�« —u×�Ë

∫wK¹ ULO WKKE*« oÞUM*« s� ÒÌq� WŠU� błË√ ∑

’

”

±

±

± Ω ’

√ ´ ”

√

’

”

± Ω ’

≤

π

”≤

U²ł Ω ’

±

”

π

”Uł Ω ’

”U²ł Ω ’

’

Æ©≤≠ ¨ ±≠® ?ł ¨©≥ ¨ ±® » ¨©± ¨ μ® tÝ˃— Íc�« YK¦*« WŠU� »U( q�UJ²�« Âb�²Ý« ∏

rOI²*«Ë ¨≤” Ω ’ vM×M*« 5Ð …—uB;«WIDM*« WŠU� rI¹ ?ł Ω ’ rOI²*« qF& w²�« ?ł WLO� bł π

Æ5¹ËU²� 5L� v�≈ ¥ Ω ’

…bŠË ±≤ ÍËUð ∞ < ¨

≤”

Ω ’ ¨ ” √ Ω ’ 5OM×M*UÐ …œËb??;« WIDM*« WŠU� X½U� «–≈ ±∞

ø WLO� UL ¨WFÐd�

μ≤

∫WO½«—Ëb�« ÂU�ł_« Âu−Š ∫ÎUO½UŁ

«c¼ ‰uŠ WK�U� …—Ëœ U¼«u²� w XÐUŁ rOI²� s� …bŠ«Ë WNł w UN�UL²Ð WF�«Ë W¹u²� WIDM�  —«œ «–≈

WK¦�_« kŠô ÆÊ«—Ëb�« —u×� XÐU¦�« rOI²*« vL¹Ë ¨ÎUO½«—Ëœ ÎULł vL¹ ⁄«dH�« w ÎULł b�uð UN½S ¨rOI²*«

Æ©≤± ≠ ¥® qJý w WO�U²�« WO×O{u²�«

Ê«—Ëb�« —u×�

œ

?ł »?ł »?ł

WLzU� W¹dz«œ W½«uDÝ√rzU� Ídz«œ ◊Ëd��…d�

»

©≤±≠¥® ∫qJA�«

iFÐ Âu−Š »UŠ WOHO� WIÐU�« p²Ý«—œ w XdFð b�Ë

w bOHð Èdš√ WI¹dDÐ œËb;« q�UJ²�« U½œËe¹Ë ¨ UL−*« Ác¼

ÆÂUŽ tłuÐ WO½«—Ëb�« ÂUł_« Âu−Š »UŠ

q�UJ²K� qÐUI�« ©”® Ê«d²�ô« vM×M� ©≤≤≠¥®qJA�« q¦1

«–S Æ…d²H�« Ác¼ vKŽ  UMO�« —u×� ‚u l�«u�«Ë ›» ¨ ¤ vKŽ

¨ UMO�« —u×�Ë ¨©”® vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« d¹Ëbð -

¨ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë

ø"UM�« w½«—Ëb�« r'« r−Š u¼ UL

”

’

»

©”®

Ω ’

—

”± ≠ —

”

— *”

©≤≤≠¥® qJA�«

ÆÊ

σ sŽ W&UM�« WOz«d�« WOze'« …d²H�« w¼ ›—

”¨±≠—

”¤ sJ²�Ë ¨›» ¨ ¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê

σ sJ²�

Z²Mð ¨ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ›—

”¨±≠

—

”¤ vKŽ W�UI*« ©WOÝ√d�« W×¹dA�«® WKOD²*« WIDM*« d¹Ëbð bMŽ

sŽ "UM�« w½«—Ëb�« r'« r−Š Ê–≈ ÊuJ¹Ë ¨©±≠—

” ≠—

”® × © — *”®

≤

π Ω UNL−Š WLzU� W¹dz«œ W½«uDÝ√

r−Š ÊS ∞←Ê U�bMŽË ¨©±≠—

” ≠—

”® × © — *”®

≤

πÊ

∑±Ω

—

V¹dI²�UÐ ÎU¹ËU� vM×M*UÐ …œËb;« WIDM*« d¹Ëbð

”s

©”®≤ π

»

∫ Ωw½«—Ëb�« r'«

∫W¹dE½

ÊS ¨›» ¨ ¤ ∋ ” rO� lOL' ∞ ≤ ©”® ¨›»¨ ¤vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ÎU½«d²�« ©”® ÊU� «–≈

5LOI²*«Ë ¨ UMO�« —u×�Ë ¨©”® vM×M0 …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« w½«—Ëb�« r'« r−Š

”s

©”®≤

»

∫ π Ω ∫u¼ ¨ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨» Ω ” ¨ Ω ”

μ≥

Æ UMO�« —u×� ‰uŠ Ê«—Ëb�« Âu−×K� UM²Ý«—œ bMŽ dB²IMÝË

¨ ”

√ Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š błË√ ∫©π® ‰U¦�

Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¥ Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨ UMO�« —u×�Ë

©≤≥≠¥® qJA�« kŠô¨ ›¥¨ ∞¤ ∋ ” lOL' ∞ ≤ ©”®

”s

©”®≤

¥

∞

∫ π Ω © ® w½«—Ëb�« r−(«

”s ≤

© ”

è

¥

∞

∫ π Ω

”s ”

¥

∞

∫ π Ω

W³FJ� …bŠË π ∏ Ω

¥

∞

¸ ≤

≤”

× π Ω

”

’ ”

√ Ω ©”®

¥

©≤≥≠¥® qJA�«

¨”≤Uł Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M0 …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š błË√ ∫©±∞® ‰U¦�

Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨≤

π Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨ UMO�« —u×�Ë

›≤

π

¨ ∞¤ ∋ ” lOL' ∞ ≤ ”≤Uł Ω ©”®

©≤¥≠¥® qJA�« kŠô

”

’

”≤Uł Ω ©”®

≤

π

©≤¥≠¥® qJA�«

”s

©”®≤

≤

π

∞

∫ π Ω © ® w½«—Ëb�« r'« r−Š

”s ”≤≤

Uł

≤

π

∞

∫ π Ω

”s

©”¥U²ł ≤

±

≠ ≤

±

®

≤

π

∞

∫ π Ω

W³FJ� …bŠË ¥

≤π

Ω

≤

π

∞

¸ ©”¥ Uł ∏

±

≠ ” ≤

±

® π Ω

Æ≥

o½ π ≥

¥

u¼ o½ U¼dD� nB½ w²�« …dJ�√ r−Š Ê√  U³Łù œËb;« q�UJ²�« Âb�²Ý« ∫©±±® ‰U¦�

ÆU¼dD� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ W¹dz«œ nB½ WIDM� Ê«—Ëœ sŽ …dJ�« Z²Mð

o½ U¼dD� nB½Ë wÝUO� l{Ë w …dz«œ nB½ ©≤μ≠¥® qJA�« q¦1

≤

o½ Ω ≤’ ´

≤” ∫…dz«b�« W�œUF�

μ¥

≤” ≠

≤

o½ √ Ω ’ ∴

”

’

≤” ≠

≤

o½ √ Ω ’

o½o½ ≠

©≤μ≠¥® qJA�«

w½«—Ëb�« r'« r−Š Ω …dJ�« r−Š

”s ≤’

o½

o½≠

∫ π Ω

”s

©≤” ≠

≤

o½®

o½

o½≠

∫ π Ω

ÆW³FJ� …bŠË ≥

o½ π ≥

¥

Ω ©

o½

o½≠

¸ ©≥

≥”

≠ ” ≤

o½®® π Ω

∫sO½«d²« wOM×M� sOÐ …—uB×� WIDM� Ê«—Ëœ sŽ ZðUM�« w½«—Ëb�« r�−�« r−Š

∫W¹dE½

›» ¨ ¤ ∋ ” lOL' ∞ ≤ ©”®?¼ ≤ ©”® YO×Ð ›» ¨ ¤ vKŽ q�UJ²K� 5KÐU� 5½«d²�« ?¼ ¨ ÊU� «–≈

…—Ëœ ¨» Ω ” ¨ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š ÊS

”s

©©”®≤

?¼ ≠ ©”®≤

®

»

∫ π ÍËU¹ ¨ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U�

WK�U� …—Ëœ ¨≤” Ω ©”®?¼ ¨

≤” ≠ ”≤ Ω ©”® 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WIDM*«  —«œ «–≈ ∫©±≤® ‰U¦�

ø"UM�« w½«—Ëb�« r'« r−Š UL ¨ UMO�« —u×� ‰uŠ

∫5OM×M*« lÞUIð jI½ b$

≤” Ω ≤” ≠ ”≤ U�bMŽ ©”®?¼ Ω ©”®

±¨ ∞ Ω ” UNM�Ë ∞ Ω ”≤ ≠ ≤”≤

©≤∂≠¥® qJA�« kŠô

”s

©©”®≤

?¼ ≠ ©”®≤

®

±

∞

∫ π Ω © ® w½«—Ëb�« r−(«

”s

©¥” ≠

≤

©≤” ≠ ”≤®®

±

∞

∫ π Ω

”s

©≥”¥ ≠

≤”¥®

±

∞

∫ π Ω

©

±

∞

¸ ¥” ≠ ≥

≥”¥ ® × π Ω

W³FJ� …bŠË ≥

π

Ω

”

’

≤” Ω ©”®??¼

≤”≠”≤ Ω ©”®

± ≤

©≤∂≠¥® qJA�«

μμ

©≤≠∏≠¥® s¹—U9

5LOI²*«Ë  UMO�« —u×�Ë ¨”≤ Ω ’ rOI²*UÐ …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ b�u²*« r'« r−Š błË√ ±

Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨≥ Ω ” ¨ ∞ Ω ”

 UMO�« Í—u×�Ë ¨¥ Ω ’ ¨∂ Ω ” 5LOI²*UÐ …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š błË√ ≤

Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨ «œUB�«Ë

Í—u×�Ë ¨”≤U²ł Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š błË√ ≥

ø UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨›¥

π

¨ ∞ ¤ …d²H�« w  «œUB�«Ë  UMO�«

—u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨≤”¥ Ω ’ TUJ*« lDI�«Ë ¨”¥ Ω ’ rOI²*« 5Ð …—uB;« WIDM*«  —«œ «–≈ ¥

ø"UM�« r'« r−Š UL ¨ UMO�«

vM×M�Ë ¨± Ω ’ rOI²*«Ë ¨ «œUB�« —u×� 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š bł μ

Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨”Uþ Ω ’ Ê«d²�ô«

¨ ≤ Ω ≤’ ´

≤” ¨ ¸”¸ Ω ’ 5OM×M*« 5Ð …—uB;«Ë w½U¦�«Ë ‰Ë_« 5FÐd�« w WF�«u�« WIDM*«  —«œ «–≈ ∂

ø"UM�« r'« r−Š u¼ UL ¨ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ

©≤ ¨ ≤® ?ł ¨ ©± ¨ ±® » ¨©≤ ¨ ∞® YOŠ ¨ ?ł » √ WO¦K¦*« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š błË√ ∑

Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ

¨

≤”

Ω ©”®?¼ ¨ ” √ Ω ©”® wOM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š ÊU� «–≈ ∏

ø XÐU¦�« WLO� UL ¨W³FJ� …bŠË π μ

±≤

ÍËU¹ ¨ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨∞ ≠

Æq�_« WDI½ w 5²ÝUL²� 5ðdz«œ wHB½ —ËU−*« qJA�« q¦1 π

UHB½ —«œ «–≈ WKKE*« WIDM*« Ê«—Ëœ s??Ž "U??M??�« r'« r−Š VŠU

Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ 5ðdz«b�«

”

’

¥≤

μ∂

W�UŽ s¹—U9

∫wK¹ U2 >q� w W×O×B�« WÐUłù« e�— ‰uŠ …dz«œ l{ ±

ÊS ¨›μ¨≤≠¤ …d²HK� Ê σ Wze−²�« sŽ W&UM�« WOz«d�« WOze'« …d²H�« w¼ ›

—

”¨±≠—

”¤ X½U� «–≈ ±

∫ÍËU¹ ©±≠—

” ≠ —

”®

Ê

∑±Ω

—

≥≠ œ ∑ ?ł ≥ » ∑≠ √

¨ ±≠—

” Ω — *” ¨›± ¨≤≠¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze&

Ê

σ X½U� «–≈ Æ›± ¨ ≤≠¤ ∋ ” ¨≤” Ω ©”® sJO� ≤

∫ÍËU¹ © ¨ ≥

σ® Â ÊS

¥ œ ≥ ?ł μ » ± √

¨WLE²M� WOŽUЗ Wze& ¥

σ X½U�Ë

¥ > ” ≥ ∞ ≥

∏ ≥ ” ≥ ¥ ± ≠ ”

Ω ©”® ÊU� «–≈ ≥

—

” Ω — *” Ϋc�²� © ¨

¥

σ ® Â błËQ

≥∂ œ ±∏ ?ł ≥≤ » ≤∏ √

¨›≥ ¨ ±¤ …d²HK� WLE²M� WO½u½ Wze& Ê σ X½U�Ë ¨ÎöB²� ← ›≥ ¨ ±¤∫ ÊU� «–≈ ¥

∫ÍËU¹ ”s

©”®

≥

±

∫ ÊS ¨ Ê≤

Ê∑ ≠ μ

≠ ≤≠ Ω © ¨ Ê σ®  ÊU�Ë

μ[μ≠ œ ±[μ ?ł ¥[μ≠ » ≤≠ √

∫ÍËU¹ ”s ¸”¸

≤

≤≠

∫ μ

≤ œ ± ?ł ¥ » dH� √

∫ÍËUð ”s

©± ´ ©”® ≤®

≥

±

∫ —«bILK� WLO� d³�√ ÊS ¨ vKŽ ÎöB²� ©”® ÊU�˨μ ≥ ©”® ÊU� «–≈ ∂

±≥ œ ≤≤ ?ł ±± » ±∞ √

”s

± ´ ≤”

μ ≠ ”≤

≤

±

∫ q�UJ²�« ∑

Áb¹b% sJ1 ô œ dH� ?ł V�UÝ » Vłu� √

∫ÍËU¹ ©» ´ ® —«bI*« ÊS » Ω ”≤

U²ł

π

π≠

∫ ¨ Ω ”s ”≤

Uł

π

π≠

∫ ÊU� «–≈ ∏

π ≤ œ π ≤≠ ?ł dH� » ± √

μ∑

ÍËU¹ ”s

©”®

μ

∑

∫ ÊS ±≤ Ω ”s

©”®

∑

±

∫ ¨ ±∞ Ω ”s

©”® ≤

μ

±

∫ ÊU� «–≈ π

∑ œ ∑≠ ?ł ≤≤ » ≤ √

∫u¼ ›≥¨ ±¤ …d²H�« vKŽ ”≤ ´ ≥”¥ Ω ©”® Ê«d²�ö� ©”®  q�UJ*« Ê«d²�ô« ±∞

≤ ≠ ≤” ´

¥” œ ≤ ´ ≤” ´

¥” ?ł ≤ ´ ≤”±≤ » ”≤ ´

≥”¥ √

∫ÍËU¹ ©”® Ó  ÊS ¨’s

©’≤ ≠ ≤®

¥

”

∫ Ω ©”®  ÊU� «–≈ ±±

”≤ ≠ ≤ œ ≤ ≠ ”≤ ?ł dH� » ≤

” ≠ ”≤ √

∫ÍËU¹ ”s

©”≠®

≤≠

≥≠

∫ ÊS ¨∏ Ω ”s

©”®

≥

≤

∫ ÊU� «–≈ ±≤

∏≠ œ ¥ ?ł ∏ » ± √

∫ÍËU¹ ”s

©≤”® Ó ”

±

∞

∫ ÊS ¨± Ω ©∞® ¨ μ Ω ©±® ÊU� «–≈ ±≥

≤≠ œ ± ?ł ¥ » ≤ √

∫ÍËU¹ ©∞® Ó ÊS ¨©≤ ´ ”≤® ?¼

u� ≠ ”

≥

?¼ Ω ©”® ÊU� «–≈ ±¥

∞[μ œ ≥ ?ł ≤ » ± √

∫ÍËUð ?ł ÊS ”s©μ ≠ ”®

?ł

∏

∫ Ω ”s

©”®

∑

≥

∫ ÊU� «–≈ ±μ

≤≠ œ ±≤ ?ł ¥ » ≥ √

∫ÊS * ∋ ¨ ”U²ł ’ Ω ”s

’s

ÊU� «–≈ ±∂

”Uł

?¼ Ω’ œ ”

U²ł≠

?¼ Ω’ ?ł ”

U²ł

?¼ Ω’ » ”

Uł≠

?¼ Ω’ √

∫ÍËU¹ ”s

”≥ ´ ≥”

± ´ ≤”

≤

±

∫ ±∑

∑?¼

u� ≠ ≤?¼

u� œ ≤?¼

u� ≠ ∑?¼

u� ≥

±

?ł ©≤?¼

u� ≠ ∑?¼

u�® ≥

±

» ©≤?¼

u� ≠ ∑?¼

u�®≥ √

¨ ∏ Ω ±

 WŠU� X½U� «–S ¨› ¨ ∞¤ …d²H�« vKŽ ©”® vM×M� —ËU−*« qJA�« q¦1 ±∏

∫ÍËU¹ ”s

©”®

∞

∫ ∫ÊS ¨WFÐd�  «bŠË ∂ Ω ≤

 WŠU�

”

’

±

Â

≤

Â

©”®

≤ œ ±¥ ?ł ≤≠ » ±¥≠ √

μ∏

¨” ≤

±

Ω ©”® Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« rzUI�« Ídz«b�« ◊Ëd�*« r−Š ±π

∫ÍËU¹ ¨ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ ¨≥ Ω ” ¨ ∞ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨ UMO�« —u×�Ë

¥

π

œ π ≤

≥

?ł π ¥

π

» π ∏

π

√

¨©”® Ê«d²�ö� ÎUOz«bÐ ÎU½«d²�« ≤

” » ´ ≥

” Ω ©”® Â ÊU� «–≈ ≤∞

øUL¼ VOðd²�« vKŽ » ¨ s� q� w²LO� ÊS ¨≤∞ Ω ”s

©”®

≤

∞

∫ ¨∂ Ω ©±® ÊU�Ë

≤∞ ¨ ∂ œ ≥ ¨ ¥≠ ?ł ≥≠ ¨ ¥ » μ ¨ ± √

œËb;« q�UJ²�« n¹dFð «b�²ÝUÐ błËQ ¨ ›≥ ¨ ≤≠¤ ∋ ” ¨ ”≤≠ π Ω ©”® ÊU� «–≈ ≤

Ɣs

©”®

≥

≤≠

∫

∫WOðü«  ôU(« s� q� w ” W�ôbÐ ’ WLO� błË√ ≥

∞ Ω ± ≠ ”∂ ´ ”s

’s

’

√ ≤

±

» ”μ U²ł ’≥ ≤

Uł Ω ”s

’s

√

≤

π

Ω ” bMŽ ∑≠ Ω ’ YOŠ ¨”≤

U²� ´ ”∏ Ω ”s

’s

?ł

Æ„ WLO� błËQ ¨∞ Ω ’∏ ≠ Ó’≤ ´ Î

’ W�œUF*« oI% ”

„

?¼ Ω ’ X½U� «–≈ ¥

Æ» ¨ s� q� WLO� bł ¨ ∑ Ω ©≥® ¨ ” » ´ ≤” Ω ’s

©’®

”

∫ sJO� μ

¨¥ ÍËU¹ tOKŽ WF�«u�« ©μ ¨±® WDIM�« bMŽ ©”® Ê«d²�ô« vM×M* ”UL*« qO� ÊU� «–≈ ∂

Æ©”® …bŽU� błËQ ¨∏ ≠ ”±≤ Ω ©”® Î X½U�Ë

WU*«Ë ÀØÂ¥ WOz«b²Ðô« WŽd�« X½U� «–≈ Æ≤

ÀØ ≤ ≠ ʱ≤Ω   W�öF�UÐ vDF¹ Ÿ—U²Ð rOł „dײ¹ ∑

ÆW�d(« ¡bÐ s� Ê«uŁ μ bFÐ WŽuDI*« WU*« błËQ ¨Â ≤∏ w¼ Ê«uŁ ≥ bFÐ WŽuDI*«

≥ > ” ≥ ∞ μ ´ ≤”≥

∑ ≥ ” ≥ ≥ ±∞ ´ ”≤

Ω ©”® sJO� ∏

Æt�U−� vKŽ ©”® Ê«d²�ö� ©”®  q�UJ*« Ê«d²�ô« błË√ ∫ÎôË√

Æ©¥®   ¨ ©∞®  s� q� WLO� » ’s

©’®

”

∞

∫

≥ ← ”

√ ∫błË√ ∫ÎUO½UŁ

’s

©’®

∑

∞

∫ ”ss

œ ’s

©’®

”

∞

∫ ”ss

?ł

μπ

∫wK¹ UL� ÎUdF� q�UJ*« t½«d²�« ÊU�Ë ¨›∂ ¨ ±¤ vKŽ q�UJ²K� ÎöÐU� ©”® ÊU� «–≈ π

ø» ¨ 5²ÐU¦�« s� >q� WLO� UL

≤ > ” ≥ ± ≥ ≠ ”

∂ ≥ ” ≥ ≤ ± ´ ”≤ ≠ ≤” »

Ω ©”® 

∫WOðü«  ö�UJ²�« s� >q� WLO� bł ±∞

”s ≤”U²ł ≤”

≥

Uł ”≤ ∫ » ”s

± ´ ” √ ”

≥

∞

∫ √

”s

”≤

U²�

”Uł

≥

π

∂

π

∫ œ ”s ”Uł©”U²ł® ≤

U²ł ∫ ?ł

”s

©”

?¼

u� ´ ≥®”

±

?¼

±

∫ Ë ”s ”Uþ ” ≥

U� ∫ ?¼

”s

∂ ´ ”μ ≠ ≤”

”

∫

Õ ”s ” U²ł

”

?¼ ∫ “

”s

©± ≠ ”®”

± ´ ”μ ≠ ≤”≥

∫ ◊

Æ© ”

?¼ ≠± √ Ω ’ l{∫œUý—≈® ”s ”

?¼ ≠± √ ∫ Í

Æ©”

≠

?¼ w ÂUI*«Ë j³�« s� Îö� »d{« ∫œUý—≈® ”s

”

?¼ ´±

±

∫ „

Æ∏ Ω ’ ¨ ± Ω ’ ¨ ≥” Ω ’  UOM×M*«Ë  «œUB�« —u×� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU� błË√ ±±

bMŽ Ê«d²�ô« ”U2Ë ¨ «œUB�« —u×�Ë ¨≥ ´ ≥” Ω ’ Ê«d²�ô« vM×M� 5Ð …—uB;« WŠU*« błË√ ±≤

ƉË_« lÐd�« w WF�«u�«Ë ©¥ ¨±® WDIM�«

¨≥ Ω ” ¨ ±≠ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨”¥ ≠ ≥” Ω ©”® vM×M*UÐ …œËb??;« WIDM*« WŠU� błË√ ±≥

Æ UMO�« —u×�Ë

Æ5OŁ«bŠô« s¹—u;«Ë ¨μ Ω ’ ´ ” ¨∏ ´ ≤” Ω ’¥ 5OM×M*« 5Ð …—uB;« WŠU*« błË√ ±¥

Æ≤ Ω ” ¨±≠ Ω ” 5LOI²*«Ë ¨ UMO�« —u×�Ë ¨¸± ≠ ”≤¸ Ω ©”® vM×M*UÐ …œËb;« WIDM*« WŠU� błË√ ±μ

∫błËQ ”

≠

?¼ Ω ©”®Â¨ ”

?¼ Ω ©”® ÊU� «–≈ Ω±∂

Æ≤ Ω ” rOI²*«Ë ¨©”®Â vM×M�Ë ¨©”® vM×M� 5Ð …—uB;«Ë ¨‰Ë_« lÐd�« w WF�«u�« WŠU*« √

ø"UM�« r'« r−Š UL  UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ WIÐU�« WIDM*«  —«œ «–≈ »

od*« qJA�« w WKKE*« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r'« r−Š b??łË√ ±∑

Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ

”

’

≤≠

≤≠≤’≥ Ω ”

∞

≤’ Ω ”

vM×M� 5??Ð …—u??B??;« WIDM*« Ê«—Ëœ s??Ž "U??M??�« r'« r−Š b??łË√ ±∏

…—Ëœ ≤

?¼ Ω ’ rOI²*«Ë ¨ «œU??B??�« —u×�Ë ¨ ”

≤

???¼ Ω ’ Ê«d²�ô«

Æ UMO�« —u×� ‰uŠ WK�U�

∂∞

W?OÞËd�L�« Ÿu?DI�« μ

…b???????Šu???????�«

( C o n i c S e c t i o n s )

…dz«œ

h�U½ lD�

T�UJ

� l

D�

bz«“ lD�

∂±

(Conic Sections) WOÞËd�*« ŸuDI�« μ

v�≈ ÊUOL²M¹ ÊöJA�« Ê«c¼Ë ¨T�UJ*« lDI�«Ë …dz«b�« UNM�Ë ¨W¹u²�*« WOÝbMN�« ‰UJý_« iFÐ ÎUIÐUÝ X�dFð

rzU� Ídz«œ ◊Ëd� l ÚDÓ� s� UNOKŽ ‰uB(« sJ1 w²�« WOÞËd*« ŸuDI�« vL�ð WOÝbMN�« ‰UJý_« s� WŽuL−�

∫©±≠μ® qJA�« w� 5³� u¼ UL� ¨◊Ëd*« ”√dÐ d1 ô Ìu²�0 ÃËœe�

T�UJ� lD� …dz«œ

◊Ëd*« rÝ«Ë— bŠ_ Ì“«u� lÞUI�« Èu²�*« ◊Ëd*« —u×� vKŽ ÍœuLŽ lÞUI�« Èu²�*«

bz«“ lD� h�U½ lD�

◊Ëd*« —u; Ì“«u� lÞUI�« Èu²�*« ◊Ëd*« rÝ«Ë— s� Í_ Ì“«u� dOžË —u;« vKŽ qzU� lÞUI�« Èu²�*«

©±≠μ® qJA�«

W�dŠË ¨ UÝbF�«Ë U¹«d*« q¦� ¨WHK²� WOLKŽË WOJK�Ë WOzU¹eO�  UÝ«—œ w� …dO³� WOL¼√ WOÞËd*« ŸuDIK�Ë

»dF�«Ë o¹džù« ¡ULKŽ v�≈ ‰UJý_« ÁcN� v�Ë_«  UÝ«—b�« œuFðË ª…—c�« w�  U½Ëd²J�ù« W�dŠË V�«uJ�«

¨T�UJ*« lDI�« ∫WO�U²�« WOÞËd*« ŸuDI�« WÝ«—œ w� q{UH²�«Ë WOKOKײ�« WÝbMN�« ΔœU³� Âb²�MÝË ¨5LK�*«Ë

Æbz«e�« lDI�«Ë ¨h�UM�« lDI�«Ë

∂≤

(The Parabola) T�UJ*« lDI�« ±≠μ

ΫbFÐ ¨tO� W²ÐUŁ WDI½ sŽ ¨UNM� q� bF³ð YO×Ð Ìu²�� w� WF�«u�« ◊UIM�« lOLł WŽuL−� u¼ T�UJ*« lDI�«

ÆtO� ÂuKF� rOI²�� sŽ U¼bF³� ÎU¹ËU��

∫Èdš√ …—U³FÐË

∫n¹dFð

Èu²�*« w� W²ÐUŁ WDI½ sŽ U¼bFÐ ÊuJ¹ YO×Ð Ìu²�� w� „dײð WDIM� *wÝbMN�« q;« u¼ T�UJ*« lDI�«

ÆtO� XÐUŁ rOI²�� sŽ U¼bF³� ÎU¹ËU��

YO×Ð Íu²�*« w� „dײð Ê WDIM�«Ë ¨Íu²�*« w� ¨ÂuKF� rOI²�� ‰ ¨W²ÐUŁ WDI½ » ¨©≤≠μ® qJA�« wH�

Õu²H*« vM×M*« vL�Ô¹ ªÊ WDIMK� WHK²� ŸU{Ë√ WŁöŁ

≥

Ê ¨≤

Ê ¨±

Ê Æ‰ sŽ U¼bFÐ ÎU¹ËU�� » sŽ U¼bFÐ ÊuJ¹

∫wL�Ô½ UL� ¨ÎU¾�UJ� ÎUFD� UN�U¦�√Ë ≥

Ê ¨≤

Ê ¨±

Ê WŁö¦�« ◊UIM�« lL−¹ Íc�«

Æ…—R³�« ©»® W²ÐU¦�« WDIM�« ◄

ÆqO�b�« ©‰® XÐU¦�« rOI²�*« ◄

Æ”√d�« qO�b�«Ë …—R³�« 5Ð W�U�*« nB²M� w� WF�«u�« ©—® WDIM�« ◄

ÆqŁUL²�« —u×� ”√d�«Ë …—R³�UÐ —U*« rOI²�*« j)« ◄

±Ê

‰

»—Ω≤

Ê

≥Ê

…—R³�«”√d�«

qO�b�«

qŁUL²�« —u×�

©≤≠μ® qJA�«

∫T�UJL�« lDI�« W�œUF�

Æ5OŁ«bŠù« s¹—u;« bŠ√ vKŽ ÊUF�«Ë …—R³�«Ë ©∞¨∞® ”√d�« YOŠ ¨wÝUO� l{Ë w� T�UJ*« lDI�«

¨lDI�« WײH� WMJL*« WFЗ_«  U¼U&ö� ÎUI�Ë T�UJ*« lDI�« U¼c²¹ Ê√ sJ1 ŸU{Ë√ WFЗ√ błuð ¨W�U(« Ác¼ w�

∫wK¹ UL� UN×O{uð sJ1Ë

ÆW{ËdH*« ◊ËdA�« Ë√ ◊dA�« WII×� Íu²�*« w� WDIM�« tLÝdð Íc�« —U�*« u¼ Ìu²�� w� „dײð WDIM� wÝbMN�« q;« *

∂≥

∫©vKŽ√ v�≈ Õu²H� lDI�«® ‰Ë_« l{u�«

…—R³�« Ê√ Í√ ¨Vłu*« ÍœUB�« —u;« vKŽ …—R³�«Ë ¨©∞¨∞® ”√d�«

X½U� «–≈ ¨l{u�« «c¼ w� Æ©≥≠μ® qJý dE½« ¨∞ < ¨© ∞® »

» Ê Ω Ë Ê ∫ÊS� ¨T�UJ*« lDI�« vKŽ U� WDI½ ©’¨”® Ê

qŁUL²�« —u×�

©’

¨”

®Ê

”√d�«

qO�b�«

”

© ≠¨”

®Ë

© ¨∞® »

…—R³�«

©∞¨∞® —

’

©≥≠μ® qJA�«

≤

© ≠ ’® ´ ≤” √ Ω ´ ’ ∴

≤

´ ’≤ ≠ ≤’ ´

≤” Ω ≤

´ ’≤ ´ ≤’

’ ¥ Ω ≤” ∫UNM�Ë

∫Èdš_« WŁö¦�« ŸU{Ë_« w� T�UJ*« lDI�«  ôœUF� ‚UI²ý« sJ1 WKŁU2 WI¹dDÐË

∫©qHÝ√ v�≈ Õu²H� lDI�«® w½U¦�« l{u�«

Ê√ Í√ ¨V�U��« ÍœUB�« —u??;« vKŽ …—R³�«Ë ©∞ ¨ ∞ ® ”√d??�«

Æ©¥≠ μ® qJA�« dE½« ¨∞ < ¨ © ≠ ¨ ∞® …—R³�«

qŁUL²�« —u×�

©’

¨”

®Ê

”√d�«

qO�b�«

”

© ¨”

®Ë

© ≠¨∞®»…—R³�«

©∞¨∞® —

’

©¥≠μ® qJA�«

∫w¼ l{u�« «c¼ w� W�œUF*«

’ ¥≠ Ω ≤”

—u×� w� ”UJF½« u¼ l{u�« «c??¼ w� T�UJ*« lDI�« Ê√ k??Šô

ƉË_« l{u�« w� T�UJ*« lDIK�  UMO��«

∫©5LO�« v�≈ Õu²H� lDI�«® Y�U¦�« l{u�«

…—R³�« Ê√ Í√ Vłu*« wMO��« —u;« vKŽ …—R³�«Ë ©∞ ¨ ∞® ”√d�«

Æ©μ≠μ® qJA�« dE½« ¨ ∞ < ¨ ©∞ ¨ ®

∫w¼ l{u�« «c¼ w� W�œUF*«

qŁUL²�« —u×�

©’

¨”

®Ê

…—R³�«

”√d�«

qO�b�«

©∞¨∞®—

©∞ ¨ ®»

©’

¨ ≠®Ë

’

”

©μ≠μ® qJA�«” ¥ Ω

≤’

∂¥

∫©—U�O�« v�≈ Õu²H� lDI�«® lЫd�« l{u�«

…—R³�« Ê√ Í√ ¨V�U��« wMO��« —u;« vKŽ …—R³�«Ë ©∞ ¨ ∞® ”√d�«

Æ©∂≠ μ® qJA�« dE½« ¨ ∞ < ¨©∞ ¨ ≠®

∫w¼ l{u�« «c¼ w� W�œUF*«

qŁUL²�« —u×�

©’

¨”

®Ê

…—R³�«

”√d�«

qO�b�«

©∞¨∞®—

©∞ ¨ ≠ ®»

©’

¨ ®Ë

”

’

©∂≠μ® qJA�«

” ¥≠ Ω ≤’

—u×� w� ”UJF½« u¼ l{u�« «c??¼ w� T�UJ*« lDI�« Ê√ k??Šô

ÆY�U¦�« l{u�« w� T�UJ*« lDIK�  «œUB�«

¨t²�œUF� błË ¨lDIK� ÎUO³¹dIð ÎöJý rÝ—« Æ©≥ ¨ ∞® tð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® tÝ√— T�UJ� lD� ∫©±® ‰U¦�

ÆtKO�œ W�œUF� p�c�Ë

w³¹dI²�« qJA�« c²¹ T�UJ*« lDI�«

Æ©∑≠μ® qJý w� 5³*«

l{u�« «c??¼ w� lDIK� W�UF�« W�œUF*«

∫…—uB�« vKŽ w¼

∞ < ’ ¥ Ω ≤”

≥ Ω ©…—R³�«Ë ”√d�« 5Ð bF³�«® Ê≈ YOŠË

’±≤ Ω ≤” ∴

≥≠ Ω ’ w¼ qO�b�« W�œUF�

qŁUL²�« —u×�

”√d�«

qO�b�«

”

≥≠ Ω ’

© ≥¨∞®»

…—R³�«

©∞¨∞®—

’

©≥≠ ¨ ∞®

©∑≠μ® qJA�«

Æt²�œUF� błË√ rŁ ¨lDIK� ÎUO³¹dIð ÎöJý rÝ—« Æμ Ω ’ rOI²�*« tKO�œË ¨©∞¨∞® tÝ√— T�UJ� lD� ∫©≤® ‰U¦�

w³¹dI²�« qJA�« c²¹ T�UJ*« lDI�«

Æ©∏≠μ® qJý w� 5³*«

qŁUL²�« —u×�

”√d�«

qO�b�«

”

© μ ≠¨∞®»

…—R³�«

©∞¨∞®—

’

μ Ω ’©μ¨∞®

©∏≠μ® qJA�«

W�U�*« nB²M� w� lI¹ ”√d??�« Ê√ U0

¨qO�b�«Ë …—R³�« 5Ð

∂μ

∫w¼ l{u�« «c¼ w� T�UJ*« lDIK� W�UF�« …—uB�«Ë ¨©μ≠¨ ∞® » …—R³�« ∴

’ ¥≠ Ω ≤”

μ Ω ©…—R³�«Ë ”√d�« 5Ð bF³�«® Ê≈ YOŠË

’≤∞≠ Ω ≤” ∴

w� ¨T�UJ*« lDIK� qŁUL²�« —u×� W�œUF�Ë ¨qO�b�« W�œUF�Ë ¨…—R³�«Ë ¨”√d�« s� Îö� błË√ ∫©≥® ‰U¦�

∫5²Oðü« 5²�U(« s� >q�

”¥≠ Ω ≤’ » ”±∞ Ω

≤’ √

W�UF�« …—uB�« l³²ð ”±∞ Ω ≤’ W�œUF*« √

” ¥ Ω ≤’

∫Ê√ Z²M²�½ ¨5²�œUF*« 5Ð W½—UI*UÐË

≤[μ Ω UNM�Ë ±∞ Ω ¥

∫ÊuJ¹ ¨T�UJ*« lDI�« q¦1 Íc�« ©π≠μ® qJA�« s�

©∞ ¨ ∞® — ”√d�«

©∞ ¨ ≤[μ® » …—R³�«

≤[μ≠ Ω ” ∫w¼ qO�b�« W�œUF�

∞ Ω ’ Í√ ¨ UMO��« —u×� u¼ qŁUL²�« —u×�

qŁUL²�« —u×�

”√d�«

qO�b�«

©∞¨∞®—

©∞ ¨ ≤[μ ®» …—R³�«

’

”

≤[μ≠ Ω ”

∞ Ω ’

©π≠μ® qJA�«

”¥≠ Ω ≤’ W�œUF*« »

¨” ¥≠ Ω ≤’ W�UF�« …—uB�« l³²ð

∫Ê√ Z²M²�½ ¨5²�œUF*« 5Ð W½—UI*UÐË

∫ÊuJ¹ ¨©±∞≠μ® qJA�« WEŠö0Ë ± Ω

©∞ ¨ ±≠® » …—R³�« ¨© ∞ ¨ ∞® — ”√d�«

± Ω ” ∫w¼ qO�b�« W�œUF�

∞ Ω ’ Í√ ¨ UMO��« —u×� u¼ qŁUL²�« —u×�

qŁUL²�« —u×�

…—R³�«

”√d�«

qO�b�«

©∞¨∞®—

©∞ ¨ ±≠ ®»

’

”

± Ω ”

∞ Ω ’

©±∞≠μ® qJA�«

∂∂

©±≠μ® s¹—U9

∫W�UŠ q� w� t� ÎUO³¹dIð ÎöJý rÝ—«Ë ¨wK¹ U2 >q� w� T�UJ*« lDI�« W�œUF� V²�« ±

¥≠ Ω ’ qO�b�«Ë ¨©∞ ¨ ∞® ”√d�« » ©∞ ¨ ≤® …—R³�«Ë ¨©∞ ¨ ∞® ”√d�« √

≤≠ Ω ” qO�b�«Ë ¨©∞ ¨ ≤® …—R³�« œ ± Ω ’ qO�b�«Ë ¨©±≠ ¨ ∞® …—R³�« ?ł

∫WO�U²�« W¾�UJ*« ŸuDI�« s� >qJ� qŁUL²�« —u×� W�œUF�Ë ¨qO�b�« W�œUF�Ë ¨…—R³�«Ë ¨”√d�« s� Îö� błË√ ≤

”≤≠ Ω ≤’ »

≤”∏ Ω ’ √

Æ WLO� błËQ� ¨”∏ Ω ≤’ v�UJ*« lDIK� ÎUÝU2 ´ ” Ω ’ rOI²�*« ÊU� «–≈ ≥

q;« Ê√ 5РƱ ≠ ?¼≤ U²ł Ω ’ ¨?¼ Uł Ω ” ÊuJð YO×Ð Èu²�*« w� ©’ ¨ ”® Ê WDIM�« „dײð ¥

Ætð—RÐË tÝ√— 5ŽË ¨T�UJ� lD� u?¼ Ê WDIMK� wÝbMN�«

lDI�« …—R³Ð —U*« rOI²�*« j)«Ë ¨’¥ Ω ≤” T�UJ*« lDI�« vM×M� 5Ð …—uB;« WIDM*« WŠU�� błË√ μ

r−Š błËQ� ¨WK�U� …—Ëœ  UMO��« —u×� ‰uŠ WIDM*« Ác¼  —«œ «–≈Ë ÆqŁUL²�« —u×� vKŽ ÎU¹œuLŽ T�UJ*«

Æ"UM�« r�'«

∂∑

(The Ellipse) hU?M�« l?DI�« ≤≠μ

∫n¹dFð

5²²ÐUŁ 5²DI½ sŽ UN¹bFÐ ŸuL−� ÊuJ¹ YO×Ð Èu²�*« w� „dײð WDIM� wÝbMN�« q;« u¼ h�UM�« lDI�«

ÆULNMOÐ bF³�« s� d³�√ ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI� ÍËU�¹ tO�

≤

» Ê ±

» Ê ÊuJ¹ YO×Ð ©’¨”® Ê WDIM�« tLÝdð Íc�«Ë ¨©±±≠μ® qJA�« w� 5³*« oKG*« vM×M*« vL�¹

∫wL�½ tO�Ë ¨ÎUB�U½ ÎUFD� ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI�©’¨”®Ê

…—RÐ

e�d*« ˱

»

…—RÐ

≤

»

”√—

±

—

”√—

≤

—

±

„

≤

„

©±±≠μ® qJA�«

Æ5ð—R³�« ≤»¨

±» 5²²ÐU¦�« 5²DIM�« ◄

Æh�UM�« lDI�« e�d� 5ð—R³�« 5Ð W�U�LK� WHBM*« ©Ë® WDIM�« ◄

5ð—R³�UÐ —U*« j)« lÞUIð U²DI½ UL¼Ë ¨≤—¨

±— 5²DIM�« ◄

Æh�UM�« lDI�« wÝ√— ¨vM×M*« l�

Æh�UM�« lDIK� d³�_« —u;« 5Ý√d�« 5Ð WK�«u�« ≤

— ±

—

fl

WLOI²�*« WFDI�« ◄

dG�_« —u;« lDI�« vKŽ U¼U�dÞË ¨e�d*UÐ …—U*«Ë ¨d³�_« —u;« vKŽ W¹œuLF�« ≤„

±„

fl

WLOI²�*« WFDI�« ◄

Æh�UM�« lDIK�

∫hUM�« lDI�« W�œUF�

s¹—u;« bŠ√ vKŽ o³DM� d³�_« —u;«Ë ¨©∞¨∞® q�_« WDI½ e�d*« YOŠ ¨wÝUO� l{Ë w� h�UM�« lDI�«

Æ5OŁ«bŠù«

∫ÊUF{Ë W�U(« Ác¼ w� h�UM�« lDIK�

—u;«Ë ¨©∞ ¨ ∞® q�_« WDI½ e�d*« ∫‰Ë_« l{u�«

Æ UMO��« —u×� vKŽ o³DM� d³�_«

q�_« WDI½ Áe�d� ÎUB�U½ ÎUFD� ©±≤≠μ® qJA�« 5³¹

Æ UMO��« —u×� vKŽ o³DM� d³�_« Á—u×�Ë ¨©∞ ¨ ∞®

”

’

©∞¨?ł®±

»

©’¨”®Ê

©∞¨?ł≠®≤

»©∞¨ ≠®≤

— ©∞¨ ®±

—

©±≤≠μ® qJA�«

Æ©∞ ¨ ?ł≠® ≤

» ¨ ©∞ ¨ ?ł® ±

» 5ð—R³�« Ê√ ÷dH½

¨h�UM�« lDI�«vKŽ WDI½ W¹√ ©’ ¨ ”® Ê X½U� «–S�

U²ÐUŁ Ϋ—«bI� ÍËU�¹ 5ð—R³�« sŽ UN¹bFÐ ŸuL−� ÊS�

≤ Ω ≤

» Ê ´ ±

» Ê ∫Ê√ Í√ ¨ ≤ sJO�Ë

∂∏

≤ Ω ≤’ ´

≤

©?ł ´ ”® √ ´ ≤’ ´

≤

©?ł ≠ ”® √ ∴

∫W�œUF*« vKŽ qB×½ ¨jO�³²�«Ë 5�dD�« lOÐdðË d�¹_« ·dD�« v�≈ s¹—c'« bŠ√ qIMÐ

©±® ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ± Ω ≤

?ł ≠ ≤

≤’

´ ≤

≤”

©h�UM�« lDI�« n¹dFð® ?ł≤ < ≤ Ê√ WEŠö0Ë

≤

?ł < ≤

UNM�Ë ¨ ?ł < ÊuJ¹

∫W�œUF*« vKŽ qB×½ ¨©±® W�œUF*« w� i¹uF²�UÐË ª≤

» sJO�Ë Vłu� —«bI� ≤

?ł ≠ ≤

Ê√ Í√

± Ω ≤

»

≤’

´ ≤

≤”

¨©∞ ¨ ≠® ≤

— ¨©∞ ¨ ® ±

— 5Ý√d�« w�  UMO��« —u×� lDI¹ h�UM�« lDI�« Ê√ kŠô

©» ≠ ¨ ∞® ¨©» ¨ ∞® 5²DIM�« w�  «œUB�« —u×� lDI¹Ë

o³DM� d³�_« —u;«Ë ¨©∞¨∞® q�_« WDI½ e�d*« ∫w½U¦�« l{u�«

Æ©±≥≠μ® qJA�« w� UL� ¨ «œUB�« —u×� vKŽ

q�u²�« sJ1 ‰Ë_« l{u�« w� U¼UM�b²Ý« w²�« UNð«– WI¹dD�UÐ

∫w¼Ë w½U¦�« l{u�« w� h�UM�« lDI�« W�œUF� v�≈

± Ω ≤

»

≤”

´ ≤

≤’

”

’

©?ł¨∞®±

»

©?ł≠¨∞®≤

»

© ¨∞®±

—

© ≠¨∞®≤

—

©∞¨»®©∞¨»≠®

©±≥≠μ® qJA�«

∫ UEŠö�

≤

?ł ´ ≤

» Ω ≤

w¼ ?ł ¨ » ¨ ‰«uÞ_« 5Ð W�öF�« ±

Æt� qŁU9 «—u×� UL¼ h�UM�« lDI�« «—u×� ≤

Æ» < ¨»≤ Ω dG�_« —u;« ‰uÞË ¨ ≤ Ω h�UM�« lDIK� d³�_« —u;« ‰uÞ ≥

ÊS� ¨≤

” ÂUI� w¼ ≤

X½U� «–≈Ë ¨≤

ÎULz«œ q¦1 5²IÐU��« h�UM�« lDI�« w²�œUF� w� d³�_« ÂUI*« ¥

¨≤

’ ÂUI� w¼ ≤

X½U� «–≈ U�√ ¨©wMOÝ h�U½ lD�®  UMO��« —u×� vKŽ ÎUI³DM� ÊuJ¹ d³�_« —u;«

Æ©ÍœU� h�U½ lD�®  «œUB�« —u×� vKŽ ÎUI³DM� ÊuJ¹ d³�_« —u;« ÊS�

∂π

∫n¹dFð

?ł

Ω ?¼ Ê√ Í√

?ł

W³�M�« u¼ ¨ ?¼ e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨h�UM�« lDIK� Íe�d*« ·ö²šô«

> ?ł ¨ ÊU²³łu� ¨ ?ł Ê_ ± > ?¼ > ∞ Ê√ kŠô

Æ…dz«œ s� »d²I¹ h�UM�« lDI�« ÊS� ∞ ← ?¼ U�bMŽË

ÆWLOI²�� WFD� s� »d²I¹ h�UM�« lDI�« ÊS� ± ← ?¼ U�bMŽË

w²�œUF� Ë ¨5Ý√d�«Ë ¨ 5ð—R³�« ∫s� Îö� 5Ž ¨± Ω ±∂

≤’

´ ≤μ

≤”

t²�œUF� h�U½ lD� ∫©±® ‰U¦�

Æh�UM�« lDI�« vM×M� rÝ—« rŁ ªULNO�uÞË s¹—u;«

∫tO�Ë ©∞¨∞® Áe�d� wMOÝ h�U½ lD� u¼ lDI�«

μ Ω UNM�Ë ¨ ≤μ Ω ≤

¥ Ω » UNM�Ë ±∂ Ω ≤

»

π Ω ±∂ ≠ ≤μ Ω ≤

» ≠ ≤

Ω ≤

?ł sJ�

≥ Ω ?ł ∴

”

’

©∞¨ ≥®±

»©∞¨ ≥≠®≤

»©∞¨ μ≠®≤

— ©∞¨ μ®±

—

©¥¨ ∞®

©¥≠¨ ∞®

dG�_« —u;«

d³�_« —u;«

©∞¨∞®

©±¥≠μ® qJA�«

©∞¨≥≠® ≤

» ¨ ©∞¨≥® ±

» ∫UL¼ ÊUð—R³�«

©∞ ¨ μ≠® ≤

— ¨ ©∞ ¨ μ® ±

— ∫UL¼ ÊUÝ√d�«

±∞ Ω ≤ Ω t�uÞË ∞ Ω ’ ∫w¼ d³�_« —u;« W�œUF�

∏ Ω »≤ Ω t�uÞË ∞ Ω ” ∫w¼ dG�_« —u;« W�œUF�

Æ©±¥≠μ® qJA�« dE½«

¨©∞ ¨ ¥≠® ¨©∞ ¨ ¥® ÊU²DIM�« ÁUð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® Áe�d� Íc�« h�UM�« lDI�« W�œUF� błË√ ∫©≤® ‰U¦�

Æ©≥≠ ¨ ∞® ¨©≥ ¨ ∞® 5²DIM�« bMŽ ÍœUB�« —u;« lDI¹Ë

©wMOÝ h�U½ lD�®  UMO��« —u×� vKŽ ÁUð—RÐË ¨©∞¨∞® Áe�d� lDI�«

± Ω ≤

»

≤’

´ ≤

≤”

…—uB�« t²�œUF� c²ð ∴

∑∞

¥ Ω ?ł ≥ Ω »

≤μ Ω ±∂ ´ π Ω ≤

?ł ´ ≤

» Ω ≤

sJ�

μ Ω ∴

± Ω π

≤’

´ ≤μ

≤”

W�œUF*« ∴

Æ©±μ≠μ® qJA�« dE½«

”

’

©∞¨ ¥®±

»©∞¨ ¥≠®≤

» ©∞¨ μ®±

—

©≥¨ ∞®

©≥≠¨ ∞®

©∞¨ μ≠®≤

—

©±μ≠μ® qJA�«

t²�œUF� Íc�« h�UM�« lDIK� Íe�d*« ·ö²šô«Ë ¨5ð—R³�«Ë ¨5Ý√d�« 5Ž ∫©≥® ‰U¦�

ÆlDI�« vM×M� rÝ—« rŁ ¨≤≤μ Ω ≤’π ´

≤”≤μ

± Ω ≤μ

≤’

´ π

≤”

∫Z²M¹ ≤≤μ vKŽ ≤≤μ Ω ≤’π ´

≤”≤μ W�œUF*« w�dÞ WL�IÐ

± Ω ≤

»

≤”

´ ≤

≤’

…—uB�« vKŽ w¼Ë

∫tO�Ë ©∞¨∞® Áe�d� ÍœU� h�U½ lD� u¼ lDI�« Ê√ Í√

≥ Ω » UNM�Ë π Ω ≤

» ªμ Ω UNM�Ë ¨≤μ Ω ≤

±∂ Ω π ≠ ≤μ Ω ≤

» ≠ ≤

Ω ≤

?ł sJ�

¥ Ω ?ł ∴

©¥ ∓ ¨ ∞® Í√ ©?ł ∓ ¨ ∞® ∫UL¼ ÊUð—R³�« ∴

©μ ∓ ¨ ∞® Í√ © ∓ ¨ ∞® ∫ UL¼ ÊUÝ√d�«

∞[∏ Ω μ

¥

Ω ?ł

Ω ?¼ Íe�d*« ·ö²šô«

Æ©±∂≠μ® qJA�« dE½«

”

’

©∞¨ ≥®©∞¨ ≥≠®

©¥¨ ∞®±

»

©μ¨ ∞®±

—

©μ≠¨ ∞®≤

—

©¥≠¨∞®≤

»

©±∂≠μ® qJA�«

∑±

©≤≠μ® s¹—U9

∫WO�U²�«  ôU(« s� >q� w� h�UM�« lDI�« W�œUF� błË√ ±

Æ «bŠË ∂ d³�_« Á—u×� ‰uÞË ©∞ ¨ ±∓® ÁUð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® Áe�d� √

Æ∞[μ Íe�d*« t�ö²š«Ë ©≤∓ ¨ ∞® ÁUð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® Áe�d� »

Æ©≤ ¨ ≥® WDIM�UÐ d1Ë ¨©∂≠ ¨ ∞® ¨ ©∂ ¨ ∞® ÁUÝ√— ?ł

∫WOÝUÝ_« Ád�UMŽ tOKŽ ÎU×{u� ¨wK¹ U2 >q� w� h�UM�« lDI�« rÝ—« ≤

±≤ Ω ≤’¥ ´

≤”≥ » ± Ω ¥

≤’

´ π

≤”

√

©¥≠ ¨ ∞® ¨ ©¥ ¨ ∞® 5²DIM�« sŽ UN¹bFÐ ŸuL−� ÊuJ¹ YO×Ð ¨Èu²�*« w� ©’ ¨ ”® Ê WDIM�« „dײð ≥

ÆWDIM�« ÁcN� wÝbMN�« q;« W�œUF� błË√ ÆÎULz«œ  «bŠË ±∞ ÍËU�¹

ÆtOKŽ WF�«u�« ©≥ ¨ ≤≠® WDIM�« bMŽ ¨μ∂ Ω ≤’¥ ´

≤”μ h�UM�« lDIK� ”UL*« W�œUF� błË√ ¥

¨Èu²�*« w� „dײð w²�« ©’ ¨ ”® Ê WDIMK� wÝbMN�« q;« W�œUF� błË√ μ

øW�œUF*« Ác¼ q¦9 «–U� Æ ?¼U²ł ≥ Ω ’ ¨ ?¼Uł ≤ Ω ” YO×Ð

ŸUHð—«Ë Â≥∞ ”uI�« …bŽU� ‰uÞ ÊU� «–S� ªwI�√ d³�_« Á—u×� h�U½ lD� nB½ qJý t� ”uI� d�ł ∂

Æ…bŽUI�« e�d� s� Â∂ bFÐ vKŽ ”uI�« ŸUHð—« b−� ¨Â±∞ wI�_« —u;« ‚u� ”uI�« w� WDI½ vKŽ√

—u×� ‚u� WF�«u�« ±Ω ≤

»

≤’

´ ≤

≤”

h�UM�« lDI�UÐ …œËb;« WIDM*« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r�'« r−Š Ê√ 5Ð ∑

Æ≤

» π ≥

¥

ÍËU�¹  UMO��« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ  UMO��«

∑≤

(The Hyperbola) b???z«e�« l???DI�« ≥≠μ

∫n¹dFð

5²DI½ sŽ UN¹bFÐ 5Ð oKD*« ‚dH�« ÊuJ¹ YO×Ð Èu²�*« w� „dײð WDIM� wÝbMN�« q;« u¼ bz«e�« lDI�«

ÆULNMOÐ bF³�« s� dG�√ ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI� ÍËU�¹ tO� 5²²ÐUŁ

YO×Ð ©’¨”® Ê WDIM�« tLÝdð Íc�«Ë ¨©±∑≠μ® qJA�« w� 5³*« 5Žd� s� ÊuJ*« Õu²H*« vM×M*« vL�¹

∫wL�½ tO�Ë Î«bz«“ ÎUFD� ¨ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI� ¸ ±

» Ê ≠ ≤

» Ê ¸ ÊuJ¹

Æ5ð—R³�« ≤

» ¨±

» 5²²ÐU¦�« 5²DIM�« ◄

Æbz«e�« lDI�« e�d� 5ð—R³�« 5Ð W�U�LK� WHBM*« ©Ë® WDIM�« ◄

Æbz«e�« lDI�« wÝ√— ≤

— ¨±

— ÊU²DIM�« ◄

ÆlÞUI�« —u;« 5Ý√d�« 5Ð WK�«u�« ≤

— ±

—

fl

WLOI²�*« WFDI�« ◄

©’¨”®Ê

˱

—≤

—±

»≤

»

…—RД√—

…—RД√—e�d�

©±∑≠μ® qJA�«

∫bz«e�« lDI�« W�œUF�

s¹—u;« bŠ√ vKŽ o³DM� lÞUI�« —u;«Ë ¨©∞¨∞ ® q�_« WDI½ e�d*« YOŠ ¨wÝUO� l{Ë w� bz«e�« lDI�«

Æ5OŁ«bŠô«

∫ÊUF{Ë W�U(« Ác¼ w� bz«e�« lDIK�

—u???;«Ë ¨©∞¨∞® q???�_« WDI½ e??�d??*« ∫‰Ë_« l{u�«

Æ©wMOÝ bz«“ lD�®  UMO��« —u×� vKŽ o³DM� lÞUI�«

Æ©±∏≠μ® qJA�« dE½«

”

©∞¨?ł®±

»©∞¨?ł≠®≤

» ©∞¨ ≠®≤

— ©∞¨ ®±

—

’

©’¨”®Ê

©»¨∞®

©» ≠¨∞®

©±∏≠μ® qJA�«

ÊuJ¹ bz«e�« lDI�« vM×M� vKŽ WF�«Ë ©’¨”® Ê WDI½ Í_

≤ Ω ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI� Ω ¸ ±

» Ê ≠ ≤

» ʸ

≤ ∓ Ω ±

» Ê ≠ ≤

» Ê

∫Ê√ Z²M¹ i¹uF²�UÐË

≤∓ Ω ≤’ ´

≤

©?ł ≠ ”® √ ≠ ≤’ ´

≤

©?ł ´ ”® √

∑≥

∫W�œUF*« vKŽ qB×½ ¨—UB²šô«Ë W¹d³'«  UOKLF�« ¡«dł≈ bFÐ

∫ …—uB�« vKŽ W�œUF*« `³Bð ¨≤

≠ ≤

?ł Ω ≤

» i¹uF²ÐË ± Ω ≤

≠ ≤

?ł

≤’

≠ ≤

≤”

± Ω ≤

»

≤’

≠ ≤

≤”

‰uÞ Ê√Ë ¨©∞¨ ≠® ≤

— ¨ ©∞¨ ® ±

— 5Ý√d�« w�  UMO��« —u×� lDI¹ l{u�« «c¼ w� bz«e�« lDI�« Ê√ kŠô

¨≤

»≠ Ω ≤’ W�œUF*« `³Bð ¨dH� Ω ” i¹uF²Ð t½_ p�–Ë ª «œUB�« —u×� lDI¹ ô t½√Ë ¨ ≤ lÞUI�« —u;«

bz«e�« lDI�« e�d� s� lÞUI�« —u;« vKŽ W¹œuLF�« WLOI²�*« WFDI�« wL�MÝ UMMJ�Ë ª w� UN� qŠ ô W�œUF� w¼Ë

Æ»≤ ÍËU�¹ t�uÞË ¨bz«e�« lDIK� o�«d*« —u;« ¨©» ¨ ∞® ¨ ©»≠ ¨ ∞® 5²DIM�« 5Ð qBð w²�«Ë

Æ©±π≠μ® qJA�« kŠô

o³DM� lÞUI�« —u??;«Ë ¨©∞ ¨ ∞ ® q�_« WDI½ e�d*« ∫w½U¦�« l{u�«

Æ©≥≤≠μ® qJA�« dE½« Æ©ÍœU� bz«“ lD�®  «œUB�« —u×� vKŽ

”

©?ł¨∞®±

»

© ¨∞®±

—

’

© ≠¨∞®≤

—

©?ł≠¨∞®≤

»

©∞¨»≠® ©∞¨»®

©±π≠μ® qJA�«

∫w¼ bz«e�« lDI�« W�œUF� ÊuJð W�U(« Ác¼ w�

± Ω ≤

»

≤”

≠ ≤

≤’

∫ UEŠö�

Æ≤

» ´ ≤

Ω ≤

?ł ∫w¼ bz«e�« lDI�« w� ?ł ¨ » ¨ ‰«uÞ_« 5Ð W�öF�« ±

Æ»≤ Ω o�«d*« Á—u×� ‰uÞË ¨ ≤Ωbz«e�« lDIK� lÞUI�« —u;« ‰uÞ ≤

Æt� qŁU9 «—u×� UL¼ bz«e�« lDI�« «—u×� ≥

Æbz«e�« lDI�« W�œUF� w� Vłu*« b(« ÂUI� w¼ ≤

¥

∫n¹dFð

?ł

W³�M�« u¼ ¨ ?¼ e�d�UÐ t� e�d¹Ë ¨bz«e�« lDIK� Íe�d*« ·ö²šô«

± > ?¼ YOŠ h�UM�« lDI�« ·öÐ ¨± < ?¼ ÊuJð bz«e�« lDI�« w� t½√ kŠô

∑¥

bz«e�« lDIK� ¨Íe�d*« ·ö²šô«Ë ¨s¹—u;« w�uÞË ¨5ð—R³�«Ë ¨5Ý√d�« ∫s� Îö� 5Ž ∫©±® ‰U¦�

ÆlDI�« vM×M� rÝ—« rŁ ª± Ω π

≤’

≠ ±∂

≤”

∫tO�Ë ¨©∞ ¨ ∞® Áe�d� ÎUOMOÝ Î«bz«“ ÎUFD� W�œUF*« q¦9

¥ Ω UNM�Ë ¨±∂ Ω ≤

≥ Ω » UNM�Ë π Ω ≤

»

≤μ Ω π ´ ±∂ Ω ≤

» ´ ≤

Ω ≤

?ł

μ Ω ?ł ∴

bz«e�« lDI�« vM×M� ©≤∞≠μ® qJA�« q¦1

”

©∞ ¨μ®±

»©∞ ¨μ≠®≤

» ©∞ ¨¥≠®≤

— ©∞ ¨¥®±

—

’

©≥ ¨∞®

©≥≠ ¨∞®

©≤∞≠μ® qJA�«

©∞ ¨ ¥∓® UL¼ ÊUÝ√d�«

©∞ ¨ μ∓® UL¼ ÊUð—R³�«

∏ Ω ¥ × ≤ Ω ≤ Ω lÞUI�« —u;« ‰uÞ

∂ Ω ≥ × ≤ Ω »≤ Ω o�«d*« —u;« ‰uÞ

¥

μ

Ω

?ł

Ω ?¼ Íe�d*« ·ö²šô«

¨©∞ ≥≠® ©∞¨≥® ÁUÝ√—Ë ¨©∞ μ≠® ©∞ μ® ÁUð—RÐ Íc�« bz«e�« lDI�« vM×M� rÝ—« ∫©≤® ‰U¦�

Æt²�œUF� błË√ rŁ

vKŽ ÊU²F�«Ë ©∞ ¨μ∓® tOð—RÐ Ê√ U0Ë ¨© ∞ ¨∞® Ω ©≤

∞ ´ ∞

¨ ≤

μ≠ ´ μ

® Ω e�d*« UOŁ«bŠ≈

Æ©≤±≠μ® qJA�« dE½« ¨wÝUO� l{Ë w� wMOÝ bz«“ lD� uN�  UMO��« —u×�

∫w¼ bz«e�« lDI�« W�œUF�

± Ω ≤

»

≤’

≠ ≤

≤”

”

©∞ ¨μ®±

»©∞ ¨μ≠®≤

» ©∞ ¨≥≠®≤

— ©∞ ¨≥®±

—

’

©≤±≠μ® qJA�«

≥ Ω Ω e�d*« bMŽ ”√d�« bFÐ

μ Ω ?ł Ω e�d*« sŽ …—R³�« bFÐ

≤

» ´ ≤

Ω ≤

?ł sJ�

±∂ Ω ≤

» UNM�Ë ¨ ≤

» ´ π Ω ≤μ ∴

± Ω ±∂

≤’

≠ π

≤”

∫w¼ bz«e�« lDI�« W�œUF� ∴

∑μ

Íe�d*« t�ö²š«Ë ¨±≤ tOð—RÐ 5Ð bF³�«Ë ¨©∞ ¨ ∞® Áe�d� Íc�« bz«e�« lDI�« W�œUF� bł ∫©≥® ‰U¦�

Æ «œUB�« —u×� vKŽ o³DM� lÞUI�« Á—u×�Ë ¨ ≤

≥

Ω ?¼

¨ «œUB�« —u×� vKŽ o³DM� lÞUI�« Á—u×�Ë ¨©∞ ¨ ∞® u¼ bz«e�« lDI�« e�d� Ê√ U0

∫…—uB�« t²�œUF� c²ð Ê–≈

± Ω ≤

»

≤”

≠ ≤

≤’

∂ Ω ?ł UNM�Ë ¨±≤ Ω ?ł≤

?ł

Ω ?¼ Íe�d*« ·ö²šô«

¥ Ω UNM�Ë

∂

Ω ≤

≥

∴

≤

» ´ ≤

Ω ≤

?ł Ê√ U0Ë

≤∞ Ω ≤

» UNM�Ë ≤

» ´ ≤

©¥® Ω ≥∂ ∴

± Ω ≤∞

≤”

≠ ±∂

≤’

w¼ W�œUF*« ∴

©≤≤≠μ® qJA�« dE½«

”

©∂¨∞®±

»

© ¥¨∞®±

—

’

©¥≠ ¨∞®≤

—

©∂≠ ¨∞®≤

»

©≤≤≠μ® qJA�«

©≥≠μ® s¹—U9

w� Íe�d*« ·ö²šô«Ë ¨s¹—u;« s� q� ‰uÞ p�c�Ë ¨5ð—R³�«Ë ¨5Ý√d�«Ë ¨e�d*«  UOŁ«bŠ≈ błË√ ±

∫W�UŠ q� w� vM×M*« rÝ—« rŁ ¨WO�U²�« …bz«e�« ŸuDI�« s� >q�

± Ω ∂¥

≤”

≠ ≥∂

≤’

» ± Ω ≤μ

≤’

≠ ±¥¥

≤”

√

±¥¥ Ω ≤’±∂ ≠

≤”π ?ł

∫wK¹U� w� ÁUM×M� rÝ—« rŁ ¨bz«e�« lDI�« W�œUF� błË√ ≤

Ʊ∓ Ω ’ bMŽ  «œUB�« —u×� lDI¹Ë ©≤∓ ¨ ∞® ÊUð—R³�«

ÆtOKŽ WF�«u�« ©≤

≥

¨ μ≠® WDIM�« bMŽ ± Ω ¥

≤’

≠ ±∂

≤”

∫bz«e�« lDIK� ÍœuLF�«Ë ”UL*« W�œUF� błË √ ≥

∑∂

W�UŽ s¹—U9

∫WOðü« WK¾Ý_« s� ÌqJ� W×O×B�« WÐUłù« d²š« ±

∫w¼ ¨©≥ ¨ ∞® tð—RÐË ¨©∞ ¨ ∞® tÝ√— Íc�« T�UJ*« lDI�« W�œUF� ±

”±≤Ω ≤’ œ ”¥ Ω

≤’ ?ł ’±≤ Ω ≤” » ’¥ Ω

≤” √

∫w¼ ¨≤ Ω ” tKO�œË ¨©∞ ¨ ∞® tÝ√— Íc�« T�UJ*« lDI�« W�œUF� ≤

”∏≠ Ω ≤

’ œ ”¥≠ Ω ≤’ ?ł ”∏ Ω

≤

’ » ”≤ Ω ≤’ √

∫w¼ ¨ ≤

±

Íe�d*« t�ö²š«Ë ¨©∞ ¨ ≤≠® ¨ ©∞ ¨ ≤® ÁUÝ√— Íc�« h�UM�« lDI�« W�œUF� ≥

± Ω ≤

≤”

´ ¥

≤’

» ± Ω ≤

≤’

´ ¥

≤”

√

± Ω ≥

≤’

´ ¥

≤”

œ ± Ω ≤

≤’

≠ ¥

≤”

?ł

∫u¼ ¨± Ω ≤±

≤’

≠ ¥

≤”

bz«e�« lDIK� Íe�d*« ·ö²šô« ¥

μ

≤

œ ≤

μ

?ł ¥

≤μ

» μ √

∫w¼ ¨∞ Ω ”¥ ≠ ≤’ T�UJ*« lDIK� qO�b�« W�œUF� μ

±≠ Ω ” œ ± Ω ” ?ł ≤≠ Ω ” » ≤ Ω ” √

∫w¼ ¨©≥ ¨ ≤® WDIM�UÐ d1Ë ¨©∞ ¨ ≤® tOð—RÐ ÈbŠ≈Ë ¨©∞ ¨ ∞® Áe�d� Íc�« bz«e�« lDI�« W�œUF� ∂

≤ Ω ≤’¥ ≠

≤”μ » ≥ Ω ≤’≥ ≠

≤” √

≥ Ω ≤”≥ ≠

≤’ œ ≥ Ω ≤’ ≠

≤”≥ ?ł

©±≠ ¨ ≤® WDIM�« bMŽ μ Ω ≤’≥ ≠

≤”≤ t²�œUF� Íc�« bz«e�« lDIK� ÍœuLF�«Ë ”UL*« W�œUF� błË√ ≤

©¥ ¨ ∞® WDIM�« sŽ U¼bFÐ ÊuJ¹ YO×Ð wð—UJ¹b�« Èu²�*« w� „dײð WDIM� wÝbMN�« q;« W�œUF� błË√ ≥

Æπ Ω ’ rOI²�*« sŽ U¼bFÐ ≥

≤

ÎU¹ËU��

 UOŁ«bŠ≈ błË√ Æ©∂¨∞® WDIM�« w�  «œUB�« —u×� ÊUFDI¹ ≥∂ Ω≤’¥´

≤”π h�UM�« lDIK� ÊUÝU2 ¥

Æ”UL²�« w²DI½

Æ”UL²�« WDI½ 5ŽË ¨≥ ≠ ” Ω ’ rOI²�*« Í“«u¹ Íc�«Ë ¨”±≤ Ω ≤’ ¡v�UJ*« lDIK� ”UL*« W�œUF� błË√ μ

Æ©≥ ¨ ¥≠® ¨ ©≤ ¨ ∂® 5²DIM�UÐ d1Ë ¨ÊUOŁ«bŠù« Ê«—u;« UL¼ Á«—u×� Íc�« h�UM�« lDI�« W�œUF� błË√ ∂

± Ω ¥

≤’

´ π

≤”

h�UM�« lDI�UÐ …—uB;« WIDM*« s� ÍuKF�« nBM�« Ê«—Ëœ sŽ "UM�« r�'« r−Š błË√ ∑

Æ UMO��« —u×� ‰uŠ WK�U� …—Ëœ

∑∑

∫…bzUHK� w�U{≈ ◊UA½

∫UND�Ð√ s� ‚dÞ …bŽ błu¹ ÎUOKLŽ h�UM�« lDI�« ¡UA½ù

∫vË_« WI¹dD«

ÆÈuI*« ‚—u�« s� Õu� vKŽ ©s¹—UL�� Ë√® 5ÝuÐœ X³Ł ±

ÆVÝUM� ‰uDÐ ÎUDOš dCŠ√ ≤

f�ö¹ ’U???�— rK� q??F??ł«Ë ¨5??Ýu??Ðb??�« ‰u??Š j??O??)« —d??� ≥

vM×M*« ÊuJO� ΫœËbA� jO)« vI³¹ YO×Ð „dײ¹Ë ¨jO)«

Æ»uKD*« vM×M*« u¼ ’U�d�« rK� tLÝd¹ Íc�«

∫WO½U¦« WI¹dD«

∫WO�U²�«  «uD)« l³ð« ± Ω ≤

»

≤’

´ ≤

≤”

h�UM�« lDI�« rÝd�

Æh�UM�« lDIK� qŁUL²�« Í—u×� Êö¦1 s¹b�UF²� s¹—u×� rÝ—« ±

WŁöŁ 5Ž ¨©W�UHý …dD�� Ë√® ‚—u??�« s� lO�— j¹dý vKŽ ≤

Æ Ω ’ Ê ¨ » Ω ” Ê Ê≈ YO×Ð ’ ¨” ¨Ê ◊UI½

—u×� vKŽ ” WDIM�« vI³ð YO×Ð ©…dD�*« Ë√® j¹dA�« „dŠ ≥

Æ «œUB�« —u×� vKŽ ’ WDIM�«Ë ¨ UMO��«

WHK²*« UNŽU{Ë√ w� Ê WDIM�« UNK¦9 w²�« ◊UIM�« 5Ð q� ¥

Æ»uKD*« h�UM�« lDI�« vM×M� ÊuJ²O�

Ê

”

’

∑∏

 ôU??????L??????²??????Šô« ∂

…b???????Šu???????�«

•πμ

σ

≤ ≠ μ σ

≤ ´ μμ

∑π

qBHM*« wz«uAF�« dOG²*« ±≠∂

5²O�U²²� 5ðd� bI½ WFD� XOI�≈ «–≈ Îö¦L ÆWOIOIŠ œ«bŽQÐ WOz«uAF�« »—U−²�« ZzU²½ jЗ r²¹ ÊUOŠ_« s� dO¦ w

5Nłu�« vKŽ ÊUð—u� dNEð U�bMŽ ≤ WLOI�« c�²¹ dOG²*« œbF�« «c¼ ÊS ¨5ðd*« w …d¼UE�« —uB�« œbŽ kŠu�Ë

Æ…—u� W¹√ dNEð ô U�bMŽ dH� WLOI�«Ë ¨jI …bŠ«Ë …—u� dNEðU�bMŽ ± WLOI�«Ë¨5¹uKF�«

©±≠∂® qJA�« w wLN��« jD�*UÐ p�– `O{uð sJ1Ë

ª ⊇ {≤¨±¨∞} Á«b�Ë ¨Ω t�U−� ÎU½«d²�« q¦1 Íc�«

ÆÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� Ê«d²�ô« «c¼ q¦� vL�¹Ë

©„ ¨ „®

©’ ¨ „®

©„ ¨ ’®

©’¨ ’®

∞

±

≤

©±≠∂® qJA�«

∫ÂUŽ tłuÐ

∫n¹dFð

ÆÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ¨bFK� ÏWKÐU� WOIOI(« œ«bŽ_« s� ÏWOzeł ÏWŽuL−� Á«b�Ë ¨Ω t�U−� Íc�« Ê«d²�ô« vL�¹

∫…œôu�« q�K�ðË fM'« YOŠ s� bO�«u� WŁöŁ WEŠö� WÐd& w ∫©±® ‰U¦�

ÆΩ V²« √

ÆwLNÝ jD�0 qÒ¦L WŁö¦�« bO�«u*« w  UM³�« œbŽ q¦1 ΫdOG²� ÊU «–≈ »

øÁ«b� UL p�c ÊU Ê≈ øqBHM� wz«uAŽ dOG²� q¼ ?ł

¨ Ë » »¨ Ë Ë » ¨ Ë » Ë ¨ » Ë Ë ¨ Ë Ë Ë} Ω Ω √

{» » » ¨ » » Ë ¨ » Ë »

dOG²LK� wLN��« jD�*« q¦1 ©≤≠∂® qJA�« »

Ë Ë Ë

» Ë Ë

Ë » Ë

Ë Ë »

Ë » »

»Ë »

» » Ë

» » »

∞

±

≤

≥

©≤≠∂® qJA�« jI bŠ«Ë wIOIŠ œbFÐ Ω d�UMŽ s� dBMŽ q jÐd¹ Ê√ U0 ?ł

ÊS w�U²�UÐË ªbFK� WKÐUI�« ⊇ {≥¨≤¨±¨∞} WŽuL−*« Á«b�Ë ¨Ω t�U−� Ê«d²�« ∴

ÆqBHM� wz«uAŽ dOG²�

∏∞

…d¼UE�« ◊UIM�« œbŽ 5Ð oKD*« ‚dH�«vKŽ ‰b¹ Íc�« qBHM*« wz«uAF�« dOG²*« u¼ ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦�

œd½ Íd−Š ¡UI�≈ bMŽ 5¹uKF�« 5Nłu�« vKŽ

Æ Èb� bł √

Ʊ œbF�« w¼ Ê«d²�ô« w UNð—u� w²�« Ω d�UMŽ lOLł s� ÊuJ*« Õ ÀœU(« V²√ »

{μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞ } Ω Èb� √

{©μ¨∂® ¨©∂¨μ®¨©¥¨μ®¨©μ¨¥®¨©≥¨¥®¨©¥¨≥®¨©≤¨≥®¨©≥¨≤®¨©±¨≤®¨©≤¨±®} Ω Õ »

∫n¹dFð

¨—

” WLOI�« c�²¹ Ê√ ‰UL²Š« ÊS ¨{Ê

” ÆÆÆ ≤

” ±

” } Á«b� ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈

Æ—

” œbF�UÐ WD³ðd*« Ω d�UMŽ lOLł s� ÊuJ*« ÀœU(« ‰UL²Š« ÍËU�¹ ¨©—

”®‰ e�d�UÐ UN�e�d¹Ë

¡UCOÐ  «d l³Ý vKŽ Íu²×¹ ‚ËbM� s� ŸUł—≈ ÊËœ w�«u²�« vKŽ  «d ÀöŁ V×Ý WÐd& w ∫©≥® ‰U¦�

WÐu×�*« ¡UCO³�«  «dJ�« œbŽ vKŽ ‰b¹ ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� Ÿ ÊU «–≈ ¨s¹Ë«dLŠ 5ðdË

Æ©±® ‰ bł » ÆŸ Èb� bł √

{≥ ¨ ≤ ¨ ±} Ω Ÿ Èb� √

Æ¡«dLŠ Àö¦�«  «dJ�« ÊuJð Ê√ sJ1 ô t½_ ªÎ«dH� WLOI�« c�²¹ ô Ÿ Ê√ kŠô

©{» ” ” ¨ ” » ” ¨” ” »}® ‰ Ω ©±®‰ »

∑

∑

× ∏

±

× π

≤

´ ∑

±

× ∏

∑

× π

≤

´ ∑

±

× ∏

≤

× π

∑

Ω

±≤

±

Ω μ∞¥

¥≤

Ω

∫©w�UL²Šô« l¹“u²�«® n¹dFð

¨{Ê

” ¨ ÆÆÆ ¨ ≤

” ¨ ±

” } Á«b� ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈

WŽuL−*« wL�½ UM½S ¨WKÐUI*«  ôUL²Šô« ©Ê

”®‰¨ÆÆÆ ¨©≤

”®‰ ¨©±

”®‰ X½UË

Æ qBHM*« wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« {©©Ê

”®‰ ¨Ê

”®¨ÆÆƨ©©≤

”®‰ ¨≤

”® ¨©©±

”®‰ ¨±

”®}

∏±

UNðôUL²Š« Á«b�Ë ¨ rO� WŽuL−� t�U−� Ê«d²�« u¼ qBHM*« wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« Ê√ kŠô

Æw�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł vL�¹ Íc�« w�U²�« ‰Ëb'UÐ Ê«d²�ô« «c¼ qO¦9 sJ1Ë ÆWKÐUI*«

—

”±

”≤

”ÆÆÆÊ

”

©—

Ө䩱

Ө䩲

”®‰ÆÆÆ©Ê

”®‰

Ê ¨ ÆÆÆ ¨ ≤ ¨ ± Ω — rO� lOL' ¨ ∞ ≤ ©—

”®‰ ± ∫ Ê√ kŠô

± Ω ©—

”®‰

Ê

∑±Ω

—

≤

bMŽ 5¹uKF�« 5Nłu�« vKŽ …d¼UE�« jIM�« ŸuL−� vKŽ ‰b??¹ wz«uAF�« dOG²*« ÊU «–≈ ∫©¥® ‰U¦�

Æ dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł ÊuJ ¨5LE²M� œd½ Íd−Š ¡UI�≈

{±≤ ¨ ±± ¨ ±∞ ¨ π ¨ ∏ ¨ ∑ ¨ ∂ ¨ μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ } Ω Èb�

≥∂

±

Ω ©{©± ¨ ±)}® ‰ Ω ©≤®‰

≥∂

≤

Ω ©{©± ¨≤® ¨ ©≤ ¨±®}® ‰ Ω ©≥®‰

≥∂

≥

Ω ©{©± ¨ ≥® ¨ ©≤ ¨ ≤® ¨ ©≥ ¨ ±®}® ‰ Ω ©¥®‰

⋮

≥∂

±

Ω ©{©∂ ¨ ∂®}® ‰ Ω ©±≤®‰

∫ dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł ∴

±≤ ±± ±∞ π ∏ ∑ ∂ μ ¥ ≥ ≤—

”

≥∂

±

≥∂

≤

≥∂

≥

≥∂

¥

≥∂

μ

≥∂

∂

≥∂

μ

≥∂

¥

≥∂

≥

≥∂

≤

≥∂

±

©—

”®‰

{©”≤¨μ®¨©”¨¥®¨©∞[±¨≤®} u¼ w�UL²Šô« tF¹“uð ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∫©μ® ‰U¦�

Æ” WLO� błËQ

± Ω ©—

”®‰

≥

∑±Ω

—

± Ω ©μ®‰ ´ ©¥®‰ ´ ©≤®‰ ∴

± Ω ”≤ ´ ” ´ ∞[±

∞[≥ Ω ” UNM�Ë ∞[π Ω ”≥

∏≤

∫©qBHML�« wz«uAF�« dOG²L�« luð® n¹dFð

e�d¹Ë ¨ wz«uAF�« dOG²*« l�uð ÊS ¨{ Ê

” ÆÆÆ ≤

” ±

”} Á«b� ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈

©—

”®‰ × —

”

Ê

∑±Ω

—

Ω © ®  ∫«cJ¼ ·dF¹¨© ®  e�d�UÐ t�

ÆdOG²*« «c¼ U¼c�²¹ w²�« rOIK� wÐU�(« jÝu�« u¼ wz«uAF�« dOG²*« l�uð Ê√ kŠô

 «d lЗ√ vKŽ Íu²×¹ ‚ËbM� s� ŸUł—ù« l� w�«u²�« vKŽ  «d ÀöŁ V×Ý WÐd& w ∫©∂® ‰U¦�

WÐu×�*« ¡UCO³�«  «dJ�« œbŽ vKŽ ‰b¹ Ÿ wz«uAF�« dOG²*« ÊU «–≈ ¨s¹Ë«œuÝ 5ðdË ¡UCOÐ

Æ©Ÿ®  błËQ

≥

±

Ω ©¡«œuÝ …dJ�«® ‰ ¨ ≥

≤

Ω ∂

¥

Ω ©¡UCOÐ …dJ�«® ‰ ¨ {≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞ } Ω Ÿ Èb�

≤∑

±

Ω

≥

©≥

±

® Ω ©{” ” ”}® ‰ Ω ©∞®‰

π

≤

Ω

≤

©≥

±

® × ©≥

≤

® × ≥ Ω ©{» ” ” ¨ ” » ” ¨ ” ” »}® ‰ Ω ©±®‰

π

¥

Ω ≥

±

×

≤

©≥

≤

® × ≥ Ω ©{» » ” ¨ » ” » ¨ ” » »}® ‰ Ω ©≤®‰

≤∑

∏

Ω

≥

©≥

≤

® Ω ©{» » »}® ‰ Ω ©≥®‰

©—

”®‰ × —

”

≥

∑±Ω

—

Ω ©Ÿ® 

≤ Ω ≤∑

μ¥

Ω ≤∑

∏

× ≥ ´ π

¥

× ≤ ´ π

≤

× ± ´ ≤∑

±

× ∞ Ω

Æ≤ ÍËU�¹ WÐu×�*« ¡UCO³�«  «dJ�« œbF� wÐU�(« jÝu�« ÊS  «d*« s� ΫdO³ ΫœbŽ WÐd−²�« X¹dł√ «–≈ t½√ wMF¹ «c¼Ë

∫wK¹ UL ÎUHKG� μ∞ vKŽ ‚ËbM� Íu²×¹ ∫©∑® ‰U¦�

ÆdO½U½œ ±∞ WLOIÐ …ezUł vKŽ UNM� yq Íu²×¹  UHKG� ±∞

ÆbŠ«Ë —UM¹œ WLOIÐ …ezUł vKŽ UNM� yq Íu²×¹  UHKG� ±∞

Æ—UM¹œ nB½ WLOIÐ …ezUł vKŽ UNM� yq Íu²×¹ ÎUHKG� ±μ

Æez«uł W¹√ vKŽ Íu²% ô Wž—U w�U³�«Ë

ÆÎUOz«uAŽ  UHKG*« Ác¼ bŠ√ V×Ý bMŽ tOKŽ qB% Íc�« mK³LK� pF�uð błË√

∏≥

∫ÊuJ¹ …ezU'« WLO� q¦1 Íc�« wz«uAF�« dOG²*« u¼ Ê√ ÷dHÐ

{±∞ ¨ ± ¨ ∞[μ ¨ ∞} Ω Èb�

μ∞

±μ

Ω ©⁄—U nKG*«®‰ Ω ©∞®‰

μ∞

±μ

Ω ©—UM¹œ nB½ …ezU'«®‰ Ω©∞[쮉

μ∞

±∞

Ω ©—UM¹œ …ezU'«®‰ Ω ©±®‰

μ∞

±∞

Ω ©dO½U½œ ±∞ …ezU'«®‰ Ω ©±∞®‰

©—

”®‰ × —

”

¥

∑±Ω

—

Ω © ®  ∴

Ϋ—UM¹œ ≤[≥μ Ω μ∞

±∞

× ±∞ ´ μ∞

±∞

× ± ´ μ∞

±μ

× ∞[μ ´ μ∞

±μ

× ∞ Ω

∫W¹dE½

∫ÊS Ω wMOF�« ⁄«dH�« vKŽ 5dF� 5Oz«uAŽ s¹dOG²� „ ¨ ÊU «–≈

©„®   ∓ © ®  Ω ©„ ∓ ®  ±

∋ »¨

YOŠ ¨ » ´ © ® 

Ω ©» ´

®  ≤

∏ Ω ©„®  ¨ μ Ω © ®  YO×Ð ¨Ω wMOŽ ⁄«d vKŽ 5Oz«uAŽ s¹dOG²� „ ¨ ÊU «–≈ ∫©∏® ‰U¦�

∫błËQ

©∂ ´ „≥ ≠ ¥®  » ©≥ ´ ≤®  √

±≥ Ω ≥ ´ μ × ≤ Ω ≥ ´ © ® ≤ Ω ©≥ ´ ≤®  √

∂ ´ ©„® ≥ ≠ © ® ¥ Ω ©∂ ´ „≥ ≠ ¥®  »

≤ Ω ∂ ´ ∏ × ≥ ≠ μ × ¥ Ω

∏¥

©±≠∂® s¹—U9

‰œ «–≈ ÆŸUł—ù« l� w�«u²�« vKŽ ÊUðd tM� X³×Ý ¨¡«œuÝ …bŠ«ËË ¡UCOÐ  «d ≥ vKŽ ‚ËbM� Íu²×¹ ±

WÐu×�*« ¡«œu��«  «dJ�« œbŽ vKŽ wz«uAF�« dOG²*«

l�uð bł ?ł wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« V²« » Èb� 5Ž √

ÊUðd tM� X³×Ý ¨¡«dLŠ  «d XÝË ¨¡UCOÐ  «d ÀöŁË ¨¡«œuÝ …bŠ«Ë …d vKŽ ‚ËbM� Íu²×¹ ≤

WÐu×�*« ¡UCO³�«  «dJ�« œbŽ vKŽ „ wz«uAF�« dOG²*« ‰œ «–≈ ¨…bŠ«Ë WFœ

„ l�uð bł ?ł „ dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł V²« » „ Èb� 5Ž √

q³Ið w²�« œ«bŽ_« œbŽ vKŽ  dOG²*« ‰œ «–≈ Æ…bŠ«Ë WFœ {∂ ¨ μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤} WŽuL−*« s� Ê«œbŽ dO²š« ≥

s¹—U²�*« s¹œbF�« w ¥ vKŽ WL�I�«

 dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł V²« »  wz«uAF�« dOG²*« Èb� 5Ž √

 dOG²*« l�uð bł ?ł

d−(« wI�√ Æ∂ r�d�« s¹dšü« 5Nłu�« vKŽË ¨≥ r�d�« tM� ÁułË ¥ vKŽ »u²J� ÍœUŽ dOž œd½ d−Š ¥

5²O�d�« w s¹d¼UE�« 5L�d�« ŸuL−� l�uð V�Š« Æ5²O�U²²� 5ðd�

ø WLO� UL {© ≤ ¨ 쮨©∞[± ¨ ®} u¼ wz«uAŽ dOG²* w�UL²Šô« l¹“u²�« ÊU «–≈ μ

ÊUË ¨5ðd� W¹œUŽ dOž bI½ WFD� ¡UI�≈ bMŽ …—uB�« —uNþ  «d� œbŽ vKŽ ‰b¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∂

ø…bŠ«Ë …d� Ác¼ bIM�« WFD� ¡UI�≈ bMŽ WÐU²J�« —uNþ ‰UL²Š« UL ¨±[∂ Ω l�uð

‰UHÞ√ WŁöŁ UN¹b� WKzUŽ w —uc�« ‰UHÞ_« œbŽ l�uð V�Š« ∑

 dNþ «–S ¨∞[∑ Ω UNO ÍuKF�« tłu�« vKŽ …—uB�« —uNþ ‰UL²Š« W¹œUŽ dOž œuI½ WFD� h�ý w�d¹ ∏

q−�¹ ÊU²ÐU²  dNþ «–≈Ë ¨±∞≠ œbF�« q−�¹ ÊUHK²�� ÊUNłË dNþ «–≈Ë ¨≤∞ œbF�« q]

−�Ô¹ ÊUð—u�

h�AK� q−�*« œbF�« l�uð V�Š« Æ¥∞≠ œbF�«

ÊUË ¨©ŸUł—« ÊËœ® `OÐUB*« Ác¼ h× - «–≈ ÆW(U� ∏ UNM� WOzUÐdN `OÐUB�±∞ vKŽ ‚ËbM� Íu²×¹ π

`�U� ÕU³B� ‰Ë√ tO dNE¹ Íc�« h×H�« r�— vKŽ ‰b¹ wz«uAF�« dOG²*«

l�uð bł ?ł dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« V²√ » Èb� 5Ž √

∫ÊUË ¨ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ±∞

± Ω ” ” ?ł

≤ Ω ” ” ?ł≥

¥ ¨≥ Ω ” ¨ ©±´”®?ł

Ω ©”®‰

©≥ ´ ≤®  V�Š« ?ł dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł ÊÒu » ?ł WLO� bł √

∏μ

(Binomial Distribution) s¹b(« Ë– l¹“u²�« ≤≠∂

ŸuMÐ j³ðd¹ Íc�« ¨s¹b(« «– wz«uAF�« dOG²*« vL�*« WKBHM*« WOz«uAF�«  «dOG²*« bŠ√ bM³�« «c¼ w ”—bMÝ

∫WO�U²�« hzUB)« UN� w²�« WOz«uAF�« »—U−²�« s� ’Uš

Æ…—dJ²*«  ôËU;« s� 5F� œbŽ s� WÐd−²�« ÊuJ²ð ±

ÆWKI²��Ë WKŁUL²� ÎUFOLł  ôËU;« Ác¼ ≤

ÆÎöA vL�¹Ë tŽu�Ë ÂbŽ Ë√ ÎUŠU$ vL�¹Ë 5F� ÀœUŠ Ÿu�Ë ∫5²−O²½ ÈbŠSÐ W�ËU×� q wN²Mð ≥

ÆW�ËU×� q w XÐUŁ ÕU−M�« ‰UL²Š« ¥

Æs¹b(« «– l¹“u²�« s¹b(« Í– wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« vL�¹Ë

◊UI½ ¥ —uNþ  «d� œbŽ q¦1 wz«uAF�« dOG²*« ÊU «–≈ ¨WO�U²²�  «d� ±∞ rE²M� œd½ d−Š ¡UI�≈ bMŽ Îö¦L

…d� œdM�« d−Š w�d� WKI²��Ë WKŁUL²�  ôËU×� ±∞ s� W½uJ� WÐd−²�« Ác¼ —U³²Ž« sJ1 t½S ¨ÍuKF�« tłu�« vKŽ

Ê≈ Æ ∂

±

u¼Ë ÎU²ÐUŁ Ϋ—«bI� W�ËU×� q w ÍuKF�« tłu�« vKŽ ◊UI½ ¥ —uNþ ÀœU(« Ÿu�Ë ‰UL²Š« ÊuJ¹Ë ¨…bŠ«Ë

∫Ê_ s¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG²� u¼ dOG²*« «c¼

Æ…bŠ«Ë …d� rE²M*« œdM�« d−Š w�d�  ôËU×� ±∞ s� ÊuJ²ð WÐd−²�« ±

ÆWKI²��Ë WKŁUL²� ÎUFOLł  ôËU;« ≤

Æ©qA® p�– dOž Ë√ ©ÕU$® ÍuKF�« tłu�« vKŽ ◊UI½ ¥ —uNþ ∫UL¼ ÊU²−O²½ W�ËU×� qJ� ≥

Æ ∂

±

u¼ XÐUŁ W�ËU×� q w ÕU−M�« ‰UL²Š« ¥

ÊU²MŁ«Ë ¡UCOÐ  «d∂ tO ‚ËbM� s� ŸUł—ù« l� w�«u²�« vKŽ  «d μ V×Ý WÐd& w ∫©±® ‰U¦�

Ë– vz«uAŽ dOG²� Ê√ 5³ ¨WÐu×�*« ¡UCO³�«  «dJ�« œbŽ v�≈ e�d¹ ÊU «–≈ ªÊ«Ë«œuÝ

ÆÁ«b� błË s¹bŠ

¨‚ËbMB�« s� …d V×�� WKI²��Ë WKŁUL²�  ôËU×� μ w¼ Ác¼ ŸUł—ù« l� V×��« WÐd&

Æ¥

≥

Ω ∏

∂

Ω XÐUŁ UNM� q w ©ÀœU(« ÕU$® ¡UCOÐ …d —uNþ ‰UL²Š«Ë

Æs¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG²� ∴

{μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞} Ω Á«b�

Æ ± Ω Ê U�bMŽ s¹b(« Ë– l¹“u²�« s� W�Uš W�UŠ u¼ ∫w�u½dOÐ l¹“uð

∏∂

‰UL²Š« Ê_ ªs¹bŠ «– ÊuJ¹ ô wz«uAF�« dOG²*« ÊS ŸUł—≈ ÊËœ ‰U¦*« «c¼ w V×��« ÊU «–≈ t½√ kŠô

ÆfL)«  ôËU;« w XÐUŁ dOž ©¡UCOÐ —uNþ® ÕU−M�«

…bŠ«u�« …d*« w ·bNK� t²ÐU�≈ ‰UL²Š« ÊUË ¨ «d� ÀöŁ XÐUŁ ·b¼ vKŽ —UM�« qł— oKÞ√ «–≈ ∫©≤® ‰U¦�

∫·bN�« qłd�« UNO VOB¹ w²�«  «d*« œbŽ vKŽ ‰b¹ wz«uAF�« dOG²*« ÊUË ¨ μ

¥

u¼

ø Èb� U� » øs¹bŠ Ë– q¼ √

Æ5ðd� ·bN�« qłd�« VOB¹ Ê√ ‰UL²Š« V�Š« ?ł

ÕU−M�« ‰UL²Š«Ë WKI²��Ë WKŁUL²� Àö¦�«  ôËU;« Ê_ ªs¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG²� √

μ

¥

Ω …d� q w XÐUŁ ©·bN�« WÐU�≈®

Æ{≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞} Ω Èb� »

©jI 5ðd� ·bN�« WÐU�≈®‰ Ω ©≤®‰ ?ł

©{’ · ’ ¨’ ’ · ¨· ’ ’}® ‰ Ω

±≤μ

¥∏

Ω

±

©μ

±

® ×

≤

©μ

¥

® × ≥ Ω

ÍËU�¹ UNM� q Ÿu�Ë ‰UL²Š« Ê√Ë ¨©≥

≤ ® U¼œbŽ ‚dDÐ r²ð 5ðd� ·bN�« WÐU�≈ Ê√ kŠô

∫ÊuJO ¨

±

©μ

±

® ×

≤

©μ

¥

®

±≤μ

¥∏

Ω

±

©μ

±

® ×

≤

©μ

¥

® × ©≥

≤ ® Ω ©≤®‰

©5MŁ« 5MŁ« …–ušQ� WHK²�� ¡UOý√ WŁöŁ oO«uð œbŽ wMF¹ ©≥

≤ ® e�d�« Ê√ dcð®

∫ÂUŽ tłuÐ

∫W¹dE½

ÊS ¨ Ω W�ËU×� q w ÕU−M�« ‰UL²Š«Ë ¨Ê Ω  ôËU;« œbŽ YOŠ s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈

{ʨÆÆƨ≤ ¨±¨∞} ∋ — ¨ —

≠ Ê

© ≠±® ×

—

× ©Ê

— ® Ω ©—®‰ ÍËU�¹  «d*« s� — w ÕU−M�« ‰UL²Š«

…bŠ«ËË ¡«dLŠ  «d ÀöŁ tO ‚ËbM� s� ŸUł—ù« l� w�«u²�« vKŽ  «d ±∞ X³×Ý ∫©≥® ‰U¦�

WÐu×�*« ¡«œu��«  «dJ�« œbŽ vKŽ s¹b(« Ë– wz«uAF�« dOG²*« ‰œ «–≈ ª¡«œuÝ

©∑®‰ ¨©¥®‰ ¨©≤®‰ ∫s� Îö V�Š« » ø Èb� U� √

∏∑

{±∞¨ÆÆÆƨ≤ ¨ ± ¨ ∞} Ω Èb*« √

±∞ Ω Ê ¥

±

Ω Ω ©¡«œuÝ —uNþ®‰ Ω ©ÕU−M�«®‰ »

∏

©¥

≥

® ×

≤

©¥

±

® × ©±∞

≤ ® Ω

≤≠±∞

©¥

±

≠±® ×

≤

©¥

±

® × ©±∞

≤ ® Ω ©≤®‰

∂

©¥

≥

® ×

¥

©¥

±

® × ©±∞

¥ ® Ω ©¥®‰

≥

©¥

≥

® ×

∑

©¥

±

® × ©±∞

∑ ® Ω ©∑®‰

UNM� ‰«RÝ Í√ sŽ W×O×� WÐUł≈ V�UD�« VO−¹ Ê√ ‰UL²Š«Ë ¨WK¾Ý√ W²Ý s� ÊUײ�« n�Q²¹ ∫©¥® ‰U¦�

ÊUײ�ö� V�UD�« «c¼ ÂbIð «–S ª∞[∏ u¼

øjI bŠ«Ë ‰«RÝ sŽ W×O×� WÐUł≈ V�UD�« VO−¹ Ê√ ‰UL²Š« U� √

ød¦_« vKŽ 5�«RÝ sŽ W×O×� WÐUł≈ V�UD�« VO−¹ Ê√ ‰UL²Š« U� »

 UÐUł≈ V�UD�« «c¼ UNMŽ VO−¹ w²�« WK¾Ý_« œbŽ vKŽ ‰b¹ wz«uAŽ dOG²� Ê√ ÷dHÐ

∞[∏ Ω ¨ ∂ Ω Ê YOŠ ¨s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊuJ¹ W×O×�

μ

©∞[≤® × ±

©∞[∏® × ©∂

± ® Ω ©±®‰ √

©≤®‰ ´ ©±®‰ ´ ©∞®‰ Ω ©≤≥—®‰ »

¥

©∞[≤® ≤

©∞[∏® × ©∂

≤ ® ´ μ

©∞[≤® × ±

©∞[∏® × ©∂

± ® ´ ∂

©∞[≤® × ∞

©∞[∏® × ©∂

∞ ® Ω

¨◊UI½ ¥ s¹dš¬ 5NłË s� q vKŽË ¨…bŠ«Ë WDI½ tM� ÁułË WŁöŁ s� q vKŽ œd½ d−Š qL×¹ ∫©μ® ‰U¦�

‰b¹ s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–S ª «d� ≥ d−(« «c¼ wI�√ Æ◊UI½ μ ”œU��« tłu�« vKŽË

Æ© ®  bł rŁ¨ dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł ÊÒuJ ◊UI½ ¥ —uNþ  «d� œbŽ vKŽ

tO s¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG²�

≥

±

Ω ∂

≤

Ω ©◊UI½ ¥ —uNþ®‰ Ω ©ÕU−M�«® ‰ Ω ¨ ≥ Ω Ê

∏∏

{≥ ¨ ≤ ¨ ± ¨ ∞} Ω Èb�

≤∑

∏

Ω

≥

©≥

≤

® ×

∞

©≥

±

® × ©≥

∞ ® Ω ©∞®‰

≤∑

±≤

Ω

≤

©≥

≤

® ×

±

©≥

±

® × ©≥

± ® Ω ©±®‰

≤∑

∂

Ω

±

©≥

≤

® ×

≤

©≥

±

® × ©≥

≤ ® Ω ©≤®‰

≤∑

±

Ω

∞

©≥

≤

® ×

≥

©≥

±

® × ©≥

≥ ® Ω ©≥®‰

∫u¼ dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ‰Ëbł

≥ ≤ ± ∞ —

≤∑

±

≤∑

∂

≤∑

±≤

≤∑

∏

©—®‰

©—®‰ × —

≥

∑∞Ω

—

Ω © ® 

± Ω ≤∑

≤∑

Ω ≤∑

±

× ≥ ´ ≤∑

∂

× ≤ ´ ≤∑

±≤

× ± ´ ≤∑

∏

× ∞ Ω

∫Ê√Ë ¨ ± ÍËU�¹ © ®  Ê√ ‰U¦*« «c¼ w kŠö½

Æ©…bŠ«u�« W�ËU;« w ÕU−M�« ‰UL²Š« ×  ôËU;« œbŽ® ≥

±

× ≥ Ω ±

∫ÂUŽ tłuÐ

∫W¹dE½

¨ Ω …bŠ«u�« W�ËU;« w ÕU−M�« ‰UL²Š«Ë ¨Ê Ω  ôËU;« œbŽ tO s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈

× Ê Ω © ®  ∫…bŽUI�UÐ vDF¹ l�uð ÊS

μ ÍËU�¹ ŸuL−� —uNþ  «d� œbŽ vKŽ ‰b¹ ÊU «–≈ Æ…d� ±∏ ÊULE²M� œd½ «d−Š wI�√ ∫©∂® ‰U¦�

Æ© ®  błËQ

¨ ±∏ Ω Ê tO s¹bŠ Ë– wz«uAŽ dOG²�

©{©± ¨ ¥® ¨©≤ ¨ ≥® ¨ ©≥ ¨ ≤® ¨©¥ ¨ ±® }®‰ Ω ©◊UI½μ Ω ŸuL−*«® ‰ Ω

π

±

Ω ≥∂

¥

Ω

≤ Ω π

±

× ±∏ Ω × Ê Ω © ®  ∴

∏π

©≤≠∂® s¹—U9

∫błËQ ∞[≤ Ω ¨ ∑ Ω Ê tO s¹bŠ «– ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ±

© ®  » ©≥®‰ √

l� w�«u²�« vKŽ  «d?? w½ULŁ X³×Ý Æs??¹Ë«œu??Ý 5ðdË ¨¡UCOÐ  «d?? Àö??Ł vKŽ ‚ËbM� Íu²×¹ ≤

∫błËQ WÐu×�*« ¡«œu��«  «dJ�« œbŽ vKŽ ‰b¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ÆŸUł—ù«

©μ®‰ ©≤®‰ ©±®‰

j³C�UÐ …d� ±≤ w μ s� dG�√ œbŽ —uNþ ‰UL²Š« V�Š« ¨WO�U²²� …d� ≤∞ rE²M*« œdM�« d−Š ¡UI�≈ WÐd& w ≥

∫‰UL²Š« V�Š« ¨‰UHÞ√ ∂ UN¹b� WKzUŽ w ¥

q�_« vKŽ d– qHÞ WKzUF�« w ÊuJ¹ Ê√ » jI —u– ‰UHÞ√ ¥ UN¹b� ÊuJ¹ Ê√ √

V�ŠU ¨lMB*« «c¼ ÃU²½≈ s� ÎUOz«uAŽ dO�U�� μ  dO²š«Ë ¨ÎU³OF� dO�U�LK� lMB� ÃU²½≈ s� •±∞ ÊU «–≈ μ

5LOKÝ q�_« vKŽ UNM� ÊUMŁ« ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š«

¨μ r�d�« ”œU��« tłu�« vKŽË ¨¥ r�d�« s¹dš¬ 5NłË vKŽË ¨± r�d�« tM� ÁułË WŁöŁ vKŽ V² œd½ d−Š ∂

WO�U²²� …d� ±∏ d−(« «c¼ wI�√

øq�_« vKŽ …d� dAŽ WF³Ý ± r�d�« —uNþ ‰UL²Š« U� » øjI  «d� ÀöŁ μ r�d�« —uNþ ‰UL²Š« U� √

¥ r�d�« —uNþ  «d� œbŽ l�uð V�Š« ?ł

dOž rNðœôË ÊuJð s¹c�« ‰UHÞ_« œbŽ ‰U¦�√ ∑ ÍËU�¹ WOFO³Þ rNðœôË ÊuJð s¹c�« ‰UHÞ_« œbŽ ÊU «–≈ ∑

∫‰UL²Š« V�ŠU ¨ÎUOz«uAŽ ‰UHÞ√ ¥ dO²š«Ë ¨WOFO³Þ

WOFO³Þ dOž q�_« vKŽ r¼bŠ√ …œôË ÊuJð Ê√ » ÆWOFO³Þ jI rNM� 5MŁ« …œôË ÊuJð Ê√ √

jI bŠ«Ë  «—UOš W�Lš UNM� qJ� œbF²� s� —UO²šô« Ÿu½ s� …dI ≤μ s� ÊuJ� ÊUײ�ô V�UÞ ÂbIð ∏

∫błËQ ¨ U�öŽ lЗ√ UNM� …dI qJ� ÊUË ¨WOz«uAŽ …—uBÐ UNMŽ V�UÞ »Uł√ «–S ª`O×� UNM�

∏∞ W�öF�« vKŽ V�UD�« qB×¹ Ê√ ‰UL²Š« √

π∞ u¼ “UO²�ô« W�öF� v½œ_« b(« ÊQÐ ÎULKŽ “U²2 d¹bIð vKŽ V�UD�« qB×¹ Ê√ ‰UL²Š« »

V�UD�« W�öŽ l�uð ?ł

∫błË√ ¨…d� ≤∞ ÎUF� ÊU²FDI�« XOI�√ ¨∞[∑ ULNM� Ìq w …—uB�« —uNþ ‰UL²Š« bI½ U²FD� π

jI  «d�μ WÐU²Ë …—u� dNEð Ê√ ‰UL²Š« » jI  «d� ∑ ÊUð—u� dNEð Ê√ ‰UL²Š« √

ÊUð—u� UNO dNEð w²�«  «d*« œbŽ l�uð œ jI  «d� ≥ ÊU²ÐU² dNEð Ê√ ‰UL²Š« ?ł

q�√ V�Š« ª¡«œuÝ …bŠ«ËË s¹ËUCOÐ 5ðd vKŽ Íu²×¹ ‚ËbM� s� ŸUł—ù« l� Èdš_« uKð …bŠ«u�«  «d V×�ð ±∞

∞[∑π vKŽ b¹e¹ q�_« vKŽ …bŠ«Ë ¡UCOÐ …d —uNþ ‰UL²Š« ÊuJ¹ Ê√ ÊULC� V×�ð Ê√ V−¹ w²�«  «dJ�« s� œbŽ

π∞

(Continuous Random Variable) qB²*« wz«uAF�« dOG²*« ≥≠∂

«c¼ wË ÆbFK� ÏWKÐU� WOIOI(« œ«bŽ_« s� ÏWŽuL−� Á«b� Íc�« qBHM*« wz«uAF�« dOG²*« ©±≠∂® bMÐ w UMdFð

¨›» ¤ WOIOI(« œ«bŽ_« s� …d² Á«b� ÊuJ¹ Íc�« qB²*« wz«uAF�« dOG²*« vL�¹ dš¬ ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ·dF²MÝ bM³�«

dOG²*« p�cË ¨qB²� wz«uAŽ dOG²� u¼ wzUÐdN ÕU³B* …UO(« …d² ‰uÞ vKŽ ‰b¹ Íc�« wz«uAF�« dOG²*« ∫Îö¦L

ÆÎUC¹√ qB²� wz«uAŽ dOG²� u¼ rNðœôË bMŽ ‰UHÞ_« ©q² Ë√® ¨‰«uÞ√ vKŽ ‰b¹ Íc�« wz«uAF�«

∫n¹dFð

¨ ›» ¨ ¤ t�U−� Íc�« „ Ê«d²�ô« wL�½ UM½S ¨ ›» ¨ ¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ±

∫ÊU «–≈ jIË «–≈ ¨ vz«uAF�« dOG²LK� WO�UL²Š« WU¦ Ê«d²�« ¨WOIOI(« œ«bŽ_« WŽuL−� qÐUI*« t�U−�Ë

± Ω ”s ©”®„

»

∫ » ›» ¨ ¤ ∋ ” ∀ ¨ ∞ ≤ ©”®„ √

›»¨ ¤ ⊇ ›œ ¨ ?ł¤ YOŠ ¨ ”s ©”®„

œ

?ł

∫ Ω ©œ ≥ ” ≥ ?ł®‰ ≤

¨›± ¨ ∞¤ ∋ ” ¨”≤ Ω ©”®„ ÊUË ¨›±¨ ∞¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∫©±®‰U¦�

Æ dOG²LK� WO�UL²Š« WU¦ Ê«d²�« „ Ê«d²�ô« Ê√ 5³

›± ¨ ∞¤ ∋ ” ∀ ¨ ∞ ≤ ©”®„ √

± Ω

±

∞

¸ ≤” Ω ”s ”≤

±

∞

∫ Ω ”s ©”®„

±

∞

∫ »

Æ wz«uAF�« dOG²LK� WO�UL²Š« WU¦ Ê«d²�« ©”®„ ∴

∫ UEŠö�

WO�UL²Šô« WU¦J�« Ê«d??²??�« Ê√ n¹dF²�« s??� `C²¹ ±

Ê«d²�« u¼ ›» ¨ ¤ t�U−� Íc�« qB²*« wz«uAF�« dOG²LK�

5LOI²�*«Ë  UMO��« —u×� l� ÁUM×M� dB×¹ ¨V�UÝ dOž

Æ…bŠ«Ë WFÐd� …bŠË UN²ŠU�� WIDM� » Ω ” ¨ Ω ”

”

»

©”®„©”®„± Ω WŠU�*«

©≥≠∂® qJA�«

∞ Ω ”s ©”®„

± ”

±”

∫ Ω ©±

”®‰ Ω ›»¨ ¤ ∋ ±

” WLOI�« qB²*« wz«uAF�« dOG²*« c�²¹ Ê√ ‰UL²Š« ≤

π±

∫błËQ ≤”≥ Ω ©”®„ WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�«Ë ¨›∞¨±≠¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦�

©≤

±

≠ > ”®‰ » ©∞ ≥ ” ≥ ≤

±

≠®‰ √

”s ≤

”≥

∞

≤

± ≠

∫ Ω ©∞ ≥ ” ≥ ≤

±

≠®‰ √

∏

±

Ω ©∏

±

≠® ≠ ∞ Ω

∞

≤

± ≠

¸ ≥” Ω

©≤

±

≠ > ” ≥ ±≠®‰ Ω ©≤

±

≠ > ”®‰ »

∏

∑

Ω ± ´ ∏

±

≠ Ω

≤

± ≠

±≠

¸ ≥” Ω ”s ≤

”≥

≤

± ≠

±≠

∫ Ω

∫w�U²�« u×M�« vKŽ Èdš√ WI¹dDÐ ©»® ŸdH�« qŠ sJ1Ë

”s ≤

”≥

∞

≤

± ≠

∫ ≠ ± Ω ”s ≤

”≥

≤

± ≠

±≠

∫ Ω ©≤

±

≠ > ”®‰

∏

∑

Ω ∏

±

≠ ± Ω

›≥ ¨ ∞¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∫©≥® ‰U¦�

± > ” ≥ ∞ ”

≤ > ” ≥ ±

≥ ≥ ” ≥ ≤ ©”≠≥®

Ω ©”®„ WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�«Ë

©≤ ≥ ”®‰ bł » Æ WLO� bł √

± Ω ”s

©”®„

≥

∞

∫ √

± Ω ”s

©”≠≥®

≥

≤

∫ ´ ”s

≤

±

∫ ´ ”s ”

±

∞

∫ ∴

± Ω

≥

≤

¸ ©≤

≤”

≠ ”≥® ´ ©± ≠ ≤® ´

±

∞

¸ ≤

≤”

π≤

± Ω ©¥ ≠ ¥[μ® ´ ´ ≤

±

≤

±

Ω UNM�Ë ± Ω

≤

± > ” ≥ ∞ ” ≤

±

≤ > ” ≥ ± ≤

±

≥ ≥ ” ≥ ≤ ©”≠≥® ≤

±

Ω ©”®„ ∴

”s

≤

±

≤

±

∫ ´ ”s ” ≤

±

±

∞

∫ Ω ”s ©”®„

≤

∞

∫ Ω ©≤ ≥ ”®‰ »

©± ≠ ≤® ≤

±

´

±

∞

¸ ≤” ¥

±

Ω

¥

≥

Ω ≤

±

´ ©∞ ≠ ¥

±

® Ω

∫©qB²L�« wz«uAF�« dOG²L�« luð® n¹dFð

dOG²*« l�uð ·dF½ UM½S ¨„ WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�«Ë ›» ¨ ¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈

”s

©”®„ × ”

»

∫ Ω © ®  ∫«cJ¼ wz«uAF�«

∫WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�«Ë ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∫©¥® ‰U¦�

∞ > ” ≥ ±≠ ” ´ ±

± ≥ ” ≥ ∞ ” ≠ ± Ω ©”®„

©μ ´ ≤®  » © ®  √ ∫błËQ

”s

©≤” ≠ ”®

±

∞

∫ ´ ”s

©≤” ´ ”®

∞

±≠

∫ Ω ”s ©”® „ ”

±

±≠

∫ Ω © ®  √

±

∞

¸ ©≥

≥”

≠ ≤

≤”

® ´

∞

±≠

¸ ©≥

≥”

´ ≤

≤”

® Ω

∞ Ω ©≥

±

≠ ≤

±

® ´ ©≥

±

≠ ≤

±

® ≠ Ω

π≥

©μ®  ´ © ≤®  Ω ©μ ´ ≤®  »

μ ´ © ® ≤ Ω

μ Ω μ ´ ∞ × ≤ Ω

©≥≠∂® s¹—U9

w WMO³*« …d²H�« vKŽ ·dF� qB²� wz«uAŽ dOG²* WO�UL²Š« WU¦ Ê«d²�« ÊuJ¹ Ê√ `KB¹ WO�U²�«  U½«d²�ô« Í√ ±

∫W�UŠ q

›± ¨ ∞¤ ∋ ” ¨ ≤” Ω ©”®„ √

›¥ ¨ ∞¤ ∋ ” ¨ ¥

±

Ω ©”®„ »

ÍdO³OM�« œbF�« ?¼ ¨›?¼ ¨ ±¤ ∋ ” ¨

”

±

Ω ©”®„ ?ł

›≤ ¨ ∞¤ ∋ ” ¨¸± ≠ ”¸ Ω ©”®„ œ

∫WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�« u¼ ©”≠±® ” ?ł Ω ©”®„ ÊUË ¨›± ¨ ∞¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ≤

© ®  bł ?ł ©≤

±

≥ ” ≥ ∞®‰ bł » ?ł WLO� ?bł √

∫błËQ ¨” ≤

±

Ω ©”®„ u¼ WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�«Ë ¨›≤ ¨ ∞¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ≥

wz«uAF�« dOG²*« l�uð » ©± ≥ ”®‰ √

∫u¼ WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�« qB²� wz«uAŽ dOG²� w¼ wzUÐdN “UN' …UO(« ‰uÞ …d² X½U «–≈ ¥

 UŽU��UÐ ” ¨ ±∞∞∞∞ ≥ ” ≥ ≤∞∞∞ ¨ ≥”

Ω ©”®„

ÆWŽUÝ ≥∞∞∞ s� q�√ “UN'« «c¼ qLF¹ Ê√ ‰UL²Š« » WLO� bł √

∫u¼ wzUÐdN pKÝ dD� ‰uD� WO�UL²Šô« WU¦J�« Ê«d²�« ÊU «–≈ μ

± < ?ł ¨ rK� ?ł ¨rK�± 5Ð ÕË«d²¹ pK��« «c¼ dD� ‰uÞ ÊUË ¨” ≥

≤

Ω ©”®„

Æ?ł WLO� bł √

ørK� ±[μ s� dG�√ pK��« ◊UI½ ÈbŠ≈ bMŽ dDI�« ‰uÞ ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« U� »

ørK� ±[∏ s� d³√ pK��« ◊UI½ ÈbŠ≈ bMŽ dDI�« ‰uÞ ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« U� ?ł

π¥

(Normal Distribution) wFO³D�« l¹“u²�« ¥≠∂

l¹“u²�« rÝ« w�UL²Šô« tF¹“uð vKŽ oKD¹ Íc�« WKB²*« WOz«uAF�«  «dOG²*« r¼√ bŠ√ bM³�« «c¼ w ”—bMÝ

¨Ê«“Ë_« Ë√ ¨‰«uÞ_« ∫q¦� ¨WOFO³Þ d¼«uE� W¹—«dJ²�«  UF¹“u²�« s� ΫdO¦ dO³ bŠ v�≈ rzö¹ l¹“uð u¼Ë ªwFO³D�«

ÆWOŽUL²łô«Ë WOFO³D�« ÂuKF�« w  UOKLF�« iFÐ "«u½ p�cË ¨ÊU�½ô« w ¡Uc�«  ö�UF� Ë√

s� œbŽ Ád¹uDð w „—UýË ¨Â±∑≥≥ ÂUŽ (De-Moivre) d«u1œ w�½dH�« r�UF�« wFO³D�« l¹“u²�« nA²«

ÆtLÝUÐ ÎU½UOŠ√ l¹“u²�« vL�¹ Íc�« (Gauss) ”ËUł w½U*_« r�UF�« r¼dNý√ s� ¡ULKF�«

∫WOðü« W�UF�« …—uB�« c�²¹ wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ Íc�« qB²*« wz«uAF�« dOG²LK� WO�UL²Šô« WU¦J�« Ê«d²�« Ê≈

∞ > ” > ∞≠ ¨

≤

© σμ

≠ ”

®

≤

±

≠

?¼

σ π

≤ √±

Ω ©”®„

©l�u²�«® wÐU�(« jÝu�« μ ¨ÍdO³OM�« œbF�« ?¼ ¨WO³¹dI²�« W³�M�« π YOŠ

Æ” wz«uAF�« dOG²LK� Í—UOF*« ·«d×½ô« σ ¨wz«uAF�« dOG²LK�

ÆÊ«d²�ô« «cN� ÂUF�« w½UO³�« qO¦L²�« `{u¹ ©¥≠∂® qJA�«

©©”®„¨”®

”μ”

©¥≠∂® qJA�«

∫wFO³D�« l¹“u²�« vM×M� ’«uš

tłuÐ qB²*« wz«uAF�« dOG²LK� WO�UL²Šô« WU¦J�« Ê«d²�« ’«uš vKŽË ¨oÐU��« w½UO³�« qO¦L²�«vKŽ œUL²ŽôUÐ

∫wFO³D�« l¹“u²�« vM×M* WOðü« WLN*« hzUB)« v�≈ q�u²�« sJ1 ¨ÂUŽ

‰«uM*« Ω jOÝu�« Ω wÐU�(« jÝu�« ÊuJ¹ tOË ª μ wÐU�(« tDÝË ‰uŠ qŁUL²� vM×M*« ±

Æ”d'« qJý tKJý t³A¹ ≤

∞ Ω ©”®„

∞∓ ← ”

Ê√ Í√ ¨ UMO��« —u×� s� vM×M*« UdÞ »d²I¹ ≥

Æ…bŠ«Ë …bŠË ÍËU�ð vM×M*« X% WF�«u�« WOKJ�« WŠU�*« ¥

Æσ Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë μ wÐU�(« jÝu�« ∫©5²LKF*«® s¹d²�«—U³�« vKŽ vM×M*« bL²F¹ μ

Æ©∂≠∂® ¨©μ≠∂® 5KJA�« kŠô

”≤∞Ω

±

μ ≥∞Ω ≤

μ ¥∞Ω ≥

μ

μ wÐU�(« jÝu�« w WHK²��Ë ¨ σ Í—UOF*« ·«d×½ô« w W¹ËU�²� WOFO³Þ  UOM×M� WŁöŁ ∫©μ≠∂® qJA�«

πμ

”

μ Ω ±

σ

±∞ Ω ≤

σ

±μ Ω ≥

σ

μ∞Ω

μ

σ Í—UOF*« ·«d×½ô« w WHK²��Ë ¨ μ wÐU�(« jÝu�« w W¹ËU�²� WOFO³Þ  UOM×M� WŁöŁ ∫©∂≠∂® qJA�«

Í—UOF� ·«d×½« sL{ UNM� •∂∏ w�«uŠ ÊuJ¹ YO×Ð wFO³D�« l¹“u²�« qJý c�²ð w²�«  «œdH*« Ÿ“u²ð ∂

WŁöŁ sL{ UNM� •ππ w�«uŠË ¨5¹—UOF� 5«d×½« sL{ UNM� •πμ w�«uŠË ¨jÝu�« w³½UłvKŽ bŠ«Ë

Æ©∑≠∂® qJA�« kŠôÆW¹—UOF�  U«d×½«

”

•∂∏

σ ≠ μ σ ´ μμ

•πμ

σ

≤ ≠ μ σ

≤ ´ μμ

•ππ

σ

≥ ≠ μ σ

≥ ´ μμ

©∑≠∂® qJA�«

∫Í—UOFL�« wFO³D�« l¹“u²�«

q¹u% ÊS ¨σ Í—UOF� ·«d×½«Ë μ wÐU�Š jÝuÐ wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ” ÊU «–≈

l¹“u²�« l³²¹ Ÿ wz«uAŽ dOG²� v�≈ ” wz«uAF�« dOG²*« ‰u×¹ ¨

σμ ≠ ”

Ω Ÿ W�œUF*« oË W¹—UOF� rO� v�≈ ” rO�

Ác¼ w wFO³D�« l¹“u²�« wL�½ Æ…bŠ«Ë …bŠË ÍËU�¹ Í—UOF� ·«d×½«Ë ΫdH� ÍËU�¹ wÐU�Š jÝuÐ wFO³D�«

≤Ÿ ≤

±

≠

?¼

π

≤ √±

Ω ©Ÿ®„ ∫j�Ð_« …—uB�« ÌczbMŽ WO�UL²Šô« WU¦J�« Ê«d²�« c�²¹Ë ªÎU¹—UOF� ÎUOFO³Þ ÎUF¹“uð W�U(«

dOG²LK� 5²LO� Í√ 5Ð …—uB;«Ë Í—UOF*« wFO³D�« vM×M*« X% WF�«u�« WŠU�*« WdF� s� UMMJ9 ‰Ë«bł błuð

¨∞ Ω Ÿ 5Ð …—uB;«Ë Í—UOF*« vM×M*« X% WŠU�*« wDF¹ UL¼bŠ√ ∫‰Ë«b'« ÁcN� ÊUFzUý ÊUŽu½ „UM¼Ë ¨Ÿ

X% W??F??�«u??�« WŠU�*« lOLł wDF¹ d???šü«Ë ªŸ ????� W³łu� WLO� W???¹√Ë

Í—UOF*« wFO³D�« l¹“u²�« ‰Ëbł vL�¹Ë ¨ Ÿ —U�¹ v�≈ Í—UOF*« vM×M*«

Æ©»U²J�« W¹UN½ w o×K*« dE½√® Æ»U²J�« «c¼ w ÁbL²FMÝË ¨wL«d²�«

¨∞[∏¥±≥ w¼Ë ¨©± Ω Ÿ ® X% WŠU�*« 5³¹ ¨©∏≠∂® qJA�«

± ≥ Ÿ WLO� ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« WŠU�*« Ác¼ q¦9Ë

Ÿ

∞[∏¥±≥

± Ω Ÿ

∞ Ω Ÿ

©∏≠∂® qJA�«

π∂

∫ s� Îö błË√ Í—UOF*« wFO³D�« l¹“u²�« ‰Ëbł «b�²ÝUÐ ∫©±® ‰U¦�

©∞[μ≠ ≤ Ÿ®‰ » ©±[π≤ ≥ Ÿ®‰ √

∞[π∑≤∂ Ω©±[π≤ Ω Ÿ ® X% WŠU�*« Ω ©±[π≤ ≥ Ÿ®‰ √

©π≠∂® qJA�« kŠô ±[π≤∞

∞[π∑≤∂

Ÿ

©π≠∂® qJA�«

¨…dýU³� ‰Ëb'« s� ±[π≤ Ω Ÿ X% WŠU�*« U½błË

¨±[π Ω Ÿ n� lÞUIð bMŽ l�«u�« œbF�« v�≈ dEM�UÐ p�–Ë

∞[π∑≤∂ œbF�« u¼Ë ¨∞[∞≤ œuLF�«Ë

©∞[μ≠ Ω Ÿ ® X% WŠU�*« ≠ ± Ω ©∞[μ≠ ≤ Ÿ®‰ »

∞[∂π±μ Ω ∞[≥∞∏μ ≠ ± Ω

©±∞≠∂® qJA�« kŠô

∞[μ≠Ÿ

©±∞≠∂® qJA�«

©∞[±μ > Ÿ > ±≠®‰ błË√ ∫©≤® ‰U¦�

©∞[±μ Ω Ÿ ® ¨©±≠ Ω Ÿ ® 5Ð WŠU�*« Ω ©∞[±μ > Ÿ > ±≠®‰

©±≠ Ω Ÿ ® X% WŠU�*« ≠ ©∞[±μ Ω Ÿ ® X% WŠU�*« Ω

∞[¥∞∞π Ω ∞[±μ∏∑ ≠ ∞[μμπ∂ Ω

©±±≠∂® qJA�« kŠô

±≠ ∞[±μŸ

©±±≠∂® qJA�«

∫wK¹ U2 >q w Ÿ WLO� błË√ ∫©≥®‰U¦�

∞[∂∂≤∏ ÍËU�ð UN�u WŠU�*« » ∞[∏¥∏μ ÍËU�ð UN²% WŠU�*« √

∞[≥π ÍËU�ð Ÿ≠ ¨ Ÿ 5Ð WŠU�*« ?ł

∞[∏¥∏μ Ω Ÿ X% WŠU�*« √

Í—U??O??F??*« wFO³D�« l??¹“u??²??�« ‰Ëb????ł v???�≈ Ÿu??łd??�U??Ð

bMŽ lIð UN½√ b??$ ∞[∏¥∏μ WŠU�*« s??Ž Y׳�«Ë

±[∞≥ Ω Ÿ ∴ ∞[∞≥ œuLŽË ± Ω Ÿ n� lÞUIð

©±≤≠∂® qJA�« kŠô

Ÿ

∞[∏¥∏μ

©±≤≠∂® qJA�«

π∑

∞[∂∂≤∏ Ω Ÿ ‚u WŠU�*« »

∞[≥≥∑≤ Ω ∞[∂∂≤∏ ≠ ± Ω Ÿ X% WŠU�*« ∴

∞[¥≤≠ Ω Ÿ ‰Ë«b'« s�

©±≥≠∂® qJA�« kŠô

Ÿ

∞[∂∂≤∏

Ÿ

©±≥≠∂® qJA�«

∞[≥π Ω Ÿ≠ ¨ Ÿ 5Ð WŠU�*« ?ł

©Ÿ ® ‚u WŠU�*« ´ © Ÿ ≠® X% WŠU�*«

∞[∂± Ω ∞[≥π ≠ ± Ω

∞[≥∞μ Ω ≤

∞[∂±

Ω © Ÿ ≠® X% WŠU�*« ∴

∞[≥∞μ ´ ∞[≥π Ω © Ÿ ® X% WŠU�*« ∴

∞[∂πμ∞ Ω

∞[μ± Ω Ÿ ‰Ë«b'« s�

©±¥≠∂® qJA�« kŠô

Ÿ

∞[≥π

Ÿ ≠

©±¥≠∂® qJA�«

WŽUÝ ±≥∞∞ u¼ l½UB*« b??Š√ UN−²M¹ w²�« WOzUÐdNJ�« `OÐUB*« —ULŽ_ wÐU�(« jÝu�« ∫©¥® ‰U¦�

dO²š«Ë wFO³D�« l¹“u²�« l³²ð —ULŽ_« Ác¼ X½U «–S ÆWŽUÝ≤∞∞ Á—«bI� Í—UOF� ·«d×½UÐ

øWŽUÝ ±∏∞∞ vKŽ b¹eð …b� ÎU(U� vI³¹ Ê√ ‰UL²Š« UL ÎUOz«uAŽ `OÐUB*« bŠ√

WŽUݱ∏∞∞ vKŽ b¹eð …b� ÎU(U� ÕU³B*« vI³¹ Ê√ ‰UL²Š«

Æ©±μ≠∂® qJA�« w WKKE*« WŠU�*« Ω

σμ ≠ ”

Ω Ÿ

≤[μ Ω ≤∞∞

±≥∞∞≠±∏∞∞

Ω

±∏∞∞±≥∞∞”

≤[μ∞

©±μ≠∂® qJA�«

©≤[μ Ω Ÿ ® X% WŠU�*« ≠ ± Ω ©≤[μ Ω Ÿ ® ‚u WŠU�*«

∞[ππ≥∏ ≠ ± Ω

∞[∞∞∂≤ Ω

∞[∞∞∂≤ Ω »uKD*« ‰UL²Šô« ∴

π∏

jÝuÐ ¨wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ rNðU�öŽ l¹“uð ÊU??Ë ¨ÂU??Ž ÊUײ�ô V�UÞ ∏∞∞ ÂbIð ∫©μ® ‰U¦�

∫∏ Ω Í—UOF� ·«d×½«Ë ∑∞ Ω wÐU�Š

Æ∏∞ sŽ rNðU�öŽ qIð s¹c�« W³KD�« œbŽ błË√ √

øtO ÕU−M�« W³�½ w¼ UL ∂∞ w¼ ÊUײ�ô« w ÕU−M�« W�öŽ X½U «–≈ »

V�UD�« UNOKŽ qB×¹ W�öŽ q�√ w¼ UL ¨“U²2 d¹bIð W³KD�« s� •±∞ qC√ wDŽ√ «–≈ ?ł

øs¹“U²L*« W¾ s� ÊuJO�

∏∞ sŽ rNðU�öŽ qIð s¹c�« W³KD�« W³�½ √

©±∂≠∂® qJA�« w WKKE*« WŠU�*« w¼

±[≤μ Ω ∏

∑∞ ≠ ∏∞

Ω

σμ ≠ ”

Ω Ÿ

∏∞∑∞ ”

©±∂≠∂® qJA�«

∞[∏π¥¥ Ω ©±[≤μ Ω Ÿ® X% WŠU�*«

∞[∏π¥¥ Ω W³KD�« W³�½ ∴

ÎU³�UÞ ∑±∂ ≈ ∏∞∞ × ∞[∏π¥¥ Ω W³KD�« œbŽ ∴

∂∞ W�öF�« ‚u WŠU�*« Ω ÕU−M�« W³�½ »

©±∑≠∂® qJA�« w WKKE*« WŠU�*« w¼Ë

±[≤μ≠ Ω ∏

∑∞ ≠ ∂∞

Ω

σμ ≠ ”

Ω Ÿ ∂∞ ∑∞

©±∑≠∂® qJA�«∞[±∞μ∂ Ω ©±[≤μ≠ Ω Ÿ® X% WŠU�*«

∞[∏π¥¥ Ω ∞[±∞μ∂ ≠ ± Ω ©±[≤μ≠ Ω Ÿ® ‚u WŠU�*« ∴

• ∏π[¥¥ Ω ∞[∏π¥¥ Ω ÕU−M�« W³�½ ∴

Æ©±∏≠∂® qJA�« w WKKE*« WŠU�*« rNK¦9 s¹“U²L*« W¾ ?ł

W¹—UOF*« W�öF�«Ë ” w¼ s¹“U²L*« W¾H� v½œ_« b(« Ê√ ÷dHÐË ¨∞[±∞ Ω WKKE*« WŠU�*«

∞[π∞ Ω ∞[±∞ ≠ ± Ω Ÿ X% WŠU�*« ÊuJ¹ Ÿ w¼ UN� WKÐUI*«

±[≤∏ ≈ Ÿ WLO� ‰Ë«b'« s�

σμ ≠ ”

Ω Ÿ sJ�

∏

∑∞ ≠ ”

Ω ±[≤∏ ∴

”∑∞

• ±∞

©±∏≠∂® qJA�«

∏∞ ≈ ∏∞[≤¥ Ω ±∞[≤¥´∑∞ Ω ±[≤∏ × ∏ ´ ∑∞ Ω ”

ππ

©¥≠∂® s¹—U9

∫s� Îö błËQ ¨Í—UOF*« wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� Ÿ ÊU «–≈ ±

©±[¥≤ ≥ Ÿ®‰ » ©±[±≥ ≤ Ÿ®‰ √

©∞[∂ ≥ ¸Ÿ ¸®‰ œ ©≤[∞± ≥ Ÿ ≥ ±[≥μ≠®‰ ?ł

∫wK¹ U2 Ì q w WLO� błËQ ¨Í—UOF*« wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� Ÿ ÊU «–≈ ≤

∞[± Ω ©≤ ≥ Ÿ ≥ ®‰ ?ł ∞[∑π∂∑ Ω © ≥ Ÿ®‰ » ∞[¥≤≥∂ Ω © ≥ Ÿ ≥ ∞®‰ √

±[¥ Ω σ Í—UOF� ·«d×½«Ë ¨μ[∂ Ω μ wÐU�Š jÝuÐ wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ” ÊU «–≈ ≥

∫wK¹ U2 Îö błËQ

©¥[¥ > ”®‰ » ©∑[μ < ”®‰ √

±∞∞ Ω wÐU�(« jÝu�« Ê≈ YO×Ð wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ lL²−*« w ¡U??c??�«  ö�UF� l¹“uð ÊU?? «–≈ ¥

∫rNzU–  ö�UF� lIð s¹c�« ’U�ý_« W³�½ b− ¨±μ Ω Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë

±≤μ ¨ ∑μ 5Ð œ π∞ X% ?ł ±≤∞ ‚u » ±≥μ ‚u √

rG ∞[∞≤ ÍËU�¹ Í—UOF� ·«d×½«Ë rG ¨±[∞± ÍËU�¹ wÐU�Š jÝuÐ dJ��« s� ÎUÝUO√ Z²M¹ lMB� w ÃU²½≈ jš μ

ÆrG ±[∞≥ s� q�√ Êeð w²�« ”UO_« W³�½ błË√ √

ÆrG ±[∞≤ s� d¦√ Êeð w²�« ”UO_« W³�½ błË√ »

ÆrG ±[∞μ ¨rG± 5Ð UN½«“Ë√ ÕË«d²ð w²�« ”UO_« W³�½ błË√ ?ł

u¼ UL ∞[∞¥¥∂ Ω ©μ±[±μ > ”®‰ ÊU «–S ªμ≤ Ω μ wÐU�Š jÝuÐ wFO³Þ l¹“uð t� vz«uAŽ dOG²� ∂

ø” dOG²LK� Í—UOF*« ·«d×½ô«

s� d³√ rOI�« s� •∑±[≥∑ ÊU «–S ª≥[π u¼ wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ vz«uAŽ dOG²* Í—UOF*« ·«d×½ô« ∑

ødOG²*« rOI� wÐU�(« jÝu�« u¼ UL ≤¥π[∏

vKŽ UN½“Ë b¹e¹  «Ëœ_« s� •μ ÊUË ¨wFO³D�« l¹“u²�« l³²ð lMB� w W−²M*«  «Ëœ_« Ê«“Ë√ X½U «–≈ ∏

rž ≤μ sŽ UN½“Ë qI¹  «Ëœ_« s� •±∞ ÊUË ¨rž ∏μ

Æ «Ëœ_« Ê«“Ë_ Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë wÐU�(« jÝu�« s� Îö błËQ √

ÆULNMOÐ Ê«“Ë_« s� •∑μ lI¹ YO×Ð jÝu�« ‰uŠ 5KŁUL²*« 5½“u�« bł »

Á—«bI� wÐU�Š jÝuÐ wFO³D�« l¹“u²�« l³²¹ U� XOÐ v�≈ ‰u�uK� VOK(« Ÿ“u� t�dG²�¹ Íc�« s�e�« ÊU «–≈ π

—«b�vKŽ ÎUO�u¹ XO³�« p�– v�≈ VOK(« qIM¹ Ÿ“u*« «c¼ ÊUË ¨ÊU²IO�œ Á—«bI� Í—UOF� ·«d×½«Ë WIO�œ ±≤

∫ÎUM�“ Ÿ“u*« UNO ‚dG²�¹ w²�« ÂU¹_« œbŽ ©V¹dI²�UЮ u¼ UL ¨©ÎU�u¹ ≥∂μ® WM��«

øWIO�œ ±≥ ¨ π 5Ð dB×M¹ ?ł øozU�œ ±∞ sŽ qI¹ » øWIO�œ ±∑ vKŽ b¹e¹ √

±∞∞

W�UŽ s¹—U9

∫WO�U²�« WK¾Ý_« s� ÌqJ� W×O×B�« WÐUłù« e�— d²š« ±

∫u¼ l�uð ÊS ¨XÐUŁ ?ł ¨?ł Ω ©”®„ WO�UL²Šô« t²U¦ Ê«d²�«Ë ¨›≥ ¨±¤ Á«b� ÎöB²� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ±

p�– dOž œ ≤ ?ł ≤

±

» ± √

∫u¼ 5ð—u� —uNþ  «d� œbŽ l�uð ÊuJ¹ ¨…d�±≤ 5²LE²M� bI½ w²FD� ¡UI�≈ WÐd& w ≤

≥ œ ¥ ?ł ≤ » ∂ √

∫u¼ l�uð ÊS ¨{©”≤ ¨μ® ¨©∞[± ¨ ≥® ¨©” ¨≤®} ∫u¼ wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« ÊU «–≈ ≥

≥π

±∞

œ ±∞

≥π

?ł ≥

±∞

» ∞[≥ √

∫d¦_« vKŽ  «d� μ ÍuKF�« tłu�« vKŽ ◊UI½ ¥ —uNþ ‰UL²Š« ÊuJ¹  «d� ∂ rE²M� œd½ d−Š ¡UI�≈ bMŽ ¥

μ

©∂

±

® ≠ ± » ∂

μ

√

∂

©∂

μ

® ≠ ± œ

∂

©∂

±

® ≠ ± ?ł

ªŸUł—≈ ÊËœ Èdš_« uKð …bŠ«Ë  «d tM� X³×Ý ª¡«dLŠ  «d μ ¨¡UCOÐ  «d ≥ vKŽ ‚ËbM� Íu²×¹ μ

∫u¼ Èb� ÊS ¨¡«dLŠ …d ‰Ë√ UNO dNEð Íc�« V×��« r�— vKŽ ‰b¹ wz«uAF�« dOG²*« ÊU «–S

{¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ±} » {≥ ¨ ≤ ¨ ±} √

{¥} ?ł {μ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ±} ?ł

ÍËU�¹ Ê√ sJ1 ô WO�U²�« œ«bŽ_« bŠ√ ÊS ¨{¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ±} Á«b� ÎöBHM� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∂

∫ dOG²LK� l�u²�«

≥[μ∏ œ ≥ ?ł ±[μ » ¥ √

tłË_« vKŽ —u� ÀöŁ dNEð Ê√ ‰UL²Š« ÊuJ¹ ¨WO�U²²�  «d??� ÀöŁ WLE²M� bI½ WFD� ¡UI�≈ WÐd& w ∑

∫u¼ v�Ë_« WO�d�« w …—u�  dNþ «–≈ W¹uKF�«

¥

±

œ ∏

±

?ł ≥

≤

» ≤

±

√

∫ÍËU�¹ ©≤

®  ÊS {≤ ¨ ±} Á«b� ÎUOz«uAŽ ΫdOG²� ÊU «–≈ ∏

≤

©©≤®‰ × ≤® ´ ≤

©±®‰® × ± »

≤

©©≤®‰® × ≤ ´

≤

©©±®‰® × ± √

©≤®‰¥ ´ ©±®‰ × ± œ

≤

©©≤®‰ × ≤ ´ ©±®‰® × ± ?ł

±∞±

Íc�« qB²*« wz«uAF�« dOG²LK� WO�UL²Š« WU¦ Ê«d²�« ÊuJ¹ Ê√ sJ1 ô ÎU½«d²�« q¦1 WO�U²�« WO½UO³�« ÂuÝd�« bŠ√ π

∫›±¨∞¤ Á«b�

”

±

≤

”

±

±

”

±

©”®„

±

≤

”

±

±

≤

≥

±

≥

≤

©”®„ ©”®„ ©”®„

√»?łœ

∫ÍËU�¹ ©„ ≠ ≤ ´ μ®  ÊS ÊUOz«uAŽ Ê«dOG²� „ ¨ YOŠ ≤≠ Ω ©„®  ¨ ≥ Ω © ®  ÊU «–≈ ±∞

π œ ±≥ ?ł μ » ∏ √

ŸUł—ù« l� Èdš_« uKð …bŠ«Ë ‚ËbMB�« s�  «dJ�« X³×Ý Æ¡«dLŠ  «d ¥Ë ¨¡UCOÐ  «d ∂ vKŽ ‚ËbM� Íu²×¹ ≤

øW¦�U¦�« W³×��« w ¡«dLŠ …d ‰Ë√ dNEð Ê√ ‰UL²Š« U� √

øWFЫd�« W³×��« w WO½U¦�« …dLK� ¡«dLŠ …d dNEð Ê√ ‰UL²Š« U� »

Í√ sŽ t²ÐUł≈ bMŽ …dþUM*« wN²MðË ¨WO�U²²� WK¾Ý√ sŽ WÐUłù« „d²A*« s� VKD¹ ¨WO½u¹eHKð …dþUM� w ≥

„d²ALK� q−�¹ …dþUM*« ¡UN²½« bMŽË ÆW×O×�  UÐUł≈ WK¾Ý√ WŁöŁ sŽ t²ÐUł≈ bMŽ Ë√ ¨W¾ÞUš WÐUł≈ ‰«RÝ

¨≥

≤

ÍËU�¹ WŁö¦�« WK¾Ý_« s� Í√ sŽ 5d²A*« bŠ√ VO−¹ Ê√ ‰UL²Š« ÊU «–S ÆW×O×B�« tðUÐUł≈ œbŽ

Æ„d²A*« «cN� q−�*« œbF�« l�uð błËQ

∫u¼ wz«uAŽ dOG²* WO�UL²Šô« WU¦J�« Ê«d²�« ÊU «–≈ ¥

©≤

±

≥ ” ≥ ≥

±

®‰ V�ŠU ¨ ± ≥ ” ≥ ∞ ”≤ Ω ©”®„

 «d� ≥ WFDI�« Ác¼ XOI�√Ë ¨π

¥

ÍËU�¹ WLE²M� dOž bI½ WFD� ¡UI�≈ bMŽ …—u� —uNþ ‰UL²Š« ÊU «–≈ μ

∫WÐU²J�« —uNþ  «d� œbŽ q¦1 wz«uAF�« dOG²*« ÊUË ¨WO�U²²�

Æ© ®  V�Š« » Æ wz«uAF�« dOG²LK� w�UL²Šô« l¹“u²�« V²« √

∫u¼ wz«uAF�« dOG²LK� WO�UL²Šô« WU¦J�« Ê«d²�« ÊU «–≈ ∂

∫błËQ ¨Vłu� `O×� œbŽ Ê YOŠ ¨ ± ≥ ” ≥ ∞ ¨ Ê

”≥ Ω ©”®„

∞[μ Ω © ≥ ”®‰ YO×Ð WLO� ?ł l�uð » Ê WLO� √

ÍËU�¹ Í—UOF� ·«d×½«Ë ¨μ∞ ÍËU�¹ wÐU�Š jÝuÐ wFO³D�« l¹“u²�« U� h× w »öD�«  U�öŽ l³²ð ∑

X½UË VOðd²�« vKŽ ¨ ?¼ ¨ œ ¨ ?ł ¨ »¨  U¾ fLš sL{ ÎUO�“UMð »öD�«  U�öŽ XHM� «–S ª±∞

Æ U¾H�« Ác¼ s� W¾ q ÍbŠ 5F ªw�«u²�« vKŽ •±∞ ¨•≤∞ ¨ •¥∞ ¨ •≤∞ ¨ •±∞ ∫w¼ UN³�½

±∞≤

∞[∞π ∞[∞∏ ∞[∞∑ ∞[∞∂ ∞[∞μ ∞[∞¥ ∞[∞≥ ∞[∞≤ ∞[∞± ∞[∞∞Ÿ

∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ≥[∑≠

∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞± ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ≥[∂≠

∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≤ ≥[μ≠

∞[∞∞∞≤ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞≥ ≥[¥≠

∞[∞∞∞≥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞¥ ∞[∞∞∞μ ∞[∞∞∞μ ∞[∞∞∞μ ≥[≥≠

∞[∞∞∞μ ∞[∞∞∞μ ∞[∞∞∞μ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∂ ∞[∞∞∞∑ ∞[∞∞∞∑ ≥[≤≠

∞[∞∞∞∑ ∞[∞∞∞∑ ∞[∞∞∞∏ ∞[∞∞∞∏ ∞[∞∞∞∏ ∞[∞∞∞∏ ∞[∞∞∞π ∞[∞∞∞π ∞[∞∞∞π ∞[∞∞±∞ ≥[±≠

∞[∞∞±∞ ∞[∞∞±∞ ∞[∞∞±± ∞[∞∞±± ∞[∞∞±± ∞[∞∞±≤ ∞[∞∞±≤ ∞[∞∞±≥ ∞[∞∞±≥ ∞[∞∞±≥ ≥[∞≠

∞[∞∞±¥ ∞[∞∞±¥ ∞[∞∞±μ ∞[∞∞±μ ∞[∞∞±∂ ∞[∞∞±∂ ∞[∞∞±∑ ∞[∞∞±∏ ∞[∞∞±∏ ∞[∞∞±π ≤[π≠

∞[∞∞±π ∞[∞∞≤∞ ∞[∞∞≤± ∞[∞∞≤± ∞[∞∞≤≤ ∞[∞∞≤≥ ∞[∞∞≤≥ ∞[∞∞≤¥ ∞[∞∞≤μ ∞[∞∞≤∂ ≤[∏≠

∞[∞∞≤∂ ∞[∞∞≤∑ ∞[∞∞≤∏ ∞[∞∞≤π ∞[∞∞≥∞ ∞[∞∞≥± ∞[∞∞≥≤ ∞[∞∞≥≥ ∞[∞∞≥¥ ∞[∞∞≥μ ≤[∑≠

∞[∞∞≥∂ ∞[∞∞≥∑ ∞[∞∞≥∏ ∞[∞∞≥π ∞[∞∞¥∞ ∞[∞∞¥± ∞[∞∞¥≥ ∞[∞∞¥¥ ∞[∞∞¥μ ∞[∞∞¥∑ ≤[∂≠

∞[∞∞¥∏ ∞[∞∞¥π ∞[∞∞μ± ∞[∞∞μ≤ ∞[∞∞μ¥ ∞[∞∞μμ ∞[∞∞μ∑ ∞[∞∞μπ ∞[∞∞∂∞ ∞[∞∞∂≤ ≤[μ≠

∞[∞∞∂¥ ∞[∞∞∂∂ ∞[∞∞∂∏ ∞[∞∞∂π ∞[∞∞∑± ∞[∞∞∑≥ ∞[∞∞∑μ ∞[∞∞∑∏ ∞[∞∞∏∞ ∞[∞∞∏≤ ≤[¥≠

∞[∞∞∏¥ ∞[∞∞∏∑ ∞[∞∞∏π ∞[∞∞π± ∞[∞∞π¥ ∞[∞∞π∂ ∞[∞∞ππ ∞[∞±∞≤ ∞[∞±∞¥ ∞[∞±∞∑ ≤[≥≠

∞[∞±±∞ ∞[∞±±≥ ∞[∞±±∂ ∞[∞±±π ∞[∞±≤≤ ∞[∞±≤μ ∞[∞±≤π ∞[∞±≥≤ ∞[∞±≥∂ ∞[∞±≥π ≤[≤≠

∞[∞±¥≥ ∞[∞±¥∂ ∞[∞±μ∞ ∞[∞±μ¥ ∞[∞±μ∏ ∞[∞±∂≤ ∞[∞±∂∂ ∞[∞±∑∞ ∞[∞±∑¥ ∞[∞±∑π ≤[±≠

∞[∞±∏≥ ∞[∞±∏∏ ∞[∞±π≤ ∞[∞±π∑ ∞[∞≤∞≤ ∞[∞≤∞∑ ∞[∞≤±≤ ∞[∞≤±∑ ∞[∞≤≤≤ ∞[∞≤≤∏ ≤[∞≠

∞[∞≤≥≥ ∞[∞≤≥π ∞[∞≤¥¥ ∞[∞≤μ∞ ∞[∞≤μ∂ ∞[∞≤∂≤ ∞[∞≤∂∏ ∞[∞≤∑¥ ∞[∞≤∏± ∞[∞≤∏∑ ±[π≠

∞[∞≤π¥ ∞[∞≥∞± ∞[∞≥∞∑ ∞[∞≥±¥ ∞[∞≥≤≤ ∞[∞≥≤π ∞[∞≥≥∂ ∞[∞≥¥¥ ∞[∞≥μ± ∞[∞≥μπ ±[∏≠

∞[∞≥∂∑ ∞[∞≥∑μ ∞[∞≥∏¥ ∞[∞≥π≤ ∞[∞¥∞± ∞[∞¥∞π ∞[∞¥±∏ ∞[∞¥≤∑ ∞[∞¥≥∂ ∞[∞¥¥∂ ±[∑≠

∞[∞¥μμ ∞[∞¥∂μ ∞[∞¥∑μ ∞[∞¥∏μ ∞[∞¥πμ ∞[∞μ∞μ ∞[∞μ±∂ ∞[∞μ≤∂ ∞[∞μ≥∑ ∞[∞μ¥∏ ±[∂≠

∞[∞μμπ ∞[∞μ∑± ∞[∞μ∏≤ ∞[∞μπ¥ ∞[∞∂∞∂ ∞[∞∂±∏ ∞[∞∂≥∞ ∞[∞∂¥≥ ∞[∞∂μμ ∞[∞∂∂∏ ±[μ≠

∞[∞∂∏± ∞[∞∂π¥ ∞[∞∑∞∏ ∞[∞∑≤± ∞[∞∑≥μ ∞[∞∑¥π ∞[∞∑∂¥ ∞[∞∑∑∏ ∞[∞∑π≥ ∞[∞∏∞∏ ±[¥≠

∞[∞∏≤≥ ∞[∞∏≥∏ ∞[∞∏μ≥ ∞[∞∏∂π ∞[∞∏∏μ ∞[∞π∞± ∞[∞π±∏ ∞[∞π≥¥ ∞[∞πμ± ∞[∞π∂∏ ±[≥≠

∞[∞π∏μ ∞[±∞∞≥ ∞[±∞≤∞ ∞[±∞≥∏ ∞[±∞μ∂ ∞[±∞∑μ ∞[±∞π≥ ∞[±±±≤ ∞[±±≥± ∞[±±μ± ±[≤≠

∞[±±∑∞ ∞[±±π∞ ∞[±≤±∞ ∞[±≤≥∞ ∞[±≤μ± ∞[±≤∑± ∞[±≤π≤ ∞[±≥±¥ ∞[±≥≥μ ∞[±≥μ∑ ±[±≠

∞[±≥∑π ∞[±¥∞± ∞[±¥≤≥ ∞[±¥¥∂ ∞[±¥∂π ∞[±¥π≤ ∞[±μ±μ ∞[±μ≥π ∞[±μ∂≤ ∞[±μ∏∑ ±[∞≠

∞[±∂±± ∞[±∂≥μ ∞[±∂∂∞ ∞[±∂∏μ ∞[±∑±± ∞[±∑≥∂ ∞[±∑∂≤ ∞[±∑∏∏ ∞[±∏±¥ ∞[±∏¥± ∞[π≠

∞[±∏∂∑ ∞[±∏π¥ ∞[±π≤≤ ∞[±π¥π ∞[±π∑∑ ∞[≤∞∞μ ∞[≤∞≥≥ ∞[≤∞∂± ∞[≤∞π∞ ∞[≤±±π ∞[∏≠

∞[≤±¥∏ ∞[≤±∑∑ ∞[≤≤∞∂ ∞[≤≤≥∂ ∞[≤≤∂∂ ∞[≤≤π∂ ∞[≤≥≤∑ ∞[≤≥μ∏ ∞[≤≥∏π ∞[≤¥≤∞ ∞[∑≠

∞[≤¥μ± ∞[≤¥∏≥ ∞[≤μ±¥ ∞[≤μ¥∂ ∞[≤μ∑∏ ∞[≤∂±± ∞[≤∂¥≥ ∞[≤∂∑∂ ∞[≤∑∞π ∞[≤∑¥≥ ∞[∂≠

∞[≤∑∑∂ ∞[≤∏±∞ ∞[≤∏¥≥ ∞[≤∏∑∑ ∞[≤π±≤ ∞[≤π¥∂ ∞[≤π∏± ∞[≥∞±μ ∞[≥∞μ∞ ∞[≥∞∏μ ∞[μ≠

∞[≥±≤± ∞[≥±μ∂ ∞[≥±π≤ ∞[≥≤≤∏ ∞[≥≤∂¥ ∞[≥≥∞∞ ∞[≥≥≥∂ ∞[≥≥∑≤ ∞[≥¥∞π ∞[≥¥¥∂ ∞[¥≠

∞[≥¥∏≥ ∞[≥μ≤∞ ∞[≥μμ∑ ∞[≥μπ¥ ∞[≥∂≥≤ ∞[≥∂∂π ∞[≥∑∞∑ ∞[≥∑¥μ ∞[≥∑∏≥ ∞[≥∏≤± ∞[≥≠

∞[≥∏μπ ∞[≥∏π∑ ∞[≥π≥∂ ∞[≥π∑¥ ∞[¥∞±≥ ∞[¥∞μ≤ ∞[¥∞π∞ ∞[¥±≤π ∞[¥±∂∏ ∞[¥≤∞∑ ∞[≤≠

∞[¥≤¥∑ ∞[¥≤∏∂ ∞[¥≥≤μ ∞[¥≥∂¥ ∞[¥¥∞¥ ∞[¥¥¥≥ ∞[¥¥∏≥ ∞[¥μ≤≤ ∞[¥μ∂≤ ∞[¥∂∞≤ ∞[±≠

∞[¥∂¥± ∞[¥∂∏± ∞[¥∑≤± ∞[¥∑∂± ∞[¥∏∞± ∞[¥∏¥∞ ∞[¥∏∏∞ ∞[¥π≤∞ ∞[¥π∂∞ ∞[μ∞∞∞ ∞[∞

wL «d²�« Í—UOF*« wFO³D�« l¹“u²�« ‰Ëbł ∫o×K�

Ÿ

±∞≥

wL «d²�« Í—UOF*« wFO³D�« l¹“u²�« ‰Ëbł lÐUð

∞[∞π ∞[∞∏ ∞[∞∑ ∞[∞∂ ∞[∞μ ∞[∞¥ ∞[∞≥ ∞[∞≤ ∞[∞± ∞[∞∞Ÿ

∞[μ≥μπ ∞[μ≥±π ∞[μ≤∑π ∞[μ≤≥π ∞[μ±ππ ∞[μ±∂∞ ∞[μ±≤∞ ∞[μ∞∏∞ ∞[μ∞¥∞ ∞[μ∞∞∞ ∞[∞

∞[μ∑μ≥ ∞[μ∑±¥ ∞[μ∂∑μ ∞[μ∂≥∂ ∞[μμπ∂ ∞[μμμ∑ ∞[μμ±∑ ∞[μ¥∑∏ ∞[μ¥≥∏ ∞[μ≥π∏ ∞[±

∞[∂±¥± ∞[∂±∞≥ ∞[∂∞∂¥ ∞[∂∞≤∂ ∞[μπ∏∑ ∞[μπ¥∏ ∞[μπ±∞ ∞[μ∏∑± ∞[μ∏≥≤ ∞[μ∑π≥ ∞[≤

∞[∂μ±∑ ∞[∂¥∏∞ ∞[∂¥¥≥ ∞[∂¥∞∂ ∞[∂≥∂∏ ∞[∂≥≥± ∞[∂≤π≥ ∞[∂≤μμ ∞[∂≤±∑ ∞[∂±∑π ∞[≥

∞[∂∏∑π ∞[∂∏¥¥ ∞[∂∏∞∏ ∞[∂∑∑≤ ∞[∂∑≥∂ ∞[∂∑∞∞ ∞[∂∂∂¥ ∞[∂∂≤∏ ∞[∂μπ± ∞[∂μμ¥ ∞[¥

∞[∑≤≤¥ ∞[∑±π∞ ∞[∑±μ∑ ∞[∑±≤≥ ∞[∑∞∏∏ ∞[∑∞μ¥ ∞[∑∞±π ∞[∂π∏μ ∞[∂πμ∞ ∞[∂π±μ ∞[μ

∞[∑μ¥π ∞[∑μ±∑ ∞[∑¥∏∂ ∞[∑¥μ¥ ∞[∑¥≤≤ ∞[∑≥∏π ∞[∑≥μ∑ ∞[∑≥≤¥ ∞[∑≤π± ∞[∑≤μ∑ ∞[∂

∞[∑∏μ≤ ∞[∑∏≤≥ ∞[∑∑π¥ ∞[∑∑∂¥ ∞[∑∑≥¥ ∞[∑∑∞¥ ∞[∑∂∑≥ ∞[∑∂¥≤ ∞[∑∂±± ∞[∑μ∏∞ ∞[∑

∞[∏±≥≥ ∞[∏±∞∂ ∞[∏∞∑∏ ∞[∏∞μ± ∞[∏∞≤≥ ∞[∑ππμ ∞[∑π∂∑ ∞[∑π≥π ∞[∑π±∞ ∞[∑∏∏± ∞[∏

∞[∏≥∏π ∞[∏≥∂μ ∞[∏≥¥∞ ∞[∏≥±μ ∞[∏≤∏π ∞[∏≤∂¥ ∞[∏≤≥∏ ∞[∏≤±≤ ∞[∏±∏∂ ∞[∏±μπ ∞[π

∞[∏∂≤± ∞[∏μππ ∞[∏μ∑∑ ∞[∏μμ¥ ∞[∏μ≥± ∞[∏μ∞∏ ∞[∏¥∏μ ∞[∏¥∂± ∞[∏¥≥∏ ∞[∏¥±≥ ±[∞

∞[∏∏≥∞ ∞[∏∏±∞ ∞[∏∑π∞ ∞[∏∑∑∞ ∞[∏∑¥π ∞[∏∑≤π ∞[∏∑∞∏ ∞[∏∂∏∂ ∞[∏∂∂μ ∞[∏∂¥≥ ±[±

∞[π∞±μ ∞[∏ππ∑ ∞[∏π∏∞ ∞[∏π∂≤ ∞[∏π¥¥ ∞[∏π≤μ ∞[∏π∞∑ ∞[∏∏∏∏ ∞[∏∏∂π ∞[∏∏¥π ±[≤

∞[π±∑∑ ∞[π±∂≤ ∞[π±¥∑ ∞[π±≥± ∞[π±±μ ∞[π∞ππ ∞[π∞∏≤ ∞[π∞∂∂ ∞[π∞¥π ∞[π∞≥≤ ±[≥

∞[π≥±π ∞[π≥∞∂ ∞[π≤π≤ ∞[π≤∑π ∞[π≤∂μ ∞[π≤μ± ∞[π≤≥∂ ∞[π≤≤≤ ∞[π≤∞∑ ∞[π±π≤ ±[¥

∞[π¥¥± ∞[π¥≤π ∞[π¥±∏ ∞[π¥∞∂ ∞[π≥π¥ ∞[π≥∏≤ ∞[π≥∑∞ ∞[π≥μ∑ ∞[π≥¥μ ∞[π≥≥≤ ±[μ

∞[πμ¥μ ∞[πμ≥μ ∞[πμ≤μ ∞[πμ±μ ∞[πμ∞μ ∞[π¥πμ ∞[π¥∏¥ ∞[π¥∑¥ ∞[π¥∂≥ ∞[π¥μ≤ ±[∂

∞[π∂≥≥ ∞[π∂≤μ ∞[π∂±∂ ∞[π∂∞∏ ∞[πμππ ∞[πμπ± ∞[πμ∏≤ ∞[πμ∑≥ ∞[πμ∂¥ ∞[πμμ¥ ±[∑

∞[π∑∞∂ ∞[π∂ππ ∞[π∂π≥ ∞[π∂∏∂ ∞[π∂∑∏ ∞[π∂∑± ∞[π∂∂¥ ∞[π∂μ∂ ∞[π∂¥π ∞[π∂¥± ±[∏

∞[π∑∂∑ ∞[π∑∂± ∞[π∑μ∂ ∞[π∑μ∞ ∞[π∑¥¥ ∞[π∑≥∏ ∞[π∑≥≤ ∞[π∑≤∂ ∞[π∑±π ∞[π∑±≥ ±[π

∞[π∏±∑ ∞[π∏±≤ ∞[π∏∞∏ ∞[π∏∞≥ ∞[π∑π∏ ∞[π∑π≥ ∞[π∑∏∏ ∞[π∑∏≥ ∞[π∑∑∏ ∞[π∑∑≤ ≤[∞

∞[π∏μ∑ ∞[π∏μ¥ ∞[π∏μ∞ ∞[π∏¥∂ ∞[π∏¥≤ ∞[π∏≥∏ ∞[π∏≥¥ ∞[π∏≥∞ ∞[π∏≤∂ ∞[π∏≤± ≤[±

∞[π∏π∞ ∞[π∏∏∑ ∞[π∏∏¥ ∞[π∏∏± ∞[π∏∑∏ ∞[π∏∑μ ∞[π∏∑± ∞[π∏∂∏ ∞[π∏∂¥ ∞[π∏∂± ≤[≤

∞[ππ±∂ ∞[ππ±≥ ∞[ππ±± ∞[ππ∞π ∞[ππ∞∂ ∞[ππ∞¥ ∞[ππ∞± ∞[π∏π∏ ∞[π∏π∂ ∞[π∏π≥ ≤[≥

∞[ππ≥∂ ∞[ππ≥¥ ∞[ππ≥≤ ∞[ππ≥± ∞[ππ≤π ∞[ππ≤∑ ∞[ππ≤μ ∞[ππ≤≤ ∞[ππ≤∞ ∞[ππ±∏ ≤[¥

∞[ππμ≤ ∞[ππμ± ∞[ππ¥π ∞[ππ¥∏ ∞[ππ¥∂ ∞[ππ¥μ ∞[ππ¥≥ ∞[ππ¥± ∞[ππ¥∞ ∞[ππ≥∏ ≤[μ

∞[ππ∂¥ ∞[ππ∂≥ ∞[ππ∂≤ ∞[ππ∂± ∞[ππ∂∞ ∞[ππμπ ∞[ππμ∑ ∞[ππμ∂ ∞[ππμμ ∞[ππμ≥ ≤[∂

∞[ππ∑¥ ∞[ππ∑≥ ∞[ππ∑≤ ∞[ππ∑± ∞[ππ∑∞ ∞[ππ∂π ∞[ππ∂∏ ∞[ππ∂∑ ∞[ππ∂∂ ∞[ππ∂μ ≤[∑

∞[ππ∏± ∞[ππ∏∞ ∞[ππ∑π ∞[ππ∑π ∞[ππ∑∏ ∞[ππ∑∑ ∞[ππ∑∑ ∞[ππ∑∂ ∞[ππ∑μ ∞[ππ∑¥ ≤[∏

∞[ππ∏∂ ∞[ππ∏∂ ∞[ππ∏μ ∞[ππ∏μ ∞[ππ∏¥ ∞[ππ∏¥ ∞[ππ∏≥ ∞[ππ∏≤ ∞[ππ∏≤ ∞[ππ∏± ≤[π

∞[πππ∞ ∞[πππ∞ ∞[ππ∏π ∞[ππ∏π ∞[ππ∏π ∞[ππ∏∏ ∞[ππ∏∏ ∞[ππ∏∑ ∞[ππ∏∑ ∞[ππ∏∑ ≥[∞

∞[πππ≥ ∞[πππ≥ ∞[πππ≤ ∞[πππ≤ ∞[πππ≤ ∞[πππ≤ ∞[πππ± ∞[πππ± ∞[πππ± ∞[πππ∞ ≥[±

∞[πππμ ∞[πππμ ∞[πππμ ∞[πππ¥ ∞[πππ¥ ∞[πππ¥ ∞[πππ¥ ∞[πππ¥ ∞[πππ≥ ∞[πππ≥ ≥[≤

∞[πππ∑ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππ∂ ∞[πππμ ∞[πππμ ∞[πππμ ≥[≥

∞[πππ∏ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ∞[πππ∑ ≥[¥

∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ≥[μ

∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[πππ∏ ∞[πππ∏ ≥[∂

∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ∞[ππππ ≥[∑

Ÿ

±∞¥

»U²J�« —«d�≈ w� sO�—UAL�« ¡ULÝ√

1- Thomas Calculus, 10th Edition‚ Addison Wisely, 2000

2- Calculus with Analytic Geometry‚ Edwards & Penny‚ 4th Edition‚ Prentice hall 1994

3- Calculus, Howard Anton, 6th Edition‚ John Wiley, 1999

4- Calculus, One & Several Variables, S.L.Salas, Einar hille, 4th Edition‚ 1982,

5- Probability Kubais Fahady, J. Shamoon

6- Intoduction to Probability Theory & Statistical Inference‚ Harold J. Larson, 3th Edition

7- Basic Statistics for Business & Economics‚ Lind, Marchal, & Williams, 4th Edition

8- Complete Business Statistics, Amir D. Aczel & Jayavel Sounderpandian 5th Edition, 2002

9- Understandable Statistics, C.H. Brase & C.P. Brase, 7th Edition, 2003

lł«dL�«

bOý— ‰ULł ≠

`�U� .dJ�« b³Ž ≠

wHO� dÝUł ≠

oO�u𠉜UŽ ≠

Ê«bLŠ vM� ≠

rÝU� nODK�« b³Ž œULŽ ≠

Ê«b¹“ q�U� ÷U¹— ≠

—u½ tK�« b³Ž bL×� ≠

œu¹“ b¹d� sLŠd�« b³Ž ≠

b�«Ë bLŠ√ ≠

…dOLŽ uÐ√ ”UM¹≈ ≠

V�Už ÊU½bŽ ≠

hOM� o×Ý« vHDB� ≠

‘dÞ_« UMO� s¹d�½ ≠

WMÝU�Š bOL(« b³Ž tM¹œ— ≠

t²Ð«uŁ s�Š tMOLÝU¹ ≠

ÊuÐe�« rFM*« b³Ž UDŽ ≠

WIÞUIÞ œuL×� bL×� ≠

…d�ULŠ s�Š »u¹√ ≠

ŸËbŽœ »uIF¹ bL×� ≠

d³ł VO¼Ë ≠

r�UÝ rOJ(« b³Ž ≠

—bÐ WKONÝ ≠

WK−Š uÐ√ tK�« dB½ ≠

d�UŽ W¹ËUF� ≠

d�U½ uÐ√ rÝUÐ ≠

`�U� wLE½ bL×� ≠

W�öÝ k�U(« b³Ž ≠

5ÝU¹ WMOJÝ ≠

 «—UAÐ wLN� ≠

dLŽ√ W¹œU� ≠

Ê«bLŠ wKŽ bL×� ≠

tŽ—«u� ‰œUŽ ≠

s�O×� qOKš ≠

Õö� ÂöŠ√ ≠

uMŠ vÝu� nÝu¹ ÂU²š ≠

rK¹uÝ ÊULOKÝ ÊUL¦Ž r�UÝ ≠

—u½ 5�√ dLŽ rOŠd�« b³Ž ≠

t½U³ý rOŠd�« b³Ž fO� ≠

ÁœË«uŽ bLŠ√ ≠

dJÝ ÂU²š ≠

ÊU�u� q�√ ≠

 U�dŽ ¡«b½ ≠

Õö*« ÂU�²Ð« ≠

UýUÐ uÐ√ vM³� ≠

tO³Ž uÐ√ b¹d� rO¼«dÐ≈ ≠

n�«Ë bL×� ≠

w�KÐUM�« —ULŽ ≠

‰UŠ— d¼UÞ ≠