Agustín Rela Conexiones entre la física, la matemática y otras ciencias.
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Transcript
Agustín Rela
Conexiones entre la física, la matemática y otras ciencias.
Progresiones geométricas
en artes y ciencias
Ejemplo 1 (Gracias a Beatriz Martinelli)
Progresión aritmética:
Progresión geométrica:
1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
1, 10, 100, 1000, 10.000, ...
Casos de progresiones
Aritmética
Geométrica
Reglas Pim
La regla aritmética, la más común de las escalas lineales
1 10 11 12 13 14 1580 2 3 4 5 6 7 9
20181614121086420
20181614121086420
Escalas lineales o aritméticas, usadas en algunos instrumentos de medición
Amperímetro de corriente continua, de bobina móvil. Su escala es lineal o
aritmética.
Limbos circulares con escalas lineales
La progresión geométrica aparece frecuentemente en la naturaleza y la
sociedad.
Los préstamos a interés constante generan deudas que crecen geométricamente.
Más grande el capital, más intereses crea.
El nautilo
Radiografía de un nautilo
Los septos de un nautilo crecen geométricamente con el tiempo: cuanto
más grande es el molusco, con tanta mayor velocidad aumenta de tamaño.
Uno de los septos
En una escala lineal o aritmética, el crecimiento de los septos del nautilo se representa por una curva.
Se puede distorsionar la escala para que la representación esté dada, en cambio, por una recta.
La representación en perspectiva cónica, central o fotográfica ofrece
al ojo una experiencia mecánica similar a la que brindaría la
realidad.
La Anunciación, de Guido di Pietro Da Mugello (Fra Angelico, 1400 –1455).
Su representación en perspectiva utiliza la progresión geométrica.
Visión de una esquina a través de
un vidrio plano
transparente
VidrioObservador
Vidrio
El ojo barre 90 grados cuando pasa de un punto de fuga al otro. Eso ocurre sólo desde
cierta distancia del dibujo.
BC
A
D
Calcado de una fila regular de objetos iguales sobre un vidrio (en azul en la figura).
Elijamos O de modo que el dibujo del objeto más cercano duplique en tamaño el del mas lejano.
O
Vidrio
El dibujo del poste más cercano tiene un tamaño doble del que corresponde al más alejado. (En verde, las diagonales de una supuesta fila de baldosas cuadradas, a 45
grados de la fila de postes.)
Trece tubos de la misma medida que los dibujos anteriores suenan como la escala musical
dodecafónica del Clave bien temperado, de J. S. Bach.
En rojo, la nota do.
Tubos
Tapones optativos
Dividen por dos la
frecuencia
El antiguo siku, antara o zampoña andina, es conocido universalmente
Siku de tubos ajustables para afinar el tono. Los de cañas tapadas abajo se pueden afinar con arena.
Longitudes de las cañas en progresión alineal.
Sikus, y más sikus.
Por su estructura de cavidades resonantes, el oído percibe con
sensaciones parecidas dos sonidos cuyas frecuencias sean
una el doble de la otra.
La forma de la cóclea, o caracol,se parece a la del nautilo
Oído externo e interno.
Pronunciemos la palabra fatídica...
La que produce temor, alarma y espanto...
¡Logaritmo!
¡Aghhh...!
El logaritmo, en algunos casos, es sólo la cantidad de ceros:
log(1.000.000) = 6
log(100) = 2
log(10) = 1
log(1) = 0
log(0,1) = –1
log(0,001) = –3
Escala doble logarítmica, de una década por una década.
Otra escala doble logarítmica, de 4 décadas por 5 .
Escala semilogarítmica, compuesta por un eje aritmético y otro geométrico (o uno lineal y el
otro logarítmico).
Animal g ml O2 / (h.g)
Musaraña 4,8 7,40Ratón de campo 9.0 2,50Ratón canguro 5,2 1,80Ratón 25 1,65Ardilla terrestre 96 1,03Rata 290 0,87Gato 2500 0,68Perro 11.700 0,33Cordero 42.700 0,22Humano 70.000 0,21Caballo 650.000 0,11Elefante 3.800.000 0,07Ballena azul 20.000.000 0,03
Metabolismo de mamíferos
Representación lineal o aritméticaMasa (g)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Tasa metabólica, ml O2 / (h.g)
107
8106
4106
6106
0
2106
Representación logarítmica, o geométrica
ml O2 / (h.g)
Masa (g)
1
10
100
1000
10.000
0,01
1
3100.000
1.000.000
10.000.000
0,1 1 10Tasa metabólica
En síntesis, la progresión geométrica se presenta
en las artes, las ciencias,la economía y la naturaleza, y
eso facilita el estudio.
¿Hay representaciones verdaderas y falsas?
¿Son algunas más útiles que otras?
Perspectiva engañosa. La parte de arriba parece un pórtico rectangular: la de abajo, tres columnas redondas.
Sólo dos de estos cuerpos son iguales. Para fines industriales y prácticos la proyección ortogonal,
o rectangular, es más útil que la perspectiva.
Vistas ortogonales de cualquierade los cuerpos 2 ó 4.
La vista en corte de la derecha, en proyección rectangular, es poco fotográfica, pero real.
Otra perspectiva falsa. Objeto imposible, diseñado por Mauritis Cornelis Escher
(1898 –1972).
Figura geométrica fiel, pero engañosa.
Las líneas son rectas.
Parecen espirales, pero son círculos.
Este lugar, visto desde un satélite.
Más detalle.
El Compumap, menos fiel, pero más útil.
Dibujos en tiza en la calle, por Julian Beever
La ilusión que genera la perspectiva es formidable. Pero sólo hay un punto desde el que se la puede apreciar.
Aproximación
Ejemplo 2
0 °C 100 °C
20 °C
311
iiii
TTTT
0 °C 100 °C
20 °C
0
100T (°C)
311
iiii
TTTT
39,0 11
iiii
TTTT
0
T (°C)100
Alinealidad
Ejemplo 3
1kg
400 / 1 = 400
800 / 4 = 200
1600 / 16 = 100
Palanca
Ejemplo 4
La gran utilidad que tiene la matemática para la física es una muestra de qué poco es lo que sabemos del mundo.
Bertrand Rusell
a a b b
2 a + 2 b
a + ba + b a + b
b a
Peso a
Peso b
Longitud b
Longitud a
bbaa xFxF
221.Ago.200722:50H
Fin