Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia Matemàtiques per a Multimèdia I - PAC 2 EXERCICIS CORRESPONENTS AL MÒDUL 2 1) Donada la següent imatge: Troba el grup de simetria de la figura. Per fer-ho crea la taula de composició d'isometries i digues quines isometries del pla deixen la figura invariant. (2 punts) º id r s s s t s O 120º G O 240º G id id r s s s t s O 120º G O 240º G r s r s id O 240º G O 120º G t s s s s s s s O 120º G id O 240º G r s t s t s t s O 240º G O 120º G id s s r s O 120º G O 120º G s s t s r s O 240º G id O 240º G O 240º G t s r s s s id O 120º G Tal i com es pot observar en la taula, les isometries que deixen la figura invariant són les simetries r s , s s , t s i els girs O 120º G i O 240º G , aixi com la pròpia identitat.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia
Matemàtiques per a Multimèdia I - PAC 2
EXERCICIS CORRESPONENTS AL MÒDUL 2
1) Donada la següent imatge:
Troba el grup de simetria de la figura. Per fer-ho crea la taula de composició d'isometries i digues quines
isometries del pla deixen la figura invariant. (2 punts)
º
!
id
!
rs
!
ss
!
ts
!
O
120º
G
!
O
240º
G
!
id
!
id
!
rs
!
ss
!
ts
!
O
120º
G
!
O
240º
G
!
rs
!
rs
!
id
!
O
240º
G
!
O
120º
G
!
ts
!
ss
!
ss
!
ss
!
O
120º
G
!
id
!
O
240º
G
!
rs
!
ts
!
ts
!
ts
!
O
240º
G
!
O
120º
G
!
id
!
ss
!
rs
!
O
120º
G
!
O
120º
G
!
ss
!
ts
!
rs
!
O
240º
G
!
id
!
O
240º
G
!
O
240º
G
!
ts
!
rs
!
ss
!
id
!
O
120º
G
Tal i com es pot observar en la taula, les isometries que deixen la figura invariant són les simetries
!
rs ,
!
ss ,
!
ts i els girs
!
O
120º
G i
!
O
240º
G , aixi com la pròpia identitat.
Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia
Matemàtiques per a Multimèdia I - PAC 2
2) Amb el programa Flash construeix la vista frontal d’un quadre pictòric:
a) El quadre pictòric ha de tenir forma de rectangle auri. Troba’n l’àrea. (0,5 punts)
b) El quadre ha d'estar contingut en un marc d'àrea compresa entre el 20% i el 50% de l'àrea del quadre.
Calcula l’àrea d’aquest marc. El disseny interior del marc és lliure. (0,5 punts)
c) La paret on està penjat el marc conté dues sanefes horitzontals equidistants de l’eix central del quadre. El
patró d’ambdues sanefes és idèntic, no té cap tipus de simetria i està format per un triangle isòsceles i un
triangle equilàter.
i) La sanefa superior al quadre ha d’estar formada a partir d’un patró que compleixi translació i simetria
respecte l’eix central de la sanefa superior. (1 punt)
ii) La sanefa inferior al quadre ha d’estar formada a partir d’un patró que compleixi translació i gir
respecte l’eix central de la sanefa inferior. (1 punt)
Busca per al quadre una imatge que formi un mosaic tipus Escher o tipus Penrose. Indica la referència d’on has
obtingut la imatge.
Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia
Matemàtiques per a Multimèdia I - PAC 2
EXERCICIS CORRESPONENTS AL MÒDUL 5
3) Donat el conjunt de vectors: )1,1,2(−=u , )1,3,1(=v , )3,1,1(=w :
a) Troba el vector unitari de )1,1,2(−=u . (0,5 punts)
Un vector unitari és un vector de norma 1 (longitud o mòdul) que ens pot resultar interessant perquè ens
indicarà la direcció que presenta el vector amb què treballem. Per trobar el vector unitari hem de realitzar el
següent procediment:
1. trobem la norma del vector )1,1,2(−=u
2. dividim el vector )1,1,2(−=u entre la seva norma
!
|| u ||.
|| !u ||= !2( )2 +12 +12 = 6 = 2'44
!u1 =1|| !u ||!u" !u1 =
12'44
!2,1,1( ) = !22'44
, 12'44
, 12'44
#
$%
&
'(= !0'82, 0 '41, 0 '41( )
Així doncs, el vector
!
! u 1
= "0'82,0'41,0'41( ) és el vector unitari del vector )1,1,2(−=u .
b) Calcula la següent operació: wvu +− . (0,5 punts)
!
! u = "2,1,1( ),
! v = 1,3,1( ),
! w = 1,1,3( )
! a =
"2
1
1
#
$
% % %
&
'
( ( ( "
1
3
1
#
$
% % %
&
'
( ( (
+
1
1
3
#
$
% % %
&
'
( ( (
=
"3
"2
0
#
$
% % %
&
'
( ( (
+
1
1
3
#
$
% % %
&
'
( ( (
=
"2
"1
3
#
$
% % %
&
'
( ( (
El vector resultant d'aquesta operació serà el vector
!
! a = "2,"1,3( )
c) Troba l’angle que formen )1,1,2(−=u i )1,3,1(=v . (0,5 punts)
Per trobar l'angle que formen dos vectors cal aplicar una norma trigonomètrica. El cosinus de l'angle és igual al
quocient resultant de dividir el producte escalar dels dos vectors entre el producte de les seves normes:
!
cos" =
! u #! v
||! u || # ||
! v ||
.
Per tant caldrà que aïllem
!
" passant el cosinus de manera inversa a l'altre costat de la igualtat. D'aquesta
manera, podem afirmar que
!
" = arcos
! u #! v
||! u || # ||
! v ||
Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia
Matemàtiques per a Multimèdia I - PAC 2
!
||! u ||= "2( )
2+12 +12 = 6t
||! v ||= 1
2 + 32 +12 = 11! u #! v = "2,1,1( ) # 1,3,1,( ) = "2 + 3+1= 2
cos$ =
! u #! v
||! u || # ||
! v ||
=2
6 # 11=
2
66
$ = arcos2
66= 75'7% 75'7º
&
180º=1'32rad
Així doncs, l'angle format pels vectors )1,1,2(−=u i )1,3,1(=v és de
!
75'7º=1'32rad
d) Calcula el producte vectorial wv × i demostra que el vector resultant és perpendicular al pla que