MateriStatistik_jadi

BAHAN AJAR

STATISTIK & TEORI KESALAHAN

(TKD1108)

OLEH

SOETAAT

T. GEODESI F.T. UGM

2011

DAFTAR ISI

I. PENGANTAR 1. Pengukuran dibidang Survei dan Pemetaan. 2. Pengukuran langsung dan tidak langsung. 3. Sumber-sumer kesalahan. 4. Definisi kesalahan. 5. Presisi dan akurasi. 6. Pengukuran lebih.

II. PENGUKURAN DAN ANALISISNYA. 1. Sampel dan populasi. 2. Range dan median. 3. Penyajian data secara grafis. 4. Diskripsi data. 5. Definisi. 6. Contoh.

III. TEORI KESALAHAN RANDOM.1. Pengantar.2. Distribusi normal dan normal standar.3. Probabilitas standard error dan deviasi.4. Probable error.5. Pemakaian percent of error.

IV. TEORI AN DISTRIBUSI SAMPLING.1. DistribusiChi-Kuadrat.2. Interval konfidensi varian populasi.3. Distribusi t.4. Interval konfidensi rerata.5. Distribusi F.6. Interval konfidensi rasio varian.

V. TES HIPOTESIS. 1. Tes hipotesis. 2. Tes hipotesis untuk rerata. 3. Tes hipotesis untuk varian sampel dan populasi. 4. Tes hipotesis untuk 2 varian sampel.

VI. PERAMBATAN KESALAHAN.1. Fungsi antara besaran ukuran dan hitungan.2. Rumus dasar perambatan kesalahan.3. Penerapan.

I. PENGANTAR.

I.1. PENGUKURAN DI BIDANG SURVEI & PEMETAAN DAN KEGUNAANNYA.

Kita sekarang hidup di era informasi digital. Hampir semua pengukuran di bidang survei pemetaan menggunakan alat digital yang menghasilkan data digital, misalnya pengukuran dengan alat ukur Total Station (untuk mengukur sudut dan jarak), kamera digital, GPS (alat pengukur koordinat), dan lain-lain. Kemudian hasil ukuran tersebut diproses, dan hasil prosesnya, yang umumnya berupa peta digital digunakan oleh perangkat GIS (Geographic Infomation System), untuk manajemen dan perencanaan (management, planning and design) suatu proyek.

Tentu saja, data hasil pengukuran harus sudah dipastikan kualitasnya. Sebab : the fact that no measurement are exact; that is, they always contain errors. Oleh karena dari fakta, hasil pengukuran selalu mempunyai kesalahan, maka data yang disebut baik bukanlah data yang bebas dari kesalahan, tetapi data yang kesalahannya memenuhi toleransi.

Untuk memastikan kualitas (baik buruknya) data hasil ukuran, perlu dilakukan :

Analisis statistik data hasil ukuran, yaitu untuk mengetahui besar (magnitude) kesalahan, distribusinya dan memastikan apakah kesalahan tersebut masuk toleransi atau tidak.

Kemudian dilakukan adjustment (perataan) terhadap kesalahan data ukuran tersebut (bagian adjustment ini masuk pada materi I. Hitung Perataan).

I.2. PENGUKURAN LANGSUNG & TIDAK LANGSUNG

Pengukuran adalah pekerjaan untuk menentukan besar suatu parameter, parameter tersebut bisa berupa jarak, sudut dan sebagainya.

Disebut pengukuran langsung bila pengukuran dilakukan langsung terhadap parameter, misalnya parameternya berupa jarak dan jarak tersebut yang langsung diukur.

Pengukuran tidak langsung, dilakukan bila parameternya tidak bisa

langsung diukur. Misalnya kita ingin mengetahui luas suatu bidang tanah, sedangkan yang bisa diukur panjang sisi bidang tanah tersebut. Kemudian luas bidang tanah dihitung dari hasil pengukuran panjang sisinya. Pengukuran luas bidang tanah dengan mengukur panjang sisinya disebut pengukuran tidak langsung.

Pada pengukuran langsung, kesalahan pengukuran langsung didapat dari hitungan hasil pengukuran. Sedangkan pada pengukuran tidak langsung terjadi perambatan kesalahan dari yang diukur, misalnya dari kesalahan pengukuran jarak merambat ke kesalahan pengukuran luas.

I.3. SUMBER-SUMBER KESALAHAN.

Pengukuran mempunyai kondisi alamiah sebagai berikut:

i. Tidak ada pengukuran yang pasti, artinya bila pengukuran diulang hasilnya umumnya berbeda.

ii. Setiap pengukuran mempunyai kesalahan.iii. Nilai yang betul (true value) tidak pernah didapat.iv. Besar kesalahan tidak diketahui.

Alat pengukur jarak ada yang graduasinya (pembacaan terkecil) cm, ada yang mm. Maka bila jarak diukur dengan alat yang graduasinya cm, maka kesalahan atau kemampuan bacaan juga cm, demikian juga untuk alat yang graduasinya mm.

Ketelitian hasil pengukuran (besar kesalahan) tidak hanya tergantung kepada alat yang digunakan, seperti contoh diatas, tetapi tergantung juga kepada faktor yang lain. Misalnya ketrampilan si pengukur (surveyor), kondisi medan. Pengukuran pada daerah hutan rawa berbeda tingkat kesulitannya dengan area perkotaan, sehingga hasil ketelitian pengukurannya juga berbeda.

Secara definisi, kesalahan (e) adalah beda atau selisih antara hasil pengukuran (y) dengan nilai yang betul (u).

e = y – u (1.1)

Jadi ada 3 sumber kesalahan, yaitu:

i. Bersumber dari alat, tergantung dari ketelitian alat. Contohnya graduasi alat.

ii. Bersumber dari keadaan alam sekitar pengukuran. Contohnya hutan, rawa, perkotaan, hujan, panas dan sebagainya.

iii. Bersumber dari personal si pengukur (surveyor). Misalnya terdidik/terlatih dan tidak terdidik.

I.4. DEFINISI KESALAHAN.

Kesalahan bisa dikategorikan menjadi 3 :

i. Mistake atau blunder atau kesalahan besar, umumnya terjadi karena ketidak cermatan (sembrono atau carelessness) dari surveyor. Misalnya salah pencatatan. Sekarang umumnya pencatatan hasil ukuran sudah otomatis digital, sehingga mistake jarang terjadi.

ii. Kesalahan sistimatik, kesalahan yang umumnya besumber dari alat. Kesalahan ini makin kecil bila alat yang digunakan makin baik (graduasinya makin kecil), yang dengan sendirinya makin mahal harga alatnya. Cara yang umum diakukan untuk menghilangkan kesalahan sistimatik adalah dengan kalibrasi dan melakukan pengukuran sesuai dengan SOP (Standard Operational Procedure).

iii. Kesalahan random. Merupakan kesalahan yang tersisa (umumnya kecil) sesudah kesalahan besar dan kesalahan sistimatik dihilangkan.

I.5. PRESISI DAN AKURASI.

Pengukuran yang diulang ber kali-kali dan perbedaan satu dengan yang lainnya kecil disebut pengukuran yang PRESISI. Apakah pengukuran yang PRESISI juga AKURAT ?

Berikut disampaikan definisi presisi dan akurasi:

i. Presisi adalah derajad konsistensi (keajegan) dari set pengukuran.ii. Akurasi adalah besar kedekatan (penyimpangan) dari hasil ukuran

terhadap TRUE VALUE (nilai yang betul).

Untuk menjelaskannya berkut ini diberikan contoh hasil “TEMBAKAN” penembak pada target yang berupa lingkaran-lingkaran satu pusat.

a. Hasil yang sekaligus presisi dan akurat.b. Hasil yang akurat tapi tidak presisi.c. Hasil yang presisi tapi tidak akurat.d. Hasil yang tidak akurat dan tidak presisi.

Yang kita inginkan adalah pengukuran yang presisi dan akurat (a).

I.6. PENGUKURAN LEBIH (REDUDANSI).

Yang dimaksud dengan pengukuran lebih adalah pengukuran yang dilakukan melebihi jumlah pengukuran minimal yang diperlukan. Misalnya jarak antara dua titik, dengan mengukur jarak satu kali sudah didapatkan jaraknya. Sehingga jumlah pengukuran minimum satu. Bila dilakukan pengkuran 5 kali, maka terjadi pengukuran lebih sebanyak (5-1) = 4.

Pengukuran lebih dilakukan dengan maksud:

i. Untuk bisa menghitung kesalahan pengukuran, dan memastikan apakah pengukuran tersebut diterima atau ditolak.

ii. Untuk bisa melakukan ADJUSTMENT atau HITUNG PERATAAN (dipelajari pada kuliah Hitung Perataan).

CONTOH SOAL.

1. Jelaskan tahapan memastikan kualitas hasil ukuran.2. Berikan contoh 3 buah pengukuran tidak langsung.3. Jelaskan perbedaan kesalahan sistimatik dan random.4. Jelaskan perbedaan presisi dan akurasi dan berikan contohnya.5. Apa saja kesalahan sistimatik pada pengukuran jarak dengan alat pita

ukur (meteran).6. Jelaskan tujuan dilakukan pengukuran lebih.

II. PENGUKURAN DAN ANALISISNYA.

II.1. SAMPEL DAN POPULASI.

Karena keterbatasan waktu dan beaya umumnya hanya pengukuran yang jumlahnya terbatas yang dilakukan (disebut sampel), dari tak terhingga jumlah keseluruhan pengukuran yang bisa dilakukakan (disebut populasi).

Sebagai contoh, untuk mengetahui tingkat kepopuleran warna mobil, maka ditanyakan kepada sejumlah konsumen warna apa yang disenangi. Konsumen dipilih dari misalnya pada 10 kota besar di Indonesia, dengan memilih 25 kosumen tiap kota. Konsumen yang terpilih di 10 kota tersebut disebut sampel, yang mewakili seluruh konsumen di Indonesia (disebut populasi).

Definisi:

i. Populasi adalah semua pengukuran yang memungkinkan bisa dilakukan, umumnya jumlahnya tidak terhingga.

ii. Sample adalah bagian dari populasi (subset) yang terpilih untuk diukur (disurvei).

II.2. RANGE DAN MEDIAN.

Untuk memudahkan pemahaman, berikut ini disampaikan data pengukuran jarak sebanyak 50x (disebut set data) sebagai berikut:

Tabel II.1

22.7 m 25.4m 24.0m 20.5m 22.5m22.3 24.2 24.8 23.5 22.925.5 24.7 23.2 22.0 23.823.8 24.4 23.7 24.1 22.622.9 23.4 25.9 23.1 21.822.2 23.3 24.6 24.1 23.221.9 24.3 23.8 23.1 25.226.1 21.2 23.0 25.9 22.822.6 25.3 25.0 22.8 23.621.7m 23.9m 22.3m 25.3m 20.1m

Range : adalah beda nilai terbesar dan terkecil.

Dari data diatas (tabel II.1) didapatkan nilai terendah 20.1m dan yang terbesar 26.1m, sehingga range adalah 26.1- 20.1 = 6.0m.

Nilai tengah (mid point) disebut median, yaitu nilai pada urutan ditengah setelah data diurutkan.

II.3. PENYAJIAN DATA SECARA GRAFIS.

Data seringkali disajikan secara grafis yang disebut HISTOGRAM. Untuk bisa disajikan dalam bentuk histogram, data perlu diurutkan dari yang paling kecil ke yang paling besar (ascending order), atau sebaliknya (descending order).

Berikut ini disampaikan hasil ascending order data tabel II.1.

Tabel II.2. Data yang sudah diurutkan. (Secara acending order)

20.1m 20.5m 21.2m 21.7m 21.8m 21.9 22.0 22.2 22.3 22.3 22.5 22.6 22.6 22.7 22.8 22.8 22.9 22.9 23.0 23.1 23.1 23.2 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 23.8 23.8 23.9 24.0 24.1 24.1 24.2 24.3 24.4 24.6 24.7 24.8 25.0 25.2 25.3 25.3 25.4m 25.5m 25.9m 25.9m 26.1m

Terlihat setelah data sebanyak 50 diurutkan dari kecil ke besar (ascending), data yang ditengah yaitu no urut 25 dan 26, yang nilainya 23.4 dan 23.5. Oleh karena itu MEDIAN DATA DIATAS ADALAH (23.4+23.5)/2 = 23.45.

Kemudian data yang sudah diurutkan dibagi dalam klas-klas. Banyaknya klas tergantung dari jumlah data. Secara umum, jumlah klas diantara 5 sampai dengan 20 klas. Untuk data sebanyak 30, ada 5 klas dan untuk data yang jumlahnya lebih dari 100 bisa dibagi dalam 20 klas. Pada contoh ada 50 data sehingga akan dibagi menjadi 7 klas.

Sehingga LEBAR KLAS= RANGE/JUMLAH KLAS = 6.0/7 = 0.86.

Tabel II.3. (Frekuensi)

Klas Frekuensi Klas Frekuensi Relatif Klas

20.10 - 20.96 2 2/50 = 0.04 20.96 - 21.82 3 3/50 = 0.06 21.82 - 22.67 8 8/50 = 0.16 22.67 - 23.53 13 13/50= 0.26 23.53 - 24.38 11 11/50= 0.22 24.38 - 25.24 6 6/50 = 0.12 25.24 - 26.1 7 7/50 =0.14 -------- ------------ 50 50/50= 1

Kemudian tabel frekuensi II.3 diatas digambarkan dalam bentuk HISTOGRAM FREKUENSI sebagaiberikut:

Gambar II.1. Histogram Frekuensi.

Dari histogram diatas beberapa item yang bisa diamati adalah:

i. Apakah data SIMETRIS terhadap nilai tengah atau median.ii. Range atau dispersion data.iii. Frekuensi dari masing-masing klas nilai.iv. Bentuk histogram, tajam atau tumpul. Tajam menunjukan

presisi yang tinggi.

Berikut ini disampaikan bermacam bentuk (shapes) histogram yang umum ditemui.

(a) (b) (c)

(d) (e)

Gambar II.2 Bentuk Histogram.

Gambar (a) dan (b) semuanya bentuk SIMETRIS, tapi (b) lebih tajam dari (a). Atau (b) lebih presisi dari (a). Bentuk simetris seringkali ditemui pada data di surveying, contohnya pada DISTRIBUSI NORMAL.

Gambar (c) mempunai 2 puncak, disebut histogram BIMODIAL.

Gambar (d) mempunyai 1 puncak tetapi punya EKOR yang memanjang kekiri, maka disebut histogram yang SKEWED TO THE LEFT. Sedangkan gambar (e) disebut histogram yang SKEWED TO THE RIGHT.

Jarak yang diukur dengan alat yang teliti, misalnya alat ukur jarak elektronik (EDM=Electronic Distance Measurement), umumnya menghasilkan data yang mempunyai histogram tajam seperti gambar (b).

II.4. DISKRIPSI DATA

Yang dimaksud dengan diskripsi data adalah ukuran CENTRAL TENDENCY, yang meliputi:

1. Rerata Aritmetik adalah nilai rerata (MEAN) dari data ukuran.

y = (II.1)

n = jumlah data pada sampel.

y : simbol untuk rerata sampel.

u : simbol untuk rerata populasi.

2. Median, yaitu nilai titik tengah.

3.Mode, nilai yang paling tinggi frekuensinya. Pada contoh di tabel II.2. modenya adalah 23.8m.

II.5. DEFINISI.

Berikut ini disampaikan definisi-definisi yang diperlukan untuk menganalisis data pengukuran.

i. Nilai yang benar (true value), u, merupakan rerata populasi.ii. Error, , merupakan selisih hasil ukuran dengan nilai yang benar.

(II.2)

iii. Most probable value, y ,merupakan nilai yang mempunyai probabilitas paling tinggi dari data ukuran (sampel). Umumnya berupa rerata (aritmetik mean) dari sampel.

iv. Residual, v, merupakan selisih hasil ukuran dengan nilai rerata.

v = (II.3)

v. Degree of freedom atau redundasi, merupakan kelebihan pengukuran.

vi. Varian Populasi, , adalah mean square error:

(II.4)

Varian Sampel, S ,adalah mean square residual:

(II.5)

vii. Standard error, , merupakan akar dari Varian Populasi.

Standard deviation, , merupakan akar dari Varian Sampel.

viii. Standard deviation of the mean, ,

II.6. CONTOH HITUNGAN.

Kembali ke contoh data di tabel II.2. hitunglah:

1. Nilai rerata. ( Jawab: 23.5m).

2. Median adalah nilai tengah, yaitu diantara data ke25 dan ke26 setelah data diurutkan, diperoleh 23.45m.

3. Mode, nilai yang tertinggi frekuensinya, yaitu 23.8m yang terjadi 3x.4. Range, class width dan histogram, sudah diterangkan diatas.

5. Standard Deviaton, diperoleh = +_ 1.37m

CONTOH SOAL.

1. Jarak diukur 10x, sebagai berikut:

256.828, 256.832, 256.831, 256.833, 256.825256.833, 256.830, 256.827, 256.830, 256.831

Tentukan:

.range data,

.rerata sampel

.median,

.mode.

2. Pada soal diatas, hitung : residu masing-masing ukuran, varian sampel, standar deviasi, standar deviasi rerata.

3. A dan B mengukur sudut msing-masing 15x, yang hasilnya:

A : 1080 26’ 19” B: 1080 26’ 25” 20 24 30 17 18 23 14 24 11 28 16 21 23 23 22 19 22 19 27 21 18 23 23 22 20 27 1080 26’ 20” 1080 26’ 24”

Tentukan : rerata dan varian A dan B, buatlah histogram dari masing-masing data A dan B dengan lebar klas 3”, dari histogram tentukan mana yang lebih baik ( A atau B).

III. TEORI KESALAHAN RANDOM.

III.1. PENGANTAR.

Adjusment atau Perataan akan menghitung data pengukuran yang tinggal mempunyai kesalahan random (acak).

Pada pengukuran di Geodesi, terjadinya compound event hampir selalu terjadi pada pengukuran. Hal inilah yang menyebakan kesalahan random berdistribusi normal.

III.2. DISTRIBUSI NORMAL DAN DISTRIBUSI NORMAL STANDARD.

Persamaan Distribusi Normal:

(III.1)

x = error, dan = standard error. = true value.

Dalam praktek pengukuran karena yang dilakukan SAMPEL (BUKAN POPULASI), maka persamaan Distribusi Normal menjadi:

(III.2)

v = residual, dan S = standard deviation. = most probable value, dalam hal ini RERATA (MEAN).

Persamaan Distribusi Normal bisa diubah menjadi persamaan DISTRIBUSI NORMAL STANDRAD yang mempunyai:

RERATA = 0, dan STANDARD DEVIATION = 1

Persamaan Distribusi Normal Standard:

f(t) = (1 / 2 ) exp ( - z2 /2 ) (III.3)

dengan : z = ( x – y ) / s (III.4)

III.3. PROBABILITAS DARI STANDARD ERROR atau STANDRAD DEVIATION.

Seringkali diinginkankan untuk menghitung probabilitas suatu kesalahan (standard error atau standard deviation) yang akan terjadi. Misalnya berapa % kemungkinan akan terjadinya kesalahan sebesar s, dengan s besarnya standard deviation.

Untuk meghitungnya diperlukan TABEL DISTRIBUSI NORMAL STADARD, yang menampilkan LUAS distribusi normal standard dari MINUS TAK TERHINGGA sampai dengan PLUS TAK TERHINGGA. Tabel DISTRIBUSI NORMAL STANDARD terlampir di TABEL 1.

Contoh:

Jarak dari A ke B diukur, hasilnya adalah:

Nilai rerata = y = 400.002m, Standard Deviation = S = 0.004m.

Berapa besar kemungkinan terjadinya hasil pengukuran jarak yang besarnya diantara:

400.002m + 0.004m dan 400.002m – 0.004m

Jawab: Dari persamaan (III.4) z = ( x – y ) / s

x adalah batas rentang kanan, dan rentang kiri.

Diperoleh:

Untuk batas rentang kanan (400.002+0.004)

z = (400.002 + 0.004 – 400.002) / 0.004 = 1

Untuk batas rentang kiri (400.002-0.004)

z = (400.002 – 0.004 – 400.002) / 0.004 = -1

Kemudian dari TABEL DISTRIBUSI NORMAL STANDARD, diperoleh:

Luas dari minus tak terhingga sampai dengan batas kiri -1 adalah 0.15866 dan luas dari minus tak terhingga sampai dengan batas kanan +1 adalah 0.84134, sehingga luas dari -1 sampai dengan +1 sebesar pada NORMAL STANDARD adalah: 0.84134 – 0.15866 = 0.68268.

Oleh karena itu KEMUNGKINAN TERJADINYA HASIL PENGUKURAN JARAK SEBESAR RERATA PLUS MINUS SATU STANDARD DEVIATION adalah 0.68268 atau 68.268%

ATAU : kemungkinan terjadinya pengukuran yang besarnya diantara (400.002-0.004)m dan (400.002+0.004)m adalah 68.268%.

III.4. PROBABLE ERROR .

Sering kali ditanyakan berbalikan dengan yang sudah diterangkan sebelumnya, yaitu BERAPA BATAS (kiri dan kanan) SEHINGGA 50% PENGUKURAN AKAN TERJADI DIANTARA RENTANG TERSEBUT, yang disimbolkan dengan E50.

Secara grafis bisa pertanyaan diatas bisa digambarkan sebagai berikut:

Sehingga:

Luas dari minus tak terhingga sampai dengan batas kiri adalah 0.25 dan luas dari minus tak terhigga sampai dengan batas kanan adalah 0.75.

INGAT : LUAS KESELURUHAN DARI MINUS TAK TERHINGGA SAMPAI DENGAN PLUS TAK TEHINGGA ADALAH 1.

Dengan integral bisa ditulis:

Kemudian dicari pada tabel distribusi normal, untuk luas sebesar 0.25 berapa batas kirinya. Didapatkan batas kiri = -0.6745. Demikian pula untuk luas sebesar 0.75 didapatkan batas kanan +0.6745.

Sehingga: 50% PROBABLE ERROR =+- 0.6745 s.

Atau E50 = 0.6745

Contoh:

Rerata Pengukuran Jarak = 400.002m Standard Deviation (s) = 0.004m

Maka: Kemungkinan terjadinya pengukuran sebesar 400.002m +_ (0.6745x0.004m) adalah 50%.

CONTOH SOAL.

Jarak diukur 32x :

156.92m 156.94 156.93 156.91 156.90 156.92 156.93 156.94m .93 .93 .94 .94 .93 .92 .93 .93 .94 .93 .93 .92 .93 .93 .95 .93156.92m 156.92 156.93 156.94 156.93 156.92 156.93 156.94m . Hitung rerata dan standar deviasinya,. Buatlah relatif frekuensi, pada 5 klas,. Hitung interval pada E50 dan E90 ,. Adakah data yang ditolak pada 95%,. Gambarkan distribusi normalnya.

III.5. PEMAKAIAN PERCENT ERRORS.

Standard Error atau Standard Deviation dan prosentasi kemungkinan TERJADInya (% probable errors), dipakai untuk kriteria penerimaan hasil pengukuran. UMUMNYA YANG DIPAKAI ADALAH 90% ATAU 95%.

Berikut ini disampaikan table Probable Errors.

Table III.1. Probable Errors.

Simbol Multiplier % Probable Errors

E50 0.6745s 50

E90 1.645s 90

E95 1.96s 95

E99 2.576s 99

E99.7 2.96s 99.7

E99.9 3.29s 99.9

Contoh Soal:

Jarak diukur 15x : 212.22, 212.25, 212.23, 212.15, 2 12.23, 212.11, 212.29, 212.34, 212.22, 212.24, 212.19, 212.25, 212.27, 212.20, 212.25

Hitung: Rerata (mean), s (standard deviation), E50 dan E95

Adakah pengukuran yang melebihi 99.7% probability level?

Jawab: Rerata (mean) = 212.22

Standard Deviation (S) = +_ 0.055 E50 = 0.6745 S = +_0.04

E95 = 1.96 S = +_ 0.11

E99.7 = 2.968 S = +_0.16

Pada 99.7% batas konfiden (kepercayaan), maka nilai yang diluar batas 212.22 +_0.16 , atau lebih kecil dari 212.38 dan lebih besar dari 212.06 direject (dibuang). Dari data pengukuran PADA CONTOH DIATAS didapatkan tidak ada data yang direject pada kriteria 99.7% batas kepercayaan, karena tidak ada data yang melebihi 212.38 dan kurang dari 212.06.

IV. TEORI & DISTRIBUSI SAMPLING.

Disampaikan contoh data populasi terdiri dari 100 pengukuran.

Tabel IV.1. Populasi dengan 100 data.

18.2 26.4 20.1 29.9 29.8 26.6 26.2 25.7 25.2 26.326.7 30.6 22.6 22.3 30.0 26.5 28.1 25.6 20.3 35.522.9 30.7 32.2 22.2 29.2 26.1 26.8 25.3 24.3 24.429.0 25.0 29.9 25.2 20.8 29.0 21.9 25.4 27.3 23.438.2 22.6 28.0 24.0 19.4 27.0 32.0 27.3 15.3 26.531.5 28.0 22.4 23.4 21.2 27.7 27.1 27.0 25.2 24.024.5 23.8 28.2 26.8 27.7 39.8 19.8 29.3 28.5 24.722.0 18.4 26.4 24.2 29.9 21.8 36.0 21.3 28.8 22.828.5 30.9 19.1 28.1 30.3 26.5 26.9 26.6 28.2 24.225.5 30.2 18.9 28.9 27.6 19.6 27.9 24.9 21.3 26.7

Data diatas mempunyai: rerata = 26.1 varian= 17.5

Kemudian dilakukan pengambilan sampel dari data diatas secara acak (random), dengan jumlah sampel mulai dari 10 kemudian 20 dan seterusnya sampai 100.

Hasilnya sebagai berikut:

Tabel IV.2. Penambahan jumlah sampel.

Jumlah sampel Rerata Varian (S2)

10 26.9 28.1 20 25.9 21.9 30 25.9 20.0 40 26.5 18.6 50 26.6 20.0 60 26.4 17.6 70 26.3 17.1 80 26.3 18.4 90 26.3 17.8 100 26.1 17.5

Apa yang bisa diamati dari Tabel IV.2. diatas ?

TERLIHAT: MAKIN BESAR JUMLAH SAMPEL, MAKA VARIANNYA AKAN MAKIN MENDEKATI VARIAN POPULASI. AKAN TETAPI HAL TERSEBUT TIDAK SELALU TERJADI PADA RERATA.

Karena rerata dan variannya dihitung dari data sampel yang diambil secara random, MAKA RERATA DAN VARIAN JUGA VARIABEL RANDOM.

Tugas:

Supaya masing-masing mahasiswa melakukan pengambilan data secara acak (random) dan menghitungnya, sehingga menghasilkan hasil mirip tabel IV.2.

Berikut ini akan diberikan contoh hasil pengambilan sampel (10 data) secara random, yang diulang 4x.

Tabel IV.3. Pengambilan 10 data secara random.

Set 1: 29.9, 18.2, 30.7, 24.4, 36.0, 25.6, 26.5, 29.9, 19.6, 27.9Hasil set 1 : rerata = 26.9, varian = 28.1


Set 3: 32.2, 22.2, 23.4, 27.9 27.0, 28.9, 22.6, 27.7, 30.6, 26.9Hasil set 2 : rerata = 26.9, varian = 10.9


Terlihat dari tabel IV.3, RERATA DAN VARIAN BERBEDA DARI SATU SET SAMPEL KE SAMPEL YANG LAIN.

TERLIHAT PULA RERATA SET 1 DAN 2 SEBESAR 26.9 PALING DEKAT DENGAN RERATA POPULASI (26.1).

AKAN TETAPI VARIAN TERKECIL (2.9), ADA PADA SET KE 2 YANG MEMPUNYAI RERATA JAUH DARI RERATA POPULASI.

SEHINGGA : VARIAN YANG KECIL BELUM TENTU MEMBERIKAN NILAI RERATA YANG PALING MENDEKATI RERATA POPULASI.

YANG KITA inginkan ADALAH NILAI RERATA SAMPEL YANG MENDEKATI RERATA POPULASI (DISEBUT AKURAT), DAN NILAI VARIAN SAMPEL YANG KECIL (DISEBUT PRESISI).

IV.1. Distribusi CHI-KUADRAD.

Distribusi Chi-Kuadrad dengan simbol 2 , MENUNJUKAN HUBUNGAN ANTARA VARIAN POPULASI DENGAN VARIAN SAMPEL BERDASARKAN JUMLAH REDUDANSI (UKURAN LEBIH/degree of freedom) SAMPEL.

v. s2

2 = ------ (IV.1) 2

v = redudansi (degree of reedom).

Berikut ini disampaikan gambar Distribusi Chi-Kuadrad.

Gambar IV.1. Distribusi Chi-Kudrad.

TABEL 2., MENUNJUKAN TABULASI DARI DISTRIBUSI CHI-KUADRAD, BERDASAR DEGREE OF FREEDOM.

IV.2. INTERVAL KONFIDENSI VARIAN POPULASI.

Dari persamaan IV.1, 2 = v s2 / 2 , pada interval konfidensi dan degree of freedom tertentu ditabulasikan pada TABEL 2. Distribusi Chi-kuadrad digunakan untuk menentukan RENTANG (RANGE) TEMPAT VARIAN POPULASI DIHARAPAN TERJADI, berdasarkan:

i. Prosentasi kemungkinan,ii. Nilai varian sampel,iii. Jumlah redundansi (degree of freedom).

Dengan persamaan:

v s2 v s2 ----- < 2 < ----- (IV.2) 2

a/2 21-a/2

Contoh:

Seorang surveyor melakukan pengukuran sudut 20x, dengan hasil standard deviasinya +_ 1.8” . Berapakah rentang VARIAN POPULASI AKAN TERJADI PADA 95% INTERVAL KONFIDENSI ?.

Jawab: Pada contoh diatas (1 – a) = 0.95, sehingga a = 0.05, dan a/2 = 0.025

i. Cari di tabel 2, pada degree of freedom 20 – 1 = 19, yaitu pada kolom pertama v nilai 19 dan pada kolom 0.975. Diperoleh nilai 8.907.

ii. Dengan cara yang sama, pada v = 19 dan kolom 0.025, diperoleh 32.85.

Kemudian dengan persamaan IV.2., diperoleh,

(20 – 1 ) 1.82 (20 – 1) 1.82

---------------- < 2 < --------------32.85 8.907

Atau 1.87 < 2 < 6.91

Sehingga pada INTERVAL KONFIDENSI 95% VARIAN POPULASI AKAN TERJADI DIANTARA ( range ) 1.87 DAN 6 .91.

IV.3. DISTRIBUSI t (Student).

Distribusi t digunakan untuk MEMBANDINGKAN RERATA POPULASI DENGAN RERATA SAMPEL, berdasarkan JUMLAH REDUNDANSI (degree of reedom) PADA SAMPEL.

Jadi persis seperti distribusi NORMAL (bab III), akan tetapi distribusi NORMAL untuk POPULASI, sedangkan distribusi t (student) digunakan untuk SAMPEL. Besar sampel umumnya kurang dari 30, sehingga distribusi t SANGAT BERGUNA UNTUK DATA SURVEYING. Karena data surveying umumnya kurang dari 30.

Bila z variabel pada distribusi normal standard (lihat bab III), 2 adalah variabel pada distribusi chi-kuadrad dengan jumlah ukuran lebih v atau degree of freedom, maka:

z t = ----------- (IV.3) ( 2/v )

NILAI t DITABULASIKAN PADA TABEL 3.

Contoh :

Nilai t pada a = 0.01, dan d.o.f. (degree of freedom) = v = 10, diperoleh nilai t = 2.764.

IV.4. INTERVAL KONFIDENSI RERATA (MEAN).

Pada bab III telah dibahas rentang (range) untuk RERATA (MEAN) DARI POPULASI. Sedangkan untuk RERATA SAMPEL (jumlah ukuran kurang dari 30) RENTANGNYA DITENTUKAN DENGAN DISTRIBUSI t.

Dengan rumus :

s s y – ta/2 --- < u < y + ta/2 ---- (IV.4) y = rerata sampel, s = stadard deviasi, a = 1 – interval konfidensi, n = jumlah sampel, ta/2 = nilai t pada a/2 dan d.o.f. sebesar ukuran lebih.

Contoh:

Dari hasil pengukuran sebanyak 16x, diperoleh rerata = 25.4 dan standard deviasi = +- 1.3.

Tentukan INTERVAL KONFIDEN rerata PADA 95%, dihitung dengan DISTRIBUSI t dan DISTRIBUSI NORMAL STANDARD.

Jawab:

Pada soal diatas a = 1- 95% = 0.05, dan a/2 = 0.025.

Tahap 1. : d.o.f. = v = 16 – 1 = 15Tahap 2. : lihat pada tabel 3, kolom 0.025Tahap 3. : pada v=15 dan kolom 0.025, diperoleh nilai t = 2.131Tahap 4. :

Menggunakan rumus IV.4 diproleh:

y – 2.131 (1.3/4) = 25.4 – 0.693 = 24.7 y + 2.131 (1.3/4) = 25.4 + 0.693 = 26.1

Dengan menggunakan tabel t, diperoleh rentang rerata diantara 24.7 dan 26.1.

Bila menggunakan tabel distribusi normal pada E95 = 1.960, maka rentangnya menjadi :

25.4 +_ 1.960 x (1.3/4) , atau diantara 24.8 dan 26.0.

JADI ADA PERBEDAAN ANTARA RENTANG DENGAN menganggap sebagai RERATA SAMPEL (MEMAKAI t) dan menganggap sebagai RERATA POPULASI (MEMAKAI DISTRIBUSI NORMAL). RENTANG MEMAKAI DISTRIBUSI NORMAL lebih sempit dari RENTANG MEMAKAI DISTRIBUSI t.

DALAM PRAKTEK, YANG DIPAKAI DISTRIBUSI t, KARENA JUMLAH DATA YANG UMUMNYA TERBATAS.

Misalnya kita akan menolak (reject) data pada 95%, maka yang dipakai DATA YANG DILUAR RENTANG dari distribusi t, yaitu diluar rentang 24.7 dan 26.1. Bukan yang diluar rentang DARI DISTRIBUSI NORMAL diantara 24.8 dan 26.0 yang lebih sempit. Karena jumlah pengukurannya HANYA 16x.

IV.5. DISTIBUSI F.

DistribusI F digunakan untuk MEMBANDINGKAN DUA BUAH VARIAN YANG MASING-MASING DIHITUNG DARI SAMPEL YANG BERBEDA.

12 / v1

F = ---------- (IV.5) 2

2 / v2

v1 dan v2 masing-masing d.o.f. sampel 1 dan sampel 2.

DISTRIBUSI F DITABULASIKAN PADA TABEL 4

Contoh :

v1 = 5 v2 = 10 a = 0.01

Dari Tabel 4 diperoleh nilai F = 5.64 Distribusi F digunakan untuk: MEMASTIKAN BAHWA DUA SAMPEL BERASAL dari POPULASI YANG SAMA.

IV.6. INTERVAL KONFIDENSI untuk RASIO dari DUA VARIAN POPULASI.

Interval konfidensi untuk rasio dua varian populasi atau ( 2 / 2 ), berdasarkan distribusi F mengunakan persamaan (IV.5) menghasilkan persamaan:

1 S12 1

2 S12

----------- ---- < ---- < ---- Fa/2 , v2 , v1 (IV.6) F a/2 , v1, v2 S2

2 22 S2

2

F a/2 ,v1 , v2 = nilai pada tabel F, dengan v1 sebagai nominator (kolom) dan v2 sebagai denominator (baris), pada a/2.

F a/2 , v2 , v1 = nilai pada tabel F, dengan v2 sebagai nominator (kolom) dan v1 sebagai denominator (baris), pada a/2.

Contoh:

Varian pertama S12 = 2.25 dan d.o.f. v1 = 30

Varian kedua S22 = 0.49 dan d.o.f. v2 = 24

Apakah kedua varian berasal dari populasi yang sama, pada a/2 = 0.025.

Jawab:

Dari tabel distribusi F, pada a/2 = 0.025, dengan v1= 30 sebagai nominator dan v2 = 24 sebagai denominator, diperoleh nilai 2.21. Kemudian bila v2 = 24 sebagai nominator dan v1 = 30 sebagai denominator, diperoleh nilai 2.14

Dengan persamaan (IV.6) diperoleh,

Batas kiri dan batas kanan adalah: 1 2.25 2.25 ---- x ----- = 2.08 dan ----- (2.14) = 9.83 2.21 0.49 0.49

Karena RENTANG BATAS KIRI DAN BATAS KANAN TIDAK BERISI 1, maka RASIO KEDUA VARIAN TIDAK SAMA DENGAN 1.ATAU DENGAN KATA LAIN, VARIAN pertama TIDAK SAMA dengan VARIAN kedua PADA 95%.

CONTOH SOAL.

Jarak kalibrasi = 402.167m, jarak tersebut diukur dengan EDM sebanyak 5x, yang hasilnya 402.151m +_0.0055m.

Menurut anda hasil EDM tersebut diterima atau tidak pada 95% ?.

V. TES STATISTIK.

V.1. TES HIPOTESIS.

Pada contoh di IV.6, kita menentukan rentang dari rasio 2 buah varian, kemudian memastikan apakah kedua varian tersebut sama. Bila varian yang satu dihitung dari populasi dan varian yang lainnya dihitung dari sampel, maka dengan cara seperti contoh IV.6, kita ingin memastikan apakah SAMPEL KONSISTEN DENGAN POPULASI. Sampel konsisten dengan populasi bila varian sampel sama dengan varian populasi.

MEMASTIKAN SAMPEL KONSISTEN DENGAN POPULASI DISEBUT MELAKUKAN TES HIPOTESIS. Tahapan tes hipotesis meliputi:

i. Hipotesis Nol ( H0 ), adalah pernyataan (statement) yang membandingkan statistik populasi dengan statistik sampel.

Pada contoh soal IV.6. pernyataannya adalah : apakah rasio antara kedua varian sama dengan 1.

ii. Hipotesis Alternatif ( Ha ), adalah APA yang akan diterima bila H0 ditolak.

Pada contoh soal IV.6. hipotesis alternatifnya adalah : karena rasio kedua varian tidak sama dengan satu, maka kedua varian bukan dari populasi yang sama.

iii. Kriteria penerimaan dan penolakan, adalah rentang nilai yang membatasi penerimaan (bila didalam rentang) dan penolakan (bila diluar rentang).

V.2. TES HIPOTESIS UNTUK RERATA POPULASI.

Suatu saat diinginkan untuk melakukan tes dari RERATA SAMPEL terhadap SUATU NILAI DARI HASIL KALIBRASI. Hasil kalibrasi bisa dianggap sebagi data POPULASI, karena umumnya dilakukan dengan data yang jumlahnya besar.

Tahapan Tes:

One-tailed Test

Hipotesis Nol H0 : u = y Hipotesis Alternatif Ha : u > y atau u < y ( y – u )Tes Statistik t = ---------- (V.1) S Daerah Penolakan t >ta

Contoh:

Suatu jarak hasil kalibrasi (disebut BASELINE) sebesar: 400.008m.

Jarak tersebut diukur lagi dengan alat ukur Jarak Elektronik (EDM = Electronic Distance Measurement), sebanyak 20x, dengan hasil:

Rerata = 400.012m , dan Deviasi Standar = +_0.002m

Pertanyaan:

Apakah hasil pengukuran jarak dengn EDM sama dengan hasil kalibrasi pada 0.05 level of significance?

Jawab:

Untuk soal diatas: Rerata sampel = y = 400.012m Deviasi Standar = S = +_0.002m Rerata Populasi = u = 400.008m d.o.f. = 20-1 = 19, a = 0.05

Tahapan Tes:

H0 u = 400.012, artinya rerata populasi (u) = rerata sampel. Ha u tidak sama dengan 400.012 Dengan persamaan (V.1) diperoleh:

y – u 400.012 – 400.008 t = -------- = ---------------------- = 8.944 S / 0.002/

Dari tabel 3, pada a = 0.05 dan d.o.f. = v = 19 diperoleh nilai : 1.729

Kriteria penolakan: t=8.944 > ta =1.729

Kesimpulan : Hasil pengukuran jarak EDM berbeda secara statistik dengan jarak kalibrasi. Karena hasil tes menunjukan jarak tersebut masuk daerah penolakan.

V.3. TES HIPOTESIS UNTUK MEMBANDINGKAN VARIAN PENGUKURAN (SAMPEL) DENGAN VARIAN POPULASI.

Pada contoh pada V.2. diatas, telah dibahas prosedur untuk cheking (memastikan) apakah hasil pengukuran jarak sama dengan hasil jarak kalibrasi.

SERINGKALI SURVEYOR JUGA DIMINTA UNTUK MEMASTIKAN APAKAH HASIL PENGUKURAN mempunyai KETELITIAN YANG SAMA DENGAN KETELITIAN DARI KALIBRASI ?

Jadi pada bab ini tekanannya pada KETELITIAN (VARIAN) hasil pengukuran, sedangkan pada bab sebelumnya tekanan terletak pada HASIL PENGUKURAN.

Untuk tes, digunakan CHI-KUADRAT, sebagai berikut:

One-tailed test Two-tailed test

Hipotesis Nol H0 : S2 = 2 Ha0 : S2 = 2

Hipotesis Alternatif Ha : S2 > 2 atau S2 < 2 Hatidak sama dengan 2

Tes Statistik 2 = v S2 / 2 (V.2)

Daerah penolakan 2 > 2a atau 2 < 2

1-a 2 < 21-a/2 atau

2 > 2a/2

Gambar V.1. Representasi grafis dari one-tailed dan two-tailed test.

Contoh:

Dari kalibrasi diperoleh varian sebesar +_0.9, kemudian dari pengukuran sebanyak 30x diperoleh varian +_1.0. Apakah kedua varian tersebut sama pada 5% level of significant ?

Jawab:

Untuk soal diatas S2 = 1.0 dengan d.o.f. v = 30-1 =29 2 = 0.9 dan a = 0.05

H0 : S2 = 2

Ha : S2 > 2

Tes statistik (pers. V.2) 2 = 29 x (1.0)2 / 0.9 =32.22

Dari tabel Chi Kuadrat (tabel 2) pada a=0.05 dan v=29 diperoleh nilai 42.56. Karena 32.22 < 42.56, maka KEDUA VARIAN TERSEBUT SAMA. Atau dengan kata lain varian SAMPEL SAMA DENGAN VARIAN HASIL KALIBRASI.

V.4. TES HIPOTESIS UNTUK MEMBANDINGKAN VARIAN PENGUKURAN (SAMPEL) DENGAN VARIAN SAMPEL YANG LAIN.

Sering kali surveyor membandingkan hasil varian hasil ukurannya terhadap varian hasil ukuran surveyor yang lain, yang jumlah datanya juga terbatas. Bukan terhadap varian kalibrasi sebagaimana telah diterangkan di V.3.

UNTUK TES INI DIGUNAKAN DISTRIBUSI F.

Kembali ke contoh di IV.6.CATATAN: SEBAGAI NUMERATOR (pembilang) ADALAH VARIAN YANG NILAInya LEBIH BESAR.

Sehingga S1 = 2.25 v1 = 30 S2 = 0.49 v2 = 24

H0 S21 / S2

2 = 1 Ha S2

1 / S22 N.E. 1

Tes Statistik: 2.25/0.49 = 4.59 > F0.025,30,24 =2.21 Karena tes statistik tidak dipenuhi, maka kedua varian tidak sama.

Contoh lain: A mengukur 51x mendapatkan varian 0.81, dan B mengukur juga 51x dan variannya 1.21.

Bisakah dikatakan B surveyor yang lebih baik dari A? Pada a=0.01.

Jawab:

Tes Statistik: 1.21/0.81 = 1.49 < F0.01,51,51= 1.95

Dari hasil tes diatas, varian A sama dengan varian B. Jadi kedua surveyor sama baiknya.

CONTOH SOAL.

Jelaskan dengan kalimat anda:

Kapan kita menggunakan tes t, tes chi-kuadrat, dan tes F.

VI. PERAMBATAN KESALAHAN.

VI.1. FUNGSI ANTARA BESARAN UKURAN DAN HITUNGAN.

Telah disampaikan sebelumnya, ada pengukuran LANGSUNG dan TIDAK LANGSUNG. Pada pengukuran langsung, misalnya pengukuran JARAK,

varian jarak langsung didapat dari pengukurannya. Sedangkan pada pengukuran tidak langsung, misalnya LUAS, varian luas harus dihitung dari pengukuran panjang sisi bidang. Untuk menghitungnya perlu digunakan PERSAMAAN DASAR PERAMBATAN KESALAHAN.

Persamaan Dasar Perambatan Kesalahan memerlukan FUNGSI ANTARA BESARAN YANG DIUKUR DENGAN BESARAN YANG DIHITUNG.

Contoh :

Besaran yang diukur : y1 = Panjang bidang persegi panjang. y2 = Lebar bidang persegi panjang.

Besaran yang dihitung: x = luas bidang. = y1 . y2

Sehingga f = x = y1 . y2 adalah fungsi antara BESARAN UKURAN & HITUNGAN, pada kasus pengukuran LUAS.

Untuk menghitung VARIAN LUAS diperlukan RUMUS DASAR PERAMBATAN KESALAHAN.

Di Teknik Geodesi, sebagian besar pengukuran yang dilakukan adalah PENGUKURAN TIDAK LANGSUNG. Fungsi antara besaran ukuran dan hitungan bisa sederhana, seperti pada CONTOH pengukuran luas, sampai yang rumit, misalnya pada pekerjaan Fotogrametri, GPS dan sebagainya.

Fungsi yang rumit contohnya ada di Fotogrametri, GPS dan sebagainya, yang nanti akan dibahas pada saat kuliah mata kuliah yang bersangkutan.

Yang akan dibahas sekarang, adalah RUMUS DASAR PERAMBATAN KESALAHAN, yang tidak memperhatikan kerumitan fungsi antara besaran ukuran dan hitungan.

VI.2. RUMUS DASAR PERAMBATAN KESALAHAN.

Rumus dasar perambatan kesalahan yang akan dibahas adalah rumus dasar perambatan kesalahan yang digunakan pada keadaan tidak ada KORELASI antar besaran ukuran. Untuk yang ada korelasinya akan dibahas pada kuliah Hitung Perataan.

Misalkan: Fungsi antara besaran ukuran dan hitungan : f=f(y)

Sx2 = (( df / dy1).S1)2+ ((df / dy2).S2)2 + ((df / dy3).S3)2 + ………. (VI.1)

Sx2 = varian besaran hitungan.

S1

2 , S2

2 , S 3

2 …….. = varian besaran yang diukur.

df / dy1 = turunan parsiel fungsi terhadap ukuran pertama, ….

y1,2,3….. = besaran yang diukur

x = f (y1,2,3…) = besaran hitungan.

Contoh :

Luas bidang persegi panjang diukur panjang dan lebarnya, dengan hasil ukuran sebagai berikut: Panjang = y1 = 20m dengan Ketelitian = +_0.01m. Lebar = y2 = 15m dengan Ketelitian = +_0.01m.

Hitunglah : Ketelitian Luas Bidang.

Jawab:

Luas Bidang = f = y1. y2

S1 = +_ 0.01m dan S2 = +_0.01m

df / dy1 = y2 = 15m, dan df / dy2 = y1 = 20m.

Dengan rumus (VI.1) :

Sx2 = (15m x 0.01m)2 + (20m X 0.01m)2

= 0.0625m4

Sx = +_0.25m2

Ketelitian luas bidang : +_ 0.25 m2, dengan kata lain

LUAS BIDANG = 300m2 +_0.25m2 .

VI.3. PENERAPAN.

Dari contoh pengukuran luas, penerapan rumus dasar tergantung pada kerumitan fungsi yang menghubungkan besaran yang diukur dengan besaran yang dihitung.

MateriStatistik_jadi

Documents