Nadia BAHLOULI IPST-ULP Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle - 1 - Chapitre 0 : Généralités CHAPITRE 0 0-1- Généralités Il existe différentes familles de matériaux : les métaux , les plastiques, les composites, etc.. Les composites seront traité dans ce cours. Le principal intérêt de l'utilisation des composites provient de ses excellentes caractéristiques spécifiques (module divisé par la masse volumique). Leur faible taux d'utilisation vient de son coût encore. Parmi les composites, on distingue deux types : les composites grande diffusion (GD) et les composites haute performance (HP). - Les GD représentent 95% des composites utilisés. Ce sont en général des plastiques armés ou des plastiques renforcés, le taux de renfort avoisinant 30%. Dans 90% des cas, l'anisotropie n'existe pas ou n'est pas maîtrisée car les renforts sont des fibres courtes. Les principaux constituants de bases sont les résines polyesters (95% des résines thermodurcissables) avec des fibres de verre (+ de 99% des renforts utilisés !). Renforts et matrices sont à des coûts voisins. - Les HP, principalement utilisés dans l'aéronautique sont d'un coût élevé. Les renforts sont plutôt des fibres longues. Le taux de renfort est supérieur à 50%, et ce sont les renforts qui influent sur le coût. Les propriétés mécaniques (résistance mécanique et rigidité) sont largement supérieur à celles des métaux, contrairement aux GD. Des méthodes de calculs de structures et d'homogénéisations ont été développés pour les HP. Ces calculs feront l'objet de divers chapitres de ce cours. Il faudra toujours tenir compte du fait que l'élaboration de la structure est liée à celle du matériau, que pour les pièces travaillantes, on utilisera plutôt des composites à fibres longues et à matrice organique et pour les garnitures, capotages on utilisera des plastiques renforcés. 0-1-1- Définitions de base - Homogène : même propriétés en tout point du matériau. - Hétérogène : en 2 points différents, propriétés différentes. - Isotrope : même propriétés dans toutes les directions. - Isotrope transverse : il existe un axe de symétrie. Symétrie par rapport à une droite. - Orthotrope : propriétés symétriques par rapport à deux plans orthogonaux. - Anisotrope : les propriétés sont différentes selon les différentes directions. 0-1-2- Notions de bases Matériau composite : association d'au moins deux matériaux non miscibles. On obtient un matériau hétérogène.
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Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle
- 1 -
Chapitre 0 : Généralités
CHAPITRE 0 0-1- Généralités Il existe différentes familles de matériaux : les métaux , les plastiques, les composites,
etc.. Les composites seront traité dans ce cours. Le principal intérêt de l'utilisation des
composites provient de ses excellentes caractéristiques spécifiques (module divisé par la
masse volumique). Leur faible taux d'utilisation vient de son coût encore. Parmi les
composites, on distingue deux types : les composites grande diffusion (GD) et les composites
haute performance (HP).
- Les GD représentent 95% des composites utilisés. Ce sont en général des
plastiques armés ou des plastiques renforcés, le taux de renfort avoisinant 30%.
Dans 90% des cas, l'anisotropie n'existe pas ou n'est pas maîtrisée car les renforts
sont des fibres courtes. Les principaux constituants de bases sont les résines
polyesters (95% des résines thermodurcissables) avec des fibres de verre (+ de
99% des renforts utilisés !). Renforts et matrices sont à des coûts voisins.
- Les HP, principalement utilisés dans l'aéronautique sont d'un coût élevé. Les
renforts sont plutôt des fibres longues. Le taux de renfort est supérieur à 50%, et ce
sont les renforts qui influent sur le coût. Les propriétés mécaniques (résistance
mécanique et rigidité) sont largement supérieur à celles des métaux, contrairement
aux GD. Des méthodes de calculs de structures et d'homogénéisations ont été
développés pour les HP. Ces calculs feront l'objet de divers chapitres de ce cours.
Il faudra toujours tenir compte du fait que l'élaboration de la structure est liée à celle
du matériau, que pour les pièces travaillantes, on utilisera plutôt des composites à fibres
longues et à matrice organique et pour les garnitures, capotages on utilisera des plastiques
renforcés.
0-1-1- Définitions de base
- Homogène : même propriétés en tout point du matériau.
- Hétérogène : en 2 points différents, propriétés différentes.
- Isotrope : même propriétés dans toutes les directions.
- Isotrope transverse : il existe un axe de symétrie. Symétrie par rapport à une droite.
- Orthotrope : propriétés symétriques par rapport à deux plans orthogonaux.
- Anisotrope : les propriétés sont différentes selon les différentes directions.
0-1-2- Notions de bases
Matériau composite : association d'au moins deux matériaux non miscibles. On obtient
un matériau hétérogène.
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Chapitre 0 : Généralités
0-2- Les composants
Matériau composite plastique : association de deux constituants :
- Le renfort : armature, squelette, il assure la tenue mécanique (résistance à la
traction et rigidité). Souvent de nature filamentaire (des fibres organiques ou
inorganiques).
- La matrice : lie les fibres renforts, répartie les efforts (résistance à la compression
ou à la flexion), assure la protection chimique. Par définition, c'est un polymère ou
une résine organique.
En plus de ces deux constituants de base, il faut rajouter : une interface qui assure la
compatibilité renfort-matrice, qui transmet les contraintes de l'un à l 'autre sans déplacement
relatif. Bonne adhérence en couche fine (m). Des produits chimiques entrent aussi dans la
composition du composite, l'interphase etc. ... qui peuvent jouer sur le comportement
mécanique, mais n'interviennent pratiquement jamais dans le calcul de structure composite.
Remarque : on conçoit un composite en fonction du type d'application, de chargement
...ce qui est différent des matériaux classiques où on adapte la conception d'une structure en
fonction du matériau constitutif.
Pour les composites, on construit sa structure à la demande :
- la nature, la texture et la forme du renfort
- le taux de renforcement
- la nature de la résine et des charges ou additifs
- la qualité de l'interface renfort-matrice
- la géométrie de la pièce à réaliser
- le procédé de mise en œuvre utilisé
On cherchera toujours à orienter au mieux les renforts en fonction des efforts auxquels
la structure est soumise.
Avantages des matériaux composites :
- Gain de masse
- Mise en forme de pièces complexes (principe du moulage) et réduction du nombre
d’interfaces (boulonnage, rivetage et soudure sur structures métalliques)
- Grande résistance à la fatigue
- Faible vieillissement sous l'action de l'humidité, de la chaleur, de la corrosion (sauf
en cas de contact entre de l’aluminium et des fibres de carbone)
- Insensibles aux produits chimiques "mécaniques " comme les graisses, huiles,
Définition : matériau élastique homogène présentant en tout point 2 symétries du
comportement mécanique chacune par rapport à 1 plan, les 2 plans étant orthogonaux.
Remarque : Les composantes Smnpq d'un tenseur exprimées dans un repère (1,2,3)
s'écrivent Sijkl dans un repère (I,II,III) :
- Avec cosmi : cosinus de l'angle formé par les deux vecteurs unitaires m et i.
- Après simplification de Sijkl (élimination des termes nuls), il ne reste que 9
coefficients distincts qui sont :
Avec :
E1, E2, E3 : modules d'élasticité longitudinaux.
G23, G13, G12 : modules de cisaillement.
ν23, ν13, ν12, ν21, ν23, ν31 : coefficients de Poisson.
Symétrie de la loi de comportement :
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Chapitre 0 : Généralités
2-2-6- Matériau isotrope transverse
- Définition : matériau possédant une direction privilégiée, c'est-à-dire qu'il existe
un axe de symétrie.
- Si on suppose que la direction 3 est axe de symétrie, la relation de
comportement s'écrit alors :
Il ne reste donc que 5 coefficients distincts.
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Chapitre 0 : Généralités
2-3- Comportement anisotrope 2D
- Hypothèse : structures composites stratifiés => étude du comportement de la
couche UD (unidirectionnelle) => définition de la méso-échelle =>
dimensionner et modéliser des structures composites.
- Hypothèse : matériau orthotrope => détermination des constantes élastiques
d'un pli UD exprimées dans son repère d'orthotropie.
2-3-1- Repère du pli
2-3-2- Coefficients de souplesse
Les hypothèses simplificatrices suivantes permettent d'éliminer certains coefficients de
la matrice de souplesse :
Epaisseur du pli << dimensions longi et transverse du pli => dim 3 << dim 1 et 2 =>
σ33 << aux autres composantes du tenseur des contraintes. => stratifié mince constitué d'une
superposition de pli UD => description du comportement du matériau orthotrope dans le plan
(l,t) :
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Chapitre 0 : Généralités
Dans le repère local du pli, la relation de comportement s'écrit :
Le repère global du stratifié composite est (x,y,z). Avant de faire un calcul sur une
structure plaque composée de plusieurs plis d'orientations diverses, il faut ramener tous les
plis dans le repère globale de la structure. Pour cela, il faut effectuer un changement de repère
de toutes les matrices de la relation de comportement du pli, c'est à dire passer du repère (l,t)
au repère (x,y). La plaque étant de faible épaisseur, la direction 3 est abandonnée.
Rappel : la contrainte s s'exerçant sur une facette de normale n s'écrit :
Coordonnées d'un même vecteur dans 2 repères distincts (x,y) et (l,t) / (x,y)=θ
Avec :
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Chapitre 0 : Généralités
Dans le repère (l,t), la contrainte s'exerçant sur la facette de normale x s'écrit :
Dans le repère (x,y) :
De la même façon, on obtient :
La matrice des contrainte s'écrit donc dans (x,y) :
On pose de la même façon, pour les déformations :
Relation de comportement :
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Chapitre 0 : Généralités
Il y a apparition de couplage dans la matrice [K]-1.
(x,y) : repère de la plaque = repère global.
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Chapitre 0 : Généralités
(l,t) : repère du pli = repère local et (x,y) : repère global.
On a donc écrit les coefficients de la matrice de souplesse K-1 du pli élémentaire dans le
repère global de la structure.
2-3-3- Coefficients de raideur
On commence par inverser la relation de comportement ε = f(σ) dans le repère (l,t).
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Chapitre 0 : Généralités
Apparition des coefficients élastiques dits de " raideur ".
Nouvelle notation :
Même procédure qu'avant :
Qui se réécrit sous la forme :
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Chapitre 0 : Généralités
Avec :
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Chapitre 0 : Généralités
CHAPITRE 3
CALCULS D'HOMOGENEISATIONS COMPOSITES
3-1- Homogénéisation pour le calcul des modules
La première étape d'un calcul composite consiste à déterminer les caractéristiques
mécaniques du matériau en fonction de celles de ses composants. Dans la plupart des cas, ces
calculs se réduisent uniquement au calcul du module d'Young. Il existe divers modèles
d'homogénéisations pour l'obtenir. Les plus classiques seront présentées ici.
3-1-1- Homogénéisation simplifiée - Les modèles à " Bornes "
Soit un matériau composite UD de repère d'orthotropie (l,t), constitué de fibres noyées
dans une matrice polymère. Soit une cellule élémentaire de fraction volumique V = 1
constituée de fibres et de matrice avec :
Vm : fraction volumique de matrice Vf : fraction volumique de fibre V = Vm + Vf =1
A l'échelle locale, on a les hypothèses suivantes :
- Fibres: comportement élastique linéaire fragile isotrope de coefficients Ef et ννννf.
- Matrice: comportement élastique non-linéaire, isotrope de coefficients Em et ννννm.
But ? Déterminer les relations existant entre El , Et , Ef , Em , ννννm et ννννf . Hypothèses :
- On travaille en élasticité linéaire. - On suppose que la liaison fibres/matrices est parfaite. - Localement, on a : σσσσf = Ef εεεεf et σσσσm = Em εεεεm
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Chapitre 0 : Généralités
Modules longitudinale et transverse d'un UD par la loi des mélanges
On associe deux matériaux de caractéristiques distinctes dans le but d'estimer les
caractéristiques élastiques du matériau équivalent, c'est à dire de l'UD. Pour cela, on effectue
deux essais de compression.
1er essai : Il s'effectue dans la direction parallèle aux fibres (compression longitudinale)
El : module homogénéisé d'Young dans la direction longi à déterminer.
σl = El εl
Simplification du problème : on considère le problème équivalent suivant :
Hypothèse : la déformation est constante dans une section droite, c'est à dire que :
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Chapitre 0 : Généralités
ε1=εf=εm
On a : σ1=F1/S1=Elεl=Elεf=Elεm<=> σ1=Elσf/Ef=Elσm/Em
L'équilibre de l'éprouvette s'écrit : F1=Ff+Fmavec Ff : force appliquée à la fibre, et Fm :
force appliquée à la matrice.
On aura :
Ff=EfεfSf=EfεlSf Fm=EmεmSm=EmεlSm
Donc, Ff+Fm=εl(EfSf+EmSm)=F1
Or, la loi de comportement de l'UD s'écrit :
σ1=F1/(Sf+Sm)=Elεl=> F1=Elεl*(Sf+Sm)
=> El=EfSf/(Sf+Sm) + EmSm/(Sf+Sm) => El=EfVf+EmVm : loi des mélanges
Relation très bien vérifiée dans la direction des fibres.
2ème essai : Il s'effectue dans la direction perpendiculaire aux fibres (compression
transversale)
Et= module homogénéisé dans la direction transverse, à déterminer. σσσσ2=Etεεεε2
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Chapitre 0 : Généralités
Simplification du problème : On considère le problème suivant :
Hypothèse : la contrainte est constante dans une section droite.
Donc : σ2=σf=σm<=> Vε2=Vfεf+Vmεm<=> σ2/Et=(Vfsf/Ef)+(Vmsm/Em)
<=> 1/Et=(Vf/Ef)+(Vm/Em) : loi des mélanges en souplesse
Relation pas très bien vérifiée transversalement mais qui donne une indication sur la
borne inférieure.
Module de cisaillement et coefficient de Poisson d'un UD par la loi des mélanges
De façon analogue, on détermine ces deux coefficients et on trouve que :
νlt=νfVf+νmVm
1/Glt=(Vf/Gf)+(Vm/Gm) Rappelons que les modèles à bornes donnent un encadrement du comportement
mécanique du matériau composite par des comportements mécaniques limites (bornes). Les modèles que nous allons voir maintenant sont applicables à des mélanges de polymères (matériaux composés) et à des composites chargés par des particules diverses. Nous remplacerons donc les termes fibres et matrices par des phases. Les bornes correspondent aux associations série des deux phases (REUSS, équivalent au modèle du module transverse équivalent de la loi des mélanges) et parallèle (VOIGT, équivalent au modèle du module longitudinal équivalent de la loi des mélanges). Aucune hypothèse n'est faite sur la morphologie du matériau. Il est simplement admis que pour le modèle de REUSS, la contrainte est homogène dans les deux phases (continuité de la contrainte) et, pour le modèle de VOIGT, la déformation est constante (continuité de la déformation) dans tout le composite. L'intérêt est limité dès que l'écart des caractéristiques des deux phases est important.
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Chapitre 0 : Généralités
3-1-2 - HASHIN et SHTRIKMAN (1963)
Expression des bornes plus resserrée que Voigt et Reuss. Il rajoute une hypothèse
supplémentaire sur la géométrie : il existe une phase continue et une discontinue. Ce modèle
utilise le principe variationnel : les différents constituants sont noyés dans un matériau de
comparaison. Si le matériau de comparaison est "plus souple" Lmin ou "plus raide" Lmax que
toutes les phases du matériau composite, on obtiendra une borne inférieure LHS- et supérieure
LHS+ pour les modules du matériau composite.
avec Les limites supérieure et inférieure sont équivalentes aux relations obtenues par
KERNER, basées aussi sur le principe variationel de la méthode auto-cohérente mais Kerner n'a pas émit d'hypothèses sur la morphologie du mélange. Ses seules hypothèses sont :
- propriétés du mélange : isotrope.
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Chapitre 0 : Généralités
- comportement des constituants dans le composite est le même que dans le produit en masse.
- adhésion parfaite entre les constituants.
Les approches phénoménologiques :
Dans Voigt et Reuss, les phases sont en état de contrainte ou déformation constante.
Mais dans la réalité, la répartition des contraintes et déformations entre les particules n'est pas
aussi simple. La prise en compte de ceci va se faire par combinaison des modèles de bases de
Voigt et Reuss. Différents modèles ont donc été développés, mais la description la plus
utilisée est celle de TAKAYANAGI.
Hypothèse : il existe un paramètre de forme ajustable.
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Chapitre 0 : Généralités
Ce modèle donne une bonne description phénoménologique du système mais pas sur sa
morphologie (arrangement entre phase).
Les approches basées sur les équations d'HALPIN-TSAI.
Elles permettent de prédire le module longitudinal d'un composite renforcé par des
fibres courtes alignées. Les auteurs ont généralisé l'équation de KERNER (1956) issue d'un
schéma autocohérent et écrite pour le cas de renforts sphériques au cas des renforts allongés.
Les modules longitudinale El et transverse Et s'écrivent alors :
ξ : mesure du facteur de forme de la fibre = 2L/d où L : longueur et d diamètre de la
fibre. A partir des équations d'Halpin-Tsai, on peut estimer le module d'un composite renforcé
par des fibres courtes orientées aléatoirement dans un plan ou dans un volume.
L'approche de TSAI-PAGANO
Elle est basée sur la théorie de l'élasticité orthotrope. Elle donne un module E d'un
composite à fibres courtes, isotrope dans le
plan.
E=3/8 El+5/8 Et
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Chapitre 0 : Généralités
L'approche d'HALPIN-KARDOS
Elle est similaire à la précédente mais le composite isotrope dans le plan est traité
comme un composite stratifié composé de plis UD, chaque pli étant tourné d'un angle donné
par rapport au précédent. Le calcul analytique d'HALPIN-KARDOS a été réalisé sur un
assemblage de 4 plis orientés à (0°, -45°, +45°, 90°).
On a donc un composite quasi-isotrope. Les modules de chaque pli sont estimés à partir
des équations d'HALPIN-TSAI.
L : longueur des fibres, l : largeur des fibres, e : épaisseur des fibres.
ξ : facteurs de forme.
Le module G du composite est :
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Chapitre 0 : Généralités
Conclusion : Les approches basées sur les équations d'HALPIN-TSAI sont semi-
empiriques mais simples à utiliser.
3-2- Théorie simplifiée des stratifiés
Rappel : On appelle stratifié ce qui résulte de plusieurs couches (ou pli) de nappes
unidirectionnelles ou de tissus avec des orientations propres à chaque pli.
Le calcul du comportement moyen d'une plaque composite stratifié va être présenté
dans ce chapitre.
3-2-1- Comportement en membrane
Soit un stratifié à symétrie miroir (les empilements des plis de part et d'autres du plan
moyen sont identiques (±θ)s.
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Chapitre 0 : Généralités
u0, v0 : composante du déplacement dans le plan moyen, et k indice de chaque pli.
On est en hypothèse des petites déformations. On a alors une relation entre l'angle de
rotation de la section et le déplacement suivant l'axe z notée w : ω = ∂ w/∂ x,
Pour un point ne se trouvant pas dans le plan moyen, on aura comme déformation :
εx = ∂ u/∂ x = ∂ /∂ x (u0 - z ∂ w/∂ x ) = ∂ u0/∂ x - z ∂ 2w/∂ x2
εy = ∂ v/∂ y = ∂ /∂ y (v0 - z ∂ w/∂ x ) = ∂ v0/∂ y - z ∂ 2w/∂ x2
∂ 2w/ x2 = courbure de la plaque
La déformation de cisaillement va s'écrire :
γxy = ∂ u/∂ y + ∂ v/∂ x = ∂ u0/∂ x + ∂ v0/∂ y - 2z ∂ 2w/∂ x∂ y
que l'on peut mettre sous la forme :
avec
k x = ∂ 2w/∂ x2 k y = ∂ 2w/∂ y2 k xy = -2 ∂ 2w/∂ x∂ y
Ce qui permet d'écrire les contraintes dans un pli du composite stratifié sous la forme :
[σ] = [Q] k [ε0] + z [Q] k[k]
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Chapitre 0 : Généralités
Hypothèse : stratifié uniquement soumis à des sollicitations dans son plan par unité de
longueur : Nx , Ny , Txy = Tyx , Ce sont des efforts de membrane (ou éléments de réduction
pour des contraintes ou encore flux d'efforts dans le stratifié).
Description des efforts :
Nx : effort dans la direction x, par unité de longueur suivant la direction y :
Ny : effort résultant dans la direction y, par unité de largeur suivant la direction x :
Txy = Tyx : cisaillement de membrane par unité de largeur suivant la direction y :
Les relations précédentes peuvent se mettre sous la forme :
L'hypothèse utilisée pour intégrer sur l'épaisseur du stratifié et calculer un matériau
homogène équivalent est l'homogénéité de la contrainte dans chaque pli. Ceci permet de
discrétiser les intégrales et d'écrire des sommes finies, c'est-à-dire :
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Chapitre 0 : Généralités
On introduit les relations de comportements et on obtient:
Remarque 1 : si le stratifié est équilibré (autant de plis dans une direction que dans l'autre), on a découplage entre déplacements dus à la traction et distorsion angulaire due au
cisaillement, c'est à dire :
Remarque 2 : Les Aij sont indépendants de l'ordre d'empilement des plis.
Conséquences : Détermination pratique d'un stratifié travaillant en membrane.
Données :
Nx, Ny, Txy
Postuler un ensemble de proportions de plis dans des directions déterminées (par
exemple : plis identiques = même nature, même épaisseur)
Problème posé :
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Chapitre 0 : Généralités
- Déterminer les modules élastiques apparents du stratifié, les coefficients de
couplage associés pour prévoir les déformations sous chargement.
- Epaisseur minimum à donner au stratifié pour éviter la rupture de l'un
quelconque des plis qui le constituent.
Principe de calcul :
1 - modules apparents :
On écrit la relation de comportement :
Le rapport εk/h fait disparaître les proportions des plis identiques ayant même
orientation.
Si on inverse la matrice [A'ij], on obtient les modules apparents recherchés et les
coefficients de couplage.
2 - épaisseur minimum
Pour cela, on détermine la non-rupture du stratifié.
Soient σl, σt, et τlt les contraintes dans les axes d'orthotropie d'un pli constituant le stratifié soumis au chargement Nx, Ny et Txy.
h : épaisseur du stratifié inconnue (pour le moment), telle que l'on se trouve à la limite
de la rupture du pli considéré au sens du ritère de Hill (voir les critères plus loin). Pour ce pli,
on aura :
On multiplie cette expression par l'épaisseur recherchée au carré et on obtient :
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Chapitre 0 : Généralités
(σl*h), (σt*h) et (τlt*h) obtenues en multipliant les contraintes globales (s0x, s0y, t0xy)
s'exerçant sur le stratifié par l'épaisseur h.
Or : σ0x = Nx, σ0y = Ny, τ0xy= Txy : flux d'efforts connus, donc pour un pli, on obtient h en fonction des efforts connus, donc chaque pli n°k conduit à un hk du stratifié.
L'épaisseur finale à retenir sera la plus grande des valeurs trouvées.
3-2-2- Comportement en flexion
Hypothèse sur les déplacements :
Aux sollicitations Nx, Ny, Txy s'ajoutent par unité d'envergure :
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Chapitre 0 : Généralités
Mx : moment fléchissant d'axe y, dû aux contraintes sx par unité de largeur suivant la
direction y.
My : moment fléchissant d'axe x, dû aux contraintes sy par unité de largeur suivant la
direction x.
Mxy : moment de torsion d'axe x, dû aux contraintes txy
Comme pour le comportement en membrane, on discrétise par couche et on obtient :
On introduit la relation de comportement et on obtient :
En calculant les intégrales suivant z, [M] devient :
[M] = [B][ε0]+ [D][k]
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Chapitre 0 : Généralités
L'expression générale reliant les contraintes et déformations globales qui représente
l'équation fondamentale pour les stratifiés s'écrit :
Ce qui permet d'obtenir une autre équation fondamentale des stratifiés et qui s'écrit :
Avec
[A'] = [A*]-[B*][D*-1][C]
[B'] = [B*]*[D*-1]
[C'] = [D*-1][C*]
[D'] = [D*-1]
et [A*] = [A-1] , [B*] = [A
-1][B] , [C*] = [B][A
-1] , [D*] = [D] - [B][A
-1][B]
De façon générale, un stratifié quelconque soumis à de la traction subira des
déformations non seulement normales mais aussi de la flexion ! Ce qui n'était pas le cas avec
des matériaux homogènes isotropes !
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Chapitre 0 : Généralités
Remarques :
Dans le cas général, on a un couplage entre les comportements en membrane et en
flexion dans un stratifié quelconque, mais la symétrie miroir implique le découplage, c'est à
dire que les Bij sont nulles et les termes (hk2-hk-12) s'annulent 2 par 2. Les termes [Q16] k et
[Q26] k s'obtiennent en fonction de sinqk et sin3qk qui ne changent pas de signe pour 2
couches symétriques.
Si on évite ce couplage, le comportement en membrane est indépendant de l'ordre
de la séquence d'empilement.
Pour les stratifiés équilibrés, les termes A16 et A26 sont nuls.
Pour les stratifiés symétriques et équilibrés, les Bij sont nuls.
Détermination pratique d'un stratifié travaillant à la flexion :
On suppose connus les éléments de réduction (Mx, My, Mxy) => prévision de
séquences d'empilements
Principe de calcul :
- Non-rupture du stratifié (id à membrane).
- Déformation de flexion => utilisation indispensable d'un logiciel de calcul
informatisé de type EF disposant de sa bibliothèque d'éléments de stratifiés
travaillant en flexion.
Calcul sommaire à la flexion :
Possibilité pour un pré-dimensionnement d'effectuer des calculs simplifiés considérant
que le moment Mx est uniquement lié à la
courbure ∂ 2w0/∂ x2 My est uniquement lié à la courbure ∂ 2w0/∂ y2
On peut déterminer expérimentalement :
Les contraintes apparentes par l'essai :
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Chapitre 0 : Généralités
=> analogie avec les poutres => σrupt=[Mrupt*(h/2)] / (h3/12) = Mrupt*6/h2
Les modules apparents de flexion :
comparaison des relations de comportement "composites " et " homogènes "par
identification avec le seul 1er terme du moment Mx
-Efx. (h3/12)=C11 => Efx.= -12/ h3 C11
avec Efx. : module de flexion du stratifié " homogénéisé " suivant x.
De la même façon : -Efy. (h3/12)=C22 => Efy.= -12/ h3 C22
avec Efx. : module de flexion du stratifié " homogénéisé " suivant y.
Du stratifié, on a :
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- 58 -
Chapitre 0 : Généralités
De la poutre homogène, on a :
3-3- Prise en compte des effets hygrothermiques (notions)
Dans les relations de comportements précédentes, on considère un état isotherme. Etat isotherme <=> température des " contraintes libres ". MAIS : Température de fabrication et d'utilisation parfois différentes de cette
température de référence.
Hypothèses :
1.matériau orthotrope : De façon proportionnelle à la variation de température : quand T° augmente, le matériau s'allonge quand T° diminue, le matériau se rétracte. 2.couplages négligés Utilisation du principe de superposition.
3-3-1- Effets thermiques
αij : coefficients de dilatation thermique dans les directions (xi.=0 si i¹ j).
εij = αij (T-T0) T0 : température de référence.
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- 59 -
Chapitre 0 : Généralités
Modification des seuils limites élastique et des relations de comportement des matériaux
Dans le domaine élastique : εij = Sijkl σkl + αij (T-T0)
Avec Sijkl= f(T°)
3-3-2- Effets hygrométriques
Effets (T°+hygro) => accélération des modifications des caractéristiques mécaniques
des matériaux composites à matrice polymère.
Diffusion de l'humidité dans la matrice polymère
Hypothèse :
matériau orthotrope => proportionnalité entre taux hygro et allongement.
βij : coefficients hygrométriques dans les directions xi.(=0 si i ≠ j).
εij = βij (H-H0)
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- 60 -
Chapitre 0 : Généralités
3-3-3- Superposition des effets thermo et hygro
On écrit alors une loi hygrothermoélastique
εij = Sijkl skl + aij (T-T0)+bij (H-H0)
Remarque : quand i ≠≠≠≠ j , δδδδij = 0, T et H n'affectent pas les déformations et contraintes de cisaillement.
Hypothèse : il existe un état de précontrainte σσσσij° tel que :
σij= σij°+ Cijkl[εkl - αkl (T-T0)+βkl (H-H0)]
Il existe un potentiel thermodynamique :
W(ε)=(1/2!)*Cijkl εij εkl + σij° εij exprimé autour d'une position d'équilibre
caractérisée par :
εij° = 0, σij ≠≠≠≠ 0 (précontrainte), T=T0, H=H0
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- 61 -
Chapitre 0 : Généralités
3-4- Règles de conception d'une pièce composite
Le concepteur " crée " le matériau en fonction des besoins => choix de : 1 -le renfort la matrice le procédé de durcissement 2 -agencement des plis prédimensionnement + critères représentation sur plans Orientations normalisées :
De préférence : stratifié avec symétrie miroir => symétrie des contraintes
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- 62 -
Chapitre 0 : Généralités
=> évite voilement et gauchissement pendant la phase de polymérisation.
Minimums technologiques : minimums de plis de 5 à 10% suivant chaque direction à 0°, +45°, 90°, -45°.
Epaisseur minimum d'un stratifié : 1 mm Agencement des plis : proportions et nombre de plis à placer dans chacune des
directions. Il faut prendre en compte les sollicitations mécaniques qui s'exercent sur le
stratifié dans la zone considérée. 3 critères pour le concepteur :
1.supporter les flux d'efforts sans détérioration du stratifié. 2.limiter les déformations de la pièce chargée. 3.minimiser la masse des matériaux.
Respect de l'agencement suivant :
1.plis à 90° placés en surface puis plis à +45° ou -45° quand flux d'effort prépondérant parallèle à 0°.
2.pas plus de 4 plis consécutifs dans une même direction. 3.problèmes de délaminage : sur les bords des stratifiés, il existe des σσσσ33°.
σ33°> 0, => délaminage, σ33°< 0, => non délaminant.
Or, le signe de σ33°dépend de l'ordre d'empilement. (± 45)2s est très délaminant mais il
existe d'autres phénomènes de rupture (endommagement du pli apparaît en 1er).
Quelques exemples de conception :
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- 63 -
Chapitre 0 : Généralités
3-5- Résumé sur la Théorie du stratifié : comportement élastique (formulaire)
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- 64 -
Chapitre 0 : Généralités
CHAPITRE 4
CRITERES DE RUPTURE CLASSIQUES POUR COMPOSITES
Etude de la rupture des stratifiés, 2 types de rupture :
- rupture du monocouche (ou plus généralement des UD)
- rupture des stratifiés multicouches.
� Il existe différents modes de défaillance.
Composites multicouches essentiellement plaques et coques.
� Etat de contraintes planes ou flexion privilégiés dans les critères de
dimensionnement.
� états prédominants dans les zones éloignées des conditions limites (bords,
assemblages, ouvertures ...)
� pour un UD :
- directions l et t ont des caractéristiques à rupture très différentes avec une grande
indépendance par rapport aux constituants.
- directions de cisaillement (l,t) a un très grand rôle. Par exemple, en collage, on
compte sur lui pour assurer le transfert des contraintes entre fibres et matrice.
Pour un bidirectionnelle, il existe 5 limites différentes soit en déformations soit en
contraintes.
1.traction sens fibre (l) : εlt, σlt 2.traction sens transverse : εtt, σtt 3.compression sens fibre (-l) : εlc, σlc 4.compression sens transverse (-t) : εtc, σtc 5.cisaillement plan (l,t) : εlt, σlt
Remarque : exemples pris avec les carbone/époxy car il existe beaucoup de résultats
expérimentaux et de combinaisons connues "matrice-fibres".
Observations expérimentales :
Par défaut : utilisation de critères de rupture fragile car on recherche une représentation
élastique, avec prise en compte de l'anisotropie, sachant qu'une telle approche a ses limites.
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Chapitre 0 : Généralités
4-1- Définition des critères de résistance Connaissant un état de contrainte σ (resp. ε), on cherche à réaliser une condition du type
f(σσσσ) (resp. g(εεεε)) ≤≤≤≤ 1
f(σ) fonction scalaire du tenseur des contraintes
Il existe de nombreuses expression de cette fonction, les plus connues étant celle de
Hill, Tsaï-Wu, Hoffman, contrainte max, déformation max, .....
Historique des Critères de résistance ou rupture :
- Léonard de Vinci (1500) : relation contrainte / rupture
- Galilée (1638) : travaux sur la rupture des matériaux
- Tresca (1864) : Cisaillement max.
- Von Misès (1913) : Energie de distorsion
- Von Misès (1928) : Critères quadratiques
- Hencky (1929) : Von Misès adapté aux matériaux anisotropes
- Hill (1948) : Von Misès pratique
- Gol’denblatt et Kopnov (G&K,1965) : écriture tensorielle générale des critères
de rupture (tous les autres critères sont un cas simplifié et plus pratique de
l’écriture de G&K)
- Tsaï et Hill (1965) : redéfinition du critère de Hill
- Hoffman (1967) : formulation pratique de G&K
- Tsaï et Wu (1971) : formulation pratique de G&K pour les stratifiés
Remarque : le critère de Hill est une généralisation de Von-Misès réservé aux matériaux
homogène et isotrope.
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Chapitre 0 : Généralités
4-1-1- Le critère de Tsaï-Hill
Critère de type quadratique exprimé en contrainte plane, écrit dans le repère de l'UD :
121
2
6
2
2
2
1 ≤
−
+
+
XrYrSYrXr
σσσσσ
avec
σ11r = σ11c = Xr si σ11 ≤ 0 σ11r = σ11t = Xr si σ11 ≥ 0 σ22r = σ22t = Yr si σ22 ≥ 0 σ22r = σ22c = Yr si σ22 ≤ 0 σ12r = S
Les contraintes sont déterminées expérimentalement sur des essais uniaxiaux.
Remarque : ce critère ne distingue pas les différents modes de rupture de la
monocouche. Il ne fonctionne qu’en contrainte plane et est restrictif sur le signe des
contraintes.
4-1-2- Le critère de Tsaï-Wu
C'est la généralisation des critères quadratiques. Il fait intervenir 2 tenseurs de
résistance : Fij du 2nd ordre et Fi du 1er ordre.
Fij σσσσi σσσσj + Fi σσσσj ≤≤≤≤ 1
En 3D et dans le repère d’orthotropie du pli (pour un matériau orthotrope), le critère
b) Coefficients d’interaction : ils ne s’expriment en fonction des résistances fondamentales X,
Y et S, ils sont déterminés à travers des tests de chargement complexes combinés
F12 (interaction de σ1 et σ2) F13 (interaction de σ1 et σ3) F23 (interaction de σ2 et σ3)
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Chapitre 0 : Généralités
Problème : détermination empirique de l’expression telle qu'elle vérifie une certaine
forme de l'enveloppe de rupture de l'UD dans l'espace des contraintes.
Exemple : enveloppe ellipsoïdale pour équivalence avec des essais uniaxiaux en
contraintes planes et pour un UD.
F11 = 1 / σ11c σ11t
F22 = 1 / σ22c σ22t
F66 = 1 / σ12r2 = 1 / S
2
F16 = F26 =0
Fij =Fji
Ce critère intègre la différence entre comportement en traction et compression. Du point
de vue physique, il y a une mauvaise description des couplages entre contraintes. Les
différents modes de rupture du pli ne sont pas distingués.
4-1-3- Critère de la contrainte maximale
Critère relativement rustique mais qui reste très utilisé pour la recherche des premières
solutions technologiques dans la conception d'une pièce composite. Il est rarement utilisé en
entier mais souvent couplé avec le critère de déformation maxi.
En contrainte plane :
La connaissance des σ limites dans les différentes directions implique la détermination
rapide de l'état de s limites. Ne distingue pas les différents modes de rupture de l'UD.
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Chapitre 0 : Généralités
4-1-4- Critère de la déformation maximale
Critère peu utilisé car en bureau d'études, les concepteurs raisonnent plutôt en
contraintes (ou comment sont transmis les efforts). Il est utilisé couplé avec le critère de
contrainte max. En déformation plane :
Les déformations sont calculées avec la loi de comportement élastique.
4-1-5- Le critère mixte
Remarque : <X>-=X si X<0 sinon, X=0.
Il s'agit d'un couplage entre les deux critères précédents : déformation max appliquée
dans la direction des fibres, et contraintes max appliquée dans la direction transverse et en
cisaillement.
Il ne distingue pas les différents modes de rupture de l'UD.
4-1-6- Le critère de Hashin Remarque : <X>-=X si X<0 sinon, X=0.
Il existe une distinction nette entre les 4 modes de rupture :
- rupture de fibre en traction
- rupture de fibre en compression
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Chapitre 0 : Généralités
- rupture de la matrice en traction
- rupture de la matrice en compression.
Différents laboratoires de recherches sur les structures composites, en partenariat avec
des industriels principalement rattachés au domaine de l'aérospatiale ont développé des
critères beaucoup plus sophistiques qui tiennent compte des différents modes de rupture de
l'UD. Ils ne seront pas présentés ici. Dans le chapitre qui suit, la mécanique de
l'endommagement et la mécanique de la rupture sont brièvement présenté. En effet, dans
l'industrie, les seuls calculs réellement utilisés sont ceux présenté dans le chapitre
homogénéisation et les critères présentés ci-dessus.
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Chapitre 0 : Généralités
4-2- Limites des critères classiques et Conseils d’interprétation
4-2-1- Limites des critères de rupture classiques et Autres approches
Les critères classiques ne tiennent pas compte en général du chemin de la rupture
dépendant de la nature des constituants du composite et du mode de sollicitation. Nous
présentons par la suite les limites de ces critères illustrés par d’autres approches et des cas de
sollicitations particulières.
Le transfert de charge matrice/fibre
Les critères classiques ne tiennent pas compte de l’influence de la nature de la matrice
et du renfort sur le transfert de charge et le chemin de l’endommagement et de la rupture.
Ainsi les propriétés mécaniques du composite ne dépendent pas que du taux de fibres
mais aussi de paramètres tels que :
- la longueur de fibre
- l’orientation des fibres
- l’architecture des fibres (exemple : les tissus)
- les propriétés mécaniques et physico-chimiques des matrices, interfaces et fibres
Plusieurs approches sur le transfert de charge sont proposées :
- Le transfert élastique/élastique (modèle de Cox, « Shear lag theory », 1952) : cas
idéalisé, la fibre et la matrice ont un comportement élastique et il y a continuité
de la déformation à l’interface. Hypothèse non vérifiée en général ! Applicable
que pour les petites déformations et dans le cas où il y a mode de transfert
élastique.
- Le transfert par glissement (Outwater, 1964) : le transfert est associé à une
scission τi due au frottement constant à l’interface et l’adhésion fibre/matrice est
nulle (approche ne tenant pas compte du transfert élastique). Cette théorie met en
évidence l’importance de la longueur des fibres sur le comportement du matériau
(longueur critique lc, au-dessus de lc, la rupture du matériau est provoquée par
les fibres).
- Le transfert élastoplastique : modèle plus proche de la réalité physique car mixte
des 2 approches précédentes. En effet, la fibre a un comportement élastique mais
la matrice est souvent élastoplastique.
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- 72 -
Chapitre 0 : Généralités
- Autres modèles de prévision pour le transfert de charge : Cox et Halpin-Tsaï pour
les propriétés élastiques et Cox et Tsaï pour la rupture.
Statistique de la rupture
Exemple des matériaux composites à fibres courtes : la rupture est répartie
aléatoirement et est caractérisés en utilisant la valeur moyenne de la contrainte à rupture. Or,
bien souvent cette moyenne est assortie d’un écart-type important qui peut cacher une
répartition statistique des propriétés à la rupture. Weibull a proposé une loi statistique de
description de la rupture des matériaux obéissant à la théorie du maillon le plus faible. La
probabilité de rupture de volume V sollicité par un champ de contrainte s est donné par :
P(σ) = 1 – exp [-B(σ)] Avec B(σ) = V f(σ).dV
et si σ>0 f(σ) = [σ/σ0]m si σ<0 f(σ) = 0
où σ : contrainte appliquée σ0 : constante de normalisation du matériau
m : module de Weibull du matériau, caractérisation de la largeur
de la distribution et de l’effet de taille
Cette théorie statistique a l’avantage de mettre en évidence l’effet de taille, plus le
volume sollicité est grand et plus la probabilité de trouver un maillon faible croit et donc plus
la contrainte à rupture est faible.
Limites : cette approche s’applique surtout aux matériaux céramiques et aux bétons, son
application aux composites est récente. Il y aussi le problème de rendre compte de différents
modes de rupture (exemple : différence entre la traction et le flexion).
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Chapitre 0 : Généralités
Rupture en fatigue
Owen décrit les micromécanismes d’endommagement responsables de la rupture en
fatigue sur des polyesters renforcés par des fibres continues et réparties aléatoirement. Il
présente 3 stades d’endommagement :
- la rupture d’interface (« debonding »)
- la rupture de la matrice
- la coalescence des fissures entraînant la rupture brutale
Il note le rôle initiateur des fibres perpendiculaires à la direction de charge (phénomène
souvent repris par plusieurs auteurs).
Dally et Carillo ont travaillé sur des thermoplastiques renforcés à fibres courtes de verre
de différentes longueur. Les « fibres plus courtes » ont un meilleur comportement en fatigue
que celui des « fibres longues ».
Ceci s’explique par les différents mécanismes d’endommagement conduisant à la ruine
du matériau. Dans le cas des « fibres longues », les fissures sont concentrées dans les régions
riches en fibres et se propageant en suivant les interfaces tout autour des paquets de fibres
existant. Ces fissures s’arrêtent et ne parviennent pas à traverser les zones riches en matrice.
Les premières fissures s’amorcent et se propagent dans les paquets de fibres perpendiculaires
à la direction de charge.
Pour les fibres courtes, les mécanismes sont différents. Les fibres sont réparties
uniformément sans former de paquets ni de zones riches en matrice. De nombreuses
microfissures se créent perpendiculairement à la charge ; celles-ci ne concernent qu’un petit
nombre de fibres et sont aléatoirement réparties dans le volume. Dally et Carillo ont mis en
évidence que la rupture d’interface était encore le mécanisme de base, mais que la fissure ne
se propageait pas dans la matrice. La ruine totale provient de la coalescence des microfissures.
D’autres études montrent l’importance des bouts de fibres dans la création des
microfissures. Ces études suggèrent que dans les composites à fibres courtes, toutes les
extrémités de fibre sont des sites néfastes à la tenue en fatigue même lors de très faibles
sollicitations.
Mc Garry, Mandell et Huang proposent de décrire la courbe d’endurance (S-N) par la
loi suivante :
σM = σuc – B log(Nr)
avec :
σuc : contrainte de rupture statique
Nr : nombre de cycles à rupture
σM : niveau de contrainte maximum
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Chapitre 0 : Généralités
B : coefficient propre au matériau
Mécanismes d’endommagement et de rupture dans les composites
En résumé, la rupture finale d’un composite est le résultat de l’accumulation de divers
mécanismes élémentaires :
- la rupture des fibres
- la rupture transverse de la matrice
- la rupture longitudinale de la matrice
- la rupture de l’interface fibre-matrice
Généralement, un mécanisme n’est pas isolé, mais divers mécanismes coexistent. Ces
mécanismes se développent suivant la nature des matériaux et les conditions de sollicitations
mécaniques imposées.
Dans un matériau composites unidirectionnel soumis à des sollicitations mécaniques, la
rupture intervient lorsque la contrainte de traction (σf) dans une fibre atteint la contrainte
ultime (σfu) de la fibre. La rupture de la fibre crée une concentration de contrainte au
voisinage de la rupture. La redistribution des contraintes et par conséquent le processus de
rupture résultant, dépend principalement :
- de la contrainte à la rupture des fibres
- de la capacité de la matrice à absorber l’énergie libérée
- des propriétés de l’interface fibres/matrice
Les figures suivantes montrent les différents processus de rupture de la matrice associés
à la rupture d’une fibre :
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Chapitre 0 : Généralités
figure 12.1 : Rupture de fibre
La fissuration de la matrice peut se produire, soit par fissuration transverse (figure 12.3)
lorsque la contrainte en traction σm dans la matrice atteint la contrainte à la rupture σmu de la
matrice, soit par fissuration longitudinale (figure 12.4) lorsque la contrainte de cisaillement τm dans la matrice atteint la contrainte de cisaillement ultime τmu, généralement au voisinage
d’une fibre.
Ce dernier mode de rupture appelé « splitting », se produit lorsque la contrainte de
décohésion est supérieure à la contrainte en cisaillement à la rupture de la matrice : τd > τmu.
Dans le cas contraire où τd < τmu, il se produit une rupture une rupture par décohésion de
l’interface fibre-matrice. (figure 12.5).
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Chapitre 0 : Généralités
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Chapitre 0 : Généralités
Exemple d’un composite unidirectionnel soumis à de la traction : comportement du matériau
suivant le classement des propriétés entre fibre et matrice en contrainte et déformation
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Chapitre 0 : Généralités
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Chapitre 0 : Généralités
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Chapitre 0 : Généralités
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Chapitre 0 : Généralités
Rupture en général dans les straifiés : tous les modes sont possibles
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- 82 -
Chapitre 0 : Généralités
4-2-2- Conseils d’interprétation des critères
Les critères, par les approches présentées au-dessus, montrent qu’ils sont un
représentation globale de la rupture à un niveau global et souvent approximatif.
Il faut donc prendre la critère comme une estimation de la rupture et faire croiser
plusieurs critères (exemple : Tsaï-Hill et Tsaï-Wu). Il peut être nécessaire de vérifier les
contraintes et déformations maximales dans les plis si le ou les critères donnés par le calcul
sont « limites » (proches de 1 = la rupture voire moins si on doit respecter un critère de
sécurité).
Cependant, les remarques suivantes peuvent être faites :
- Tous les critères existants à l’heure actuelle sont de nature phénoménologique.
Les recherches dans le domaine tentent toujours d’approcher au mieux la rupture.
Mais en l’état actuel des connaissances , il n’est pas possible d’expliquer
l’origine et les phénomènes intervenant dans la rupture des M.C. (matériaux
Composites).
- Les critères de résistance sans interaction des contraintes sont simples
d’utilisation et par la séparation des modes de rupture, permettent de prédire la
nature de la rupture. Ils restent insuffisants pour prédire la rupture des structures
sous chargements complexes et ne sont donc réservés qu’aux calculs estimatifs
ou aux problèmes de structures et de chargements simples.
- Les critères de rupture avec interaction des contraintes sont plus performants
mais ne permettent pas d’avoir des informations sur la nature de la rupture. A
quelques exceptions près, ils ont tous la même ossature mathématique. Certains
ont été développés mathématiquement sous forme tridimensionnelle mais aucun
n’a été appliqué sous cette forme.
- Le critère tensoriel polynomial de Gol’denblat-Kopnov est la théorie de rupture
la plus générale pour les matériaux anisotropes. Tous les critères tensoriels
polynomiaux proposés sont des cas particuliers de cette théorie. Ils ont tous été
prévus pour des structures et des chargements triaxiaux. Cependant, ils n’ont été
appliqués que sous une forme quadratique bidimensionnelle. Les difficultés
techniques inhérentes à la troisième dimension de l’espace des contraintes en
sont l’une des raisons.
- Par sa simplicité, la théorie de Tsaï-Wu est actuellement unanimement adoptée
dans les milieux industriel et scientifique. La difficulté liée à la mesure du
coefficient d’interaction F12 fait que ce critère est le plus souvent utilisé avec
l’analogie au critère de Von-Misès (ce qui évite cette mesure du F12)
- L’application d’une forme cubique apparaît plus réaliste que la forme
quadratique. Cependant pour le cas d’une expression 3D cubique, le nombre de
coefficients de résistance à déterminer expérimentalement deviendrait très élevé.
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- 83 -
Chapitre 0 : Généralités
Attention aux codes de calcul qui donnent des coefficients approchés dans les critères (valeurs par défaut)
Thèse de Kamel Khellil (« Evaluation expérimentale d’un critère de rupture tensoriel
polynomial tridimensionnel pour matériaux composites ») et le DEA de Chotard sur
l’estimation des coefficients de couplage dans le critère de Tsaï-Wu (Fi et Fij dans le critère
tensoriel polynomial quadratique de Tsaï-Wu exprime en 3D et dans le repère propre du pli –
orthotropie -) par une approche expérimentale complexe.
F1 σ1 + F11 σ12 + F2 σ2 + F22 σ2
2 + F3 σ3 + F33 σ3
2 + 2 F12 σ1 σ2 + 2 F13 σ1 σ3 +
2 F23 σ2 σ3 + F44 σ42 + F55 σ5
2 + F66 σ6
2 = 1
Les valeurs suivantes ont été déterminées pour de l’UD verre/époxy et de l’UD
carbone/époxy :
Exemple du Carbone/Epoxy (T300/914) avec Vf = 58.9 ±±±± 1.2 %
Valeurs en élasticité
E1 = 131.9 GPa G12 = 5.27 GPa ν12 = 0.326
E2 = 9.51 GPa G13 = 7.03 GPa ν13 = 0.341
E3 = 9.43 GPa G23 = 3.39 GPa ν23 = 0.485
Valeurs en Résistance
X+ = 1328 MPa Y+ = 70.9 MPa Ζ+ = 97.58 MPa
X- = 1064 MPa Y- = 221 MPa Ζ− = 242 MPa
S = 71.2 MPa R = 94.5 MPa Q = 52.89 MPa
Valeurs des coefficients dans le critère Tsaï-Wu
F1 = -0.216 GPa-1
F2 = 9.82 GPa-1 F66 = 199.5 GPa
-2
F11= 0.743 GPa-2 F22 = 64.95 GPa
-2 F55 = 114 GPa
-1
F44= 357.5 GPa-2 F3 = 6.15 GPa
-1 F33 = 43.35 GPa
-1
F12= -3.55 GPa-2 F13 = 3.34 GPa
-1 F23 = - 13.81 GPa
-1
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Chapitre 0 : Généralités
CHAPITRE 5
PRISE EN COMPTE DE L’ENDOMMAGEMENT ET DU DELAMINAGE DANS LES COMPOSITES
(notions)
Voir photocopies issues : - du Cours de M.L. Benzeggagh en MQ13 / UTC
- de l’étude bibliographique du DEA de S. Barré (« Etude de l’endommagement de
matériaux composites à fibres courtes et à matrice thermoplastique sous chargement
statique et cyclique »)
5-1- Mécanique de l'endommagement A partir de la théorie de l’endommagement et du concept de la contrainte effective
(Kachanov, 1958 et Rabotnov, 1969), on applique aux matériaux orthotropes une matrice
d’endommagement D ou plutôt (1 – D) nécessairement symétrique pour être
thermodynamiquement admissible (matrice 3*3 dans le plan d’orthotropie) dont voici un
exemple :
[1 – D] =
−−−−
−−−
12
221
211
100
01)1)(1(
0)1)(1(1
d
ddd
ddd
d’où en cours d’endommagement :
σσσσ = Q’. ε ε ε ε avec Q’ = (1-D) . Q
Q est la matrice de rigidité initiale et Q’ celle modifiée par le dommage « orthotrope »
Dans l’écriture en déformation : ε = S . σ, l’exemple suivant donne l’écriture de la
matrice S après endommagement, soit S’:
[S’] =
−−−
−−
)1(/100
0)1(/1/
0/)1(/1
1212
22
*
12
1
*
1211
dG
dEE
EdE
νν
où ν*12 = ν12 / (1-d1)
1/2 (1-d2)
1/2
Attention : l’endommagement peut modifier la nature du matériau, un matériau au
départ isotrope ou orthotrope peut devenir anisotrope au sens large !
Nadia BAHLOULI IPST-ULP
Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle
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Chapitre 0 : Généralités
5-2- Mécanique de la rupture
Application de la MLER (Mécanique Linéaire Elastique de la Rupture) aux stratifiés en
mode I, mode II et mode mixte I + II :
- détermination des facteurs d’intensité de contrainte critiques (KIc et KIIc)
- détermination des taux de restitution d’énergie critiques (GIc et GIIc)
Remarques :
- les Kc et Gc sont intrinsèques au matériau et donc indépendants de la longueur de
fissure.
- La rupture est plus facile dans les composites quand plusieurs modes sont combinés.
- La rupture par délaminage est entre 2 plis adjacents, la MLER s’applique donc assez
bien dans le cas du délaminage.
- La difficulté dans les composites est que la propagation de la fissure peut bifurquer
et induire un changement de mode.
Présentation des planches sur les essais types de délaminage.
Nadia BAHLOULI IPST-ULP
Cours Matériaux Composites / DESS Mécanique avancée et Stratégie industrielle
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Chapitre 0 : Généralités
CHAPITRE 6
COMPORTEMENT MECANIQUE DES MATERIAUX SANDWICHS
ET DES STRUCTURES STRATIFIEES
Intérêt mécanique et économique des sandwiches Généralités
2 peaux relativement minces au propriétés mécaniques fortes collées
sur une âme légère à faibles caractéristiques
Avantages
- Grande légèreté
- Grande rigidité flexionnelle (rapport EI/ρ) - Excellentes caractéristiques d’isolation
Inconvénients
- mauvais amortissement et isolation acoustique (problème lié à la densité relativement
basse)
- Tenue au feu moyenne pour certaines catégories d’âme
- Risques de flambement plus élevé que sur les autres structures