Materialu_pretestiba

I.ZIEMELIS, A.KATIS, L.DOMINIEKS

M A T E R I L U

P R E T E S T B A

Mcbu grmata

JELGAVA 2008

Mcbu grmata sagatavota un izdota ESF projekta Inenierzintu studiju satura modernizcija Latvijas Lauksaimniecbas universittietvaros, projektu

ldzfinans Eiropas Savienba.

Ziemelis I., Katis A., Dominieks L. Materilu pretestba. Jelgava: LLU,

2008. 376 lpp.

ISBN 978-9984-784-77-9

Imants Ziemelis, Aivars Katis, Laimonis Dominieks

LLU Tehnisk fakultte

3

SATURS

Priekvrds.................................................................................................................. 6

1. nodaa. Pamatjdzieni ............................................................................................. 7

1.1. Materilu pretestbas priekmets un t pamatuzdevumi ..................................... 7

1.2. Relais objekts un aprina shma ..................................................................... 8

1.3. Materilu pretestbas pamathipotzes ................................................................. 9

1.4. rjie un iekjie spki .................................................................................... 10

1.5. luma metode ............................................................................................... 11

1.6. Iekjo spku faktoru epras pamatslogojumiem ............................................. 15

1.7. Diferencialsakarbas liec .................................................................................. 16

1.8. Spriegumu jdziens un to iedaljums ............................................................... 45

1.9. lumu laukumu eometriskie raksturotji .................................................... 48

1.9.1. luma laukums ..................................................................................... 48

1.9.2. Laukumu statiskie momenti .................................................................... 48

1.9.3. Laukumu aksilie inerces momenti ........................................................ 51

1.9.4. Sakarbas starp inerces momentiem dads koordintu sistms .......... 52

1.9.5. Galvens asis un galvenie inerces momenti ........................................... 56

1.9.6. Inerces rdiusi un pretestbas momenti ................................................... 59

2. nodaa. Stiepes (spiedes) slogojums ...................................................................... 64

2.1. Spriegumi un deformcijas................................................................................ 64

2.2. Stiepes (spiedes) diagramma plastiskiem materiliem ..................................... 67

2.3. Huka likums ...................................................................................................... 73

2.4. Virsmas spiede .................................................................................................. 75

2.5. Pieaujamie spriegumi ...................................................................................... 76

3. nodaa. Saliktais spriegumstvoklis ..................................................................... 77

3.1. Jdziens par spriegumstvokli .......................................................................... 77

3.2. Spriegumi stiepta stiea lumos..................................................................... 78

3.3. Spku darbbas neatkarbas likums .................................................................. 81

3.4. Plaknes un telpas spriegumstvoki .................................................................. 82

3.5. Galvenie spriegumi ........................................................................................... 84

4

3.6. Visprintais Huka likums ............................................................................... 86

3.7. Deformcijas trs bdes slogojum .................................................................. 88

3.8. Cirpes (bdes) slogojums ................................................................................... 91

3.9. Stiprbas teorijas ............................................................................................... 92

3.10. Deformciju un spriegumu mrana............................................................... 96

4. nodaa. Vrpe ........................................................................................................ 107

4.1. Apastieu vrpe ............................................................................................. 107

4.2. Deformcijas apastieu vrp ....................................................................... 111

4.3. Neapau stieu vrpe ...................................................................................... 115

4.4. Statiski nenoteicami uzdevumi vrp ............................................................. 127

4.5. Plnsienu noslgta un nenoslgta profila stieu vrpe.................................... 129

5. nodaa. Liece ......................................................................................................... 132

5.1. Trs lieces slogojums ..................................................................................... 132

5.2. Lieces normlie spriegumi ............................................................................. 133

5.3. Lieces tangencilie spriegumi ........................................................................ 136

5.4. Stiprbas aprini liec ................................................................................... 141

5.5. Racionls sijas rsgriezuma izveidojums ................................................... 145

5.6. Viendas pretestbas siju liece ........................................................................ 149

5.7. Salikto siju aprins ....................................................................................... 152

5.8. Lieces centrs ................................................................................................... 157

5.9. Lkas sijas liece ............................................................................................... 161

5.10. Sijas liekts ass diferencilviendojums un t integrana .......................... 165

6. nodaa. Elastgie prvietojumi ............................................................................ 181

6.1. Sistmas potencil enerija ........................................................................... 181

6.2. Maksvela teorma par prvietojumu savstarpgumu ...................................... 184

6.3. Kastiljano teorma .......................................................................................... 187

6.4. Kastiljano formula . ......................................................................................... 189

6.5. Mora integrlis ................................................................................................ 191

6.6. Vereagina pamiens .................................................................................. 198

6.7. Prvietojumu noteikana ar Simpsona formulu .............................................. 205

6.8. Deformcijas no temperatras izmaias ......................................................... 223

5

7. nodaa. Saliktie slogojumi ................................................................................... 226

7.1. Greiz liece ..................................................................................................... 227

7.2. Ekscentrisk spiede (stiepe) ........................................................................... 233

7.3. Vienlaicga lieces un vrpes darbba apastieos ........................................... 248

8. nodaa. Statiski nenoteicamas sistmas .............................................................. 264

8.1. Statisk nenoteicamba ................................................................................... 264

8.2. Spku metodes kanoniskie viendojumi ......................................................... 265

8.3. Epru zmana statiski nenoteicamm sistmm .......................................... 269

9. nodaa. odze ........................................................................................................ 277

9.1. Konstrukciju stabilitte ................................................................................... 277

9.2. Kritisk spka noteikanai .............................................................................. 278

9.3. rsgriezuma izvle pc noturbas nosacjuma (projekta aprins).............. 283

9.4. Vienlaicgs lieces un odzes slogojums ........................................................... 303

10. nodaa. Dinamisks slodzes ................................................................................ 306

10.1. Inerces spku ievrtana aprinos .......................................................... 306

10.2. Elastgs svrstbas...................................................................................... 309

10.3. Stiprbas aprini elastgu svrstbu slogojum ......................................... 315

10.4. Trieciena slodze .......................................................................................... 317

11. nodaa. Laik maingi spriegumi ....................................................................... 321

11.1. Jdziens par materila nogurumu ............................................................... 321

11.2. Materilu izturba pie laik maingiem spriegumiem ................................. 322

11.3. Nogurums simetrisk cikl.......................................................................... 325

11.4. Nogurums nesimetrisk cikl ..................................................................... 327

11.5. Aprini salikt slogojum.......................................................................... 328

1. pielikums. Karsti velmt trauda profilu sortiments ............................................ 331

2. pielikums. Auksti velmt trauda profilu sortiments ........................................... 348

3. pielikums. Eiropas normatvu profili ..................................................................... 366

Literatra ............................................................................................................... 376

6

PRIEKVRDS

Grmata paredzta k mcbu ldzeklis Latvijas Lauksaimniecbas universittes

tehnisko fakultu studentiem. T var bt noderga ar citu augstskolu studentiem un

ineniertehniskajiem darbiniekiem, kuriem ir saskare ar konstrukciju apriniem, un

bt par pamatu tdu ineniertehnisko priekmetu apguvei k manu elementi,

bvkonstrukcijas u.c.

Grmat ldzs teortisk materila izklstam doti virkne praktisku piemru

biek sastopamo konstrukcijas elementu slogojumu shmu apriniem, kas var bt

sevii nodergi nepilna laika studentiem mcbu vielas patstvgai apguvei. Skaitlisko

lielumu mranai pamat lietota starptautisk mrvienbu sistma SI. Apskattas tikai

raksturgks un konstruktoru praks plak lietots konstrukciju elementu aprinu

metodes.

Autori ir centuies ieturt iepriekjs latvieu valod izdots mcbu grmatas

(E.Lavendelis, A.Valdmanis. Materilu pretestba. Rga, Zvaigsne, 1970., 495 lpp.)

izklsta stilu, materila iedaljumu un lielumu apzmjumus, izemot tdus k spks,

luma laukums, vrpes moments un vl daus citus. Grmat nav iekautas ts

nodaas, kuras saska ar LLU inenierzintu specialitu studentu materilu

pretestbas programmm, neapskata.

Grmatu sarakstjui LLU Mehnikas institta mcbspki Imants

Ziemelis - 1., 2., 6. un 8. nodau, Aivars Katis - 3., 10. un 11. nodau, prjs

Laimonis Dominieks.

7

1. n o d a a

PAMATJDZIENI

1.1. MATERILU PRETESTBAS PRIEKMETS UN T

PAMATUZDEVUMI

Materilu pretestba pieder pie ineniertehniskm pamatdisciplnm. T ir viens

no saretkajiem tehniskajs fakultts apgstamajiem mcbu priekmetiem.

Materilu pretestba ir zintne par manu un bvkonstrukciju elementu stiprbu.

Ar jdzienu stiprba apzm visu to pabu kopumu, kur izpauas konstrukcijas

elementu pretestba rjo spku iedarbbai. Td lieto ar otro nosaukumu materilu

stiprba. Materilu stiprba manu vai bvkonstrukciju element izpauas: izturb,

stingum un noturb. ermeni sauc par izturgu, ja tas var izturt doto slodzi ar

noteiktu drobu. ermenim ir nepiecieamais stingums, ja t deformcijas atrodas

noteikts robes. ermenim ir nepiecieama noturba, ja pie dots slodzes tas saglab

savu ldzsvara skotnjo formu. Piemram, gari spiesti stiei var izodzties, ja spiedes

spks ir prk liels.

Materilu pretestbas atzias dod iespju izvlties detau izgatavoanai

racionlko materilu, aprint konstrukciju elementu nepiecieamos izmrus,

garantjot ts drobu pie miniml svara. Konstrukcijas drobas un ekonomijas

prasbas ir savstarpji pretrungas. Konstrukcija bs izturgka un ldz ar to droka, ja

ts elementi bs ar lielkiem izmriem un izgatavoti no izturgka materila, kas

parasti ir drgks, un otrdi. Pretruna starp konstrukcijas drobu un materila

taupanu veicina materilu stiprbas zintnes attstbu, liek konstruktoriem meklt

izdevgkus atrisinjumus konkrtos raoanas apstkos.

Materilu pretestba ir ciei saistta ar teoriju un praksi. Sav teortiskaj da t

balsts uz teortisko mehniku, sevii statiku (spku noteikana), un matemtiku

(diferencilrini, integrlrini, rindas, diferencilviendojumi), bet praktiskaj uz

fiziku (cietu ermeu uzbve) un materilu zinbu (materilu pabas). Materilu

pretestba savukrt noder par pamatu manu elementu kursam u. c. specilm

8

disciplnm. Materilu pretestbas uzdevumu risinan plai tiek izmantota modern

skaitoanas tehnika.

Materilu pretestbas pamatuzdevums ir izmantojot teortiskaj mehnik iegts

zinanas par spkiem, to saskaitanu, sadalanu komponents, balstu reakciju

aprinanu pc zinmas pielikts rjs slodzes, u.c. likumus, dot metodes

konstrukciju elementu materilu racionlai izvlei un to nepiecieamo izmru

noteikanai. Ja teortiskaj mehnik materili tika uzskatti par absolti cietiem, tad

materilu pretestba apskata relus, pielikts rjs slodzes darbbas rezultt

deformjoos materilus.

Materilu pretestba, k zintne, neprtraukti attsts saistb ar matemtikas,

fiziks, materilu zintnes, skaitoanas tehnikas u.c. zintnes nozaru sasniegumiem.

1.2. RELAIS OBJEKTS UN APRINA SHMA

Par relo objektu sauc aprinmo konstrukciju vai ts elementu. Aprinos biei

vien nav nepiecieama zint visas rel objekta patnbas (piemram, krsu, virsmas

apstrdes gluduma pakpi u.c.), tpc relo

objektu aizstj ar t.s. aprina shmu.

Aprina shm uzrda visu nepiecieamo

konstrukcijas vai ts elementa aprinam

(rjo slodzi, balstus un to reakcijas,

attlumus). Atkarb no aprina

uzdevuma, vienam relam objektam var

bt vairkas aprina shmas, un otrdi,

viena aprina shma var nodert vairku

relo objektu apriniem. Tpc materilu

pretestba apskata un izstrd aprinu

metodes un metodikas dadm praks

visbiek sastopamm aprina shmm,

kuras var pielietot konkrto relo objektu

apriniem (1.1. att.). Kombinjot dadas 1.1. att. Relais objekts

(a) un (c), aprina shma (b).

9

aprina shmas iespjams veikt visus nepiecieamos konstrukcijas aprinus.

Izvloties aprina shmu ir rpgi jprdom, kdus rel objekta parametrus

konkrtaj aprin var neievrot, lai nerastos kdas un tiktu ievrota nepiecieam

aprina precizitte.

Konstrukciju pamatelementi ir stiei, plksnes un masvi. Par stieni sauc

konstrukcijas elementu, kura rsgriezuma izmri daudzkrt mazki par t garumu.

Stiei var bt ar taisnu, telp liektu vai lauztu asi. Stieni vai t posmus aprina

shms parasti attlo ar vienu lniju stiea asi. Par stiea asi sauc lniju, kas savieno

visus t lumu laukumu smagumcentrus. Stienis ir materilu pretestbas ptanas

galvenais objekts. Par plksni sauc konstrukcijas elementu, kas veidots no divm

savstarpji parallm virsmm, attlums starp kurm ir neliels, saldzinot ar prjiem

izmriem. Par masvu sauc konstrukcijas elementu, kura linerie izmri ir vienas

krtas.

1.3. MATERILU PRETESTBAS PAMATHIPOTZES

Materilu pretestba ir zintne ar teortiski praktisku ievirzi. T dod

projektanas praksei rti izmantojamas metodes un formulas visdadko

konstrukciju un to elementu apriniem. Lai aprinus vienkrotu, materilu

pretestb nereti izmanto vairkus piemumus jeb hipotzes, kuras aprinus auj

vienkrot to precizitti praktiski nesamazinot. Tiek pieemts, ka

konstrukciju un to elementu materils ir ar neprtrauktu uzbvi. stenb

jebkur materils t molekulrs uzbves d nav glui neprtraukts. Ar o

piemumu tiek ignorta vielu atomr struktra, bet t k konstrukciju izmri

daudzkrt prsniedz attlumus starp atseviiem atomiem, tad kda, kas

veidojas, ir neliela. is piemums nozm, ka materila pabas nemains, lai

ar cik maza materila daia tiek apskatta, un tas, savukrt, dod iespju relu

deformjamu ermeu aprinu veikanai pielietot matemtik pazstams

bezgalgi mazu lielumu analzes metodes;

materils ir viendabgs (izotrops). hipotze dod iespju uzskatt, ka materila

pabas visos t punktos un virzienos ir viendas. Tas labi attiecinms uz

10

metliem ar smalkgraudainu struktru, bet tdiem materiliem, k koks,

dzelzsbetons, plastmasas, akmens, u.c. o hipotzi var pielietot ne vienmr, jo

ie materili ir anizotropi;

ermen pirms slodzes pielikanas nav iekjas skuma pieples. Tau ir

zinms, ka, piemram, nepareizas vanas rezultt kokmaterili plais un

deformjas. Ar nepareiza trauda detau rdana izsauc to deformanos.

Strauji vjot betona ljumi plais utt. s deformcijas izsauc materil esoie

iekjie spki;

ja materilu slogo ar rjos slodzi, tad taj pards t.s. iekjie vai elastbas

spki, kuri pretojas konstrukcijas vai ts elementa deformcijm izmru un

formas maiai.

Ir sastopamas vl citas hipotzes vai piemumi, tdi k koncentrtas slodzes

jdziens, spku darbbas neatkarbas princips u.c., tau vajadzgs aprinu

precizittes nodroinanai, kur tas nepiecieams, s hipotzes radt neatbilstba tiek

novrsta izmantojot specilas aprina metodes vai attiecgus koeficientus.

1.4. RJIE UN IEKJIE SPKI

Spka jdziens kvantitatvi raksturo viena ermea iedarbbas intensitti uz otru

ermeni vai kda ermea atsevio dau savstarpjo iedarbbu. Pirmaj gadjum

spkus sauc par rjiem spkiem vai slodzm, bet otraj gadjum par iekjiem vai

elastbas spkiem. No teortisks mehnikas zinms, ka dab sastopami tikai virsmas

un tilpuma spki. ermei savstarpju iedarbojas tiei saskaroties (virsmas spki) vai

ar spku lauku (tilpuma spki) paldzbu. o spku intensitti parasti apzm ar burtu

q. Virsmas spki var bt izkliedti pa lniju (nesos griestu un grdas sijas, dzelzcea

sliede u.c.) vai virsmu (sniega sega uz jumta, vja iedarbba uz kas sienu, dens

spiediens uz trauka dibenu utt.). To mrvienba ir attiecgi N/m, kN/m, .... N/m2, kN/m2.

Tilpuma spki iedarbojas uz visu ermea tilpumu (gravitcijas spks, magntiskais

lauks). To mrvienba ir N/m3, kN/m3. Izkliedt slodze pa lniju un laukumu var bt

sadalta vienmrgi vai nevienmrgi. Piemram, sniega segas spiediens uz plakanas

virsmas var bt vienmrgs vai nevienmrgs. dens spiediens uz trauka dibenu bs

11

vienmrgs, bet uz t sienm nevienmrgs. Materilu pretestb, tpat k mehnik,

biei izmanto koncentrtas slodzes jdzienu, kuru apzm ar burtiem F, P, R, G, Q vai

citiem. Par koncentrtu slodzi sauc pa oti mazu virsmas laukumu darbojos

izkliedtas slodzes kopspku. Piemram, lodu gulta lodtes spiediens uz gulta

gredzenu, dzelzcea vagona rietea spiediens uz sliedi u.c. K redzam, koncentrta

spka jdziens ir nosacts lielums. Tau, ja izkliedts slodzes iedarbbas laukums ir

neliels, saldzinot ar kontakt esoo objektu izmriem, tad ds piemums ir

pieaujams. Kd konkrt lum pielikta lieces momenta radto slodzi parasti attlo

ar spkpri un apzm ar burtu M (1.2. att.).

1.2. att. rjo slodu veidi:

F - koncentrta slodze, M - lieces moments (spkpris), q - pa lniju vienmrgi izkliedts slodzes intensitte, qmax - pa lniju nevienmrgi izkliedtas slodzes maksiml vrtba.

1.5. LUMA METODE

Jebkuras konstrukcijas elementa stiprbu spju nesabrkot pretoties rjs

slodzes iedarbbai, nosaka savstarpjs iedarbbas iekjie spki un momenti starp

atsevim elementa dam. Iekjos spkus un momentus sauc par iekjo spku

faktoriem. Tos izraisa rj slodze. rjo slodzi noemot, iekjo spku faktori izzd.

Iekjo spku faktoru noteikanai pielieto t.s. luma metodi. Lai ar to iepaztos,

apskatam stieni, slogotu ar rjo slodzi - spkiem F1...Fn (1.3. att. a). Saska ar

luma metodi rkojas sekojoi:

1. Stieni iedomti e ar plakni p perpendikulari stiea asij viet, kur jnosaka

iekjo spku faktori.

12

2. Nosacti atmet vienu no ateltajm dam. Lai aprins btu vienkrks,

atmet to dau, uz kuru darbojas saretka rjo spku sistma.

3. Atmests daas iedarbbu uz palikuo dau aizstj ar iekjo spku faktoriem.

4. Sastda statikas ldzsvara viendojumus palikuajai daai un tos atrisinot, atrod

iekjo spku faktorus.

1.3. att. luma metode:

a) - stiea lums ar plakni; b) - iekjie spki.

Ja no ermea, kas atrodas ldzsvar, ar luma metodi iedomti atdalm kdu

no dam, un atelts daas iedarbbu uz palikuo ievrojam pieliekot lumos

iekjo spku faktorus, tad ldzsvar atrodas ar iedomti atelt daa (1.3. att. b).

No apskatms daas ldzsvara noteikumiem nosaka iekjo spku rezultjo

spka projekcijas uz asm x, y un z, k ar lieces un vrpes momentus ap m asm.

Apskatam sijas dau A, atmetot no luma plaknes p pa labi esoo dau B (1.4.

att. a). Atmests daas B iedarbbu uz palikuo dau A aizstjam ar iekjo spku

13

faktoriem. Lai sastdtu iekjo spku faktoru aprina izteiksmes (ldzsvara

viendojumus), apskatms daas luma smagumcentr zm taisnlea labs vtnes

koordintu sistmas x, y, z skumpunktu.

x

z

y

c

Fiy

Fix

Fiz= -N

QxQy

F3

F1

F2

MizM

z

Mix

Mx

A

c'

x'

z'

y

Fiy'

Fix'

Fiz'= -N

Miz'

Mz

Mix'

Mx Qy

Qx

Miy'

My

My

Miy

B

Fn

Fn-1

a)

b)

1.4. att. luma metode: a) - rj slodze un iekjo spku faktori stiea daai A; b) - rj slodze un iekjo spku faktori stiea

daai B.

Asis novieto t, ka z ass virziens sakrt ar luma rjs normles virzienu, bet x

un y asu virzieni ar luma galvenajm inerces asm (par galvenajm asm skat.

apaknodau 1.8). Sadalot iekjo spku Fie sistmas galveno vektoru un galveno

14

momentu komponents uz koordintu asm, iegstam trs iekjos spkus un trs

iekjos momentus iekjo spku faktorus. Tie ir: N - aksilais spks, Qx un Qy

rsspki attiecgi x un y asu virzienos, Mz vrpes moments, Mx un My lieces

momenti ap x un y asm. rjs slodzes Fn projekcijas asu x un y pozitvajos virzienos

var ldzsvarot tikai pretji, attiecgi x un y asu negatvajos virzienos, vrsti rsspki

Qx un Qy. rjo spku momentus Mx, My un Mz, kas tiecas apskatmo stiea dau

pagriezt ap asm x, y un z to pozitvajos virzienos, var ldzsvarot tikai pretji vrsti

momenti lieces momenti Mx un My ap x un y asm, un vrpes moments Mz ap z asi.

Ja rjo spku projekciju vai momentu summa uz koordintu asm ir negatva,

tad ar iekjo spku faktori ir negatvi. Atirb no iekjiem spkiem un momentiem

pieemam, ka aksilais spks N ir pozitvs, ja to izraisoie rjie spki stiea lum

rada stiepi, un negatvs, ja rjie spki lum rada spiedi.

Saska ar utona treo likumu, iekjie spki un momenti, kas darbojas stiea

lum uz t dam A un B, ir viendi un pretji vrsti. Tpc apskatot stiea dau B

ts smagumcentr C jnovieto kreiss vtnes koordintu sistmas x, y, z

skumpunkts. o asu pozitvie virzieni ir pretji asu x, y, z pozitvajiem virzieniem

(1.4. att. b). Tas nozm, ka savienojot kop abas atelts daas A un B iekjo spku

faktori savstarpji ldzsvarojas. No abu dau statikas ldzsvara viendojumiem

iegstam, ka aksilais spks z ass virzien:

=

=n

i

izFN1

, (1.1)

rsspki x un y asu virzienos:

=

=n

i

ixx FQ1

un

=

=n

i

iyy FQ1

, (1.2)

lieces momenti ap x un y asm:

un

15

=

=n

i

iyy MM1

, (1.3)

vrpes moments ap z asi:

=

=n

i

izz MM1

. (1.4)

luma metodi iekjo spku faktoru skaitlisko vrtbu un zmju noteikanai var

izmantot k taisniem, t lkiem, telpiski liektiem un lauztiem stieiem.

Atkarb no t, kdi iekjo spku faktori darbojas stiea lum, ir etri

raksturgi stiea pamatslogojuma veidi: stiepe (spiede), bde (cirpe), vrpe un liece:

Ja stiea lum darbojas tikai aksilais spks N, tad atkarb no t virziena

stienis ir stiepts vai spiests.

Ja stiea lum darbojas tikai rsspks Qx vai Qy vai abi kop, stienis ir

slogots bd (cirp).

Ja stiea lum darbojas tikai vrpes moments Mz, stienis ir pakauts vrpei.

Ja stiea lum darbojas tikai kds no lieces momentiem Mx vai My, tad

stienis ir slogots tr liec attiecgi yz vai xz plakn.

Ja stiea lum darbojas divi vai vairki pamatslogojumi vienlaicgi,

tad tdu slogojumu sauc par saliktu slogojumu.

Ja rj slodze darbojas tikai vien plakn, piemram, yz plakn, tad

visprg gadjum stiea lum darbosies tikai aksilais spks N, rsspks Qx un

lieces moments Mx.

1.6. IEKJO SPKU FAKTORU EPRAS

PAMATSLOGOJUMIEM

Lai vartu aprint nepiecieamos stiea izmrus, jzina, k mains iekjo

spku faktoru vrtbas dados t lumos stiea ass virzien. o izmaiu parasti

parda grafiski zmjot diagrammas, kuras sauc par eprm. Epras rda iekjo spku

faktoru vrtbu sadaljumu stiea ass virzien. Katras epras ordinta rda iekjo

spku faktora vrtbu attiecg lum. Ordintas atliek perpendikulari stiea asij.

16

Epru laukumu iesvtro ordintu virzien. Epru raksturgiem punktiem pieraksta to

skaitlisks vrtbas.

Stiea dau, kur iekjo spku faktoru vrtbas nemains, sauc par posmu.

Stieni, kur slogots galvenokrt liec sauc par siju. Iekjo spku faktoru vrtbas

aprina izmantojot lumu metodi. Zmjot epras iekjo spku faktoru vrtbas

atliek saska ar 1.1.tabulu.

1.1. tabula. Iekjo spku faktoru vrtbu atlikanas virziens

Iekjo spku faktors Pozitvo vrtbu atlikanas

virziens uz asm Aksilais spks N un vrpes moments Mz + y vai + x

rsspks Qx un lieces moments Mx + y

rsspks Qx + x

Lieces moments My - x

Ievrojot os nordjumus iegsim, ka lieces momentu epras bs atliktas uz

stiea spiestajm iedrm. Bvmehnik pieemts lieces moments pozitvs vrtbas

atlikt pretj virzien - uz stiea stieptajm iedrm.

1.7. DIFERENCILSAKARBAS LIEC

Apskatam divbalstu siju, kura slogota ar brvi izkliedtu slodzi q = q(z), kur z ir

luma abscisa, koncentrtu slodzi F un spkpri ar momentu M (1.8. att.). Ar diviem

paralliem un sijas asij perpendikulriem lumiem I un II iedomti izgrieam

bezgala su sijas gabalu garum dz (1.8. att. a). Iedomti atmetam pa labi un kreisi no

lumiem esos sijas daas un to iedarbbu uz apskatmo sijas garumu dz aizstjam

ar iekjo spku faktoriem rsspkiem un lieces momentiem, kurus lumos I un

II uzskatam k pozitvus (1.8. att. b).

Ja pieemam, ka lum I darbojas rsspks Q un lieces moments M, tad

lum II to vrtbas bs attiecgi Q+dQ un M+dM. Uz sijas elementu garum dz

izkliedts slodzes kopspks ir qdz. rjs slodzes un iekjo spku faktoru darbbas

17

rezultt apskatmais sijas elements ar garumu dz atrodas ldzsvar. Varam uzrakstt t

ldzsvara nosacjumus. Projicjam visus uz elementu dz darbgos spkus uz y asi:

0= iY ; 0)( =++ dQQqdzQ . (1.5)

1.8. att. Diferencilsakarbas liec:

a) sija slogota ar rjo slodzi; b) sijas elements garum dz.

Momentu summa pret punktu C2:

0)2( = CiM

un

0)(

2=+++ dMM

dzqdzQdzM . (1.6)

No viendojuma (1.5) seko, ka

q

dz

dQ= . (1.7)

Ignorjot otrs krtas bezgalgi mazo lielumu 2

2dz viendojum (1.6) iegstam,

ka

Q

dz

dM= . (1.8)

No formulm (1.7) un (1.8) seko, ka

18

q

dz

Md=

2

2

. (1.9)

Izteiksmes (1.7), (1.8) un (1.9) sauc par diferencilsakarbm liec. Ts izsaka

daas rsspka un lieces momenta epru eometrisks pabas, kuras var izmantot

o epru zmanai un uzzmto epru pareizbas prbaudei.

No sakarbas (1.7) seko, ka rsspka Q izteiksmes atvasinjums pc luma

abscisas ir viends ar izkliedts slodzes intensitti lum q. Tas nozm, ka

rsspka Q epras ordintas ir proporcionlas Q epras pieskares lea tangensam.

No formulas (1.8) seko, ka rsspks Q ir lieces momenta M izteiksmes

atvasinjums pc luma abscisas dz. Tas norda, ka rsspka Q epras ordintas ir

proporcionlas lieces momenta M epras pieskares lea tangensam.

No diferencilsakarbu liec (1.7), (1.8) un (1.9) analzes var defint daas

rsspka Q un lieces momenta M epru visprgs eometrisks pabas:

lumos, kur rsspks Q = 0, lieces momenta M epras pieskares leim

zme mains uz pretjo. o pabu var izmantot lieces momenta ekstrms

vrtbas noteikanai apskatmaj sijas posm.

Sijas posm, kur nav pielikta izkliedta slodze q ( 0== qdz

dQ) , rsspka

vrtba nemains (Q = const). rsspka Q epra ir norobeota ar sijas asij

parallu taisni, bet lieces momenta M epra ai posm ir norobeota ar slpu

taisni. lum, kur darbojas koncentrta rj slodze F, rsspka Q epr ir

lciens par spka F vrtbu, bet lieces momenta epr ir lzums. Sijas posm,

kur rsspks viends ar nulli, bet lieces momenta vrtba nemains (M =

const), darbojas t.s. tr liece. Ja sijas posm bez lieces momenta M darbojas ar

rsspks Q, tad tdu lieci sauc par rslieci (vairk sk. 5. noda. Liece).

Sijas posm, kur darbojas vienmrgi izkliedta slodze (q = const), rsspka

Q epra ir norobeota ar slpu taisni, bet lieces momenta M epra - ar

kvadrtisku parabolu.

Tlk apskatsim daus piemrus, k praktiski izmantot lumu metodi iekjo

spku faktoru epru zmanai.

19

1.1. piemrs. Epras konsolsijai.

Dotajai konsolsijai (sija, kuras viens gals nostiprints tre veida balst, bet otrs

brvs) konstrut rsspka un lieces moments epras, ja F = 3 kN, M = 2 kNm, q= 6

kNm-1, a = 1 m, b = 1,5 m (1.9. att. a).

Atrisinjums

Sijai ir divi posmi: A-B un B-C. Lai nebtu jrina balsta C reakcijas, sijas

apskatu skam no ts brv gala. Katr no posmiem izvlamies lumus, attiecgi

attlumos z1 un z2 no posmu skumpunktiem A un B. Apskatsim sijas daas no

lumiem pa labi, nosacti atmetot no lumiem pa kreisi esos daas. Katra

luma smagumcentr novietojam kreiss koordintu sistmas x y z skumpunktu

(1.9. att. a).

qM

z2 z1

ab

AB

C

F

y'x'

z'

x'

z'

y'

- 3

6

2z

Q=0

5,75

2,75

5

3

Q,kN

M,kNm

a)

b)

c)

1.9. att. Epras konsolsijai: a) konsolsija ar rjo slodzi, b) rsspka epra, c) lieces momenta epra.

20

Posms A-B, (0z1a):

rsspks

3== FQyI kN.

Lieces moments ap x asi

1zFM xI = .

Ja 01 =z , tad

0=AM .

Ja az =1 , tad

313 === aFM B kNm.

Posms B- C, (0z2b):

rsspks

2zqFQyII += .

Lieces moments ap x asi

2)(

22

2

zqMzaFM xII ++= .

Ja z2 = 0, tad

QB = -F = -3 kN,

MB = Fa + M = 31 + 2 = 5 kNm.

Ja z2 = b, tad

65,163 =+=+= bqFQC kN,

75,22

5,162)5,11(3

2)(

22

=++=++=b

qMbaM C kNm.

Pc aprintm rsspka un lieces momenta vrtbm atsevios posmos un

lumos, zmjam to epras (1.9. att. b un c).

K redzams, otraj posm rsspka epra krusto sijas asi. aj punkt Q = 0.

Tas nozm, ka momenta epr aj lum bs ekstrma vrtba, saldzinot ar

prjiem lumiem. Lai atrastu luma attlumu no posma skuma ( 2z ),

rsspka izteiksmi aj posm pieldzinm nullei un aprinam lielumu 2z :

21

02 =+ zqF ,

no kurienes

5,06

32 ===

q

Fz m.

Ievietojot o vrtbu otr posma lieces momenta izteiksm z2 viet, atrodam

momenta vrtbu lum 2z :

75,52

5,062)5,01(3

2)(

222

22=++=++=

zqMzaFM z kNm.

Tagad varam nobeigt lieces momenta epras zmanu ar otraj posm. K

redzam, epra ir norobeota ar kvadrtisko parabolu un ts izliekums ir pret vienmrgi

izkliedto slodzi nordoam bultim.

Epru pareizbu prbaudm pc lcieniem (skat. Apaknodau: 17.

Diferencialsakarbas liec). lumos, kur pielikta koncentrta rj slodze,

rsspka epr ir lciens par s slodzes vrtbu (lumi A un C). Ar lieces

momenta epr koncentrta momenta pielikanas viet ir lciens par momenta

vrtbu (lums C).

1.2. piemrs. Epras divbalstu sijai.

Apskatsim piemru, kad divbalstu sija AB balstta uz balstiem A un B slogota ar

vienmrgi izkliedtu slodzi, kuras intensitte 11 = mkNq , koncentrtu spku

1F kN= un spkpri ar momentu kNmM 8= (1.10. att.) a = 2m, b = 8m, c = 2m,

10l a b m= + = . Konstrut Qy un Mx epras.

Atrisinjums

Vispirms aprinam reakcijas Ay un By attiecgi balstos A un B. T k rj slodze

darbojas tikai vertikli, tad ar reakcijas virzam vertikli ar pozitviem virzieniem uz

augu. Ja reakciju vrtbas iegsim ar negatvu zmi, tas nozms, ka to faktiskais

vrsums ir pretjs. Sastdm statikas ldzsvara viendojumus un no tiem aprinam

reakcijas. Balstam A:

0iBM = ; ( )0 02yb c

A l M q b c Fc

+ + + = ,

22

no kurienes

2 2 2 2

0

8 28 1 1 2

2 2 3,610y

b cM q Fc

A kNl

+ +

= = = .

1.10. att. Slogojuma shma, rsspka un lieces momenta epras.

Balstam B:

0iAM = ; ( ) ( )0 02yb c

F l c B l M q b c a+ + + + + + =

vai

23

( ) ( )0 1 12 8 1 10 727,4

10y

b cF l c M q b c a

B kNl

+ + + + + + = = = .

Reakciju aprina pareizbas kontrolei projicjam visus spkus uz y asi. To

summai jbt viendai ar nulli:

0iyF = ; ( ) 0y yA B F q b c+ + =

un ievietojot skaitlisks vrtbas iegstam

3,6 7, 4 1 1 10 0+ = vai 0=0.

Ttad balstu reakcijas aprintas pareizi. Tlk konstrujam rsspka un

lieces momenta epras. Aprinsim iekjos spku faktorus rsspku yQ un lieces

momentu ap x asi xM visos trs sijas posmos: AE, EB un DB (1.10. att.).

Vispirms apskatam posmu AE (1.10. att. a), kuram

10 z a .

Izmantojam labo koordintu sistmu.

rsspks:

0iyF = ; 1 0y yA Q = ;

1 3,6y yQ A kN= = .

T k rsspka vrtba ir konstanta vis posma garum, epra bs norobeota

ar horizontlu taisni. Lieces momenta izteiksme:

1 0iM = ; 1 1 0y xA z M + = ;

1 1x yM A z= .

Iegt izteiksme ir taisnes viendojums. Lieces momenta izteiksme satur maingo

lielumu z1. Aprinam rsspka un lieces momenta vrtbas posma galos skum

un beigs.

Ja 1 0z = , tad

1 3,6yQ kN=

24

un

1 0xM = .

Ja 1z a= , tad

1 3,6yQ kN=

un

1 3,6 2 7,2xM kNm= = .

Tlk apskatam posmu EB (1.11. att. b). Ar eit ir lietdergi nosacti atmest

sijas dau pa labi no luma un t smagumcentr novietot labo koordintu sistmu x,

y, z. eit maingais lielums z2 mains robes no nulles ldz lielumam b:

20 z b .

rsspks:

0iyF = ;

2 2 0y yA qz Q = ,

1.11. att. rsspka un lieces momenta aprinu shmas.

25

tad

2 2y yQ A qz= .

K redzam, rsspka aprinam esam ieguvui taisnes viendojumu. Lieces

moments:

2 0iM = ;

( ) 22 0 2 2 02y xz

A a z M qz M + + + + = ;

( )22

2 2 0 2x yqz

M A a z M= + .

Aprinot lieces momenta vrtbu, iegstam kvadrtisks parabolas

viendojumu. Ttad lieces momenta epra bs norobeota ar kvadrtisko parabolu.

Aprinam vrtbas posma skum un beigs:

Ja z2 = 0, tad

2 3,6yQ kN=

un

2 3,6 2 8 0,8xM kNm= = .

Ja z2 = a = 2m, tad

2 3,6 1 8 4, 4yQ kN= =

un

( )2

2

1 83,6 2 8 8 4

2xM kNm

= + = .

Treaj posm B-D sija veido konsoli, kas sijas laidumu A-B atslogo (1.11. att. c).

Jo konsole garka un vairk slogota, jo ts ietekme ir lielka. o posmu ir lietdergi

apskatt no konsoles brv gala punkta D virzien uz balstu B. Treaj posm lielums

z3 mains robes no nulles ldz posma garumam c. aj posm ir lietdergi atmest

sijas dau pa kreisi no luma, jo uz to darbojas saretka rjo spku sistma.

Maingais lielums z3 mains:

cz 30 .

26

T k nosacti atmetam sijas dau pa kreisi no luma, tad izmantojam kreiso

koordintu sistmu x, y, z. o asu pozitvie virzieni ir vrsti pretji asu x, y un z

pozitvajiem virzieniem.

03 = iF ;

33 qzFQy += .

rsspka vrtbu izsaka taisnes viendojums. Epra bs norobeota ar slpu

taisni. Lieces moments:

03 = iM ;

2

23

33

qzFzM x = .

Momenta vrtbu izsaka kvadrtisks parabolas viendojums. Aprinam

rsspka un momenta vrtbas posma galapunktos.

Ja 03 =z , tad

kNFQD 1== ;

0=DM .

Ja cz =3 , tad

kNqcFQB 3211 =+=+= ;

kNmqc

FcM B 42

2121

2

22

=

== .

Tlk, pc aprintm rsspka un lieces momenta vrtbm raksturgajos

punktos, zmjam epras. K redzams, otraj posm rsspka epra krusto sijas asi.

eit rsspks Q2 = 0. No diferencilsakarbm liec ir zinms, ka aj lum lieces

moments iegst maksimlo vrtbu. Lai to aprintu, vispirms atrodam luma

attlumu no otr posma skuma punkta, t.i., aprinam koordinti z , pie kuras Q3=0.

Lai to izdartu, rsspka izteiksmi otraj posm pieldzinm nullei:

03 = zqAy ,

no kurienes

27

6,31

6,33 ===

q

Az m.

Ievietojot o vrtbu otr posma lieces momenta izteiksm aprinam momenta

vrtbu aj lum:

68,52

6,318)6,32(6,3

2(

222

02max3 =

+=+=zq

MzaAM yx kNm.

Atliekot o lieces momenta vrtbu lum, kur rsspks viends ar nulli un

izvelkot caur trim punktiem parabolu, iegstam lieces momenta epru. No ts redzams,

ka maksiml lieces momenta vrtba ir 7,2 kNm. Pc maksiml lieces momenta

vrtbas kd no lumiem, aprina sijas nepiecieamos izmrus. T k rsspka

ietekme uz sijas izturbu parasti neliela, tad varam secint, ka sijas bstamais lums

ir punkt E. Uzzmto epru pareizbu prbauda pc lcieniem. lumos, kur darbojas

koncentrta rj slodze, rsspka epr ir lciens par s slodze vrtbu. Msu

gadjum lcieni ir lumos A un B par reakciju Ay un By vrtbm un lum D par

spka F vrtbu. Lieces momenta epr ir lciens lum E par tur pielikt momenta

Mo vrtbu. Ttad epras uzzmtas pareizi.

1.3. piemrs. Epras divbalstu sijai.

Uz divbalstu siju darbojas lineri mainga izkliedta slodze yq (1.12. att.).

Konstrut rsspka yQ un lieces momenta Mx epras.

Atrisinjums

No trsstru ABB1 un ADD1 ldzbas iegstam, ka

y

max

q z

q l=

vai

maxy

zq q

l= .

Rezultjoais spks R ir viends ar izkliedts slodzes epras laukumu un iet caur

trsstra smagumcentru C:

28

max

1

2R q l= .

1.12. att. Slogojuma shma, rsspka un lieces momenta epras.

Balstu reakcijas nosakm no ldzsvara viendojumiem:

Ja 0iBM = ;

03yl

A l R + =

vai

max

1 1

3 6yA R q l= = .

Ja 0iAM = ;

20

3yB l R l =

29

vai

max2

3 3yq l

B R= = .

Rezultjo slodze posm z ( )0 z l :

1

2y yR q z=

vai

2

max

1

2yz

R ql

= .

rsspks lum z:

2max max

6 2y y yq l q z

Q A Rl

= = .

T k maingais lielums z rsspka izteiksm ir otr pakp, epra bs

norobeota ar kvadrtisko parabolu. Lieces moments:

3max max

3 6 6x y yq l qz

M A z R z zl

= = .

T k maingais lielums z lieces momenta izteiksm ir tre pakp, epra bs

norobeota ar kubisko parabolu.

Ja z = 0, tad

max

6yAq l

Q =

un

0xAM = .

Ja z = l, tad

max

3yBq l

Q =

un

0xBM = .

Noteiksim bstamo lumu, kur darbojas lielkais lieces moments - maxMx :

0xdM

dz= ;

30

06

3

6

2maxmax =l

zqlq

vai

lll

z 557,03

3

3

2

=== .

Ja zz = , tad

3 2max max maxmax6 63 3 9 3

x

q l q q ll lM

l

= =

.

Attlumu z var noteikt ar pc rsspka sakarbas. Ja 0yQ = , tad

026

2maxmax =l

zqlq.

1.4. piemrs. Iekjo spku faktoru epras sijai ar arnru.

Konstrut iekjo spku faktoru epras sijai ar arnru punkt C, kura slogota ar

koncentrtu slodzi F, pieliktu zem lea = 45 , un izkliedtu slodzi q = 10 kNm-1.

Atsevio posmu garumi: l1 = 1 m, l2 = 0,5 m, l3 = 0,6 m, l4 = 0,4 m (1.13. att. a).

Atrisinjums

Lai uzzmtu iekjo spku faktoru epras daudzbalstu sijai ar arnru, to arnra

viet nosacti sadalm divs das un balstu reakcijas aprinam apskatot katru no tm

atsevii. Pc balstu reakciju aprina siju apskata pa posmiem. Izmantojot lumu

metodi,. katram no posmiem rakstam iekjo spku faktoru izteiksmes un, pc

aprintm iekjo spku faktoru vrtbm atsevios lumos, zmjam to epras.

T k arnrs ir kustgs savienojums, tad lieces moments vrtba t viet Mx = 0.

Apskatam sijas dau A-C (1.13. att. b). Atmests das C-D iedarbbu uz

apskatmo dau aizstjam ar arnra C reakcijm Cv un CH. Sastdot momentu summas

viendojumu pret punktu C aprinam reakciju AV:

0= iCM ,

02

21

1 =+l

qlAV ,

31

no kurienes balsta A vertikl reakcija AV

kNl

lqAV 52

110

2 1

21 =

=

= .

T k izkliedt slodze ir simetriska pret abiem balstiem, tad

kNCA VV 5== .

Rakstot visu spku projekciju summu uz horizontlu x asi, iegstam

0= ixF ,

0=+ HH CA

vai

HH CA = .

Tlk apskatam sijas dau C-D (1.13. att. c). Sastdot momentu summas

viendojumu pret punktu B, aprinam reakciju D:

0= iCBM ,

0)(sin 4332 =++ llDlFlCV .

No pdjs sakarbas reakcija D:

kNll

lClFD VV 9,5

4,06,0

5,056,014

43

23 =+

=

+

= .

Reakcija B:

0= iyF ,

0sin =++ FDBC y ,

no kurienes

kNFDCB V 1,1345sin209,55sin =+=+= .

Aprinm horizontls reakcijas:

0= ixF ,

0cos = HCF

32

no kurienes

.1445cos20cos kNFCH ===

No sijas daas A-C apskata

HH CA =

vai

kNCA HH 14)14( === .

Pc reakciju aprina izdarm to prbaudi visai sijai. Tam nolkam projicjam

visus uz siju darbgos spkus uz vertiklu asi:

0= iyF ,

045sin1 =++ DFBlqAV .

Ievietojot skaitlisks vrtbas, iegstam

09,5141,131105 =++

vai

0 = 0.

Ttad balstu reakcijas aprintas pareizi. Tlk apskatam siju pa posmiem, kuru

sijai ir etri (1.13. att. a):

I posms, 110 lz

kNAN HI 14== ,

1zqAQ VI = ,

2

21

1

qzzAM VI = .

Ja 01 =z , tad

QA = AV = 5kN, MA = 0.

Ja 11 lz = , tad

kNlqAQ VC 51101 === ,

02

11015

2

221

1 =

==ql

lAM VC .

33

1z

1.13. att. Iekjo spku faktoru epru konstruana sijai ar arnru.

34

II posms, 220 lz

kNAN HII 14== ,

kNlqAQ VII 511051 === ,

)2()( 2

1121 zl

lqzlAM VII ++= .

Ja 02 =z , tad

02

11015

2

221

1 =

==ql

lAM VC .

Ja 22 lz = , tad

kNmzl

lqllAM VB 5,2)5,05,0(110)5,01(5)2()( 2

1121 =++=++= .

III posms, 430 lz

0=IIIN ,

kNDQIII 9,5== ,

3zDM III = .

Ja 03 =z , tad

0=DM .

Ja 43 lz = , tad

kNmlDM E 36,24,09,54 === .

IV posms, 340 lz

kNFN IV 1445cos20cos === ,

kNFDQIV 1,845sin209,5sin =+=+= ,

444 sin)( zFzlDM IV += .

Ja 04 =z , tad

kNmlDM E 36,24,09,54 === .

Ja 34 lz = , tad

kNmlFllDM B 5,26,045sin20)6,04,0(1,5sin)( 334 =+=+= .

35

Pc aprintajm iekjo spku faktoru vrtbm atsevios lumos, zmjam

to epras (1.13. att. d). Pirmaj posm rsspka epra krusto sijas asi (Q = 0). Tas

nozm, ka lieces momenta epr aj lum bs ekstrma vrtba. Aprinsim

luma attlumu no posma skuma, t.i., no balsta A, kuru apzmjam ar 1z . Lieluma

1z atraanai rsspka izteiksmi pirmaj posm pieldzinm nullei (QI = 0). Tad

01 = zqAV ,

no kurienes seko, ka

mq

Az V 5,0

10

51 === .

Ievietojot o vrtbu pirm posma momenta izteiksm z1 viet, aprinam lieces

momenta vrtbu attlum 1z no posma skuma:

kNmzq

zAM Vz 25,12

5,0105,05

2

221

11=

=

= .

Atliekot o vrtbu pirm posma lieces momenta epr, varam nobeigt momenta

epras zmanu ar aj posm.

1.5. piemrs. Epras plakanam rmim.

Plakans rmis, slogots ar vienmrgi izkliedtu slodzi q = 2 kNm-1 un spku

4F kN= (1.14. att.). Garumu izmri doti metros. Konstrut aksila spka Nz,

rsspka Qy un lieces momenta Mx epras.

Atrisinjums

Risinjumu skam ar balstu reakciju aprinu (1.14. att.). K redzams, abos

balstos darbojas tikai vertikls reakcijas. Sastdot visu spku radto momentu summu

pret balstu D, atrodam balsta A vertiklo reakciju AV:

0iDM = , 084242

=+

VAFq

,

no kurienes

kN

Fq

AV 48

442

42

8

42

4 22

=+

=+

= .

36

1.14. att. Slogojuma shma.

Sastdot visu spku radto momentu summu pret balstu A, atrodam balsta D

vertiklo reakciju DV , iegstam

0= iAM , 04648 =++ FqDV ,

no kurienes reakcija

kNFq

DV 88

44224

8

424=

+=

+= .

Reakciju aprina pareizbas prbaudi veicam projicjot visus spkus uz

vertiklu asi. To summai jbt viendai ar nulli.:

0= iyF , 04 =+ VV AFqD .

Ievietojot skaitlisks vrtbas, bs

044248 =+

vai

0 = 0.

Ttad balstu reakcijas aprintas pareizi. Tlk apskatam siju pa posmiem. K

redzam, sijai ir trs posmi (1.15. att.).

Pirmais posms A-B (1.15. att. a), kur maingais lielums z1 mains robes no 0

ldz 4m ( )10 4z m . T k nosacti esam atmetui sijas dau no pirm luma pa

kreisi, tad iekjo spku faktoru zmju noteikanai izmantojam kreiso koordintu

sistmu x y z.

37

1.15. att. Atseviu posmu slogojumu shmas.

Aksilais spks

1 0zN = .

rsspks

kNAQ Vy 41 == .

Lieces moments

11 zAM Vx = .

Ja 1 0z = , tad 0=AM , un, ja 1 4z m= , tad kNmAM VB 16444 === .

Otraj posm B-C (1.15. att. b), ( )20 2z m :

Aksilais spks

kNAN Vz 42 == .

rsspks

2 0yQ = .

Lieces moments

constkNmAM Vx ==== 164442 .

Treaj posm (1.15. att. c) iedomti atmetam sijas dau pa labi no luma III,

tpc izmantojam labo koordintu sistmu. aj posm ( )30 4z m .

Aksilais spks

03 =zN .

rsspks

33 qzDQ Vy = .

38

Lieces moments

2

23

33

zqzDM Vx = .

K redzams, lieces momenta izteiksme aj posm satur maingo lielumu z3

otraj pakp, tpc lieces momenta epra bs norobeota ar parabolu, bet rsspka

epra ar slpu taisni.

Ja 3 0z = , tad

kNDQ VD 8==

un

0=DM .

Ja 3 4z m= , tad nonkam punkt C, kur

04283 ==CQ ,

bet lieces moments

kNmM C 162

4248

2

3 == .

Pc aprintm iekjo spku faktoru vrtbm atsevios punktos zmjam to

epras (1.16. att.).

1.16. att. Aksil spka, rsspka un lieces momenta epras.

39

1.6. piemrs. Epras telpiskam rmim.

Dotajam stienim ar telp lauztu asi (rmim) konstrut iekjo spku faktoru

epras, ja F1 = 5 kN, F2 = 6 kN, a = b = c = 1 m (1.17. att.).

Atrisinjums

K redzams, dotajam telpiskajam rmim ir trs posmi: A-B, B-D un D-E. T

galapunkts E ir nostiprints tre veida balst (iesplts). dm konstrukcijm iekjo

spku faktoru aprinu ir lietdergi skt no to brv gala, t.i., punkta A., lai nebtu

jrina reakcijas balst E. Apskatam stieni pa posmiem. Izvlmies lumus katr

no tiem un attiecgi iezmjam labo koordintu sistmu x, y, z.

1.17. att. Telpisks rmis, slogots ar spkiem F1 un F2.

I posms, 0 z1 a:

Aksilais spks

NI = - F1 = -5 kN.

40

rsspki

QxI = 0, QyI = - F1 = 5 kN.

Vrpes moments

MzI = 0.

Lieces momenti

MxI = - F1 z1,

MyI = 0.

Ja z1 =0, tad

MxA = 0.

Ja z1 = a, tad

MxB = - F a = - 5 1 = - 5 kNm.

II posms, 0 z2 c:

Aksilais spks

NII = - F1 = -5 kN.

rsspki

QxII = F2 = 6 kNm,

QyII = 0.

Vrpes moments

MzII = 0.

Lieces momenti

MxII = - F1 a = - 5 1 = - 5 kNm,

MyII = - F2 z2.

Ja z2 =0, tad

MyB = 0.

Ja z2 = c, tad

MyD = - F2 c = - 6 1 = - 6 kNm.

III posms, 0 z3 b:

Aksilais spks

NIII = F2 = 6 kN.

41

1.18. att. Aksil spka N, vrpes momenta Mz, rsspku Qx un Qy un

lieces momentu Mx un My epras.

42

rsspki

QxIII = F1 = 5 kNm,

QyIII = 0.

Vrpes moments

MzIII =F1 a = 5 kNm.

Lieces momenti

MxIII = 0, MyIII = - F1 z3 F2 c.

Ja z3 = 0, tad

MyD = - F2 c = - 6 1 = - 6 kNm.

Ja z3 = b, tad

MyE = - F1 b F2 c = (- 6) (- 5) = - 11 kNm.

Pc iekjo spku faktoru vrtbu aprinanas katr no punktiem, ievrojot

iekjo spku faktoru vrtbu atlikanas krtbu, attiecgo koordintu asu virzienos,

zmjam to epras ( 1.18. att.).

1.7. piemrs. Epras lkai sijai.

Konstrut iekjo spku faktoru epras dotajai sijai ar plakn liektu asi, ja ts

liekuma rdiuss R=1 m un t slogota ar koncentrtu spku F=3 kN un spkpri ar

momentu M=3 kNm (1.19. att.).

1.19. att. Sija ar plakn liektu asi.

43

Atrisinjums

Lai nebtu jrina balsta D reakcijas, apskatu sksim no sijas brv galapunkta

A. Sijai ir divi posmi (1.19 att.). To aprakstam izmantosim polro koordintu sistmu.

lumu attlumus no posmu skumpunktiem A un B izteiksim ar attiecgi ar leiem

1 un 2. Katra luma laukuma smagumcentr novietojam labo koordintu sistmu x

y z, k tas redzams 1.19. attl. Rakstsim iekjo spku faktoru izteiksmes katr no

posmiem un aprinsim to vrtbas posmu skum un beigs.

Pirmais posms A-B, (0 1 90):

Aksilais spks

1cosFN = .

rsspks

1sinFQ = .

Lieces moments

).cos1()cos( 11 == RFRRFM

Ja o01 = , tad

.0013)0cos1()cos1(

,0030sinsin

,3130coscos

1

1

1

====

====

====

o

o

o

RFRFM

FFQ

kNFFN

A

A

A

Ja o451 = , tad

.9,0)7,01(13)45cos1(

,1,27,0345sin

,1,27,0345cos

kNmRFM

kNFQ

kNFN

===

===

===

o

o

o

Ja o901 = , tad

.3113)90cos1()cos1(

,31390sinsin

,00390coscos

1

1

1

kNmRFRFM

kNFFQ

FFN

B

B

B

====

====

====

o

o

o

Otrais posms B-D, (0 2 180):

Aksilais spks

44

2sinFN = .

rsspks

2cosFQ = .

Lieces moments

.)sin1()sin( 22 MRFMRRFM ++=++=

Ja o02 = , tad

.52113)0sin1(

,313130cos

,0030sin

kNmMRFM

kNFQ

FN

B

B

B

=+==++=

====

===

o

o

o

Ja o452 = , tad

.1,72)7,01(13)45sin1(

,1,27,0345cos

,1,27,0345sin

kNmMRFM

kNFQ

kNFN

=++=++=

===

===

o

o

o

Ja o902 = , tad

.82)11(13)90sin1(

,00390cos

,31390sin

kNmMRFM

FQ

kNFN

B

C

C

=++=++=

===

===

o

o

o

Ja o1352 = , tad

.1,72)7,01(13)135sin1(

,1,2)7,0(3135cos

,1,27,03135sin

kNmMRFM

kNFQ

kNFN

=++=++=

===

===

o

o

o

Ja o1802 = , tad

.52)01(13)180sin1(

,3)1(3180cos

,003180sin

kNmMRFM

kNFQ

FN

D

D

D

=++=++=

===

===

o

o

o

Pc aprintajm iekjo spku faktoru vrtbm atsevios posmu lumos,

zmjam to epras (1.20 att.).

45

1.20. att. Iekjo spku faktoru epras liektai sijai:

a) aksil spka epra, b) rsspka epra, c) - lieces momenta epra.

1.8. SPRIEGUMU JDZIENS UN TO IEDALJUMS

Uz katru luma elementrlaukumiu dA (1.21. att.) darbojas iekjie

elementrspki dR. Ar luma metodi nosaka to kopspku. Iekjo spku sadaljums

pa luma laukumu ne vienmr ir vienmrgs. Lai raksturotu iekjo spku intensitti

elementrlaukumi dA, ieved sprieguma jdzienu (1.21. att. a).

46

xy

x

y

1.21. att. Spriegumi: a) elementrspks dR elementrlaukum dA, b) - pilnais spriegums p un t sadaljums pa

komponentm, c) - tangencilais spriegums un t sadaljums pa komponentm.

Pilno spriegumu aprina dalot iekjo elementrspku Rd , kds darbojas kd

no elementrlaukumiem dA ar o laukumu un apzm ar burtu p:

dARd

p = . (1.10)

Sprieguma mrvienba ir N/m2, kN/m2, MN/m2 vai citdi. Pilno spriegumu p

sadala komponents pa koordintu asm:

yxp ++= . (1.11)

Spriegumu sauc par normlo spriegumu. Tas rodas, ja rj slodze cenas

attlint ( >0) vai tuvint (

47

normllums, t.i. perpendikulri stiea asij. Ja ermeni elsim zem cita lea, tad

mainsies piln sprieguma p vrtba.

Pastv sakarba starp spriegumiem un iekjo spku faktoriem. Reizinot

spriegumus , x un y ar elementrlaukumu dA, iegstam iekjos elementrspkus:

dAdN = ,

dAdQ xx = un dAdQ yy = . (1.12)

Integrli summjot os elementrspkus pa visu luma laukumu A, iegstam

aksilo spku N:

=A

dAN

(1.13)

un rsspkus

dAQ

A

xx = un dAQA

yy = . (1.14)

Reizinot katru no elementrspkiem ar t attlumu ldz attiecgai asij, iegstam

iekjo spku momentus

)()()( dAxdAydAM yxz == , (1.15)

kur

22

yx += ; (1.16)

- sprieguma plecs pret luma laukuma A smagumcentru C (1.21. att. c).

ydAdM x )(= un xdAdM y )(= . (1.17)

Summjot os momentus pa visu luma laukumu A, iegstam vrpes

momentu:

=A

z dAM

(1.18)

un lieces momentus

=A

x dAyM un =A

y dAxM . (1.19)

Ja zinma rj slodze uz konstrukciju vai ts elementu, tad izmantojot luma

metodi aprina iekjo spku faktorus iekjos spkus un momentus. Pc tiem

48

aprina spriegumus. Zinot maksimli pieaujamos spriegumus konstrukcijas

materil, aprina nepiecieamos konstrukcijas vai ts elementa izmrus.

1.9. LUMU LAUKUMU EOMETRISKIE

RAKSTUROTJI

1.9.1. luma laukums

Vienkrkais luma eometriskais raksturotjs ir t laukums A. Ja laukumu

uzskata k sastvou no bezgala daudziem un bezgala maziem elementrlaukumiem

dA, tad viss laukums bs o elementrlaukumu integrl summa (1.22. att. a)

=A

dAA . (1.20)

Tau izdarot aprinus liec, vrp, saliktos slogojumos, odz u.c., nepiecieams

pielietot saretkus lumu eometriskos raksturotjus, tdus k laukumu statiskie

momenti, aksilie inerces un pretestbas momenti, inerces rdiusi u.c. To aprinos

zem integra zmes bez elementrlaukuma dA vl ir o elementrlaukumu koordintu

x, y, z dadas funkcijas. Td veid lumu eometriskie raksturotji ir atkargi ne

tikai no luma formas un izmriem, bet ar no koordintu asm un poliem

(koordintu asu skumpunktiem), pret kuriem tie tiek aprinti.

Vienkru formu lumiem (aplis, gredzens, taisnstris, trijstris) tos parina

pc zinmm formulm. Velmtu profilu lumu eometriskie raksturotji sakopoti

tabuls. Saliktus lumus sadala vienkrs figrs, kuru lumu eometriskie

raksturotji ir zinmi.

1.9.2. Laukumu statiskie momenti

Elementr laukuma dA reizinjumu ar t attlumu ldz asij x vai y sauc par

elementr laukuma statisko momentu attiecgi pret asi x vai y. Summjot os

momentus pa visu figras laukumu, tas ir, nosakot laukuma noteikto integrli,

iegstam visa figras laukuma statisko momentu pret attiecgo asi

49

x

A

S ydA= un yA

S xdA= . (1.21)

Statisk momenta mrvienbas ir (garums)3, parasti cm3. Atkarb no luma

novietojuma attiecb pret koordintu asm, laukuma statiskie momenti var bt

pozitvi, negatvi vai viendi ar nulli.

1.23. att. luma laukuma a) un statisk momenta b) aprins.

Asis, pret kurm statiskie momenti viendi ar nulli, sauc par centrlm asm. Tas

krustojas punkt, kuru sauc par laukuma smagumcentru. Ttad, asis, kuras iet caur

luma laukuma smagumcentru, sauc par centrlm asm. Apzmjot laukuma

smagumcentra C koordintas ar xC un yC, statiskais moments pret centrlm asm bs

0=cxS un 0=cyS . (1.22)

Ja zinmi aksilie inerces momenti pret kdm no laukuma smagumcentra

nobdtm asm x un y, tad pret centrlm asm xc un yc tos aprina ievietojot formuls

(1.21) elementrlaukuma dA koordintes, izteiktas centrlo asu sistm (1.24. att.).

Ievietojot formuls (1.22) statisko momentu izteiksmes (1.22) bs

0)( == dAyyS

A

cxc un 0)( == dAxxS

A

cyc. (1.23)

Atverot iekavas statisk momenta xS integra izteiksm, iegstam

0)( ==== A

c

A A

xc

A

cx dAySdAyydAdAyyS c . (1.24)

50

No pdjs viendbas seko, ka

AydAydAyS

A

cc

A

cx ===

(1.25)

vai AyS cx = . Analogi atrodam, ka AxS cy = . (1.26)

1.24. att. luma laukuma centrls asis un centrlie inerces momenti.

No formulm (1.26) seko, ka luma laukuma statiskais moments pret x asi - Sx

ir viends ar luma laukuma A un t smagumcentra koordintes yc reizinjumu, bet

statiskais moments pret y asi - Sy ir viends ar luma laukuma A un t smagumcentra

koordintes xc reizinjumu.

Izteiksmes (1.26) izmanto laukuma smagumcentra koordintu aprinam:

y

C

Sx

A= un xC

Sy

A= . (1.27)

Salikta laukuma statiskais moments pret kdu asi viends ar t atsevio dau

statisko momentu summu pret o asi. Lai noteiktu salikta luma smagumcentra

koordintes, tad laukumu sadala vienkrs figrs ar zinmiem laukumiem Ai un to

smagumcentru koordintm xi un yi. Tad

51

1

1

n

i iy i

C n

i

i

A xS

xA

A

=

=

= =

un 1

1

n

i i

x iC n

i

i

A yS

yA

A

=

=

= =

. (1.28)

Ja luma laukumam ir simetrijas ass, tad smagumcentrs atrodas uz s ass un t

stvoka noteikanai ir pietiekama tikai viena koordinte.

1.9.3. Laukumu aksilie inerces momenti

eit apskatsim divus aksilos, vienu centrifuglo (vai centrbdzes) un vienu

polro inerces momentu.

Par lums laukuma aksiliem inerces momentiem Ix un Iy attiecgi pret asm x

un y sauc lumu eometriskos raksturotjus, kurus nosaka integri

dAyI

A

x = 2 un dAxIA

y = 2 . (1.29)

Ttad, par lums laukuma aksiliem inerces momentiem sauc lielumus, ko

iegst, pa visu figras laukumu summjot elementro laukumiu dA reizinjumus ar o

laukumiu attlumu kvadrtiem ldz dotai asij x vai y. K redzam no formulm (1.29),

laukuma aksilie inerces momenti var bt tikai pozitvi lielumi, vai ar viendi ar nulli.

To mrvienba ir (garums)4, parasti lieto cm4.

Par laukuma centrifuglo inerces momentu sauc luma eometrisko

raksturotju, kuru nosaka integrlis

xy

A

I xydA= . (1.30)

Vai, par laukuma centrifuglo inerces momentu sauc lielumu, ko iegst, pa visu

figras laukumu summjot elementro laukumiu reizinjumus ar to attlumiem ldz

divm savstarpji perpendikulrm asm. Centrifugl inerces momenta mrvienba ir

(garums)4, parasti lieto cm4. Tas var bt pozitvs, negatvs vai viends ar nulli. Ja

luma laukumam ir vismaz viena simetrijas ass, tad t centrifuglais inerces

moments ir viends ar nulli.

Par luma laukuma polro inerces momentu sauc luma eometrisko

raksturotju, kuru nosaka integrlis

52

2P

A

I dA= . (1.31)

kur - elementrlaukuma dA atstatums ldz koordintu asu skumpunktam (polam)

(skat. 1.24. att.).

Polr inerces momenta mrvienba ir (garums)4, parasti lieto cm4. Riim un

gredzenam polrais inerces moments ir viends ar abu aksilo inerces momentu

summu. No (1.24. att.) redzams, ka 2 2 2x y = + . Ievietojot o sakarbu formul (1.31),

iegsim

( )2 2 2 2P y x

A A A

I x y dA x dA y dA I I const= + = + = + = . (1.32)

Inerces momentus pret asm, kuras it caur luma laukuma smagumcentru, sauc par

centrliem inerces momentiem.

1.9.4. Sakarbas starp inerces momentiem dads koordintu sistms

Biei inerces momenti jnosaka pret asm, kuras dadi novietotas luma

plakn. To pank ar asu parallo prbdi un pagriezienu.

Asu parall prbde

Lai izvestu formulas asu parallai prbdei, apskatsim laukumu A, pieemot, ka

t centrlie aksilie un centrifuglais inerces moments ir zinmi izteikti ar

integriem

dAyI

A

cxc 2 , =

A

cy dAxI c2 , dAyxI c

A

cyx cc = . (1.32)

Noteiksim dot luma A aksilos inerces momentus pret asm x un y, kuras ir

parallas asm xc un yc , bet no tm nobdtas attiecgi par gabaliem m un n.

Elementrlaukuma dA koordintes asu x un y sistm izsakm k

mxx c += un nyy c += . (1.33)

Ievietojot y izteiksmi no formulm (1.33) sakarb (1.29) un attiecgi prveidojot

bs

++=+==AA

c

A

c

A

c

A

x dAndAyndAydAnydAyI2222 2)( . (1.34)

53

1.25. att. Asu parall prbde.

Ievrojot formulas (1.32) un (1.21), iegsim

AnnSII cc xxx22 ++= . (1.35)

T k statiskais moments cx

S pret centrlo asi xc ir viends ar nulli (1.22), tad no

izteiksmes (1.35) seko

AnII cxx2+= . (1.36)

Analogi formulai (1.36) varam iegt sakarbu

AmII cyy2+= . (1.37)

No formulm (1.36) un (1.37) secinm, ka inerces momentu vrtbas ir

vismazks pret luma centrlm asm (xc un yc). Lai atrastu inerces momentus pret

kdm citm, no centrlm asm paralli nobdtm asm x un y, tad inerces momentu

vrtbm pret centrlm asm (cx

I un cy

I ) jpieskaita luma laukuma un attluma

kvadrta, starp attiecgm asm (m vai n), reizinjums.

Lai atrastu centrifugl inerces momenta izmaiu, ievietosim sakarbas (1.33)

aksil inerces momenta integrl (1.30). Tad iegsim

+++=++=AA

c

A

c

A

ccc

A

cxy dAmndAxndAymdAyxdAnymxI ))(( . (1.38)

54

Ievrojot sakarbas (1.32) un (1.21), varam rakstt

cccc xyyxxy mSnSmnAII +++= . (1.39)

T k asis xc un yc ir centrls asis, tad saska ar formulm (1.22), iegsim

mnAII cc yxxy += . (1.(40)

Formula (1.40) rda, ka ar centrifugl inerces momenta vrtba vismazk ir

pret luma centrlm asm (xc un yc). Lai aprintu t vrtbu pret kdm citm, no

centrlm asm paralli nobdtm asm x un y, tad centrifugl inerces momenta

vrtbai pret centrlm asm (cc yx

I ) jpieskaita luma laukuma un attlumu starp

attiecgm asm (m un n), reizinjums.

Ja prvieto tikai vienu no centrlm asm, tad centrifugl inerces momenta

vrtba nemains, jo viens no starprasu attlumiem m vai n bs nulle. Formul (1.4)

lielumi m un n jievieto ar to zmm x un y koordintu asu sistm.

Formulas (1.36), (1.37) un (1.40) sauc par asu paralls prbdes formulm. K

skotnjs asis eit tiek uzskattas centrls asis xc un yc (1.25. att.). Ja skotnjs asis

nav centrls asis, tad jizmanto formulas (1.35) un (1.39).

Asu pagrieziens

Lai aprintu inerces momentus pret kdm asm u un v, kuras attiecb pret

centrlajm asm xc un yc ir pagrieztas par kdu lei , pieemam, ka apskatm

luma aksilie un centrifuglais inerces momenti ir zinmi (1.41). Noteiksim inerces

momentus koordintu sistm u un v. (1.26. att.).

dAyI

A

cxc 2 , =

A

cy dAxI c2 , dAyxI c

A

cyx cc = . (1.41)

Lai noteiktu sakarbas starp elementrlaukuma dA koordintm abs koordintu

sistms, izmantosim no matemtikas zinmas formulas

sincos cc xyv = ; cossin cc xyu += . (1.42)

Ievietosim sakarbas (1.42) integros, kuri izsaka inerces momentus pret

pagrieztm asm u un v:

55

dAvI

A

u = 2 , dAuIA

v = 2 un =A

uv uvdAI . (1.43)

Piemram, aksilais inerces moments pret u asi

dA

yc

xc

v

u

x

c

yc

u

v

C

A

1.26. att. Asu pagrieziens.

== dAydAxyIA

cc

A

cu

222 cos)sincos(

dAxdAyx

A

cc

A

c

22sincossin2 + . (1.44)

Ievrojot sakarbas (1.29) un (1.30), formulu (1.44) prveidojam di:

2sinsincos22

cccc yxyxuIIII += . (1.45)

Analogi iegstam formulu inerces momenta aprinam pret v asi:

dAyxI c

A

cv

2)sincos( +=

(1.46)

vai

2sincossin22

cccc yxyxvIIII ++= . (1.47)

Saskaitot iegts inerces momentu Iu un Iv aprina izteiksmes (1.45) un (1.47),

un izmantojot formulu (1.32), iegstam

)cos(sin)sin(cos2222 +++=+ yxvu IIII . (1.48)

56

Ievrojot, ka

1)cos(sin22 =+ (1.49)

iegstam

constIIII yxvu =+=+ . (1.50)

No formulas (1.50) seko, ka aksilo inerces momentu summa pret jebkurm

divm savstarpji perpendikulrm asm apskatmajam lumam ir konstants lielums,

kas, savukrt, skaitliski ir viends ar polro inerces momentu un nav atkargs no asu

virziena lea .

Lai atrastu formulu centrifugl inerces momenta aprinam pret pagrieztm

asm u un v, t izteiksm formul (1.43) ievieto sakarbas (1.42). Tad

=+= dAxyyxI cccA

cuv )sincos)(sincos(

=+= dAyxdAydAxdAyxA

cc

A

c

A

cc

A

c

2222 sinsincoscossincos

=+= dAyxdAydAxdAyxA

cc

A

c

A

cc

A

c 2222 sincossincossincos

=+= cossincossinsincos 22cccccc yxyxyx

IIII

cossin)()sin(cos22

cccc yxyxIII += . (1.51)

T k 2cossincos 22 = un 2

2sincossin = , (1.52)

tad ievietojot s sakarbas formul (1.51), iegstam

2cos2sin

2 cccc

yx

yx

uv III

I +

= . (1.52)

Formulas (1.45), (1.47) un (1.52) sauc par asu pagrieziena formulm. Ts var

izmantot ar tad, ja asu u un v skumpunkts nesakrt ar luma laukuma

smagumcentru.

1.9.5. Galvens asis un galvenie inerces momenti

Divas savstarpji perpendikulras centrls asis, pret kurm kda luma

57

laukuma centrifuglais inerces moments ir viends ar nulli, sauc par luma

galvenajm asm. Aksilos inerces momentus pret galvenajm asm sauc par

galveniem inerces momentiem.

Ja ir zinmi luma laukuma inerces momenti pret t centrlajm asm cx

I , cy

I

un cc yx

I , tad var noteikt galveno asu virziena lei 0 , t.i., lei, par kdu jpagrie

luma centrls asis, lai ts ktu par luma galvenajm asm (skat.1.26. att.).

T k pret galvenajm asm centrifuglais inerces moments viends ar nulli ( 0=gg yx

I ),

tad lea 0 noteikanai formulas (1.52) labo pusi pieldzinm nullei:

02cos2sin2 00=+

cc

cc

yx

yxI

II. (1.53)

Tlk, izdalot abas viendbas (1.53) puses ar 0cos 2 un prveidojot, iegsim

cc

cc

yx

yx

II

Itg

=

22 0 . (1.54)

Leis 0 nosaka vienas galvens ass, bet leis o900 + otras galvens ass

virzienu (skat. 1.26. att.).

Ja lumam ir simetrijas ass, tad t vienlaicgi ir ar luma galven ass. Otra

galven ass ir perpendikulra pirmajai. Formulu (1.54) izmanto galveno asu virziena

lea noteikanai nesimetriskiem lumiem. Asis, pret kurm centrifuglais inerces

moments ir nulle, var novilkt jebkur luma plaknes punkt. Inenieraprinos

parasti izmanto tikai galvens centrls inerces asis, t.i., asis, kuras iet caur luma

laukuma smagumcentru.

Riim un gredzenam ikviens to diametrs ir galven ass. Taisnstrim un

kvadrtam galvens asis ir to simetrijas asis.

Pagrieot luma centrls asis par lei 0 (1.54), ts ieems galveno asu

stvokli, pret kurm centrifuglais inerces moments ks viends ar nulli, bet aksilie

inerces momenti iegs ekstrms vrtbas. Pieldzinot nullei izteiksmes (1.45)

atvasinjumu pc lea 0 , aprinsim s ekstrms vrtbas:

0)2sinsincos( 00

20

2

00

=+= cccc yxyx

u IIId

d

d

dI. (1.55)

58

Veicot atvasinanas darbbas bs

02cos2cossin2sincos2 00000 =+ cccc yxyx III . (1.56)

Ievrojot sakarbas (1.52) un izdarot elementrus matemtiskus prveidojumus,

iegstam

02cos22sin)( 00 =+ cccc yxyx III . (1.57)

Galveno inerces momentu vrtbas var aprint, ievietojot lea 0 vrtbu,

aprintu pc formulas (1.54), izteiksms (1.45) un (1.47). Viens no tiem iegs

maksimlo, otrs - minimlo vrtbu. Galveno inerces momentu 0u

I un 0v

I aprinanai

ir lietdergi prveidot formulas (1.45) un (1.47) t, lai tajs nebtu trigonometrisks

funkcijas. Tam nolkam formuls (1.45) un (1.47) ievietojm sakarbas

22cos1

sin 2

= un 2

2cos1cos2

+= . (1.58)

Tad

2sin)2cos1(

2)2cos1(

2 cccc

yx

yx

u III

I ++= (1.59)

vai

2sin2cos

22 cccccc

yx

yxyx

u IIIII

I

++

= . (1.60)

Analogi iegsim

2sin2cos

22 cccccc

yx

yxyx

v IIIII

I +

+

= . (1.61)

Aizstjot formuls (1.60) un (1.61) 2sin un 2cos ar 2tg un izmantojot

formulu (1.54), iegstam

222 4)(

2

21

22sin

cccc

cc

uxyx

yx

III

I

tg

tg

+=

+=

(1.62)

un

222 4)(21

12cos

cccc

cc

uxyx

yx

III

II

tg +

=

+=

. (1.63)

Izdarot algebriskus prveidojumus

59

=+

++

+

+=

22

2

22

2

4)(

2

4)(

)(

2cccc

cc

cccc

cccc

uxyx

yx

uxyx

yxyx

u

III

I

III

IIIII

22 4)(2

1

2 cccccc

uxyx

yxIII

II++

+= . (1.64)

Analogi bs

22 4)(2

1

2 cccccc

uxyx

yx

v IIIII

I ++

= . (1.65)

Apvienojot formulas (1.64) un (1.65), iegstam

22 4)(2

1

2min

maxcccc

cc

uxyx

yxIII

III +

+= . (1.66)

emot formul (1.66) kvadrtsakni ar plusa zmi iegsim lielko galveno inerces

momentu max I, bet ar mnusa zmi mazk galven inerces momenta vrtbu min I.

1.9.6. Inerces rdiusi un pretestbas momenti

Par luma laukuma inerces rdiusiem ix un iy attiecgi pret as x un y sauc

luma lineros raksturotjus, kurus nosaka izteiksmes

AI

i xx = un A

Ii

y

y = . (1.67)

Inerces rdiusu mrvienba ir garums pirmaj pakp parasti cm. Inerces

rdiusus pret galvenajm inerces asm sauc par galvenajiem inerces rdiusiem.

Par luma laukuma aksiliem pretestbas momentiem Wx un Wy, attiecgi pret

asm x un y, sauc lums eometriskos raksturotjus

maxyI

W xx = un maxx

IW

y

y= . (1.68)

kur xmax, ymax no asm x un y tlk esoo luma laukuma punktu attlumi.

Par luma laukuma polro pretestbas momentu Wp, sauc luma

eometriskos raksturotju

max

IW

p

p= . (1.69)

60

kur Ip -luma laukuma polrais inerces moments pret t smagumcentru C.

max - luma attlk punkta atstatums no smagumcentra C.

Pretestbas momenta mrvienba ir (garums)3, parasti lieto cm3.

1.8. piemrs. eometrisko raksturotju aprins.

Dotajam luma laukumam (1.27. att.), kur sastv no Nr.20 U-profila un

neviendmalu strea 100 63 10 , noteikt:

1) smagumcentra koordintas;

2) aksilos un centrifuglo inerces momentus attiecb pret centrlajm asm;

3) galveno centrlo asu stvokli;

4) inerces momentus pret galvenajm centrlajm asm un veikt prbaudes

aprinu;

5) inerces rdiusus pret galvenajm centrlajm asm.

Atrisinjums

No velmto profilu sortimentu tabulm izrakstm nepiecieamos parametrus, k

ar ievedam attiecgos indeksus:

U-profilam Nr. 20 (pirm figra ar laukumu A1):

1 200h = mm = 20 cm; b1 = 76 mm = 7,6 cm; A1 = 23,4 cm2; Ix1 = 1520 cm

4; Iy1 =

113 cm4; x01 = 2,07 cm.

Neviendmalu strenim 100 63 10 (otr figra ar laukumu A2):

B2 = 100 mm = 10 cm; b2 = 63 mm = 6,3 cm; A2 = 15,5 cm2; x02 = 1,58 cm;

y02 = 3,40 cm; Ix2 = 154 cm4; Iy2 = 47,1 cm

4; Iu2min = 28,3 cm4; 2 0,387tg = .

Izvlamies palgasis xo un yo, kuras iet caur pirms figras smagumcentru x1C1y1.

Tad U-profilam un strenim smagumcentru koordintes palgass xo yo ir (skat.1.27.

att):

1 1 0x y= = ;

2 01 02 2,07 1,58 3,65x x x= + = + = cm;

12 02

203,4 6,60

2 2

hy y= = = cm.

61

Salikt laukuma smagumcentra koordintes:

1 1 2 2

1 2

23, 4 0 15,5 3,651,45

23,4 15,5CA x A x

xA A

+ + = = =

+ + cm;

1 1 2 2

1 2

23,4 0 15,5 6,602,63

23, 4 15,5CA y A y

yA A

+ + = = =

+ + cm.

Novelkam centrls asis Cx un Cy , kuras iet caur kopjo smagumcentru un

nosakm asu prbdes atstatumus:

1 1 0 2,63 2,63Ca y y= = = cm;

2 2 6,60 2,63 3,97Ca y y= = = cm;

1 1 0 1,45 1,45Ce x x= = = cm;

2 2 3,65 1,45 2, 20Ce x x= = = cm.

Aksilie inerces momenti attiecb pret centrlajm asm Cx un Cy :

( ) ( )2 21 1 1 2 2 2Cx x xI I a A I a A= + + + =

( )2 21520 2,63 23, 4 154 3,97 15,5 2080,1= + + + = cm4.

( ) ( )2 21 1 1 2 2 2Cy y yI I e A I e A= + + + =

( )2 2113 1,45 23, 4 47,1 2,20 15,5 284,3= + + + = cm4.

Centrifuglais inerces moments attiecb pret centrlajm asm Cx un Cy :

( ) ( )1 1 1 1 1 2 2 2 2 2C Cx y x y x yI I a e A I a e A= + + + =

( )( )0 2,63 1,45 23,4 48,6 3,97 2,0 15,5 273,2= + + + = cm4,

kur 1 1 0x yI = , jo U-profilam ir viena simetrijas ass.

2max 2 2 2min 154,0 47,1 28,3 172,8v x y uI I I I= + = + = cm4;

2max 2min2 2 2

172,8 28,3sin 2 sin 2 21,156 48,6

2 2v u

x y

I II

= = =o cm4.

62

1.27. att. Salikts velmtu profilu sijas luma laukums.

Galveno centrlo asu virziena leis:

0

2 2 273,22 0,3043

2080,1 284,3C C

C C

x y

x y

Itg

I I

= = =

rad,

tad 02 16,92 = o un 0 8, 46 =

o .

Ja 0 0 < , tad luma centrls asis jpagrie pulkstea rdtja kustbas virzien

par lei 0 un ts kst par galvenajm centrlajm asm gx un gy .

Aksilie inerces momenti attiecb pret galvenajm centrlajm asm:

2 20 0 0max cos sin sin 2C C C Cxg x y x yI I I I I = = + =

( ) ( ) ( )2 22080,1cos 8, 46 284,3sin 8, 46 273, 2sin 2 8,46 2120,7= + =o o cm4;

63

2 20 0 0min sin cos sin 2C C C Cyg x y x yI I I I I = = + + =

( ) ( ) ( )2 22080,1sin 8,46 284,3cos 8,46 273, 2sin 2 8,46 242,6= + + =o o cm4.

Aprinu pareizbas prbaud nosaka vai:

;C Cx y xg yg

I I I I const+ = + =

Ievietojot skaitlisks vrtbas, iegstam

2080,1 + 284,3 = 2120,7 + 243,6,

vai

2364,4 = 2364,4.

Ttad asu pagrieziens ir veikts pareizi.

Aprinam inerces rdiusus attiecb pret galvenajm centrlajm asm:

1 2

2120,77,38

23, 4 15,5xg

x

Ii

A A= = =

+ + cm;

1 2

243,62,50

23,4 15,5yg

y

Ii

A A= = =

+ + cm.

64

2. n o d a a

STIEPE (SPIEDE)

Par stiepi (spiedi) sauc tdu slogojuma veidu (2.1. att.), kad stiea rsgriezum

viengais iekjo spku faktors ir aksilais spks N. Prjie iekjo spku faktori ai

slogojum ir viendi ar nulli. Stiepes gadjum aksilais spks tiek uzskatts par

pozitvu (N>0), bet spiedes gadjum par negatvu (N

65

spriegums, kds darbojas kd no lumiem. Jebkur konstrukcijas lum

spriegums nedrkst prsniegt t.s. pieaujamo spriegumu [ ] , kas ir atkargs no

konstrukcijas vai ts elementa materila stiprbas:

[ ] max . (2.3)

Stieu apriniem stiepes (spiedes) slogojum izmanto sekojou formulu, ko

sauc par stiprbas nosacjumu:

[ ] =

A

Nmax . (2.4)

Ar formulu (2.4) var aprint:

faktisko spriegumu stiea materil, ja zinms aksilais spks N, kds darbojas

attiecg stiea lum, un stiea rsgriezuma laukums. di aprinto

spriegumu saldzina ar stiea materilam pieaujamo spriegumu:

[ ] =

A

N. (2.5)

ja zinms aksilais spks N, kds darbojas attiecg stiea lum un stiea

materilam pieaujamais spriegums, tad iespjams aprint nepiecieamo

stiea rsgriezuma laukumu rsgriezuma izmru noteikana:

[ ]N

A . (2.6)

pieaujams slodzes noteikanas aprins. Ja zinms stiea rsgriezuma

laukums A un pieaujamais spriegums stiea materilam, tad pieaujam slodze

[ ] [ ]AN . (2.7)

Stiea deformciju noteikanai stiepes (spiedes) slogojum (2.1.att. a un b) ar

diviem paralliem un stiea asij perpendikulriem lumiem izdalsim bezgalgi su

stiea elementu garum dz (2.1. att. c). Uz stiea elementu garum dz no katras puses

darbosies aksilais spks N. T rezultt stiea elementa garums dz palielinsies par

lielumu d, bet stiea rsgriezuma izmri a un b samazinsies attiecgi par

lielumiem a un b (2.1. att.d). Spiedes gadjum stiea garums samazinsies, bet t

rsizmri attiecgi palielinsies. Lielumi d, a un b ir stiea absolts

66

deformcijas. Ts ir atkargas no slodzes lieluma, kda darbojas uz stieni, un no stiea

rsgriezuma izmriem. Inenieraprinos biei vien ir lietdergk izmantot t.s.

relatvs deformcijas, kuras no stiea izmriem nav atkargas relatvo

garendeformciju un relatvo rsdeformciju . Ts aprina:

dzd

= un ba

ba

=

= . (2.8)

Stiepes slogojum 0.

da

b

2.1. att. Stiepes (spiedes slogojums: a) - stiepts, b) - spiests stienis, c) - stiea elements, d) - luma deformcijas.

Eksperimentli noskaidrots, ka stiepes (spiedes) slogojum abu relatvo

deformciju attiecba materiliem zinms robes ir konstants lielums. s attiecbas

absolto vrtbu sauc par rsdeformcijas vai Puasona koeficientu un apzm ar

burtu :

s= , =s . (2.9)

Puasona koeficients ievrt materila spjas deformties rsvirzien.

Dadiem materiliem t vrtbas ir robes: = 0 ... 0,5. Lielai daai metlu un to

sakausjumu Puasona koeficienta vrtba ir = 0,23 ... 0,35.

67

rjs slodze iespaid konstrukciju materili deformjas mains to forma un

izmri. Materila pabu pc slodzes noemanas atgt t skotnjo formu un izmrus

sauc par materila elastbu. Deformcijas, kas izzd pc slodzes noemanas, sauc par

elastgm deformcijm, bet kuras paliek par paliekom vai plastiskm

deformcijm. Materilu pretestbas kurs aplkosim galvenokrt elastgs

deformcijas, jo paliekos deformcijas praktisks konstrukcijs parasti nav

pieaujamas.

2.2. STIEPES (SPIEDES) DIAGRAMMA PLASTISKIEM

MATERILIEM

Materilu mehnisks pabas stiepes (spiedes) slogojum parasti nosaka

eksperimentli, stiepjot no materila izgatavotus specilus paraugus. Visbiek

izmanto apaa vai taisnstra rsgriezuma paraugstieus (2.2. att.).

2.2. att. Paraugstiei: a) apaa rsgriezuma, b) - taisnstra rsgriezuma,

lo un Ao - prbaudms daas garums un rsgriezuma laukums.

Paraugstieu slogoanai izmanto specilas rauanas manas, kuras var bt ar

mehnisku, hidraulisku vai cita veida piedziu. Stieu paplaintie gali kalpo to

iestiprinanai manas satvrjos.

68

Rauanas manas ir apgdtas ar iercm, kas slogoanas laik mra un fiks

slogoanas spku, stiea deformcijas u.c. parametrus, k ar zme F- (slogoanas

spka un paraugstiea absolt pagarinjuma) diagrammu. Stiep iegtie rezultti

parasti izsaka materila mehnisks pabas ar citos slogojuma veidos: spied, bd,

vrp un liec.

Dalot rauanas manas attstto stiepes spku F raksturgos diagrammas F-

punktos ar paraugstiea skotnjo rsgriezuma laukumu Ao un stiea absolto

pagarinjumu pie attiecg spka F, iegstam t.s. nosacto spriegumu diagrammu -

koordints, kur uz vertikls ass noteikt mrog ir atlikts normlais spriegums ,

bet uz horizontls ass stiea garuma lo relatvais pagarinjums (2.3. att.).

2.3. att. Stiepes diagramma - koordints: a) - mazogleka traudam, b) - trauslam materilam.

Diagramm var saskatt vairkus punktus, ar attiecgiem robespriegumiem.

Stiepanas skum posm starp punktiem 0-1 (2.3. att. a) pastv linera sakarba starp

spriegumu un relatvo pagarinjumu . ai laik paraugstiea rsgriezuma

69

laukums samazins maz, tpc ar nelielu kdu var pieemt, ka t vrtba aj

slogoanas posm vienda ar skuma rsgriezuma laukumu Ao.

Spriegumu punkt 1 sauc par proporcionalittes robespriegumu vai

proporcionalittes robeu. To aprina:

0A

Fpp = , (2.10)

kur pF - proporcionalittes robeslodze.

Ldz ai vrtbai spriegums ir tiei proporcionls stiea relatvajam

pagarinjumam . Nedaudz augstk atrodas punkts 1', spriegumu kur sauc par

elastbas robespriegumu. Ldz ai sprieguma vrtbai stien rodas tikai elastgs

deformcijas, kuras pc rjs slodzes noemanas izzd ( pe ). o spriegumu

aprina:

0AFe

e = , (2.11)

kur eF - elastbas robeslodze.

Ja sprieguma vrtba prsniedz elastbas robeu, stien rodas paliekos

deformcijas, kuras pc rjs slodzes noemanas vairs neizzd. Traudam ar mazu

ogleka saturu elastbas robespriegums e = 20 kN/cm2.

Pieaugot spriegumam virs elastbas robeas, stiepes diagrammas izliekums priet

aptuveni horizontl posm 2-3 paralli stiea relatvs garendeformcijas asij. aj

posm notiek intensva stiea pagarinans pie nemaingas sprieguma vrtbas.

Paraugstiea rsizmrs samazins. Notiek it ka stiea materila plana vai

nostiprinans. o deformcijas posmu sauc par tecanu, bet spriegumus aj posm

par tecanas robespriegumiem T . Uz stiea virsmas pards t.s. ernova-Ldersa

lnijas, kuras ar stiea asi veido aptuveni 45 lielu lei (2.4. att. a). ajs plakns

darbojas lielkie tangencilie spriegumi un notiek materila kristlisks struktras

prbdans. Tecanai izbeidzoties materils atkal spj pretoties slodzes

pieaugumam. Tpc diagrammas posmu 3-4 sauc par materila nostiprinans posmu.

Ldz punktam 4, stienis vis garum deformjas aptuveni viendi. Traudam ar mazu

ogleka saturu elastbas robespriegums T = 22-26 kN/cm2.

70

Tecanas robespriegumus aprina:

0AFT

T = , (2.12)

kur TF - tecanas robeslodze.

Punkt 4, spriegums stiea materil sasniedz maksimlo vrtbu un to sauc par

izturbas vai stiprbas robeu b . Mazogleka traudam b = 34-42 kN/m2. o

spriegumu aprina:

0AFb

b = , (2.13)

kur bF - izturbas robeslodze.

2.4. att. Stiea prbaude stiep: a) - ernova-Ldersa lnijas, b) - stiea prtrkanas vieta saaurinjums: do - stiea skuma diametrs, d1 - stiea diametrs pirms saaurinjuma veidoans, dk - diametrs prtrkanas viet.

Robespriegumus T un b no stiepes diagrammas ir viegli noteikt, tpc tos

parasti izmanto dadu materilu raksturoanai.

K jau iepriek minjm, dalot faktisko stiepes spku ar stiea skuma

rsgriezuma laukumu A0 iegstam, t.s., nosacto spriegumu diagrammu. Tau

stiepanas laik, skot jau no paa slogoanas skuma, stienim pagarinoties t

rsgriezuma laukums samazins. Izmrot pie katras no robeslodzm stiea

rsgriezuma laukumus un dalot robeslodu vrtbas ar iem faktiskajiem

rsgriezuma laukumiem, iegstam t.s. faktiskos vai stos robespriegumus

71

spriegumus. ie robespriegumi ir lielki par nosactajiem (stiepes diagramm raustt

lnija). Faktisko spriegumu diagrammu ir grtk iegt, tpc biei izmanto nosacto

diagrammu, lai gan t ir mazk precza.

Ldz stiepes diagrammas punktam 4 paraugstienis deformjas vis t garum

aptuveni viendi. Sasniedzot maksimlo slodzi izturbas robeslodzi, kd vjk

viet, kur koncentrjas materila iekjie un rjie defekti, veidojas saaurinjums

(kakli), kur ar stienis prtrkst (2.4. att. b). Saaurinjuma veidoans laik faktiskie

spriegumi stiea materil neprtraukti aug, ldz punkt 5' sasniedz savu maksimlo

vrtbu un stienis prtrkst. os spriegumus aprina:

kk

fA

F= , (2.14)

kur Fk - spks, kds darbojs uz stieni prrauanas brd,

Ak stiea laukums prrauanas viet:

4

2k

k

dA

= . (2.15)

Nosactie spriegumi pc punkta 4 samazins, jo aj slogoanas posm samazins

ar stieni slogojoais spks. Stiea deformcija pa t garumu nav vairs vienmrga,

lielko vrtbu sasniedzot saaurinjuma zon. aj brd stiea rsgriezuma

laukums sasniedz minimlo vrtbu pie diametra dk (2.4. att. b).

Materila mehnisks pabas raksturo ar paraugstiea deformcijas. K

iepriek mints, spriegumam palielinoties virs elastbas robeas e , pc slodzes

noemanas stienis vairs neatgst savu skotnjo garumu lo, jo ir radus paliekos

deformcijas.

Prtraucot stiepanas procesu, piemram, diagrammas punkt m, sakarbu starp

spriegumu un relatvo deformciju izteiks taisne m-n, kas ir paralla diagrammas

skumdaai 0-1. Paraugstiea kopj deformcija sastv no elastgs