PROGRAMA DE ESTUDIOS
Pre-calculo
Los nmeros realesConcepto, clases de nmeros, propiedades y
operaciones.1.- CALCULO
1.1.- FUNCIONES
1.1.1.-CONCEPTOS DE: CONSTANTE, VARIABLE, RELACION Y
FUNCION.1.1.2.- CLASIFICACION DE FUNCIONES.1.1.3.-REPRESENTACION
GRAFICA DE FUNCIONES.1.1.4.- INTERVALO DE UNA VARIABLE, DOMINIO Y
RANGO DE UNA FUNCION1.1.5.- OPERACIONES CON FUNCIONES.
1.2.- LIMITES
1.2.1.-NOCION INTITIVA DE LMITE.1.2. 2.-TEOREMAS SOBRE
LIMITES.1.2. 3.- CALCULO DE LIMITE DE UNA FUNCION.1.2.4.-
CONTINUIDAD DE UNA FUNCION.
1.3.- DERIVACION.
1.3.1.-RAPIDEZ DE VARIACION Y RAPIDEZ DE VARIACION
INSTANTANEA1.3.2.-REGLA GENERAL DE DERIVACION1.3.3.-REGLAS DE
DERIVACION1.3.4.-REGLA DE DERIVACION DE LA CADENA.1.3.5.-DERIVACION
DE FUNCIONES IMPLICITAS1.3.6.-DERIVACION DE FUNCIONES
TRASCENDENTES1.3.7.-DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA
FUNCION1.3.8.-ANALISIS DE FUNCIONES1.3.9.-FUNCIONES CRECIENTES Y
DECRECIENTES1.3.10.-PUNTOS DE INFLEXION1.3.11.-MAXIMOS Y MINIMOS
RELATIVOS1.3.12.-APLICACIONES DE LA DERIVADA
Actividad1:Hacer la lectura de antecedentes histricos del
calculo. Actividad2:Contestar un cuestionarioActividad3:Contestar
el cuestionario de diagnostico
Evidencias:1.-Entregar el resumen de la lectura de antecedentes
histricos del calculo.2.-Entregar el cuestionario contestado.
DIAGNSTICO
INSTRUCCIONES: Con el propsito de conocer cunto sabes sobre
aspectos de calculo. Lea cuidadosamente y conteste brevemente cada
cuestin que se le presenta a continuacin. No representa una
calificacin, pero es necesario que anotes tu nombre y grupo.NOMBRE:
_______________________________________________GRUPO:___________1.
Defina el trmino de
Clculo.______________________________________________________________________________2.
Defina el trmino de
Funcin.______________________________________________________________________________3.
Mencione que son las
variables______________________________________________________________________________4.
Mencione que es una variable dependiente y que es una variable
independiente.
______________________________________________________________________________5.
Qu conoce por
lmite?______________________________________________________________________________6.
Menciona que es rapidez de
variacin.______________________________________________________________________________7.
Qu entiende por
derivada?______________________________________________________________________________8.
Diga que son derivadas
sucesivas:______________________________________________________________________________9.
Mencione que entiende por
integracin.______________________________________________________________________________10.
Menciona en que se puede usar la derivada y la integracin en la
vida
cotidiana.___________________________________________________________________________Antecedentes
histricos del clculo
El clculo infinitesimal es la rama de las matemticas que
comprende el estudio y aplicaciones del clculo diferencial y del
clculo integral.El calculo diferencial se origina en el siglo XVII
al realizare estudios sobre el movimiento , es decir, al estudiar
la velocidad de los cuerpos al caer al vacio ya que cambia de un
momento a otro; la velocidad en cada instante debe calcularse,
teniendo en cuenta la distancia que recorre el en un tiempo
infinitamente pequeo.En 1666, el cientfico ingles ISSAC NEWTON fue
el primero en desarrollar mtodos matemticos para resolver problemas
de esta ndole.Casi al mismo tiempo el filosofo y matemtico alemn
GOTTFRIED LEIBNIZ realizo investigaciones similares e ideando
smbolos matemticos que se aplican hoy en da.Destacan otros
matemticos por haber hecho trabajos importantes relacionados con el
clculo diferencial, sobresale entre otros, PIERRE FERMAT matemtico
francs, quien en su obra habla de los mtodos diseados para
determinar los mximos y mnimos, acercndose casi al descubrimiento
del Clculo diferencial.Dicha obra influencio a LEIBNIZ en la
invencin del Clculo diferencial.FERMAT dejo casi todos sus teoremas
sin demostrar ya que por aquella poca era comn entre los matemticos
el plantearse problemas unos a otros, por lo que frecuentemente se
ocultaba el mtodo propio de solucin, con el fin de reservarse el
xito para si mismo y para su nacin; ya que haba una gran rivalidad
entre los Franceses, Alemanes y los Ingleses.Razn por la que las
demostraciones de FERMAT se hayan perdido.NICOLAS ORESME obispo de
la comunidad de Lisieux, Francia, estableci que en la proximidad
del punto de una curva en que la ordenada se considera mxima o
mnima, dicha ordenada varia mas pausadamente.JOHANNES KEPLER tiempo
despus, coincide con ORESEME, conceptos que permitieron a FERMAT en
su estudio de mximos y mnimos, las tangentes y las cuadraturas,
igualar a cero la derivada de la funcin, debido a que la tangente a
la curva en los puntos en que la funcin tiene su mximo o su mnimo,
es decir, la funcin es paralela al eje x donde la pendiente de la
tangente es nula.ISAAC BARROW maestro de NEWTON, quien por medio
del Triangulo caracterstico, en donde la hipotenusa es un arco
infinitesimal de curva y sus catetos son incrementos
infinitesimales en que difieren las abscisas y las ordenadas de los
extremos del arco.NEWTON concibi el mtodo de las fluxiones,
considerando a la curva como la trayectoria de un punto que fluye;
denomina momento de la cantidad fluente al arco mucho muy corto
recorrido en un tiempo excesivamente pequeo, llamando la razn del
momento al tiempo correspondiente, es decir, la velocidad.Por lo
tanto, fluente es la cantidad variable que se identifica como
funcin;fluxin es la velocidad o rapidez de variacin de la fluente
que se identifica como la derivada; al incremento infinitesimal de
la fluente se le llama momento que se identifica como la
diferencialEl principio establece que: los momentos de las
funciones son entre si como sus derivadas.La concepcin de LEIBNIZ
se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso,
basndose en el triangulo caracterstico de BARROW, observando que el
triangulo es semejante al que se forma con la tangente, la
subtangente y la ordenada del punto de tangencia, as mismo, es
igual al triangulo formado por la normal, subnormal y la ordenada
del mismo punto. Los smbolos dx, dy/dx, la palabra derivada y el
nombre de ecuaciones diferenciales se deben a LEIBNIZ.AGUSTIN LOUIS
CAUCHY matemtico francs, impulsor del Clculo diferencial e integral
autor de la teora de las funciones de las variables complejas,
basndose para ello en el mtodo de los lmites; las definiciones de:
funcin de funcin y la de funcin compuesta, tambin se deben a
CAUCHY.JACOBO BERNOULLI introduce la palabra funcin en el Calculo
diferencial y la simbologa f(x) se debe a LEONARD EULER; ambos
matemticos suizos. JOHN WALLIS enuncia el concepto de limite y la
representacin simblica lim se debe a SIMON LHUILIER; el smbolo
tiende a lo implanto J.G LEATHEM.Los procesos generales y las
reglas prcticas sencillas del clculo diferencial contino basndose
en el concepto de lo infinitesimal.En el siglo XIX se han
encontrado bases ms firmes y lgicas al margen de lo infinitamente
pequeo.El clculo diferencial se ha ido desarrollando a travs de los
aos, consolidndose como una herramienta tcnico-cientfica que se
utiliza en el anlisis de procesos que contienen magnitudes en
constante cambio, por ejemplo: La velocidad de las reacciones
qumicas, los cambios atmosfricos, los desarrollos sociales y
econmicos de las naciones, en la astronoma, la estadstica, etc.A
NEWTO N y a LEIBNIZ se les llama los fundadores del Calculo ya que
fueron los que denomina: Problemas de las Tangentes en el cual hay
que hallar las rectas tangentes a la curva dada.
CUESTIONARIO
I.- Contesta las siguientes preguntas.
1.-Que estudia el clculo infinitesimal?2.-Que bases dieron
origen al calculo diferencial?3.-Nombra a los fundadores del
calculo diferencial?4.-Cita la aportacin de PIERRE FERMAT al clculo
diferencial5.-Escribe los conceptos que estableci NICOLAS ORESME en
el estudio de, los mximos y mnimos.6.-Escribwe el estudio de ISAAC
BARROW sobre el triangulo caracterstico.7.-Explica los
razonamientos de ISAAC NEWTON sobre el mtodo de la
fluxiones.8.-Describe las aportaciones de GOTTFRIED LEIBNIZ al
calculo diferencial.9.-Que principios hizo AGUSTIN CAUCHY al
calculo diferencial?10.-Explica la evolucin del calculo
diferencial.
LOS NUMEROS REALES
1.-.Propiedades de los Numeros Reales
1.1.-Definicion de conceptos pagina11.2.-Representacion de los
nmeros reales en una recta numrica.pagina 11.3.-Relacion de
ordenentre los nmeros realespagina 21.4.-Operaciones fundamentales
con los nueros Realespagina 41.5.-Notacion Cientificapagina
191.6.-Propiedades de la igualdad. Pgina 22 todas del libro
Matemticas 1 para bachillerato.1. 1.- FUNCIONES:
1.1.1.- Conceptode constante, variable, relacin y funcin.
Observa los engranes A y B. Si A y B representan dos engranes donde
el radio de A es un tercio Del radio de B, al hacer girar el
engrane A las vueltas que queramos B Que suceder con el engrane B?
A Si A gira 6 vueltas, Cuntas vueltas gira el engrane B?
Si A Gira 120 vueltas Cuntas vueltas gira B?
Qu engrane hemos estado girando?
De qu dependen las vueltas que gira B?
En este ejemplo habrs observado que el engrane A ha dado las
vueltas que hemos deseado, por lo que se puede considerar como
variable independiente (x), como las vueltas que da el engrane B
dependen de las vueltas que gire el engrane A, entonces B
representa la variable dependiente (y), entre ellos se establece
una relacin. Y = A 18 vueltas de A le corresponden dos o ms nmero
diferentes de vueltas de B? o solo un nmero nico de vueltas?
Analiza la frmula que nos da el volumen de la esfera: r3De qu
depende el volumen de la esfera?
Qu variable se requiere hacer que cambie para que vare el
volumen de la esfera?
Cul es la variable independiente en esta relacin?
Cul es la variable dependiente?
Si r = 8, habr dos volmenes o ms diferentes?_______o a 8 cm de
radio, solo le corresponde un volumen de la esfera?
_____________________
En estos dos ejemplos se observa que hay cierta relacin entre
variables, adems esta relacin es especial porque a cada valor de la
variable independiente solo le corresponde un valor a la variable
dependiente. Si se grafica la primera relacin se tiene:
Y = Construye su graficay = 4(3.14) x3/3 Construye su
grafica
A esta clase de relaciones se les llama funciones, de esta forma
se puede concluir que una funcin es una relacin entre dos variables
tal que no hay dos o mas parejas ordenadas que tengan igual el
primer componente.
Estas parejas ordenadas (x, y) los elementos que forman estas
parejas integran dos conjuntos de valores que pueden tomar las
variables (x) independiente, (y) dependiente.
Los valores que integran el conjunto de valores que toma la
variable (x) se le llama dominio de la funcin Al conjunto de
valores que toma la variable (y) se le llama contra dominio o rango
de la funcin
En la vida diaria es de gran utilidad la idea de pareja ordenada
por la relacin que se establece entre los elementos; ya sean
personas, objetos, nmeros, etc.
Cmo se establece esta relacin?
Generalmente mediante una asociacin de elementos de dos
conjuntos, formando parejas ordenadas, establecindose dicha
ordenacin o relacin mediante una regla de asignacin.
Ejemplo 1: si se tienen dos conjuntos integrados por:A=
{Zacatecas, Aguascalientes, Monterrey, Cd. Victoria}B= {Zacatecas,
Aguascalientes, Nuevo Len, Tamaulipas} Una regla de ordenacin de
estas parejas es:
C= {(x, y) / x es capital de y; x pertenece a A, y pertenece a
B}
Escribe esta relacin mediante un conjunto de parejas
ordenadas.C={ }Ejemplo 2: Si en un cine se relacionan los asientos
por el nmero de fila y el nmero de asiento.La expresin: B = {(2,1),
(3,2), (2,7), (5,4)} donde (2,1) indica fila 2 asiento 1
(3,2) indica:(2,7) indica:(5,4) indica:Qu asientos son de la
misma fila?Ejemplo 3: En un tu grupo asisten a clases un total de
___alumnos, si estableces una relacin entre edad y talla del pie. A
= {(18,), (19,), (19,), (20,)}
Si la relacin la establecemos: B = {nmero de alumnos que calzan
del}
Las parejas en tu grupo se integran de la siguiente forma:
B = {( ,), ( , ), (, ), (,), (,) }
Analizando los ejemplos se puede concluir que: Una relacin es:un
conjunto de parejas ordenadas, donde al conjunto de todos los
primeros elementos de las parejas se llama dominio de la relacin,
al conjunto formado por todos los segundos elementos de las parejas
ordenadas se le llama rango, condominio o contra dominio de la
relacin. Tambin se llama relacin en el producto cartesiano de 2
conjuntos A x B , al conjunto de parejas ordenadas, formadas por
elementos de A y con elementos de B, en este orden, mediante una
frmula o regla que determina su asociacin; as la relacin es una
seleccin de parejas del producto cartesiano A x B. Si U = {1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8,9} el producto de: U x U Cuntas parejas integran este
producto?_____________________________________
Completa la grfica de este producto:
La siguientes relaciones son subconjuntos del producto
cartesiano UxU, en ellas enumera las parejas, identifica: el
dominio, el rango y elabora la grfica o identifica las parejas en
la grfica ya elaborada.R1 = {(x, y) / x = y}= {(1,1). (9,9)}
R2 = {(x, y) / x < y} = {
R3 = {(x, y) / x > y} = {
R4 = {(x, y) / y = x + 3} = {
R5 = {(x, y) / y = } = {
R6 = {(x, y) / y = x2} = {
Como ya se ha enunciado algunas de estas relaciones cumplen
ciertas condiciones; por lo que reciben el nombre de funciones, en
estos ejemplos podrs identificar estas funciones si se considera
que:
Una funcin es una relacin tal que no hay dos parejas ordenadas
que tengan igual el primer componente.
En el conjunto de parejas ordenadas (x, y);x, y, reciben el
nombre de variables, la primera independiente (x) y la segunda
dependiente(y), a los valores que toman se le llama dominio de la
variable. Al dominio de x se le llama dominio, al dominio de y se
le llama rango de la relacin.
La regla que nos dice como aparear los elementos de un conjunto
con los de otro conjunto para determinada relacin se puede
establecer de diferentes formas:1. La asociacin se establece
mediante una tabla de valores 2. Mediante una grfica 3. Mediante
una ecuacin 4. Mediante un enunciado verbal 1.1.2.-Intervalo de una
variable, intervalos, dominio y rango de funciones.
Notacin de Funcin:
Si f es la funcin que tiene como variable de dominio a x y como
variable de contra dominio y, el smbolo f(x) selee f de x ,
sterepresenta un valor particular de y que corresponde a un valor
particular de x de este modo se tiene que: y = f(x)= 3x2 + 5x -2,
donde x es variable independiente y y variable dependiente, si la
regla para obtener y es: (3x2 + 5x -2 )
Si x = 2, y =____________
En ocasiones para distinguir una funcin de funcin suele usarse
g(x), h(x), etc.
Ejem: f = {(x, y)/ y = } por lo tanto f(x) =
F (1) = f (2) = f (5) =F (-6) = f (3) = f (6) = F (0) =
Identifica el dominio de f D = Identifica el rango de f R = Esta
relacin es funcin?______________________Elabora su grfica Al
definir una funcin, su dominio debe de darse:a) En forma implcitab)
En forma explcita llamaremos intervalo. AlConjunto de valores que
toma una variable dentro del dominio, comprendido entre dos de
ellos llamados extremos. Existen intervalos:
a) Semiabierto por la izquierda: los que contienen al extremo
derecho
b) Semiabierto por la derecha: los que contienen al extremo
izquierdo.
c) Cerrado: Son aquellos cuya variable puede tomar el valor de
los extremos
d) Abierto: Son aquellos en que la variable no puede tomar el
valor de los extremos.
Existen diversas formas en que se pueden expresar estos
intervalos:
Forma grfica: En la recta numrica se determinan los puntos
correspondientes a los extremos del Intervalo con un crculo, si es
cerrado, el crculo se rellena, si es abierto se deja sin Rellenar.
O x 0 x a b a bCon parntesis: [a, b] cerrado, (a, b) abierto
Forma de desigualdad: a < x < b, a
0 x 0 = (a, b) = a < x < b a b
0 x = (a, = a < x 5
e) x 0
f) 0 x 0 -2 2 h) [-2, 2)i) [3, 4]
Actividades: realiza las siguientes actividades. En caso de
tener problemas acude a un compaero o a tu asesor para que te
auxilie en el desarrollo del problema.
1) dado f(x) = x3 5x2 4x + 20 hallar: f(1) = f(5) =
2) Demostrar que f(0) = -2 [f(3)]
3) Si f(x) = 4 2x2 + 4x4 f(-2) =
4) Si f(x)= x3 5x2 4x + 20 f(t+1) =
5) Si f(y) = y2 + 2y +6 f(y+h) =6) Si f(x) = 2x2+ 5x 3 f(h+1)
=7) Si g(x) =3x2 4 g(x-h) = 8) Si f(x) = f(x+h) f(x) = 9) Si f(x )
= x3 + 3x f(x+h) + f(x) =10) Si f(x) = 1/x f(x+h) f(x) =1.1.3.-
Clasificacin de funciones:
Las funciones de acuerdo a sus caractersticas se pueden
clasificar de diferentes formas, entre stas se tiene: 1) Funciones
Algebraicas: Su valor se obtiene con procedimientos algebraicos,
stas funciones se Clasifican en a) Enteras: y = x2 - 3
b) Racionales: y = (Expresa una caracterstica para esta
clasificacin)
c) Irracionales: y =
2) Funciones Trascendentes: Su valor se obtiene con
procedimiento y con otros que no lo son.
a) Trigonomtricas: y = Sen x
b) Trigonomtricas inversas: y = arc tan x
c) Logartmicas y = log x y = ln x
d) Exponenciales: y = ax
Funciones Implcitas. En estas funciones no hay variable
despejada, ni se sabe quien es la variable dependiente ni la
variable independiente: y2 3x +x2 - 8
Funciones Explcitas: En estas funciones existe una variable
despejada y estn indicadas las operaciones que se requieren
realizar para obtener su valor: y = x2 - 3
Funciones de una variable: su valor depende de una variable y =
2x A =3.1415 (r2)
Funciones deDos o ms variables: su valor depende de dos o ms
variables: A= bh/2 I=crt, A = Uniformes: Si a cada valor de x le
corresponde uno de y: y = 2x + 3
Multiformes: Si a cada valor de x le corresponde ms de un valor
de y y = arcSen x X= .5 ngulo correspondiente puede ser 30, 150
Inversas: Si en una funcin se tiene que el dominio y el rango de
la primera funcin son el rango y el dominio de la segunda funcin
respectivamente, estas funciones son inversas.
Constante: Si el rango consiste en un solo nmero. f(x) = c como
y = c la grfica corresponde a una recta paralela a xx, situada a c
unidades del origen.
Polinomial: Cuando est definida por f(x) = a0 xn +
a1xn-1+a2xn-2+an-1x + an, donde n es un nmero natural y a1, a2, a3
son nmeros reales.
Ejemplo: y = 2x5 3x3 x2 +7x 1, el mayor exponente de la variable
indica el grado de la funcin en este caso es de quinto grado.
Idntica: Es una funcin lineal definida por f(x) = x y = x En las
funciones algebraicas la funcin constante y la funcin identidad se
relaciona mediante una serie de operaciones (suma, resta,
multiplicacin, divisin, potencias y radicacin) obtenindose una
nueva funcin algebraica.
Pares: Si f(x) = -f(x) la grfica es simtrica respecto al eje yy
la funcin se dice que es par. Impar: Si f (-x) = -f(x) la grfica es
simtrica respecto al origen y se dice que es impar.
Existen otras clases de funciones especiales que se definen segn
su tipo:
Funcin mayor entero: [(x)] = n, n
Funcin compuesta: Se representa por: f o g, se define (f o g) =
f (g(x))El dominio de de f o g es el conjunto de todos los nmeros x
en el dominio de g, tales que g(x) se encuentra en el dominio de
f(x), si f es una funcin de x en yy g es una funcin de y en z,
entonces la funcin compuesta g o f es la funcin de x a z dada por
(g o f) (x) = g (f(x)) para cada x en x. la funcin composicin tiene
dominio x y contradominio z.
Actividades: 1Clasifica las siguientes funciones segn sus
caractersticas:, observa que una funcin pude clasificarse de
diferentes formas.
a) Y = x3 -2x +1 puede ser algebraica, entera, polinomial,
cbica, explcita, uniforme, de una variable
b) Y = 5x-4
c) Y = 4 senx
e) Y = (x3 -4x2+ 2)6h) X2+ y2= 4
i) Y = 8x-1/2
j) Y2 = 8x
k) Y = x3
e) Y = xx
f) Y= a2x-1
g) Y= Tan3 6x
2. Actividad: ahora transforma las siguientes funciones en
explcitas, dejando a x como variable independiente.
a) X2= 9y
b) 2xy + 1 = 4x2 + y
c) 3xy-6x + y-2=0d) y2+ 12x = 4x2+ 2y+8
e) x2 -4x +y2 6y = 3
3. Graficar las siguientes funciones: Identificando su dominio y
su rangoy = 2x + 6 Y = -2x2 + 8x -6
4. Si y = 2x +2 y y =
x -1 0 1 2 3 4 x 0 2 4 6 8 10y y
5. Grafica y = x2 1 x = y2 1
6). grfica -3 si x
y = 1 si 1 < x Cul es el dominio? 4 si 2 < x Cul es le
rango?
7). y = Dominio Rango
Es continua la funcin? En donde es discontinua?
8). x 1 si x