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EI material para la enseanza de lamatemtica moderna. Sus
caractersticosy aplicacin
Yor ANGEL HAMOS SOBRiNOIn^pector de Enseanui Primariu,
Valencia
FUNDAMENTACION PSICOLOGICA DE LANECESIDAD DE UN MATERIAL PARA
LAENSEANZA DE LA MATEMATICA MODER-
NA ELEMENTAL
De los estudios minuciosos de epistemologa ypsicologa genticas
de Piaget, se desprende :
a) Las estructuras de la Matemtica moderna ylas estructuras
mentales guardan una estrechacarrespondencia.
h) El pensamiento se apoya en la accin.c) En el desarrollo de
las operaciones mentales
se siguen una serie de etapas o estadios.
a) Las estructuras ntatemticas y las estrttrturasmentales
guardan una estrecha carresprrndencia
Inspirndose en las tendencias bourbakistas, la Ma-temtica
moderna pone el acento en la teara de losconjuntos. Piaget, a quien
nos vemos obligados aacudir siempre que tratamos de la gnesis de
losprocesos mentales, nos dice que las intersecciones yreuniones de
conjuntos, las correspondencias..., sonprecisamente operaciones que
la inteligencia cons-truye y utiliza de manera espontnea desde los
sieteu ocho aos y an mucho ms, desde los once-doceaos, a cuya edad
llega a la estructura compleja delconjunto de partes, origen de la
combinatoria.
Las Matemticas, despus de la escuela Bourbaki,ya na se nos
pzesentan como un conjunto de captu-los separados, sino como una
jerarqua de estructu-
ras que se engendran unas a otras a partir de unas"estrueturas
madres". Estas estructuras madres son :
Las estructuras algbricas, cuyo prototipo esel grupo.
Las estructuras de orden, cuyo prototipo esla red.
Las estructuras topolgicas, que se refieren alas canceptos de
entorno, lmite y continuidad.
Estas estructuras matemticas estn en perfecta co-rrespondencia
con las estructuras operatorias funda-mentales del pensamiento. As,
desde los siete-ochoaos, etapa de las operaciones concretas,
encon-tramos :
Estructuras algbricas en los "agrupamientos"lgicos de
clases.
Estructuras de arden en los "agrupamientos"de relacianes.
Estructuras topolgicas en la geometra espon-tnea del nio.
Por tanto, segn Piaget, las estructuras ms abs-tractas y ms
generales de la Matemtica modernase encuentran en ms ntima relacin
con las estruc-turas operatorias naturales de la inteligencia que
lasestructuras particulares, que constituan el armaznde las
Matemticas clsicas.
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h.
/l -^
, t.1a( 1^ ^^^,`
,;^-^ , Ei^ ^r1,^c^^e^tto se apoya en !a accin. . `^ ^ : ``
',^. . Pia^ot^osfieny 1lue todo pensamiento Se apoya e q^ l.1
a^in, y q(ie;lo^ conceptos matemticos tienen su
^ ^' o^tig^u;.,eri los aeto^ que el nio lleva a cabo con los.
:-a^jc^s^^,;no rt ls objetos mismos.
_,'^.as operacig^' del pensamiento son acciones in-',
t2btiorizadas, few^t^ibles y c^ordinadas en sistemas.
`` ,^p u,n^, , rn matemtica cualquiera, tal como(x^^-^^?',^^,
cada trmino designa, en defini-tiva, una acci^n; el signo (_)
expresa la posibilidaddo una sustiiu^Cin; el signo ( ^i-), una
reuhin,. el sig-no (-), una separaci6n; el cuadrado (x'), la
accinde reproducir equis veoes x, y cada uno de los va-lor i^es u,
k, y,'z, la reccin de repTQducir cierto nmerode vooes la unidad"
(1).
Cada uno de los smbolos representa, como. dicePiaget, una acein
que podrta ser real, pero que ellen,guaje matemtico ge limita a
designar abstracta-mente, bajo la forma de acciones interiorizadas,
esdocir, de operaciones del pensamiento.
c) En el d'esarrollo de las operarioncs nzenlales sesiguen una
serie de etapas v estc^dios
El desarrollo de la inteligencia sgue unas etapas,que Piaget
resume asi :
Etapa Senso-motriz, hasta el ao y medio 0dos aos.
Etapa preoperatoria, de los dos a los siete aos.Dentro de esta
etapa cabe distinguir la de1pensamiento simblico, de los dos a los
cua-tro aos, y la del pensamiento ntuitvo, de loscuatro a los siete
aos. El pensamiento antesde los seis-siete aos carece de
reversibilidad,es decir, de la capacidad de hacer y
deshacermentalmente un camino, de descomponer yrecomponer un todo,
de percibir que un con-junto de objetos permanece invariable si se
lequita y agrega luego la misma cantidad.
Etapa de las operaciones concretas, de lossiete-ocho aos a los
once-doce aos. Es elprimer perodo operativo, puesto que ya se dala
reversibilidad, pero las operaciones slo selogran en situaciones
concretas, en donde elnio maneja activamente datos materiales,
quepuede ver y tocar. Si en esta etapa hacemosrazonar al nio con
proposiciones verbales, amenudo se encuentra incapaz de llevar a
cabola misma operacin que l realiza cuando seaplica a situaciones
concretas.
(1) PrnceT, J.: Psicolo,4a ^le la inleligencia. Ed. Psique,pgina
51.
Etapa de las operaciones formales, de once-doce aos a
catorce-quince aos. El nio llegaa desprenderse de lo concreto
orientndose ha-cia lo inactual, ha superado el aquf y el ahora,se
hace capaz de sacar consecuencias necesa-rias de verdades
simplemente posibles, lo queconstituye el principio de] pensamiento
hipo-ttico-deducdvo o formal.
ALGUNAS CARACTERiSTICAS DEL MATE-w
R1AL, PARA LA ENSEANZA DE [_A MATE-MATIEA MODERNA
Manipulable^
De lo anteriormente expuesto se desprende quepara el lagro de
las estructuras lgico-matemticasen el nio, especialmente en el
estadio preoperato-rio (cuatro-siete aos) y concreto (ocho-once
aos),ser muy conveniente la utilizacin de un materialmanipulable, a
fin de que las acciones que con 1realice puedan pasar, mediante un
proceso de inte-riorizacin, canstituir operaciones mentales.
Hasta edades bastante avanzadas se observa el he-cho de que el
nio, antes de poder deducir un re-sultado, se ve obligado a
comprobarlo empricamen-te para admitir su verdad. En los niveles
preopera-torios, es decir, antes de los siete aos, ocurre asfcan
tadas las verdades lgico-matemticas deaeu-biertas poT el n3o,
compzendidas inclusa las maevidentes, como la transitividad de la
igualdad.
Hay que hacer constar, sin embargo, que en lsutilizacin de este
material por el nio no es la ox-periencia fsica lo que nas
interesa, sino la lgico-matemtica. No son tos abjetos, sino las
accioaaaque con ellos se realizan, ]os que tienen un
inter^didctico, porque las nociones matemticas no so darvan de los
materales, sno de la captacin del t;g-nificado de las operaciones
realizadas con diohosmateriales.
Atributos claramente de}inidosEste matorial manipulable, que
podr ser figura-
tivo, como en el caso de las fichas de personas, aini-males,
vehculos, frutos, del mtodo K M L de T^ou-yarot, o no figurativo,
como en los bloques 1gioade Dienes, regletas de Cuisenaire o
plaquetas deTouyarot, deber tener los atributos claramente
di-ferenciados para la constitucin de los oonjunt^oa,pues no
olvidemos que ya en 1872 Georg Cantor, elcreador de la teora de
conjuntos, defina un conjun-to como "la reunin de un todo de
objetos de nuoa-
^
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tra intui^in o de nucstro prnsar, bicn detcrminadosy
dferencubles lon unos de los otros". Desdc unprincipia, pnr tanto,
lu definicin dc Cantor dejufucra de Ictx conjuntos, cnnsiderados cn
el sentidctmulcmticct, ucluellos cuycx ObjClA3 no cstQn
hiencleterminadc>ti.
Vuiie^lrilirhwl
La vuriuhilidud es unu cualidad del mutcrial puralu cnxePfunzu
dC lu Matemticu mcxlerna, x:aladupor Dienes. EI yue ae IogrC un
concepto matem-tico dcp:nder de lu hahlidad pura identificar y
dc-finir algo yuc tengun en camn divorsus expcrienciasc^ncreta+ y
distintas. La hiptesis dc Dicnes cs yuctnicntrus m^ variados aean
{os mode{os perceptivosa disposicin clcl nio, ms fricil ser
adyuirir losconceptos.
Conforme con e,te critcrio de vuriahiliducl dcl ma-terial.
Dicncs ofrece numerosus estructurus di^tintus,subre lux cuales
pueden efectuarse tarcas matema-ti^as eyuivulentes. Asf. a) disear
mutcrialCS estruc-turados en forma tul quc fuciliten e) logro
delcunccplo de c^lc,r dr /x,sicirn, en vez de usur b{o-yues de busc
1Q exclusivamenle, como otros autores,vura las bases en lo$
llamados bloyues multibuse.yue ms tarde describiremos, y los nios,
al jugar^ucesvumente con los bloques de distintas bases, lu-gran
ubstraer ^I conceptu del valnr dc posicin.
A^IATERIAt- MAS UTILILADO EN I.A ENSF-AN^A DE l..A M^ATEM^ATIC`A
MC}fyFRNA
F.l_.F:MFNTAL
Vamos a limiturnos u lu clescri{xin dc a{gunosdc los muteriales
de uso ms frecucnlc puru lu c:nse-anza de la Mutemticu modcrnu
elemental, talcscomo:
Blcx^ucs IcSgicos, dc Uicnes. Blaques multibusc;, dc: Dienes.
Nmeros en calor, de Cuisenuiru.
Muteriul Dscurt.
Material K M L, de Touyarot.
Minicomputudor, dc Pupy. Geopluno, de Gutlegno. Geoc^spacio, de
Puig Adam."Construyamos la geometru", de Emma Cas-
telnuovo.
1,O^ C3l.^U(,)l1t:S LO(il{'OS, f7f? DI(^Nl?S
Tienen como finalidud iniciar u los nicn dc cincou sicte uos en
lu teora clc Icx conjuntos y cn lalgicu. William Hull fue el
primcrn cluc utili^c sstcr.+bloyues como uuxilures C n cl
urrcndizujc cie lulgica. Posteriurmcntc los hu utilir,rclu I)icncr
cn luscscuelus dc Australiu y Cunudfi.
l.os blcxlucs IcSgicos constun de 4t^ elentenlos, yucticn^n
cuatro atributos:
Forma.^ Color.
Tuntau.^ Cirosor.
Se;gn la forma, exsten cuatro variantes: cuadra-do, crculo,
triangulo y rectngulo.
Scgn el color, tres variantes: rojo, azul, amu-rllo.
Segn.el tamuo, dos variant^s : grande y pequea.Segn el grosar,
dos variantes : grucso y delgado.Hay, poT tanto, 12 bloques de cada
una dc las
cuatro formas.24 bloyues detgados y 24 btoyues grueso^.24
bloyues grandes y 24 blayues pequects.l6 bloyues rojos, I b uzules
y 16 amurillos.
Paca distinguir un bloyue dc los otros 47 ^s nccc-surio dar sus
cuatro utributus. Estas cuatro categorasci^ utributos sirven de
criterio para rc^u,ir los bloyu^scuundo sc constituyen los
conjuntos.
Permiten adquirir jugando las nociones fundamen-tales sobre
conjuntos. Las primeras experiencius ma-t^mticas de los nos deben
ser precisamente a pro-pcSsito dc los conjuntos, el nmero vendr
despttscomo propiedad dc los conjuntos c:yuiv^lentes.
Los bloyues lgirns suministran ul nio nume-ro^a^ situaciones yue
le obtigan u rculizur invcsti-gaciones lgcas y matemticas. Juegan
can proble-mas y situaciones que encontrarn ms tarde en elplano del
pensamiento abstracto.
Los prmeros juegos con este material tienen porfinalidad
conducir a los nios al conocimiento de loshlctyues. Dt:ntro de
estos juegos preliminares tenemosel tlamudo del "retrut', yue
consiste en dcscrbircada uno de los bloyues, precisando sus cuatro
atri-butos. As :"^ste es un bloque redondo, amarillo, pe-yueo,
delgudd'. Sueesivamentr. cuda niu tomar;un hloque y lo
describirS.
EI juego nverso es lu cleccin de un bloyue entreIc^s 4R, eiando
la descrilxin :"Busca un bloyue yuesca..." Ayu puede hacerse el
juego ms dvertido nofijando ms yuc dos o tres atributos: "Busca
todoslos blorlues yue sean redondos y uzules".
41
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Juegos de diferencias y semejanzas, en los yueiniervenen varios
nios. Son jucgos sociales. Se tratade hacer, como en los juegos de
domin^i, una cadenude bloques, ponendo un bloque a continuacin
delotro, de torma tal que tengan con el pr+ecedente una,dos o tres
diferencias o scmcjanzas dc atributos. !~Ijuego da lugar a
discuaiones interesantes entre losnieios.
Despus de bien rnnacidoa las bloques mediantelos juegos
preliminares, se pssa a la constitucin delos conjuntos. Los bloques
con sus cuatro atributospermiten la tormacin de gran variedad de
conjun-tos. Primero se comenzar con la formacin de con-juntos cuya
caracteristica est^ constituida par un soloatributo: "Formad cl
conjunto de los bloques re-dondos o bien el de !os bloques
azulcs..." Despurisse pasar a las conjuntos cuya caracterfstica
estconstituida por dos atributas : el conjunto de losbloques rojos
y redondas, o por tres atributos : rojos,redondos y gruesos.,.
Otros juegos interesantcs son los de dos aros parala bsyueda de
las jnterse^riones. Se djce al nio:
-- Forma el conjunto de los bloques rojos metin-dolos dentro de
un aro (diagrama de Venn).
--^ Forma otro conjunto, el de los bloques redon-das, por
ejempto.
Los nios descubrirn que exsten bloyues queson rojos y redondos.
^Dnde los colocarnl Unoslos pondrn con los redondos, otros nios los
yuita-rn de este conjunto y los pondrn en el de los rojos.Se
procurar que sean los mismos nios yuienes des-cubran que estos
bloyues rojos y redondos tienenque colocarse en el espacio en que
los dos arns sesuperponen, poryuc esl^^ tiector pertenece tant^^
alnterior del aro rojo como al del am dc los re-dondos.
I. Rojos, nn-redondas. 1.2. Rui^s y red^^nduc?. Redundus,
nu-rnjnti, l. Nu-re^lundus, nu-n,^.,.
I. Redundus, nu-rujux, nutxyucuc.2 Rujos, nu-redondos,
nu-pequeus.3. t'equeos, no-redondas, norojos.
1.2. Redondos, rojos, no-pequeos.1.3. Redondus, peyueAus.
norojos.2.3. Rojos, pequeos, noredondoc,
1,2.3. Redundos, rajcs, pequeos.4. No-redondos, no-rojos,
no-peyueus.
Entre los elementos de un conjunto pueden sepa-rarse los yue
tienen una propiedad no poseda porotros, constituyendo
subconjuntos. Asf, en el con-junto dc los bloques redondos se
pueden alsJar Iressubconjunlos, segn e! color, o dos
subconjuntos,segn la magnitud, y otros dos, segn el espesor.Dentro
del aro mayor, con cuerdas o aros menores,podrn los nios aislar los
subconjuntos y adyui-rirn as la idea dc inclusin.
Los juegos de rrrrnsfcrrrnur^iones, que conducen alnio al
descubrimiento de las propiedades de losgrupcx matcmticos ; ast
:
Juego de rcproduccin o eopia (i). Juego de copia con cambio de
colores (c).' Juego de copia con cambio de forma (f). Jurgo de
ropja ^on cumbio de color y forma (^).
,-^y/.^, f^, ...,. i^.. afa !as
G(ii (^) (f ) (t )
00
q ^
Complcando el ejercicio, pueden hacersg juegos I com tres
aros:
42
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Este tipo de juegos, al principio, suelen jugarse endos equipos.
Sea, por ejemplo, el de copia con cam-bio de colores. , Cada equipo
dispone de los mismosbloques, pero todos ellos son solamente dos
colores :rojo y azul. El primer equipo construye una combi-nacin y
el segundo copia la construccin. pero conla condicin de que si los
primeros ponen un bloqueazul, los segundos pondrn un bloque de la
mismnforma, pero rojo e inversamente.
Con estos juegos podrn descubrir los nios laspropiedades de
:
Cerradure. Conmutatividad :
^ ^ ^^
^ t^
Asociatividad :
c ^`'/y q
^ c t.^--y ^^ ^.^
Do=[^ Elemento neutro :
,^ c^^ ^^
a q Elementos simtricos:
c ^^^ * .-----^
q ^ _ qqf3LOOIIES ARITMETICQS Mlll.T113ASf^ BAM1.
DE DIENF_,S
Este material est orientado hacia la compren-sin del concepto
del valor de posicin.
EI material se presenta en cajas, una por cadabase de numeracin.
En cada caja se encuentran :unidades, barras, placas y bloques. As,
en la cajapara la ha^P 4 cncontraremcs hiczas como stas:
1/n,^;.-/.-r ^
tlr,ac.r-rcx
4
Antes de llegar a los ejercicios estructurados, losnios jugarn
libremente on estc mat^riai, Siguendespus juegos como los
siguientes :
Supangamos que dos nios tienen la caja de base 3,por ejemplo. En
las caras opuestas de un cubo uni-dad se ponen, pegando papeles,
las cifras 0, 1, 2 y seutiliza como dado. La primera tirada del
dado espara sacar bloques. Cada nio coge tantos bloquescomo el
nmero que ha sacado al tirar. Vuelvena tirar el dado para sacar las
placas, despus parasacar las barras y, por ltimo, para sacar las
uni-dades. EI nio que consigue mayor montn de ma-dera, gana.
Pronto llega a comprender, especialmente el nioque pierde antes,
que es la primera tirada de dadosla que tiene ms importancia y que
quien gana enesa tirada ha ganado ya prcticamente la partida.
Si los dos sacan cero en la primera tirada, enton-ces es la
segunda la que tiene una importancia vital,y as sucesivamente.
Despus de algin tiempo se cambiar el orden de1juego, comenzando
por las unidades y terminandopor los bloques. EI juego as es ms
apasionante,puesto que los nios no saben quin gana hasta el
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final. Esto ensea al nio, adems del valor de po-sicin, que el
orden, en realidad, es arbitrario; anteslas potencias eran
decrecientes, ahora son crecientes.
Harn juegos semejantes con las dems cajas paraque no se liguen a
la propiedad particular de unadeterminada base y darles as ocasin
de compren-der las propiedades comunes a todaS las bases.
En una segunda etape, el maestro puede sugerirjuegos ms
estructurados. En ellos, el nio se darcuenta que en la caja de base
3. por ejemplo, 3 uni-dades forman una barra, 3 barras una placa, 3
pla-cas un bloque.
EI pensamiento, segn Dienes, prooede segn uncamino constructivo
y segn un camino anal(tico.En esta primera etapa, constructiva
todava, no esconsciente el nio del aspecto analtico de su
cons-truccin: la razn 1: 3, pero las construcciones querealiza con
materiales son muy importantes en lacomprensin ulterior de la razn,
de las progresionesgeomtricas, de las potencias, de la comprensin
delos distintos sistemas de numeraein.
Cuando el nio ha comprendido la estructura detodas las cajas se
plantea el problema de qu haydespus de los bloques. Los nios
generalizan prontoy ponen tres bloques juntos en la caja de base
3,cuatro en la de base cuatra y as sucesivamente paraconstituir el
orden inmediato superior. A esta cons-truccin se suele llamar barra
de bloques, por ana-lvga con las barras, pero Dienes nos dice que
mu-chos nios las llaman torres, porque hacen sus cons-trucciones
poniendo los bloques unos encima de otros.
,rirr-a da ^n^.r ^ 83' cc..,;,^^aa f
Cuando los nios ya no tienen ms madera en lacaja pueden
continuar el ejercicio imaginativamentey, al menos en teora, se
puede proseguir el procesoindefinidamente. Esta es, tal vez, dice
Dienes, la pri-
mera puerta que se abre sobre el concepto de "infi-nito", que
todos los nios encuentran extremada-mente apasionante.
Asimilada la naturaleza abierta y la estructura delmaterial se
puede pasar a otros ejercicios, que con-ducen a las operaciones
aritmticas. Veamos la adi-cin, por ejemplo. Sea la base 3:
I bloque 2 placas 2 barras 2 unidades1 placa 2 barras 2
unidades
Adicionando las piezas semejantes y aplicando lasequivalencias,
se obtiene :
2 bloques 1 placa 2 barras 1 unidad
Los nios se acostumbrarn despus a anotar loque realizan con los
bloques multibase. As:
B P B U1 2 2 2
+ 1 2 2
2 1 2 1
Es conveniente, igualmente, que en las operacio-nes los nios
utilicen las cajas de las diferentes bases.
NUMERO5 EN COLOR, DE CUISENAIRE
Este material fue creado por Georges Cuisenaire,maestro de Thuin
(Blgica), y dado a conocer inter-nacionalmente en 1954 por C.
Gattegno, profesor dela Universidad de Londres.
El material est constituido por 241 regletas del a 10 cm. de
longitud y de 1 cm.' de superficiede base :
50 regletas de 1 cm., de50 regletas de 2 em., de33 regletas de 3
cm., de25 regletas de 4 cm., de20 regletas de 5 cm., de16 regletas
de 6 cm., de14 regletas de 7 cm., de12 regletas de 8 cm., de11
regletas de 9 cm., de10 regletas de 10 cm., de
color madera natural.color rojo.color verde claro.color
rosa.color amarillo.color verde oscuro.color negro.color
marrn.color azul.color naranja.
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Las regletas estn agrupadas en tres familias:
Familia de los rojos : 2-4-8, yue ponen cn evi-dencia los
dobles, las mitades y las potenciasdel 2.
Familia de los azules : 3-6-9, yue ponen en evi-dencia los
triples, tercios y(a segunda potenciadel 3.
Familia de los amarillos: 5-10.
El blanco y el negro estn solos.
Es un materal muy rico en posibilidades para laactvidad creadora
del nio, que guiado por el maes-tro Ilegar a descubrir por s mismo
las relaciones ma-temticas que se deseen.
Las ejercicios primeros, espontneos, sumnistranal nio la
experiencia de la equivalencia de regletasde igual color y de la
equivalencia de cada regletacon alineaciones compucstas de otras
dos o ms.
La accin de adosar y alinear sugiere al nio lasideas de igualdad
y suma.
EI nio al buscar la regleta que falta para com-pletar con otra
una regleta mayor invierte la opera-cin de suma, es decir, resta
comptementando.
La formacin de trenes de igual colar, mediantealineacin de
regletas iguales, origina simultnea-mente los conceptos de mltiplo
y divisor, de pro-ducto y cociente.
La idea de nmero primo s^ pone de manifiestoal comprobar que no
todas las regletas se puedende^componen en otras de igual
color.
Puede descubrir las propiedades asociativa y con-mutativa de la
suma, asociando y permutando lasregletas.
Hay nios que empiezan el juego ordenando esca-leras. La
estructura de orden es ejercitada por estematerial.
3x4 = 4x3Otrus niflos clasi(i^an aJusundu im:n .^l ladu dc
^rir:u
las reglctas de igual longitud. Forman asf placas yue pucenser
cubiertas por otro sistema d. regletas en et sentido delancho. Esta
experiencia sugicrc la conmirtatividad del pro-ducto.
Puede descubric manipulando las regletas fami-lias de :
Sumas eyuivalentes, Diferencias equivalentes. Produrtos
equivalentes. Ccxicntes o fracciones equivalentes.
1'^'h i: ^ ^ '
5+2= 4+3^. 1+6=2+4+1s^
b.s int:re,unte el uso que hace Gattegno de estematerial para la
enseanza de las fracciones, consi-deradas como pares ordenados,
comparando dos re-gletas, con lo que el concepto de fraccin como
raznque Ileva implcito el par ordenado desplaza al con-re^t^^
tradicion;tl de fracci^n curnn otx rador.
23
Cumo complemcnto del rnaterial bsico de lasregl^tas existe en el
materal Cuisenaire-Gattegnounu tabla de, productos. Estos productos
estn ex-presados por dos lnulas, coloreadas de acuerdocon los
colores y valores de las regletas. Esta tablase utliza despus que
el niu ha descubierto tosproductos con las regletas.
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9_ 3x3
^
36-4x9.=6x6 ^2 = Sx9
Este material incluye tambin un juego de loterade productos y un
juego de naipes con productos,yue consta de 37 tarjetas, cada una
de las cuales
lleva un producto expresado en la misma forma quese ha indicado
anteriormente.
EL METODO DISCATEste material fue creado en Ginebra por las
seo-
ras Audemars y Laffendel, bajo la direccin de Cla-parde y de
Piaget, para la "Maison des Petits",del Instituto J. J. Rousseau.
Est compuesto por:
Las columnas de evaluacin, en nmero decuatro, formadas por
esferas, cubos, parale-leppedos y voides, en diez dimensiones
cre-cientes. Todos estos volmenes estn perfo-rados segn un eje para
que sea posible cn-sartarlos verticalmente en una varilla de
me-tal. Permiten la clasificacin segn la formay la seriacin segn el
tamao.
Los bloques, en nmero de 66, son paralele-ppedos con base
cuadrada de 1 cm.z y altu-ras que van de 1 a 20 cm. Son el
precedentede los nmeros en color de Cuisenaire. Losnios utilizan
eStos bloques como piezas dejuego de construccin antes de realizar
equi-valencias entre do5 o ms bloques y un bloquesuma de stos.
Permiten realizar sumas y di-ferencias, de 1 a 20, y el estudio de
dobles ymitades.
Las superficies, en nmero de 576, son figurasde cartn de
diStintas formas y colores. Cadaforma se presenta en cuatro tamaos
: la mi-tad, el cuarto y el octavo de la primera. Losrectngulos y
los tringulos guardan una ra-zn constante con los cuadrados. As, el
rec-
18_ 2x9^ 3x6
tngulo menor es 1/8 del cuadrado mayor ; eltringulo menor es 1/2
del rectngulo menory, por tanto, I/16 del rectngulo mayor y 1/32del
cuadrado mayor. Este material tiene gran-des posibilidades para la
comprensin de lasreas, de las fracciones...
e La tabla de las 100 bolas, en la que hay 100 pe-yueas varillas
de metal, en las que el niopuede fijar 10 decenas de balas de 10
coloresdiferentes. Partiendo de simples composicio-nes de mosaico,
el nio Ilega a descubrir Iosn5meros cuadrados y triangulares,
calcula elaumento del cuadrado...
Las pilas de discos, que comprende 100 discosde madera, en 10
colores, perforados en elcentro; las construcciones, las pirmides,
elbaco de ]as 55 bolas; son otros materiales deeste mtodo,
De acuerda con las ideas de Piaget, con este ma-terial se quiere
conducir al nio de la experienciasensomotriz a la abstraccin ;
llevarle a realizar cla-sificaciones. ordenaciones; darle el
sentido del nme-ro, la nocin de medida, el sentido de las
opera-ciones...
Este material est destinado especialmente a niosde tres-siete
aos.
46
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MA"TERIAL DEI. METO[^ K M I..DE TOU Y A RO^
Tiene como finalidad este material iniciar en laMatemtica y en
la Lgica, de ah su designacicnK M L(K es el s(mbolo internacional
que reemplazaa la conjuncin y M y L son las iniciales de Mate-mtica
y LcSgica, respectivamente).
Consta de :
Seis series de figuras :
- Personas y objetos.- Animales.
- Vehculos.- ^ Frutos.- Cifras.
-- Signos y cua[idades de las placas.
Ar.ul.Rojo,Amarillo.
kis corcioncs de color, ptrra limit^ir loti con-juntos.
Cuarenta y ckho rlacas cn m,,tcri.^l pltstico.Estas placas sc
c
-
A lhscuhriniirnto Jcl nmrro a ^rirtir ^Ic lu.rconjuntus
eyuivalcnt^s.
Sutxunjunl^iti lnrlusi^n. C'unjunt^^ romplemcntari^^.
Int^rsecci^n de conjunt^^e. Uniin ile conjuntos. Estruclura del
nmem y sentido de las opera-
riones.
Hslas (irhus prolxmen a los niiiur problcmas cunimgene.s. Cada
pas0 de) pensumenlo cs traducidopor un trazo ronveniente ; flecha
yue seala una re-laci^n entre objetc^s, Ifnea cerrada en torno a
loselementnx de un conjunto. etiyucta unida a ^m ron-junto...
Da ayuf los niort pasarn a representar Ins obje-tos por medio de
signos : cruces, puntos..., en lugarde emplear dibujos figurativos,
y pmgresan as( haciala esyuematizaci!n de las situacioncx
roncretas.
EL MINICOMPUTADOR, DE PAPY
Fue presentado por su autor en el XX( EncuentroInternacional de
Profesores de Matemticas cele-brado en Ganda en abril de 1968. Papy
lo presentcomo una autntica mquina de ealcular que fun-ciona como
un pequeo ordenador que realiza demanera mecnica lo que es
automtico en el clculo.Est inspirado en los trabajos de monseor
Lemai-tre, publicados entre 1954 y 1956. Ha sdo utilizadopor Mme.
Frdrique Papy en clases de nos deseis y siete aos a partir de
septiembre de 1967.
EI minicomputador combina el sistema decimal yel sistema
binurio. As como Dienes y otros consi-deran que es conveniente que
los nios conozcandistintos sistemas de nurneracin. Papy da
preferen-cia al binario, ya yue es el sistema de las calculado-ras
y adems nos permite con nmeros pequeos in-
^^ i ald^ s^
. ^C
^^^
i+^is ^^ r.i ^s c
troducirle en ta idea del valor de posicin. Pero, porotra parte,
nuestro contexto es decimal, no podemosprescindir de este
sistema.
Es un material distinto de las regletas de Cusinai-re o los
bloques de Dienes. Cuando se da al noregletas o bloques, dice Papy,
los nios hacen coneste material cierto nmero de experiencias
mate-mticas. Cuando se les da el minicomputador losnios no estn en
condiciones de hacer experienciasvlidas por sf solos hasta que los
inicia el maestro.
El minicomputador consiste en un baco de pla-cas que se alinean
de derecha a izquierda segn lasreglas de la numeracin decimal: en
la prmera pla-ca se colocan !as unidades ; en la segunda, las
de-cenas...
^^1^/j+:..: t^ i /^i^1 ^A!t
('adu plucu cst dividida en cuatro casillas, en las yue ne
utiliza el satema binaro.
48
-
42 1
Estas casillas son de color blanco, rojo, rosa y Por eso, Papy
define el minicomputador como unmarrn. Estos eolores son Ios
carnspondientes a las baco bidimensianal binario sobre cada placa,
deci-regletas de C`uisinaire 1. 2, 4 y 8, respectivamente. mal
lineal de placa a placa.
maa.rror, ratq n.mtw^rn
1^ ^ O bl ai rtt,D H^jo
Los nios a los que anteriormentc ya se ha ense-ado el manejo de
las re^letas, cuando ven el mini-camputaclor reconocen los colores
y los valores de lascasillas.
[,os nios saben que :Das regletas blancas = una roja.D^os rojas
= una rosa.Dos rosas = una marrn.
^^sa
loldc wco
vrerw^onR
^r0 blahca
As, la primera regla del minicomputadar se in-troduce con gran
facilidad :
Dos dichas en eI casillero blanco = una ficha enel rojo.
Dos fichas en el casillero rojo = una ficha en etrosa.
Dos fichas en el casillero rosa = una ficha en elmarrn.
49
-
C^Zando se pasa de una placa a la otra la regla cambia.
1A1 principio los nios juegan con dos placas. Des- nos nirSos a
los quincx das de usar el minicompu-
pus el propio nio sente la nec;esdad de llegar a tador
manifestaron osta necesidad.las centenas. Mme. Frdrique Papy dice
que algu-
N
1 0 0
Papy Ilama formaciones a las disposicione$ que nicomputador. As
la formacin de 197^ sera :permiten leer inmediatamente un nmero en
el mi-
9
...
0
.
e
En una formacin :
Nunca hay ms de una ficha por casilla.
Si una ficha est en la caslla marrbh entoncesno debe haber
ninguna ficha ni en el casillerorojo ni en el rosa.
50
-
Con el minicoraputador puoden realizarse adicio- sumandos y
despua hacer las sustituciones de acuer-nes. Basta escribir en la
myuina cada uno de los do con las reglas anteriores. Asf:
9+6^0
=
1
.
5
Igualmanto puedon roalizatso multiplicacionee. Pa- despuCS xe
hacen lan wuatltucionea oorroapondletttos.ra multiplicar por 2 un
ntsmero, cada #ioha da una Asf :ruRillu Rc reempla^.a pc^r dc^v
fichae en eee caeilla y
2 x
2 x
2
5
.
5
On
Multiplic^r por 4 an el minicamputador ^srts mut- merA
4quivatdrta a untar su dabla a a^ta ndmera.tipilcar paf 2 dQs veca.
Mult! p1icsr por R werta muf- Para muitiplicar un ndmera po^r 10
baNtard pa s^r dt-tlplicar par 2 tres veces. Muttipticar por 3 un
nt9- cho nilmoro a la placa inmedlats a la derecha. Ad:
,Sl
-
10x3_10x
3
0
^ttta Ix ^urtraccin. Papy comienr.a CnsCAundn u Icire^ aon
^tualmcnle vulcrosax incividualmcntc cloa nifioa Ios nmeroe
negativos. Comienz:^ presen- i^uulmenlc hululludnrus. Cada ver, quc
una fichn rn-tnndn un ojrrito con^titufdn por frhas rojas y ofrc^
ju y unr firhu i rul Fc rncucnlrrrn en el ramixi depor fichaN
uZUle.v. i,a^t fichan noldudc^n de amhun ^r^- htUulla. ^c climin:rn
nrulnamenlr.
Y en c1 minicompu^aor ^erfe :
^^6s
0.^
0o^
1
52
-
^2x8- 2 X
4
En e] minicomputador, para hallar la mitad se A1 pasar a la
mitad de la unidad se Uega a la ideareemplaza cada par de fichas de
una casilla por una de operacin con decimales .sola ficha en esa
misma casilla .
12
_
x1=
12
X
2
X
o i
5
El listn verde de madera que se caloca separando EI
minicomputador puede eer ua magnetgraiola placa que se adjunta a la
derecha hace el papel grande, del tamato de un encerado, o tambin
pla-de la coma en la notacin decimal. As puede operar cas pequeas
de madera o metlicas para que loeel nio con decimales con 1as
nuevas placas intradu- nios sobre la mesa realicen las opcraciones
indi-cidas despuEs del listn verde siguiendo las mismas
vidualmente.reglas anteriormente dadas.
53
-
EL GEOPLANO
Es un material imaginado por Gattegno para quelos nios tomen
conciencia de las relaeiones geom-tricas. Se trata de un tablero
sobre el que se colo-can clavos formando una red. Estos clavos
sirvcnde soporte para tender sobre ellos gomas elsticasde
colores.
^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^
^
Los dos tipos ms corrientes de geoplano son losque se presentan
en las figuras. Las redes que hautilizado Gattegno son el
dodecgono, el decgonoy el octgono regulares, y las cuadriculadas de
9,16, 25, 49 y 121 puntos.
La gran ventaja quo tiene el g,ooplano nr que eltabloro puede
girat y ol niflo go habita a parribirlas figuras dcsde distintos
ngulos visuales y a recnnocerlad indopondionte^mantC do su
posicibn, lo ^lu
no suel ocurrir ni con el ennerado ni con el libro.Este matcrial
pcrmito la investigacin perronal del
alumno y puedo nor utilixado a lo largo de tada lacnsoun,ta
weneral bsica.
BL C}EOESPACIO
Ampliando la idoa del geoplano al espacio ha sur-gido el
gooespacio. Fuig Adam en Espafla, Pescarinien Italia y Ghiavone en
Uruguay fueran quienes idea-ron estos modolos didcticos.
Para la construccin do un geoespaco--dce PugAdam--puede servir
una caja de e^nbatar de di-menaiones no inferiores a 25 cm. en la
que se hasuprimido una de sus caras de mayores dimensiones,
con objeto de poder manipular cmodamente en suinterior,
atornillndase, en cada una de las otras ca-ras, redcs de tornillos
con gancho distribuidos uni-formemente. Entre estos torn'rllos
podemos tendergomas el^tcas a cordeles, que unas veces tendrgnla
significacin de rectas indefinidas y otras repre.sentarn aristas de
figuras polidricas transparentes.
^
-
Tam^bin pueden construirse geoespacios conser-vando nicamente
las aristas de madera o de otro
material rgido y poniendo ea sustitucin de las cin-co caras de
madera rejas metlicas resistentes.
OTROS MATERIALES
En modo alguno pueden considerarse los materia-les citados como
nicos en la didctica de la Mate-mtica Moderna. Muy interesantes son
entre otrosmateriales e] de Emma Castelnuovo
denominado"Construyamos la geometra", constituido por tirasde
plstico de diferente longitud y color, parecidasa las piezas de
mecano. Con ellas se puede realizargran nmero de sistemas
articulados con los que elnia se da cuenta que al modificar un
polgono cual-quiera e1 permetro permanece invariable mientrasque el
rea eambia. As vemos que un rectnguloconstruido de este material,
al transformarse en ro7n-boide, $ufre ciertos cambios : var[a la
superficie, lamedida de cada ngulo, la longitud de las diagona-les,
en tanto que otros caracteres permanecen inva-
riables : el pertmetro, la medida de cada lado. lasuma de los
ngulos internos y extemos...
Los films para la enseanza de las matemticascomo los utili7ados
por el suiza Nicolet, el inglsFletcher, los franceses Cantegral.,
Jacquemard y Mo-tard.
Las fichas de Mme. Pcard. Las fchas de trabajoindividualizado
del alumno de Somosaguas para ni-os de diez, once y doce aos. Las
placas de ma-dame Herbinire-Lebert para la iniciacin al
clcu-lo...
A lo ]argo de este artculo nos hemos estado refi-riendo a
materiales ms o menos estructurados, peropodemos utilizar en la
enseanza de la MatemticaModerna otros muchos materiales
ambientales.
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