-
1
I.- Exponente Natural
an = axax....... xa si: nz+ ; n2 a : Base n : Exponente + ; n
par
Obs: ()n - ; n impar
Ejemplo: (-2)3 = -8
(-3)4 = 81
Ejemplo: 72
y
X
y
X- ......
y
Xx
y
Xx
y
X
II. Potencia de bases Iguales:
am.an = am+n ; a R m,n N Ejm:
-
2
a5.a6.a7 = a18
24 . 23 . 22 . 26 = 24+3+2+6 = 215
3x+y+z = 3x . 3y . 3z III. Cociente de bases Iguales:
05.- nm Nnm; nmanb
ma a cero
Ejm:
2131013
1213
37
1
97
67 yx5
y5
x5
6
6 4 2
4
22 2
2
5a 3b
5a 3b (3a b) 5a 3b 3a b
3a b
xx x
x
PROBLEMAS
01.- Calcular:
A = 9x2 + 7x2 + 5x2 + 4x2
a) 21x2 b) 29x2 c) 25x2 d) x2 e) 22x2 02.- Reducir:
B = 11x4 + 7x4 3x4 a) 15x4 b) 10x4 c) 20x4 d) 20x4 e) 16x4
-
3
03.- Efectuar: C = 9x9 4x9 + 7x9 6x9 - 5x9
a) 2x9 b) -2x9 c) -x9 d) x9 e) 0
04.- Calcular:
B = 320 + 320 a) 3040 b) 3020 c) 2.320 d) 0 e) 1 05.-
Efectuar:
2 2 2 2C 6 8 5 3
a) 10 b) 4 c) 6 d) 14 e) 18 06.- Simplificar:
15 veces
12 veces
a.a.a. ... .a.a
a.a.a. ... .a.a
a) a b) a2 c) a3 d) a4 e) a5
07.- Realizar:
50 veces
50 50 50 50
50 veces
a a a ... a
a.a.a. ... .a.a
a) 1 b) 50 b) 25 d) a e) a50 08.- Efectuar: m.m2.m3.m4. ...
.m8.m9 a) m45 b) m30 c) m40 d) m-45 e) m
09.- Efectuar: x2y3x4y5x6x7
-
4
a) x12 b) y15 c) xy d) x12y15 e) xy15
10.- Simplificar:
5 7 9
8 3 6
2 x3 x4
4 x2 x3
a) 162 b) 128 c) 256 d) 48 e) 96 11.- Efectuar:
17 x x 12 3 4 1 35 .5 .5 .5
a) 5 b) 25 c) 125 d) 625 e) 1 12.- Calcular:
4 n n 2
3n 1 2 3n
7 x7
7 x7
a) 7 b) 49 c) 343 d) 1 e) 0 13.- Simplificar:
15 10 9 5 10 11
20
a xb xc xa xb xc
(abc)
a) a b) b c) c d) abc e) 1 14.- Efectuar:
25
5
5A
25
a) 1 b) 5 c) 510 d) 59 e) 515
15.- Reducir:
10 veces
2 2 2 2 x 2
(20 x) veces
m .m .m . ... .m .m
m.m.m. ... .m.m
-
5
"2n" veces
"n" veces
x.x.x. .... .xM
x.x. ... .x
a) m b) m2 c) m3 d) m4 e) 1
16.- Efectuar:
20 21 23
18 20 22
2 .2 .2M
2 .2 .2
a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16 17.- Calcular:
a) x b) nx c) xn d) 1 e) N.A 18.- Efectuar:
12 16
8 20
a bM
a b
a) 1 b)
4a
b
c) a4b4 d)
4
4
b
a e) N.A.
19.- Calcular:
512 veces10 veces
M (2.2.2. ... .2) (2 2 ... 2)
a) 1 b) 1 c) 0 d) 2502 e) 2522
20.- Efectuar:
30 veces
(m.m. ... .m.m)
30 veces
(m.m. ... .m.m)
a) m30 b) m900 c) m30m d) 3030mm e)
30mm
-
6
21.- Calcular:
20 factores 10 factores
4.4.4. ... .4 16.16.16. ... .16
a) 0 b) 1 c) 280 d) 240 e) 220 22.- Simplificar:
5 8 12 3 10
7 4 3 5 2
6m m 14mm 13m m
m m .m m m
a) m7 b) 5m6 c) 7m6 d) 2m6 e) 1
Practica 01.- Simplificar:
2 4 6 1 3 5nB (x .x .x ... "n" veces)(x .x .x ... "n" veces)
a) 1 b) x c) xn d) n e) N.A.
02.- Simplificar:
n 3 n 3 n 3
n 7 n 7 n 7
3 .3 .3 ...(n 5)vecesB
3 .3 .3 ...(n 1)veces
a) 1 b) 32 c) 8 d) 38 e) 36
03.- Simplificar:
B = ma+2 . m3+a . m4 - 2a
a) m2 b) m4 c) m6 d) m8 e) m9 04.- Efectuar:
4
25x125B
5
a) 25 b) 5 c) 125 d) 1 e) 100 05.- Efectuar:
-
7
x x x x
3x 7 7x 3
2 .4 .8 .16B
2 .2
a) 1024 b) 512 c) 256 d) 128 e) 64
I. Multiplicacin de Exponentes
(am)n = am.n a R m,n N Ejm:
(((23)2)4)5 = 23x2x4x5 = 2120
(x3)4.(x3)5 = x12.x15=x27 II. Exponente Nulo a 0 = 1
70 = 1 (2ab)0 = 1
(-4+ 2 )0 = 1
III.- Exponente Negativo
a-1 = a
1
a-n = Nn 0a na
1
III.- Potencia
(a.b)n = an.bn , a;b R n N
Observacin
3
2
3 2 2 3
2 3 4 5 6
11 21 10
B ( 2 ) ( 2 )
(((X ) ) ) .XM
X .(X )
Ejemplo:
-3 32 3
3 2
-
8
(x.y)5 = x5.y5
23.33 = (2.3)3 = 63
0Rb Nn nb
nan
b
a
Ejm:
3 3
3
x x
y y
100240602402
6022
202
302
2x
2 22x 4x 6y
y 3y 6y 4x3
aa a b
b b ab
PROBLEMAS 01.- Calcular:
0
24A 7 4 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 1 e) 0 02.- Efectuar:
0 0 00 0 0B 3 2 3 4 7 (2 3) 5
a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2
-
9
03.- Efectuar:
2 n3n 33 2422 x2
a) 16 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1 04.- Efectuar: (72n+1)2 x (72 -
n)4
a) 77 b) 78 c) 710 d) 79 e) 75
05.- Calcular:
23 1 3
3 27 1A
5 10 2
a) 144 b) 121 c) 169 d) 100 e) 81 06.- Efectuar:
n 4 n 3
n 2
2 2B
2
a) 20 b) 30 c) 3 d) 2 e) 0 07.- Efectuar:
n 3 n 25 5C
5n
a) 10 b) 20 c) 15 d) 0 e) 1 08.- Efectuar:
2 4 5 6 20
7 8
(x ) .(x ) .xB
(x )
-
10
a) x b) x2 c) x3 d) x4 e) x5 09.- Simplificar:
m 1 m 2n
m 1 4 n 1
5 25C
125 .(5 )
a) 0 b) 1 c) 5 d) 125 e) 25 10.- Reducir:
9 35 7
82
x . xB
x
a) x b) x3 c) x8 d) x7 e) x9 11.- Calcular:
21 2 3
4 2 1A
7 5 2
a) 4 b) 16 c) 64 d) 256 e) 2 12.- Reducir:
2 3 2 5 4
3 2
3(xy) x y x yB
2x y
a) x2+y b) 2x2y c) x2y3 d) 3xy2 e) x2y2
13.- Calcular:
3 100 2 8E ( 7) 4 3
3 5
a) 0 b) 1 c) 1 d) 6 e) 2 14.- Hallar:
-
11
m 3 m
m m 1
6 .4F
8 .3
a) 36 b) 66 c) 48 d) 65 e) 72
15.- Hallar:
3x 2 3x 4 3x 3
x 1 x x 1
5 5 5E
5 .5 .5
a) 55x+7 b) 6 c) 31 d) 155 e) 1
16.- Calcular:
290822F 5 a) 25 b) 125 c) 625 d) 3125 e) 5 17.- Reducir:
x 1 x 2 x 3 x 4
x 1 x 2 x 3 x 4
2 2 2 2E
2 2 2 2
a) 2 b) 4 c) 16 d) 32 e) 64 18.- Siendo: xx = 5 Calcular:
3 x
4 x
(x )A
(x )
a) 5-1 b) 25 c) 125 d) 625 e) 1
19.- Sabiendo que: mm = 3
m 1mS m
es: a) 3m+1 b) 311 c) 27 d) 9 e) 3 20.- Efectuar:
-
12
2mm 2 mm m
m 32m
9 .81 3.9
3. 3
a) 18/27 b) 27/26 c) 26/15 d) 26/27 e) 1 21.- Calcular:
1 2 13 3 9
B 275 4 20
a) 20 b) 50 c) 49 d) 400 e) 7
22.- Hallar:
034n n
nn n
21 63C
7 21
a) 1 b) 24 c) 32 d) 81 e) 54 23.- Reducir:
y xx 2 2
2yx
y 2
2y . yD
2 .y
a) 2x b) 2y c) x d) y/2 e) x/2
24.- Reducir:
148 2 9
52 11 2 6
15 .(3.2 ) 5.2
(5 .2) 12.2 .9
-
13
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
PRACTICA 01.- Calcular:
6 9 42 9 8
B3 4 27
a) 1 b) 2/3 c) 8/27 d) 9/4 e) 3/2 02.- Reducir:
3 4
3 2
15 x6B
9 x4 x125
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03.- Efectuar:
23 22 2
4 22 x 2
a) 4 b) 32 c) 64 d) 128 e) 256 04.- Efectuar:
3 2 2 3B ( 2 ) ( 2 )
a) 0 b) 5 c) 125 d) 1 e) 100 05.- Efectuar:
3
2
2 3 4 5 6
11 21 10
(((X ) ) ) .XM
X .(X )
a) 1024 b) 512 c) 256 d) 128 e) 64
-
14
Obs:
(am)n = am.n Obs
Si: ax = bx ab x = 0
Definicin Son aquellas ecuaciones cuya incgnita aparece en el
exponente de la forma:
Si: ax = ay x = y a>0 a 0 Ejemplo:
Resolver: (25)x1 = (24)x+2 25x5 = 24x+8
Como las bases son iguales 5x 5 = 4x + 8 x = 13 OBSERVACIN
Si: aa = bb a = b Ejemplo: Si:
x 2
a 3 7 3
x 2 x 2
a 7 a 7
PROBLEMAS 01.- Calcular x en:
4x 25 25
a) 1 b) 2 c) 1 d) 0 e) 5 02.- Hallar x en:
x 1 3x 5 5x 9 52 .2 .2 2
-
15
a) 4 b) 6 c) 8 d) 2 e) 10 03.- Hallar x en:
x 3 2x 1125 25
a) 10 b) 9 c) 2 d) 11 e) 12 04.- Resolver:
4 x 6 x 10 x 4 x3 .9 .27 81
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 05.- Resolver:
x 3 2x 54 163 3
a) 3/13 b) 7/12 c) 1/3 d) 10/3 e) 1/9 06.- Resolver:
3x 1 x 52 22 4
a) 1/2 b) 7/2 c) 12/7 d) 1/7 e) 8 07.- Resolver:
3 2x x 1x 2 3 52 . 2 . 2 1
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 08.- Resolver:
x9
3
3
a) 2 b) 3 c) d) 9/2 e) 2/3 09.- Hallar x en:
x 42x 22 162 2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10.- Hallar en:
-
16
6 4x x x . x x
a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 1/8 11.- Hallar x en:
x 1x 13 42 2
a) 0 b) 4 c) 7 d) 1 e) 19 12.- Calcular x en:
3 2 11 2 4
2163 5 11
a) b) 3/2 c) 2/3 d) 2 e) 3
14.- Resolver: x 1 x 22 .4 8
a) 2/3 b) 2/3 c) 3/2 d) 3/2 e) -1/2 15.- Resolver:
x832 512 a) 1 b) 3 c) 3-1 d) 2 e) 5/4
16.- Hallar:
2M X 5
Luego de resolver:
x2 64 23 81 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 5 17.- Resolver:
(x 3) veces " x " veces
8.8.8. ... .8 16.16.16. ... .16
-
17
a) 4 b) 9 c) 2/3 d) 2 e) 1/8 18.- Calcular:
x2 2x3 481 27 a) 2 b) 2-1 c) 2-2 d) 3-1 e) 2-3
19.- Resolver:
4x 4(4x) 64
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 20.- Resolver:
2x 2
x 1
6 1
16144
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 21.- Hallar x en:
x 1 3x 5 5x 9 52 .2 .2 2
a) 4 b) 6 c) 8 d) 2 e) 10 22.- Hallar x en:
x 3 2x 1125 .25
a) 10 b) 9 c) 2 d) 11 e) 12 23.- Resolver:
x 1 x 22 .4 8
a) 2/3 b) -2/3 c) 3/2 d) 3/2 e) 1/2 24.- Resolver:
x 3 2x 54 163 3
a) 3/13 b) 13/3 c) 1/3 d) 10/3 e) N.A. 25.- Resolver:
-
18
3x 1 x 52 22 4
a) b) 7/2 c) 12/7 d) 1/7 e) 8 26.- Resolver:
2x 2x3 481 27
a) 2 b) c) d) 1/3 e) 1/8 27.- Resolver:
x 3 x 327 93 27
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 28.- Hallar x
x 42x 22 162 2
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 29.- Hallar x
7 x3
x
2 22
2 2
a) 1 b) 4 c) 3 d) e) 30.- Hallar:
3x 1x 3 48 32
a) 13/9 b) 9/13 c) 1/3 d) 1/6 e) 1/5
-
19
Expresin Algebraica
La expresin que enlaza variables y/o constante mediante un
numero finito de adiciones, sustracciones, multiplicaciones,
divisiones, potenciaciones, y/o radicales, y donde los exponentes e
ndices son constantes; se llama expresin algebraica. La
representacin simblica que nos permite reconocer quienes son las
variables de una expresin algebraica, se llama notacin matemtica.
Ejm:
F(x;y) = ;1y
x3xy2
las variables son x e y.
G(x;y;z) =
n2x
3
2
z42y1x
; las variables son x,y,z.
En las siguientes expresiones algebraica:
P(x;y) = 2m3/1ynx33xy2 .
Son variables x e y ;
Son constantes: 2 ; 3 ; n ; 3
1 ; m2.
Las constantes que se representan con smbolos literales se
llaman parmetros. En el ejemplo anterior, m y n son parmetros. Las
siguientes expresiones no son algebraicas:
F(x) = 1- ........3x
1
2x
1
x
1
G(x) = x2+2x+2x ; H(x;y) = 2x3+logxy-seny2 Termino Algebraico La
expresin algebraica que no admite las operaciones de adicin y/o
sustraccin (entre sus variables), se llama termino algebraico:
Ejm:
R(x;y) = - 1/24axs(x) ;y
2x3
T(x;y;z) = 4-5xU(x) ;yz
1nx
Son trminos algebraico.
En el siguiente termino algebraico:
-
20
T(x;y) = :tiene se,4y
3x5
Son variables x e y Es coeficiente: 5 ; y Son exponentes: 3 , 4.
Termino Semejantes Dos o mas trminos algebraicos son semejantes, si
presentan las mismas variables, coeficientes no nulos; y con
respecto a las variables, coeficientes no nulos; y con respecto a
las variables comunes, iguales exponentes. Ejm: Los trminos
algebraicos:
A(x;y) = 2x3y5 N(x;y) = 5y3x2
1son semejantes
Los trminos algebraicos:
M(x;y) = -2y
3x2)x(N
2y
3x4
No son semejantes, pues no tienen las mismas variables. Valor
Numrico (V.N.) Si le asignamos valores a las variables de una
expresin algebraica y efectuaron las operaciones que se indican, el
numero real que se obtiene se llama valor numrico de la expresin
algebraica. Por ejm el valor numrico de:
A(x;y) = 1y
x3xy2
cuando x = -2 ; y = 3, es:
A(-2;3) = 92
612
13
)2(3)3)(2(2
A(-2;3) = -9 EJERCICIOS
01.- Efectuar:
a) x7 . x4 . x5 =
-
21
b) 2x5 . -3x4 = c) -9x4y7 . 2x5y6 =
d) a-(b + a) + (-a + b) (-a + 2b) = e) (a + b) - (-a - b) + (-b
+ a) (3 - b) = f) 5x + (-x - y) [-y + 4x] + {x 6} = g) 9x2(x5 6x3 +
3) h) x4y7 (x5 + y8 x3y2) = i) 3x5y4 (4 2x6y3 + x4) =
02.- Sumar:
a) (+5b) + (+16b) b) (-10y3) + (-7y3) c) (+7s) + (-10s) d)
(-20abc) + (- abc) e) (+13a) + (-2a) + (-a) f) (2x2) + (-8x2) +
(-15x2)
03.- Sumar algebraicamente:
a) (+4b) + (-2b) (-3b) b) (+2cd) (-3cd) + (-10cd) (5cd) c)
(-5x2) (-x2) (+3x2) d) (-4abc2) (-abc2) (3abc2) (-12abc2) e) 9xy +
8x 7xy 6x + 2y f) 5x2y + 10xy2 8yx2 7y2x
04.- Dividir: 27x4 por 9x3 a) 3x b) 2x c) 4x d) 4x e) 3x 15x5
25x4 por 5x3 a) 3x2 + 5x b) 3x2 + 5 c) 3x2 5x d) 3x2 2x e) 3x2 -
4x
a2 ab ac por a
-
22
a) abc b) a+b+c c) a-b-c d) a+b-c e) a+b+c 05.- Sean los trminos
semejantes:
2a 1 b 31t 3ax y
a 3 2b 92t 4bx y
Calcular a + b a) 2 b) 2 c) 10 d) 16 e) 14 06.- Calcular a2 +
b2; dados los trminos semejantes:
2a b a 3ba1t 3ax y
2 a 3 2b 32t a x y
a) 60 b) 85 c) 74 d) 13 e) 89 07.- Si los trminos:
a 1 a 2 b 41t 2x x y y
a 3 a 32t 3x y xy
Sumados, se pueden reducir a uno slo calcular ab. a) Imposible
b) 12 c) 8 d) 44 e) 16 08.- Halle la suma de coeficientes de los
trminos semejantes:
2 2a 10 b 11t 3b x y
a 72t 4ax y
a) 1 b) 0 c) 8 d) 4 e) 24 09.- Sean los trminos semejantes:
2m 3 n 51t PRx y
-
23
2 m 1 82t 2n x y
2 R P 23t 3m x y
Halle t1 + t2 + t3 a) 18x8 b) 30xy8 c) 78xy8 d) 26xy8 e)
36xy8
10.- Sea los trminos semejantes:
mn1 1
m m n1t (xy) x y
6
m 2n n2t (x ) y
Calcular m+n+mn a) 0 b) 12 c) 6 d) 9 e) 10 11.- Seale verdadero
(V) o falso (F): P(x) = 2x
12 5x19 7x + 18 a. Su trmino independiente es 18
....................... ( ) b. Uno de los coeficientes es 32
........................... ( ) c. La suma de los coeficientes es
32... ( ) d. El coeficiente del trmino lineal es de 7 ............
( )
12.- Si:
2 3 4 97(x)f x 2x 3x 4x ... 97x
Hallar f(-1)
a) 97 b) 48 c) 49 d) 49 e) 97 13.- Si:
2(x)g x 11x 30
Obtener g(1) + g(5) + g(6)
-
24
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 0 14.- Sabiendo que :
(x)P 3x 1
(x)Q x 2
Calcular: Q(P(2)) a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 4 15.- Sabiendo
que:
100 98
xP x 4x 5x 2
Calcular: (0) (1) (2)P P P
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 16.- El trmino independiente y la suma
de coeficientes de:
4 2
(x)P x ax 5x b
Son 2 y 7 respectivamente. Hallar a2 + b2 a) 17 b) 25 c) 5 d) 34
e) 13 17.- Si:
9 3
(3x 2)P x x 10
Calcular: P(1) + P(-5) a) 8 b) 5 c) 3 d) 4 e) 1 18.- Sabiendo
que:
2 3 48 49 50(x)P 1 x x x .... x x x
Calcular: (0) (1) ( 1)E P P P
a) 0 b) 50 c) 51 d) 52 e) 53
-
25
PRACTICA 01.- Dividir: P(x) por 5x
2
Si: 3 4 2
(x)P 15x 25x 125x , Sealando el trmino independiente.
a) 25 b) 5 c) 25 d) 5 e) 125 02.- Sean los trminos
semejantes:
3m 1 2n 5
1t 5ax y
m 3 n 5
2t 6bx y
Hallar mn a) 5 b) 10 c) 10 d) 6 e) 6
03.- Si: (x)P 4x 5
(x)Q 2x 2
Hallar: P(1)P Q
a) 1 b) 2 c) -3 d) -5 e) 2
04.- Dado: 2
(x)P 2x mx 1
Si: P(-1) = -6; entonces m2 es:
a) 36 b) 49 c) 1 d) 7 e) 25
05.- Si: (x 1)P 2x 3
Calcular: (0) (1) (2)P P P
a) 21 b) 11 c) 19 d) 25 e) 23
TEORA DE GRADOS 1. Grado: Caracterstica de toda expresin
algebraica que puede ser de dos
clases: relativo, cuando se refiere a una sola variable y
absoluto, cuando se refiere a todas sus variables
-
26
2. Grados en un monomio
a) Grado Relativo: Respecto a una variable, es el exponente de
dicha variable
b) Grado Absoluto:Esta dado por la suma de los grados relativos
de las variables.
Ejemplo:
4 5 2P(x,y,z) 7 2x y z
G.A.: 4+ 5 +2 = 11 G.R.(x) = 4 G.R.(y) = 5 G.R.(z) = 2
3. Grados de un Polinomio
a) Grado Relativo: Respecto a una variable, esta dado por el
mayor exponente de dicha variable en el polinomio
b) Grado Absoluto: Se calcula mediante el trmino de mayor grado
absoluto. P(x,y) = 5x2y7 - 3x4y2 + 4x2y2 9 6 4 Luego el grado
absoluto (G.A.) del polinomio es 9. Adems: G.R.(x) = 4 (Mayor
exponente de x) G.R.(y) = 7 (Mayor exponente de y)
PROBLEMAS
01.- Sea el polinomio:
3 2m n
(x,y)P (2mx y )
(x)GR 6 ; (y)GR 8
Calcular el coeficiente. a) 16 b) 15 c) 14 d) 13 e) 64 02.- Dado
el polinomio:
4 n 1
(x)P (n 1) x
Calcular el coeficiente, si dicho polinomio es de segundo grado.
a) 9 b) 8 c) 10 d) 6 e) 7 03.- Si el polinomio:
32 2a 3
(x)P (a 3) x
-
27
es de sptimo grado, calcular su coeficiente. a) 12 b) 144 c) 147
d) 141 e) 140 04.- Calcular el grado absoluto del polinomio.
8 4 2 4 2 4 8 9 4 2
(x,y,z)P 2x y z (xy) z x y x y z
a) 14 b) 12 c) 15 d) 13 e) 16 05.- Si el polinomio:
m 1 m 2 m 4(x)P mx 2mx 3mx
es de grado absoluto 7. Sealar la suma de coeficientes. a) 18 b)
9 c) 10 d) 11 e) 12 06.- Sea el polinomio:
m 9 m 5 m 7 m 2m 1 3(x;y)F x y x y x y
Cuyo grado absoluto es 27. Calcular GR(x) GR(y) a) 21 b) 10 c)
11 d) 31 e) N.A. 07.- Dado el polinomio:
4 5 2
(x)P 2x 3x 8x x 4;
Sealar verdadero o falso segn corresponda: I. El coeficiente
superior es 2. II. Su grado es 4. III. El trmino cuadrtico es
x2.
IV. La suma de coeficiente es 10. a) VVVF b) FVFV c) VVVV d)
FFFV e) FFVV 08.- Seale verdadero (V) o falso (F):
12 19
(x)P 2x 5x 7x 18
I. Su trmino independiente es 18 ............( )
-
28
II. Uno de los coeficientes es 18 ................( ) III. La
suma de coeficiente es 32 ................( ) IV. El coeficiente
del trmino lineal es 7.......( ) V. Su grado es 19
.......................................( )
09.- Seale verdadero (V) o falso (F):
2 15
xH 5a x
I. Su grado es 17. ....................... ( ) II. No es
polinomio. ...................... ( ) III. Su coeficiente es 5.
................. ( ) IV. Es un monomio ....................... (
)
10.- Sea: a 2 a 9 a 5
xP ax 2ax x
Sea un polinomio de grado 13. Seale la suma de coeficientes. a)
3a b) 4a c) a+3 d) 12 e) 13 11.- Halle el coeficiente del
monomio:
aab 1 3 4
x;y 1 b
3 x yM
(x y)
Si: (x) (y)GR 10; GR 4
a) 9 b) 27 c) 81 c) 243 e) 37
12.- Dado el polinomio:
a 2 b 5 a 3 b a 1 b 6
(x;y)P x y 2x y 7x y
De donde: (p) (x)GR 17; GR 4
Hallar a + b a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 13.- Hallar la suma
de los coeficientes del polinomio:
a 3 3b a 1 2b a 5b 3(x;y)P 4a b x y (5a 2b)x y (a 3b)x y
Si el grado relativo a x es 7 y su grado absoluto es 12.
-
29
a) 0 b) 1 c) 2 c) 2 e) N.A. 14.- Halle el coeficiente de:
4n nn n
n 1(x)R (n 3) . x
Si su grado es 32.
a) 2 b) 1 c) 9 d) 12 e) 5
15.- Sea el monomio: 5m 2 10 5m
(x;y)
2P x y
5
Hallar su grado. a) 1 b) 2 c) 3 d) 12 e) 10
16.- Si el monomio: 7 a
yM 7 3y
es de grado 12, hallar a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 17.- Hallar el
grado del siguiente polinomio:
3 16 4 1 15
(x;y)P 4 x y 2 x y
a) 16 b) 17 c) 20 d) 22 e) 23 18.- Si el polinomio P(x) es de
cuarto grado. Hallar m.
1 m 2 m 3 m
(x)P 7x 6x 5x
a) 1 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5 19.- El grado P(x) es 18. Hallar m
m m(x)P x 2 x 4 a) 1 b) 6 c) 9 d) 10 e) 18 20.- Dado el
monomio:
b 2a 3b 5b a
x;yM 4a x y
Si: (M) (x)GA 10 GR 7
Sealar su coeficiente.
-
30
a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 64 21.- En la siguiente adicin de
monomios:
a 6 a b 2c cx x bx
3 2
Calcular: a + b + c a) 3 b) 5 d) 6 d) 9 e) 14 22.- Dado el
monomio:
2a 2 3b
(x;y)M (a b)x y
Donde: Coef(M) = GR(x) ; GA(M) = 27
Hallar ab a) 5 b) 7 c) 12 d) 35 e) 42 23.- En el siguiente
polinomio:
a b 1 a 1 b a 2 b 2 a 3 b 1
(x;y)P x y x y x y x y
En donde: (x) (P) (y)GR 10 GA 13 GR ?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 24. En el siguiente polinomio:
a 3 b 2 6 a a 2 b 3 a b
(x;y)P 7x y z 5 y z
En donde: (x) (y) (P)GR GR 3 GA 13
Calcular: a + b a) 5 b) 6 c) 7 d) 11 e) 12 25.- Del
polinomio:
5 7 9 8 10 3 13 2
(x;y;z)P 4x y 6x z 9x y z 5x y
Calcular GR(x) + GR(y) + GR(z) + GA[P] a) 38 b) 42 c) 45 d) 35
e) 40 26.- Dado el polinomio P(x; y)
-
31
2 m 3 5 m 4 4 m 5 6 m 2(x;y)P 7x y 4x y 3x y x y
Hallar GR(x) + GR(y) + GA(P) a) 2m + 6 b) 2m + 2 c) 2m + 20 d)
2m + 16 e) 2m + 14 27.- Sea el polinomio:
a 5 a 1 a 2 a 9 a 7 a 2(x;y)P 2x y 3x y 4x y
De grado absoluto 33. Calcular el valor de a a) 11 b) 13 c) 14
d) 15 e) 17
28.- Sea el monomio: M(x;y) = 3ab-1 x3a+b y 4a-b
Hallar su coeficiente, si: GR(x) = 10 y GR(y) = 4 a) 18 b) 24 c)
216 d) 48 e) 72
29.- Si el grado de la expresin:
n 2n nn(x)M x es 729.
Hallar n a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 9
30.- Sea el polinomio: P(x; y)
Donde: 2a 6 5 a 2 a 4 3 2a 7 a 5 a 9
(x;y)P 2x y 3x y x y x y
Calcule el grado absoluto mnimo que puede tomar P(x; y)
a) 12 b) 13 c) 15 d) 16 e) 17
PRACTICA 01.- Del polinomio:
3 9 2 7 5 9 5 2
(x;y;z)P 4x y z 8x y 6x y z 3yz
Calcular GR(x) + GR(y) + GA(z) + GA(P)
-
32
a) 36 b) 37 c) 38 d) 26 e) N.A.
02.- Dado el polinomio: 52 3a 7
(x)P (a 4) x ; de grado 8. Hallar su coeficiente.
a) 125 b) 100 c) 85 d) 68 e) 104 03.- Sea e l monomio:
n 4a 5 3b 6 2a b 2 6a 2b5
(x;y;z)P 7 x y z
Hallar su grado. a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) N.A. 04.- Sea el
polinomio:
a 7 a 6 a 3 a 3 a 10 a 5
(x;y;z)P a x y z ax y z
Hallar el valor de a, si su grado absoluto es 30. a) 6 b) 13 c)
17 d) 15 e) N.A.
05.- Hallar , si la expresin es de segundo grado.
1/ 37 3
(x) 4
x . xM
x
a) 1 b) 2 c) 6 d) 5 e) 7 1. Polinomio Homogneo Es aquel
polinomio en el cual todos sus trminos son de igual grado absoluto.
Ejemplo:
P(x,y) = x2y12 + x6y8 + 2x10y4
Grados: 14 14 14 P(x) es homogneo de grado 14. 2. Polinomio
Ordenado
-
33
Un polinomio ser ordenado con respecto a una variable, si los
exponentes de dicha variable estn: aumentando o disminuyendo, a
partir del primer trmino. Ejemplo: P(x) = x
8 + x5 + 2x4 5x 3 Es un polinomio ordenado en forma descendente
(los exponentes de x estn disminuyendo a partir del primer trmino)
3. Polinomio Completo Un polinomio ser completo con respecto a una
variable, si dicha variable posee todos los exponentes, desde el
mayor hasta el exponente cero, inclusive. Ejemplo: P(x) = 2x
3 + x2 + x4 2x 6x P(x) es completo
Propiedad En todo polinomio completo y de una sola variable, el
nmero de trminos es equivalente al grado aumentado en la unidad. Es
decir: si P(x) es completo
# Nmero de Trminos de P(X) = Grado + 1
Ejemplo: P(x) = x
16 + x15 + x14 + ........ + x2 + x + 1 GA [P(x)] = 16 # de
trminos de P(x) = 16 + 1 = 17
4. Polinomios Idnticos ( ) Dos polinomios son idnticos si tienen
el mismo valor numrico para cualquier valor asignado a sus
variable. En dos polinomios idnticos los coeficientes de sus
trminos semejantes son iguales. Es decir: Se cumple: 5. Polinomios
Idnticamente Nulos
a = m b = n c = p
-
34
Es aquel que se anula para cualquier valor de sus variables. En
todo polinomio idnticamente nulo reducido, sus coeficientes son
iguales a cero.
Es decir si: ax2 + bx + c 0
Se cumple que: a = 0 b = 0 c = 0
PROBLEMAS
01.- Halle (a + b)(ab), sabiendo que:
a 2b a b b 2b a a b 8(x;y)P x y 15x y 2x y
Es un polinomio homogneo. a) 60 b) 100 c) 160 d) 200 e) 240 02.-
Calcular la suma de coeficientes del polinomio:
2 a 7 a b b 4(x;y)P a x bx y aby
Sabiendo que es homogneo. a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 39
03.- Si: a b b c c d d 4
(x)P x 2x 3x 4x
Es completo y ordenado ascendentemente. Calcular abcd. a) 12 b)
12 c) 6 d) 6 e) 3 04.- Si el polinomio:
a 18 a b 15 c b 16(x)P 18x 32x 18x
Es completo y ordenado en forma ascendente. Calcular a+b+c
-
35
a) 18 b) 32 c) 36 d) 68 e) 92 05.- Calcular a + b + c, Sabiendo
que:
2(x)Q (a b 1)x (b c 2)x (c a 4)
2(x)P 4X 3X 2
Adems: Q(x) = P(x)
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 06.- Si los polinomios:
2(x)P a(x 1) b(x 2) 2
(x)Q (x 2)(x 1) (x 3)(x 2)
Son idnticos. Calcular ab a) 0 b) 1 c) 2 d) 1 e) 2 07.- Dado los
polinomios idnticos:
3 a(x)P x 4x
a 2(x)Q x (b 2a)x
Calcular: a + b a) 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2
08.- Si: 3(a b 2)x (a c 3)x (b c 5) 0
Determinar a b + c a) 2 b) 1 c) 2 d) 1 e) 0
-
36
09.- Si el polinomio:
2 2(x;y)P (a 4)xy (a b 20x y)
Se anula para cualquier valor de sus variables.
Determinar ab
a) 4 b) 8 c) 16 d) 64 e) 72 10.- Dado el siguiente polinomio
idnticamente nulo:
2(x)P (ab ac 3)x (ac bc 4)x (ab bc 5)
Seale el valor de: N = abc(a + b)(a+c)(b+c) a) 3 b) 12 c) 20 d)
45 e) 60 11.- En el polinomio homogneo:
a 3 a 1 b 2 b 8(x;y)P ax abx y 2by
Determine la suma de sus coeficientes. a) 3 b) 2 c) 1 d) 2 e) 3
12.- Calcular a + b + c, si el polinomio:
a 3 2 b 5 8 c 4 10 9(x;y)P x y 5x y 6x y x y
es homogneo. a) 44 b) 43 c) 42 d) 41 e) 40} 13.- Si el siguiente
polinomio:
4b a c
3a 9 a b 3 2(x)P 3x x 6 x
-
37
es completo y ordenado crecientemente. Calcular a + b + c a) 1
b) 3 c) 6 d) 10 e) 15 14.- Dado el polinomio completo y ordenado en
forma decreciente:
4a 3b 3 2a 5b 6 5a b 5(x)P x 5x 10x ...
Calcular a + b a) 15 b) 10 c) 5 d) 2 e) 1 15.- Dados los
polinomios idnticos:
3 3(x;y)P (a b)x (b c)y
3 3(x;y)Q (c a)(x y )
Determinar a 2b 3c
a 2b 3c
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 16.- Sea el polinomio completo y
ordenado descendentemente:
m a b c(x)P x ... x x x ... 1
Calcular: a b c
b
a) 1 b) 0 c) 3 d) 2 e) 1/3 17.- Hallar el trmino independiente
del polinomio completo y ordenado descendentemente.
20 a n 5 a 17(x)P x x ... x x ... 2n
a) 72 b) 144 c) 18 d) 48 e) 56 18.- Calcular la suma de
coeficientes del polinomio homogneo.
-
38
2a b 3 b a 2b a b 8
(x;y)P 2ax b x y x y
a) 6 b) 7 c) 5 d) 8 e) 9 19.- Calcular a + b, si el
polinomio:
a b 2n n 1 3n n 8(x;y)P x y (n 1)x y (ab)x y
;
Es homogneo. a) 12 b) 9 c) 28 d) 32 e) 19 20.- Calcular a + b +
c, si:
2 2ax(x 1) b(x c) x 3x 8x 12
a) 8 b) 6 c) 10 d) 11 e) 12 21.- Sea el polinomio:
2(x)P (ax b)(x 2) 3(x c)
Si: P(x) 0. Hallar a + b + c a) 1 b) 1 c) 2 d) 0 e) 2 22.- Dada
la siguiente identidad:
2Ax(x 1) Bx(x 2) C(x 1)(x 2) 5x x 4
Calcular A.B.C a) 16 b) 24 c) 32 d) 36 e) 42 23.- Sea el
polinomio completo y ordenado descendentemente:
m 2 m n 1 m p 7 p q 2(x)P 2x 3x 5x x
Calcular q a) 7 b) 9 c) 8 d) 13 e) 5
-
39
24.- El polinomio completo y ordenado: n 2 n 3 m 10
(x)F 8x 9x ... x tiene 20 trminos, halle m + n
a) 27 b) 30 c) 31 d) 29 e) 32 25.- Calcular a + b
Si: a 1 2a 5 9 n n 5 b 3 8
(x;y)P x y x y x y
Es homogneo. a) 12 b) 14 c) 13 d) 15 e) 18 26.- Sea el polinomio
homogneo de grado 24.
2n 1 n 2 m 2n m p m(x;y)P x y x y x
Calcular p a) 15 b) 29 c) 19 d) 17 e) 18 27.- Halle la suma de
coeficientes del polinomio homogneo:
n 3 2n 1 n 12 a b(x;y)P x y (a b)x y (n 1)x y
a) 17 b) 16 c) 22 d) 21 e) 20
28.- Sean los polinomios: (x)P bx(x 2) c(x 3a)
2(x)F 5x x 66
Si: P(x) F(x). calcular a + b + c a) 16 b) 18 c) 20 d) 17 e)
21
29.- Sean los polinomios:2
(x)P (x 3)(mx px q) (2x n)
3(x)Q x 4x 5
Si: P(x) Q(x) entonces n es: a) 14 b) 12 c) 28 d) 16 e) 15 30.-
Sabiendo que:
2 2(x a)(bx 3) c 4 2bx 9x 3x 4
Hallar a + b - c a) 1 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8
-
40
PRACTICA 01.- Si; P(x) es ordenado y completo respecto de x,
hallar m+n
P(x) = x4 + xm+1 + xn-8 + x +1 a) 10 b) 8 c) 6 d) 14 e) 12 02.-
Calcular mn, sabiendo que el polinomio
m 4 6 2 3 5 n
(x;y)P 5x y 3x y 2x y
a) 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 4 03.- Si: m(x+n) + n(x+m) = 3x + 18
Calcular:
11 1
m n
a) 1 b) 2 c) 3 d) 9 e) N.A.
04.- Calcular m + n + p, si: P(x) Q(x)
Siendo: 2
(x)P 4x 3x 2
2
(x)Q (m n 1)x (n p 2)x (p m 4)
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 05.- Sabiendo:
2 2 2 2 2
(x;y)P (a b) x (a c) xy (b c) y
2 2
(x;y)F abx 2acxy 3bcy
Adems: P(x;y) F(x;y)
Calcular: 2 2
2 2
a b a c bc
b a b c
a) 0 b) 1 c) 1 d) 2 e) N.A.