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Material de Geometría Analítica
La geometría analítica, es la parte de las matemáticas que establece una
conexión entre el Algebra y la Geometría Euclidiana.
1. Sistemas de coordenadas rectangulares.
El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro
cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en un
punto O llamado origen.
Los ejes X y Y se llaman ejes coordenadas y dividen al plano en cuatro
regiones llamadas cuadrantes.
Observa que los cuatro cuadrantes se enumeran siempre en sentido
contrario a las manecillas del reloj.
Abscisas: Es la distancia perpendicular trazada desde un punto al eje
vertical o eje Y.
La x es positiva cuando este a la derecha del eje Y. La x es negativa cuando
este a la izquierda del eje Y.
Ordenadas: Es la distancia perpendicular trazada desde un punto al eje
horizontal o al eje X.
La y es positiva cuando está por encima del eje X. La y es negativa cuando
está por debajo del eje X.
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Actividad.
1.- Las coordenadas sirven para fijar la posición de un _______________
2.- La distancia de un punto al eje Y se llama _______________
3.- La distancia de un punto al eje X se llama _______________
4.- La pareja ordenada de números reales (X, Y) son las _______________ de
un punto.
5.- ¿Cuál es la abscisa de 𝑃(2,3)? _______________
6.- ¿Cuál es la ordenada de 𝐴(4,3)? _______________
7.- ¿En qué cuadrante está un punto si sus coordenadas son negativas?
_______________
8.- ¿En qué cuadrante está un punto cuya abscisa es negativa y cuya
ordenada es positiva? _______________
9.- ¿En qué cuadrante se encuentra el punto 𝐵(−5,0)? _______________
10.- ¿Cuáles son los signos de las coordenadas en cada uno de los
cuadrantes?
Abscisa: X Ordenada: Y
Cuadrante I
Cuadrante II
Cuadrante II
Cuadrante IV
11.- Escribe las coordenadas de cada uno de los puntos.
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12.- Ubica los puntos en el plano.
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2. Distancia entre dos puntos en el plano.
Para obtener la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano
cartesiano se recurrirá a la siguiente figura:
La distancia entre los puntos 𝑃1 y 𝑃2 se puede obtener mediante la
construcción de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 𝑥2 − 𝑥1 y
𝑦2 − 𝑦1 respectivamente.
Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene lo siguiente:
𝑑2 = (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Actividad.
Determinar la distancia entre los siguientes pares de puntos cuyas
coordenadas son:
1.- 𝐴(4,1), 𝐵(3, −2) 2.- 𝐶(−7,4), 𝐷(1, −11) 3.- 𝐸(−1, −5), 𝐹(2, −3)
4.- 𝐺(0,3), 𝐻(−4,1) 5.- 𝐼(2, −6), 𝐽(2, −2) 6.- 𝐾(−3,1), 𝐿(3, −1)
Determinar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son los puntos
coordenados:
1.- 𝐴(−2,5), 𝐵(4,3), 𝐶(7, −2) 2.- 𝑀(0,4), 𝑁(−4,1), 𝑂(3, −3)
Verificar que los puntos 𝐴(−2, −3), 𝐵(−4, −5), 𝐶(−1, −6), son los vértices de un
triángulo isósceles.
La longitud de un segmento es de 13𝑢 y las coordenadas de uno de sus
extremos son 𝐴(8,6), obtén la ordenada del otro extremo si su abscisa es −4
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3. Área de un polígono
Sean 𝑃1(𝑥1, 𝑦1), 𝑃2(𝑥2, 𝑦2), 𝑃3(𝑥3, 𝑦3), … , 𝑃𝑛(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) los vértices de un polígono. El
área (𝐴) del polígono, es una función de las coordenadas de los vértices
que viene dada por la expresión:
𝐴 =1
2
|
|
|
𝑥1 𝑦1
𝑥2 𝑦2
𝑥3 𝑥3
. .
. .
. .𝑥𝑛 𝑦𝑛
𝑥1 𝑦1
|
|
|
Actividad.
Determinar el área de los siguientes polígonos definidos por los puntos:
1.- 𝐴(−4, −5), 𝐵(2,1), 𝐶(−1,3) 2.- 𝐷(6,2), 𝐸(−1,7), 𝐹(−4,1)
3.- 𝐺(−4,0), 𝐻(0,0), 𝐼(0, −3) 4.- 𝐽(−3,1), 𝐾(−2,5), 𝐿(2,4), 𝑀(1,0)
5.- 𝑁(−4,1), 𝑂(−2,4), 𝑃(5,5), 𝑄(3,2) 6.- 𝑅(−7,1), 𝑆(−5,4), 𝑇(2,3), 𝑈(0, −5) 𝑦 𝑉(−4, −3)
Demostrar que los puntos son los vértices de un triángulo rectángulo y
determinar su área.
1.- 𝐴(2, −2), 𝐵(−8,4), 𝐶(5,3) 2.- 𝐷(0,9), 𝐸(−4, −1), 𝐹(3,2)
3.- 𝐺(3, −2), 𝐻(−2,3), 𝐼(0,4) 4.- 𝐽(−2,8), 𝐾(−6,1), 𝐿(0,4)
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4. División de un segmento
Sean 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) los extremos de un segmento de recta, entonces la
razón en que el punto 𝑃(𝑥, 𝑦) divide al segmento 𝑃1𝑃2 en dos partes
proporcionales se define como:
Por geometría, los triángulos ∆𝑃1𝑃𝑄 y ∆𝑃𝑃2𝑅
son semejantes, la proporcionalidad que
existe entre sus lados es:
𝑃1𝑃
𝑃𝑃2 =
𝑃1𝑄
𝑃𝑅 =𝑄𝑃
𝑅𝑃2
Por otro lado: 𝑃1𝑄 = 𝑥 − 𝑥1, 𝑃𝑅 = 𝑥2 − 𝑥
𝑄𝑃 = 𝑦 − 𝑦1, 𝑅𝑃2 = 𝑦2 − 𝑦
Entonces:
Para determinar la razón dados los extremos y el punto de división se
emplea:
𝑟 =𝑥 − 𝑥1
𝑥2 − 𝑥 𝑜 𝑟 =
𝑦 − 𝑦1
𝑦2 − 𝑦
Para encontrar el punto de división dados los extremos y la razón se
utiliza:
𝑥 =𝑥1 + 𝑟𝑥2
𝑟 + 1 ; 𝑦 =
𝑦1 + 𝑟𝑦2
𝑟 + 1
Importante:
Si el punto de división 𝑃 esta entre los puntos 𝑃1 y 𝑃2 la razón es positiva.
Si el punto de división no está entre los puntos dados entonces la razón
es negativa.
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Actividad.
Determinar la razón en que el punto 𝑃 divide al segmento de recta de
extremos 𝑃1 y 𝑃2
1.- 𝑃1(0,2), 𝑃2(−2,4), 𝑃(2,0) 2.- 𝑃1(3,5), 𝑃2(−1,4), 𝑃(−5,3)
3.- 𝑃1 (1
2,
3
4) , 𝑃2(2,1), 𝑃 (
1
3,
13
18) 4.- 𝑃1(−5,1), 𝑃2(4,3), 𝑃 (−3,
13
9)
Encuentra las coordenadas de un punto 𝑃(𝑥, 𝑦) según los elementos dados.
1.- 𝑃1(4,1), 𝑃2(5, −2), 𝑟 = −2 2.- 𝑃1(−2,3), 𝑃2(4,5), 𝑟 =2
3
3.- 𝑃1(0,5), 𝑃2(6, −1), 𝑟 = 5 4.- 𝑃1 (−2
3, 0) , 𝑃2(0,4), 𝑟 =
1
2
Graficar y determinar las coordenadas que dividen al segmento en 4 pares.
𝐴(−3,2) 𝐵(1,6)
Graficar y determinar las coordenadas de los puntos que dividen al
segmento en 3 partes.
𝐶(4,2) 𝐷(−5,7)
Graficar y determinar las coordenadas de los puntos que dividen al
segmento en 5 partes.
𝐸(−3,2) 𝐹(1,6)
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5. Punto medio
El punto medio del segmento de recta, es aquel punto que lo divide en dos
segmentos iguales.
Por tanto, las coordenadas del punto medio son:
𝑃𝑚 = (𝑥1 + 𝑥2
2,𝑦1 + 𝑦2
2)
Actividad.
Determinar las coordenadas del punto medio definido por los puntos:
1.- 𝐴(3,5), 𝐵(2, −1) 2.- 𝐴(0,4), 𝐵(3,7)
3.- 𝐴(−1,3), 𝐵(9,11) 4.- 𝐴(5, −7), 𝐵(11, −4)
5.- 𝐴 (1
2, 1) , 𝐵 (
1
3, 2) 6.- 𝐴 (
2
3, −2) , 𝐵 (
1
4, 1)
Si el punto medio de un segmento de recta es 𝑃𝑚(1, −3) y un extremo del
segmento es 𝑃1(7, −1), ¿Cuál es la coordenada del otro extremo?
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6. Inclinación de una recta
La inclinación de una recta es el menor de los ángulos que dicha recta
forma con el semieje X positivo y se mide, desde el eje X a la recta, en sentido
contrario a las manecillas del reloj.
Pendiente: La pendiente de una recta se define como la tangente del
ángulo de inclinación y se calcula con la siguiente expresión:
tan 𝜃 =𝑐. 𝑜
𝑐. 𝑎
tan 𝜃 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Para calcular la magnitud del ángulo se despeja de la siguiente manera:
tan 𝜃 = 𝑚
𝜃 = tan−1(𝑚)
Los casos que se presentan para el valor de la pendiente y su ángulo de
inclinación, son los siguientes.
Si 𝑚 > 0 (𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) entonces, el
ángulo es agudo
Si 𝑚 < 0 (𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) entonces, el
ángulo es obtuso
Si 𝑚 =
𝑐
0 entonces, el ángulo es
recto
Si 𝑚 = 0 entonces, el ángulo es
llano
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Actividad.
Determinar la pendiente de los siguientes pares de puntos.
1.- 𝐴(−3,5), 𝐵(2,7) 2.- 𝐶(4, −2), 𝐷(7, −2) 3.- 𝐸(−1,2), 𝐹(4, −5)
4.- 𝐺(8, −2), 𝐻(0, −1) 5.- 𝐼(0,4), 𝐽(−3,0) 6.- 𝐾(−5,1), 𝐿(1, −3)
7.- 𝑀 (1
2, 7) , 𝑁 (3, −
3
2) 8.- 𝑂 (
3
5,
2
3) , 𝑃 (−
3
5,
3
4) 9.- 𝑄(5, √3), 𝑅 (3, −
3
2)
Encontrar la medida de los ángulos de inclinación de las rectas que pasan
por los siguientes puntos.
1.- 𝐴(5,7), 𝐵(2,4) 2.- 𝐶(−1,2), 𝐷(−2,3) 3.- 𝐸(7, −1), 𝐹(7,4)
Los vértices de un triángulo son los puntos 𝐺(2, −2), 𝐻(−1,4), 𝐼(4,5). Determinar
la pendiente para cada uno de sus lados.
La pendiente de una recta es 3. Si la recta pasa por los puntos 𝐴(2, −1) y el
punto 𝐵, cuya ordenada es −5, ¿Cuál es el valor de su abscisa?
Una recta tiene un ángulo de inclinación de 45° y pasa por los puntos 𝐴 y 𝐵.
Si el punto 𝐴 tiene las coordenadas (3, −2) y la ordenada de 𝐵 es −1,
encuentra su abscisa.
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7. Líneas paralelas y perpendiculares
Si dos líneas rectas 𝑙1 y 𝑙2 son paralelas si sus pendientes son iguales.
𝑚1 = 𝑚2
Si dos líneas rectas 𝑙1 y 𝑙2 son perpendiculares entre sí, cuando el producto
de sus pendientes es -1.
𝑚1 ⋅ 𝑚2 = −1
𝑚1 =−1
𝑚2
Actividad.
Demostrar si la recta 𝑙1 que pasa por los puntos 𝐴(3, −1) y 𝐵(−6,5) es paralela
o perpendicular a la recta 𝑙2 que pasa por los puntos 𝐶(0,2) y 𝐷(−2, −1)
Demostrar que la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2,1) y 𝐵(1, −4), es
paralela a la recta que pasa por los puntos 𝐶(8, −7) y 𝐷(5, −2)
Demuestra que los cuatro puntos 𝐴(−3,1), 𝐵(−2,5), 𝐶(2,4) 𝑦 𝐷(1,0), son los
vértices de un cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares.
Demostrar por medio de pendientes, que los puntos
𝐴(1,1), 𝐵(5,3), 𝐶(8,0) 𝑦 𝐷(4, −2) son vértices de un paralelogramo.
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8. Ángulo entre dos rectas
El ángulo 𝛼, medido en sentido contario al de las manecillas del reloj, desde
la recta 𝑙1, de pendiente 𝑚1 a la recta 𝑙2 de pendiente 𝑚2 es:
tan 𝛼 =𝑚2 − 𝑚1
1 + 𝑚2𝑚1
Importante:
Para la correcta obtención del ángulo formado por dos rectas es necesario
hacer de manera adecuada la selección de 𝑚1 y de 𝑚2, para ilustrar el
procedimiento se obtendrá el valor del ángulo alfa.
Toso ángulo se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, por lo
tanto el ángulo se mide como se índice en la figura.
La selección de las pendientes se hará de la siguiente manera:
𝑚1 Es siempre la pendiente donde comienza el ángulo, en este caso 2, 𝑚2
es siempre la pendiente donde termina el ángulo, por lo tanto 𝑚2 será −3
Actividad.
En los siguientes ejercicios determina los ángulos interiores de los triángulos.
1.- 𝐴(4,2), 𝐵(0,1), 𝐶(6, −1) 2.- 𝐷(−3, −1), 𝐸(4,4), 𝐹(−2,3)
3.- 𝐺(−2,1), 𝐻(3,4), 𝐼(5, −2) 4.- 𝐽(−4,1), 𝐾(2,3), 𝐿(1, −4)
¿Cuáles son las medidas de los ángulos interiores del paralelogramo, cuyos
vértices son los puntos 𝐴(1,3), 𝐵(2,6), 𝐶(7,8), 𝐷(6,5)?
Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°. Sabiendo que la recta
final tiene una pendiente de −3, determine el valor de la pendiente de la
recta inicial.
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9. Línea recta
La línea recta es el lugar geométrico de todos los puntos, tales que al tomar
dos puntos diferentes 𝑃1 y 𝑃2, y obtener el valor de la pendiente, esta resulta
siempre ser la misma.
Ecuación de la recta punto-pendiente de la recta.
Sea el punto 𝐴 de coordenadas (𝑥1, 𝑦1) y "𝑚" una pendiente dada, la
ecuación de la recta se puede obtener a partir del concepto de pendiente
como se muestra a continuación.
𝑚 =𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1
𝑚(𝑥 − 𝑥1) = 𝑦 − 𝑦1
Ecuación de la recta punto- pendiente:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Al desarrollar esta ecuación, se llega a la ecuación de la recta en su forma
general, que puede ser expresada con el siguiente formato:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Actividad.
En los siguientes ejercicios determinar la ecuación de la recta en su forma
general, que satisfaga con las siguientes condiciones.
1.- 𝐴(1,3), 𝑚 = 2 2.- 𝐵(5,3), 𝑚 = −2
3.- 𝐶(3, −2), 𝑚 = 1 4.- 𝐷(0, −5), 𝑚 = −4
5.- 𝐸(2,0), 𝑚 =1
2 6.- 𝐹(−4,5), 𝑚 =
3
2
7.- 𝐺(−1, −6), 𝑚 = −5
3 8.- 𝐻(0,0), 𝑚 = −
4
5
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Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados.
Sean 𝑃(𝑥1, 𝑦1) y 𝑄(𝑥2, 𝑦2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos
conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)
Calculando su pendiente:
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1)
Actividad.
En los siguientes ejercicios determine la ecuación de la recta que
determinan los siguientes pares de puntos en su forma general.
1.- 𝐴(0,0), 𝐵(3,1) 2.- 𝐵(0,0), 𝐶(−4,3)
3.- 𝐷(1,1), 𝐸(4,3) 4.- 𝐹(5,1), 𝐺(1,4)
5.- 𝐻(−5,2), 𝐼(3,2) 6.- 𝐽(4,1), 𝐾(−2, −5)
7.- 𝐿 (5,1
2) , 𝑀 (−1,
3
4) 8.- 𝑂 (−
1
3, −
1
4) , 𝑃 (−
2
5,
1
5)
Ecuación pendiente- ordenada al origen.
Una vez que se conoce la pendiente de una recta y su ordenada al origen
(intersección con el eje Y), se determina la siguiente ecuación:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Donde:
𝑚 = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑏 = 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛
Esta forma también se le conoce
como forma simplificada o
reducida.
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Actividad.
Observa y completa las siguientes ecuaciones expresadas tanto en su forma
pendiente- ordenada como en su forma general:
Forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 Forma general 𝒎
Pendiente
𝒃
Ordenada al origen
𝑦 = −3
5𝑥 − 2
3𝑥 − 𝑦 + 4 = 0
𝑦 = −3
4𝑥 + 3
2𝑥 − 3𝑦 + 3 = 0
𝑦 = −2𝑥
1
2 −5
En las siguientes ecuaciones generales, obtener la ecuación pendiente-
ordenada al origen y graficarla.
1.- 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 2.- 𝑥 − 𝑦 − 2 = 0
3.- 3𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 4.- 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0
5.- 5𝑥 − 4𝑦 + 12 = 0 6.- 2𝑥 − 5𝑦 − 30 = 0
7.- 4𝑥 + 9𝑦 − 63 = 0 8.- 2𝑥 + 7𝑦 − 4 = 0
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Ecuación simétrica de la recta.
La forma simétrica de la recta determina las intersecciones de la recta con
los ejes y tiene la forma.
𝑥
𝑎+
𝑦
𝑏= 1
Actividad.
Transformar en su forma simétrica las siguientes ecuaciones.
1.- 𝑥 + 𝑦 − 4 = 0 2.- 2𝑥 − 5𝑦 + 5 = 0
3.- 𝑥 − 3𝑦 + 8 = 0 4.- 𝑥 + 8𝑦 − 4 = 0
5.- −3𝑥 + 4𝑦 + 12 = 0 6.- 3𝑥 + 5𝑦 − 10 = 0
7.- 1
2𝑥 + 3𝑦 + 5 = 0 8.- −
2
5𝑥 +
1
3𝑦 − 4 = 0
Graficar las siguientes rectas y posteriormente transformarlas a su forma
general.
1.- 𝑥
4+
𝑦
5= 1 2.-
𝑥
7+
𝑦
8= 1
3.- 𝑥
6+
𝑦
7= 1 4.-
𝑥
10+
𝑦
−11= 1
5.- 𝑥
−2+
𝑦
−3= 1 6.-
𝑥
−5+
𝑦
−7= 1
Rectas paralelas.
Son aquellas rectas que tienen la misma pendiente.
𝑚1 = 𝑚2
Actividad.
Obtener la ecuación de la recta que pasa por 𝐴(−3, −1) y es paralela a la
recta 2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0
Una recta pasa por el punto 𝐴(7,8) y es paralela a la recta que pasa por los
puntos 𝐶(−2,2) y 𝐷(3, −4). Hallar su ecuación.
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Rectas perpendiculares.
Son aquellas rectas que cumplen con 𝑚1 ⋅ 𝑚2 = −1
Actividad.
Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular a 3𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0 y
pasa por 𝐷(−2, −1)
Demostrar que las rectas cuyas ecuaciones son 3𝑥 + 2𝑦 = 11 y 3𝑦 + 2𝑥 = 6
son perpendiculares
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐾(10,2) y es
perpendicular a la recta 4𝑥 − 6𝑦 = 12
10. Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) a una recta 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 esta dada por
la fórmula:
𝑑 =|𝐴𝑥1 + 𝐵𝑦1 + 𝐶|
√𝐴2 + 𝐵2
Actividad.
Determinar la distancia del punto a la recta indicada.
1.- 𝑃(1,4), 2𝑥 − 7𝑦 + 3 = 0 2.- 𝑁(−2,5), 3𝑥 + 4𝑦 − 5 = 0
3.- 𝐺(−1,7), 12𝑥 + 5𝑦 + 26 = 0 4.- 𝑅(−3, , −7), 𝑦 − 3 = 0
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11. Circunferencia
Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de
tal manera que su distancia a un punto fijo llamado centro, siempre es
constante:
Definición:
𝑑𝐶𝑃 = 𝑟 → √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2
Elementos: 𝐶: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑟: 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
𝑃(𝑥, 𝑦): 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
Ecuación de la circunferencia.
Forma canónica
La ecuación de la circunferencia con centro en el origen (0,0) y radio 𝑟, esta
dada por la fórmula:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2
Forma ordinaria
La ecuación de la circunferencia con centro en el puto 𝐶(ℎ, 𝑘) y radio 𝑟, esta
dada por la fórmula:
(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2
Forma general
Esta ecuación se obtiene al desarrollar los binomios e igualar a cero la
ecuación ordinaria.
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 = 𝐶
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Actividad.
Obtener la ecuación en su forma general de la circunferencia.
1.- 𝐶(0,0) , 𝑟 = 4 2.- 𝐶(0,0) , 𝑟 =√3
2
3.- 𝐶(3, −4), 𝑟 = 6 4.- 𝐶(5, −3), 𝑟 = √6
5.- 𝐶(5, −12), 𝑟 = 13 6.- 𝐶(−1, −6), 𝑟 = 8
Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pasa
por el punto (6,0)
Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el punto (3, −4) y pasa
por el origen
Hallar la ecuación de la circunferencia de centro en el punto (4, −1) y que
pasa por (−1,3)
Encontrar la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro a
𝐴(−1,5) y 𝐵(−5, −7)
Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (−2,3) que es tangente a
la recta 20𝑥 − 21𝑦 − 42 = 0
Encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto 𝐴(7, −5) y
cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7𝑥 − 9𝑦 − 10 = 0 y
2𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0
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Obtención del centro y radio a partir de la ecuación general.
A partir de la ecuación general pueden determinarse las coordenadas del
centro y la longitud del radio; esto se realiza completando los trinomios
cuadrados y simplificando.
El siguiente ejemplo muestra el procedimiento:
𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 + 8𝑦 − 11 = 0
Inicialmente se agrupan “x” y “y”, el termino independiente se coloca del
lado derecho.
𝑥2 − 6𝑥 + 𝑦2 + 8𝑦 = 11
Ahora se completan cuadrados tanto para “x” como para “y”, se suma la
misma cantidad que se utiliza para completar el trinomio del lado derecho.
𝑥2 − 6𝑥 + (6
2)
2
+ 𝑦2 + 8𝑦 + (8
2)
2
= 11 + (6
2)
2
+ (8
2)
2
Desarrollando y simplificando:
𝑥2 − 6𝑥 + 9 + 𝑦2 + 8𝑦 + 16 = 11 + 9 + 16
(𝑥 − 3)2 + (𝑦 + 4)2 = 36
Una vez llegando a la ecuación canónica se obtienen las coordenadas del
centro y la longitud del radio.
𝑥 − 3 = 0 𝑦 + 4 = 0 𝑥 = 3 𝑦 = −4
𝐶(3, −4)
𝑟2 = 36
𝑟 = √36 𝑟 = 6
Actividad.
Encontrar las coordenadas de centro y la longitud del radio de las
circunferencias siguientes.
1.- 𝑥2 + 𝑦2 + 6𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0 2.- 𝑥2 + 𝑦2 + 4𝑥 + 12𝑦 + 36 = 0
3.- 𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑥 − 2𝑦 + 1 = 0 4.- 𝑥2 + 𝑦2 − 10𝑥 + 4𝑦 − 7 = 0
5.- 2𝑥2 + 2𝑦2 + 12𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 6.- 3𝑥2 + 3𝑦2 − 6𝑥 + 5𝑦 = 0
Demostrar que las circunferencias 4𝑥2 + 4𝑦2 − 16𝑥 + 12𝑦 + 13 = 0 y
12𝑥2 + 12𝑦2 − 48𝑥 + 36𝑦 + 55 = 0 son concéntricas.
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12. Parábola
Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de
tal manera que equidistan de un punto fijo llamado foco, y una recta fija,
llamada directriz.
𝑃𝐹 = 𝑃𝐷
Elementos:
𝑉: 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒
𝐹: 𝐹𝑜𝑐𝑜
𝐷𝐷´ : 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧
𝐿𝑅: 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜
𝑝: 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
(𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑎𝑙 𝑓𝑜𝑐𝑜 𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧)
De acuerdo con el signo del parámetro se determina la concavidad de la
parábola:
Formulas.
Parábola horizontal con vértice en el
origen
Ecuación canónica: 𝑦2 = 4𝑝𝑥
Foco: 𝐹(𝑝, 0)
Directriz: 𝑥 + 𝑝 = 0
Lado recto: 𝐿𝑅 = |4𝑝|
Ecuación del eje: 𝑦 = 0
Parábola vertical con vértice en el
origen
Ecuación canónica: 𝑥2 = 4𝑝𝑦
Foco: 𝐹(0, 𝑝)
Directriz: 𝑦 + 𝑝 = 0
Lado recto: 𝐿𝑅 = |4𝑝|
Ecuación del eje: 𝑥 = 0
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Actividad.
Hallar todos los elementos de la parábola y trace la gráfica.
1.- 𝑦2 = 4𝑥 2.- 𝑥2 = −12𝑦
3.- 𝑦2 + 12𝑥 = 0 4.- 𝑥2 − 16𝑦 = 0
5.- 20𝑦 − 𝑥2 6.- 5𝑥2 = 64𝑦
Escribe la ecuación de la parábola con vértice en el origen que satisfaga
las condiciones y traza la gráfica.
1.- Foco en (3,0) 2.- Foco en (−4,0)
3.- La directriz 𝑥 + 4 = 0 4.- La directriz 𝑦 − 4 = 0
5.- 𝐿𝑅 = 10 y abre hacia la derecha 6.- 𝐿𝑅 = 8 y abre hacia arriba
Formulas.
Parábola horizontal con vértice (h,k)
Ecuación canónica: (𝑦 − 𝑘)2 = 4𝑝(𝑥 − ℎ)
Vértice: 𝑉(ℎ, 𝑘)
Foco: 𝐹(ℎ + 𝑝, 𝑘)
Directriz: 𝑥 + 𝑝 = ℎ
Lado recto: 𝐿𝑅 = |4𝑝|
Ecuación del eje: 𝑦 = 𝑘
General: 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Parábola vertical con vértice (h,k)
Ecuación canónica: (𝑥 − ℎ)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑘)
Vértice: 𝑉(ℎ, 𝑘)
Foco: 𝐹(ℎ, 𝑘 + 𝑝)
Directriz: 𝑦 + 𝑝 = 𝑘
Lado recto: 𝐿𝑅 = |4𝑝|
Ecuación del eje: 𝑥 = ℎ
General: 𝐴𝑥2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
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Actividad.
Determina todos los elementos de la parábola y trace la gráfica.
1.- 𝑦2 + 8𝑥 + 8 = 0 2.- 𝑥2 + 4𝑦 + 8 = 0
3.- 𝑦2 − 12𝑥 − 48 = 0 4.- 𝑥2 + 4𝑥 + 16𝑦 + 4 = 0
5.- 𝑥2 + 10𝑥 − 20𝑦 + 25 = 0 6.- 𝑦2 + 8𝑦 + 6𝑥 + 16 = 0
7.- 𝑦2 + 8𝑦 + 20𝑥 + 56 = 0 8.- 𝑥2 + 2𝑥 + 4𝑦 − 19 = 0
9.- 4𝑥2 − 12𝑥 − 16𝑦 + 41 = 0 10.- 16𝑦2 + 8𝑦 − 24𝑥 + 49 = 0
Escribe la ecuación de la parábola con base a los datos proporcionados.
1.- 𝑉(3,2), 𝐹(3,4) 2.- 𝑉(−6, −4), 𝐹(0, −4)
3.- 𝑉(2,4), 𝐹(−3,4) 4.- 𝑉(3, −1), 𝐹(3, −5)
5.- 𝑉(4,1), 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑥 = 2 6.- 𝑉(4,1), 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑦 = −3
7.- 𝑉(4, −2), 𝐿𝑅 = 8; 𝑎𝑏𝑟𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 8.- 𝑉(1,2), 𝐿𝑅 = 8; 𝑎𝑏𝑟𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
9.- 𝐹(2, −3), 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑥 = 6 10.- 𝐹(−2,2), 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧: 𝑦 = 4
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13. Elipse
Lugar geométrico de los puntos 𝑃(𝑥, 𝑦) tales que la suma de distancias a dos
puntos fijos llamados focos es igual a una constante (2𝑎).
𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2
= 2𝑎
𝐶: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
𝑉1, 𝑉2: 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
𝐹1, 𝐹2: 𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠
𝐵1, 𝐵2: 𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
𝑉1𝑉2 = 2𝑎 (𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟)
𝐹1𝐹2 = 2𝑐 (𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙)
𝐵1𝐵2 = 2𝑏 (𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟)
𝐿𝑅 =2𝑏2
𝑎 (𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜)
𝑒 =𝑐
𝑎< 1 (𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑
Condición: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 ; 𝑎 > 𝑏 , 𝑎 > 𝑐
Donde: 𝑎 = √𝑏2 + 𝑐2 ; 𝑏 = √𝑎2 − 𝑐2 ; 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏2
Elementos y ecuación.
Elipse horizontal con centro en el origen
Ecuación canónica: 𝑥2
𝑎2 +𝑦2
𝑏2 = 1
Vértices: 𝑉(±𝑎, 0)
Focos: 𝐹(±𝑐, 0)
Extremos del eje menor: 𝐵(0, ±𝑏)
Elipse vertical con centro en el origen
Ecuación canónica: 𝑥2
𝑏2 +𝑦2
𝑎2 = 1
Vértices: 𝑉(0, ±𝑎)
Focos: 𝐹(0, ±𝑐)
Extremos del eje menor: 𝐵(±𝑏, 0)
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Actividad.
Determina todos los elementos de la elipse y trace la gráfica.
1.- 𝑥2
25+
𝑦2
9= 1 2.-
𝑦2
25+
𝑥2
9= 1
3.- 𝑥2
169+
𝑦2
144= 1 4.-
𝑦2
9+
𝑥2
4= 1
5.- 𝑦2
25+
𝑥2
16= 1 6.-
𝑥2
49+
𝑦2
25= 1
7.- 𝑥2 + 4𝑦2 = 4 8.- 2𝑥2 + 3𝑦2 = 12
9.- 9𝑥2 + 4𝑦2 = 36 10.- 16𝑥2 + 25𝑦2 = 400
Escribe la ecuación de la elipse con base a los datos proporcionados.
1.- 𝐹(±4,0), 𝑉(±5,0) 2.- 𝐹(0, ±8), 𝑉(0, ±17)
3.- 𝐿𝑟 = 5, 𝑉(±10,0) 4.- 𝐹(0, ±6), 𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 8
5.- 𝐹(±5,0), 𝑒 =5
8 6.- 𝑉(±5,0), 𝐵(0, ±4)
Formulas.
Elipse horizontal con centro (h,k)
Ecuación: (𝑥−ℎ)2
𝑎2 +(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
Vértice: 𝑉(ℎ ± 𝑎, 𝑘)
Foco: 𝐹(ℎ ± 𝑐, 𝑘)
Extremos del eje menor: 𝐵(ℎ, 𝑘 ± 𝑏)
General
𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Donde 𝐴 ≠ 𝐶 pero ambas
cantidades son de mismo
signo.
Elipse vertical con centro (h,k)
Ecuación: (𝑥−ℎ)2
𝑏2 +(𝑦−𝑘)2
𝑎2 = 1
Vértice: 𝑉(ℎ, 𝑘 ± 𝑎)
Foco: 𝐹(ℎ, 𝑘 ± 𝑐)
Extremos del eje menor: 𝐵(ℎ ± 𝑏, 𝑘)
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Actividad.
Determina todos los elementos de la elipse y trace la gráfica.
1.- (𝑥−3)2
16+
(𝑦−2)2
9= 1 2.-
(𝑥−5)2
169+
(𝑦+5)2
49= 1
3.- (𝑦+3)2
36+
(𝑥−6)2
16= 1 4.-
(𝑥+5)2
9+
(𝑦−1)2
4= 1
5.- 𝑥2
16+
(𝑦−2)2
25= 1 6.-
(𝑥−4)2
4+
(𝑦−3)2
9= 1
7.- 𝑥2 + 16𝑦2 − 10𝑥 + 64𝑦 + 73 = 0 8.- 4𝑥2 + 𝑦2 − 16𝑥 − 6𝑦 − 11 = 0
9.- 4𝑥2 + 9𝑦2 − 8𝑥 − 36𝑦 + 4 = 0 10.- 5𝑥2 + 9𝑦2 + 30𝑥 − 36𝑦 + 36 = 0
Escribe la ecuación de la elipse con base a los datos proporcionados.
1.- 𝑉1(−2,3), 𝑉2(8,3) 𝑦 𝐹1(−1,3), 𝐹2(7,3)
2.- 𝑉1(−2, −5), 𝑉2(−2,3) 𝑦 𝐹1(−2, −4), 𝐹2(−2,2)
3.- 𝑉1(0,0), 𝑉2(8,0) 𝑦 𝐵1(4,3), 𝐵2(4, −3)
4.- 𝐵1(3,2), 𝐵2(3,6) 𝑦 𝑒𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 10
5.- 𝑉1(−4,5), 𝑉2(16,5) 𝑦 𝑒 =4
5
6.- 𝑒 =2
3 𝑦 𝐹1(0,0) 𝐹2(0, −4)
7.- 𝑉1(−4,6), 𝑉2(−4, −4) 𝑦 𝑢𝑛 𝑓𝑜𝑐𝑜 𝐹1(−4, −3)
8.- 𝐹1(−9, −2), 𝐹2(−3, −2) 𝑦 𝑒 =3
5
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14. Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal
manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos, llamados focos, es siempre constante.
𝐶: 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
𝑉1, 𝑉2: 𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠
𝐹1, 𝐹2: 𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠
𝐵1, 𝐵2: 𝐸𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜
𝑉1𝑉2 = 2𝑎 (𝑒𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙)
𝐹1𝐹2 = 2𝑐 (𝑒𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙)
𝐵1𝐵2 = 2𝑏 (𝑒𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜)
𝐿𝑅 =2𝑏2
𝑎 (𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜)
𝑒 =𝑐
𝑎> 1 (𝑒𝑥𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑)
𝑙1 𝑦 𝑙2: 𝐴𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠
Condición: 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 ; 𝑐 > 𝑏 , 𝑐 > 𝑎
Donde: 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2 ; 𝑎 = √𝑐2 − 𝑏2 ; 𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2
Elementos y ecuación.
Hipérbola horizontal con centro en el origen
Ecuación canónica: 𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑏2 = 1
Vértices: 𝑉(±𝑎, 0)
Focos: 𝐹(±𝑐, 0)
Extremos del eje conjugado: 𝐵(0, ±𝑏)
Ecuaciones de las asíntotas: 𝑙1: 𝑦 =𝑏
𝑎𝑥 ; 𝑦 = −
𝑏
𝑎𝑥
Hipérbola vertical con centro en el origen
Ecuación canónica: 𝑦2
𝑎2 −𝑥2
𝑏2 = 1
Vértices: 𝑉(0, ±𝑎)
Focos: 𝐹(0, ±𝑐)
Extremos del eje menor: 𝐵(±𝑏, 0)
Ecuaciones de las asíntotas: 𝑙1: 𝑦 =𝑎
𝑏𝑥 ; 𝑦 = −
𝑎
𝑏𝑥
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Actividad.
Determina todos los elementos de la hipérbola y trace la gráfica.
1.- 𝑥2
81−
𝑦2
9= 1 2.-
𝑦2
8−
𝑥2
5= 1
3.- 𝑦2
16−
𝑥2
4= 1 4.-
𝑥2
36−
𝑦2
64= 1
5.- 𝑥2
25−
𝑦2
9= 1 6.- 𝑥2 −
𝑦2
4= 1
7.- 9𝑥2 − 4𝑦2 = 36 8.- 4𝑥2 − 9𝑦2 = 36
9.- 4𝑥2 − 5𝑦2 − 20 = 0 10.- 5𝑥2 − 6𝑦2 + 30 = 0
Escribe la ecuación de la hipérbola con base a los datos proporcionados.
1.- 𝑉(0, ±3) 𝑦 𝐹(0, ±5) 2.- 𝐹(±4,0), 𝑉(±5,0)
3.- 𝐿𝑟 =8
3, 𝑉(±3,0) 4.- 𝑉(±6,0), 𝑒 =
√5
2
5.- 𝐹(±5,0), 𝐸𝑗𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 8 6.- 𝐹(0, ±13), 𝐸𝑗𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 = 24
Formulas.
Hipérbola horizontal con centro (h,k)
Ecuación: (𝑥−ℎ)2
𝑎2 −(𝑦−𝑘)2
𝑏2 = 1
Vértice: 𝑉(ℎ ± 𝑎, 𝑘)
Foco: 𝐹(ℎ ± 𝑐, 𝑘)
Extremos del eje conjugado: 𝐵(ℎ, 𝑘 ± 𝑏)
Ecuaciones de las asíntotas: 𝑙1: 𝑦 − 𝑘 =𝑏
𝑎(𝑥 − ℎ) ; 𝑦 − 𝑘 = −
𝑏
𝑎(𝑥 − ℎ)
Hipérbola vertical con centro (h,k)
Ecuación: (𝑦−𝑘)2
𝑎2 −(𝑥−ℎ)2
𝑏2 = 1
Vértice: 𝑉(ℎ, 𝑘 ± 𝑎)
Foco: 𝐹(ℎ, 𝑘 ± 𝑐)
Extremos del eje conjugado: 𝐵(ℎ ± 𝑏, 𝑘)
Ecuaciones de las asíntotas: 𝑙1: 𝑦 − 𝑘 =𝑎
𝑏(𝑥 − ℎ) ; 𝑦 − 𝑘 = −
𝑎
𝑏(𝑥 − ℎ)
General 𝐴𝑥2 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Donde 𝐴 𝑦 𝐶 de signo contrario.
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Determina todos los elementos de la hipérbola y trace la gráfica.
1.- (𝑥+2)2
16−
(𝑦−3)2
9= 1 2.-
(𝑦−3)2
16−
(𝑥+2)2
9= 1
3.- (𝑥−4)2
25−
(𝑦−5)2
25= 1 4.-
(𝑦+2)2
36+
(𝑥−1)2
25= 1
5.- 𝑥2 − 4𝑦2 − 2𝑥 + 16𝑦 − 7 = 0 6.- 9𝑥2 − 4𝑦2 + 18𝑥 − 24𝑦 + 9 = 0
7.- 9𝑥2 − 16𝑦2 + 36𝑥 + 32𝑦 − 124 = 0 8.- 4𝑥2 − 9𝑦2 − 4𝑥 + 18𝑦 − 44 = 0
9.- 4𝑥2 − 𝑦2 − 4𝑦 − 40 = 0 10.- 𝑥2 − 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0
Escribe la ecuación de la hipérbola con base a los datos proporcionados.
1.- 𝐶(−2,2), 𝑉1(4,2), 𝐹1(6,2), 𝑒𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑋
2.- 𝑉1(3,1), 𝑉2(−3,1) 𝑦 𝐹1(5,1), 𝐹2(−5,1)
3.- 𝑉1(−4,4), 𝑉2(−4, −6) 𝑦 𝐹1(−4,5), 𝐹2(−4,7)
4.- 𝑉1(−1,3), 𝑉2(3,3), 𝑒 =3
2
5.- 𝐹1(8,2), 𝐹2(−2,2) 𝑦 𝑒 =5
4
6.- 𝐶(−3,2), 𝑉(1,2) 𝑦 𝑒𝑗𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 = 4